杆件结构
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第六章杆件系统结构有限元法杆件系统是由几何特征为长度比横梁面的两个尺寸大很多的杆件连接而成的结构体系。
起重机械和运输机械的动臂、汽车的车架、钢结构等,都是由金属的杆件组成的。
杆件系统的有限元法在机械、建筑、航空、造船等各个工程领域得到了广泛的应用。
若杆件之间由铰相连,并且外载荷都作用在铰节点上,则该体系称为桁架。
有限元中将桁架的单元称为杆单元,即桁架是由仅承受轴向拉压的杆单元的集合。
如果杆件之间是由刚性连接,则该体系是刚架,刚架的单元称为梁单元。
梁单元可以承受轴力、弯矩、剪力及扭矩的作用。
第一节等截面梁单元平面刚架结构——所有杆件的轴线以及所有外力作用线都位于同一平面内,并且各杆件都能在此平面内产生平面弯曲,从而结构的各个节点位移都将发生在这个平面内。
一、结构离散化原则:杆件的交叉点、边界点、集中力作用点、位移约束点、分布力突变的位置都要布置成节点,而不同横截面的分界面和不同材料的分界面都要成为单元的分界面。
平面桁架对于桁架结构,因每个杆件都是一个二力杆,故每个杆件可设置成一个单元。
平面桁架结构每个节点有2个自由度,分别是u 和v ,每个单元有4个自由度。
最大半带宽B=(2+1)×2=6。
一维单元和二维单元的混合应用:左边部分是平面问题的二维板件结构(黑线部分),右面框架部分是一维杆件结构(红线部分)。
xy采用平面4节点四边形单元模拟二维板件,用平面杆单元单元模拟一维杆件结构。
离散化后,共有37个节点,32个单元,其中4节点四边形单元16个,杆单元单元16个。
因为平面4节点四边形单元和平面杆单元单元每个节点都有2个自由度,4节点四边形单元的刚度矩阵是8×8,平面杆单元的刚度矩阵是4×4。
整体刚度矩阵刚[]k 的维数是227474n n ⨯=⨯。
其中部分总刚子块为[](1)(2)(3)(4)777777777722k k k k k ⨯⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦(4)(6)(19)11,1111,1111,1111,1122k k k k ⨯⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦最大半带宽B=[(8-2) +1]×2=14。
杆件结构的特点
杆件结构是一种常见的建筑结构形式,主要由杆件、节点和支撑组成。
它具有以下特点:
1. 结构简单:杆件结构由直杆和节点组成,结构形式简单,便于设计、制造和安装。
2. 材料经济:杆件结构的杆件一般采用轻型材料,如钢材、木材或混凝土,这些材料具有较高的强度和刚度,能够承受较大的荷载,同时减轻了结构自重,节约了材料。
3. 空间利用率高:由于杆件结构的自重较小,可以实现较大跨度的设计,提高了空间利用率。
4. 可拆卸和可重复使用:杆件结构的连接方式多样,可以采用螺栓连接、焊接等方式,便于拆卸和重复使用。
5. 可塑性强:杆件结构可以根据实际需要进行各种形式的组合,具有较强的可塑性,可以满足各种建筑形式的需求。
6. 抗震性能好:杆件结构的刚度和强度较高,能够承受较大的地震荷载,具有较好的抗震性能。
7. 适应性强:杆件结构适用于各种地形和气候条件,可以满足各种功能和形式的建筑需求。
8. 施工速度快:由于杆件结构的制造和安装相对简单,可以实现快速施工,缩短工程周期。
1、结构按其几何形状可分为杆件结构、薄壁板壳结构和实体结构。
2、结构力学的研究对象是杆件结构。
它是一门研究杆件结构强度、刚度、稳定性和合理组成的科学。
3、杆件结构按其受力特性可分为梁、拱、刚架、桁架、组合结构。
