变量与函数

数学变量与函数关系

在数学中，变量和函数是两个重要的概念。变量是一个可以改变的量，而函数则是用来描述变量之间关系的工具。变量和函数之间的关系是数学中的核心内容之一，它们的研究和应用不仅在数学领域中有重要意义，也在其他学科中发挥着重要作用。

一、变量的概念与分类

变量是数学中一个基本的概念，它表示一个可以改变的量。在数学中，变量可以分为自变量和因变量。自变量是一个独立的变量，它的取值不受其他变量的影响；而因变量则是一个依赖于其他变量的变量，它的取值由自变量决定。

例如，在一次数学实验中，我们可以将自变量设定为时间，而因变量则是实验结果。通过改变时间的取值，我们可以观察到实验结果的变化。这个过程中，时间是自变量，实验结果是因变量。

二、函数的概念与表示

函数是数学中描述变量之间关系的工具。它可以将自变量的取值映射到因变量的取值。函数通常用符号表示，例如f(x)或者y=f(x)。其中，x是自变量，y是因变量，f是函数的名称。

函数可以用不同的方式表示，常见的表示方法有图表法、符号法和文字描述法。图表法是通过绘制函数的图像来表示变量之间的关系。符号法则是通过使用数学符号和公式来表示函数。文字描述法则是通过使用自然语言来描述函数的性质和变化规律。

三、变量与函数的关系

变量和函数之间存在着密切的关系。变量是函数的构成要素之一，函数的定义中必然涉及到变量。变量的取值不同，函数的取值也会有所不同。 例如，考虑一个简单的线性函数f(x) = 2x + 1。在这个函数中，x是自变量，2x

+ 1是因变量。当x取不同的值时，函数的取值也会有所不同。当x为0时，函数的取值为1；当x为1时，函数的取值为3；当x为2时，函数的取值为5，依此类推。这个例子说明了变量和函数之间的关系，即变量的取值决定了函数的取值。

四、变量与函数的应用

变量和函数的研究和应用在数学中有着广泛的应用。它们不仅在代数、几何等数学学科中发挥着重要作用，也在物理、经济等其他学科中得到了广泛的应用。

变量与函数习题精选（二）

提高卷（45分钟）

一、选择题

1．在三角形面积函数ahS21中，a＝5cm，则（）

A．S，a是变量，h21是常量

B．S，a，h是变量，21是常量

C．S，h是变量，a21是常量

D．S，h是变量，21是常量

2．下列各图象中，不能表示y是x的函数的是（）

3．下面函数中，自变量的取值范围不是全体实数的是（）

A．xy

B．1xy

C．xy

D．xy

4．下面在函数12xy的图象上的点是（）

A．（—2.5，—4）

B．（1，3）

C．（2.5，4）

D．（—1，3）

5．某产品的生产流水线每小时可生产100件产品，生产前没有产品积压，生产3h后安排工人装箱，若每小时装产品150件，未装箱的产品数量y是时间t的函数，下面能表示这个函数的图象是（）

二、填空题

6．在计算器上按图11－1－2所示的程序进行操作，那么y＝__________。

7．汽车油箱的储油量是50L，行驶中，余油量随行驶路程的增加而减少，且每行驶lkm，耗油０.１L．出发前油箱中装满了油，写出汽车油箱的余油量y（L）与汽车行驶的路程x（km）之间的函数关系__________；如果路上不再加油，汽车最多可行__________km．

8．函数1322xxy的自变量的取值范围是__________．

9．秀水村的耕地面积是10６m２：该村人均占有耕地面积y与该村人数n的函数关系是__________，自变量的取值范围是__________．

10．星期六下午，小亮到运动场上去打球，然后到小明家一起学习，做完作业后回家．图11－1－3所示为小亮下午外出活动的图象．从图上可以看出，这天下午小亮外出活动的总时间是__________h，从小亮家到运动场的路程是__________km．

