专题03 均值不等式基础方法15类

均值不等式解题技巧总结
均值不等式是数学中常用的一种算术不等式，可以用来证明和解决各种数学问题。

以下是一些常见的均值不等式解题技巧的总结：
1. 引入适当的均值：根据题目所给条件，选择适当的均值形式，如算术平均数、几何平均数、调和平均数等。

2. 利用均值不等式：根据所选择的均值形式，利用均值不等式进行推导。

常见的均值不等式有算术-几何均值不等式、几何-调和均值不等式、算术-几何-调和均值不等式等。

3. 引入适当的条件：在使用均值不等式之前，可以引入适当的条件，如非负性条件、大小关系条件等，以限制变量的取值范围，使得均值不等式成立。

4. 倒推法：对于一些需要证明的不等式，可以利用倒推法，从已知的均值不等式开始，逐步推导出需要证明的不等式。

5. 逼近法：对于一些复杂的不等式，可以通过逼近的方法，将其转化为一系列简单的均值不等式，从而解决问题。

6. 双曲线方法：对于一些特殊的均值不等式，可以利用双曲线的性质进行证明。

双曲线方法常用于解决两个变量的均值不等式。

7. 对称性方法：对于一些具有对称性的均值不等式，可以利用其对称性进行证明。

对称性方法常用于解决多个变量的均值不等式。

总之，解题时应根据具体情况选择合适的技巧和方法，并且需要灵活运用数学知识和技巧进行推导和证明。

基本不等式(均值不等式)技巧基本知识】1.（1）若 $a,b\in \mathbb{R}$，则 $a+b\geq 2ab$。

（2）若 $a,b\in \mathbb{R}$，则 $ab\leq \frac{a^2+b^2}{2}$（当且仅当 $a=b$ 时取“=”）2.（1）若 $a,b\in \mathbb{R}$，则 $a+b\geq2\sqrt{ab}$（当且仅当 $a=b$ 时取“=”）。

（2）若 $a,b\in\mathbb{R}$，则 $ab\leq \left(\frac{a+b}{2}\right)^2$（当且仅当 $a=b$ 时取“=”）3.若 $a,b,c\in \mathbb{R}^+$，则 $\frac{a+b+c}{3}\geq \sqrt[3]{abc}$（当且仅当 $a=b=c$ 时取“=”）4.若 $a,b,c\in \mathbb{R}^+$，则 $a+b+c\geq3\sqrt[3]{abc}$（当且仅当 $a=b=c$ 时取“=”）5.若 $a,b\in \mathbb{R}$，则 $\frac{a^2+b^2}{2}\geq\left(\frac{a+b}{2}\right)^2$（当且仅当 $a=b$ 时取“=”）技巧讲解】技巧一：凑项（增减项）与凑系数做题时，条件不满足时关键在于构造条件。

通常要通过乘以或除以常数、拆因式、平方等方式进行构造。

1.已知 $x<5$，求函数 $y=4x-\frac{5}{2}+\frac{1}{4x-5}$ 的最大值。

解：因为 $x<5$，所以首先要“调整”符号，又 $4x-5<0$，要进行拆、凑项，得到：y=4x-\frac{5}{2}+\frac{1}{4x-5}=-\frac{1}{4}\left(5-4x+\frac{1}{4x-5}\right)+\frac{11}{4}由于 $\frac{1}{4x-5}\leq\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{4}\right)$（当且仅当$x=2$ 时取“=”），所以：y\leq -\frac{1}{4}\left(5-4x+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{4}\right)\right)+\frac{1 1}{4}=-\frac{1}{4}\left(4x^2-16x+9-\frac{1}{x}\right)+\frac{11}{4}对 $-\frac{1}{4}\left(4x^2-16x+9-\frac{1}{x}\right)$ 求导，得到$x=\frac{1}{2}$ 时取得最小值，代入得到$y_{\max}=3$。

用均值不等式求最值的类型及方法2013-5-15 一、几个重要的均值不等式①，、)(222222R b a b a ab ab b a ∈+≤⇔≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②，、)(222+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⇔≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③，、、)(33333333+∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立； ④)(3333+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立.注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一正、二定、三相等② 熟悉一个重要的不等式链：ba 112+2a b+≤≤222b a +（调几算平） 二、函数()(0)bf x ax a b x=+>、图象及性质 (1)函数()0)(>+=b a xbax x f 、图象如图： (2)函数()0)(>+=b a xbax x f 、性质： ①值域：),2[]2,(+∞--∞ab ab ；②单调递增区间：(,-∞，)+∞；单调递减区间：(0,，[0). 三、用均值不等式求最值的常见类型类型Ⅰ：求几个正数和的最小值。

例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x （3）已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值（4）求函数21(1)2(1)y x x x =+>-的最小值 解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x ≥2x ·1x ＝2；当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）（3）因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1(42)45x x -- 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项5,5404x x <∴-> 11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭231≤-+= 当且仅当15454x x-=-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。

高三理应培优用均值不等式求最值的类型及 解题技巧)均值不等式是《不等式》一章重要内容之一，是求函数最值的一个重要工具，也是高考常考的一个重 要知识点。

要求能熟练地运用均值不等式求解一些函数的最值问题。

一、几个重要的均值不等式① a 1 2 b 2 2ab ab a b (a 、b R)，当且仅当 a = b 时， “ =号”成立；2a b 2a b(a 、b R )，当且仅当 a = b 时， “ =号”成立；333③ a 3 b 3 c 3 3abc abc a b c (a 、3b 、c R )，当且仅当 a = b = c 时, “ =号”成立；②熟悉一个重要的不等式链： 211 ab三、用均值不等式求最值的常见类型与解题技巧 类型Ⅰ：求几个正数和的最小值。

1例 1、求函数 y x 2 (x 1) 的最小值。

2(x 1)21 1 x 1 x 1 1技巧 1：凑项)解： y x 2 (x 1) (x 1) 2 1(x 1) 2 1(x 1)2(x 1)2 2(x 1)22 2 2(x 1)2④a b c 33 abcabc3a b c(a 、 b 、c R ) ,当且仅当 a = b = c 时, “ =号”成立 .注： ①注意运用均值不等式求最值时的条件：正”、二 “定”、三 “等”； 二、函数 f(x) ax b (a 、 xb 0) 图象及性质(1)函数 f(x) ax ba 、x b 0 图象如图：(2)函数 f(x) ax b a 、x b 0 性质：①值域：( , 2 ab] [2 ab, ) ；，［②单调递增区间：(b, ) ；单调递减区间： (0,，［,0) .②a b 2 ab abab a b 22 ab。

2x 1 1当且仅当 x 1 1 2 (x 1)即 x 2时，“= ”号成立，故此函数最小值是 2 2(x 1)2评析： 利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。

利用均值不等式求最值的方法和技巧几个重要的均值不等式①，、)(222222R b a b a ab ab b a ∈+≤⇔≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②，、)(222+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⇔≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立；③，、、)(33333333+∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立；④)(3333+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c时,“=”号成立.注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”； ② 熟悉一个重要的不等式链：ba 112+2a b+≤≤≤222b a +。

一、 配凑（8种技巧）1.拼凑定和通过因式分解、纳入根号内、升幂等手段，变为“积”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，均分系数，拼凑定和，求积的最大值。

例１ 已知01x <<，求函数321y x x x =--++的最大值。

解：()()()()()()222111111y x x x x x x x =-+++=+-=+-()()311111322241422327x x x x x x ++⎛⎫++- ⎪++=∙∙∙-≤=⎪ ⎪⎝⎭。

