北京朝阳外国语2016-2017学年高二下学期期中考试数学(理)试题Word版含解析

2016-2017 学年度第二学期期中考试高二年级 数学学科试卷（理）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．函数32e x y x -=，则导数y '=（）．A ．2236e x x x-+- B ．22312e 3x x x -++ C ．22316e 3x x x -++ D ．22316e 3x x x -+- 【答案】D 【解析】根据函数的导数和公式可知，222233116e (1)6e 33x x y x x x x ----'=++⨯-=+-． 故选D ．2．对于命题：三角形的内角至多有一个是钝角，若用反证法证明，则下列假设正确的是（）． A ．假设至少有一个钝角B ．假设至少有两个钝角C ．假设三角形的三个内角中没有一个钝角D ．假设没有一个钝角或至少有两个钝角【答案】B【解析】用反证法证明数字命题时，应先假设要证的命题的否定成立，而要证命题“三角形的内角至多有一个钝角”的否定为“三角形的内角至少有两个钝角”，所以应假设三角形的内角至少有两个钝角． 故选B ．3．函数21()ln 2f x x x =-的图象大致是（）． A ． B ． C ． D ．【答案】B 【解析】由函数21()ln 2f x x x =-得211()x f x x x x-'=-=，定义域为(0,)+∞， 由()0f x '>，得01x <<；由()0f x '<，得1x >，∴函数()f x 在区间(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，且()f x 在(0,)+∞上的最小值为1(1)02f =-<． 故选B ．4．如图是函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象，给出下列命题：①3-是函数()y f x =的极值点；②1-是函数()y f x =的最小值点；③()y f x =在0x =处切线的斜率小于零；④()y f x =在区间(3,1)-上的单调递增．则正确命题的序号是（）．A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④【答案】B 【解析】①项，由导函数图象可知，(,3)x ∈-∞-时，()0f x '<，(3,1)x ∈--时，()0f x '>， ∴3-是函数()y f x =的极小值点，故①正确； ②项，当(3,1)x ∈--时，()0f x '>，当(1,)x ∈-+∞时，()0f x '>， ∴1-不是函数()y f x =的最小值点，故②错误； ③项，由导函数的图象可知，(0)0f '>，∴()y f x =在0x =处切线的斜率小于零，故③错误； ④项，∵(3,1)x ∈--时，()0f x '>，∴()y f x =在区间(3,1)--上的单调递增，故④正确． 综上所述，正确命题的序号是①④．故选B ．5．设函数e ,10()1x x f x x ⎧-⎪=<≤≤≤，计算11()d f x x -⎰的值为（）． A ．1e πe 4-+ B ．e 1πe 4-+ C．e 1e - D ．e 1πe 2-+ 【答案】B【解析】由于函数e ,10()1x x f x x ⎧-⎪=<≤≤≤，则1011()d e d x f x x x x --=+⎰⎰⎰， 其中001101e 1e d e e e 11e e x x x ---==-=-=-⎰，x ⎰表示圆221x y +=在第一象限的面积，即π4x =⎰，所以11e 1π()d e 4f x x --=+⎰． 故选B ．6．已知32()f x x bx cx d =+++与x 轴有3个交点(0,0)，1(,0)x ，2(,0)x ，且()f x 在1x =，2x =时取极值，则12x x ⋅的值为（）．A ．4B ．5C ．6D ．不确定 【答案】C【解析】∵(0)0f =，∴0d =，∴322()()f x x bx cx x x bx c =++=++，∴1x ，2x 是方程20x bx c ++=的两根，。

2016-2017学年北京市朝阳区高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．（5分）设a＝log0.32，b＝0.32，c＝20.3，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．b＜c＜a2．（5分）已知i为虚数单位，复数z＝i（i﹣a）（a∈R）在复平面内对应的点位于第二象限，则a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（0，+∞）C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，﹣1）3．（5分）在极坐标系中，曲线ρ＝2sinθ的对称中心是（）A．（1，）B．（1，﹣）C．（1，0）D．（1，π）4．（5分）若a＝xdx，b＝sin xdx，则a+b的值是（）A．﹣2B．0C．2D．35．（5分）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A．y＝x3B．y＝（e﹣x﹣e x）C．y＝lg D．y＝（）x6．（5分）若函数f（x）＝x3﹣ax2+x在区间（0，1）内为增函数，则实数a的取值范围是（）A．[2，+∞）B．（0，2）C．（﹣∞，2）D．（﹣∞，2] 7．（5分）图中各数类似“杨辉三角”，每行首末两数分别为1，2，每行除首末两数外，其余各数均等于“肩上”两数之和，则第n行的n+1个数的和为（）A．3n B．3×2n﹣1C．+3D．n2﹣n+38．（5分）某校高二学生参加社会实践活动，分乘3辆不同的巴士，共有5名带队教师，要求每车至少有一名带队教师，则不同的分配方案有（）A．90种B．150种C．180种D．240种9．（5分）某次期末考试，甲、乙、丙获得了班级前三名（无并列名次）．某同学曾做了三个猜测：“甲是第一名；乙不是第一名；丙不是第二名”．该同学只猜对了一个，则实际的结果是（）A．甲第一名，乙第二名，丙第三名B．甲第二名，乙第三名，丙第一名C．甲第三名，乙第二名，丙第一名D．甲第二名，乙第一名，丙第三名10．（5分）已知函数f（x）＝﹣（x﹣）（x﹣）（其中x∈（0，+∞）），g（x）＝lnx 和函数h（x）＝，若方程h（x）＝kx有四个不同的解，则实数k 的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．（，）D．（，）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，请把正确答案填在答题卡上）11．（5分）（2x+）6的展开式的常数项是．12．（5分）已知曲线C的参数方程为（α为参数），点P为曲线C上的动点，O为坐标原点，则|PO|的最小值为．13．（5分）甲、乙、丙的投篮命中率分别为，，．三人各投篮一次，假设三人投篮相互独立，则至少有一人命中的概率是．14．（5分）若随机变量ξ的分布列为P（ξ＝k）＝ak（k＝1，2，3），则实数a＝；数学期望Eξ＝．15．（5分）已知甲、乙、丙、丁四人排成一行，甲和乙相邻，甲和丙不相邻，则不同的排法有种．（用数字作答）16．（5分）若函数f（x）的导数f′（x）存在导数，记f′（x）的导数为f n（x）．如果f（x）对任意x∈（a，b），都有f n（x）＜0成立，则f（x）有如下性质：f（）≥．其中n∈N*，x1，x2，…，x n∈（a，b）．若f（x）＝sin x，则f n（x）＝；根据上述性质推断：当x1+x2+x3＝π且x1，x2，x3∈（0，π）时，根据上述性质推断：sin x1+sin x2+sin x3的最大值为．三、解答题（本大题共3小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．请写在答题卡上）17．（12分）已知函数f（x）＝alnx+x2﹣（a+1）x（a∈R）．（I）若x＝2为函数f（x）的极值点，求a的值．（II）讨论函数f（x）在区间（0，2）内的单调性．18．（14分）为了了解某批产品的质量，从该批产品中随机抽取24个产品分成三组进行检测评分，得分结果如表：已知所有得分均为整数，得分在[90，100）的为一等品，[80，90）的为二等品，79分及以下的为三等品．（I）从第一组中的8件产品任取3件，记一等品的个数为X，求随机变量X的分布列．（II）若a＝90，试问b为何值时，第三组产品质量得分的方差最小？（直接写出结果）（III）在（II）的结果下，以这24件产品的三等品的频率估计整批产品中三等品的概率．从该批产品（数量众多）中任取3件，记三等品的个数为Y，求随机变量Y的分布列和数学期望．19．（14分）已知函数f（x）＝（x﹣1）sin x+2cos x+x．（I）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程．（II）求函数f（x）在区间[0，π]上的最大值和最小值．2016-2017学年北京市朝阳区高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．【考点】4M：对数值大小的比较．【解答】解：∵a＝log0.32＜log0.31＝0，0＜b＝0.32＜0.30＝1，c＝20.3＞20＝1，∴a＜b＜c．故选：A．【点评】本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意指数函数、对数函数的单调性的合理运用．2．【考点】A5：复数的运算．【解答】解：复数z＝i（i﹣a）＝﹣1﹣ai（a∈R）在复平面内对应的点位于第二象限，∴a＜0，故选：C．【点评】本题考查复数的运算以及复数的几何意义，高考常考题型．3．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【解答】解：由ρ＝2sinθ，得ρ2＝2ρsinθ，即x2+y2﹣2y＝0，化为标准方程：x2+（y﹣1）2＝1，对称中心的直角坐标为（0，1），极坐标为（1，）．故选：A．【点评】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查了极坐标与直角坐标的互化，是基础题．4．【考点】67：定积分、微积分基本定理．【解答】解：a＝xdx＝x2＝[12﹣（﹣1）2]＝0，b＝sin xdx＝﹣cos x＝﹣cosπ+cos0＝2，则a+b＝0+2＝2．故选：C．【点评】本题考查了定积分的定义与计算问题，是基础题．5．【考点】3E：函数单调性的性质与判断；3K：函数奇偶性的性质与判断．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A、y＝x3，为幂函数，为奇函数，在其定义域上为增函数，不符合题意；对于B、y＝（e﹣x﹣e x），其定义为R，有f（﹣x）＝（e﹣x﹣e x）＝（e x﹣e﹣x）＝﹣f（x），则函数f（x）为奇函数，其导数y′＝（﹣e﹣x﹣e x）＜0，则其在定义域为减函数，符合题意，对于C、y＝lg，有＞0，解可得﹣1＜x＜1，即其定义域为（﹣1，1），关于原点对称，且f（﹣x）＝lg＝﹣lg＝﹣f（x），为奇函数；令t＝，y＝lgt，分析可得t＝为增函数，为y＝lgt为增函数，故y＝lg为增函数，不符合题意；对于D、y＝（）x，为指数函数，不是奇函数，不符合题意；故选：B．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的判定，关键是掌握函数的奇偶性、单调性的判定方法．6．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【解答】解：由f（x）＝x3﹣ax2+x，得f′（x）＝x2﹣ax+1，∵函数f（x）＝x3﹣ax2+x在区间（0，1）内为增函数，∴f′（x）＝x2﹣ax+1≥0对任意x∈（0，1）恒成立，即a≤在x∈（0，1）上恒成立，∵在（0，1）上为减函数，∴＞2，则a≤2．∴实数a的取值范围是（﹣∞，2]．故选：D．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，训练了利用函数单调性求函数的最值，是中档题．7．【考点】F1：归纳推理．【解答】解：根据题意，由所给的表格：第1行的2个数为1、2，其和为1+2＝3＝3×20，第2行的3个数为1、3、2，其和为1+3+2＝6＝3×21，第3行的4个数为1、4、5、2，其和为1+4+5+2＝12＝3×22，…；则第n行的n+1个数的和为3×2n﹣1，故选：B．【点评】本题考查归纳推理的应用，注意直接分析各行的所有数的和变化规律．8．【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①、将5名带队教师分成3组，若分成1﹣2﹣2的三组：有＝15种分组方法，若分成1﹣1﹣3的三组：有＝10种分组方法，则一共有15+10＝25种分组方法；②、将分好的三组全排列，对应到3辆不同的巴士，有A33＝6种不同的情况，则有25×6＝150种不同的分配方案；故选：B．【点评】本题考查排列、组合的实际应用，注意要先将教师分为3组，再进行排列，对应到3辆不同的巴士．9．【考点】F4：进行简单的合情推理．【解答】解：（1）若“甲是第一名”正确，则“乙不是第一名”也正确，矛盾，排除A；（2）若“乙不是第一名”正确，则“丙不是第二名”错误，故丙为第二名，乙为第三名，于是甲为第一名，故而“甲是第一名”正确，矛盾；（3）若“丙不是第二名”正确，丙为第一名或第三名，由于“乙不是第一名”错误，故而乙是第一名，于是丙为第三名，甲为第二名．故选：D．【点评】本题考查了逻辑推理，属于基础题．10．【考点】53：函数的零点与方程根的关系．【解答】解：作出h（x）的函数图象如图所示：设直线y＝kx与曲线g（x）＝lnx相切，切点为（x0，y0），则有，解得k＝．∵h（x）＝kx有四个不同的解，∴直线y＝kx与f（x）有2个交点，y＝kx与g（x）有2个交点，∴k＜，排除D，设f（x）与g（x）的交点为A，显然A在第一象限，即k OA＞0，∴k＞k OA．排除A，B．故选：C．【点评】本题考查了函数的图象与性质，导数的几何意义，属于中档题．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，请把正确答案填在答题卡上）11．【考点】DA：二项式定理．【解答】解：（2x+）6的展开式的通项为T r+1＝26﹣r C6r x6﹣2r，令r＝3得到展开式中常数项为23C63＝160故答案为：160．【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题，本题解题的关键是写出二项式的展开式，所有的这类问题都是利用通项来解决的．12．【考点】QK：圆的参数方程．【解答】解：根据题意，曲线C的参数方程为，点P为曲线C上的动点，则|PO|2＝（cosα﹣1）2+（sinα+1）2＝（cos2α+sin2α）+2（sinα﹣cosα）+2＝3﹣2（sinα﹣cosα）＝3﹣2sin（α﹣），分析可得：|PO|2≥（3﹣2），则有|PO|≥﹣1，即|PO|的最小值为﹣1；故答案为：﹣1．【点评】本题考查圆的参数方程，关键是掌握参数方程的形式．13．【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．【解答】解：甲、乙、丙的投篮命中率分别为，，，三人各投篮一次，三人投篮相互独立，则都没有投中的概率为（1﹣）•（1﹣）•（1﹣）＝，∴至少有一人命中的概率是1﹣＝，故答案为：．【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，事件和它的对立事件概率间的关系，属于基础题．14．【考点】CG：离散型随机变量及其分布列．【解答】解：∵随机变量ξ的分布列为P（ξ＝k）＝ak（k＝1，2，3），∴a+2a+3a＝1，解得a＝．P（ξ＝1）＝，P（ξ＝2）＝，P（ξ＝3）＝，∴ξ的分布列为：Eξ＝＝．故答案为：，．