【精品】2018最新学年广东省深圳市罗湖外语学校高二上学期期中数学试卷和解析文科

潔圳第二外国语学校2018—2019学年第一学期期中考试高二文科数学试卷會題人：fit艳华审题人；郑粤萍—*选择题（本大题共12小臨毎小越5分，共60分*在列出的四个进项中，只有一项符會18目SE求.）1. ^»P i3nGN,n2>2"・则TplM }h. * 电 N,X A2“U 3rt £2"G Vn^N t n2 £2* 陥3neJV t n J=2"N已知戸宀三尹，q^sinx^—**. 9ttp是督的（JmJA-充分不必叢条件 B.必農不充分条件C-充分必要条杵 D.既不充分也不必要条件3+已知sina^—,则C0s2a =2A.1B. 1 c. a 4- 2 2 24,迂F列命1W中.專応聽是f 厂A.命題“若ac>bc t则Q扩k命軀“若"3,则W的逆命翹J 命JM "若尸2,则工-3M2R17的否命題D.命题⑷相似三角形的对应角相等"的逆否命题5.捕岡2工卫+3尸、12的两雋点之间的距离是（）扎2V10 B. V13 C. V2 D. 2返* 6,已知双曲线C・三一一=1 *则双曲线C的型逹为（4B. C.芈D. 22 27r若直线—+ ^ = 1 （QQ,b刈过点（h 4），则战+b的最小值麻于」a bA. 8B. 9C. 12 D- 16■*8戒曲线M =1的虚畦是实轴的侶*则曲=i >B. _49•设HI BE C —^y _i/ t”的左，右擁点分别为耳片p是C上的点P耳丄砒，"殆=30*・则C的离心率为*10 *已知双曲践口召-召工】的F斯近域方建为2x+3y = 0，小片分别是驱曲找（?的左.右焦点.点尸在双曲ftC±»且|尸用=2,则|P耳|第于（:儿4 B, & C«8 D. 1011.某企业生产甲、乙两种产品均需用4占萌种原料.已知生产1吨毎种产品滞脈料及毎夭亂料的可用限额如下表所示如粤崔产1吨甲、乙产也可莪利滴分别为3万元、4万元业每天可获福議大利肩为（甲乙从晌）32… 12 _ -128 . 1A. 12万元B, 16万元17万元D・W万元12. B»#fiHE：4+4=,^>i>0）的右儒点为科玄0）,过点F的直线交椭團于俎B□ b2二、填4® （本大!5共"题.每小题5分，共20分在空白处填写正确笞案•）13,若Q0, "0,且此毛&则計b的最小值为-------------14.不縮式12"岸3的解集制一一的渐近卿|程为尸土2岳则双曲线C的方程为一-—1 卜+2八216•若实数叩能足'"2 ‘的最小值为三.上6小IB,樂”分*解答应骂出文字说明，证期过程或演尊涉* ）17.（】Q分）已知曲pt关于Jt的方隊F+fcJ— 1 lr+aM）无实数煙，侖屯耶实做。

2023-2024学年广东省深圳外国语学校龙华中学高中部高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知向量a →=（x ，2，3），b →=（3，﹣4，﹣3），若（a →+b →）⊥a →，则x ＝（ ） A ．﹣4B ．4C ．﹣4或1D ．4或﹣12．椭圆x 29+y 27=1的焦距为（ ）A ．2√2B ．4C ．8D ．163．圆O 1：(x −3)2+(y +4)2=25与圆O 2：x 2+y 2+4x −8y −44=0的公切线条数为（ ） A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条4．若直线l ：y ＝kx −√3与直线2x +3y ﹣6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ） A ．[π6，π3）B ．（π6，π2）C ．（π3，π2）D ．[π3，π2]5．如图，在四面体OABC 中，OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →，且OE →=12EA →，BF →=14BC →，则EF →=（ ）A ．13a →−34b →+14c →B ．13a →+34b →+14c →C ．−13a →−34b →+14c →D ．−13a →+34b →+14c →6．已知直线l 过定点A （2，3，1），且n →=（0，1，1）为其一个方向向量，则点P （4，3，2）到直线l 的距离为（ ） A ．3√22B ．√22C ．√102D ．√27．已知直线l ：λx ﹣y ﹣λ+1＝0和圆C ：x 2+y 2﹣4y ＝0交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为（ ） A ．2 B ．√2 C ．4 D ．2√28．关于曲线C ：1x 2+1y 2=1，有如下结论：①曲线C 关于原点对称； ②曲线C 关于直线x ±y ＝0对称；③曲线C 是封闭图形，且封闭图形的面积大于2π； ④曲线C 不是封闭图形，且它与圆x 2+y 2＝2无公共点；⑤曲线C 与曲线D ：|x |+|y |＝2√2有4个交点，这4点构成正方形； 其中所有正确结论的序号为（ ） A ．①②③⑤B ．①②④⑤C ．①②③④D ．①②③④⑤二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分. 9．关于空间向量，以下说法正确的是（ ）A ．若直线l 的方向向量为e →=(1，0，3)，平面α的法向量为n →=(−2，0，23)，则直线l ∥αB ．已知{a →，b →，c →}为空间的一个基底，若m →=a →+c →，则{a →，b →，m →}也是空间的基底 C ．若对空间中任意一点O ，有OP →=16OA →+13OB →+12OC →，则P ，A ，B ，C 四点共面D ．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线 10．下列说法错误的是（ ）A ．“a ＝﹣1”是直线a 2x ﹣y +1＝0与直线x ﹣ay ﹣2＝0互相垂直的充要条件B ．若直线l 的一个方向向量是e →=(−1，√3)，则直线l 的斜率为−√3 C ．直线x 2−y3=1在y 轴上的截距为3D ．经过点P （1，1），倾斜角为θ的直线方程为y ﹣1＝tan θ•（x ﹣1）11．已知圆 C ：（x +2）2+y 2＝4，直线l ：（m +1）x +2y ﹣1+m ＝0（m ∈R ），则（ ） A ．直线l 恒过定点（﹣1，1）B ．当m ＝0时，圆C 上恰有三个点到直线l 的距离等于1C ．直线l 与圆C 有一个交点D ．若圆C 与圆x 2+y 2﹣2x +8y +a ＝0恰有三条公切线，则a ＝812．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点M ，N ，P 分别是平面ADD 1A 1、平面CDD 1C 1、平面ABCD 的中心，点Q 是线段A 1C 1上的动点，则下列结论正确的是（ ）A ．PN 与A 1C 1所成角为π3B ．D 点到平面MNP 的距离为√33aC ．三棱锥M ﹣NPQ 的体积为定值124a 3D ．直线DQ 与平面A 1ACC 1所成角的正切值的最大值为12三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．方程x 29−k +y 25+k =1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的范围是 ．14．若直线6x +my +2＝0与直线3x +y ﹣1＝0平行，则这两平行线间距离为 ．15．如图，平行六面体ABCD ﹣A ′B ′C ′D ′中，AB ＝AD ＝1，AA ′＝2，∠BAD ＝∠BAA ′＝∠DAA ′＝60°，则AC ′的长为 ．16．已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左焦点为F ，经过原点O 的直线l 与椭圆E 交于P ，Q 两点，若|PF |＝3|QF |，且∠PFQ ＝120°，则椭圆E 的离心率为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知△ABC 的三个顶点分别为A （1，0），B （﹣3，2），C （0，3）． （1）求AB 边上的高所在直线的方程； （2）求△ABC 的面积．18．（12分）如图，已知P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，P A ＝AD ＝2，AB ＝4，M ，N 分别为AB ，PC 的中点．（1）求证：MN ∥平面P AD ； （2）求点D 到平面PMC 的距离．19．（12分）已知圆C ：x 2+y 2＝3，直线l 过点A （﹣2，0）．（1）当直线l与圆C相切时，求直线l的斜率；（2）线段AB的端点B在圆C上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程．20．（12分）古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262﹣公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（k＞0且k≠1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．已知平面直角坐标系xOy中的点E(√2，0)，F(2√2，0)，则满足|PF|=√2|PE|的动点P的轨迹记为圆E．（1）求圆E的方程；（2）过点Q（3，3）向圆E作切线QS，QT，切点分别是S，T，求直线ST的方程．21．（12分）如图，在棱长为a的正方体OABC﹣O′A′B′C′中，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE＝BF．（1）求证：A′F⊥C′E；（2）当三棱锥B′﹣BEF的体积取得最大值时，求A′F与平面B′EF所成角的正弦值．22．（12分）已知椭圆C：x 2a2+y2b2=1（a＞b＞0）离心率等于√32且椭圆C经过点p(√3，12)．（1）求椭圆的标准方程C；（2）若直线y＝kx+m与轨迹C交于M，N两点，O为坐标原点，直线OM，ON的斜率之积等于−1 4，试探求△OMN的面积是否为定值，并说明理由．2023-2024学年广东省深圳外国语学校龙华中学高中部高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

