2019-2020学年上海市向明中学高二上学期10月月考数学试题(解析版)

2019-2020学年高二数学10月月考试题理(16)本试卷分第一部分试题卷和第二部分答题卷两部分，共150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡规定的位置上。

2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他标号。

3．答非选择题时，必须用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。

第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：(本题共12小题，每小题5分)在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.直线033:=-+y x l 的倾斜角为 （ ）A.︒30 B. ︒60 C. ︒120 D. ︒902. 与圆224630x y x y +-++=同圆心，且过()1,1-的圆的方程是（ ）A ．224680x y x y +-+-=B ．224680x y x y +-++= C ．224680x y x y ++--= D ．224680x y x y ++-+=3.将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知圆C ：x 2+y 2+mx ﹣4=0关于直线x ﹣y+6=0对称的圆的方程为x 2+y 2+12x-6y+32=0， 则实数m 的值（ ）A ．8B ．﹣6C ．6D ．无法确定5.经过点M （2，2）且在两轴上截距相等的直线是（ ） A ．x+y=4B ．x+y=2C ．x=2或y=2D ．x+y=4或x=y6.已平面α和任意一条直线l ，总能在平面α内找到一条直线，使之与直线l （ ） A ．平行 B ．相交 C ．异面 D ．垂直7.如图，棱长为1的正方体容器ABCD －A 1B 1C 1D 1 , 在A 1B 、A 1B 1、B 1C 1的中点E 、F 、G 处各开有一个小孔. 若此容器可以任意放置, 则装水最多的容积是（小孔面积对容积的影响忽略不计）（ ）A. 87B.1211C ． 4847D ．56558．若圆222660x y x y ++-+=有且仅有三个点到直线10x ay ++=的距离为1，则实数a 的值为（ ）A. 1±B. ± D. ±9.如右图，网格纸上小正方形的边长为4，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度 是（ ）A ．B ． 6C ．． 410．若圆222410x y x y ++-+=上的任意一点关于直线220(,)ax by a b R +-+=∈的对（ ）A11. 点A ，B ，C ，D 在同一个球的球面上，AB=BC=2，AC=2，若四面体ABCD 体积的最大值为，则该球的表面积为（ ）A ．B ．8πC ．9πD ．12π12.已知二次函数b ax x x f 22)(2++=有两个零点21,x x ，且211-21<<<<x x ，则直线03)1(=+--y a bx 的斜率的取值范围是（ ）A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛3252-，B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛2352-，C ．⎪⎭⎫⎝⎛2152-， D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛∞，，3252--第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）把答案填写在答题卡相应位置上．13.若两圆122=+y x 和25-422=++）（）（a y x 有三条公切线，则常数=a .14．如果实数x ，y 满足等式(x-2)2+y 2=1，那么x 2+(y-1)2的最大值为15. 若正三棱锥的三条侧棱两两垂直，侧棱长为1，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为__________．16. 设直线(1)()n x n y n N +++∈与两坐标轴围成的三角形面积为n S ，则122017...S S S+++=__________．