高阶常微分方程知识小结

常微分方程小结常微分:常微分方程： 只含一个自变量的微分方程. 方程22()d y dybcy f t dt dt++= （1.11） 20dy dy t y dt dt ⎛⎫++= ⎪⎝⎭（1.12） 22sin 0d y gy dt l+= （1.13）是常微分方程的例子，y 是未知函数，仅含一个自变量t .微分方程的阶数：微分方程中出现的最高阶导数的阶数.例如，方程（1.12）、（1.13）是二阶的常微分方程，一般的n 阶微分方程具有形式(,,,,)0n n dy d yF x y dx dx = （1.14） 这里(,,,,)n n dy d y F x y dx dx 是x 、y 、dy dx 、…、n nd ydx 的已知函数，而且一定含有n nd ydx；y 是未知函数，x 是自变量. 第二章 初等积分法§1 变量分离方程与变量变换1、 变量分离方程1) 变量分离方程 形如()()dyf xg y dx= （2.1） 的一阶微分方程，称为变量分离方程，其中函数()f x 在区间（a,b ）上连续，()g y 在区间（c,d ）上连续且不等于0. 2) 求解方法如果()0g y ≠，方程(2.1)可化为，()()dyf x dxg y =这样变量就分离开了,两边积分,得到()()dyf x dx cg y =+⎰⎰ （2.2）把,()()dy f x dx g y ⎰⎰分别理解为1,()()f x y ϕ的某一个原函数. 容易验证由（2.2）所确定的隐函数(,)y x c ϕ=满足方程（2.1）.因而（2.2）是（2.1）的通解.如果存在0y 使0()0g y =，可知0y y =也是（2.1）的解.可能它不包含在方程的通解（2.2）中，必须予以补上.3) 例题例1 求解方程dy x dx y=- 解 将变量分离，得到ydy xdx =- 两边积分，即得22222y x c=-+ 因而，通解为22x y c += 这里的c 是任意的正常数. 或解出显式形式y =例2 解方程2cos dyy x dx= 解 将变量分离，得到 2cos dyxdx y = 两边积分，即得1sin x c y-=+ 因而，通解为1sin y x c=-+这里的c 是任意的常数.此外，方程还有解0y =.注: 1.常数c 的选取保证(2.2)式有意义.2.方程的通解不一定是方程的全部解,有些通解包含了方程的所有解，有些通解不能包含方程的所有解.此时，还应求出不含在通解中的其它解, 即将遗漏的解要弥补上.3.微分方程的通解表示的是一族曲线，而特解表示的是满足特定条件00()y x y =的一个解，表示的是一条过点00(,)x y 的曲线.2、可化为变量分离方程的类型1）.形如 dy y g dx x ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2.5）的方程，称为齐次方程，这里的()g u 是u 的连续函数.另外,ⅰ)对于方程(,)(,)dy M x y dx N x y = 其中函数(,)M x y 和(,)N x y 都是x 和y 的m 次齐次函数，即对0t >有(,)(,)m M tx ty t M x y ≡ (,)(,)mN t x t y t N x y≡事实上，取1t x=，则方程可改写成形如(2.5)的方程. (1,)(1,)(1,)(1,)m m y yx M M dy x x y y dx x N N x x== ⅱ)对方程 (,)dyf x y dx= 其中右端函数(,)f x y 是x 和y 的零次齐次函数，即对0t >有(,)(,)f tx ty f x y =则方程也可改写成形如(2.5)的方程(1,)dy y f dx x= 对齐次方程（2.5）利用变量替换可化为变量分离方程再求解.令yu x=（2.6）即y ux =，于是dy du x u dx dx=+ （2.7）将（2.6）、（2.7）代入（2.5），则原方程变为 ()dux u g u dx+= 整理后，得到()du g u u dx x-= （2.8）方程（2.8）是一个可分离变量方程，按照变量分离法求解，然后将所求的解代回原变量，所得的解便是原方程（2.5）的解.例4 求解方程dy y y tg dx x x=+ 解 这是齐次方程，以,y dy duu x u x dx dx ==+代入，则原方程变为 dux u u tgu dx+=+ 即du tgu dx x= （2.9）分离变量，即有dxctgudu x= 两边积分，得到ln sin ln u x c =+ 这里的c是任意的常数，整理后，得到 sin u cx =（2.10）此外，方程（2.9）还有解0tgu =,即sin 0u =. 如果（2.10）中允许0c =，则sin 0u =就包含在（2.10）中，这就是说，方程（2.9）的通解为（2.10）.代回原来的变量，得到原方程的通解为sin ycx x= 例如 求解方程13d y x y d x x y -+=+- （2.11） 解 解方程组 1030x y x y -+=⎧⎨+-=⎩ 得1, 2.x y ==令12x X y Y =+⎧⎨=+⎩代入方程（2.11），则有 dY X YdX X Y -=+ （2.12） 再令Yu X= 即 Y u X = 则（2.12）化为2112dX udu X u u+=-- 两边积分，得22ln ln 21X u u c=-+-+ 因此22(21)c X u u e +-=±记1,c e c ±=并代回原变量，就得2212Y XY X c +-= 221(2)2(1)(2)(1)y x y x c -+----= 此外，易验证2210u u +-= 即2220Y XY X +-= 也就是（2.12）的解.因此方程（2.11）的通解为22262y xy x y x c +---= 其中c 为任意的常数.