【点评】本题考查实数值的求法，考查离散型随机变量的分布列的求法，考查随机变量的分布列等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，是基础题．15．【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【解答】解：根据题意，要求甲与乙相邻，甲与丙不相邻，列举可得：甲乙丙丁；甲乙丁丙；乙甲丁丙；丙乙甲丁；丙丁甲乙；丙丁乙甲；丁甲乙丙；丁丙乙甲，共有8种结果，故答案为：8．【点评】本题考查计数原理的应用，本题涉及元素数目较少，可以使用列举法分析．16．【考点】63：导数的运算．【解答】解：设f（x）＝sin x，x∈（0，π），则f′（x）＝cos x，则f″（x）＝﹣sin x，x∈（0，π），f（x）有如下性质：f（）≥．则sin x1+sin x2+sin x3≤3sin（）＝3×sin＝，∴sin A+sin B+sin C的最大值为，故答案为：﹣sin x，【点评】本题考查函数的性质，考查正弦函数的性质，考查转化思想，属于中档题．三、解答题（本大题共3小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．请写在答题卡上）17．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝alnx+x2﹣（a+1）x，∴f′（x）＝，又x＝2为函数f（x）的极值点，∴，解得a＝2；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，f′（x）＝＝（0＜x＜2）．令g（x）＝x2﹣（a+1）x+a＝（x﹣1）（x﹣a）．当a＝1时，g（x）≥0，即f′（x）≥0，函数f（x）在区间（0，2）内单调递增；当a≤0时，g（x）在（0，1）内小于0，在（1，2）内大于0，即f′（x）在（0，1）内小于0，在（1，2）内大于0，∴f（x）在（0，1）内单调递减，在（1，2）内单调递增；当0＜a＜1时，g（x）在（0，a）∪（1，2）上大于0，在（a，1）上小于0，即f′（x）在（0，a）∪（1，2）上大于0，在（a，1）上小于0，∴f（x）在（0，a），（1，2）上单调递增，在（a，1）上单调递减；当1＜a＜2时，g（x）在（0，1）∪（a，2）上大于0，在（1，a）上小于0，即f′（x）在（0，1）∪（a，2）上大于0，在（1，a）上小于0，∴f（x）在（0，1），（a，2）上单调递增，在（1，a）上单调递减；当a≥2时，g（x）在（0，1）内大于0，在（1，2）内小于0，即f′（x）在（0，1）内大于0，在（1，2）内小于0，∴f（x）在（0，1）内单调递增，在（1，2）内单调递减．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．18．【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【解答】解：（Ⅰ）第一组中一等品有2件，从第一组中的8件产品任取3件，一等品的个数X＝0，1，2．P（x＝0）＝＝，P（x＝1）＝＝，P（x＝2）＝＝，随机变量X的分布列为：（Ⅱ）若a＝90，则第三组前7件产品质量得分的平均数为，∴当b＝90时，第三组产品质量得分得方差最小；（Ⅲ）当a＝b＝90时，这24件产品中有三等品6件，频率为，则整批产品中三等品的概率为P＝．从该批产品中任取3件，三等品的个数Y的所有可能取值为0，1，2，3，则P（x＝0）＝，P（x＝1）＝，P（x＝2）＝，P（x＝3）＝．∴随机变量Y的分布列为：数学期望E（Y）＝3×．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列及数学期望，考查学生读取图表的能力，是中档题．19．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；HW：三角函数的最值．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）＝（x﹣1）sin x+2cos x+x的导数为f′（x）＝sin x+（x﹣1）cos x﹣2sin x+1＝1﹣sin x+（x﹣1）cos x，可得曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为k＝1﹣0﹣1＝0，切点为（0，2），可得切线的方程为y＝2；（Ⅱ）由f′（x）＝1﹣sin x+（x﹣1）cos x，令g（x）＝1﹣sin x+（x﹣1）cos x，可得g′（x）＝﹣cos x+cos x﹣（x﹣1）sin x＝（1﹣x）sin x，由0＜x＜1可得g（x）递增；1＜x＜π可得g（x）递减，则g（1）＝1﹣sin1＞0，g（0）＝0，g（π）＝2﹣π，g（）＝0，则f′（x）在[0，π]的零点为0，，由f（0）＝2，f（）＝π﹣1，f（π）＝π﹣2，可得f（x）的最大值为π﹣1，最小值为π﹣2．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调性、最值，考查运算能力，属于中档题．。

2016-2017学年北京市京源学校高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（4分）A﹣C=（）A．6 B．12 C．18 D．202．（4分）计算定积分xdx=（）A．2 B．1 C．4 D．﹣23．（4分）投掷一枚骰子，若事件A={点数小于6}，事件B={点数大于2}，则P （B|A）等于（）A．B．C．D．4．（4分）已知复数z=i（a+bi）（a，b∈R），则“z为纯虚数”的充分必要条件为（）A．a2+b2≠0 B．ab=0 C．a=0，b≠0 D．a≠0，b=05．（4分）设函数f（x）=ax3+bx2+cx+2的导函数为f′（x），若f′（x）为奇函数，则有（）A．a≠0，c=0 B．b=0 C．a=0，c≠0 D．a2+c2=06．（4分）京源学校集团运动会期间，将6位志愿者分成3组，每个组2人，分赴运动会的3个不同比赛项目服务，不同的分配方案有（）种．A．15 B．60 C．90 D．2707．（4分）已知随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），其密度函数图象如图所示，已知P（ξ≥4）=0.1587，则P（ξ≥0）等于（）A．0.3413 B．0.5 C．0.75 D．0.84138．（4分）函数f（x）=ax3﹣bx2+cx的图象如图所示，且f（x）在x=x0与x=1处取得极值，给出下列判断：①c＞0；②f（1）+f（﹣1）＞0；③函数y=f′（x）在区间（0，+∞）上是增函数．其中正确的判断是（）A．①③B．②C．②③D．①②二、填空题共7小题，每小题4分，共28分．9．（4分）已知函数f（x）=sinx，则f'（π）=．10．（4分）二项式展开式中的常数项为．（用数字作答）11．（4分）已知：=﹣，=﹣．由以上两式，可以类比得到：=．12．（4分）复数z满足，则|z|的取值范围是．13．（4分）函数f（x）=lnx﹣ax（a∈R），若存在x∈[2，3]，使得f（x）＜0成立，则实数a的取值范围是．14．（4分）现有5名教师要带3个兴趣小组外出学习考察，要求每个兴趣小组的带队教师至多2人，但其中甲教师和乙教师均不能单独带队，则不同的带队方案有种．（用数字作答）15．（4分）已知函数f（x）=xlnx+x2，且x0是函数f（x）的极值点．给出以下几个问题：①0＜x0＜；②x0＞；③f（x0）+x0＜0；④f（x0）+x0＞0其中正确的命题是．（填出所有正确命题的序号）三、解答题共5小题，共40分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．（8分）已知函数f（x）=﹣x3+3x2+9x+a．（Ⅰ）求f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．17．（7分）已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=2a n﹣4n+7，其中n=1，2，3，…．（Ⅰ）计算a2，a3，a4的值；（Ⅱ）根据计算结果猜想{a n}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．18．（8分）据统计，某校高二年级有100名学生在周日使用过共享单车出行，他们在周日使用共享单车次数（以下简称“使用次数”）统计如图所示．（Ⅰ）求100名学生周日的人均“使用次数”；（Ⅱ）从100名学生中任意选两名学生，求他们“使用次数”恰好相等的概率．（Ⅲ）从100名学生中任选两名学生，用ξ表示这两人“使用次数”之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ．19．（8分）已知函数f（x）=lnx+ax﹣a2x2（a∈R且a≠0）．（Ⅰ）若x=1是函数y=f（x）的极值点，求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．20．（9分）已知函数f（x）=ln，（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）求证，当x∈（0，1）时，f（x）＞；（Ⅲ）设实数k使得f（x）对x∈（0，1）恒成立，求k的最大值．2016-2017学年北京市京源学校高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（4分）A﹣C=（）A．6 B．12 C．18 D．20【解答】解：A﹣C=4×3×2﹣=24﹣6=18．故选：C．2．（4分）计算定积分xdx=（）A．2 B．1 C．4 D．﹣2【解答】解：xdx===2．故选：A．3．（4分）投掷一枚骰子，若事件A={点数小于6}，事件B={点数大于2}，则P （B|A）等于（）A．B．C．D．【解答】解：投掷一枚骰子，事件A={点数小于6}，事件B={点数大于2}，则P（A）=，P（AB）=，∴P（B|A）===．故选：C．4．（4分）已知复数z=i（a+bi）（a，b∈R），则“z为纯虚数”的充分必要条件为（）A．a2+b2≠0 B．ab=0 C．a=0，b≠0 D．a≠0，b=0【解答】解：复数z=i（a+bi）=ai﹣b（a，b∈R），则“z为纯虚数”的充分必要条件为﹣b=0，a≠0．故选：D．5．（4分）设函数f（x）=ax3+bx2+cx+2的导函数为f′（x），若f′（x）为奇函数，则有（）A．a≠0，c=0 B．b=0 C．a=0，c≠0 D．a2+c2=0【解答】解：函数f（x）=ax3+bx2+cx+2的导函数为f′（x）=3ax2+2bx+c，∵函数f′（x）=3ax2+2bx+c是定义在R上的奇函数，∴f'（x）=﹣f'（﹣x），即3ax2+2bx+c=﹣3ax2+2bx﹣c，∴3ax2+c恒成立，a=c=0．即a2+c2=0．故选：D．6．（4分）京源学校集团运动会期间，将6位志愿者分成3组，每个组2人，分赴运动会的3个不同比赛项目服务，不同的分配方案有（）种．A．15 B．60 C．90 D．270【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①、将6位志愿者分成3组，每个组2人，有=15种分组方法；②、将分好的3组全排列，对应运动会的3个不同比赛项目服务，有A33=6种情况；则不同的分配方案有15×6=90种；故选：C．7．（4分）已知随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），其密度函数图象如图所示，已知P（ξ≥4）=0.1587，则P（ξ≥0）等于（）A．0.3413 B．0.5 C．0.75 D．0.8413【解答】解：由正态分布图象的对称性可得：P（ξ＜0）=P（ξ＞4）=0.1587，则：P（ξ≥0）=1﹣P（ξ＜0）=1﹣0.1587=0.8413．故选：D．8．（4分）函数f（x）=ax3﹣bx2+cx的图象如图所示，且f（x）在x=x0与x=1处取得极值，给出下列判断：①c＞0；②f（1）+f（﹣1）＞0；③函数y=f′（x）在区间（0，+∞）上是增函数．其中正确的判断是（）A．①③B．②C．②③D．①②【解答】解：∵函数f（x）=ax3﹣bx2+cx，且f（x）在x=x0与x=1处取得极值，∴a＞0，且f′（x）=3ax2﹣2bx+c，则x=x0与x=1是方程f′（x）=3ax2﹣2bx+c=0的两个不同的根，即1+x0=，1×x0=，则2b=3a（1+x0），c=3ax0，∵由图象可知x0＜﹣1，∴c=3ax0＜0，故①不正确．∵f（1）+f（﹣1）=﹣2b，且2b=3a（1+x0）＜0，∴f（1）+f（﹣1）=﹣2b＞0，故②正确．f′（x）=3ax2﹣2bx+c=3a（x﹣1）（x﹣x0）是开口向上，对称轴为x=＜0∴函数y=f′（x）在区间（0，+∞）上是增函数，故③正确故正确的命题是②③，故选：C．二、填空题共7小题，每小题4分，共28分．9．（4分）已知函数f（x）=sinx，则f'（π）=﹣1．【解答】解：函数f（x）=sinx，则f'（x）=cosx，则f'（π）=cosπ=﹣1，故答案为：﹣110．（4分）二项式展开式中的常数项为﹣540．（用数字作答）=•（3x）6﹣r•（﹣x﹣1）r=•36﹣r•（﹣1）r•x6﹣2r，【解答】解：∵由T r+1∴当6﹣2r=0时得r=3，∴二项式展开式中的常数项为×33×（﹣1）=﹣540．故答案为：﹣540．11．（4分）已知：=﹣，=﹣．由以上两式，可以类比得到：=．【解答】解：∵：=﹣，=﹣．∴利用裂项法可得：=．故答案为：．12．（4分）复数z满足，则|z|的取值范围是．【解答】解：∵|z+i|+|z﹣2|表示复数z到两点P（0，﹣1），Q（2，0）的距离之和，而|PQ|==．又，∴点z在线段PQ上，直线PQ的方程为：=1，化为：x﹣2y﹣2=0．原点O到此直线的距离d==．而|OQ|=2，|OP|=1．则|z|的取值范围是．故答案为：．13．（4分）函数f（x）=lnx﹣ax（a∈R），若存在x∈[2，3]，使得f（x）＜0成立，则实数a的取值范围是[，+∞）．【解答】解：f′（x）=﹣a，若存在x∈[2，3]，使得f（x）＜0成立，只需f（x）min＜0在x∈[2，3]成立即可，f′（x）=﹣a，a≤0时，﹣a≥0，f′（x）＞0，f（x）在[2，3]递增，故f（x）min=f（2）=ln2﹣2a＜0，解得：a＞（舍），a＞0时，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜，令f′（x）＜0，解得：x＞，故f（x）在（0，）递增，在（，+∞）递减，≥3即a≤时，f（x）在[2，3]递增，f（x）的最小值是f（2）=ln2﹣2a＜0，解得：a＞≈0.34（舍），≤2即a≥时，f（x）在[2，3]递减，f（x）min=f（3）=ln3﹣3a＜0，解得：a＞≈0.366，故a≥，2＜＜3即＜a＜时，f（x）在[2，）递增，在（，3]递减，故f（x）的最小值是f（2）或f（3）；综上a≥，故答案为：[，+∞）．14．（4分）现有5名教师要带3个兴趣小组外出学习考察，要求每个兴趣小组的带队教师至多2人，但其中甲教师和乙教师均不能单独带队，则不同的带队方案有54种．（用数字作答）【解答】解：第一类，把甲乙看做一个复合元素，和另外的3人分配到3个小组中（2，1，1），C42A33=36种，第二类，先把另外的3人分配到3个小组，再把甲乙分配到其中2个小组，A33C32=18种，根据分类计数原理可得，共有36+18=54种，故答案为：54．15．（4分）已知函数f（x）=xlnx+x2，且x0是函数f（x）的极值点．给出以下几个问题：①0＜x0＜；②x0＞；③f（x0）+x0＜0；④f（x0）+x0＞0其中正确的命题是①③．（填出所有正确命题的序号）【解答】解：∵函数f（x）=xlnx+x2，（x＞0）∴f′（x）=lnx+1+2x，∴f′（）=＞0，∵x→0，f′（x）→﹣∞，∴0＜x0＜，即①正确，②不正确；∵lnx0+1+2x0=0∴f（x0）+x0=x0lnx0+x02+x0=x0（lnx0+x0+1）=﹣x02＜0，即③正确，④不正确．