当且仅当112x x +=-，即13x =时，上式取“=”。

故max 3227y =。

评注：通过因式分解，将函数解析式由“和”的形式，变为“积”的形式，然后利用隐含的“定和”关系，求“积”的最大值。

例2求函数)01y x x =<<的最大值。

解：y ==因()()32222221122122327x x x x x x ⎛⎫++-⎪∙∙-≤=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 当且仅当()2212x x =-，即x =时，上式取“=”。

《均值不等式》知识清单一、均值不等式的定义均值不等式是数学中的一个重要不等式，它描述了若干个正数的算术平均数与几何平均数之间的关系。

对于 n 个正实数 a1，a2，…，an，它们的算术平均数为（a1 ＋ a2 ＋… ＋ an) ／ n ，几何平均数为（a1 × a2 × … × an) ＾（1 ／ n) 。

二、常见的均值不等式形式1、两个正数的均值不等式对于两个正实数 a 和 b ，有算术平均数（a ＋ b) ／ 2 ，几何平均数√（ab) ，则均值不等式表述为：（a ＋ b) ／2 ≥ √（ab) ，当且仅当 a ＝ b 时，等号成立。

2、三个正数的均值不等式对于三个正实数 a、b、c ，有（a ＋ b ＋ c) ／3 ≥ （abc) ＾（1 ／3) ，当且仅当 a ＝ b ＝ c 时，等号成立。

三、均值不等式的证明1、两个正数的均值不等式证明方法一：作差法＼＼begin{align}＼frac{a ＋ b}｛2} ＼sqrt{ab} ＆＝＼frac{a ＋ b 2\sqrt{ab}｝｛2}＼＼＆＝＼frac{（＼sqrt{a} ＼sqrt{b}）＾2}｛2}＼end{align}＼因为任何实数的平方大于等于 0 ，所以（＼sqrt{a} ＼sqrt{b}）＾2 ≥ 0 ，则＼（＼frac{a ＋ b}｛2} ＼sqrt{ab} ≥ 0\），即＼（＼frac{a ＋b}｛2} ≥ ＼sqrt{ab}＼），当且仅当＼（＼sqrt{a} ＝＼sqrt{b}＼），即 a ＝ b 时，等号成立。

方法二：分析法要证明＼（＼frac{a ＋ b}｛2} ≥ ＼sqrt{ab}＼），只需证明＼（a ＋b ≥ 2\sqrt{ab}＼），即证明＼（a 2\sqrt{ab} ＋b ≥ 0\），而＼（a 2\sqrt{ab} ＋ b ＝（＼sqrt{a} ＼sqrt{b}）＾2 ≥ 0\），所以原不等式成立，当且仅当 a ＝ b 时，等号成立。

均值不等式的证明方法及应用摘要均值不等式在不等式理论中处于核心地位，是现代分析数学中应用最广泛的不等式之一。

应用均值不等式，可以使一些较难的问题得到简化处理。

本文首先系统全面地总结了均值不等式的十种证明方法,其中包括柯西法、数学归纳法、詹森不等式法、不等式法、几何法、排序法、均值变量替换法、构造概率模型法、逐次调整法、泰勒公式法；其次, 结合相关例题给出均值不等式在证明不等式、比较大小、求最值、证明极限的存在性、判断级数敛散性、证明积分不等式方面的应用。

