重积分积分中值定理

积分中值定理与推广积分中值定理区间问题一、积分中值定理的基本概念1.1 积分中值定理的定义积分中值定理是微积分中的重要定理之一，它是对函数在闭区间上的平均值与极限值之间的关系进行了精确的描述。

积分中值定理的内容主要包括了两个部分：第一部分是零点定理，即如果函数在闭区间上连续，并且在该闭区间上取得了最大值和最小值，那么在该闭区间上一定存在至少一个点使得函数的导数等于零；第二部分是平均值定理，即如果一个函数在一个闭区间上连续，那么一定存在至少一个点，使得该点的导数等于函数在该区间上的平均增量。

积分中值定理的内容简单而深刻，它为我们理解函数在闭区间上的性质提供了重要的依据。

1.2 积分中值定理的应用积分中值定理在实际问题中有着广泛的应用，它不仅可以帮助我们理解函数的性质，还可以为我们提供在实际问题中对函数的特定取值进行估计的依据。

比如在物理学中，积分中值定理可以用来描述物体在某一时刻的速度与位移之间的关系；在经济学中，积分中值定理可以用来解释市场上产品的供求关系；在生物学中，积分中值定理可以用来分析生物体在生长过程中的变化规律等等。

积分中值定理是微积分中的基础定理之一，它在我们的日常生活和各个学科领域中都有着重要的地位。

二、推广积分中值定理区间问题2.1 区间问题的提出在积分中值定理的基础上，我们可以进一步进行推广，即考虑函数在开区间上的性质。

具体来说，我们可以考虑以下问题：如果一个函数在一个开区间上连续，那么它在该开区间上是否一定存在着一个点，使得该点的导数等于函数在该开区间上的平均增量呢？这个问题就是推广积分中值定理区间问题。

2.2 区间问题的解决针对区间问题，我们可以通过微积分中的基本原理进行研究。

我们可以利用函数的连续性和导数的存在性来证明函数在开区间上的平均增量一定存在，然后利用积分中值定理的零点定理和平均值定理来证明在该开区间上一定存在着一个点，使得该点的导数等于函数在该开区间上的平均增量。

目录摘要····································································错误！未定义书签。

关键词····································································错误！未定义书签。

毕业论文题目：积分中值定理及应用学号：姓名：年级：系别：数学系专业：数学与应用数学指导教师：完成日期：年月日积分中值定理及应用摘要本论文的主要内容是积分中值定理及其应用，全文分为以下几个方面：积分中值定理及推广、积分中值定理中值点ξ的渐进性、积分中值定理的应用。

首先讨论了定积分中值定理、第一积分中值定理、第二中值定理以及它们的推广，而且还给出了这些定理的详细证明过程。

其次研究了中值定理中值点ξ的渐进性，对第一积分中值定理的ξ点做了详细讨论，给出了详细清楚的证明过程。

而第二积分中值定理的渐进性问题只证明了其中的一种情形，其他证明过程只作简要说明。

最后归纳了积分中值定理的应用，给出了一些较简单的情形如估计积分值，求含有定积分的极限，确定积分号、比较积分大小，证明函数单调性还有阿贝尔判别法和狄理克莱判别法这两个定理的证明。

关键词：积分中值定理；推广；应用；渐进性INTEGRAL MEAN V ALUE THEOREM AND APPLICATIONAbstractThe main content of this paper is integral mean value theorem and its application ,the letter divides into the following respects :Integral mean value theorem and promotion 、Integral mean value theorem point in the progressive 、The application of integral mean value theorem .First discuss the definite integral mean value theorem 、the first integral mean value theorem 、the first second mean value theorem and their promotion ,and it gives the theorem of the detailed process of proof .Secondly the mean value theorem point in the progressive ,the first integral mean value theorem to do a detailed discussion of the points ,gives the detailed processclear evidence .And the second integral mean-value theorem proved, the only problem with one of the case ,other identification process only briefly .Finally summarizes the integral mean value theorem of applications ,to give some simple situation such as estimated integral value ,calculation of the definite integral contains limit ,sure integral symbols ,contrast integral size ,prove functional monotonicity and the theorems proof of Abel discriminant method and DiLi klein discriminant method .Key words: integral mean-value; theorem promotion ;apply;progressive目录1 前言 (3)2积分中值定理 (4)2.1定积分中值定理及推广 (4)2.1.1定积分中值定理 (4)2.1.2定积分中值定理的推广 (6)2.2积分第一中值定理及推广 (6)2.2.1积分第一中值定理 (6)2.2.2积分第一中值定理的推广 (6)2.3积分第一中值定理及推广 (9)2.3.1积分第二中值定理 (9)2.3.2积分第二中值定理的推广 (12)2.4重积分的中值定理 (12)2.4.1二重积分的中值定理 (12)2.4.2三重积分的中值定理 (13)2.5曲线积分中值定理 (14)2.5.1第一曲线积分中值定理 (14)2.5.2第二曲线积分中值定理 (14)2.6曲面积分中值定理 (16)2.6.1第一曲面积分中值定理 (16)2.6.2第二曲面积分中值定理 (16)3 积分中值定理中值点的渐进性 (18)3.1 第一积分中值定理中值点的渐进性 (18)3.2 第二积分中值定理中值点的渐进性 (22)4 积分中值定理的应用 (24)4.1 估计积分值 (2424)4.2 求含定积分的极限 (25)4.3 确定积分号 (27)4.4 比较积分大小 (27)4.5 证明中值点的存在性 (2827)4.6 证明函数的单调性 (28)4.7 证明定理 (29)结论 (32)参考文献 (33)致谢 (34)1前言随着时代的发展，数学也跟着时代步伐大迈步前进。

精品文档第九章 重积分一、学习目的与要求1、加深理解二重积分与三重积分的概念，熟悉重积分的性质。

2、熟练掌握二重积分的计算方法（包括直角坐标与极坐标系下的计算）。

3、熟练掌握三重积分的计算方法（包括直角坐标、柱坐标以及球坐标系下的计算）。

4、能用重积分来表达一些几何量与物理量（如体积、曲面面积、质量、重心、转动惯量等）。

二、学习重点二重积分和三重积分的计算法三、内容提要1、重积分的定义⎰⎰∑=→∆=Dni iiif d y x f 1),(lim ),(σηξσλ（与D 的划分及),(i i ηξ取法无关），其中D 为平面有界闭区域，}{max ),,,2,1(),(1的直径i ni i i i n i σλσηξ∆==∆∈≤≤ 。

⎰⎰⎰∑Ω=→∆=ni i iiiV f dV z y x f 1),,(lim ),,(ζηξλ（与Ω的划分及),,(i i i ζηξ取法无关，其中Ω为空间有界闭区域，}{max ),,,2,1(),,(1的直径i ni i i i i V n i V ∆==∆∈≤≤λζηξ 。

2、重积分的几何意义当0),(≥y x f 时，⎰⎰Dd y x f σ),(表示以区域D 为底，以曲面z =f (x,y )为顶的曲顶柱体体积。

当1),(≡y x f 时，⎰⎰Dd σ表示平面区域D 的面积。

当1),,(≡z y x f 时，⎰⎰⎰ΩdV表示空间区域Ω的体积。

3、重积分的可积性若),(y x f （或),,(z y x f ）在有界闭区域D （或Ω）上分块连续，则),(y x f （或),,(z y x f ）在D （或Ω）上可积。

4、重积分的性质二重积分与三重积分具有类似的性质，现以二重积分为例，并假设所有被积函数都是可积的。

（Ⅰ）线性性质⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=+DDDd y x g k d y x f k d y x g k y x f kσσσ),(),()],(),([2121，其中k 1,k 2为常数。

重积分基础概念在数学中，积分是一个非常重要的概念，它是微积分中的一个核心内容。

而在积分的概念中，重积分是其中的一种特殊情况。

本文将为您介绍重积分的基础概念。

1. 一重积分的定义一重积分是对一维空间中的函数在给定区间上的积分运算。

设函数f(x)在区间[a, b]上连续，则[a, b]上f(x)的积分可以表示为：∫[a,b] f(x) dx其中∫表示积分运算，f(x)为被积函数，dx表示积分变量。

