高中数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程单元测试与答案

一、选择题1．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>，设直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，与x 轴，y 轴分别交于C ，D 两点，记椭圆E 的离心率为e ，直线l 的斜率为k ，若C ，D 恰好是线段AB 的两个三等分点，则（ ） A ．221k e -=B ．221k e +=C ．2211e k-= D ．2211e k+= 2．过抛物线22y px =焦点(1,0)F 的直线l 与抛物线交于,A B 两点，且(1)AF mFB m =>，25||4AB =，则m =（ ） A ．2B ．3C ．4D ．53．直线34y kx k =-+与双曲线221169x y -=有且只有一个公共点，则k 的取值有（ ）个A ．1B ．2C ．3D ．44．如图所示，一隧道内设有双行线公路，其截面由一个长方形的三条边和抛物线的一段构成.为保证安全，要求行驶车辆顶部（假设车顶为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.6m ，已知行车道总宽度7m AB =，则车辆通过隧道的限制高度为（ ）A ．3.90mB ．3.95mC ．4.00mD ．4.05m5．设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，M 为抛物线上异于顶点的一点，且M 在直线1x =-上的射影为N ，若MNF 的垂心在抛物线C 上，则MNF 的面积为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．46．已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点332D ⎛⎝的距离与点P 到y 轴的距离之和的最小值为（ ） A ．2B ．52C ．3D ．727．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，直线:l y kx =与C 交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆过点F ，若C 上存在点P 满足4=BP BF ，则C 的离心率为（ ）A B ．2C D8．已知圆2221:(3)(7)C x y a a ++=>和222:(3)1C x y -+=，动圆M 与圆1C ，圆2C 均相切，P 是12MC C 的内心，且12123PMC PMC PC C S SS+=，则a 的值为（ ）A ．9B ．11C ．17D ．199．设1F 、2F 是椭圆1C 和双曲线2C 的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且1PF <2PF ，线段1PF 垂直平分线经过2F ，若1C 和2C 的离心率分别为1e 、2e ，则129e e +的最小值（ ）A ．2B ．4C ．6D ．810．已知椭圆2221(02)4x y b b+=<<，直线1x y +=与椭圆交于,P Q 两点，若OP OQ ⊥，则椭圆的离心率为（ ）A ．7B ．7C ．7D ．711．设1F 、2F 是椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线2ax c=上一点，若21F PF 是底角为30的等腰三角形，则椭圆E 的离心率为（ ）A ．12B ．2C ．34D ．4512．已知抛物线1C 的顶点在坐标原点，焦点F 在y 轴正半轴上．若点F 到双曲线222:126x y C -=的一条渐近线的距离为2，则1C 的标准方程是（ ）A ．23y x =B ．23y x =C ．28x y =D ．216x y =二、填空题13．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右支与焦点为F 的抛物线()220x py p =>交于A 、B 两点，若4AF BF OF +=，则该双曲线的渐近线方程为___________.14．已知拋物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，O 为坐标原点，C 的准线为l 且与x 轴相交于点B ，A 为C 上的一点，直线AO 与直线l 相交于E 点，若BOE BEF ∠=∠，6AF =，则C 的标准方程为_____________.15．已知圆22:68210C x y x y ++++=，点A 是圆C 上任一点，抛物线28y x =的准线为l ，设抛物线上任意一点Р到直线l 的距离为m ，则m PA +的最小值为_______ 16．若实数x ，y 满足方程2222(3)(3)10x y x y ++++-=，则2222(1)(3)x y x y -+++-的取值范围为________．17．若M ，P 是椭圆2214x y +=两动点，点M 关于x 轴的对称点为N ，若直线PM ，PN 分别与x 轴相交于不同的两点A (m ，0)，B (n ，0)，则mn =_________.18．如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分，过对称轴的截口BAC 是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点1F 上，片门位于另一个焦点2F 上.由椭圆一个焦点1F 发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点2F .已知12BC F F ⊥，1163F B =，124F F =，则截口BAC 所在椭圆的离心率为______.19．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22:17y x Γ-=的两个焦点分别为1F ，2F ，以2F 为圆心，12F F 长为半径的圆与双曲线Γ的一条渐近线交于M ，N 两点，若OM ON ≥，则OMON的值为________.20．如果点12310,,,P P P P ，是抛物线22y x =上的点，它们的横坐标依次为12310,,,,x x x x ，F 是抛物线的焦点，若123105x x x x ++++=，则1210PF P F P F +++=___.三、解答题21．已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，当l ⊥x 轴时，｜AB ｜＝4，（1）求p 的值；（2）若|AF |＝2|BF |，求直线l 的方程.22．A B 是抛物线24y x =上两个不同的点，A 、B 纵坐标之和为4． （1）求直线AB 的斜率；（2）O 为原点，若OA OB ⊥，求直线AB 的方程． 23．已知抛物线28y x =的焦点为F ，且A 是抛物线上一点. （1）若4AF =求点A 的坐标；（2）直线l ：y x m =+与抛物线交于两个不同的点P ，Q ，若OP OQ ⊥，求实数m 的值. 24．荷兰数学家舒腾(F.van Shooten ，1615-1660)设计了一种画椭圆的工具，如图1所示，两根等长的带槽的直杆AC 和BF 的一端各用钉子固定在点A 和B 上(但分别可以绕钉子转动)，4AC BF ==，另一端用铰链与杆FC 连接，2FC AB ==，AC 和BF 的交点为E ，转动整个工具，交点E 形成的轨迹为椭圆Γ.以线段AB 中点O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2的平面直角坐标系.（1）求椭圆Γ的标准方程；（2）经过B 点的直线l 交椭圆Γ于不同的两点M N 、，设点P 为椭圆的右顶点，当PNM △的面积为27时，求直线l 的方程. 25．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点42P ⎛ ⎝⎭5（1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 与圆22:1O x y +=相切，且与椭圆C 交于M ，N 两点，Q 为椭圆C 上一个动点(点O ，Q 分别位于直线l 两侧)，求四边形OMQN 面积的最大值.26．如图，已知抛物线()2:20C y px p =>，焦点为F ，过点()2,0G p 作直线l 交抛物线C 于A 、B 两点，设()11,A x y 、()22,B x y .（1）若124x x ⋅=，求抛物线C 的方程；（2）若直线l 与x 轴不垂直，直线AF 交抛物线C 于另一点M ，直线BF 交抛物线C 于另一点N .求证：直线l 与直线MN 斜率之比为定值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】首先利用点,C D分别是线段AB的两个三等分点，则211222x xyy=-⎧⎪⎨=⎪⎩，得1112ykx=⋅，再利用点差法化简得2212214y bx a=，两式化简得到选项.【详解】设()11,A x y，()22,B x y，,C D分别是线段AB的两个三等分点，()1,0C x∴-，10,2yD⎛⎫⎪⎝⎭，则112,2yB x⎛⎫-⎪⎝⎭，得211222x xyy=-⎧⎪⎨=-⎪⎩，1121121131232yy y ykx x x x-===⋅-，利用点差法22112222222211x ya bx ya b⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得()()()()1212121222x x x x y y y ya b+-+-+=，整理得到2212214y bx a=，即222222244b a ck ka a-=⇒=，即221k e+=故选：B【点睛】关键点点睛：本题的关键利用三等分点得到211222x xyy=-⎧⎪⎨=-⎪⎩，再将斜率和离心率表示成坐标的关系，联立判断选项.2．C解析：C【分析】由焦点得2p=，设直线代入抛物线方程结合韦达定理以及已知条件利用弦长公式求得参数值. 【详解】∵焦点(1,0),2F p ∴=，抛物线方程式为24y x =．设直线l 的方程为1(0)x y λλ=+>，代入抛物线方程，得2440y y λ--=． 设()()1122,,,A x y B x y ，由韦达定理得124y y =-． 由AF mFB =，得12y my =-．解得21y y ==-21y y ==121,x m x m ∴==．12125||2,44AB x x p m m m ∴=++=++=∴=． 故选：C ． 【点晴】方法点晴：解直线与圆锥曲线位置问题时，通常使用设而不求思想，结合韦达定理运算求解相关参数.3．D解析：D 【分析】将直线方程与双曲线的方程联立，得出关于x 的方程，根据直线与双曲线只有一个公共点，求出对应的k 值，即可得解. 【详解】联立22341169y kx k x y =-+⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去y 并整理得()()()2221693243164390k x k k x k ⎡⎤-+-+-+=⎣⎦，由于直线34y kx k =-+与双曲线221169x y -=有且只有一个公共点， 所以，21690k -=或()()()222216903243641694390k k k k k ⎧-≠⎪⎨⎡⎤⎡⎤∆=----+=⎪⎣⎦⎣⎦⎩， 解得34k =±或2724250k k +-=， 对于方程2724250k k +-=，判别式为22447250'∆=+⨯⨯>，方程2724250k k +-=有两个不等的实数解.显然34k =±不满足方程2724250k k +-=. 综上所述，k 的取值有4个. 故选：D. 【点睛】方法点睛：将直线与圆锥曲线的两个方程联立成方程组，然后判断方程组是否有解，有几个解，这是直线与圆锥曲线位置关系的判断方法中最常用的方法，注意：在没有给出直线方程时，要对是否有斜率不存在的直线的情况进行讨论，避免漏解．4．B解析：B 【分析】设抛物线的方程为2x ay =，可知点()5,5-在该抛物线上，求出a 的值，将 3.5x =代入抛物线方程，求出y 的值，即可得解. 【详解】设抛物线的方程为2x ay =，可知点()5,5-在该抛物线上，则255a -=，解得5a =-， 所以，抛物线的方程为25x y =-，将 3.5x =代入抛物线方程得25 3.5y -=，解得 2.45y =-， 因此，车辆通过隧道的限制高度为()7 2.450.6 3.95m --=. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查抛物线的实际应用，设出抛物线的方程，分析出抛物线上的点的坐标，求出抛物线的方程是解题的关键，同时要注意车辆限高的意义.5．B解析：B 【分析】设点200,4y M y ⎛⎫⎪⎝⎭，则点()01,N y -，求出MNF 的垂心H 的坐标，再由MH FN ⊥可求得0y 的值，进而可求得MNF 的面积. 【详解】设点200,4y M y ⎛⎫⎪⎝⎭，则点()01,N y -，设点M 在第一象限， 抛物线C 的焦点为()1,0F ，设MNF 的垂心为H ， 由于FHMN ⊥，则点H 的横坐标为1，可得点()1,2H ，MH FN ⊥，则0HM FN ⋅=，2001,24y HM y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()02,FN y =-，()()22200000012122220422y y HM FN y y y y ⎛⎫⋅=--+-=-+=-= ⎪⎝⎭，解得02y =，所以，点M 的坐标为()1,2，所以，2MN =，12222MNF S =⨯⨯=△. 故选：B.关键点点睛：解决本题的关键在于利用已知条件求出点M 的坐标，本题特殊的地方在于MN y ⊥轴，可得出垂心与焦点的连线垂直于x 轴，再结合垂心在抛物线求出垂心的坐标.6．B解析：B 【分析】利用抛物线的定义，把P 到y 轴的距离转化为1||2PF -,利用几何法求最值 【详解】抛物线22y x =的焦点1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭,准线1:2l x =-，如图示：过P 作PP 1⊥y 轴于P 1,作PP 2⊥l于P 2,则211||||2PP PP -= 所以点P 到点332D ⎛ ⎝的距离与点P 到y 轴的距离之和为 1211||||||||||||22PD PP PD PP PD PF +=+-=+- 由图示，易知，当P 落在Q 时，DPF 三点共线，||||||PD PF DF +=, 其他位置，都有||||||PD PF DF +>所以点P 到点332D ⎛ ⎝的距离与点P 到y 轴的距离之和的最小值为： 221111335||||||||||2022222PD PP PD PF DF ⎛⎫⎛⎫+=+-≥-=-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当D 、P 、F 三点共线时取最小值.【点睛】解析几何问题解题的关键：解析几何归根结底还是几何，根据题意画出图形，借助于图形寻找几何关系可以简化运算．7．B解析：B 【分析】由题意设()00,B x y ，(c,0)F ，(,)P m n ，则()00,A x y --，求出BP ，AF ，BF 的坐标，根据4=BP BF 得到,m n ，由点F 在圆上得到22200=+c x y ，把点P ，B 坐标代入双曲线方程联立，可得答案. 【详解】由题意设()00,B x y ，(c,0)F ，(,)P m n ，则()00,A x y --，()00,=--BP m x n y ，()00,=+AF c x y ，()00,=--BF c x y ． 4=BP BF ，()000044,c x m x y n y ⎧-=-∴⎨-=-⎩，00433m c x n y =-⎧⎨=-⎩． 以AB 为直径的圆过点F ，()()00,,0AF BF c x y c x y ∴⋅=+⋅--=，即22200=+c x y ①，点P ，B 均在双曲线上，2200221x y a b ∴-=②，()()2200224331---=c x y a b ③．②-③整理得()()2000222--=-c x x c y ab，将22200=-y c x 代入，整理得()22220223-=c a x c，于是()22222200233-=-=b a c y c x c ，最后将20x ，20y 代入双曲线方程，整理得22410c a =，所以e ==． 故选：B. 【点睛】本题考查了直线与双曲线的位置关系、圆的有关性质及与向量的结合，关键点是利用4=BP BF 和AF BF ⋅得到点之间的关系，考查了学生分析问题、解决问题的能力.8．C解析：C 【分析】先判断出圆1C 与2C 内含，根据条件可得动圆M 与圆1C ，圆2C 均相切，从而得出121216MC MC a C C +=+>=，即动点M 的轨迹是以12,C C 为焦点，长轴为1a +的椭圆，又设12MC C 的内切圆的半径为r ' ，由12123PMC PMC PC C SSS+=，有12121113222MC r MC r C C r ''+⨯=⨯⨯⨯'⨯，从而得出答案. 【详解】由圆2221:(3)(7)C x y a a ++=>和222:(3)1C x y -+=，可得圆1C 的圆心()13,0C -，半径为1r a =，圆2C 的圆心()23,0C ，半径为21r = 由121261C C a r r =<-=-所以圆1C 与2C 内含，由动圆M 与圆1C ，圆2C 均相切. 所以动圆M 与圆1C 内切，与圆2C 外切，设动圆M 的半径为R 则11MC r R a R =-=-，221MC r R R =+=+ 所以121216MC MC a C C +=+>=所以动点M 的轨迹是以12,C C 为焦点，长轴为1a +的椭圆，设其方程为22221(0)x y m n m n +=>> 所以12a m +=，设22c m n =-，则3c = 由P 是12MC C 的内心，设12MC C 的内切圆的半径为r ' 由12123PMC PMC PC C SSS+=，有12121113222MC r MC r C C r ''+⨯=⨯⨯⨯'⨯ 即1212318MC MC C C +==，又由椭圆的定义可得121MC MC a +=+ 所以118a +=，则17a = 故选：C 【点睛】本题考查圆与圆的位置关系，考查根据圆与圆的相切求动圆圆心的轨迹，考查椭圆的定义的应用，解答本题的关键的由条件得出圆1C 与2C 内含，由动圆M 与圆1C ，圆2C 均相切，进一步由条件得出121216MC MC a C C +=+>=，即得出动点M 的轨迹，属于中档题.9．