2015虹口一模数学

2015年##市六区联考初三一模数学试卷〔满分150分,时间100分钟〕 2015.1一. 选择题〔本大题满分4×6＝24分〕1. 如果把Rt ABC ∆的三边长度都扩大2倍,那么锐角A 的四个三角比的值〔 〕 A. 都扩大到原来的2倍； B. 都缩小到原来的12； C. 都没有变化； D. 都不能确定；2. 将抛物线2(1)y x =-向左平移2个单位,所得抛物线的表达式为〔 〕 A. 2(1)y x =+； B. 2(3)y x =-； C. 2(1)2y x =-+； D. 2(1)2y x =--；3. 一个小球被抛出后,如果距离地面的高度h 〔米〕和运行时间t 〔秒〕的函数解析式为25101h t t =-++,那么小球到达最高点时距离地面的高度是〔 〕A. 1米；B. 3米；C. 5米；D. 6米；4. 如图,已知AB ∥CD ∥EF ,:3:5AD AF =,12BE =,那么CE 的长等于〔 〕 A. 2； B. 4； C.245； D. 365； 5. 已知在△ABC 中,AB AC m ==,B α∠=,那么边BC 的长等于〔 〕A. 2sin m α⋅；B. 2cos m α⋅；C. 2tan m α⋅；D. 2cot m α⋅； 6. 如图,已知在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,2BC AD =,如果对角线AC 与BD 相交于点O ,△AOB 、△BOC 、△COD 、△DOA 的面积分别记作1S 、2S 、3S 、4S ,那么下列结论中,不正确的是〔 〕A. 13S S =；B. 242S S =；C. 212S S =；D. 1324S S S S ⋅=⋅； 二. 填空题〔本大题满分4×12＝48分〕 7. 已知34x y =,那么22x yx y-=+； 8. 计算：33()22a ab -+-=； 9. 已知线段4a cm =,9b cm =,那么线段a 、b 的比例中项等于cm 10. 二次函数2253y x x =--+的图像与y 轴的交点坐标为； 11. 在Rt ABC ∆中,90C ∠=︒,如果6AB =,2cos 3A =,那么AC =； 12. 如图,已知,D E 分别是△ABC 的边BC 和AC 上的点,2AE =,3CE =,要使DE ∥AB ,那么:BC CD 应等于；13. 如果抛物线2(3)5y a x =+-不经过第一象限,那么a 的取值X 围是； 14. 已知点G 是面积为227cm 的△ABC 的重心,那么△AGC 的面积等于；15. 如图,当小杰沿着坡度1:5i =的坡面由B 到A 直行走了26米时,小杰实际上升的高度AC =米〔结论可保留根号〕16. 已知二次函数的图像经过点(1,3),对称轴为直线1x =-,由此可知这个二次函数的图像一定经过除点(1,3)外的另一点,这点的坐标是；17. 已知不等臂跷跷板AB 长为3米,当AB 的一端点A 碰到地面时〔如图1〕,AB 与地面的夹角为30°；当AB 的另一端点B 碰到地面时〔如图2〕,AB 与地面的夹角的正弦值为13,那么跷跷板AB 的支撑点O 到地面的距离OH =米18. 把一个三角形绕其中一个顶点逆时针旋转并放大或缩小〔这个顶点不变〕,我们把这样的三角形运动称为三角形的T-变换,这个顶点称为T-变换中心,旋转角称为T-变换角,三角形与原三角形的对应边之比称为T-变换比；已知△ABC 在直角坐标平面内,点(0,1)A -,(3,2)B -,(0,2)C ,将△ABC 进行T-变换,T-变换中心为点A ,T-变换角为60°,T-变换比为23,那么经过T-变换后点C 所对应的点的坐标为；三. 解答题〔本大题满分10＋10＋10＋10＋12＋12＋14＝78分〕19. 已知在直角坐标平面内,抛物线26y x bx =++经过x 轴上两点,A B ,点B 的坐标为(3,0),与y 轴相交于点C ；〔1〕求抛物线的表达式； 〔2〕求△ABC 的面积；20. 如图,已知在△ABC 中,AD 是边BC 上的中线,设BA a =,BC b =； 〔1〕求AD 〔用向量,a b 的式子表示〕〔2〕如果点E 在中线AD 上,求作BE 在,BA BC 方向上的分向量；〔不要求写作法,但要保留作图痕迹,并指出所作图中表示结论的分向量〕21. 如图,某幢大楼的外墙边上竖直安装着一根旗杆CD ,小明在离旗杆下方大楼底部E 点24米的点A 处放置一台测角仪,测角仪的高度AB 为1.5米,并在点B 处测得旗杆下端C 的仰角为40°,上端D的仰角为45°,求旗杆CD 的长度；〔结果精确到0.1米,参考数据：sin 400.64︒≈,cos400.77︒≈,tan 400.84︒≈〕22. 用含30°、45°、60°这三个特殊角的四个三角比与其组合可以表示某些实数,如：12可表示为1sin 30cos60tan 45sin 302=︒=︒=︒⋅︒=…；仿照上述材料,完成下列问题：〔1〕用含30°、45°、60°这三个特殊角的三角比或其组合表示32,即 填空：32====…； 〔2〕用含30°、45°、60°这三个特殊角的三角比,结合加、减、乘、除四种运算,设计一个等式,要求：等式中须含有这三个特殊角的三角比,上述四种运算都至少出现一次,且这个等式的结果等于1,即填空：1=23. 已知如图,D 是△ABC 的边AB 上一点,DE ∥BC ,交边AC 于点E ,延长DE 至点F ,使EF DE =,联结BF ,交边AC 于点G ,联结CF〔1〕求证：AE EGAC CG=； 〔2〕如果2CF FG FB =⋅,求证：CG CE BC DE ⋅=⋅24. 已知在平面直角坐标系xOy 中,二次函数2y ax bx =+的图像经过点(1,3)-和点(1,5)-； 〔1〕求这个二次函数的解析式；〔2〕将这个二次函数的图像向上平移,交y 轴于点C ,其纵坐标为m ,请用m 的代数式表示平移后函数图象顶点M 的坐标；〔3〕在第〔2〕小题的条件下,如果点P 的坐标为(2,3),CM 平分PCO ∠,求m 的值；25. 已知在矩形ABCD 中,P 是边AD 上的一动点,联结BP 、CP ,过点B 作射线交线段CP 的延长线于点E ,交边AD 于点M ,且使得ABE CBP ∠=∠,如果2AB =,5BC =,AP x =,PM y =； 〔1〕求y 关于x 的函数解析式,并写出它的定义域； 〔2〕当4AP =时,求EBP ∠的正切值；〔3〕如果△EBC 是以EBC ∠为底角的等腰三角形,求AP 的长；2015年##市六区联考初三一模数学试卷参考答案一. 选择题1. C2. A3. D4. C5. B6. B 二.填空题7.15 8. 1322a b -- 9. 6 10. (0,3) 11. 4 12. 5313. 3a <- 14. 9 15.26 16. (3,3)- 17.3518. (3,0)- 三. 解答题19.〔1〕256y x x =-+； 〔2〕(2,0)A ,(3,0)B ,(0,6)C ,3ABC S ∆=；20.〔1〕12b a -； 〔2〕略； 21. 3.84CD m ≈22.〔1〕sin 60︒,cos30︒,tan 45sin60︒⋅︒； 〔2〕(sin 30cos60)tan 45cot 45︒+︒⋅︒÷︒； 23. 略；24.〔1〕24y x x =-； 〔2〕(2,4)M m -； 〔3〕92m =；25.〔1〕4y x x =-〔25x <≤〕； 〔2〕3tan 4EBP ∠=； 〔3〕53+；崇明县2014学年第一学期教学质量调研测试卷九年级数学〔测试时间： 100分钟,满分：150分〕一、选择题〔本大题共6题,每题4分,满分24分〕1、已知52a b =,那么下列等式中,不一定正确的是………………………………〔 〕 <A>25a b = <B>52a b = <C>7a b += <D>72a b b += 2、在Rt ABC ∆中,90C ∠=︒,A ∠、B ∠、C ∠所对的边分别为a 、b 、c ,下列等式中不一定成立的是 ……………………………………………………………………〔 〕<A>tan b a B = <B>cos a c B = <C>sin ac A =<D>cos a b A =3、如果二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示,那么下列判断中,不正确的是………〔 〕<A>0a ><B>0b ><C>0c <<D>240b ac ->4、将二次函数2x y =的图像向下平移1个单位,再向右平移1个单位后所得图像的函数表达式为…………………………………………………………………………〔 〕 <A>2(1)1y x =++<B>2(1)1y x =+-<C>2(1)1y x =-+<D>2(1)1y x =--5、下列说法正确的是……………………………………………………〔 〕<A> 相切两圆的连心线经过切点 <B> 长度相等的两条弧是等弧<C> 平分弦的直径垂直于弦<D> 相等的圆心角所对的弦相等6、如图,点D 、E 、F 、G 为ABC ∆两边上的点,且DE FG BC ∥∥,若DE 、FG 将ABC ∆的面积三等分,那么下列结论正确的是 ………………………………………〔 〕<A>14DE FG = <B>1DF EGFB GC== <C>ADFB<D>AD DB〔第3题图〕〔第6题图〕二、填空题〔本大题共12题,每题4分,满分48分〕7、已知点P 是线段AB 的黄金分割点()AP PB >,如果2AB =cm,那么线段AP =cm ．8、如果两个相似三角形的面积比为1:4,那么它们的周长比为． 9、如果二次函数22(1)51y m x x m =-++-的图像经过原点,那么m =． 10、抛物线221y x =-在y 轴右侧的部分是〔填"上升〞或"下降〞〕．11、如果将抛物线23y x =平移,使平移后的抛物线顶点坐标为(2,2),那么平移后的抛物线的表达式为．12、已知抛物线2y x bx c =++经过点(0,5)A 、(4,5)B ,那么此抛物线的对称轴是．13、某飞机的飞行高度为1500m,从飞机上测得地面控制点的俯角为60°,此时飞机与这地面控制点的距离为m ．14、已知正六边形的半径为2cm,那么这个正六边形的边心距为cm ．15、如图,已知在ABC ∆中,90ACB ∠=︒,6AC =,点G 为重心,GH BC ⊥,垂足为点H ,那么GH =． 16、半径分别为8cm 与6cm 的1O 与2O 相交于A 、B 两点,圆心距O 1O 2的长为10cm,那么公共弦AB 的长为cm ．17、如图,水库大坝的横截面是梯形,坝顶AD 宽5米,坝高10米,斜坡CD 的坡角为45︒,斜坡AB 的坡度1:1.5i =,那么坝底BC 的长度为米．18、如图,将边长为6cm 的正方形ABCD 折叠,使点D 落在AB 边的中点E 处,折痕为FH ,点C 落在Q处,EQ 与BC 交于点G ,那么EBG ∆的周长是cm ．〔第15187题,19、〔本题满分10分〕计算：2014cos301(cot 45)sin 60︒-+-︒+︒20、〔本题满分10分,其中第<1>小题5分,第<2>小题5分〕已知：如图,□ABCD 中,E 是AD 中点,BE 交AC 于点F ,设BA a =、BC b =． 〔1〕用,a b 的线性组合表示FA ；〔2〕先化简,再直接在图中求作该向量：1151()()()2424a b a b a b -+-+++．21、〔本题满分10分,其中第<1>小题6分,第<2>小题4分〕ABC DEF G CFEDABC ABCDFGH QE如图,在Rt ABC ∆中,90C ∠=︒,点D 是BC 边上的一点,6CD =,3cos 5ADC ∠=,2tan 3B =．〔1〕求AC 和AB 的长；〔2〕求sin BAD ∠的值．22、〔本题满分10分,其中第<1>小题5分,第<2>小题5分〕 如图,轮船从港口A 出发,沿着南偏西15︒的方向航行了100海里到达B 处,再从B 处沿着北偏东75︒的方向航行200海里到达了C 处． 〔1〕求证：AC AB ⊥；〔2〕轮船沿着BC 方向继续航行去往港口D 处,已知港口D 位于港口A 的正东方向,求轮 船还需航行多少海里．23、〔本题满分12分,其中第<1>小题6分,第<2>小题6分〕如图,在梯形ABCD 中,AD BC ∥,AD AB =,2ABC C ∠=∠,E 与F 分别为边AD 与DC 上的两点,且有EBF C ∠=∠．（1）求证：::BE BF BD BC =；（2）当F 为DC 中点时,求:AE ED 的比值．24、〔本题满分12分,其中每小题各4分〕如图,已知抛物线258y x bx c =++经过直线112y x =-+与坐标轴的两个交点A 、B ,点C 为抛物线上的一点,且90ABC ∠=︒． 〔1〕求抛物线的解析式；〔2〕求点C 坐标； 〔3〕直线112y x =-+上是否存在点P ,使得BCP ∆与OAB ∆相似,若存在,请直接写出P 点的坐标；若不存在,请说明理由． 25、〔本题满分14分,其中第<1>小题5分,第<2>小题5分,已知在ABC ∆中,5AB AC ==,6BC =,O 为边AB 上一动点为半径的圆交BC 于点D ,设OB x =,DC y =． 〔1〕如图１,求y 关于x 的函数关系式与定义域；〔2〕当⊙O 与线段AC 有且只有一个交点时,求x 的取值X 〔3〕如图２,若⊙O 与边AC 交于点E 当DEC ∆与ABC ∆相似时,求x 的值.2014学年 DDABCEF北AB C东一. 选择题1. 将抛物线22y x =-向右平移一个单位,再向上平移2个单位后,抛物线的表达式为〔 〕 A. 22(1)2y x =--+；B. 22(1)2y x =---； C. 22(1)2y x =-++；D. 22(1)2y x =-+-；2. 如图,平行四边形ABCD 中,E 是边BC 上的点,AE 交BD 于点F ,如果:BE BC =2:3,那么下列各式错误的是〔 〕A.2BE EC =；B. 13EC AD =； C.23EF AE =；D. 23BF DF =； 3. 已知Rt △ABC 中,90C ∠=︒,CAB α∠=,7AC =,那么BC 为〔 〕 A. 7sin α；B. 7cos α；C. 7tan α；D. 7cot α；4. 如图,在四边形ABCD 中,AD ∥BC ,如果添加下列条件,不能使得△ABC ∽△DCA 成立的是〔 〕A. BAC ADC ∠=∠；B. B ACD ∠=∠；C. 2AC AD BC =⋅；D.DC ABAC BC=； 5. 已知二次函数222y ax x =-+〔0a >〕,那么它的图像一定不经过〔 〕 A. 第一象限；B. 第二象限；C. 第三象限；D. 第四象限；6. 如图,在△ABC 中,D 、E 分别是AB 、AC 上的点,且DE ∥BC ,如果:1:4AE EC =, 那么:ADE BEC S S ∆∆=〔 〕A. 1:24；B. 1:20；C. 1:18；D. 1:16； 二. 填空题 7. 如果53a b =,那么a ba b -+的值等于； 8. 抛物线2(1)2y x =-+的顶点坐标是；9. 二次函数245y x x =--的图像的对称轴是直线； 10. 计算：cot30sin60︒-︒=；11. 在某一时刻,测得一根高为1.8m 的竹竿的影长为3m ,同时测得一根旗杆的影长为25m ,那么这根旗杆的高度为m ；12. 若点1(3,)A y -、2(0,)B y 是二次函数22(1)1y x =--图像上的两点,那么1y 与2y 的 大小关系是〔填12y y >,12y y =或12y y <〕；13. 如图,若1l ∥2l ∥3l ,如果6DE =,2EF =, 1.5BC =,那么AC =；14. 如图是拦水坝的横断面,斜坡AB 的高度为6米,斜面的坡比为1:2,则斜坡AB 的长为米〔保留根号〕；15. 如图,正方形ABCD 被分割成9个全等的小正方形,P 、Q 是其中两个小正方形的顶 点,设AB a =,AD b =,则向量PQ =〔用向量a 、b 来表示〕；16. 如图,△ABC 中,90BAC ∠=︒,G 点是△ABC 的重心,如果4AG =,那么BC 的长为；17. 如图,已知4tan 3O =,点P 在边OA 上,5OP =,点M 、N 在边OB 上,PM PN =, 如果2MN =,那么PM =；18. 如图,在△ABC 中,90ABC ∠=︒,6AB =,8BC =,点M 、N 分别在边AB 、BC上,沿直线MN 将△ABC 折叠,点B 落在点P 处,如果AP ∥BC 且4AP =,那么BN =；三. 解答题19. 已知二次函数2y ax bx c =++〔a 、b 、c 为常数,且0a ≠〕经过A 、B 、C 、D 四个点,其中横坐标x 与纵坐标y 的对应值如下表：A B CDx1- 0 13 y1-353〔1〕求二次函数解析式； 〔2〕求△ABD 的面积；20. 如图,在等腰梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AB DC =,AC 与BD 交于点O ,:1:2AD BC =； 〔1〕设BA a =,BC b =,试用a ,b 表示BO ； 〔2〕先化简,再求作：3(2)2()2a b a b +-+〔直接作在原图中〕 21. 如图,在电线杆上的C 处引拉线CE 、CF 固定电线杆,拉线CE 和地面成60°角,在离电线杆6米处安置测角仪AB ,在A 处测得电线杆上C 处的仰角为23°,已知测角仪AB 的高为1.5米,求拉线CE 的长；[已知5sin 2313︒≈,12cos 2313︒≈,5tan 2312︒≈,结果保留根号] 22. 如图,MN 经过△ABC 的顶点A ,MN ∥BC ,AM AN =,MC 交AB 于D ,NB 交AC 于E ； 〔1〕求证：DE ∥BC ；〔2〕联结DE ,如果1DE =,3BC =,求MN 的长；23. 已知菱形ABCD 中,8AB =,点G 是对角线BD 上一点,CG 交BA 的延长线于点F ；〔1〕求证：2AG GE GF =⋅； 〔2〕如果12DG GB =,且AG BF ⊥,求cos F ； 24. 已知如图,抛物线21:4C y ax ax c =++的图像开口向上,与x 轴交于点A 、B 〔A 在B 的左边〕,与y 轴交于点C ,顶点为P ,2AB =,且OA OC =； 〔1〕求抛物线1C 的对称轴和函数解析式；〔2〕把抛物线1C 的图像先向右平移3个单位,再向下平移m 个单位得到抛物线2C ,记顶点为M ,并与y 轴交于点(0,1)F -,求抛物线2C 的函数解析式；〔3〕在〔2〕的基础上,点G 是y 轴上一点,当△APF 与△FMG 相似时,求点G 的坐标； 25. 如图,梯形ABCD 中,AD ∥BC ,对角线AC BC ⊥,9AD =,12AC =,16BC =,点E 是边BC 上的一个动点,EAF BAC ∠=∠,AF 交CD 于点F ,交BC 延长线于点G ,设BE x =； 〔1〕试用x 的代数式表示FC ； 〔2〕设FGy EF=,求y 关于x 的函数关系式,并写出定义域； 〔3〕当△AEG 是等腰三角形时,直接写出BE 的长； 参考答案1、A2、C3、C4、D5、C6、B7、148、〔1,2〕 9、x ＝2 10、32 11、15 12、12y y > 13、6 14、6515、16、12 171718、19、 20、 21、 22、 23、 24、 25、所以,BE ＝72014学年##市宝山区初三一模数学试卷一. 选择题〔24分〕1. 如图,在直角△ABC 中,90C ∠=︒,1BC =,2AC =下列判断正确的是〔 〕A. 30A ∠=︒；B. 45A ∠=︒；C. cot 2A =； D. tan 2A =； 2. 如图,△ABC 中,D 、E 分别为边AB 、AC 上的点,且DE ∥BC ,下列判断错误 的是〔 〕A. AD AE DB EC =；B.AD DE DB BC =；C. AD AE AB AC =；D.AD DE AB BC=； 3. 如果在两个圆中有两条相等的弦,那么〔 〕A. 这两条弦所对的圆心角相等；B. 这两条线弦所对的弧相等；C. 这两条弦都被与它垂直的半径平分；D. 这两条弦所对的弦心距相等；4. 已知非零向量a 、b 、c ,下列命题中是假命题的是〔 〕A. 如果2a b =,那么a ∥b ；B. 如果2a b =-,那么a ∥b ；C. 如果||||a b =,那么a ∥b ；D. 如果2a b =,2b c =,那么a ∥c ；5. 已知O 半径为3,M 为直线AB 上一点,若3MO =,则直线AB 与O 的位置关系为〔 〕A. 相切；B. 相交；C. 相切或相离；D. 相切或相交；6. 如图边长为3的等边△ABC 中,D 为AB 的三等分点〔12AD BD =〕,三角形边上的 动点E 从点A 出发,沿A C B →→的方向运动,到达点B 时停止,设点E 运动的路程为x ,2DE y =,则y 关于x 的函数图像大致为〔 〕A. B. C. D. 二. 填空题〔48分〕7. 线段b 是线段a 和c 的比例中项,若1a =,2b =,则c =；8. 两个相似三角形的相似比为2:3,则它们的面积比为；9. 已知两圆半径分别为3和7,圆心距为d ,若两圆相离,则d 的取值X 围是；10. 已知△ABC 的三边之比为2:3:4,若△DEF 与△ABC 相似,且△DEF 的最大边长为20,则△DEF 的周长为；11. 在△ABC 中,cot A =cos B =那么C ∠=； 12. B 在A 北偏东30°方向〔距A 〕2千米处,C 在B 的正东方向〔距B 〕2千米处,则C 和A 之间的距离为千米；13. 抛物线2(3)4y x =--+的对称轴是；14. 不经过第二象限的抛物线2y ax bx c =++的开口方向向；15. 已知点11(,)A x y 、22(,)B x y 为函数22(1)3y x =--+的图像上的两点,若121x x >>,则1y 2y ； 16. 如图,D 为等边△ABC 边BC 上一点,60ADE ∠=︒,交AC 于E ,若2BD =,3CD =,则CE =；17. 如图,O 的直径AB 垂直弦CD 于M ,且M 是半径OB 的中点,CD =则直径AB 的长为；18. 如图直角梯形ABCD 中,AD ∥BC ,2CD =,AB BC =,1AD =,动点M 、N 分别在AB 边和BC 的延长线运动,而且AM CN =,联结AC 交MN 于E ,MH ⊥AC 于H ,则EH =；三. 解答题〔78分〕19. 计算：2sin 602cot 30cos 602cos 45tan 60︒+︒-︒︒+︒； 20. 如图,已知M 、N 分别是平行四边形ABCD 边DC 、BC 的中点,射线AM 和射线BC 相交于E ,设AB a =,AD b =,试用a 、b 表示AN ,AE ；〔直接写出结果〕21. 已知一个二次函数的图像经过点(1,0)A 和点(0,6)B ,(4,6)C ,求这个抛物线的表达式 以与该抛物线的顶点坐标；22. 如图,D 为等边△ABC 边BC 上一点,DE ⊥AB 于E ,若:2:1BD CD =,DE =求AE ；23. 如图,P 为O 的直径MN 上一点,过P 作弦AC 、BD 使APM BPM ∠=∠,求证： PA PB =；24. 如图,正方形ABCD 中,〔1〕E 为边BC 的中点,AE 的垂直平分线分别交AB 、AE 、CD 于G 、F 、H ,求GF FH ； 〔2〕E 的位置改动为边BC 上一点,且BE k EC =,其他条件不变,求GF FH的值； 25. 〔1〕数学小组的单思稿同学认为形如的抛物线2y ax bx c =++,系数a 、b 、c 一旦确定,抛物线的形状、大小、位置就不会变化,所以称数a 、b 、c 为抛物线2y ax bx c =++ 的特征数,记作{,,}a b c ；请求出与y 轴交于点(0,3)C -的抛物线22y x x k =-+在单同学 眼中的特征数；〔2〕同数学小组的尤恪星同学喜欢将抛物线设成2()y a x m k =++的顶点式,因此坚持称 a 、m 、k 为抛物线的特征数,记作{,,}a m k ；请求出上述抛物线在尤同学眼中的特征数； 〔3〕同一个问题在上述两位同学眼中的特征数各不相同,为了让两人的研究保持一致,同组的董和谐将上述抛物线表述成：特征数为{,,}u v w 的抛物线沿平行于某轴方向平移某单位 后的图像,即此时的特征数{,,}u v w 无论按单思稿同学还是按尤恪星同学的理解做出的结果 是一样的,请你根据数学推理将董和谐的表述完整地写出来；〔4〕在直角坐标系XOY 中,上述〔1〕中的抛物线与x 轴交于A 、B 两点〔A 在B 的左 边〕,请直接写出△ABC 的重心坐标；26. 如图在△ABC 中,10AB BC ==,AC =D 为边AB 上一动点〔D 和A 、B不重合〕,过D 作DE ∥BC 交AC 于E ,并以DE 为边向BC 一侧作正方形DEFG ,设AD =x ,〔1〕请用x 的代数式表示正方形DEFG 的面积,并求出当边FG 落在BC 边上时的x 的值； 〔2〕设正方形DEFG 与△ABC 重合部分的面积为y ,求y 关于x 的函数与其定义域；〔3〕点D 在运动过程中,是否存在D 、G 、B 三点中的两点落在以第三点为圆心的圆上 的情况？若存在,请直接写出此时AD 的值,若不存在,则请说明理由；2014学年第一学期长宁区学习能力诊断卷初三数学 试卷〔时间100分钟 满分150分〕一. 选择题〔本大题共6题,每题4分,满分24分〕1.如果两个相似三角形的面积比是1:6,那么它们的相似比是〔 〕A ．1:36 B.1:6 C . 1:3 D . 1: 6 2. 在Rt △ABC 中,已知∠C =90°,AC =3,BC =4,那么∠A 的余弦值等于〔 〕A ．35B . 45C . 34D . 433. 如图,点A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 、K 都是7×8方格纸中的格点,为使△DE M ∽△ABC 〔点D 和点A 对应,点B 和E 对应〕,则点M 对应是F 、G 、H 、K 四点中的〔 〕A . FB . GC . KD . H第3题图4. 已知两圆半径分别是3和4,若两圆内切,则两圆的圆心距为〔 〕A . 1或7B . 1C . 7D . 25. 抛物线22212,2,2y x y x y x ==-=共有的性质是〔 〕 A . 开口向下; B . 对称轴是y 轴C . 都有最低点D . y 的值随x 的增大而减小6. 如图,动点P 从点A 出发,沿线段AB 运动至点B 后,立即按原路返回,点P 在运动的过程中速度不变,则以点B 为圆心,线段B P 长为半径的圆的面积S 与点P 的运动时间t 之间的函数图象大致为图中的< >A .B .C .D .二. 填空题〔本大题共12题,每题4分,满分48分〕7. 已知线段a =2c m,c =8c m,则线段a 、c 的比例中项是_________c m.8. 计算：3()3a b a --=_________.9. 已知⊙P 在直角坐标平面内,它的半径是5,圆心P 〔-3,4〕,则坐标原点O 与⊙P 的位置位置关系是_________.10. 如果圆心O 到直线l 的距离等于⊙O 的半径,那么直线l 和⊙O 的公共点有________个.11. 抛物线23(1)2y x =--+的顶点坐标是________.12.抛物线223y x =-向左移动3个单位后所得抛物线解析式是________.13. 已知二次函数227y x x =+-的一个函数值是8,那么对应自变量x 的值是_________.14. 已知二次函数2(1)2y ax a x =-+-,当x >1时,y 的值随x 的增大而增大,当x <1时,y 的值随x 的增大而减小,则实数a 的值为_________.15. 某企业今年第一月新产品的研发资金为100万元,以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x ,则该厂今年第三月新品研发资金y 〔元〕关于x 的函数关系式为y =_________.16. 如图所示,铁路的路基横断面都是等腰梯形,斜坡AB 的坡度为3,斜坡AB 的水平宽度BE =33m ,则斜坡AB =_________m.17. 如图,已知AD 是△ABC 的中线,G 是△ABC 的重心,联结BG 并延长交AC 于点E ,联结DE ,则S △ABC ：S △GED 的值为_________.18. 如图,正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转,得到正方形'''AB C D .当两个正方形重叠部分的面积是原正方形面积的14时,1sin '2B AD ∠ _________. 第16题图 第17题图 第18题图三. <本大题共7题,满分78分>19.〔本题满分10分〕计算：201(sin 30)(2015tan 45).sin 60cos60o o o o --+-- 20. 〔本题满分10分〕 如图,已知O 为△ABC 内的一点,点D 、E 分别在边AB 、AC 上,且11,.34AD AE DB AC ==设,,OB m OC n ==试用m 、n 表示DE .21. 〔本题满分10分〕如图,AB 是⊙O 的弦,点C 、D 在弦AB 上,且AD =BC ,联结OC 、OD .求证：△OCD 是等腰三角形.22. 〔本题满分10分〕如图,在△ABC 中,AD 是BC 上的高,点G 在AD 上,过点G 作BC 的平行线分别与AB 、AC 交于P 、Q 两点,过点P 作PE ⊥BC 于点E ,过点Q 作QF ⊥BC 于点F . 设AD =80,BC =120,当四边形PEFQ 为正方形时,试求正方形的边长.23. 〔本题满分12分〕如图,A 、B 两地之间有一座山,汽车原来从A 地到B 地须经C地沿折线A -C -B 行驶,现开通隧道后,汽车直接沿直线AB 行驶.已知AC =120千米,∠A =30°,∠B =135°,则隧道开通后,汽车从A地到B 地比原来少走多少千米？〔结果保留根号〕24. 〔本题满分12分〕如图,已知平面直角坐标平面上的△ABC ,AC =CB ,∠ACB =90°,且A 〔-1,0〕,B 〔m,n 〕C 〔3,0〕,若抛物线23y ax bx =+-经过A 、C 两点.（1） 求a 、b 的值（2） 将抛物线向上平移若干个单位得到的新抛物线恰好经过点B ,求新抛物线的解析式.（3） 设〔2〕中的新抛物线的顶点为P 点,Q 为新抛物线上P 点至B 点之间一点,以点Q 为圆心画圆,当⊙Q 与x 轴和直线BC 都相切时,联结PQ 、BQ ,求四边形ABQP 的面积.25. 〔本题满分14分〕如图,已知△ABC 是等边三角形,AB =4,D 是AC 边上一动点〔不与A 、C 重合〕,EF 垂直平分BD ,分别交AB 、BC 于点E 、F ,设CD =x ,AE =y .（1） 求证：△AED ∽△CDF ；（2） 求y 关于x 的函数关系式,并写出定义域；（3） 过点D 作DH ⊥AB ,垂足为点H ,当EH =1时,求线段CD 的长.F E D2014学年嘉定区九年级第一次质量调研数学试卷〔满分150分,考试时间100分钟〕考生注意：1.本试卷含三个大题,共25题；2.答题时,考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答,在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3.除第一、二大题外,其余各题如无特别说明,都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：〔本大题共6题,每小题4分,满分24分〕[下列各题的四个选项中,有且只有一个选项是正确的,选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．]1．对于抛物线2)2(-=x y ,下列说法正确的是〔▲〕〔A 〕顶点坐标是)0,2(；〔B 〕顶点坐标是)2,0(；〔C 〕顶点坐标是)0,2(-；〔D 〕顶点坐标是)2,0(-．2．已知二次函数bx ax y +=2的图像如图1所示,那么a 、b 的符号为〔▲〕〔A 〕0>a ,0>b ；〔B 〕0<a ,0>b ；〔C 〕0>a ,0<b ；〔D 〕0<a ,0<b ．3．在Rt △ABC 中,︒=∠90C ,a 、b 、c 分别是A ∠、B ∠、C ∠的对边,下列等式中正确的是〔▲〕〔A 〕c a A =cos ；〔B 〕b c B =sin ；〔C 〕b a B =tan ；〔D 〕a b A =cot ． 4．如图2,已知AB ∥CD ,AD 与BC 相交于点O , 2:1:=DO AO ,那么下列式子正确的是〔▲〕 〔A 〕2:1:=BC BO ；〔B 〕1:2:=AB CD ；〔C 〕2:1:=BC CO ；〔D 〕1:3:=DO AD ． 5．已知非零向量a 、b 和c ,下列条件中,不能判定a ∥b 的是〔▲〕〔A 〕a =b 2-；〔B 〕c a =,c b 3=；〔C 〕c b a =+2,c b a -=-；〔D=．6．在△ABC 中,︒=∠90C ,cm AC 3=,cm BC 4=．以点A 为圆心,图1 AB C DO图2半径为cm 3的圆记作圆A ,以点B 为圆心,半径为cm 4的圆记作圆B ,则圆A 与圆B 的位置关系是〔▲〕〔A 〕外离；〔B 〕外切；〔C 〕相交；〔D 〕内切.二、填空题：〔本大题共12题,每小题4分,满分48分〕7．如果函数2)1(x a y -=是二次函数,那么a 的取值X 围是 ▲ ．8．在平面直角坐标系中,如果把抛物线22+=x y 向上平移2个单位,那么所得抛物线的表达式为 ▲ ．9．已知抛物线122-+=x x y 的对称轴为l ,如果点)0,3(-M 与点N 关于这条对称轴l 对称,那么点N 的坐标是 ▲ ．10．请写出一个经过点)1,0(,且在对称轴右侧部分是下降的抛物线的表达式,这条抛物线的表达式可以是 ▲ ．11．已知线段b 是线段a 、c 的比例中项,且1=a ,4=c ,那么=b ▲ ．12．如果两个相似三角形的周长比为2:1,那么它们的对应中线的比为 ▲ ．13．如图3,已知在平行四边形ABCD 中,点E 在边BC 上,射线AE 交DC 的延长线于点F ,2=AB ,EC BE 3=,那么DF 的长为 ▲ ． 14．在△ABC 中,︒=∠90C ,1312sin =A ,12=BC ,那么=AC ▲ ． 15．小杰在楼上点A 处看到楼下点B 处的小丽的俯角是︒36,那么点B 处的小丽看点A 处的小杰的仰角是 ▲ 度．16．正九边形的中心角等于 ▲ 度．17．如图4,AB 、AC 都是圆O 的弦,AB OM ⊥,AC ON ⊥,垂足分别为点M 、N ,如果6=BC ,那么=MN ▲ ．18．在△ABC 中,9=AB ,5=AC ,AD 是BAC ∠的平分线交BC 于点D 〔如图5〕,△ABD 沿直线AD翻折后,点B 落到点1B 处,如果BAC DC B ∠=∠211,那么=BD ▲ ． 三、解答题：〔本大题共7题,满分78分〕19．〔本题满分10分〕 计算：︒-+︒⋅︒+︒-45cos 21260tan 30cot 2130sin 1． N M O C B A 图4D F A B C D 图520．〔本题满分10分〕已知二次函数)0(22≠+-=m n x mx y 的图像经过点)1,2(-和)2,1(-,求这个二次函数的解析式,并求出它的图像的顶点坐标和对称轴．21．〔本题满分10分,每小题各5分〕如图6,已知AB 是圆O 的直径,10=AB ,弦CD 与AB 相交于点N ,︒=∠30ANC ,3:2:=AN ON ,CD OM ⊥,垂足为点M ． 〔1〕求OM 的长；〔2〕求弦CD 的长． 22．〔本题满分10分,每小题各5分〕 如图7,某地下车库的入口处有斜坡AB ,它的坡度为2:1=i ,斜坡AB度为AH 〔BC AH ⊥〕,为了让行车更安全,现将斜坡的坡角改造为︒14〔图中的︒=∠14ACB 〕． 〔1〕求车库的高度AH ；〔2〕求点B 与点C 之间的距离〔结果精确到1米〕． 〔参考数据：24.014sin =︒,97.014cos =︒,25.014tan =︒,01.414cot =︒〕 23．〔本题满分12分,每小题各6分〕已知：如图8,在△ABC 中,点D 在边BC 上,且DAG BAC ∠=∠,BAD CDG ∠=∠．〔1〕求证：AC AG AB AD =； 〔2〕当BC GC ⊥时,求证：︒=∠90BAC ．24．〔本题满分12分,每小题各4分〕如图9,在平面直角坐标系xoy 中,点A 坐标为)0,8(,点B 在y 轴的正半轴上,且34cot =∠OAB ,抛物线c bx x y ++-=241经过A 、B 两点． 〔1〕求b 、c 的值；〔2〕过点B 作OB CB ⊥,交这个抛物线于点C ,以点C为圆心,CB 为半径长的圆记作圆C ,以点A 为圆心,r为半径长的圆记作圆A ．若圆C 与圆A 外切,求r 的值；〔3〕若点D 在这个抛物线上,△AOB 的面积是△OBD 面积的8倍,求点D 的坐标． 25．〔本题满分14分,其中第〔1〕小题4分,第〔2〕小题5分,第〔3〕小题5分〕已知在△ABC 中,8==AC AB ,4=BC ,点P 是边AC 上的一个动点,ABC APD ∠=∠,AD ∥BC ,联结DC ．图8 B 图6 A BC H图7〔1〕如图10,如果DC ∥AB ,求AP 的长；〔2〕如图11,如果直线DC 与边BA 的延长线交于点E ,设x AP =,y AE =,求y 关于x 的函数解析式,并写出它的定义域；〔3〕如图12,如果直线DC 与边BA 的反向延长线交于点F ,联结BP ,当△CPD 与△CBF 相似时,试判断线段BP 与线段CF 的数量关系,并说明你的理由．2014学年奉贤区调研测试 九年级数学2015.01 〔满分150分,考试时间100分钟〕 一、选择题：〔本大题共6题,每题4分,满分24分〕[每小题只有一个正确选项,在答题纸的相应题号的选项上用2 B 铅笔填涂] 1．已知y x 23=,那么下列等式一定成立的是〔▲〕 A ．3,2==y x ；B ．23=y x ；C ．32=y x ；D ．023=+y x ． 2．在Rt △ABC 中,∠ACB ＝90°,BC ＝1,AC ＝2,则下列结论正确的是〔▲〕A ．sin A ＝32；B ．tan A ＝12； C ．cos B ＝32； D ．tan B ＝3． 3．抛物线221x y -=的图象向右平移2个单位长度后所得新的抛物线的顶点坐标为〔▲〕 A ．<0,－2> ；B ． <0,2>；C ．<－2,0>；D ．<2,0>．4．在直角坐标平面中,M 〔2,0〕,圆M 的半径为4 ,那么点P 〔-2,3〕与圆M 的位置关系是〔▲〕A ．点P 在圆内；B ．点P 在圆上；C ．点P 在圆外；D ．不能确定．5．一斜坡长为10米,高度为1米,那么坡比为〔▲〕A ．1：3；B ．1：31；C ．1：10；D ．1：1010． 6．在同圆或等圆中,下列说法错误的是〔▲〕A ．相等弦所对的弧相等；B ．相等弦所对的圆心角相等；C ．相等圆心角所对的弧相等；D ．相等圆心角所对的弦相等．二、填空题：〔本大题共12题,每题4分,满分48分〕[请将结果直接填入答题纸的相应位置]7．若→a 与→e 方向相反且长度为3,那么→a =▲→e ；8．若α为锐角,已知cos α=21,那么tan α=▲； 9．△ABC 中,∠C =90°,G 为其重心,若CG =2,那么AB =▲； 10．一个矩形的周长为16,设其一边的长为x ,面积为S ,则S 关于x 的函数解析式是▲；A B C DP 图12 F AB C D P 图10 B A C D P图11 E <第15题图>11．如果抛物线12-+=mx x y 的顶点横坐标为1,那么m 的值为▲； 12．正n 边形的边长与半径的夹角为75°,那么n=▲； 13．相邻两边长的比值是黄金分割数的矩形,叫做黄金矩形,从外形上看,它最具美感,现在想要制作一X"黄金矩形〞的贺年卡,如果较长的一条边长等于20厘米,那么相邻一条边长等于▲厘米；14．已知抛物线经过点<5,-3>,其对称轴为直线x =4,则抛物线一定经过另一点的坐标是▲；15．如图,P 为平行四边形ABCD 边AD 上一点,E 、F 分别为PB 、PC 的中点,若△PEF 的面积为3,那么△PDC 与△PAB 的面积和等于▲；16．已知圆A 与圆B 内切,AB =10,圆A 半径为4,那么圆B 的半径为▲；17．已知抛物线2)1(2++=x a y 过〔0,y 1〕、〔3,y 2〕,若y 1> y 2,那么a 的取值X 围是▲；18．已知在△ABC 中,∠C=90o ,AC=3,BC=4．在平面内将△ABC 绕B 点旋转,点A 落到A ’,点C 落到C ’,若旋转后点C 的对应点C ’和点A 、点B 正好在同一直线上,那么∠A ’AC ’的正切值等于▲；三、解答题：〔本大题共7题,满分78分〕19．〔本题满分10分〕计算：︒-︒-︒︒60cot 2345tan 60sin 230sin 2 20．〔本题满分10分,第〔1〕小题满分7分,第〔2〕小题满分3分〕一个弓形桥洞截面示意图如图所示,圆心为O ,弦AB 是水底线,OC ⊥AB ,AB =24m ,sin ∠COB =1312,DE 是水位线,DE ∥AB . 〔1〕当水位线DE =304m 时,求此时的水深；〔2〕若水位线以一定的速度下降,当水深8m 时,求此时∠ACD 的余切值.21．〔本题满分10分,每小题满分各5分〕如图,在△ABC 中,AB=AC =12,DC =4,过点C 作CE ∥AB 交BD 的延长线于点E ,→→→→==b BC a AB ,,〔1〕求→BE 〔用向量a 、b 的式子表示〕；<2〕求作向量→→+AC BD 21〔不要求写作法,但要指出所 作图中表示结论的向量〕. 22．〔本题满分10分〕在某反潜演习中,我军舰A 测得潜艇C 的俯角为300,位于军舰A 正上方2000米的反潜直升机B 测得潜艇C 的俯角为680,试根据以上数据求出潜艇C 离开海平面的下潜深度.〔结果保留整数.参考数据：sin680≈0.9,cos680≈0.4,tan680≈2.5,3≈1.7>23．〔本题满分12分,每小题满分各6分〕 如图,在四边形ABCD 中,∠B =∠ACD ,过D 作AC ∥DE 交BC 的延长线于点E ,且2CD AC DE =⋅第20题图 B 第22题图B 第21题图 A D EC B A。