2. 重积分的定义重积分是对多维空间中的函数在给定区域上的积分运算。

设函数f(x,y)在闭区域D上连续，则D上f(x,y)的积分可以表示为：∬D f(x,y) dσ其中∬表示重积分运算，f(x,y)为被积函数，dσ表示面积元素。

3. 重积分的几何意义重积分的几何意义是计算多维区域上的体积或者质量。

对于函数f(x,y)，它在区域D上的积分结果表示了函数f(x,y)在该区域上的平均值乘以区域D的面积。

4. 重积分的计算方法对于重积分的计算，可以使用多种方法，包括直接计算和变量替换等。

直接计算是将区域D划分成小的子区域，然后计算每个子区域的面积乘以函数值的和。

变量替换是将原来的积分区域通过变换映射到更易计算的区域上。

5. 重积分的性质重积分具有一些重要的性质，包括线性性、保号性和积分中值定理等。

线性性表示对于任意实数k，两个函数f(x,y)和g(x,y)的线性组合的积分等于它们分别积分后再求和。

保号性表示对于函数f(x,y)，如果f(x,y)在区域D上总是非负的，则D上f(x,y)的积分也非负。

积分中值定理表示在区域D上，存在一点(x0, y0)，使得f(x0,y0)等于D上f(x,y)的平均值。

在实际问题中，重积分在物理学、经济学、工程学等领域中有广泛的应用。

通过对重积分的理解和运用，可以更好地解决实际问题，并推动科学的发展和进步。

总结起来，重积分是对多维空间中函数在给定区域上的积分运算。

它有着重要的几何意义和计算方法。

㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２２ ３１积分中值定理的推广及应用积分中值定理的推广及应用Һ丁建华㊀（甘肃有色冶金职业技术学院教育系，甘肃㊀金昌㊀７３７１００）㊀㊀ʌ摘要ɔ本文首先对积分中值定理的几何特征进行详细介绍，并对该定理中ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上恒为常数㊁ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上不为常数函数做出一定的补充，并证明此结论也是成立的；其次，对第一积分中值定理和第二积分中值定理进行了推广，并进一步证明了结论的准确性；最后，通过不等式的证明㊁极限的求值进一步验证了改进结论的正确性．ʌ关键词ɔ中值定理；连续性；不等式一㊁积分中值定理的几何特征与补充积分中值定理的几何意义可以理解为：若函数ｆ（ｘ）在闭区间［ａ，ｂ］上非负连续时，定积分ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ在几何上可以表示为ｙ＝ｆ（ｘ），ｘ＝ａ，ｘ＝ｂ及ｘ轴所围成的曲边梯形面积（如图１，定积分ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ表示曲边梯形ＡａｂＢ的面积）．根据闭区间上连续函数的性质，ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上存在最大值Ｍ和最小值ｍ，即∀ｘɪ［ａ，ｂ］，有ｍɤｆ（ｘ）ɤＭ，从而ｍ（ｂ－ａ）ɤʏｂａｆ（ｘ）ｄｘɤＭ（ｂ－ａ）．它可以化为ｍɤ１ｂ－ａʏｂａｆ（ｘ）ｄｘɤＭ．由连续函数的介值定理，则至少有这样的一个点ξɪ［ａ，ｂ］，使得ｆ（ξ）＝１ｂ－ａʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ，则ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ξ）（ｂ－ａ）．根据上面知识点，我们可以获得数学分析中常用的重要积分学性质和定理．积分中值定理㊀若函数ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续，则在［ａ，ｂ］上至少存在一点ξ，使得ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ξ）（ｂ－ａ）（ａɤξɤｂ）．这里要求函数ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续即可，对函数没有严格要求．进一步地，我们可将ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续的这一条件更改为ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上可积，其结论仍然成立．当ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续且非负时，积分公式ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ξ）（ｂ－ａ）有着明显的几何意义，即ｙ＝ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上的曲边梯形面积等于以图１所示的ｆ（ξ）为高㊁［ａ，ｂ］为底的矩形面积，即以ｆ（ξ）为高的矩形ＡａｂＤ的面积．㊀图１通过对上面图１进一步分析，我们可以发现定理中的ξɪ［ａ，ｂ］可以改为ξɪ（ａ，ｂ），事实上，若ξ仅取在［ａ，ｂ］的端点上，不妨设ξ＝ａ，则可从图２中看出，曲边梯形ＡａｂＢ的面积ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ与矩形ＡａｂＤ的面积不可能相等．㊀图２本文给出如下两种证明．证法一：若函数ｆ（ｘ）在闭区间［ａ，ｂ］上恒为常数，则ξ取（ａ，ｂ）内任意一点，结论都是成立的．若ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上为一个变量函数，设Ｍ，ｍ分别为ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上的最大值与最小值，则存在ｘ０ɪ（ａ，ｂ），使得ｍɤｆ（ｘ０）ɤＭ．事实上，若这样的ｘ０不存在，则在［ａ，ｂ］上必存在一点ｘ１，使得ｆ（ｘ）在ａ，ｘ１[]上恒有ｆ（ｘ）＝ｍ或ｆ（ｘ）＝Ｍ()，在［ｘ１，ｂ］上恒有ｆ（ｘ）＝Ｍ（或ｆ（ｘ）＝ｍ）．这样一来，ｘ１是间断点，与ｆ（ｘ）在区间［ａ，ｂ］上连续矛盾．又ｆ（ｘ）在ｘ０连续，则存在δ＞０，ｘ０－δ，ｘ０＋δ()⊂［ａ，ｂ］，当ｘ－ｘ０＜δ时，有ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ０）＜Ｍ－ｆ（ｘ０）２和ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ０）＜ｆ（ｘ０）－ｍ２，从而Ｍ－ｆ（ｘ０）＞Ｍ－ｆ（ｘ０）２＞０，ｆ（ｘ０）－ｍ＞ｆ（ｘ０）－ｍ２＞０，于是ʏｘ０＋δｘ０－δ［Ｍ－ｆ（ｘ）］ｄｘȡʏｘ０＋δｘ０－δＭ－ｆ（ｘ０）２éëêùûúｄｘ，即ʏｘ０＋δｘ０－δｆ（ｘ）ｄｘɤＭ－ｆ（ｘ０）２ʏｘ０＋δｘ０－δｄｘ，又ｆ（ｘ０）＜Ｍ，ʏｘ０＋δｘ０－δｆ（ｘ）ｄｘ＜Ｍʏｘ０＋δｘ０－δｄｘ，同理有ʏｘ０＋δｘ０－δｆ（ｘ）ｄｘ＞ｍʏｘ０＋δｘ０－δｄｘ，于是ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ＝ʏｘ０－δａｆ（ｘ）ｄｘ＋ʏｘ０＋δｘ０－δｆ（ｘ）ｄｘ＋ʏｂｘ０＋δｆ（ｘ）ｄｘ＜Ｍʏｘ０－δａｄｘ＋Ｍʏｘ０＋δｘ０－δｄｘ＋Ｍʏｂｘ０＋δｄｘ＝Ｍ（ｂ－ａ）．同理可得ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ＞ｍ（ｂ－ａ），㊀㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２２ ３１因此ｍ（ｂ－ａ）＜ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ＜Ｍ（ｂ－ａ），即ｍ＜１ｂ－ａʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ＜Ｍ．由介值定理，存在ξɪ（ａ，ｂ），使得ｆ（ξ）＝１ｂ－ａʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ，即ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ξ）（ｂ－ａ），其中ξɪ（ａ，ｂ）．证法二：作辅助函数Ｆ（ｘ）＝ʏｘａｆ（ｔ）ｄｔ，ｘɪ［ａ，ｂ］，则Ｆ（ｘ）是［ａ，ｂ］上的可微函数，且Ｆᶄ（ｘ）＝ｆ（ｘ），由微分中值定理，至少存在一点ξɪ（ａ，ｂ），使得Ｆ（ａ）－Ｆ（ｂ）＝Ｆᶄ（ξ）（ｂ－ａ）．注意到，Ｆ（ｂ）＝ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ，Ｆ（ａ）＝０，则有ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ξ）（ｂ－ａ），ξɪ（ａ，ｂ）．于是，我们可以进一步将积分中值定理进行推广．设ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续，ｇ（ｘ）在［ａ，ｂ］上不能等于零，同时符号不会改变，在这样特殊的情形下，可以得到如下的结论，ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ξ）ʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ，ξɪ（ａ，ｂ）．令Ｆ（ｘ）＝ʏｘａｆ（ｔ）ｇ（ｔ）ｄｔ，Ｇ（ｘ）＝ʏｘａｇ（ｔ）ｄｔ，则由微分学的柯西中值定理知，Ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）Ｇ（ｂ）－Ｇ（ａ）＝Ｆᶄ（ξ）Ｇ（ξ），ξɪ（ａ，ｂ），即有ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ξ）ｇ（ξ）ｇ（ξ），ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ξ）ʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ，ξɪ（ａ，ｂ）．但当ｇ（ｘ）在［ａ，ｂ］只是可积分，并且恒为正或恒为负时，前面我们进行推导的思路完全行不通，即不可能成立，因为可积不变号时，ｇ（ｘ）可以等于零，我们就不能使用上面的结论了．二㊁第一㊁第二积分中值定理的推广及其证明积分第一中值定理设函数ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续，ｇ（ｘ）在［ａ，ｂ］上可积不变号，则在［ａ，ｂ］存在一点ξ，使得ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ξ）ʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ．积分第二中值定理设（ⅰ）ｇ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续；（ⅱ）ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上单调递增且连续；（ⅲ）ｆ（ｘ）ȡ０，则必有ξɪ［ａ，ｂ］，使得ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ｂ）ʏｂξｇ（ｘ）ｄｘ．推论１．若积分第二中值定理中的递增改为递减，其他条件不变的情况下，则必有ξɪ［ａ，ｂ］，使得ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ａ）ʏξａｇ（ｘ）ｄｘ．２．若积分第二中值定理中的ｆ（ｘ）ȡ０去掉，则必有ξɪ［ａ，ｂ］，使得ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ａ）ʏξａｇ（ｘ）ｄｘ＋ｆ（ｂ）ʏｂξｇ（ｘ）ｄｘ．当ξ所在区间［ａ，ｂ］变为（ａ，ｂ），其余条件㊁结论不变，我们就可以将积分中值定理进一步推广．接下来，我们进一步证明积分中值定理的推广定理，先验证积分第一中值定理的推广．证明㊀由于ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续．设Ｍ为ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上的最大值，ｍ为ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上的最小值，即有ｍɤｆ（ｘ）ɤＭ，又由于ｇ（ｘ）在［ａ，ｂ］上定号，不妨令ｇ（ｘ）ȡ０（ｇ（ｘ）ɤ０的情况同理），从而有ｍｆ（ｘ）ɤｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ɤＭｇ（ｘ），即ｍʏｂａｇ（ｘ）ｄｘɤＭʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ．（１）ʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ＝０，由上面不等式的结论可知，ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝０，因此有ξɪ（ａ，ｂ），使得ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ξ）ʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ．（２）ʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ＞０．（ⅰ）如果ｍʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ＜ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＜Ｍʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ，即ｍ＜ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ＜Ｍ时，由闭区间上连续函数的介值定理我们可以知道，有一ξɪ（ａ，ｂ），使得ｆ（ξ）＝ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ，即ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ξ）ʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ．（ⅱ）如果ｍʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ＝ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ，（ａ）假如有一ξɪ（ａ，ｂ），都有ｆ（ξ）＝ｍ，我们可以得到ｍʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ξ）ʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ结论成立．（ｂ）除此之外，对任意的ｘɪ（ａ，ｂ），都有ｆ（ｘ）＞ｍ，而由ʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ＞０，必定存在充分小的数η，使得ʏｂ－ηａ＋ηｇ（ｘ）ｄｘ＞０（倘若不然的话，对于任意的正数η，都有ʏｂ－ηａ＋ηｇ（ｘ）ｄｘɤ０，从而ʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ＝ｌｉｍηң０ʏｂ－ηａ＋ηｇ（ｘ）ｄｘɤ０与ʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ＞０矛盾）．于是得到０＝ʏｂａ［ｆ（ｘ）－ｍ］ｇ（ｘ）ｄｘȡʏｂ－ηａ＋η［ｆ（ｘ）－ｍ］ｇ（ｘ）ｄｘ．利用原积分中值定理，得ʏｂ－ηａ＋η［ｆ（ｘ）－ｍ］ｇ（ｘ）ｄｘ＝［ｆ（ξᶄ）－ｍ］ʏｂ－ηａ＋ηｇ（ｘ）ｄｘ＞０，ξᶄɪ［ａ＋η，ｂ－η］⊂（ａ，ｂ）．与之比较，知矛盾．（ⅲ）Ｍʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ＝ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ，这个证明类似于证㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２２ ３１明（ⅱ）的过程．综上所述，存在ξɪ（ａ，ｂ），使得ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ξ）ʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ成立．证毕！根据积分第一中值定理的推广证明，我们同样可以对积分第二中值定理的推广进行证明．接下来，我们试证积分第二中值定理的推广结果．证明㊀由ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续，Ｆ（ｘ）＝ʏｘａｆ（ｔ）ｄｔ在［ａ，ｂ］上可导，从而有ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝ʏｂａｇ（ｘ）ｄＦ（ｘ）＝ｇ（ｂ）Ｆ（ｂ）－ʏｂａＦ（ｘ）ｇᶄ（ｘ）ｄｘ－ｇ（ａ）Ｆ（ａ）＝ｇ（ｂ）ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ－ʏｂａＦ（ｘ）ｇᶄ（ｘ）ｄｘ．对于ʏｂａＦ（ｘ）ｇᶄ（ｘ）ｄｘ应用推广的第一积分中值定理，得到ʏｂａＦ（ｘ）ｇᶄ（ｘ）ｄｘ＝Ｆ（ξ）［ｇ（ｂ）－ｇ（ａ）］，其中ξɪ（ａ，ｂ），从而有ʏｂａＦ（ｘ）ｇᶄ（ｘ）ｄｘ＝ｇ（ｂ）ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ－Ｆ（ξ）［ｇ（ｂ）－ｇ（ａ）］＝ｇ（ｂ）ʏξａｆ（ｘ）ｄｘ＋ʏｂξｆ（ｘ）ｄｘ[]－ʏξａｆ（ｘ）ｄｘ［ｇ（ｂ）－ｇ（ａ）］＝ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ａ）ʏξａｇ（ｘ）ｄｘ＋ｆ（ｂ）ʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ．证毕！三㊁积分中值定理的应用例１㊀证明下列积分不等式：（１）π２＜ʏπ２０１１－１２ｓｉｎ２ｘｄｘ＜π２；（２）２ｅ－１４＜ʏ２０ｅｘ２－ｘｄｘ＜２ｅ２．证明㊀（１）由积分中值定理，有π２＜ʏπ２０１１－１２ｓｉｎ２ｘｄｘ＝１１－１２ｓｉｎ２ξ㊃π２，其中ξɪ０，π２()，当ξɪ０，π２()时，有０＜ｓｉｎ２ξ＜１，从而１＜１１－１２ｓｉｎ２ξ＜２，因此有π２＜ʏπ２０１１－１２ｓｉｎ２ξｄｘ＜π２．证毕．（２）由定积分性质，有ʏ２０ｅｘ２－ｘｄｘ＝ʏ１２０ｅｘ２－ｘｄｘ＋ʏ２１２ｅｘ２－ｘｄｘ＝１２ｅξ２１－ξ１＋３２ｅξ２２－ξ２，其中ξ１ɪ０，１２()，ξ２ɪ１２，２()，又ｅｘ在－ɕ，＋ɕ()上严格单调递增，而ｆ（ｘ）＝ｘ２－ｘ在０，１２[]上严格单调递减，在１２，２[]上严格单调递增，所以，当ξ１ɪ０，１２()时，ｅ－１４＜ｅξ２１－ξ１＜１；当ξ２ɪ１２，２()时，ｅ－１４＜ｅξ２２－ξ２＜ｅ２．从而１２ｅξ２１－ξ１＋３２ｅξ２２－ξ２＞１２ｅ－１４＋３２ｅ－１４＝２ｅ－１４，１２ｅξ２１－ξ１＋３２ｅξ２２－ξ２＜１２＋３２ｅ２＜２ｅ２，因此２ｅ－１４＜ʏ２０ｅｘ２－ｘｄｘ＜２ｅ２．如果ξ取自任意闭区间，使得积分中值定理成立，则需要将例１的证明结果做进一步的讨论．由此可见，对积分中值定理进行改进或者推广对我们的学习很有帮助，当然，我们也要合理使用该定理，否则就会出现错误的结论．例２㊀证明：ｌｉｍｎңɕʏ１０ｘｎ１＋ｘｄｘ＝０．如果利用积分中值定理，得ʏ１０ｘｎ１＋ｘｄｘ＝ξｎ１＋ξ，其中ξɪ０，１()，从而ｌｉｍｎңɕʏ１０ｘｎ１＋ｘｄｘ＝ｌｉｍｎңɕʏ１０ξｎ１＋ξｄｘ＝０，这是错误的，因为ξ与ｎ有关．正确的解法是：因为０ɤｘｎ１＋ｘɤｘｎ，ｘɪ０，１[]，所以０ɤʏ１０ｘｎ１＋ｘｄｘɤʏ１０ｘｎｄｘ，而ʏ１０ｘｎｄｘ＝１１＋ｎ，ｌｉｍｎңɕ１１＋ｎ＝０，因此ｌｉｍｎңɕʏ１０ｘｎ１＋ｘｄｘ＝０．证毕！ʌ参考文献ɔ［１］华东师范大学数学系．数学分析（第四版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０１０．［２］黎金环，刘丽霞，朱佑彬．积分中值定理在一道极限题的应用分析［Ｊ］．高等数学研究，２０２１（２）．［３］同济大学数学教研室．高等数学［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９９３．［４］郝玉芹，时立文，欧阳占瑞．对积分中值定理结论的一点改动［Ｊ］．河北能源职业技术学院学报，２００７（３）．［５］周冰洁．巧用积分中值定理［Ｊ］．现代职业教育，２０１９（３１）．［６］余小飞．积分中值定理在积分不等式中的应用［Ｊ］．当代教育实践与教学研究，２０１７（８）．。