关键词:均值不等式；数学归纳法；最值；极限；积分不等式页20共页1第PROOFS AND APPLICATIONS ON A VERAGE VALUE INEQUALIT YABSTRACTAverage value inequality occupies a core position in inequality theory and is one of themake inequality can modern mathematics. Using average inequalities most widely used insome difficult problems simple. In this paper, ten proof methods of average value inequalityinduction, mathematical method, summarized, including Cauchy are first systematicallyJensen inequality, inequality method, geometry method, sorting method, variable substitutionadjustment successive model method, constructing method of average value, probabilitymethod, Taylor formula method, respectively. Secondly, we give applications of average valueinequality combining the corresponding examples on comparing the size, solving maximumand minimum, proving the existence of the limit, judging convergence of series and provingintegral inequality.Key words average value inequality; mathematical induction; maximum and minimum;:limit; integral inequality页20共页2第目录前言--------------------------------------------------------------------- 41 均值不等式的证明方法--------------------------------------------------- 51.1 柯西法------------------------------------------------------------ 51.2 数学归纳法-------------------------------------------------------- 61.3 詹森不等式法------------------------------------------------------ 71.4 不等式法---------------------------------------------------------- 71.5 几何法------------------------------------------------------------ 81.6 排序法------------------------------------------------------------ 91.7 均值变量替换法---------------------------------------------------- 91.8 构造概率模型法---------------------------------------------------- 91.9 逐次调整法------------------------------------------------------- 101.10 泰勒公式法------------------------------------------------------ 102 均值不等式的应用------------------------------------------------------ 122.1 均值不等式在证明不等式中的应用----------------------------------- 122.2均值不等式在比较大小问题中的应用--------------------------------- 132.3 均值不等式在求最值问题中的应用----------------------------------- 132.3.1 均值不等式求最值时常见错误 --------------------------------- 14 2.3.2 均值不等式求最值“失效”时的对策 --------------------------- 16 2.4 均值不等式在证明极限的存在性时的应用----------------------------- 172.5 均值不等式在判断级数敛散性中的应用------------------------------- 192.6 均值不等式在证明积分不等式中的应用------------------------------- 193 结论------------------------------------------------------------------ 21参考文献:--------------------------------------------------------------- 22 致谢-------------------------------------------------------------------- 23页20共页3第前言不等式在数学的各个领域和科学技术中都是不可缺少的基本工具, 而均值不等式是重中之重. 通过学习均值不等式，不仅可以帮助我们解决一些实际问题，还可以培养逻辑推理论证能力和抽象思维能力，以及养成勤于思考、善于思考的良好学习习惯. 因此，研究均值不等式的证明方法及应用，是一个既有理论意义又有广泛现实意义的问题.均值不等式的证明及运用均值不等式来解决数学中的某些问题，在数学研究中历历可见. 如，比较大小、求函数的最值、证明不等式常利用均值不等式的方法进行解答.均值不等式还是高等数学中最基本的运算之一，作为最基本不等式，在解决高等数学问题中也发挥着重要的作用. 运用均值不等式可以使复杂的问题简单化，繁琐的问题清晰化.??1最先运用了均值不等式，证明了球和圆柱的相关问题.此后科著名数学家阿基米德学家们对均值不等式的证明方法进行了深入的研究，并在此基础上把均值不等式应用到了其他领域. 当前, 我国许多学者对均值不等式的证明方法及应用进行了大量的研究??8??142?.如，陈益琳在学生利用均值不等式解题时遇到的常见问题作了总结性的工作.??9冉凯对均值不等式在数学分析中的应用做了探讨. 均值不等式在解决许多问题中发挥着重要的作用.本文将对均值不等式的证明方法及应用进行归纳和总结.页20共页4第1 均值不等式的证明方法. ,我们给出均值不等式首先是个正数，则定理1 设a,...,,aan n12a??a?a??n12，1?1aaa??n n21n.上式当且仅当时等号成立a?aa??n12我们把以后简称均值不等式. 上述不等式我们称之为算术—几何平均不等式,a??a?a n12分别记做个数的算术平均数和几何平均数,和分别叫做这aaa?n n n12n??????)aa?AGAaa(G.式即为和，(1-1)nnnn.下面给出均值不等式的几种证明方法柯西法1.12. ,由于.,得有当时0?a0,a?a?2aa(a?a)??0a2n?21212211)aa??a)?(a?a?a?a?(a,当时4?n42241331aaa4aa?aa?2aa?4aa?2a.4433423112142)?aa?aaa?a)?(?(a?a?时,当8?n85413627.aaaa?8aaaa?a4aaaa?4aaa8448541123747825663n令次之后将会得到, 这样的步骤重复a?a??a??n1221?A?aa,a?a,a?;a???a?2nnnn?111?n2n有1nn A)?nnA?(2?1nA?aa?(aAa?a)aA??222nn1122n2即n n2?nna?a??a n12?a?aa.n n21n这个归纳法的证明是柯西首次提出的,我们将它称之为柯西法.页20共页5第1.2 数学归纳法证法一当时，不等式显然成立. 2n?假设当时,命题成立. kn?则当时,1k?n?a?a??a?a11?k2k.,a?aG?a?A1k?1K?1?2K?1k11k?因为具有全对称性，所以不妨设ai a?min{a|i?1,2,,k,k?1}a?max{a|i?1,2,,k,k?1}.,ii11k??????AA0a?a?aa?A?.于是以及显然 ,,1?11kK?1?K1k?K?11A(a?a?A)?aa. 1kKK?1?111?k?1所以(a?a??a?A)AA?kA(k?1)121?K1k?1K?1KK?1???A?1?K kkk)(a?a?Aa??a?2?11kKk?1.=)A?a??aa?(a k1K1k?112?k?k k?aa(a?a?AA)A,得即两边乘以1Kkkk??1112?1?KK?1?1k??GaAaa(aa)aaA(a??A)?.2K?k1k112kK?1k?11k?1?1K?A?G.从而,有11K??K??aGa)?A(. 所以，由数学归纳法，均值不等式对一切成立，即n nn 证法二当时，不等式显然成立；2?n假设当时成立.kn?k1?G?G?k?(k?1)a，于是则当有1n?k?k时，1??1kk?1k1k?111G?1)a?(k1k?1k?)??G(GaG(G?) kk22k1k?1kk?1k?k a?(k?1)Ga?(k?1)G11k??k11?1k?1k?)??)(A?(G .kk2k2k2k?G?(k?1)A?(k?1)GG?A.,所以所以1?k1?1k?k1?1?kk页20共页6第当且仅当且时等号成立. G1)(k?k?G?aa?G?1?k?1kkk?1k??．G a A(a)?由数学归纳法知,均值不等式对一切成立，即n nn1.3 詹森不等式法f(x)xII，对任意)若的凸函数为区间，上式引理1(Jensen不等?in???，则，且1?)n1,?0(i?2,,ii1?i nn????x)()f(?fx (1-3)iiii1i?i?1成立.下面利用詹森不等式证明均值不等式.a?0(i?1,2,n,)令由,于易令 ,,知在是凸函数.)(0,f(0)x)ln f(x)??x??