上海市虹口区2015届高三数学上学期期末教学质量监控测试试题一、填空题（本大题满分56分）本大题共14题，只要求在答题纸相应题号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1、椭圆2214x y +=的焦距为 .2、在91x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中，各项系数之和为 .3、若复数z 满足22zii i=-+（i 为虚数单位），则复数z = . 4、若正实数a b ，满足ab =32，则2a b +的最小值为 .5、行列式()3sin tan 4cos tan()2x x x x ππ-+的最小值为 .6、在ABC ∆中，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，若75,60,3A B b =︒=︒，则c = .7、若()22sin 00x x f x x x π≤≤⎧=⎨<⎩，，，，则方程()1f x =的所有解之和等于 .8、若数列{}n a 为等差数列，且12341,21a a a a =++=，则122limnn a a a n →∞+++= .9、设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，若12,,n n n S S S ++成等差数列，则q = .10、已知12,l l 是分别经过()()2102A B ,，,两点的两条平行直线，当12,l l 之间的距离最大时，直线1l 的方程是 .11、若抛物线24y x =上的两点A 、B 到焦点的距离之和为6，则线段AB 的中点到y 轴的距离为 .12、10件产品中有8件正品，2件次品，从中任取3件，则恰好有一件次品的概率为 .（结果用最简分数表示）13、右图是正四面体的平面展开图，M N G 、、分别为DE BE FE 、、的中点，则在这个正四面体中，MN 与CG 所成角的大小为 .E14、右图为函数()()=sin (0,0,0)2f x A x A πωϕωϕ+>><<的部分图像，M N 、是它与x 轴的两个交点，D C 、分别为它的最高点和最低点，()0,1E 是线段MD 的中点，且28MD MN π⋅=，则函数()f x 的解析式为 .二、选择题（本大题共4题，满分20分）每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应题号上，将所选答案的代号涂黑，选对得5分，否则一律零分. 15、设全集(){}{},ln 1,11U R A x y x B x x ===-=-<，则()U C A B = （ ）.A.()2,1-B.(]2,1-C.[)1,2D.()1,216、设,a b 均为非零向量，下列四个条件中，使a b ab=成立的必要条件是 （ ）.A.a b =-B.//a bC.2a b =D.//a b 且a b =17、关于曲线42:1C x y +=，给出下列四个命题： ①曲线C 关于原点对称； ②曲线C 关于直线y x =对称 ③曲线C 围成的面积大于π ④曲线C 围成的面积小于π上述命题中，真命题的序号为 （ ）A.①②③B.①②④C.①④D.①③18、若直线1y kx =+与曲线11y x x x x=+--有四个不同交点，则实数k 的取值范围是 （ ）.A.11,0,88⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ B.11,88⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ C.11,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D.11,88⎛⎫- ⎪⎝⎭三、解答题（本大题共5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要步骤.19、（本题满分12分）已知3cos ,424x x πππ⎛⎫⎛⎫-=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求sin ,sin ,cos 24x x x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值20、（本题满分14分）本题共2个小题，每小题7分一个透明的球形装饰品内放置了两个公共底面的圆锥，且这两个圆锥的顶点和底面圆周都在这个球面上，如图，已知圆锥底面面积是这个球面面积的316，设球的半径为R ，圆锥底面半径为r .（1）试确定R 与r（2）求出两个圆锥的体积之和与球的体积之比.21、（本题满分14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分 已知函数()f x 和()g x 的图像关于原点对称，且2()f x x x =+ （1）求函数()y g x =的解析式；（2）若()()()3h x g x m f x =-⋅+在[]1,1-上是增函数，求实数m 的取值范围.22、（本题满分16分）本题共3小题，第1小题5分，第2小题5分，第3小题6分. 已知各项均不为零的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()141n n n S a a n N *+=⋅+∈，其中11a =. （1）求证：135,,a a a 成等差数列； （2）求证：数列{}n a 是等差数列； （3）设数列{}n b 满足()121n b nn N a *=+∈，且n T 为其前n 项和，求证：对任意正整数n ，不等式212log n n T a +>恒成立.23、（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题5分，第2小题7分，第3小题6分.已知12F F 、为为双曲线22221x y C a b-=：的两个焦点，焦距12=6F F ，过左焦点1F 垂直于x 轴的直线，与双曲线C 相交于,A B 两点，且2ABF ∆为等边三角形. （1）求双曲线C 的方程；（2）设T 为直线1x =上任意一点，过右焦点2F 作2TF 的垂线交双曲线C 与,P Q 两点，求证：直线OT 平分线段PQ （其中O 为坐标原点）；（3）是否存在过右焦点2F 的直线l ，它与双曲线C 的两条渐近线分别相交于,R S 两点，且使得1F RS ∆的面积为l 的方程；若不存在，请说明理由.2015年虹口区高三一模数学试卷理科（参考答案）一．填空题1. 2. 1； 3. 5i -； 4. 16； 5. 5-； 7. 1π-； 8. 1.5； 9. 2-； 10. 230x y --=； 11. 3； 12.715；13. 14. 2sin(2)4y x π=+；二．选择题15. C ； 16. B ； 17. D ； 18. A ； 三．解答题19. 解：(,)442x πππ-∈，在第一象限，∴sin()410x π-==； 4sin sin()sin()cos cos()sin 4444445x x x x ππππππ=-+=-+-=； 27cos 212sin 25x x =-=-；20. （1）解：223416r R ππ=⨯，r R =；::3:1V V h h ==大小大小； （2）解：22232321143():()::3338h r V V V r h r h R r h R R R πππ+=+==⋅=小大小球大小小； 21. （1）解：2()g x x x =-+；（2）解：2()(1)(1)3h x m x m x =--+-+， 当10m -->，即1m <-时，对称轴112(1)mx m -=≤-+，∴31m -≤<-；当10m --=，即1m =-时，()23h x x =+，符合题意，∴1m =-； 当10m --<，即1m >-时，对称轴112(1)m x m -=≥+，∴113m -<≤-；综上，133m -≤≤-； 22. （1）解：141n n n S a a +=+ ①；1141n n n S a a --=+ ②；①－②得114n n a a +--=，得证；（2）解：由11a =，得23a =，结合第（1）问结论，即可得{}n a 是等差数列； （3）解：根据题意，22log 21n n b n =-，22462log 13521n nT n =⨯⨯⨯⨯-…； 要证2122log log (21)n n T a n +>=+，即证246213521nn ⨯⨯⨯⨯>-… 当1n =时，2> 假设当n k =时，246213521kk ⨯⨯⨯⨯>-…成立； 当1n k =+时，24622222135212121k k k k k k ++⨯⨯⨯⨯⨯>-++…=；>2(22)(21)(23)k k k +>++，展开后显然成立， 所以对任意正整数n ，不等式212log n n T a +>恒成立；23. （1）3c =，∵等边三角形，∴2AF =，1AF =a =22136x y -=； （2）解：设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，中点为00(,)T x y '，然后点差法，即得2121212122()1312()PQ PF T Tx x y y k y y x x k y y +--===-==+-， ∴001TOT OT y y k k x '===，即点T '与点T 重合，所以T 为PQ 中点，得证； （3）解：假设存在这样的直线，设直线:3l x my =+，(,)R R R x y ，(,)S S S x y联立3y x my ⎧=⎪⎨=+⎪⎩得R y =3y x my ⎧=⎪⎨=+⎪⎩得S y =116()2F RSR S Sy y =⨯⨯-=()R S y y -=+=l。

