【学海导航】届高考数学第一轮总复习 第5单元《平面向量与复数》同步训练 理 新人教B版

2021年高考数学大一轮总复习第五章平面向量与复数同步训练理A级训练(完成时间：15分钟)1.判断下列四个命题：①若a∥b，则a＝b；②若|a|＝|b|，则a＝b；③若|a|＝|b|，则a∥b；④若a＝b，则|a|＝|b|.其中正确的个数是( ) A．1 B．2C．3 D．42.如图，正六边形ABCDEF中，BA→＋CD→＋EF→＝( )A．0 B.BE→C.AD→D.CF→3.命题p：a与b是方向相同的非零向量，命题q：a与b是两平行向量，则命题p是命题q的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4.若AP→＝13PB→，AB→＝λBP→，则实数λ的值是( )A.34B．－34C.43 D ．－435.设四边形ABCD 中，有DC →＝12AB →，且|AD →|＝|BC →|，则这个四边形是 等腰梯形 .6.(xx·四川)如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO →，则λ＝ 2 .7.在△OAB 中，延长BA 到C ，使AC →＝BA →在OB →上取点D ，使BD →＝13OB →.DC →与OA →交于E ，设OA→＝a ，OB →＝b ，用a ，b 表示向量OC →，DC →.B 级训练(完成时间：20分钟)1.[限时1分钟，达标是( )否( )]已知a ，b 是非零向量，满足a ＝λb ，b ＝λa (λ∈R )，则λ＝( ) A ．－1 B ．±1 C ．0 D ．02.[限时2分钟，达标是( )否( )](xx·新课标Ⅰ)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝( )A.BC →B.12AD →C.AD →D.12BC →3.[限时2分钟，达标是( )否( )]已知O 为△ABC 内一点，且OA →＋OC →＋2OB →＝0，则△AOC 与△ABC 的面积之比是( ) A ．1∶2 B ．1∶3 C ．2∶3 D ．1∶14.[限时3分钟，达标是( )否( )]在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝λCA →＋μCB →，则λμ的值为________．5.[限时3分钟，达标是( )否( )]如图，在正六边形ABCDEF 中，已知AC →＝c ，AD →＝d ，则AE →＝__________(用c 与d 表示)．6.[限时4分钟，达标是( )否( )]在△ABC 所在平面上有一点P ，使得PA →＋PB →＋PC →＝AB →，试判断P 点的位置．[限时5分钟，达标是( )否( )] 设两个非零向量a 与b 不共线．(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )．求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．C 级训练(完成时间：7分钟)1.[限时2分钟，达标是( )否( )](xx·北京)已知向量a ，b 满足|a |＝1，b ＝(2,1)，且λa ＋b ＝0(λ∈R )，则|λ|＝________.2.[限时5分钟，达标是( )否( )]已知△OBC 中，点A 是BC 的中点，D 是OB 上的点，且OD ＝2DB ，DC 和OA 交于点E ，设OA →＝a ，OB →＝b .(1)用a ，b 表示向量OC →，DC →；(2)若OE →＝λOA →，求实数λ的值．第2讲 平面向量的基本定理及坐标运算A 级训练(完成时间：10分钟) 1.若P 1(1,2)，P (3,2)且P 1P →＝2PP 2→，则P 2的坐标为( ) A ．(7,2) B ．(－7，－2) C ．(－4，－2) D ．(4,2)2.已知A (2，－1)，B (3,1)，若AB →与向量a 平行且方向相反，则a 的坐标可以是( )A ．(1，12) B ．(2,1)C ．(－1,2)D ．(－4，－8)3.(xx·辽宁)已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量AB →同方向的单位向量为( )A ．(35，－45)B ．(45，－35)C ．(－35，45)D ．(－45，35)4.若a ＋b ＝(1,3)，a －b ＝(3,5)，则a ＝ (2,4) ，b ＝ (－1，－1) .5.△ABC 的两个顶点A (3,7)，B (－2,5)，若AC 的中点在x 轴上，BC 的中点在y 轴上，则顶点C 的坐标为________．6.已知点O (0,0)，A (1,2)及B (4,5)及OP →＝OA →＋tOB →，试问：(1)当t 为何值时，点P 在x 轴上？点P 在y 轴上？点P 在第三象限？(2)四边形OABP 是否能构成平行四边形？若能，求出t 的值；若不能，说明理由．B 级训练(完成时间：15分钟)1.[限时2分钟，达标是( )否( )]在复平面内，O 是原点，向量OA →对应的复数是2－i(其中，i 是虚数单位)，如果点A 关于实轴的对称点为点B ，则向量OB →对应的复数是( )A ．－2－iB ．－2＋iC ．2＋iD ．1－2i2.[限时2分钟，达标是( )否( )]若平面向量b 与向量a ＝(1，－2)的夹角是180°，且|b |＝35，则b 等于( ) A ．(－3,6) B ．(3，－6) C ．(6，－3) D ．(－6,3)3.[限时2分钟，达标是( )否( )]已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若向量m a ＋n b 与向量a －2b 共线，则m n＝________. 4.[限时2分钟，达标是( )否( )]已知在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，且A 、B 、D 三点的坐标分别为(0,0)、(2,0)、(1,1)，则顶点C 的横坐标的取值范围是 (1,3)∪(3，＋∞) .5.[限时3分钟，达标是( )否( )]平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A (3，1)，B (－1,3)，若点C 满足OC →＝αOA →＋βOB →，其中α，β∈R ，且α＋β＝1，则点C 的轨迹形状是 直线AB .6.[限时4分钟，达标是( )否( )] △ABC 中内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(2sin A2，3)，n ＝(cos A ，2cos2A4－1)，且m ∥n .(1)求角A 的大小；(2)若a ＝7且△ABC 的面积为332，求b ＋c 的值．C 级训练(完成时间：18分钟)1.[限时3分钟，达标是( )否( )]已知向量集合M ＝{a|a ＝(1,2)＋λ(3,4)，λ∈R }，N ＝{b|b ＝(－2，－2)＋λ(4,5)，λ∈R }，则M ∩N ＝ {(－2，－2)} .2.[限时4分钟，达标是( )否( )](xx·上海)已知曲线C ：x ＝－4－y 2，直线l ：x ＝6，若对于点A (m,0)，存在C 上的点P 和l 上的Q 使得AP →＋AQ →＝0，则m 的取值范围为 [2,3] .3.[限时5分钟，达标是( )否( )]如图，在平行四边形OABP 中，过点P 的直线与线段OA 、OB 分别相交于点M 、N ，若OM →＝xOA →，ON →＝yOB →(0＜x ＜1)．(1)求y ＝f (x )的解析式；(2)令F (x )＝1f x＋x ，判断F (x )的单调性，并给出你的证明．4.[限时6分钟，达标是( )否( )] (xx·陕西)在直角坐标系xOy 中，已知点A (1,1)，B (2,3)，C (3,2)，点P (x ，y )在△ABC 三边围成的区域(含边界)上．(1)若PA →＋PB →＋PC →＝0，求|OP →|；(2)设OP →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R )，用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值．第3讲 平面向量的数量积及其应用A 级训练(完成时间：10分钟)1.在△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，当a ·b ＜0时，△ABC 为( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形2.已知一物体在共点力F 1＝(lg 2，lg 2)，F 2＝(lg 5，lg 2)的作用下产生位移S ＝(2lg 5,1)，则这两个共点力对物体做的总功W 为( )A ．1B ．2C ．lg 2D ．lg 53.一质点受到平面上的三个力F 1，F 2，F 3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F 1，F 2成60°角，且F 1，F 2的大小分别为2和4，则F 3的大小为( )A ．6B ．2C ．2 5D ．274.(xx·大纲)已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝( )A ．－4B ．－3C ．－2D ．－15.己知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点．则DE →·CB →的值为 1 . 6.(xx·课标Ⅰ)已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b ，若b·c ＝0，则t ＝ 2 .7.(xx·广东深圳中学二模)(1)若a ＝(1,0)，b ＝(－1,1)，c ＝a ＋(a ·b )b ，求|c |；(2)已知|a |＝1，|b |＝3，|a ＋b |＝1，求a 与b 夹角θ的值．B 级训练(完成时间：21分钟)1.[限时2分钟，达标是( )否( )](xx·福建)在四边形ABCD 中，AC →＝(1,2)，BD →＝(－4,2)，则该四边形的面积为( ) A. 5 B ．2 5 C ．5 D ．102.[限时2分钟，达标是( )否( )](xx·广东广州一模)设a ，b 是两个非零向量，则使a·b ＝|a ||b |成立的一个必要非充分条件是( )A ．a ＝bB ．a ⊥bC ．a ＝λb (λ＞0)D ．a ∥b3.[限时2分钟，达标是( )否( )](x x·山东)在平面直角坐标系xOy 中，已知OA →＝(－1，t )，OB →＝(2,2)，若∠ABO ＝90°，则实数t 的值为 5 .4.[限时2分钟，达标是( )否( )](xx·安徽)若非零向量a ，b 满足|a |＝3|b |＝|a ＋2b |，则a ，b 夹角的余弦值为________． 5.[限时2分钟，达标是( )否( )](xx·广东潮州二模)在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，AB ＝AD ＝1，BC ＝3，则AB →·CD →＝ －1 .6.[限时2分钟，达标是( )否( )](xx·全国Ⅰ)已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若b ∈R ，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB →与AC →的夹角为 90° .7.[限时4分钟，达标是( )否( )]在平面直角坐标系中，已知向量a ＝(－1,2)，又点A (8,0)，B (n ，t )，若AB →⊥a ，且|AB →|＝5|OA →|(O 为坐标原点)，求向量OB →.[限时5分钟，达标是( )否( )]已知OP →＝(2,1)，OA →＝(1,7)，OB →＝(5,1)，设C 是直线OP 上的一点，其中O 为坐标原点．(1)求使CA →·CB →取得最小值时向量OC →的坐标； (2)当点C 满足(1)时，求cos ∠ACB .C 级训练(完成时间：5分钟)1.[限时2分钟，达标是( )否( )](xx·辽宁)设a ，b ，c 是非零向量．已知命题p ：若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则a ·c ＝0；命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .则下列命题中真命题是( )A ．p ∨qB ．p ∧qC ．(綈p )∧(綈q )D ．p ∨(綈q )2.[限时3分钟，达标是( )否( )](xx·江苏)如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是 22 .第4讲 复数的概念及运算A 级训练(完成时间：10分钟)1.设i 为虚数单位，则复数3－4i 的虚部是( ) A ．4i B ．－4i C ．4 D ．－42.下列说法正确的是( ) A ．0i 是纯虚数B ．原点是复平面内直角坐标系的实轴与虚轴的公共点C ．实数的共轭复数一定是实数，虚数的共轭复数一定是虚数D ．i 2是虚数3.(xx·课标Ⅱ)|21＋i |＝( )A ．2 2B ．2 C. 2 D ．14.(xx·福建)复数z ＝－1－2i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限5.(xx·北京)复数(1＋i 1－i)2＝ －1 .6.若(a －2i)i ＝b －i ，其中a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则a ＋b ＝ 1 .7.(xx·天津)i 是虚数单位，复数(3＋i)(1－2i)＝______.8.实数m 取什么值时，复数z ＝(m －1)＋(m ＋1)i 是： (1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？B 级训练(完成时间：20分钟)1.[限时1分钟，达标是( )否( )](xx·广东梅州一模)在复平面内，复数5i2－i的对应点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2.[限时2分钟，达标是( )否( )](xx·江西)z －是z 的共轭复数，若z ＋z －＝2，(z －z －)i ＝2(i 为虚数单位)，则z ＝( ) A ．1＋i B ．－1－i C ．－1＋i D ．1－i3.[限时2分钟，达标是( )否( )](xx·安徽)设i 是虚数单位，z －表示复数z 的共轭复数．若z ＝1＋i ，则z i＋i·z －＝( )A ．－2B ．－2iC ．2D ．2i4.[限时2分钟，达标是( )否( )](xx·安徽)设i 是虚数单位，若复数a －103－i是纯虚数，则实数a 的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．35.[限时2分钟，达标是( )否( )]复数1＋i ＋i 2＋…＋i 10等于( ) A ．i B ．－i C ．2i D ．－2i6.[限时2分钟，达标是( )否( )]若(1＋2a i)i ＝1－b i ，其中a 、b ∈R ，i 是虚数单位，则|a ＋b i|＝( ) A.12 B. 5 C.52 D.547.[限时4分钟，达标是( )否( )]若复数z 1与z 2在复平面上所对应的点关于y 轴对称，且z 1(3－i)＝z 2(1＋3i)，|z 1|＝2，求z 1.8.[限时5分钟，达标是( )否( )]已知复数z 1＝sin 2x ＋λi ，z 2＝m ＋(m －3cos 2x )i(λ，m ，x ∈R )，且z 1＝z 2. (1)若λ＝0且0＜x ＜π，求x 的值；(2)设λ＝f (x )，求f (x )的最小正周期和单调减区间．C 级训练(完成时间：4分钟)1.[限时2分钟，达标是( )否( )]若M ＝{x |x ＝i n，n ∈Z }，N ＝{x |1x＞－1}(其中i 为虚数单位)，则M ∩(∁R N )＝( )A ．{－1,1}B ．{－1}C ．{－1,0}D ．{1}2.[限时2分钟，达标是( )否( )]满足条件|z －i|＝|3＋4i|复数z 在复平面上对应点的轨迹是( ) A ．一条直线 B ．两条直线 C ．圆 D ．椭圆第五章 平面向量与复数第1讲 平面向量的概念及线性运算【A 级训练】1．A 解析：只有④正确．2．D 解析：BA →＋CD →＋EF →＝DE →＋CD →＋EF →＝CE →＋EF →＝CF →.3．A 解析：因为p ⇒q 为真命题，q ⇒p 为假命题，所以命题p 是命题q 的充分不必要条件．4．D 解析：由题意得AP →＝13PB →，结合图示可得AB →＝－43BP →.5．等腰梯形 解析：由DC →＝12AB →知四边形ABCD 是梯形，又|AD →|＝|BC →|，即梯形的对角线相等，所以，四边形ABCD 是等腰梯形．6．2 解析：因为四边形ABCD 为平行四边形，对角线AC 与BD 交于点O ，所以AB →＋AD →＝AC →，又O 为AC 的中点，所以AC →＝2AO →，所以AB →＋AD →＝2AO →，因为AB →＋AD →＝λAO →，所以λ＝2. 7．解析：因为A 是BC 的中点，所以OA →＝12(OB →＋OC →)，即OC →＝2OA →－OB →＝2a －b ；DC →＝OC →－OD →＝OC →－23OB →＝2a －b －23b ＝2a －53b .【B 级训练】1．B 解析：因为a ＝λb ，b ＝λa ，所以(λ2－1)a ＝0，所以λ2＝1，有λ＝±1.2．C 解析：如图，EB →＋FC →＝EC →＋CB →＋FB →＋BC →＝EC →＋FB →＝12(AC →＋AB →)＝12·2AD →＝AD →.3．A 解析：设AC 的中点为D ，则OA →＋OC →＝2OD →，所以OA →＋OC →＋2OB →＝2OD →＋2OB →＝0，OD→＝－OB →即点O 为AC 边上的中线BD 的中点，所以△AOC 与△ABC 的面积之比是12.4.12 解析：因为AD →＝2DB →，所以CD →＝CA →＋23AB →. 因为AB →＝CB →－CA →，所以CD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝13CA →＋23CB →. 因为CD →＝λCA →＋μCB →，所以λ＝13，μ＝23.