5.7.2准静态场的边值问题+-+例题-5-7-1

n 1
( An ' cos K n x Bn ' sin K n x)(Cn ' chKn y Dn ' shKn y )
n 1
4）利用给定边界条件确定积分常数，最终得到电位函数的解。 a ) y轴 x 0 0 y a 0
b ) x轴 y 0 0 x a 0 0 C0 0 Cn 0 Cn c) x a 0 y a 0 B0 0 Bn 0
400
1 n n sin xsh y n1 nshn a a

接地金属槽内的等位线分布
(n 1, 3, 5 )
三、分离变量法：柱坐标系中
电位微分方程在圆柱坐标系中的展开式为
1 1 2 2 2 0 r 2 2 r r r r z
( ) A sin m B cosm
考虑到 k m，以及变量 的方程式，则前述方程可表示为
1 d dR m 2 1 d 2 Z 0 r 2 2 Rr dr dr r Z dz
三、分离变量法：柱坐标系中
上式左边第一项仅为变量 r 的函数，第二项仅为变量 z 的函数，因
(6 )
(7 )
1 d 21 2 K n 1 dx2
1 d 2 2 2 K n 2 dy2
Kn 2 0
(8)
3）解常微分方程，将各特解线性叠加得通解。
1 ( x) 2 ( y) ( A0 B0 x)(C0 D0 y)
( An chKn x Bn shKn x)(Cn cos K n y Dn sin K n y )
1 d 2 2 k d 2

解法的优缺点
分离变量法的优点是简单易行，适用于具有多个变量 的偏微分方程。但是，该方法要求边界条件和初始条
件相互独立，且解的形式较为复杂。
有限差分法的优点是简单直观，适用于各种形状的求 解区域。但是，该方法精度较低，且对于复杂边界条
件的处理较为困难。
有限元法的优点是精度较高，适用于各种形状的求解 区域和复杂的边界条件。但是，该方法计算量大，且
05 实例分析
实例一：简单电场的边值问题求解
总结词
通过一个简单的电场边值问题，介绍如 何运用数学方法求解静态场的边值问题 。
VS
详细描述
选取一个简单的电场模型，如平行板电容 器间的电场，通过建立微分方程和边界条 件，采用有限差分法或有限元法进行数值 求解，得出电场分布的解。
实例二：复杂电场的边值问题求解
恒定磁场与准静态场的定义与特性
恒定磁场
磁场强度不随时间变化的磁场。
准静态场
接近静态场的动态场，其特性随 时间缓慢变化。
特性
恒定磁场与准静态场均不产生电 磁波，具有空间稳定性和时间恒
定性。
恒定磁场与准静态场的边值问题
边值问题
描述场域边界上物理量（如电场强度、磁场强度）的约束条件。
解决边值问题的方法
静电屏蔽
在静电屏蔽现象中，静态 场用于解释金属屏蔽壳对 内部电荷或电场的隔离作 用。
高压输电
在高压输电线路中，静态 场用于分析电场分布和绝 缘性能。
02 边值问题的解法
定义与分类
定义
边值问题是指在一定的边界条件下，求解微分方程或积分方程的问题。在电磁场理论中，边值问题通常涉及到电 场、磁场和波的传播等物理量的边界条件。
特性
空间均匀性

r
O
d
P(r, ) R q
处理方法：电位叠加原理：
1、先假设导体球面接地，则球面上存在电量为q' 的感应电荷， 镜像电荷可采用前面的方法确定q a q, d。 a2 2、为了满足电荷守恒原理。断开接地d线，将电d量为-q'的电荷加 到导体球面上，使这些电荷均匀分布在球面上，使导体球为等势 体，且表面总电荷为零。
l′
2 x2 (z h)2
均匀带电直线的电位分布
z 0，R R z0 0
l ln R C l ln R0
2
2 R
显然，满足边界条件。所以，原问题不变，所得的解是正确的。
11
第3 章
例3. 点电荷对相交半无限大接地导体平面的镜像 如图所示，两个相互垂直相连的半无限大接地导体平板，点
像把导体平面抽走一样，用两点电荷的场叠加计算。
7
第3 章
解：用一个处于镜像位置的点电荷代替导体边界的影响， 则z>0空间任一点 P 的电位由 q 及 q' 共同产生，即
q q 1 (
q

q
)
4π0 r 4π0 r 4π0 x2 y2 (z h)
x2 y2 (z h)2
l
2π
r r er
以r 0 为参考点，则电位

r r0
Edr

l 2π
ln

r0 r


l 2π
ln
1 r

C
1）长直线电荷与接地的长直圆柱导体平行，求圆柱外电位分布
在圆柱与线电荷之间，在圆柱内离轴线的距离b 处，平行放置一
根镜像线电荷 ， 代替圆柱导体上的感应电荷.

