第六章杆件系统结构有限元法杆件系统是由几何特征为长度比横梁面的两个尺寸大很多的杆件连接而成的结构体系。
起重机械和运输机械的动臂、汽车的车架、钢结构等，都是由金属的杆件组成的。
杆件系统的有限元法在机械、建筑、航空、造船等各个工程领域得到了广泛的应用。
若杆件之间由铰相连，并且外载荷都作用在铰节点上，则该体系称为桁架。
有限元中将桁架的单元称为杆单元，即桁架是由仅承受轴向拉压的杆单元的集合。
如果杆件之间是由刚性连接，则该体系是刚架，刚架的单元称为梁单元。
梁单元可以承受轴力、弯矩、剪力及扭矩的作用。
第一节等截面梁单元平面刚架结构——所有杆件的轴线以及所有外力作用线都位于同一平面内，并且各杆件都能在此平面内产生平面弯曲，从而结构的各个节点位移都将发生在这个平面内。
一、结构离散化原则：杆件的交叉点、边界点、集中力作用点、位移约束点、分布力突变的位置都要布置成节点，而不同横截面的分界面和不同材料的分界面都要成为单元的分界面。
平面桁架对于桁架结构，因每个杆件都是一个二力杆，故每个杆件可设置成一个单元。
平面桁架结构每个节点有2个自由度，分别是u 和v ，每个单元有4个自由度。
最大半带宽B=(2+1)×2=6。
一维单元和二维单元的混合应用：左边部分是平面问题的二维板件结构（黑线部分），右面框架部分是一维杆件结构（红线部分）。
xy采用平面4节点四边形单元模拟二维板件，用平面杆单元单元模拟一维杆件结构。
离散化后，共有37个节点，32个单元，其中4节点四边形单元16个，杆单元单元16个。
因为平面4节点四边形单元和平面杆单元单元每个节点都有2个自由度，4节点四边形单元的刚度矩阵是8×8，平面杆单元的刚度矩阵是4×4。
整体刚度矩阵刚[]k 的维数是227474n n ⨯=⨯。
其中部分总刚子块为[](1)(2)(3)(4)777777777722k k k k k ⨯⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦(4)(6)(19)11,1111,1111,1111,1122k k k k ⨯⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦最大半带宽B=［(8-2) +1］×2=14。
平面直梁qy平面直梁结构每个节点有2个自由度，分别是v 和z ，每个单元有4个自由度。
最大半带宽B=(1+1)×2=4平面刚架平面刚架结构每个节点有3个自由度，分别是u、v和θ，每个单元有6个自由度。
z最大半带宽B=［(8-3) +1］×3=18总刚[]k的维数是？？？二、单元节点位移和节点力向量一长为L ，节点为ij 的单元：位移：u ——— 沿杆的轴向位移v ——— 梁的横向位移（截面中性轴的挠度）dvdxθ= ——— 截面绕z 轴的转角单元节点位移为：i u ，i v ，i θ和j u ，j v ，j θ，写成向量形式{}Tei i i j j j u v u v δθθ⎡⎤=⎣⎦节点力： N F —轴向力F θ—剪力M —弯矩单元节点力：Ni F ，i F θ，i M 和Nj F ，j F θ，j M ，写成向量形式{}eTi eNi i iNj j j j F F F F M F F M F θθ⎧⎫⎪⎪⎡⎤==⎨⎬⎣⎦⎪⎪⎩⎭坐标系：x 轴与梁轴重合y ，z 轴为梁截面的主惯性轴（主轴）方向（使截面对z 0y 0轴的惯性积000z y I =的时正交坐标轴） 注意：(1) 单元节点位移和单元节点力的方向：取坐标轴正向为正； (2) 节点力{}eF 是梁结构在节点处受到的外载荷。
(3) 因为载荷在同一平面内，所以梁单元是处于轴向拉压和 平面弯曲的组合变形状态。
在小变形情况下，杆的轴向变形与弯曲变形是相互独立 的，即轴向位移u 只与轴向压力N F 有关，弯曲位移v 和θ只与弯曲力F θ、M 有关。
因此可以分别建立轴向变形与弯曲变形的单元刚度矩阵。
三、 位移模式轴向位移u 取x 的线性函数：[][]{}00111()a u a a x x h x a a ⎧⎫=+==⎨⎬⎩⎭(6-1)挠度v v 则用x 的三次多项式表示：[]{}2301230123231()v b b x b x b x b b x x x H x b b b =+++⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎡⎤==⎨⎬⎣⎦⎪⎪⎪⎪⎩⎭(6-1)参数{a}和{b}是位移模式的待定常数，可由节点位移表示。
单元轴向节点位移{}Tei j u u u ⎡⎤=⎣⎦ (6-2)单元弯曲的节点位移{}Tei i j j v v v θθ⎡⎤=⎣⎦(6-2)其中 0i x dv dx θ==j x ldvdxθ==将节点位移代入式 []{}()u h x a =中，得001i j u a u a a l==+写成矩阵形式{}01101ei j u a u u a l ⎧⎫⎧⎫⎡⎤==⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎩⎭⎣⎦⎩⎭ (6-3)简记为{}[]{}1eu A a =同理，有{}[]{}2ev A b =(6-3)其中[]1101A l ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， []22321000010010123A l l l l l ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦由上式，得{}[]{}111ea A u -={}[]{}12e b A v -=其中[]111011A l l -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥-⎣⎦，[]122232321000010032312121A l l l l l l l l -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=----⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦将上式带入(6-1)中，得用节点位移表示位移模式：[][]{}[]{}[][]{}[]{}1112()()e e u e e v u h x A u N u v H x A v N v --⎧==⎪⎨==⎪⎩ (6-4) 其中[][][][][][][]11122322323210()1111()1000100323112121u v x x N h x A x l l l l N H x A x x x l l l l l l l l --⎡⎤⎡⎤⎢⎥===-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦=⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤=---⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦23232323232232322321x x x x x x x x x l l l l l l l l ⎡⎤=-+-+--+⎢⎥⎣⎦ 单元节点位移为{}eTi ei i ij j j j u v u v δδθθδ⎧⎫⎪⎪⎡⎤==⎨⎬⎣⎦⎪⎪⎩⎭则将式(6-4)的位移模式改写为：{}[]{}[]{}()()e eu v H x u f A N v H x δδ⎡⎤⎧⎫===⎨⎬⎢⎥⎩⎭⎣⎦(6-5) 该式表示单元内任意一点的位移与单元节点位移之间的关系，式中[][]()10000u H x x =[]23()010v H x x x x ⎡⎤=⎣⎦[]22323100000010000001000110000323100212100A l ll l l l l l ll ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦四、应变与应力梁单元： 拉压变形：拉压应变a ε弯曲变形：弯曲应变b ε略去剪应变，得{}[]{}22()()ee a ub vdu H x dx A yH x d v y dx εεδε⎧⎫⎪⎪'⎧⎫⎡⎤⎪⎪===⎨⎬⎨⎬⎢⎥''-⎩⎭⎣⎦⎪⎪-⎪⎪⎩⎭式中[][]()000100u H x '= [][]()000026v H x x ''=上式简记为{}[]{}eeB εδ= （6-6）其中单元应变矩阵[]B 为[][]232232()()11000061246612260()()0()()uvH x B A yH x l lx x x x y y y y l l l l l l l l '⎡⎤==⎢⎥''-⎣⎦⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-----⎢⎥⎣⎦单元应力{}{}[]{}ee ea b E E B σσεδσ⎧⎫===⎨⎬⎩⎭（6-7）注：（1）对于平面直杆单元，应变矩阵为[]11u B l l ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦（2）对于平面直梁单元，应变矩阵为[]2322326124661226()()()()v xx x x B y y y y ll l l l l l l ⎡⎤=-----⎢⎥⎣⎦五、平面直梁单元的刚度矩阵假定单元内任意一点的虚位移为{}*f ，则{}[]{}**ef N δ=单元内的虚应变{}*eε为{}[]{}**eeB εδ=梁单元内应力由于虚应变作的虚功为{}(){}{}()[][]{}**T T Te e eeU dv B B dv εσδδ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰若单元节点力为{}eTi eNi i iNj j j j F F F F M F F M F θθ⎧⎫⎪⎪⎡⎤==⎨⎬⎣⎦⎪⎪⎩⎭考虑梁单元上沿轴线作用着分布载荷{}q ，则单元外力由于虚位移所作的虚功为{}{}{}(){}{}(){}{}()***TTeeeT e eTW fq dx F N q dx F δδ=+=+⎰⎰由虚位移原理 e eU W = ，得{}{}[][]{}TeeTN q dx F B B dv δ+=⎰⎰⎰⎰令{}{}{}{}{}ee e eTR Nq dx F Q F =+=+⎰[][][]Tek B B dv =⎰⎰⎰于是，得[]{}{}eeek R δ=式中 {}[]{}eTQ N qd x=⎰ 是由于分布载荷移置的等效节点力。
进行一系列的积分运算，可得出单元刚度矩阵如下[]3232322120640001261200626400eEAl EI l EI EI l l k EA EA l l EI EI EI l l l EI EI EI EI l lll ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦（6-8）注：1. 轴力杆单元刚度矩阵（平面杆单元）[]11EA 11ii ij eji j j k k k k k l ⎡⎤-⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦边界条件：端部给定位移边界条件： u u =端部给定载荷边界条件： a A P σ=例题：等截面钢杆AB ，在截面C 处加力P=105 N ，杆的横截面面积A=2000mm 2。
求（1）节点位移；（2）单元应力；（3）A 、B 两端的约束反力。
设 12200,2,l mm l l l l ===。
解：（1）{}[][]1232u u 00T Tu u u =={}[]13TF R P R =[](1)1112212211111EA EA 11112k k k k k l l --⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦[](2)2223323321111EA EA 1111k k k k k l l --⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 整体平衡方程为(1)(1)11121(1)(1)(2)(2)212222232(2)(2)332330000k k R k k k k u P R k k ⎡⎤⎧⎫⎧⎫⎢⎥⎪⎪⎪⎪+=⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎩⎭⎩⎭⎣⎦则减缩后的整体平衡方程为()(1)(2)22222k k u P +=即 2EA EA 2u P ll ⎛⎫+= ⎪⎝⎭∴ 54223102000.6710()332000Pl u mm EA E E⨯⨯⨯===⨯ （2）单元①的应力为[]{}[][]{}[](1)(1)(1)22111121()100011011116.67()3uE B u E H x A u E E u u l l l l Eu P MPa l Aσ'==⎡⎤⎡⎤⎧⎫⎧⎫⎢⎥==-⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎢⎥-⎩⎭⎩⎭⎣⎦⎢⎥⎣⎦===单元②的应力为[]{}[][]{}[](2)(2)(2)22222222()1011011100233.33()3uE B u E H x A u u u E E l l l l Eu P MPa l Aσ'==⎡⎤⎡⎤⎧⎫⎧⎫⎢⎥==-⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎢⎥-⎩⎭⎩⎭⎣⎦⎢⎥⎣⎦=-=-=- 负号表示为压应力。