所以λμ＝12.5.32d －c 解析：连接BE 、CF ，它们交于点O ，则CD →＝d －c ，由正六边形的性质得OE →＝BO →＝CD →＝d －c ，又AO →＝12d ，所以AE →＝AO →＋OE →＝12d ＋(d －c )＝32d －c .6．解析：因为PA →＋PB →＋PC →＝AB →，所以PA →＋PC →＝AB →－PB →＝AB →＋BP →＝AP →，所以PC →＝AP →－PA →＝2AP →，所以AP →与PC →共线，即点A ，P ，C 共线，故点P 位于线段AC 的三等分点处(靠近点A )．7．解析：(1)证明：因为AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，所以BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝5(a ＋b )＝5AB →.所以AB →，BD →共线，又它们有公共点，所以A ，B ，D 三点共线．(2)因为k a ＋b 与a ＋k b 共线，所以存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即(k －λ)a ＝(λk －1)b .又a ，b 是两不共线的非零向量， 所以k －λ＝λk －1＝0.所以k 2－1＝0.所以k ＝±1. 【C 级训练】1. 5 解析：因为λa ＋b ＝0， 所以λa ＝－b ，所以|λa |＝|－b |＝|b |＝22＋12＝5，所以|λ|·|a |＝ 5.又|a |＝1，所以|λ|＝ 5. 2．解析：(1)因为A 是BC 的中点，所以BA →＝AC →＝12BC →.因为OD ＝2DB ，所以OD →＝2DB →＝23OB →.由向量加法的三角形法则可得OC →＝OA →＋AC →＝OA →＋12BC →＝OA →＋12(OC →－OB →)，所以OC →＝2OA →－OB →＝2a －b ，DC →＝DB →＋BC →＝13OB →＋(OC →－OB →)＝OC →－23OB →＝2a －b －23b ＝2a －53b .(2)设CE →＝μCD →，因为OE →＝λOA →，又因为OC →＝OE →＋EC →＝λOA →＋μDC →＝λa ＋μ(2a －53b )＝(2μ＋λ)a －53μb ，因为OC →＝2a －b ，所以2μ＋λ＝2，53μ＝1，解得μ＝35，λ＝45.第2讲 平面向量的基本定理及坐标运算【A 级训练】1．D 解析：设P 2(x ，y )，因为P 1P →＝2PP 2→，所以(2,0)＝2(x －3，y －2)．所以2＝2(x －3)，0＝2(y －2)，解得x ＝4，y ＝2.所以即P 2＝(4,2)．2．D 解析：AB →＝(3－2,1＋1)＝(1,2)，设a ＝(x ，y )．因为a ∥AB →且方向相反，所以y ＝2x .令x ＝－4，y ＝－8.所以a ＝(－4，－8)．3．A 解析：因为AB →＝(4，－1)－(1,3)＝(3，－4)，|AB →|＝9＋16＝5，则与向量AB →同方向的单位向量为AB →|AB →|＝(35，－45)．4．(2,4) (－1，－1) 解析：两式相加除以2得a ，两式相减除以2得b .5．(2，－7) 解析：设顶点C (x ，y )，因为AC 的中点在x 轴上，BC 的中点在y 轴上，所以7＋y 2＝0，y ＝－7，－2＋x 2＝0，x ＝2，所以C 的坐标是(2，－7)．6．解析：OP →＝OA →＋tOB →＝(1＋4t,2＋5t )． (1)点P (1＋4t,2＋5t )，当2＋5t ＝0即t ＝－25时，点P 在x 轴上；当1＋4t ＝0解得t ＝－14时，点P 在y 轴上；当1＋4t ＜0,2＋5t ＜0即t ＜－25时，点P 在第三象限．(2)若能构成平行四边形，则有OA →＝PB →， 即(1,2)＝(3－4t,3－5t )， 所以1＝3－4t,2＝3－5t 无解，故不存在t 使四边形OABP 构成平行四边形． 【B 级训练】1．C 解析：由题意可得点A 的坐标为(2，－1)，点A 关于实轴的对称点为点B (2,1)，则向量OB →对应的复数是2＋i.2．A 解析：设b ＝(x ，y )，a 与b 反向，由已知条件⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝35x y ＝1－2x <0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3y ＝6，所以b ＝(－3,6)． 3．－12解析：因为a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，所以m a ＋n b ＝(2m,3m )＋(－n,2n )＝(2m －n,3m ＋2n )，a －2b ＝(2,3)－2(－1,2)＝(4，－1)，因为向量m a ＋n b 与向量a －2b 共线，所以4×(3m ＋2n )＝n －2m ，所以14m ＝－7n ，所以m n ＝－12.4．(1,3)∪(3，＋∞) 解析：当ABCD 为平行四边形，则AC →＝AB →＋AD →＝(2,0)＋(1,1)＝(3,1)，故满足题意的顶点C 的横坐标的取值范围是(1,3)∪(3，＋∞)．5．直线AB 解析：设C (x ，y )，由题意，得OC →＝αOA →＋βOB →， 所以(x ，y )＝α(3,1)＋β(－1,3)＝(3α－β，α＋3β)， 可得x ＝3α－β，y ＝α＋3β，解得α＝3x ＋y 10，β＝3y －x10.因为α＋β＝1，所以3x ＋y 10＋3y －x10＝1，化简x ＋2y －5＝0，恰好为点A 、B 所在直线方程， 由此可得：点C 的轨迹是直线AB . 6．解析：(1)因为m ∥n ， 所以3cos A ＝2sin A2(2cos 2A4－1)＝2sin A 2cos A2＝sinA.所以tan A ＝ 3.又A ∈(0，π)，所以A ＝π3.(2)因为S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc sin π3＝332，所以bc ＝6. 由余弦定理得：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos π3⇒(b ＋c )2＝7＋3bc ＝25.所以b ＋c ＝5. 【C 级训练】1．{(－2，－2)} 解析：由(1,2)＋λ1(3,4)＝(－2，－2)＋λ2(4,5)，得1＋3λ1＝－2＋4λ2,2＋4λ1＝－2＋5λ2，解得λ1＝－1，λ2＝0，所以M ∩N ＝{(－2，－2)}．2．[2,3] 解析：曲线C ：x ＝－4－y 2，是以原点为圆心，2为半径的半圆，并且x P∈[－2,0]，对于点A (m,0)，存在C 上的点P 和l 上的Q 使得AP →＋AQ →＝0，说明A 是PQ 的中点，Q 的横坐标x ＝6，所以m ＝x p ＋62∈[2,3]．3．解析：(1)OP →＝AB →＝OB →－OA →，则NM →＝OM →－ON →＝xOA →－yOB →，MP →＝OP →－OM →＝(OB →－OA →)－xOA →＝－(1＋x )OA →＋OB →，又NM →∥MP →， 有x －y (1＋x )＝0，即函数的解析式为f (x )＝xx ＋1(0＜x ＜1)．(2)由(1)得F (x )＝1f x＋x ＝x ＋1x ＋x ＝x ＋1x＋1(0＜x ＜1)， 设0＜x 1＜x 2＜1，则F (x 1)－F (x 2)＝(x 1＋1x 1＋1)－(x 2＋1x 2＋1)＝(x 1－x 2)＋(1x 1－1x 2)＝(x 1－x 2)(1－1x 1x 2)＝(x 1－x 2)x 1x 2－1x 1x 2， 由0＜x 1＜x 2＜1，得x 1－x 2＜0，x 1x 2－1＜0，x 1x 2＞0， 得F (x 1)－F (x 2)＞0，即F (x 1)＞F (x 2)． 所以F (x )在(0,1)上为减函数．4．解析：(1)解法一：因为 PA →＋PB →＋PC →＝0， 又PA →＋PB →＋PC →＝(1－x,1－y )＋(2－x,3－y )＋(3－x,2－y )＝(6－3x,6－3y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 6－3x ＝0，6－3y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，即OP →＝(2,2)，故|OP →|＝2 2.解法二：因为PA →＋PB →＋PC →＝0， 则(OA →－OP →)＋(OB →－OP →)＋(OC →－OP →)＝0，所以 OP →＝13(OA →＋OB →＋OC →)＝(2,2)，所以|OP →|＝2 2.(2)因为OP →＝mAB →＋nAC →，所以(x ，y )＝(m ＋2n,2m ＋n )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n ，两式相减得，m －n ＝y －x .令y －x ＝t ，由图知，当直线y ＝x ＋t 过点B (2,3)时，t 取得最大值1，故m －n 的最大值为1.第3讲 平面向量的数量积及其应用【A 级训练】1．C 解析：因为a ·b ＝|AB →|·|AC →|·cos〈AB →，AC →〉<0，所以cos 〈AB →，AC →〉＜0，所以〈AB →，AC →〉＞90°，所以△ABC 为钝角三角形．2．B 解析：因为F 1＋F 2＝(lg 2，lg 2)＋(lg 5，lg 2)＝(1,2lg 2)，又因为在共点力的作用下产生位移S ＝(2lg 5,1)，所以这两个共点力对物体做的总功W 为(1,2lg 2)·(2lg 5,1)＝2lg 5＋2lg 2＝2.3．D 解析：因为F 23＝F 21＋F 22－2F 1F 2cos(180°－60°)＝28，所以F 3＝27. 4．B 解析：因为m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)， 所以m ＋n ＝(2λ＋3,3)，m －n ＝(－1，－1)． 因为(m ＋n )⊥(m －n )， 所以(m ＋n )·(m －n )＝0，所以－(2λ＋3)－3＝0，解得λ＝－3.5．1 解析：因为DE →·CB →＝DE →·DA →＝|DE →|·|DA →|·cos〈DE →·DA →〉＝DA →2＝1. 6．2 解析：因为c ＝t a ＋(1－t )b ，c·b ＝0，所以c·b ＝t a·b ＋(1－t )b 2＝0，所以t cos 60°＋1－t ＝0，所以1－12t ＝0，解得t ＝2.7．解析：(1)因为a ＝(1,0)，b ＝(－1,1)，a ·b ＝－1， 所以c ＝a ＋(a ·b )b ＝(1,0)－(－1,1)＝(2，－1)，所以|c |＝22＋－12＝ 5.(2)因为|a ＋b |＝a 2＋2a·b ＋b 2＝12＋32＋2×1×3cos θ＝1，所以cos θ＝－32， 因为θ∈[0，π]，所以θ＝5π6.【B 级训练】1．C 解析：因为在四边形ABCD 中， AC →＝(1,2)，BD →＝(－4,2)，AC →·BD →＝0， 所以四边形ABCD 的对角线互相垂直， 又|AC →|＝12＋22＝5，|BD →|＝－42＋22＝25，该四边形的面积：12|AC →|·|BD →|＝12×5×25＝5.2．D 解析：因为a ，b 是两个非零向量， 则a·b ＝|a ||b |，所以a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝|a ||b |， 所以cos 〈a ，b 〉＝1， 所以〈a ，b 〉＝0.所以a ∥b 是使a·b ＝|a ||b |成立的一个必要非充分条件．3．5 解析：因为知OA →＝(－1，t )，OB →＝(2,2)，所以AB →＝(3,2－t )， 又∠ABO ＝90°，所以OB →·AB →＝0，可得：2×3＋2(2－t )＝0. 解得t ＝5.4．－13 解析：由题意可得a 2＝9b 2，且a 2＝a 2＋4b 2＋4a·b ，化简可得4b 2＝－4a·b ，所以|b|·|b|＝－|a|·|b|·cos〈a ，b 〉，所以cos 〈a ，b 〉＝－|b||a|＝－13.5．－1 解析：因为CD →＝CB →＋BA →＋AD →，AB →·CB →＝AB →·AD →＝0，所以AB →·CD →＝AB →·(CB →＋BA →＋AD →)＝AB →·CB →＋AB →·BA →＋AB →·AD →＝－AB →2＝－1.6．90° 解析：在圆中若AO →＝12(AB →＋AC →)，即2AO →＝AB →＋AC →，即AB →＋AC →的和向量是过A ，O 的直径，则以AB ，AC 为邻边的四边形是矩形，则AB →⊥AC →，即AB →与AC →的夹角为90°.7．解析：因为点A (8,0)，B (n ，t )，所以AB →＝(n －8，t )，因为AB →⊥a ，所以AB →·a ＝(n －8，t )·(－1,2)＝0， 得n ＝2t ＋8. 则AB →＝(2t ，t )，又|AB →|＝5|OA →|，|OA →|＝8，所以(2t )2＋t 2＝5×64， 解得t ＝±8，当t ＝8时，n ＝24；当t ＝－8时，n ＝－8.所以OB →＝(24,8)或OB →＝(－8，－8)． 8．解析：(1)因为点C 在直线OP 上，所以可设OC →＝tOP →＝(2t ，t )．因为OA →＝(1,7)，OC →＝(2t ，t )，OB →＝(5,1)，所以CA →＝OA →－OC →＝(1－2t,7－t )， CB →＝OB →－OC →＝(5－2t,1－t )，所以CA →·CB →＝(1－2t )(5－2t )＋(7－t )(1－t )＝5t 2－20t ＋12＝5(t －2)2－8，所以当t ＝2时，CA →·CB →取得最小值－8，此时，OC →＝(4,2)．(2)当OC →＝(4,2)时，CA →＝(－3,5)，CB →＝(1，－1)，所以cos ∠ACB ＝CA →·CB →|CA →||CB →|＝－41717.【C 级训练】1．A 解析：方法一：取a ＝c ＝(1,0)，b ＝(0,1)，显然a ·b ＝0，b ·c ＝0，但a ·c ＝1≠0，所以p 是假命题．a ，b ，c 是非零向量，由a ∥b 知a ＝x b ，由b ∥c 知b ＝y c ， 所以a ＝xy c ，所以a ∥c ，所以 q 是真命题． 综上知p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题． 又因为綈p 为真命题，綈q 为假命题，所以(綈p )∧(綈q )，p ∨(綈q )都是假命题． 方法二：由于a ，b ，c 都是非零向量， 因为a ·b ＝0，所以a ⊥b . 因为b ·c ＝0，所以b ⊥c . 如图，则可能a ∥c ，所以 a ·c ≠0，所以命题p 是假命题，所以綈p 是真命题．命题q 中，a ∥b ，则a 与b 方向相同或相反；b ∥c ，则b 与c 方向相同或相反．故a 与c 方向相同或相反，所以a ∥c ，即q 是真命题，则綈q 是假命题，故p ∨q 是真命题，p ∧q ，(綈p )∧(綈q )，p ∨(綈q )都是假命题．2．22 解析：由CP →＝3PD →，得DP →＝14DC →＝14AB →，AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →，BP →＝AP →－AB →＝AD →＋14AB →－AB →＝AD →－34AB →. 因为AP →·BP →＝2，所以(AD →＋14AB →)·(AD →－34AB →)＝2，即AD →2－12AD →·AB →－316AB →2＝2.又因为AD →2＝25，AB →2＝64，所以AB →·AD →＝22.第4讲 复数的概念及运算【A 级训练】1．D 解析：由复数的基本概念可知，复数3－4i 的虚部是－4.2．C 解析：0i ＝0∈R 故A 错；原点对应复数为0∈R ，故B 错，i 2＝－1∈R ，故D 错，实数的共轭复数一定是实数，虚数的共轭复数一定是虚数是正确的，C 正确．3．C 解析：通过复数的分子与分母同时求模即可得到结果．4．C 解析：－1－2i 在复平面内对应的点为(－1，－2)，位于第三象限．5．－1 解析：(1＋i 1－i )2＝1＋i 2＋2i 1＋i 2－2i ＝i－i＝－1. 6．1 解析：因为(a －2i)i ＝b －i ，所以2＋a i ＝b －i ，可得b ＝2，a ＝－1，所以a ＋b ＝1.7．5－5i 解析：(3＋i)(1－2i)＝3－6i ＋i －2i 2＝5－5i.8．解析：(1)复数z ＝(m －1)＋(m ＋1)i 是实数时，此复数的虚部等于0，即m ＋1＝0，解得m ＝－1，即当m ＝－1时，复数z 是实数．(2)复数z ＝(m －1)＋(m ＋1)i 是虚数时，此复数的虚部不等于0，即m ＋1≠0，解得m ≠－1，即当m ≠－1时，复数z 是虚数．(3)复数z ＝(m －1)＋(m ＋1)i 是纯虚数时，此复数的实部等于0，虚部不等于0，即m －1＝0，且m ＋1≠0，解得m ＝1.故当m ＝1时，复数z 是纯虚数．【B 级训练】1．B 解析：因为复数5i 2－i ＝5i 2＋i2－i 2＋i ＝－1＋2i ，所以复数对应的点的坐标是(－1,2)．所以复数5i2－i在复平面内对应的点位于第二象限．2．D 解析：方法一：设z ＝a ＋b i ，a ，b 为实数， 则z －＝a －b i.因为z ＋z －＝2a ＝2，所以a ＝1.又(z －z －)i ＝2b i 2＝－2b ＝2， 所以b ＝－1.故z ＝1－i.方法二：因为(z －z －)i ＝2，所以z －z －＝2i ＝－2i.又z ＋z －＝2，所以(z －z －)＋(z ＋z －)＝－2i ＋2， 所以2z ＝－2i ＋2，所以z ＝1－i. 3．C 解析：因为z ＝1＋i ，所以z －＝1－i ，z i ＝1＋i i ＝－i 2＋i i＝1－i ，所以z i＋i·z －＝1－i ＋i(1－i)＝(1－i)＋(1＋i)＝2.4．D 解析：因为a －103－i ＝a －103＋i 3－i 3＋i ＝a －103＋i10＝(a －3)－i 是纯虚数，所以a －3＝0，解得a ＝3.5．A 解析：(方法一)因为i n 的周期性：i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，i 4n＝1，可得A 正确；(方法二)可以利用公比为i 的等比数列的性质求解． 6．C 解析：因为(1＋2a i)i ＝1－b i ， 所以i －2a ＝1－b i.所以－2a ＝1，b ＝－1.所以a ＝－12，b ＝－1.所以|a ＋b i|＝52.7．解析：设z 1＝a ＋b i ，则z 2＝－a ＋b i ，精品文档实用文档 因为z 1(3－i)＝z 2(1＋3i)，且|z 1|＝2，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b i 3－i ＝－a ＋b i 1＋3i a 2＋b 2＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1b ＝1，则z 1＝1－i 或z 1＝－1＋i.8．解析：(1)因为z 1＝z 2，所以sin 2x ＝m ，λ＝m －3cos 2x .所以λ＝sin 2x －3cos 2x .由λ＝0，得sin 2x －3cos 2x ＝0，所以tan 2x ＝ 3.因为0＜x ＜π，所以x ＝π6或x ＝2π3. (2)因为λ＝f (x )＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin(2x －π3)， 所以函数的最小正周期是π.由2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋32π(k ∈Z )， 得k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12(k ∈Z )， 所以f (x )的单调减区间为[k π＋5π12，k π＋11π12](k ∈Z )． 【C 级训练】1．B 解析：依题意M ＝{1，－1，i ，－i}，N ＝{x |x ＞0或x ＜－1}，所以∁R N ＝{x |－1≤x ≤0}，故M ∩(∁R N )＝{－1}．2．C 解析：|3＋4i|＝5满足条件|z －i|＝|3＋4i|＝5的复数z 在复平面上对应点的轨迹是圆心为(0,1)，半径为5的圆．31878 7C86 粆M 36958 905E 遞%-A20884 5194 冔 qI25711 646F 摯34195 8593 薓32493 7EED 续#。