积分中值定理及其应用摘要:本论文主要内容是积分中值定理及其应用，主要从以下几个方面论述：积分中值定理、积分中值定理的推广、积分中值定理中值点的渐进性，积分中值定理的应用.关键词：积分中值定理；推广；应用一、引言随着科技时代的发展，数学也随之大步前进.其中，微积分的创立，为数学的发展奠定了不可磨灭的基础.积分中值定理是作为微积分中的一个重要性质，而且在数学分析的学习过程占有很重要的地位，对于后续课程的学习也起着较大作用，在此我就把积分中值定理及其应用简单清晰论述一下.通常情况下，积分中值定理包含第一积分中值定理、第二积分中值定理.而在此我们既讨论了在特殊情况下的积分中值定理，即在一个区间上的情形.还讨论了在几何形体上二重、三重积分的情形的积分中值定理.并且这两个定理在各个方面的应用都较为广泛，比如物理学和数学.我们将积分中值定理加以应用，把微积分体系中比较基础的东西找出更为简单的解决方式：数学中一些定理的证明，数学定理、命题，几何应用，含定积分的极限应用，确定积分符号，比较积分大小，证明函数单调性，估计积分值.虽然有时第一积分中值定理在处理一些积分极限问题上显得很繁琐，但是我们任然可以把它当作一个基础定理，解决一些现实问题.本课题的研究过程为：讨论和分析积分中值定理，然后将其加以推广，讨论各个积分中值定理中的中间点的渐进性质，最后论述了积分中值定理在各方面的应用问题.课题研究的主要目标则是通过研究和分析积分中值定理、推广、渐进性，将各方面的应用如：估计积分值，求含有定积分的极限，确定积分号，比较积分大小，证明函数的单调性还有对阿贝尔判别法和狄理克莱判别法这两个定理的证明总结出积分中值定理并把其以论文的形式整理出来.二、 积分中值定理的证明 1、 定积分中值定理引理：假设M 和m 分别为函数()f x 在区间[,]a b 上的最大值和最小值，则有()()(),()bam b a f x dx M b a a b -≤≤-<⎰成立.证明：因为M 和m 分别为函数()f x 在区间[,]a b 上的最大值和最小值，即()m f x M ≤≤，我们对不等式进行积分可得()bb baaamdx f x dx Mdx≤≤⎰⎰⎰，由积分性质可知()()()bam b a f x dx M b a -≤≤-⎰ （1）成立，命题得证.定理1（定积分中值定理）：如果函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，则在区间[,]a b 上至少存在一个点ξ，使下式()()(),()baf x dx f b a a b ξξ=-≤≤⎰成立.证明：由于0b a ->，将（1）同时除以b a -可得1()ba m f x dx Mb a ≤≤-⎰.此式表明1()baf x dx b a -⎰介于函数()f x 的最大值M 和最小值m 之间.由闭区间上连续函数的介值定理，在闭区间[,]a b 上至少存在一点ξ，使得函数()f x 在点ξ处的值与这个数相等，即应该有1()()ba f x dx fb a ξ=-⎰，成立，将上式两端乘以b a -即可得到()()(),()baf x dx f b a a b ξξ=-≤≤⎰，命题得证.备注1：很显然，积分中值定理中公式()()()baf x dx f b a ξ=-⎰（ξ在a 与b 之间）不论a b <或a b >都是成立的.2、 积分第一中值定理定理2（第一积分中值定理）：如果函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，()g x 在(,)a b 上不变号，并且()g x 在[,]a b 上是可积的，则在[,]a b 上至少存在一点ξ，使得()()()(),()bbaaf xg x dx f g x dx a b ξξ=≤≤⎰⎰成立.证明：由于()g x 在[,]a b 上不变号，我们不妨假设()0g x ≥，并且记()f x 在[,]a b 上的最大值和最小值为M 和m ，即()m f x M ≤≤，将不等式两边同乘以()g x 可知，此时对于任意的[,]x a b ∈都有()()()()mg x f x g x Mg x ≤≤成立.对上式在[,]a b 上进行积分，可得()()()()b b baaam g x dx f x g x dx M g x dx≤≤⎰⎰⎰.此时在,m M 之间必存在数值μ，使得m M μ≤≤，即有()()()bbaaf xg x dx g x dxμ=⎰⎰成立.由于()f x 在区间[,]a b 上是连续的，则在[,]a b 上必定存在一点ξ，使()f ξμ=成立.此时即可得到()()()()bbaaf xg x dx f g x dxξ=⎰⎰，命题得证.3、 积分第二中值定理定理3（积分第二中值定理）：如果函数()f x 在闭区间[,]a b 上可积，而()g x 在区间(,)a b 上单调，则在[,]a b 上至少存在一点ξ，使下式成立()()()()()()bbaaf xg x dx g a f x dx g b f x dxξξ=+⎰⎰⎰ （2）特别地，如果()g x 在区间(,)a b 上单调上升且()0g a ≥ ，那么存在ξ，使下式成立()()()()bbaf xg x dx g b f x dxξ=⎰⎰ （3）如果()g x 在区间(,)a b 上单调下降且()0g b ≥，那么存在ξ，使下式成立()()()()baaf xg x dx g a f x dxξ=⎰⎰ （4）证明：由题设条件知(),()f x g x 在区间[,]a b 上都是可积的，由积分性质可知()()f x g x ⋅也是可积的.我们先证明（3）式，即在()g x 非负、且在区间(,)a b 上单调上升的情形下加以证明. 对于（4）式证明是类似的，最后我们再将其推导到一般情形，即可证明（2）式. 在区间[,]a b 上取一系列分点使011i i n a x x x x x b-=<<<<<<=，记1i i i x x x -∆=-，其中iω为()g x 在ix ∆上的幅度，即11[][]sup {()}inf {()}i i i i i x x x x g x g x ω----=-，再将所讨论的积分作如下改变：将积分限等分为如下n 等份，并且记11()[()()]ii nx i x i f x g x g x dx ρ-=-=∑⎰，11()()ii nx ix i g x f x dx σ-==∑⎰.则11()()()()ii nbx ax i f x g x dx f x g x dx-==∑⎰⎰1111()()()[()()]i ii i nnx x i i x x i i g x f x dx f x g x g x dx σρ--===+-≡+∑∑⎰⎰，因为()f x 在[,]a b 上可积，且区间[,]a b 是有限的，所以()f x 在[,]a b 上有界，此时我们不妨假设()f x L≤.估计ρ如下：11()[()()]ii nx i x i f x g x g x dxρ-==-∑⎰11()()()ii nx i x i f x g x g x dx-=≤-∑⎰11()()()ii nx i i x i f x g x g x dx-=≤-∑⎰111ii nnx i i ix i i L dx L x ωω-==≤=∆∑∑⎰由于()g x 可积，所以当max 0i x λ=∆→时，有1ni i i x ω=∆→∑，从而有0lim 0λρ→=，从而可知()()lim()lim lim b af xg x dx λλλσρσρ→→→=+=+⎰11lim lim ()()ii nx i x i g x f x dxλλσ-→→===∑⎰我们记()()bxF x f x dx=⎰，由于函数()f x 在闭区间[,]a b 上可积，那么函数()F x 是[,]a b 上的连续函数，并且有最大值和最小值M 和m ，记为()i m F x M≤≤，很显然11()()()ii x i i x f x dx F x F x --=-⎰，0()()0F x F b ==，从而11()()ii nx i x i g x f x dxσ-==∑⎰[]11()()()ni i i i g x F x F x -==-∑111()()()()nni i i i i i g x F x g x F x -===-∑∑110121()()()()()()nn i i i i i i g x F x g x F x g x F x --===+-∑∑11011()()[()()]()n i i i i g x F x g x g x F x -+==+-∑因为()g x 是非负的，并且在区间(,)a b 上单调上升，即有10()()()0g x g x g a ≥=≥、1()()0i i g x g x +-≥成立，所以有下式成立()()11111111{()()()}{()()()}n n i i i i i i m g x g x g x M g x g x g x σ--++==+-≤≤+-∑∑.即有()()mg b Mg b σ≤≤成立.从而可以得到lim ()g b σμ=，其中μ满足m M μ<<.由于函数()F x 连续，则在[,]a b 之间存在一点ξ，使()()bF f x dxξμξ==⎰成立，从而有公式（2-3）成立，即()()()()bbaf xg x dx g b f x dxξ=⎰⎰成立，（3）式得证.对于()g x 单调下降且()0g b ≥的情形即公式（4）的证明过程是类似的，证明略.对于()g x 是一般单调上升情形，我们作辅助函数()()()x g x g a ψ=-，其中ψ为单调上升且()0a ψ≥，此时公式（3）对于()x ψ是成立的，即存在ξ使[][]()()()()()()bbaf xg x g a dx g b g a f x dxξ-=-⎰⎰成立，这就证明了公式（2）()()()()()()b baaf xg x dx g a f x dx g b f x dxξξ=+⎰⎰⎰.对于()g x 是一般单调下降的情形，此时应用公式（4），同样可得到（2）式，此命题得证.三、 积分中值定理的推广 1、定积分中值定理的推广定理7（推广的定积分中值定理） ：如果函数()f x 在闭区间[,]a b 连续，则在开区间(,)a b 至少存在一个点ξ，使得下式()()(),()baf x dx f b a a b ξξ=-<<⎰成立.证明：作辅助函数()F x 如下：()(),[,]xaF x f t dt x a b =∈⎰.由于()f x 在闭区间[,]a b 连续，则()F x 在[,]a b 上可微，且有()()F x f x '=成立.由微分中值定理可知：至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()()()()F b F a F b a ξ'-=-成立.并且有()()baF b f t dt=⎰，()0F a =，此时即可得到下式()()(),(,)baf t dt f b a a b ξξ=-∈⎰，命题得证.2、定积分第一中值定理的推广定理8（推广的定积分第一中值定理）： 若函数()f x 是闭区间[,]a b 上可积函数，()g x 在[,]a b 上可积且不变号，则在开区间(,)a b 上至少存在一点ξ，使得()()()(),(,)bbaaf xg x dx f g x dx a b ξξ=∈⎰⎰成立.证法1：由于函数()f x 在闭区间[,]a b 上是可积的，()g x 在[,]a b 上可积且不变号，令()()()xaF x f t g t dt=⎰，()()xaG x g t dt=⎰，很显然(),()F x G x 在[,]a b 上连续.并且()0,()()()baF a F b f t g t dt==⎰，()0,()()b aG a G b g t dt==⎰，()()()F f g ξξξ'=，()()G g ξξ'= .由柯西中值定理即可得到()()(),(,)()()()F b F a F a b G b G a G ξξξ'-=∈'-，即()()()()()()babaf tg t dtf g g g t dtξξξ=⎰⎰，()()()(),(,)bbaaf tg t dt f g t dt a b ξξ=∈⎰⎰，命题得证.证法2：由于函数()g x 在[,]a b 上可积且不变号，我们不妨假设()0g x ≥.而函数()f x 在闭区间[,]a b 上可积，我们令{}inf ()|[,]m f x x a b =∈，{}sup ()|[,]M f x x a b =∈.假设()F x 是()f x 在闭区间[,]a b 上的一个原函数，即()(),[,]F x f x x a b '=∈.此时我们有下式成立()()()()bbb aaam g x dx f x g x dx M g x dx≤≤⎰⎰⎰（1）由于()0g x ≥，则有()0ba g x dx ≥⎰，以下我们分两种情形来进行讨论：[1]如果()0bag x dx =⎰，由（3-1）式可知()()0baf xg x dx =⎰，则此时对于(,)a b ξ∀∈有()()0()()bbaaf xg x dx f g x dxξ==⎰⎰成立.[2]如果()0b ag x dx >⎰，将（3-1）式除以()bag x dx⎰可得()()()babaf xg x dxm Mg x dx≤≤⎰⎰，（2）我们记()()()babaf xg x dxg x dxμ=⎰⎰，（3）此时我们又分两种情形继续进行讨论：i 如果（2）式中的等号不成立，即有()()()babaf xg x dxm Mg x dx<<⎰⎰成立，则此时存在m M μ<<，使得12(),()m f x f x Mμμ<≤<≤，我们不妨假设12x x <，其中12,[,]x x a b ∈.因为()()F x f x '=，[,]x a b ∈，则有1122()()()()F x f x f x F x μ''=<<=.此时至少存在一点12(,)x x ξ∈，使得()()F f ξξμ'==，即有12()()()(),(,)[,]bbaaf xg x dx f g x dx x x a b ξξ=⋅∈∈⎰⎰成立，从而结论成立.ii 如果（2）式中仅有一个等号成立，不妨假设M μ=，因为()0bag x dx >⎰，此时必存在11[,](,)a b a b ∈（其中11a b <），使得11[,]x a b ∀∈，恒有()0g x >成立，我们则可将（3）式可改写为()()()b baag x dx f x g x dxμ⋅=⎰⎰，因为M μ=，则有[()]()0baM f x g x dx -=⎰（4）又注意到[()]()0M f x g x -≥，必有110[()]()[()]0b ba aM f x g x dx M f x dx ≤-≤-=⎰⎰.于是11[()]()0b a M f x g x dx -=⎰（5）下证必存在11[,](,)a b a b ξ∈⊂，使()f M ξμ==.