注：1.对于齐次方程dy y g dx x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的求解方法关键的一步是令y u x =后，解出y ux =，再对两边求关于x 的导数得dy du u x dx dx=+，再将其代入齐次方程使方程变为关于,u x 的可分离方程.2.齐次方程也可以通过变换xv y=而化为变量分离方程.这时x vy =，再对两边求关于y 的导数得dx dv v y dy dy =+，将其代入齐次方程dxx f dy y ⎛⎫= ⎪⎝⎭使方程变为,v y 的可分离方程小结：这一讲我们主要讲解了一阶微分方程的可分离变量法和齐次方程的dy y g dx x ⎛⎫= ⎪⎝⎭形状的解法.而这一齐次方程通过变量替换任然可化为可分离方程，因而，一定要熟练掌握可分离方程的解法.2）形如111222a xb yc dy dx a x b y c ++=++ （2.13） 的方程经变量变换化为变量分离方程，这里的121212,,,,,a a b b c c 均为常数.分三种情况来讨论 （1）120c c ==情形. 这时方程（2.11）属齐次方程，有1122a x b y dy y g dx a x b y x +⎛⎫== ⎪+⎝⎭此时，令yu x=，即可化为变量可分离方程. （2）11220a b a b =，即1122a ba b =的情形. 设1122a b k a b ==，则方程可写成22122222()()()k a x b y c dy f a x b y dx a x b y c ++==+++ 令22a x b y u +=，则方程化为 22()dua b f u dx=+ 这是一变量分离方程.（3）1112220,a b c c a b ≠及不全为零的情形.这时方程（2.11）右端的分子、分母都是,x y 的一次式，因此 1112220a x b y c a x b y c ++=⎧⎨++=⎩ （2.14）代表xy 平面上两条相交的直线，设交点为(,)αβ.显然，0α≠或0β≠，否则必有120c c ==，这正是情形（1）（只需进行坐标平移，将坐标原点(0,0)移至(,)αβ就行了，若令X x Y y αβ=-⎧⎨=-⎩ （2.15）则（2.14）化为11220a X b Y a X b y +=⎧⎨+=⎩从而（2.13）变为1122a X bY dY Y g dX a X b Y X +⎛⎫== ⎪+⎝⎭（2.16） 因此，得到这种情形求解的一般步骤如下：(1)解联立代数方程（2.16），设其解为,x y αβ==； (2)作变换（2.17）将方程化为齐次方程（2.18）； (3)再经变换Yu X=将（2.18）化为变量分离方程； (4)求解上述变量分离方程，最后代回原变量可得原方程（2.15）的解. 上述解题的方法和步骤也适用于比方程（2.15）更一般的方程类型 111222a x b y c dy f dx a x b y c⎛⎫+== ⎪++⎝⎭此外，诸如()dyf ax by c dx++ ()()0y xy dx xg xy dy += 2()dyxf xy dx=2dy y xf dx x ⎛⎫= ⎪⎝⎭以及(,)()(,)()0M x y xdx ydy N x y xdy ydx ++-=（其中,M N 为,x y 的齐次函数，次数可以不相同）等一些方程类型，均可通过适当的变量变换化为变量分离方程.§2 恰当方程与积分因子1、恰当方程的定义 将一阶微分方程 (,)dyf x y dx= 写成微分的形式(,)0f x y dx dy -= 把,x y 平等看待，对称形式的一阶微分方程的一般式为(,)(,)0M x y dx N x y dy += （2.21） 假设(,),(,)M x y N x y 在某区域G 内是,x y 的连续函数，而且具有连续的一阶偏导数. 如果存在可微函数(,)u x y ,使得(,)(,)du M x y dx N x y dy =+ (2.22)即(,), (,)u u M x y N x y x y∂∂==∂∂ (2.23) 则称方程(2.43)为恰当方程,或称全微分方程.在上述情形,方程(2.43)可写成(,)0du x y ≡,于是 (,)u x y C ≡就是方程(2.21)的隐式通解,这里C 是任意常数(应使函数有意义).2、 恰当方程的判定准则定理1设(,),(,)M x y N x y 在某区域G 内连续可微,则方程(2.43)是恰当方程的充要条件是, (,)M Nx y G y x∂∂=∈∂∂ (2.24) 而且当(2.46)成立时,相应的原函数可取为0(,)(,)(,)xyx y u x y M s y ds N x t dt =+⎰⎰ (2.25)或者也可取为0(,)(,)(,)yxy x u x y N x t dt M s y ds =+⎰⎰ (2.26)其中00(,)x y G ∈是任意取定的一点.证明 先证必要性.因为(2.43)是恰当方程,则有可微函数(,)u x y 满足(2.23), 又知(,),(,)M x y N x y 是连续可微的,从而有22M u u Ny y x x y x∂∂∂∂===∂∂∂∂∂∂ 下面证明定理的充分性,即由条件(2.23),寻找函数(,)u x y ,使其适合方程(2.22).从(2.25)可知(,)uN x y y∂=∂ 000000(,)(,) =(,)(,) =(,)(,)(,)yy y x y yy y u M x y N x t dt x x M x y N x t dtM x y M x t dt M x y ∂∂=+∂∂++=⎰⎰⎰即(2.23)成立,同理也可从(2.25)推出(2.23).例1. 