深圳外国语学校2016-2017学年高二第二学期学段（一）考试1．【答案】C 【解析】i 11i 1i 22=-+，对在点11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，在第四象限，故选D ．2．【答案】C 【解析】133122x x x x y y y y ⎧⎧'='=⎪⎪⇒⎨⎨'=⎪⎪'=⎩⎩，代入3210x y -+=得910x y ''-+=，故选C ．3．【答案】A【解析】P 在直线l 上，令2t =±时，得(0,3)，(2,3)--，故选A ．4．【答案】B【解析】sin 2sin 2ρθθ=，得sin 2sin cos ρθθθ=．①sin 0θ=为直线；②2cos ρθ=为圆，故选B ．5．【答案】C【解析】A ：演绎推理，B ：类比推理，D ：归纳推理，故选C ．6．【答案】D【解析】回归方程计算值为估计值，故选D ．7．【答案】D 【解析】2()()()()()()a b c d ad bc x a c b d a b c d +++-=++++，2()ad bc -越大，2x 越大，x 与y 关系性越强． 故选D ．8．【答案】B【解析】由递推公式()(1)(2)F n F n F n =-+-，当15i =时，为求前15项和，故14i ≤，5b =． 故选B ．9．【答案】C 【解析】224(,)22k k N n k n n --=+，故(20,17)2870N =．故选C ．10．【答案】B【解析】2222t t t t x y --⎧=-⎪⎨=+⎪⎩得222(0)x y y -=->，为双曲线上部．故选B ．11．【答案】A【解析】由题可知(0)0f =，则2222(35)(47)(3412)0f x f y f x y -+-=+-=．即2234120x y +-=，故221243x y +=，证(2cos 3sin )P θθ⋅， 则2cos 3sin(4)x y θθ+=++，23tan 3ϕ=． 则max ()7x y +=．故选A ．12．【答案】C【解析】222:3sin 12E ρρθ+=，设1(,)A ρθ，2π,2B ρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 则222221112222222213sin 3sin 1212π3sin 1213cos 212θρρθρρρθθρ⎧+=⎧+=⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎛⎫++=+ ⎪⎪⎪=⎝⎭⎩⎪⎩， 2222121111712OA OBρρ+=+=． 故选C ．13．【答案】sin 0θ<或cos 0θ<【解析】反证法即为找命题的否定形式．14．【答案】i 【解析】理解为等比数列求和：则2017i(1i )i(1i)i 1i 1iz --===--．15．【答案】4【解析】圆22:(2)(1)9C x y -++=，直线:3430l x y ++=． 圆心(2,1)-到直线l 距离1d =，2r d <-．故有4个点到直线距离为2．16．【答案】[33,33]-+ 【解析】(3,)A m 在抛物线上，则232pm =，即32m p=． A 点到斜线距离：2A p d A =+，即133422p p =+． 解得12p =或6-（舍）． 则(3,3)A ，(3,3)B -，OAB △是正三角形，内切，圆方程为22(2)1x y +-=． 则33,22E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，设(cos ,2sin )F θθ+， 则33πcos 3sin 33sin 226OE OF θθθ⎛⎫⋅=++=++ ⎪⎝⎭uu u r uu u r ， ∴[33,33]OE OF ⋅∈-+u u u r u u u r ．17．解（1）当z ∈R 时，2230310m m m m ⎧+-=⇒=-⎨-≠⎩． （2）当z 为纯虚数时，2(2)001230m m m m m m -⎧=⎪⇒=-⎨⎪+-≠⎩或2．（3）当0z <时，2(2)031230m m m m m m -⎧<⎪⇒=--⎨⎪+-=⎩． 18．解（1）由题可知：22⨯列联表如下：成绩提高 成绩没有提高 总计用新式泳衣 1236 48 未用新式泳衣8 40 48 总计20 76 96 （2）2296(1240368) 1.01148482076k ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯， ∵1.011 2.706<，∴没有把握认为有用成绩提高与新式泳衣有关．19．解（1）2222:sin 2cos sin 2cos 2(0)C a a y ax a ρθθρθρθ=⇔=⇔=>， 222:20242x t l y x y t ⎧=-+⎪⎪⇔-+=⎨⎪=-+⎪⎩．（2）将222:222x t l y t -⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入22y ax =得： 222(4)8(4)0t a t a -+++=，1222(4)t t a +=+，128(4)t t a =+，设1PM t =，2PN t =，则12MN t t =-． 若PM ，MN ，PN 成等比数列，则21212()t t t t =-，即 28(4)8(4)48(4)a a a +=+-⨯+，∴1a =．20．解（1）1C 是圆，2C 是椭圆，当0α=时，交点为(1,0)，(,0)a ，两点距离为2，则3a =；当π2α=时，交点为(0,1)，(0,)b ，两点重合，则1b =． （2）221:1C x y +=，222:19x C y +=． 当π4α=时，l 与1C 交点122,22A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，与2C 交点1310310,1010B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 当π4α=-时，l 与1C 交点222,22A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，与2C 交点2310310,1010B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭． 此时四边形为梯形，则121212()()225A AB B B B y y y y x x S -+--==．。

2018学年广东省深圳高级中学高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，2，4}，B={2，4，6}，则A∩（∁U B）=（）A．{1}B．{2}C．{4}D．{1，2}2．（5分）已知向量=（λ+1，1），=（λ+2，2），若（+）⊥（﹣），则λ=（）A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣13．（5分）已知命题p：∀x＞0，总有（x+1）e x＞1，则￢p为（）A．∃x0≤0，使得（x0+1）e≤1 B．∃x0＞0，使得（x0+1）e≤1C．∀x＞0，总有（x+1）e x≤1 D．∀x≤0，总有（x+1）e x≤14．（5分）已知函数f（x）=．若f（2﹣a2）＞f（a），则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）B．（﹣1，1）C．（﹣2，1）D．（﹣1，2）5．（5分）为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，可以将函数y=cos2x的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度6．（5分）已知过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax﹣y+1=0垂直，则a=（）A．B．1 C．2 D．7．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）A．B．C．D．8．（5分）若函数f（x）=ax4+bx2+c满足f′（1）=2，则f′（﹣1）=（）A．﹣1 B．﹣2 C．2 D．09．（5分）若，则cosα+sinα的值为（）A．B．C．D．10．（5分）设集合A={x|x2+x﹣6=0}，B={x|mx+1=0}，则B是A的真子集的一个充分不必要的条件是（）A．B．m≠0 C．D．11．（5分）若正数x，y满足+=5，则3x+4y的最小值是（）A．B．C．5 D．612．（5分）椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P为椭圆M上任一点，且的最大值的取值范围是[c2，3c2]，其中．则椭圆M的离心率e的取值范围是（）A．B． C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）设L为曲线C：y=在点（1，0）处的切线，则L的方程为．14．（5分）若非负数变量x、y满足约束条件，则x+y的最大值为．15．（5分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与双曲线的左支交于A，B两点，线段AB长为5．若a=4，那么△ABF2的周长是．16．（5分）在数列{a n}中，a1=1，a1+++…+=a n（n∈N*），则数列{a n}的通项公式a n=．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）设△ABC的内角为A，B，C，且sinC=sinB+sin（A﹣B）．（I）求A的大小；（II）若a=，△ABC的面积S=，求△ABC的周长．△ABC。