第五单元 平面向量与复数第26讲 平面向量的概念及线性运算1.设平面内有四边形ABCD 和点O ，若OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，且a ＋c ＝b ＋d ，则四边形ABCD 为( )A ．菱形B ．梯形C ．矩形D ．平行四边形2.已知向量a ＝(x,1)，b ＝(3,6)，a∥b ，则实数x 的值为( ) A.12B ．－2C ．2D ．－123.△ABC 中，点D 在AB 上，CD 平分∠ACB ，若CB →＝a ，CA →＝b ，|a|＝1，|b|＝2，则CD →＝( )A.13a ＋23bB.23a ＋13bC.35a ＋45bD.45a ＋35b 4.设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC →＋BA →＝2BP →，则( ) A.PA →＋PB →＝0 B.PB →＋PC →＝0 C.PC →＋PA →＝0 D.PA →＋PB →＋PC →＝05.在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB →＝(2,4)，BD →＝(－3，－5)，则AC →＝________.6.设向量a ＝(cos θ，1)，b ＝(1,3cos θ)，且a ∥b ，则cos 2θ＝________.7.已知向量OC →＝(2,2)，CA →＝(2cos α，2sin α)，则向量OA →的模的最大值是________．8.如图所示，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 边的中点，M 、N 分别是DE 、BC 的中点，已知BC →＝a ，BD →＝b ，试用a 、b 分别表示DE →、CE →和MN →.9.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量a ＝(2,1)，A (1,0)，B (cos θ，t )．(1)若向量a ∥AB →，且|AB →|＝5|OA →|，求向量OB →的坐标；(2)若a ∥AB →，求y ＝cos 2θ－cos θ＋t 2的最小值．1.已知向量a，b满足a²b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|2a－b|＝( )A．0 B．2 2C．4 D．82.已知A、B、C是锐角△ABC的三个内角，向量p＝(sin A,1)，q＝(1，－cos B)，则p与q的夹角是( )A．锐角 B．钝角C．直角 D．不确定3.已知向量a＝(－2,2)，b＝(5，k)．若|a＋b|不超过5，则k的取值范围是( )A．[－4,6] B．[－6,4]C．[－6,2] D．[－2,6]4.已知向量a＝(4,3)，b＝(－2,1)，如果向量a＋λb与b垂直，则|2a－λb|的值为( )A．1 B. 5C．5 D．5 55.若非零向量a，b满足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，则a与b夹角的余弦值为________．6.若向量a＝(1,2)，b＝(1，－1)，则2a＋b与a－b的夹角等于________．7.若b与a＝(2，－2)共线，且b²a＝－16，则b的坐标是.8.已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)．(1)设c＝4a＋b，求(b²c)²a的值；(2)若a＋λb与a垂直，求λ的值；(3)求向量a在b方向上的投影．9.已知向量a＝(cos θ，sin θ)，θ∈[0，π]，向量b＝(3，－1)．(1)若a⊥b，求θ的值；(2)若|2a－b|<m恒成立，求实数m的取值范围．1.在△ABC 中，(BC →＋BA →)²AC →＝|AC →|2，则三角形ABC 的形状一定是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形 2.一条河宽为400 m ，一船从A 处出发航行垂直到达河对岸的B 处，船速为20 km/h ，水速为12 km/h.则船到达B 所需的时间为( )A ．1.5分钟B ．1.8分钟C ．2.2分钟D ．3分钟3.在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ⊥AB ，∠B ＝45°，AB ＝2CD ＝2，M 为腰BC 的中点，则MA →²MD →＝( )A ．1B ．2C ．3D ．44.已知P 是边长为2的正△ABC 边BC 上的动点，则AP →²(AB →＋AC →)( ) A ．最大值为8 B ．是定值6C ．最小值为2D ．与P 的位置有关5.已知两个非零向量a ，b ，定义|a³b|＝|a|²|b|²sin θ，其中θ为a 与b 的夹角，若a ＋b ＝(－3,6)，a －b ＝(－3,2)，则|a³b|＝ .6.若平面向量α、β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α、β为邻边的平行四边形的面积为12，则α和β的夹角θ的取值范围是____________．7.设i ，j 是平面直角坐标系(坐标原点为O )内分别与x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向量，且OA →＝－2i ＋j ，OB →＝4i ＋3j ，则△AOB 的面积等于______．8.已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )． (1)若点A 、B 、C 能构成三角形，求实数m 应满足的条件；(2)若△ABC 为直角三角形，且∠A 为直角，求实数m 的值．9.已知a ＝(2cos x 2，tan(x 2＋π4))，b ＝(2sin(x 2＋π4)，tan(x 2－π4))．令f (x )＝a²b.(1)求函数f (x )的最大值，最小正周期，并写出f (x )在[0，π]上的单调区间；(2)是否存在实数x ∈[0，π]，使f (x )＋cos x －sin x ＝0？若存在，求出x 的值；若不存在，请证明．第29讲 复数的概念与运算1.已知i 是虚数单位，复数z ＝－1＋2i 2＋i ＋21－i，则|z |＝( )A ．1B ．2 C. 5 D ．2 22.若(a ＋4i)i ＝b ＋i ，其中a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则a －b ＝( ) A ．3 B ．5 C ．－3 D ．－53.复数z ＝i 2(i ＋1)(i 为虚数单位)的共轭复数是( ) A ．－1－i B ．－1＋i C ．1－i D ．1＋i4.在复平面内，复数11－i＋i 3对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5.计算：3－i1＋i＝__________(i 为虚数单位)．6.i 为虚数单位，1i ＋1i 3＋1i 5＋1i7＝ .7.i 为虚数单位，复数1＋a i2＋i为纯虚数，则实数a 等于 .8.设t ∈R ，复数z ＝(|t |－1)＋(t 2－2|t |－3)i ，复数z 在复平面上对应的点在抛物线y ＝12x 2上，求实数t .9.设复数z 满足|z ＋4i|＋|z －4i|＝62，求|z ＋2|的最大值．第五单元 平面向量与复数第26讲 平面向量的概念及线性运算1．D 2.A 3.B 4.C 5.(1,3) 6.－13 7.3 28．解析：由三角形中位线定理知DE 綊12BC ，故DE →＝12BC →，即DE →＝12a .CE →＝CB →＋BD →＋DE →＝－a ＋b ＋12a ＝－12a ＋b .MN →＝MD →＋DB →＋BN →＝12ED →＋DB →＋12BC →＝－14a －b ＋12a＝14a －b .9．解析：(1)因为AB →＝(cos θ－1，t )，又a ∥AB →， 所以2t －cos θ＋1＝0，所以cos θ－1＝2t .①又因为|AB →|＝5|OA →|，所以(cos θ－1)2＋t 2＝5.②由①②得，5t 2＝5，所以t 2＝1， 所以t ＝±1.当t ＝1时，cos θ＝3(舍去)； 当t ＝－1时，cos θ＝－1，所以B (－1，－1)，所以OB →＝(－1，－1)．(2)由(1)可知t ＝cos θ－12，所以y ＝cos 2θ－cos θ＋θ－24＝54cos 2θ－32cos θ＋14 ＝54(cos 2θ－65cos θ)＋14 ＝54(cos θ－35)2－15. 所以当cos θ＝35时，y min ＝－15.第27讲 平面向量的数量积1．B 2.A 3.C 4.D 5.－13 6.π47.(－4,4)8．解析：(1)因为a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)， 所以c ＝4a ＋b ＝(4,8)＋(2，－2)＝(6,6)． 所以b²c ＝2³6－2³6＝0，所以(b²c )²a ＝0.(2)a ＋λb ＝(1,2)＋λ(2，－2)＝(2λ＋1,2－2λ)， 由于a ＋λb 与a 垂直，所以2λ＋1＋2(2－2λ)＝0，所以λ＝52.(3)设向量a 与b 的夹角为θ，则向量a 在b 方向上的投影为|a |cos θ＝a²b|b|＝1³2＋－22＋－2＝－222＝－22.9．解析：(1)因为a⊥b ，所以3cos θ－sin θ＝0，得tan θ＝3，又θ∈[0，π]，所以θ＝π3.(2)因为2a －b ＝(2cos θ－3，2sin θ＋1)，所以|2a －b|2＝(2cos θ－3)2＋(2sin θ＋1)2＝8＋8(12sin θ－32cos θ)＝8＋8sin(θ－π3)，又θ∈[0，π]，所以θ－π3∈[－π3，2π3]，所以sin(θ－π3)∈[－32，1]，所以|2a －b|2的最大值为16，所以|2a －b|的最大值为4， 又|2a －b|<m 恒成立，所以m >4. 第28讲 平面向量的应用1．C 2.A 3.B 4.B 5.6 6.[π6，5π6] 7.58．解析：(1)若点A 、B 、C 能构成三角形，则这三点不共线，因为AB →＝(3,1)，AC →＝(2－m,1－m )， 故知3(1－m )≠2－m ，所以实数m ≠12时，满足条件．(2)若△ABC 为直角三角形，且∠A 为直角，则AB →⊥AC →，所以3(2－m )＋(1－m )＝0，解得m ＝74.9．解析：(1)f (x )＝a²b＝22cos x 2sin(x 2＋π4)＋tan(x 2＋π4)tan(x 2－π4)＝22cos x 2(22sin x 2＋22cos x2)＋1＋tan x 21－tan x 2²tan x2－11＋tanx2＝2sin x 2cos x2＋2cos 2x2－1＝sin x ＋cos x＝2sin(x ＋π4)．所以f (x )的最大值为2，最小正周期为2π，f (x )在[0，π4]上单调递增，在[π4，π]上单调递减．(2)由(1)知，f (x )＝sin x ＋cos x ，f (x )＋cos x －sin x ＝sin x ＋cos x ＋cos x －sin x ＝0，得cos x ＝0.因为x ∈[0，π]，所以x ＝π2.第29讲 复数的概念与运算1．C 2.B 3.B 4.D 5.1－2i 6.0 7.－28．解析：要使复数z 在复平面上对应的点在抛物线y ＝12x 2上，则2(t 2－2|t |－3)＝(|t |－1)2，所以t 2－2|t |－7＝0，即(|t |－1)2＝8. 所以t ＝±(1±22)．9．解析：设z ＝x ＋y i ，由|z ＋4i|＋|z －4i|＝62的几何意义知z 对应的点在椭圆x 22＋y 218＝1上， 所以|z ＋2|＝x ＋22＋y 2＝x ＋22＋18－9x 2＝－8x 2＋22x ＋20 ＝－x －282＋814， 故当x ＝28时，|z ＋2|有最大值92. 【真题集训】1．B 由已知z ＝－1－i－1－－1＋＝－12－12i ，所以|z |＝22. 2．D 因为a －103－i ＝a －＋－＋＝a －3－i 为纯虚数，所以a －3＝0，即a＝3，选D.3．A 10i3＋i ＝－＋－＝1＋3i ，实部是1，虚部是3，对应复平面上的点为(1,3)，故选A.4．3 因为3＋b i1－i＝a ＋b i ，所以3＋b i ＝(a ＋b i)(1－i)＝a ＋b ＋(b －a )i.又因为a ，b 都为实数，故由复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝3b －a ＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0b ＝3，所以a ＋b ＝3.。

核按钮（新课标）高考数学一轮复习第五章平面向量与复数5.5复数的概念习题理1．虚数单位为i ，规定：i 2＝________，且实数与它进行四则运算时，原有的加法、乘法的________仍然成立．2．复数的概念形如：a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫复数，其中a 叫做复数的______，b 叫做复数的__________． ①当________时，复数a ＋b i 为实数； ②当________时，复数a ＋b i 为虚数；③当________且________时，复数a ＋b i 为纯虚数． 3．复数相等的充要条件a ＋b i ＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )⇔ ________，特别地，a ＋b i ＝0⇔________.4．复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )与复平面上的点Z (a ，b )、平面向量OZ →都可建立________的关系(其中O 是坐标原点)．5．在复平面内，实轴上的点都表示________；虚轴上的点除________外都表示________． 6．复数的模向量OZ →的模r 叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模，记作________或||a ＋b i .即||z ＝||a ＋b i ＝r ＝________(r ≥0，r ∈R )．7．共轭复数一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为__________，复数z 的共轭复数记作________．8．数系的扩充数集扩充的过程是：自然数集(N )→_______→_______→_______→复数集(C )．数集的每一次扩充，都使得在原有数集中能实施的运算，在新的数集中仍能进行，并且解决了在原有数集中某种运算不可实施的矛盾．自查自纠1．－1 运算律2．实部 虚部 ①b ＝0 ②b ≠0 ③a ＝0 b ≠0 3．a ＝c 且b ＝d a ＝b ＝0 4．一一对应5．实数 原点 纯虚数 6.||za 2＋b 27．共轭复数 z8．整数集(Z ) 有理数集(Q ) 实数集(R )(2015·福建)若集合A ＝{i ，i 2，i 3，i 4}(i 是虚数单位)，B ＝{1，－1}，则A ∩B 等于( )A ．{－1}B ．{1}C ．{1，－1}D ．∅解：A ＝{i ，－1，－i ，1}，∴A ∩B ＝{1，－1}．故选C .(2015·湖北八校联考)设x ∈R ，i 是虚数单位，则“x ＝1”是“复数z ＝(x 2－1)＋(x ＋1)i 为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：由纯虚数的定义可得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0，x ＋1≠0， 解得x ＝1.故选C .方程x 2＋6x ＋13＝0的一个根是( ) A ．－3＋2i B ．3＋2i C ．－2＋3iD ．2＋3i解：当Δ<0时，方程有虚数根，根据求根公式x ＝－b ±4ac －b 2i 2a ，得x ＝－6±4i 2＝－3±2i ，所以方程的一个根为－3＋2i.故选A .(2015·天津)i 是虚数单位，若复数(1－2i)(a ＋i)是纯虚数，则实数a 的值为________．解：(1－2i)(a ＋i)＝a ＋2＋(1－2a )i 是纯虚数，所以a ＋2＝0且1－2a ≠0，解得a ＝－2.故填－2.已知复数z ＝(3＋i)2(i 为虚数单位)，则||z ＝________．解：z ＝9＋6i －1＝8＋6i ，||z ＝82＋62＝10.故填10.