故答案为：①③．三、解答题共5小题，共40分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．（8分）已知函数f（x）=﹣x3+3x2+9x+a．（Ⅰ）求f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．【解答】解：（I）f′（x）=﹣3x2+6x+9．令f′（x）＜0，解得x＜﹣1或x＞3，所以函数f（x）的单调递减区间为（﹣∞，﹣1），（3，+∞）．（II）因为f（﹣2）=8+12﹣18+a=2+a，f（2）=﹣8+12+18+a=22+a，所以f（2）＞f（﹣2）．因为在（﹣1，3）上f′（x）＞0，所以f（x）在[﹣1，2]上单调递增，又由于f（x）在[﹣2，﹣1]上单调递减，因此f（2）和f（﹣1）分别是f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值和最小值，于是有22+a=20，解得a=﹣2．故f（x）=﹣x3+3x2+9x﹣2，因此f（﹣1）=1+3﹣9﹣2=﹣7，即函数f（x）在区间[﹣2，2]上的最小值为﹣7．17．（7分）已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=2a n﹣4n+7，其中n=1，2，3，…．（Ⅰ）计算a2，a3，a4的值；（Ⅱ）根据计算结果猜想{a n}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．【解答】解：（Ⅰ）根据已知，a2=2a1﹣4×1+7=2×1﹣4+7=5；a3=2a2﹣4×2+7=2×5﹣8+7=9；a4=2a3﹣4×3+7=2×9﹣12+7=13．（3分）（Ⅱ）猜想a n=4n﹣3．（5分）证明：①当n=1时，由已知，等式左边=1，右边=4×1﹣3=1，猜想成立．（7分）②假设当n=k（k∈N*）时猜想成立，即a k=4k﹣3，（8分）=2a k﹣4k+7=2（4k﹣3）﹣4k+7=4k+1=4（k+1）﹣3，则n=k+1时，a k+1所以，当n=k+1时，猜想也成立．（12分）综合①和②，可知a n=4n﹣3对于任何n∈N*都成立．（13分）18．（8分）据统计，某校高二年级有100名学生在周日使用过共享单车出行，他们在周日使用共享单车次数（以下简称“使用次数”）统计如图所示．（Ⅰ）求100名学生周日的人均“使用次数”；（Ⅱ）从100名学生中任意选两名学生，求他们“使用次数”恰好相等的概率．（Ⅲ）从100名学生中任选两名学生，用ξ表示这两人“使用次数”之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ．【解答】解：（Ⅰ）由在周日使用共享单车次数（以下简称“使用次数”）统计图得：100名学生周日的人均“使用次数”：==2.3．（Ⅱ）100名学生中，使用一次的有10名，使用2次的有50名，使用3次的有40名，从100名学生中任意选两名学生，基本事件总数n==4950，他们“使用次数”恰好相等包含的基本事件个数m==2050，∴他们“使用次数”恰好相等的概率P===．（Ⅲ）从100名学生中任选两名学生，用ξ表示这两人“使用次数”之差的绝对值，则ξ的可能取值为0，1，2，P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（解：（Ⅰ）由在周日使用共享单车次数（以下简称“使用次数”）统计图得：100名学生周日的人均“使用次数”：==2.3．（Ⅱ）100名学生中，使用一次的有10名，使用2次的有50名，使用3次的有40名，从100名学生中任意选两名学生，基本事件总数n==4950，他们“使用次数”恰好相等包含的基本事件个数m==2050，∴他们“使用次数”恰好相等的概率P===．（Ⅲ）从100名学生中任选两名学生，用ξ表示这两人“使用次数”之差的绝对值，则ξ的可能取值为0，1，2，P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，∴ξ的分布列为：E（ξ）==．19．（8分）已知函数f（x）=lnx+ax﹣a2x2（a∈R且a≠0）．（Ⅰ）若x=1是函数y=f（x）的极值点，求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．【解答】解：（I）因为f（x）=lnx+ax﹣a2x2其定义域为（0，+∞），所以f′（x）=﹣2a2x+a=，∵x=1是函数y=f（x）的极值点，∴f′（1）=0∴1+a﹣2a2=0，∴a=﹣或a=1，经检验，a=﹣或a=1时，x=1是函数y=f（x）的极值点；（II）f′（x）=﹣2a2x+a=，若a=0，f′（x）=＞0，∴函数的单调递增区间为（0，+∞）若a≠0，令f′（x）=0，∴x1=﹣，x2=，当a＞0时，函数在区间（0，），f′（x）＞0，函数为增函数；在区间（，+∞），f′（x）＜0，函数为减函数；∴函数的单调递增区间为（0，），函数的单调递减区间为（，+∞），当a＜0时，函数在区间（0，﹣），f′（x）＞0，函数为增函数；在区间（﹣，+∞），f′（x）＜0，函数为减函数；∴函数的单调递增区间为（0，﹣），函数的单调递减区间为（﹣，+∞）．20．（9分）已知函数f（x）=ln，（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）求证，当x∈（0，1）时，f（x）＞；（Ⅲ）设实数k使得f（x）对x∈（0，1）恒成立，求k的最大值．【解答】解答：（1）因为f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x）所以又因为f（0）=0，所以曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=2x．（2）证明：令g（x）=f（x）﹣2（x+），则g'（x）=f'（x）﹣2（1+x2）=，因为g'（x）＞0（0＜x＜1），所以g（x）在区间（0，1）上单调递增．所以g（x）＞g（0）=0，x∈（0，1），即当x∈（0，1）时，f（x）＞2（x+）．（3）由（2）知，当k≤2时，f（x）＞对x∈（0，1）恒成立．当k＞2时，令h（x）=f（x）﹣，则h'（x）=f'（x）﹣k（1+x2）=，所以当时，h'（x）＜0，因此h（x）在区间（0，）上单调递减．当时，h（x）＜h（0）=0，即f（x）＜．所以当k＞2时，f（x）＞并非对x∈（0，1）恒成立．综上所知，k的最大值为2．赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型：图形特征：运用举例：1.如图，若点B 在x 轴正半轴上，点A (4，4)、C (1，－1)，且AB ＝BC ，AB ⊥BC ，求点B 的坐标；2.如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则14S S += ．ls 4s 3s 2s 13213. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，点D 在BC 上运动（不与点B ，C 重合），过D 作∠ADE =45°，DE 交AC 于E ． （1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）设BD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．B4.如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。

北京市朝阳外国语学校 2016-2017学年第二学期期中考试高二年级 数学试卷（理科）1．复数3i12i z =-（i 是虚数单位）的虚部为（ ）． A ．6i 5- B ．65- C ．3i 5D ．35【答案】D 【解析】3i 3i(1+2i)63i 12i 555z ===-+-， ∴虚部为35，选D ．2．用反证法证明“设a ，b 为实数，则方程20x ax b ++=至少有一个实根”时，要做的假设是（ ）．A ．方程20x ax b ++=至多有一个实根B ．方程20x ax b ++=至多有两个实根C ．方程20x ax b ++=恰好有两个实根D ．方程20x ax b ++=没有实根【答案】D【解析】否定词，至少有一个的否定为没有．3．用数学归纳法证明：*(1)(2)()213(21)()n n n n n n n +++=⨯⨯⨯+⨯-∈N 时，从“n k =到1n k =+”时，左边应添乘的式子是（ ）．A ．211k k ++B ．2(21)k +C ．21k +D ．2【答案】B 【解析】n k =时，左边(1)(2)()k k k k =+++，1n k =+时，左边(2)(3)()(1)(2)k k k k k k k k =+++++++，∴增加的为(21)(22)2(21)(1)k k k k ++=++．4．若从0，1，2，3，4，5这六个数字中选4个数字组成没有重复数字的四位偶数，则这样的四位 数一共有（ ）． A ．120个B ．180个C ．156个D ．132个【答案】C【解析】个位为0时，十， 百，千可有54360⨯⨯=种， 个位为2或4时，千位有4种，十百有43⨯种，∴共60482156+⨯=（种）． 5．用总长14.8m 的钢条制作一个长方体容器的框架，若容器底面的长比宽多0.5m ，要使 它的容积最大，则容器底面的宽为（ ）． A ．0.5m B ．0.7mC ．1mD ．1.5m【答案】C【解析】设宽为x ，则长为0.5x +， ∵总长为14.8m ，∴高为3.22x -，0 1.6x <<，∴体积为32(0.5)(5.22)2 2.2 1.6V x x x x x x =+-=-++， 26 4.4 1.6V x x '=-++，当1x =时，V 有极大值亦为最大值．6．已知()f x '是奇函数()f x 的导函数，(1)0f -=，当0x >时，()()0xf x f x '->，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ）． A ．(,1)(0,1)-∞- B ．(1,0)(1,)-+∞ C ．(1,0)(0,1)-D ．(,1)(1,)-∞-+∞ 【答案】B【解析】∵2()()()f x xf x f x x x ''-⎛⎫= ⎪⎝⎭，0x >时，()()0xf x f x '->， ∴当0x >时，()f x x 为增函数，0x <时，()f x x为减函数， ∵()f x 有奇函数，∴()f x x为偶函数， ∵(1)0f -=， ∴(1)0f =．画出大致图象可得到()0f x >时(1,0)(1,)x ∈-+∞．7．函数()y f x =的图象如图所示，在区间[].a b 上可找到n 个不同的数0x ，使得000()()f x f x x '=，那么n = （ ）．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】∵000()()f x f x x '=， ∴在0x 点处的切线过原点(0,0)，由图象观察可知共有3个．8．某医务人员说：“包括我在内，我们社区诊所医生和护士共有16名．无论是否把我算在内，下面说法都是对的，在这些医务人员中：护士对于医生；女医生多于女护士；女护士多于男护士；至少有一名男医生．”请你推断说话的人的性别与职业是（ ）． A ．男护士B ．女护士C ．男医生D ．女医生【答案】A【解析】逻辑推断，当为B ，C ，D 时与题目条件矛盾．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．复数21i 1i 2+++在复平面内对应的点位于第__________象限． 【答案】四 【解析】21i 2(1i)1i 3i 1i 22222+-++=+=-+． ∴点为31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭在第四象限．10．曲线21y x =-与x 轴围成图形的面积等于__________． 【答案】43【解析】31114(1)d 13x x x x x -⎛⎫-=-= ⎪-⎝⎭⎰．11．若23nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的各项系数之和为256，则n =__________，其展开式中的含2x 项的系数为__________．（用数字作答）．【答案】4n =，54【解析】当1x =时，4256n =， ∴4n =． 2482834443C ()C 3C 3rr rr r r r r r r x x x x x ----⎛⎫⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭． ∴当2r =时为254x ．12．在第二届北京农业嘉年华活动中，政法大学某系选派5名志愿者，分别承担翻译、导游、咨询、安检四项工作，每项工作至少有1人参加，那么不同的选派方法共有__________种；若其中甲不能承担翻译工作，那么不同的选派方法共有__________种．（请用数字作答） 【答案】240，180【解析】先选两人同一个工作，然后再全排列，共2454C A 240⋅=（种）， ①当翻译工作有两个人完成时，有2243C A 36⋅=（种）， ②当翻译工作有一个人完成时，有123443C C A 144⋅⋅=（种），共180种．13．研究函数ln ()xf x x=的性质，完成下面两个问题： ①将(2)f ，(3)f ，(5)f 按从小到大排列为__________． ②函数1()(0)x g x x x =>的最大值为__________． 【答案】①(5)(2)(3)f f f <<；②1e e 【解析】①∵ln ()xf x x=， ∴21ln ()xf x x -'=，()0e f x x '=⇒=，∴()f x 在(0,e)上增，在(e,)+∞上减． ∴(3)(5)f f >． ∵ln2ln55ln22ln5ln32ln25(2)(5)0251010f f ---=-==>， ∴(2)(5)f f >． ∵3ln22ln3ln8ln9(2)(3)066f f ---==<， ∴(3)(2)f f >， ∴(5)(2)(3)f f f <<．②1ln ()ln (0)g x x x x =>，令1()ln ()ln (0)h x g x x x x ==>，则21ln ()xh x x -'=，由①知()h x 在(0,e)增，(e,)+∞减， ∴max 1()(e)e h x h ==，∴1emax()(e)e g x g ==．14．已知函数2()ln(1)f x a x x =+-，若在区间(0,1)内任取两个实数p ，q ，且p q ≠，不等式(1)(1)1f p f q p q+-+>-恒成立，则实数a 的取值范围为__________．【答案】[15,)+∞ 【解析】(1)(1)f p f q p q+-+-的几何意义表示为点(1,(1))p f p ++与点(1,(1))q f q ++两点间的斜率，p ，(0,1)q ∈， ∴1p +，1(1,2)q +∈． ∴(1)(1)1f p f q p q+-+>-恒成立表示函数()f x 的曲线在区间(1,2)内的斜率恒大于1，即函数()f x 的导数在区间(1,2)内恒大于1．∴()21a f x x x '=-+，则211a x x ->+在区间(1,2)内恒成立， ∴2(12)(1)231a x x x x >++=++恒成立， (1,2)x ∈时，2max (231)15x x ++=，∴15a ≥．三、解答题：本大题共6小题，共80分． 15．（本小题满分13分）在数列{}n a 中，13a =，134n n a a n +=-，1n =，2，3，．（Ⅰ）计算2a ，3a ，4a 的值．（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，猜想{}n a 的通项公式，并用数学归纳法加以证明． 【答案】（Ⅰ）25a =，37a =，49a =；（Ⅱ）*21()n a n n =+∈N 【解析】（Ⅰ）∵13a =，134n n a a n +=-， ∴当1n =时，25a =， 2n =时，37a =， 3n =时，49a =．