解方程21()02x xydx dy y++=(2.27)解 这里21, =()2x M xy N y=+,则y x M x N ==,所以(2.27)是恰当方程.因为N 于0y =处无意义,所以应分别在0y >和0y <区域上应用定理,可按任意一条途径去求相应的原函数(,)u x y .先选取00(,)(0,1)x y =,代入公式(2.25)有 22011()ln 22xyx x u xdx dy y y y =++=+⎰⎰再选取00(,)(0,1)x y =-,代入公式(2.47)有22011()()ln()22xyx x u x dx dy y y y -=-++=+-⎰⎰可见不论0y >和0y <,都有2ln ||2x u y y =+ 故方程的通解为2ln ||2x y y C +=. 3、积分因子的定义及判别对于微分形式的微分方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=（2.21）如果方程（2.21）不是恰当方程，而存在连续可微的函数(,)0x y μμ=≠，使得(,)(,)0M x y dx N x y dy μμ+= (2.31)为一恰当方程，即存在函数(,)v x y ，使(,)(,)M x y dx N x y dy dv μμ+≡则称(,)x y μ是方程（2.21）的积分因子.此时(,)v x y C =是(2.51)的通解，因而也就是（2.21）的通解.如果函数(,),(,)M x y N x y 和(,)x y μ都是连续可微的,则由恰当方程的判别准则知道,(,)x y μ为(2.21)积分因子的充要条件是M Ny xμμ∂∂=∂∂ 即 ()M NNM x y y xμμμ∂∂∂∂-=-∂∂∂∂ (2.32) 4、积分因子的求法方程(2.32)的非零解总是存在的，但这是一个以μ为未知函数的一阶线性偏微分方程，求解很困难，我们只求某些特殊情形的积分因子. 定理2 设(,),(,)M M x y N N x y ==和(,)x y ϕϕ=在某区域内都是连续可微的，则方程（2.32）有形如((,))x y μμϕ=的积分因子的充要条件是：函数(,)(,)(,)(,)(,)(,)y x x y M x y N x y N x y x y M x y x y ϕϕ-- （2.41）仅是(,)x y φ的函数，此外，如果（2.53）仅是(,)x y φ的函数((,))f f x y ϕ=，而()()G u f u du =⎰，则函数((,))G x y e ϕμ=（2.42）就是方程（2.21）的积分因子.例3. 解方程2()(1)0xy y dx xy y dy ++++=解 这里2,1M xy y N xy y =+=++方程不是恰当的.但是 1y xM N My -=-- 它有仅依赖于y 的积分因子 11dy y e yμ-⎰≡= 方程两边乘以积分因子1y μ=得到 1()(1)0x y dx x dy y++++= 从而可得到隐式通解 21ln ||2u x xy y y C ≡+++= 另外，还有特解0y =.它是用积分因子乘方程时丢失的解.§3隐式方程1、一阶隐方程一阶隐式微分方程的一般形式可表示为:(,,)0F x y y '=如果能解出(,)y f x y '=,则可化为显式形式,根据前面的知识求解.例如方程2()()0y x y y x y ''-++=,可化为y x '=或y y '=但难以从方程中解出y ',或即使解出y ',而其形式比较复杂,则宜采用引进参数的方法求解.一般隐式方程分为以下四种类型:1) (,)y f x y '= 2) (,)x f y y '= 3) (,)0F x y '= 4)(,)0F y y '=2、求解方法Ⅰ）可以解出y （或）x 的方程1) 讨论形如(,)y f x y '= （2.31） 的方程的解法，假设函数(,)f x y '有连续的偏导数,引进参数y p '=,则方程(2.57)变为(,)y f x p = (2.32) 将(2.32) 的两边对x 求导数,得到f f dp p x y dx∂∂=+∂∂ (2.33) 方程(2.33)是关于,x p 的一阶微分方程,而且属于显式形式.若求得(2.33)的通解形式为(,)p x c ϕ=,将其代入(2.32),于是得到(2.31)通解为(,(,))y f x x c ϕ=若求得(2.33)的通解形式为(,)x p c ψ=,于是得到(2.31)的参数形式的通解为(,)((,),)x p c y f p c p ψψ=⎧⎨=⎩其中p 为参数, c 是任意常数.若求得(2.33)的通解形式为(,,)0x p c Φ=,于是得到(2.57)的参数形式的通解为(,,)0(,)x p c y f x p Φ=⎧⎨=⎩ 其中p 为参数, c 是任意常数.例1 求方程3()20dy dy x y dx dx +-= 的解 解：令dy p dx=，于是有 32y p x p =+ (2.34) 两边对x 求导数,得到 2322dp dp p px p dx dx =++ 即 2320p dp xdp pdx ++=当0p ≠时,上式有积分因子p μ=,从而32320p dp xpdp p dx ++=由此可知4234p xp c += 得到42223344c p c x p p p -==- 将其代入(2.60),即得 43342()c p y p p -=+ 故参数形式的通解为22334 (0) 212c x p p p c y p p ⎧=-⎪⎪≠⎨⎪=-⎪⎩ 当0p =时,由(2.60)可知0y =也是方程的解.第三章 线性方程§1 存在性与唯一性1．存在性与唯一性定理：（1）显式一阶微分方程),(y x f dx dy = （3.1）这里),(y x f 是在矩形域：00:||,||R x x a y y b -≤-≤ （3.2）上连续。