广东省深圳市罗湖中学2018年高二数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 复数（）A. 1+2iB. 1-2iC. -1+2iD. -1-2i参考答案：A试题分析：考点：复数运算2. 函数在处取到极值，则的值为( )A. B. C.0 D.参考答案：A3. 是定义在上的以3为周期的偶函数，且，则方程在区间内解的个数的最小值是（）A.5B.4C.3D.2参考答案：B略4. 设点P（x，y），则“x=﹣2且y=1”是“点P在直线l：x+y+1=0上”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据吃饭必要条件的定义以及点和直线的关系判断即可．【解答】解：∵x=﹣2且y=1”可以得到“点P在直线l：x+y+1=0上”，当“点P在直线l：x+y+1=0上”时，不一定得到x=﹣2且y=1，∴“x=﹣2且y=1”是“点P在直线l：x+y+1=0上”的充分不必要条件，故选：A．5. 在递增的等差数列中，已知，则为（）或参考答案：A6. 函数的导数为（）A．B．C．D．参考答案：C函数，利用导数的运算法则有.7. 的展开式中含的正整数指数幂的项数是A.0B.2C.4D.6参考答案：B8. 下面几种推理是合情推理的是（）（1）由圆的性质类比出球的性质（2）由求出，猜测出（3）M,N是平面内两定点，动点满足,得点的轨迹是椭圆。

（4）由三角形的内角和是，四边形内角和是，五边形的内角和是，由此得凸多边形的内角和是结论正确的是（）A. (1)(2)B. (2)(3)C. (1)(2)(4)D. (1)(2)(3)(4)参考答案：C【分析】根据归纳推理和类比推理的概念，逐项判定，即可求解，得到答案.【详解】由题意知，（1）中由圆的性质类比出球的性质是两类事物之间的推理过程是类比推理，属于合情推理；（2）由求出，猜测出，体现了特殊到一般的推理，是归纳推理，属于合情推理；（3）由M,N是平面内两定点，动点满足,得点的轨迹是椭圆，属于演绎推理.（4）由三角形的内角和是，四边形内角和是，五边形的内角和是，由此得凸多边形的内角和是，属于归纳推理，是合情推理.综上所述，属于合情推理有(1)(2)(4)，故选C.【点睛】本题主要考查了归纳推理与类比推理的概念及判定，其中解答中熟记归纳推理和类比推理的概念，逐项准确判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.9. 若某几何体的三视图（单位：）如图，则其体积是．参考答案：10. 设命题p：?x∈R，x2+1＞0，则￢p为( )A．?x0∈R，x02+1＞0 B．?x0∈R，x02+1≤0C．?x0∈R，x02+1＜0 D．?x∈R，x2+1≤0参考答案：B【考点】命题的否定．【专题】简易逻辑．【分析】题设中的命题是一个特称命题，按命题否定的规则写出其否定即可找出正确选项【解答】解∵命题p：?x∈R，x2+1＞0，是一个特称命题．∴￢p：?x0∈R，x02+1≤0．故选B．【点评】本题考查特称命题的否定，掌握其中的规律是正确作答的关键．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 抛物线上两个不同的点，，满足，则直线一定过定点，此定点坐标为__________．参考答案：(4,0)解：设直线的方程为代入抛物线，消去得,设，，则，，∴，∴（舍去）或,故直线过定点(4,0)．12.，则.参考答案：略13. 在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，各棱长均相等，BC1与B1C的交点为D，则AD与平面BB1C1C 所成角的大小是．参考答案：60°考点：直线与平面所成的角．专题：计算题；空间角．分析：本题考查的知识点是线面角，由已知中侧棱垂直于底面，我们过D点做BC的垂线，垂足为E，则DE⊥底面ABC，且E为BC中点，则E为A点在平面BB1C1C上投影，则∠ADE即为所求线面夹角，解三角形即可求解．解答：解：如图，取BC中点E，连接DE、AE、AD，依题意知三棱柱为正三棱柱，易得AE⊥平面BB1C1C，故∠ADE为AD与平面BB1C1C所成的角．设各棱长为1，则AE=，DE=，∴tan∠ADE==，∴∠ADE=60°．故答案为：60°．点评：求直线和平面所成的角时，应注意的问题是：（1）先判断直线和平面的位置关系．（2）当直线和平面斜交时，常用以下步骤：①构造﹣﹣作出或找到斜线与射影所成的角；②设定﹣﹣论证所作或找到的角为所求的角；③计算﹣﹣常用解三角形的方法求角；④结论﹣﹣点明斜线和平面所成的角的值．14. 已知x∈（1，5），则函数y=+的最小值为．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】综合题；转化法；函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】求函数的导数，利用导数研究函数的单调性，结合函数最值和导数之间的关系进行求解即可．【解答】解：函数的导数f′（x）=﹣+==，由f′（x）=0得x2﹣18x+49=0得x===9±4，∵x∈（1，5），∴x=9﹣4，当1＜x＜9﹣4时，f′（x）＜0，函数单调递减，当9﹣4＜x＜5时，f′（x）＞0，函数单调递增，故当x=9﹣4时，函数f（x）取得极小值，同时也是最小值，此时f（9﹣4）=+=+=+=+=+=+=，故答案为：【点评】本题主要考查函数最值的求解，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性和最值是解决本题的关键．考查学生的运算和推理能力．15. 已知等差数列满足：，．若将，，都加上同一个数，所得的三个数依次成等比数列，则所加的这个数为 .参考答案：16.参考答案：217. 某种平面分形如图所示，以及分形图是有一点出发的三条线段，二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出发在生成两条线段，…，依次规律得到n级分形图，那么n级分形图中共有条线段．参考答案：3?2n﹣3n级分形图中的线段条数是以3为首项，2为公比的等比数列的和；解：n级分形图中的线段条数是以3为首项，2为公比的等比数列的和，即=3?2n ﹣3；故答案为：3?2n﹣3三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2023-2024学年深圳外国语高二数学上学期期中考试卷（试卷满分150分，考试时间120分钟）2023.11第一部分选择题（共60分）一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知椭圆的标准方程22143x y +=，其焦距为（）A ．2B C ．1D ．122．设向量,,a b c不共面，则下列可作为空间的一个基底的是（）A ．{,,}a b b a a +-B ．{,,}a b b a b +-C ．{,,}a b b a c +-D ．{,,}a b c a b c +++ 3．已知向量(1,2,2),(2,1,1)a b ==- ，则向量b 在向量a上的投影向量为（）A ．244,,999⎛⎫--- ⎪⎝⎭B ．244,,999⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．211,,333⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．211,,333⎛⎫-- ⎪⎝⎭4．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别是CD 、1CC 的中点，则异面直线1A M 与DN 所成角的大小是（）A ．30°B ．45︒C ．60︒D ．90︒5．如图，在四面体OABC 中，,,OA a OB b OC c === ，且11,24OE EA BF BC ==，则EF = （）A ．131344a b c -+B ．131344a b c ++C ．131344a b c--+D ．131344a b c-++6．已知直线:10l mx y --=，若直线l 与连接()1,2A -、()2,1B 两点的线段总有公共点，则直线l 的倾斜角范围为（）A ．ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．3π,π4⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．π3π0,,π44⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎢⎣⎦⎣⎭7．