（Ⅱ）由（Ⅰ）猜想21n a n =+，*()n ∈N ． 证明：当1n =时，13a =，满足，假设n k =时成立，则有21k a k =+，(2)k ≥，令n k =，则1343(21)4232(1)1k k a a k k k k k +=-=+-=+=++也满足． ∴21n a n =+，*()n ∈N ． 16．（本小题满分13分）已知i 是虚数单位，复数1z 满足1(2)(1i)1i z -+=-． （Ⅰ）求复数1z ．（Ⅱ）若复数2z 的虚部为2，且21z z 是实数，求2z ． 【答案】（Ⅰ）12i z =-；（Ⅱ）2||z = 【解析】（Ⅰ）∵1(2)(1i)1i z -+=-，∴11i22i 1iz -=+=-+． （Ⅱ）∵复数2z 的虚部为2， ∴设22i z a =+， 则2i (22)(4)i2i 5a a a +-+=-为实数， ∴4a =-，此时242i z =-+，∴2||z =17．（本小题满分13分）已知函数329()632f x x x x =-+-．（Ⅰ）在所给的坐标系中画出函数()f x 在区间[0,3]的大致图象． （Ⅱ）若直线6y x b =+是函数()f x 的一条切线，求b 的值． 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）3b =-或332-【解析】（Ⅰ）∵329()632f x x x x =-+-，∴2()3933(1)(2)f x x x x x '=-+=--， 令()0f x '=， ∴11x =，22x =，则()f x 在(,1)-∞上为增，(1,2)上为减，(2,)+∞上为增． ∴()f x 在区间[0,3]上的大致想象如下：（Ⅱ）∵直线6y x b =+是函数()f x 的一条切线， ∴6k =．设在00(,())x f x 处切线为6y x b =+，则0()6f x '=即203966x x -+=， ∴00x =或3，切点为(0,3)-或33,2⎛⎫⎪⎝⎭．∴3b =-或332-． 18．（本小题满分13分）已知函数2()(1)ln (1)3(1)f x a x a x a =-+-+≠． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间．（Ⅱ）若函数()f x 在区间(1,2)内单调递增，求实数a 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）1a >时，单增区间为(0,)+∞，无单减区间 1a <时，单增区间为(0,1)a -，单减区间为(1,)a -+∞（Ⅱ）1a -≤或1a >【解析】（Ⅰ）∵2()(1)ln (1)3(1)f x a x a x a =-⋅+-⋅+≠，(0)x >，∴2(1)11()(1)(1)1(1)a a x a f x a a a x x x --+-⎛⎫'=+-=-⋅+=-⋅ ⎪⎝⎭，(0)x >， ∵0x >，1a ≠，∴①1a >时，()0f x '>恒成立， ②1a <时，()0(0,1)f x x a '>⇒∈-，()0(1,)f x x a '<⇒∈-+∞，∴1a >时，单增区间为(0,)+∞，无单减区间1a <时，单增区间为(0,1)a -，单减区间为(1,)a -+∞．（Ⅱ）由（Ⅰ）知当()f x 在(1,2)上增时，12a -≥或1a >即可， ∴1a -≤或1a >．19．（本小题满分14分）设函数2()ln(1)f x x a x =++有两个极值点1x ，2x ，且12x x <． （Ⅰ）求a 的求值范围．（Ⅱ）证明：212ln2()4f x ->． 【答案】（Ⅰ）102a <<（Ⅱ）略【解析】（Ⅰ）∵2()ln(1)f x x a x =++，∴222()211a x x a f x x x x++'=+=++，(1)x >-，令2()22g x x x a =++，则有两个极值点等价于()g x 在(1,)-+∞上， 有两个零点，∴101022(1)0g a g ⎧⎛⎫-<⎪ ⎪⇒<<⎝⎭⎨⎪->⎩． （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知2102x -<<，22222a x x =-，∴222222()2(1)ln(1)f x x x x x =-++， 设2()2(1)ln(1)g t t t t t =-++，()2(12)ln(1)g t t t '=-++，当12t =-时，()0g t '=；当1,02t ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0g t '>，∴()g t 在区间1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数，∴1,02t ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，112ln 2()24g t g -⎛⎫>-= ⎪⎝⎭，∴212ln2()4f x ->． 20．（本小题满分14分）已知函数21ln ()xf x x -=． （Ⅰ）求函数()f x 的零点及单调区间． （Ⅱ）求证：曲线ln xy x=存在斜率为6的切线，且切点的纵坐标01y <-． 【答案】（Ⅰ）零点为(e,0)，单增区间为32(e ,)+∞，单减区间为32(0,e ) （Ⅱ）见解析【解析】（Ⅰ）∵21ln ()(0)xf x x x -=>，(e)0f =，零点为(e,0)， ∴32ln 3()(0)x f x x x-'=>， 32()0e f x x '>⇒>，32()0e f x x '<⇒<，∴单增区间为32(e ,)+∞，单减区间为32(0,e )．（Ⅱ）证明：令ln ()x g x x=，则2211ln 1ln ()()x xx x g x f x x x -⋅-'===， ∵1144ln 244622f ⎛⎫+>+⨯= ⎪⎝⎭，(e)0f =，且()f x 在(0,e)内是减函数，∴存在唯一的01,e 2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得00()()6g x f x '==，当[e,)x ∈+∞时，()0f x ≤，∴ln xy x=存在以00(,())x g x 为切点，斜率为6的切线， 由00201ln ()6x g x x -'==得：200ln 16x x =-， ∴20000000ln 161()6x x g x x x x x -===-， ∵012x >， ∴12x <，063x -<-， ∴00()1y g x =<-．。

2016-2017北京朝阳17中高二下期中一、选择题：本大题共8题，每题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列结论正确的是（ ）．A ．若cos y x =，sin y x '=B ．若e x y =，则1e x y x -'=C ．若1y x =，则21y x '=-D ．若y y '=【答案】C【解析】A ．若cos y x =，则sin y x '=-，故A 项错误；B ．若e x y =，则e x y '=，故B 项错误；C ．若1y x=，则21y x '=-，故C 项正确；D ．若yy '=D 项错误． 故选C ．2．计算πsin d 0x x =⎰（ ）． A ．2B ．0C ．2-D ．4【答案】A 【解析】ππsin d (cos )1(1)200x x x =-=--=⎰． 故选A ．3．函数()f x 的定义域为开区间(,)a b ，导函数()f x '在(,)a b 内的图象如图所示，则函数()f x 在开区间(,)a b 内有极大值点（ ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B 【解析】导函数在极大值点左侧为正，右侧为负，由图象可知，这样的点有2个，所以函数()f x 在开区间(,)a b 内有极大值点有2个．故选B ．4．作反证法证明命题：若整系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有有理根，那么a ，b ，c 中至少有一个是偶数时，下列假设正确的是（ ）．A ．假设a ，b ，c 都是偶数B ．假设a ，b ，c 都不是偶数C ．假设a ，b ，c 中至多有一个是偶数D ．假设a ，b ，c 中至多有两个是偶数【答案】B 【解析】根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，“至少有一个”的否定是“都不是”所以假设正确的是：假设a ，b ，c 都不是偶数． 故选B ．5．设函数1()21(0)f x x x x=+-<，则()f x 在其定义域内（ ）． A ．有最大值 B ．有最小值 C ．是增函数 D ．是减函数【答案】A 【解析】由1()21(0)f x x x x =+-<得222121()2(0)x f x x x x -'=-=<，令()0f x '=，得x =，令()0f x '>，得x <；令()0f x '<，得0x <<，∴()f x 在,⎛-∞ ⎝⎭上单调递增，在⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，∴()f x 在x = 故选A ．6．设P 为曲线2:23C y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则点P 横坐标的取值范围为（ ）．A ．[0,1]B ．[1,0]-C ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ 【答案】D【解析】223y x x =++，得22y x '=+，由曲线在点P 处切线倾斜角的取值范围为π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦可知， 曲线C 在点P 处切线的斜率的取值范围为[0,1]，设P 点横坐标为0x ，则00221x +≤≤，解得0112x --≤≤， 即点P 横坐标的取值范围为11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦． 故选D ．7．已知不等式240x ax -+≥对于任意的[1,3]x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）． A ．(,5]-∞B ．[5,)+∞C ．(,4]-∞D ．[4,)+∞ 【答案】C【解析】若不等式240x ax -+≥对于任意的[1,3]x ∈恒成立，。

2016-2017学年北京市朝阳区高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．（5分）已知集合A＝{x|x＜1}，B＝{x|2x＜1}，则（）A．A∩B＝{x|x＜0}B．A∪B＝R C．A∩B＝{x|x＜1}D．A∪B＝{x|x＜0} 2．（5分）已知i是虚数单位，则复数＝（）A．1+i B．﹣1+i C．﹣1﹣i D．1﹣i3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的T的值为（）A．12B．17C．20D．304．（5分）已知x∈R，平面向量＝（2，1），＝（﹣1，x），＝（2，﹣4），若∥，则|+|（）A．2B．C．4D．105．（5分）为了得到函数y＝sin（2x﹣）的图象，只需把函数y＝sin2x的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度D．向右平行移动个单位长度6．（5分）“a＝1”是“函数f（x）＝（x﹣a）2在（1，+∞）内单调递增”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）已知函数f（x）是周期为2的偶函数，当0＜x＜1时，f（x）＝log0.5x，则（）A．f（）＜f（）＜f（﹣）B．f（）＜f（﹣）＜f（）C．f（）＜f（）＜f（﹣）D．f（﹣）＜f（）＜f（）8．（5分）甲、乙、丙3位同学获得某项竞赛活动的前三名（无并列名次），在未公布结果之前，3人作出如下预测：甲说：我不是第二名；乙说：我是第二名；丙说：我不是第一名．若甲、乙、丙3人的预测结果有且只有一个正确，由此判断获得第三名的同学是（）A．甲B．乙C．丙D．无法判断二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，请把正确答案填在答题卡上）9．（5分）若数列{a n}满足：a1＝1，a n+1＝a n（n∈N*），则a n＝；数列{a n}的前n 项和S n＝．10．（5分）若实数x，y满足则z＝2x+y的最大值是．11．（5分）已知α∈（，π），sinα＝，则cosα＝；tan2α＝．12．（5分）已知正实数m，n满足m+n＝3，则mn的最大值为．13．（5分）设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，且||＝6，|+|＝|﹣|，则||＝．14．（5分）若函数f（x）的导数f′（x）存在导数，记f′（x）的导数为f n（x）．如果f（x）对任意x∈（a，b），都有f n（x）＜0成立，则f（x）有如下性质：f（）≥．其中n∈N*，x1，x2，…，x n∈（a，b）．若f（x）＝sin x，则f n（x）＝；根据上述性质推断：当x1+x2+x3＝π且x1，x2，x3∈（0，π）时，根据上述性质推断：sin x1+sin x2+sin x3的最大值为．三、解答题（本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．请写在答题卡上）15．（12分）已知函数f（x）＝sin2x﹣2sin2x．（I）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间．（II）求函数f（x）在[﹣，0]上的最小值．16．（12分）已知等差数{a n}的公差不为零a1＝2，a1，a3，a11成等比数列．（I）求{a n}的通项公式．（II）求a1+a3+a5+…+a2n﹣1．17．（13分）在△ABC中，A＝2B，sin B＝．（I）求cos A的值．（II）若b＝2，求边a，c的长．18．（13分）已知函数f（x）＝（x﹣1）sin x+2cos x+x．（I）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程．（II）求证：f（x）在区间（0，1）内为增函数．（III）求函数f（x）在区间[0，π]上的最大值和最小值．2016-2017学年北京市朝阳区高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．（5分）已知集合A＝{x|x＜1}，B＝{x|2x＜1}，则（）A．A∩B＝{x|x＜0}B．A∪B＝R C．A∩B＝{x|x＜1}D．A∪B＝{x|x＜0}【解答】解：∵集合A＝{x|x＜1}，B＝{x|2x＜1＝20}＝{x|x＜0}，∴A∩B＝{x|x＜0}，A∪B＝{x|x＜1}，故选：A．2．（5分）已知i是虚数单位，则复数＝（）A．1+i B．﹣1+i C．﹣1﹣i D．1﹣i【解答】解：．故选：B．3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的T的值为（）A．12B．17C．20D．30【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：是否继续循环S n T循环前/1 0 0第一圈是 5 2 2第二圈是9 4 6第三圈是13 6 12第四圈是17 8 20第五圈否所以最后输出的T值为20．故选：C．4．（5分）已知x∈R，平面向量＝（2，1），＝（﹣1，x），＝（2，﹣4），若∥，则|+|（）A．2B．C．4D．10【解答】解：∵x∈R，平面向量＝（2，1），＝（﹣1，x），＝（2，﹣4），∥，∴，解得x＝2，∴＝（﹣1，2），∴＝（1，3），∴|+|＝＝．故选：B．5．