4、结点分为铰结点和刚结点。
铰结点之产生杆端轴力和剪力,不引起杆端弯矩;刚结点除产生杆端轴力和剪力,还引起杆端弯矩,当结构发生变形时,汇交于刚结点各杆端的切线之间的夹角将保持不变。
5、支座的类型:可动铰支座、固定铰支座、固定支座、定向滑动支座。
6、本来是几何可变,经微小位移后又成几何不变的体系称为几何瞬变体系。
7、顺便体系能否应用于工程结构?P8可见,即使荷载不大,也会使杆件产生非常大的内力和变形。
因此,瞬变体系在工程中不能采用,对于接近瞬变的体系也应避免。
8、凡减少一个自由度装置,称一个约束。
一根链杆相当于一个约束;一个单铰相当于两个约束;一个刚性联结相当于三个约束;联结n个刚片的复铰相当于(n-1)个单铰(n为刚片数)9、以刚片作为组成体系的基本部件进行计算的方法称为刚片法。
10、计算自由度W W=3m-2h-r (m刚片数 h 联结刚片的单铰数目r 支座链杆数目)11、平面体系几何不变的必要条件:W>0,表明体系缺少足够的约束,因此是几何可变的;W=0,表明体系具有成为几何不变所必须的最少约束数目;W<0,表明体系具有多余的约束。
12、体系本身为几何不变时必须满足W≤3的条件。
必须指出,W≤0只是几何不变的必要条件,不是充分条件。
13、静定结构与超静定结构的区别:静定结构的几何组成特征是几何不变且无多余约束;超静定结构的几何组成特征是几何不变且有多余约束;仅用静力平衡条件就可以求解的结构称为静定结构;综合运用平衡条件与位移协调条件求解的结构,称为超静定结构。
14、内力图绘制:梁上无荷载(q=0)的区段,Q图为一水平线,M图为一斜直线;梁上有均布荷载(q=常数)的区段,Q图为一斜直线,M图为二次抛物线;集中力作用点的两侧,剪力有突变,其差值等于该集中力,在集中力作用点处,M图是连续的,但因集中力偶两侧的剪力值相同,所以两侧M图的切线应相互平行;集中力偶作用处,剪力无变化,但在集中力偶两侧弯矩有突变,其差值等于该集中力偶,在M图中形成台阶,又因集中力偶两侧的剪力值相同,所以两侧M图的切线应相互平行。
结构⼒学总复习第⼀章绪论1-1杆件结构⼒学的研究对象和任务杆件结构结构:承受荷载的建筑物和构筑物或其中的某些受⼒构件都可称之为结构。
1-2杆件结构的计算简图杆件间连接区简化为结点(铰结点、刚结点、组合结点)(1)铰结点(Hinge joint):被连接的杆件在连接处不能相对移动,但可相对转动。
(2)刚结点(Rigid joint)被连接的杆件在连接处既不能相对移动,⼜不能相对转动。
(3)组合结点同⼀结点处,有些杆件为刚结,有些为铰接。
⽀座(support)是指把结构与基础联系起来的装置。
传递荷载,固定结构的位置。
(1)活动铰⽀座(Roller support)可以转动和⽔平移动,但不能竖向移动。
提供竖向约束反⼒(2)固定铰⽀座(Hinge support)可以转动,但不能竖向移动和⽔平移动。
提供竖向和⽔平约束反⼒。
(3)固定⽀座(Fixed support)不能竖向移动、⽔平移动和转动。
提供竖向、⽔平约束反⼒和约束⼒矩(4)定向⽀座(Directional support)可以⽔平移动,不能竖向移动和转动。
提供竖向反⼒和约束⼒矩本章思考题1、杆系结构、板壳结构与实体结构的主要差别是什么?杆件结构的基本特征是它的长度远⼤于其他两个⽅向的尺度——截⾯⾼度和宽度,杆件结构是由若⼲这种杆件所组成的。
薄壁结构是厚度远⼩于其他两个尺度的结构。
实体结构是指三个⽅向的尺度为同⼀量级的结构。
例:挡⼟墙,堤坝,块式基础2、拱和梁的区别是什么?简单的说,梁在荷载作⽤下,在⽀撑处只产⽣向上的反⼒,⽽拱在荷载作⽤下,在⽀撑处不但产⽣向上的反⼒,还有⼀个⽔平⼒,这是区分梁和拱的⼀个最基本的条件4. 刚架与桁架的区别是什么?刚架是由梁和柱组成的结构,各杆件主要受弯。