类型一 复数的有关概念及性质下列命题中：(1)在复数集中，任意两个数都不能比较大小；(2)若z ＝m ＋n i(m ，n ∈C )，则当且仅当m ＝0，n ≠0时，z 为纯虚数； (3)若(z 1－z 2)2＋(z 2－z 3)2＝0，则z 1＝z 2＝z 3；(4)x ＋y i ＝1＋i ⇔x ＝y ＝1；(5)若实数a 与a i 对应，则实数集与纯虚数集一一对应． 其中正确命题的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．3解：(1)当两个复数都是实数时，可以比较其大小． (2)若m ＝0，n ＝i 时，则z ＝0＋i 2＝－1∈R .(3)当z 1＝1，z 2＝0，z 3＝i 时满足条件，而结论不成立． (4)只有当x ，y ∈R 时命题才正确．(5)若a ＝0，则0·i ＝0不是纯虚数．故选A .【点拨】正确理解复数的概念，不要想当然地认为字母表示的数(特别是i 的系数)一定是实数，也不要随意将实数中的一些结论推广到复数中去．对z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，z 为纯虚数⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ≠0，z 为实数⇔b ＝0.下列命题中：①若z 1－z 2＞0，则z 1＞z 2； ②若z 21＋z 22＝0，则z 1＝z 2＝0； ③z ＋z －＝0⇔z 为纯虚数； ④z －＝z ⇔z ∈R . 正确的命题是______．解：①中若z 1＝2＋i ，z 2＝1＋i ，则z 2与z 1不能比较大小；②中的z 1＝i ，z 2＝1也可以满足条件；③中的z ＝0满足z ＋z ＝0，但z 为实数．故填④.类型二 复平面的概念及复数的几何意义已知A ，B 是锐角三角形的两内角，则复数(sin A －cos B )＋(sin B －cos A )i 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解：∵A ，B 是锐角三角形的两内角，∴A ＋B ＞π2，且0＜A <π2，0<B ＜π2.∴0＜π2－B ＜A ＜π2，由正弦函数的单调性知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ＜sin A ， 即sin A －cos B ＞0.同理可得，sin B －cos A ＞0. 故选A .【点拨】判断复数对应的点在复平面上的位置，只需判断复数的实部和虚部的正负即可，对题目中条件“A ，B 是锐角三角形的内角”的挖掘是解决此题的关键．已知z 是复数，z ＋2i ，z2－i均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．解：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ，由题意得y ＝－2； z 2－i ＝x －2i 2－i ＝15(x －2i)(2＋i)＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i. 由题意得x ＝4.∴z ＝4－2i.∴(z ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i. 由于(z ＋a i)2在复平面上对应的点在第一象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a －a 2＞0，8（a －2）＞0， 解得2<a <6. ∴实数a 的取值范围是(2，6)．类型三 复数相等的充要条件关于x 的方程x 2－(2i －1)x ＋3m －i ＝0有实根，则实数m 的值是 ． 解：设实根为x 0，则x 20－(2i －1)x 0＋3m －i ＝0， 即x 20＋x 0＋3m －(2x 0＋1)i ＝0.由复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋x 0＋3m ＝0，2x 0＋1＝0.∴m ＝－13(x 20＋x 0)＝－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫14－12＝112.故填112.【点拨】依据两个复数相等的充要条件，构造关于实数根x 0与参数m 的方程组是解决此类问题的有效手段．已知i 为虚数单位，复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－2i ，它们所对应的点分别为A ，B ，C ，若OC →＝xOA →＋yOB →，x ，y ∈R ，求x ＋y 的值．解：由OC →＝xOA →＋yOB →，得3－2i ＝x (－1＋2i)＋y (1－i)＝(－x ＋y )＋(2x －y )i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝3，2x －y ＝－2. 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝4， 故x ＋y ＝5.1．处理与复数概念有关的问题，首先找准复数的实部与虚部，若复数为非标准的代数形式，应通过代数运算将其化为标准的代数形式，然后根据定义解题，复数问题实数化是解决复数问题最基本的思想方法．2．熟练掌握复数部分的一系列概念，对于求解复数题至关重要．以下三点请注意： (1)对于复数m ＋n i ，如果m ，n ∈C (或没有明确界定m ，n ∈R )，则不可想当然地判定m ，n ∈R .(2)易误认为y 轴上的点与纯虚数一一对应(注意原点除外)．(3)对于a ＋b i(a ，b ∈R )为纯虚数的充要条件，只注意了a ＝0而漏掉了b ≠0. 3．复数的几何意义(1)(其中a ，b ∈R )．(2)||z 表示复数z 对应的点与原点的距离．(3)||z 1－z 2表示两点的距离，即表示复数z 1与z 2对应的点的距离．1．(2015·山西四校联考)复数z ＝i（－2－i ）2(i 为虚数单位)，z 在复平面内所对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解：因为z ＝i （－2－i ）2＝i 4＋4i －1＝i 3＋4i ＝i （3－4i ）25＝425＋325i ，所以z 在复平面内所对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫425，325，在第一象限．故选A . 2．(2015·安徽“江南十校”联考)若a ＋b i ＝51＋2i (i 是虚数单位，a ，b ∈R )，则ab＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2 解：a ＋b i ＝51＋2i＝1－2i ，所以a ＝1，b ＝－2，ab ＝－2.故选A .3．设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：ab ＝0⇔a ＝0或b ＝0⇒复数a ＋b i 为纯虚数或实数，充分性不成立；反之，若a ＋bi 为纯虚数，则必有a ＝0且b ≠0，∴ab ＝0.故选B .4．下面是关于复数z ＝2－1＋i的四个命题：p 1：||z ＝2， p 2：z 2＝2i ，p 3：z 的共轭复数为1＋i ， p 4：z 的虚部为－1.其中的真命题为( ) A. p 2，p 3B. p 1，p 2C. p 2，p 4D. p 3，p 4解：z ＝2－1＋i ＝2（－1－i ）（－1＋i ）（－1－i ）＝－1－i ，z 的模||z ＝2，p 1为假命题；z2＝2i ，p 2为真；z ＝－1＋i ，p 3为假；z 的虚部为－1，p 4为真．故选C .5．(2015·洛阳统考)设复数z ＝－1－i(i 为虚数单位)，z 的共轭复数为z ，则|(1－z )·z |＝( )A.10B ．2 C. 2 D ．1解：依题意得(1－z )·z ＝(2＋i)(－1＋i)＝－3＋i ，则|(1－z )·z |＝|－3＋i|＝（－3）2＋12＝10.故选A .6．(2014·江西)z 是z 的共轭复数，若z ＋z ＝2，(z －z )i ＝2(i 为虚数单位)，则z ＝( )A ．1＋iB ．－1－iC ．－1＋iD ．1－i解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，∵z ＋z ＝2，∴a ＝1，∵(z －z )i ＝2，∴－2b ＝2，b ＝－1，∴z ＝1－i.故选D .7．(2014·福建模拟)若x ∈C ，则关于x 的一元二次方程x 2－x ＋1＝0的根为____________．解：由x 2－x ＋1＝0，得Δ＝(－1)2－4×1×1＝－3<0，∴x ＝－（－1）±3i 2＝12±32i.故填12±32i.8．已知复数z ＝x ＋y i(i 是虚数单位，x ，y ∈R )，且|z －2|＝3，则yx的最大值为________．解：∵|z －2|＝（x －2）2＋y 2＝3， ∴(x －2)2＋y 2＝3. 由图可知⎝ ⎛⎭⎪⎫y xmax ＝31＝ 3.故填3.9．已知OACB 是复平面上的平行四边形，O 是原点，A ，B 分别表示复数3＋i ，2＋4i ，M 是OC ，AB 的交点，如图所示，求C ，M 表示的复数．解：由于OA →，OB →分别代表3＋i ，2＋4i ，OC →＝OA →＋OB →代表的复数为(3＋i)＋(2＋4i)＝5＋5i ，即C 所表示的复数，OM →＝12OC →＝52＋52i ，即M 所表示的复数．10．设复数z ＝lg(m 2－2m －2)＋(m 2＋3m ＋2)i(i 是虚数单位)，试求实数m 取何值时： (1)z 是纯虚数； (2)z 是实数；(3)z 对应的点位于复平面的第二象限．解：(1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧lg （m 2－2m －2）＝0，m 2＋3m ＋2≠0， 解得m ＝3.(2)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋3m ＋2＝0，m 2－2m －2＞0， 解得m ＝－1或m ＝－2.(3)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧lg （m 2－2m －2）＜0，m 2＋3m ＋2＞0， 即⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －2＞0，m 2－2m －2＜1，m 2＋3m ＋2＞0， 解得－1<m ＜1－3或1＋3＜m <3.11．已知关于x 的方程x 2＋(m ＋2i)x ＋2＋m i ＝0有实数根，求实数m 的值． 解：设x ＝k (k ∈R )是方程的实数根，则k 2＋(m ＋2i)k ＋2＋m i ＝0，即(k 2＋km ＋2)＋(2k ＋m )i ＝0.根据复数相等的定义得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＋km ＋2＝0，2k ＋m ＝0.解之得⎩⎨⎧k ＝2，m ＝－22或⎩⎨⎧k ＝－2，m ＝2 2.∴方程的实数根为x ＝2或x ＝－ 2 ，相应的实数m 的值为－22或2 2.i 是虚数单位，设复数z 满足4z ＋2z ＝33＋i ，复数ω＝sin θ－icos θ，求|z －ω|的取值范围．解：设z ＝a ＋b i ，(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i.代入4z ＋2z ＝33＋i ，得4(a ＋b i)＋2(a －b i)＝33＋i ，即6a ＋2b i ＝33＋i.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝12.∴z ＝32＋12i.|z －ω|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪32＋12i －（sin θ－icos θ） ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32－sin θ2＋⎝⎛⎭⎪⎫12＋cos θ2＝2－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6. ∵－1≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6≤1， ∴0≤2－2sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6≤4.∴0≤|z －ω|≤2.。

2024年高考数学总复习第五章《平面向量与复数》§5.2平面向量基本定理及坐标表示最新考纲 1.了解平面向量基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝x21＋y21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝(x2－x1，y2－y1)，|AB→|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2.3．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a，b共线⇔x1y2－x2y1＝0.概念方法微思考1．若两个向量存在夹角，则向量的夹角与直线的夹角一样吗？为什么？提示不一样．因为向量有方向，而直线不考虑方向．当向量的夹角为直角或锐角时，与直线的夹角相同．当向量的夹角为钝角或平角时，与直线的夹角不一样．2．平面内的任一向量可以用任意两个非零向量表示吗？提示不一定．当两个向量共线时，这两个向量就不能表示，即两向量只有不共线时，才能作为一组基底表示平面内的任一向量．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内的任意两个向量都可以作为一组基底．(×)(2)若a ，b 不共线，且λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.(√)(3)在等边三角形ABC 中，向量AB →与BC →的夹角为60°.(×)(4)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件可表示成x 1x 2＝y 1y 2.(×)(5)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变．(√)(6)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．(√)题组二教材改编2．已知▱ABCD 的顶点A (－1，－2)，B (3，－1)，C (5,6)，则顶点D 的坐标为________．答案(1,5)解析设D (x ，y )，则由AB →＝DC →，得(4,1)＝(5－x,6－y )，＝5－x ，＝6－y ，＝1，＝5.3．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋n b 与a －2b 共线，则mn ＝________.答案－12解析由向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，得m a ＋n b ＝(2m －n,3m ＋2n )，a －2b ＝(4，－1)．由m a ＋n b 与a －2b 共线，得2m －n 4＝3m ＋2n －1，所以m n ＝－12.题组三易错自纠4．设e 1，e 2是平面内一组基底，若λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＋λ2＝________.答案5．已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝________.答案(－7，－4)解析根据题意得AB →＝(3,1)，∴BC →＝AC →－AB →＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．6．已知向量a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝________.答案－6解析因为a ∥b ，所以(－2)×m －4×3＝0，解得m ＝－6.题型一平面向量基本定理的应用例1如图，已知△OCB 中，A 是CB 的中点，D 是将OB →分成2∶1的一个内分点，DC 和OA 交于点E ，设OA →＝a ，OB →＝b.(1)用a 和b 表示向量OC →，DC →；(2)若OE →＝λOA →，求实数λ的值．解(1)由题意知，A 是BC 的中点，且OD →＝23OB →，由平行四边形法则，得OB →＋OC →＝2OA →，所以OC →＝2OA →－OB →＝2a －b ，DC →＝OC →－OD →＝(2a －b )－23b ＝2a －53b .(2)由题意知，EC →∥DC →，故设EC →＝xDC →.因为EC →＝OC →－OE →＝(2a －b )－λa ＝(2－λ)a －b ，DC →＝2a －53b .所以(2－λ)a －b ＝2a －53b.因为a 与b 不共线，由平面向量基本定理，2－λ＝2x ，－1＝－53x ，x ＝35，λ＝45.故λ＝45.思维升华应用平面向量基本定理的注意事项(1)选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来．(2)强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等．(3)强化共线向量定理的应用．跟踪训练1在△ABC 中，点P 是AB 上一点，且CP →＝23CA →＋13CB →，Q 是BC 的中点，AQ 与CP 的交点为M ，又CM →＝tCP →，则t 的值为________．答案34解析∵CP →＝23CA →＋13CB →，∴3CP →＝2CA →＋CB →，即2CP →－2CA →＝CB →－CP →，∴2AP →＝PB →，即P 为AB的一个三等分点，如图所示．∵A ，M ，Q 三点共线，∴CM →＝xCQ →＋(1－x )CA →＝x 2CB →＋(x －1)AC →，而CB →＝AB →－AC →，∴CM →＝x 2AB →.又CP →＝CA →－PA →＝－AC →＋13AB →，由已知CM →＝tCP →，可得x 2AB →＝AC →＋13AB 又AB →，AC →不共线，＝t 3，1＝－t，解得t ＝34.题型二平面向量的坐标运算例2(1)已知点M (5，－6)和向量a ＝(1，－2)，若MN →＝－3a ，则点N 的坐标为()A ．