D解析：D 【分析】设椭圆和双曲线的方程，由题意可得2122PF F F c ==，再利用椭圆和双曲线的定义分别求出1PF ，即可得122a a c +=，计算12112e e +=，()121212111992e e e e e e ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭展开后利用基本不等式即可求最值. 【详解】设椭圆1C 的方程为2222111x y a b +=，则222111c a b =-，设双曲线2C 的方程为2222221x y a b -=，则222222c a b =+，因为椭圆1C 和双曲线2C 的焦点相同，所以2212c c =，设12c c c ==即22221122a b a b -=+，因为P 是椭圆1C 和双曲线2C 的一个公共点， 所以1212+=PF PF a ，2122PF PF a -=，因为线段1PF 垂直平分线经过2F ，所以2122PF F F c ==，所以1122PF a c =-，且1222PF c a =-， 所以122222a c c a -=-，可得122a a c +=， 所以11c e a =，22c e a =，所以1212121122a a a a ce e c c c c++=+===， 所以()211212121291111991022e e e e e e e e e e ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()11101023822⎛≥+=+⨯= ⎝， 当且仅当21129e e e e =，即213e e =时等号成立， 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是利用已知条件得出122a a c +=，进而可得12112e e +=， 再利用基本不等式可求最值.10．C解析：C 【分析】设1122(,),(,)P x y Q x y ，把直线1x y +=与椭圆2221(02)4x y b b+=<<，联立，根据OP OQ ⊥计算出b ，直接求出离心率.【详解】设1122(,),(,)P x y Q x y ，由222141x y b x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩得222(4)8440b x x b +-+-=，所以12221228=444·=4x x b b x x b ⎧+⎪⎪+⎨-⎪⎪+⎩∵OP OQ ⊥，∴12121212=2()10OP OQ x x y y x x x x +=-++=，解得247b =. 224442747c e a-∴=== 故选：C 【点睛】求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据题目的条件，找到a 、b 、c 的关系，消去b ，构造离心率e 的方程或（不等式）即可求出离心率．11．B解析：B 【分析】设直线2a x c=交x轴于点M ，推导出222PF F M =，可得出关于a 、c 的等式，由此可解得该椭圆的离心率. 【详解】设直线2a x c=交x轴于点M ，21F PF △是底角为30的等腰三角形，260PF M ∠=，2122PF F F c ==，在2Rt PF M 中，290PMF ∠=，230MPF ∠=，222PF F M ∴=，P 为直线2a x c =上一点，222a c c c ⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭，即222a c =，22c e a ∴==． 故选：B ．【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a 、c 的值，根据离心率的定义求解离心率e 的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于a 、c 的齐次方程，然后转化为关于e 的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.12．D解析：D 【分析】先根据双曲线的方程求解出双曲线的渐近线方程，再根据点到直线的距离公式求解出抛物线方程中的p ，则抛物线方程可求. 【详解】双曲线2C 的渐近线方程是22026x y -=，即y =.因为抛物线的焦点()0,02p F p ⎛⎫> ⎪⎝⎭0y -=的距离为2，2=，即8p =，所以1C 的标准方程是216x y =，故选：D ． 【点睛】方法点睛：求解双曲线方程的渐近线方程的技巧：已知双曲线方程22221x y a b-=或22221y x a b -=，求解其渐近线方程只需要将方程中的“1”变为“0”，由此得到的y 关于x 的一次方程即为渐近线方程. 二、填空题13．【分析】设点利用抛物线的定义得出可计算得出再利用点差法可得出可求出的值由此可得出双曲线的渐近线方程【详解】设点由抛物线的定义可得由可得直线的斜率为由两式作差得即所以可得因此该双曲线的渐近线方程为故答解析：2y x =±【分析】设点()11,A x y 、()22,B x y ，利用抛物线的定义得出12y y p +=，可计算得出122ABx x k p +=，再利用点差法可得出2121222AB x x x x b k a p p++=⋅=，可求出b a 的值，由此可得出双曲线的渐近线方程. 【详解】设点()11,A x y 、()22,B x y ，由抛物线的定义可得12p AF y =+，22p BF y =+， 2pOF =，由4AF BF OF +=可得122y y p p ++=，12y y p ∴+=， 直线AB 的斜率为221212121212222ABx x y y x x p p k x x x x p--+===--， 由22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式作差得22221212220x x y y a b ---=， 即()()()()1212121222x x x x y y y y a b -+-+=，所以，22121212122212122ABy y x x x x x x b b k x x a y y a p p -+++==⋅=⋅=-+，2212b a ∴=，可得2b a =， 因此，该双曲线的渐近线方程为2y x =±.故答案为：y x =. 【点睛】方法点睛：求双曲线的渐近线方程的方法：（1）定义法：直接利用a 、b 求得比值，则焦点在x 轴上时，渐近线方程为b y x a=±，焦点在y 轴上时，渐近线方程为ay x b=±； （2）构造齐次式：利用已知条件结合222a b c =+，构建b a 的关系式（或先构建ca的关系式），再根据焦点位置写出渐近线方程即可.14．【分析】推导出求出可得出直线的方程联立直线与抛物线的方程求出点的坐标利用抛物线的定义求出的值即可得出抛物线的标准方程【详解】因为即所以则直线的方程为联立直线与抛物线方程解得所以解得因此抛物线标准方程 解析：28y x =【分析】 推导出OBE EBF △△，求出tan BOE ∠，可得出直线AO 的方程，联立直线AO 与抛物线C 的方程，求出点A 的坐标，利用抛物线的定义求出p 的值，即可得出抛物线C 的标准方程. 【详解】因为BOE BEF ∠=∠，90OBE EBF ∠=∠=，OBE EBF ∴△△，OB BE BE BF ∴=，即2222p p BE OB BF p =⋅=⨯=，22BE p ∴=，所以tan 2BEBOE OB∠==AO 的方程为2y x =， 联立直线OA 与抛物线方程222y x y px⎧=⎪⎨=⎪⎩ 解得()2A p ， 所以3622p pAF p =+==，解得4p =， 因此，抛物线标准方程为28y x =. 故答案为：28y x =. 【点睛】方法点睛：求抛物线的标准方程的主要方法是定义法与待定系数法：（1）若题目已给出抛物线的方程（含有未知数p ），那么只需求出p 即可； （2）若题目未给出抛物线的方程：①对于焦点在x 轴上的抛物线的标准方程可统一设为()20y ax a =≠的正负由题设来定；②对于焦点在y 轴上的抛物线的标准方程可统一设为()20x ay a =≠，这样就减少了不必要的讨论.15．【分析】由抛物线的定义可知结合圆的性质当且仅当三点共线时等号成立取得最值【详解】由圆可得圆心设的焦点为则抛物线上任意一点Р到直线l 的距离为过点作于点则由抛物线的定义可知所以当且仅当三点共线时等号成立 412【分析】由抛物线的定义可知m PF =，m PA PF PA +=+结合圆的性质，当且仅当,,P F C 三点共线时等号成立取得最值. 【详解】由圆22:68210C x y x y ++++=可得圆心()3,4C --，2r，设28y x =的焦点为F ，则()2,0F ，:2l x =-，抛物线上任意一点Р到直线l 的距离为m ， 过点P 作PH l ⊥于点H ，则PH m =， 由抛物线的定义可知PH PF =，所以2m PA PH PA PF PA FC r FC +=+=+≥-=-()()223242412=--+-=，当且仅当,,P F C 三点共线时等号成立， 所以m PA +412， 412. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是利用抛物线的定义转化为抛物线上一点到焦点的距离与到圆上一点的距离之和的最小值，利用三点共线即可求解.16．【分析】由已知条件得出点P 在以为焦点以为长轴长的椭圆上再由两点的距离公式得出表示点到点的距离之和再根据椭圆的定义将问题转化为求的范围根据两点的距离公式可求得范围【详解】设点则由椭圆的定义得点P 在以为 解析：[1010,1010]-+【分析】由已知条件得出点P 在以()()120303F F -，，，为焦点，以10为长轴长的椭圆上，再由两+(),P x y 到点()()11,00,3A F ，的距离之和，再根据椭圆的定义将问题转化为求210+d PA PF =-的范围，根据两点的距离公式可求得范围． 【详解】设点(),P x y ，则由椭圆的定义得点P 在以()()120303F F -，，，为焦点，以10为长轴长的椭圆上，所在椭圆的方程为：22+11625x y =，(),P x y 到点()()11,00,3A F ，的距离之和，即1+d PA PF =，由椭圆的定义得12+210PF PF a ==，所以1210PFPF =-，所以()122++1010+d PA PF PA PF PA PF ==-=-，而222AF PA PF AF -≤-≤，又2AF ==，所以21010+d PA PF ≤=-≤，[10-+，故答案为：[10-+． 【点睛】关键点点睛：本题考查根式的最值和范围求解问题，解决的关键在于利用椭圆的定义得出动点的轨迹，将问题转化为求两线段的距离之差的范围．17．4【分析】设出的坐标写出坐标满足的关系式根据题意写出直线的方程求出的横坐标计算得出的值【详解】解：设则则所以直线的方程为令可得同理有直线的方程为令可得则故答案为：【点睛】圆锥曲线中求定值问题常见的方解析：4 【分析】设出,,M N P 的坐标，写出坐标满足的关系式.根据题意，写出直线PM ，PN 的方程，求出,A B 的横坐标，计算得出mn 的值. 【详解】解：设(),M a b ，则(),N a b -，(),P c d ，则2214a b +=，2214c d +=所以PM d bk c a-=- 直线PM 的方程为()d b y b x a c a --=--，令0y =可得ad bcm d b-=- 同理有PM d b k c a+=- 直线PN 的方程为()d b y b x a c a ++=--，令0y =可得ad bcn d b+=+ 则222222ad bc ad bc a d b c mn d b d b d b -+-⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪-+-⎝⎭⎝⎭222222111144111144a c c a c a ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫--- ⎪⎝⎭()2222414a c a c -==-故答案为：4 【点睛】圆锥曲线中求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．18．【分析】取焦点在轴建立平面直角坐标系由题意及椭圆性质有为椭圆通径得结合及解出代入离心率公式计算即可【详解】解：取焦点在轴建立平面直角坐标系由及椭圆性质可得为椭圆通径所以又解得所以截口所在椭圆的离心率解析：13【分析】取焦点在x 轴建立平面直角坐标系，由题意及椭圆性质有BC 为椭圆通径，得2163b a =，结合24c =及222a b c =+解出,,a b c 代入离心率公式计算即可.【详解】解：取焦点在x 轴建立平面直角坐标系，由12BC F F ⊥及椭圆性质可得，BC 为椭圆通径，所以21163b F B a ==，1224F Fc ==又222a b c =+，解得6,2,a c b ===所以截口BAC 所在椭圆的离心率为13故答案为：13【点睛】求椭圆的离心率或其范围的方法：（1）求,,a b c 的值，由22222221c a b b a a a-==-直接求e ； （2）列出含有,,a b c 的齐次方程(或不等式)，借助于222a b c =+消去b ，然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解．19．【分析】求出双曲线的两个焦点坐标和渐近线方程再求圆的方程与渐近线方程联立可得MN 两点的横坐标由即为横坐标的绝对值的比可得答案【详解】由已知得取双曲线的一条渐近线所以圆的方程为由整理得解得取双曲线的另解析：32【分析】求出双曲线的两个焦点坐标和渐近线方程，再求圆的方程与渐近线方程联立可得M ，N 两点的横坐标，由OMON即为横坐标的绝对值的比可得答案.【详解】由已知得2221,7,8a b c ===，2c =，12(F F -，取双曲线的一条渐近线y =，所以圆的方程为(2232x y +=-，由(2232y x y ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩整理得2260x -=，解得2N M x x ==，32M NM O x x O N===.取双曲线的另一条渐近线y =，(2232y x y ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩整理得2260x -=与上同，综上32OM ON=. 故答案为：32. 【点睛】关键点点睛：本题考查了直线与双曲线、圆的位置关系，解答本题的关键是求出渐近线与圆的方程然后联立，得到M ，N 两点的横坐标再由绝对值做比值，考查了学生的运算求解能力.20．10【分析】利用抛物线上的点到焦点的距离把整体代入中即可求解【详解】解：由抛物线的定义可知抛物线上的点到焦点的距离在中所以故答案为：10【点睛】关键点点睛：利用抛物线的焦半径公式整体代入中是解决本题解析：10 【分析】利用抛物线()220y px p =>上的点()000,P x y 到焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭的距离002p P F x =+，把123105x x x x ++++=整体代入1210PF P F P F +++中即可求解.【详解】解：由抛物线的定义可知，抛物线()220y px p =>上的点()000,P x y 到焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭的距离002p P F x =+，在22y x =中，1p =，所以12121031055510PF P F P F x x x x p +++=+++++=+=.故答案为：10 【点睛】关键点点睛：利用抛物线的焦半径公式整体代入1210PF P F P F +++中是解决本题的关键.三、解答题21．（1）2；（2）y ＝(x ﹣1). 【分析】（1）根据题意可得F （2p ，0），当l ⊥x 轴时，直线l 的方程为x ＝2p，与抛物线联立得A ，B 坐标，再计算|AB |＝2p ＝4，即可得出答案.（2）设直线l 的方程为y ＝k (x ﹣1），A (x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立直线l 与抛物线的方程可得的关于x 的一元二次方程，由韦达定理可得x 1+x 2，x 1x 2，再结合|AF |＝2|BF |与焦半径公式可得x 1＝2x 2+1，进而解得x 2，x 1，故由x 1+x 2＝2224k k +＝52，解得k ，进而可得答案. 【详解】解：（1）根据题意可得F (2p，0)， 当l ⊥x 轴时，直线l 的方程为x ＝2p ， 联立直线l 与抛物线y 2＝2px ，得y 2＝2p ×2p ， 解得y ＝±p ，所以A （2p ，p ），B （2p，﹣p ）， 所以|AB |＝2p ＝4，所以p ＝2.（2）设直线l 的方程为y ＝k （x ﹣1），A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立24(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩，得k 2x 2﹣(2k 2+4)x +k 2＝0，所以∆＝(2k 2+4)2﹣4k 4＝16k 2+16＞0，所以x 1+x 2＝2224k k+，x 1x 2＝1， 因为|AF |＝2|BF |，根据焦半径公式可得|AF |＝x 1+1＝2（x 2+1）＝2|BF |，即x 1＝2x 2+1， 所以(2x 2+1)x 2＝1，即222x +x 2﹣1＝0，解得x 2＝12或x 2＝﹣1（舍）， 所以x 1＝2x 2+1＝2，所以x 1+x 2＝2224k k+＝52，即k 2＝8，解得k ＝，所以直线l 的方程为：y ＝(x ﹣1).【点睛】关键点点睛：本题考查求抛物线的方程，考查抛物线的焦点弦性质．解题方法是设直线l 的方程为y ＝k （x ﹣1），A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，利用抛物线的定义结合已知条件得出12,x x 的关系，而直线方程代入抛物线方程后应用韦达定理得1212,x x x x +，由刚才的关系可求先得12,x x ，再求得直线斜率k ．这里仍然利用了设而不求的思想方法． 22．（1）1；（2）y x =或4y x =-． 【分析】（1）法一：设()11,A x y ，()22,B x y 代入抛物线方程相减结合斜率公式即可求得；法二：设直线方程与抛物线联立结合韦达定理求得结果；（2）由OA OB ⊥得0OA OB ⋅=即12120x x y y +=结合两根关系可求得m ，即可求直线方程. 