关于积分中值定理的证明(最全)word资料

定积分中值定理证明1. 引言定积分中值定理是微积分中的重要定理之一，它建立了函数在某个区间上的平均值与某个点的函数值之间的关系。

本文将对定积分中值定理进行证明。

2. 定积分中值定理的表述设函数f (x )在闭区间[a,b ]上连续，则存在ξ∈[a,b ]，使得∫f ba (x )dx =(b −a )f (ξ)3. 证明过程为了证明定积分中值定理，我们需要利用微积分中的一些基本原理和方法。

首先，我们定义一个辅助函数F (x )：F (x )=∫f xa (t )dt根据定义，F′(x )=f (x )，即f (x )是F (x )的导数。

由于f (x )在闭区间[a,b ]上连续，根据微积分基本定理，F (x )在闭区间[a,b ]上是可导的。

根据拉格朗日中值定理（也称为微分中值定理），对于可导函数F (x )来说，在闭区间[a,b ]上存在一个点ξ∈(a,b )，满足：F (b )−F (a )b −a=F′(ξ) 将F (x )的定义代入上式，得到：∫f b a (t )dt −∫f aa (t )dtb −a=f (ξ) 由于∫f a a (t )dt =0，上式可以进一步简化为：∫f b a (t )dt b −a=f (ξ) 最后，将等式两边乘以(b −a )，即可得到定积分中值定理的表述：∫f b a (x )dx =(b −a )f (ξ)4. 结论与讨论定积分中值定理提供了函数在某个区间上平均值与某个点的函数值之间的关系。

它在实际问题中具有广泛的应用，例如计算曲线长度、求解平均值等。

需要注意的是，在证明过程中我们假设了函数f(x)在闭区间[a,b]上连续。

这是因为连续性是定积分中值定理成立的一个重要条件。

如果函数f(x)不满足连续性，则无法使用定积分中值定理来推导出相应的结论。

另外，根据证明过程可以看出，定积分中值定理实际上是拉格朗日中值定理在积分形式下的推广。

因此，对于熟悉拉格朗日中值定理的读者来说，理解定积分中值定理的证明过程会更加容易。

第三单元 Ch10 定积分3.3.2 积分第一中值定理[,],[,],f a b a b ξ∈若在上连续则存在使()d ()().b a f x x f b a ξ=-⎰证 因 f 在 [a , b ] 上连续，()d ()d b ba a mb a m x f x x -=≤⎰⎰(),[,],m f x M x a b ≤≤∈d (),ba M x Mb a ≤=-⎰故存在最大值 M 和最小值 m . 由于因此定理10.14（积分第一中值定理）则由连续函数的介值定理, 必恒有1()()d ,(,).b a f x f t t x a b b a<∈-⎰或恒有1()()d ,(,),b af x f t t x a b b a >∈-⎰注2积分第一中值定理的几何意义如下图所示:ξa b 1()()d b af f x x b a ξ=-⎰,()f ξ为底为高的矩形面积.而[,]a b 在上的曲边梯形的面积，这是有限个数的算术平均值的推广.()[,]f x a b 可理解为在上所有函数值的平均值，若在上连续在上可积且不变号,[,],()[,]f a b g x a b [,],()()d ()()d .b ba a ab f x g x x f g x x ξξ∃∈=⎰⎰则使()()()(),[,].mg x f x g x Mg x x a b ≤≤∈≤≤⎰⎰⎰()d ()()d ()d .b b ba a a m g x x f x g x x M g x x 则对上式两边积分得[,]a b 在上的下确界与上确界,则证 ()0,[,].g x x a b ≥∈不妨设,()m M f x 若分别是定理10.15（推广的积分第一中值定理）(),()d a b a f g x x ξ=⎰⎰()()d ()()d .b b a a f x g x x f g x x ξ=⎰⎰即若 u (x ), v (x ) 在 [a, b ] 上有 (n +1) 阶连续导函数, 则(1)()()d b n a u x v x x+⎰()(1)[()()()()n n u x v x u x v x -'=-+1(1)(1)()()d .b n n a u x v x x +++-⎰ 泰勒公式的积分型余项由此可得以下带积分型余项的泰勒公式：()(1)()()]b n n a u x v x ⋅⋅⋅+-()()(),n n f x P x R x =+则()(),n P x f x n 为的阶泰勒多项式余项为其中00()()1,f x x U x n +设在的某邻域内有阶连续导数0(1)1()()()d .!x n n n x R x f t x t t n +=-⎰于是，泰勒公式的余项00()()]!n f x x x n +-()!,n n R x =0(1)1()()()d !x n n n x R x f t x t tn +=-⎰(1)10001(())(1)().!n n n f x x x x x n θθ++=+---此式称为泰勒公式的柯西型余项.10210()ex x x --=--12e 1-=--+11e -=--2 =π。