（5分）为了得到函数y＝sin（2x﹣）的图象，只需把函数y＝sin2x的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度D．向右平行移动个单位长度【解答】解：把函数y＝sin2x的图象向右平移个单位长度，可得函数y＝sin2（x﹣）＝sin（2x﹣）的图象，故选：D．6．（5分）“a＝1”是“函数f（x）＝（x﹣a）2在（1，+∞）内单调递增”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：函数f（x）＝（x﹣a）2在（1，+∞）内单调递增，则a≤1，∴“a＝1”是“函数f（x）＝（x﹣a）2在区间（1，+∞）上为单调递增函数”的充分不必要条件．故选：A．7．（5分）已知函数f（x）是周期为2的偶函数，当0＜x＜1时，f（x）＝log0.5x，则（）A．f（）＜f（）＜f（﹣）B．f（）＜f（﹣）＜f（）C．f（）＜f（）＜f（﹣）D．f（﹣）＜f（）＜f（）【解答】解：由于函数f（x）是周期为2的偶函数，∴f（﹣）＝f（），f（）＝f（﹣）＝f（），f（）＝f（﹣）＝f（）．∵当0＜x＜1时，f（x）＝log0.5x，故f（x）在（0，1）上单调递减．∵＜＜，∴f（）＞f（）＞f（），即f（﹣）＞f（）＞f（），故选：C．8．（5分）甲、乙、丙3位同学获得某项竞赛活动的前三名（无并列名次），在未公布结果之前，3人作出如下预测：甲说：我不是第二名；乙说：我是第二名；丙说：我不是第一名．若甲、乙、丙3人的预测结果有且只有一个正确，由此判断获得第三名的同学是（）A．甲B．乙C．丙D．无法判断【解答】解：（1）若只有甲预测正确，则甲为第一名或第三名，由于乙预测不正确，故乙是第一名或第三名，于是丙为第二名，故丙预测正确，矛盾；（2）若乙预测正确，则甲预测也正确，矛盾；故而只有丙预测正确，即丙为第二或第三名，由于甲预测不正确，故而甲为第二名，于是丙为第三名，乙为第一名．故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，请把正确答案填在答题卡上）9．（5分）若数列{a n}满足：a1＝1，a n+1＝a n（n∈N*），则a n＝；数列{a n}的前n项和S n＝2﹣21﹣n．【解答】解：由题意a1＝1，a n+1＝a n（n∈N*），则∴数列{a n}为等比数列，公比q＝，∴a n＝．数列{a n}的前n项和S n＝＝2﹣21﹣n．故答案为：，2﹣21﹣n10．（5分）若实数x，y满足则z＝2x+y的最大值是8．【解答】解：作出实数x，y满足对应的平面区域如图：由z＝2x+y，得y＝﹣2x+z，平移直线y＝﹣2x+z，由图象可知当直线y＝﹣2x+z经过点A时，直线y＝﹣2x+z的截距最大，此时z最大，由，解得A（4，0），此时z＝2×4+0＝8，故答案为：8．11．（5分）已知α∈（，π），sinα＝，则cosα＝；tan2α＝．【解答】解：∵α∈（，π），sinα＝，∴cosα＝＝．则tanα＝．那么tan2α＝．故答案为：，．12．（5分）已知正实数m，n满足m+n＝3，则mn的最大值为．【解答】解：mn≤＝，m＝n＝时取等号，∴mn的最大值是，故答案为：．13．（5分）设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，且||＝6，|+|＝|﹣|，则||＝3．【解答】解：根据题意，如图所示：+＝2，﹣＝，若|+|＝|﹣|，则有|2|＝||＝6，即||＝3；故答案为：3．14．（5分）若函数f（x）的导数f′（x）存在导数，记f′（x）的导数为f n（x）．如果f（x）对任意x∈（a，b），都有f n（x）＜0成立，则f（x）有如下性质：f（）≥．其中n∈N*，x1，x2，…，x n∈（a，b）．若f（x）＝sin x，则f n（x）＝﹣sin x；根据上述性质推断：当x1+x2+x3＝π且x1，x2，x3∈（0，π）时，根据上述性质推断：sin x1+sin x2+sin x3的最大值为．【解答】解：设f（x）＝sin x，x∈（0，π），则f′（x）＝cos x，则f″（x）＝﹣sin x，x∈（0，π），f（x）有如下性质：f（）≥．则sin x1+sin x2+sin x3≤3sin（）＝3×sin＝，∴sin A+sin B+sin C的最大值为，故答案为：﹣sin x，三、解答题（本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．请写在答题卡上）15．（12分）已知函数f（x）＝sin2x﹣2sin2x．（I）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间．（II）求函数f（x）在[﹣，0]上的最小值．【解答】解：（I）函数f（x）＝sin2x﹣2sin2x．化简可得：f（x）＝sin2x﹣1+cos2x＝sin（2x+）﹣1．∴函数f（x）的最小正周期T＝．令．k∈Z．可得：≤x≤．∴函数f（x）的单调递增区间为[，]，k∈Z．（II）由（I）函数f（x）＝sin（2x+）﹣1．∵x∈[﹣，0]上，∴2x+∈[，]．当2x+＝时，f（x）取得最小值为＝．故得函数f（x）在[﹣，0]上的最小值为﹣（）．16．（12分）已知等差数{a n}的公差不为零a1＝2，a1，a3，a11成等比数列．（I）求{a n}的通项公式．（II）求a1+a3+a5+…+a2n﹣1．【解答】解：（1）等差数{a n}的公差不为零a1＝2，a1，a3，a11成等比数列，所以a3＝a1a11．设数列{a n}的公差为d，则（a1+2d）2＝a1（a1+10d）．将a1＝2代入上式化简整理得d2+d＝0，又因为d≠0，所以d＝﹣1．于是a n＝a1+（n﹣1）d＝﹣n+3，即数列{a n}的通项公式为a n＝﹣n+3．（2）∵{a n}为等差为﹣1等差数列，∴a1，a3，a5…a2n﹣1是等差为﹣2的等差数列，∴a1+a3+a5+…+a2n﹣1＝2n+×（﹣2）＝3n﹣n2．17．（13分）在△ABC中，A＝2B，sin B＝．（I）求cos A的值．（II）若b＝2，求边a，c的长．【解答】解：（I）A＝2B，sin B＝．则cos B＝正弦定理，可得sin A＝sin2B，即sin A＝2sin B cos B＝2×＝．那么cos A＝．（II）b＝2，sin B＝．sin A＝，正弦定理：，可得：a＝余弦定理：a2＝c2+b2﹣2bc cos A．即可得c＝．18．（13分）已知函数f（x）＝（x﹣1）sin x+2cos x+x．（I）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程．（II）求证：f（x）在区间（0，1）内为增函数．（III）求函数f（x）在区间[0，π]上的最大值和最小值．【解答】（I）解：f（0）＝2．可得切点（0，2）．f′（x）＝sin x+（x﹣1）cos x﹣2sin x+1＝（x﹣1）cos x﹣sin x+1，f′（0）＝﹣1﹣0+1＝0．可得切线斜率为0．∴曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为：y﹣2＝0．（II）证明：∵x∈（0，1），∴f″（x）＝cos x﹣（x﹣1）sin x﹣cos x＝（1﹣x）sin x＞0，∴函数f′（x）在x∈（0，1）单调递增，∴f′（x）＞f′（0）＝﹣1﹣0+1＝0．∴f（x）在区间（0，1）内为增函数．（III）解：由（II）可得：函数f′（x）在x∈（0，1）单调递增，在x∈（1，π）单调递减．f′（0）＝0，f′（1）＝1﹣sin1＞0，f′（）＝0，f′（π）＝2﹣π．∴函数f′（x）在[0，π]上有两个零点0，．又f（0）＝2，＝π﹣1，f（π）＝π﹣2．∴函数f（x）在区间[0，π]上的最大值和最小值分别为：π﹣1，π﹣2．。

北京市陈经纶中学期中统练 高二年级数学学科（理科）（时间：100分钟满分：120分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．已知i 是虚数单位，则复数43i 34i z +=-的虚部是（）． A ．0B ．i C ．i -D ．1【答案】D【解析】2．设(1)1i x yi +=+，其中x ，y 实数，则=x yi +（）．A ．1B ．2 【答案】B【解析】3．现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个 讲座，不同选法的种数是（）．A ．65B ．56C ．5654322⨯⨯⨯⨯⨯ D ．65432⨯⨯⨯⨯ 【答案】B【解析】4．6个停车位置，有3辆汽车需要停放，若要使3个空位连在一起，则停放的方法总数为（）．A ．33A B ．36A C ．46A D ．44A 【答案】D【解析】5．已知10d a x x =⎰，120d b x x =⎰，c x =⎰，则a ，b ，c 的大小关系是（）．A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．c a b <<【答案】C 【解析】6. 直线4y x =与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为（）．A ．．C ．2D ．4【答案】D【解析】7．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()2(1)ln f x x f x '=⋅+，则(1)f '=（）．A ．e -B ．1-C ．1D ．e【答案】B【解析】8．从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（）．A ．6B ．12C ．18D ．24【答案】C【解析】9．若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质，下列函数中具有T 性质的是（）．A ．3y x x =+B ．ln y x =C ．e x y =D ．1e x y x +=【答案】D【解析】10．定义：(,)(0,0)x F x y y x y =>>，已知数列{}n a 满足：*(,2)()(2,)n F n a n F n =∈N ，若对任意正整数n ，都有*()n k a a k ∈N ≥成立，则k a 的值为（）． A ．12B ．2C ．89D ．98【答案】C 【解析】二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．11．设a ∈R ，若复数(1i)(i)a ++在复平面内对应的点位于实轴上，则a =__________．【答案】1-【解析】12．用火柴棒摆“金鱼”，如下图所示：按照上面的规律，第n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为__________．【答案】62n +【解析】13．曲线5e 2x y -=+在点()0,3处的切线方程为__________．【答案】530x y +-=【解析】14．若曲线ln y x x =与直线1y kx =-相切，则切点坐标是__________．第1个第2个…第3个【答案】(1,0)【解析】15．若函数22()2ln f x x a x x=++在[1,2]上是减函数，则实数a 的取值范围为__________． 【答案】7,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ 【解析】16．定义在区间[,]a b 上的连续函数()y f x =，如果[,]a b ξ∃∈，使得()()'()()f b f a f b a ξ-=-，则称ξ为区间[,]a b 上的“中值点”．下列函数：①()32f x x =+；②2()1f x x x =-+；③()ln(1)f x x =+；④31()2f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭中，在区间[0,1]上“中值点”多于一个的函数序号为__________．（写出所有．．满足条件的函数的序号） 【答案】①④【解析】三、解答题：本大题共4个小题，共50分．17．（本小题满分12分）已知点列0(,)n n A x ，*n ∈N ，其中10x =，2(0)x a a =>，3A是线段12A A 的中点，4A 是线段23A A 的中点，n A 是线段21n n A A --的中点， ． （I ）写出n x 与1n x -、2n x -之间的关系式(3)n ≥；（II ）设1n n n a x x =+-，计算1a ，2a ，3a ，由此推测数列{}n a 的通项公式，并加以证明．【答案】【解析】18．（本小题满分12分）设x ∈R ，函数2e ()(1)2xf x ax a -=++． （1）当1a =-时，求()f x 在[12]-，上的最值； （2）求证：当0a ≥时，()f x 在R 上为减函数．【答案】【解析】19．（本小题满分13分）已知函数2()l f x x m nx =-，2()h x x x a =-+，（1）当0a =时，()()f x h x ≥在(1,)+∞上恒成立，求实数m 的取值范围．（2）当2m =时，若函数()()()k x f x h x =-在区间[]1,3上恰有两个不同零点，求实数a 的取值范围．【答案】【解析】20．（本小题满分13分）已知函数()e x f x =，点(,0)A a 为一定点，直线()x t t a =≠分别与函数()f x 的图象和x 轴交于点M ，N ，记AMN △的面积为()S t ．【答案】【解析】。

北京市朝阳外国语学校 2016-2017学年度第二学期期中考试高一年级 数学试卷一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知等差数列{}n a 满足35a =，1714a a +=，则5a 的值是（）．A ．9B ．8C ．7D ．62．函数()sin 2f x x =的图象向左平移π4得到的函数()g x 的图象，则()g x 的解析式是（）． A ．()cos2g x x =-B ．()cos2g x x =C ．π()sin 24g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．π()sin 24g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭3．向量(,)a m n = ，向量(1,2)b = ，(1,1)c = ，若向量()a c b + ∥，且a c⊥，则a 的值为（）．A ．13B C ．29D ．194．某正方体的外接球体积36π，则此正方体的棱长为（）．A ．6B ．3CD ．5．函数3(4)4,4(),4x a x x f x a x ---⎧=⎨>⎩≤，递增数列{}n a 满足()n a f n =，*n ∈N ，则a 的范围是（）．A ．14a <<B ．1245a <≤ C ．24a << D ．3a >6．某棱锥的三视图如图，已知其俯视图为边长为2的等腰直角三角形，则其体积为（）．A ．43B ．83C ．89D ．497．数列{}n a 对任意大于等于2正整数n ，都满足12n n nna a --=，且11a =，则2017a 的中是（）． A ．20153201722-B ．20173201922-C ．20155201722-D ．20175201922-8．正方体1111ABCD A B C D -中，E 是线段CD 的中点，P 为正方体棱上的动点（P 不与E ，1B 重合）， 则满足1π2EPB ∠=的P 点的个数是（）． A ．4 B ．5C ．6D ．7二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分．）9．已知实数a 为2和8的等比中项，b 为2和8的等差中项，则a b +的值为__________．10．正方体1111ABCD A B C D -中，直线1B D 与直线1CD 所成的角的度数为__________．11．已知α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，则下列说法正确的是__________．