【详解】（1）法一：设()11,A x y ，()22,B x y ，则2112224,4,y x y x ⎧=⎨=⎩两式相减得()()()1212124y y y y x x +-=-． ∵124y y +=，∴()()121244y y x x -=-． 根据题意可知12x x ≠，∴12121AB y y k x x -==-， ∴直线AB 的斜率为1．法二：据题意直线AB 斜率存在，可设直线AB 的方程为y kx m =+， 与24y x =联立得204k m y y -+=，则1244y y k+==， ∴1k =，∴直线AB 的斜率为1．（2）由（1）得，124y y +=，124y y m ⋅=， 由题意，0OA OB ⋅=，即()221212121214016x x y y y y y y m m +=+=+=， 解得，0m =或4m =-．所以，直线AB 的方程为y x =或4y x =-． 【点睛】解答直线与抛物线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． 23．（1）点A 的坐标为()()2,4,2,4-；（2）8-. 【分析】（1）由4AF =根据焦半径公式求出点A 的横坐标，再代入抛物线方程求得纵坐标；（2）由28y x m y x=+⎧⎨=⎩得22(28)0x m x m +-+=，利用韦达定理，结合向量垂直的坐标表示，列方程可求实数m 的值. 【详解】（1）设()00,A x y ，042p AF x =+=，22p=，02x ∴=所以20082164y y =⨯=⇒=±，∴点A 的坐标为()()2,4,2,4-.（2）由28y x m y x=+⎧⎨=⎩得22(28)0x m x m +-+=，设()11,P x y ，()22,Q x y ，则1282x x m +=-，212x x m =，121228y y x x m ∴+=++=，()()()2121212128y y x m x m x x m x x m m =++=+++=，又OP OQ ⊥，0OP OQ ∴⋅=，2121280x x y y m m ∴+=+=，0m ∴=或8m =-，经检验，当0m =时，直线与抛物线交点中有一点与原点O 重合：不符合题意，当8m =-时，2(24)4640∆=--⨯>，符合题意. 综上，实数m 的值为8-. 【点睛】方法点睛：解决直线与抛物线的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与抛物线方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单.24．（1）22143x y +=；（2）1x y =±+.【分析】（1）设椭圆Γ的标准方程为22221x y a b+=，连接AF ，由AFB AFC ≌，得到ABE FCE △≌△，再利用椭圆定义求解.（2）设直线l 的方程为：1x my =+,联立221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，结合韦达定理得到12y y -,然后由PNM △求解. 【详解】 （1）如图所示：由题意可设椭圆Γ的标准方程为22221x y a b+=，连接AF ，可得AFB AFC ≌，所以,,4ABE FCE EF AE EA EB EF EB FB =+=+==≌，由椭圆定义可知：2,1a c ==，3b =所以椭圆Γ的方程为22143x y +=.（2）由题意知，(1,0)B ，设直线l 的方程为：1x my =+，设()()1122,,,M x y N x y ，联立221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得：()2234690m y my ++-=，可知212212134m y y m +-=+, 2122111234PMNm Sy y m +∴=⨯-⨯=+. 226162347m m +∴=+， 解得1m =±，所以直线l 的方程为1x y =±+. 【点睛】方法点睛：1、解决直线与曲线的位置关系的相关问题，往往先把直线方程与曲线方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．2、解决直线与曲线的弦长时，往往设直线与曲线的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则()()2121222121221(1)(1)44AB k x x x x y y y y k ⎡⎤⎡⎤=+=+⎣⎦-⋅+-⋅⎣+⎦k 为直线斜率)．注意：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式大于零．25．（1）22194x y +=；（2）最大值为.【分析】（1）将1,3P ⎛ ⎝⎭的坐标代入椭圆方程中，再结合3c a =和222a b c =+可求出,a b 的值，进而可求得椭圆的方程；（2）当MN 斜率存在时，设MN 与圆O 的切线为y kx n =+，要使四边形OMQN 的面积最大，则Q 到MN 距离要最大，此时过Q 点MN 的平行线必与椭圆C 相切，设为y kx m =+，易得Q 到MN 距离与O 到MN 距离之和等于O 到直线y kx m =+的距离，然后利用点到直线的距离公式求出O 到直线y kx m =+的距离d ，利用弦长公式求出MN 的值，从而有12OMN QMN OMQN S S S MN d =+=⨯四边形△△，化简可求得其范围，当MN 斜率不存在时，直接可得OMQN S =四边形 【详解】（1）因为椭圆C过点1,3P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 所以2213219a b+=，c a = 又222a b c =+，所以得22194x y +=；（2）（i ）当MN 斜率存在时，设MN 与圆O 的切线为y kx n =+，要使四边形OMQN 的面积最大，则Q 到MN 距离要最大，此时过Q 点MN 的平行线必与椭圆C 相切，设为y kx m =+，易得Q 到MN 距离与O 到MN 距离之和等于O 到直线y kx m =+的距离，设O 到直线y kx m =+的距离记为d，则d =，联立22,1,94y kx n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()()2229418940k x knx n +++-=，设()11,M x y ，()22,N x y ，1221894kn x x k +=-+，()21229494n x x k -=+，所以12294MN x k =-=+， 因为y kx n =+与圆O1=，因为y kx m =+与椭圆相切，所以2294k m +=，2112294OMN QMNOMQN S S S MN d k =+=⨯=⨯+四边形△△=== 可得OMQN S 四边形随k的增大而增大，即OMQN S <四边形（ii ）当MN斜率不存在时，不妨取M ⎛ ⎝⎭，1,N ⎛ ⎝⎭，此时()3,0Q ，OMQN S =四边形综上所得四边形OMQN的面积的最大值为【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查计算能力，解题的关键是当MN 斜率存在时，设MN 与圆O 的切线为y kx n =+，要使四边形OMQN 的面积最大，则Q 到MN 距离要最大，此时过Q 点MN 的平行线必与椭圆C 相切，设为y kx m =+，易得Q 到MN 距离与O 到MN 距离之和等于O 到直线y kx m =+的距离，从而可得1122OMN QMNOMQN S S S MN d =+=⨯=四边形△△，化简可得结果，属于中档题26．（1）24y x =；（2）证明见解析. 【分析】（1）设直线l 的方程为2x my p =+，将直线l 的方程与抛物线C 的方程联立，列出韦达定理，由题意可得出222122144y y x x p==，求出p 的值，进而可得出抛物线C 的方程； （2）设点()33,M x y 、()44,N x y ，可得出213y y p =-，224y y p =-，利用直线的斜率公式以及韦达定理可得出lMNk k 为定值.【详解】。

一、选择题1．光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出，如图①，一个光学装置由有公共焦点1F 、2F 的椭圆Γ与双曲线Ω构成，现一光线从左焦点1F 发出，依次经Ω与Γ反射，又回到了点1F ，历时1t 秒；若将装置中的Ω去掉，如图②，此光线从点1F 发出，经Γ两次反射后又回到了点1F ，历时2t 秒；若218t t =，则Γ与Ω的离心率之比为（ ）A ．3:4B ．2:3C ．1:2D ．22．设1F ，2F 是双曲线C ：22111y x -=的两个焦点，O 为坐标原点，点M 在C 上且23OM =12MF F △的面积是（ ）A ．10B ．11C ．12D ．133．已知抛物线2:2C y px =的焦点为F ，过抛物线上两点A ，B 分别向抛物线C 的准线作垂线，垂足为M ，N ，且()95OBN OAM ABNM S S S +=梯形△△，当直线AB 经过点F 且点F 到抛物线C 准线的距离为4时，直线l 的斜率为（ ）A ．2±B ．22±C ．8±D ．23±4．已知双曲线22221x y a b -=的两个焦点分别为21(,0)(,0)(0)F c F c c ->，过点2,0a P c ⎛⎫⎪⎝⎭的直线与双曲线的左右两支分别交于,A B 两点，且122F A F B =-，求双曲线的离心率（ ） A 2B 3C 5D 65．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点分别是F 1，F 2，过右焦点F 2且斜率为的直线与椭圆相交于A ，B 两点，若满足223AF F B =，则椭圆的离心率为（ ）A ．35B ．12C ．2D ．26．设1F 、2F 是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左、右焦点，P 是双曲线C 右支上一点.若126PF PF a +=，且122PF F S =△，则双曲线C 的渐近线方程是（ ）A 0y ±=B ．0x ±=C 20y ±=D ．20x =7．已知椭圆222:14x y C b +=的右焦点为F ，O 为坐标原点，C 上有且只有一个点P 满足||||OF FP =，则b =（ ）A ．3BC ．5D8．已知两定点()0,1M -，()0,1N ，直线l ：y x =+，在l 上满足PM PN +=P 的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．0或1或29．设1F 、2F 是椭圆1C 和双曲线2C 的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且1PF <2PF ，线段1PF 垂直平分线经过2F ，若1C 和2C 的离心率分别为1e 、2e ，则129e e +的最小值（ ）A ．2B ．4C ．6D ．810．已知抛物线24x y =的焦点F 和点(1,8),A P -为抛物线上一点，则||||PA PF +的最小值是（ ） A ．3B ．9C ．12D ．611．斜率为14的直线l 与椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>相交于A ，B 两点，且l 过C 的左焦点，线段AB 的中点为()2,1M -，C 的右焦点为F ，则AFB △的周长为（ ）A ．7B ．7C ．7D ．712．“04a <<”是“方程2214x y a a+=-表示为椭圆”的（ ）A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题13．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的短轴长为8，上顶点为A ，左顶点为B ，12,F F 分别是椭圆的左､右焦点，且1F AB 的面积为4，点P 为椭圆上的任意一点，则1211PF PF +的取值范围为___________. 14．在平面直角坐标系xOy中，1F ，2F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦点.若椭圆C 上存在点P ，使得12|1|||2PO F F =，则椭圆C 的离心率的取值范围为________. 15．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>右焦点(c,0)F 关于直线2y x =的对称点Q 在双曲线上，则双曲线的离心率是______．16．F 为抛物线2:4C y x =的焦点，过F 且斜率为k 的直线l 与抛物线交于P 、Q 两点，线段PQ 的垂直平分线交x 轴于点M ，且||6PQ =，则||MF =__________．17．设F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个焦点，P 是椭圆C 上的点，圆2229a x y +=与线段PF 交于A ,B 两点，若A ,B 三等分线段PF ，则椭圆C 的离心率为____________.18．设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，直线x m =与椭圆C 相交于A ，B两点.当ABF 的周长最大时，ABF 的面积为2b ，则椭圆C 的离心率e =________． 19．如图，椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左､右焦点分别为1F ､2F ，B 为椭圆C 的上顶点，若12BF F △的外接圆的半径为23b，则椭圆C 的离心率为________.20．已知椭圆T 的中心在坐标原点，左､右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，(4,3)M 是椭圆上一点，且1MF ，12F F ，2MF 成等差数列，椭圆T 的标准方程________.三、解答题21．已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，当l ⊥x 轴时，｜AB ｜＝4， （1）求p 的值；（2）若|AF |＝2|BF |，求直线l 的方程.22．已知椭圆22:11612x y E +=，1F 、2F 为左、右焦点，()2,3A .（1）求12tan F AF ∠及12F AF ∠的角平分线所在直线l 的方程；（2）在椭圆E 上是否存在关于直线l 对称的相异两点？若存在，请找出：若不存在，说明理由．23．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左，右顶点分别为,A B ，离心率3e =，椭圆E 上任意一点M 到两个焦点1F ，2F 的距离之积的最大值为4.（1）求椭圆E 的方程；（2）已知点P 为直线l ：4x =上的任意一点，直线PA 、PB 与椭圆E 分别交于两点C 、D （不同于A 、B 两点），求证：直线CD 经过定点，并求出该定点的坐标， 24．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为3，且经过点32,22⎛⎫ ⎪⎝⎭.（1）求椭圆C 的方程；（2）经过点()0,2M 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，O 为坐标原点，若OAB 的面积为4617，求直线l 的方程. 25．如图，已知抛物线()2:20C y px p =>，焦点为F ，过点()2,0G p 作直线l 交抛物线C 于A 、B 两点，设()11,A x y 、()22,B x y .（1）若124x x ⋅=，求抛物线C 的方程；（2）若直线l 与x 轴不垂直，直线AF 交抛物线C 于另一点M ，直线BF 交抛物线C 于另一点N .求证：直线l 与直线MN 斜率之比为定值.26．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为22，过左顶点与上顶点的直线与圆2243x y +=相切.（1）求椭圆C 的方程﹔（2）已知斜率为k 的直线l 在y 轴上的截距为()0m m b <<，l 与椭圆交于,A B 两点，是否存在实数k 使得2OA OB k k k ⋅=成立?若存在，求出k 的值，若不存在，说明理由.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】设122F F c =，设椭圆Γ的长轴长为12a ，双曲线Ω的实轴长为22a ，设光速为v ，推导出112a vt =，利用椭圆和双曲线的定义可得出1243a a =，由此可计算得出Γ与Ω的离心率之比. 【详解】设122F F c =，设椭圆Γ的长轴长为12a ，双曲线Ω的实轴长为22a ， 在图②中，1CDF 的周长为111212124CF DF CD CF CF DF DF a vt ++=+++==，所以，1148a vt =，可得112a vt =，在图①中，由双曲线的定义可得2122AF AF a -=，由椭圆的定义可得1212BF BF a +=， 22AF BF AB =-，则2121111222AF AF BF AB AF a BF AB AF a -=--=---=，即()111222a AB AF BF a -++=，由题意可知，1ABF 的周长为111AB AF BF vt ++=，即112111322222a a a a vt a =-=-=， 所以，1243a a =. 因此，Γ与Ω的离心率之比为122112:::3:4c ce e a a a a ===. 故选：A.【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a 、c 的值，根据离心率的定义求解离心率e 的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于a 、c 的齐次方程，然后转化为关于e 的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.2．B解析：B 【分析】由12F F M △是以M 为直角直角三角形得到2212||||48MF MF +=，再利用双曲线的定义得到12||||2MF MF -=，联立即可得到12||||MFMF ，代入12F F M S =△121||||2MF MF 中计算即可. 