三、解答题：（本大题共6小题，共70分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本题满分10分）已知两条直线()12:1210,:30l a x y l x ay -++=++=． （1）若12//l l ，求实数a 的值；（2）若21l l ⊥，求实数a 的值.18．（本小题满分12分）设直线l 的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a ∈R ）． （1）若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程； （2）若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．19. （本题满分12分）已知一倒置圆锥体的母线长为10cm ，底面半径为6cm 。

学2019-2020学年高二数学上学期10月月考试题文（含解析）考试说明:（1）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分120分，考试时间为90分钟；（2）第Ⅰ卷，第Ⅱ卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知点，则直线的方程是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】将代入直线的两点式方程:,即可的到直线的方程.【详解】直线的两点式方程为:代入得:整理得直线的方程是: .故选A.【点睛】本题考查了直线的两点式方程,掌握直线的两点式方程是解题关键.2.已知是椭圆上的一点，是椭圆的两个焦点，且，则的面积是（）A. 1B.C.D.【答案】D【解析】分析】利用余弦定理以及椭圆的定义可得，再由三角形面积公式:即可求得的面积.【详解】在中，根据余弦定理得:即┄①由椭圆的定义得:故:整理得:┄②由①②得故选:D.【点睛】本题主要考查椭圆的方程、椭圆的定义以及余弦定理的应用,能够掌握椭圆知识和余弦定理基础上,灵活使用是解题的关键.3.已知两条直线：，：平行，则（）A. -1B. 2C. 0或-2D. -1或2【答案】D【解析】试题分析：由两直线平行，且直线的斜率存在，所以，他们的斜率相等，解方程求a．解：因为直线l1：（a﹣1）x+2y+1=0的斜率存在，又∵l1∥l2，∴，∴a=﹣1或a=2，两条直线在y轴是的截距不相等，所以a=﹣1或a=2满足两条直线平行．故选D．点评：本题考查两直线平行的性质，当两直线的斜率存在且两直线平行时，他们的斜率相等，注意截距不相等．4.如果表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】把方程写成椭圆的标准方程形式，得到形式，要想表示焦点在轴上的椭圆，必须要满足，解这个不等式就可求出实数的取值范围。

一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的．1．在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于（ ）A 006030或B 006045或C 0060120或D 0015030或 2．将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是( ).A.cos 2y x =B.22cos y x =C.)42sin(1π++=x y D.22sin y x =3．等比数列{}n a 中, ,243,952==a a 则4S = （ ） A ． 81 B ． 120 C ．168 D ．1924．已知等比数列{a n }：,31=a 且第一项至第八项的几何平均数为9，则第三项是（ ）A. D. 5．在等比数列}{n a 中，485756=-=+a a a a ，则10S 等于（ ）Ａ．1023 Ｂ．1024 Ｃ.511 Ｄ.5126．把函数sin ()y x x R =∈图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，再把图像上所有的点向左平行移动6π个单位长度，得到的图像所表示的函数是（ ）A ．sin 2)()3y x x R π=-∈（B ．sin +)()26x y x R π=∈（C ．sin 2+)()3y x x R π=∈（D ．2sin 2+)()3y x x R π=∈（7．