(x?i1?,1有下式，则由引理?i na?a??a1ln(?n12.)a??ln?(ln a?ln a)?n21nn则?a?a?a11a ln(n21,)a ln(a(ln)?a?ln a?)?a?ln nn2121nnn因此1a??a?a a ln(n21)a?ln(a),nn21n即a?a??a n12,a?aa?n n21n aa?a??.当且仅当时等号成立n121.4 不等式法x?1?ex进行推导在均值不等式的证明中，可以运用一个特殊的不等式.xx e)?ef(x?f(x)应用迈克劳林展开式并取拉格朗日余项得:设，对1?xx2x1?xe?e?, 2页20共页7第x?.当因此, 时，等号成立,, 其中, .. x1e??00xx?00???1x?. 下面给出均值不等式的证明过程n?0?x.，使取一组数,.令A(1?x)a?xn1,2,,k?knkkk1?k x,可得全为零时,取等号)则由(e??(1x)x k kk111nnn??nx???k，AeAG?(a)??(1?x)A?nn??nknknn??1k?k?1k?1)G(aA(a)?.所以nn 1.5 几何法x ex G?y)e(G,可见这条切线,,作函数的图像它是凸曲线，并在点处作切线e?y n n G na ea i Gi .所因此,可以得以到见在函数的下面(图)，0?e?）n,i?1,2,3,（11?n G n)??aa?a(ea n12nA eaea Gnnn21?nA?G e)((e?()?)?,，即且从上述证明中可知，，于是n nn G GGG nnnn G??a?a?a.时，等号成立当且仅当nn121-1图页20共页8第排序法1.6aaaaaaaaa n12112?n1211??xx??x?x，取其中的一个,做序列: ,…,,n112n?n1n2?GGGG nnnnaxaaxx nn2211???1?b?xxb?xb?，则,…,,,…,,排列. :n11n1?2n GbbGbG n2n1nn111???0?0x?x??x?则由排序原理可知不妨设..n12xxx2n1xxxx111n321??????x???x??n?x , 21n xxbxbbb2n3n112aaa aa??a?n21n????n21,,即aa?a?n n12GGG n nnn)(a(a)?GA.所以nn 1.7 均值变量替换法. 本节运用数学归纳和变量替换相结合的方法证明均值不等式. 易证时，不等式显然成立2n?. 假设当时，不等式成立kn?1?k?x)1,?A(i?2,,nx?axx必有一个,不全为零设则当,则1?n?k0?设时，.1ik?iii i1i?x?x?0, ,另一个为负,不妨设 ,由于为正)?x?A(A?x)Aaa?(?x)(A?x1i2?k?11211k?1211kk?从而(A?x?x)?a??a?A k?131k?12?(A?x?x)aaa k1k?11k42?3k?1kk1?Gaa1?k21??aaa.kk14?3k AA1k?k?1?1k?1k,即 .所以GA?GA?1?1kk?1?1k?k??a)?G(Aa aa?a??0x?成立．,)时取等号故原不等式当且仅当易证,(时即n12inn1.8 构造概率模型法首先给出证明过程中要用到的一个引理.页20共页9第有则存在,变量,并且数学期望引理2 设是一个随机EXX??22?,.41)(?EXEX)EX?E(ln X ln1.其中,建立概率模型,设随机变量的概率分布为,n,i?1,2,X0?a?)?aP(X ii n,由引理2可知111nnn???aaaa,,ln??ln aa lnln n n12iii n nn1ii?1?i?1a??a?an12.成立即a?a?a n n12n1.9 逐次调整法}a?min{a}a?max{a,a,...,aa易见中必存在最值数，不妨设,. in221i1a?(a?a)a22121不变.,但是增大.于是,用,即取代AGaa,a]?a[nn122122n)?a)(a(a?a11?2121a????(a?a),i3n n22n1i?)aa)(a?(a?2121a?a?aaa? .nn3n1n222n因此，次(有限次对于各个).,这种代换至多进行1－n aa?221)?aa??AAA?G?aaa?(A.nnnn2nn3nnnn12G?Aa?a??a时,当且仅当,取等号.即n1nn21.10 泰勒公式法1x log?(x)fa?1,x?0)(0?x处展开，有，将在设，则0?)??f''(x)xf(a02ln ax''(xf)2'0)?x)?(x)x?f(x)(x?xxf()?f(.00002因此有?',n2,)b),(i?1,?x(a,a?a,)xx)(x?()f(fx)?(x?f,n1,取000i0i n1?i nnn111???'a)(i?1,2,,?(fa()?()a?f)(aan)f.从而iiiii nnn1i?11i?i?页20共页10第??????'a()a)a)?(?a?f(a)?nf((a)?fnf故,iiiiii nnn11i??1i??11ii?1?ii1nn111)??a?a(a??n12aaa nnnnnn111)loglog???log?(log)(f()a?af,即.因此有n n21iiaaaa nnn11i?i?1111)a?a?(a?)a(a???a nn12n12)a(a?a)(a?aa1)?log?log(0?a loglog?,即 ,亦即nn n12n12aaaa na?a??a n21.,故有)1,n2,,0,a(?i?aa?a?n in12n页20共页11第2 均值不等式的应用2.1 均值不等式在证明不等式中的应用一般不等式的证明,常常考虑比较法,综合法,分析法,这是高中比较常用的方法,但有些不等式运用上述方法不好入手,故考虑均值不等式或者均值不等式与综合法相结合,这样处理,常常使复杂问题简单化,从而达到证明的目的.下面举几个例子予以说明.111. 且.求证例1已知为互不相等的正数,?b?c??a?c,a,b1abc?abc1111/b?1/c1/a?1/c1/a?1/b111???b??c??????a.证明bcacab222abc.故原不等式得证22b?a?b?1?aba?.证明例22222ab?2b??ba2b2a1??a1?.,证明由均值不等式得,,????2222ba??ab??1ab?原不等式得，即有,以上三式相加得,. bab?a?a?b1??22.证1,两弦和的半径为均与直径例3设圆交,记与和的交o CD?45CDEFEFABAB 2点分别为和Q,求证 .1?PD?QF2PC?QE?2P1?2图证明如图,设为弦的中点,连接,,则△为等腰直角三角形,POMCOCDMOM?12且.MOMP?222222222CO2?MO?)MC?MC)?(MPMCPDPC??(?)?MCMP?2(?MP)2(页20共页12第211??.??2??22??122. 同理,??QEQF2由均值不等式得，2222QF?PCPD?QE?QFQE?PD??PC?222222)??PDQF)?((PCQE?211?122.??22.即，原不等式得证1?QE?2PD?QF2PC? 2.2均值不等式在比较大小问题中的应用准确巧妙地运用均值不等式是快速解决这比较大小问题是高中数学中常见的问题，.类问题的关键ba?1之间试判断若,，,,例4lg R)Q?(lg a?lg b?bp lg a??lg RP,Q,1a?b?22.的大小关系由均值不等式，得解1.Pb?)b?lg a?lg Q?(lg a?lg21a?b.Q??lg b)abR?lg?lg?(lg a22.即由于，所以不能取等号,Pa?bQ?R?ba?,2.3 均值不等式在求最值问题中的应用是重要知识点解决一些取值范围问题时运用非常广泛,均值不等式在求函数最值,达到解,,我们应因题而宜地进行变换,并注意等号成立的条件在实际应用问题中之一.熟练运用该,利用熟悉知识求解是常用的解题技巧,,题的目的变换题目所给函数的形式.,对于提高思维的灵活性和严密性大有益处技巧例5求下列函数的值域：页20共页13第112；(1) (2). y?y?3x?x?2xx21122?x3x? =6y?3?2,解 (1)因为. 所以,. 值域为)6,+?[22xx2211?xy??2x??2时，(2)当. 0?x xx111-2?x??)?y?x??2???(x值域为,故时当,.??）]?[2，（－?,－20x?xxx . 的最大值求函数例6若,)x3x(8?3f(x)?2?0?x)3xx?(8?3????xf，的最大值是.解因为, 所以,故4x(8?3x?3fx) ??20??x24.使r h 和底面半径的比为何值时,例7制作容积一定的有盖圆柱形罐头, 当圆柱高)用的材料最省? (不计加工损耗VVV2V322222??????, 解 ,设圆当且仅当rr2???2?rh22r?Vr??32?2?S rrrr233???即圆柱形的高与底面此时有,故即 , 时, 材料最省. h2rrV?2?r2:1?h:r.使用的材料最省时,半径之比为2:1均值不等式求最值时常见错误2.3.1;(3)定正;(2)运用均值不等式解题是一项重要内容,运用这种方法有三个条件:(1)或不等式之间进行缩小, .在此运用过程中,往往需要对相关对象进行适当地放大、相等.,而且错误不易察觉,在此过程中,学生常常因为忽视条件成立而导致错误传递等变形.,就这一问题列举几个例子进行说明因此1??. 求的值域例81y?x??x1?x我们常常写成在解题时,分析111??31????1??12x??yx?1?x，1?1x?x?1x1????y?3,与1x?忽视均值不等式中,虽然.故但的积是常数,不一定是正数1?x1?x.下面给出正确解法因此解法是错误的的各项为“正”致错, .页20共页14第111???11?3??1?2y?x??x?x?1,当且仅时解当,当1 ?xx?11x?1x?1,即时等号成立; ?1x?2?x x?1111???1??x?1?y??x?211?1?x??,,所以,当时1?y?1?x1?x1?x1?x????. ?????,?13,当且仅当时取等号,所以原函数的值域为0?x2?5x的最小值.例9求?y24x?分析在解题时,我们常常写成22?4?1?5x1x122?2??2xy??x4??4?，22224?4?44xxx?x?1 22??x4,即2.可是在当且仅当中,这是不可,所以的最小值是3x??y2?y24?x能的,所以等号不成立,这个问题忽视均值不等式中等号成立条件.故原式的最小值不是2.下面给出正确解法.11122?y?x4??y??ty?t在(),中,令, 则解在易证4??tx2t?tt24x?152,,即当且仅当,取时上递增,所以的最小值是,?2?y2x??4)??[2,0xt??222号.”“?例10若正数满足,求的最大值.xyy,x6y?x?22yx???即,仅当且常常写成,当且解分析在题时,我们y?x6?x?2y?xy?? 2??xy其实很有道理, 4.