1．差分原理 有限差分法将连续场域内的问题转化为离散系统的问 题，通过离散化模型上各离散点的数值解来逼近连续 场域内的真实解。 2. 差分表示法 对于函数f(x)，当独立变量x有一微小增量x＝h时， 相应f(x)的增量为： f (x) = f (x+h) - f (x)
第四章 静态场边值
问题的解法
在无源区，二维静电场的电位满足拉普拉斯方 程，即二维静电场的电位可用解析函数的实部或 虚部表示。 对于解析函数 w(z) u(x, y) jv(x, y) 曲线簇 u(x, y) C1 和曲线簇 v(x, y) C2 处处相互正交 。即任意解析函数的实部和虚部均满足二维拉普 拉斯方程，且实部和虚部的等值线相互垂直。
v
v
Ex x , Ey y
如图所示，通过曲面的电通量为
v v
E dS (Exdy Eydx) ( x dy y dx)


(
u y
dy

u x
dx)


du
第四章 静态场边值
问题的解法
BE
y
dl dS
导体
E
A x 电通量函数
V
V
s () ds
即

s
ds n
(2 )dV = ds
V
s n
第四章 静态场边值
问题的解法
2 格林第二公式
(2 2)dV = ( )ds
V
s n n
4.2.2 唯一性定理
对任意的静电场,当空间各点的电荷分布与整个
第四章 静态场边值
问题的解法
4.2 唯一性定理
4.2.1 格林公式

方程（4-47）的通解为

(Amr m Bmr (m1) )Pm (cos ) m0
（4-52）
该式的系数由问题的边界条件确定。
勒让德多项式的前几项 ：
P0 (x) 1 P1(x) x cos

P2 (x)

1 2
(3x2
1)
(
)

0
（4-27）
f
r (r)
r

r
f (r) r


2

0
1.当 0 时，（4-27）的解为
（4-28）
g() A0 B0
2.当 0 时，（4-27）的解为
g() Asin() Bcos()
如果所讨论的空间包含从0→2，因为 必须是单值 的，即，
（4-30） （4-31）
1.当 n 0 时，（4-31）式的解为
f (r) C0 ln r D0
2.当 n 0 时，（4-31）式的解为
f (r) Cnr n Dnr n
（4-32）
圆柱坐标中二维场的的通解
由于

(r,) ( A0 B0 )(C0 ln r D0 ) [ An cos(n) Bn sin(n)](Cnrn Dnrn ) n1
静态场边值问题解满足3个条件：
(1) 对于场域的内点（既非边界点又不在媒质分界面 上的点）泛定方程成立；
(2) 在不同媒质分界面的两侧，场量（或位函数）边 值关系（衔接条件）成立；
(3) 对于场域的边界点，场量（或其位函数）符合 给定的边界条件。
边值型问题的分类方法
（以电位函数的泊松方程为例）

2
★三类边值问题 ——对应的三类边界条件
第一类：已知整个边界面上的位函数；
第二类：已知整个边界面上的位函数的法向导数;
第三类：已知一部分边界面上的位函数值， 和另一部分边界面上位函数的法向导数。
3
§5.1 静态场边值问题的基本概念
一、静态电磁场的方程
二、三类边值问题 三、基本计算方法
4
§5.1 静态场边值问题的基本概念
第三类：已知一部分边界面上的位函数值， 和另一部分边界面上位函数的法向导数。（1分）
18
8
★三类边界条件
第一类：
已知位函数在整个边界面上的
亦即：
已知 | f1 (S )，S为边界上的点。
9
第二类：
已知位函数在整个边界面上的法向导数。
（即：已知整个边界面上的位函数的法向导数）
亦即：
f 2 (S ) | n
10
第三类：
第五章 静态场的边值问题
§5.1 静态场边值问题的基本概念
§5.2 唯一性定理和解的叠加原理
§5.3 镜像法 §5.4 分离变量法
§5.5 有限差分法
第五章 静态场的边值问题
§5.1 静态场边值问题的基本概念
§5.2 唯一性定理和解的叠加原理
§5.3 镜像法 §5.4 分离变量法
§5.5 有限差分法
一、静态电磁场的方程 二、三类边值问题 三、基本计算方法
5
一、静态电磁场的方程
静 电 场：由电 荷（通量源）激发
恒定磁场：由恒定电流（涡旋源）激发
静态电磁场与时间无关，属于时不变场， 具有相同的基本特性： 数学上满足同一类方程（Poisson方程）
/ 2 A J

a
xsh
n
a
b
U (x) U0
( x, b)
U0

n1
Dn
sin
n
a
xsh
n
a
b
因上式右边为三角函数级数,要确定 Dn ,
其左边也应展开成三角函数级数,亦称
傅里叶级数,再比较其系数即可确定 Dn .
(n 1,2,3)
(５-２-２７)
(x) 0
2019/7/3
１、分离变量法： (x, y, z; r, ,z; r, , )
F(x, y, z) f (x) g(y)h(z)
２、分离变量法的一般步骤：
由给定边界条件，选择适当的坐标系，并写 出该坐标系的拉氏（泊松）方程的表示式。
2019/7/3
5
电磁场理论
第五章
把待求的位函数用分离变量法表示出来；
ay
ky2
n
a