【详解】由22111y x -=可知1,a c ==不妨设12(F F -，因为1212OM F F ==， 所以点M 在以12F F 为直径的圆上，即12F F M △是以M 为直角顶点的直角三角形，故2221212||||||MF MF F F +=，即2212||||48MF MF +=，又12||||22MF MF a -==，所以2124||||MF MF =-=2212||||2MF MF +-12||||482MF MF =-12||||MF MF ，解得12||||22MF MF =， 所以12F F M S =△121||||112MF MF = 故选：B 【点晴】关键点点睛：根据OM =12MF F △为直角三角形是解题的关键，再结合双曲线的定义及勾股定理，即可计算焦点三角形面积，是一道中档题.3．B解析：B 【分析】根据题意，求得4p =，可得抛物线的方程，因为()95OBN OAM ABNM S S S +=梯形△△，所以49OMN OAB ABMN S S S +=梯形△△，根据面积公式，结合抛物线定义，即可求得AB ，不妨设AB 的斜率为k ，可得直线AB 的方程，与抛物线联立，根据韦达定理，可求得A B x x +的值，代入弦长公式，即可求得答案. 【详解】因为点F 到抛物线C 准线的距离为4，所以4p =，所以28y x =， 设抛物线C 的准线与x 轴交于点H ，因为()95OBN OAM ABNM S S S +=梯形△△，所以()()11422192M N A BOMN OABABMNM N OH y y OF y y S S S AM BN y y ⋅-+⋅-+==+⋅-梯形△△，因为2OH OF ==，M N A B y y y y -=-，AM BN AB +=，所以449OMN OAB ABMN S S S AB +==梯形△△，则9AB =， 显然直线AB 的斜率存在，不妨设为k ，则():2AB y k x =-， 与抛物线联立可得：()22224840k x k x k -++=， 从而284A B x x k +=+， 所以28489A B A k B x x =++=+=，解得22k =±. 故选：B【点睛】解题的关键是根据面积的关系，得到49OMN OAB ABMN S S S +=梯形△△，结合图象，可求得9AB =，再利用抛物线的弦长公式求解，考查分析计算，化简求值的能力，属中档题.4．B解析：B【分析】先根据题意画出图形，再根据122F A F B=-，得到21F AF B B P ∽，根据相似比得到222a a c c c c ⎛⎫+=⨯- ⎪⎝⎭，即可求出离心率. 【详解】 解：如图所示：122F A F B =-，12//F A F B ∴，12AF B BF P ∴∽，且122F PF P=, 即222a a c c c c ⎛⎫+=⨯- ⎪⎝⎭， 两边同时除以a 得2a c c a c a a c ⎛⎫+=⨯- ⎪⎝⎭， 即122e e e e+=-， 又1e >，解得：3e = 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用三角形相似比得到,a c 的关系式，进而求得离心率.5．D解析：D 【分析】 首先设直线22x y c =+，与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，同时由条件可得123y y =-，与根与系数的关系联立消元可得22213242a b c +=，求得椭圆的离心率. 【详解】设直线方程为2x y c =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，与椭圆方程联立得22224102a b y cy b ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，12222y y a b+=+4122212b y y a b =-+ ① 223AF F B =，()()1122,3,c x y x c y ∴--=-， 得123y y =- ②，由①②联立可得，22213242a bc +=即22222323c a b a c =+=-，得2243c a =，椭圆的离心率c e a ==. 故选：D 【点睛】方法点睛：本题考查直线与椭圆的位置关系的综合问题，考查学生的转化和计算能力，属于中档题型，求离心率是圆锥曲线常考题型，涉及的方法包含1.根据,,a b c 直接求，2.根据条件建立关于,a c 的齐次方程求解，3.根据几何关系找到,,a b c 的等量关系求解.6．A解析：A 【分析】利用双曲线的定义、余弦定理以及三角形的面积公式可求得123F PF π∠=，利用双曲线的定义以及126PF PF a +=可求得14PF a =，22PF a =，再利用余弦定理可得出ba的值，由此可求得双曲线C 的渐近线方程. 【详解】设12F PF θ∠=，由双曲线的定义可得122PF PF a -=， 在12PF F △中，由余弦定理可得2221212122cos F F PF PF PF PF θ=+-⋅，即()()()22212121212222cos 421cos c PF PF PF PF PF PF a PF PF θθ=-+⋅-⋅=+⋅-，所以，222122221cos 1cos c a b PF PF θθ-⋅==--，1222221222sin cos1sin 22sin 21cos tan112sin 22PF F b b b S PF PF θθθθθθθ⋅=⋅====-⎛⎫-- ⎪⎝⎭△，tan2θ∴=0θπ<<，可得022θπ<<，26θπ∴=，所以，3πθ=，由已知可得121226PF PF a PF PF a ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得1242PF aPF a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，由余弦定理可得2221212122cos F F PF PF PF PF θ=+-⋅，即222221416416122c a a a a =+-⨯=，则223c a =，即2223a b a +=，b ∴=， 因此，双曲线C的渐近线方程为by x a=±=0y ±=. 故选：A. 【点睛】思路点睛：求解双曲线的渐近线的常用思路：（1）转化已知条件，得到a 、b 、c 中任意两个量的等量关系；（2）若得到a 、b 的等量关系，则渐近线方程可得；若已知a 、c 或b 、c 之间的等量关系，结合222+=a b c 可求得ba的值，则渐近线方程可求. 7．B解析：B 【分析】首先由椭圆的对称性得到点P 的位置，再求解,c b 的值. 【详解】根据椭圆的对称性可知，若椭圆上只有一个点满足OF FP =，这个点只能是右顶点，即2a c c a c -=⇒=，由条件可知242a a =⇒=，则1c =，那么b ==故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键是确定点P 的位置，从而得到2a c =这个关键条件.8．B解析：B【分析】求出P 点所在轨迹方程，与直线方程联立方程组，方程组解的个数就是满足题意的P 点的个数． 【详解】∵PM PN +=2MN =，∴P 在以,M N为焦点，由于2a =，a =1c =，因此1b ==，椭圆方程为2212x y +=，由2212y x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴P 点只有一个． 故选：B ． 【点睛】关键点点睛：本题考查求平面满足题意的的个数，方法是求出满足动点P 的一个条件的轨迹方程，由方程组的解的个数确定曲线交点个数，从而得出结论，这也是解析几何的基本思想．9．D解析：D 【分析】设椭圆和双曲线的方程，由题意可得2122PF F F c ==，再利用椭圆和双曲线的定义分别求出1PF ，即可得122a a c +=，计算12112e e +=，()121212111992e e e e e e ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭展开后利用基本不等式即可求最值. 【详解】设椭圆1C 的方程为2222111x y a b +=，则222111c a b =-，设双曲线2C 的方程为2222221x y a b -=，则222222c a b =+，因为椭圆1C 和双曲线2C 的焦点相同，所以2212c c =，设12c c c ==即22221122a b a b -=+，因为P 是椭圆1C 和双曲线2C 的一个公共点， 所以1212+=PF PF a ，2122PF PF a -=，因为线段1PF 垂直平分线经过2F ，所以2122PF F F c ==，所以1122PF a c =-，且1222PF c a =-，所以122222a c c a -=-，可得122a a c +=， 所以11c e a =，22c e a =，所以1212121122a a a a ce e c c c c++=+===， 所以()211212121291111991022e e e e e e e e e e ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()11101023822⎛≥+=+⨯= ⎝， 当且仅当21129e e e e =，即213e e =时等号成立， 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是利用已知条件得出122a a c +=，进而可得12112e e +=， 再利用基本不等式可求最值.10．B解析：B 【分析】根据抛物线的标准方程求出焦点坐标和准线方程，利用抛物线的定义可得||||||||PA PF PA PF AM +=+≥，故AM 为所求【详解】解：由题意得2p =，焦点(0,1)F ，准线方程为1y =-， 设P 到准线的距离为PM ，（即PM 垂直于准线，M 为垂足），则||||||||9PA PF PA PF AM +=+≥=，（当且仅当,,P A M 共线时取等号）， 所以||||PA PF +的最小值是9， 故选：B 【点睛】关键点点睛：此题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，解题的关键是由题意结合抛物线定义得||||||||PA PF PA PF AM +=+≥，从而可得结果11．C解析：C 【分析】由已知得直线l 的方程可得c ，设()11,A x y ()22,B x y 代入椭圆的方程做差可得22ba18=，然后利用222b c a =-可得2a ，再利用椭圆定义可得答案.【详解】易得直线l 的方程为113(2)1442y x x =++=+， 当0y =时，6x =-，所以6c =，设()11,A x y ，()22,B x y ，则22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，则22222121220x x y y a b --+=， 整理得222212121222212121y y y y y y b a x x x x x x -+-=-=-⋅-+-2221136448a a--=-⨯==，解得7a =，则FAB的周长为47a =. 故选：C. 【点睛】本题考查了椭圆的定义、直线和椭圆的位置关系，在解答平面解析几何中的某些问题时，如果能适时运用点差法，可以达到“设而不求”的目的，同时，还可以降低解题的运算量，优化解题过程，这类问题通常与直线斜率和弦的中点有关或借助曲线方程中变量的取值范围求出其他变量的范围.12．C解析：C 【分析】根据方程2214x y a a +=-表示椭圆求出实数a 的取值范围，然后利用集合的包含关系可判断出“04a <<”是“方程2214x y a a+=-表示椭圆”的条件.【详解】若方程2214x y a a+=-表示椭圆，则0404a a a a >⎧⎪->⎨⎪≠-⎩，解得02a <<或24a <<， 记为{}02,24A a a a =<<<<或， 又记{}04B a a =<<，AB则“04a <<”是“方程2214x y a a+=-表示椭圆”的必要不充分条件.故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是求出方程为椭圆的充分必要条件.二、填空题13．【分析】先根据的面积和短轴长得出abc的值求得的范围再通分化简为关于的函数利用二次函数求得最值即得取值范围【详解】由已知得故∵的面积为∴∴又故∴∴又而即∴当时最大为；当或时最小为即∴即即的取值范围为解析：25, 58⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】先根据1F AB的面积和短轴长得出a，b，c的值，求得1PF的范围，再通分化简1211PF PF+为关于1PF的函数，利用二次函数求得最值，即得取值范围．【详解】由已知得28b=，故4b=，∵1F AB的面积为4，∴()142a c b-=，∴2a c-=，又()()22216a c a c a c b-=-+==，故8a c+=，∴5a=，3c=，∴12121211PF PFPF PF PF PF++=()()()22 1111111210101021010525aPF a PF PF PF PF PF PF====---+--+，又而1a c PF a c-≤≤+，即128PF≤≤，∴当15PF=时，()21525PF--+最大，为25；当12=PF或8时，()21525PF--+最小，为16，即()211652525PF≤--+≤，∴121011102516PF PF≤+≤，即12211558PF PF≤+≤.即1211PF PF +的取值范围为25,58⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故答案为：25,58⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】 关键点点睛：本题解题关键在于熟练掌握椭圆的性质1a c PF a c -≤≤+，结合椭圆定义和二次函数最值求法，即突破难点.14．【分析】先分析出得到消去b 整理出ac 的齐次式求出离心率的范围【详解】由落在椭圆上则又得：∴由得：即解得：又∴故答案为：【点睛】求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据题目的条件找到abc 的关系消去b 构解析：⎫⎪⎪⎣⎭【分析】先分析出||b PO a ≤≤，得到b c a ≤<，消去b ，整理出a 、c 的齐次式，求出离心率的范围. 【详解】由P 落在椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>上，则||b PO a ≤≤.又12|1|||2PO F F =得：||PO c = ∴b c a ≤<由b c ≤得：22b c ≤，即222a c c -≤，解得：2c e a =≥又1e <，∴12e ≤<故答案为：2⎫⎪⎪⎣⎭【点睛】求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据题目的条件，找到a 、b 、c 的关系，消去b ，构造离心率e 的方程或（不等式）即可求出离心率．15．【分析】由题意可得Q 点坐标代入双曲线方程计算即可得出离心率【详解】设则中点由题意可得由在双曲线上可得两边同除可得解得（舍）故答案为：【点睛】关键点点睛：齐次式方程两边同除可得关于离心率的方程即可求出【分析】由题意可得Q 点坐标，代入双曲线方程，计算即可得出离心率. 【详解】设(,)Q m n ，则FQ 中点(,)22+m c n，=-FQ n k m c由题意可得325224215c nm c m n c n m c +⎧⎧=-=⨯⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪⨯=-=⎪⎪-⎩⎩，由(,)Q m n 在双曲线上，可得222242242222234()()91655119502502525()--=⇒-=⇒-+=-c c c c c a c a a b a c a 两边同除4a ，可得42950250e e -+=，解得3==e e （舍）【点睛】关键点点睛：齐次式方程，两边同除可得关于离心率的方程，即可求出离心率.本题考查了计算能力和逻辑推理能力，属于中档题目.16．3【分析】先根据抛物线方程求出p 的值再由抛物线性质求出的垂直平分线方程即可得到答案【详解】∵抛物线∴p=2焦点F(10)可设直线l ：P(x1y1)Q(x2y2)将代入抛物线得：∴设PQ 中点为N(x0解析：3 【分析】先根据抛物线方程求出p 的值，再由抛物线性质求出PQ 的垂直平分线方程，即可得到答案. 【详解】∵抛物线2:4C y x =,∴p =2，焦点F (1,0) 可设直线l ：(1)y k x =-,P (x 1,y 1)、Q (x 2,y 2)将(1)y k x =-代入抛物线2:4C y x =得：2222(24)0k x k x k -++= ∴12242x x k +=+1224||226,PQ x x p k k =++=++=∴=设PQ 中点为N (x 0,y 0),则2120004242,(1)222x x k x y k x k ++=====-=所以线段PQ 的垂直平分线方程：1(2)y k x k-=-- 令y =0，可得x =4，所以||413MF =-= 故答案为：3 【点睛】坐标法是解析几何的基本方法,利用坐标法把几何关系转化为代数运算.17．【分析】取AB 中点H 后证明H 为PF 中点从而在直角三角形OFH 中利用勾股定理找到求出离心率【详解】如图示取AB 中点H 连结OH 则OH ⊥AB 设椭圆右焦点E 连结PE ∵AB 三等分线段PF ∴H 为PF 中点∵O 为E 解析：17 【分析】取AB 中点H 后，证明H 为PF 中点，从而在直角三角形OFH 中，利用勾股定理，找到221725a c =，求出离心率.【详解】如图示，取AB 中点H ，连结OH ，则OH ⊥AB ，设椭圆右焦点E ，连结PE ∵AB 三等分线段PF ，∴ H 为PF 中点. ∵O 为EF 中点，∴OH ∥PE 设OH=d,则PE=2d ，∴PF=2a-2d ，BH=3a d- 在直角三角形OBH 中，222OB OH BH =+,即22293a a d d -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得：5a d =. 在直角三角形OFH 中，222OF OH FH =+,即()222c d a d =+-，解得：221725a c =， ∴离心率17c e a ==. 17 【点睛】求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据题目的条件，找到a 、b 、c 的关系，消去b ，构造离心率e 的方程或（不等式）即可求出离心率．18．【分析】首先根据椭圆定义分析分析当的周长最大时直线的位置再求的面积得到椭圆的离心率【详解】设椭圆的右焦点为当直线过右焦点时等号成立的周长此时直线过右焦点得故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆内 解析：12【分析】首先根据椭圆定义分析，分析当ABF 的周长最大时，直线AB 的位置，再求ABF 的面积，得到椭圆的离心率. 