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高考数学复习点拨：简单的三角恒等变换专题

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高考数学复习总结归纳点拨

1 简单的三角恒等变换专题

三角函数和代数、几何知识联系密切，它是研究其他各类知识的重要工具．高考题中与三角函数有关的问题，大都以恒等变形为研究手段．三角变换是运算、化简、求值、证明过程中不可缺少的解题技巧，要学会创设条件灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能．

1．含有不同角或幂次不同的三角函数等式的证明

如果等式两边是含有不同角的三角函数式，那么可以从变化角入手，如果等式两边所含的三角函数的幂次不同，那么可以从变化次数入手．

例1 求证222(3cos4)tancot1cos4xxxx．

分析：观察左、右两边式子间的差异，若选择“从左证到右”，则“切化弦”的方法势

在必行；若选择“从右证到左”，则倍角公式应是必用公式．

证法一：左边22442222sincossincoscossinsincosxxxxxxxx

2222222211sin2(sincos)2sincos211sin2sin244xxxxxxx

22211sin284sin244cos2211cos41cos4(1cos4)8xxxxxx

42(1cos4)2(3cos4)1cos41cos4xxxx右边．

证法二：右边2222(21cos4)2(22cos2)2sin22sin2xxxx

222222222222(1cos2)(sincos)(cossin)4sincos2sincosxxxxxxxxx

4422222(sincos)tancot2sincosxxxxxx左边．

评析：切割化弦是三角变换的一种常用方法，若能把所给式子中的三角函数都化成同名、同角的三角函数，则此三角函数式的化简，实质上是代数式的变换．

2．含有差异角的三角函数式的求解

三角函数式中往往出现较多的差异角，注意观察角与角之间的和、差、倍、半、互补、互余等关系，运用角的变换，化多角为单角或减少未知角的数目，沟通条件角与结论角的联系，使问题顺利获解．对角的变换：①可以通过诱导公式；②注意倍角的相对性，如是2的倍角，3是32的倍角等；③注意拆角、拼角技巧，例如2()()，高考数学复习总结归纳点拨

2 22，πππ424等．

例2 若π4cos45x，5π7π44x，求2sin22sin1tanxxx．

分析：转化为已知一个角π4x的三角函数值，求这个角的其余三角函数值的问题．这

样可以将所求式子化简，使其出现π4x这个角的三角函数．

解：2sin22sin2sin(cossin)cossin2(cossin)1tancossincossinxxxxxxxxxxxxxx

1tanπππsin2sin2tancos2tan1tan424xxxxxxx．

2ππ[2cos1]tan44xx

5π7π44xQ，3πππ24x．

又π4cos45xQ，

π3sin45x，π3tan44x．

原式1632121254100．

评析：本题采用的“凑角法”是解三角题的常用技巧，解题时首先要分析已知条件和结论中各种角之间的相互关系，并根据这种关系来选择公式．

3．给值求角的关键也是变角

把所求的角用含已知其值的角的式子表示，由所求的函数值结合该函数的单调区间求得角，但不要忽视对所求角的范围的讨论．即解决“给值求角”问题是由两个关键步骤构成：①把所求角用含已知角的式子表示；②由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角．

例3 已知1tan()2，1tan7，且(0π)，，，求2的值．

解：22()Q，1tan()2，

22tan()4tan2()1tan()3

从而tan(2)tan[2()]4125tan2()tan3721141251tan2()tan13721．

又tan()tan1tantan()11tan()tan3Q．

且0π，π04．π022．

又1tan07，且(0π)，， 高考数学复习总结归纳点拨

3 ππ2，ππ2．

π20．32π4．

评析：本题通过变形转化为已知三角函数值求角的问题，关键在于对角的范围的讨论，注意合理利用不等式的性质，必要时，根据三角函数值，缩小角的范围，从而求出准确角．另外，求角一般都通过三角函数值来实现，但求该角的哪一种函数值，往往有一定的规律，若(0π)，，则求cos．若ππ22，，则求sin等．

4．参变量的桥梁作用

根据三角函数式的结构，引入参变量，使参变量在解题过程中起到桥梁作用，通过参数代换，使繁难的式子变得简单、复杂的式子变得简明，使隐含的规律显露出来．

例4 求cos36cos72oo的值．

解：设cos36xo，cos72yo，

由2cos722cos361oo，得221yx．

又22cos3612sin1812cos72ooo，则212xy．

222()2()()xyxyxyxy，

0xyQ，12xy，即1cos36cos722oo．

评析：在三角函数求值问题中，通过引入参变量调节命题结构，把问题转化为对参变量的讨论．这种替换可以转化原问题的结构，简化解题过程．巧妙的变换，还可以收到事半功倍的效果．

5．借助方程思想证明等式

有关角度等式的证明问题，可以借助方程思想把其转化为已知三角函数值求角的问题

例５ 若，为锐角，且223sin2sin1，3sin22sin20，求证：π22a．

分析：由条件等式证明“角＋角=角”的问题，一般转化为证明相应的三角函数值问题．

证明：已知两个等式可化为23sincos2， ①

3sincossin2， ②

①②，得sincos2cossin2，即coscos2sinsin20，

cos(2)0．

π02Q，π02，3π022．

π22．

评析：要证明两角相等，仅证明两个角的同名三角函数值相等是不够的，还必须要证明它们在同一单调区间内．

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高考数学(一轮复习)学案：《简单的三角恒等变换》

高考数学(一轮复习)学案：《简单的三角恒等变换》

湖北省监利县第一中学2015届高三数学一轮复习 22.简单的三角恒等变换学案

【学习目标】

1．掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．

2. 能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).