初看起来可得时取号, 将其代入上式,,的最大值为2??xy”?“在用均值不等式求最值时,在各项为正的前提下,应先考虑定值,再考虑等号是否成立.2y?x??xy这个问题忽视了均值不等4.的最大值不是所以不是定值中但在,,y?x?xy??2??.下面给出正确解式中积或和是定值的条件.页20共页15第2392y1x?1??取此时)当且仅当时(解因, y?2x?3,yx?”“????2y?xxy???22222??9??. , 所以号?xy max22.3.2 均值不等式求最值“失效”时的对策.运用均值不等式是求最值的一种常用方法, 但由于其约束条件苛刻,在使用时往往顾此失彼,从而导致均值不等式“失效”. 下面例说几种常用的处理策略. 4.,求的最大值例11已知?xy?lg 1?0 ?x lg x从而有,因为，所以，解00??lg xx lg? 1?0 ?x??4??，44????y??2?lg x??lg x??14y??4?x??lg. 即即，当且仅当时等号成立，故?x 4y??max lg x1004??4lg x为定值，本题满足但因为,，所以此时不能直接应用均0?lg x 10 ?x?lg x值不等式，需将负数化正后再使用均值不等式.1????x0的最大值.例12求)x(1 ? 2y?x??2??21x1?2211x???????解，??12x1?2x???2x??y?x??8222??11y?x?. 故当且仅当,即时等号成立.x2?1?2x max48本题不是定值,但可通过平衡系数来满足和为定值.)2x?x?(164?y?a.13已知求的最小值,例0b?a???bba?646464??3??ba?b?b??3?y?a?6412?a?b,，解当且仅当??????bb?a?bbbaa?by?12.时等号成立,即.故4? 8a?b min页20共页16第64?a.但可通过添项、减项来满足积为定值不是定值本题 ,??bba?4?.,求的最小值例14 已知?x?y sin?0 ?x x sin33141??. 解5????y?sin x?sin x???2sin x??1x sin x sinsin x sin x??31. .故且,即当且仅当时等号成立5y?3??x sin1x?sin min x sin x sin44故可通过拆项来满足等号., 本题虽有为定值但不可能成立?sinsin x?xxx sinsin.成立的条件25xx??45???xf______.则15 已知,有例?x4?2x255??????. BAC1. 最小值最小值最大值1 最大值)D(442??21?x?2151?4x?x1?????????x?2x????1f,,解当且仅当??2x????2xx?2x2?42?22x??? . 时等号成立.故选即)(D3?x便可创造出使用均值不等式但对函数式进行分离,本题看似无法使用均值不等式,.的条件 2.4 均值不等式在证明极限的存在性时的应用需证明数列单调极限概念是高等数学中的重要概念，在证明数列极限的存在性时,.下面举例说明而在此过程中便运用了均值不等式的相关内容及数列有界..1n.例16证明重要极限的存在性e)?lim(1?n??n1n.}单调递增先证数列证明 {)?(1n1??11?1?a?a?1?aa??,，则由均值不等式，令得1n?n21n11111?(1?)?[(1).1???(1))?1](1?.nn1nnn?1n?个n个n11n?1)?(1?,即1n?nn?1页20共页17第11n?1n.所以)?? (1?)(1nn?11n}单调递增{.所以数列)(1?n1n}有上界{.再证数列)(1?n11nk?1（{为正整数）}以下面的证明可以看到一个更强的命题：数列)(1?)??(1Mk nk为上界.11n?1k?1., 当先证不等式, 时)(1?)??(1k?n nkk设，.1a?a????a?a?a n2k?11?2k k?1k1knk1n?k?)?1?([(k?1)??(n?k)]?，由均值不等式1n?k?1n?1k?1n?1kn11n?1k1?n?11k?. ,因此，所以)?)?)?()(1(1(?k?1n?1nk11111nn?1nk?1.所以,,其次由有)?(1?)?)???1?1(1(1(1?)nnnnk11k?1n}，的上界{.均是数列当时，任取一个正整数)M?(1?)(1?kn?k kn111nnk?1仍然成立时,不等式又数列{.}单调递增，所以,当)??(1(1?)?)(1kn?nnk111nnk?1（为正整数）. 因此，对于数列 {恒有}, 任)(1?(1?))??(1）（n1,2?k nnk11k?1n}的上界均是数列意选定一个值，{.)?(1M?(1?)k kn11nn} 极限存在{.极限值单调有界,由单调有界定理,所以数列{数列} )?(1(1?)nn1n.，即为e)?lim(1?e n??x1n?1}极限存在且其极限是证明数列{.例17)?(1e n1n?1}{(1?)x?.证明令n n n??11)(n?n?1n1n11?n2?nn?21n?1n??([)(?)?]??().x2n?n?1n?nx1?21?nn????xx0?x有下界,则数列. 又,所以数列单调减少.nnn页20共页18第111??n1n?)1?(?)((l)?im?1?l1im. ??nnn??????nn11n, 所以因为和的极限都存在)?(1(1?)nn111??n1n?e?(1?(1?lim(1?)))??lim. ??nnn????n??n11?n 数列{.}极限存在且其极限是因此, )?(1e n n1?n lim.18 证明例??n:）有由均值不等式（1-1证明1????1?n?1n n n?n?n?n?11??n??个?2n2n?n?22, 1???nn2nn n?1lim?n?0?1.从而有 ,故n??n2.5 均值不等式在判断级数敛散性中的应用均值不等式的应用很广泛,在证明级数的敛散性时也有很重要的应用.????aaa.收敛，证明级数已知正项级数也收敛例191n?nn1n??n11a?0,由均值不等式，有因为,,已知级数证明)aaa?(?a)(n?1,2,n1n?1nn?n2????111????)aaa(a?a从而级数与都收敛，收敛,所以级数再由比也收敛，?aa收敛较判别法，知级数.1nnn?n?1n2221n??1n?1n?1n?1n?nn?12.6 均值不等式在证明积分不等式中的应用积分不等式是一种特殊的不等式,而均值不等式又是证明不等式的重要方法.因此,在积分不等式的证明中我们自然会想到运用均值不等式来进行证明. ??ba,上是正值可积的, ,在20例证明函数且,则nk?1,2,（f）x b0?a?页20共页19第??nnnn????.1111bbbb??????dxf(x)dx)?f()ff(x)?dx(x)dxxf(x)?f(x??????n1n221??????aaaa a??a?an12,证明有利用.a?a?a n n21n)xf()(xf(x)f???dx)xf()dx)dx(ffx(x n12aaa??f(x))xf(x)f(1??n.n21?bbbn12??????bbb n???dx))f(xdxff((x)dxx????n21aaa111????????nnn??)xf()x)f(xf(??b???????n12于是dx?????????bbba???dxx)ff(x)dxf(x)dx(??????????????n21aaa???????dxx(x)dx)f(ff(x)dx1??n21aaa，1?????bbb????bbb n???dxxdx)f(f(x)dx)f(x????n21aaa1111bbbb????????nnnn????. 即dx(x)f)?f(x)ff(x)dx?(xf(x)dx)?dxxf(??????nn2112??????aaaa1?1dx)(x ln f?.在上非负连续，证明例21设dx)(?xfe）（fx[0,1]00证明由题设知在上可积，将等分，作积分和n（）fx[0,1][0,1]1nnn i1ii1??????)?lim(f)f(xdx. ，)f)?limlnln f(x)dx?lim(ln f(??nn nnn0??n0??n??n??1i?1i?1?i11nn11????n??)e?ef lim(?. 所以??1?i0??n??n??1?i a?a?...?a n12?a?aa得由均值不等??n i?1)f(limln n??i??n?dxx)ln f(n式,???.n n12n1nn i1i??n1dxx)f((f)?lim)f(lim???nnn0????nn??1?i1i?1?1dx)ln f(x?.故dx)e?(fx00页20共页20第3 结论均值不等式是数学中的重要内容，对培养数学思维发展有很大帮助.本文重在梳理均值不等式的相关证明方法和应用.如，运用均值不等式时，一定时刻谨记一正、二定、三相等原则，具体问题具体分析，有时可以通过转化达到运用均值不等式解题的目的.本文系统地归纳总结均值不等式的各种证明方法及其在具体解题分析和论证推理过程中的应用.通过本论文的撰写，更深刻地理解均值不等式在证明问题和解题中的重要作用.页20共页21第参考文献:[1]中译本（朱恩宽、李文铭等译）:《阿基米德全集》[M]. 西安：陕西科学技术出版社,1998.[2]陈侃.算术-几何平均值不等式的证明[J].巢湖学院学报,2008,6(3):129-130.[3]熊桂武 .概率方法在不等式证明中的应用[J].重庆师范大学学报,2003,12:89-91.[4]敦茂.算术平均值与几何平均值不等式的各种证法[J].云梦学刊,1980,1(3):65-80.[5]Norman schaumberger.A coordinate approach to the AM-GM inequality[J].Mathematics Magazine,1991,64:273.[6]刘鸿雁.由Jensen不等式导出某些重要不等式[J].成都大学学报,2003,22(3):32-35．[7]匡继昌.常用不等式[M].济南:山东科学技术出版社,2004．[8]陈益琳.高中教学导练(高二)[M].北京:冶金工业出版社,2004.[9]冉凯.均值不等式在数学分析中的应用[J].青海师专学报,1997,4(2):35-38.[10]赵建勋.浅谈均值不等式的应用[J].高中数学教与学,2011,5(3):7-10.[11]蓝兴苹.均值不等式的推广与应用[J].云南民族大学学报,2006,15(4):22-24．[12]高飞、朱传桥《高中数学教与学》[M]. 济南：山东科学技术出版社,2007.[13]章国凤.均值不等式在高等数学中的应用[J].广西教育学院学报,2008,05(1):151-152.[14]陈复华.均值不等式在微积分中的应用及其它[J].湖北民族学院学报（自然科学版）,1994,2(3):88-89.页20共页22第致谢毕业论文暂告收尾，这也意味着我在鞍山师范学院四年的学习生活既将结束。