函数2sin ()y x x R =∈的最小正周期为（ ） A ．2π B ．π C ．2π D ．4π8．在等差数列{}n a 中，4104a a +=，则前13项之和等于( ) A ．26 B ．13 C ．52 D ．1569．那么边的中点，且是所在平面内的一点，是已知,2=++∆BC D ABC O ( )A. =B. A 2C. 3D. 2 10．已知向量))cos(),(sin(),3,1(θθ++==x x ，若函数x f ⋅=)(为偶函数，则θ 的值可能是（ ）A ．6πB ．3πC ．6π-D ．3π-11．若x 为三角形中的最小内角，则函数y=sinx+cosx 的值域是（ ）A ．,21[]22 B ．]23,0( C ．]2,1( D ．]22,21( 12．对于向量,,a b e 及实数12,,,,x y x x λ，给出下列四个条件： ①3+=a b e 且5-=a b e ； ②12x x +=0a b③()λ≠0a =b b 且λ唯一； ④(0)x y x y +=+=0a b 其中能使a 与b 共线的是（ ） A ．①② B ．②④ C ．①③D ．③④2019-2020年高二上学期10月月考数学（文）试题含答案二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上。

2022-2023学年上海市向明中学高二上学期10月月考数学试题一、单选题1．下列命题正确的是（ ）A ．三点确定一个平面B ．一条直线和一个点确定一个平面C ．两条不平行的直线确定一个平面D ．梯形可确定一个平面【答案】D【分析】根据已知条件，利用平面的基本性质，以及推论，逐一判断即可：对选项A ，取特殊位置，三点共线否定结论对选项B ：利用平面公理进行判断；对选项C ：取异面直线，否定结论；对选项D ，利用两条平行线确定一个平面，进行判断.【详解】对选项A ，当三点共线时，不能确定一个平面，故A 错误；对选项B ：一条直线和直线外一个点确定一个平面，故B 错误；对选项C ：如果这两条直线异面，则不可以确定一个平面，故C 错误；对选项D ，梯形的上底和下底是一对平行线，可以确定一个平面，故D 正确.故选：D.2．点P 为平面ABC 外的一个点，点M 是棱BC 上的动点（包含端点），记异面直线PM 与AB 所成角为α，直线PM 与平面ABC 所成角为β，则（ ）A ．αβ>B ．αβ<C ．αβ≥D ．αβ≤【答案】C【分析】根据题意作出线线角和线面角，利用正弦值比较两个夹角的大小.【详解】如图，作PO ⊥平面ABC ,连接OM ,过点M 作直线//MN AB 交AC 于N ，连接PN ，则PMO ∠是直线PM 与平面ABC 所成角，所以π0,2PMO β⎡⎤∠=∈⎢⎥⎣⎦， PMN ∠是直线PM 与AB 所成角，所以0,2PMN πα⎡⎤∠=∈⎢⎥⎣⎦， 在Rt POM 和Rt PMN 中，易知：PN PO ≥，仅当O 、N 重合时等号成立， 故sin sin PN PO PM PMαβ=≥=，所以αβ≥. 故选：C.3．设,,αβγ是互不重合的平面，m ，n 是互不重合的直线，给出四个命题：①若//,//m m αβ，则//αβ②若,αγβγ⊥⊥，则αβ⊥③若,m m αβ⊥⊥，则//αβ④若//,m n αα⊥，则//m n其中正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】A【分析】根据线面位置关系的判定定理、性质定理，以及推论，逐项判定，即可求解.【详解】由,,αβγ是互不重合的平面，m ，n 是互不重合的直线，对于A 中，由//,//m m αβ，则//αβ或α与β相交，所以A 不正确；对于B 中，由,αγβγ⊥⊥，则αβ⊥或//αβ或α与β相交，所以B 不正确；对于C 中，由,m m αβ⊥⊥，根据垂直于同一直线的两平面平行，可得//αβ，所以C 正确的；对于D 中，由//,m n αα⊥，可得m n ⊥，所以D 不正确.故选：A.4．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F 分别是棱AB ，11A B 的中点，点P 在四边形ABCD 内（包括边界）运动，则下列说法不正确的是（ ）A ．若P 是线段BC 的中点，则平面1AB P ⊥平面DEFB ．若P 在线段AC 上，则1D P 与11A C 所成角的取值范围为,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．