三、解答题

11．求下列函数中自变量的取值范围．

（１）213xxy（２）10xy（３）10513xxxy

数学中的函数与变量

数学是一门抽象而又精确的学科，而函数和变量是数学中非常重要的概念。函数可以理解为输入和输出之间的关系，而变量则是描述这种关系的元素。在本文中，我们将深入探讨函数和变量在数学中的应用和意义。

一、函数的定义与表示

函数是数学中一个非常基础的概念，它描述了两个集合之间的依赖关系。一个函数通常被表示为f(x)，其中x是自变量，f(x)是对应的函数值，也称为因变量。函数可以用各种形式进行表示，例如：

1.显式表达式：y = f(x)

这是最常见也是最直观的函数表示形式。y表示因变量，x表示自变量，f(x)表示函数关系。例如，y = 2x表示一个线性函数，y的值是x的两倍。

2.隐式表达式：F(x, y) = 0

对于某些函数关系，不能通过显式表达式表示。在这种情况下，我们可以使用隐式函数来描述关系。例如，对于一个圆的方程x^2 + y^2

= 1，无法通过y = f(x)来表示，但可以通过F(x, y) = 0的形式来描述。

3.参数方程：x = f(t)，y = g(t)

有时，函数的自变量和因变量都可以用另外一个变量来表示。例如，一个圆可以通过参数方程x = cos(t)，y = sin(t)来表示，其中t为参数。 二、函数的特性与分类

函数在数学中具有一些重要的特性，它们可以帮助我们理解和分析函数的性质。下面是一些常见的函数特性：

1.定义域与值域

函数的定义域是自变量可以取的值的集合，值域是函数所有可能的输出值的集合。例如，对于函数y = 2x，定义域为实数集，值域为所有的实数。

2.单调性

单调性描述了函数的增减性质。一个函数可以是递增的（对于所有x1 < x2，f(x1) < f(x2)），也可以是递减的（对于所有x1 < x2，f(x1) >

f(x2)）。

3.奇偶性

奇偶性描述了函数的对称性质。一个函数如果满足f(-x) = f(x)，则该函数是偶函数；如果满足f(-x) = -f(x)，则该函数是奇函数。例如，函数y = x^2是偶函数，y = x^3是奇函数。

1 1．变量与函数

（1）变量：在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量。

（2）一般的，如果在一变化过程中，有两个变量，例如x和y，对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应，我们就说x是自变量，y是因变量。此时也称y是x函数。

2、对函数概念的理解，主要抓住三点：（1）有两个变量；（2）一个变量的数值随另一个变量的数值的变化而变化；（3）自变量每确定一个值，因变量就有一个并且只有一个值与其对应。

3表示函数关系的方法

1）解析法（关系式法）：两个变量之间的关系，有时可以用一个含有这两个变量的等式表示，这种方法叫解析式法。

2）列表法

3）图像法

（4）在问题的研究过程中，还有一种量，它的取值始终保持不变，我们称之为常量。

例题：

写出下列各问题中的函数关系式，并指出常量与变量。

①圆的周长C与半径r的函数关系式。

②火车以60㎞／时的速度行驶，它驶过的路程s与所用时间的函数关系式。

③n边形的内角和的度数S与边数n的函数关系式。

（5）求函数自变量的取值范围

1．实际问题中的自变量取值范围

按照实际问题是否有意义的要求来求。

2．用数学式子表示的函数的自变量取值范围

(1)解析式为整式的，x取全体实数；(2)解析式为分式的，分母必须不等于0式子才有意义；(3)解析式的是二次根式的被开方数必须是非负数式子才有意义；(4)解析式是三次方根的，自变量的取值范围是全体实数。

3．函数值：指自变量取一个数值代入解析式求出的数值，称为函数值；实际上就是以前学的求代数式的值。

例题：

（1）求下列函数自变量x的取值范围

① y=3x+1

② 122xy

③21xy ④2xy

（2）已知等腰三角形的面积是20㎡，设它的底边长是x（米），求底边上的高y（米）关于x的函数关系式，并写出自变量的取值范围。

练习：

（1）求下列函数自变量x的取值范围

① 252yxx ②36xxy ③12xy