大一微分方程知识点总结微分方程作为数学中的一门重要分支，在大学数学课程中占据着重要地位。

作为大一学生，我们需要掌握基础的微分方程知识，下面对大一微分方程的知识点进行总结。

1.微分方程的定义微分方程是包含未知函数及其导数或微分的等式或不等式。

一般分为常微分方程和偏微分方程两大类。

2.微分方程的类型常微分方程可分为一阶常微分方程和高阶常微分方程。

一阶常微分方程包括可分离变量方程、齐次方程、一阶线性方程和可降阶的高阶方程等。

高阶常微分方程包括二阶常微分方程、三阶常微分方程等。

3.常见的一阶常微分方程(1) 可分离变量方程当微分方程可写成dy/dx = f(x)·g(y)时，可将式子变形后分离变量进行积分求解。

(2) 齐次方程当微分方程可写成dy/dx = f(y/x)时，可令v = y/x进行变换，将齐次方程转化为可分离变量方程进行求解。

(3) 一阶线性方程当微分方程可写成dy/dx + P(x)y = Q(x)时，可使用积分因子进行求解。

4.常见的二阶常微分方程(1) 齐次线性方程当微分方程可写成d²y/dx² + P(x)dy/dx + Q(x)y = 0时，可以根据特征方程找到其通解。

(2) 非齐次线性方程当微分方程可写成d²y/dx² + P(x)dy/dx + Q(x)y = f(x)时，可以先求得齐次线性方程的通解，然后通过待定系数法求出非齐次方程的一个特解，从而得到其通解。

5.拉普拉斯变换与微分方程拉普拉斯变换是一种重要的函数变换方法，在求解微分方程中有着广泛应用。

通过将微分方程转化为代数方程，可以更加简便地求解。

6.常见的数值解方法当出现无法直接求解微分方程的情况时，可以利用数值解法进行求解。

常见的数值解法包括欧拉法、龙格-库塔法等。

7.简单的应用示例(1) 天平问题假设有两个物体放在天平上，通过建立物体质量和加速度之间的微分方程，可以求解出物体的运动情况。

常微分方程小结姓名：邱俊铭学号：2010104506姓名：李林学号：2010104404姓名：曾治云学号: 2010104509初等积分法：变量分离形式一、一阶微分程：dy/dx=h(x)g(y) ，其中函数h(x)在区间(a,b)上连续，g(y)在区间(c,d)上连续且不等于0.经过分离变量得: dy/g(y)=h(x)dx 两端积分得：G(y)=H(x)+c ,其中c任意的常数且G(y)= ∧dy/g(y)，H(x)= ∧h(x)®x，所以G’(y)=1/g(y)不为0，故G存在逆函数，从而得到：y= (H(x)+c).例1. dy /dx=2xy解：当y ≠0时，分离变量后得：dy/ y =2xdx ,两边积分得：ln|y|=x^2+c1 ，此外y=0也是方程的解，从而方程的解为y=Ce^(x^2),g(y)=0,则y=是方程的解，其中C为任意的常数。