若1//PD 平面11ACE ，则点P 的轨迹的长度为2D ．若//PF 平面11B CD ，则线段PF 长度的最小值为62 【答案】D【分析】对于A ，先证明AP DE ⊥，EF AP ⊥，得到AP ⊥平面DEF ，然后利用面面垂直的判定定理即可判断；对于B ，由11//AC AC 可将1D P 与11A C 所成的角转化为1D P 与AC 所成的角，结合1D AC 为正三角形可得1D P 与11A C 所成角的取值范围；对于C ，先利用线面位置关系得到点P 的轨迹，然后求解即可；对于D ，先由线线平行证明线面平行，进而得面面平行，可确定点P 的轨迹为线段NG ，然后结合勾股定理求解PF 长度的最小值．【详解】对于A 中，如图所示，P ，E 分别是线段BC ，AB 的中点，故ABP DAE △△≌， 可得PAB ADE ∠=∠，则π2PAB DEA ∠+∠=，所以AP DE ⊥， 又由EF ⊥平面ABCD ，所以EF AP ⊥，所以AP ⊥平面DEF ，从而平面1AB P ⊥平面DEF ，故A 正确．对于B 中，正方体1111ABCD A B C D -中，11//AC AC ，所以1D P 与11A C 所成的角为1D P 与AC 所成的角，连接1D A ，1D C ，则1D AC 为正三角形，所以1D P 与11A C 所成角的取值范围为ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故B 正确． 对于C 中，如图所示，设平面11AC E 与直线BC 交于点G ，连接1C G ，EG ，则G 为BC 的中点，分别取AD ，DC 的中点M ，N ，连接1D M ，MN ，1D N ，由11//D M C G ，所以1//D M 平面11AC E ，同理可得1//D N 平面11AC E ，所以平面1//D MN 平面11AC E ，又由1//PD 平面11AC E ，所以直线1PD ⊂平面1D MN ，故点P 的轨迹是线段MN ， 可得2MN =，故C 正确．对于D 中，如图所示，取CD 的中点N ，1BB 的中点R ，BC 的中点G ，连接FN ，因为1// FB NC ，1FB NC =，所以四边形1FB CN 为平行四边形，所以1//FN B C ，所以//FN 平面11B CD ，连接BD ，NG ，则//NG BD ，又因为11//BD B D ，所以11//NG B D ，所以//NG 平面11B CD ，连接FR ，GR ，由1//GR B C ，且1//B C FN ，所以//RG FN ，故F ，N ，G ，R 四点共面，所以平面//FNGR 平面11B CD ，因为//PF 平面11B CD ，所以PF ⊂平面FNGR ，所以点P 的轨迹为线段NG ，由2AB =知，22FN =，2NG =，连接FB ，FG ，在Rt FBG △中，()2222516FG FB BG =+=+=，所以6FG =， 所以222FN NG FG =+，可得π2FGN ∠=，故线段PF 长度的最小值为6，故D 不正确． 故选：D ．【点睛】解题方法点拨：1、立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求解轨迹的长度及动角的范围等问题；2、解答方法：一般时根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程；3、对于线面位置关系的存在性问题，首先假设存在，然后再该假设条件下，利用线面位置关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论，则否定假设；4、对于探索性问题用向量法比较容易入手，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若由解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在.二、填空题5．用集合符号表示直线l在平面α上______⊂【答案】lα【分析】直线l在平面α上，利用集合与集合的关系符合表示即可.⊂.【详解】直线l在平面α上，即直线l包含于平面α，利用集合与集合的关系表示为lα⊂故答案为：lα6．分别在两个平行平面内的两条直线的位置关系是_____.【答案】平行或异面【分析】分别在两个平行平面内的两条直线的位置关系是可以平行，可以异面，但不能相交．【详解】分别在两个平行平面内的两条直线的位置关系是可以平行，可以异面，但不能相交，∴分别在两个平行平面内的两条直线的位置关系是平行或异面．