高考三轮复习专题训练2---三角恒等变换与解三角形综合问题

1 第2讲 三角恒等变换与解三角形

高考定位 1.三角函数的化简与求值是高考的命题热点，其中关键是利用两角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式等进行恒等变换，“角”的变换是三角恒等变换的核心；2.正弦定理与余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查边、角、面积的计算及有关的范围问题.

真 题 感 悟

1.(2018²全国Ⅱ卷)在△ABC中，cos C2＝55，BC＝1，AC＝5，则AB＝(

)

A.42 B.30 C.29 D. 25

解析 因为cos C2＝55，所以cos C＝2cos2 C2－1＝2³552－1＝－35.

于是，在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC³BC³cos C＝52＋12－2³5³1³－35＝32.所以AB＝42.

答案 A

2.(2017²全国Ⅰ卷)已知α∈0，π2，tan α＝2，则cosα－π4 ＝________.

解析 ∵α∈0，π2，且tan α＝2，∴sin α＝2 cos α，

又sin 2α＋cos2α＝1，所以sin α＝255，cos α＝55.

所以cosα－π4＝22(cos α＋sin α)＝31010.

答案 31010

3.(2018²全国Ⅰ卷)在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5.

(1)求cos∠ADB；

(2)若DC＝22，求BC.

解 (1)在△ABD中，由正弦定理得BDsin∠A＝ABsin∠ADB，即5sin 45°＝2sin∠ADB，

所以sin∠ADB＝25.

由题设知，∠ADB<90°， 2 所以cos∠ADB＝1－225＝235.

(2)由题设及(1)知，cos∠BDC＝sin∠ADB＝25.

在△BCD中，由余弦定理得

BC2＝BD2＋DC2－2²BD²DC²cos∠BDC

三角恒等变换专题复习

一．要点精讲

1．两角和与差的三角函数

sincoscossin)sin(；

sinsincoscos)cos(； tantantan()1tantan。

2．二倍角公式

cossin22sin；

2222sin211cos2sincos2cos；

22tantan21tan。

3．半角公式

2cos12sin 2cos12cos

cos1cos12tan

（sincos1cos1sin2tan）

4.（1）降幂公式

2sin21cossin；22cos1sin2；22cos1cos2。

（2cos1sin22 2cos1cos22）

（2）辅助角公式

22sincossinaxbxabx，

2222sincosbaabab其中，。

5．三角函数式的化简、求值、证明

（1）三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。

（2）常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等。

（3）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数。

二．典例解析

题型1：巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如()()，2()()，2()()，22，222等），

高考数学二轮复习考点知识与题型专题讲解

第19讲 三角恒等变换与解三角形

[考情分析] 1.三角恒等变换主要考查化简、求值，解三角形主要考查求边长、角度、面积等，三角

恒等变换作为工具，将三角函数与三角形相结合考查求解最值、范围问题.2.三角恒等变换以选择题、

填空题为主，解三角形以解答题为主，中等难度．

考点一 三角恒等变换 核心提炼

1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式

(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β；

(2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β；

(3)tan(α±β)＝tan α±tan β

1∓tan αtan β.

2．二倍角的正弦、余弦、正切公式

(1)sin 2α＝2sin αcos α；

(2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；

(3)tan 2α＝2tan α

1－tan2α.

例1 (1)(2022·新高考全国Ⅱ)若sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝22cos

α＋π4sin β，则( )

A．tan(α－β)＝1

B．tan(α＋β)＝1

C．tan(α－β)＝－1

D．tan(α＋β)＝－1

答案 C 解析 由题意得sin αcos β＋cos αsin β＋cos αcos β－sin αsin β＝22

×2

2(cos α－sin α)sin β，整理，

得sin αcos β－cos αsin β＋cos αcos β＋sin αsin β＝0，即sin(α－β)＋cos(α－β)＝0，所以tan(α－β)＝－

1.

(2)(2021·全国甲卷)若α∈

0，π

2，tan 2α＝cos α

2－sin α，则tan α等于( )

A.15

15

B.5

5

C.5

3

D.15

3

答案 A

解析 方法一因为tan 2α＝sin 2α

cos 2α＝2sin αcos α

1－2sin2α，

三角恒等变换练习题一

一、选择题

1．(2014年太原模拟)已知53)2sin(,则)2(cos( )

A. 2512 B．2512 C．257 D. 257

2．若54cos,且在第二象限内，则)42cos(为( )

A．50231 B. 50231 C．50217 D. 50217

3．(2013年高考浙江卷)已知210cos2sin,R,则2tan( )

A. 34 B. 43 C．34 D．43

4．已知),0(,2cossin,则2sin( )

A．1 B．22 C. 22 D．1

5．(2014年云南模拟)已知53)4sin(x,则x2sin的值为( )

A．257 B. 257 C. 259 D. 2516

6．计算13sin43cos13cos43sin的结果等于( )

A. 21 B.33 C.22 D.23

7．函数)sin(cossin)(xxxxf的最小正周期是( )

A. 4 B. 2 C． D．2

8．(2014年郑州模拟)函数)24(2cos3)4(sin2)(2xxxxf的最大值为( )

A．2 B． 3 C．32 D．32

9.（2010理）为了得到函数sin(2)3yx的图像，只需把函数sin(2)6yx的图像( )