刚架的结点主要是刚结点,也可以有部分的铰结点和组合结点。
桁架是由若⼲杆件在两端⽤铰联结⽽成的结构。
桁架各杆的轴线都是直线,当仅受作⽤于结点的荷载时,各杆只产⽣轴⼒。
第一章绪论1、不论设计任何结构都要经过正确的计算,才能达到安全、经济和合乎使用要求的目的。
2、活动铰支座、铰支座、固定支座和定向支座3、杆件结构的结点,通长可分为铰结点、刚结点、组合结点三种。
4、铰结点上的铰结端可以自由相对转动,因此,受荷载作用时:铰结点上个杆间夹角可以改变,与受荷前的夹角不同;各杆的铰结端不产生弯矩。
铰结点:被连接的杆件在连接处不能相对移动,但可以相对转动,可以传递力,但不能传递力矩。
木屋架的结点比较接近与铰结点。
5、刚结点上各杆的刚结端不能相对转动,即认为刚结点是一个刚体,各杆均刚结与此刚体上,因此,受荷后:刚结点上各杆间的夹角不变,各杆的刚结端旋转同一个角度;各杆的刚结端一般产生弯矩。
刚结点:被链接的杆件在连接处既不能相对移动,又不能相对转动,既可以传递力也可以传递力矩。
现浇混凝土结点通常属于这类情形。
6、若在同一个结点上,某些杆间相互刚结,而另一些杆间相互铰结,则称为组合结点或半铰结点。
7、铰结点上的铰称为完全铰或全铰。
组合结点上的铰则称为非完全铰或半铰。
8、实际结构情况复杂,往往不能考虑所有因素去做严格计算,而需去掉次要因素,以简化图式来代替,这种用以计算的简化图式,叫做结构的计算简图或计算模型。
9、确定计算简图的原则是:保证设计上需要的足够精度;使计算尽可能简单。
10、常见杆件结构类型梁(多跨静定梁、连续梁)、拱、桁架、钢架。
第二章平面体系的几何组成分析1、在不考虑材料应变的条件下,几何形状和位置都不能改变的体系称为几何不变体系。
在原来位置上可以运动,而发生微量位移后不能继续运动的体系,叫做瞬变体系。
可以发生非微量位移的体系称为常变体系。
常变体系和瞬变体系统称为可变体系,均不能作为建筑结构,只有几何不变体系才能用作建筑结构。
由于瞬变体系能产生很大的内力,所以不能用作建筑结构。
2、自由度:是体系运动时可以独立改变的几何参数的数目。
即确定体系位置所需的独立坐标的数目。
3、点的自由度:在平面内点的自由度等于2.4、刚片:几何不变的平面物体叫刚片。
第1章绪论1.1 结构力学的研究对象和任务1.1.1 工程结构的概念与类型在土木工程中,由建筑材料按照一定的方式组成并能够承受荷载或作用的体系称为工程结构,人们在日常生活中常将其简称为结构。
各类建筑物和构筑物,例如房屋建筑中的梁柱板与基础体系,公路、铁路上的桥梁结构和隧道支护结构,水利工程中的水坝、水闸与挡土墙等,都具有各自能承受、传递荷载而起到骨架作用的体系,这部分体系都可视为工程结构。
结构的类型是多种多样的,如按结构构件变形特点可分为柔性结构和刚性结构两大类。
柔性结构有藤网结构、索膜结构、充气结构等;刚性结构有杆件结构、板壳结构和块体结l b,构等。
结构构件从几何角度来看又可以分为三类,按长度l、宽度b及厚度h来考虑,当l h时,称为杆件,杆又分为直杆和曲杆,如图1-1(a)所示。
由杆件所组成的结构称为杆件结构,典型的杆件结构有混凝土框架结构、钢框架结构和拱桁架等。
当h l,h b时,称为板壳,板壳有平面板和曲面板,如图1-1(b)所示。
由板壳组成的结构称为板壳结构,也称为薄壁结构。
平面板结构简称为平板结构,曲面板结构简称为壳体结构,典型的有房屋中的楼板和壳体屋盖等。
当长度、宽度与高度基本相当时,所形成的实心结构称为实体结构,如图1-1(c)所示。
实体结构的典型例子如水工结构中的重力坝等。