故答案为平行或异面．【点睛】本题考查两直线的位置关系的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是基础题．7．已知线段AB在平面α外，A、B两点到平面α的距离分别为1和3，则线段AB的中点到平面α的距离为______.【答案】1或2【分析】根据空间中点、线、面得位置关系可得：A、B两点与平面α的位置由两种，因此分A、B 两点在平面α的同侧与异侧讨论此问题.【详解】解：当A、B两点在平面α的同侧时，如图所示，因为A 、B 两点到平面α的距离分别为1和3，由梯形的中位线可知，线段AB 的中点M 到平面α的距离1322d +==. 当A 、B 两点在平面α的异侧时，如图所示，直线AB 与平面α相交于点O ，因为A 、B 两点到平面α的距离分别为1和3，∴13AO BO =，即14AO AB =， M 为线段AB 的中点，∴O 为线段AM 的中点，则有M 到平面α的距离1d =.故答案为：1或2.8．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 依次是11A D 和11B C 的中点，则异面直线AE 与CF 所成角的余弦值为__．【答案】35【分析】连AE 、BF 、EF ，利用平行四边形可得//BF AE ，可得BFC ∠是异面直线AE 与CF 所成角（或所成角的补角），然后用余弦定理可得结果.【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，连AE 、BF 、EF ，E ，F 依次是11A D 和11B C 的中点，所以11//A E B F 且11A E B F =，所以四边形11A B FE 为平行四边形，所以11//EF A B 且11EF A B =，又11//A B AB 且11A B AB =，所以//EF AB 且EF AB =，所以四边形ABFE 为平行四边形，//BF AE ∴，BFC ∴∠是异面直线AE 与CF 所成角（或所成角的补角），设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则415BF CF ==+=，5543cos 5255BFC +-∴∠==⨯⨯． ∴异面直线AE 与CF 所成角的余弦值为35． 故答案为：35． 【点睛】本题考查了求异面直线所成的角，考查了余弦定理，属于基础题.9．某水平放置的平面图形的斜二测直观图是等腰梯形A B C D ''''（如图所示），45A B C '''∠=︒，112A DBC ''''==，则该平面图形ABCD 的面积为______.【答案】322【分析】根据斜二测直观图求出A B ''的长度，将斜二测直观图转化为实际图，求出高AB 的长度，则可求出该平面图形ABCD 的面积.【详解】解：过点,A D ''作x 轴的垂线，交x 轴于点E ，F ，已知112A D B C ''''==，则1EF A D ''==，2B C ''=， 因为四边形A B C D ''''是等腰梯形，所以()()11121222B E FC B C EF ''''==-=⨯-=， 45A B C '''∠=︒，122cos 45222B E A B ︒'''∴==÷=， 平面图形ABCD 的实际图形为直角梯形，如下图所示：22222AB A B ''==⨯=1AD A D ''==，2BC B C ''==， 所以该平面图形ABCD 的面积()()113212222S AD BC AB =+⋅=+， 32. 10．3个不同的平面最多将空间分成a 部分，最少将空间分成b 部分，则b a -=__．【答案】4-【分析】对平面的位置关系分类讨论，即可得到答案.【详解】当三个不同的平面互相平行时，最少将空间分成4部分，即4b =，当三个平面三维放置时，最多将空间分成8部分，即8a =，所以484b a -=-=-．故答案为：4-【点睛】方法点睛：对平面分空间为几个部分问题，要有画图的意识，结合空间想象能力全方位、多角度地去考虑问题，作出判断．11．如图，设P 为矩形ABCD 所在平面外一点，直线P A ⊥平面ABCD ，AB =3，BC =4，P A =1，则点P 到直线BD 的距离为______.【答案】135 【分析】要求点P 到直线BD 的距离，需要作出P 到直线BD 的高，然后计算即可.