0

(
n
a
)
2

(
ja
y
)
(n 1,2,3)
2
１３ (５-２-２５)
故
g( y)

n
Bn sh
n1
a
y
(n 1,2,3)
c. (x, y) f (x) g(y)
(５-２-２６)

(x, y)

n
AnBn sin
n1
a
xsh n
将 (５-２-３１) 代入 (５-２-３０) ，并整理得：
1 d (r df ) n2 1 d 2h 0 rf dr dr r 2 h dz2
(５-２-３２)

nx
a
sinh
ny
a
U
sinh b
sin
x
a
sinh
y
a
a
16
当然也可以用三角函数的正交归一性进行处理，
第四章 静态场边值问题的解法
直角坐标中的分离变量法 镜像法 有限差分法
1
第三章我们已经知道，在边界条件已知的情况下（三类边
界条件：,,与 拉普拉斯方程 2＝0 有唯一解。
n n
求解边值问题，有两大类：一类是解析法，可以得到精确 解，其中分离变量法是最基本的解法； 另一类是数值法，如时域有限差
分法（FDTD），有限元（FEM），矩量法（MOM）等只 能得到近似解，但随着计算技术的进步，该方法优势十分 明显，因为其简单方便。
右边s
in
my在 b
b 0
d
y上积分＝ b 0 n1
Cn
sinhnasin
b
nbysin
my
b
dy
＝0bCn
sinhnasin2
b
nyd
b
y
b
0 Cn
sinhna1c
b
os2ny
b 2
dy
b 2Cn
sinhna
b
从而
b 2
C
n
sinh
na
b
2U 0b
n 2
sin
n
2
Cn
n
b
考虑到在 x 方向是有限区域，且0,y0
取
Xn
si
nhn
b
x，这是因为
选f A1sinh(xx)A2coshx(x)
当x0, f A10A2121A2 0

6.3.2 接地导体平面的镜像 1. 点电荷对无限大接地导体平面的镜像
q
有效区域
h
h
14
q
R
R
镜像电荷 电位函数
q q, h h
q ( 1 1 ) （z 0） 4π R R
h
q
因 z = 0 时，R R z0 0
满足原问题的边界条件，所得的结果是正确的。
第6章 静态场的边值问题
例：
y
b 0 x
O
U0 0 x
ax
2
x2
2
y2
0
x
x0 0,
x
xa 0
(x, 0) 0,(x,b) U0
（第三类边值问题）
第6章 静态场的边值问题
6.2 唯一性定理 唯一性定理的表述
在场域V 的边界面S上给定 或 的
n 值，则泊松方程或拉普拉斯方程在场域V 具 有唯一值。
5
V S
21
例6.3.1 一个点电荷q与无限大导体平面距离为d，如果把它移
至无穷远处，需要做多少功？
x
解：移动电荷q时，外力需要克服电
q
场力做功，而电荷q受的电场力来源于导 0
d
体板上的感应电荷。可以先求电荷q 移至 无穷远时电场力所做的功。
=∞
-d q'
由镜像法，感应电荷可以用像电荷 q q替代。当电荷q 移 至x时，像电荷 q应位于－x，则像电荷产生的电场强度
E ( x)
ex
q
4π0 (2x)2
q2
Wo We 16π0d
We
qE(x) dx
d
q2
4π 0
d
1 (2x)2
dx

对于(B)问题
U
a
(
x,
y)
U0 b
y
沿y轴方向存在两个零电位边界，取 gn ( y) Bn sin(n y b)
沿x轴正方向边界无界且电位趋于零，取
f n (x) An exp[n x b]
因此(B)问题的电位通解应为
U b (x, y)
n x
Cn e b sin
n1
n
b
y
将边界条件(c)代入，得
2n
eb
x
sin
2n
y
b
n1
n
b
二. 圆柱坐标系中的分离变量法
1、方法介绍 圆柱坐标中拉普拉斯方程为
①变量的分离
1 r
r
r
r
1 r2
2 2
2
z 2
0
令 (r,, z) f (r) g() h(z) ，代入上式，并在两边同乘以r 2 ( fgh)
得
r (r f ) 1 2 g r 2 1 2h 0
y
U U0
b
b2
o
U 0
x
图5－3 缝隙导体板间的电位
解：电位分布与z无关，这是一个二维拉普拉斯问题
2U (x, y) 2U (x, y) 0
x 2
y 2
①边界条件
U 0 (0 x )
(a)
y0
U yb U0 (0 x )
(b)
U
x0
U 0 0
(b y b)
2
(0 y b)
i
若对任意x成立，则 B2i 0
于是
U (x, y) A1i sin ki x B1i sh ki y Ci sin ki x sh ki y