若不然，则在11[,]a b 上恒有()0M f x ->及()0g x >成立，从而[()]()0M f x g x ->.如果11[()]()0b a M f x g x dx -=⎰，由达布定理在11[,]a b 上有[()]()0M f x g x -，这与[()]()0M f x g x ->矛盾.如果11[()]()0b a M f x g x dx ->⎰，这与（5）式矛盾.所以存在[,]a b ξ∈，使()()()(),(,)bbaaf xg x dx f g x dx a b ξξ=∈⎰⎰，定理证毕.3、 推广定积分第二中值定理定理9（推广定积分第二中值定理）： 如果函数()f x 在闭区间[,]a b 可积，()g x 在区间[,]a b 上可积且不变号，则在(,)a b 上必存在一点ξ，使得()()()()()(),(,)bc baacf xg x dx g a f x dx g b f x dx a b ξ=+∈⎰⎰⎰成立.证明过程详见参考文献[9].4、 第一曲线积分中值定理定理10（第一型曲线积分中值定理）： 如果函数(,)f x y 在光滑有界闭曲线C 上连续，则在曲线C 上至少存在一点(,)ξη，使(,)(,)Cf x y ds f Sξη=⎰成立，其中S 为曲线C 的弧长.证明：因为函数(,)f x y 在光滑有界闭曲线C 上连续，所以存在,m M R ∈，其中(,)m f x y M ≤≤，对不等式在闭曲线C 上进行第一类曲线积分可得(,)CCCm ds f x y ds M ds⋅≤≤⋅⎰⎰⎰，其中Cds⎰为曲线C 的弧长，并且Cds S=⎰，由于0S >，将上式同除以常数S ，即可得到1(,)C m f x y ds M S ≤≤⎰，由于函数(,)f x y 在曲线C 上连续，故由闭区间上连续函数的介值定理，在曲线C 上至少存在一点(,)ξη，使1(,)(,)C f f x y ds S ξη=⎰成立，左右两边同除以常数S ，即可得到结论，从而命题得证.5、 第二曲线积分中值定理定理11（第二型曲线积分中值定理）：如果函数(,)f x y 在光滑有向曲线C 上连续，则在曲线C 上至少存在一点(,)ξη，使得(,)(,)Cf x y dx f Iξη=±⋅⎰成立.其中I 为光滑有向曲线C 在x 轴正向上的投影，其中符号“±”是由曲线C 的方向确定的.证明：因为函数(,)f x y 在有界闭曲线C 上连续，所以存在,m M R ∈，其中(,)m f x y M ≤≤，对上式进行第二型曲线积分可得(,)cCcm dx f x y dx M dx≤≤⎰⎰⎰（6）其中cdx ⎰为有向光滑曲线C 在x 轴上的投影，此时我们不妨记cdx I =±⎰，并且分以下两种情况进行讨论：[1]假设cdx I =⎰，将（3-6）式除以I 可得1(,)C m f x y dx M I ≤≤⎰.因为(,)f x y 在C 上连续，故由介值定理，则在曲线C 上至少存在一点(,)ξη，使1(,)(,)C f x y dx f I ξη=⎰成立，即有(,)(,)Cf x y dx f Iξη=⋅⎰成立.[2]同理当cdx I =-⎰，式左右两边同时除以I -可得1(,)C M f x y dx m I -≤-≤-⎰，因为(,)f x y 在C 上连续，故由介值定理，则在曲线C 上至少存在一点(,)ξη，使1(,)(,)C f x y dx f I ξη-=⎰成立，即有(,)(,)Cf x y dx f Iξη=-⋅⎰成立，由上面证明过程可得(,)(,)Cf x y dx f Iξη=±⋅⎰，命题得证.6、 第一曲面积分中值定理定理12（第一型曲面积分中值定理）：设D 为xoy 平面上的有界闭区域，其中(,)z z x y =为光滑曲面S ，并且函数(,,)f x y z 在S 上连续，则在曲面S 上至少存在一点(,,)ξηζ，使(,,)(,,)Sf x y z d f Aσξηζ=⋅⎰⎰成立，其中A 是曲面S 的面积.证明：因为(,,)f x y z 在曲面S 上连续，所以存在,m M R ∈且使得(,,)m f x y z M ≤≤成立，我们对上式在S 上进行第一类曲面积分可得(,,)SSSm d f x y z d M d σσσ⋅≤≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰，其中Sd σ⎰⎰为曲面的面积，且Sd Aσ=⎰⎰，因为0A ≠，两边同除以A 有1(,,)Sm f x y z d M A σ≤≤⎰⎰，由于(,,)f x y z 在曲面S 上连续，故由介值定理，在曲面S 上至少存在一点(,,)ξηζ，使1(,,)(,,)Sf f x y z d A ξηζσ=⎰⎰，成立，两边同时乘以A 可得(,,)(,,)Sf x y z d f Aσξηζ=⋅⎰⎰，命题得证.7、 第二曲面积分中值定理定理13（第二型曲面积分中值定理）：若有光滑曲面:(,),(,)xyS z x y x y D ∈，其中xyD 是有界闭区域，函数(,,)f x y z 在S 上连续，由此在曲面S 上至少存在一点(,,)ξηζ，使(,,)(,,)Sf x y z dxdy f Aξηζ=±⋅⎰成立，其中A 是S 的投影xyD 的面积.证明：因为函数(,,)f x y z 在曲面S 上连续，所以存在,m M R ∈使得(,,)m f x y z M ≤≤，对上式在曲面S 上进行第二类曲面积分可得(,,)SSSm dxdy f x y z dxdy M dxdy⋅≤≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰，其中Sdxdy⎰⎰为(,,)f x y z 投影在曲面xy D上的面积，并且我们记Sdxdy A=±⎰⎰.[1]若Sdxdy A=⎰⎰，则上式除以A 有1(,,)Sm f x y z dxdy M A ≤≤⎰⎰，由于(,,)f x y z 在曲面S 上连续，故由介值定理，在曲面S 上至少存在一点(,,)ξηζ，使1(,,)(,,)Sf f x y z dxdy A ξηζ=⎰⎰，两边同时乘以A 有(,,)(,,)Sf x y z dxdy Af ξηζ=⎰⎰，[2]同理，若Sdxdy A=-⎰⎰，则上式除以A -有1(,,)SM f x y z dxdy m A -≤-≤-⎰⎰，由于(,,)f x y z 在曲面S 上连续，故由介值定理，在曲面S 上至少存在一点(,,)ξηζ，使1(,,)(,,)Sf f x y z dxdy A ξηζ=-⎰⎰，两边同时乘以A -有(,,)(,,)SAf f x y z dxdyξηζ-=⎰⎰.由以上证明过程可得(,,)(,,)Sf x y z dxdy f Aξηζ=±⋅⎰，从而结论成立.四、 第一积分中值定理中值点的渐进性定理14 ：假设函数()f x 在[,]a b 上n 阶可导，其中()f x 在a 点的直到1n -阶右导数为0，而n 不为0，即(1)()()()0n f a f a f a -+++'''====，()()0n f a +≠，并且有()()n f x 在a 点连续；函数()g x 在[,]a b 可积且不变号，并且对于充分小的0()a b δδ>+<， ()g x 在[,]a a δ+上连续，且()0g a ≠，则第一积分中值定理中的中值点ξ满足lim(,)x a ax a b x aξ→+-=∈-.证明：对任意(,)x a b ∈，我们做一个辅助函数()F x 如下：1()()()()()()xxaan f t g t dt f a g t dtF x x a +-=-⎰⎰一方面，当0x a →+时，分子分母同时趋于零，满足洛比达法则条件，由洛比达法则()()()()lim ()lim(1)()nx a x a f x g x f a g x F x n x a →+→+-=+-()()()lim ()1n x a f x f a g x x a n →+-=-+001()()lim ()lim1()n x a x a f x f a g x n x a →+→+-=⋅⋅+-由积分中值定理和洛比达法则可以得到()0()()()lim ()!n n x a f a f x f a x a n +→+-=-，从而()0()()lim ()(1)!n x a g a f a F x n +→+=+. （1）且有()0()()()lim ,()()!n n x a f a f f a a x a n ξξξ+→+-=<<-成立.另一方面，由积分中值定理和洛比达法则可得1()()()()lim ()lim()x xaan x a x a f g t dt f a g t dtF x x a ξ+→+→+-=-⎰⎰=0()()()lim ()xna n x a g t dt f f a a a x a x a ξξξ→+⎡⎤--⎛⎫⎢⎥⋅⋅ ⎪⎢⎥---⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎰ 000()()()lim lim lim ()a na n x a x a g t dtf f a a a x a δδξξξδ+→+→+→+--⎛⎫=⋅⋅ ⎪--⎝⎭⎰由洛比达法则，则有()lim()a ag t dtg a δδδ+→+=⎰，因此可得()0()()lim ,()!nn x a f a g a a a x n x a ξξ+→+-⎛⎫=⋅<< ⎪-⎝⎭. （2）比较（4-1）式与（4-2）式可以得到lim(,)x a ax a b x aξ→+-=∈-.定理15：假设函数()f x 在[,]a b 上连续，()f a +'存在并且有()0f a +'≠，()[,]g x a b 在上有m 阶导数，有(1)()()()()0m g a g a g a g a -+++'''=====， ()()0m g a +≠成立，并且()()m g x 在a 点连续，()g x 不变号，则第一积分中值定理中的点ξ满足1lim,(,)2x a am x a b x am ξ→+-+=∈-+.证明：对任意的(,)x a b ∈，构造辅助函数()H x 如下2()()()()()()xxaam f t g t dt f a g t dtH x x a +-=-⎰⎰ .一方面，当0x a →+时，分子分母同时趋于零，满足洛比达法则条件，由洛比达法则，有10()()()()lim ()lim (2)()m x a x a f x g x f a g x H x m x a +→+→+-=+-=()()()1lim()2m x a f x f a g x x a x a m →+-⋅⋅--+由于0x a →+，则0()()lim()x a f x f a f a x a +→+-'=-，且函数()[,]g x a b 在上有m 阶导数，则上式等于()0()1()1()lim ()2()2!m m x a g x g x f a f a m x a m m +++→+''⋅⋅=⋅⋅+-+（3）另一方面，由积分中值定理()()()()xxaaf tg t dt f g t dtξ=⎰⎰.则2[()()]()lim ()lim()()xam x a x a f f a g t dtH x a x x a ξξ+→+→+-⋅=<<-⎰=10()[()()]lim ()xa m x a g t dt f f a a a x a x a ξξξ+→+--⋅⋅---⎰ =1000()[()()]lim lim lim ()xam x a x a x a g t dt f f a a a x a x a ξξξ+→+→+→+--⋅⋅---⎰对()H x 使用洛比达法则可得=()0()()lim(1)!m x a g a a f a m x a ξ++→+-'⋅⋅+-（4） 比较（3），（4）式我们可以得到01lim,(,)2x a am x a b x am ξ→+-+=∈-+.定理16：设函数()f x 在[,]a b 上n 阶可导，(1)()()()0n f a f a f a -+++'''====，()()0n f x ≠，()()n f x 在a点连续；函数()[,]g x a b 在上有m阶导数，且(1)()()()()0m g a g a g a g a -+++'''=====，()()0m g a ≠，并且()()m g x 在a 点连续，()g x 不变号，则第一积分中值定理中的ξ满足lim(,)x a ax a b x aξ→+-=∈-.证明：对任意的(,)x a b ∈，我们构造辅助函数()L x 如下1()()()()()()xxaam n f t g t dt f a g t dtL x x a ++-=-⎰⎰一方面，由于0x a →+时，分子分母同时趋于零，满足洛比达法则条件，由洛比达法则，有()()()()lim ()lim (1)()m n x a x a f x g x f a g x L x m n x a +→+→+-=++-=()()()1lim()()1n m x a f x f a g x x a x a m n →+-⋅⋅--++001()()()lim lim1()()nm x a x a f x f a g x m n x a x a →+→+-=⋅⋅++--由于函数()f x 在[,]a b 上n 阶可导，且函数()g x 在[,]a b 上m 阶可导，则上式等于()()()()11!!n m f a g x m n n m ++=⋅⋅++ （5）另一方面，由积分中值定理()()()()xxaaf tg t dt f g t dtξ=⎰⎰.则1[()()]()lim ()lim()()xam n x a x a f f a g t dtL x a x x a ξξ++→+→+-⋅=<<-⎰=10()[()()]()lim ()()()xna n m m x a g t dt f f a a a x a x a ξξξ+→+--⋅⋅---⎰=1000()[()()]()lim lim lim ()()()xnan m m x a x a x a g t dt f f a a a x a x a ξξξ+→+→+→+--⋅⋅---⎰对()L x 使用洛比达法则可得()()0()()lim ,()!(1)!nn m x a f a g a a a x n x a m ξξ++→+-⎛⎫=⋅⋅<< ⎪-+⎝⎭ （6）比较（5）、（6）式我们可以得到0lim(,)x a ax a b x aξ→+-=∈-.五、 第二积分中值定理中值点的渐进性定理17 ：假设函数()[,]f x a b 在上单调，并且在a 点的右导数存在，且有(0)0f a '+≠；()g x 在[,]a b 上可积，在a 点的右极限存在，且(0)0g a +≠.则第二积分中值定理中的ξ满足01lim,(,)2x a ax a b x a ξ→+-=∈-. 