(2,0)B ．(－3,6)C ．(6,2)D ．(－2,0)答案A解析设N (x ，y )，则(x －5，y ＋6)＝(－3,6)，∴x ＝2，y ＝0.(2)已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，a ＝m b ＋n c (m ，n ∈R )，则m ＋n ＝________.答案－2解析由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)．∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，m ＝－1，n ＝－1.∴m ＋n ＝－2.思维升华平面向量坐标运算的技巧(1)利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题过程中，常利用“向量相等，则坐标相同”这一结论，由此可列方程(组)进行求解．跟踪训练2线段AB 的端点为A (x,5)，B (－2，y )，直线AB 上的点C (1,1)，使|AC →|＝2|BC →|，则x ＋y ＝________.答案－2或6解析由已知得AC →＝(1－x ，－4)，2BC →＝2(3,1－y )．由|AC →|＝2|BC →|，可得AC →＝±2BC →，则当AC →＝2BC →1－x ＝6，－4＝2－2y ，x ＝－5，y ＝3，此时x ＋y ＝－2；当AC →＝－2BC →1－x ＝－6，－4＝－2＋2y ，x ＝7，y ＝－1，此时x ＋y ＝6.综上可知，x ＋y ＝－2或6.题型三向量共线的坐标表示命题点1利用向量共线求向量或点的坐标例3已知O 为坐标原点，点A (4,0)，B (4,4)，C (2,6)，则AC 与OB 的交点P 的坐标为________．答案(3,3)解析方法一由O ，P ，B 三点共线，可设OP →＝λOB →＝(4λ，4λ)，则AP →＝OP →－OA →＝(4λ－4,4λ)．又AC →＝OC →－OA →＝(－2,6)，由AP →与AC →共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝34，所以OP →＝34OB →＝(3,3)，所以点P 的坐标为(3,3)．方法二设点P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，因为OB →＝(4,4)，且OP →与OB →共线，所以x 4＝y 4，即x ＝y .又AP →＝(x －4，y )，AC →＝(－2,6)，且AP →与AC →共线，所以(x －4)×6－y ×(－2)＝0，解得x ＝y ＝3，所以点P 的坐标为(3,3)．命题点2利用向量共线求参数例4(2018·洛阳模拟)已知平面向量a ＝(2，－1)，b ＝(1,1)，c ＝(－5,1)，若(a ＋k b )∥c ，则实数k 的值为()A ．－114 B.12C ．2D.114答案B解析因为a ＝(2，－1)，b ＝(1,1)，所以a ＋k b ＝(2＋k ，－1＋k )，又c ＝(－5,1)，由(a ＋k b )∥c得(2＋k )×1＝－5×(k －1)，解得k ＝12，故选B.思维升华平面向量共线的坐标表示问题的解题策略(1)如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2＝x 2y 1”．(2)在求与一个已知向量a 共线的向量时，可设所求向量为λa (λ∈R )．跟踪训练3(1)(2018·济南模拟)已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，若a ＋b 与3a －b 平行，则实数x 的值是__________________．答案2解析∵a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，∴a ＋b ＝(3，x ＋1)，3a －b ＝(1,3－x )，∵a ＋b 与3a －b 平行，∴3(3－x )－(x ＋1)＝0，解得x ＝2.(2)已知向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(－k,10)，且A ，B ，C 三点共线，则实数k 的值是________．答案－23解析AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)，AC →＝OC →－OA →＝(－2k ，－2)．∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →，AC →共线，∴－2×(4－k )＝－7×(－2k )，解得k ＝－23.1．已知M (3，－2)，N (－5，－1)，且MP →＝12MN →，则P 点的坐标为()A ．(－8,1)1D ．(8，－1)答案B解析设P (x ，y )，则MP →＝(x －3，y ＋2)．而12MN →＝12(－8,1)4－3＝－4，＋2＝12，＝－1，＝－32，∴1故选B.2．(2019·山西榆社中学诊断)若向量AB →＝DC →＝(2,0)，AD →＝(1,1)，则AC →＋BC →等于()A ．(3,1)B ．(4,2)C ．(5,3)D ．(4,3)答案B解析AC →＝AD →＋DC →＝(3,1)，又BD →＝AD →－AB →＝(－1,1)，则BC →＝BD →＋DC →＝(1,1)，所以AC →＋BC →＝(4,2)．故选B.3．(2018·海南联考)设向量a ＝(x ，－4)，b ＝(1，－x )，若向量a 与b 同向，则x 等于()A ．－2B ．2C ．±2D ．0答案B解析由向量a 与b 共线得－x 2＝－4，所以x ＝±2.又向量a 与b 同向，所以x ＝2.故选B.4．已知平面直角坐标系内的两个向量a ＝(1,2)，b ＝(m ，3m －2)，且平面内的任一向量c 都可以唯一的表示成c ＝λa ＋μb (λ，μ为实数)，则实数m 的取值范围是()A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，＋∞)D ．(－∞，2)∪(2，＋∞)答案D解析由题意知向量a ，b 不共线，故2m ≠3m －2，即m ≠2.5．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1,0)，B (0,1)，C 为坐标平面内第一象限内一点，∠AOC ＝π4，且|OC |＝2，若OC →＝λOA →＋μOB →，则λ＋μ等于()A ．22 B.2C ．2D ．42答案A解析因为|OC |＝2，∠AOC ＝π4，所以C (2，2)，又OC →＝λOA →＋μOB →，所以(2，2)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝2，λ＋μ＝2 2.6．(2019·蚌埠期中)已知向量m A n ＝(3，sin A ＋3cos A )共线，其中A 是△ABC 的内角，则角A 的大小为()A.π6B.π4C.π3D.π2答案C 解析∵m ∥n ，∴sin A (sin A ＋3cos A )－32＝0，∴2sin 2A ＋23sin A cos A ＝3，∴1－cos 2A ＋3sin 2A ＝3，∴A 1，∵A ∈(0，π)，∴2A －π6∈－π6，因此2A －π6＝π2，解得A ＝π3，故选C.7．若三点A (1，－5)，B (a ，－2)，C (－2，－1)共线，则实数a 的值为________．答案－54解析AB →＝(a －1,3)，AC →＝(－3,4)，根据题意知AB →∥AC →，∴4(a －1)＝3×(－3)，即4a ＝－5，∴a ＝－54.8．设向量a ，b 满足|a |＝25，b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为________．答案(－4，－2)解析∵b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，∴设a ＝(2λ，λ)(λ<0)．∵|a |＝25，∴4λ2＋λ2＝20，λ2＝4，λ＝－2.∴a ＝(－4，－2)．9．(2018·全国Ⅲ)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)．若c ∥(2a ＋b )，则λ＝________.答案12解析由题意得2a ＋b ＝(4,2)，因为c ∥(2a ＋b )，所以4λ＝2，得λ＝12.10．已知向量OA →＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点能构成三角形，则实数k 应满足的条件是________．答案k ≠1解析若点A ，B ，C 能构成三角形，则向量AB →，AC →不共线．∵AB →＝OB →－OA →＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，AC →＝OC →－OA →＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1)，∴1×(k＋1)－2k≠0，解得k≠1.11．已知a＝(1,0)，b＝(2,1)，(1)当k为何值时，k a－b与a＋2b共线；(2)若AB→＝2a＋3b，BC→＝a＋m b且A，B，C三点共线，求m的值．解(1)k a－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．∵k a－b与a＋2b共线，∴2(k－2)－(－1)×5＝0，即2k－4＋5＝0，得k＝－1 2 .(2)方法一∵A，B，C三点共线，∴AB→＝λBC→，即2a＋3b＝λ(a＋m b)，＝λ，＝mλ，解得m＝32.方法二AB→＝2a＋3b＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)，BC→＝a＋m b＝(1,0)＋m(2,1)＝(2m＋1，m)，∵A，B，C三点共线，∴AB→∥BC→，∴8m－3(2m＋1)＝0，即2m－3＝0，∴m＝32.12.如图，已知平面内有三个向量OA→，OB→，OC→，其中OA→与OB→的夹角为120°，OA→与OC→的夹角为30°，且|OA→|＝|OB→|＝1，|OC→|＝23.若OC→＝λOA→＋μOB→(λ，μ∈R)，求λ＋μ的值．解方法一如图，作平行四边形OB1CA1，则OC→＝OB1→＋OA1→，因为OA→与OB→的夹角为120°，OA→与OC→的夹角为30°，所以∠B1OC＝90°.在Rt△OB1C中，∠OCB1＝30°，|OC→|＝23，所以|OB1→|＝2，|B1C→|＝4，所以|OA1→|＝|B1C→|＝4，所以OC →＝4OA →＋2OB →，所以λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6.方法二以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (1,0)，－12，C (3，3)．由OC →＝λOA →＋μOB →，λ－12μ，＝32μ，＝4，＝2.所以λ＋μ＝6.13.如图，四边形ABCD 是正方形，延长CD 至E ，使得DE ＝CD ，若点P 为CD 的中点，且AP →＝λAB →＋μAE →，则λ＋μ等于()A ．3B.52C ．2D ．1答案B 解析由题意，设正方形的边长为1，建立平面直角坐标系如图，则B (1,0)，E (－1,1)，∴AB →＝(1,0)，AE →＝(－1,1)，∵AP →＝λAB →＋μAE →＝(λ－μ，μ)，又∵P 为CD 的中点，∴AP →－μ＝12，＝1，∴λ＝32，μ＝1，∴λ＋μ＝52.14．(2017·全国Ⅲ)在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP →＝λAB →＋μAD →，则λ＋μ的最大值为()A ．3B ．22 C.5D．2答案A 解析建立如图所示的平面直角坐标系，则C 点坐标为(2,1)．设BD 与圆C 切于点E ，连接CE ，则CE ⊥BD .∵CD ＝1，BC ＝2，∴BD ＝12＋22＝5，EC ＝BC ·CD BD ＝25＝255，即圆C 的半径为255，∴P 点的轨迹方程为(x －2)2＋(y －1)2＝45.设P (x 0，y 0)0＝2＋255cos θ，0＝1＋255sin θ(θ为参数)，而AP →＝(x 0，y 0)，AB →＝(0,1)，AD →＝(2,0)．∵AP →＝λAB →＋μAD →＝λ(0,1)＋μ(2,0)＝(2μ，λ)，∴μ＝12x 0＝1＋55cos θ，λ＝y 0＝1＋255sin θ.两式相加，得λ＋μ＝1＋255sin θ＋1＋55cos θ＝2＋sin(θ＋φ)≤sin φ＝55，cos φ当且仅当θ＝π2＋2k π－φ，k ∈Z 时，λ＋μ取得最大值3.故选A.15.在直角梯形ABCD 中，AB ⊥AD ，DC ∥AB ，AD ＝DC ＝2，AB ＝4，E ，F 分别为AB ，BC的中点，以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DE 的中点为P (如图所示)，若AP →＝λED →＋μAF →，则2λ－μ的值是________．答案0解析建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (4,0)，C (2,2)，D (0,2)，E (2,0)，F (3,1)，所以ED →＝(－2,2)，AF →＝(3,1)，则AP →＝λED →＋μAF →＝(－2λ＋3μ，2λ＋μ)，又因为以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DE 的中点为P ，所以点P 的坐标为(2，2)，AP →＝(2，2)，所以－2λ＋3μ＝2，2λ＋μ＝2，所以λ＝24，μ＝22，所以2λ－μ＝0.16.如图，在同一个平面内，三个单位向量OA →，OB →，OC →满足条件：OA →与OC →的夹角为α，且tan α＝7，OB →与OC →的夹角为45°.若OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，求m ＋n 的值．解建立如图所示的平面直角坐标系，由tan α＝7知α为锐角，且sin α＝7210，cos α＝210，故cos(α＋45°)＝－35，sin(α＋45°)＝45.∴点B ，C －35，∴OB →－35，OC →又OC →＝mOA →＋nOB →，m (1,0)＋－35，－35n ＝210，＝7210，＝528，＝728，∴m ＋n ＝528＋728＝322.。

平面向量的数量积考试要求 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与投影向量的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题．知识梳理 1．向量的夹角已知两个非零向量a ，b ，O 是平面上的任意一点，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a 与b 的夹角． 2．平面向量的数量积已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，我们把数量|a ||b |cos θ叫做向量a 与b 的数量积，记作a ·b .3．平面向量数量积的几何意义设a ，b 是两个非零向量，它们的夹角是θ，e 与b 是方向相同的单位向量，AB →＝a ，CD →＝b ，过AB →的起点A 和终点B ，分别作CD →所在直线的垂线，垂足分别为A 1，B 1，得到A 1B 1—→，我们称上述变换为向量a 向向量b 投影，A 1B 1—→叫做向量a 在向量b 上的投影向量．记为|a |cos θe . 4．向量数量积的运算律 (1)a ·b ＝b ·a .(2)(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )． (3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c . 5．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ.几何表示 坐标表示数量积 a·b ＝|a ||b |cos θa·b ＝x 1x 2＋y 1y 2模|a |＝a ·a|a |＝x 21＋y 21夹角cos θ＝a ·b|a ||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22a ⊥b 的充要条件 a ·b ＝0 x 1x 2＋y 1y 2＝0 a∥b 的充要条件a ＝λb (λ∈R )x 1y 2－x 2y 1＝0|a ·b |与|a ||b |的关系|a ·b |≤|a ||b | (当且仅当a ∥b 时等号成立)|x 1x 2＋y 1y 2|≤x 21＋y 21x 22＋y 22常用结论1．平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2； (2)(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2. 2．有关向量夹角的两个结论 已知向量a ，b .(1)若a 与b 的夹角为锐角，则a·b >0；若a·b >0，则a 与b 的夹角为锐角或0. (2)若a 与b 的夹角为钝角，则a·b <0；若a·b <0，则a 与b 的夹角为钝角或π. 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个向量的夹角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.( × )(2)若a ·b >0，则a 和b 的夹角为锐角．( × )(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的结果是向量．( √ ) (4)(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )．( × ) 教材改编题1．(多选)(2022·海南省临高二中模拟)设a ，b ，c 是任意的非零向量，则下列结论正确的是( ) A ．0·a ＝0B ．a ·b ＝b ·c ，则a ＝cC ．a ·b ＝0⇒a ⊥bD ．(a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2答案 CD2．