【详解】过A 作AE BD ⊥于E ，连接PE ， 直线P A ⊥平面ABCD ,AP BD ∴⊥,又AE BD ⊥，,,AP AE A AP AE ⋂=⊂面P AE ，则BD ⊥面PAE PE BD ∴⊥.PE 为所求的距离，在ABD △中， 125AB AD AE BD ⋅==, 在APE 中，222212131.55PE AE AP ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭, 故答案为：13512．如图，正方体1111ABCD A B C D -，则二面角111B AC B --的大小是__________．【答案】2【分析】作出二面角的平面角θ，计算出tan θ，由此求得θ.【详解】连接11A C 交11B D 于O ，连接11,,BA BO BC ，由于111111,BA BC B A B C ==，所以11111,BO AC B O AC ⊥⊥，所以1BOB ∠是二面角111B AC B --的的平面角，设1BOB θ∠=，在1Rt BOB △中，11tan 2BB B Oθ==， 由图可知θ为锐角，所以arctan 2θ=.故答案为：arctan 213．α，β是两个不同的平面，m ，n 是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断： ①m n ⊥，②αβ⊥，③m β⊥，④n α⊥.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：______.【答案】若②③④则①或若①③④则②(写出其中正确的一组即可)【分析】分别以①②③④作为结论，数形结合即可解决【详解】如图，若②③④则①，成立；如图，若①③④则②，成立；如图，若①②④则③，不成立；如图，若①②③则④，不成立；故答案为：若②③④则①或若①③④则②(写出其中正确的一组即可)14．如图，在正方体1111ABCD A B C D 中，过点A 作平面11A BC 的垂线l ，则直线l 与直线1CC 所成角的余弦值为__．3【解析】连结1DB ，则1DB ⊥平面11A BC ，从而1//l DB ，直线l 与直线1CC 所成角为1D DB ∠，由此能求出结果．【详解】如图，连接1DB ，连接11D B ，则1111AC B D ⊥ 则在正方体中，1DD ⊥平面1111D C B A ， 11A C ⊂平面1111D C B A ，111DD A C ∴⊥， 1111DD D B D =，11A C ∴⊥平面11DD B ，1DB ⊂平面11DD B ，111AC DB ∴⊥，同理可得11A B DB ⊥,111AC A B B ⋂=,则1DB ⊥平面11ABC ，1//l DB ∴， 直线l 与直线1CC 所成角为11D DB ∠，连结11B D ，在Rt △11D DB 中，设1DD a =，则13DB a =，113cos 33a D DB a ∴∠==． 故答案为：33．【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．15．已知a ，b 是异面直线，点,A B a ∈，,C D b ∈，AC b ⊥，BD b ⊥，且2AB =，1CD =，则,a b 所成的角是___________. 【答案】60【分析】过点A 作直线l //b ，再在直线l 上取点O ，使AO =CD ，证明AO ⊥平面BOD ，求出BAO ∠即可得解.【详解】过点A 作直线l //b ，再在直线l 上取点O ，使AO =CD ，连接BO ，DO ，如图，于是得异面直线a ，b 所成角是BAO ∠或其补角，显然四边形ACDO 是平行四边形，则//OD AC ，而AC b ⊥，即ACDO 是矩形，从而有AO DO ⊥， 因BD b ⊥，//AO b ，则AO BD ⊥，又BD OD D ⋂=，,BD OD ⊂平面BOD ，于是得AO ⊥平面BOD ， 又BO ⊂平面BOD ，因此，AO BO ⊥，Rt AOB 中，AO =CD =1，AB =2，则1cos 2AO BAO AB ∠==，从而得60BAO ∠=，所以异面直线,a b 所成的角是60. 故答案为：6016．已知三棱锥-P ABC 中，O 为AB 中点，PO ⊥平面ABC ，90APB ∠=︒，2PA PB ==，则下列说法中正确的序号为______.①若O 为ABC 的外心，则2PC =； ②若ABC 为等边三角形，则⊥AP BC ；③当90ACB ∠=︒时，PC 与平面PAB 所成角的范围为0,4π⎛⎤⎥⎝⎦；④当4PC =时，M 为平面PBC 内动点，若//OM 平面PAC ，则M 在PBC 内的轨迹长度为2. 