初值问题的解，即y取任意一个数得到的结果，代入通解中，求出具体y 值。

例2.y(1+x^2)dy=x(1+y^2)dx,y(0)=1;解：这是变量分离的方程，分离变量后得：y/(1+y^2)dy=x/(1+x^2),两边积分得其通解为：1+y^2=C(1+x^2),其中C为任意常数，代入初值条件得：C=2.。

故所给的初值问题的解为y=.二、常数变易法一阶非线性方程：dy/dx=a(x)y+f(x).（1）当f(x)=0时，方程为齐次线性方程，解法和上述的一样，通解为y=C ,C为任意的常数。

现在求齐次线性方程的通解，常数C换成x的函数c(x),得到：y= c(x)，对x 求导，然后代入（1）中化简，两端积分，得：y=C +f x e ..例3. dy/dx-2xy=x.解：dy/dx=2xy+x ，这里a(x)=2x,f(x).从而可求出原方程的通解为： Y=exp(2 ∧x ®x)(c+ ∧xexp(-2∧x ®x)®x)=-1/2+ce^(x^2),即-1/2+ce^(x^2)，其中c 为任意的常数。

常微分方程高阶微分方程内容小结1 三类可降阶的高阶微分方程一主要内容1 n阶线性微分方程二1 n阶常系数线性微分方程三()1.()n yf x =2."(,')y f x y ='()y p x =令，),('p x f p =1(,),p x C ϕ=求得通解为='y n 积分次，得到其通解：12121()(1)!(2)!n n n nn C x C xy f x dx C x C n n ---=+++++--⎰⎰次1,,.n C C 其中为任意常数方程不含未知函数()y p x '''=则，原方程化为再积分得12(,).y x C dx C ϕ=+⎰3"(,')y f y y =(,)dpp f y p dy ='()y p y =令，1(,),p y C ϕ=求得通解为='y .x 方程不含自变量dp dp dy dp y p dx dy dx dy ''===则，原方程化为再积分得21.(,)dyx C y C ϕ=+⎰n 阶线性微分方程的一般形式为 二、n 阶线性微分方程定理1（齐次线性微分方程通解的结构）12,,,(2),n x x x n 若是齐次方程的个线性无关的解1122n nx C x C x C x =+++.,,,21为任意常数其中n C C C 均可表示为则它的任一解x 11(),(),,(),(),.n n P t P t P t F t t I -其中是的已知函数且在内连续()(1)11()()()()(1)n n n n x P t xP t x P t x F t --++++=齐次非齐次()(1)11()()()0(2)n n n n xP t xP t x P t x --++++=定理2（非齐次线性方程通解的结构）1122(2),n n X C x C x C x =+++是对应的齐次方程的通解(1),x *设是非齐次线性方程的任一特解)()()(t x t X t x *+=非齐次方程的通解 = 齐次方程的通解 + 非齐次方程的特解()(1)11()()()0(2)n n n n xP t xP t x P t x --++++=可表为的通解则非齐次线性方程)()1(t x定理41212(),()(1),()()(2).x t x t x t x t -若是方程的解则是对应的解()(1)1211()(1)12(),()()(),n n n n n n x t x t x P x P x f t x P xP x f t **--+++=+++=若分别是方程及的特解是则)()(21t x t x **+()(1)112()().n n n x P x P x f t f t -+++=+的特解定理3（解的叠加原理）()(1)11()()()0(2)n n n n xP t xP t x P t x --++++=()(1)110.n n n n x a xa x a x --++++=求解 (2)根据特征值写对应的特解：111(1)0nn n n a a a λλλ--++++=求特征方程；1）高阶常系数齐次线性方程 特征方程的根对应的线性无关的特解k λ若是重实根tk t t ette e λλλ1,,,- 重是若共轭复根k i βα±.sin ,,sin ,sin ,cos ,,cos ,cos 11t βe tt βte t βe t βe t t βte t βe tαk tαtαtαk t αt α-- 1122(3).n n x C x C x C x =+++通解)(21t F x a x a x =++ ,)()()1(t e t F m tϕμ=,μ其中为常数10().mm m t b t b t b ϕ=+++可设特解为,2,2,1,0⎪⎩⎪⎨⎧=重特征根是是单特征根不是特征根μμμk ().0111B t B tB t B t Z m m mm m ++++=-- 2）二阶常系数非齐次线性方程*()()().x t X t x t =+通解为 *()(),k tm x t t e Z t μ=)(21t F x a x a x =++ 2）二阶常系数非齐次线性方程*()()().x t X t x t =+通解为 t υt e t F t υt e t F tμt sin )()(cos )()()2(ϕϕμ==或12(),()(),Z t Z t t ϕ是与同次的实系数多项式设特解为 ()*12()()cos ()sin k μtx t t eZ t υt Z t υt =+{0,.1,iv k iv μμ±=±不是特征根是特征根类似求解n 阶常系数非齐次线性方程的特解.3）可化为常系数线性方程的方程——欧拉方程()11111n n n n n n n n d x d x dx t a t a t a x f t dt dt dt----++++=.,,,21均为常数其中n a a a 求解： 作变量变换 ,ln t e t ==ττ或dx dx d dt d dt ττ=22d x d dx dt dt dt ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 1,dx t d τ=2221,d x dx t d d ττ⎛⎫=- ⎪⎝⎭代入得到以 为自变量的常系数线性方程. τ三、高阶常系数线性微分方程。