已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________. 答案 2 33．已知向量a ，b 满足3|a |＝2|b |＝6，且(a －2b )⊥(2a ＋b )，则a ，b 夹角的余弦值为________．9解析 设a ，b 的夹角为θ， 依题意，(a －2b )·(2a ＋b )＝0， 则2a 2－3a ·b －2b 2＝0，故2×4－3×2×3·cos θ－2×32＝0， 则cos θ＝－59.题型一 平面向量数量积的基本运算例1 (1)(2021·北京)a ＝(2,1)，b ＝(2，－1)，c ＝(0,1)，则(a ＋b )·c ＝_________；a ·b ＝________. 答案 0 3解析 ∵a ＝(2,1)，b ＝(2，－1)，c ＝(0,1)， ∴a ＋b ＝(4,0)，∴(a ＋b )·c ＝4×0＋0×1＝0，a ·b ＝2×2＋1×(－1)＝3.(2)(2022·广州模拟)在平面四边形ABCD 中，已知AB →＝DC →，P 为CD 上一点，CP →＝3PD →，|AB →| ＝4，|AD →|＝3，AB →与AD →的夹角为θ，且cos θ＝23，则AP →·PB →＝________.答案 －2 解析 如图所示，∵AB →＝DC →，∴四边形ABCD 为平行四边形， ∵CP →＝3PD →，∴AP →＝AD →＋DP →＝14AB →＋AD →，PB →＝AB →－AP →＝34AB →－AD →，又∵|AB →|＝4，|AD →|＝3，3则AB →·AD →＝4×3×23＝8，∴AP →·PB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋14AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫34AB →－AD →＝12AB →·AD →－AD →2＋316AB →2＝12×8－9＋316×42＝－2. 教师备选1．(2019·全国Ⅱ)已知AB →＝(2,3)，AC →＝(3，t )，|BC →|＝1，则AB →·BC →等于( ) A ．－3B ．－2C ．2D ．3 答案 C解析 因为BC →＝AC →－AB →＝(1，t －3)， 所以|BC →|＝12＋t －32＝1，解得t ＝3， 所以BC →＝(1,0)，所以AB →·BC →＝2×1＋3×0＝2.2．在边长为2的正三角形ABC 中，M 是BC 的中点，D 是线段AM 的中点．①若BD →＝xBA →＋yBC →，则x ＋y ＝________；②BD →·BM →＝________. 答案 341解析 ①∵M 是BC 的中点， ∴BM →＝12BC →，∵D 是AM 的中点，∴BD →＝12BA →＋12BM →＝12BA →＋14BC →，∴x ＝12，y ＝14，∴x ＋y ＝34.②∵△ABC 是边长为2的正三角形，M 是BC 的中点， ∴AM ⊥BC ，且BM ＝1，∴BD →·BM →＝|BD →||BM →|cos∠DBM ＝|BM →|2＝1.思维升华 计算平面向量数量积的主要方法 (1)利用定义：a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．(2)利用坐标运算，若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2. (3)灵活运用平面向量数量积的几何意义．跟踪训练1 (1)(2021·新高考全国Ⅱ)已知向量a ＋b ＋c ＝0，|a |＝1，|b |＝|c |＝2，a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝________. 答案 －92解析 由已知可得(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a ) ＝9＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a )＝0， 因此a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝－92.(2)(2020·北京)已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足AP →＝12(AB →＋AC →)，则|PD →|＝________；PB →·PD →＝________. 答案5 －1解析 建立如图所示的平面直角坐标系，∵AP →＝12(AB →＋AC →)，∴P 为BC 的中点．∴点P 的坐标为(2,1)，点D 的坐标为(0,2)，点B 的坐标为(2,0)， ∴|PD →|＝5，PB →＝(0，－1)，PD →＝(－2,1)， ∴PB →·PD →＝－1.题型二 平面向量数量积的应用 命题点1 向量的模例2 已知向量a ，b 满足|a |＝6，|b |＝4，且a 与b 的夹角为60°，则|a ＋b |＝____________，|a －3b |＝________. 答案 219 6 3解析 因为|a |＝6，|b |＝4，a 与b 的夹角为60°，所以a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝6×4×12＝12，(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝36＋24＋16＝76， (a －3b )2＝a 2－6a·b ＋9b 2＝36－72＋144 ＝108，所以|a ＋b |＝219，|a －3b |＝6 3. 命题点2 向量的夹角例3 (2020·全国Ⅲ)已知向量a ，b 满足|a |＝5，|b |＝6，a ·b ＝－6，则cos 〈a ，a ＋b 〉等于( )A ．－3135B ．－1935C.1735D.1935答案 D解析 ∵|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝25－12＋36＝49， ∴|a ＋b |＝7，∴cos〈a ，a ＋b 〉＝a ·a ＋b |a ||a ＋b |＝a 2＋a ·b |a ||a ＋b |＝25－65×7＝1935. 命题点3 向量的垂直例4 (2021·全国乙卷)已知向量a ＝(1,3)，b ＝(3,4)，若(a －λb )⊥b ，则λ＝________. 答案 35解析 方法一 a －λb ＝(1－3λ，3－4λ)， ∵(a －λb )⊥b ，∴(a －λb )·b ＝0， 即(1－3λ，3－4λ)·(3,4)＝0， ∴3－9λ＋12－16λ＝0，解得λ＝35.方法二 由(a －λb )⊥b 可知，(a －λb )·b ＝0，即a ·b －λb 2＝0， 从而λ＝a ·b b 2＝1，3·3，432＋42＝1525＝35. 教师备选1．已知非零向量a ，b 满足|a |＝2|b |，且(a －b )⊥b ，则a 与b 的夹角为( ) A.π6B.π3C.2π3D.5π6 答案 B解析 设a 与b 的夹角为α， ∵(a －b )⊥b ， ∴(a －b )·b ＝0， ∴a ·b ＝b 2，∴|a |·|b |cos α＝|b |2，又|a |＝2|b |， ∴cos α＝12，∵α∈[0，π]，∴α＝π3.2．已知e 1，e 2是两个单位向量，且|e 1＋e 2|＝3，则|e 1－e 2|＝________. 答案 1解析 由|e 1＋e 2|＝3，两边平方， 得e 21＋2e 1·e 2＋e 22＝3.又e 1，e 2是单位向量， 所以2e 1·e 2＝1，所以|e 1－e 2|2＝e 21－2e 1·e 2＋e 22＝1， 所以|e 1－e 2|＝1.思维升华 (1)求平面向量的模的方法①公式法：利用|a |＝a ·a 及(a ±b )2＝|a |2±2a ·b ＋|b |2，把向量的模的运算转化为数量积运算；②几何法：利用向量的几何意义，即利用向量线性运算的平行四边形法则或三角形法则作出所求向量，再利用余弦定理等方法求解． (2)求平面向量的夹角的方法①定义法：cos θ＝a·b|a ||b |，求解时应求出a ·b ，|a |，|b |的值或找出这三个量之间的关系；②坐标法．(3)两个向量垂直的充要条件a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔|a －b |＝|a ＋b |(其中a ≠0，b ≠0)．跟踪训练2 (1)已知单位向量a ，b 满足a ·b ＝0，若向量c ＝7a ＋2b ，则sin 〈a ，c 〉等于( ) A.73B.23C.79D.29答案 B解析 方法一 设a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，则c ＝(7，2)，∴cos〈a ，c 〉＝a ·c |a ||c |＝73，∴sin〈a ，c 〉＝23. 方法二 a ·c ＝a ·(7a ＋2b ) ＝7a 2＋2a ·b ＝7， |c |＝7a ＋2b2＝7a 2＋2b 2＋214a ·b ＝7＋2＝3，∴cos〈a ，c 〉＝a ·c |a ||c |＝71×3＝73，∴sin〈a ，c 〉＝23. (2)(多选)(2021·新高考全国Ⅰ)已知O 为坐标原点，点P 1(cos α，sin α)，P 2(cos β，－sin β)，P 3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，A (1,0)，则( ) A ．|OP 1—→|＝|OP 2—→| B ．|AP 1—→|＝|AP 2—→| C.OA →·OP 3—→＝OP 1—→·OP 2—→ D.OA →·OP 1—→＝OP 2—→·OP 3—→ 答案 AC解析 由题意可知，|OP 1—→|＝cos 2α＋sin 2α＝1， |OP 2—→|＝cos 2β＋－sin β2＝1，所以|OP 1—→|＝|OP 2—→|，故A 正确； 取α＝π4，则P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，取β＝5π4，则P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22， 则|AP 1—→|≠|AP 2—→|，故B 错误； 因为OA →·OP 3—→＝cos(α＋β)，OP 1—→·OP 2—→＝cos αcos β－sin αsin β＝cos(α＋β)，所以OA →·OP 3—→＝OP 1—→·OP 2—→，故C 正确； 因为OA →·OP 1—→＝cos α，OP 2—→·OP 3—→＝cos βcos(α＋β)－sin βsin(α＋β) ＝cos(α＋2β)， 取α＝π4，β＝π4，则OA —→·OP 1—→＝22，OP 2—→·OP 3—→＝cos 3π4＝－22，所以OA →·OP 1—→≠OP 2—→·OP 3—→，故D 错误． 题型三 平面向量的实际应用例5 (多选)(2022·东莞模拟)在日常生活中，我们会看到两个人共提一个行李包的情况(如图所示)．假设行李包所受的重力为G ，所受的两个拉力分别为F 1，F 2，若|F 1|＝|F 2|，且F 1与F 2的夹角为θ，则以下结论正确的是( )A ．|F 1|的最小值为12|G |B ．θ的范围为[0，π]C ．当θ＝π2时，|F 1|＝22|G |D ．当θ＝2π3时，|F 1|＝|G |答案 ACD解析 由题意知，F 1＋F 2＋G ＝0， 可得F 1＋F 2＝－G ，两边同时平方得 |G |2＝|F 1|2＋|F 2|2＋2|F 1||F 2|cos θ ＝2|F 1|2＋2|F 1|2cos θ， 所以|F 1|2＝|G |221＋cos θ.当θ＝0时，|F 1|min ＝12|G |；当θ＝π2时，|F 1|＝22|G |；当θ＝2π3时，|F 1|＝|G |，故A ，C ，D 正确；当θ＝π时，竖直方向上没有分力与重力平衡，不成立，所以θ∈[0，π)，故B 错误． 教师备选若平面上的三个力F 1，F 2，F 3作用于一点，且处于平衡状态，已知|F 1|＝1 N ，|F 2|＝6＋22N ，F 1与F 2的夹角为45°，求：(1)F 3的大小；(2)F 3与F 1夹角的大小． 解 (1)∵三个力平衡， ∴F 1＋F 2＋F 3＝0，∴|F 3|＝|F 1＋F 2|＝|F 1|2＋2F 1·F 2＋|F 2|2＝12＋2×1×6＋22cos45°＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋222＝4＋23＝1＋ 3.(2)方法一 设F 3与F 1的夹角为θ， 则|F 2|＝|F 1|2＋|F 3|2＋2|F 1||F 3|cos θ， 即6＋22＝12＋1＋32＋2×1×1＋3cos θ，解得cos θ＝－32， ∵θ∈[0，π]， ∴θ＝5π6.方法二 设F 3与F 1的夹角为θ， 由余弦定理得cos(π－θ)＝12＋1＋32－⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋2222×1×1＋3＝32，∵θ∈[0，π]，∴θ＝5π6.思维升华 用向量方法解决实际问题的步骤跟踪训练3 (2022·沈阳二中模拟)渭河某处南北两岸平行，如图所示，某艘游船从南岸码头A 出发航行到北岸，假设游船在静水中航行速度的大小为|ν1|＝10km/h ，水流速度的大小为|ν2|＝6km/h.设ν1与ν2的夹角为120°，北岸的点A ′在码头A 的正北方向，那么该游船航行到北岸的位置应( )A ．在A ′东侧B ．在A ′西侧C ．恰好与A ′重合D ．无法确定答案 A解析 建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可得ν1＝(－5，53)，ν2＝(6,0)， 所以ν1＋ν2＝(1,53)，说明游船有x 轴正方向的速度，即向东的速度，所以该游船航行到北岸的位置应在A ′东侧．极化恒等式：设a ，b 为两个平面向量，则有恒等式a ·b ＝14[]a ＋b2－a －b2.如图所示．(1)在平行四边形ABDC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，则a·b ＝14(|AD →|2－|BC →|2)．(2)在△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，AM 为中线，则a·b ＝|AM →|2－14|BC →|2.例1 在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB →·AC →＝________. 答案 －16解析 如图所示，由极化恒等式，易得AB →·AC →＝AM →2－MB →2＝32－52＝－16.例2 已知AB 为圆x 2＋y 2＝1的一条直径，点P 为直线x －y ＋2＝0上任意一点，则PA →·PB →的最小值是________． 答案 1解析 如图所示，由极化恒等式易知，当OP 垂直于直线x －y ＋2＝0时，PA →·PB →有最小值，即PA →·PB →＝PO →2－OB →2＝(2)2－12＝1.例3 已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是( ) A ．1B ．2C.2D.22答案 C解析 如图所示，设OA →⊥OB →，记OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，M 为AB 的中点，由极化恒等式有(a －c )·(b －c )＝CA →·CB →＝|CM →|2－|AB →|24＝0，∴|CM →|2＝|AB →|24＝12，可知MC →是有固定起点，固定模长的动向量．点C 的轨迹是以AB 为直径的圆，且点O 也在此圆上， 所以|c |的最大值为圆的直径长，即为 2.课时精练1．(2020·全国Ⅱ)已知单位向量a ，b 的夹角为60°，则在下列向量中，与b 垂直的是( ) A ．a ＋2b B ．2a ＋b C ．a －2b D ．2a －b 答案 D解析 由题意得|a |＝|b |＝1， 设a ，b 的夹角为θ＝60°， 故a ·b ＝|a ||b |cos θ＝12.对A 项，(a ＋2b )·b ＝a ·b ＋2b 2＝12＋2＝52≠0； 对B 项，(2a ＋b )·b ＝2a ·b ＋b 2 ＝2×12＋1＝2≠0；对C 项，(a －2b )·b ＝a ·b －2b 2 ＝12－2＝－32≠0； 对D 项，(2a －b )·b ＝2a ·b －b 2＝2×12－1＝0.2．(2022·石家庄模拟)已知向量a ＝(2，－2)，b ＝(2,1)，b ∥c ，a ·c ＝4，则|c |等于( ) A ．2 5 B ．4 C ．5 2 D ．4 2答案 A解析 因为b ∥c ，所以c ＝λb ＝(2λ，λ)(λ∈R )， 又a ·c ＝4λ－2λ＝2λ＝4，所以λ＝2，c ＝(4,2)，|c |＝42＋22＝2 5.3．(2022·沈阳模拟)若两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，则a －b 与b 的夹角为( ) A.π6B.π3C.2π3D.5π6 答案 D解析 |a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，等号左右同时平方，得|a ＋b |2＝|a －b |2＝4|a |2，即|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝|a |2＋|b |2－2a ·b ＝4|a |2， 所以a ·b ＝0且|b |2＝3|a |2， 所以|a －b |＝|a －b |2＝|a |2＋|b |2－2a ·b ＝233|b |，所以cos 〈a －b ，b 〉＝a －b ·b|a －b ||b |＝－|b |2233|b |·|b |＝－32， 因为〈a －b ，b 〉∈[0，π]，所以〈a －b ，b 〉＝5π6.4．已知a ＝(－2,1)，b ＝(k ，－3)，c ＝(1,2)，若(a －2b )⊥c ，则与b 共线的单位向量为( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫255，－55或⎝ ⎛⎭⎪⎫－255，55B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－255，－55或⎝ ⎛⎭⎪⎫255，55C.