高三数学二轮专题一第4讲不等式及线性规划

1

第四讲不等式及线性规划

1．(1)若ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根x1和x2(x1

ax2＋bx＋c>0(a>0)的解为{x|x>x2或x

ax2＋bx＋c<0(a>0)的解为{x|x1

(2)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的条件是a>0，Δ<0.

(3)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的条件是a<0，Δ<0.

2．(1)ab≤a＋b22(a，b∈R)；

(2) a2＋b22≥a＋b2≥ab≥2aba＋b(a>0，b>0)；

(3)不等关系的倒数性质

a>bab>0⇒1a<1b；

(4)真分数的变化性质

若00，则nm

(5)形如y＝ax＋bx(a>0，b>0)，x∈(0，＋∞)取最小值时，ax＝bx⇒x＝ba，即“对号函数”单调变化的分界点；

(6)a>0，b>0，若a＋b＝P，当且仅当a＝b时，ab的最大值为P22；若ab＝S，当且仅当a＝2

b时，a＋b的最小值为2S.

3．不等式y>kx＋b表示直线y＝kx＋b上方的区域；y

4．绝对值不等式：|x|＞a(a＞0)⇔x＞a或x＜－a，

|x|＜a(a＞0)⇔－a＜x＜a.

小题速解——不拘一格 优化方法

考点一 不等式性质及求解

[典例1] (1)设x、y、z为正数，且2x＝3y＝5z则( )

A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y

C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z

通解：令t＝2x＝3y＝5z，

∵x、y、z为正数，∴t＞1.

则x＝log2t＝lg tlg 2，同理y＝lg tlg 3，z＝lg tlg 5.

∴2x－3y＝2lg tlg 2－3lg tlg 3＝lg t（2lg 3－3lg 2）lg 2×lg 3＝lg t（lg 9－lg 8）lg 2×lg 3＞0

∴2x＞3y.

又∵2x－5z＝2lg tlg 2－5lg tlg 5＝lg t（2lg 5－5lg 2）lg 2×lg 5＝lg t（lg 25－lg 32）lg 2×lg 5＜0

1专题一函数与导数、不等式第4讲导数与函数的切线及函数零点

问题练习

一、选择题

1.曲线y

＝x

ex

＋1在点(0，1)处的切线方程是()

A.x

－y

＋1＝0B.2x

－y

＋1＝0

C.x

－y

－1＝0D.x

－2y

＋2＝0

解析y

′＝ex

＋x

ex

＝(x

＋1)ex

，

y

′|

x＝0＝1，∴所求切线方程为：x

－y

＋1＝0.

答案A

2.(2016·南昌模拟)曲线y

＝e－2x

＋1在点(0，2)处的切线与直线y

＝0和y

＝x

围成的三角

形的面积为()

A.1

3B.1

2

C.2

3D.1

解析因为y

′＝－2e－2x

，∴曲线在点(0，2)处的切线斜率k

＝－2，

∴切线方程为y

＝－2x

＋2，该直线与直线y

＝0和y

＝x

围成的三角

形如图所示，其中直线y

＝－2x

＋2与y

＝x

的交点为

A2

3

，23，所以

三角形面积S

＝1

2×1×2

3＝1

3.

答案A

3.(2016·洛阳模拟)曲线y

＝x

lnx

在点(e，e)处的切线与直线x

＋ay＝1垂直，则实数a

的值为()

A.2B.－2

C.1

2D.－1

2

解析依题意得y

′＝1＋lnx

，y

′|

x＝e＝1＋lne＝2，所以－1

a×2＝－1，所以a

＝2，故

选A.

答案A

4.已知y

＝f

(x

)为R上的可导函数，当x

≠0时，f

′(x

)＋f

（x

）

x＞0，若g

(x

)＝f

(x

)＋

1

x，

则函数g

(x

)的零点个数为()

2A.1B.2

C.0D.0或2

解析令h

(x

)＝xf

(x

)，因为当x

≠0时，xf

′（x

）＋f

（x）

x＞0，所以h

′（x）

x＞0，因

此当x

＞0时，h

′(x

)＞0，当x

＜0时，h

′(x

)＜0，又h

(0)＝0，易知当x

≠0时，h

(x

)

＞0，又g

(x

)＝h

（x）＋1

x，所以g

(x

)≠0，故函数g

(x

)的零点个数为0.

