变量与函数
数学是一门抽象的科学，在数学里变量的概念是一个基本概念，具有统一属性且可以变化的量可称为变量，变量来源于字母代替数参加数学运算；现代数学中变量是一个可以变化（取不同数值）的量，只不过这个数值的概念不仅仅是某个数，也可以是一个数组，甚至是一个函数等等；变量的特征应该具备可计算性，即计算的结果是唯一的；本文讨论数学变量，进而讨论变量与变量间的关系；
一、度量形成变量
数学中研究的变量已经抽象了变量的自然属性，是实数集合上的变量，这样的变量可以反映具有各种背景的客观现实，数学具有超自然性，数学理论可以使用于各门学科中数量与数量关系的研究，数学不仅提供工具，更重要的是科学思想和文化；客观事物的发展变化都有其原因，数据化的客观现象更容易控制和复制，信息可以用数据刻画，搜集、整理、分析数据都需要数学思想和方法；数据来源于对客观事物的观察与度量，从而形成对客观现实的认识，对事物的度量认识可以分成四个层次；第一个层次是分类，这类层次也是最粗的度量方式，分类的结果形成了对客观现实的定性认识，不同类别间的事物有着质的区别，这一层次现在也采用了数字编码，便于数量汇总、事物识别和管理，如超市里商品的管理采用商品编码，人口的身份管理采用省份证号码等；第二个层次是排序，这一层次的度量结果不仅可以将事物分成不同的类别，而且可以按照某种顺序的结构排列先后次序，这种度量方式显然比起第一种精细，不仅可以区分事物的类别，还可以区别事物的先后；第三个层次式是定距尺度，这个尺度中就引入了数量关系，利用数量来衡量不同类别的距离，这个尺度中没有负数地概念，零也不代表着没有（如纪年的起始），如温度的度量，可以测距，不能做比较（除法运算）；第四个尺度是定比尺度，这一尺度是最精确的尺度，利用这一尺度度量出的数，不仅可以度量出距离，而且还可以进行数据的比较，由此需要引入零（代表着不存在）和负数（时光的倒流），数学家引入零和负数则使得人类对数的认识更加完善；这四个层次的信息量是由低到高，不断的精确。四个层次的测量可以对事物数量化，构成变量的基础，抽象其中的实际含义（单位），就是数的关系和运算了；数学是建立在对客观现实定比尺度的认识基础上的，抽象出一个标准单位；在这一尺度基础上可以进行数学运算，在这一层次中数学理论对实数的研究已经很精细，实数所具有的连续性、完备性、可分性十分重要。
1 1．变量与函数
（1）变量：在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量。
（2）一般的，如果在一变化过程中，有两个变量，例如x和y，对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应，我们就说x是自变量，y是因变量。此时也称y是x函数。
2、对函数概念的理解，主要抓住三点：（1）有两个变量；（2）一个变量的数值随另一个变量的数值的变化而变化；（3）自变量每确定一个值，因变量就有一个并且只有一个值与其对应。
3表示函数关系的方法
1）解析法（关系式法）：两个变量之间的关系，有时可以用一个含有这两个变量的等式表示，这种方法叫解析式法。
2）列表法
3）图像法
（4）在问题的研究过程中，还有一种量，它的取值始终保持不变，我们称之为常量。
例题：
写出下列各问题中的函数关系式，并指出常量与变量。
①圆的周长C与半径r的函数关系式。
②火车以60㎞／时的速度行驶，它驶过的路程s与所用时间的函数关系式。
③n边形的内角和的度数S与边数n的函数关系式。
（5）求函数自变量的取值范围
1．实际问题中的自变量取值范围
按照实际问题是否有意义的要求来求。
2．用数学式子表示的函数的自变量取值范围
(1)解析式为整式的，x取全体实数；(2)解析式为分式的，分母必须不等于0式子才有意义；(3)解析式的是二次根式的被开方数必须是非负数式子才有意义；(4)解析式是三次方根的，自变量的取值范围是全体实数。