上海市语文散装同步试卷（虹口区第一学期期末抽查考）一阅读80分（一）阅读下文，完成第1—6题。

（17分）艺术世界的空筐结构(节选)①艺术世界之所以具有永久的魅力，原因之一，就在于它象纯粹数学一样，具有“空筐”结构的性质。

②大家知道，数学是2+3=5这样一门抽象的科学。

例如：“两头牛加三头牛等于五头牛”，“两棵树加三棵树等于五棵树”。

人类第一个伟大的数学家正是从这类具体的事实概括出了这样一个达四海亘古今、囊括宇宙万物的伟大的抽象公式：2+3=5。

它好比是说：“两只空筐加三只空筐等于五只空筐。

”筐子的“空”，是为了能随意装进天地间万物。

如果只能装一样东西，倒不出来，那数学的用处就极有限了。

③有趣的是，艺术魅力的源泉之一，也在于它向我们提供了一种“空筐”，其中尤以音乐最为典型。

就是说在一切艺术中，当推音乐“空筐”最“空”，最具有弹性。

如果说，牛顿和爱因斯坦的成就之一，在于他们分别提供了两个伟大的“空筐”：F=ma和E =mc2，那末，贝多芬的成就却在于他向人类文化宝库提供了好几个雄视百代、卓然独立于千古的音乐“空筐”：《英雄》《命运》《田园》和《第九》这四部交响曲。

这些“筐”竟是如此的“空”，它们要求乐队指挥、演奏家和广大听众把各自的内外阅历统统放进去。

因此，有海菲茨的贝多芬，也有梅纽因和小泽征尔的贝多芬，同时还有张三、李四的贝多芬。

④20岁欣赏《命运交响曲》，同40岁重聆这部作品时的感受是很不同的——如果你在这20年间，饱受事变，经历了坎坷人生的话——之所以有这种效果，正是因为音乐艺术具有“空筐”性质。