【答案】①③④【分析】对于①，利用外心的性质即可判断；对于②，利用反证法可判断；对于③，过C 作CH AB ⊥， 连接PH ，易知CPH ∠为PC 与平面PAB 所成角，即可判断；对于④，利用面面平行可得轨迹长度. 【详解】如图①，若O 为ABC 的外心，连接OC ，则OA OB OC ==， 又PO ⊥平面ABC ，故PA PB PC ==，故①正确； 假设⊥AP BC ，则再根据PO BC ⊥，得BC ⊥平面APB ， 则BC AB ⊥，与ABC 为等边三角形矛盾，故②错误；当90ACB ∠=︒时，2OC =，2PC =，过C 作CH AB ⊥， 连接PH ，如图①，易知CPH ∠为PC 与平面PAB 所成角，2sin 0,22CH CPH ⎛⎤∠=∈ ⎥ ⎝⎦， 故CPH ∠的范围为0,4π⎛⎤⎥⎝⎦，故③正确；如图②，取1M ，2M 分别为PB ，BC 的中点，则平面12//OM M 平面APC ，则线段12M M 为M 在PBC 内的轨迹， 其长度为2，故①③④正确.故答案为：①③④三、解答题17．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，1M 分别是棱AD 和11A D 的中点．（1）求证：四边形11BB M M 为平行四边形； （2）求证：111BMC B M C ∠=∠．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）根据正方体的性质和平面几何知识可得证； （2）根据空间两个角相等定理或三角形全等可得证.【详解】解：(1)∵1111ABCD A B C D -为正方体．∴11AD A D =，且11//AD A D ， 又M ，1M 分别为棱AD ，11A D 的中点，∴11AM A M =且11//AM A M ，∴四边形11AMM A 为平行四边形，∴11MM AA =且11//MM AA ． 又11AA BB =且11//AA BB ，∴11MM BB =且11//MM BB ， ∴四边形11BB M M 为平行四边形．(2)法一：由(1)知四边形11BB M M 为平行四边形，∴11//B M BM ．同理可得四边形11CC M M 为平行四边形，∴11//C M CM ．∵BMC ∠和111B M C ∠方向相同， ∴111BMC B M C ∠=∠．法二：由(1)知四边形11BB M M 为平行四边形，∴11B M BM =． 同理可得四边形11CC M M 为平行四边形，∴11C M CM =． 又∵11B C BC =，∴111BCM B C M ≌△△，∴111BCM B C M ∠=∠．18．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点M ，N 分别是A 1B 1，B 1C 1的中点．求证：（1）AM 和CN 共面； （2）D 1B 和CC 1是异面直线．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）连结MN ，A 1C 1，AC ，根据点M ，N 分别是A 1B 1，B 1C 1的中点，利用平行关系的传递性得到MN ∥AC 即可；（2）利用反证法，先假设D 1B 与CC 1不是异面直线，证明D 1，B ，C ，C 1共面矛盾即可. 【详解】（1）如图，连结MN ，A 1C 1，AC .∵点M ，N 分别是A 1B 1，B 1C 1的中点， ∴MN ∥A 1C 1.∵四边形A 1ACC 1为平行四边形， ∴A 1C 1∥AC ， ∴MN ∥AC ，∴A ，M ，N ，C 四点共面，即AM 和CN 共面． （2）∵ABCD －A 1B 1C 1D 1是正方体，∴B ，C ，C 1，D 1不共面．假设D 1B 与CC 1不是异面直线， 则存在平面α，使D 1B ⊂平面α，CC 1⊂平面α，∴D 1，B ，C ，C 1∈α，这与B ，C ，C 1，D 1不共面矛盾． ∴假设不成立，即D 1B 与CC 1是异面直线．19．如图，点P 为四边形ABCD 所在平面外的一点，P A ⊥平面ABCD ，AD ⊥AB ，AB CD ∥，122AB AD AP CD ====，E 、F 分别是CD 、PC 的中点.(1)求点A 到平面PBE 的距离； (2)求证：BF ⊥CD . 