【详解】设椭圆的右焦点为F '，AF BF AB ''+≥，当直线AB 过右焦点F '时，等号成立，∴ABF 的周长4l AF BF AB AF BF AF BF a ''=++≤+++=，此时直线AB 过右焦点，22b AB a =，221222ABFb Sc ba=⨯⨯=，得12c e a ==. 故答案为：12【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆内的线段和的最值问题，关键是利用两边和大于第三边，只有三点共线时，两边和等于第三边，再结合椭圆的定义，求周长的最值.19．【分析】由题意可得的外接圆的圆心在线段上可得在中由勾股定理可得：即结合即可求解【详解】由题意可得：的外接圆的圆心在线段上设圆心为则在中由勾股定理可得：即所以即所以所以故答案为：【点睛】方法点睛：求椭 解析：12【分析】由题意可得12BF F △的外接圆的圆心在线段OB 上，1OF c =，123bMF BM ==，可得 13OM b =，在1OMF △中，由勾股定理可得：22211MF OM OF =+，即222233b b c ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，结合222b ac =-即可求解. 【详解】由题意可得：12BF F △的外接圆的圆心在线段OB 上，1OF c =， 设圆心为M ，则2133OM OB BM b b b =-=-=， 在1OMF △中，由勾股定理可得：22211MF OM OF =+，即222233b b c ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以223b c =，即2223a c c -=，所以2a c =，所以12c e a ==， 故答案为：12. 【点睛】方法点睛：求椭圆离心率的方法： （1）直接利用公式c e a=； （2）利用变形公式221be a=-； （3）根据条件列出关于,a c 的齐次式，两边同时除以2a ，化为关于离心率的方程即可求解.20．【分析】根据题意结合椭圆定义可得设代解得代回方程即可【详解】解：因为是椭圆上一点且成等差数列所以所以故椭圆方程可设为代解得所以椭圆方程为故答案为：【点睛】椭圆几何性质的应用技巧：（1）与椭圆的几何性解析：2212015x y += 【分析】根据题意结合椭圆定义可得2a c =，设2222143x y c c+=代(4,3)M -解得25c =代回方程即可. 【详解】解：因为M 是椭圆上一点，且1MF ，12F F ，2MF 成等差数列 所以2121224MF a MF F F c ===+，所以2a c =，3b c =故椭圆方程可设为2222143x y c c+=代(4,3)M 解得25c =所以椭圆方程为2212015x y +=故答案为：2212015x y +=【点睛】椭圆几何性质的应用技巧：（1）与椭圆的几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形；（2）椭圆相关量的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如：,,01a x a b y b e -≤≤-≤≤<<，三角形两边之和大于第三边，在求椭圆相关量的范围或最值时，要注意应用这些不等关系.三、解答题21．（1）2；（2）y ＝(x ﹣1). 【分析】（1）根据题意可得F （2p ，0），当l ⊥x 轴时，直线l 的方程为x ＝2p，与抛物线联立得A ，B 坐标，再计算|AB |＝2p ＝4，即可得出答案.（2）设直线l 的方程为y ＝k (x ﹣1），A (x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立直线l 与抛物线的方程可得的关于x 的一元二次方程，由韦达定理可得x 1+x 2，x 1x 2，再结合|AF |＝2|BF |与焦半径公式可得x 1＝2x 2+1，进而解得x 2，x 1，故由x 1+x 2＝2224k k +＝52，解得k ，进而可得答案. 【详解】解：（1）根据题意可得F (2p，0)， 当l ⊥x 轴时，直线l 的方程为x ＝2p ， 联立直线l 与抛物线y 2＝2px ，得y 2＝2p ×2p ， 解得y ＝±p ，所以A （2p ，p ），B （2p，﹣p ）， 所以|AB |＝2p ＝4，所以p ＝2.（2）设直线l 的方程为y ＝k （x ﹣1），A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立24(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩，得k 2x 2﹣(2k 2+4)x +k 2＝0，所以∆＝(2k 2+4)2﹣4k 4＝16k 2+16＞0，所以x 1+x 2＝2224k k+，x 1x 2＝1， 因为|AF |＝2|BF |，根据焦半径公式可得|AF |＝x 1+1＝2（x 2+1）＝2|BF |，即x 1＝2x 2+1， 所以(2x 2+1)x 2＝1，即222x +x 2﹣1＝0，解得x 2＝12或x 2＝﹣1（舍）， 所以x 1＝2x 2+1＝2，所以x 1+x 2＝2224k k+＝52，即k 2＝8，解得k ＝， 所以直线l 的方程为：y ＝(x ﹣1). 【点睛】关键点点睛：本题考查求抛物线的方程，考查抛物线的焦点弦性质．解题方法是设直线l 的方程为y ＝k （x ﹣1），A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，利用抛物线的定义结合已知条件得出12,x x 的关系，而直线方程代入抛物线方程后应用韦达定理得1212,x x x x +，由刚才的关系可求先得12,x x ，再求得直线斜率k ．这里仍然利用了设而不求的思想方法． 22．（1）124tan 3F AF ∠=，直线l 的方程为210x y --=；（2）不存在，理由见解析. 【分析】（1）分析得出2AF x ⊥轴，进而可得出12122tan F F F AF AF ∠=，设122F AF θ∠=，求出tan θ的值，可得出直线l 的斜率，进而可得出直线l 的方程；（2）假设椭圆E 上存在关于直线l 对称的相异两点()11,M x y 、()22,N x y ，进而可设直线MN 的方程为2xy t =-+，与椭圆E 的方程联立，列出韦达定理，求出线段MN 的中点P 的坐标，根据点P 在直线l 上，求出t 的值，可得出点P 的坐标，由此可得出结论. 【详解】（1）在椭圆E 中，4a =，b =2c =，则()12,0F -、()22,0F ，因为222311612+=，即点A 在椭圆E 上，且2AF x ⊥轴，121224tan 3F F F AF AF ∠==，设122F AF θ∠=，则22tan 4tan 21tan 3θθθ==-，整理可得22tan 3tan 20θθ+-=， 易知θ为锐角，则tan 0θ>，解得1tan 2θ=， 设直线l 的倾斜角为α，则sin cos 12tan tan 22sin tan cos2πθπθαθπθθθ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=-==== ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭，因此，直线l 的方程为()322y x -=-，即210x y --=；（2）假设椭圆E 上是否存在关于直线l 对称的相异两点()11,M x y 、()22,N x y ， 则直线MN 的斜率为12-，设直线MN 的方程为2xy t =-+， 联立22123448y x t x y ⎧=-+⎪⎨⎪+=⎩，整理可得22120x tx t -+-=， 由韦达定理可得12x x t +=，则()121213222y y x x t t +=-++=， 所以，线段MN 的中点为3,24t t P ⎛⎫⎪⎝⎭， 点P 在直线l 上，所以，32110244t t t⨯--=-=，解得4t =， 所以点()2,3P ，此时，点P 与点A 重合，不合乎题意. 因此，椭圆E 上不存在关于直线l 对称的相异两点. 【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的探索性问题求解思路如下： 第一步：假设结论存在．第二步：结合已知条件进行推理求解．第三步：若能推出合理结果，经验证成立即可肯定正确；若推出矛盾，即否定假设． 第四步：反思回顾，查看关键点、易错点及解题规范．23．（1）2214x y +=；（2）证明见解析，()1,0.【分析】（1）利用椭圆的定义可得12|||2|MF MF a =+，根据基本不等式求出2a =，再由离心率求出c =222a b c =+即可求解.（2）当点C 是椭圆上顶点时，求出()4,3P ，进而求出点83,55D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，写出直线CD 的方程，得出直线CD 经过定点()1,0N ，设l 上任意点()4,P m ，设(),C C C x y ，(),y D D D x ，写出直线PA 的方程，将直线与椭圆联立，求出2221826,99m m C m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，同理求出222222,11m m D m m ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，若直线CD 经过定点()1,0N ，只需,,N C D 三点共线，利用向量共线的坐标表示即可求解. 【详解】（1）由椭圆的定义知12|||2|MF MF a =+，所以2122122MF MF MF MF a ⎛+⎫≤= ⎪⎝⎭，已知12||||4MF MF ≤，所以24a =，2a =.因为e =c = 因为222a b c =+，所以1b =，所以椭圆E 的方程为2214x y +=.（2）当点C 是椭圆上顶点时，直线AC 的方程为()122y x =+，可得()4,3P ，则()3:22PB l y x =-与2214x y +=联立解得83,55D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以直线CD 的方程为：10x y +-=，由椭圆的对称性可知，直线CD 经过x 轴上的定点， 所以直线CD 经过定点()1,0N . 以下证明一般性：设l 上任意点()4,P m ，设(),C C C x y ，(),y D D D x 则直线PA 的方程为()26my x =+联立22(2)614m y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y 得()2222944360m x m x m +++-=由韦达定理得2243629C m x m --=+，解得2221826,99m m C m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭因为直线PB 的方程为()22my x =- 联立22(2)214m y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y 得()222214440m x m x m +-+-=由韦达定理得224421D m x m -=+，解得222222,11m m D m m ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭ 直线CD 经过定点()1,0N ，即,,N C D 三点共线因为222936,99m m NC m m ⎛⎫-= ⎪++⎝⎭，22232,11m m ND m m ⎛⎫--= ⎪++⎝⎭ 因为222222932639191m m m m m m m m ---⨯-⨯++++ ()()()332218661891m m m m m m -+--=++0=所以//NC ND ，那么,,N C D 三点共线 所以直线CD 经过定点()1,0N ， 【点睛】关键点点睛：本题考查了直线与椭圆的位置关系，解题的关键是利用点C 是椭圆上顶点时，求出定点()1,0N ，再证明一般性，借助,,N C D 三点共线求解，考查了运算求解能力.24．（1）22132x y +=；（2）22y x =±+或2y =+.【分析】（1）由离心率公式、将点3,22⎛ ⎝⎭代入椭圆方程得出椭圆C 的方程；（2）联立椭圆和直线l 的方程，由判别式得出k 的范围，再由韦达定理结合三角形面积公式得出S ==，求出k 的值得出直线l 的方程. 【详解】解：（1）因为椭圆的离心率为3，所以222213b a =-=⎝⎭.①又因为椭圆经过点3,22⎛⎝⎭，所以有2291142a b +=.②联立①②可得，23a =，22b =，所以椭圆C 的方程为22132x y +=.（2）由题意可知，直线l 的斜率k 存在，设直线l 的方程为2y kx =+.由222,132y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得，()22231260+++=k x kx .因为直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B 所以()()()22212242324320k kk∆=-+=->，即2320k ->，所以223k >. 设()11,A x y ，()22,B x y ，则1221223k x x k -+=+，122623x x k =+. 由题意得，OAB 的面积1212S OM x x =⨯⨯-12x x =-=即223S k ==+ 因为OAB，所以22317k=+，即()2232k =+. 化简得，42491660k k -+=，即()()2243220k k --=，解得234k =或222k =，均满足0∆>，所以2k =±或k = 所以直线l 的方程为2y x =+或2y =+. 【点睛】关键点睛：在第二问中，关键是由韦达定理建立12,x x 的关系，结合三角形面积公式求出斜率，得出直线l 的方程.25．（1）24y x =；（2）证明见解析. 【分析】（1）设直线l 的方程为2x my p =+，将直线l 的方程与抛物线C 的方程联立，列出韦达定理，由题意可得出222122144y y x x p==，求出p 的值，进而可得出抛物线C 的方程； （2）设点()33,M x y 、()44,N x y ，可得出213y y p =-，224y y p =-，利用直线的斜率公式以及韦达定理可得出lMNk k 为定值. 【详解】（1）若直线l 与x 轴重合，则该直线与抛物线C 有且只有一个交点，不合乎题意. 设直线l 的方程为2x my p =+，代入22y px =得22240y pmy p --=，则()22440p m ∆=+>，且2124y y p =-，则22212122444y y x x p p⋅===， 0p >，解得1p =.∴抛物线C 的方程为24y x =；（2）证明：()33,M x y 、()44,N x y ，同（1）可知，直线AM 不可能与x 轴重合，设直线AM 的方程为2p x ty =+， 联立222p x ty y px⎧=+⎪⎨⎪=⎩，消去x 得2220y tpy p --=，由韦达定理可得213y y p =-，同理可得224y y p =-， 又直线l 的斜率12122212121222l y y y y pk y y x x y y p --===--+， 直线MN 的斜率3434342MN y y pk x x y y -==-+，()2221222341212212121212144l MN p y y p p k y y y y y y p p k y y y y y y y y p -+--++--∴======+++-， 故直线l 与直线MN 斜率之比为定值14. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．26．（1）22142x y +=；（2）存在，2k =±. 【分析】（1）根据题意可得2c e a ==，222b a c =-，根据相切列出方程，解得,,c a b 进而可得椭圆的方程．（2）假设存在实数k 满足题意，直线l 的方程为y kx m =+，设()()1122,,,A x y B x y ，联立直线与椭圆的方程，可得关于x 的一元二次方程，由韦达定理可得1212,x x x x +，化简计算2OA OB k k k ⋅=，即可解得k 的值． 【详解】 （1）2c e a ==，a ∴=又222,b a c =-,b c ∴=∴1yc+=，即0x -+=，=即2,c a b ===∴椭圆的方程为22142x y +=.（2）存在实数k 满足题意，理由如下:由题知m <且0m ≠，直线l 的方程为y kx m =+， 设()()1122,,,A x y B x y ，由22142y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得()222124240kxkmx m +++-=2121222424,1212km m x x x x k k-+=-=++ ()()()22222216412248420k m k m k m ∆=-+-=-+>恒成立.()()()2212121212121212OA OBkx m kx m k x x km x x m y y k k x x x x x x +++++⋅=== ()()22222222441224k m k m m k m -+++=-222424k m m -+=- 2222424k m k m -+∴=- ()22210k m ∴-=k ∴=所以存在实数2k =±，使得2OA OB k k k ⋅=成立. 【点睛】关键点睛：直线与圆锥曲线综合问题中，联立方程化简，通过韦达定理化简计算求解是解题的关键，同时注意0∆>.。