（填 序号）①若l α∥，m α⊂，则l m ∥；②若l α⊥，m α⊂，则l m ⊥ ③若αβ⊥，l α⊂，则l β⊥；④若αβ∥，l α⊂，则l β∥12．数列{}n a 的通项公式10(101)11nn a n ⎛⎫=+⨯ ⎪⎝⎭，则{}n a 中最大项的值是__________．13．在ABC △中，E 为AB 中点，F 在线段AC 上，且3AFFC=，EF xAC yBC =+ ，则x y +的值是 __________．14．边长为2的等边ABC △绕C 顺时针旋转120︒，得到11CB C △；11CB C △绕1C 顺时针旋转120︒，得到122C B C △；如此重复下去，得到一系列三角形（如图）．记1n n a AB AB =⋅，则数列{}n a 的前n 项和n S 为__________．三、解答题（本大题共6个小题，15，16，17，18题每题13分，19，20题每题14分，共80分．） 15．已知函数π1()sin cos 64f x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期．（Ⅱ）求()f x 在[]0,π上的单调递增区间．16．已知ABC △中，A ∠，B ∠，C ∠的对边分别为a ，b ，c ，且π3B ∠=，a =．（Ⅰ）若b A ∠．（Ⅱ）若ABC △，求b 的值．17．已知数列{}n a 满足13a =，且对任意2n ≥且*n ∈N ，都有122n n a a n -=-+． （Ⅰ）求证：数列{}n a n -等比数列．（Ⅱ）数列{}n b 满足2n n n b a =-，*()n ∈N ，记12n n S b b b =+++ ，12111n nT S S S =+++ ，求n T 的表达 式．18．如图，四棱锥P ABCD，底面四边形ABCD是菱形，E为侧棱PD中点，平面ABE交侧棱PC于F．（Ⅰ）若PA⊥平面ABCD，求证：BD PC⊥．（Ⅱ）求证：EF∥平面ABCD．（Ⅲ）试在平面PAB内找一点G，使得EG∥平面PAC（写出作图方法即可，无需说明理由）19．如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，EAD△是正三角形，且平面EAD⊥平面ABCD，O为AD中点．（Ⅰ）求直线OB与平面EDC所成角的正弦值．（Ⅱ）求平面EBC与平面EDC所成锐角二面角的余弦值．（Ⅲ）在线段EB上是否存在点F，使得OF EC⊥，若存在求EFEB的值，若不存在请说明理由．20．已知有限数列{}n a 共m 项，其中每一项都是集合{}1,2,3,,n 中互不相同的元素（m n ≤，m ， *n ∈N ）．且数列{}n a 满足：只要存在i ，(1)j i j m <≤≤使i j a a n +≤，总存在(1)k k m ≤≤有i j k a a a +=． （Ⅰ）当6m =，100n =时，若111a =，278a =，597a =，690a =，求3a 和4a ．（Ⅱ）当5m =，50n =时，若111a =，238a =，且345a a a <<，则3a ，4a ，5a 有多少组不同的值． （Ⅲ）证明：1212m a a a n m ++++ ≥．北京市朝阳外国语学校 2016-2017学年度第二学期期中考试高一年级 数学试卷一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知等差数列{}n a 满足35a =，1714a a +=，则5a 的值是（）．A ．9B ．8C ．7D ．6【答案】A【解析】∵{}n a 为等差数列，1714a a +=， ∴47a =， ∵35a =， ∴59a =．2．函数()sin 2f x x =的图象向左平移π4得到的函数()g x 的图象，则()g x 的解析式是（）． A ．()cos2g x x =-B ．()cos2g x x =C ．π()sin 24g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．π()sin 24g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】B【解析】()sin 2f x x =向左平移π4得到ππ()sin 2sin 244g x x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()cos2g x x =（诱导公式）．3．向量(,)a m n = ，向量(1,2)b = ，(1,1)c = ，若向量()a c b + ∥，且a c⊥，则a 的值为（）．A ．13B C ．29D ．19【答案】B【解析】∵(1,1)a c m n +=++ 且()a c b +∥， ∴2(1)1m n +=+①， ∵a c ⊥， ∴0m n +=②，由①②得13m =-，13n =，∴11,33a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴||a = ．4．某正方体的外接球体积36π，则此正方体的棱长为（）．A ．6B ．3CD．【答案】D【解析】∵外接球体积为36π，设半径为R ，则24π36π3R =，3R =， 又∵正方体的外接球直径为其体对角线，∴设正方体的棱长为a26R ==，即a =．5．函数3(4)4,4(),4x a x x f x a x ---⎧=⎨>⎩≤，递增数列{}n a 满足()n a f n =，*n ∈N ，则a 的范围是（）．A ．14a <<B ．1245a <≤ C ．24a << D ．3a >【答案】C【解析】∵()n a f n =，*n ∈N 为递增数列， ∴240124(4)44a a a a a⎧->⎪>⇒<<⎨⎪-⨯-<⎩．6．某棱锥的三视图如图，已知其俯视图为边长为2的等腰直角三角形，则其体积为（）．A ．43B ．83C ．89D ．49【答案】B【解析】由三视图可知该几何体为四棱锥， 底面为22⨯的正方形，高为2，∴1822233V =⨯⨯⨯=．7．数列{}n a 对任意大于等于2正整数n ，都满足12n n nna a --=，且11a =，则2017a 的中是（）．A ．20153201722-B ．20173201922-C ．20155201722-D ．20175201922-【答案】D【解析】∵12n n nna a --=，11a =， ∴232a =，3158a =，4178a =，57332a =， ，可写为252222+-，353222+-，454222+-，555222+-， ，∴2017n =时，201720175201922a =-．8．正方体1111ABCD A B C D -中，E 是线段CD 的中点，P 为正方体棱上的动点（P 不与E ，1B 重合）， 则满足1π2EPB ∠=的P 点的个数是（）．A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】C【解析】如图所示，共6个．二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分．）9．已知实数a 为2和8的等比中项，b 为2和8的等差中项，则a b +的值为__________． 【答案】1或9【解析】由题意可得：216a =，210b =， ∴4a =±，5b =， ∴1a b +=或9．10．正方体1111ABCD A B C D -中，直线1B D 与直线1CD 所成的角的度数为__________． 【答案】90︒【解析】建系，1(0,1,1)B ，(1,0,0)D ，(1,1,0)C ，1(1,0,1)D ， ∴1(1,1,1)B D =-- ，1(0,1,1)CD =-， ∵110B D CD ⋅=， ∴为90︒．11．已知α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，则下列说法正确的是__________．（填序号）①若l α∥，m α⊂，则l m ∥；②若l α⊥，m α⊂，则l m ⊥ ③若αβ⊥，l α⊂，则l β⊥；④若αβ∥，l α⊂，则l β∥ 【答案】②④【解析】①中l 与m 可以异面， ③中l 与β可以相交或平行．12．数列{}n a 的通项公式10(101)11nn a n ⎛⎫=+⨯ ⎪⎝⎭，则{}n a 中最大项的值是__________．【答案】101010111⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭【解析】设第几项为最大项，则 11n n n n a a a a -+⎧⎨⎩≥≥， 即1010(101)(109)11111010(101)(101)1111n nn nn n n n ⎧⎛⎫⎛⎫+⨯-⨯⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎪⎛⎫⎛⎫+⨯+⨯ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩≥≥， 解得10.99.9n n ⎧⎨⎩≤≥，∵*n ∈N ， ∴10n =， ∴10max 101010111n a a ⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭．13．在ABC △中，E 为AB 中点，F 在线段AC 上，且3AFFC=，EF xAC yBC =+ ，则x y +的值是 __________． 【答案】34【解析】如图所示在ABC △中，EF EA AF =+1324BA AC =+13()24BC CA AC =++1142AC BC =+． ∴14x =，12y =，∴34x y +=．14．边长为2的等边ABC △绕C 顺时针旋转120︒，得到11CB C △；11CB C △绕1C 顺时针旋转120︒，得到122C B C △；如此重复下去，得到一系列三角形（如图）．记1n n a AB AB =⋅，则数列{}n a 的前n 项和n S 为__________．【答案】233n n +【解析】建系，以A 为坐标原点，AC 方向为x 轴，则n B 点的横坐标为2(1)121n n -+=-∴1(216n n a AB AB n n =⋅=⋅-=． ∴2(66)332n n n S n n ⨯+==+．三、解答题（本大题共6个小题，15，16，17，18题每题13分，19，20题每题14分，共80分．） 15．已知函数π1()sin cos 64f x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期．（Ⅱ）求()f x 在[]0,π上的单调递增区间． 【答案】（Ⅰ）π；（Ⅱ）π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5π,π6⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】（Ⅰ）∵π1()sin cos 64f x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭π1sin cos 64x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭11sin sin 24x x x ⎫=⋅+-⎪⎪⎝⎭211cos sin 24x x x +-12cos24x x - 1πsin 226x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．∴最小正周期2ππ2T ==． （Ⅱ）由（Ⅰ）知1π()sin 226f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当πππ2π22π262k x k --+≤≤，k ∈Z 时为增，即ππππ63k x k -+≤≤，k ∈Z ，当0k =时，在[0,π]上有单增区间π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦，当1k =时，在[0,π]上有单增区间5π,π6⎡⎤⎢⎥⎣⎦．∴()f x 在[0,π]上的单增区间为π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5π,π6⎡⎤⎢⎥⎣⎦．16．已知ABC △中，A ∠，B ∠，C ∠的对边分别为a ，b ，c ，且π3B ∠=，a =．（Ⅰ）若b A ∠． （Ⅱ）若ABC △，求b 的值． 【答案】（Ⅰ）45︒；【解析】（Ⅰ）∵ab =，π3B ∠=， ∴由正弦定理得sin sin a b A B=sin 2=，∴sin A =， ∵a b <，(0,π)A ∈， ∴45A =︒．（Ⅱ）∵11sin 22ABC S a c B c =⋅⋅⋅==△∴c =再由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-⋅，∴b17．已知数列{}n a 满足13a =，且对任意2n ≥且*n ∈N ，都有122n n a a n -=-+． （Ⅰ）求证：数列{}n a n -等比数列．（Ⅱ）数列{}n b 满足2n n n b a =-，*()n ∈N ，记12n n S b b b =+++ ，12111n nT S S S =+++ ，求n T 的表达 式．【答案】（Ⅰ）略；（Ⅱ）21n nT n =+【解析】（Ⅰ）证明：∵2n ≥时，122n n a a n -=-+， ∴1222n n a n a n --=-+， ∴12[(1)]n n a n a n --=--即12(1)n n a na n --=--，∴{}n a n -为等比数列．（Ⅱ）由（Ⅰ）知11(1)2n n a n a --=-⨯， ∵13a =， ∴2n n a n -=， ∴2n n a n =+， 又∵2n n n b a =-， ∴n b n =． ∴(1)2n n n S +=， ∴12112(1)1n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， ∵12111n nT S S S =+++ ， ∴11111122122311n n T n n n ⎛⎫=-+-++-=⎪++⎝⎭ ．18．如图，四棱锥P ABCD -，底面四边形ABCD 是菱形，E 为侧棱PD 中点，平面ABE 交侧棱PC 于F ．（Ⅰ）若PA ⊥平面ABCD ，求证：BD PC ⊥． （Ⅱ）求证：EF ∥平面ABCD ．（Ⅲ）试在平面PAB 内找一点G ，使得EG ∥平面PAC （写出作图方法即可，无需说明理由）【答案】（Ⅰ）略；（Ⅱ）略；（Ⅲ）取AD 中点G ，可使EG ∥平面PAC ． 【解析】（Ⅰ）证明：连接BD ，∵PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴PA BD ⊥，∵底面ABCD 为菱形，∴BD AC ⊥，∵PA AC A = ，PA ，AC ⊂平面PAC ， ∴BD ⊥平面PAC ， ∵PC ⊂平面PAC ，∴BD PC⊥．（Ⅱ）证明：∵AB DC∥，DC⊂平面PDC，AB⊄平面PDC，∴AB∥平面PDC，∵平面ABFE 平面PDC EF=，∴EF AB∥，又∵EF⊄平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴EF∥平面ABCD．（Ⅲ）取AD中点G，连接EG，可得EG∥平面PAC．19．如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，EAD△是正三角形，且平面EAD⊥平面ABCD，O为AD中点．（Ⅰ）求直线OB与平面EDC所成角的正弦值．（Ⅱ）求平面EBC与平面EDC所成锐角二面角的余弦值．（Ⅲ）在线段EB上是否存在点F，使得OF EC⊥，若存在求EFEB的值，若不存在请说明理由．【答案】；；（Ⅲ）3 4【解析】∵O为AD中点，EAD△为等边三角形，四边形ABCD为正方形，平面EAD⊥平面ABCD，∴可建如图所示空间直角坐标系O xyz-．