这种性质的音乐心理学基础，便是自由联想。

所谓“空筐”，正是艺术家为万千观众提供的发挥想象力的空间。

爱因斯坦一再强调想象力比知识更重要，这不仅是指理论物理学和数学研究而言，而且也是人们欣赏艺术作品时最重要的素质。

可以说“空筐”是为想象力而设臵的，“空筐”要求万千听众用自己的想象力去进行再创作。

⑤诗歌的“空筐”的性质也是很显著的。

2015 上海数学各区一模试题归类第一部分 选择题一、 二次函数1. （徐汇）将抛物线22y x =-向右平移一个单位，再向上平移2个单位后，抛物线的表达式为（ ）A. 22(1)2y x =--+；B. 22(1)2y x =---；C. 22(1)2y x =-++；D. 22(1)2y x =-+-；2. （徐汇）已知二次函数222y ax x =-+（0a >），那么它的图像一定不经过（ ）A. 第一象限；B. 第二象限；C. 第三象限；D. 第四象限；3. （六区）将抛物线2(1)y x =-向左平移2个单位，所得抛物线的表达式为（ ）A. 2(1)y x =+；B. 2(3)y x =-；C. 2(1)2y x =-+；D. 2(1)2y x =--；4. （六区）一个小球被抛出后，如果距离地面的高度h （米）和运行时间t （秒）的函数解析式为25101h t t =-++，那么小球到达最高点时距离地面的高度是（ ）A. 1米；B. 3米；C. 5米；D. 6米；5. （崇明）如果二次函数2y ax bx c =++的图像如图1-1-1，那么下列判断中，不正确的是（ ）A. 0a >B. 0b >C. 0c <D. 240b ac ->6. （崇明）将二次函数2x y =的图像向下平移1个单位，再向右平移1个单位后所得图像的函数 表达式为（ ）A. 2(1)1y x =++B. 2(1)1y x =+-C. 2(1)1y x =-+D. 2(1)1y x =--7. （长宁）抛物线22212,2,2y x y x y x ==-=共有的性质是（ ） A. 开口向下; B. 对称轴是y 轴 C. 都有最低点 D. y 的值随x 的增大而减小8. （嘉定）对于抛物线2)2(-=x y ，下列说法正确的是（ ）A. 顶点坐标是)0,2(；B. 顶点坐标是)2,0(；C. 顶点坐标是)0,2(-；D. 顶点坐标是)2,0(-．9. （嘉定）已知二次函数bx ax y +=2的图像如图1-1-2所示，那么a 、b 的符号为（ ）A. 0>a ，0>b ；B. 0<a ，0>b ；C. 0>a ，0<b ；D. 0<a ，0<b ．1-1-1 y x O O xy 1-1-2O x yO x y O x y O x y 10.（奉贤）抛物线221x y -=的图象向右平移2个单位长度后所得新的抛物线的顶点坐标为（ ） A ．(0，－2) ； B ． (0，2)； C ．(－2，0)； D ．(2，0)．11.（虹口）已知点，均在抛物线上，下列说法中，正确的是（ ）A ．若，则；B ．若，则；C ．若，则；D ．若，则．12.（虹口）二次函数（a 为常数）的图像如图1-1-3所示，则的取值范围为（ ）A ． ；B ．；C ． ；D ．．13.（金山）抛物线122+=x y 的顶点坐标是（ ）A. )1,2(；B. )1,0(；C. )0,1(；D. )2,1(． 14.（金山）已知反比例函数)0(≠=a xa y ，当0 x 时，它的图像y 随x 的增大而减小，那么二次函数 ax ax y -=2 的图像只可能是（ ）A. B. C. D.15.（闸北）在下列y 关于x 的函数中，一定是二次函数的是 （ ） A. 2x y =； B. 21xy =； C. 2kx y =； D. x k y 2=． 16.（普陀）如果二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图像如图1-1-4，那么（） A. 0a <，0b >，0c >； B. 0a >，0b <，0c >；C. 0a >，0b <，0c <；D. 0a >，0b >，0c <；二、 比例线段1.（徐汇） 如图1-2-1，平行四边形ABCD 中，E 是边BC 上的点，AE 交BD 于点F ，如果:BE BC =2:3，那么下列各式错误的是（ ）A. 2BE EC =；B. 13EC AD =；C. 23EF AE =；D. 23BF DF =； 2. （六区）如图1-2-2，已知AB ∥CD ∥EF ，:3:5AD AF =，12BE =，那么CE 的长等于（ ） A. 2； B. 4； C. 24； D. 365；FA CB E1-2-1 1-2-3B C D E y x O 1-1-4yx O3. （崇明）已知52a b =，那么下列等式中，不一定正确的是 （ ） A. 25a b = B. 52a b = C. 7a b += D. 72a b b += 4. （宝山）如图1-2-3，△ABC 中，D 、E 分别为边AB 、AC 上的点，且DE ∥BC ，下列判断错误 的是（ ）A. AD AE DB EC =；B. AD DE DB BC =；C. AD AE AB AC =；D. AD DE AB BC=； 5. （嘉定）如图1-2-4，已知AB ∥CD ，AD 与BC 相交于点O ， 2:1:=DO AO ，那么下列式子正确的是（ ）A. 2:1:=BC BO ；B. 1:2:=AB CD ；C. 2:1:=BC CO ；D. 1:3:=DO AD ．6. （奉贤）已知y x 23=，那么下列等式一定成立的是（ ）A ．3,2==y x ；B ．23=y x ；C ．32=y x ； D ．023=+y x ． 7. （闸北）如果点G 是△ABC 的重心，联结AG 并延长，交对边BC 于点D ，那么AG ︰AD 是（ ）A. 2︰3 ；B. 1︰2；C. 1︰3 ；D. 3︰4． 8. （闸北）已知点D 、E 分别在△ABC 的边AB 、AC 上，下列给出的条件中，不能判定DE ∥B C 的是（ ）A. BD ︰AB ＝ CE ︰AC ；B. DE ︰BC ＝ AB ︰AD ；C. AB ︰AC ＝ AD ︰A E ；D. AD ︰DB ＝ AE ︰EC ．9. （普陀）如图1-2-5，直线1l ∥2l ∥3l ，两直线AC 和DF 与1l ，2l ，3l 分别相交于点A 、B 、C 和 点D 、 E 、F ，下列各式中，不一定成立的是（ ）A. AB DE BC EF =；B. AB DE AC DF =；C. AD BE BE CF =；D. EF BC FD CA=；三、 相似三角形1. （徐汇）如图1-3-1，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，如果添加下列条件，不能使得△ABC ∽△DCA 成立的是（ ）A B C D O 1-2-4 1-2-5 F E D C B A l 1l lA. BAC ADC ∠=∠；B. B ACD ∠=∠；C. 2AC AD BC =⋅；D. DC AB AC BC =； 2. （徐汇）如图1-3-2，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，且DE ∥BC ， 如果:1:4AE EC =，那么:ADE BEC S S ∆∆=（ ）A. 1:24；B. 1:20；C. 1:18；D. 1:16；3. （六区）如图1-3-3，已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，2BC AD =，如果对角线AC 与BD 相交 于点O ，△AOB 、△BOC 、△COD 、△DOA 的面积分别记作1S 、2S 、3S 、4S ，那么下列结论 中，不正确的是（ ）A. 13S S =；B. 242S S =；C. 212S S =；D. 1324S S S S ⋅=⋅；4. （崇明）如图1-3-4 ，点D 、E 、F 、G 为ABC ∆两边上的点，且DE FG BC ∥∥，若DE 、FG 将ABC∆的面积三等分，那么下列结论正确的是（ ）A. 14DE FG =B. 1DF EG FB GC ==C. 32AD FB =+D. 22AD DB = 5. （长宁）如果两个相似三角形的面积比是1:6，那么它们的相似比是（ ）A ．1:36 B.1:6 C. 1:3 D. 1: 66. （长宁）如图1-3-5，点A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 、K 都是7×8方格纸中的格点，为使△DE M ∽△ABC （点D 和点A 对应，点B 和E 对应），则点M 对应是F 、G 、H 、K 四点中的（ ）A. FB. GC. KD. H7. （虹口）如图1-3-6，∠BAD =∠CAE ，添加下列一个条件后，仍不能确定△ABC ∽△ADE 的是（ ）A ．∠B =∠D ； B ．∠C =∠AED ； C ．； D ．．8. （虹口）如图1-3-7，在△ABC 中，D 、E 分别是边AB 、BC 上的点，且DE ∥AC ，若，则的值为（ ）A ．；B ．；C ．；D ．．9. （金山）已知ABC ∆∽DEF ∆，点A 、B 、C 对应点分别是D 、E 、F ，4:9:=DE AB ，那么1-3-1 A C B D A B C D E 1-3-2 1-3-3 S 3S 4S 2S 1O A C B D 1-3-4 A B C D E F G 1-3-5 A B C E D 1-3-6 AB C E D 1-3-7 ODEF ABC S S ∆∆:等于（ ）A. 3:2；B. 9:4；C. 16:81；D. 81:16．10.（闸北）如图1-3-8，小明晚上由路灯A 下的点B 处走到点C 处时，测得自身影子CD 的长为1米． 他继续往前走3米到达点E 处（即CE ＝3米），测得自己影子EF 的长为2米．已知小明的身高是1.5米，那么路灯A 的高度AB 是（ ）A. 4.5米；B. 6米；C. 7.2米；D. 8米．11.（普陀）用一个2倍放大镜照一个△ABC ，下面说法中错误的是（ ）A. △ABC 放大后，是原来的2倍；B. △ABC 放大后，各边长是原来的2倍；C. △ABC 放大后，周长是原来的2倍；D. △ABC 放大后，面积是原来的4倍；四、 直角三角形锐角比1. （徐汇）已知Rt △ABC 中，90C ∠=︒，CAB α∠=，7AC =，那么BC 为（ ） A. 7sin α； B. 7cos α； C. 7tan α； D. 7cot α；2. （六区）如果把Rt ABC ∆的三边长度都扩大2倍，那么锐角A 的四个三角比的值（ ）A. 都扩大到原来的2倍；B. 都缩小到原来的12； C. 都没有变化； D. 都不能确定；3. （六区）已知在△ABC 中，AB AC m ==，B α∠=，那么边BC 的长等于（ ）A. 2sin m α⋅；B. 2cos m α⋅；C. 2tan m α⋅；D. 2cot m α⋅； 4. （崇明）在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，A ∠、B ∠、C ∠所对的边分别为a 、b 、c ，下列等式中不一定 成立的是（ ）A. tan b a B =B. cos a c B =C. sin ac A = D. cos a b A =5. （宝山）如图1-4-1，在直角△ABC 中，90C ∠=︒，1BC =，2AC =）A. 30A ∠=︒；B. 45A ∠=︒；C. 2cot 2A =；D. 2tan 2A =；1-4-11-3-8 AD6. （长宁）在Rt △ABC 中，已知∠C =90°，AC =3，BC =4，那么∠A 的余弦值等于（ ）A ．35 B. 45 C. 34 D. 437. （嘉定）在Rt △ABC 中，︒=∠90C ，a 、b 、c 分别是A ∠、B ∠、C ∠的对边，下列等式中正确的是（ ）A. c a A =cos ；B. b c B =sin ；C. b a B =tan ；D. ab A =cot ． 8. （奉贤）在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝1，AC ＝2，则下列结论正确的是（ ） A ．sin A ＝32； B ．tan A ＝12； C ．cos B ＝32； D ．tan B ＝3． 9. （奉贤）一斜坡长为10米，高度为1米，那么坡比为（ ）A ．1：3；B ．1：31； C ．1：10； D ．1：1010． 10.（虹口）在Rt △ABC 中，，AC=5，BC=13，那么的值是（ ）A ． ；B ．；C ．；D ．．11.（金山）在ABC Rt ∆中, ︒=∠90C ，3,5==BC AB ，那么A sin 的值等于（ ）A. 43；B. 34；C. 53；D. 54． 12.（闸北）在直角△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 与∠C 的对边分别是a 、b 和c ，那么下列关系中， 正确的是（ ）A. cos A ＝c a ；B. tan A ＝a b ；C. sin A ＝c a ；D. cot A ＝ba ． 13.（普陀）在Rt △ABC 中，已知90ACB ∠=︒，1BC =，2AB =，那么下列结论正确的是（ ）A. 3sin 2A =； B. 1tan 2A =； C. 3cos 2B =； D. 3cot 3B =；五、 平面向量1. （宝山）已知非零向量a 、b 、c ，下列命题中是假命题的是（ ）A. 如果2a b =，那么a ∥b ；B. 如果2a b =-，那么a ∥b ；C. 如果||||a b =，那么a ∥b ；D. 如果2a b =，2b c =，那么a ∥c ； 2. （嘉定）已知非零向量a 、b 和c ，下列条件中，不能判定a ∥b 的是（ ）A. a =b 2-；B. c a =，c b 3=；C. c b a =+2，c b a -=-；D. b a =．3. （虹口）如果，，且，那么与是（ ）A ．与是相等向量；B ．与是平行向量；C ．与方向相同，长度不同；D ．与方向相反，长度相同．4. （闸北）下列有关向量的等式中，不一定成立的是（ ）A. AB ＝－BA ；B. ︱AB ︱＝︱BA ︱；C. AB ＋BC ＝AC ；D. ︱AB ＋BC ︱＝︱AB ︱＋︱BC |．5. （普陀）下列判断错误的是（ ）A. 00a =；B. 如果12a b =（b 为非零向量），那么a ∥b ； C. 设e 为单位向量，那么||1e =； D. 如果||||a b =，那么a b =或a b =-；六、 圆1. （崇明）下列说法正确的是 （ ）A. 相切两圆的连心线经过切点B. 长度相等的两条弧是等弧C. 平分弦的直径垂直于弦D. 相等的圆心角所对的弦相等2. （宝山）如果在两个圆中有两条相等的弦，那么（ ）A. 这两条弦所对的圆心角相等；B. 这两条线弦所对的弧相等；C. 这两条弦都被与它垂直的半径平分；D. 这两条弦所对的弦心距相等；3. （宝山）已知圆O 半径为3，M 为直线AB 上一点，若3MO =，则直线AB 与圆O 的位置关系 为（ ）A. 相切；B. 相交；C. 相切或相离；D. 相切或相交；4. （长宁）已知两圆半径分别是3和4，若两圆内切，则两圆的圆心距为（ ）A. 1或7B. 1C. 7D. 25. （嘉定）在△ABC 中，︒=∠90C ，cm AC 3=，cm BC 4=．以点A 为圆心，半径为cm 3的圆记作 圆A ，以点B 为圆心，半径为cm 4的圆记作圆B ，则圆A 与圆B 的位置关系是（ ）A. 外离；B. 外切；C. 相交；D. 内切.6. （奉贤）在直角坐标平面中，M （2，0），圆M 的半径为4 ，点P （-2，3）与圆M 的位置关系是（ ）A ．点P 在圆内；B ．点P 在圆上；C ．点P 在圆外；D ．不能确定．7. （奉贤）在同圆或等圆中，下列说法错误的是（ ）A ．相等弦所对的弧相等；B ．相等弦所对的圆心角相等；C ．相等圆心角所对的弧相等；D ．相等圆心角所对的弦相等．8. （金山）正多边形的中心角是36º，那么这个正多边形的边数是（ ）A. 10；B. 8；C. 6；D. 5．9. （金山）已知⊙M 与⊙N 的半径分别为1和5，若两圆相切，那么这两圆的圆心距MN 的长等于（ ）A. 4；B. 6；C. 4或5；D. 4或610.（普陀）下列命题中，正确的个数是（ ）（1）三点确定一个圆； （2）平分弦的直径垂直于弦；（3）相等的圆心角所对的弧相等； （4）正五边形是轴对称图形；A. 1个；B. 2个；C. 3个；D. 4个；七、 综合1. （宝山）如图1-7-1边长为3的等边△ABC 中，D 为AB 的三等分点（12AD BD =），三角形边上的 动点E 从点A 出发，沿A C B →→的方向运动，到达点B 时停止，设点E 运动的路程为x ，2DE y =，则y 关于x 的函数图像大致为（ ）A. B. C. D. 2. （长宁）如图1-7-2，动点P 从点A 出发，沿线段AB 运动至点B 后，立即按原路返回，点P 在运动的 过程中速度不变，则以点B 为圆心，线段BP 长为半径的圆的面积S 与点P 的运动时间t 之间的函数图 象大致为图中的( )A. B. C. D.第二部分 填空题一、 二次函数1. （徐汇）抛物线2(1)2y x =-+的顶点坐标是 ；2. （徐汇）二次函数245y x x =--的图像的对称轴是直线 ；3. （徐汇）若点1(3,)A y -、2(0,)B y 是二次函数22(1)1y x =--图像上的两点，那么1y 与2y 的 大小关系是 （填12y y >，12y y =或12y y <）；4. （六区）二次函数2253y x x =--+的图像与y 轴的交点坐标为 ；5. （六区）如果抛物线2(3)5y a x =+-不经过第一象限，那么a 的取值范围是 ；6. （六区）已知二次函数的图像经过点(1,3)，对称轴为直线1x =-，由此可知这个二次函数的图像一 1-7-1A B C DE 1-7-2定经过除点(1,3)外的另一点，这点的坐标是 ； 7. （崇明）如果二次函数22(1)51y m x x m =-++-的图像经过原点，那么m = ；8. （崇明）抛物线221y x =-在y 轴右侧的部分是 （填“上升”或“下降”）；9. （崇明）如果将抛物线23y x =平移，使平移后的抛物线顶点坐标为(2,2)，那么平移后的抛物线的表达 式为 ；10.（崇明）已知抛物线2y x bx c =++经过点(0,5)A 、(4,5)B ，那么此抛物线的对称轴是 ；11.（宝山）抛物线2(3)4y x =--+的对称轴是 ；12.（宝山）不经过第二象限的抛物线2y ax bx c =++的开口方向向 ；13.（宝山）已知点11(,)A x y 、22(,)B x y 为函数22(1)3y x =--+的图像上的两点，若121x x >>， 则1y 2y ；14.（长宁）抛物线23(1)2y x =--+的顶点坐标是________；15.（长宁）抛物线223y x =-向左移动3个单位后所得抛物线解析式是________；16.（长宁）已知二次函数227y x x =+-的一个函数值是8，那么对应自变量x 的值是_________.17.（长宁）已知二次函数2(1)2y ax a x =-+-，当x >1时，y 的值随x 的增大而增大，当x <1时，y 的值 随x 的增大而减小，则实数a 的值为_________.18.（长宁）某企业今年第一月新产品的研发资金为100万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长 率都是x ，则该厂今年第三月新品研发资金y （元）关于x 的函数关系式为y =_________.19.（嘉定）如果函数2)1(x a y -=是二次函数，那么a 的取值范围是 ；20.（嘉定）在平面直角坐标系中，如果把抛物线22+=x y 向上平移2个单位，那么所得抛物线的 表达式为 ．21.（嘉定）已知抛物线122-+=x x y 的对称轴为l ，如果点)0,3(-M 与点N 关于这条对称轴l 对称， 那么点N 的坐标是 ．22.（嘉定）请写出一个经过点)1,0(，且在对称轴右侧部分是下降的抛物线的表达式，这条抛物线的 表达式可以是 ．23.（奉贤）一个矩形的周长为16，设其一边的长为x ，面积为S ，则S 关于x 的函数解析式是 ；24.（奉贤）如果抛物线12-+=mx x y 的顶点横坐标为1,那么m 的值为 ；25.（奉贤）已知抛物线经过点(5,-3),其对称轴为直线x =4，则抛物线一定经过另一点的坐标是 ；26.（奉贤）已知抛物线2)1(2++=x a y 过（0，y 1）、（3，y 2），若y 1> y 2,那么a 的取值范围是 ；27.（虹口）抛物线与y 轴交点的坐标为 ．28.（虹口）抛物线向左平移2个单位得到的抛物线表达式为 ．29.（虹口）若抛物线的对称轴是直线，则 .30.（虹口）请你写出一个．．b 的值，使得函数，在时，y 的值随着x 的值增大而增大，则b 可以是 ▲ .31.（金山）将抛物线11-22+=）（x y 向上平移3个单位，那么平移后得到的抛物线的解析式是 32.（闸北）如果抛物线2)1(x m y -=的开口向上，那么m 的取值范围是 ．33.（闸北）将抛物线5)3(2+--=x y 向下平移6个单位，所得到的抛物线的顶点坐标为 ．34.（闸北）已知抛物线经过A （0，－3）、B （2，－3）、C （4，5），判断点D （－2，5）是否在该抛物线 上．你的结论是： （填“是”或“否”）．35.（普陀）二次函数223y x x =--的图像与y 轴的交点坐标是 ；36.（普陀）如果将抛物线22y x =-平移，使顶点移到点(3,1)P -的位置，那么所得新抛物线的表达式 是 ；37.（普陀）用一根长50厘米的铁丝，把它弯成一个矩形框，设矩形框的一边长为x 厘米，面积为y 平 方厘米，写出y 关于x 的函数解析式： ；二、 比例线段1. （徐汇）如果53a b =，那么a b a b-+的值等于 ； 2. （徐汇）如图2-2-1，若1l ∥2l ∥3l ，如果6DE =，2EF =， 1.5BC =，那么AC = ；3. （徐汇）如图2-2-2，△ABC 中，90BAC ∠=︒，G 点是△ABC 的重心，如果4AG =，那么BC 的长为 ；4. （六区）已知4y =，那么22x y x y-=+； 5. （六区）已知线段4a cm =，9b cm =，那么线段a 、b 的比例中项等于cm ；6. （六区）如图2-2-3，已知,D E 分别是△ABC 的边BC 和AC 上的点，2AE =，3CE =， 2-2-2 2-2-3要使DE ∥AB ，那么:BC CD 应等于 ；7. （六区）已知点G 是面积为227cm 的△ABC 的重心，那么△AGC 的面积等于 ；8. （崇明）已知点P 是线段AB 的黄金分割点()AP PB >，如果2AB =cm ，那么线段AP = cm ； 9. （崇明）如图2-2-4，已知在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，6AC =，点G 为重心，GH BC ⊥，垂足为点H ， 那么GH = 10.（宝山）线段b 是线段a 和c 的比例中项，若1a =，2b =，则c = ； 11.（长宁）已知线段a =2c m ，c =8c m ，则线段a 、c 的比例中项是_________c m ；12.（嘉定）已知线段b 是线段a 、c 的比例中项，且1=a ，4=c ，那么=b ． 13.（奉贤）△ABC 中,∠C =90°,G 为其重心,若CG =2,那么AB = ；14.（奉贤）相邻两边长的比值是黄金分割数的矩形,叫做黄金矩形,从外形上看，它最具美感，现在要制 作一张“黄金矩形”的贺年卡，如果较长的一条边长等于20厘米，那么相邻一条边长等于 厘米； 15.（虹口）若，则 .16.（虹口）如图2-2-5，已知AB ∥CD ∥EF ，它们依次交直线、于点A 、D 、F 和点B 、C 、E ，如果 AD =6，DF =3，BC =5，那么BE = ． 17.（金山）已知23x y =，那么=+-y x yx ； 18.（金山）如图2-2-6，已知ABC ∆中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE ∥BC ，若4=AD ,2=BD ，3=DE ，那么=BC19.（闸北）已知y x ＝25，则yyx -的值是 ． 20.（闸北）如果点P 是线段AB 的黄金分割点，且AP ＞PB ，那么APBP的比值是 ． 21.（闸北）如图2-2-7，在平行四边形ABC D 中，点E 在BC 边上，且CE ︰BC ＝2︰3，AC 与DE 相交于 点F ，若S △AFD ＝9，则S △EFC ＝ ．2-2-4 ABCH G·2-2-5B AC D EF2-2-6BCDE2-2-7A B CEF 2-2-822.（普陀）已知:5:2x y =，那么():x y y += ；23.（普陀）如图2-2-8，在△ABC 中，DE ∥BC ，DE 与边AB 相交于点D ，与边AC 相交于点E ， 如果3AD =，4BD =，2AE =，那么AC = ；24.（普陀）已知线段MN 的长为2厘米，点P 是线段MN 的黄金分割点，那么较长的线段MP 的长 是 厘米；三、 相似三角形1 . （徐汇）在某一时刻，测得一根高为1.8m 的竹竿的影长为3m ，同时测得一根旗杆的影长为25m ，那么这根旗杆的高度为 m ；2. （崇明）如果两个相似三角形的面积比为1:4，那么它们的周长比为 ；3. （宝山）两个相似三角形的相似比为2:3，则它们的面积比为 ；4. （宝山）已知△ABC 的三边之比为2:3:4，若△DEF 与△ABC 相似，且△DEF 的最大边长为20， 则△DEF 的周长为 ；5. （宝山）如图2-3-1，D 为等边△ABC 边BC 上一点，60ADE ∠=︒，交AC 于E ，若2BD =，3CD =， 则CE = ；6. （长宁）如图2-3-2，已知AD 是△ABC 的中线，G 是△ABC 的重心，联结BG 并延长交AC 于点E ，联 结DE ，则S △ABC ：S △GED 的值为_________.7. （嘉定）如果两个相似三角形的周长比为2:1，那么它们的对应中线的比为 ．8. （嘉定）如图2-3-3，已知在平行四边形ABCD 中，点E 在边BC 上，射线AE 交DC 的延长线于F ，2=AB ，EC BE 3=，那么DF 的长为 ．9. （奉贤）如图2-3-4,P 为平行四边形ABCD 边AD 上一点,E 、F 分别为PB 、PC 的中点,若△PEF 的 面积为3,那么△PDC 与△P AB 的面积和等于 ；10.（虹口）如图2-3-5，在Rt △ABC 中，∠C=90°，点G 是△ABC 的重心，如果AC=， AG =2， 那么AB= ．11.（虹口）如图2-3-6，如果△ABC 与△DEF 都是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上）， 那么 的值为 ．C 2-3-5D A B G 2-3-4 2-3-1 B DE 2-3-2 GED C B A A C DE 2-3-3C A B2-3-6E DF C A B D F G2-3-712.（闸北）如图2-3-7，正方形DEFG 内接于Rt △ABC ，∠C ＝90°，AE ＝4，BF ＝9 ，则tan A ＝ ． 13.（闸北）如图2-3-8，梯形ABCD 中，AD //BC ，AB =DC ，点P 是AD 边上一点，联结PB 、PC ，且PD AP AB ⋅=2，则图中有 对相似三角形．14.（普陀）我们定义：如果一个图形上的点A '、B '、...、P '和另一个图形上的点A 、B 、...、P 分别 对应，且满足：（1）直线AA '、BB '、...、PP '都经过同一点O ；（2）...OA OB OP k OA OB OP'''====， 那么这两个图形叫做位似图形，点O 叫做位似中心，k 叫做位似比，如图2-3-9，在平面直角坐标系中， △ABC 和△A B C '''是以坐标原点O 为位似中心的位似图形，且OB BB '=，如果点5(,3)2A ，那么点A '的坐标为 ；四、直角三角形锐角比1. （徐汇）计算：cot30sin60︒-︒= ；2. （徐汇）如图2-4-1是拦水坝的横断面，斜坡AB 的高度为6米，斜面的坡比为1:2， 则斜坡AB 的长为 米（保留根号）；3. （徐汇）如图2-4-2，已知4tan 3O =，点P 在边OA 上，5OP =，点M 、N 在边OB 上，PM PN =， 如果2MN =，那么PM = ；4. （六区）在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，如果6AB =，2cos 3A =，那么AC = ； 5. （六区）如图2-4-3，当小杰沿着坡度1:5i =的坡面由B 到A 直行走了26米时，小杰实际上升的高度i = 1:2BDAEC2-4-1NPA M2-4-22-4-3ACB2-3-8ABDP2-3-9AC = 米（结论可保留根号）6. （六区）已知不等臂跷跷板AB 长为3米，当AB 的一端点A 碰到地面时（如图2-4-4），AB 与地面的夹角为30°；当AB 的另一端点B 碰到地面时（如图2），AB 与地面的夹角的正弦值为13，那么跷跷板AB 的支撑点O 到地面的距离OH = 米7. （崇明）某飞机的飞行高度为1500m ，从飞机上测得地面控制点的俯角为60°，此时飞机与这地面控制 点的距离为 m ．8. （崇明）如图2-4-5，水库大坝的横截面是梯形，坝顶AD 宽5米，坝高10米，斜坡CD 的坡角为45︒， 斜坡AB 的坡度1:1.5i =，那么坝底BC 的长度为 米．9. （宝山）在△ABC 中，3cot 3A =，3cos 2B =，那么C ∠= ； 10.（宝山）B 在A 北偏东30°方向（距A ）2千米处，C 在B 的正东方向（距B ）2千米处，则C 和A 之间的距离为 千米；11.（长宁）如图2-4-6所示，铁路的路基横断面都是等腰梯形，斜坡AB 的坡度为1:3，斜坡AB 的水平 宽度BE =33m ，则斜坡AB =_________m. 12.（嘉定）在△ABC 中，︒=∠90C ，1312sin =A ，12=BC ，那么=AC ． 13.（嘉定）小杰在楼上点A 处看到楼下点B 处的小丽的俯角是︒36，那么点B 处的小丽看点A 处的小杰 的仰角是 度． 14.（奉贤）若α为锐角,已知cos α=21,那么tan α= ； 15.（虹口）在以O 为坐标原点的直角坐标平面内有一点A （2，4），如果AO 与x 轴正半轴的夹角为， 那么= ．16.（虹口）如图2-4-7，在△ABC 中，AD ⊥BC ，sin B =，BC =13，AD =12，则tan C 的值 ． 17.（金山）在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，如果4:3:=BC AC ，那么A cos 的值为 18.（金山）如图2-4-8，斜坡AB 的坡度3:1=i ，该斜坡的水平距离=AC 6米，那么斜坡AB 的长2-4-4BAHO BAHO2-4-5DAB C2-4-6C2-4-7DBA等于 米19.（金山）如图2-4-9，在ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB ,CD ⊥AB ，CD =4,A cos =32,那么BC = 20.（闸北）如果α是锐角，且tanα ＝cot20°，那么α＝ 度． 21.（闸北）计算：2sin60°＋tan45°＝ ．22.（闸北）如果一段斜坡的坡角是30°，那么这段斜坡的坡度是 ．（请写成1︰m 的形式）． 23.（普陀）在地面上离旗杆20米处的地方用测角仪器测得旗杆顶端的仰角为α，如果测角仪的高为 1.5米，那么旗杆的高为 米（用含α的三角比表示）；五、 平面向量1. （徐汇）如图2-5-1，正方形ABCD 被分割成9个全等的小正方形， P 、Q 是其中两个小正方形的 顶点，设AB a =，AD b =，则向量PQ = （用向量a 、b 来表示）；2. （六区）计算：33()22a ab -+-= ； 3. （长宁）计算：3()3a b a --=_________；4. （奉贤）若→a 与→e 方向相反且长度为3,那么→a = →e ；5. （虹口）如图2-5-2，在△ABC 中，DE ∥BC ， BD=2AD ，设，，用向量、表示 向量DE = ．6. （金山）计算：()+-b a 22________313=⎪⎭⎫⎝⎛-b a ；7. （金山）如图2-5-3, 在ABC ∆中，BE AD 、分别是边AC BC 、上的中线，BE AD 、相交于点G .设=AB a →,=AD b → ,那么=BE (用 a →、b →的 式子表示) 8. （普陀）计算：523()3a ab --= ；2-5-1BA BCDE2-5-22-4-8C 2-4-9B2-5-3DB六、 综合题（第18题）1. （徐汇）如图2-6-1，在△ABC 中，90ABC ∠=︒，6AB =，8BC =，点M 、N 分别在边AB 、BC上，沿直线MN 将△ABC 折叠，点B 落在点P 处，如果AP ∥BC 且4AP =，那BN = ；2. （六区）把一个三角形绕其中一个顶点逆时针旋转并放大或缩小（这个顶点不变），我们把这样的三角形运动称为三角形的T-变换，这个顶点称为T-变换中心，旋转角称为T-变换角，三角形与原三角形的对应边之比称为T-变换比；已知△ABC 在直角坐标平面内，点(0,1)A -，(3,2)B -，(0,2)C ，将△ABC 进行T-变换，T-变换中心为点A ，T-变换角为60°，T-变换比为23，那么经过T-变换后点C 所对应的点的坐标为 ；3. （崇明）如图2-6-2，将边长为6cm 的正方形ABCD 折叠，使点D 落在AB 边的中点E 处，折痕为FH ， 点C 落在Q 处，EQ 与BC 交于点G ，那么EBG ∆的周长是 cm4. （宝山）如图2-6-3直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，2CD =，AB BC =，1AD =，动点M 、N 分 别在AB 边和BC 的延长线运动，而且AM CN =，联结AC 交MN 于E ，MH ⊥AC 于H ，则EH = ；5. （长宁）如图2-6-4，正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转，得到正方形'''AB C D .当两个正方形重叠部分 的面积是原正方形面积的14时，1sin '2B AD ∠ _________. 6. （嘉定）在△ABC 中，9=AB ，5=AC ，AD 是BAC ∠的平分线交BC 于点D （如图2-6-5）， △ABD 沿直线AD 翻折后，点B 落到点1B 处，如果BAC DC B ∠=∠211，那么=BD ． 7. （奉贤）已知在△ABC 中，∠C=90o ，AC=3，BC=4．在平面内将△ABC 绕B 点旋转，点A 落到A ’，2-6-1PBA CMN2-6-2ABCDFG H QE2-6-3EDBC MH2-6-4D 'C 'B 'DCBAABCD2-6-5C2-6-6ABFE点C 落到C ’，若旋转后点C 的对应点C ’和点A 、点B 正好在同一直线上，那么∠A ’AC ’的正切值 等于 ；8. （虹口）如图2-6-6，在平行四边形ABCD 中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，联结DE ，F 为线段DE 上一点，且∠AFE ＝∠B ．若AB ＝5，AD ＝8，AE ＝4，则AF 的长为 ．9. （金山）如图2-6-7，在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ,4=AC ，3=BC .将ABC ∆绕着点C 旋转︒90， 点A 、B 的对应点分别是D 、E ，那么ADE ∠tan 的值为10. （闸北）如图2-6-8，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，点D 在边AB 上，线段D C 绕点D 逆时针旋转， 端点C 恰巧落在边AC 上的点E 处．如果m DB AD =，n ECAE=．那么m 与n 满足的关系式是： m ＝ （用含n 的代数式表示m ）．11.（普陀）如图2-6-9，已知△ABC 中，AB AC =，tan 2B =，AD ⊥BC 于点D ，G 是△ABC 的 重心，将△ABC 绕着重心G 旋转，得到△111A B C ，并且点1B 在直线AD 上，联结1CC ，那么11tan CC B 的值等于 ；七、圆与正多边形1. （崇明）已知正六边形的半径为2cm ，那么这个正六边形的边心距为 cm ；2. （崇明）半径分别为8cm 与6cm 的1O 与2O 相交于A 、B 两点，圆心距O 1O 2的长为10cm ， 那么公共弦AB 的长为 cm ；3. （宝山）已知两圆半径分别为3和7，圆心距为d ，若两圆相离，则d 的取值范围是 ；4. （宝山）如图2-7-1，圆O 的直径AB 垂直弦CD 于M ，且M 是半径OB 的中点，6CD =径AB 的长为 ；2-7-1MOB CD N MO C BA2-7-22-7-3OAB2-6-7B C ABD E C2-6-82-7-42-6-95. （长宁）已知⊙P 在直角坐标平面内，它的半径是5，圆心P （-3,4），则坐标原点O 与⊙P 的位置位置 关系是_________.6. （长宁）如果圆心O 到直线l 的距离等于⊙O 的半径，那么直线l 和⊙O 的公共点有________个.7. （嘉定）正九边形的中心角等于 度；8. （嘉定）如图2-7-2，AB 、AC 都是圆O 的弦，AB OM ⊥，AC ON ⊥，垂足分别为点M 、N ， 如果6=BC ，那么=MN ．9. （奉贤）正n 边形的边长与半径的夹角为75°,那么n= ；10.（奉贤）已知圆A 与圆B 内切，AB =10，圆A 半径为4，那么圆B 的半径为 ； 11.（金山）已知⊙O 的半径为5，点A 在⊙O 外，那么线段OA 的的取值范围是 12.（金山）如图2-7-3，已知直线AB 与⊙O 相交于A 、B 两点， 30=∠OAB ，半径2=OA ， 那么弦AB =_________13.（金山）已知⊙A 与⊙B 的半径分别为3和2，若两圆相交，那么这两圆的圆心距AB 的取值 范围是14.（普陀）正八边形的中心角为 ；15.（普陀）如图2-7-4，已知圆O 的半径为5，圆O 的一条弦AB 长为8，那么以3为半径的同心圆与 弦AB 位置关系是 ；第三部分 基础解答题一、 二次函数1. （徐汇）已知二次函数2y ax bx c =++（a 、b 、c 为常数，且0a ≠）经过A 、B 、C 、D 四个点， 其中横坐标x 与纵坐标y 的对应值如下表： （1）求二次函数解析式； （2）求△ABD 的面积；2. （六区）已知在直角坐标平面内，抛物线26y x bx =++经过x 轴上两点,A B ，点B 的坐标为(3,0)， 与y 轴相交于点C ； （1）求抛物线的表达式；（2）求△ABC 的面积；3. （宝山）已知一个二次函数的图像经过点(1,0)A 和点(0,6)B ，(4,6)C ，求这个抛物线的表达式 以及该抛物线的顶点坐标；4. （嘉定）已知二次函数)0(22≠+-=m n x mx y 的图像经过点)1,2(-和)2,1(-，求这个二次函数的 解析式，并求出它的图像的顶点坐标和对称轴．5. （虹口）（1）求该二次函数的解析式；（2）用配方法求出该二次函数图像的顶点坐标和对称轴．6. （金山）抛物线2(0)y ax bx c a =++≠向右平移2个单位得到抛物线1)3(2--=x a y ，且平移后的抛物线经过点)12(，A ． （1）求平移后抛物线的解析式；（2）设原抛物线与y 轴的交点为B ，顶点为P ， 平移后抛物线的对称轴与x 轴交于点M ， 求BPM ∆的面积．xyO7. （闸北）已知二次函数c bx x y ++-=22的图像经过点A （0，4）和B （1，－2）．（1）求此函数的解析式；并运用配方法，将此抛物线解析式化为y ＝a （x ＋m ）2＋k 的形式； （2）写出该抛物线顶点C 的坐标，并求出△CAO 的面积．8. （普陀）如图，已知二次函数的图像与x 轴交于点(1,0)A 和点B ，与y 轴交于点(0,6)C ，对称轴为 直线2x =，求二次函数解析式并写出图像最低点坐标二、 比例线段1. （徐汇）MN 经过△ABC 的顶点A ，MN ∥BC ，AM AN =，MC 交AB 于D ，NB 交AC 于E ； （1）求证：DE ∥BC ；（2）联结DE ，如果1DE =，3BC =，求MN 的长；三、 相似三角形1. （徐汇）已知菱形ABCD 中，8AB =，点G 是对角线BD 上一点，CG 交BA 的延长线于点F ；（1）求证：2AG GE GF =⋅； （2）如果12DG GB =，且AG BF ⊥，求cos F ；2. （六区）已知如图，D 是△ABC 的边AB 上一点，DE ∥BC ，交边AC 于点E ，延长DE 至点F ， 使EF DE =，联结BF ，交边AC 于点G ，联结CF （1）求证：AE EGAC CG=； （2）如果2CF FG FB =⋅，求证：CG CE BC DE ⋅=⋅3. （崇明）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AD AB =，2ABC C ∠=∠，E 与F 分别为边AD 与DC 上的两点，且有EBF C ∠=∠．（1）求证：::BE BF BD BC =；（2）当F 为DC 中点时，求:AE ED 的比值．4. （宝山）如图，D 为等边△ABC 边BC 上一点，DE ⊥AB 于E ，若:2:1BD CD =，DE =23AE ；DABCEF5. （宝山）如图，正方形ABCD 中，（1）E 为边BC 的中点，AE 的垂直平分线分别交AB 、AE 、CD 于G 、F 、H ，求GFFH； （2）E 的位置改动为边BC 上一点，且BE k EC =，其他条件不变，求GFFH的值；6. （长宁）如图，在△ABC 中，AD 是BC 上的高，点G 在AD 上，过点G 作BC 的平行线分别与AB 、 AC 交于P 、Q 两点，过点P 作PE ⊥BC 于点E ，过点Q 作QF ⊥BC 于点F . 设AD =80，BC =120，当四 边形PEFQ 为正方形时，试求正方形的边长.7. （嘉定）已知：如图，在△ABC 中，点D 在边BC 上，且DAG BAC ∠=∠，BAD CDG ∠=∠． （1）求证：ACAGAB AD =； （2）当BC GC ⊥时，求证：︒=∠90BAC ．8. （奉贤）如图，在四边形ABCD 中，∠B =∠ACD ，过D 作AC ∥DE 交BC 的延长线于点E ，且2CD AC DE =⋅FEDG C A E D BF1 2 G C A E FB（1）求证：∠DAC =∠DCE ；（2）若DE AC AD AB AD ⋅+⋅=2,求证：∠ACD =90o ．9. （虹口）如图，在△ABC 中，点D 在边AC 上，AE 分别交线段BD 、边BC 于点F 、G ，∠1=∠2， ．求证：．10.（虹口）如图，在Rt △CAB 与Rt △CEF 中，∠ACB=∠FCE=90°，∠CAB=∠CFE ，AC 与EF 相交于 点G ，BC =15，AC=20．（1）求证：∠CEF =∠CAF ； （2）若AE =7，求AF 的长．11.（金山）如图，ABC ∆中，PC 平分ACB ∠，PC PB = (1)求证：APC ∆∽ACB ∆；(2)若2=AP ，6=PC ，求AC 的长．ADE CBABCP12.（闸北）如图，已知等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝1，BC ＝3， AB ＝CD ＝2，点E 在BC 边上， AE 与BD 交于点F ，∠BAE ＝∠DBC ， （1）求证：△ABE ∽△BCD ；（2）求tan ∠DBC 的值； （3）求线段BF 的长．13.（普陀）如图，已知在△ABC 中，90ACB ︒∠=，点D 在边BC 上，CE AB ⊥，CF AD ⊥，E 、F 分别是垂足（1）求证：2AC AF AD =⋅（2）联结EF ，求证：AE DB AD EF ⋅=⋅四、 直角三角形锐角比1. （徐汇）如图，在电线杆上的C 处引拉线CE 、CF 固定电线杆，拉线CE 和地面成60°角，在离电线 杆6米处安置测角仪AB ，在A 处测得电线杆上C 处的仰角为23°，已知测角仪AB 的高为1.5米， 求拉线CE 的长； 【已知5sin 2313︒≈，12cos 2313︒≈，5tan 2312︒≈，结果保留根号】2. （六区）如图，某幢大楼的外墙边上竖直安装着一根旗杆CD ，小明在离旗杆下方大楼底部E 点24米 的点A 处放置一台测角仪，测角仪的高度AB 为1.5米，并在点B 处测得旗杆下端C 的仰角为40°， 上端D 的仰角为45°，求旗杆CD 的长度；（结果精确到0.1米，参考数据：sin 400.64︒≈，cos400.77︒≈，tan 400.84︒≈）图8A BCDF3. （崇明）计算：2014cos301(cot 45)sin 60︒-+-︒+︒4. （六区）用含30°、45°、60°这三个特殊角的四个三角比及其组合可以表示某些实数，如：12可表示为1sin 30cos60tan 45sin 302=︒=︒=︒⋅︒=…；仿照上述材料，完成下列问题： （1）用含30°、45°、60°这三个特殊角的三角比或其组合表示32，即填空：32= = = =…； （2）用含30°、45°、60°这三个特殊角的三角比，结合加、减、乘、除四种运算，设计一个等式，要求：等式中须含有这三个特殊角的三角比，上述四种运算都至少出现一次，且这个等式的结果等于1，即填空：1=5. （崇明）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，点D 是BC 边上的一点，6CD =，3cos 5ADC ∠=，2tan 3B =．（1）求AC 和AB 的长； （2）求sin BAD ∠的值．6. （崇明）如图，轮船从港口A 出发，沿着南偏西15︒的方向航行了100海里到达B 处，再从B 处沿着北 偏东75︒的方向航行200海里到达了C 处． （1）求证：AC AB ⊥；（2）轮船沿着BC 方向继续航行去往港口D 处，已知港口D 位于港口A 的正东方向，求轮 船还需航行多少海里．DA BC北AB C东。