证明：对于任意的(,)x a b ∈，构造辅助函数()F x 如下2()()()()()()xxaaf tg t dt f a g t dtF x x a -=-⎰⎰.一方面，当0x a →+时，分子分母同时趋于零，满足洛比达法则条件，由洛比达法则可得()()()()lim ()lim2()x a x a f x g x f a g x F x x a →+→+-=-001()()1lim lim ()(0)(0)02()2x a x a f x f a g x f a g a x a →+→+-'==++≠-（1）另一方面，由第二积分中值定理，有2()()()()()()lim ()lim()x xaax a x a f a g t dt f x g t dt f a g t dtF x x a ξξ→+→++-=-⎰⎰⎰2()()()()()()()lim()x xaa a a x a f a g t dt f x g t dt g t dt f a g t dt x a ξξ→+⎡⎤+--⎢⎥⎣⎦=-⎰⎰⎰⎰[][]2()()()()()()lim()xa a x a f x f a g t dt f x f a g t dtx a ξ→+---=-⎰⎰00()()()()lim lim x aa x a x a g t dt g t dt f x f a x a x aξ→+→+⎡⎤--⎢⎥=⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎰⎰00()()()()lim lim x a a x a x a g t dt g t dt f x f a a x a x a a x a ξξξ→+→+⎡⎤--⎢⎥=-⋅⎢⎥----⎢⎥⎣⎦⎰⎰0(0)(0)(0)limx a a f a g a g a x a ξ→+-⎡⎤'=++-+⎢⎥-⎣⎦0(0)(0)1limx a a f a g a x a ξ→+-⎡⎤'=++-⎢⎥-⎣⎦（5-2）比较（5-1）、（5-2）式知011lim2x a ax aξ→+--=-，即可得到01lim 2x a a x a ξ→+-=-.将此定理推广，即可得到以下定理定理18：假设函数()f x 在[,]a b 上单调，在[,]a b 内有直到n 阶导数，()()n f x 在a 点连续，()f x在a 点的右导数满足(1)(0)(0)(0)0n f a f a f a -'''+=+==+=，()(0)0;n f a +≠()g x 在[,]a b 上可积，在a 点的右极限存在，且(0)0g a '+≠，则第二积分中值定理中的ξ满足lim,(,)1x a anx a b x an ξ→+-=∈-+.定理19：假设函数()f x 在[,]a b 上单调，函数()f x 在a 点的右导数存在，并且有(0)0f a '+≠；()g x 在[,]a b 上存在直到m 阶导数，且有()()m g x 在a 点连续，并且满足(1)()(0)(0)0m g a g a g a -'=+==+=，()(0)0m g a +≠，则第二积分中值定理中的点ξ满足lim(,)x a ax a b x aξ→+-=∈-.定理20：假设函数()f x 在[,]a b 上单调，在[,]a b 上有直到n 阶的导数，()()n f x 在a 点连续，并且在a 点的右导数满足(1)(0)(0)(0)0n f a f a f a -'''+=+==+=，()(0)0n f a +≠；()g x 在[,]a b 上存在直到m 阶导数，()()m gx 在a 点连续，且满足(1)()(0)(0)0m g a g a g a -'=+==+=，()(0)0m g a +≠，则第二积分中值定理中的点ξ满足0lim(,)x a ax a b x aξ→+-=∈-.6 积分中值定理的应用 6.1 估计积分值例1 估计2010.5sin xdxx +⎰的积分解：由于11110.510.5sin 10.5x ≤≤++-，即212310.5sin x ≤≤+.于是2044310.5sin x dx x ππ≤≤+⎰此时可得到估计的积分值为2084(1)10.5sin 33xdx x ππθθ=±≤+⎰.例2 估计2sin ,(0)b ax dx a b <<⎰的积分解：设x =则2221sin 2bb a a x dx =⎰⎰，其次，假设()sin f t t =和12()t tϕ-=，则()t ϕ单调下降，并且有()0t ϕ>.于是，2222111sin (cos cos )222b a a tdx a a a ξξ==-⎰⎰2211sin sin 22a a a a ξξθ+-==其中22a b ξ≤≤，1θ≤.因此2sin (1)bax dx aθθ=≤⎰.例3 证明等式sin lim 0n pnn xdx x +→∞=⎰.证法1：由第一积分中值定理可知sin sin lim lim 0n pn nn n nxdx p x ξξ+→∞→∞==⎰，其中nξ位于n 和n p +之间的某个值.证法2：由第二积分中值定理可知得sin 1sin nn pnnx dx xdxx nξ'+=⎰⎰11cos cos 0()nn n n n ξ'=-≤→→∞，其中nξ位于n 和n p +之间的某个值，于是sin lim 0n p nn xdx x +→∞=⎰.2、求含定积分的极限例4 求极限120lim 1nn x x →∞+⎰解：利用广义积分中值定理1122001lim 11n n n x dx x dxx ξ→∞=++⎰⎰1102211[],(01)11(1)(1)n x n n ξξξ+==≤≤++++则12201lim lim 01(1)(1)n n n x dx x n ξ→∞→∞==+++⎰3、 确定积分号例5确定积分131x x e dx-⎰的符号解：1010133333111()()x x x t x x e dx x e dx x e dxx t t e d t x e dx----=+=---+⎰⎰⎰⎰⎰010113333311()txtxx x t e dt x e dx t e dt x e dx x e e dx--=+=-+=+⎰⎰⎰⎰⎰由积分中值定理可知1331()0x x e dx e e ξξξ--=-≥⎰其中(01)ξ≤≤.又3xx e 在[1,1]-上不恒为0，则有131x x e dx ->⎰，即131x x e dx-⎰的符号为正号.4、 比较积分大小例6 比较积分340sin xπ⎰和240sin xπ⎰的大小解：当(0,)4x π∈时，0sin 1x <<，从而有320sin sin 1x x <<<，于是我们有32440sin sin x xππ≤⎰⎰，即340sin xπ⎰小于等于240sin xπ⎰.5、 证明函数的单调性例7设函数()f x 在(0,)+∞上连续，其中0()(2)()xF x x t f t dt=-⎰，试证：在(0,)+∞内，若()f x 为非减函数，则()F x 必为非增函数.证明：利用分歩积分法，将()F x 化为()(2)()()2()x x xF x x t f t dt x f t dt tf t dt=-=-⎰⎰⎰对上式求导，可以得到：()()()2()()()x xF x f t dt xf x xf x f t dt xf x '=+-=-⎰⎰.由积分中值定理，可得：()()()(()()),(0)F x xf xf x x f f x x ξξξ'=-=-≤≤.若()f x 为非减函数，则有()()0f f x ξ-≤成立，因此可以得到()0F x '≤，故()F x 为非增函数，命题得证.6、 证明定理例8 证明（阿贝尔判别法）如果()f x 在[,)a +∞上可积，()g x 单调有界，那么()()a f x g x dx+∞⎰收敛.证明：由假设条件，利用第二中值定理，在任何一个区间[,]A A '上（其中,A A a '>），存在[,]A A ξ'∈，使得()()()()()()A A AAf xg x dx g A f x dx g A f x dxξξ'''=+⎰⎰⎰.因为()f x 在[,)a +∞上可积，则()af x dx+∞⎰收敛，所以对于任何0ε>，存在0A a≥，使得当,A A A '≥时，成立(),()A Af x dx f x dx ξξεε'<<⎰⎰.又由0(),,g x L A A A '<≥所以当时，有()()()()()()A A AAf xg x dx g A f x dx g A f x dxξξ'''=+⎰⎰⎰()()()()2A Ag A f x dx g A f x dx L ξξε''≤+≤⎰⎰，根据柯西收敛原理可推知积分()()af xg x dx+∞⎰收敛.备注2： 当讨论无界函数广义积分时，可将阿贝尔判别法可改写为： 假设()f x 在x a =有奇点，()baf x dx⎰收敛，()g x 单调有界，那么积分()()baf xg x dx⎰收敛.证明：对()()a a f x g x dxηη'++⎰应用第二积分中值定理，证明过程略.备注3：当讨论二元函数的积分限为含有参变量时，则含参变量的广义积分的阿贝尔判别法可写为： 假设(,)af x y dx+∞⎰关于[,]y c d ∈为一致收敛，(,)g x y 关于x 单调（即对每个固定的[,]y c d ∈，(,)g x y 作为x 的函数是单调的），并且关于y 是一致有界的，即存在正数L ，对所讨论范围内的一切,x y 成立：(,)g x y L <.那么积分(,)(,)af x yg x y dx+∞⎰关于y 在[,]c d 上是一致收敛的.证明：由于(,)af x y dx+∞⎰关于[,]y c d ∈是一致收敛的，则对于任意正数0ε>，存在0A a≥，当,A A A '≥时，成立(,)A Af x y dx ε'<⎰.因此，当,A A A '≥时，将y 看成给定常数，则由积分第二中值定理中的公式(,)(,)A Af x yg x y dx '⎰()()(,)(,)(,)(,)y A Ay g A y f x y dx g A y f x y dxεε''=+⎰⎰因为对任意的,x y 都有(,)g x y L<，则(,)(,)2A Af x yg x y dx L ε'≤⎰.因此，(,)(,)af x yg x y dx+∞⎰关于y 在[,]c d 上是一致收敛的，命题得证.例9 证明（狄里克莱判别法）如果()()AaF A f x dx=⎰有界，即存在0K >，使得(),()Aaf x dx Kg x ≤⎰单调且当x →+∞时趋向于零，那么积分()()af xg x dx+∞⎰收敛.证明：因为()0()g x x →→+∞，所以对任意的0ε>，存在0A ，当0,A A A '≥时，()g A ε<，()g A ε'<.又因()Aaf x dx K≤⎰，所以()()()2AAaaf x dx f x dx f x dx Kξξ=-≤⎰⎰⎰，同样我们有()2A f x dx Kξ'≤⎰.由第二积分中值定理，只要,A A A '≥，就有()()()()()()4A A AAf xg x dx g A f x dx g A f x dx K ξξε'''≤+≤⎰⎰⎰所以积分()()af xg x dx+∞⎰收敛，命题得证.备注4：当讨论无界函数广义积分时，我们可将狄立克莱判别法写为：设()f x 在x a =有奇点，()ba f x dx η+⎰是η的有界函数，()g x 单调且当x a →时趋于零，那么积分()()baf xg x dx⎰收敛.证明：对()()a a f x g x dxηη'++⎰应用第二积分中值定理，证明过程略.备注5： 当讨论二元函数的积分限为含有参变量时，则含参变量的广义积分的狄立克莱判别法写为：设积分(,)A af x y dx⎰对于A a ≥和[,]y c d ∈是一致有界的，即存在正数K ，使对上述,A y 成立(,)Aaf x y dx K≤⎰又因为(,)g x y 关于x 是单调的，并且当x →+∞时，(,)g x y 关于[,]c d 上的y 一致趋于零，即对于任意给定的正数ε，有A ，当x A ≥时，对一切[,]y c d ∈成立(,)g x y ε<，那么积分(,)(,)af x yg x y dx+∞⎰关于y 在[,]c d 上是一致收敛的.证明：由所假设的条件可推知对任何,A A a '≥，有(,)(,)(,)A AA Aaaf x y dx f x y dx f x y dx''=-⎰⎰⎰(,)(,)2AA aaf x y dx f x y dx K'≤+≤⎰⎰而由(,)g x y ε<和上式可推知，当,A A a '≥时()(,)(,)(,)(,)A y AAf x yg x y dx g A y f x y dxε'≤⎰⎰()(,)(,)224A y g A y f x y dx K K K εεεε''+<⋅+⋅=⎰，因此，(,)(,)af x yg x y dx+∞⎰关于y 在[,]c d 上是一致收敛的，命题得证.参考文献：[1]陈纪修、於崇华、金路.数学分析（第二版上册）.北京:高等教育出版社，2004.294-310[2]陈纪修、於崇华、金路.数学分析（第二版下册）.北京:高等教育出版社，2004.165-170[3]陈传璋、金福林等编.数学分析（下册）.北京：高等教育出版社，1983. 286-288[4]陈传璋、金福林等编.数学分析（上册）.北京：高等教育出版社，1983. 51-56， 252[5]同济大学应用数学系.高等数学（第五版上册）.北京：高等教育出版社，1996. 232THE MEAN-VALUE THEOREM AND ITS APPLICATIONAbstract:The main content of this paper are the mean-value theorem and its application, it will be mainly divided into the following respects: integral mean-value theorem, the generalation of integral mean-value theorem, the asymptotic property of the “intermediate point”of integral median point, the application of integral mean-value theorem.Key words:integral mean-value; theorem promotion ;apply指导教师评语页本科毕业论文（设计）答辩过程记录院系数学科学学院专业数学与应用数学年级2009 级答辩人姓名**** 学号**********毕业论文（设计）题目积分中值定理及其应用毕业论文（设计）答辩过程记录：答辩是否通过：通过（）未通过（）记录员答辩小组组长签字年月日年月日=本科毕业论文（设计）答辩登记表。