关于曲线24:1C x y +=下列说法：①关于点()0,0对称；②关于直线x 轴对称；③关于直线y x =对称；④曲线C 是封闭图形，面积小于π；⑤曲线C 是封闭图形，面积大于π；⑥曲线C 不是封闭图形无法计算面积.其中正确的序号（）A ．①②⑥B ．①②⑤C ．①②④D ．②③⑥8．当曲线y =240kx y k -+-=有两个相异的交点时，实数k 的取值范围是（）A ．3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．5,14⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．3,14⎛⎤⎥⎝⎦D ．5,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.）9．下列命题中，正确的有（）A ．12,n n 分别是平面,αβ的法向量，若//αβ，则12//n nB ．12,n n 分别是平面,αβ的法向量，若120n n ⋅=，则αβ⊥C ．n u r 是平面α的法向量，a 是直线l 的方向向量，若0a n ⋅=，则//l αD ．n u r 是平面α的法向量，a 是直线l 的方向向量，若,120a n =︒r r ，则l 与平面α所成角为60︒10．下列各选项中，不正确的是（）A ．若ABCD 、、、是空间任意四点，则有0AB BC CD DA +++=B ．对于非零向量,,,,a b a b a b 〈〉=〈--〉C ．若,AB CD共线，则//AB CDD ．对空间任意一点O 与不共线的三点、、A B C ，若OP xOA yOB zOC =++ （其中,,x y z ∈R ），则P A B C 、、、四点共面11．已知直线()()()21120m x m y m m ++---=∈R 与圆22:40C x x y -+=，则（）A ．对m ∀∈R ，直线恒过一定点B ．m ∃∈R ，使直线与圆相切C ．对m ∀∈R ，直线与圆一定相交D12．瑞士数学家欧拉(Euler)在1765年在其所著作的《三角形的几何学》－书中提出：三角形的外心(中垂线的交点)、重心(中线的交点)、垂心(高的交点)在同一条直线上，后来，人们把这条直线称为欧拉线.若△ABC 的顶点A(－4，0)，B(0，4)，其欧拉线方程为x －y ＋2＝0，则下列说法正确的是（）A ．△ABC 的外心为(－1，1)B ．△ABC 的顶点C 的坐标可能为(－2，0)C ．△ABC 的垂心坐标可能为(－2，0)D ．△ABC 的重心坐标可能为42,33⎛⎫- ⎪⎝⎭第二部分非选择题（共90分）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13．椭圆221169y x +=的焦点为1F 、2F ，P 为椭圆上不同于长轴端点的一点，则12PF F △的周长为．14．如图在平行六面体ABCD A B C D -''''中，312AB AD AA =='=，，，9060BAD BAA DAA ∠∠∠'='=︒=︒，，则AC '的长是．15．过点P （1，2）且在Ｘ轴，Ｙ轴上截距相等的直线方程是.16．据监测，在海滨某城市附近的海面有一台风.台风中心位于城市A 的东偏南60方向、距离城市的海面P 处，并以20/km h 的速度向西偏北30方向移动（如图示）.如果台风侵袭范围为圆形区域，半径120km ，台风移动的方向与速度不变，那么该城市受台风侵袭的时长为.四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知直角ABC 的顶点坐标()30A -,，直角顶点()1,2B -，顶点C 在x 轴上．（1）求点C 的坐标；（2）求ABC 的斜边中线所在直线的方程．18．如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为1,DD DB 的中点.(1)求证：//CF 面11ACD ；(2)求点1C 到平面1B CF 的距离.19．已知圆G 经过()()()1,3,4,2,5,5A B C -三点.(1)求圆G 的方程；(2)过点()3,3Q 向圆G 作切线,QS QT ，切点分别是,S T ，求直线ST 的方程.20．已知圆()22:116E x y ++=，点()1,0,F G是圆E 上任意一点，线段GF 的垂直平分线和半径GE 相交于H .(1)求动点H 的轨迹L 的方程；(2)若()()2,0,2,0A B -，过F 作直线l 与轨迹L 交于,M N 两点（不与,A B 重合），记直线AM 与BN 的斜率分别为12,k k ，证明：12k k 为定值.21．在如图所示的四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，△PAD 是正三角形，平面PAD ⊥平面ABCD.（1）求平面PAB 与平面PCD 所成锐二面角的大小；（2）设E 为PB 上的动点，直线CE 与平面PAB 所成的角为θ，求sin θ的最大值.22．已知A(3,0)，B(-3,0)，C 是动点，满足AC BC λ⋅=（λ为常数），过C 作x 轴的垂线，垂足为H ，记CH 中点M 的轨迹为Γ，(1)若Γ是椭圆，求此椭圆的离心率；(2)若(2,1)M 在Γ上，过点G(0,m)作直线l 与Γ交于P 、Q 两点，如果m 值变化时，直线MP 、MQ 的倾斜角总保持互补，求△MPQ 面积的最大值．1．A【分析】结合标准方程及椭圆,,a b c 关系可求得结果.【详解】由椭圆标准方程知：椭圆焦距为2=.故选：A.2．C【分析】依次判断四个选项中三个向量是否共面即可【详解】选项A ：由于()()2a b b a a +--= ，三个向量共面，故不能作为空间的一个基底；选项B ：由于()()2a b b a b ++-=，三个向量共面，故不能作为空间的一个基底；选项C ：若,,a b b a c +-三个向量共面，则存在,x y R ∈，使得()()()()c x a b y b a x y a x y b =++-=-++ ，则向量,,a b c 共面，矛盾，故,,a b b a c +- 三个向量不共面，因此可以作为空间的一个基底；选项D ：由于()a b c a b c ++=++，三个向量共面，故不能作为空间的一个基底；故选：C 3．B【分析】利用投影向量的定义结合已知条件直接求解即可.【详解】因为向量(1,2,2),(2,1,1)a b ==- ，所以向量b 在向量a上的投影向量为2222244(1,2,2),,144999a b a a b a aa a⋅⋅-++⎛⎫⋅=⋅=⋅= ⎪++⎝⎭，故选：B4．D【分析】若E 为CN 中点，连接1,ME A E 有//ME DN ，异面直线所成角即为1A ME ∠，进而求其大小.【详解】若E 为CN 中点，连接1,ME A E ，又M 是CD 的中点，则//ME DN，所以1A M 与DN 所成角，即为1A M 与ME 所成角1A ME ∠，令正方体棱长为2，则13A M =，1412A E =，52ME =，在△1A ME 中22211A M ME A E +=，则190A ME ∠=︒.故选：D 5．D【分析】利用空间向量基本定理求解出3144OF b c =+ ，从而求出131344EF OF OE a b c=-=-++ .【详解】因为14BF BC = ，所以1131()4444OF OB BF OB BC OB OC OB b c=+=+=+-=+ ，又1123OE EA a == ，所以131344EF OF OE a b c=-=-++ ．故选：D6．D【分析】根据直线过定点，即可根据斜率公式求解边界线的斜率，即可根据斜率与倾斜角的关系求解.【详解】直线l 的方程可得01x y =⎧⎨=-⎩，所以，直线l 过定点()0,1P -，设直线l 的斜率为k ，直线l 的倾斜角为α，则0πα≤<，因为直线PA 的斜率为()12101---=--，直线PB 的斜率为11102--=-，因为直线l 经过点()0,1P -，且与线段AB总有公共点，所以11k -≤≤，即ta 11n α-≤≤，因为0πα≤<，所以π04α≤≤或3ππ4α≤<，故直线l 的倾斜角的取值范围是π3π0,,π44⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭．故选：D ．7．B 【分析】将(),x y --、(),x y -和(),y x 代入曲线C 方程可确定①②③的正误；根据,x y 的范围，结合当011y -<<时，4200y y <可确定曲线C 围成封闭图形的面积大于圆221x y +=的面积，知④⑤⑥正误.【详解】对于①，将(),x y --代入曲线C 方程得：()()24241x y x y -+-=+=，∴曲线C 关于点()0,0对称，①正确；对于②，将(),x y -代入曲线C 方程得：()42241x y x y +-=+=，∴曲线C 关于直线x 轴对称，②正确；对于③，将(),y x 代入曲线C 方程得：241y x +=，与曲线C 方程不同，∴曲线C 不关于直线y x =对称，③错误；对于④⑤⑥，由241x y +=知：11x -≤≤，11y -≤≤，则曲线C 为封闭图形；在曲线C 上取一点()00,M x y ，当011y -<<时，4200y y <，222400001x y x y ∴+>+=，即点M 在圆221x y +=外，∴曲线C 围成封闭图形的面积大于圆221x y +=的面积π，⑤正确，④⑥错误.故选：B.8．C【分析】确定曲线为圆的下半部分，确定直线的定点，根据直线与半圆相切时得到斜率，再计算1AC k =，结合图像得到答案.