⎝⎛⎭⎪⎫255，55 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－255，55答案 A解析 由题意得a －2b ＝(－2－2k ,7)， ∵(a －2b )⊥c ， ∴(a －2b )·c ＝0，即(－2－2k ,7)·(1,2)＝0，－2－2k ＋14＝0， 解得k ＝6， ∴b ＝(6，－3)， ∴e ＝±b62＋－32＝±⎝ ⎛⎭⎪⎫255，－55.5．(多选)(2022·盐城模拟)下列关于向量a ，b ，c 的运算，一定成立的有( ) A ．(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c B ．(a ·b )·c ＝a ·(b ·c ) C ．a ·b ≤|a |·|b | D ．|a －b |≤|a |＋|b | 答案 ACD解析 根据数量积的分配律可知A 正确；选项B 中，左边为c 的共线向量，右边为a 的共线向量，故B 不正确； 根据数量积的定义，可知a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉≤|a |·|b |，故C 正确；|a －b |2＝|a |2＋|b |2－2a ·b ＝|a |2＋|b |2－2|a ||b |·cos〈a ，b 〉≤|a |2＋|b |2＋2|a ||b |＝(|a |＋|b |)2，故|a －b |≤|a |＋|b |，故D 正确．6．(多选)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(m －2，－n )，其中m ，n 均为正数，且(a －b )∥c ，则下列说法正确的是( ) A ．a 与b 的夹角为钝角 B ．向量a 在b 上的投影向量为22b C ．2m ＋n ＝4 D ．mn 的最大值为2 答案 CD解析 对于A ，向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－1)， 则a·b ＝2－1＝1>0， 又a ，b 不共线，所以a ，b 的夹角为锐角，故A 错误； 对于B ，向量a 在b 上的投影向量为a·b |b |·b |b |＝12b ，B 错误；对于C ，a －b ＝(1,2)，若(a －b )∥c ，则－n ＝2(m －2)，变形可得2m ＋n ＝4，C 正确； 对于D ，由2m ＋n ＝4，且m ，n 均为正数，得mn ＝12(2m ·n )≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋n 22＝2，当且仅当m ＝1，n ＝2时，等号成立，即mn 的最大值为2，D 正确．7．(2021·全国甲卷)已知向量a ＝(3,1)，b ＝(1,0)，c ＝a ＋k b .若a ⊥c ，则k ＝________. 答案 －103解析 c ＝(3,1)＋(k ,0)＝(3＋k ,1)，a ·c ＝3(3＋k )＋1×1＝10＋3k ＝0，得k ＝－103.8．(2020·全国Ⅰ)设a ，b 为单位向量，且|a ＋b |＝1，则|a －b |＝________. 答案3解析 将|a ＋b |＝1两边平方，得a 2＋2a ·b ＋b 2＝1. ∵a 2＝b 2＝1，∴1＋2a ·b ＋1＝1，即2a ·b ＝－1. ∴|a －b |＝a －b2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1－－1＋1＝ 3.9．(2022·长沙模拟)在△ABC 中，BC 的中点为D ，设向量AB →＝a ，AC →＝b . (1)用a ，b 表示向量AD →；(2)若向量a ，b 满足|a |＝3，|b |＝2，〈a ，b 〉＝60°，求AB →·AD →的值． 解 (1)AD →＝12(AB →＋AC →)＝12a ＋12b ， 所以AD →＝12a ＋12b .(2)AB →·AD →＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋12b＝12a 2＋12a·b ＝12×32＋12×3×2×cos60°＝6， 所以AB →·AD →＝6.10．(2022·湛江模拟)已知向量m ＝(3sin x ，cos x －1)，n ＝(cos x ，cos x ＋1)，若f (x )＝m·n .(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)在Rt△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若∠A ＝90°，f (C )＝0，c ＝3，CD 为∠BCA 的角平分线，E 为CD 的中点，求BE 的长． 解 (1)f (x )＝m·n ＝3sin x ·cos x ＋cos 2x －1 ＝32sin2x ＋12cos2x －12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－12.令2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )，则x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )． 所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )．(2)f (C )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C ＋π6－12＝0，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C ＋π6＝12，又C ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以C ＝π3.在△ACD 中，CD ＝233，在△BCE 中，BE ＝22＋⎝⎛⎭⎪⎫332－2×2×33×32＝213.11．(2022·黄冈质检)圆内接四边形ABCD 中，AD ＝2，CD ＝4，BD 是圆的直径，则AC →·BD →等于( ) A ．12 B ．－12 C ．20 D ．－20答案 B解析 如图所示，由题知∠BAD ＝∠BCD ＝90°，AD ＝2，CD ＝4，∴AC →·BD →＝(AD →＋DC →)·BD → ＝AD →·BD →＋DC →·BD →＝|AD →||BD →|cos∠BDA －|DC →||BD →|cos∠BDC ＝|AD →|2－|DC →|2＝4－16＝－12.12．在△ABC 中，已知⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC 为( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形D ．三边均不相等的三角形 答案 A解析 AB→|AB →|，AC→|AC →|分别为与AB →，AC →方向相同的单位向量，由平行四边形法则可知向量AB →|AB →|＋AC→|AC →|所在的直线为∠BAC 的平分线．因为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0， 所以∠BAC 的平分线垂直于BC ， 所以AB ＝AC .又AB→|AB →|·AC→|AC →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AB →|AB →|⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AC →|AC →|·cos∠BAC ＝12， 所以cos∠BAC ＝12，∠BAC ＝60°.所以△ABC 为等边三角形．13.(2022·潍坊模拟)如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是F 1，F 2，且F 1，F 2与水平夹角均为45°，|F 1|＝|F 2|＝102N ，则物体的重力大小为________N.答案 20解析 如图所示，∵|F 1|＝|F 2|＝102N ， ∴|F 1＋F 2|＝102×2＝20N ， ∴物体的重力大小为20N.14．(2021·天津)在边长为1的等边三角形ABC 中，D 为线段BC 上的动点，DE ⊥AB 且交AB 于点E ，DF ∥AB 且交AC 于点F ，则|2BE →＋DF →|的值为________；(DE →＋DF →)·DA →的最小值为________． 答案 11120解析 设BE ＝x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12， ∵△ABC 为边长为1的等边三角形，DE ⊥AB ， ∴∠BDE ＝30°，BD ＝2x ，DE ＝3x ，DC ＝1－2x ，∵DF ∥AB ，∴△DFC 为边长为1－2x 的等边三角形，DE ⊥DF ，∴(2BE →＋DF →)2＝4BE →2＋4BE →·DF →＋DF →2＝4x 2＋4x (1－2x )×cos0°＋(1－2x )2＝1， ∴|2BE →＋DF →|＝1，∵(DE →＋DF →)·DA →＝(DE →＋DF →)·(DE →＋EA →)＝DE →2＋DF →·EA →＝(3x )2＋(1－2x )×(1－x )＝5x 2－3x ＋1＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3102＋1120， ∴当x ＝310时，(DE →＋DF →)·DA →的最小值为1120.15．(多选)定义一种向量运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ·b ，当a ，b 不共线时，|a －b |，当a ，b 共线时(a ，b 是任意的两个向量)．对于同一平面内的向量a ，b ，c ，e ，给出下列结论，正确的是( ) A ．a ⊗b ＝b ⊗aB ．λ(a ⊗b )＝(λa )⊗b (λ∈R )C ．(a ＋b )⊗c ＝a ⊗c ＋b ⊗cD ．若e 是单位向量，则|a ⊗e |≤|a |＋1 答案 AD解析 当a ，b 共线时，a ⊗b ＝|a －b |＝|b －a |＝b ⊗a ，当a ，b 不共线时，a ⊗b ＝a ·b ＝b ·a ＝b ⊗a ，故A 正确；当λ＝0，b ≠0时，λ(a ⊗b )＝0，(λa )⊗b ＝|0－b |≠0，故B 错误；当a ＋b 与c 共线时，则存在a ，b 与c 不共线，(a ＋b )⊗c ＝|a ＋b －c |，a ⊗c ＋b ⊗c ＝a ·c ＋b ·c ，显然|a ＋b －c |≠a ·c ＋b ·c ，故C 错误；当e 与a 不共线时，|a ⊗e |＝|a ·e |<|a |·|e |<|a |＋1，当e 与a 共线时，设a ＝u e ，u ∈R ，|a ⊗e |＝|a －e |＝|u e －e |＝|u －1|≤|u |＋1，故D 正确．16．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(sin A ，sin B )，n ＝ (cos B ，cos A )，m ·n ＝sin2C . (1)求角C 的大小；(2)若sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，且CA →·(AB →－AC →)＝18，求c . 解 (1)m ·n ＝sin A cos B ＋sin B cos A ＝sin(A ＋B )，在△ABC 中，A ＋B ＝π－C ,0<C <π， 所以sin(A ＋B )＝sin C ， 所以m·n ＝sin C ， 又m·n ＝sin2C ，所以sin2C ＝sin C ，cos C ＝12，又因为C ∈(0，π)，故C ＝π3. (2)由sin A ，sin C ，sin B 成等差数列， 可得2sin C ＝sin A ＋sin B ， 由正弦定理得2c ＝a ＋b .21 因为CA →·(AB →－AC →)＝18， 所以CA →·CB →＝18，即ab cos C ＝18，ab ＝36. 由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ， 所以c 2＝4c 2－3×36，c 2＝36， 所以c ＝6.。

核按钮（新课标）高考数学一轮复习第五章平面向量与复数5.1平面向量的概念及线性运算习题理1．向量的有关概念(1)向量：既有____________又有____________的量叫做向量，向量的大小，也就是向量的_________(或称模).AB →的模记作____________．(2)零向量：____________的向量叫做零向量，其方向是________的． (3)单位向量：长度等于______________的向量叫做单位向量.a||a 是一个与a 同向的____________．－a|a |是一个与a ________的单位向量．(4)平行向量：方向________或________的________向量叫做平行向量．平行向量又叫________，任一组平行向量都可以移到同一直线上．规定：0与任一向量____________．(5)相等向量：长度____________且方向____________的向量叫做相等向量． (6)相反向量：长度__________且方向__________的向量叫做相反向量． (7)向量的表示方法：用________表示；用____________表示；用________表示． 2．向量的加法和减法 (1)向量的加法①三角形法则：以第一个向量a 的终点A 为起点作第二个向量b ，则以第一个向量a 的起点O 为________以第二个向量b 的终点B 为________的向量OB →就是a 与b 的________(如图1)．推广：A 1A 2→＋A 2A 3→＋…＋A n-1A n →＝____________.图1图2②平行四边形法则：以同一点A 为起点的两个已知向量a ，b 为邻边作▱ABCD ，则以A为起点的__________就是a 与b 的和(如图2)．在图2中，BC →＝AD →＝b ，因此平行四边形法则是三角形法则的另一种形式．③加法的运算性质：a ＋b ＝____________(交换律)；(a ＋b )＋c ＝____________(结合律)；a ＋0＝____________＝a .(2)向量的减法已知向量a ，b ，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝____________，即a －b 表示从向量b 的终点指向向量a (被减向量)的终点的向量(如图)．3．向量的数乘及其几何意义(1)定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作____________，它的长度与方向规定如下：①||λa ＝____________；②当λ>0时，λa 与a 的方向____________； 当λ<0时，λa 与a 的方向____________； 当λ＝0时，λa ＝____________. (2)运算律：设λ，μ∈R ，则： ①λ(μa )＝____________； ②(λ＋μ)a ＝____________； ③λ(a ＋b )＝____________. 4．两个向量共线定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得____________．自查自纠1．(1)大小 方向 长度 ||AB →(2)长度为0 任意(3)1个单位长度 单位向量 方向相反 (4)相同 相反 非零 共线向量 平行 (5)相等 相同 (6)相等 相反 (7)字母 有向线段 坐标2．(1)①起点 终点 和 A 1A n → ②对角线AC →③b ＋a a ＋(b ＋c ) 0＋a (2)a －b 3．(1)λa ①|λ||a | ②相同 相反 0 (2)①μ(λa ) ②λa ＋μa ③λa ＋λb 4．b ＝λa设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.上述命题中，假命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解：向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则当a 为零向量时，a 的方向任意；当a 不为零向量时，a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.故选D .设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( )A.AD →＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →解：AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋13BC →＝AC →＋13(AC →－AB →)＝－13AB →＋43AC →.故选A .(2015·东北三省联考)在四边形ABCD 中，若AC →＝AB →＋AD →，则四边形ABCD 一定是( )A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．平行四边形解：依题意得AC →＝AB →＋BC →＝AB →＋AD →，则BC →＝AD →，因此BC ∥AD 且BC ＝AD ，故四边形ABCD 一定是平行四边形．故选D .(2015·北京)在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________，y ＝________．解：在△ABC 中，MN →＝AN →－AM →＝12(AB →＋AC →)－23AC →＝12AB →－16AC →，所以x ＝12，y ＝－16.故填12；－16. (2015·全国)设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________．解：由于λa ＋b 与a ＋2b 平行，且a ＋2b ≠0，∴存在唯一的实数μ∈R ，使得λa ＋b＝μ(a ＋2b )，即(λ－μ)a ＋(1－2μ)b ＝0.∵a ，b 不平行，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ－μ＝0，1－2μ＝0， 解得λ＝μ＝12.故填12.