【答案】2(2)证明见解析【分析】（1）连接BE ，PE ，过A 作AG PB ⊥，交PB 于点G ，根据题意，可得BE AB ⊥，根据线面垂直的判定定理，可证BE ⊥平面P AB ，所以BE AG ⊥，根据线面垂直的判定定理，可证AG ⊥平面PBE ，在Rt PAB 中，求得AG 长，即可得答案；（2）根据线面垂直的性质定理，判定定理，可证CD ⊥平面P AD ，进而可证CD PD ⊥，再根据线面垂直的判定定理，可证CD ⊥平面BEF ，即可得证.【详解】（1）连接BE ，PE ，过A 作AG PB ⊥，交PB 于点G ，因为E 为DC 中点，122AB AD AP CD ====，且AD ⊥AB ，所以四边形ABED 为正方形，因为P A ⊥平面ABCD ，AB 、BE ⊂平面ABCD ， 所以PA BE ⊥，PA AB ⊥，又PA AB A =，,PA AB ⊂平面P AB ， 所以BE ⊥平面P AB ， 因为AG ⊂平面P AB ， 所以BE AG ⊥， 又BEPB B =，,BE PB ⊂平面PBE ，所以AG ⊥平面PBE ，则AG 长即为A 到平面PBE 的距离， 在Rt PAB 中，2PA AB ==， 所以2222PB PA AB =+=， 所以1122PA AB PB AG ⨯⨯=⨯⨯，解得2AG =，即A 到平面PBE 的距离为2（2）连接BF 、EF 、BE ，如图所示， 因为P A ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， 所以PA CD ⊥，又AD CD ⊥，AD PA A ⋂=，,AD PA ⊂平面P AD ， 所以CD ⊥平面P AD ， 因为PD ⊂平面P AD ， 所以CD PD ⊥，因为E 、F 分别为CD ，PC 的中点， 所以EF PD ∕∕， 所以CD EF ⊥， 又BE CD ⊥，BEEF E =，,BE EF ⊂平面BEF ，所以CD ⊥平面BEF ， 因为BF ⊂平面BEF ，20．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 是菱形，底面,AC BD O PAC =△是边长为2的等边三角形，PB =PD =6，AP =4AF（1）求证：PO ⊥底面ABCD （2）求直线CP 与OF 所成角的大小.（3）在线段PB 上是否存在点M ，使得//CM 平面BDF ？如果存在，求BMBP的值；如果不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）30；（3）存在，13BM BP =. 【解析】（1）由底面ABCD 是菱形，证得PO ⊥BD ，在PAC △中，P A =PC ，证得PO ⊥AC ，结合线面垂直的判定定理，即可证得PO ⊥底面ABCD ；（2）连接OF ，取AP 中点为E ，连接OE ，证得CP //OE ，得到∠EOF 为直线CP 与OF 所成的角，进而求得直线CP 与OF 所成角的大小；（3）连接CM ，连接CE ，ME ，证得EM //平面BDF ，结合（2）证得平面EMC //平面BDF ，即可得到CM //平面BDF .【详解】（1）因为底面ABCD 是菱形，且AC BD O =，所以O 为AC ，BD 中点，在PBD △中，PB =PD ，可得PO ⊥BD ，因为在PAC △中，P A =PC ，O 为AC ，BD 中点，所以PO ⊥AC ， 又因为AC BD =O ，所以PO ⊥底面ABCD . （2）连接OF ，取AP 中点为E ，连接OE ， 因为底面ABCD 是菱形，AC BD =O ，由O为AC中点，且E为AP中点，AP=4AF，所以F为AE中点，所以CP//OE. ，故∠EOF为直线CP与OF所成的角，又由PAC△为等边三角形，且E为中点，所以∠EOF=30.（3）存在，13 BMBP=，连接CE，ME，因为AP=4AF，E为AP中点，所以13 EFFP=，又因为13BMBP=，所以在PFB△中，EF BMFP BP=，即EM//BF，因为EM⊄平面BDF，BF⊂平面BDF，所以EM//平面BDF，由（2）知EC//OF，因为EC⊄平面BDF，OF⊂平面BDF，所以EC//平面BDF，因为EC EM=E，所以平面EMC//平面BDF，因为CM⊂平面EMC，所以CM//平面BDF.【点睛】解答空间中点、线、面位置关系的判定问题常见解题策略：1、对空间平行关系的转化条件理解不透导致错误；对面面平行判定定理的条件“面内两相交直线”认识不清导致错解；2、对于空间中的垂直关系中确定线面垂直是关键，证明线线垂直则需借助线面垂直的性质，垂直关系的判定定理和性质定理合理转化是证明垂直关系的基本思想.。