【详解】y =224x y +=，()0y ≤，是圆的下半部分，直线240kx y k -+-=过定点()2,4A --，且()2,0C ，()2,0D -，画出图像，如图所示：当直线与半圆相切且斜率存在时，圆心到直线的距离2d =，解得34k =，4122AC k ==+，根据图像知：3,14k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.故选：C 9．AB【分析】根据平面向量的法向量的位置关系，直接判断面面，线面位置关系和线线角即可得到答案.【详解】选项A.12,n n 分别是平面,αβ的法向量，若//αβ，则12//n n ，正确.选项B.12,n n分别是平面,αβ的法向量，若120n n ⋅= ，则αβ⊥,正确选项C.n u r 是平面α的法向量，a 是直线l 的方向向量，若0a n ⋅= ，则//l α或l ⊂α，故不正确.选项D.n u r 是平面α的法向量，a 是直线l 的方向向量，若,120a n =︒r r ，则l 与平面α所成角为30︒，故不正确故选：AB 10．ACD【分析】由空间向量的概念和运算对选项逐一判断.【详解】解：A 选项：若A B C D 、、、是空间任意四点，则有0AB BC CD DA +++=uu u r uu u r uu u r uu u r r，故A 错误；B 选项：因为()()cos ,cos ,a b a b a b a b a b a b--===----，且向量夹角范围为[]0,π，所以,,a b a b 〈〉=〈--〉，故B 正确；C 选项：若,AB CD 共线，则//AB CD 或,,,A B C D 四点共线，故C 错误；D 选项：对空间任意一点O 与不共线的三点、、A B C ，若OP xOA yOB zOC =++（其中,,x y z ∈R ），则()()()OP x y z OA y OB OA z OC OA =+++-+- ,即()OP x y z OA yAB zAC-++=+ 当1x y z ++=时，AP y AB z AC =+，此时P A B C 、、、四点共面，当1x y z ++≠时，此时P A B C 、、、四点不共面，故D 错误.故选：ACD 11．AC【分析】通过直线转化为直线系，求出直线恒过定点；根据定点与圆的位置关系，即可判断圆与直线的位置关系；当圆心与定点的连线与直线垂直时，即可求得直线被圆所截得的最短弦长.【详解】()()():21120l m x m y m m ++---=∈R ，即(21)(2)0x y m x y --++-=，令21020x y x y --=⎧⎨+-=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩，所以直线恒过点(1,1)P ，故A 正确；圆22:(2)4C x y -+=，圆心(2,0)C ，半径2r =.因为||PC r =<，所以点(1,1)P 在圆C 内，所以直线与圆一定相交，故B 错误，C 正确；当PC l ⊥时，直线与圆相交且直线被圆所截得的弦长最短，最短弦长为=D 错误.故选：AC 12．ACD【分析】求出直线AB 的垂直分线方程，联立欧拉方程可求得外心坐标，判断A;求出外接圆方程，表示出重心，坐标，代入到外接圆方程中，可求得C 的坐标，进而判断B,D 的对错；写出过C 和直线AB 垂直的可能的方程，和欧拉方程联立求得垂心坐标，可判断C.【详解】由顶点A(－4，0)，B(0，4)，可知直线AB 的垂直分线方程为y x =-，ABC 的外心在直线x －y ＋2＝0上，联立20x y y x ⎧⎨=-⎩－＋＝，可得外心坐标为(－1，1)，故A 正确；设外心为G,则G(－1，1)，故||GA =,所以外接圆方程为22(1)(1)10x y ++-=，设(,)C x y ，则ABC 的重心为44(,33x y -+，代入欧拉线方程为x －y ＋2＝0中，得：20x y --=，和22(1)(1)10x y ++-=联立，解得20x y ⎧⎨=⎩＝或02x y ⎧⎨=-⎩＝，即C 点坐标可以为(2,0),(0,2)-，故B 错误；由C 点坐标为(2,0),(0,2)-，可知重心可能为2442(,,3333--，故D 正确；当C 点坐标为(2,0)时，过C 和AB 垂直的直线方程为2y x =-+，联立欧拉线方程为x －y ＋2＝0可解得垂心坐标为(0,2)；当C 点坐标为(0,2)-时，过C 和AB 垂直的直线方程为2y x =--，联立欧拉线方程为x －y ＋2＝0可解得垂心坐标为(2,0)-，故C 正确，故选：ACD.13．8+【分析】根据椭圆方程可得,a b ，计算出c ，然后根据椭圆的定义和焦距的定义可得三角形的周长.【详解】由221169y x +=可得216a=，29b=，所以2221697c a b =-=-=，所以c =所以12||2F F c ==根据椭圆的定义可得12||||28PF PF a +==，所以12PF F △的周长为：1212||||||8PF PF F F ++=+故答案为：8+【点睛】本题考查了椭圆的标准方程，考查了椭圆的定义、几何性质，属于基础题.14【分析】根据题意，由条件可得AC AB AD AA =+'+' ，再由空间向量的模长公式，即可得到结果.【详解】因为AC AB AD AA =+'+' ，所以()22222ACAB AD AA AB AD AA '''=++=++ 2cos 902cos 602cos 609140AB AD AB AA AD AA ''+⋅︒+⋅︒+⋅︒=+++112322122222+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=，则AC = AC '15．2x-y=0或x+y-3=0【详解】试题分析：当直线过原点时，可设直线的方程为y kx =，代入点P （1，2）可得2k =，故方程为2y x =，化为一般式可得20x y -=；当直线不过原点时，可设直线的方程为1x ya a +=，代入点P （1，2）可得3a =，故方程为133x y +=，化为一般式可得30x y +-=；综上可得所求直线的方程为：2030x y x y -=+-=或.故答案为2030x y x y -=+-=或.考点：直线的截距式方程．16．6小时【分析】当城市距离台风中心小于等于120km 时，城市开始受到台风侵袭，所以只要城市距离台风移动方向大于等于120km 即可；由题意，画出图形解三角形．【详解】解：由题意如图，设台风中心到达Q，开始侵袭城市，到达O则结束侵袭.在△AQP中，AQ＝120km，AP＝，∠APQ＝30°，∠PAQ＝180°﹣30°﹣∠Q＝150°﹣∠Q，由正弦定理得到120A30 sin QP sin∠=︒，所以∠A QP＝120°,∠A OP=60°，所以△AQO为等边三角形.所以120OQ=所以该城市会受到台风的侵袭时长为1206 20=小时．【点睛】本题主要考查了解三角形的实际应用；关键是由题意将问题转化为解三角形的问题17．（1）C()2,0；（2）4320x y++=.【分析】（1）由题意利用直线的斜率公式，两条直线垂直与直线斜率的关系，求得点C的坐标．（2）先求出斜边中点的坐标，再求出中线的斜率，用点斜式求出中线的方程．【详解】（1）直角ABC的顶点坐标()30A-,，直角顶点()1,2B-，顶点C在x轴上，设(),0C m，则02021311AB CBk km++⋅=⋅=----，求得2m=，故C()2,0．（2）斜边AC的中点为1(,0)2M-，BM的斜率为0241312+=---，故BM的方程为4132y x⎛⎫-=-+⎪⎝⎭，即4320x y++=．【点睛】本题主要考查直线的斜率公式，两条直线垂直与直线斜率的关系，用点斜式求直线的方程，属于基础题．18．(1)证明见解析(2)【分析】（1）由平行四边形性质可知11//CF A C，由线面平行判定定理可证得结论；（2）利用等体积法1111F B C C C B CFV V--=构造方程求得结果.【详解】（1）连接1111,,,A C A D C D AF，11//AA CC ，11AA CC =，∴四边形11ACC A 为平行四边形，11//AC A C ∴，即11//CF A C ，又11A C ⊂平面11AC D ，CF ⊄平面11AC D ，//CF ∴平面11AC D .（2）连接11,B F C F，CF =，1B C =1B F =22211B F CF B C ∴+=，即1B F CF ⊥，111122B FC S B F CF ∴=⋅== F 为BD 中点，∴点F 到平面11BCC B 的距离为112CD =，又111111122222B C C S B C CC =⋅=⨯⨯= ，1111112323F B C C B C C V S CD -∴=⋅= ，1111F B C C C B CF V V --= ，∴点1C 到平面1B CF的距离11123133F B C C B CFVd S-==.19．(1)2224200x y x y +-+-=(2)25170x y +-=分析】（1）假设圆的一般方程，代入,,A B C 三点坐标即可构造方程组求得结果；（2）弦ST 是以QG 为直径的圆与圆G 的公共弦，求得以QG 为直径的圆的方程后，与圆G 方程作差即可求得结果.【详解】（1）设圆G 方程为：()22220,,,40x y Dx Ey F D E F D E F ++++=∈+->R ，圆G 过点()()()1,3,4,2,5,5A B C -，10302042050550D E F D E F D E F +++=⎧⎪∴+++=⎨⎪+-+=⎩，解得：2420D E F =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩（满足2240D E F +->），∴圆G 方程为：2224200x y x y +-+-=.