类型一 向量的基本概念给出下列命题： ①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则“AB →＝DC →”是“四边形ABCD 为平行四边形”的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b . 其中正确命题的序号是________．解：①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．②正确．∵AB →＝DC →，∴|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →，又∵A ，B ，C ，D 是不共线的四点，∴四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则AB →∥DC →且|AB →|＝|DC →|，可得AB →＝DC →.故“AB →＝DC →”是“四边形ABCD 为平行四边形”的充要条件．③正确．∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同；又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同，∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c .④不正确．由a ＝b 可得|a |＝|b |且a ∥b ；由|a |＝|b |且a ∥b 可得a ＝b 或a ＝－b ，故“|a |＝|b |且a ∥b ”不是“a ＝b ”的充要条件，而是必要不充分条件．综上所述，正确命题的序号是②③.故填②③.【点拨】(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的移动混为一谈．(4)非零向量a 与a |a |的关系：a|a |是a 方向上的单位向量．下列命题中，正确的是________．(填序号)①有向线段就是向量，向量就是有向线段；②向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；③向量AB →与向量CD →共线，则A ，B ，C ，D 四点共线； ④如果a ∥b ，b ∥c ，那么a ∥c ；⑤两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．解：①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量； ②不正确，若a 与b 中有一个为零向量，零向量的方向是任意的，故两向量方向不一定相同或相反；③不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行； ④不正确，如果b 为零向量，则a 与c 不一定平行；⑤正确，向量既有大小，又有方向，不能比较大小；向量的模均为实数，可以比较大小．故填⑤.类型二 向量的线性运算(1)如图，正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 上靠近点B 的一个三等分点，那么EF →等于( )A.12AB →－13AD →B.14AB →＋12AD →C.13AB →＋12AD → D.12AB →－23AD →解：在△CEF 中，有EF →＝EC →＋CF →.因为点E 为DC 的中点，所以EC →＝12DC →，因为点F 为BC 的一个三等分点，所以CF →＝23CB →，所以EF →＝12DC →＋23CB →＝12AB →＋23DA →＝12AB →－23AD →.故选D .(2)在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →等于( ) A.23b ＋13c B.53c －23b C.23b －13c D.13b ＋23c 解：∵BD →＝2DC →，∴AD →－AB →＝2(AC →－AD →)， ∴3AD →＝2AC →＋AB →，∴AD →＝23AC →＋13AB →＝23b ＋13c .故选A .【点拨】(1)解题的关键在于搞清构成三角形的三个向量间的相互关系，能熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化．(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧是：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果．(1)(2015·福建模拟)在△ABC 中，AD →＝2DC →，BA →＝a ，BD →＝b ，BC →＝c ，则下列等式成立的是( )A ．c ＝2b －aB ．c ＝2a －bC ．c ＝3a 2－b2D ．c ＝3b 2－a2解：因为在△ABC 中，BC →＝BD →＋DC →＝BD →＋12AD →＝BD →＋12(BD →－BA →)＝32BD →－12BA →，所以c ＝32b－12a .故选D .(2)(2014·全国Ⅰ)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝( )A.AD →B.12AD →C.BC →D.12BC →解：EB →＋FC →＝12(AB →＋CB →)＋12(AC →＋BC →)＝12(AB →＋AC →)＝AD →.故选A . 类型三 向量共线的充要条件及其应用已知A ，B ，C 是平面内三个不相同的点，O 是平面内任意一点，求证：向量OA →，OB →，OC →的终点A ，B ，C 共线的充要条件是存在实数λ，μ，使得OC →＝λOA →＋μOB →，且λ＋μ＝1.证明：(1)先证必要性． 若OA →，OB →，OC →的终点A ，B ，C 共线，则AB →∥BC →，∴存在实数m 使得BC →＝mAB →，即OC →－OB →＝m (OB →－OA →)， ∴OC →＝－mOA →＋(1＋m )OB →.令λ＝－m ，μ＝1＋m ，则λ＋μ＝－m ＋1＋m ＝1，即存在实数λ，μ，使得OC →＝λOA →＋μOB →，且λ＋μ＝1. (2)再证充分性． 若OC →＝λOA →＋μOB →，且λ＋μ＝1， 则OC →＝λOA →＋(1－λ)OB →， ∴OC →－OB →＝λ(OA →－OB →)，即BC →＝λBA →， ∴BC →∥BA →，又BC 与BA 有公共点B ， ∴A ，B ，C 三点共线．综合(1)(2)可知，原命题成立．【点拨】证明三点A ，B ，C 共线，借助向量，只需证明由这三点A ，B ，C 所组成的向量中有两个向量共线，即证明存在一个实数λ，使AB →＝λBC →.但证明两条直线AB ∥CD ，除了证明存在一个实数λ，使AB →＝λCD →外，还要说明两直线不重合．注意：本例的结论可作定理使用．(1)已知向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )A ．A ，B ，D B ．A ，B ，C C ．B ，C ，DD ．A ，C ，D解：BD →＝BC →＋CD →＝(－5a ＋6b )＋(7a －2b )＝2a ＋4b ＝2(a ＋2b )＝2AB →，∴A ，B ，D 三点共线．故选A .(2)设两个非零向量a 与b 不共线，若k a ＋b 和a ＋k b 共线，则实数k ＝________.解：∵k a ＋b 和a ＋k b 共线，∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即k a ＋b ＝λa ＋λk b .∴(k －λ)a ＝(λk －1)b .∵a ，b 是两个不共线的非零向量，∴k －λ＝λk －1＝0，∴k 2－1＝0.∴k ＝±1.故填±1.(3)(2015·南京模拟)如图，经过△OAB 的重心G 的直线与OA ，OB 分别交于点P ，Q ，设OP →＝mOA →，OQ →＝nOB →，m ，n ∈R ，则1n ＋1m的值为________．解法一：∵G 是△OAB 的重心，∴OG →＝13(OA →＋OB →)＝13m OP →＋13nOQ →.由P ，G ，Q 三点共线可得，13m ＋13n ＝1，故1m ＋1n＝3.解法二：设OA →＝a ，OB →＝b ，由题意知OG →＝23×12(OA →＋OB →)＝13(a ＋b )，PQ →＝OQ →－OP →＝n b －m a ，PG →＝OG →－OP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13b .由P ，G ，Q 三点共线得，存在实数λ，使得PQ →＝λPG →，且λ≠0，即n b －m a ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13λb ，从而⎩⎪⎨⎪⎧－m ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m ，n ＝13λ，消去λ得1n ＋1m ＝3.故填3.1．准确理解向量的概念，请特别注意以下几点： (1)a ∥b ，有a 与b 方向相同或相反两种情形；(2)向量的模与数的绝对值有所不同，如|a |＝|b | a ＝±b ； (3)零向量的方向是任意的，并不是没有，零向量与任意向量平行； (4)对于任意非零向量a ，a||a 是与a 同向的单位向量，这也是求单位向量的方法； (5)向量平行，其所在直线不一定平行，两向量还可能在一条直线上；(6)只要不改变向量a 的大小和方向，可以自由平移a ，平移后的向量与a 相等，所以线段共线与向量共线是有区别的，当两向量共线且有公共点时，才能得出线段共线，向量的共线与向量的平行是一致的．2．向量具有大小和方向两个要素，既能像实数一样进行某些运算，又有直观的几何意义，是数与形的完美结合．向量是一个几何量，因此，在研究向量的有关问题时，一定要结合图形进行分析、判断，这是研究平面向量最重要的方法与技巧．3．向量加法的三角形法则可简记为“首尾相接，指向终点”；减法法则可简记为“起点重合，指向被减向量”；加法的平行四边形法则可简记 “起点重合，指向对角顶点”．4．平面向量的三种线性运算的结果仍为向量，在三种线性运算中，加法是最基本、最重要的运算，减法运算与数乘运算都以加法运算为基础，都可以归结为加法运算．5．对于两个向量共线定理(a (a ≠0)与b 共线⇔存在唯一实数λ使得b ＝λa )中条件“a ≠0”的理解：(1)当a ＝0时，a 与任一向量b 都是共线的；(2)当a ＝0且b ≠0时，b ＝λa 是不成立的，但a 与b 共线．因此，为了更具一般性，且使充分性和必要性都成立，我们要求a ≠0.换句话说，如果不加条件“a ≠0”，“a 与b 共线”是“存在唯一实数λ使得b ＝λa ”的必要不充分条件．1．设a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，使a |a |＝b|b |成立的充分条件是( )A ．a ＝－bB ．a ∥bC ．a ＝2bD ．a ∥b 且|a |＝|b |解：由题意a |a |＝b|b |表示与向量a 和向量b 同向的单位向量相等，故a 与b 同向共线．故选C .2．已知两个非零向量a ，b 不共线，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数p 的值是( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解：∵BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，∴BD →＝BC →＋CD →＝2a －b .又∵A ，B ，D 三点共线，∴AB →，BD→共线．设AB →＝λBD →，∴2a ＋p b ＝λ(2a －b )，∴2＝2λ且p ＝－λ，∴λ＝1，p ＝－1.故选B .3．已知O ，A ，M ，B 为平面上四点，且OM →＝λOB →＋(1－λ)OA →，实数λ∈(1，2)，则( ) A ．点M 在线段AB 上 B ．点B 在线段AM 上 C ．点A 在线段BM 上D ．O ，A ，M ，B 四点一定共线解：由题意得OM →－OA →＝λ(OB →－OA →)，即AM →＝λAB →.又λ∈(1，2)，∴点B 在线段AM 上．故选B .4．如图，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，AB →＝a, AC →＝b ，则AD →＝( )A ．a －12bB.12a －bC ．a ＋12bD.12a ＋b 解：连接OD ，CD ，显然∠BOD ＝∠CAO ＝60°，则AC ∥OD ，且AC ＝OD ，即四边形CAOD为菱形，故AD →＝AO →＋AC →＝12a ＋b ，故选D .5．已知平面内一点P 及△ABC ，若PA →＋PB →＋PC →＝AB →，则点P 与△ABC 的位置关系是( )A ．点P 在线段AB 上B ．点P 在线段BC 上 C ．点P 在线段AC 上D ．点P 在△ABC 外部解：由PA →＋PB →＋PC →＝AB →得PA →＋PC →＝AB →－PB →＝AP →，即PC →＝AP →－PA →＝2AP →，所以点P 在线段AC 上．故选C .6．在平行四边形ABCD 中，点E 是AD 的中点，BE 与AC 相交于点F ，若EF →＝mAB →＋nAD →(m ，n ∈R )，则mn的值为( )A ．－2B ．－12C ．2 D.12解：设AB →＝a ，AD →＝b ，则EF →＝m a ＋n b ，BE →＝AE →－AB →＝12b －a ，由向量EF →与BE →共线可知存在非零实数λ，使得EF →＝λBE →，即m a ＋n b ＝12λb －λa ，又a 与b 不共线，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－λ，n ＝12λ， 消去λ得m n＝－2.故选A .7．如图，在△ABC 中，H 为BC 上异于B ，C 的任一点，M 为AH 的中点，若AM →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ＝______．解：由B ，H ，C 三点共线，可令AH →＝xAB →＋(1－x )AC →.又M 是AH 的中点，所以AM →＝12AH →＝12xAB →＋12(1－x )AC →.又AM →＝λAB →＋μAC →，所以λ＋μ＝12x ＋12(1－x )＝12.故填12. 8．直角三角形ABC 中，斜边BC 长为2，O 是平面ABC 内一点，点P 满足OP →＝OA →＋12(AB →＋AC →)，则|AP →|＝________.解：如图，取BC 边中点D ，连接AD ，则12(AB →＋AC →)＝AD →，OP →＝OA →＋12(AB →＋AC →)⇒OP →＝OA →＋AD →⇒OP →－OA →＝AD →⇒AP →＝AD →，因此|AP →|＝|AD →|＝1，故填1.9．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，M ，N 分别是DC 和AB 的中点，若AB →＝a ，AD →＝b ，试用a ，b 表示BC →和MN →.解：BC →＝BA →＋AD →＋DC →＝－a ＋b ＋12a ＝b －12a .MN →＝MD →＋DA →＋AN →＝－14a ＋(－b )＋12a ＝14a －b .10．设两个非零向量e 1和e 2不共线．(1)如果AB →＝e 1－e 2，BC →＝3e 1＋2e 2，CD →＝－8e 1－2e 2，求证：A ，C ，D 三点共线；(2)如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1－3e 2，CD →＝2e 1－k e 2，且A ，C ，D 三点共线，求k 的值．解：(1)证明：∵AB →＝e 1－e 2，BC →＝3e 1＋2e 2，CD →＝－8e 1－2e 2，∴AC →＝AB →＋BC →＝4e 1＋e 2＝－12(－8e 1－2e 2)＝－12CD →，∴AC →与CD →共线．又∵AC →与CD →有公共点C ，∴A ，C ，D 三点共线． (2)AC →＝AB →＋BC →＝(e 1＋e 2)＋(2e 1－3e 2)＝3e 1－2e 2， ∵A ，C ，D 三点共线， ∴AC →与CD →共线，从而存在实数λ使得AC →＝λCD →， 即3e 1－2e 2＝λ(2e 1－k e 2)， 得⎩⎪⎨⎪⎧3＝2λ，－2＝－λk ，解得λ＝32，k ＝43.故k 的值为43.11．如图所示，在△ABO 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 相交于点M ，设OA →＝a ，OB →＝b .试用a 和b 表示向量OM →.解：∵A ，M ，D 三点共线， ∴OM →＝λ1OD →＋(1－λ1)OA →＝12λ1b ＋(1－λ1)a ，①∵C ，M ，B 三点共线，∴OM →＝λ2OB →＋(1－λ2)OC →＝λ2b ＋1－λ24a ，②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧12λ1＝λ2，1－λ1＝1－λ24， 解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝67，λ2＝37.故OM →＝17a ＋37b . 设A 1，A 2，A 3，A 4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A 1A 3→＝λA 1A 2→(λ∈R )，A 1A 4→＝μA 1A 2→(μ∈R )，且1λ＋1μ＝2，则称A 3，A 4调和分割A 1，A 2.已知平面上的点C ，D 调和分割点A ，B ，则下面说法正确的是( )A ．C 可能是线段AB 的中点B ．D 可能是线段AB 的中点C ．C ，D 可能同时在线段AB 上D ．C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上解：若C ，D 调和分割点A ，B ，则AC →＝λAB →(λ∈R )，AD →＝μAB →(μ∈R )，且1λ＋1μ＝2.对于选项A ，若C 是线段AB 的中点，则AC →＝12AB →⇒λ＝12⇒1μ＝0，故A 选项错误；同理B 选项错误；对于选项C ，若C ，D 同时在线段AB 上，则0＜λ＜1，0＜μ＜1⇒1λ＋1μ＞2，C 选项错误；对于选项D ，若C ，D 同时在线段AB 的延长线上，则λ＞1，μ＞1⇒1λ＋1μ＜2，故C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上，D 选项正确．故选D .。