2015年上海市虹口区高考数学一模试卷一、填空题（本大题满分56分）本大题共14题，只要求在答题纸相应题号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．（4分）椭圆：的焦距是．2．（4分）在的展开式中，各项系数之和为．3．（4分）若复数z满足=2﹣i（i为虚数单位），则复数z=．4．（4分）若正实数a，b满足ab=32，则2a+b的最小值为．5．（4分）行列式的最小值为．6．（4分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若A=75°，B=60°，b=，则c=．7．（4分）若f（x）=则方程f（x）=1的解的个数为：．8．（4分）若数列{a n}为等差数列，且a1=1，a2+a3+a4=21，则=．9．（4分）设等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n，若S n﹣1，S n，S n+1成等差数列，则q=．10．（4分）已知l1，l2是分别经过A（2，1），B（0，2）两点的两条平行直线，当l1，l2之间的距离最大时，直线l1的方程是．11．（4分）若抛物线y2=4x上的两点A、B到焦点的距离之和为6，则线段AB的中点到y轴的距离为．12．（4分）10件产品中有8件正品，2件次品，从中任取3件，则恰好有一件次品的概率为．（结果用最简分数表示）13．（4分）如图是正四面体的平面展开图，M、N、G分别为DE、BE、FE的中点，则在这个正四面体中，MN与CG所成角的大小为．14．（4分）右图为函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的部分图象，M、N是它与x轴的两个交点，D、C分别为它的最高点和最低点，E （0，1）是线段MD的中点，且，则函数f（x）的解析式为．二、选择题（本大题共4题，满分20分）每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应题号上，将所选答案的代号涂黑，选对得5分，否则一律零分.15．（5分）设全集U=R，A={x|y=ln（1﹣x）}，B={x||x﹣1|＜1}，则（∁U A）∩B=（）A．（﹣2，1）B．（﹣2，1]C．[1，2）D．（1，2）16．（5分）设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（）A．B．C．D．且17．（5分）关于曲线C：x4+y2=1，给出下列四个命题：①曲线C关于原点对称；②曲线C关于直线y=x对称③曲线C围成的面积大于π④曲线C围成的面积小于π上述命题中，真命题的序号为（）A．①②③B．①②④C．①④D．①③18．（5分）若直线y=kx+1与曲线有四个公共点，则k的取值集合是（）A．B．C．D．三、解答题（本大题共5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要步骤.19．（12分）已知，求的值．20．（14分）一个透明的球形装饰品内放置了两个公共底面的圆锥，且这两个圆锥的顶点和底面圆周都在这个球面上，如图，已知圆锥底面面积是这个球面面积的，设球的半径为R，圆锥底面半径为r．（1）试确定R与r的关系，并求出较大圆锥与较小圆锥的体积之比；（2）求出两个圆锥的体积之和与球的体积之比．21．（14分）已知函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，且f（x）=x2+2x．（Ⅰ）求函数g（x）的解析式；（Ⅱ）若h（x）=g（x）﹣mf（x）在[﹣1，1]上是增函数，求实数m的取值范围．22．（16分）已知各项均不为零的数列{a n}的前n项和为S n，且4S n=a n•a n+1+1（n ∈N*），其中a1=1．（1）求证：a1，a3，a5成等差数列；（2）求证：数列{a n}是等差数列；（3）设数列{b n}满足=1+，且T n为其前n项和，求证：对任意正整数n，不等式2T n＞log2a n+1恒成立．23．（18分）已知F1、F2为为双曲线C：=1的两个焦点，焦距|F1F2|=6，过左焦点F1垂直于x轴的直线，与双曲线C相交于A，B两点，且△ABF2为等边三角形．（1）求双曲线C的方程；（2）设T为直线x=1上任意一点，过右焦点F2作TF2的垂线交双曲线C与P，Q 两点，求证：直线OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；（3）是否存在过右焦点F2的直线l，它与双曲线C的两条渐近线分别相交于R，S两点，且使得△F1RS的面积为6？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．2015年上海市虹口区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分）本大题共14题，只要求在答题纸相应题号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．（4分）椭圆：的焦距是2．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】直接利用椭圆的方程求出a，b然后求出2c，即可．【解答】解：因为椭圆：，所以a2=2，b2=1，所以c2=1，所以2c=2．所以椭圆的焦距为2．故答案为：2．【点评】本题考查椭圆的基本性质的应用，考查计算能力．2．（4分）在的展开式中，各项系数之和为1．【考点】DA：二项式定理．【专题】5P：二项式定理．【分析】在的展开式中，令x=1，可得各项系数之和．【解答】解：在的展开式中，令x=1，可得各项系数之和为19=1，故答案为：1．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，是给变量赋值的问题，关键是根据要求的结果，选择合适的数值代入，属于基础题．3．（4分）若复数z满足=2﹣i（i为虚数单位），则复数z=﹣5i．【考点】A5：复数的运算．【专题】5N：数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：∵复数z满足=2﹣i，∴z===﹣5i，故答案为：﹣5i．【点评】本题考查了复数的运算法则，属于基础题．4．（4分）若正实数a，b满足ab=32，则2a+b的最小值为16．【考点】7F：基本不等式及其应用．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵正实数a，b满足ab=32，∴2a+b=16，当且仅当2a=b=8时取等号．∴2a+b的最小值为16．故答案为：16．【点评】本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．5．（4分）行列式的最小值为﹣5．．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；HW：三角函数的最值．【专题】56：三角函数的求值．【分析】据已知化简先求出函数的解析式为sin（x﹣φ），从而根据正弦函数的图象和性质可求其最小值．【解答】解：∵原式=3sinxtan（+x）﹣4cosxtan（π﹣x）=4sinx﹣3cosx=5sin（x ﹣φ），（其中，tanφ=﹣），∴根据正弦函数的图象和性质可知行列式的最小值为﹣5，故答案为：﹣5．【点评】本题主要考察了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的最值的求法，属于基本知识的考查．6．（4分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若A=75°，B=60°，b=，则c=．【考点】HP：正弦定理．【专题】58：解三角形．【分析】由A与B求出C的度数，再由sinB，b，sinC的值，利用正弦定理求出c的值即可．【解答】解：∵A=75°，B=60°，∴C=45°，由正弦定理=得：c===，故答案为：【点评】此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．7．（4分）若f（x）=则方程f（x）=1的解的个数为：3．【考点】53：函数的零点与方程根的关系．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】画出图象，求出当x＜0时，f（x）=1，即x=﹣1，f（x）=1有1个解，当0≤x≤π时，f（x）=1，运用图象判断即可．【解答】解：f（x）=当x＜0时，f（x）=1，即x=﹣1，1个解．当0≤x≤π时，f（x）=1，x2=2sinx，2个解．∴方程f（x）=1的所有解的个数3个故答案为：3【点评】本题考查了函数的性质，运用图象判断函数的单调性，结合图象判断交点个数，得出零点个数．8．（4分）若数列{a n}为等差数列，且a1=1，a2+a3+a4=21，则=．【考点】6F：极限及其运算；83：等差数列的性质．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】设出等差数列的公差，由已知求得公差，然后求等差数列的前n项和后代入得答案．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，由a1=1，a2+a3+a4=21，得3a1+6d=21，即3+6d=21，d=3．∴====．故答案为：．【点评】本题考查了等差数列的性质，考查了数列极限的求法，是基础题．9．（4分）设等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n，若S n﹣1，S n，S n+1成等差数列，则q=1．【考点】83：等差数列的性质；89：等比数列的前n项和．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】根据题意和等差数列的定义可得a n=a n+1，再由等比数列的通项公式求出公比q．，S n，S n+1成等差数列，【解答】解：因为S n﹣1所以S n﹣S n﹣1=S n+1﹣S n，即a n=a n+1，所以a n+1=a n•q，解得q=1，故答案为：1．【点评】本题考查了等比数列的通项公式，等差数列的定义，以及数列前n项与数列中项之间的关系，属于基础题．10．（4分）已知l1，l2是分别经过A（2，1），B（0，2）两点的两条平行直线，当l1，l2之间的距离最大时，直线l1的方程是2x﹣y﹣3=0．【考点】IU：两条平行直线间的距离．【专题】5B：直线与圆．【分析】l1，l2间的距离最大时，AB和这两条直线都垂直．由斜率公式求得AB 的斜率，取负倒数可得直线l1的斜率，用点斜式求直线l1的方程．【解答】解：由题意可得，l1，l2间的距离最大时，AB和这两条直线都垂直．由于AB的斜率为=，故直线l1的斜率为：2，故它的方程是y﹣1=2（x ﹣2），化简为2x﹣y﹣3=0，故答案为：2x﹣y﹣3=0．【点评】本题主要考查直线的斜率公式，用点斜式求直线的方程，属于中档题．11．（4分）若抛物线y2=4x上的两点A、B到焦点的距离之和为6，则线段AB的中点到y轴的距离为2．【考点】K8：抛物线的性质．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出A，B的中点横坐标的和，求出线段AB的中点到y轴的距离．【解答】解：∵F是抛物线y2=4x的焦点∴F（1，0），准线方程x=﹣1设A（x1，y1），B（x2，y2）∴|AF|+|BF|=x1+1+x2+1=6∴x1+x2=4，∴线段AB的中点横坐标为2，∴线段AB的中点到y轴的距离为2，故答案为：2【点评】本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题，解题的关键是利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离．12．（4分）10件产品中有8件正品，2件次品，从中任取3件，则恰好有一件次品的概率为．（结果用最简分数表示）【考点】C5：互斥事件的概率加法公式；C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．【专题】5I：概率与统计．【分析】根据所有的取法共有种，而满足条件的取法有•种，从而求得所求事件的概率．【解答】解：所有的取法共有种，而满足条件的取法有•种，故恰好有一件次品的概率为=，故答案为：．【点评】本题主要考查古典概型及其概率计算公式的应用，属于基础题．13．（4分）如图是正四面体的平面展开图，M、N、G分别为DE、BE、FE的中点，则在这个正四面体中，MN与CG所成角的大小为arccos．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【专题】5G：空间角．【分析】把这个正四面体的平面展开图还原得到正四面体P﹣DEF，其中A，B，C三点重合为点P，MN与CG所成角为∠DPG，由此能求出结果．【解答】解：把这个正四面体的平面展开图还原得到如图所示的正四面体P﹣DEF，其中A，B，C三点重合为点P，设正四面体P﹣DEF的棱长为2，∵M，N，G分别为DE，PE，EF的中点，∴MN∥PD，∴MN与CG所成角为∠DPG，连结DG，则DG=PG=，PD=2，∴cos∠DPG==．∴∠DPG=arccos．故答案为：arccos．【点评】本题考查异面直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．14．（4分）右图为函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的部分图象，M、N是它与x轴的两个交点，D、C分别为它的最高点和最低点，E （0，1）是线段MD的中点，且，则函数f（x）的解析式为f （x）=2sin（2x+）．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】57：三角函数的图像与性质．【分析】由已知点E（0，1）是线段MD的中点知A=2，根据，求得ω=2，又由E（0，1）是线段MD的中点，分析可得D、M的坐标，进而可得φ的值，从而求得函数的解析式．【解答】解：由已知点E（0，1）是线段MD的中点知A=2，根据，可得||•||•cos∠DMN=•==，求得ω=2．∴函数f（x）=2sin（2x+φ），又由E（0，1）是线段MD的中点，则D的纵坐标为2，且点M、D的横坐标互为相反数．又由ω=2，则周期T==π．设点D的横坐标为a，则点M的横坐标为﹣a，2a=•T=，∴a=，故M的坐标为（﹣，0），D的坐标为（，2）．根据五点法作图可得2•（﹣）+φ=0，可得φ=，∴f（x）=2sin（2x+），故答案为：f（x）=2sin（2x+）．【点评】本题主要考查利用y=Asin（ωx+∅）的图象特征，由函数y=Asin（ωx+∅）的部分图象求解析式，三角函数的恒等变换及化简求值，属于中档题．二、选择题（本大题共4题，满分20分）每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应题号上，将所选答案的代号涂黑，选对得5分，否则一律零分.15．（5分）设全集U=R，A={x|y=ln（1﹣x）}，B={x||x﹣1|＜1}，则（∁U A）∩B=（）A．（﹣2，1）B．（﹣2，1]C．[1，2）D．（1，2）【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【专题】11：计算题；5J：集合．【分析】化简集合A，B；求集合（∁U A）∩B即可．【解答】解：A={x|y=ln（1﹣x）}=（﹣∞，1），B={x||x﹣1|＜1}=（0，2），故（∁U A）∩B=[1，2）；故选：C．【点评】本题考查了集合的化简与运算，属于基础题．16．（5分）设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（）A．B．C．D．且【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件；96：平行向量（共线）．【专题】5L：简易逻辑．【分析】利用向量共线的充要条件，求已知等式的充要条件，进而可利用命题充要条件的定义得其充分条件【解答】解：⇔⇔与共线且同向⇔且λ＞0，故选：C．【点评】本题主要考查了向量共线的充要条件，命题的充分和必要性，属基础题．17．（5分）关于曲线C：x4+y2=1，给出下列四个命题：①曲线C关于原点对称；②曲线C关于直线y=x对称③曲线C围成的面积大于π④曲线C围成的面积小于π上述命题中，真命题的序号为（）A．①②③B．①②④C．①④D．①③【考点】KE：曲线与方程．【专题】15：综合题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】将方程中的x换为﹣x，y换为﹣y，方程不变，判断出①对；通过将方程中的x，y互换方程改变，判断出②错；由方程上的点的坐标有界判断出③对，④错．【解答】解：对于①，将方程中的x换成﹣x，y换成﹣y方程不变，所以曲线C 关于x轴、y轴、原点对称，故①对对于②，将方程中的x换为y，y换为x方程变为y4+x2=1与原方程不同，故②错对于③，在曲线C上任取一点M（x0，y0），x04+y02=1，∵|x0|≤1，∴x04≤x02，∴x02+y02≥x04+y02=1，即点M在圆x2+y2=1外，故③对，④错．故选：D．【点评】本题考查点（x，y）关于x轴的对称点为（x，﹣y）；关于y轴的对称点为（﹣x，y）；关于原点的对称点（﹣x，﹣y）；关于y=x的对称点为（y，x）．18．（5分）若直线y=kx+1与曲线有四个公共点，则k的取值集合是（）A．B．C．D．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【专题】13：作图题；32：分类讨论．【分析】令t=x﹣==，通过分类讨论，去掉绝对值符号，得到分段函数表达式，作出其图象即可得到答案【解答】解：t=x﹣==，①若x≤﹣1，t≤0，y=|x+|﹣|x﹣|=（﹣x﹣）﹣（﹣x）=﹣；②若﹣1＜x＜0，t＞0，y=|x+|﹣|x﹣|=（﹣x﹣）﹣（x﹣）=﹣2x；③若0＜x＜1，t＜0，则y=|x+|﹣|x﹣|=（x+）﹣（﹣x）=2x；④若x≥1，t≥0，则曲线y=|x+|﹣|x﹣|=（x+）﹣（x﹣）=．∴y=，作图如右：由于直线y=kx+1经过定点A（0，1），当过A点的直线m与曲线y=﹣相切时，直线m与曲线y=|x+|﹣|x﹣|有四个公共点，设切点坐标为：（x0，y0），则k=（﹣）′|x=x0=，∴y0=﹣=kx0+1=•x0+1，解得，x0=﹣4，∴k==；同理，可得当直线n与曲线y=相切时，直线n与曲线y=|x+|﹣|x﹣|有四个公共点，可求得直线n的斜率为k′=﹣；当过A点的直线l∥x轴，即其斜率为0时，直线l与曲线y=|x+|﹣|x﹣|有四个公共点；综上所述，实数k的取值范围是{，0，﹣}．故选：A．【点评】本题考查带绝对值的函数，关键在于去绝对值符号，难点在于分类讨论去绝对值符号，考查作图能力，属于难题．三、解答题（本大题共5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要步骤.19．（12分）已知，求的值．【考点】GP：两角和与差的三角函数；GS：二倍角的三角函数．【专题】11：计算题；56：三角函数的求值．【分析】先由x的范围，确定x﹣的范围，运用同角的平方关系，即可得到sin （x﹣）；再由sinx=sin[（x）+]，运用两角和的正弦公式，计算即可得到；由cos2x=sin（﹣2x），运用二倍角的正弦公式，即可计算得到．【解答】解：由于，则x﹣∈（，），即有sin（x﹣）===；sinx=sin[（x）+]=sin（x﹣）cos+cos（x﹣）sin=（）=；cos2x=sin（﹣2x）=﹣2sin（x﹣）cos（x﹣）=﹣2×=﹣．【点评】本题考查三角函数的求值，考查同角的平方关系，两角和的正弦公式及二倍角公式、诱导公式，考查角的变换，考查运算能力，属于中档题和易错题．20．（14分）一个透明的球形装饰品内放置了两个公共底面的圆锥，且这两个圆锥的顶点和底面圆周都在这个球面上，如图，已知圆锥底面面积是这个球面面积的，设球的半径为R，圆锥底面半径为r．（1）试确定R与r的关系，并求出较大圆锥与较小圆锥的体积之比；（2）求出两个圆锥的体积之和与球的体积之比．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LG：球的体积和表面积．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】（1）设出球的半径，求出球的面积，然后求出圆锥的底面积，求出圆锥的底面半径，即可求出体积较小者的高与体积较大者的高的比值．（2）由（1）分别求出两个圆锥体积的和及球的体积，可得答案．【解答】解：（1）不妨设球的半径为：4；则球的表面积为：64π，圆锥的底面积为：12π，∴圆锥的底面半径为：2；由几何体的特征知球心到圆锥底面的距离，球的半径以及圆锥底面的半径三者可以构成一个直角三角形由此可以求得球心到圆锥底面的距离是=2，所以圆锥体积较小者的高为：4﹣2=2，同理可得圆锥体积较大者的高为：4+2=6；又由这两个圆锥的底面相同，∴较大圆锥与较小圆锥的体积之比等于它们高之比，即3：1（2）由（1）可得两个圆锥的体积和为：=32π，球的体积为：=，故两个圆锥的体积之和与球的体积之比为：32π：=3：8【点评】本题考查的知识点是球的体积和表面积，圆柱的体积和表面积，其中熟练掌握球和圆锥的体积表面积公式，是解答的关键．21．（14分）已知函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，且f（x）=x2+2x．（Ⅰ）求函数g（x）的解析式；（Ⅱ）若h（x）=g（x）﹣mf（x）在[﹣1，1]上是增函数，求实数m的取值范围．【考点】36：函数解析式的求解及常用方法；3E：函数单调性的性质与判断；6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）设g（x）的图象上任意一点（x，y），则关于原点对称点的坐标为（﹣x，﹣y），代入f（x）=x2+2x，即可得结论；（Ⅱ）求导函数，根据h（x）在[﹣1，1]上是增函数且非常函数，则在[﹣1，1]上h′（x）≥0恒成立．建立不等式组，即可求得结论．【解答】解：（Ⅰ）设g（x）的图象上任意一点（x，y），则关于原点对称点的坐标为（﹣x，﹣y），代入f（x）=x2+2x，可得﹣y=x2﹣2x，∴y=﹣x2+2x，∴g（x）=﹣x2+2x …（6分）（Ⅱ）h（x）=g（x）﹣mf（x）=﹣x2+2x﹣m（x2+2x）=﹣（1+m）x2+2（1﹣m）x求导函数可得h′（x）=﹣2（1+m）x+2（1﹣m）…（9分）依题设知：h（x）在[﹣1，1]上是增函数且非常函数，则在[﹣1，1]上h′（x）≥0恒成立．∴，解得：m≤0…（12分），【点评】本题考查函数的性质，考查导数知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．22．（16分）已知各项均不为零的数列{a n}的前n项和为S n，且4S n=a n•a n+1+1（n ∈N*），其中a1=1．（1）求证：a1，a3，a5成等差数列；（2）求证：数列{a n}是等差数列；（3）设数列{b n}满足=1+，且T n为其前n项和，求证：对任意正整数n，不等式2T n＞log2a n+1恒成立．【考点】83：等差数列的性质；8E：数列的求和．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】（1）利用递推关系式求出数列中的各项的值．（2）利用递推关系式求数列的通项公式，先进行分类，进一步总结出数列的通项公式．（3）根据（2）的结论，进一步求出数列{b n}的通项公式，再利用数学归纳法进行证明，从而得到恒成立问题．【解答】（1）证明：各项均不为零的数列{a n}的前n项和为S n，且4S n=a n•a n+1+1（n∈N*），其中a1=1．则：当n=1时，解得：a2=3当n=2时，解得：a3=5当n=3时，解得：a4=7当n=4时，解得：a5=9由于：2a3=a1+a5所以：a1，a3，a5成等差数列．（2）证明：由于4S n=a n a n+1+1①=a n a n﹣1+1②所以：4S n﹣1﹣a n﹣1=4①﹣②得：a n+1则数列的相邻项成等差数列．③当数列是奇数项时，a1=1公差为4则：数列a n=1+4（n﹣1）=4n﹣3④当数列是偶数项时，a2=3则：数列a n=3+4（n﹣1）=4n﹣1则相邻项的差值为2，所以数列{a n}为等差数列．（3）解：由（2）得到：a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1所以：整理得：T n=b1+b2+…+b n=则：要使不等式2T n＞log2a n+1恒成立只需满足恒成立即可．即：恒成立用数学归纳法证明：①当n=1时，2＞恒成立．②当n=k时，恒成立则：当n=k+1时，===所以无论n取任意正整数上述不等式恒成立．【点评】本题考查的知识要点：利用递推关系式求数列的通项公式，数学归纳法的应用．属于中等题型．23．（18分）已知F1、F2为为双曲线C：=1的两个焦点，焦距|F1F2|=6，过左焦点F1垂直于x轴的直线，与双曲线C相交于A，B两点，且△ABF2为等边三角形．（1）求双曲线C的方程；（2）设T为直线x=1上任意一点，过右焦点F2作TF2的垂线交双曲线C与P，Q 两点，求证：直线OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；（3）是否存在过右焦点F2的直线l，它与双曲线C的两条渐近线分别相交于R，S两点，且使得△F1RS的面积为6？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）由已知得2c=6，，，从而2a=||AF2|﹣|AF1||=2，由此能求出双曲线C的方程．（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），中点T′（x0，y0），则x1+x2=2x0，y1+y2=2y0，把P（x1，y1），Q（x2，y2）分别代入双曲线C的方程，利用点差法能推导出T为PQ的中点．（3）假设存在这样的直线，设直线l：x=my+3，R（x R，y R），S（x S，y S），分别求出y R=，y S=，由此推导出直线l的方程．【解答】（1）解：∵F1、F2为为双曲线C：=1的两个焦点，焦距|F1F2|=6，∴2c=6，即c=3，设|AF2|=2x，则36+x2=4x2，解得，，∴2a=||AF2|﹣|AF1||=2．∴a=，∴b2=9﹣3=6，∴双曲线C的方程为．（2）证明：设P（x1，y1），Q（x2，y2），中点T′（x0，y0），则x1+x2=2x0，y1+y2=2y0，把P（x1，y1），Q（x2，y2）分别代入双曲线C的方程，得，两式相减，得2（x1+x2）（x1﹣x2）﹣（y1+y2）（y1﹣y2）=0，∴4x0（x1﹣x2）﹣2y0（y1﹣y2）=0，∴k PQ===﹣=，∵T为直线x=1上任意一点，过右焦点F2作TF2的垂线交双曲线C与P，Q两点，∴===k OT，∴直线OT′与OT重合，∴OT过PQ的中点T'，∴直线OT平分线段PQ．（3）解：假设存在这样的直线，设直线l：x=my+3，R（x R，y R），S（x S，y S），联立，得y R=，联立，得y S=，==6，∴||=2，解得m=，∴直线l为：x=y+3．【点评】本题考查双曲线方程的求法，考查直线OT平分线段PQ的证明，考查满足条件的直线是否存在的判断与求法，解题时要注意函数与方程思想的合理运用．。