预 习 案

1．二倍角的正弦、余弦、正切公式

(1)sin2α＝ ；(2)cos2α＝ ＝ －1＝1－ ；

(3)tan2α＝2tanα1－tan2α(α≠kπ2＋π4且α≠kπ＋π2)．

2．半角公式：(1)sinα2＝ ； (2)cosα2＝ ；

(3)tanα2＝ ＝sinα1＋cosα＝1－cosαsinα.

3．二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式，其他如4α＝ ；α2＝ ；3α＝ 都适用．

4．由cos2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α可得降幂公式：cos2α＝ ；sin2α＝ ；升幂公式cos2α＝ ＝ .

【预习自测】

1．若sin76°＝m，用含m的式子表示cos7°为

( )

A. 1＋m2 B.1－m2 C．± 1＋m2 D. 1＋m2

2．设sin2α＝－sinα，α∈(π2，π)，则tan2α的值是________．

3．函数f(x)＝sin2(2x－π4)的最小正周期是________．

4．已知θ是第三象限的角，且sin4θ＋cos4θ＝59，那么sin2θ的值为________．

高考总复习三角恒等变换专题习题附解析

高考总复习三角恒等变换专题习题附解析

高考总复习三角恒等变换专题习题附解析

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三角恒等变换专题习题

一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)

1．已知α为锐角，cosα＝，则tan＝( )

A．－3 B．－

C．－ D．－7

解析 依题意得，sinα＝，故tanα＝2，tan2α＝＝－，所以tan＝＝－.

答案 B

2．已知cos＝－，则cosx＋cos的值是( )

A．－ B．±

C．－1 D．±1

解析 cosx＋cos＝cosx＋cosx＋sinx＝cosx＋sinx＝＝cos＝－1.

答案 C

3．已知cos2θ＝，则sin4θ＋cos4θ的值为( )

A. B.

C. D．－1

解析 ∵cos2θ＝，∴sin22θ＝，∴sin4θ＋cos4θ＝1－2sin2θcos2θ＝1－(sin2θ)2＝.

答案 B

4．已知α＋β＝，则(1＋tanα)(1＋tanβ)的值是( )

A．－1 B．1

C．2 D．4

解析 ∵α＋β＝，tan(α＋β)＝＝1，

∴tanα＋tanβ＝1－tanαtanβ.

∴(1＋tanα)(1＋tanβ)＝1＋tanα＋tanβ＋tanαtanβ

＝1＋1－tanαtanβ＋tanαtanβ＝2.

答案 C

5.

(2014·成都诊断检测)如图，在平面直角坐标系xOy中，角α，β的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，若点A，B的坐标为和，则cos(α＋β)的值为( )

A．－ B．－

C．0 D.

解析 cosα＝，sinα＝，cosβ＝－，sinβ＝，cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝·(－)－·＝－.选A.

答案 A

6．若＝－，则sinα＋cosα的值为( )

2018年高考数学一轮复习专题21简单的三角恒等变换教学案理!

2018年高考数学一轮复习专题21简单的三角恒等变换教学案理!

- 1 - 专题21 简单的三角恒等变换

1.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．

2.能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).

1．公式的常见变形

(1)1＋cosα＝2cos2α2；

1－cosα＝2sin2α2；

(2)1＋sinα＝(sinα2＋cosα2)2；

1－sinα＝(sinα2－cosα2)2.

(3)tanα2＝sinα1＋cosα＝1－cosαsinα.

2．辅助角公式

asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)，

其中sinφ＝ba2＋b2，cosφ＝aa2＋b2.

高频考点一 三角函数式的化简与求值

例1、(1)化简：2cos4x－2cos2x＋122tanπ4－xsin2π4＋x＝________.

(2)已知α∈0，π2，且2sin2α－sinα²cosα－3cos2α＝0，则sinα＋π4sin2α＋cos2α＋1＝______________________________________________________________. - 2 - 答案 (1)12cos2x (2)268

解析 (1)原式＝124cos4x－4cos2x＋12³sinπ4－xcosπ4－x²cos2π4－x

＝2cos2x－124sinπ4－xcosπ4－x

＝cos22x2sinπ2－2x

＝cos22x2cos2x＝12cos2x.

【感悟提升】(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构与特征．(2)三角函数式化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点．

三角恒等变换-知识点+例题+练习

三角恒等变换-知识点+例题+练习

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文案大全

两角和与差的正弦、余弦和正切

基础梳理

1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式

(1)C(α－β)：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β；

(2)C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β；

(3)S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β；

(4)S(α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β；

(5)T(α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β；

(6)T(α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.

2．二倍角的正弦、余弦、正切公式

(1)S2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；

(2)C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；

(3)T2α：tan 2α＝2tan α1－tan2α.

3．有关公式的逆用、变形等

(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)；

(2)cos2α＝1＋cos 2α2，sin2α＝1－cos 2α2；

(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，

sin α±cos α＝2sinα±π4.

4．函数f(α)＝acos α＋bsin α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝a2＋b2sin(α＋φ)或f(α)＝a2＋b2cos(α－φ)，其中φ可由a，b的值唯一确定．

两个技巧

(1)拆角、拼角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β；β＝α＋β2实用标准文档

文案大全 －α－β2；α－β2＝α＋β2－α2＋β.

(2)化简技巧：切化弦、“1”的代换等．

三个变化

(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”．