（1） 概念微分方程：一般，凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量的之间关系的方程。

微分方程的阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数。

如： 一阶：2dyx dx= 二阶：220.4d sdt=-三阶：32243x y x y xy x ''''''+-=四阶：()4410125sin 2y y y y y x ''''''-+-+=一般n 阶微分方程的形式：()(),,,,0n F x y y y'= 。

这里的()ny 是必须出现。

（2）微分方程的解设函数()y x ϕ=在区间上有阶连续导数，如果在区间上，()()()(),,0n F x x x x ϕϕϕ⎡⎤'≡⎢⎥⎣⎦则()y x ϕ=称为微分方程()(),,,,0n F x y y y '= 的解。

注：一个函数有阶连续导数→该函数的阶导函数也是连续的。

函数连续→函数的图像时连在一起的，中间没有断开（即没有间断点）。

导数→导函数简称导数，导数表示原函数在该点的斜率大小。

导函数连续→原函数的斜率时连续变化的，而并没有在某点发生突变。

函数连续定义：设函数()y f x =在点的某一邻域内有定义，如果()()00lim x x f x f x →=则称函数()f x 在点连续。

左连续：()()()000lim x x f x f x f x --→==左极限存在且等于该点的函数值。

右连续：()()()000lim x x f x f x f x ++→==右极限存在且等于该点的函数值。

在区间上每一个点都连续的函数，叫做函数在该区间上连续。

如果是闭区间，包括端点，是指函数在右端点左连续，在左端点右连续。

函数在点连续()()()()00lim lim lim x x x x x x f x f x f x f x -+→→→=== 1、()f x 在点有定义 2、()0lim x x f x →极限存在3、()()00lim x x f x f x →=（3）微分方程的通解如果微分方程中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫微注：任意常数是相互独立的：它们不能合并使得任意常数的个数减少。