（2）由（1）知：圆G 的圆心()1,2G -，半径5r ==；,QS QT 与圆G 相切，,S T ∴在以QG为直径的圆上，QG == QG 中点为12,2⎛⎫⎪⎝⎭，∴以QG 为直径的圆的方程为：()22129224x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，即22430x y x y +---=，由222243024200x y x y x y x y ⎧+---=⎨+-+-=⎩得：25170x y +-=，即直线ST 的方程为：25170x y +-=.20．(1)22143x y +=；(2)证明见解析.【分析】（1）根据椭圆的定义求解即可；（2）联立直线与椭圆的方程，并根据韦达定理得到1212,y y y y +，表示出斜率后化简即可得证.【详解】（1）圆()22:116E x y ++=，圆心(1,0)E -，半径4r =因为线段GF 的垂直平分线和半径GE 相交于H ，所以||||HG HF =，所以||||||||||4||HE HF HE HG EG r EF +=+===>，所以点H 的轨迹是以(1,0)E -，()1,0F 为焦点，且长轴长为4的椭圆.故2222,1,3a c b a c ===-=，所以点H 的轨迹L 的方程是22143x y +=.（2）证明：因为直线l 不与,A B 重合，所以直线l 斜率不为0，故设1122:1,(,),(,)l x my M x y N x y =+.22221(34)690431x y m y my x my ⎧+=⎪⇒++-=⎨⎪=+⎩所以122122634934my y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩111121212221112112221222299343496273()3334343)42(12)1(1232m m y y m m m my m y k x y m y y y y my y y k m y my my m y x m y ----++-+--++--======+++-+--++，所以12k k 为定值13.21．（1）3π；（2）427.【分析】取AD 的中点O ，取BC 的中点F ，连接,OP OF ，以{,,}OF OD OP 为正交基底建立如图所示空间直角坐标系O xyz -.（1）求出二面角两个面的法向量，由法向量的夹角得二面角；（2）设BE BP λ=u u u r u u u r ，[0,1]λ∈，求出CE 与平面PAB 法向量夹角的余弦的绝对值，利用函数的知识求得最大值．【详解】解：取AD 的中点O ，取BC 的中点F ，连接,OP OF ，因为底面ABCD 是正方形，∴OF AD ⊥，∵△PAD 是正三角形，O 为AD 的中点，∴OP AD ⊥，又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，OP ⊂平面PAD ，∴OP⊥平面ABCD，以{,,}OF OD OP为正交基底建立如图所示空间直角坐标系O xyz-.⑴P,(0,1,0)A-，(2,1,0)B-,则(2,0,0)AB=uu u r，AP=，设(,,)m x y z= 为平面PAB的一个法向量，则20m AB xm AP y⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩，则0x=，令1z=，得y=，(0,m=，P,(2,1,0)C，(0,1,0)D,则(2,0,0)DC=，(0,DP=-，设(,,)n a b c= 为平面PCD的一个法向量，则20n DC an DP b⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩，则0a=，令1c=，得b=n=，∴21cos,222||||m nm nm n⋅-<>===-⨯，又,[0,]m nπ<>∈，∴2,3m nπ<>=，∴面PAB与平面PCD所成锐二面角的大小为3π.⑵设BE BPλ=u u u r u u u r，[0,1]λ∈，则((2,)BEλλλ=-=-，则(0,2,0)(2,)(2,)CE CB BEλλλλ=+=-+-=--，因为直线CE与平面PAB所成的角为θ，∴||sin|cos,|||||CE mCE mCE mθ⋅=<>=7==，当且仅当14λ=时取等号，故求sinθ的最大值为7.【点睛】方法点睛：本题考查空间向量法求直线与平面所成的角，求二面角．求空间角的方法：（1）几何法（定义法）：根据定义作出空间的平面角（异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角的平面角）并证明，然后解三角形得出结论；（2）空间向量法：建立空间直角坐标系，写出各点为坐标，求出直线方向向量，平面的法向量，利用直线方向向量的夹角得异面直线所成角（相等或互补），直线方向向量与平面的法向量夹角的余弦值的绝对值得直线与平面所成角的正弦值，两个平面法向量的夹角得二面角（它们相等或互补）．22．(1)(2)2【分析】（1）根据条件，列方程即可；（2）根据条件设直线l 的方程，与椭圆方程联立，运用韦达定理求出PQ 和M 点到直线l 的距离，再计算三角形MPQ 的面积，利用基本不等式即可求解.【详解】（1）设M(x,y)，则22(,2),(3,2)(3,2)94C x y AC BC x y x y x y λ⋅=-⋅+=-+= ，∴Γ方程为2249x y λ+=+，仅当9λ>-时此方程表示椭圆224199x y λλ+=++，此时，a c ==2e ∴=.（2）把(2,1)P 代入2249x y λ+=+，得1λ=-，∴Γ方程为2248x y +=，设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，直线l 方程为y=kx+m ，代入Γ方程可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-8=0，2121222848,1414km m x x x x k k -∴+=-=++①，∵直线MP 、MQ 的倾斜角互补，∴MP MQ k k =-，1212()1()122kx m kx m x x +-+-∴=---，化简得12122(21)()440kx x m k x x m +--++-=②，把①代入，整理得2(21)(441)0k m k k -+-+=，2210,4410k k k ∴-=-+=，12k ∴=，此时，212122,24,x x m x x m +=-=-直线l 方程为12y x m =+，∴12||||PQ x x =-=，P 到直线l距离d MPQ面积221(4)|||222m m S d PQ m +-==≤=，当m =2216(28)0k m ∆=+->，∴MPQ 面积的最大值为2；综上，椭圆Γ的离心率2e =，MPQ 面积的最大值为2.。

2017-2018学年广东省深圳高级中学高二（上）期中数学试卷（理科）一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项.1．（5分）已知命题p：“∀n∈N*，n2+3n+2是偶数”，则¬p为（）A．∀n∈N*，n2+3n+2不是偶数 B．∃n∈N*，n2+3n+2是偶数C．∃n∈N*，n2+3n+2不是偶数 D．∀n∉N*，n2+3n+2不是偶数2．（5分）若方程表示的是焦点在x轴上的椭圆，则k的取值范围是（）A．2＜k＜5 B．k＞5 C．D．3．（5分）在△ABC中，已知D是AB边上一点，若=2，=，则λ=（）A．B．C．﹣ D．﹣4．（5分）函数f（x）是定义在[﹣6，6]上的偶函数，且f（3）＞f（1），则下列不等式一定正确的是（）A．f（﹣1）＜f（3）B．f（0）＜f（6）C．f（3）＞f（2）D．f（2）＜f（0）5．（5分）x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值是（）A．4 B．C．5 D．76．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）截直线的线段长度为2p，则m 的值是（）A．3 B．2 C．1 D．07．（5分）使函数y=sin（2x+θ）+cos（2x+θ）为奇函数，且在[0，]上是减函数的θ一个值为（）A．B． C． D．8．（5分）数列{a n}中，S n是数列的前n项和，若对于任意的正整数n，a n，S n，n成等差数列，则S100=（）A．0 B．50 C．100 D．2009．（5分）双曲线，过焦点F1的弦AB，（A，B两点在同一支上）且长为m，另一焦点为F2，则△ABF2的周长为（）A．4a B．4a﹣m C．4a+2m D．4a﹣2m10．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A 1B1C1D1中，棱长为1，E、F分别为C1D1与AB的中点，B1到平面A1FCE的距离为（）A．B．C．D．11．（5分）关于x的方程x2﹣x•cosA•cosB﹣cos2=0有一个根为1，则△ABC一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形12．（5分）设b≥2a＞0，椭圆ax2+by2=1的两焦点分别为F1，F2，椭圆上有一点P，若∠F1PF2=90°，满足条件的点P有（）A．0个 B．0个或2个C．2个或4个D．0个或2个或4个二．填空题：共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知集合A={y|y=x2+2x﹣1，x∈R}，集合B={x|x＞a}，若x∈B是x ∈A的充分不必要条件，则实数a的取值范围是．14．