高考二轮复习第4讲 不等式及线性规划
- 格式：docx
- 大小：576.97 KB
- 文档页数：31
1
第四讲不等式及线性规划
1．(1)若ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根x1和x2(x1
ax2＋bx＋c>0(a>0)的解为{x|x>x2或x
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解为{x|x1
(2)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的条件是a>0，Δ<0.
(3)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的条件是a<0，Δ<0.
2．(1)ab≤a＋b22(a，b∈R)；
(2) a2＋b22≥a＋b2≥ab≥2aba＋b(a>0，b>0)；
(3)不等关系的倒数性质
a>bab>0⇒1a<1b；
(4)真分数的变化性质
若00，则nm
(5)形如y＝ax＋bx(a>0，b>0)，x∈(0，＋∞)取最小值时，ax＝bx⇒x＝ba，即“对号函数”单调变化的分界点；
(6)a>0，b>0，若a＋b＝P，当且仅当a＝b时，ab的最大值为P22；若ab＝S，当且仅当a＝2
b时，a＋b的最小值为2S.
3．不等式y>kx＋b表示直线y＝kx＋b上方的区域；y
4．绝对值不等式：|x|＞a(a＞0)⇔x＞a或x＜－a，
|x|＜a(a＞0)⇔－a＜x＜a.
小题速解——不拘一格 优化方法
考点一 不等式性质及求解
[典例1] (1)设x、y、z为正数，且2x＝3y＝5z则( )
A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y
C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z
通解：令t＝2x＝3y＝5z，
∵x、y、z为正数，∴t＞1.
则x＝log2t＝lg tlg 2，同理y＝lg tlg 3，z＝lg tlg 5.
∴2x－3y＝2lg tlg 2－3lg tlg 3＝lg t（2lg 3－3lg 2）lg 2×lg 3＝lg t（lg 9－lg 8）lg 2×lg 3＞0
∴2x＞3y.
又∵2x－5z＝2lg tlg 2－5lg tlg 5＝lg t（2lg 5－5lg 2）lg 2×lg 5＝lg t（lg 25－lg 32）lg 2×lg 5＜0
∴2x＜5z，∴3y＜2x＜5z，故选D.
优解：由2x＝3y＝5z，取以2为底的对数得， 3
log22x＝log23y，∴x＝ylog23，∴2x＝y·lg29＞y·log28
∴2x＞3y，同理2x＝z·log252＜zlog232＝5z，
∴3y＜2x＜5z.
答案：D
(2)设函数f(x)＝x＋1，x≤0，2x，x>0，则满足f(x)＋fx－12>1的x的取值范围是________．
解析：由题意知，可对不等式分x≤0，012三段讨论．
当x≤0时，原不等式为x＋1＋x＋12>1，解得
x>－14，∴－14
当01，显然成立．
当x>12时，原不等式为2x＋2x－12>1，显然成立．
综上可知，x>－14.
答案：－14，＋∞
1．不等式的求解技巧 4
(1)对于和函数有关的不等式，可利用函数的单调性进行转化，分段函数需分段讨论求解．
(2)求解一元二次不等式的步骤：第一步，二次项系数化为正数；第二步，解相应的一元二次方程；第三步，若有两个不相等的实根，则利用“大于在两边，小于夹中间”得不等式的解集．
(3)含参数的不等式的求解，要对参数进行分类讨论．
2．比较数的大小
(1)与函数有关的值可借助函数单调性．
(2)作差法或作商法．
(3)插值法：插入0，分出正、负；插入1，分出比1大和比1小．
核心素养：此类题既考查基础(不等式的基本性质、基本转化、基本运算)；又考查不等式知识的综合运用能力．
[自我挑战]
1．已知实数x，y满足ax
A.1x2＋1＞1y2＋1 B．ln(x2＋1)＞ln(y2＋1)
C．sin x＞sin y D．x3＞y3
解析：选D.根据指数函数的性质得x＞y，此时x2，y2的大小不确定，故选项A、B中的不等式不恒成立；根据三角函数的性质知，选项C中的不等式也不恒成立；根据不等式的性质知，选项D中的不等式恒成立．
2．(2018·高考天津卷)设x∈R，则“x3＞8”是“|x|＞2”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A.由x3＞8可得x＞2，∴|x|＞2.由|x|＞2可得x＞2或x＜－2.∴x3＞8或x3＜－8.故“x3＞8”是“|x|＞2”的充分而不必要条件．故选A.
考点二 基本不等式及应用
[典例2] (1)设x＞0，则函数y＝x＋22x＋1－32的最小值为( )
A．0 B．12 5
C．1 D．32
解析：∵x＞0，∴x＋12＞0，∴y＝x＋22x＋1－32＝x＋12＋1x＋12－2≥2 x＋12×1x＋12－2＝0.
当且仅当x＋12＝1x＋12，即x＝12时等号成立．
所以函数的最小值为0，故选A.