答案C

5.已知e是自然对数的底数，函数f

(x

)＝ex

＋x

－2的零点为a

，函数g

(x

)＝lnx

＋x

－2

的零点为b

，则下列不等式中成立的是()

A.f

(a

)＜f

(1)＜f

(b

)B.f

(a

)＜f

(b

)＜f

(1)

C.f

(1)＜f

(a

)＜f

(b

)D.f

(b

第 1 页 共 7 页 选考部分

第二讲：不等式选讲

1．（2010·江苏高考·Ｔ１2）设x,y为实数，满足3≤2xy≤8，4≤yx2≤9，则43yx的最大值是 ．

【命题立意】本题考查不等式的基本性质，等价转化思想．

【思路点拨】322421()xxyyxy

【规范解答】22()[16,81]xy，2111[,]83xy，322421()[2,27]xxyyxy，43yx的最大值是27．

【答案】27．

2．（2010·浙江高考文科·Ｔ15）若正实数,xy，满足26xyxy，则xy的最小值是 ．

【命题立意】本题主要考察了用基本不等式解决最值问题的能力 ，以及换元思想和简单一元二次不等式的解法，属中档题．

【思路点拨】本题可利用均值不等式构造出关于xy的不等式，解出xy的范围．

【规范解答】运用基本不等式，62262xyyxxy，令2txy，可得06222tt，注意到t＞0，解得t≥23,故xy的最小值为18．【答案】18．

【方法技巧】均值不等式有两个常用变形：（1）当和为定值时，积有最大值，即2()2abab；（2）当积为定值时，和有最小值，即2abab．

3．（2010·四川高考理科·Ｔ12）设0abc，则221121025()aaccabaab的最小值是（ ）.

（A）2 （B）4 （C） 25 （D）5

【命题立意】本题考查创造条件，利用均值不等式求最值问题及完全平方公式.但要注意取等号成立时的条件.

【思路点拨】本题多个和的最小值，故可选用基本不等式，为了使积为定值，故需对原式进行配凑，原则是出现1abab，1()()aabaab，2221025(5)aaccac.因多个等号同时成立，注意等号成立的条件. 第 2 页 共 7 页 【规范解答】选B .原式222111025()aaababaccabaab

高考数学二轮复习第一部分专题一第四讲不等式教案

- 1 - / 8 第四讲 不等式

[考情分析]

1．选择、填空题中的考查以简单的线性规划与不等式性质为主，重点求目标函数的最值，有时也与其他知识交汇考查；2.基本不等式求最值及应用在课标卷考试中是低频点，很少考查；3.不等式的解法多与集合、函数、解析几何、导数交汇考查.

年份 卷别 考查角度及命题位置

2017 Ⅰ卷 线性规划求最值·T7

Ⅱ卷 线性规划求最值·T7

Ⅲ卷 线性规划求范围·T5

2016 Ⅰ卷 不等式比较大小、函数的单调性·T8

线性规划的实际应用·T16

Ⅱ卷 一元二次不等式的解法、集合的交集运算·T1

线性规划求最值·T14

Ⅲ卷 不等式比较大小、函数的单调性·T7

线性规划求最值·T13

2015 Ⅰ卷 线性规划求最值·T15

Ⅱ卷 线性规划求最值·T14

[真题自检]

1．(2017·高考全国卷Ⅰ)设x，y满足约束条件 x＋3y≤3，x－y≥1，y≥0，则z＝x＋y的最大值为( )

A．0 B．1

C．2 D．3

解析：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，平移直线y＝－x，当直线经过点A(3,0)时，z＝x＋y取得最大值，此时zmax＝3＋0＝3.故选D.

答案：D 高考数学二轮复习第一部分专题一第四讲不等式教案

- 2 - / 8 2．(2017·高考全国卷Ⅱ)设x，y满足约束条件 2x＋3y－3≤0，2x－3y＋3≥0，y＋3≥0，则z＝2x＋y的最小值是( )

A．－15 B．－9

C．1 D．9

解析：依题意，在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域及直线2x＋y＝0(图略)，平移直线y＝－2x，当直线经过点(－6，－3)时，z＝2x＋y取得最小值，zmin＝2×(－6)＋(－3)＝－15，选A.

答案：A

3．(2017·高考全国卷Ⅲ)设x，y满足约束条件 3x＋2y－6≤0，x≥0，y≥0，则z＝x－y的取值范围是( )