结构力学通常所说的结构指的就是杆件结构,其主要研究的对象就是杆件结构的力学行为。
图1-1 杆件、板壳与实体结构结构力学图1-1 杆件、板壳与实体结构(续)1.1.2 结构力学的任务和研究方法结构力学是理论力学和材料力学的后续课程,同时又为弹性力学、混凝土结构、砌体结构和钢结构等专业课程提供了进一步的力学知识基础。
理论力学研究物体机械运动的基本规律和刚体的力学分析;材料力学研究单个杆件的强度、刚度和稳定性问题;结构力学研究杆件结构体系的强度、刚度和稳定性问题;弹性力学主要研究实体结构和板壳结构的强度、刚度和稳定性。
内力:物体因荷载等作用而引起的内部产生抵抗变形的力。
杆件结构:杆件的几何特征是杆件的长度远远大于杆件的截面的宽度和厚度,杆件结构便是由细长的杆件或若干根细长的杆件所组成的结构,或称杆系结构。
轴向拉力:说到“轴向”,就是相对于“径向”。
“径向”垂直于“轴向”。
轴的两端各拴一根绳子,同时向外拉,这时,轴“承受轴向拉力”;轴的两端各有一个力向中间挤压轴,这时,轴“承受轴向压力”。
杆件:所谓杆件,是指长度远大于其他两个方向尺寸的变形体。
如房屋中的梁、柱、屋架中的各根杆等等。
杆件的形状和尺寸可由杆的横截面和轴线两个主要几何元素来描述。
横截面是指与杆长方向垂直的截面,而轴线是各横截面中心的连线。
横截面与杆轴线是互相垂直的。
轴线为直线、横截面相同的杆称为等直杆。
建筑力学主要研究等直杆。
拉力:在弹性限度以内,物体受外力的作用而产生的形变与所受的外力成正比。
形变随力作用的方向不同而异,使物体延伸的力称“拉力”或“张力”。
拉力简写为F,力的单位为牛顿,简称牛,符号N。
拉力是按力的效果定义的,从力的性质来看,拉力也是弹力。
而从力的作用对象来看,拉力可能是内力,也可能是外力。
剪力:所谓剪力就是:作用于同一物体上的两个距离很近(但不为零)剪力图,大小相等,方向相反的平行力。
例如剪刀去剪一物体时,物体所受到两剪刀口的作用力就是剪力。
剪力墙在建筑中的运用一个重要的作用就是抗震。
假设,你手上有一根木棍,你用力折断它,如果折断了,那么在折断处那个点就是受力点,那个受力点受到了较大的剪力,剪力的方向一般是与木棍垂直的。
就好像一把剪刀从中间把木棍剪断了,所以叫做剪力。
剪力可以利用公式计算得出。
应力定义为“单位面积上所承受的附加内力”。
公式记为其中,σ表示应力;ΔFj 表示在j 方向的施力;ΔAi 表示在i 方向的受力面积。
弹性模量:一般地讲,对弹性体施加一个外界作用(称为“应力”)后,弹性体会发生形状的改变(称为“应变”),“弹性模量”的一般定义是:应力除以应变。
惯性矩:是一个物理量,通常被用作述一个物体抵抗扭动,扭转的能力。
惯性矩的国际单位为千克乘以平方米(kg·m2)。
弯矩:弯矩是受力构件截面上的内力矩的一种,其大小为该截面截取的构件部分上所有外力对该截面形心矩的代数和,其正负约定为是构件下凹为正,上凸为负(正负是上部受拉为负,下部受拉为正)。
比如说一个悬臂梁,当梁端力为2kN,梁长为3M,刚固端弯矩为-6KN.M,而梁的跨中弯矩为-3KN.M,按这个主法可以简单算,这张图中,m就弯矩图1是弯矩作用,拉应力:材料受到的外力称为拉力,材料内部产生的反作用力称为应力。
一个物体两端受拉,那么沿着它轴线方向的应力就是拉应力。
拉应力就是指使物体有拉伸趋势的应力。
挠度:结构构件的轴线或中面由于弯曲引起垂直于轴线或中面方向的线位移。
挠度(德语 Durchbiegung)——弯曲变形时横截面形心沿与轴线垂直方向的线位移称为挠度,用y表示。
简言之就是指梁、桁架等受弯构件在荷载作用下的最大变形,通常指竖向方向y轴的,就是构件的竖向变形。