一、选择题1．平面α内有一条直线m ，过平面α外一点P 作直线n 与m 所成角为6π，则直线n 与平面α交点的轨迹是（ ） A ．直线B ．抛物线C ．椭圆D ．双曲线2．设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点为F ，直线250x y -+=过点F 且与双曲线C 在第一象限的交点为P ，O 为坐标原点，||||OP OF =，则双曲线的离心率为（ ） A ．2B ．3C ．2D ．53．已知双曲线22221x y a b -=的两个焦点分别为21(,0)(,0)(0)F c F c c ->，过点2,0a P c ⎛⎫⎪⎝⎭的直线与双曲线的左右两支分别交于,A B 两点，且122F A F B =-，求双曲线的离心率（ ） A ．2B ．3C ．5D ．64．已知斜率为(0)k k >的直线l 与抛物线2:4C y x =交于,A B 两点，O 为坐标原点，M 是线段AB 的中点，F 是C 的焦点，OFM ∆的面积等于3，则k =（ ）A ．14B ．13C ．12D ．265．已知F 是双曲线2222:1(0)x y E a b a b-=>>的左焦点，过点F 的直线与双曲线E 的左支和两条渐近线依次交于,,A B C 三点，若||||||FA AB BC ==，则双曲线E 的离心率为（ ） A ．2B ．3C ．2D ．56．如图所示，一隧道内设有双行线公路，其截面由一个长方形的三条边和抛物线的一段构成.为保证安全，要求行驶车辆顶部（假设车顶为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.6m ，已知行车道总宽度7m AB =，则车辆通过隧道的限制高度为（ ）A ．3.90mB ．3.95mC ．4.00mD ．4.05m7．抛物线：24y x =的过焦点的弦的中点的轨迹方程为（ ） A ．21y x =-B ．212y x =-C ．22(1)y x =-D ．221y x =-8．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，实轴长为4，点P 为其右支上一点，点Q 在以()0,4为圆心、半径为1的圆上，若1PF PQ +的最小值为8，则双曲线的渐近线方程为（ ） A ．12y x =±B ．y x =±C ．3y x =±D ．5y x =±9．已知抛物线2:C x y =，点()2,0A ，()0,2B -，点P 在抛物线上，则满足PAB △为直角三角形的点P 的个数有（ ） A ．2B ．4C ．6D ．810．已知双曲线C ：22221x y a b-=(0a >，0b >)的左右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交双曲线左支于P ，交渐近线by x a=于点Q ，点Q 在第一象限，且12FQ F Q ⊥，若12PQ PF =，则双曲线的离心率为（ ）A ．110+ B ．1222+ C ．51+ D ．31+11．过抛物线24y x =的焦点的直线与抛物线交于A ，B 两点，若AB 的中点的纵坐标为2，则AB 等于（ ） A ．4B ．6C ．8D ．1012．在抛物线型内壁光滑的容器内放一个球，其通过中心轴的纵剖面图如图所示，圆心在y 轴上，抛物线顶点在坐标原点，已知抛物线方程是24x y =，圆的半径为r ，若圆的大小变化时，圆上的点无法触及抛物线的顶点O ，则圆的半径r 的取值范围是（ ）A ．()2,+∞B ．()1,+∞C ．[)2,+∞D ．[)1,+∞二、填空题13．在平面直角坐标系xOy 中，1F ，2F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦点.若椭圆C 上存在点P ，使得12|1|||2PO F F =，则椭圆C 的离心率的取值范围为________. 14．已知椭圆C 的两个焦点分别为1(2,0)F -，2(2,0)F ，离心率为12e =，点P 在椭圆C 上，且1230F PF ∠=，则12F PF △的面积为__________．15．已知椭圆T 的中心在坐标原点，左､右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，(4,M 是椭圆上一点，且1MF ，12F F ，2MF 成等差数列，椭圆T 的标准方程________.16．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点为F ，过点F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为H ，点P 在双曲线上，且3FP FH =，则双曲线的离心率为__________．17．若实数x ，y 满足方程2251162x y +=___________．18．设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，点P 在C 的右支上，O 为坐标原点，若存在点P ，使PF OF =，且1cos 4OFP ∠=，则双曲线的离心率为___________．19．双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左焦点为F ，A ､B 分别为C 的左，右支上的点，O 为坐标原点，若四边形ABOF 为菱形，则C 的离心率为______.20．已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>，点F 为E 的左焦点，点P 为E 上位于第一象限内的点，P 关于原点的对称点为Q ，且满足||3||PF FQ =，若||OP b =，则E 的离心率为_________.三、解答题21．已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点.过右焦点F 与x 轴不垂直的直线l 交椭圆于P ，Q 两点. （1）求椭圆的方程；（2）当直线l 的斜率为2时，求POQ △的面积；（3）在线段OF 上是否存在点M (m ，0)，使得MPQ 为等腰三角形？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由.22．已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，当l ⊥x 轴时，｜AB ｜＝4， （1）求p 的值；（2）若|AF |＝2|BF |，求直线l 的方程.23．已知抛物线()2:20C y px p =>过点()4,4-，直线2y x m =-+与抛物线C 相交于不同两点A 、B .（1）求实数m 的取值范围；（2）若AB 中点的横坐标为1，求以AB 为直径的圆的方程.24．设1F ､2F 分别是椭圆2214xy +=的左､右焦点.（1）若P 是该椭圆上的一个动点，求1PF ·2PF 的取值范围；（2）设过定点(0,2)M 的直线l 与椭圆交于不同的两点A ､B ，且AOB ∠为锐角(其中O 为坐标原点)，求直线l 的斜率k 的取值范围.25．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别是12(1,0),(1,0)F F -，过点1F 的直线l 与椭圆相交于A B 、两点，且2ABF 的周长为 （1）求椭圆C 的标准方程；（2）在椭圆中有这样一个结论“已知000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，过0P 作椭圆的两条切线，切点分别为12,P P ，则直线12PP 的方程为00221x x y ya b+=”.现已知M 是圆223x y +=上的任意点，,MA MB 分别与椭圆C 相切于,A B ，求OAB 面积的取值范围.26．已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点到准线的距离为2，直线:2l y kx =+交抛物线于()11,A x y ，()22,B x y 两点. （1）求抛物线C 的标准方程；（2）过点A ，B 分别作抛物线C 的切线1l ，2l ，点P 为直线1l ，2l 的交点. （i ）求证：点P 在一条定直线上； （ii ）求PAB △面积的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】过点P 作PO α⊥，以点O 为坐标原点，OP 为z 轴，以定直线m 为y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设出坐标，分别表示出直线AB 与PM 的方向向量，利用夹角公式即可得出． 【详解】解：过点P 作PO α⊥，以点O 为坐标原点，OP 为z 轴，以定直线m 为y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．不妨设1OP =，30PBO ∠=︒，3OB ∴=． 则(0P ，0，1)，(0,3,0)B ．设点(Q x ，y ，0)，则(,,1)PQ x y =-，取直线m 的方向向量为(0,1,0)u =． 直线AB 与PQ 所成的角为30， 22||3cos30||||1PQ u PQ u x y ∴︒===++， 化为2213y x -=，即为点Q 的轨迹．故选：D ．【点睛】熟练掌握通过建立如图所示的空间直角坐标系利用异面直线的夹角公式求得轨迹的方法是解题的关键．2．D解析：D 【分析】焦点三角形1PFF 满足||||OP OF =，可根据三角形一边的中线是该边的一半，可判断该三角形是直角三角形.算出该三角形的中位线OH ，可得到12PF =，根据双曲线定义和勾股定理计算出,a c 求解. 【详解】直线250x y -+=过点F ，可得()5,0F - 设右焦点为1F ，PF 的中点为H .因为O 是1FF 的中点，且||||OP OF =，故三角形1PFF 为直角三角形.1PF PF ⊥，故OH PF ⊥由点到直线距离公式有()225112OH ==+-故12PF =，12PF PF a -=，()222211225PF PF F F +==故()2222220a ++=. 可得1a =5ce a== 故选：D 【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式c e a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．3．B解析：B 【分析】先根据题意画出图形，再根据122F A F B=-，得到21F AF B B P ∽，根据相似比得到222a a c c c c ⎛⎫+=⨯- ⎪⎝⎭，即可求出离心率. 【详解】 解：如图所示：122F A F B =-，12//F A F B ∴，12AF B BF P ∴∽，且122F PF P=, 即222a a c c c c ⎛⎫+=⨯- ⎪⎝⎭， 两边同时除以a 得2a c c a c a a c ⎛⎫+=⨯- ⎪⎝⎭， 即122e e e e+=-， 又1e >，解得：e = 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用三角形相似比得到,a c 的关系式，进而求得离心率.4．B解析：B 【分析】先求出F ,设出A 、B 、M ，用“点差法”找出121202y y k x x y -==-，利用OFM ∆的面积等于3计算出0y ，求出斜率k . 【详解】由抛物线2:4C y x =知：焦点()1,0F设()()()112200,,,,,,A x y B x y M x y因为M 是线段AB 的中点，所以0121222x x x y y y =+⎧⎨=+⎩将2114y x =和2224y x =两式相减可得：()2212124y y x x -=-，即121202y y k x x y -==- ∵000k y >∴>∴00113,62OFM S y y ∆=⨯⨯=∴=, 022163k y ∴===.故选：B 【点睛】“中点弦”问题通常用“点差法”处理.5．B解析：B 【分析】可设出直线AB ，与两渐近线方程联立，解出,B C y y ，利用两者的关系式求出直线的斜率.进而表示出A 的坐标，代入双曲线方程，得到,,a b c 的关系式，从而求得离心率. 【详解】||||||FA AB BC ==，故有1123A B C y y y == 故32B C y y =设过点F 的直线方程为：()y k x c =+联立()y k x c b y x a ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，解之得C C kc x bk a b kc a y b k a -⎧=⎪+⎪⎪⎨⎪=⎪⎪+⎩ 同理联立()y k x c by x a ⎧=+⎪⎨=⎪⎩解之得B B kc x bk a b kc a y b k a ⎧=⎪-⎪⎪⎨⎪=⎪⎪-⎩由32B C y y =有23b bkc kca ab b k k a a =+-，故3232b b k k a a +=- 解之得5bk a=-直线为：()5by x c a=-+ 则1212A B bc y y a -==，又()5A A b y x c a =-+ 故712A cx =-又A 在双曲线上可得：2222491144144c c a a-=得2213c a =故ca =故选：B 【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式c e a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．6．B解析：B 【分析】设抛物线的方程为2x ay =，可知点()5,5-在该抛物线上，求出a 的值，将 3.5x =代入抛物线方程，求出y 的值，即可得解. 【详解】设抛物线的方程为2x ay =，可知点()5,5-在该抛物线上，则255a -=，解得5a =-，所以，抛物线的方程为25x y =-，将 3.5x =代入抛物线方程得25 3.5y -=，解得 2.45y =-， 因此，车辆通过隧道的限制高度为()7 2.450.6 3.95m --=. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查抛物线的实际应用，设出抛物线的方程，分析出抛物线上的点的坐标，求出抛物线的方程是解题的关键，同时要注意车辆限高的意义.7．C解析：C 【分析】设出过焦点的直线方程，与抛物线方程联立求出两根之和，可得中点的坐标，消去参数可得中点的轨迹方程． 【详解】由抛物线的方程可得焦点(1,0)F ，可得过焦点的直线的斜率不为0， 设直线方程为：1x my =+，设直线与抛物线的交点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，设AB 的中点(,)P x y ， 联立直线与抛物线的方程可得：2440y my --=，124y y m +=，21212()242x x m y y m +=++=+，所以可得2212x m y m⎧=+⎨=⎩，消去m 可得P 的轨迹方程：222y x =-，故选：C ． 【点睛】方法点睛：求轨迹方程的常见方法有：1、定义法；2、待定系数法；3、直接求轨迹法；4、反求法；5、参数方程法等等.8．D解析：D 【分析】设设()0,4E ，由12224PF PF a PF =+=+，可得124P PF PQ PQ F +++=，当且仅当,P Q ，()0,4E 和2F 四点共线时取得最小值，进而可得25EF =，设()2,0F c 即可求出c 的值，进而可求出b 的值，由by x a=±可得渐近线方程. 【详解】设()0,4E ，由双曲线的定义可知：12224PF PF a PF =+=+， 所以124P PF PQ PQ F +++=，当,P Q 在圆心()0,4E 和2F 连线上时，1PF PQ +最小，()2mi 2n 1PFPQ EF =-+，所以2418EF +-=，解得25EF =，设()2,0F c ()0c >5=，解得3c =，因为2a =，所以b =，所以双曲线的渐进线为：b y x x a =±=， 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是由双曲线的定义可得124P PF PQ PQ F +++=，利用2,,,P Q E F 共线时()2mi 2n1PF PQEF =-+求出25EF =.9．B解析：B 【分析】分三个角为直角分别进行讨论，通过数形结合即得结果. 【详解】(1)若APB ∠为直角，如下图，即以AB 为直径的圆与抛物线的交点为P ，易见有O ，P 两个点符合题意；（2）若PAB ∠为直角，则过A 作直线垂直AB ，如下图，易见有P ，P '两个点符合题意；（3）若PBA ∠为直角，则过B 作直线垂直AB ，如上图，易见无交点，不存在点P 符合题意.综上，共有4个点符合题意. 故选：B. 【点睛】 关键点点睛：本题的解题关键在于对三个角为直角进行分类讨论，再结合数形结合思想即突破难点.10．A解析：A 【分析】由12FQ F Q ⊥得出OQ c =，求出Q 点坐标为(,)a b ，利用12PQ PF =表示出P 点坐标，代入双曲线方程得关于,,a b c 的等式，变形后可求得e ． 【详解】∵12FQ F Q ⊥，O 是12F F 中点，∴OQ c =， 设(,)Q x y （0,0x y >>），则222y bx a x y c⎧=⎪⎨⎪+=⎩，又222a b v +=，故解得x a y b =⎧⎨=⎩，即(,)Q a b ，12PQ PF =，则12QP PF =，(,)2(,)P P P P x a y b c x y --=---，解得233P P a c x b y -⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 又P 在双曲线上，∴2222(2)199a c b a b --=，解得e =舍去）． 故选：A ． 【点睛】关键点点睛：本题考查求双曲线的离心率，解题关键是找到关于,a c 的齐次式，本题利用P 在双曲线上列式，由12FQ F Q ⊥得(,)Q a b ，由12PQ PF =表示出P 点坐标，代入双曲线方程即可求解．11．C解析：C 【分析】先根据抛物线的定义将焦点弦长问题转化为中点到准线距离的两倍，进而用中点横坐标表示，设直线AB 的方程为：1x my =+(m 为常数),与抛物线方程联立消去x ,得到关于y 的一元二次方程，利用中点公式和韦达定理求得m 的值，进而得到中点的横坐标，从而求得线段AB 的长度. 【详解】抛物线24y x =的焦点坐标F (1,0),准线方程:1l x =-,设AB 的中点为M ,过A ,B ,M 作准线l 的垂线，垂足分别为C ,D ,N ,则MN 为梯形ABDC 的中位线，()02|21AB AF BF AC BD MN x ∴=+=+==+,∵直线AB 过抛物线的焦点F ,∴可设直线AB 的方程为：1x my =+(m 为常数), 代入抛物线的方程消去x 并整理得：2440y my --=, 设A ,B 的纵坐标分别为12,y y ,线段AB 中点()00,M x y , 则120222y y y m +===,1m ∴=, ∴直线AB 的方程为1x y =+,001213x y ∴=+=+=,()2318AB ∴=+=，故选：C.【点睛】本题考查抛物线的焦点弦长问题，涉及抛物线的定义，方程，线段中点坐标公式，直线与抛物线的交点问题，属中档题，关键是灵活使用抛物线的定义，将焦点弦长问题转化为中点坐标问题，注意直线方程的设法：过点(a ,0)，斜率不为零的直线方程可以设为x =my +a 的形式，不仅避免了讨论，而且方程组消元化简时更为简洁.12．