答案：A
(2)当0＜m＜12时，若1m＋21－2m≥k2－2k恒成立，则实数k的取值范围为( )
A．[－2，0)∪(0，4] B．[－4，0)∪(0，2]
C．[－4，2]
D．[－2，4]
解析：因为0＜m＜12，所以2m＞0，1－2m＞0
所以12×2m×(1－2m)≤12×2m＋（1－2m）22＝18当且仅当2m＝1－2m，即m＝14时取等号，所以1m＋21－2m＝1m（1－2m）≥8，又1m＋21－2m≥k2－2k恒成立，所以k2－2k－8≤0，所以－2≤k≤4.所以实数k的取值范围是[－2，4]．故选D.
答案：D
(3)(2018·高考天津卷)已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋18b的最小值为________．
解析：由题意知a－3b＝－6，因为2a＞0，8b＞0，所以2a＋18b≥2× 2a×18b＝2×2a－3b＝14，当且仅当2a＝18b，即a＝－3b，a＝－3，b＝1时取等号．
答案：14
6
1．常数代换法求最值的关键在于常数的变形，利用此方法求最值应注意以下三个方面：(1)注意条件的灵活变形，确定或分离出常数，这是解题的基础；(2)将常数化成“1”，这是代数式等价变形的基础；(3)利用基本不等式求解最值时要满足“一正、二定、三相等”，否则容易出现错解．
2．拼凑法就是将代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．此方法适用于已知某些变量的等式，求解相关代数式的最值问题，或已知函数解析式，求函数的最值问题．
核心素养：此类题重在考查学生逻辑推理，数学运算的素养．考查运用基本知识的技能．
[自我挑战]
3．已知函数f(x)＝x＋ax＋2的值域为(－∞，0]∪[4，＋∞) ，则a的值是( )
A.12 B．32
C．1 D．2
解析：选C.由题意可得a＞0，①当x＞0时，f(x)＝x＋ax＋2≥2a＋2，当且仅当x＝a时取等号；②当x＜0时，f(x)＝x＋ax＋2≤－2a＋2，当且仅当x＝－a时取等号．所以2－2a＝0，2a＋2＝4，解得a＝1，故选C.
4．若直线xa＋yb＝1(a>0，b>0)过点(1，1)，则a＋b的最小值等于( ) 7
A．2 B．3
C．4 D．5
通解：选C.因为直线xa＋yb＝1(a＞0，b＞0)过点(1，1)，所以1a＋1b＝1.所以a＋b＝(a＋b)·1a＋1b＝2＋ab＋ba≥2＋2ab·ba＝4，当且仅当a＝b＝2时取“＝”，故选C.
优解：如图a，b分别是直线xa＋yb＝1在x，y轴上的截距，A(a，0)，B(0，b)，当a→1时，b→＋∞，当b→1时，a→＋∞，只有点(1，1)为AB的中点时，a＋b最小，此时a＝2，b＝2，∴a＋b＝4.
考点三 求线性规划中线性目标函数的最值
[典例3] (1)设x，y满足约束条件3x＋2y－6≤0，x≥0，y≥0，则z＝x－y的取值范围是( )
A．[－3，0] B．[－3，2]
C．[0，2] D．[0，3]
通解：画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示． 8
由题意可知，当直线y＝x－z过点A(2，0)时，z取得最大值，即zmax＝2－0＝2；当直线y＝x－z过点B(0，3)时，z取得最小值，即zmin＝0－3＝－3.所以z＝x－y的取值范围是[－3，2]．故选B.
优解：直线与x轴，y轴的交点分别为(2，0)，(0，3)．代入z＝x－y中得z＝2，z＝－3.
即zmax＝2，zmin＝－3.故选B.
答案：B
(2)设x，y满足约束条件x＋2y≤1，2x＋y≥－1，x－y≤0，则z＝3x－2y的最小值为________．
通解：作出可行域如图阴影部分所示．
9
由z＝3x－2y，得y＝32x－z2.
作出直线l0：y＝32x，并平移l0，知当直线y＝32x－z2过点A时，z取得最小值．
由x＋2y－1＝0，2x＋y＋1＝0，得A(－1，1)，
∴zmin＝3×(－1)－2×1＝－5.
优解：由x＋2y－1＝02x＋y＋1＝0得A(－1，1)，
由2x＋y＋1＝0x－y＝0得B－13，－13，
由x－y＝0，x＋2y－1＝0得C13，13，
分别代入z＝3x－2y中得zA＝－5.
zB＝3×－13＋23＝－13.
zC＝3×13－23＝13，∴zmin＝－5.
答案：－5
(3)设x，y满足约束条件2x＋3y－3≤0，2x－3y＋3≥0，y＋3≥0，则z＝2x＋y的最小值是( )
A．－15 B．－9
C．1 D．9
解析：根据线性约束条件画出可行域，如图阴影部分所示．