简支梁简支梁简图简支梁就是说梁的两端搭在两个支撑物上,两端铰接,现实看是只有两端支撑在柱子上的梁,主要承受弯距的单跨结构.一般为静定结构,受力简单,跨中只有正弯矩,体系温变、混凝土收缩徐变、张拉预应力都不会在梁中产生附加内力。
简支梁为力学简化模型。
简支梁只是梁的简化模型的一种,还有悬臂梁。
悬臂梁为一端固定约束,另一端无约束。
将简支梁体加长并越过支点就成为外伸梁。
简支梁的支座的铰接可能是固定铰支座、可动铰支座的。
形心:面的形心就是截面图形的几何中心,质心是针对实物体而言的,而形心是针对抽象几何体而言的,对于密度均匀的实物体,质心和形心重合。
判断形心的位置:当截面具有两个对称轴时,二者的交点就是该截面的形心。
据此,可以很方便的确定圆形、圆环形、正方形的形心;只有一个对称轴的截面,其形心一定在其对称轴上,具体在对称轴上的哪一点,则需计算才能确定。
建坐标:形心位置:(Xc,Yc)Xc=[∫a(ρxdA)]/ρA=[∫a(xdA)]/A=Sy/AYc=[∫a(ρydA)]/ρA=[∫a(ydA)]/A=Sx/A梁下皮:梁是个矩形几何体房梁最下面的那个面就叫梁下皮一般说室内高度(层高)就是指地面到梁下皮的高度如果没有梁就算到板下皮..重度:重度是与密度相对而言的概念。
密度表示单位体积物质的质量,国际单位制中的单位为Kg/m^3;重度则表示单位体积物质的重量,国际单位制中的单位为N/m^3;重度与密度之间的关系为:重度=重力加速度*密度;重度又称为容重、体积重量。
重度这个概念多在力学计算中使用,例如在建筑结构中的受力计算。
后浇带:是在建筑施工中为防止现浇钢筋混凝土结构由于温度、收缩不均可能产生的有害裂缝,按照设计或施工规范要求,在基础底板、墙、梁相应位置留设临时施工缝,将结构暂时划分为若干部分,经过构件内部收缩,在若干时间后再浇捣该施工缝混凝土,将结构连成整体。
后浇带的浇筑时间宜选择气温较低时,可用浇筑水泥或水泥中掺微量铝粉的混凝土,其强度等级应比构件强度高一级,防止新老混凝土之间出现裂缝,造成薄弱部位。
设置后浇带的部位还应该考虑模板等措施不同的消耗因素。
后浇带是既可解决沉降差又可减少收缩应力的有效措施,故在工程中应用较多。
设置后浇带的位置、距离通过设计计算确定,其宽度考虑施工简便、避免应力集中,常为800~1200mm;在有防水要求的部位设置后浇带,应考虑止水带构造。
力的平行四边形法则:求两个互成角度的共点力的合力,可以用表示这两个力的线段为邻边作平行四边形,这两个邻边之间的对角线就表示合力的大小和方向,这种方法就叫做“力的平行四边形法则”。
这一法则通常表述为:以表示两个共点力的有向线段为邻边作一平行四边形,该两邻边之间的对角线即表示两个力的合力的大小和方向.由力的平行四边形法则可知,两个共点力的合力不仅与两个力的大小有关,且与两个力的夹角有关.当两个力的大小一定时,其合力的大小将随两个力夹角的改变在两个力之和与两个力之差范围内变化.运用平行四边形法则求一共点力系的合力时,可采用依次合成的方法.例如求三个共点力F1 、F2 和F3 的合力F,可先求出 F1和F2 的合力F4 ,然后再求出F3 和F4 的合力F ,即为三个共点力的合力F.平行四边形法则不仅是共点力的合成法则,也是一切矢量合成共同遵循的法则.平面力系:力是物体相互间的机械作用,其作用结果使物体的形状和运动状态发生改变。
作用在物体上的力往往有多个。
我们把作用在同一物体或同一物体系统上的一组力,称之为力系。
作用在实际物体上的力系是各式各样的,但都可以归为两大类:一是力系中所有力的作用线都位于同一平面内,这类力系称为平面力系;另一类是力系中所有力的作用线位于不同的平面内,称为空间力系静力平衡方程:大气压力是随高度的增加而降低的。