《常微分方程》知识点常微分方程，又称ODE（Ordinary Differential Equation），是研究未知函数的导数与自变量之间的关系的数学学科。

常微分方程在科学和工程领域中有着广泛的应用，涉及到许多重要的数学原理和方法。

下面将介绍常微分方程的一些重要知识点。

1.基本概念-常微分方程的定义：常微分方程是描述未知函数在其中一区域上的导数与自变量之间的关系的方程。

-方程的阶数：常微分方程中最高阶导数的阶数称为方程的阶数。

-解和解集：满足常微分方程的未知函数称为方程的解，所有满足方程的解的集合称为方程的解集。

2.常微分方程的分类-分离变量法：适用于可以通过变量分离的常微分方程，将所有含有未知函数的项移到方程的一边，其他项移到方程的另一边，然后两边同时积分求解。

-齐次方程：适用于可以化为齐次方程的常微分方程，通过进行变量的代换，将方程转化为一个只含有未知函数的项的齐次方程，然后求解。

-线性齐次方程：适用于可以化为线性齐次方程的常微分方程，通过变量的代换，将方程转化为一个只包含未知函数和其导数的项的线性齐次方程，然后求解。

-非齐次方程：适用于非齐次方程的常微分方程，可以通过对应的齐次方程的解和特解的叠加，得到非齐次方程的解。

-可降阶的方程：这类方程具有特殊的形式，通过进行变量的代换，可以将高阶常微分方程转化为一阶或者低阶的方程，然后求解。

3.常微分方程的解法-解析解：指通过直接计算得到的解析表达式，能够准确地求得方程的解。

-数值解：指通过数值计算的方法，例如欧拉法、龙格-库塔法等，近似求解方程的解。

4.常用的一阶常微分方程- 可分离变量的方程：形如dy/dx = f(x)g(y)，通过将变量分离，然后积分求解得到解析解。

- 齐次方程：形如dy/dx = f(y/x)，通过进行变量的代换，将方程转化为一个只含有未知函数的项的齐次方程，然后求解。

- 线性方程：形如dy/dx + p(x)y = q(x)，通过变量的代换，将方程转化为一个只包含未知函数和其导数的项的线性齐次方程，然后求解。

大二常微分方程知识点常微分方程是数学中非常重要的一个分支，它研究的是指导自然界中各种现象变化规律的方程。

在大二学习阶段，我们需要掌握一些常微分方程的基本知识点，接下来将逐一介绍。

1. 常微分方程的定义及基本概念常微分方程是指包含一个未知函数及其导数的方程，并且仅涉及一个自变量。

常微分方程的解是未知函数的函数表达式，它满足方程本身以及初值条件。

常微分方程一般可以分为初值问题和边值问题。

初值问题是指在给定某一时刻的初值条件下，求解方程的解；而边值问题是在给定一定边界条件下，求解方程的解。

2. 一阶常微分方程一阶常微分方程是指方程中最高导数的阶数为一的常微分方程。

它可以分为可分离变量的一阶常微分方程、线性一阶常微分方程和齐次线性一阶常微分方程等。

可分离变量的一阶常微分方程可以通过对方程两边进行变量分离，然后进行积分求解。

线性一阶常微分方程可以通过求解其特征方程，得到通解。

如果已知特解，可以通过通解加上特解得到特定解。

齐次线性一阶常微分方程则可以转化为线性一阶常微分方程，并且其特征方程只有一个解。

3. 高阶常微分方程高阶常微分方程是指方程中最高导数的阶数大于一的常微分方程。

它可以分为常系数线性高阶常微分方程和非齐次线性高阶常微分方程等。

常系数线性高阶常微分方程可以通过求解其特征方程，得到通解。

如果已知特解，可以通过通解加上特解得到特定解。

非齐次线性高阶常微分方程则可以转化为常系数线性高阶常微分方程，并且其特征方程有多个解。

4. 常微分方程的解法技巧在解常微分方程时，我们可以借助一些常见的解法技巧，如变量分离法、齐次方程法、常数变易法、欧拉方程等。

变量分离法是指通过将方程中的变量分离，然后进行积分求解。

齐次方程法适用于齐次的高阶常微分方程，在此方法中，我们需要进行代换，将齐次方程转化为一阶常微分方程。

常数变易法适用于非齐次的高阶常微分方程，我们通过猜测特解的形式，并代入方程，再确定常数的值。

欧拉方程是针对常系数线性高阶常微分方程的解法，其中特解形式为 e^rx。

§12.2 特殊的高阶微分方程一、可降阶的高阶微分方程 12121()()n n n n n n f x dx C x C x C x C ---⎰+++++次,,y p '''=⇒则原方程(,)p f x p '=—一阶方程，设其1)C ,即1(,)y g x C '=，则原方程的通解为1(,)y g x C dx =⎰p p y ，把看作的函数，则 dp dp dy dpy p dx dy dx dy''==⋅= 把 二、线性微分方程解的性质与结构我们讨论二阶线性微分方程解的性质与结构，其结论很容易地推广到更高阶的线性微分方程。

二阶齐次线性方程 ()()0y p x y q x y '''++= （1） 二阶非齐次线性方程()()()y p x y q x y f x '''++= （2）1、 若12(),()y x y x 为二阶齐次线性方程的两个特解，则它们的线性组合1122()()C y x C y x +（12,C C 为任意常数）仍为同方程的解，特别地，当12()()()y x y x λλ≠为常数，也即12()()y x y x 与线性无关时，则方程的通解为1122()()y C y x C y x =+。

2、 若()y x 为二阶非齐次线性方程的一个特解，而1122()()C y x C y x +为对应的二阶齐次线性方程的通解（12,C C 为独立的任意常数）则1122()()()y y x C y x C y x =++是此二阶非齐次线性方程的通解。