上海市虹口区复兴高中2015届高三上学期摸底数学试卷一、填空题（每小题4分，满分56分）1. （4分）不等式’|的解集是.K+4 '2. （4分）在厶ABC中，角A, B, C满足si nA : si nB : si nC=1 : 2： . _，则最大的角等于.3. （4分）若复数z满足z=i （2 - z）（i是虚数单位），则|z|=.4. （4 分）已知全集U=R 集合A=｛x|x+a >0, x€ R｝, B=｛x||x - 1| < 3, x € R｝.若（？U A） n B=[-2, 4]，则实数a的取值范围是.5. （4分）从甲、乙、丙、丁四人中任选两名代表，甲被选中的概率为6. （4分）设直线I仁ax+2y=0的方向向量是，[，直线l 2：x+ （a+1）y+4=0的法向量是：.,若与.平行，则a=.7. （4分）若圆锥的侧面积为3n,底面积为n,则该圆锥的体积为.X 1& （4分）若不等式：>0对任意x € R恒成立，则实数a的取值范围是.-1计曰2 2 29. （4分）若抛物线y =2px （p > 0）的焦点与双曲线x - y =2的右焦点重合，贝U p的值为."log, （x+1 ）!xE [6,十8）10. （4分）设函数f （x）= * J 的反函数为f 1（x），若_6I圧（-卩6〕|L3K-1 | —：1,贝U f （a+4）=.11.（4分）设a € R, （x- a）&的二项展开式中含x5项的系数为乙则15 （針/ + ・■・+ =.12. （4分）等差数列｛a n｝的通项公式为a n=2n - 8，下列四个命题.a 1 ：数列｛a n｝是递增数列；a 2：数列｛na n｝是递增数列；a 3：数列是递增数列；na 4：数列｛a n2｝是递增数列.其中真命题的是.13. ( 4分)设定义域为R 的函数f (工)斗丘二1 1 ’ ,若关于x 的方程f 2 (x ) +bf (x )| [1, 1=1+c=0有3个不同的整数解Xi ，X2, X3，则X I 2+X 22+X 32等于.14. ( 4分)将数轴Ox 、Oy 的原点放在一起，且使/ xOy=45，则得到一个平面斜坐标系.设二、选择题(每小题 5分，满分20分)215. (5分)若a € R,则"关于x 的方程x +ax+1=0无实根”是"z= ( 2a - 1) + (a - 1) i (其 中i 表示虚数单位)在复平面上对应的点位于第四象限”的()A.充分非必要条件 B .必要非充分条件 C.充要条件D.既非充分又非必要条件16. ( 5分)已知m 和n 是两条不同的直线，a 和B 是两个不重合的平面，那么下面给出的 条件中一定能推出 mX3的是()A. a 丄B,且 m? a B . m 〃 n ,且 n 丄B C. a 丄B,且 m 〃a D . ml n ,且 n 〃B2 2 ~* *_ • ■17. ( 5分)已知直线 x+y=a 与圆x +y =4交于A B 两点，且| I i ，|=|- , ,|，其中O为原点，则实数a 的值为()A. 2 B . - 2 C. 2 或-2 D.I,或-I,18. ( 5分)对于函数f (x ),若存在区间 A=[m, n]，使得{y|y=f (x ), x € A}=A ，则称函数f(x )为“可等域函数”，区间 A 为函数f (x )的一个“可等域区间”.给出下列4个函数：I 兀 ① f ( x ) =sin ( x );② f ( x ) =2x - 1; ③ f ( x ) =|1 - 2X | ; ④ f ( x ) =log 2 (2x - 2).其中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为()A.①②③ B .②③ C.①③ D.②③④三、解答题P 为坐标平面内的一点，其斜坐标定义如下：若——•・分别为与x 轴、y轴同向的单位向量)，则点P 的坐标为x , y )若 Fi (- 1 , 0), F2 (1, 0),且动点 M(x , y )则点M 的轨迹方程为.19. ( 12分)如图，在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形，PU底面ABCD E是PC的中点, 已知AB=2, AD=2 ： \ PA=2 求：(1)三角形PCD的面积；(2)异面直线BC与AE所成的角的大小.20. (14分)在厶ABC中，角A, B, C所对的边长分别为a, b, c,向量；_ ：'『，,::,(1) 求角B；(2) 若b=2，求△ ABC的面积的最大值.21. ( 14分)抛物线C: y2=2px (p>0)的焦点恰是椭圆=1的一个焦点，过点4 3的直线与抛物线C交于点A, B.(1)求抛物线C的方程;(2) O是坐标原点，求△ AOB的面积的最小值;(3) O是坐标原点，证明:证明：数列｛b n｝是等比数列; 求数列｛nb n｝的前n项和T n；2+ < +1的前n项和，求不超过P2014的最大的整气+c n数.23. (18 分)设a 是实数，函数f (x) =4x+|2x- a| (x € R).(1)求证：函数f (x)不是奇函数；(2)当a<0时，求满足f (x) > a2的x的取值范围；(3)求函数y=f (x)的值域(用a表示).F（・0）22. (16分)在数列{a n}中,, 2a n=a n2 -1- n- 1 （n》2, n€ N*）,设b n=a n+n.（出）,P n为数列参考答案与试题解析 一、填空题（每小题 4分，满分56分）1.（ 4分）不等式’|的解集是（-汽-4）U [3 , +R ）x+4考点：其他不等式的解法. 专题：不等式的解法及应用. 分析：由不等式可得!心-小‘创）氏，由此求得x 的范围.R+4 穽 0解答：解：由不等式'■，可得、■■ ’ ■',求得x V- 4，或x >3,X +Q JU U+4^0I故答案为：（-a,- 4）U [3 , +m ）.点评： 本题主要考查分式不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于基础题.2. （4分）在厶ABC 中，角A , B, C 满足si nA : si nB : si nC=1 : 2:衙，则最大的角等于孕」考点：余弦定理的应用；正弦定理. 专题： 计算题；解三角形. 分析：运用正弦定理，可得三边之比，判断最大的角，再由余弦定理，即可解得.解答： 解：运用正弦定理，得， sinA : sinB : sinC=1 : 2 :沐匚 即为 a : b : c=1 : 2： ||, 可令a=t , b=2t , c V 「t ，显然c 最大，由于0 V C Vn,即有C=—3点评： 本题考查正弦定理和余弦定理的运用，考查判断和运算能力，属于基础题.3. （4分）若复数z 满足z=i （2 - z ） （i 是虚数单位），则|z|=二考点： 复数求模；复数代数形式的乘除运算. 专题： 计算题.分析：由题意可得（1+i ） z=2i ，可得z=，再利用两个复数代数形式的除法，虚数单位1+ii 的幕运算性质求得 z 的值，即可求得|z| .解答： 解：T 复数z 满足z=i （2 - z ） （i 是虚数单位），二z=2i - iz ,即（1+i ） z=2i , 2L 2i （1-i ）……z= ------ = =1+i ,1+i （LH ） （1-D，故|z|=:对 故答案为打理. 点评：本题主要考查两个复数代数形式的除法，虚数单位属于基础题.4. (4 分)已知全集U=R 集合A={x|x+a >0, x € R}, B={x||x - 1| < 3, x € R}.若(？u A ) n B=[-由余弦定理，得,1i 的幕运算性质，求复数的模,2, 4]，则实数a的取值范围是a v- 4.考点：交、并、补集的混合运算.专题：集合.分析：表示出A中的解集确定出A,求出B中不等式的解集确定出B,根据A补集与B的交集确定出a的范围即可.解答：解：由A中的不等式解得：x>- a,即A=[ - a, +a）,•••全集U=R ••• ?U A= (-a,- a),由B中的不等式变形得：-3W x- K3,即-2W x w4, •- B=[ - 2, 4],•••( ?u A)n B=[ - 2, 4],••- a>4, 即卩a v- 4.故答案为：a v- 4点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键.（4分）从甲、乙、丙、丁四人中任选两名代表，甲被选中的概率为考点：等可能事件的概率.专题：计算题.分析：由题意列出选出二个人的所有情况，再根据等可能性求出事件“甲被选中”的概率.解答：解：由题意：甲、乙、丙、丁四人中任选两名代表，共有六种情况：甲和乙、甲和丙、甲和丁、乙和丙、乙和丁、丙和丁，因每种情况出现的可能性相等，所以甲被选中的概率为2故答案为：2.2点评：本题考查了等可能事件的概率的求法，即列出所有的实验结果，再根据每个事件结果出现的可能性相等求出对应事件的概率.6. （4分）设直线I仁ax+2y=0的方向向量是dr，直线l 2：x+ （a+1）y+4=0的法向量是口^ ,1 2若-"与门，平行，则考点：平行向量与共线向量；平面向量的坐标运算.专题：平面向量及应用.分析：先求出直线的法向量，再利用向量共线的充要条件即可得出a的值.解答： 解：由直线1仁ax+2y=0可得方向向量= （- 2, a ）;由直线丨2： x+ （a+1） y+4=0可得方向向量为（a+1，- 1）,其法向量门？= （1, a+1）;T J 与、平行，「•- 2 (a+1) - a=0,解得 a=-故答案为 点评：正确理解直线的法向量和向量的共线是解题的关键.7. （4分）若圆锥的侧面积为 3n,底面积为n,则该圆锥的体积为 f 「考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）. 专题： 空间位置关系与距离. 分析：由圆锥的侧面积求出圆锥的母线长度，由底面面积球底面圆半径，进一步求出圆锥的高，求体积. 解答：解：根据题意，圆锥的底面积为n,则其底面半径是1，底面周长为2n,又-X 2n l=3 n,•••圆锥的母线为3，则圆锥的高• ： ：「-二,故答案为：■'二3点评：本题是基础题，考查圆锥的有关计算，圆锥的侧面积，体积的求法，考查计算能力.| x&（ 4分）若不等式对任意x € R 恒成立，则实数 a 的取值范围是（-2, 2）.> 0对任意x € R 恒成立，因此△ =a - 4v 0，解得可得a 的范围.••X +ax+1 > 0对任意x € R 恒成立,2=a — 4v 0••- 2 v a v 2,故答案为：（-2, 2） 点评：本题主要考查二次不等式的解法，解一元二次不等式要借助于一元二次函数解决.一 1 x-Fa考点： 专题： 函数恒成立问题. 函数的性质及应用. 分析:不等式2 2-1X(- 1)> 0，即 x +ax+1 > 0,故 x +ax+1解答：解：：•不等式|等价于 x (x+a )- 1X> 0,即 x 2+ax+1 > 0,9. (4分)若抛物线y 2=2px (p >0)的焦点与双曲线 x 2-y 2=2的右焦点重合，贝U p 的值为4.考点：双曲线的简单性质；抛物线的简单性质. 专题：计算题. 分析：将双曲线化成标准方程，求得a 2=b 2=2的值，从而得到双曲线的右焦点为 F (2, 0),该点也是抛物线的焦点，可得=2，所以p 的值为4.22 2解答： 解：•••双曲线x 2- y 2=2的标准形式为：乙二12 2.•.a 2=b 2=2,可得c=.・|「=2，双曲线的右焦点为 F (2, 0) T 抛物线y 2=2px ( p > 0)的焦点与双曲线 x 2 - y 2=2的右焦点重合， •••丄=2,可得p=42故答案为：4 点评：本题给出抛物线与双曲线右焦点重合，求抛物线的焦参数的值，着重考查了双曲线的标准方程和抛物线简单几何性质等知识点，属于基础题._log, (x+1 ) , xf [6,十8)10. (4分)设函数f (x )二J的反函数为f 1 (x )，若3旷耳疋(一7 6)考点：反函数.专题：函数的性质及应用. 分析：由于f 7(丄)二且，可得f (a ) j.对a 分类讨论，即可得出.9 9解答：解：T f 7讣)=a ,当 x >6 时，f (x ) =- log 3 (x+1) <- log 37V 0，不符合条件，舍去； 当 x v 6 时，f (x ) =3x -6,令=3-2,. a - 6=- 2，解得 a=4,满足条件.g• f ( 8) = - log 39=- 2. 故答案为：-2. 点评：本题考查了分类讨论、反函数的性质、分段函数的性质，属于基础题.x 5项的系数为7,则• f ( a )一二 方.则 f (a+4) =- 2.11. ( 4分)设a € R , (x - a ) 8的二项展开式中含故答案为：-土. 3点评：本题主要考查二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质,等比数列的前n 项和公式，属于基础题.12. （ 4分）等差数列｛a n ｝的通项公式为a n =2n - 8，下列四个命题. a i :数列｛a n ｝是递增数列；a 2：数列｛na n ｝是递增数列； a 3：数列是递增数列；na 4：数列｛a n ）是递增数列.其中真命题的是 a i ,a 4.考点：等差数列的性质.专题：等差数列与等比数列.分析： 利用函数的单调性直接进行判断，从而得出结论. 解答： 解：•••等差数列｛a n ｝的通项公式为a n =2n -8, 数列｛a n ｝是递增数列，故 a 1是真命题；2T na n =2n - 8n ,•••数列｛na n ｝是先减后增数列，故 a 2是假命题； 匸=2弟•数列｛ ―-｝是递增数列，故 a 3是真命题；n2 2• a n =4n — 32n+64,••数列｛a n ｝不是递增数列，故 a 4是假命题. 故答案为：a i ,a 4. 点评：本题考查数列的函数特性的应用，是基础题，解题时要注意函数的单调性的灵活运用，属于基础题.13. ( 4分)设定义域为R 的函数f (工)二 丘二1 1‘ ,若关于x 的方程f 2 (x ) +bf (x )考点： 二项式系数的性质. 专题： 二项式定理.由条件求得a=-丄，可得a+a'+a 3*-2+a 的值，从而求得 li值. 解答:解：由于（x - a ） 8的二项展开式中含 x 5项的系数为3 ? (- a ) 3=7,•. a=-=3 (1 -屮)拎［「（令I=1 -a占1 -1乳（-丄）2分析: 2 - 二 a+a +a3 n]=-_一 ["T ■怕L尸1. . 2 2 2+c=0有3个不同的整数解x i, X2, x s,则x i +X2 +X3等于5.考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；根的存在性及根的个数判断. 专题：计算题；数形结合；分类讨论./ X f l \ I> 好1分析：根据已知中函数F (Q二彳一1 | 的解析式，我们可以画出函数F (工)二|x 一1「"厂1的图象，根据图象我们可以判断出关于x的方程f2(x) +bf (x)1 J尸1\. . ___________________________________________________________________________ _ 2 2 2+c=0有3个不同的整数解x i, X2, x s时，x i, X2, x s的值，进而求出X1 +X2+X3的值.|[| 1P占1解答：解：函数f (门二< 玄一1丨的图象如图所示：[1,孟二1由图易得函数的值域为(0, +8)令t=f (X )则方程f2(x) +bf (x) +c=02可化为t +bt+c=O ,若此方程无正根，则方程f2(x) +bf (x) +c=0无根若此方程有一个非1的正根，则方程f2(x) +bf (x) +c=0有两根；若此方程有一个等1的正根，则方程f2(x) +bf (x) +c=0有三根；2 2 2此时t=f (x) =1, X1=0, X2=1, X3=2, X1 +X2 +X3 =5若此方程有两个非1的正根，则方程f2(x) +bf (x ) +c=0有四根；若此方程有一个非1，一个等1的正根，则方程f2(x ) +bf (x) +c=0有五根；综上X12+X22+X32=5点评：本题考查的知识点是分段函数的解析式及其图象的作法，根的存在性及根的个数判1 ]厂,尹断，其中画出函数f(X)- is-1 r 的图象，根据图象我们可以判断出关于x的方程[1* x二1f2(x) +bf (x)+c=0有3个不同的整数解x i, X2, x s时，所满足的条件是解答醒本题的关键.14. ( 4分)将数轴Ox、Oy的原点放在一起，且使/ xOy=45，则得到一个平面斜坐标系.设P为坐标平面内的一点，其斜坐标定义如下：若_ , . 分别为与x轴、y轴同向的单位向量)，则点P的坐标为(x, y).若F i (- 1 , 0) , F2 (1, 0),且动点M(x, y)I臥I L满足f二i，则点M的轨迹方程为y=-“叵x.|o2| —_考点：轨迹方程.专题：圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：欲求点M在斜坐标系中的轨迹方程，只须求出其坐标x, y之间的关系即可，根据M 两I(x, y)满足L =1，建立等式关系，解之即可求出点M的轨迹方程.iMFjl解答：解：TF 1 (- 1 , 0), F2 (1 , 0),•••由定义知，帀=(—1—X)哥-药，丽;=(1 -X)哥-爲,I MP, I由动点M(x, y)满足 _____ i ~1 ,|化|得：I|=|W^|,所以(—1 - x) +y +2 (1+x) y..・.=(1 - x) +y - 2 (1 - x)y.. | ,所以(-1 - x) 2+y2+2 (1+x) y x二=(1 - x) 2+y2- 2 (1 - x) y X ',2 2整理得v <x+y=0,即y= - : :x.点M的轨迹方程为y= .点评：本题是新信息题，读懂信息，斜坐标系是一个两坐标轴夹角为45°的坐标系，本小题主要考查向量的模、平面向量的基本定理及其意义、轨迹方程等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想.属于中档题.二、选择题(每小题5分，满分20分)15. ( 5分)若a€ R,则"关于x的方程x2+ax+1=0无实根”是"z= ( 2a - 1) + (a - 1) i (其中i表示虚数单位)在复平面上对应的点位于第四象限”的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件考点：复数的代数表示法及其几何意义；必要条件、充分条件与充要条件的判断.分析：一方面由a€ R,且"关于x的方程x2+ax+1=0无实根"，得到厶=a 2- 4 v 0,解得a 的取值范围，即可判断出“ z= ( 2a- 1) + ( a- 1) i (其中i表示虚数单位)在复平面上对应的点是否位于第四象限”；另一方面，由“ a€ R, z= (2a- 1) + (a - 1) i (其中i表示虚数单位)在复平面上对应的点位于第四象限”，可得1>0，解出a的取值范围，即可判断出△<0是否成立即可.a-l< -0解答：解：①••• a€ R,且“关于x的方程x2+ax+1=0无实根”，•••△ =a - 4v 0,解得-2v a v2.•••- 3v2a - 1 v3,- 3v a- 1 v 1,因此z= ( 2a- 1) + (a - 1) i (其中i表示虚数单位)在复平面上对应的点不一定位于第四象限；②若“a€ R, z= (2a- 1) + (a- 1) i (其中i表示虚数单位)在复平面上对应的点位于第四象限”正确，f2a-l>0^[a-KO •••△< 0,•关于x的方程x2+ax+1=0无实根正确.综上①②可知：若a€ R,则“关于x的方程x2+ax+1=0无实根”是“ z= ( 2a - 1) + (a - 1) i(其中i表示虚数单位)在复平面上对应的点位于第四象限”的必要非充分条件.故选B.点评：熟练掌握实系数一元二次方程的是否有实数根与判别式△的关系、复数z位于第四象限的充要条件事件他的关键.16. ( 5分)已知m和n是两条不同的直线，a 和B是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出mX3的是()A. a丄B,且m? aB. m〃n,且n丄BC. a丄B,且m〃aD. ml n,且n〃B考点：直线与平面垂直的判定.专题：计算题；空间位置关系与距离.分析：根据A, B, C, D所给的条件，分别进行判断，能够得到正确结果.解答：解：alB，且m? a ? n? B,或m//B,或m与B相交，故A不成立；m// n,且n lB ? m±B，故B成立；alB,且m//a ? m? B,或m//B,或m与B相交，故C不成立；由ml n,且n //B,知m±B不成立，故D不正确.故选B.点评：本题考查直线与平面的位置关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答.17. ( 5分)已知直线x+y=a与圆x2+y2=4交于A B两点，且|八丨，|=| j ，其中0为原点，则实数a的值为()A. 2B. - 2C. 2 或-2D. 「或—「④••• f ( x ) =log 2 (2x - 2)单调递增，且函数的定义域为(1, +8), 加-2-严若存在“可等域区间”，则满足1□吕 2_” 二E log 2（2n - 2）-n，即[2n-2= 2n考点： 直线和圆的方程的应用；向量的模；向量在几何中的应用.专题：计算题.分析：条件"丨J -」=| I, - [I ”是向量模的等式，通过向量的平方可得向量的数量积I 丨，|2=|—- 「I 2,广；？|飞=0，可得出垂直关系，接下来，如由直线与圆的方程组成方程组求出A 、B 两点的坐标，势必计算很繁，故采用设而不求的方法.2 2解答： 解：由丨F 1 「一 . •」得1丨m | 一 . |」，？ I ,=o ,丄■,三角形AOB 为等腰直角三角形，圆心到直线的距离为鳥即一J = ', a=±2,故选C.V2点评：若非零向量 U ，满足iZ.-m* 「二i ，则□丄工.模的处理方法一般进行平方，转化成向量的数量积.向量是既有大小，又有方向的量，它既有代数特征，又有几何特征，通过向量可以实现代数问 题与几何问题的互相转化，所以向量是数形结合的桥梁.18. ( 5分)对于函数f (x ),若存在区间 A=[m, n]，使得{y|y=f (x ), x € A}=A ，则称函数f(x )为“可等域函数”，区间 A 为函数f (x )的一个“可等域区间”.给出下列 4个函数:I TT① f ( x ) =sin ( x );2② f ( x ) =2x - 1; ③ f ( x ) =|1 - 2x | ; ④ f ( x ) =log 2 (2x - 2).其中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为()考点： 正弦函数的定义域和值域. 专题： 新定义；函数的性质及应用.分析： 根据“可等域区间”的定义分别进行判断即可得到结论. 解答：I JT解：①函数f (x ) =sin (x )的周期是4，正弦函数的性质我们易得，A=[0 , 1]为函数的一个“可等域区间”，同时当 A=[ - 1 , 0]时也是函数的一个“可等域区间”，.••不 满足唯一性. ② 当A=[ - 1 , 1]时，f (x )€ [ - 1, 1]，满足条件，且由二次函数的图象可知，满足条件的 集合只有A=[ - 1, 1] 一个.③ A=[0, 1]为函数f (x ) =|2x - 1|的“可等域区间”，当 x € [0 , 1]时，f (x ) =2x - 1,函数单调递增，f (0) =1 - 1=0, f (1) =2 - 1=1 满足条件, •••m n 取值唯一.故满足条件.A.①②③B .②③C.①③D.②③④••• m n是方程2x - 2x+2=0 的两个根，设f (x) =2x-2x+2, f '( x) =2x ln2 - 2，当x> 1时, f '( x)> 0，此时函数f (x)单调递增，• f( x)=2x- 2x+2=0不可能存在两个解，故f (x) =log 2 (2x - 2)不存在"可等域区间”.故选：B.点评：本题主要考查与函数有关的新定义问题，根据“可等域区间”的定义，建立条件关系是解决本题的关键，综合性较强，有一定的难度.三、解答题19. ( 12分)如图，在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形，PU底面ABCD E是PC的中点, 已知AB=2, AD=2 :，PA=2 求：(1)三角形PCD的面积；(2)异面直线BC与AE所成的角的大小.考点：直线与平面垂直的性质；异面直线及其所成的角. 专题：证明题；综合题；空间位置关系与距离；空间角.分析：(1)可以利用线面垂直的判定与性质，证明出三角形PCD是以D为直角顶点的直角三角形，然后在Rt△ PAD中，利用勾股定理得到PD=2l ；，最后得到三角形PCD的面积S；(2)［解法一］建立如图空间直角坐标系，可得B、C E各点的坐标，从而「= (1，二1),此可得异面直线BC与AE所成的角的大小为［解法二］取PB的中点F,连接AF、EF, △ PBC中，禾U用中位线定理，得到EF// BC从而/ AEF 或其补角就是异面直线BC与AE所成的角，然后可以通过计算证明出：△ AEF是以F为直角顶兀TT点的等腰直角三角形，所以/ AEF=，可得异面直线BC与AE所成的角的大小为•.4 4解答：解：(1)v PAL底面ABCD CD?底面ABCD•CD L PA•••矩形ABCD中, CDLAD PA AD是平面PDC内的相交直线.•CDL平面PDA••• PD?平面PDA • CD L PD三角形PCD是以D为直角顶点的直角三角形.•/ Rt△ PAD 中,AD=2 :■: , PA=2,• PD=.L；；'=2■.0),利用空间向量数量积的公式，得到「.与I…夹角0满足：cos•••三角形PCD 的面积 S=_ X PDX DC=2. （2）［解法一］如图所示，建立空间直角坐标系，可得 B （2, 0, 0）, C （2, 卫,0）, E （1,血，1）.• AE = （1，近，1）, BC =（0,应,0）,设垃与P 夹角为B,则cos 0= 订…’：= ■: :=::|AE| |BC| 2X2^22長—，由此可得异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小为4［解法二］取PB 的中点F ,连接AF 、EF 、AC,•••△ PBC 中，E 、F 分别是PC PB 的中点，• EF// BC / AEF 或其补角就是异面直线 BC 与AE 所成的角.••• Rt △ PAC 中，PC=]…，眾'=4.• AE J PC=22点评： 本题根据一个特殊的四棱锥，求异面直线所成的角和证明线面垂直，着重考查了异面直线及其所成的角和直线与平面垂直的性质等知识，属于中档题.7T 7•••在△ AEF 中, EF 二BC 八:,AF 」PB=:• AF 2+EF 2=A^,^ AEF 是以F 为直角顶点的等腰直角三角形, • / AEF=，可得异面直线BC 与AE 所成的角的大小为47T720. ( 14分)在厶ABC中，角A, B, C所对的边长分别为a, b, c,向重 | 一一二址.匚二二，-- :"■，.，且''-.(1)求角B;(2)若b=2，求△ ABC的面积的最大值.考点：平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数；余弦定理.专题：解三角形.分析：(1 )利用数量积的运算法则、倍角公式、两角和差的正弦余弦公式及三角函数的单调性即可得出.(2)利用余弦定理和基本不等式即可得出ac< 4,再利用三角形的面积计算公式即可得出.解答：解：(1)，5 5二1 ,「•器］边- 2®/片1 ,•••拆匚g2B二2,五口(2B- —)二1, &又0V B<n,.・.—卫<證一6 6 6(2)v b=2, b2=a2+c2-2ac?cosB,•_ 二.-i - - ：；-：■：：!■ 一，即4=a2+c2—ac,•4=a2+c2- ac>2ac- ac=ac，即ac< 4,当且仅当a=c=2 时等号成立.—丄-「…：一，当a=b=c=2 时，「厂(:-:.点评：熟练掌握数量积的运算法则、倍角公式、两角和差的正弦余弦公式及三角函数的单调性、余弦定理和基本不等式、三角形的面积计算公式是解题的关键.21. ( 14分)抛物线C: y2=2px (p>0)的焦点恰是椭圆' =1的一个焦点，过点F (上，0)4 3 2 的直线与抛物线C交于点A, B.(1)求抛物线C的方程；(2)O是坐标原点，求△ AOB的面积的最小值；(3)O是坐标原点，证明：〔为定值.考点：椭圆的简单性质.专题：平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：(1 )根据已知条件知抛物线C的焦点(专，0)是椭圆的右焦点(1, 0),这样便可求得p=2,也就得到了抛物线方程为y2=4x；| - -T -—.-、； -：■:，而△ AOB 的面积可表示成> 2;而不存在斜率时容易求得S=2,所以△ AOB 的面积的最小值为 2;（3）由（2）即可求出|「- •；,所以说「=■为定值.解答： 解：（1）由已知条件知（三.I ）= （1, 0）;2.p=2;•••抛物线C 的方程为y 2=4x ;2 2（2） F （1, 0）, .F 是抛物线C 的焦点，如图，设直（牛，和），B 〔冷一，y 2）;根据题意知k z 0,.••扯J*],带入抛物线方程 y 2=4x 并整理得:2;•••即 S >2;②当过F 的直线不存在斜率，即垂直于x 轴时，直线方程为 x=1 ;（2）过F 的直线根据题意可分成两种情况：存在斜率 k ，（ k z 0）,和不存在斜率•存在斜率k 时，方程为y=kx - k ，联立抛物线方程可得/4二。