重积分、曲线积分、曲面积分一、曲线积分第一型曲线积分(对弧长)定义：设L 为平面上可求长度的曲线段，(,)f x y 为定义在L 上的函数。

对曲线L 作分割T ，它把L 分成n 个可求长度的小曲线段(1,2,,),i L i n = i L 的弧长记为,i s ∆ 分割T的细度为1max ,i i nT s ≤≤=∆ 在i L 上任取一点(,)(1,2,,).i i i n ξη= 若极限1lim(,)niiiT i f s ξη→=∆∑存在，则称此极限值为(,)f x y 在L 上的第一型曲线积分（对弧长的积分），记作(,)Lf x y ds ⎰。

若L 为空间可求长曲线段，(,,)f x y z 为定义在L 上的函数，则可类似定义(,,)f x y z 在空间曲线L 上的第一型曲线积分，并且记为(,,)Lf x y z ds ⎰。

性质： 1. 若(,)(1,2,,)i Lf x y ds i k =⎰存在，(1,2,,)i c i k =为常数，则1(,)ki i Li c f x y ds =∑⎰也存在，且11(,)(,).kki i i i LLi i c f x y ds c f x y ds ===∑∑⎰⎰2. 若曲线段L 由曲线12,,k L L L 首尾相接而成，且(,)(1,2,,)i Lf x y ds i k =⎰都存在，则(,)Lf x y ds ⎰也存在，且1(,)(,).ikLL i f x y ds f x y ds ==∑⎰⎰3. 若(,)Lf x y ds ⎰与(,)Lg x y ds ⎰都存在，且在L 上(,)(,),f x y g x y ≤ 则(,)(,).LL f x y ds g x y ds ≤⎰⎰4. 若(,)Lf x y ds ⎰存在，则|(,)|Lf x y ds ⎰也存在，且|(,)||(,)|LLf x y ds f x y ds ≤⎰⎰。

5. 若(,)Lf x y ds ⎰存在，L 的弧长为s ，则存在常数c ，使得(,)Lf x y ds ⎰=cs 。

学术研讨97关于二重积分中值定理的—系列推广结果◊西南石油大学理学院杨金莲罗兰积分中值定理在计算积分值中应用广泛。

本文通过引入参数的方法对二重积分中值定理的中值点和积分区域进行讨论，得到了中值点推广的二重积分中值定理、区域推广的二重积分中值定理、混合的二重积分的中值定理、参数形式的二重积分中值定理等改进方式。

1引言积分中值定理是积分学中的基本内容％越来越多的研究者研究了积分中值定理的定义和推广形式，到如今已经取得了丰富的成果。

已有的数学分析教材已定义了二重积分中的基本中值定理3」。

部分研究者将中值定理中的中值点推广到包含中值点的有界区域上％部分研究者对二重积分中值定理的中值点的渐近性质进行了充分的研究叫部分学者对中值定理的逆命题进行了讨论％—些研究者通过对函数的有界闭区域的减弱约束推广了二重积分中值定理W积分中值定理是一种将积分转化为函数值的一种根本定理叫巴它是化繁为简的一种措施，是计算积分一种重要的工具，它有着特殊的性质和广泛的应用叫旳。

论文的创新点如下：①将第一中值定理的条件和第二中值定理的条件进行必要的结合，得到二重积分中值定理在中值点的推广和区域的推广；②将第一中值定理的条件和第二中值定理的结果旳通过联合，获得混合的二重积分中值定理；③通过引入参数的方法，获得含参数的二重积分中值定理等推行方式阴。

2二重积分中值定理的推广2.1二重积分中值定理的中值点的推广定理1:若g(x,0在Q上可积，/(x,y)在Q上连续且关于X和»单调递增且非负，其Q为：,则存在一个无间断函数处X),其中0(x)满足：两点使得下列等题立。

》j]7(x,y)g(R,0如=/(N")J jg(£,y同必(1)Z>胡g)证：由于D为兀型区域，因此有：b njjy(x』)g(x』)如:=J\f(x,y)g(x,y)dydx根据一元函数积分第二中義理可得:b n b nJjy(x,y)g(x,yM«&=j"g(x,y)妙]tfc(2)a m a卩(x)n令氏(x)=Jg(x,刃妙，(2)式可写成如下的形式：卩⑴b n b(3)J\f{x i y)g{x i y)dydx=J[/(x,«)^(x)]tZxa m a由于函数f(x,y)在D上非负，因此函数/(x,«)在D上非负，根据一元函数的积分第一中值定理可得，下列等式成立。

二重积分第一中值定理
二重积分第一中值定理（First Mean Value Theorem for Integrals）是微积分中的一个重要定理，它指出在一个有界闭区域上连续的函数，如果它在该区域内的两个点的函数值相等，那么它在该区域内的积分值也相等。

具体来说，假设函数f(x,y)在一个有界闭区域D上连续，并且在该区域内的两个点(x1,y1)和(x2,y2)处的函数值相等，即f(x1,y1) = f(x2,y2)。

那么，根据二重积分第一中值定理，存在一个点(x0,y0)∈D，使得：
∫∫D f(x,y) dA = f(x0,y0) · A
其中，A表示区域D的面积，∫∫D表示在区域D上对函数f(x,y)进行二重积分。

这个定理的意义在于，它提供了一种求解二重积分的方法，即通过找到一个点(x0,y0)，使得函数在该点处的函数值等于积分值，从而求解积分。

这个定理也可以用来证明其他的积分定理，如二重积分的中值定理、平均值定理等。

二重积分拉格朗日定理
拉格朗日定理（也被称为拉格朗日中值定理）是微积分中的重要定理之一，用于描述函数在某个区间上的平均值与极值之间的关系。

设函数f(x, y)在矩形R上连续，且在R的内部具有一阶偏导数。

如果(x0, y0)是R的内部一点，且(x, y)是R上任意一点，那么
存在介于(x0, x)和(y0, y)之间的一点(xi, yi)，使得：
f(x, y) - f(x0, y0) = ∂f/∂x(xi, yi)(x - x0) + ∂f/∂y(xi, yi)(y - y0)
其中，∂f/∂x(xi, yi) 和∂f/∂y(xi, yi) 分别表示函数f(x, y)在点(xi, yi)处的偏导数。

拉格朗日定理的含义是，在区间上存在一点，使得函数在这一点的改变量可以用二阶导数来估计。

这一定理在微积分中具
有广泛的应用，比如求解最值、证明存在性等问题。

直角坐标系下二重积分的计算在直角坐标系下，二重积分是对一个平面区域上的函数进行积分。

它的计算可以通过几何方法或者代数方法来进行，下面我们将介绍二重积分的计算方法以及一些相关的概念和定理。

一、二重积分的概念1.二重积分的定义设函数f(x, y)在平面区域D上有界，D在xOy平面上的投影为Ω，若Ω上有限个点构成的网格P={ (x1,y1), (x2,y2), ..., (xn,yn) }，其中每个小区域ΔS1,ΔS2,...,ΔSn（ΔSk的形状和大小可以不一样）,则每个ΔS_k上取点(xi_k)Σf(xi_k, yi_k)ΔS_k,称为这些和的极限Σf(xi_k, yi_k)ΔS_k,当格数无穷，网格直径趋于0时，如果此极限存在，则称此极限为平面区域D上函数f(x, y)的二重积分，记为∬D f(x, y)dxdy。

2.二重积分的几何意义从几何意义上理解，二重积分可以表示在平面区域D上函数f(x, y)的值在x轴与y轴所确定的平面区域上的总体积。

通过对平面区域上的小区域求和得到总体积。

3.二重积分的代数意义从代数意义上理解，二重积分可以将一个平面区域上的函数表示为两个单变量函数的积分，即先对y进行积分，再对x进行积分。

这种方法可以简化对复杂函数的积分运算。

二、计算二重积分的方法1.直角坐标系下的二重积分计算在直角坐标系下，二重积分的计算可以通过对x或y进行积分，然后再对另一个变量进行积分来进行。

具体而言，对于函数f(x, y)，可以先对y进行积分，再对x进行积分，或者先对x进行积分，再对y 进行积分。

这种计算方法又称为换序积分。

2.计算中间量的选择在进行二重积分计算时，为了简化计算，可以选择合适的中间量来进行变量替换。

例如，可以选择极坐标中的r和θ来替代x和y，从而简化计算过程。

3.区域的划分在计算二重积分时，需要将平面区域D划分为若干小区域，然后对每个小区域进行积分。

可以选择直线或者曲线来进行划分，也可以选择矩形或者圆形等形状的小区域来进行划分。

微积分中的积分中值定理与应用微积分是数学中非常重要的一门学科，它不仅仅有理论知识，还有强大的应用价值。

其中，积分中值定理是微积分中重要的定理之一。

本文将介绍积分中值定理的概念与定理，以及它在实际应用中的作用。

一、积分中值定理的概念与定理积分中值定理是微积分中比较重要的一个定理，其实质是将积分中的连续函数映射到了求导中的函数上。

简单来说，就是将求积分变成了求导数。

在微积分中，对于一个连续函数f(x)，如果它在区间[a,b]上积分等于区间长度(b-a)×函数在[a,b]中某一点的值，那么一定存在某一个c∈[a,b]，使得f(c)=(1/(b-a))×∫[a,b]f(x)dx。