积分第二中值定理证明这个定理的推导比较复杂，牵扯到积分上限函数：Φ(x) = ∫f(t)dt （上限为自变量x，下限为常数a）。

以下用∫f(x)dx表示从a到b的定积分。

首先需要证明，若函数f(x)在[a,b]内可积分，则Φ(x)在此区间内为一连续函数。

证明：给x一任意增量Δx，当x+Δx在区间[a,b]内时，可以得到Φ(x+Δx) = ∫f(t)dt= ∫f(t)dt + ∫f(t)dt= Φ(x) + ∫f(t)dt即Φ(x+Δx) - Φ(x) = ∫f(t)dt应用积分中值定理，可以得到Φ(x+Δx) - Φ(x) = μΔx其中m<=μ<=M，m、M分别为f(x)在[x,x+Δx]上的最小值和最大值，则当Δx->0 时，Φ(x+Δx) - Φ(x)->0，即lim Φ(x+Δx) - Φ(x) = 0（当Δx->0）因此Φ(x)为连续函数其次要证明：如果函数f(t)在t=x处连续，则Φ(x)在此点有导数，为Φ'(x) = f(x)证明：由以上结论可以得到，对于任意的ε>0，总存在一个δ>0，使|Δx|<δ时，对于一切的t属于[x,x+Δx]，|f(t)-f(x)|<ε恒成立（根据函数连续的ε-δ定义得到），得f(x)-ε<f(t)<f(x)+ε< p="">由于t属于[x,x+Δx]，因此m<=f(t)<=M（m、M的意义同上），由于f(x)-ε<f(t)& amp;lt;f(x)+ε当t属于[x,x+δx]时恒成立，因此得到<="" p="">f(x)-ε<=m<=M<=f(x)+ε由于m<=μ<=M（μ的意义同上），可以得到f(x)-ε<=μ<=f(x)+ε即|μ-f(x)|<=ε由于Φ(x+Δx) - Φ(x) = μΔx，可以得到，当Δx->0时，Φ'(x) = lim [Φ(x+Δx) - Φ(x)]/Δx = lim μ = f(x)命题得证。

第四讲中值定理的证明技巧一、考试要求1、理解闭区间上连续函数的性质(最大值、最小值定理，有界性定理，介值定理)，并会应用这些性质。

2、理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理、泰勒定理，了解并会用柯西中值定理。

掌握这四个定理的简单应用(经济)。

3、了解定积分中值定理。

二、内容提要1、介值定理(根的存在性定理)(1)介值定理在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值.(2)零点定理设f (x)在［a、b］连续，且f (a) f (b) <0,则至少存在一点,ce (a、b),使得f (c)=02、罗尔定理若函数/(兀)满足：(1)加在嗣上连续(2)几力)在@上)内可导(3)f(a)= f(b)则一定存在弘(。

劝使得m=o3、拉格朗日中值定理若函数于(力满足：(1)/⑴在［。

，切上连续(2)/(X)在仗上)内可导则一定存在§ E ,使得f(b) - f(a) = a)4、柯西中值定理若函数/(x),g(x)满足：(1)在［“］上连续(2)在(°上)内可导(3)g©)H°则至少有一点歹w(Q，b)使得g(b)-gS) g'(§)5、泰勒公式如果函数/（X）在含有兀的某个开区间内具有直到n + 1阶导数，则当兀在（G上）内时，/⑴可以表示为兀-九的一个〃次多项式与一个余项Kg之利即f 3） = /（兀）+广（兀）3-兀）+討Go）（X-Xo），+ …+十严（兀0）0-兀）” + 恥）（1）辅助函数的构造微分中值定理通常用來证明一些等式、不等式及方程根的存在性°在证明方程根的存在性和不等式时，经常要构造出一个辅助函数，辅助函数的构造方法通常有三种：找原函数法;指数因子法;常数k值法。

①、方程根的存在性方程根的存在性，常用介值定理和罗尔定理来证明。

这里着重讲解罗尔定理。

下面通过例题来给出三种构造辅助函数的方法。

②、存在多个中间值的证明有一类问题，要证明存在两个或两个以上的中间值，满足一定的等式，由于用一次中值定理只能找到一个中间值，故这类问题通常至少要用两次中值定理才能解决。