A解析：A 【分析】设圆心为(0,)P a ，（0a >），半径为r ，(,)Q x y 是抛物线上任一点，求出2PQ ，当2PQ 的最小值在原点处取得时，圆P 过原点，可得此时圆半径的范围，半径不在这个范围内的圆不过原点． 【详解】设圆心为(0,)P a ，（0a >），半径为r ，(,)Q x y 是抛物线上任一点，22222()4()(2)44PQ x y a y y a y a a =+-=+-=-++-，若2PQ 的最小值不在(0,0)O 处取得，则圆P 不过原点， 所以20a ->，即2a >，此时圆半径为44212r a a =-=->．因此当2r >时，圆无法触及抛物线的顶点O ．故选：A ． 【点睛】关键点点睛：本题考查圆与抛物线的位置关系，题中圆不过原点，说明抛物线上的点到圆心距离的最小值不是在原点处取得，由此得到解法，即设圆心为(0,)P a ，抛物线上点的坐标为(,)Q x y ，求出PQ ，然后确定其最小值，由最小值点不是原点可得结论．二、填空题13．【分析】先分析出得到消去b 整理出ac 的齐次式求出离心率的范围【详解】由落在椭圆上则又得：∴由得：即解得：又∴故答案为：【点睛】求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据题目的条件找到abc 的关系消去b 构解析：,12⎫⎪⎪⎣⎭【分析】先分析出||b PO a ≤≤，得到b c a ≤<，消去b ，整理出a 、c 的齐次式，求出离心率的范围. 【详解】由P 落在椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>上，则||b PO a ≤≤.又12|1|||2PO F F =得：||PO c = ∴b c a ≤<由b c ≤得：22b c ≤，即222a c c -≤，解得：2c e a =≥又1e <，∴1e ≤<故答案为：2⎫⎪⎪⎣⎭【点睛】求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据题目的条件，找到a 、b 、c 的关系，消去b ，构造离心率e 的方程或（不等式）即可求出离心率．14．【分析】由椭圆定义得由余弦定理得结合可得的值从而得答案【详解】由已知得所以由椭圆定义得由余弦定理得即则的面积为故答案为：【点睛】本题考查了椭圆的简单的性质关键点是利用余弦定理和三角形的面积公式解题考解析：24-【分析】由椭圆定义得128F P PF +=，由余弦定理得22212121212cos 2F P PF F F F PF F P PF +-∠=⨯，结合可得12F P PF ⨯的值，从而得答案. 【详解】 由已知得12,2c e ==，所以4a =， 由椭圆定义得12248F P PF +=⨯=， 由余弦定理得222121212123cos cos3022F P PF F F F PF F P PF +-∠===⨯， 即()2121212216F P PF F P PF P PF +-⨯-=⨯，12F P PF ⨯=，则12F PF △的面积为12111sin 3024222S F P PF =⨯⨯=⨯=-故答案为：24- 【点睛】本题考查了椭圆的简单的性质，关键点是利用余弦定理和三角形的面积公式解题，考查了学生分析问题、解决问题的能力.15．【分析】根据题意结合椭圆定义可得设代解得代回方程即可【详解】解：因为是椭圆上一点且成等差数列所以所以故椭圆方程可设为代解得所以椭圆方程为故答案为：【点睛】椭圆几何性质的应用技巧：（1）与椭圆的几何性解析：2212015x y += 【分析】根据题意结合椭圆定义可得2a c =，设2222143x y c c+=代(4,M 解得25c =代回方程即可.【详解】解：因为M 是椭圆上一点，且1MF ，12F F ，2MF 成等差数列所以2121224MF a MF F F c ===+，所以2a c =，b =故椭圆方程可设为2222143x y c c +=代(4,M 解得25c =所以椭圆方程为2212015x y +=故答案为：2212015x y +=【点睛】椭圆几何性质的应用技巧：（1）与椭圆的几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形；（2）椭圆相关量的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如：,,01a x a b y b e -≤≤-≤≤<<，三角形两边之和大于第三边，在求椭圆相关量的范围或最值时，要注意应用这些不等关系.16．【分析】根据向量条件求出的坐标代入双曲线方程即可得出结论【详解】由题意设直线的方程为与渐近线联立可得的坐标为即代入双曲线方程可得化简可得故答案为：【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质求双曲解析：2【分析】根据向量条件，求出P 的坐标，代入双曲线方程，即可得出结论. 【详解】由题意，设(,)P x y ，直线FH 的方程为()ay x c b=+，与渐近线b y x a=-联立，可得H 的坐标为2(,)c aba c -，3FP FH =，即23a x c c cab y c ⎧+=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 2323a x c c ab y c ⎧=-+⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩，代入双曲线方程可得，222223(2)91a c a c a c -+-=， 化简可得22413c a=，13c ea ，故答案为：2【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式c e a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．17．【分析】由题可知可表示为椭圆上的点到点上焦点的距离之和设其椭圆的下焦点为再由椭圆定义转化为求解的范围【详解】可表示为椭圆上的点到点上焦点的距离之和即设其椭圆的下焦点为又由椭圆定义得所以又所以故故答案解析：[10-+【分析】(),P x y到点1,0A，上焦点()20,3F的距离之和，设其椭圆的下焦点为()10,3F-，再由椭圆定义转化为求解110PA PF+-的范围.【详解】+(),P x y到点1,0A，上焦点()20,3F2PA PF=+，设其椭圆的下焦点为()10,3F-，又由椭圆定义得1210PF PF+=，所以2110PA PF PA PF+=+-，又11PA PF AF-≤=1PA PF-≤故21010PA PF+≤故答案为：[10-+【点睛】点(),P x y到点1,0A，上焦点()20,3F的距离之和的问题.18．2【分析】在焦点三角形中由余弦定理求得关系再求离心率【详解】设双曲线的左焦点为在中由余弦定理得故答案为：2【点晴】求离心率的关键是得的关系本题是由余弦定理得出解析：2【分析】在焦点三角形中由余弦定理求得,a c关系，再求离心率.【详解】设双曲线的左焦点为E，在EFP△中，2EF c=，2PF c PE a c==+，，1cos4EFP∠=.由余弦定理()222421cos224c c c aEFPc c+-+∠==⋅⋅，得2cea==.故答案为：2【点晴】求离心率的关键是得,,a b c的关系，本题是由余弦定理得出.19．【分析】先根据四边形为菱形及双曲线的性质求的度数再根据双曲线的定义找的关系最后由离心率的计算公式求结论【详解】设右焦点为连接过作轴于因为双曲线关于轴对称四边形为菱形所以所以所以所以根据双曲线的定义可解析：31+. 【分析】先根据四边形ABOF 为菱形，及双曲线的性质，求AFO ∠的度数，再根据双曲线的定义找,a c 的关系，最后由离心率的计算公式求结论. 【详解】设右焦点为'F ，连接'AF ，过A 作AH x ⊥轴于H ，因为双曲线C 关于y 轴对称，四边形ABOF 为菱形， 所以AB OF AF c ===，2c OH FH ==， 所以60AFO ∠=︒，所以'AF AF ⊥，所以'3AF c =， 根据双曲线的定义可得'32AF AF c c a -=-=， 所以3131e ==+-， 31. 【点睛】方法点睛：该题考查的是有关双曲线离心率的求解问题，对于求解圆锥曲线离心率的值或范围的解题方法如下：（1）一般不直接求出的值，而是根据题目给出的圆锥曲线的集合特征建立关于参数,,c a b 的方程组或不等式组，通过解方程组或不等组求得离心率的值或范围； （2）通常从两个方面入手研究，一是考虑几何关系，二是考虑代数关系； （3）注意用好定义.20．【分析】由题意设即有由双曲线定义及已知可得且结合点在曲线上联立方程得到关于的齐次方程即可求得离心率【详解】令则且①由题意知：E 的左准线为结合双曲线第二定义知：又∴解得②∵知：∴联立①②得：整理得∴故 3【分析】由题意设00(,)P x y ，即有00(,)Q x y --，由双曲线定义及已知可得22003()a a x x c c +=-且22200x y b +=，结合点在曲线上联立方程得到关于,a c 的齐次方程，即可求得离心率.【详解】令00(,)P x y ，00,0x y >则00(,)Q x y --且2200221x y a b-=①，由题意知：E 的左准线为2a x c =-，结合双曲线第二定义知：20||()a PF e x c=+，20||()a FQ e x c =-，又||3||PF FQ =，∴22003()a a x x c c +=-，解得202a x c=②， ∵||OP b =知：22200x y b +=，∴联立①，②得：42222244(1)a a b b c c+-=，整理得223a c =， ∴3e = 3【点睛】关键点点睛：根据双曲线第二定义：曲线上的点到焦点距离与该点到对应准线的距离之比为常数e ，可得点P 的横坐标为22ac；结合点在曲线上及勾股定理即可得关于,a c 的齐次方程求离心率即可.三、解答题21．（1）2212x y +=；（2210；（3）存在102m <<，理由见解析.【分析】（1）设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，根据题意得1b c ==，即可求出a ，从而求出椭圆方程；（2）根据题意得直线l 的方程为2(1)y x =-，设()11,P x y ，()22,Q x y ，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，即可求出弦PQ ，再利用点到直线的距离公式求出高，即可取出面积；（3）假设在线段OF 上存在点(,0)(01)M m m <<，使得以MPQ 为等腰三角形，联立直线与椭圆，分别计算即可判断； 【详解】解：（1）设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，根据题意得1b c ==，所以2222a b c =+=，所以椭圆的方程为2212x y +=.（2）根据题意得直线l 的方程为2(1)y x =-，即220x y --=，与2212x y +=联立，得：291660x x -+=设()11,P x y ，()22,Q x y ，则12169x x +=，1223x x ⋅=.所以12|9PQ x x =-=，点O 到l 的距离为d =，所以 1122 9ABC PQ d S ===⨯△. （3）存在，102m <<. 假设在线段OF 上存在点(,0)(01)M m m <<，使得以MPQ 为等腰三角形， 若直线l 与x 轴不垂直，直线l 的斜率存在，可设直线l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，设()11,P x y ，()22,Q x y ，则()11,MP x m y =-，()22,MQ x m y =-， 由22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222)202142(-=+-+x k x k k ，所以2122421k x x k ，21222221k x x k -⋅=+. ①当||||MP MQ =时设PQ 的中点为N ，则2222,2121k k N k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，又1MN k k ⋅=-， 所以22211212k m k k ==++，所以102m <<.②|||PQ MP ≠，|||MQ PQ ≠∣.∵()1222224||221221k PQ a e x x k k =-+=⋅=++MP ==>> ∴不可能|||PQ MP =.同理，根据椭圆对称性，也不可能||||MQ PQ =. 所以当102m <<时MPQ 为等腰三角形； 【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． (2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．22．（1）2；（2）y ＝(x ﹣1). 【分析】（1）根据题意可得F （2p ，0），当l ⊥x 轴时，直线l 的方程为x ＝2p，与抛物线联立得A ，B 坐标，再计算|AB |＝2p ＝4，即可得出答案.（2）设直线l 的方程为y ＝k (x ﹣1），A (x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立直线l 与抛物线的方程可得的关于x 的一元二次方程，由韦达定理可得x 1+x 2，x 1x 2，再结合|AF |＝2|BF |与焦半径公式可得x 1＝2x 2+1，进而解得x 2，x 1，故由x 1+x 2＝2224k k +＝52，解得k ，进而可得答案. 【详解】解：（1）根据题意可得F (2p，0)， 当l ⊥x 轴时，直线l 的方程为x ＝2p ， 联立直线l 与抛物线y 2＝2px ，得y 2＝2p ×2p ， 解得y ＝±p ，所以A （2p ，p ），B （2p，﹣p ）， 所以|AB |＝2p ＝4，所以p ＝2.（2）设直线l 的方程为y ＝k （x ﹣1），A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立24(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩，得k 2x 2﹣(2k 2+4)x +k 2＝0，所以∆＝(2k 2+4)2﹣4k 4＝16k 2+16＞0，所以x 1+x 2＝2224k k +，x 1x 2＝1，因为|AF |＝2|BF |，根据焦半径公式可得|AF |＝x 1+1＝2（x 2+1）＝2|BF |，即x 1＝2x 2+1， 所以(2x 2+1)x 2＝1，即222x +x 2﹣1＝0，解得x 2＝12或x 2＝﹣1（舍）， 所以x 1＝2x 2+1＝2，所以x 1+x 2＝2224k k+＝52，即k 2＝8，解得k ＝，所以直线l 的方程为：y ＝(x ﹣1). 【点睛】关键点点睛：本题考查求抛物线的方程，考查抛物线的焦点弦性质．解题方法是设直线l 的方程为y ＝k （x ﹣1），A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，利用抛物线的定义结合已知条件得出12,x x 的关系，而直线方程代入抛物线方程后应用韦达定理得1212,x x x x +，由刚才的关系可求先得12,x x ，再求得直线斜率k ．这里仍然利用了设而不求的思想方法． 23．（1）1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭；（2）()()2215114x y -++=.【分析】（1）将点()4,4-的坐标代入抛物线C 的方程，求出p 的值，可得出抛物线C 的方程，再将直线2y x m =-+的方程与抛物线C 的方程联立，利用0∆>可求得实数m 的取值范围；（2）设点()11,A x y 、()22,B x y ，列出韦达定理，由线段AB 的中点的横坐标可求得m 的值，可求得线段AB 的中点坐标，利用弦长公式可求得AB ，进而可求得以线段AB 为直径的圆的方程. 【详解】（1）将点()4,4-的坐标代入抛物线C 的方程，可得()28416p =-=，解得2p =，所以，抛物线C 的方程为24y x =， 联立224y x m y x=-+⎧⎨=⎩，整理可得()224440x m x m -++=， 由已知条件可得()22441632160m m m ∆=+-=+>，解得12m >-， 因此，实数m 的取值范围是1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭；（2）设()11,A x y 、()22,B x y ，由韦达定理可得121x x m +=+，2124m x x =，由于AB 中点的横坐标为1，则1212x x m +=+=，解得1m =，1214x x ∴=， 由弦长公式可得12AB x x =-===，所以，所求圆的圆心坐标为()1,1-，半径为2， 因此，以AB 为直径的圆的方程为()()2215114x y -++=. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆； （3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x 的形式； （5）代入韦达定理求解.24．（1）[]2,1-；（2）22k -<<-或22k <<. 【分析】（1）根据椭圆的标准方程可得())12,F F ，设(),P x y ，利用向量数量积的坐标运算可得()2121384PF PF x ⋅=-，再由[]2,2x ∈-即可求解. （2）由题意可得直线0x =不满足题设条件，可设直线:2l y kx =+，将直线与椭圆方程联立，消去y ，可得()221416120kxkx +++=，0∆>，且12120OA OB x x y y ⋅=>+，结合韦达定理即可求解.【详解】解：（1）易知2,1,a b c ===())12,F F ，设(),P x y ，则())2212,,,3PF PF x y x y x y ⋅=---=+-()2221133844x x x =+--=-因为[]2,2x ∈-，故当0x =，即点P 为椭圆短轴端点时，12PF PF ⋅有最小值2-； 当2x =±，即点P 为椭圆长轴端点时，12PF PF ⋅有最大值1； ∴1PF ·2PF 的取值范围是[]2,1-（2）显然直线0x =不满足题设条件，可设直线:2l y kx =+， 联立22244y kx x y =+⎧⎨+=⎩，消去y ，整理得：()221416120k x kx +++= 由题意，()()2216414120k k ∆=-+⋅>得k <或k >① 令()()1122,,,A x y B x y ，∴1212221612,1414k x x x x k k +=-=++ ∵AOB ∠为锐角，∴cos 0AOB ∠>即0OA OB ⋅>， ∴12120OA OB x x y y ⋅=>+又()()()2121212122224y y kx kx k x x k x x =++=+++22222212322044141414k k k k k k=-+=-++++ ∴2221220401414k OA OB k k⋅=-+>++，解得24k <， ∴22k -<<，②故由①､②得2k -<<2k <<. 