K 満分H分*茎中第(1)小・4拳・0时・55分)(1)矩形AJ3CD 中.ZABCF90Sm = io.\ AF±(T.且点F恳线敕CE的申点kAAE = AC-10.Rl^CBE 中・taiWECB -豆亡=寺./K 口TJJ? - 2710.R T ACBE中,GF«CF• lanZBCB* 寸岂(2)■/ ZABC = ZC*BE = 90a, ^LAGH二Z仇沪.fJG HE AH HC中形ABCD 中*AD HC,(1分》(1分)(1分〉(1分〉(1廿)<1知(I炉2015年上海一模25题集锦1、(2015年一模黄浦25题)25.在矩形ABCD中，= BC = 6.对谢线AC.交于点O,点疋在AB延长线上，联结CE, AF丄CE t分别交线段CE、边BC、对角线*D于点F、G. H(点F不与点C\ E重合｝；(D当点F是线段CE的中点时.求GF的长;(2〉设BE = x, OH = y.求y关于兀的函数解析式，并写出它的定义域;（3） f flH=BG时山丹=人0昇・5+了 = 6*即;二丫 "斛縛工二3.2' gGH=HG 时MD=AH・过点A作从f丄DH・垂足为H.5 * yRtACBE中^cosZADK = 2•二—j— =3 6 5将"粧晋代入⑴解密忑=£3* ^GH = BHBt.DH-AH- A点H ftAD ®fi平分线上. 此时点F与点C 3tf二書（舍）嫌上所迷BE的K<3或#.2、（2015年一模徐汇25题）.如图，梯形ABCD中，AD // BC ,对角线AC _ BC , AD =9 ,AC =12, BC =16，点E是边BC上的一个动点，-EAF - BAC , AF交CD于点F ,交BC 延长线于点G，设BE = x ；（1）试用x的代数式表示FC ；(2)设FGEF-y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域;BE的长;［来源学科网］25 (1分) （2分）（1分）BGE3^\DFco\GAl ：7当A是等農三角形若，&\DF 也为等腰三角形动点（D 和A 、B所以，BE = 7二不重合），过 D 作DE // BC 交AC 于E ，并以DE 为边向BC 一侧作正方形 DEFG ，设AD = x3（ 2015年一模宝山26题）.如图在△ ABC 中，AB=BC=10，AC =牛、5，D 为边AB 上一(3) = = t ZG = Zl AD当AF = DF 时，点F 为CD 中点3 Cl = DI0 <16林理得、V100作AH £ DF 于"，易得DH m"丸 EEAiUM'：.^CAr = ^tiAE* AB UL … 20 A-■ ■—r J » 1■AC - r e 12 ~ rcf C- -A5由弘I HEs 川Ci'得,搜1 £卜'5山报：,^Ai'E二90AF AC 123LI ~ H< ~16~ 斗3 15 25 CF -A =—、 -V -——5 22 当 Al ）二w 时， CF =3/. Cl = —A = 6 ? A 5=10(1) 请用X的代数式表示正方形DEFG的面积，并求出当边FG落在BC边上时的x的值;(2) 设正方形DEFG与厶ABC重合部分的面积为y，求y关于x的函数及其定义域；(3) 点D在运动过程中，是否存在D、G、B三点中的两点落在以第三点为圆心的圆上的情况？若存在，请直接写出此时AD的值，若不存在，则请说明理由;4、( 2015年一模崇明25题)(本题满分14分，其中第(1)小题5分，第(2)小题5分，第(3)小题4 分)已知在ABC中，AB =AC =5，BC =6，O为边AB上一动点(不与A、B重合)，以0为圆心0B为半径的圆交BC于点D,设OB =x，DC =y .(1)如图1,求y关于x的函数关系式及定义域；(2)当O 0与线段AC有且只有一个交点时，求x的取值范围；（3）如图2,若O O与边AC交于点E （有两个交点时取靠近当DEC与ABC相似时，求x的值.25, Hfd）如图1联站「AB 亚片GGB H QD代= XODB:.or>//A.c* BO_Bp.王-些'' 5 ' 6「* BD- gjr-"I■工+ 6((KX5)(2)如團氛肖与线段A匚有且只育一亍交点时①®0与播2梱切时作OH_LAC.HK丄AGAM丄BC垂圧井劃为H^K y M,JS^OH#BK.AM=4— -BC・AM-A「FK' - —1g-_'r.BK■習3也-0H…丽-賦C的交点），联结DE ,C（备用图ir C1分1分B（备用图•(图£}（2> A ftGO 内，〔不SQO 内时内：.OB>OA”"”*>■5 一 x•">4•rc 不在£50内 /-OB<AB1分,\y<X<5炀匕当工二器或号VY5时◎。

综合题讲解18、如图，将边长为6的正方形ABCD 折叠，使得点D 落在AB 边的中点E 处，折痕为FH ，点C 落在Q 处，EQ 与BC 交于点G ，那么△EBG 的周长为。

23、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=AB ，∠ABC=2∠C ，E 与F 分别为边AD 于DC 上的两点，且有∠EBF=∠C 。

（1）求证：BE:BF=BD:BC（2）当F 为DC 中点时，求AE:ED 的比值。

24、如图，已知抛物线y =58x 2+bx +c 经过直线y =−12x + 1与坐标轴的两个交点A 、B ，点C 为抛物线上的一点，且∠ABC=90°。

（1）求抛物线的解析式； （2）求点C 坐标；（3）直线y =−12x + 1上是否存在点P ，使得△BCP 和△OAB 相似，若存在，请直接写出P 点的坐标；若不存在，请说明理由。

25.已知在ABC ∆中，5AB AC ==，6BC =，O 为边AB 上一动点（不与A 、B 重合），以O 为圆心OB 为半径的圆交BC 于点D ，设OB x =，DC y =．（1）如图１，求y 关于x 的函数关系式及定义域；（2）当⊙O 与线段AC 有且只有一个交点时，求x 的取值范围；（3）如图２，若⊙O 与边AC 交于点E （有两个交点时取靠近C 的交点），联结DE ，当DEC ∆与ABC ∆相似时，求x 的值.C CAD OB · ·· （图1）BCA（备用图1）E CA D OB · ···（图2）BCA（备用图2）18、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BE ⊥CD ，垂足为点E ，连接AE ，∠AEB=∠C ，且cos ∠C=25，若AD=1，则AE 的长为。

23、已知，如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且∠ABE=∠ACD ，BE 、CD 交于点G 。