积分中值定理（开区间）的几种证明方法定理：设f 在[,]a b 上连续，则(,)a b ξ∃∈，使得()()()ba f x dx fb a ξ=-⎰。

[证一]：由积分第一中值定理（P217），[,]a b ξ∃∈， 使得()()()b a f x dx f b a ξ=-⎰。

于是[()()]0.b af x f dx ξ-=⎰ 由于函数()()()F x f x f ξ=-在[,]a b 上连续，易证（可反证）：(这还是书上例2的结论)(,)a b η∃∈，使得()()()0F f f ηηξ=-=，即()()f f ηξ=。

[证二]：令()()xa F x f t dt =⎰，则()F x 在[,]ab 上满足拉格朗日中值定理的条件，故(,)a b ξ∃∈，使得()()()()F b F a F b a ξ'-=-，即结论成立。

（注：书上在后面讲的微积分基本定理）[证三]：反证：假设不(,)a b ξ∃∈，使得 ()()()ba f x dx fb a ξ=-⎰，由积分第一中值定理，知ξ只能为a 或b ，不妨设为b ，即1(,),()()()b a x a b f x f b f x dx b a∀∈≠=-⎰。

由于f 连续，故(,),x a b ∀∈ ()()f x f b >（或()()f x f b <），（这一点是不是用介值定理来说明）这样（上限x 改为b ）()()()().xba a f x dx fb dx f b b a >=-⎰⎰ （这个严格不等号不太显然要用书上例2结论来说明）矛盾。

[证四]：设f 在[,]a b 上的最大值为M ，最小值为m 。

若m M =，则f c ≡，ξ可任取。

若m M <，则1[,]x a b ∃∈，有1()0M f x ->，故[()]0b a M f x dx ->⎰，即 ()().ba f x d x Mb a<-⎰同理有()().ba mb a f x dx -<⎰ 由连续函数的介质定理知：(,)a b ξ∃∈，使得 1()().b a f f x dx b aξ=-⎰。

§1.1 积分第一中值定理若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，则在[,]a b 上至少存在一点ξ，使得()()()baf x dx f b a ξ=-⎰证明：由定积分性质知()()()bam b a f x dx M b a -≤≤-⎰ （1）其中M ，m 分别是函数()f x 在闭区间[,]a b 上的最大值和最小值。

把（1）式各除以b a -，得1()bam f x dx M b a ≤≤-⎰。

这表明，确定的数值1()ba f x dxb a-⎰介于函数()f x 的最小值m 和最大值M 之间。

根据闭区间上连续函数的介值定理，在[,]a b 上至少存在着一点ξ，使得函数()f x 在点ξ处的值与这个确定的数值相等，即应有：1()()ba f x dx fb aξ=-⎰ （a b ξ≤≤） 两端乘以b a -，即得所要证的等式。

说明：这里的ξ是在[,]a b 上取值，实际上，也可以在开区间(,)a b 的，即(,)a b ξ∈时，定理同样成立。

现证明如下：记()baf x dx b aμ=-⎰，则(())0baf x dx μ-=⎰。

若a x b <<时()()0f x μ-><，则，(())()0baf x dx μ-><⎰，均矛盾。

故有，12,a b x x <<使1()f x μ≤，2()f x μ≥， 故存在(,)a b ξ∈使()f ξμ=。

即()()()ba f x dx fb a ξ=-⎰证明完毕推广的积分第一中值定理：若函数()f x 与()g x 在闭区间[,]a b 上连续，且()g x 在[,]a b 上不变号，则在[,]a b 上至少存在一点ξ，使得：()()()()bbaaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰ （a b ξ≤≤）证明： 因为()f x 在[,]a b 上连续，()f x 在[,]a b 上必有最大值M 和最小值m ，又由于()g x 在[,]a b 上可积且不变号，不妨设()0g x ≥，()ba I g x dx =⎰，于是()()()(m g x f x g x M g x≤≤ 从而 ()()bam I f x g x d x MI ≤≤⎰（2） 若I ＝0，则由（2）式知 ()()0baf xg x dx =⎰，从而任取ξ(,)a b ∈均可以使等式成立。

二重积分中值定理证明二重积分中值定理证明引言二重积分中值定理是微积分学中重要的定理之一，它描述了在某些条件下，一个函数在某个区域上的平均值等于这个函数在该区域上的某个点的取值。