（5分）与双曲线有相同的渐近线且过点（10，3）的双曲线的标准方程是．15．（5分）已知tanx=2，求cos2x=．16．（5分）已知等比数列{a n}的公比为q∈（0，1），且数列第11项的平方等于第6项，若存在正整数k使得a 1+a2+…+a k＞，则k的取值范围是．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）如图，已知四边形AEFB和四边形EFCD是两个矩形，且AE=ED，AB=2AE，平面AEFB⊥平面EFCD，G为EF的中点，连接AG、CG和AC．（1）求∠AGC的大小；（2）求直线AB和平面AGC所成角的正弦值．18．（12分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n+1．（1）证明：{a n+}是等比数列，并求{a n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和s n．19．（12分）△ABC中，，且最长边的边长为1，求：（1）角C的大小；（2）最短边的边长．20．（12分）已知椭圆，试确定m的取值范围，使得对于直线y=4x+m，椭圆C上有不同的两点关于该直线对称．21．（12分）已知A1B1C1﹣ABC是正三棱柱，D是AC中点．（1）证明：AB1∥平面DBC1；（2）若AB1⊥BC1，求二面角D﹣C1B﹣C的度数．22．（12分）已知圆M：x2+y2+2y﹣7=0和点N（0，1），动圆P经过点N且与圆M相切，圆心P的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）点A是曲线E与x轴正半轴的交点，点B、C在曲线E上，若直线AB、AC 的斜率k1，k2，满足k1k2=4，求△ABC面积的最大值．2017-2018学年广东省深圳高级中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项.1．（5分）已知命题p：“∀n∈N*，n2+3n+2是偶数”，则¬p为（）A．∀n∈N*，n2+3n+2不是偶数 B．∃n∈N*，n2+3n+2是偶数C．∃n∈N*，n2+3n+2不是偶数 D．∀n∉N*，n2+3n+2不是偶数【解答】解：p：“∀n∈N*，n2+3n+2是偶数”，则¬p为：∃n∈N*，n2+3n+2不是偶数，故选：C．2．（5分）若方程表示的是焦点在x轴上的椭圆，则k的取值范围是（）A．2＜k＜5 B．k＞5 C．D．【解答】解：∵方程表示的是焦点在x轴上的椭圆，∴，解得，∴k的取值范围是，故选：C．3．（5分）在△ABC中，已知D是AB边上一点，若=2，=，则λ=（）A．B．C．﹣ D．﹣【解答】解：在△ABC中，已知D是AB边上一点∵=2，=，∴=，∴λ=，故选：A．4．（5分）函数f（x）是定义在[﹣6，6]上的偶函数，且f（3）＞f（1），则下列不等式一定正确的是（）A．f（﹣1）＜f（3）B．f（0）＜f（6）C．f（3）＞f（2）D．f（2）＜f（0）【解答】解：根据题意，函数f（x）是定义在[﹣6，6]上的偶函数，且f（3）＞f（1），则有f（|3|）＞f（|1|），分析选项：A，f（﹣1）＜f（3）正确；B，C，D不能确定；故选：A．5．（5分）x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值是（）A．4 B．C．5 D．7【解答】解：作出x，y满足约束条件的可行域，如图所示：由，解得A（2，3）平移直线z=x+y，当直线经过可行域的（2，3）时，目标函数取得最大值，5．故选：C．6．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）截直线的线段长度为2p，则m 的值是（）A．3 B．2 C．1 D．0【解答】解：由题意，直线经过焦点，∴AB=x1+x2+p=2p，则x1+x2=p，可得AB中点横坐标为，即为焦点，∴直线垂直于x轴，即m=0．故选：D．7．（5分）使函数y=sin（2x+θ）+cos（2x+θ）为奇函数，且在[0，]上是减函数的θ一个值为（）A．B． C． D．【解答】解：∵函数=2sin（2x+θ+）是奇函数，故θ+=kπ，k∈Z，θ=kπ﹣，故排除C．若θ=，f（x）=2sin（2x+），不满足f（x）为奇函数，故排除A．若θ=，f（x）=2sin（2x+π）=﹣2sin2x是奇函数；在[0，]上，2x∈[0，]，满足f（x）在[0，]上是减函数，故B满足条件．若θ=，f（x）=2sin（2x+2π）=2sin2x是奇函数；在[0，]上，2x∈[0，]，f（x）在[0，]上是增函数，不满足在[0，]上是减函数，故排除D，故选：B．8．（5分）数列{a n}中，S n是数列的前n项和，若对于任意的正整数n，a n，S n，n成等差数列，则S 100=（）A．0 B．50 C．100 D．200【解答】解：∵a n，S n，n成等差数列，∴2S n=a n+n，令n=1，得a1=1．n≥2时，2S n﹣1=a n﹣1+n﹣1，因为a n=S n﹣S n﹣1，得a n+a n﹣1=1，所以S100=（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a99+a100）=50．故选：B．9．（5分）双曲线，过焦点F1的弦AB，（A，B两点在同一支上）且长为m，另一焦点为F2，则△ABF2的周长为（）A．4a B．4a﹣m C．4a+2m D．4a﹣2m【解答】解：根据双曲线的定义，可得，|AF2|﹣|AF1|=2a，①|BF2|﹣|BF1|=2a ②①+②，得，|AF2|+|BF2|﹣（|AF1|+|BF1|）=4a∵|AF1|+|BF1|=|AB|=m，∴|AF2|+|BF2|=4a+m△ABF2的周长为|AF1|+|BF1|+|AB|=4a+m+m=4a+2m故选：C．10．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱长为1，E、F分别为C1D1与AB的中点，B1到平面A1FCE的距离为（）A．B．C．D．【解答】解：点B1到平面A1FCE的距离即点B1到平面A1FC的距离，∵在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱长为1，E、F分别为C1D1与AB的中点，∴，∴，设B1到平面A1FC的距离d，由三棱锥B 1﹣A1FC的体积可得，，即，解得d=．∴B1到平面A1FCE的距离为．故选：B．11．（5分）关于x的方程x2﹣x•cosA•cosB﹣cos2=0有一个根为1，则△ABC一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形【解答】解：∵关于x的方程x2﹣xcosAcosB﹣cos2=0有一个根为1，∴1﹣cosAcosB﹣cos2=0，即sin2=cosAcosB，∴=cosAcosB，∴1=2cosAcosB﹣cos（A+B）=cosAcosB+sinAsinB=cos（A﹣B），∵﹣π＜A﹣B＜π，∴A﹣B=0，即：A=B，故△ABC一定是等腰三角形，故选：A．12．（5分）设b≥2a＞0，椭圆ax2+by2=1的两焦点分别为F1，F2，椭圆上有一点P，若∠F 1PF2=90°，满足条件的点P有（）A．0个 B．0个或2个C．2个或4个D．0个或2个或4个【解答】解：根据题意，椭圆ax2+by2=1的标准方程为：+=1，又由b≥2a＞0，则＞，为焦点在x轴上的椭圆，其中c2=﹣，若椭圆上有一点P，满足∠F1PF2=90°，则椭圆与圆存在交点，又由b≥2a＞0，则，所以椭圆与圆有2个交点或者4个交点，即满足条件的点P有2个或4个；故选：C．二．填空题：共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知集合A={y|y=x2+2x﹣1，x∈R}，集合B={x|x＞a}，若x∈B是x ∈A的充分不必要条件，则实数a的取值范围是[﹣2，+∞）．【解答】解：A={y|y=x2+2x﹣1，x∈R}=[﹣2，+∞），由x∈B是x∈A的充分不必要条件，则B是A的真子集，所以a≥﹣2，故答案为：[﹣2，+∞）．14．（5分）与双曲线有相同的渐近线且过点（10，3）的双曲线的标准方程是．．【解答】解：根据题意，要求双曲线与双曲线有相同的渐近线，设其方程为，t≠0，又由点（10，3）在双曲线上，则有﹣=t，则t=3，则要求双曲线的是；故答案为：．15．（5分）已知tanx=2，求cos2x=．【解答】解：∵tanx=2，∴cos2x===；所以cos2x=2cos2x﹣1=2×﹣1=﹣故答案为﹣16．（5分）已知等比数列{a n}的公比为q∈（0，1），且数列第11项的平方等于第6项，若存在正整数k使得a1+a2+…+a k＞，则k的取值范围是0＜k＜31．【解答】解：根据题意，等比数列{a n}中，数列第11项的平方等于第6项，即，又由，所以，所以，所以k﹣1＜30⇒k＜31，解可得0＜k＜31．故答案为：0＜k＜31．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）如图，已知四边形AEFB和四边形EFCD是两个矩形，且AE=ED，AB=2AE，平面AEFB⊥平面EFCD，G为EF的中点，连接AG、CG和AC．（1）求∠AGC的大小；（2）求直线AB和平面AGC所成角的正弦值．【解答】解：（1）设AB=2AE=2DE=2，∵四边形AEFB和四边形EFCD是两个矩形，且AE=ED，AB=2AE，平面AEFB⊥平面EFCD，G为EF的中点，∴分别以EA、EF、ED为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，则A（1，0，0），C（0，2，1），G（0，1，0），B（1，2，0），∴∴∠AGC=120°．