（Ⅰ）(0,0,0)O ，(1,2,0)B，E ，(1,0,0)D -，(1,2,0)C -． ∴(1,2,0)OB =，(1DE =，(0,2,0)DC =．设平面EDC 的法向量为1111(,,)n x y z =，则111110000n DE x y n PC ⎧⎧⋅==⎪⎪⇒⎨⎨=⋅=⎪⎪⎩⎩，令11z =，则11101x y z ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴1(n =．设直线OB 与平面EDC 所成角为θ，则1sin |cos ,|n OB θ===．（Ⅱ）(1,2,EB = ，(2,0,0)BC =-，设平面EBC 的法向量为2222(,,)n x y z =，则122222020200n EB x y x n BC ⎧⎧⋅=+=⎪⎪⇒⎨⎨-=⋅=⎪⎪⎩⎩， 令22z =则22202x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴2n =，设平面EBC 与平面EDC 所成锐二面角为β，则12cos |cos ,|n n β==（Ⅲ）设EFEB λ=，则(,2,)(01)EB EF λλλλ== ≤≤，∴(,2)F λλ，∴(,2)OF λλ=，(1,2,EC =-，当OF EC ⊥时，0OF EC ⋅=即2330λλλ-+-+=，∴34λ=即34EF EB =．20．已知有限数列{}n a 共m 项，其中每一项都是集合{}1,2,3,,n 中互不相同的元素（m n ≤，m ， *n ∈N ）．且数列{}n a 满足：只要存在i ，(1)j i j m <≤≤使i j a a n +≤，总存在(1)k k m ≤≤有i j k a a a +=． （Ⅰ）当6m =，100n =时，若111a =，278a =，597a =，690a =，求3a 和4a ．（Ⅱ）当5m =，50n =时，若111a =，238a =，且345a a a <<，则3a ，4a ，5a 有多少组不同的值． （Ⅲ）证明：1212m a a a n m ++++ ≥．【答案】（Ⅰ）389a =，4100a =或3100a =，489a = （Ⅱ）71组 （Ⅲ）证明见解析【解析】（Ⅰ）∵111a =，278a =，597a =，690a =， ∴数列中必有1289a a +=，189100a +=， ∴389a =，4100a =或3100a =，489a =． （Ⅱ）由题意可知，3a ，4a ，5a 中必有49．∴①当449a =，550a =时，339a =，40， ，48共10种， ②当549a =时，31a =，2，3， ，10，12会使5m >不成立．313a =，14， ，37时，4a 有唯一对应的值，共25种； 339a =时，数列中会出现50，不成立； 340a =时，441a =，42， ，48，共8种， 341a =时，442a =，43， ，48，共7种；，347a =时，448a =，共1种．综上3a ，4a ，5a 共有71组不同的值． （Ⅲ）证明：不妨设12m a a a <<< ．当m 为偶数时，数列可配对为1m a a +，21m a a -+， ，122m ma a ++，只需证每一对和数都不小于1n +即可． 用反证法，假设存在12mj ≤≥，使1j m j a a n +-+≤， ∵数列单调递增，∴存在1k m ≤≤，使得1(1)i m j k a a a i j +-+=≤≤， 显然1k m j a a +->， ∴1k m j >+-，∴k a 只有1j -个不同取值，而1i m j a a +-+有j 个不同取值，矛盾， ∴1m a a +，21m a a -+， ，122m ma a ++每一对和数都不小于1n +，即12(1)2m ma a a n ++++ ≥． 当m 为有数时亦然，∴1212m a a a n m ++++ ≥．。

北京市朝阳外国语学校2016-2017学年度第一学期第二次月考高三年级 数学试卷(理科)2016.10班级________层_______姓名___________成绩___________一 、选择题：（本大题共8小题；每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的， 将正确答案填写在括号内.）1.复数z 满足（ ） A.1+i B.1i - C.1i -- D.1+i -2. 已若A B A = ，则实数a 的值为 （ ）A.2,1B.C.2,1,0 3. 已知函数224,0()4,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-+<⎪⎩,若2(2)()f a f a ->,则实数a 的取值范围是( )A.(,1)(2,)-∞-⋃+∞B.(1,2)-C.(2,1)-D.(,2)(1,)-∞-⋃+∞4. 已知0,0x y >>，则实数m 的取值范围是 （ ） A. 2m ≤-或4m ≥ B.4m ≤-或2m ≥C.24m -<<D.42m -<<5.下列四种说法中，错误的个数是 （ ） ①{}1,0=A 的子集有3个； ②命题“存在02,00≤∈x R x ”的否定是：“不存在02,00>∈x R x ；③函数x xe ex f -=-)(的切线斜率的最大值是2；④已知函数)(x f 满足,1)1(=f 且)(2)1(x f x f =+，则1023)10()2()1(=+++f f f .A.1B.2C.3D.46.已知函数()f x 满足：①定义域为R ；②x R ∀∈，都有)()2(x f x f =+；③当[1,1]x ∈-时，()||1f x x =-+，则方程在区间[3,5]-内解的个数是 （ ）A.5B.6C.7D.87.函数)(x f 在定义域R 内可导，若)2()(x f x f -=,且当)1,(-∞∈x 时，0)()1(<'-x f x ,则 （ ） C.a b c << D.a c b <<8. 已知函数)(x f 满足，当[]3,1∈x 时，x x f ln )(=，若在区间x ax x f xg 与-=)()(轴有三个不同的交点，则实数a 的取值范围是 （）二、填空题：（本大题共6小题；每小题5分，共30分,把答案填写在横线上.） 9. ________.10. 若实数x ，y 满足约束条件42y x x y x y k ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥⎩，且2z x y =+有最大值8，则实数k =________. 11.已知()7270127x m a a x a x a x -=+++的展开式中4x 的系数是35-，则127a a a +++=________.12.设已知函数2221 0 () 0,ax x x f x x bx c x ⎧--≥⎪=⎨++<⎪⎩，，，是偶函数，直线y t =与函数()y f x =的图像自左向右依次交于四个不同点,,,A B C D .若AB BC =，则实数t 的值为________.13.已知函数3223,0()log 1,x x x kf x x k x a ⎧-+≤<=⎨+≤≤⎩，若存在k 使得函数()f x 的值域为[]0,2，则实数a 的取值范围是_______.14. ()f x 是定义在D 上的函数，若存在区间[]m n D ⊆，，使函数()f x 在[]m n ，上的值域恰为[]km kn ，，则称函数()f x 是k 型函数.给出下列说法：是1型函数，则n m -的最大值为 型函数，则40m n =-=，；④设函数32()2f x x x x =++(x ≤0)是k 型函数，则k 的最小值为其中正确的说法为________.（填入所有正确说法的序号）三 、解答题：（本大题6小题，共80分.解答写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15.(本小题满分13分）（1）等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，已知102030,50,242n a a S ===，求n . （2）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若103010,130S S ==，求20S .16.(本小题满分13分）已知函数=)(x f x x x 22cos 2)cos (sin -+，R x ∈. （1）求函数)(x f 的递增区间； （2）若函数m x f x g -=)()(在上有两个不同的零点1x 、2x ，求)tan(21x x +的值.17.(本小题满分13分）某次有1000人参加的数学摸底考试，其成绩的频率分布直方图如图所示，规定85分及其以上为优秀.（1（2）现在要用分层抽样的方法从这1000人中抽取40人的成绩进行分析，求其中成绩为优秀的学生人数；（3）在（2）中抽取的40名学生中，要随机选取2名学生参加座谈会，记“其中成绩为优秀的人数”为X，求X的分布列与数学期望.18.(本小题满分13分）,()()4log 41x f x mx =++是偶函数.（1（2）若()()4log 21g x h a >+⎡⎤⎣⎦对任意1x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.19.(本小题满分14分） （1）当1=a 时，求)(x f 的单调区间； （2在区间(1,3)上不单调，求实数a 的取值范围.20.(本小题满分14分）已知函数2()ln (2)f x x ax a x =-+-. （1）讨论()f x 的单调性； （2）设0a >，证明：当（3）若函数()y f x =的图象与x 轴交于,A B 两点，线段AB 中点的横坐标为0x ， 证明：0'()0f x <.北京市朝阳外国语学校2016-2017学年度第一学期第二次月考高三年级 数学试卷理科参考答案及评分标准一 、选择题：（本大题共8小题；每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，有二 、填空题：（本大题共6小题；每小题5分，共30分,把答案填写在答题卡横线上.） 9. (,3)(3,1][4,)-∞---+∞ 10. -4 11. 113.[1,2]14. ②③三 、解答题：（本大题6小题，共80分.解答写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．【答案】（1）11；（2）40． 【解析】试题分析：第（1）问重点考查等差数列基本公式，要求学生对基础知识以及基本公式熟练掌握，重点考查学生的基本计算，着重对双基的考查。

A北京市 2016-2017 学年高二下学期期末试卷（理科数学）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目 要求的.1．在复平面内，复数 z=对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．在（x+2）4 的展开式中，x 2 的系数为（ ） A ．24 B ．12 C ．6 D ．43．已知函数 f （x ）=ln2x ，则 f′（x ）=（ ）A ．B ．C ．D ．4．将一枚均匀硬币随机投掷 4 次，恰好出现 2 次正面向上的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．5．函数 f （x ）=﹣ x 2+lnx 的极值点是（）A ．x=﹣1B ．x=﹣C ．x=1D ．x=6．5 名大学生被分配到 4 个地区支教，每个地区至少分配 1 人，其中甲乙两名同学因专业相同，不能分配 在同一地区，则不同的分配方法的种数为（ ） A ．120 B ．144 C ．216 D ．2407．设 a ，b ，c 是正整数，且 a ∈[70，80），b ∈[80，90），c ∈[90，100]，当数据 a ，b ，c 的方差最小时， a+b+c 的值为（ ） A ．252 或 253 B ．253 或 254 C ．254 或 255 D ．267 或 2688．已知函数 f （x ）=e x +ax ﹣2，其中 a ∈R ，若对于任意的 x ，x ∈[1，+∞），且 x ＜x ，都有 x •f（x ）﹣ 1 2 1 2 2 1x •f（x ）＜a （x ﹣x ）成立，则 a 的取值范围是（ ） 1 2 1 2 A ．[1，+∞） B ．[2，+∞） C ．（﹣∞，1]D ．（﹣∞，2]二、填空题：本大题共 6 个小题，每小题 5 分.、共 30 分.9．函数 f （x ）=cosx ，则 f′（）= ．10．定积分dx 的值为 ．11．设（2x+1）3=a x 3+a x 2+a x+a ，则 a +a +a +a = ．3 2 1 0 0 1 2 312．由数字 1，2 组成的三位数的个数是 （用数字作答）．13．在平面几何里，有勾股定理“设△ABC 的两边 AB ，AC 互相垂直，则 AB 2+AC 2=BC 2”，拓展到空间，类比 平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出正确的结论是：“设三棱锥 ﹣BCD 的三个侧面 ABC 、ACD 、ADB 两两互相垂直，则 ．”14．研究函数f（x）=的性质，完成下面两个问题：①将f（2）、f（3）、f（5）按从小到大排列为；②函数g（x）=（x＞0）的最大值为．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．在数列{a}中，a=1，a=n•a，n=2，3，4，…．n1n n﹣1（Ⅰ）计算a，a，a，a的值；2345（Ⅱ）根据计算结果，猜想{a}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．n16．已知函数f（x）=x3+3x2﹣9x；（1）求f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在区间[﹣4，c]上的最小值为﹣5，求c的取值范围．17．甲参加A，B，C三个科目的学业水平考试，其考试成绩合格的概率如表，假设三个科目的考试甲是否成绩合格相互独立．科目A科目B科目C甲（Ⅰ）求甲至少有一个科目考试成绩合格的概率；（Ⅱ）设甲参加考试成绩合格的科目数量为X．求X的分布列和数学期望．18．口袋中装有2个白球和n（n≥2，n∈N*）个红球，每次从袋中摸出2个球（每次摸球后把这2个球放回口袋中），若摸出的2个球颜色相同则为中奖，否则为不中奖．（Ⅰ）用含n的代数式表示1次摸球中奖的概率；（Ⅱ）若n=3，求3次摸球中恰有1次中奖的概率；（Ⅲ）记3次摸球中恰有1次中奖的概率为f（p），当f（p）取得最大值时，求n的值．19．已知函数f（x）=x2e x﹣b，其中b∈R．（Ⅰ）证明：对于任意x，x∈（﹣∞，0]，都有f（x）﹣f（x）≤；1212（Ⅱ）讨论函数f（x）的零点个数（结论不需要证明）．20．设L为曲线C：y=e x在点（0，1）处的切线．（Ⅰ）证明：除切点（0，1）之外，曲线C在直线L的上方；（Ⅱ）设h（x）=e x﹣ax+ln（x+1），其中a∈R，若h（x）≥1对x∈[0，+∞）恒成立，求a的取值范围．北京市2016-2017学年高二下学期期末试卷（理科数学）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．在复平面内，复数z=对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z，求出在复平面内，复数z对应的点的坐标，则答案可求．【解答】解：z==则在复平面内，复数z对应的点的坐标为：（，，），位于第一象限．故选：A．2．在（x+2）4的展开式中，x2的系数为（）A．24B．12C．6D．4【考点】二项式系数的性质．【分析】直接根据二项式的展开式的通项公式即可求出．【解答】解：（x+2）4的展开式的通项公式为T=C r•24﹣r•x r，r+14令r=2，故展开式中x2的系数为C2•22=24，4故选：A．3．已知函数f（x）=ln2x，则f′（x）=（）A．B．C．D．【考点】导数的运算．【分析】根据复合函数的导数公式进行求解即可．【解答】解：∵f（x）=ln2x，∴f′（x）===，故选：D4．将一枚均匀硬币随机投掷4次，恰好出现2次正面向上的概率为（）A．