这个定理在应用数学、物理学、工程学等领域都有广泛的应用。

本文将对二重积分中值定理进行证明。

定义设 $f(x,y)$ 是一个定义在有限闭区域 $D$ 上的连续函数，则存在一点$(\xi,\eta)$，使得$$\iint_D f(x,y) dxdy = f(\xi,\eta) \iint_D dxdy$$证明为了证明二重积分中值定理，我们需要使用以下两个引理：引理1：闭区间上连续函数的最大最小值存在。

引理2：如果 $f(x,y)$ 在有限闭区域 $D$ 上连续且非负，则 $\iint_D f(x,y) dxdy > 0$。

接下来我们将使用这两个引理来证明二重积分中值定理。

第一步：构造辅助函数为了方便证明，我们可以构造一个辅助函数 $F(t)$：$$F(t) = \iint_D [f(x,y)-t]dxdy$$其中 $t$ 是一个常数。

显然，$F(t)$ 是 $t$ 的连续函数。

第二步：证明引理1由于 $f(x,y)$ 在有限闭区域 $D$ 上连续，因此 $F(t)$ 也是在闭区间上的连续函数。

根据引理1，$F(t)$ 在某个点 $t_0$ 处取得最小值和最大值。

设最小值为 $m$，最大值为 $M$。

第三步：证明引理2由于 $f(x,y)$ 在有限闭区域 $D$ 上连续且非负，因此 $\iint_D f(x,y) dxdy \geq 0$。

如果 $\iint_D f(x,y) dxdy = 0$，则对于任意常数$t_0$，$$F(t_0) = \iint_D [f(x,y)-t_0]dxdy \leq 0$$但是根据定义，当 $t=t_0=m$ 时，$$F(m) = \iint_D [f(x,y)-m]dxdy \geq 0$$这与上式矛盾。

略谈积分中值定理及其应用(优选)word资料略谈积分中值定理及其应用白永丽 张建中(平顶山工业职业技术学院)积分中值定理是定积分的一个重要性质，它建立了定积分与被积函数之间的关系，从而使我们可以通过被积函数的性质来研究积分的性质，有较高的理论价值和广泛的应用。

本文就其在解题中的应用进行讨论。

一、积分中值定理的内容：定理1（积分第一中值定理） 若)x (f 在]b ,a [上连续，则在]b ,a [上至少存在一点ξ使得b a ),a b ()(f dx )x (f ba≤ξ≤-ξ=⎰（1）定理2（推广的积分第一中值定理） 若)x (g ),x (f 在闭区间]b ,a [上连续，且)x (g 在]b ,a [上不变号，则在]b ,a [至少存在一点ξ，使得b a ,dx )x (g )(f dx )x (g )x (f baba≤ξ≤ξ=⎰⎰ （2）证明：（推广的积分第一中值定理）不妨设在]b ,a [上0)x (g ≥则在]b ,a [有)x (Mg )x (g )x (f )x (mg ≤≤其中m,M 分别为)x (f 在]b ,a [上的最小值与最大值，则有：⎰⎰⎰≤≤bab ab adx )x (g M dx )x (g )x (f dx )x (g m若⎰=b a0dx )x (g ，则由上式知⎰=ba0dx )x (g )x (f ，从而对]b ,a [上任何一点ξ，定理都成立。

若⎰≠ba 0dx )x (g 则由上式得：M dx)x (g dx)x (g )x (f m baba≤≤⎰⎰则在]b ,a [上至少有一点ξ，使得⎰⎰=ξbabadx)x (g dx)x (g )x (f )(f即：.b x a ,dx )x (g )(f dx )x (g )x (f bab a≤≤ξ=⎰⎰显然，当1)x (g ≡时，（2）式即为（1）式二、积分中值定理的应用由于该定理可以使积分号去掉，从而使问题简化，对于证明包含函数积分和某个函数值之间关系的等式或不等式，常可以考虑使用积分中值定理，在应用积分中值定理时应注意以下几点：（1）在应用中要注意被积函数在区间]b ,a [上连续这一条件，否则，结论不一定成立。

积分中值定理的证明过程
积分中值定理的证明：设f(x)在[a，b]上连续，且最大值为m,最小值为m，最大值和最小值可相等。

由估值定理及连续函数的介值定理可证明积分中值定理。

积分中值定理在应用中所起到的重要作用是可以使积分号去掉，或者使复杂的被积函
数化为相对简单的被积函数，从而使问题简化。

因此，对于证明有关题设中含有某个函数
积分的等式或不等式，或者要证的结论中含有定积分，或者所求的极限式中含有定积分时，一般应考虑使用积分中值定理，去掉积分号，或者化简被积函数。