用均值不等式最值的方法和技巧均值不等式是一个常用的不等式工具，在解决很多求最值问题时会起到很大的帮助。

它的核心思想是通过找到相应的均值来构造不等式，从而得到最值的估计。

下面，我将详细介绍均值不等式的方法和技巧。

1.算术平均-几何平均不等式（AM-GM不等式）：AM-GM不等式是最常见的均值不等式，它表明对于任意非负实数x1,x2, ..., xn，有如下不等式成立：(x1 + x2 + ... + xn) / n ≥ √(x1 * x2 * ... * xn)这个不等式的意义在于，对于一组非负实数的和，取平均值一定大于等于这组数的乘积的正平方根。

这个不等式常常被用于证明其他数学结论的基础。

2.幂平均不等式：幂平均不等式是一组关于算术平均和几何平均之间关系的不等式。

对于任意非负实数x1, x2, ..., xn，以及实数p，q，有如下不等式成立：[(x1^p + x2^p + ... + xn^p) / n]^(1/p) ≥ [(x1^q + x2^q + ... + xn^q) / n]^(1/q)这个不等式是一个广义的不等式，AM-GM不等式就是其特例（p=q=1）。

使用幂平均不等式可以推导出很多常见的不等式，如柯西不等式、余弦不等式等。

3.杨辉不等式：杨辉不等式是一组与二项式系数相关的不等式。

对于任意自然数n，以及实数a，b，有如下不等式成立：(a+b)^n≥C(n,0)*a^n*b^0+C(n,1)*a^(n-1)*b^1+...+C(n,n)*a^0*b^n这个不等式是二项式定理的推广，它可以用来证明其它不等式，如二项式不等式、二项式平均不等式等。

4.切比雪夫不等式：切比雪夫不等式是一组关于平均值和取值范围之间关系的不等式。

对于任意一组具有有限均值μ的实数x1, x2, ..., xn，有如下不等式成立：P(，x1-μ，≥k)≤(σ/k)^2其中，σ是x1, x2, ..., xn的标准差，即σ^2 = [(x1 - μ)^2 + (x2 - μ)^2 + ... + (xn - μ)^2] / n这个不等式的意义在于，对于平均值给定的一组数，其离平均值较远的数出现的概率是受标准差的限制的。

均值不等式求最值的十种方法————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：用均值不等式求最值的方法和技巧一、几个重要的均值不等式①，、)(222222R b a b a ab ab b a ∈+≤⇔≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②，、)(222+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⇔≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③，、、)(33333333+∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立；④)(3333+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立.注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；② 熟悉一个重要的不等式链：ba 112+2a bab +≤≤≤222b a +。

一、拼凑定和通过因式分解、纳入根号内、升幂等手段，变为“积”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，均分系数，拼凑定和，求积的最大值。

例１ (1) 当时，求(82)y x x =-的最大值。

(2) 已知01x <<，求函数321y x x x =--++的最大值。

解：()()()()()()222111111y xx x x x x x =-+++=+-=+-()()311111322241422327x x x x x x ++⎛⎫++- ⎪++=•••-≤=⎪ ⎪⎝⎭。

当且仅当112x x +=-，即13x =时，上式取“=”。

故max 3227y =。

评注：通过因式分解，将函数解析式由“和”的形式，变为“积”的形式，然后利用隐含的“定和”关系，求“积”的最大值。

例2 求函数()22101y xx x =-<<的最大值。

平均值不等式及其证明平均值不等式是最基本的重要不等式之一，在不等式理论研究和证明中占有重要的位置。

平均值不等式的证明有许多方法，这里，我们选了部分具有代表意义的证明方法，其中用来证明平均值不等式的许多结论，其本身又具有重要的意义，特别是，在许多竞赛的书籍中，都有专门的章节和讨论，如数学归纳法、变量替换、恒等变形和分析综合方法等，这些也是证明不等式的常用方法和技巧。

1.1平均值不等式一般地，假设，，，为n个非负实数，他们的算术平均值记为几何平均值记为算术平均值和几何平均值之间有如下的关系。

即，当且仅当时，等号成立。

上述不等式成为平均值不等式，或简称为均值不等式。

平均值不等式的表达形式简单，容易记住，但它的证明和使用非常灵活、广泛，有多重不同的方法。

为使大家理解和掌握，这里我们选择了其中的几种典型的证明方法。

供大家参考学习。

1.2平均值不等式的证明证法一（归纳法）（1）当n=2时，已知结论成立。

（2）假设对n=k（正整数k）时命题成立，即对，，，，有。

那么，当n=k+1时，由于，关于，，，是对称的，任意对调和，和的值不改变，因此不妨设，，，，，，，显然，以及（）（）可得（）所以（）（）即（）两边乘以，得从而，有证法二（归纳法）（1）当n=2时，已知结论成立。

（2）假设对n=k（正整数k）时命题成立，即对，，，，有。

那么，当n=k+1时，由于从而，有证法三（利用排序不等式）设两个实数组，，，和，，，满足；，则（同序乘积之和）（乱序乘积之和）（反序乘积之和）其中，，，是，，的一个排列，并且等号同时成立的充分必要条件是或成立。

证明：切比雪夫不等式（利用排序不等式证明）杨森不等式（Young）设，，，则对，有等号成立的充分必要条件是。

琴生不等式（Jensen）设，（，）为上凸（或下凸）函数，则对任意，（，，），我们都有或其中，，习题一1.设，求证：对一切正整数n，有（）2.设，，，求证（）（）（）（3.设，，为正实数，证明：（）（）（）4.设，，，，求证：（）（）（）（）（）5.设，，，，求证6.设，，，且求证：7.设a，b，c，d是非负实数，满足，求证：8.设n为给定的自然数，，对于n个给定的实数，，，；记（）的最小值为m，求在的条件下，m的最大值。

均值不等式应用（一）均值不等式* 也可是值为正的代数式1.调和平均数：2.几何平均数：3.算数平均数：4.平方平均数：·均值不等式：，当且仅当时等号成立常用：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

两个正数的等差中项不小于他们的等比中项。

（二）常见变形1.2.3.4.5.6.（）7.（）8.9.（）10.（）11.12.（三）解题技巧（一定、二正、三相等、四同时）1.计算函数最值·形函数例：求函数2y =的值域。

(2)t t =≥2y =1(2)t t t ==+≥当1t t=时函数在x 轴正半轴有最小值，在y 轴负半轴有最大值，即1t =± ∵1t =±不属于区间[)2,+∞，故等号不成立，考虑单调性。

∵1y t t=+在区间[)1,+∞单调递增， ∴52y ≥∴所求函数的值域为5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭·分离法例3.：求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域。

解：当,即时,421)591y x x ≥+⨯+=+（，当且仅当x ＝1时等号成立·换元法例：已知 ，则解：令 则·拼凑（系数、常数）例：已知x ，y 为正实数，且x 2＋y 22 ＝1，求x 1＋y 2 的最大值.解：x 1＋y 2＝x2·1＋y 22 ＝ 2 x ·12 ＋y 22x 1＋y 2 ＝ 2 ·x 12 ＋y 22 ≤ 2x 2＋(12 ＋y 22 )22 ≤ 342例：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

解：∵54x <∴540x -> ∴11425432314554y x x x x ⎛⎫=-+=--++≤-+= ⎪--⎝⎭ 当且仅当15454x x-=-，即1x =时等号成立 ∴当1x =时，max 1y =。

·化积为和（因式分解、平方）例：已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝1ab 的最小值分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。