B．C．D．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】将一枚均匀硬币随机投掷4次，利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式能求出恰好出现2次正面向上的概率．【解答】解：将一枚均匀硬币随机投掷4次，恰好出现2次正面向上的概率为：p==．故选：B．5．函数f（x）=﹣x2+lnx的极值点是（）A．x=﹣1B．x=﹣C．x=1D．x=【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求出原函数的导函数，确定出函数的单调区间，由此求得函数的极值点．【解答】解：由f（x）=﹣x2+lnx，得f′（x）=（x＞0），当0＜x＜1时，f′（x）＞0；当x＞1时，f′（x）＜0．∴函数f（x）在（0，1）上为增函数，在（1，+∞）上为减函数．∴函数f（x）=﹣x2+lnx的极值点为x=1．故选：C．6．5名大学生被分配到4个地区支教，每个地区至少分配1人，其中甲乙两名同学因专业相同，不能分配在同一地区，则不同的分配方法的种数为（）A．120B．144C．216D．240【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】先求出没有限制要求的5名大学生被分配到4个地区支教，每个地区至少分配1人的种数，再排除甲乙两名同学分配在同一地区的种数，问题得以解决．【解答】解：5个人分成满足题意的4组只有1，1，1，2，即只有一个单位有2人，其余都是1人，故有C2A4=240种，54其中甲乙两名同学分配在同一地区的方法为C1A3=24种，43故甲乙两名同学因专业相同，不能分配在同一地区，则不同的分配方法的种数为240﹣24=216种，故选：C．7．设a，b，c是正整数，且a∈[70，80），b∈[80，90），c∈[90，100]，当数据a，b，c的方差最小时，a+b+c的值为（）A．252或253B．253或254C．254或255D．267或268【考点】极差、方差与标准差．【分析】设=，则数据a，b，c的方差s2=≥[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2]，设a=b+m，c=b+n，则s2≥[m2+n2+（m+n）2]，应该使得b=85，而当m+n=0，﹣1，1时，s2有可能取得最小值．【解答】解：设=，1 s s 1 s s则数据 a ，b ，c 的方差s 2=[（a ﹣b ）2+（b ﹣c ）2+（a ﹣c ）2]， 设 a=b+m ，c=b+n ，则 s 2≥[m 2+n 2+（m+n ）2]，= ≥取 b=85，当 m+n=0，﹣1， 时， 2 有可能取得最小值，m=﹣16，n=15 时， 2 取得最小值取 b=84，当 m+n=0，﹣1， 时， 2 有可能取得最小值，m=﹣15，n=16 时， 2 取得最小值== ．．∴a+b+c=79+85+90=254，或 a+b+c=79+84+90=253． 故选：B ．8．已知函数 f （x ）=e x +ax ﹣2，其中 a ∈R ，若对于任意的 x ，x ∈[1，+∞），且 x ＜x ，都有 x •f（x ）﹣ 1 2 1 2 2 1x •f（x ）＜a （x ﹣x ）成立，则 a 的取值范围是（ ） 1 2 1 2 A ．[1，+∞） B ．[2，+∞） C ．（﹣∞，1] D ．（﹣∞，2]【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】将不等式变形为：＜ 恒成立，构造函数 h （x ）= ，转会为当 x ＜x12时，h （x ）＜h （x ）恒成立，为了求 a 的范围，所以需要构造函数，可通过求导数，根据单调性来求它的1 2范围．【解答】解：∵对于任意的 x ，x ∈[1，+∞），且 x ＜x ，都有 x •f（x ）﹣x •f（x ）＜a （x ﹣x ）成立，1212211212∴不等式等价为＜ 成立，令 h （x ）=，则不等式等价为当 x ＜x 时，h （x ）＜h （x ）恒成立，1212即函数 h （x ）在（0，+∞）上为增函数；h （x ）=，则 h′（x ）=≥0 在（0，+∞）上恒成立；∴xe x ﹣e x +2﹣a ≥0；即 a ﹣2≤xe x ﹣e x 恒成立， 令 g （x ）=xe x ﹣e x ，∴g′（x ）=xe x ＞0； ∴g （x ）在（0，+∞）上为增函数； ∴g （x ）＞g （0）=﹣1； ∴2﹣a ≥1； ∴a ≤1．∴a 的取值范围是（﹣∞，1]．A故选：C二、填空题：本大题共 6 个小题，每小题 5 分.、共 30 分.9．函数 f （x ）=cosx ，则 f′（）= ﹣ ．【考点】导数的运算．【分析】求函数的导数，根据函数的导数公式代入直接进行计算即可． 【解答】解：∵f （x ）=cosx ，∴f′（x ）=﹣sinx ，f′（）=﹣sin =﹣ ，故答案为：﹣10．定积分dx 的值为 ．【考点】定积分．【分析】根据定积分的性质，然后运用微积分基本定理计算定积分即可．【解答】解：dx=2 x 2dx=2× x 3 = ．故答案为： ．11．设（2x+1）3=a x 3+a x 2+a x+a ，则 a +a +a +a = 27 ． 321123【考点】二项式系数的性质．【分析】令 x=1 可得 a +a +a +a 的值．123【解答】解：令 x=1，a +a +a +a =33=27，0 1 2 3故答案为：2712．由数字 1，2 组成的三位数的个数是 8 （用数字作答）． 【考点】排列、组合及简单计数问题． 【分析】直接根据分步计数原理可得．【解答】解：每一位置都有 2 种排法，故有 23=8 种， 故答案为：813．在平面几何里，有勾股定理“设△ABC 的两边 AB ，AC 互相垂直，则 AB 2+AC 2=BC 2”，拓展到空间，类比 平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出正确的结论是：“设三棱锥﹣BCD 的三个侧面 ABC 、ACD 、ADB 两两互相垂直，则 △S A BC2 △+S ACD △+S ADB 22=S△BCD2 ．”【考点】类比推理．【分析】从平面图形到空间图形的类比【解答】解：建立从平面图形到空间图形的类比，于是作出猜想：△S ABC 故答案为：2+S22=S2．△S ABC△ACD△+S ADB△BCD 2+S△ACD△+SADB22=S△BCD2．14．研究函数f（x）=的性质，完成下面两个问题：①将f（2）、f（3）、f（5）按从小到大排列为f（5）＜f（2）＜f（3）；；②函数g（x）=（x＞0）的最大值为e．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】①利用导数判断在（0，e）递增，（e，+∞）递减得出f（3）＞f（5），运用作差判断f（2）﹣f （5），f（2）﹣f（3）即可得出大小．②构造函数ln（g（x））=lnx（x＞0），令h（x）=lnx（x＞0），运用导数求解极大值，得出h（x）的极大值为h（e）=lne=，结合对数求解即可．【解答】解：①∵函数f（x）=，∴f′（x）=，f′（x）==0，x=e，f′（x）=，＞0，x∈（0，e）f′（x）=＜0，x∈（e，+∞）∴在（0，e）递增，（e，+∞）递减∴f（3）＞f（5），∵f（2）﹣f（5）===＞0∴f（2）＞f（5）∵f（2）﹣f（3）==＜0∴f（3）＞f（2）故答案：f（5）＜f（2）＜f（3）；②∵函数g（x）=（x＞0），∴ln（g（x））=lnx（x＞0）（令 h （x ）= lnx （x ＞0），h′（x ）=h′（x ）=h′（x ）=（1﹣lnx ）=0，x=e（1﹣lnx ）＜0，x ＞e（1﹣lnx ）＞0，0＜x ＜e∴h （x ）= lnx （x ＞0），在（0，e ）递增，在（e ，+∞）递减，h （x ）的极大值为 h （e ）= lne= ，∴函数 g （x ）=（x ＞0）的最大值为 e ，故答案为：e三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．在数列{a }中，a =1，a =n•a ，n=2，3，4，…．n1nn ﹣1（Ⅰ）计算 a ，a ，a ，a 的值；2 3 4 5（Ⅱ）根据计算结果，猜想{a }的通项公式，并用数学归纳法加以证明．n【考点】数学归纳法；归纳推理． 【分析】（Ⅰ）利用已知条件通过 n=2，3，4，5 直接计算 a ，a ，a ，a 的值，2345（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，猜想的通{a }项公式，用数学归纳法的证明步骤直接证明即可．n【解答】解：（Ⅰ）a =1，a =n•a ，1 n n ﹣1可得 n=2 时，a =2；n=3 时，a =6；2 3a =24，a =120 4 5（Ⅱ）猜想 a =n!．n证明：①当 n=1 时，由已知，a =1!=1，猜想成立．1②假设当 n=k （k ∈N *）时猜想成立，即 a =k!．k则 n=k+1 时，a =（k+1）a =（k+1）k!=（k+1）!．k+1 k所以 当 n=k+1 时，猜想也成立．根据 ①和 ②，可知猜想对于任何 n ∈N *都成立16．已知函数 f （x ）=x 3+3x 2﹣9x ； （1）求 f （x ）的单调区间；（2）若函数 f （x ）在区间[﹣4，c]上的最小值为﹣5，求 c 的取值范围． 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性． 【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可； 2）通过讨论 c 的范 围，求出函数的最小值，从而求出 c 的具体范围． 【解答】解：（1）函数 f （x ）的定义域是 R ， f′（x ）=3x 2+6x ﹣9，令 f′（x ）＞0，解得：x ＞1 或 x ＜﹣3，令f′（x）＜0，解得：﹣3＜x＜1，∴f（x）在（﹣∞，﹣3）递增，在（﹣3，1）递减，在（1，+∞）递增；（2）由f（﹣4）=20结合（1）得：c≥1时，函数f（x）在[﹣4，c]上的最小值是f（1）=﹣5，﹣4＜c＜1时，函数f（x）在区间[﹣4，c]上的最小值大于﹣5，故c的范围是[1，+∞）．17．甲参加A，B，C三个科目的学业水平考试，其考试成绩合格的概率如表，假设三个科目的考试甲是否成绩合格相互独立．科目A科目B科目C甲（Ⅰ）求甲至少有一个科目考试成绩合格的概率；（Ⅱ）设甲参加考试成绩合格的科目数量为X．求X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）记“甲至少有一个科目考试成绩合格”为事件M，利用对立事件概率计算公式能求出甲至少有一个科目考试成绩合格的概率．（Ⅱ）由题意得X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能出X的分布列和EX．【解答】解：（Ⅰ）记“甲至少有一个科目考试成绩合格”为事件M，则P（）=（1﹣）（1﹣）（1﹣）=，∴甲至少有一个科目考试成绩合格的概率：P（M）=1﹣P（）=1﹣．（Ⅱ）由题意得X的可能取值为0，1，2，3，P（X=0）=（1﹣）（1﹣）（1﹣）=，P（X=1）=++（1﹣）×，P（X=3）=，，P（X=2）=1﹣P（X=0）﹣P（X=1）﹣P（X=3）=∴X的分布列为：123X0PEX==．18．口袋中装有2个白球和n（n≥2，n∈N*）个红球，每次从袋中摸出2个球（每次摸球后把这2个球放回口袋中），若摸出的2个球颜色相同则为中奖，否则为不中奖．（Ⅰ）用含n的代数式表示1次摸球中奖的概率；（Ⅱ）若n=3，求3次摸球中恰有1次中奖的概率；（Ⅲ）记3次摸球中恰有1次中奖的概率为f（p），当f（p）取得最大值时，求n的值．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】（Ⅰ）设“1次摸球中奖”为事件A，利用互斥事件概率加法公式能求出用含n的代数式表示1次摸球中奖的概率．（Ⅱ）由（Ⅰ）得若n=3，则1次摸球中奖的概率为p=，由此能求出3次摸球中，恰有1次中奖的概率．（Ⅲ）设“1次摸球中奖”的概率为p，则3次摸球中，恰有1次中奖的概率为f（p）=3p3﹣6p2+3p，（0＜p ＜1），由此利用导数性质能求出当f（p）取得最大值时，n的值．【解答】解：（Ⅰ）设“1次摸球中奖”为事件A，则P（A）==．（Ⅱ）由（Ⅰ）得若n=3，则1次摸球中奖的概率为p=，∴3次摸球中，恰有1次中奖的概率为P（1）=3（Ⅲ）设“1次摸球中奖”的概率为p，则3次摸球中，恰有1次中奖的概率为：f（p）==3p3﹣6p2+3p，（0＜p＜1），∵f′（p）=9p2﹣12p+3=3（p﹣1）（3p﹣1），∴当p∈（0，）时，f（p）取得最大值，令=，解得n=2或n=1（舍），∴当f（p）取得最大值时，n的值为2．19．已知函数f（x）=x2e x﹣b，其中b∈R．=3×=．（Ⅰ）证明：对于任意x，x∈（﹣∞，0]，都有f（x）﹣f（x）≤1212（Ⅱ）讨论函数f（x）的零点个数（结论不需要证明）．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）利用导数转化为求解最大值，最小值的差证明．；（Ⅱ）根据最大值为；f（﹣2）=分类当b＜0时，当b=0时，当b=﹣b，f（x）的最小值为：﹣b，时，当0＜b＜时，当b＞时，判断即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域R，且f′（x）=x（x+2）e x，令f′（x）=0则x=0，或x=﹣2，12f′（x）=x（x+2）e x，x（﹣∞，﹣2）﹣2 f′（x）+0（﹣2，0）﹣f（x）增函数极大值减函数﹣b，∴f（x）在区间（﹣∞，0]上的最大值为；f（﹣2）=∵x∈（﹣∞，0]，∴f（x）=x2e x﹣b≥﹣b，∴f（x）的最小值为：﹣b，∴对于任意x，x∈（﹣∞，0]，都有f（x）﹣f（x）≤f（x）﹣f（x）≤；1212最大值（Ⅱ）f′（x）=x（x+2）e x，函数f（x）=x2e x﹣b，当b＜0时，函数f（x）=x2e x﹣b＞0恒成立，函数f（x）的零点个数为：0当b=0时，函数f（x）=x2e x，函数f（x）的零点个数为：1当b=时，函数f（x）的零点个数为；2，当0＜b＜时，函数f（x）的零点个数为：3，当b＞时，函数f（x）的零点个数为：1，20．设L为曲线C：y=e x在点（0，1）处的切线．（Ⅰ）证明：除切点（0，1）之外，曲线C在直线L的上方；（Ⅱ）设h（x）=e x﹣ax+ln（x+1），其中a∈R，若h（x）≥1对x∈[0，+∞）恒成立，求a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，计算f′（0），从而求出切线方程即可；（Ⅱ）求出h（x）的导数，通过讨论a的范围，单调函数的单调区间，从而求出a的具体范围即可．【解答】解：（Ⅰ）设f（x）=e x，则f′（x）=e x，∴f′（0）=1，L的方程是y=x+1，令g（x）=f（x）﹣（x+1），则除切点之外，曲线C在直线L的上方等价于g（x）＞0，（x∈R，x≠0），g（x）满足g（0）=0，且g′（x）=f′（x）﹣1=e x﹣1，当x＜0时，g′（x）＜0，故g（x）递减，当x＞0时，g′（x）＞0，故g（x）递增，∴g（x）＞g（0）=0，∴除切点（0，1）之外，曲线C在直线L的上方；﹣a，（Ⅱ）h（x）的定义域是{x|x＞﹣1}，且h′（x）=e x+①a≤2时，由（Ⅰ）得：e x≥x+1，∴h′（x）=e x+﹣a≥x+1+﹣a≥2﹣a≥0，∴h（x）在[0，+∞）递增，∴h（x）≥h（0）=1恒成立，符合题意；②a＞2时，由x∈[0，+∞），且h′（x）的导数h″（x）=≥0，∴h′（x）在区间[0，+∞）递增，∵h′（0）=2﹣a＜0，h′（lna）=＞0，于是存在x∈（0，+∞），使得h′（x）=0，00∴h（x）在区间（0，x）上递减，在区间（x，+∞）递增，00∴h（x）＜h（0）=1，此时，h（x）≥1不会恒成立，不合题意，综上，a的范围是（﹣∞，2]．。