这就是积分中值定理的数学表述。

从图形的角度来理解，积分中值定理表明了在[a,b]上积分等于积分曲线的平均值与x轴之间的面积，也就是说，存在某一个点c，函数f(x)在该点的函数值等于积分曲线通过x轴的平均值。

这个点c就是积分中值点。

积分中值定理的证明方式有很多，这里不做详细讲解。

但需要注意的是，积分中值定理的前提是函数f(x)在区间[a,b]上连续，否则定理不成立。

二、积分中值定理的应用积分中值定理是微积分中非常重要的定理，不仅有重要的理论价值，还有强大的应用价值。

下面将讨论积分中值定理在实际应用中的一些典型情况。

1、平均值问题积分中值定理可以用来解决平均值相关的问题。

例如，求一个连续函数在某一区间上的平均值。

假设f(x)在区间[a,b]连续，那么根据积分中值定理，存在某一个c∈[a,b]，使得f(c)等于积分曲线的平均值（也就是∫[a,b]f(x)dx/(b-a)）。

因此，可以通过积分中值定理求出函数在区间上的平均值。

这种方法可以适用于各种求平均值的问题，例如温度的平均值、电压的平均值、质量的平均值等。

2、最大值与最小值问题积分中值定理可以用来求解连续函数的最大值与最小值。

假设f(x)在区间[a,b]上连续，并且有极值，那么根据极值定理，存在一个点c∈[a,b]，使得f(c)等于函数f(x)在该区间上的最大值或最小值。

二重积分有积分中值定理【知识文章】二重积分有积分中值定理1. 引言2. 二重积分的基本概念3. 积分中值定理的概述4. 积分中值定理的证明5. 积分中值定理的应用6. 我对积分中值定理的个人观点和理解7. 总结1. 引言在数学中，积分中值定理是微积分中的重要定理之一，它与二重积分密切相关。

二重积分作为定积分的扩展，其意义更为广泛。

而二重积分有积分中值定理则进一步深化了我们对积分概念的认识，提供了一种更加精确和灵活的方式来描述积分的特性和应用。

本文将通过解析二重积分有积分中值定理，探讨其背后的数学原理和应用场景，并分享我的个人观点和理解。

2. 二重积分的基本概念为了理解二重积分有积分中值定理，我们首先需要回顾二重积分的基本概念。

二重积分可以理解为对平面上的一个区域进行积分求和，以得到该区域上某个函数的平均值、面积或其他特征。

我们可以使用二重积分来计算平面上一个曲线下方的面积，或者计算该曲线围成的区域的面积。

3. 积分中值定理的概述积分中值定理是一种将函数的某种性质与其在某个区间上的平均值联系起来的定理。

对于一元函数来说，大家可能更熟悉积分中值定理的一维版本，即在闭区间上连续函数的平均值等于在该区间上某个点处的函数值。

而二重积分有积分中值定理则将这一概念推广到了二维平面上。

4. 积分中值定理的证明现在我们来解析一下二重积分有积分中值定理的证明过程。

对于一个在闭区域上连续的函数，我们可以将该区域划分为无数个小矩形，在每个小矩形上应用积分中值定理的一维版本。

通过对每个小矩形上的平均值进行钳制，我们可以得到一个围绕着函数的曲线的矩形。

将这些矩形的面积相加，就可以近似得到函数在闭区域上的平均值。

5. 积分中值定理的应用积分中值定理不仅仅是一个数学定理，它还具有广泛的应用价值。

在物理学、经济学、生物学等领域中，我们经常会遇到需要计算某个区域上的平均值或特征量的问题。

积分中值定理为我们提供了一个数学工具，使得我们可以更加准确地描述和解决这些实际问题。

《重积分》知识点、常⽤计算公式的总结与典型题1、⼆重积分的建模思想与模型构建步骤(1) 建模思想：微元法（元素法）“⼤化⼩, 常代变, 近似和,取极限”(2) 模型转换公式中△σk表⽰⼩区域⾯积，括号中△σk表⽰区域。

2、⼆重积分的⼏何意义与物理意义⼏何意义：(1) 当f(x,y)=1，则表⽰积分区域D的⾯积；(2) 当f(x,y)≥0，则表⽰以积分区域D，以D的边界为准线，母线平⾏于z轴的柱⾯为侧⾯，顶为z=f(x,y)的曲顶柱体的体积.物理意义：当f(x,y)>0，则表⽰⾯密度为ρ=f(x,y)的，占有平⾯区域D的平⾯薄⽚的质量.3、⼆重、三重积分的计算性质除了线性运算性质、对积分区域的可加性、保序性、绝对值不等式、估值定理、积分中值定理外，有如下两个重要的计算性质。

性质(偶倍奇零)设函数f(x,y)在有界闭区域D上连续.●如果D关于x轴对称，记其x轴上⽅区域为D1，则有●如果D关于y轴对称，记其y轴右侧区域为D1，则有●如果积分区域D关于原点对称，则⼆重积分其中D1为D的上半部分．【注】以上性质就是“偶倍奇零”的计算性质，注意使⽤时，积分区域的对称性与被积函数的奇偶性之间要匹配。

即积分区域关于x轴对称，被积函数关于y变量有奇偶性；积分区域关于y轴对称，被积函数关于x变量有奇偶性，则积分偶倍奇零。

性质(轮换对称性)设函数f(x,y)在有界闭区域D上连续，积分区域关于直线y=x轴对称，直线y=x轴下⽅部分记作D1，直线y=x轴上⽅部分记作D2，则有4、直⾓坐标系下的⼆重积分计算步骤与典型例题第⼀步：画图(画确定积分区域的各边界曲线，根据题意确定区域).第⼆步：简化计算(判断积分区域整体，或者经过分割后的部分是否关于坐标轴、原点或y=x直线对称、判断被积函数整体，或者经加减运算拆项的部分是否具有相应变量的奇偶性，借助偶倍奇零与轮换对称性化简计算)第三步：确定积分区域类型(根据积分区域图形与被积函数特征，确定最终需要计算的积分区域的类型：简单X-型或简单Y-型，如果不是则分割积分区域)第四步：投影求型限(将积分区域投影到型变量对应的坐标轴上，确定型变量的范围：常值区间)第五步：画线定余限(在型变量的取值范围内，做平⾏于余变量对应的坐标轴，并且同向的有向直线穿过积分区域，⼊点为下限，出点为上限：上下限⼀般为型变量的函数或者直接为常值)第六步：余变先积分，最后积型变。