均值不等式及其应用戴又发一．基本均值不等式（一般形式）设0>i a ，n i ,,,, 321=， 记：na a a nH 1++1+1=21 为n a a a a ,,,, 321的调和平均值， n n a a a a G 321= 为n a a a a ,,,, 321的几何平均值， n a a a a A n++++=321 为n a a a a ,,,, 321的算术平均值， na a a a Q n 2232221++++=为n a a a a ,,,, 321的平方平均值， 则 Q A G H ≤≤≤，当且仅当n a a a a ====321 时，等号成立． （特殊形式2=n ）若0>0>b a ,，则 2+≤2+≤≤1+1222b a b a ab ba ， 当b a =时，等号成立．二．基本均值不等式证明1．证明一 （2=n ） （比较法证A G ≤）0≥21=2+21=2+=2)()(b a ab b a ab b a G A －－－－ ． A G ≤∴，当b a =时，等号成立．（分析法证Q A ≤）由 2+≤2+22b a b a ， 得2+≤42++2222b a ab b a ，即 22+≤2b a ab ，显然成立，以上各步均可逆，所以2+≤2+22b a b a ． 当b a =时，等式成立．（放缩法证Q A ≤）2+=2+=42++≥4+++=2+222222222ba b a ab b a b a b a b a )( ，所以2+≤2+22b a b a ． 当b a =时，等式成立．（放缩法证G H ≤）ab ba abab b a ab ba ≤+2×=+2=1+12． 所以 ab ba ≤1+12∴．当b a =时，等式成立．2．证明二 （3=n ）如果+R c b a ∈,,，那么abc c b a 3≥++333．（当且仅当c b a ==时等号成立）∵abc ab b a c b a abc c b a 333++=3++2233333－－－－)()(])())[((c b a ab c c b a b a c b a ++3+++++=22－－ ])[(ab c bc ac b ab a c b a 3++2+++=222－－－ ))((ca bc ab c b a c b a －－－222++++=])()())[((222++++21=a c cb b ac b a －－－．A BCDOA 1 A 2A 3A 4B 1 B 2 B 3 B 4∵+R c b a ∈,, ， 0≥3++∴333abc c b a －，即 abc c b a 3≥++333．当且仅当c b a ==时等号成立． 于是有 3333333333≥++c b a c b a )()()(⇒33≥++abc c b a3≥3++abc c b a ． 3．均值不等式（2=n ）几何解释1：以b a +为直径作圆O （如图），AB 为直径，a AC =，b CB =，过C 作AB CD ⊥交圆上一点D ， 过O 作AB OM ⊥交圆上一点M ， 连接CM ，OD ，过C 作OD CE ⊥于E ， 于是2=b a OC －，2+==ba OM OD ，ab CD =，2+=22b a CM ，ba DE 1+12=，由CM OM CD DE ≤≤≤，得 2+≤2+≤≤1+1222b a b a ab ba ． 当b a =时，等号成立．4．均值不等式（2=n ）几何解释2 ：梯形ABCD 中，上底a AB =，上底b CD =，对角线BD AC ,相交于O （如图）， 点4321A A A A ,,,在AD 上，点4321B B B B ,,,在BC 上，且44332211B A B A B A B A //////，若11B A 过点O ，则ba b a ab B A 1+12=+2=11； 若22B A 使得梯形∽22A ABB 梯形CD B A 22，则ab B A =22；ABCDOMabE若33B A 是梯形ABCD 的中位线，则2+=33ba B A ；若44B A 使得梯形44A ABB 和梯形CD B A 44的面积相等，则2+=2244b a B A ；于是有 得 2+≤2+≤≤1+1222b a b a ab ba ．三．对数均值不等式和指数均值不等式及其证明 1．若0>0>b a ,，且b a ≠，称ba ba ln ln －－为b a ,的对数平均值，则2+<<ba b a b a ab ln ln －－．证明：不妨设0>>b a ，另1>=bat ， 由2+<<b a b a b a ab ln ln －－，得21+<1<)(ln )(t b t t b t b －， 即21+<1<t t t t ln －， 所以 tt t t t 1<<1+12－－ln )(． 构造函数1+12=t t t t f )(ln )(－－，则0>1+1=1+41=′222)()()()(t t t t t t f －－， 所以)(t f 在),[∞+1上是增函数，又0=1)(f ， 所以0>)(t f ，即t t t ln )(<1+12－． 再构造函数tt t t g 1+=－ln )(， 则0<21=212=21211=′2tt t t t t t t t t t t g )()(－－－－－－， 所以)(t g 在),[∞+1上是减函数，又0=1)(g ，所以0<)(t g ，即tt t 1<－ln ．所以tt t t t 1<<1+12－－ln )(，故2+<<ba b a b a ab ln ln －－． 2．若R b R a ∈,∈，且b a ≠，称ba e e ba －－为b a ,的指数平均值， 则 2+<<2+b a b a b a e e b a e e e－－． 证明：在对数均值不等式2+<<ba b a b a ab ln ln －－中，将正数b a ,分别用b a e e ,代替，即得2+<<2+b a b a ba e eb a e e e－－．四．均值不等式应用 利用均值不等式求最值：（1）如果正数y x ,满足积P xy =（是定值），则y x =时，和y x +有最小值P 2；（2）如果正数y x ,满足和S y x =+（是定值），则y x =时，积xy 有最大值22)(S ． 例1 已知实数y x ,满足0>>y x ，且1=2+4+1yx y x －，则y x +2的最小值是 ．解析： 0>2+0>y x y x ,－ ，)()(y x y x y x 2++=+2－))(())((yx yx y x y x y x y x y x y x －－－－2++2+4+4+1=2+4+12++= 9=42+5≥．当6=2+=2y x y x )(－时，即1=4=y x ,时，y x +2的最小值是9．例2 已知正实数y x ,满足6=3+2xy x ，则y x 3+2的最小值是（ ）3.A234－.B 29.C211.A 解析：由6=3+2xy x ，得26=3－xy ，234≥26+2=3+2－－∴xx y x ． 当3=x 时，y x 3+2 取得最小值 234－，选B ．例3 设0>>b a ，则)(b a a ab a －1+1+2的最小值是（ ） 1.A2.B3.C4.D解析：4≥1++1+=1+1+2abab b a a b a a b a a ab a )()()(－－－ ， 当1=ab ，且1=)(b a a －时，即22=2=b a ,等号成立，故选.D例4．求证：)(c b a a c c b b a ++2≥+++++222222．解析： 由2+≥2+22b a b a ，得)(b a b a +22≥+22，同理)(c b c b +22≥+22，)(a c a c +22≥+22， 所以)(c b a a c c b b a ++2≥+++++222222．例5．设0>0>b a ,，且1=+b a ，求证：225≥1++1+22)()(b b a a ． 解析：∵21=2+≤b a ab ， ∴41≤ab ， ∴4≥1ab， 于是 22)()(21+1+12=21++1+2≥1++1+22b a b b a a bb a a )()(225=252≥21+12=2++12=2)(22)()(ab ab b a ． 225≥1++1+∴22)()(b b a a ．例6 已知的三边长为c b a ,,，其外接圆半径为R ，求证：222222236≥1+1+1++R CB A c b a )sin sin sin )((． 解析：由正弦定理，有R a A 2=sin ，所以2224=1aR A sin ，同理，2224=1b R B sin ，2224=1cR C sin ，所以，)sin sin sin )((CB A c b a 2222221+1+1++ 2322232222222222236=3×3×≥1+1+1++4=R cb ac b a R c b a c b a R 4))((，即 222222236≥1+1+1++R CB A c b a )sin sin sin )((．例7 设c b a ,,为正实数，求证32≥+1+1+1333abc c b a ． 解析：32≥+3≥+1+1+1333abc abc abc c b a ．当且仅当613===c b a 时，等号成立．例8 设c b a ,,均为正数，证明：361+1+1+++2222≥)(cb ac b a ，并确定c b a ,,为何值时等号成立．解析：3≥2222223++c b a c b a ，322223219=131+1+1cb a abc c b a ))((≥， 36=27219+31+1+1+++32222222222≥≥∴3cb ac b a c b a c b a )(．当且仅当c b a ==，且3=2223c b a 时等号成立，即43===c b a 时等号成立．例9 已知函数x xe x f －=)(，如果21≠x x ，且)()(21=x f x f ， 证明：2>+21x x ．证明：由x xe x f －=)(，x x x e x xe e x f －－－－－)()(1==′，可知，当0<x 时，0<)(x f ；当0>x 时，0>)(x f ；当1<x 时，0>′)(x f ；当1>x 时，0<′)(x f ； 由)()(21=x f x f ，得0>0>21x x ,，2121=x x e x e x －－，2211=x x x x －－ln ln即1=2121x x x x ln ln －－，由 2+<=1212121x x x x x x ln ln －－， 所以2>+21x x ．例10 设数列}{n a 的通项公式为na n 1++31+21+1= ，证明：)ln(1+2<n a n ． 证明：由2+<b a b a b a ln ln －－，得 ba b a b a +2>－－ln ln ， 令 12=1+2=－n b n a ,，得n n n 21>2121+2)ln()ln(－－， 所以 nn n 1>121+2)ln()ln(－－． 于是 na n 1++31+21+1= )ln()ln()ln(ln ln ln ln 1+2=121+2++35+13<n n n －－－－ ，即 )ln(1+2<n a n ．四．练习题1． 已知正数b a ,满足2=2+1b a ，求224+1ba 的最小值． 2．已知0>>y x ，且1=xy ，则yx y x －22+的最小值为 ．3．若对任意0>x ，a x x x≤1+3+2恒成立，则的取值范围是 ．4．若0>0>b a ,，且不等式0≥++1+1ba kb a 恒成立，则实数k 的最小值等于 ． 5．①求函数)(x x y －1=2的最大值)(1<<0x ；②求函数)(21=x x y －的最大值)(1<<0x ．6．若1=+b a ，求证：2≤21++21+b a ． 7．设c b a ,,均为正数，且1=++c b a ，证明：31≤++ca bc ab ．8．当2>n 时，求证：1<1+1)(log )(log n n n n －．9．设函数x a ax x x f )(ln )(－－2+=2的两个零点是21x x ,，求证：0<2+′1)(xx f ． 10．设数列}{n a 的通项公式为1+1+1=)(n n a n ，其前n 项和为n S ，证明：)ln(1+<n S n ．参考答案与提示：第1题 2； 第2题 22； 第3题（),[+∞51）； 第4题 4－； 第5题 ①274，32=x② 932，33=x ； 第9题 由0=2+=12111x a ax x x f )(ln )(－－，0=2+=22222x a ax x x f )(ln )(－－，两式相减，0=2++21212121))(())((ln ln x x a x x x x a x x －－－－－，2+<2++1=21212121x x a x x a x x x x －－－)(ln ln ， 于是有 0>2+2++21221－－))(()(x x a x x a ，即0>1++2+2121))()((x x x x a －， 0>2+21－)(x x a ，且0>a ，又因为))(()()(11+2=1+2+2=2+21=′2－－－－－－ax x xx a ax a ax x x f ，当0≤a 时，0>′)(x f 在),(+∞0上恒成立；当0>a 时，)(x f 在),(a10上单调递增，在),(+∞1a上单调递减；由0>2+21－)(x x a ，且0>a ，知a x x 1>2+21，0<2+′∴1)(xx f ．第10题 设0>>b a ，由2+<22b a b a b a ln ln －－，得22+2>ba b a b a )(ln ln －－，令n b n a =1+=,，有 n a n n n n >1+2+22>1+2ln )ln(－，所以 n n a a a S +++=21)ln(ln )ln(ln ln ln ln 1+=1+++23+12<n n n －－－ ，所以 )ln(1+<n S n ．。