当一空气块在保持静力平衡状态,水平方向上各面受力相互抵消的条件下,它在垂直方向上所受向上净压力(上、下压力差)必为重力所平衡,即dp=-ρgdz 或-dp/dz=ρg 式中的ρ为气块密度,g为重力加速度。
这就是静力平衡方程。
在静力荷载作用下结构相对于周围的物体处于静止状态,称为该结构处于静力平衡状态。
阐明各种力系的静力平衡条件的原理。
在静力荷载作用下结构相对于周围的物体处于静止状态,称为该结构处于静力平衡状态。
将结构中的一个部分,从与它相联系的周围部分(可能包括地面)分离开来,则该部分称作分离体,也称隔离体或自由体。
单独画出分离体而将与它相联系的地面和周围部分所加给它的力,及它所承受的静力荷载都画到这个分离体上所示的图形,称作分离体受力图,简称分离体图或自由体图。
图上所受的若干力(包括静力荷载)构成一组力称为力系,它必须满足静力平衡条件才能维持静力平衡。
静力平衡条件通常用静力平衡方程表述。
力系中诸力同在一平面内的称为平面力系;否则称空间力系。
平面力系的静力平衡条件用三个平衡方程表述:式中X、Y分别为力系中诸力在x和I轴上的投影;M0为诸力绕某一任意选定的力矩中心o的力矩。
上述三个方程尚可转换成一个投影式和两个或三个特定条件的力矩式。
平面力系中诸力均汇交于一点时,该力系称作平面汇交力系。
诸力相互平行时,该力系称作平面平行力系。
平面汇交力系的静力平衡方程如下:平面平行力系的静力平衡方程应为式中Y是力系中诸力在I轴上的投影,而I轴不垂直于力系诸力。
空间力系的静力平衡条件用六个静力平衡方程表述:;;式中力系共有n个力;X i、Y i、Z i为力系中第i号力在三个坐标轴上的投影;xi、I i、z i为第i号力的作用点的坐标。
静定结构:在外力因素作用下全部支座反力和内力都可由静力平衡条件确定的结构。
静定结构──几何特征为无多余约束几何不变,是实际结构的基础。
因为静定结构撤销约束或不适当的更改约束配置可以使其变成可变体系,而增加约束又可以使其成为有多余约束的不变体系(即超静定结构)。
因此,熟练掌握静定结构的组成规则,不仅可以正确地确定超静定结构中的多余约束数,而且可以正确地通过减少约束使超静定结构变成静定结构(而不是可变体系)。
从几何构造分析的角度看,结构必须是几何不变体系。
根据多余约束 n ,几何不变体系又分为:有多余约束( n > 0)的几何不变体系——超静定结构;无多余约束( n = 0)的几何不变体系——静定结构。
从求解内力和反力的方法也可以认为:静定结构:凡只需要利用静力平衡条件就能计算出结构的全部支座反力和杆件内力的结构。
超静定结构:若结构的全部支座反力和杆件内力,不能只有静力平衡条件来确定的结构。
力偶:大小相等、方向相反、不作用在同一直线上的两个力所组成的力系。
作用于同一物体上的一对大小相等、方向相反且不在一直线上的力,它可使物体转动。
一般,将大小相等,方向相反但不共线的两个平行力组成的力系,称为力偶,力偶为矢量,力偶是一种只有合转矩(所有转矩的总合),没有合力的力系统。
因此,它又称为纯转矩。
作用于物体,力偶能够使物体完全不呈现任何平移运动,只呈现纯旋转运动。
最简单的力偶是由两只大小相等,方向相反的力构成的,力偶的国际单位制是牛顿*米。
力偶是指两个大小相等方向相反的特殊力系。
力偶(couple),大小相等、方向相反、作用线不在同一直线上的一对力。
力偶对物体产生转动效应。
力偶的二力对空间任一点之矩的和是一常矢量,称为力偶矩[1]。
一力偶可用与其作用面平行、力偶矩相等的另一力偶代替,而不改变其对刚体的转动效应。
由于力偶作用面具有方向性,须引入一空间力偶矩矢T,其方向线与力偶作用面垂直并按右手螺旋定则确定其指向(见图)。
T的大小等于力和力偶臂(力偶的二力线间的垂直距离)的乘积。