高考数学二轮复习 专题一 第2讲 不等式及线性规划课件

第2讲　不等式及线性规划

高考定位　不等式的性质、求解、证明及应用是每年高考必考的内容，对不等

式的考查一般以选择题、填空题为主．(1)主要考查不等式的求解、利用基本不

等式求最值及线性规划求最值；(2)不等式相关的知识可以渗透到高考的各个知

识领域，往往作为解题工具与数列、函数、向量相结合，在知识的交汇处命题，

难度中档；在解答题中，特别是在解析几何中求最值、范围或在解决导数问题时经常利用不等式进行求解，但难度偏高．

真 题 感 悟

1．(2015·重庆卷)“x＞1”是“log(x＋2)＜0”的( )12

A．充要条件 B．充分而不必要条件

C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件

解析　由x＞1⇒x＋2＞3⇒log(x＋2)＜0，log(x＋2)＜0⇒x＋2＞1⇒x＞－1，故1212

“x＞1”是“log(x＋2)＜0”成立的充分不必要条件．因此选B.12

答案　B

2．(2015·北京卷)若x，y满足则z＝x＋2y的最大值为( ){x－y≤0，x＋y≤1，x≥0，)

A．0 B．1 C. D．232

解析　可行域如图所示．目标函数化为y＝－x＋z，1212

当直线y＝－x＋z过点A(0，1)时，z取得最大值2.1212

答案　D

3．(2015·陕西卷)设f(x)＝ln x，0＜a＜b，若p＝f()，q＝f，r＝(f(a)ab(a＋b2)12

＋f(b))，则下列关系式中正确的是( )

A．q＝r＜p B．q＝r＞p

C．p＝r＜q D．p＝r＞q解析　∵0＜a＜b，∴＞，a＋b2ab

又∵f(x)＝ln x在(0，＋∞)上为增函数，

故f＞f()，即q＞p.(a＋b2)ab

又r＝(f(a)＋f(b))＝(ln a＋ln b)1212

＝ln a＋ln b＝ln(ab)＝f()＝p.121212ab

故p＝r＜q.选C.

答案　C

4．(2015·全国Ⅰ卷)若x，y满足约束条件则的最大值为{x－1≥0，x－y≤0，x＋y－4≤0，)yx

1 专题限时集训(三)B

[第3讲 不等式与线性规划、计数原理与二项式定理]

(时间：30分钟)

1．若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是( )

A．[0，2]

B．[－2，0]

C．[－2，＋∞)

D．(－∞，－2]

2．已知z＝2x＋y，x，y满足约束条件y≥x，x＋y≤2，x≥m，且z的最大值是最小值的4倍，则m的值是( )

A.17 B.16

C.15 D.14

3．已知(1－ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝( )

A．4 B．3

C．2 D．1

4．从0，1，2，3中任取三个数字，组成无重复数字的三位数中，偶数的个数是________．(用数字回答)

5．若存在实数x，y使不等式组x－y≥0，x－3y＋2≤0，x＋y－6≤0与不等式x－2y＋m≤0都成立，则实数m的取值范围是( )

A．m≥0 B．m≤3

C．m≥1 D．m≥3

6．在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组2x－y－2≥0，x＋2y－1≥0，3x＋y－8≤0所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为( )

A．2 B．1

C．－13 D．－12

7．设x，y∈R，a>1，b>1，若ax＝by＝2，a＋b＝4，则2x＋1y的最大值为( )

A．3 B．3 2

C．4 D．4 2

8．某班同学准备参加学校在寒假里组织的“社区服务”“进敬老院”“参观工厂”“民俗调查”“环保宣传”五个项目的社会实践活动，每天只安排一项活动，并要求在周一至周五内完成．其中“参观工厂”与“环保宣讲”两项活动必须安排在相邻两天，“民俗调查”

2 活动不能安排在周一．则不同安排方法的种数是( )

A．48

B．24

C．36

D．64

9．已知实数x，y满足y2－x≤0，x＋y≤2，则2x＋y的最小值，最大值分别为( )

第 1 页 共 7 页 选考部分

第二讲：不等式选讲

1．（2010·江苏高考·Ｔ１2）设x,y为实数，满足3≤2xy≤8，4≤yx2≤9，则43yx的最大值是 ．

【命题立意】本题考查不等式的基本性质，等价转化思想．

【思路点拨】322421()xxyyxy

【规范解答】22()[16,81]xy，2111[,]83xy，322421()[2,27]xxyyxy，43yx的最大值是27．

【答案】27．

2．（2010·浙江高考文科·Ｔ15）若正实数,xy，满足26xyxy，则xy的最小值是 ．

【命题立意】本题主要考察了用基本不等式解决最值问题的能力 ，以及换元思想和简单一元二次不等式的解法，属中档题．

【思路点拨】本题可利用均值不等式构造出关于xy的不等式，解出xy的范围．

【规范解答】运用基本不等式，62262xyyxxy，令2txy，可得06222tt，注意到t＞0，解得t≥23,故xy的最小值为18．【答案】18．

【方法技巧】均值不等式有两个常用变形：（1）当和为定值时，积有最大值，即2()2abab；（2）当积为定值时，和有最小值，即2abab．

3．（2010·四川高考理科·Ｔ12）设0abc，则221121025()aaccabaab的最小值是（ ）.

（A）2 （B）4 （C） 25 （D）5

【命题立意】本题考查创造条件，利用均值不等式求最值问题及完全平方公式.但要注意取等号成立时的条件.

【思路点拨】本题多个和的最小值，故可选用基本不等式，为了使积为定值，故需对原式进行配凑，原则是出现1abab，1()()aabaab，2221025(5)aaccac.因多个等号同时成立，注意等号成立的条件. 第 2 页 共 7 页 【规范解答】选B .原式222111025()aaababaccabaab

1 第2讲 不等式与线性规划

考情解读 1.在高考中主要考查利用不等式的性质进行两数的大小比较、一元二次不等式的解法、基本不等式及线性规划问题．基本不等式主要考查求最值问题，线性规划主要考查直接求最优解和已知最优解求参数的值或取值范围问题.2.多与集合、函数等知识交汇命题，以选择、填空题的形式呈现，属中档题．

1．四类不等式的解法

(1)一元二次不等式的解法

先化为一般形式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，再求相应一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集．

(2)简单分式不等式的解法

①变形⇒fxgx>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)；

②变形⇒fxgx≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.

(3)简单指数不等式的解法

①当a>1时，af(x)>ag(x)⇔f(x)>g(x)；

②当0ag(x)⇔f(x)

(4)简单对数不等式的解法

①当a>1时，logaf(x)>logag(x)⇔f(x)>g(x)且f(x)>0，g(x)>0；

②当0logag(x)⇔f(x)0，g(x)>0.

2．五个重要不等式

(1)|a|≥0，a2≥0(a∈R)．

(2)a2＋b2≥2ab(a、b∈R)．

(3)a＋b2≥ab(a>0，b>0)．

(4)ab≤(a＋b2)2(a，b∈R)．

(5) a2＋b22≥a＋b2≥ab≥2aba＋b(a>0，b>0)．

3．二元一次不等式(组)和简单的线性规划

(1)线性规划问题的有关概念：线性约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等．

2 (2)解不含实际背景的线性规划问题的一般步骤：①画出可行域；②根据线性目标函数的几何意义确定最优解；③求出目标函数的最大值或者最小值．

4．两个常用结论

(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的条件是 a>0，Δ<0.