3．函数值：指自变量取一个数值代入解析式求出的数值，称为函数值；实际上就是以前学的求代数式的值。
例题：
（1）求下列函数自变量x的取值范围
① y=3x+1
② 122xy
③21xy ④2xy
（2）已知等腰三角形的面积是20㎡，设它的底边长是x（米），求底边上的高y（米）关于x的函数关系式，并写出自变量的取值范围。
练习：
（1）求下列函数自变量x的取值范围
① 252yxx ②36xxy ③12xy
1 一次函数
函数基本概念
变量与常量
【基础练习】
1．甲、乙两地相距S千米，某人行完全程所用的时间t（时）与他的速度v（千米/时）满足vt=S，在这个变化过程中，下列判断中错误的是 （ ）
A.s是变量 B.t是变量 C.v是变量 D.s是变量
2.在△ABC中，它的底边是a，底边上的高为h，则三角形的面积12sah，当h为定长时，在在此关系式中（ ）
A.s、a是变量，h、12是常量 B. s、a、h是变量，12是常量
C. h、a是变量，s、12是常量 D. s是变量，a、h、12是常量
3.已知圆柱的体积公式是V=πr2h，若h为常数，则在这个公式中，变量是（ ）
A.V、π B. V、π、r C. V、r D. V、h
4.用20m长的绳子围成矩形，则矩形的面积S(m2)与矩形的一边长x（m）之间的关系式为（ ）
A.S=x(20-x) B. S=10x C. S=x(10-x) D. S=x(x-10)
5.已知a=3b-4，若用a表示b，则（ ）
A.变量为a和b，常量为3和-4 B.变量不是a和b
C.变量为13和43 D. 变量为13和43
6.八年级2班计划用150元买乒乓球，所购买的乒乓球个数m（个）与单价n（元）的关系式为150mn，其中（ ）
A.150、m是常量，n是变量 B. 150、n是常量，m是变量
C. 150是常量，m、n是变量 D.无法确定
D. 2 7. 圆柱的体积公式是V=πr2h，下列说法正确的是（ ）
A.v、r2、h是变量，π是常量 B. v、r、h是变量，π是常量
C. v、r是变量，π、h是常量 D. 式中的字母都是是变量，数字是常量
14.1变量与函数
教学目标:
1.理解变量与常量的定义，能识别一个公式中或变化过程中的变量
与常量
2.理解函数的概念和三种表示方法，并能判断给定的两个量是否成函数关系教学过程。
教学过程：
一：情境引入
探究1:票房收入问题：每张电影票的售价为10元.（1）若一场售出150张电影票，则该场的票房收入 是 元；（2）若一场售出205张电影票，则该场的票房收入是 元；（3）若设一场售出x张电影票，票房收入为 y元，则 y= 。
探究2:行程问题：汽车以60千米/小时的速度匀速行驶，行驶里程为s千米，行驶时间为t小时.请根据题意填表：
t/时 1 2 3 4 ……
S/千米
……
探究3:温度变化问题：如图是南通冬季某一天的气温Ｔ随时间t变化的图象，
（1）这天的8时的气温是 ℃，14时的气温是 ℃，22时的气温是 ℃；
（2）这一天中，最高气温是 ℃，最低气温是 ℃；
探究4:如果用r 表示圆的半径，S 表示圆的面积则S与r之间满足下列关系：S＝_________．利用这个关系式，试求出半径为1 cm、1.5 cm、2 cm、2.6 cm、3.2 cm时圆的面积，并将结果填入下表：
探究5:用10m的绳子围成长方形. 试改变长方形的长度，观察长方形的面积怎样变化. 记录不同的长方形的长度值，计算相应的长方形面积的值，探索它们的变化规律. 设长方形的长为x ，面积为S ，怎样用含 x 的式子表示 S ?
二、问题引申：
常量、变量：在一个变化过程中,发生变化的量叫做 ；始终保持不变的量叫做 ；
练习：
1．某位教师为学生购买数学辅导书，书的单价是4元，则总金额y（元）与学生数n（个）的关系式是 ,其中的变量是 ,常量是 。