第十章 重积分解题方法归纳一、重积分的概念、性质重积分的定义是一个黎曼和的形式，对于一些和式的极限问题，有时可根据定义，将其转化为重积分，再利用重积分的计算方法求解. 另外很多考试在选择题或填空题中，直接考查重积分的性质，常考的性质一般有：比较性质、对称性质、中值定理等.例1 （2010年考研 数一、数二）2211lim ()()→∞==++∑∑nnn i j nn i n j =（ ） 11211()()(1)(1)(1)(1)++++⎰⎰⎰⎰xxA dx dyB dx dy x y x y11112000011()()(1)(1)(1)(1)++++⎰⎰⎰⎰C dx dyD dx dy x y x y解 由于 222211111()()=====++++∑∑∑∑nnnni j i j n nn i n j n i n j而 10111111lim lim 11→∞→∞====+++∑∑⎰nn n n i i dx i n in x n12220211111lim lim 11()→∞→∞====+++∑∑⎰nn n n j j n dy j n j n y n 因此 1122200111lim ()()(1)(1)→∞===++++∑∑⎰⎰nnn i j n dx dy n i n j x y 故选()D .『方法技巧』 当遇到黎曼和的形式时，经常考查积分的定义式，在积分中，积分变量的符号是任意的，可根据题目的要求选取.例2 设(,,)f x y z 在{}2222(,,)Ω=++≤R x y z x y z R 上连续，又(0,0,0)0≠f ，则0→R 时，(,,)Ω⎰⎰⎰Rf x y z dv 是R 的 阶无穷小.解 由题意 要确定 0(,,)lim0Ω→=≠⎰⎰⎰RnR f x y z dva R 中的n .由积分中值定理知，存在000(,,)∈ΩR x y z ，使得30004(,,)(,,)3πΩ=⎰⎰⎰Rf x y z dv f x y z R 因此 30003300(,,)(,,)4lim lim (0,0,0)03πΩ→→==≠⎰⎰⎰RR R f x y z dvf x y z R f R R故 3=n ，即(,,)Ω⎰⎰⎰Rf x y z dv 是R 的3阶无穷小.『方法技巧』 要将被积函数从积分号内取出时，常会用到积分中值定理，尤其在证明题中经常遇到.二、重积分的计算方法当给定被积函数和积分区域时，重积分是一个确定的数值.对于简单的函数，用性质或几何意义即可求得积分值；对一般函数，需要化为累次积分计算.1.重积分的计算方法归纳如下：(1) 利用重积分的性质计算重积分.(2) 利用重积分的几何意义（针对二重积分）计算重积分. (3) 直角坐标系下计算重积分.(4) 极坐标系、柱面坐标系和球面坐标系下，计算重积分. (5) 利用换元法计算重积分.2. 在具体计算时，常用到如下一些结论： （1）若积分区域D 关于x （或y ）轴对称，则10 (,)(,)(,)2(,)(,)(,)DD f x y f x y f x y d f x y d f x y f x y σσ-=-⎧⎪=⎨-=⎪⎩⎰⎰⎰⎰（或10 (,)(,)(,)2(,)(,)(,)σσ-=-⎧⎪=⎨-=⎪⎩⎰⎰⎰⎰DD f x y f x y f x y d f x y d f x y f x y ）其中1D 是D 在x （或y ）轴上（或右）方的部分. （2）若积分区域D 关于直线y x =对称，则10 (,)(,)(,)2(,)(,)(,)DD f x y f x y f x y d f x y d f x y f x y σσ=-⎧⎪=⎨=⎪⎩⎰⎰⎰⎰其中1D 是D 在直线y x =上方的部分.（3）若积分区域Ω关于xOy （或,yOz zOx ）面对称，则10 (,,)(,,)(,,)2(,,)(,,)(,,)ΩΩ-=-⎧⎪=⎨-=⎪⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰f x y z f x y z f x y z dv f x y z dv f x y z f x y z （或10 (,,)(,,)(,,)2(,,)(,,)(,,)ΩΩ-=-⎧⎪=⎨-=⎪⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰f x y z f x y z f x y z dv f x y z dv f x y z f x y z ， 10 (,,)(,,)(,,)2(,,)(,,)(,,)ΩΩ-=-⎧⎪=⎨-=⎪⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰f x y z f x y z f x y z dv f x y z dv f x y z f x y z ） 其中1Ω是Ω在xOy （或,yOz zOx ）面上（或前，右）方的部分.（4）若积分区域D 是X （或Y ）型域，即12:()()a x b D x y x ϕϕ≤≤⎧⎨≤≤⎩（或12:()()c y d D y x y ψψ≤≤⎧⎨≤≤⎩），则二重积分 21()()(,)(,)ϕϕσ=⎰⎰⎰⎰bx a x Df x y d dx f x y dy （或21()()(,)(,)ψψσ=⎰⎰⎰⎰dy cy Df x y d dy f x y dx ）（5）若极点O 在积分区域D 内或边界上，即02:0()D θπρϕθ≤≤⎧⎨≤≤⎩，则二重积分2()(,)(cos ,sin )(cos ,sin )DDf x y d f d d d f d πϕθσρθρθρρθθρθρθρρ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰（6）若极点O 在积分区域D 外，即12:()()D αθβϕθρϕθ≤≤⎧⎨≤≤⎩，则二重积分21()()(,)(cos ,sin )(cos ,sin )DDf x y d f d d d f d βϕθαϕθσρθρθρρθθρθρθρρ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰（7）若积分区域{}12(,,)(,)(,),(,)Ω=≤≤∈xy x y z z x y z z x y x y D （或{}12(,,)(,)(,),(,)Ω=≤≤∈yz x y z x y z x x y z y z D ， {}12(,,)(,)(,),(,)Ω=≤≤∈zx x y z y z x y y z x z x D ）则三重积分（投影法）21(,)(,)(,,)(,,)Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰xyz x y z x y D f x y z dv dxdy f x y z dz （或21(,)(,)(,,)(,,)Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰yzx y z x y z D f x y z dv dydz f x y z dx21(,)(,)(,,)(,,)Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰zxy z x y z x D f x y z dv dzdx f x y z dy ）（8）若积分区域{}(,,),(,)Ω=≤≤∈z x y z a z b x y D （或{}(,,),(,)Ω=≤≤∈x x y z c x d y z D ，{}(,,),(,)Ω=≤≤∈y x y z m y n z x D ） 则三重积分（截痕法）(,,)(,,)Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰zbaD f x y z dv dz f x y z dxdy （或(,,)(,,)Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰xdcD f x y z dv dx f x y z dydz ，(,,)(,,)Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ynmD f x y z dv dy f x y z dzdx ）（9）若积分区域{}12(,,)(,)(,),(,)ρρθρθρθρθΩ=≤≤∈O z z z z D （或{}12(,,)(,)(,),(,)ρρθρθρθρθΩ=≤≤∈O x x x x D ，{}12(,,)(,)(,),(,)ρρθρθρθρθΩ=≤≤∈O y y y y D ）则三重积分（柱面坐标）(,,)(cos ,sin ,)ρθρθρρθΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰f x y z dv f z d d dz21(,)(,)(cos ,sin ,)ρρθρθρρθρθρθ=⎰⎰⎰O z z D d d f z dz（或(,,)(cos ,sin ,)ρθρθρρθΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰f x y z dv f z d d dz21(,)(,)(cos ,sin ,)ρρθρθρρθρθρθ=⎰⎰⎰O x x D d d f x dx(,,)(cos ,sin ,)ρθρθρρθΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰f x y z dv f z d d dz21(,)(,)(cos ,sin ,)ρρθρθρρθρθρθ=⎰⎰⎰O y y D d d f y dy ）（10）若积分区域{}1212(,,)(,)(,),()(),ϕθϕθϕθϕθϕϕθαθβΩ=≤≤≤≤≤≤r r r r则三重积分（球面坐标）2(,,)(sin cos ,sin sin ,cos )sin f x y z dv f r r r rdrd d ϕθϕθϕϕϕθΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰2211()(,)2()(,)sin (sin cos ,sin sin ,cos )r r d d f r r r r dr βϕθϕθαϕθϕθθϕϕϕθϕθϕ=⎰⎰⎰（1） 计算重积分的步骤：（1）二重积分画出积分区域D 的草图；三重积分想象出积分区域Ω的图形； （2）选取坐标系（依据D 或Ω的形状和被积函数(,)f x y 或(,,)f x y z 的形式）；（3）选择积分次序；（4）确定累次积分的上、下限，分别计算定积分.例3 设{}222(,),0D x y x y a a =+≤>，若Dπ=，则a =（ ）.()1()()()A B C D 解由于被积函数z =a 的上半个球面，根据二重积分的几何意义知，D等于以D 为底，z =31423Da ππ==因此 a =()B . 『方法技巧』 当被积函数是我们比较熟悉的曲面时，首先要考虑二重积分的几何意义.本题也可直接利用极坐标计算二重积分.例4 设{}(,)1D x y x y =+≤，计算二重积分()Dx y dxdy +⎰⎰.解 积分区域D 如图10.35所示，它关于x 轴、y 轴及原点对称，1D 为D 在第一象限部分.()DDDx y dxdy x dxdy ydxdy +=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰对于二重积分Dx dxdy ⎰⎰，由于被积函数对变量x均为偶函数，由二重积分的对称性知14DD x dxdy xdxdy =⎰⎰⎰⎰.对于二重积分Dydxdy ⎰⎰，由于被积函数对y 为奇函数，由二重积分的对称性知0Dydxdy =⎰⎰.故1110()44xDD x y dxdy xdxdy dx xdy -+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰124(1)3x x dx =-=⎰ 『方法技巧』 当积分区域关于x 轴或y 轴对称时，首先要考虑被积函数是否存在对变量x 和y 的奇、偶性，若存在，可以先化简，再计算，这样会简化运算过程. 本题也可直接利用直角坐标计算二重积分.例5 设{}22(,)1,1D x y x y x y =+≤+≥，计算二重积分22x ydxdy x y++⎰⎰. 解 积分区域D 如图10.36所示，由于积分区域 与圆有关，被积函数中含有22x y +，因此采用极坐标.2211x y ρ+=⇒=11sin cos x y ρθθ+=⇒=+所以 1(,)1,0sin cos 2D πρθρθθθ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬+⎩⎭，故222cos sin (cos sin )D D Dx y dxdy d d d d x y ρθρθρρθθθρθρ++==++⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 1221sin cos (cos sin )(cos sin 1)22d d d ππθθπθθθρθθθ+=+=+-=-⎰⎰⎰『方法技巧』 当积分区域与圆（圆、圆环、扇形）有关，被积函数中含有22x y +、x y 或yx时，一般计算二重积分时，会考虑利用极坐标. 例6 设{}22(,)D x y x y x y =+≤+，计算二重积分()Dx y dxdy +⎰⎰.解 积分区域是由圆周22111()()222x y -+-=围成的，令1212u x v y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则作变换11,22x u y v =+=+，将xOy 面上的闭区域D 转化为uOv 面上的闭区域221(,)2D u v u v ⎧⎫'=+≤⎨⎬⎩⎭，则 10(,)(,)1001(,)x y J u v u v ∂===≠∂因此()(1)(1)DD D x y dxdy u v J dudv u v dudv ''+=++=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰又由于D '关于u 轴、v 轴均对称，所以()0D u v dudv '+=⎰⎰，故2()()22DD x y dxdy dudv ππ'+===⎰⎰⎰⎰『方法技巧』 当复杂的积分区域D 可经过坐标变换（平移或旋转），变成简单区域D '时，一般会用二重积分的换元法.例7 设{}2222222(,,),,0Ω=++≤+≤≥x y z x y z R x y z z ，将三重积分(,,)Ω⎰⎰⎰f x y z dv 在三种坐标系下化为累次积分.解 积分区域Ω如图10.37所示.在直角坐标系下，先对z 积分，作平行于z 轴并与其方向一致的射线穿入Ω，穿进的曲面=z 是变量z 的下限，穿出的曲面=z是变量z 的下限，再将Ω投影 到xOy 面得闭区域(,)⎧⎫⎪⎪=≤≤≤≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭xy D x yy x在xy D 上将二重积分转化为二次积分，故(,,)(,,)Ω=⎰⎰⎰f x y z dv dx f x y z dz在柱面坐标系下，将Ω转化为柱面坐标系下的积分区域，即(,,),022ρθρρθπ⎧⎫⎪⎪Ω=≤≤≤≤≤≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭z z R则(,,)(cos,sin,)ρθρθρρθΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰f x y z dv f z d d dz200(cos,sin,)πρθρρθρθρ=⎰d d f z dz 在球面坐标系下，将Ω转化为球面坐标系下的积分区域，即(,,)0,0,024πϕθϕθπ⎧⎫Ω=≤≤≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭r r R则2(,,)(sin cos,sin sin,cos)sinf x y z dv f r r r r d d dϕθϕθϕϕρθϕΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰224000sin(sin cos,sin sin,cos)ππθϕϕϕθϕθϕ=⎰⎰⎰Rd d f r r r r dr『方法技巧』有些三重积分既可用直角坐标计算，也可用柱面坐标和球面坐标计算，甚至直角坐标可以用投影法计算，还可用截痕法计算，但计算的难易程度还是有区别的，需要同学加强这方面的练习，以便在考试中，以最快的速度找出最简单的计算方法.三、交换积分次序交换积分次序的题目，在考试中选择题和填空题居多，且大多数为二重积分，题型可分为以下几类：（1）给出一种次序的二次积分，要求交换成另一种次序的二次积分；（2）给出一种次序的二次积分，要求计算此积分（一般按给定次序不能进行计算）；（3）计算一个二重积分（只有一种次序的二次积分可以计算）；（4）直角坐标系下的二次积分与极坐标系下的二次积分互相转化.（5）证明一个二次积分等于一个定积分时，需要先交换二次积分的积分次序.例8计算sin=⎰⎰DxI dxdyx，其中积分区域D是由直线=y x及抛物线2=y x围成的闭区域.解积分区域D如图10.38所示.积分区域既是X型又是Y型区域，但被积函数为sin =xy x，若对x 积分时，不能得到原函数，故化为二次积分时，只能先对y 后对x 积分，故21100sin sin (1)sin 1sin1===-=-⎰⎰⎰⎰⎰x x Dxx I dxdy dx dy x xdx x x『方法技巧』 二重积分用任何次序都可转化为二次积分，但并不代表用任何次序的二次积分都可以求出结果，因此，做题时，若一种次序的二次积分计算非常繁琐，就需要考虑换一种积分次序试一试，尤其当被积函数中含有sin xx、2x e 等函数时，要特别注意. 例9 证明211()()=-⎰⎰y x dy f x dx e e dx证 在左边的二次积分中，由于被积函数含有 未知函数()f x ，而积分变量又是x ，因此不能按给 定次序求出定积分，需要交换积分次序. 首先还原成 二重积分的积分区域D ，如图10.39所示.左边=2211111()()()==⎰⎰⎰⎰⎰y y y xxdy f x dx dx e f x dy f x dx e dy221110()()()()==-⎰⎰yx x f x e dx e e f x dx =右边 证毕.四、重积分的几何应用和物理应用在几何上，二重积分可以求平面图形的面积、曲顶柱体的体积及空间曲面的面积等，三重积分可以求空间区域的体积.在物理上，重积分可以求物体的质量、质心（形心）坐标及转动惯量等. 在具体计算时，常用到如下一些结论： （1）()σ=⎰⎰Dd A D 的面积（2）(,)((,))σ=⎰⎰Df x y d V D f x y 以为底，为顶的曲顶柱体的体积（3）()Ω=Ω⎰⎰⎰dv V 的体积（4）()=∑DA 的面积其中D 为曲面:(,)∑=z f x y 在xOy 面的投影区域.（5）(,)()ρσ=⎰⎰Dx y d M xOy D 占平面上区域的物体的质量(,,)()ρΩ=Ω⎰⎰⎰x y z dv M 占空间区域的物体的质量（6） 质心坐标平面物体的质心坐标： (,)(,),(,)(,)ρσρσρσρσ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰DDDDx x y d y x y d x y x y d x y d空间物体的质心坐标：(,,)(,,)(,,),,(,,)(,,)(,,)ρρρρρρΩΩΩΩΩΩ===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰x x y z dvy x y z dvz x y z dvx y z x y z dvx y z dvx y z dv当密度均匀时，质心也称为形心.（7） 转动惯量平面物体的转动惯量：22(,),(,)ρσρσ==⎰⎰⎰⎰x y DDI y x y d I x x y d空间物体的转动惯量：2222()(,,),()(,,)ρρΩΩ=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰x y I y z x y z dv I z x x y z dv22()(,,)ρΩ=+⎰⎰⎰z I x y x y z dv在（5）—（7）中，(,)ρx y 和(,,)ρx y z 分别表示物体的面密度和体密度.例10 设{}2222(,,)()()()Ω=-+-+-≤x y z x a y b z c R ，则()Ω++⎰⎰⎰x y z dv = .解 利用球的形心坐标公式31(,,)(,,),,,,43πΩΩΩΩΩΩΩΩΩ⎛⎫⎛⎫ ⎪=== ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰xdv ydv zdv a b c x y z xdv ydv zdv dv dv dv R 因此 333444,,333πππΩΩΩ===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰xdv aR ydv bR zdv cR 故34()()3πΩΩΩΩ++=++=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰x y z dv xdv ydv zdv a b c R例11 设{}22(,)2=+≤D x y x y y ，计算(4)σ--⎰⎰Dx y d .解 由于积分区域D 是圆域，关于y 轴对称，且形心（圆心）为(0,1)，半径为1，因此,1σσσπ===⎰⎰⎰⎰⎰⎰DDDxd yd d故(4)4403σσσσπππ--=--=--=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰DDDDx y d d xd yd『方法技巧』 以上两题说明，若积分区域的形状是规则的（如圆形、球形、柱形等），形心坐标很容易看出，在计算被积函数为x 、y 或z 的积分时，可以逆向利用形心坐标公式，使得计算更加简单（此方法非常实用）.友情提示：范文可能无法思考和涵盖全面，供参考!最好找专业人士起草或审核后使用，感谢您的下载！。