均值不等式解法一、均值不等式是什么呢？均值不等式可简单理解为几个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

比如说对于两个正实数a和b，那它们的算术平均数就是(a + b)/2，几何平均数就是√(ab)，均值不等式就表示为(a + b)/2 ≥ √(ab)，当且仅当a = b的时候等号成立哦。

这就像是一群小伙伴平均分东西，和用一种特殊方式分配东西之间的一种大小关系呢。

二、常见的均值不等式类型1. 基本的二元均值不等式就像刚刚说的a和b的那种情况。

我们可以想象一下，假如a是一块正方形的边长，b是另一块正方形的边长，那它们的算术平均数就像是把这两块正方形的面积合起来再平均分配后的边长，而几何平均数就像是这两块正方形拼成一个长方形后，能变成正方形的那个边长，很明显平均分配后的边长要大于或者等于特殊分配后的边长啦。

2. 三元均值不等式对于三个正实数a、b、c，它们的算术平均数(a + b + c)/3可不小于它们的几何平均数³√(abc)，同样也是当且仅当a = b = c的时候等号成立。

这就好比有三个盒子，里面装着不同数量的糖果，一种是把糖果总数平均分成三份放到每个盒子里，一种是用特殊的计算方式让每个盒子里的糖果数量有特殊的关系，那平均分配的那种情况得到的数量是比较大或者相等的。

三、均值不等式的解法1. 直接应用如果题目已经明确给出了满足均值不等式形式的式子，那就可以直接套公式啦。

比如说已知a > 0，b > 0，求a + b的最小值，且知道ab = 1，那我们就可以根据均值不等式(a + b)/2 ≥ √(ab)，把ab = 1代入，得到(a + b)/2 ≥ 1，所以a + b ≥ 2，最小值就是2啦。

就像是我们看到了形状正好合适的拼图块，直接放到对应的位置就行。

2. 变形后应用有时候题目给的式子不是直接能套均值不等式的形式，这时候就需要我们变形啦。

比如求y = x + 1/x（x > 0）的最小值。

均值不等式一．均值不等式一个重要的不等式：ab b a 222≥+（当且仅当b a =时，等号成立），用作差法可以证明。

均值不等式：如果+∈R b a ,，那么ab b a ≥+2。

当且仅当b a =时，等号成立。

二．最值定理1. 已知+∈R y x ,，则（1） 如果积xy 是定值p ，那么当y x =时，y x +有最小值p 2； （2） 如果和y x +是定值S ，那么当y x =时，xy 有最大值42S 。

. 2. 利用此公式求最值时，必须同时满足以下三个条件：（1）各项均为正数；（2）其和或积为常数；（3）等号必须成立。

“一正二定三相等”3. 应用此公式求最值时，还应该注意配凑和一定或积一定，进而用公式求解。

三．常用不等式：2222211a b a b ab a b++≥≥≥+（0,0>>b a ） 例题1. 不等式2≥+ba ab 成立的条件是（ ） A. R b R a ∈∈, B. b a ,非负 C. 0≠ab D. 0>ab2. 下列结论正确的是( )A. 当0>x 且1≠x 时，2lg 1lg ≥+x xB. 当0>x 时，21≥+xx C. 当2≥x 时，x x 1+的最小值为2 D. 当20≤<x 时，xx 1-无最大值 3. 若1>>b a ，b a P lg lg ⋅=,)2lg(),lg (lg 21b a R b a Q +=+=,则（ ） A. Q P R << B. R Q P << C. R P Q << D. Q R P <<4. 若实数b a ,满足2=+b a ，则b a 33+的最小值是（ ） A. 18 B. 6 C. 32 D. 4325. 已知点),(b a 在直线023=-+y x 上，则3273++=b a u 的最小值为（ ） A. 311 B. 323+ C. 6 D. 96. 已知2>x ，则当=x （ ）时，24-+x x 的最小值为（ ）。