3、 设12()()y x y x 与分别是1()()()y p x y q x y f x '''++=与2()()()y p x y q x y f x '''++=的特解，则12()()y x y x +是12()()()()y p x y q x y f x f x '''++=+的特解 三、二阶常系数齐次线性方程：0,,y py qy p q '''++=为常数特征方程20p q λλ++=特征方程根的三种不同情形对应方程通解的三种形式 （1）当240,p q ∆=->特征方程有两个不同的实根12,λλ 则方程的通解为1212x x y C e C e λλ=+（2）当240,p q ∆=-=特征方程有而重根12λλ=， 则方程的通解为112()x y C C x e λ=+（3）当240,p q ∆=-<特征方程有共轭复根i αβ±, 则方程的通解为12(cos sin )x y e C x C x αββ=+四、二阶常系数非齐次线性方程 方程 (),y py qy f x p q '''++=其中为常数通解 1122()()y y C y x C y x =++其中1122()()C y x C y x +为对应二阶常系数齐次线性方程的通解上面已经讨论。

常微分方程终极总结作者：王清亮1、 可分离变量的微分方程。

可变形为g(y)dy=f(x)dx,则两端同时积分,⎰⎰=dx x f dy y g )()(，即得解。

2、 齐次方程。

)(xydx dy ϕ=，令x y =u ，则ux y =，方程化为)u (dx du x u ϕ=+，则x dxu )u (du =-ϕ，成为可分离变量的微分方程，解出后再以xy代替u 即得所给齐次方程的通解。

可化为齐次的方程：111c y b x a c by ax dx dy ++++=，令x=X+h ，y=Y+k ，则方程化为 YX 11b a bYaX dX dY ++=，并据此解出h 、k 的值，从而转化为齐次方程。

3、 一阶线性微分方程。

⎩⎨⎧=+→≡⎩⎨⎧→⎰可分离变量；齐次，，非齐次，不恒为；代替的解，再以常数变易法：先求齐次。

同乘以积分因子法：方程两端,0)(0)(C )x (u )()()(P x Q x Q dx x P e x Q y x dx dy伯努利方程：）（1,0n y )()(P xy n≠=+x Q y x d d )()(P x y y n 1n x Q y x d d =+⇒-- 令n1yz -=，则xy y )n 1(x z n -d d d d -=，故伯努利方程可转化为线性方程)()1()()n 1(x zx Q n z x P d d -=-+，解出后再以n -1y 代z 即得伯努利方程通解。

4、 全微分方程。

若du(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy,),(),,(y x Q yu y x P x u =∂∂=∂∂ 则P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0叫做全微分方程。

5、 可降阶的高阶微分方程。

（1）)()(x f yn =型，接连积分n 次即可。

（2）),(y x f y '=''型，可令p y ='，则p dxdpy '==''，从而转化为一阶微分方程。

常微分方程总结汇报常微分方程是数学中的一个重要分支，是描述自然界和社会现象的变化规律的重要工具。

本文将对常微分方程做一个总结性的汇报，介绍它的基本概念、求解方法和应用领域，共计1000字。

一、基本概念常微分方程是研究函数未知变量的导数与函数自身的关系的方程。

常微分方程可以分为常系数和变系数两种类型。

其中，常系数就是导数与函数之间的关系不随时间变化，变系数则是导数与函数之间的关系会随时间变化。

常微分方程的一阶和高阶之间存在着转化关系，高阶的常微分方程可以通过引入新的变量转化为一阶常微分方程。

方程的解可以分为显式解和隐式解两种形式，显式解是直接由方程表达式给出的解，而隐式解则是通过对方程进行变量变换得到的。

二、求解方法常微分方程的求解方法主要有分离变量法、齐次方程法、线性方程法和变量代换法等。

其中，分离变量法是根据方程的形式，将未知函数和自变量分离开来，再通过定积分的方法求解。

齐次方程法是将方程变换为齐次方程，通过变量代换、分离变量等方法求解。

线性方程法是将非齐次线性方程化为齐次线性方程，通过叠加原则和待定系数法求解。

变量代换法是通过对未知函数或自变量进行变换，将方程转化为已知的方程求解。

三、应用领域常微分方程在物理学、生物学、经济学等多个领域都有着广泛的应用。

在物理学中，常微分方程的研究包括了机械振动、电磁场、热传导等现象的描述和预测。

在生物学中，常微分方程可以用来描述生物体内的代谢过程、生长规律和种群动态等。

在经济学中，常微分方程被用于描述价格的变动、市场供求的平衡等现象。

常微分方程的求解和研究也是数学的一个重要分支，具有很高的理论研究价值。

通过对常微分方程的求解，可以深入了解函数的性质和变化规律，为更深入的数学理论研究提供了基础。

总结而言，常微分方程是数学中重要的研究对象，它描述了许多自然界和社会现象的演化规律。

求解常微分方程的方法多种多样，可以根据具体的问题和方程的形式选择合适的方法。

常微分方程的研究和应用涵盖了多个学科领域，为解决实际问题提供了有效的数学工具。