2014-2015学年上海市虹口高中高三（上）摸底数学试卷一、填空题（每小题4分，满分56分）1．已知集合，则A∩B=．2．已知向量=（2，﹣1），=（﹣1，m），=（﹣1，2），若（+）∥，则m= ．3．在二项式的展开式中，常数项等于．4．若复数z满足||=1+i，（其中i为虚数单位），则|z| ．5．不等式x2﹣2x+3≤a2﹣2a﹣1在R上的解集是∅，则实数a的取值范围是．6．已知数列{a n}是等差数列，a4=15，S5=55，则过点P（4，a2010）和点Q（3，a2011）的直线的倾斜角是．（用反三角函数表示结果）7．若圆锥的侧面积为20π，且母线与底面所成的角为，则该圆锥的体积为．8．等轴双曲线C：x2﹣y2=a2与抛物线y2=16x的准线交于A、B两点，|AB|=4，则双曲线C的实轴长等于．9．设{a n}是公比为q的等比数列，|q|＞1，令b n=a n+1（n=1，2，…），若数列{b n}有连续四项在集合{﹣53，﹣23，19，37，82}中，则6q= ．10．将3本数学书4本英语书和2本语文书排成一排，则三本数学书排在一起的概率为．11．定义：关于x的不等式|x﹣A|＜B的解集叫A的B邻域．若a+b﹣2的a+b邻域为区间（﹣2，2），则a2+b2的最小值是．12．已知函数，若函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，则实数m的取值范围是．13．在面积为2的△ABC中，E，F分别是AB，AC的中点，点P在直线EF上，则的最小值是．14．在直角坐标系中，如果两点A（a，b），B（﹣a，﹣b）在函数y=f（x）的图象上，那么称[A，B]为函数f（x）的一组关于原点的中心对称点（[A，B]与[B，A]看作一组）．则函数g（x）=关于原点的中心对称点的组数为．二、选择题（每小题5分，满分20分）15．命题A：|x﹣1|＜3，命题B：（x+2）（x+a）＜0；若A是B的充分而不必要条件，则a 的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣4） B． [4，+∞）C．（4，+∞）D．（﹣∞，﹣4]16．己知空间两条直线m，n，两个平面α，β，给出下面四个命题：①m∥n，m⊥α⇒n⊥α；②α∥β，m⊊α，n⊊β⇒m∥n；③m∥n，m∥α⇒n∥α；④α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β；其中正确命题的序号是（）A．①④B．②③C．①②④D．①③④17．将函数y=f（x）的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位后得到的函数对应的表达式为y=2sin2x，则函数f（x）的表达式可以是（）A． 2sinx B． 2cosx C． sin2x D． cos2x18．已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“好集合”．给出下列4个集合：①②M={（x，y）|y=e x﹣2}③M={（x，y）|y=cosx}④M={（x，y）|y=lnx}其中所有“好集合”的序号是（）A．①②④B．②③C．③④D．①③④三、解答题19．如图已知四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为6的正方形，侧棱PA的长为8，且垂直于底面，点M、N分别是DC、AB的中点．求（1）异面直线PM与CN所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）四棱锥P﹣ABCD的表面积．20．设△ABC三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c．已知C=，acosA=bcosB．（1）求角A的大小；（2）如图，在△ABC的外角∠ACD内取一点P，使得PC=2．过点P分别作直线CA、CD的垂线PM、PN，垂足分别是M、N．设∠PCA=α，求PM+PN的最大值及此时α的取值．21．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为4，且点在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）设P是椭圆C长轴上的一个动点，过P作方向向量的直线l交椭圆C于A、B两点，求证：|PA|2+|PB|2为定值．22．已知函数f（x）=ax2﹣|x|+2a﹣1（a为实常数）．（1）若a=1，作函数f（x）的图象；（2）设f（x）在区间[1，2]上的最小值为g（a），求g（a）的表达式；（3）设，若函数h（x）在区间[1，2]上是增函数，求实数a的取值范围．23．若数列{a n}的每一项都不为零，且对于任意的n∈N*，都有=q（q为常数），则称数列{a n}为“类等比数列”．已知数列{b n}满足：b1=b（b∈R，b≠0），对于任意的n∈N*，都有b n•b n+1=2n+1．（1）求证：数列{b n}是“类等比数列”；（2）若{b n}是单调递增数列，求实数b的取值范围；（3）设数列{b n}的前n项和为S n，试探讨是否存在，说明理由．2014-2015学年上海市虹口高中高三（上）摸底数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每小题4分，满分56分）1．已知集合，则A∩B=[﹣1，3）．考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：利用指数函数的性质求出集合A中不等式的解集，确定出集合A，求出集合B中函数的定义域，确定出B，找出两集合的公共部分，即可求出两集合的交集．解答：解：集合A中的不等式变形得：2﹣1≤2x＜24，解得：﹣1≤x＜4，∴A=[﹣1，4）；由集合B中函数得：9﹣x2＞0，即x2＜9，解得：﹣3＜x＜3，∴B=（﹣3，3），则A∩B=[﹣1，3）．故答案为：[﹣1，3）点评：此题属于以其他不等式的解法及函数的定义域为平台，考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．已知向量=（2，﹣1），=（﹣1，m），=（﹣1，2），若（+）∥，则m= ﹣1 ．考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．分析：先求出两个向量的和的坐标，再根据向量平行的充要条件写出关于m的等式，解方程得到要求的数值，注意公式不要用错公式．解答：解：∵+=（1，m﹣1），∵（+）∥∴1×2﹣（m﹣1）×（﹣1）=0，所以m=﹣1故答案为：﹣1点评：掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题，能用坐标形式的充要条件解决求值问题．3．在二项式的展开式中，常数项等于160 ．考点：二项式定理．专题：计算题．分析：展开式的通项为=，要求常数项，只要令6﹣2r=0可得r，代入即可求解答：解：展开式的通项为=令6﹣2r=0可得r=3常数项为=160故答案为：160点评：本题主要考查了利用二项展开式的通项求解指定项，属于基础试题4．若复数z满足||=1+i，（其中i为虚数单位），则|z| ．考点：复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：利用行列式偶的运算性质可得zi﹣2=1+i，化简再利用模的计算公式即可得出．解答：解：∵=1+i，∴zi﹣2=1+i，化为zi=3+i，∴﹣i•iz=﹣i（3+i），∴z=1﹣3i．∴|z|==．故答案为：．点评：本题考查了行列式的运算性质、复数的运算性质、模的计算公式，属于基础题．5．不等式x2﹣2x+3≤a2﹣2a﹣1在R上的解集是∅，则实数a的取值范围是{a|﹣1＜a＜3} ．考点：一元二次不等式的解法．专题：计算题．分析：把不等式的右边移项到左边合并后，设不等式的坐标为一个开口向上的抛物线，由不等式的解集为空集，得到此二次函数与x轴没有交点即根的判别式小于0，列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范围．解答：解：由x2﹣2x+3≤a2﹣2a﹣1移项得：x2﹣2x+3﹣a2+2a+1≤0，因为不等式的解集为∅，所以△=4﹣4（3﹣a2+2a+1）＜0，即a2﹣2a﹣3＜0，分解因式得：（a﹣3）（a+1）＜0，解得：﹣1＜a＜3，则实数a的取值范围是：{a|﹣1＜a＜3}．故答案为：{a|﹣1＜a＜3}点评：此题考查学生掌握二次函数与x轴有无交点的判断方法，考查了一元二次不等式的解法，是一道综合题．6．已知数列{a n}是等差数列，a4=15，S5=55，则过点P（4，a2010）和点Q（3，a2011）的直线的倾斜角是π﹣arctan4 ．（用反三角函数表示结果）考点：直线的倾斜角；等差数列的性质；反三角函数的运用．专题：计算题．分析：由题意可得，a1+3d=15，5a1+=55，解得 a1=3，d=4，直线的斜率为=﹣d=﹣4，由tanθ=﹣4，和θ的范围，求出θ值．解答：解：设公差为d，由题意可得，a1+3d=15，5a1+=55，解得 a1=3，d=4．则过点P（4，a2010）和点Q（3，a2011）的直线的斜率为=﹣d=﹣4，设直线的倾斜角是θ，则 tanθ=﹣4，又0≤θ＜π，∴θ=π﹣arctan4，故答案为π﹣arctan4．点评：本题考查等差数列的定义和性质，通项公式，直线的倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，已知三角函数值求角的大小，求出首项a1和公差d的值，是解题的关键．7．若圆锥的侧面积为20π，且母线与底面所成的角为，则该圆锥的体积为16π．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．分析：根据圆锥的侧面积和圆锥的母线长求得圆锥的弧长，利用圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长求得圆锥的底面半径即可．解答：解：∵设圆锥的母线长是l，底面半径为r，母线与底面所成的角为，可得①∵侧面积是20π，∴πrl=20π，②由①②解得：r=4，l=5，故圆锥的高h===3则该圆锥的体积为：×πr2×3=16π故答案为：16π．点评：本题考查了圆锥的有关计算，解题的关键是正确的进行圆锥与扇形的转化．8．等轴双曲线C：x2﹣y2=a2与抛物线y2=16x的准线交于A、B两点，|AB|=4，则双曲线C的实轴长等于 4 ．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：抛物线y2=16x的准线为x=﹣4．与双曲线的方程联立解得．可得4=|AB|=，解出a 即可得出．解答：解：抛物线y2=16x的准线为x=﹣4．联立，解得．∴4=|AB|=，解得a2=4．∴a=2．∴双曲线C的实轴长等于4．故答案为：4．点评：本题考查了抛物线与双曲线的标准方程及其性质，属于基础题．9．设{a n}是公比为q的等比数列，|q|＞1，令b n=a n+1（n=1，2，…），若数列{b n}有连续四项在集合{﹣53，﹣23，19，37，82}中，则6q= ﹣9 ．考点：等比数列的性质；数列的应用．专题：等差数列与等比数列．分析：根据B n=A n+1可知 A n=B n﹣1，依据{Bn}有连续四项在{﹣53，﹣23，19，37，82}中，则可推知则{A n}有连续四项在{﹣54，﹣24，18，36，81}中，按绝对值的顺序排列上述数值，相邻相邻两项相除发现﹣24，36，﹣54，81是{A n}中连续的四项，求得q，进而求得6q．解答：解：{Bn}有连续四项在{﹣53，﹣23，19，37，82}中B n=A n+1 A n=B n﹣1则{A n}有连续四项在{﹣54，﹣24，18，36，81}中{A n}是等比数列，等比数列中有负数项则q＜0，且负数项为相隔两项等比数列各项的绝对值递增或递减，按绝对值的顺序排列上述数值18，﹣24，36，﹣54，81相邻两项相除=﹣=﹣=﹣=﹣很明显，﹣24，36，﹣54，81是{A n}中连续的四项q=﹣或 q=﹣（|q|＞1，∴此种情况应舍）∴q=﹣∴6q=﹣9故答案为：﹣9点评：本题主要考查了等比数列的性质．属基础题．10．将3本数学书4本英语书和2本语文书排成一排，则三本数学书排在一起的概率为．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：所有的排法共有种，其中三本数学书排在一起的方法有种，由此求得三本数学书排在一起的概率．解答：解：所有的排法共有种，其中三本数学书排在一起的方法有种，故三本数学书排在一起的概率为=，故答案为．点评：本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，相邻问题的排列，属于基础题．11．定义：关于x的不等式|x﹣A|＜B的解集叫A的B邻域．若a+b﹣2的a+b邻域为区间（﹣2，2），则a2+b2的最小值是 2 ．考点：绝对值不等式的解法．专题：计算题．分析：根据新定义由题意得：|x﹣（a+b﹣2）|＜a+b的解集为区间（﹣2，2），从而得到关于 a，b的等量关系，再利用基本不等式求得a2+b2的最小值．解答：解：由题意得：|x﹣（a+b﹣2）|＜a+b的解集为区间（﹣2，2），∵|x﹣（a+b﹣2）|＜a+b⇔（﹣2，2（a+b）﹣2），∴2（a+b）﹣2=2，⇒a+b=2，∴a2+b2≥（a+b）2=2，当且仅当a=b时取等号，则a2+b2的最小值是2．故答案为：2．点评：本小题主要考查绝对值不等式的解法、基本不等式等基础知识，考查运算求解能力与化归与转化思想．属于基础题．12．已知函数，若函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，则实数m的取值范围是（0，1）．考点：函数的零点与方程根的关系；分段函数的解析式求法及其图象的作法．专题：数形结合．分析：将方程的零点问题转化成函数的交点问题，作出函数的图象得到m的范围．解答：解：令g（x）=f（x）﹣m=0，得m=f（x）作出y=f（x）与y=m的图象，要使函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，则y=f（x）与y=m的图象有3个不同的交点，所以0＜m＜1，故答案为：（0，1）．点评：本题考查等价转化的能力、利用数学结合解题的数学思想方法是重点，要重视．13．在面积为2的△ABC中，E，F分别是AB，AC的中点，点P在直线EF上，则的最小值是2．考点：解三角形；平面向量数量积的运算．专题：综合题；平面向量及应用．分析：根据△ABC的面积为2，可得△PBC的面积=1，从而可得PB×PC=，故=PB×PCcos∠BPC=，由余弦定理，有：BC2=BP2+CP2﹣2BP×CPcos∠BPC，进而可得BC2≥2BP×CP﹣2BP×CPcos∠BPC．从而≥，利用导数，可得最大值为，从而可得的最小值．解答：解：∵E、F是AB、AC的中点，∴EF到BC的距离=点A到BC的距离的一半，∴△ABC的面积=2△PBC的面积，而△ABC的面积=2，∴△PBC的面积=1，又△PBC的面积=PB×PCsin∠BPC，∴PB×PC=．∴=PB×PCcos∠BPC=．由余弦定理，有：BC2=BP2+CP2﹣2BP×CPcos∠BPC．显然，BP、CP都是正数，∴BP2+CP2≥2BP×CP，∴BC2≥2BP×CP﹣2BP×CPcos∠BPC．∴≥PB×PCcos∠BPC+2BP×CP﹣2BP×CPcos∠BPC=令y=，则y′=令y′=0，则cos∠BPC=，此时函数在（0，）上单调增，在（，1）上单调减∴cos∠BPC=时，取得最大值为∴的最小值是故答案为：点评：本题考查平面向量的数量积运算，考查三角形面积的计算，考查导数知识的运用，综合性强．14．在直角坐标系中，如果两点A（a，b），B（﹣a，﹣b）在函数y=f（x）的图象上，那么称[A，B]为函数f（x）的一组关于原点的中心对称点（[A，B]与[B，A]看作一组）．则函数g（x）=关于原点的中心对称点的组数为 2 ．考点：分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：与函数y=log4（x+1），x＞0图象关于原点对称的图象与函数y=（x+2）2﹣1，x≤0图象交点个数即为“函数g（x）关于原点的中心对称点的组数”，画出图象，看交点个数．解答：解：函数y=log4（x+1）可以由对数函数y=log4x的图象向左平移1个单位得到，则函数y=log4（x+1），x＞0图象关于原点对称的图象与函数y=（x+2）2﹣1，x≤0图象交点个数即为“函数g（x）关于原点的中心对称点的组数”，图象如下：其中虚的曲线部分为函数y=log4（x+1），x＞0图象关于原点对称的图象，此部分与函数y=（x+2）2﹣1，x≤0图象交点个数是2个，所以，函数g（x）关于原点的中心对称点的组数为2组，故答案为：2．点评：本题考查分段函数的图象，涉及分段函数与对数函数的图象，注意其图象中的特殊点进行分析即可．二、选择题（每小题5分，满分20分）15．命题A：|x﹣1|＜3，命题B：（x+2）（x+a）＜0；若A是B的充分而不必要条件，则a 的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣4） B． [4，+∞）C．（4，+∞）D．（﹣∞，﹣4]考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式的解法；绝对值不等式．专题：计算题．分析：解不等式我们可以求出命题A与命题B中x的取值范围，然后根据“谁小谁充分，谁大谁必要”的原则，结合A是B的充分不必要条件，则A⊊B，将问题转化为一个集合关系问题，分析参数a的取值后，即可得到结论．解答：解：由|x﹣1|＜3，得﹣2＜x＜4，∴命题A：﹣2＜x＜4．命题B：当a=2时，x∈φ，当a＜2时，﹣2＜x＜﹣a，当a＞2时，﹣a＜x＜﹣2．∵A是B的充分而不必要条件，∴命题B：当a＜2时，﹣2＜x＜﹣a，∴﹣a＞4，∴a＜﹣4，综上，当a＜﹣4时，A是B的充分不必要条件，故选A．点评：本题考查的知识点是充要条件与集合之间的关系，其中根据“谁小谁充分，谁大谁必要”的原则，将充要条件问题转化为集合关系问题是解答本题的关键．16．己知空间两条直线m，n，两个平面α，β，给出下面四个命题：①m∥n，m⊥α⇒n⊥α；②α∥β，m⊊α，n⊊β⇒m∥n；③m∥n，m∥α⇒n∥α；④α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β；其中正确命题的序号是（）A．①④B．②③C．①②④D．①③④考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：利用结论“两条平行线中的一条垂直于平面，则另一条也垂直于这个平面”可判断①是否正确；根据分别位于两个平行平面的直线的位置关系是平行或异面，可判断②是否正确；根据直线有可能在平面内，可判断③是否正确；利用结论“两条平行线中的一条垂直于平面，则另一条也垂直于这个平面”和“两个平行平面中的一个垂直于直线，则另一个平面也垂直于直线”，可判断④是否正确．解答：解：①，根据“两条平行线中的一条垂直于平面，则另一条也垂直于这个平面”，m∥n，m⊥α⇒n⊥α，∴①正确②，α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n或m、n异面，∴②不正确；③，m∥n，m∥α，则n∥α或n⊂α，∴③不正确；④，α∥β，m∥n，m⊥α，则n⊥α，又α∥β，∴n⊥β，∴④正确．故选A．点评：熟练掌握线线、线面、面面的平行与垂直的性质与判定定理是解题的关键．17．将函数y=f（x）的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位后得到的函数对应的表达式为y=2sin2x，则函数f（x）的表达式可以是（）A． 2sinx B． 2cosx C． sin2x D． cos2x考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：化简变换后的函数解析式，结合函数的变换，逆推求出函数的解析式即可．解答：解：y=2sin2x=1﹣cos2x，要求函数f（x），函数y=f（x）=sin2x的图象向右平移个单位，得到y=sin2（x﹣）=﹣cos2x，故所求函数解析式为y=sin2x．故选：C．点评：本题考查了三角函数图象的平移，三角函数的化简，属于中档题．18．已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“好集合”．给出下列4个集合：①②M={（x，y）|y=e x﹣2}③M={（x，y）|y=cosx}④M={（x，y）|y=lnx}其中所有“好集合”的序号是（）A．①②④B．②③C．③④D．①③④考点：命题的真假判断与应用；元素与集合关系的判断．专题：阅读型；新定义．分析：对于①，利用渐近线互相垂直，判断其正误即可．对于②，画出图象，说明满足好集合的定义，即可判断正误；对于③，画出函数图象，说明满足好集合的定义，即可判断正误；对于④，画出函数图象，取一个特殊点即能说明不满足好集合定义．解答：解：对于①y=是以x，y轴为渐近线的双曲线，渐近线的夹角为90°，在同一支上，任意（x1，y1）∈M，不存在（x2，y2）∈M，满足好集合的定义；对任意（x1，y1）∈M，在另一支上也不存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，所以不满足好集合的定义，不是好集合．对于②M={（x，y）|y=e x﹣2}，如图（2）在曲线上两点构成的直角始存在，例如取M（0，﹣1），N（ln2，0），满足好集合的定义，所以正确．对于③M={（x，y）|y=cosx}，如图（3）对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，例如（0，1）、（，0），∠yox=90°，满足好集合的定义，旋转90°，都能在图象上找到满足题意的点，所以集合M是好集合；对于④M={（x，y）|y=lnx}，如图（4）取点（1，0），曲线上不存在另外的点，使得两点与原点的连线互相垂直，所以不是好集合．故选B．点评：本题考查了命题真假的判断与应用，考查了元素与集合的关系，考查了数形结合的思想，解答的关键是对新定义的理解，是中档题．三、解答题19．如图已知四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为6的正方形，侧棱PA的长为8，且垂直于底面，点M、N分别是DC、AB的中点．求（1）异面直线PM与CN所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）四棱锥P﹣ABCD的表面积．考点：异面直线及其所成的角；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）解法一：连接AM，∵底面ABCD是边长为6的正方形，点M、N分别是DC、AB的中点，可得，于是四边形AMCN是平行四边形，可得CN∥AM，因此∠PMA（为锐角）是异面直线PM与CN所成角，利用直角三角形的边角关系求出即可．解法二：以A为坐标原点建立空间直角坐标系，利用异面直线的方向向量的夹角公式即可得出异面直线所成的角；（2）由PA垂直于底面，利用线面垂直的性质定理可得PA⊥AB，PA⊥AD，即Rt△PAB≌Rt△PDC，再利用线面垂直的判定定理可得BC⊥PB；同理CD⊥PD，Rt△PBC≌Rt△PAD，利用直角三角形的面积计算公式分别计算即可．解答：解：（1）解法一：连接AM，∵底面ABCD是边长为6的正方形，点M、N分别是DC、AB的中点，∴，∴四边形AMCN是平行四边形，∴CN∥AM，∴∠PMA（为锐角）是异面直线PM与CN所成角．因为PA垂直于底面，所以PA⊥AM，点M分别是DC的中点，DC=6，∴．在Rt△PAM中，PA=8，，∴，∴，即异面直线PM与CN所成角的大小为．解法二：以A为坐标原点建立空间直角坐标系，可得M（3，6，0），P（0，0，8），N（3，0，0），C（6，6，0），∴，，直线PM与CN所成角为θ，向量的夹角为ϕ，∵，又，，即异面直线PM与CN所成角的大小为．（2）因为PA垂直于底面，所以PA⊥AB，PA⊥AD，即Rt△PAB≌Rt△PAD，又PA⊥BC，AB⊥BC，AB∩BC=B，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB．同理CD⊥PD，∴Rt△PBC≌Rt△PDC，∵底面四边形ABCD是边长为6的正方形，所以S底=36又S侧=S△PAB+S△PAD+S△PBC+S△PCD=．S表=108+36=144所以四棱锥P﹣ABCD的表面积是144．点评：本题综合考查了利用“平移法”和通过建立空间直角坐标系利用向量的方向向量的夹角求异面直线的夹角、线面垂直的判定与性质、四棱锥的表面积等基础知识与基本技能，考查了空间想象能力、推理能力和计算能力．20．设△ABC三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c．已知C=，acosA=bcosB．（1）求角A的大小；（2）如图，在△ABC的外角∠ACD内取一点P，使得PC=2．过点P分别作直线CA、CD的垂线PM、PN，垂足分别是M、N．设∠PCA=α，求PM+PN的最大值及此时α的取值．考点：三角形中的几何计算；正弦定理．专题：综合题；解三角形．分析：（1）由acosA=bcosB及正弦定理可得sin2A=sin2B，即A=B或A+B=，结合C=，可求角A的大小；（2）求出PM，PN．可得PM+PN=2sinα+2sin （α+）=3sinα+cosα=2sin（α+），即可求PM+PN的最大值及此时α的取值．解答：解：（1）由acosA=bcosB及正弦定理可得sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B，又A∈（0，π），B∈（0，π），所以有A=B或A+B=．…3分又因为C=，得A+B=，与A+B=矛盾，所以A=B，因此A=．…6分（2）由题设，得在Rt△PMC中，PM=PC•sin∠PCM=2sinα；在Rt△PNC中，PN=PC•sin∠PCN=PC•sin（π﹣∠PCB）=2sin[π﹣（α+）]=2sin （α+），α∈（0，）．…8分所以，PM+PN=2sinα+2sin （α+）=3sinα+cosα=2sin（α+）．…12分因为α∈（0，），所以α+∈（，），从而有sin（α+）∈（，1]，即2sin（α+）∈（，2]．于是，当α+=，即α=时，PM+PN取得最大值2．…16分．点评：本题考查三角形中的几何计算，考查正弦定理，考查三角函数知识的运用，确定PM+PN 是关键．21．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为4，且点在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）设P是椭圆C长轴上的一个动点，过P作方向向量的直线l交椭圆C 于A、B两点，求证：|PA|2+|PB|2为定值．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由于C的焦点在x轴上且长轴为4，可设椭圆C的方程为（a＞b＞0），把点代入椭圆的方程可得，解出即可．（2）设P（m，0）（﹣2≤m≤2），由于直线l方向向量，可得直线l的方程是．与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，再利用两点间的距离公式即可证明．解答：（1）解：∵C的焦点在x轴上且长轴为4，故可设椭圆C的方程为（a＞b＞0），∵点在椭圆C上，∴，解得b2=1，∴椭圆C的方程为．（2）证明：设P（m，0）（﹣2≤m≤2），∵直线l方向向量，∴直线l的方程是，联立⇒2x2﹣2mx+m2﹣4=0（*）设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1、x2是方程（*）的两个根，∴x1+x2=m，，∴===（定值）．点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、两点间的距离公式，考查了推理能力和计算能力，属于难题．22．已知函数f（x）=ax2﹣|x|+2a﹣1（a为实常数）．（1）若a=1，作函数f（x）的图象；（2）设f（x）在区间[1，2]上的最小值为g（a），求g（a）的表达式；（3）设，若函数h（x）在区间[1，2]上是增函数，求实数a的取值范围．考点：带绝对值的函数；函数的图象；二次函数的性质；二次函数在闭区间上的最值．专题：计算题．分析：（1）当a=1时，f（x）=x2﹣|x|+1=，由此作出函数的图象．（2）当x∈[1，2]时，f（x）=ax2﹣x+2a﹣1，分a=0、a＜0、、、这几种情况，结合函数的图象，利用函数的单调性，求出g（a）的解析式．（3）根据h（x）在区间[1，2]上是增函数，h（x2）﹣h（x1）＞0，可得ax1x2＞2a﹣1，分a=0、a＞0、a＜0分别求得实数a的取值范围，再取并集即得所求．解答：解：（1）当a=1时，f（x）=x2﹣|x|+1=．作图（如图所示）（4分）（2）当x∈[1，2]时，f（x）=ax2﹣x+2a﹣1．若a=0，则f（x）=﹣x﹣1在区间[1，2]上是减函数，g（a）=f（2）=﹣分）若a≠0，则，f（x）图象的对称轴是直线．当a＜0时，f（x）在区间[1，2]上是减函数，g（a）=f（2）=6a﹣分）当，即时，f（x）在区间[1，2]上是增函数，g（a）=f（1）=3a﹣分）当，即时，，（8分）当，即时，f（x）在区间[1，2]上是减函数，g（a）=f（2）=6a﹣分）综上可得．（10分）（3）当x∈[1，2]时，，在区间[1，2]上任取x1，x2，且x1＜x2，则=．（12分）因为h（x）在区间[1，2]上是增函数，所以h（x2）﹣h（x1）＞0，因为x2﹣x1＞0，x1x2＞0，所以ax1x2﹣（2a﹣1）＞0，即ax1x2＞2a﹣1，当a=0时，上面的不等式变为0＞﹣1，即a=0时结论成立．（14分）当a＞0时，，由1＜x1x2＜4得，，解得0＜a≤1，（16分）当a＜0时，，由1＜x1x2＜4得，，解得，（17分）综上，实数a的取值范围为．（18分）点评：本题主要考查带有绝对值的函数的图象和性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，注意分类讨论的层次，这是解题的难点，属于中档题．23．若数列{a n}的每一项都不为零，且对于任意的n∈N*，都有=q（q为常数），则称数列{a n}为“类等比数列”．已知数列{b n}满足：b1=b（b∈R，b≠0），对于任意的n∈N*，都有b n•b n+1=2n+1．（1）求证：数列{b n}是“类等比数列”；（2）若{b n}是单调递增数列，求实数b的取值范围；（3）设数列{b n}的前n项和为S n，试探讨是否存在，说明理由．考点：数列的应用；等比数列的性质．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）利用=计算即可；（2）通过b1=b及（1）可知b n=，进而只需解不等式b2k﹣1≤b2k≤b2k+1即可；（3）通过（2）分别计算出n=2k﹣1（k∈N*）、n=2k（k∈N*）时的表达式并令两者相等，通过方程有无解即可判断．解答：（1）证明：∵b n•b n+1=2n+1，∴b n+1•b n+2=2n+2，∴===2，∴数列{b n}是“类等比数列”；（2）解：∵b1=b，b n•b n+1=2n+1，∴b2==，∴b n=，∵数列{b n}是单调递增数列，∴b2k﹣1≤b2k≤b2k+1，即b•2k﹣1≤•2k﹣1≤b•2k，整理得：b≤≤2b，解得：≤b≤2，∴实数b的取值范围为：[，2]；（3）结论：当b=±时=，否则不存在．理由如下：由（2）可知b n=，①当n=2k﹣1（k∈N*）时，b n+b n+1=b2k﹣1+b2k=b•2k﹣1+=（b+）•2k﹣1，S n=（b1+b3+…+b2k﹣1）+（b2+b4+…+b2k﹣2）=+=（2b+）•2k﹣1﹣（b+），∴===2﹣；②当n=2k（k∈N*）时，b n+b n+1=b2k+b2k+1=+b•2k=（2b+）•2k﹣1，S n=（b1+b3+…+b2k﹣1）+（b2+b4+…+b2k﹣2）+b2k=（2b+）•2k﹣1﹣（b+）+=2（b+）•2k﹣1﹣（b+），∴===1+；令2﹣=1+，化简得：b4=8，解得：b=±，综上所述，当b=±时=，否则不存在．点评：本题考查数列的通项及求和，考查分类讨论的思想，考查极限思想，注意解题方法的积累，属于中档题．。

虹口区2014学年第一学期高三期终教学质量监测试卷2015.1.8一、填空题（本大题满分56分）本大题共14题，只要求在答题纸相应题号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1、椭圆2214x y +=的焦距为 .2、在91x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中，各项系数之和为 .3、若复数z 满足22zii i=-+（i 为虚数单位），则复数z = . 4、若正实数a b ，满足ab =32，则2a b +的最小值为 .5、行列式()3sin tan 4cos tan()2x x x x ππ-+的最小值为 .6、在ABC ∆中，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，若75,60,A B b=︒=︒，则c = .7、若()22sin 00x x f x x x π≤≤⎧=⎨<⎩，，，，则方程()1f x =的所有解之和等于 .8、若数列{}n a 为等差数列，且12341,21a a a a =++=，则122limnn a a a n →∞+++= .9、设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，若12,,n n n S S S ++成等差数列，则q = .10、已知12,l l 是分别经过()()2102A B ,，,两点的两条平行直线，当12,l l 之间的距离最大时，直线1l 的方程是 .11、若抛物线24y x =上的两点A 、B 到焦点的距离之和为6，则线段AB 的中点到y 轴的距离为 .12、10件产品中有8件正品，2件次品，从中任取3件，则恰好有一件次品的概率为 .（结果用最简分数表示）13、右图是正四面体的平面展开图，M N G 、、分别为DE BE FE 、、的中点，则在这个正四面体中，MN 与CG 所成角的大小为 .E14、右图为函数()()=sin (0,0,0)2f x A x A πωϕωϕ+>><<的部分图像，M N 、是它与x 轴的两个交点，D C 、分别为它的最高点和最低点，()0,1E 是线段MD 的中点，且28MD MN π⋅=，则函数()f x 的解析式为 .二、选择题（本大题共4题，满分20分）每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应题号上，将所选答案的代号涂黑，选对得5分，否则一律零分. 15、设全集(){}{},ln 1,11U R A x y x B x x ===-=-<，则()U C A B = （ ）.A.()2,1-B.(]2,1-C.[)1,2D.()1,216、设,a b 均为非零向量，下列四个条件中，使a b ab=成立的必要条件是 （ ）.A.a b =-B.//a bC.2a b =D.//a b 且a b =17、关于曲线42:1C x y +=，给出下列四个命题：①曲线C 关于原点对称； ②曲线C 关于直线y x =对称 ③曲线C 围成的面积大于π ④曲线C 围成的面积小于π上述命题中，真命题的序号为 （ ）A.①②③B.①②④C.①④D.①③18、若直线1y kx =+与曲线11y x x x x=+--有四个不同交点，则实数k 的取值范围是 （ ）.A.11,0,88⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ B.11,88⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ C.11,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D.11,88⎛⎫- ⎪⎝⎭三、解答题（本大题共5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要步骤.19、（本题满分12分）已知3cos ,41024x x πππ⎛⎫⎛⎫-=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求sin ,sin ,cos 24x x x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值20、（本题满分14分）本题共2个小题，每小题7分一个透明的球形装饰品内放置了两个公共底面的圆锥，且这两个圆锥的顶点和底面圆周都在这个球面上，如图，已知圆锥底面面积是这个球面面积的316，设球的半径为R ，圆锥底面半径为r .（1）试确定R 与r（2）求出两个圆锥的体积之和与球的体积之比.21、（本题满分14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分 已知函数()f x 和()g x 的图像关于原点对称，且2()f x x x =+ （1）求函数()y g x =的解析式；（2）若()()()3h x g x m f x =-⋅+在[]1,1-上是增函数，求实数m 的取值范围.22、（本题满分16分）本题共3小题，第1小题5分，第2小题5分，第3小题6分. 已知各项均不为零的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()141n n n S a a n N *+=⋅+∈，其中11a =. （1）求证：135,,a a a 成等差数列； （2）求证：数列{}n a 是等差数列； （3）设数列{}n b 满足()121n b nn N a *=+∈，且n T 为其前n 项和，求证：对任意正整数n ，不等式212log n n T a +>恒成立.23、（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题5分，第2小题7分，第3小题6分.已知12F F 、为为双曲线22221x y C a b-=：的两个焦点，焦距12=6F F ，过左焦点1F 垂直于x 轴的直线，与双曲线C 相交于,A B 两点，且2ABF ∆为等边三角形. （1）求双曲线C 的方程；（2）设T 为直线1x =上任意一点，过右焦点2F 作2TF 的垂线交双曲线C 与,P Q 两点，求证：直线OT 平分线段PQ （其中O 为坐标原点）；（3）是否存在过右焦点2F 的直线l ，它与双曲线C 的两条渐近线分别相交于,R S 两点，且使得1F RS ∆的面积为l 的方程；若不存在，请说明理由.。