不等式证明
积分不等式是指不等式中含有两个以上积分的不等式,当积分区间相同时,先合并同一
积分区间上的不同积分,根据被积函数所满足的条件,灵灵活运用积分中值定理,以达到证
明不等式成立的目的。

在证明的定分数不等式时, 常常考量运用分数中值定理, 以便换成分数符号, 如果被
内积函数就是两个函数之积时, 可以考量用分数第一或者第二中值定理。

对于某些不等式
的证明, 运用原分数中值定理就可以获得“≥”的结论, 或者不等式显然无法获得证明。

而运用改良了的分数中值定理之后, 则可以获得“\ue”的结论, 或者顺利的解决问题。

积分中值定理（开区间）的几种证明方法定理：设f 在[,]a b 上连续，则(,)a b ξ∃∈，使得()()()ba f x dx fb a ξ=-⎰。

[证一]：由积分第一中值定理（P217），[,]a b ξ∃∈， 使得()()()b a f x dx f b a ξ=-⎰。

于是[()()]0.b af x f dx ξ-=⎰ 由于函数()()()F x f x f ξ=-在[,]a b 上连续，易证（可反证）：(这还是书上例2的结论)(,)a b η∃∈，使得()()()0F f f ηηξ=-=，即()()f f ηξ=。

[证二]：令()()xa F x f t dt =⎰，则()F x 在[,]ab 上满足拉格朗日中值定理的条件，故(,)a b ξ∃∈，使得()()()()F b F a F b a ξ'-=-，即结论成立。

（注：书上在后面讲的微积分基本定理）[证三]：反证：假设不(,)a b ξ∃∈，使得 ()()()ba f x dx fb a ξ=-⎰，由积分第一中值定理，知ξ只能为a 或b ，不妨设为b ，即1(,),()()()b a x a b f x f b f x dx b a∀∈≠=-⎰。

由于f 连续，故(,),x a b ∀∈ ()()f x f b >（或()()f x f b <），（这一点是不是用介值定理来说明）这样（上限x 改为b ）()()()().xba a f x dx fb dx f b b a >=-⎰⎰ （这个严格不等号不太显然要用书上例2结论来说明）矛盾。

[证四]：设f 在[,]a b 上的最大值为M ，最小值为m 。

若m M =，则f c ≡，ξ可任取。

若m M <，则1[,]x a b ∃∈，有1()0M f x ->，故[()]0b a M f x dx ->⎰，即 ()().ba f x d x Mb a<-⎰同理有()().ba mb a f x dx -<⎰ 由连续函数的介质定理知：(,)a b ξ∃∈，使得 1()().b a f f x dx b aξ=-⎰。

积分中值定理（开区间）的几种证明方法定理：设f 在[,]a b 上连续，则(,)a b ξ∃∈，使得()()()ba f x dx fb a ξ=-⎰。

[证一]：由积分第一中值定理（P217），[,]a b ξ∃∈， 使得()()()b a f x dx f b a ξ=-⎰。

于是[()()]0.b af x f dx ξ-=⎰ 由于函数()()()F x f x f ξ=-在[,]a b 上连续，易证（可反证）：(这还是书上例2的结论)(,)a b η∃∈，使得()()()0F f f ηηξ=-=，即()()f f ηξ=。

[证二]：令()()xa F x f t dt =⎰，则()F x 在[,]ab 上满足拉格朗日中值定理的条件，故(,)a b ξ∃∈，使得()()()()F b F a F b a ξ'-=-，即结论成立。

（注：书上在后面讲的微积分基本定理）[证三]：反证：假设不(,)a b ξ∃∈，使得 ()()()ba f x dx fb a ξ=-⎰，由积分第一中值定理，知ξ只能为a 或b ，不妨设为b ，即1(,),()()()b a x a b f x f b f x dx b a∀∈≠=-⎰。

由于f 连续，故(,),x a b ∀∈ ()()f x f b >（或()()f x f b <），（这一点是不是用介值定理来说明）这样（上限x 改为b ）()()()().xba a f x dx fb dx f b b a >=-⎰⎰ （这个严格不等号不太显然要用书上例2结论来说明）矛盾。

[证四]：设f 在[,]a b 上的最大值为M ，最小值为m 。

若m M =，则f c ≡，ξ可任取。

若m M <，则1[,]x a b ∃∈，有1()0M f x ->，故[()]0b a M f x dx ->⎰，即 ()().ba f x d x Mb a<-⎰同理有()().ba mb a f x dx -<⎰ 由连续函数的介质定理知：(,)a b ξ∃∈，使得 1()().b a f f x dx b aξ=-⎰。