（2），设平面AGC的法向量为=（x，y，z），则，即，取x=1，得．设和的夹角为θ，则，∴AB和平面AGC夹角的正弦值是．18．（12分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n+1．（1）证明：{a n+}是等比数列，并求{a n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和s n．【解答】证明：（1）数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n+1．则：，所以：，所以数列{a n+}是以为首项，3为公比的等比数列．所以：，解得：．解：（2）由于：，所以：﹣，=，=．19．（12分）△ABC中，，且最长边的边长为1，求：（1）角C的大小；（2）最短边的边长．【解答】解：（1）△ABC中，，则：，tanC=tan（π﹣A﹣B）=﹣tan（A+B）=﹣1，得．（2）因为tanA＞tanB，且tanA＞tanB．所以A＞B，所以最短边为b．，利用正弦定理：，所以：．20．（12分）已知椭圆，试确定m的取值范围，使得对于直线y=4x+m，椭圆C上有不同的两点关于该直线对称．【解答】解：设直线与y=4x+m互相垂直，且交椭圆于A（x1，y1），B （x2，y2）两点，联立，得13x2﹣8nx+16n2﹣48=0，且该方程必有两个不相等的实数根，则△=64n2﹣52（16n2﹣48）＞0，得．若A、B关于y=4x+m对称，所以AB的中点在y=4x+m上，由韦达定理得，，所以，得，所以．∴m的取值范围（﹣，）．21．（12分）已知A1B1C1﹣ABC是正三棱柱，D是AC中点．（1）证明：AB1∥平面DBC1；（2）若AB1⊥BC1，求二面角D﹣C1B﹣C的度数．【解答】（1）证明：连接B1C交C1B于点E，连接ED，∵B1BCC1是矩形，∴E为B1C中点，则DE为△AB1C的中位线．∴AB1∥DE，∵DE⊂平面DBC1，AB1⊄平面DBC1，∴AB1∥平面BDC1；（2）解：设B1C1=2，AA1=a，如图建立空间直角坐标系Oxyz，则，C 1（﹣1，0，0），B（1，a，0），∴，，∵AB1⊥C1B，∴，即2﹣a2=0，得，∴，．设平面DBC 1的法向量，由，得，B的法向量为，平面CC设的夹角为θ，则，∴θ=45°，即二面角D﹣C1B﹣C为45°．22．（12分）已知圆M：x2+y2+2y﹣7=0和点N（0，1），动圆P经过点N且与圆M相切，圆心P的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）点A是曲线E与x轴正半轴的交点，点B、C在曲线E上，若直线AB、AC 的斜率k1，k2，满足k1k2=4，求△ABC面积的最大值．【解答】解：（1）圆M：x2+y2+2y﹣7=0的圆心为M（0，﹣1），半径为点N（0，1）在圆M内，因为动圆P经过点N且与圆M相切，所以动圆P与圆M内切．设动圆P半径为r，则﹣r=|PM|．因为动圆P经过点N，所以r=|PN|，＞|MN|，所以曲线E是M，N为焦点，长轴长为的椭圆．由，得b2=2﹣1=1，所以曲线E的方程为…（4分）（Ⅱ）直线BC斜率为0时，不合题意设B（x1，y1），C（x2，y2），直线BC：x=ty+m，联立方程组得（1+2t2）y2+4mty+2m2﹣2=0，又k1k2=4，知y1y2=4（x1﹣1）（x2﹣1）=4（ty1+m﹣1）（ty2+m﹣1）=．代入得又m≠1，化简得（m+1）（1﹣4t2）=2（﹣4mt2）+2（m﹣1）（1+2t2），解得m=3，故直线BC过定点（3，0）…（8分）由△＞0，解得t2＞4，=（当且仅当时取等号）．综上，△ABC面积的最大值为…（12分）。

凍圳外国语学校2Q1KH9学年度高二第i学期学段考试数学〔理科［试堆本试卷分选撮题和非选删a两都井i咒际滿分巧。

分，考试用时1加分恂【"袴專眦常生并必用用色字迹的悯笔耐宇帥自己闾妙名，岗*座位号軒粕曲息填马在甞般卡榕宦区域肉*2.瑟择題部小题逸出答案后r用2B铅瞻把誓题卡上对应题目的苦枭标号漁黒t如需改新用棣皮擦干净启*撐逸涂具它答案；不能需在懐摆上H3，非罐择題蠹烦用砒字迹的钢笔或淀宇第作岳善案必陨写在答题卡各题目指定区據內的捐应位置上；如需改动，先划掉原来的答峯，撼后再写上新的程案；不准便用描笔和涂改瓶不技以上要求作答的答案无兹’4*考生喏頌保持答题卡的整洁.第一部分选择题僕6B分）一，进择題（本部分共戊小麵*每题5分［共切分）_1.已知点M在平面低內，曲且对空闾任一点6 阪二泅十扑耳+亍兀则工的值为（）111儿6 氐3 c 3 乩02.已知方<（2严1諾）》=（耳』0）也与/井线侧北亠尸J+扎5 B. 6 G 3 D. 92.已知禺/?表示两个不同的平面，搭为平面盘内的—条直线，则“盘丄0”是“梆丄#”的1 〕*L充要条件B*充分不必要条梓C.必勇不充分条件D.既不充分也不必要条杵生有关命题的说法鬧诱的是『、A. ^pV q为假谕题，则恥Q均为假命题0 “口” M “八3时2珥T的充分不必要瑕件匚命题"若启3』鼻0・则日"的逆否命軀知'语详1,则?-3x=2^0w乩对于命题A 3x^0, 2" =3.则十；Vx<0, 2耒工3&双曲线疋-芝口！的渐近线方程是（）―" 4 8第OL总4MA ' 八±子B y =〔j=±岳乩它关于原点的对歉点为氏点尸为取曲线的右焦駄 且満足/F 丄濟曲吐册・设亦F-令 则取曲蟻宵心率 卫的值为-1A. 2 + VI 乩 5/3 4*1 C. 72 血巧8.如图.在平拧六面榕血CD-&BGQ 中，AB^5, AD = 3,曲]=4, £DAB = 90' T Z&4^ =ZfJj<4 =fiD\ E 是OC ；的中"乳d则dE 的长为I ）A.4-/5 B,47e CJ T S D .疝E 在平面宜角坐^xOy 中”F 是櫛医专十亍・1上的一个前点，点丄门，1）, B （0, lh 则|PA|打PBl 的堀大值为〔）A, 5 B, 4 C, 3 D. 2[0■左仙C 中心®点4』）血胆的畔是】乩戦M 的轨迹方覷<乩在四梗链户-曲CD 中”底面脑7D 是正方册, E^fPD 中昴 若 FA^a t PB = b ，PCh 、则匪二（3-入如图’已知双總》-話二咆》哄》。

2023-2024学年广东省深圳高级中学高二（上）期中数学试卷一、单项选择题。

本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若i 为虚数单位，则复数z =2−i1−i的实部为（ ） A ．12B ．32C ．−12D ．−322．直线l ：x ﹣y +1＝0关于x 轴对称的直线方程为（ ） A ．x +y ﹣1＝0B ．x ﹣y +1＝0C ．x +y +1＝0D ．x ﹣y ﹣1＝03．已知|a →|=3，|b →|=4，且a →与b →的夹角θ＝150°，则|a →+b →|为（ ） A ．√25−10√3B ．√25−11√3C ．√25−12√3D ．√25−13√34．在三棱锥P ﹣ABC 中，AP 、AB 、AC 两两互相垂直，AP ＝3，AB ＝1，AC =√15，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A ．12πB ．20πC ．25πD ．36π5．数学上规定，圆锥的顶点到该圆锥底面圆周上任意一点的连线叫圆锥的母线；沿圆锥的任意一条母线剪开展开成平面图形即为一个扇形；展开后的扇形的半径就是圆锥的母线，展开后的扇形的弧长就是圆锥底面周长；通过展开，就把求立体图形的侧面积转化为了求平面图形的面积．设圆锥的母线长为l ，圆锥的底面半径为r ，则展开后的扇形半径为l ，弧长为圆锥底面周长2πr ，扇形的面积公式为：S =12×扇形半径×扇形弧长=12×l ×2πr =πrl ．故圆锥侧面积公式为S ＝πrl ．已知圆锥的底面直径为2√3，轴截面为正三角形，则该圆锥的侧面积为（ ） A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π6．正三棱锥O ﹣ABC 的侧棱长为4，底面边长为6，则顶点O 到底面ABC 的距离为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．47．有一天，数学家笛卡尔在反复思考一个问题：几何图形是直观的，而代数方程是比较抽象的，能不能用几何图形来表示方程呢？要想达到此目的，关键是如何把组成几何图形的点和满足方程的每一组“数”挂上钩，他苦苦思索，拼命琢磨，突然想到，在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，这样就可以用一组数（x ，y ）表示平面上的一个点，平面上的一个点也可以用一组有顺序的两个数来表示，这就是我们常用的平面直角坐标系雏形．如图，在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝4，∠BAC ＝60°，BC ，AC 边上的两条中线AM ，BN 相交于点P ，请利用平面直角坐标系与向量坐标，计算cos ∠MPN 的值为（ ）A ．√714B ．√77C ．√715D ．2√7158．已知直线l ：x +y ﹣1＝0截圆Ω：x 2+y 2＝r 2（r ＞0）所得的弦长为√14，点M ，N 在圆Ω上，且直线l '：（1+2m ）x +（m ﹣1）y ﹣3m ＝0过定点P ，若PM ⊥PN ，则|MN |的取值范围为（ ） A ．[2−√2，2+√3] B ．[2−√2，2+√2] C ．[√6−√2，√6+√3] D ．[√6−√2，√6+√2] 二、多项选择题。