【点睛】关键点点睛：本题考查了直线与椭圆的位置关系，解题的关键是利用数量积()2121384PF PF x ⋅=-，确定[]2,2x ∈-，并且根据题意得出0OA OB ⋅>，考查了运算求解能力.25．（1）2212x y +=；（2）2[3.【分析】（1）由焦点三角形的周长得a 值，结合焦点坐标可求得b ，从而得椭圆方程； （2）设00(,)M x y ，1122(,),(,)A x y B x y ，由已知得切线AB 方程，与椭圆方程联立消去y 得x 的二次方程，应用韦达定理得1212,x x x x +，由弦长公式求得弦长AB ，再求得原点到直线AB 的距离d ，，从而可得12OAB S AB d =△，用换元法（设t =）可求得OABS的范围，再求出00y =时三角形面积，从而可得结论．【详解】（1）由已知1c =，4a =，所以1a b ==所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=（2）设00(,)M x y ，1122(,),(,)A x y B x y ，22003x y +=，由已知可得直线AB 方程为0012x xy y += 当00y ≠时，将直线AB 方程与椭圆C 的方程联立，消去y 整理得222000(3)4440y x x x y +--+=.所以0122043x x x y +=+，21220443y x x y -=+ .因此0||AB == 又原点O 到直线AB的距离d ==所以01||2OAB S AB d ∆=⋅=令(1,2]t =，得到21222(,]2232OAB tS t t t∆=⋅=⋅∈++当00y =时，易得23OAB S ∆=. 综上：OAB面积的取值范围为2[,32. 【点睛】方法点睛：本题考查求椭圆方程，考查直线与椭圆相交中的三角形面积问题，解题方法是设而不求的思想方法，即直线与椭圆交点为1122(,),(,)x y x y ，直线方程与椭圆方程联立消元后应用韦达定理得1212,x x x x +，由此可计算弦长，然后求出原点到直线的距离后可计算三角形面积．这样可把面积用一个参数表示，求出取值范围． 26．（1）24x y =；（2）（i ）证明见解析；（ii）)⎡+∞⎣. 【分析】（1）由题意可得2p =，代入抛物线方程即可求解.（2）（i ）联立方程组24,2x yy kx ⎧=⎨=+⎩消去y ，求出两根之和、两根之积，再求出切线PA 方程以及切线PB 方程，求出两直线的交点即可求解.（ii ）利用点到直线的距离公式求出点P 到直线AB 的距离，再利用弦长公式求出AB ，。

一、选择题1．直线3y x 与曲线2||194y x x -=的公共点的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．42．直线34y kx k =-+与双曲线221169x y -=有且只有一个公共点，则k 的取值有（ ）个 A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．抛物线：24y x =的过焦点的弦的中点的轨迹方程为（ ）A ．21y x =-B ．212y x =-C ．22(1)y x =-D ．221y x =- 4．在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是侧面11BCC B 内一点，且点P 满足到平面11ABB A 的距离等于到点1C 的距离，则点P 的轨迹是（ ）A ．一条线段B ．圆的一部分C ．椭圆的一部分D ．抛物线的一部分5．已知1F ，2F 是离心率为13的椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点，M 是椭圆上第一象限的点，若I 是12MF F △的内心，G 是12MF F △的重心，记12IF F △与1GF M △的面积分别为1S ，2S ，则（ ）A ．12S SB ．122S S =C ．1232S S =D ．1243S S =6．已知椭圆22:11612x y C +=的左焦点为F ，点P 是椭圆C 上的动点，点Q 是圆()22:21T x y -+=上的动点，则PFPQ 的最小值是（ ）A ．12B ．27C ．23D 7．已知过双曲线()2222:1,0x y C a b a b-=>的左焦点F 作圆222x y a +=的切线FT ，交双曲线右支于点P ，点P 到x 轴的距离恰好为34b ，则双曲线离心率为（ ）A ．273+B ．273+C ．53D ．28．已知双曲线C ：22221x y a b-=(0a >，0b >)的左右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交双曲线左支于P ，交渐近线b y x a=于点Q ，点Q 在第一象限，且12FQ F Q ⊥，若12PQ PF =，则双曲线的离心率为（ ）A 110+B ．1222+C 51D 31 9．如果直线1y kx =-与双曲线224x y -=只有一个交点，则符合条件的直线有（ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条10．过抛物线24y x =的焦点的直线与抛物线交于A ，B 两点，若AB 的中点的纵坐标为2，则AB 等于（ ）A ．4B ．6C ．8D ．1011．已知12,F F 是椭圆1C 和双曲线2C 的公共焦点，P 是它们的一个公共交点，且1223F PF π∠=，若椭圆1C 离心率记为1e ，双曲线2C 离心率记为2e ，则222127e e +的最小值为（ ）A ．25B ．100C ．9D ．36 12．“04a <<”是“方程2214x y a a+=-表示为椭圆”的（ ） A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题13．已知F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为,M N ，若0OM MF ⋅=，||MN b =，则C 的离心率为________.14．过点()2,0P -的直线l 与抛物线2:8C y x =相交于A 、B 两点，若A 、B 在第一象限，且点A 为线段PB 的中点，则直线l 的斜率为___________.15．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右支与焦点为F 的抛物线()220x py p =>交于A 、B 两点，若4AF BF OF +=，则该双曲线的渐近线方程为___________.16．知直线m 过抛物线()220y px p =>的焦点F ，且交抛物线于A 、B 两点，交其准线l 于点C .若6AF =，2CB BF =，则p =____________17．点P 为椭圆C 上一动点，过点P 作以椭圆短轴为直径的圆的两条切线，切点分别为M ，N ，若60MPN ∠=︒，则椭圆C 的离心率的取值范围是______.18．已知中心在坐标原点的椭圆E 的右焦点与抛物线2:4C y x =的焦点重合，椭圆E 与抛物线C 的准线交于A 、B 两点.若3AB =，则椭圆E 的短轴长为__________.19．如图所示，已知M ，N 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上关于原点对称的两点，点M 与点Q 关于x 轴对称，2516ME MQ =，直线NE 交双曲线右支于点P ，若2NMP π∠=，则e =_____________．20．已知抛物线C : y 2=2px (p >0)，直线l ：y = 2x + b 经过抛物线C 的焦点，且与C 相交于A 、B 两点．若|AB | = 5，则p = ___．三、解答题21．已知点22,M ⎭在椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>上，且点M 到C 的左，右焦点的距离之和为4．（1）求C 的方程；（2）设O 为坐标原点，若C 的弦AB 的中点在线段OM （不含端点,O M ）上，求OA OB ⋅的取值范围．22．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为12，点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上． （1）求C 的方程；（2）若椭圆C 的左右焦点分别为12,F F ，过点1F 的直线l 与C 交于A 、B 两点，12AF F △与12BF F △的面积分别为12,S S ，122S S =，求直线l 的斜率．23．已知直线:1l y kx =+过抛物线()2:20E x py p =>的焦点，且与抛物线E 交于A 、B 两点，点M 为AB 中点.（1）求抛物线E 的方程；（2）以AB 为直径的圆与x 轴交于C 、D 两点，求MCD △面积取得最小值时直线l 的方程.24．椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>过点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，离心率为12，左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 的直线l 交椭圆于A 、B 两点.（1）求椭圆C 的方程；（2）当1F AB 的面积为12611时，求直线l 的斜率. 25．如图，已知抛物线21:2C y x =直线2y kx =+交抛物线C 于A ，B 两点，O 为坐标原点.（1）证明：OA OB ⊥；（2）设抛物线C 在点A 处的切线为1l ，在点B 处的切线为2l ，证明：1l 与2l 的交点M 在一定直线上.26．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的焦点在圆223x y +=3 （1）求椭圆C 的方程；（2）过原点O 的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，F 为右焦点，若FA 垂直于AB ，求直线l 的斜率.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】由于已知曲线函数中含有绝对值符号， 将x 以0为分界进行分类讨论，当x ≥0时，曲线为焦点在y 轴上的双曲线，当x <0时，曲线为焦点在y 轴上的椭圆，进而在坐标系中作出直线与曲线的图像，从而可得出交点个数.【详解】当0x ≥时，曲线2194x x y -=的方程为22194y x -= 当0x <时，曲线2194x x y -=的方程为22194y x +=， ∴曲线2194x x y -=的图象如图，在同一坐标系中作出直线3yx 的图象， 可得直线与曲线交点个数为3个．故选：C【点晴】 本题讨论曲线类型再利用数形结合法求交点个数是解题的关键．2．D解析：D【分析】将直线方程与双曲线的方程联立，得出关于x 的方程，根据直线与双曲线只有一个公共点，求出对应的k 值，即可得解.【详解】联立22341169y kx k x y =-+⎧⎪⎨-=⎪⎩， 消去y 并整理得()()()2221693243164390k x k k x k ⎡⎤-+-+-+=⎣⎦，由于直线34y kx k =-+与双曲线221169x y -=有且只有一个公共点， 所以，21690k -=或()()()222216903243641694390k k k k k ⎧-≠⎪⎨⎡⎤⎡⎤∆=----+=⎪⎣⎦⎣⎦⎩， 解得34k =±或2724250k k +-=， 对于方程2724250k k +-=，判别式为22447250'∆=+⨯⨯>，方程2724250k k +-=有两个不等的实数解. 显然34k =±不满足方程2724250k k +-=. 综上所述，k 的取值有4个.故选：D.【点睛】方法点睛：将直线与圆锥曲线的两个方程联立成方程组，然后判断方程组是否有解，有几个解，这是直线与圆锥曲线位置关系的判断方法中最常用的方法，注意：在没有给出直线方程时，要对是否有斜率不存在的直线的情况进行讨论，避免漏解．3．C解析：C【分析】设出过焦点的直线方程，与抛物线方程联立求出两根之和，可得中点的坐标，消去参数可得中点的轨迹方程．【详解】由抛物线的方程可得焦点(1,0)F ，可得过焦点的直线的斜率不为0，设直线方程为：1x my =+，设直线与抛物线的交点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，设AB 的中点(,)P x y ，联立直线与抛物线的方程可得：2440y my --=，124y y m +=，21212()242x x m y y m +=++=+，所以可得2212x m y m⎧=+⎨=⎩，消去m 可得P 的轨迹方程：222y x =-， 故选：C ．【点睛】方法点睛：求轨迹方程的常见方法有：1、定义法；2、待定系数法；3、直接求轨迹法；4、反求法；5、参数方程法等等.4．D解析：D【分析】由题意画出图形，可知点P 到直线BC 的距离与点P 到点1C 的距离相等，所以点P 的轨迹为以1C 为焦点，以1BB 为准线的抛物线．【详解】如图，点P 是侧面11BCC B 内的一动点，点P 到直线1BB 的距离即为点P 到面11ABB A 的距离，因为点P 到直线BC 的距离与点P 到点1C 的距离相等，所以点P 的轨迹为以1C 为焦点，以1BB 为准线的抛物线，故选：D ．【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方法之定义法：将动点轨迹化归为某一基本轨迹（圆，椭圆，双曲线，抛物线等），然后利用基本轨迹的定义，直接写出方程.5．D解析：D【分析】设12MF F △的面积为S ，内切圆半径为r ，则可得4S r c=，从而可得1121122244S S F F r c S c ==⋅⋅=，再由G 是12MF F △的重心，可得11222213323MOF MF F S S S S ==⨯=，进而可得结果 【详解】解：由于椭圆的离心率为13，所以13c a =，即3a c =， 设12MF F △的面积为S ，内切圆半径为r ，则121211()(22)422S MF MF F F r a c r cr =++=+=， 所以4S r c=， 所以1121122244S S F F r c S c ==⋅⋅=， 因为G 是12MF F △的重心，所以11222213323MOF MF F S S S S ==⨯=， 所以1234S S =，即1243S S =， 故选：D【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆的性质的应用，解题的关键是设12MF F △的面积为S ，内切圆半径为r ，然后求出4S r c =，进而可表示出1S ，2S ，从而可得结果，属于中档题 6．B 解析：B【分析】 作出图形，利用椭圆的定义以及圆的几何性质可求得PF PQ 的最小值.【详解】如下图所示： 在椭圆22:11612x y C +=中，4a =，23b =222c a b -， 圆心()2,0T 为椭圆C 的右焦点，由椭圆定义可得28PF PT a +==，8PF PT ∴=-，由椭圆的几何性质可得a c PT a c -≤≤+，即26PT ≤≤， 由圆的几何性质可得1PQ PT QT PT ≤+=+，所以，899211111617PF PFPTPQ PT PT PT -≥==-≥-=++++. 故选：B.【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于以下几点：（1）问题中出现了焦点，一般利用相应圆锥曲线的定义，本题中注意到2PF PT a +=，进而可将PF 用PT 表示；（2）利用圆的几何性质得出PT r PQ PT r -≤≤+，可求得PQ 的取值范围； （3）利用椭圆的几何性质得出焦半径的取值范围：a c PT a c -≤≤+.7．A解析：A【分析】由P 点到x 轴距离（即纵坐标）求出其横坐标，写出直线FP 的方程，然后由原点到切线的距离等于半径可得,,a b c 的等式，变形后可得离心率．【详解】如图P 在第一象限，因为点P 到x 轴的距离恰好为34b ，即34P y b =，代入双曲线方程得229116P x a -=，解得54P x a =，所以53,44P a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭， (,0)F c -，直线FP 方程为34()54by x c a c =++，化简得3(54)30bx a c y bc -++=， 又直线FP 与圆222x y a +=相切，a =，345bc a a c =+人，变形为4293440160e e e ---=， 22(342)(348)0e e e e ++--=，因为1e >，所以23420e e ++>，所以23480e e --=，e =去）．故选：A ．【点睛】思路点睛：本题考查求双曲线的离心率，解题关键是找到关于,,a b c 的齐次等式，本题中由点P 到x 轴的距离恰好为34b ，得出P 点坐标，从而可得直线FP 方程，由圆心到切线的距离等于半径可得所要关系式，从而转化为离心率e 的方程，解之可得．8．A解析：A【分析】由12FQ F Q ⊥得出OQ c =，求出Q 点坐标为(,)a b ，利用12PQ PF =表示出P 点坐标，代入双曲线方程得关于,,a b c 的等式，变形后可求得e ．【详解】∵12FQ F Q ⊥，O 是12F F 中点，∴OQ c =， 设(,)Q x y （0,0x y >>），则222y b x a x y c⎧=⎪⎨⎪+=⎩，又222a b v +=，故解得x a y b =⎧⎨=⎩，即(,)Q a b ，12PQ PF =，则12QP PF =，(,)2(,)P P P P x a y b c x y --=---，解得233P P a c x b y -⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 又P 在双曲线上，∴2222(2)199a c b a b --=，解得e =舍去）． 故选：A ．【点睛】关键点点睛：本题考查求双曲线的离心率，解题关键是找到关于,a c 的齐次式，本题利用P 在双曲线上列式，由12FQ F Q ⊥得(,)Q a b ，由12PQ PF =表示出P 点坐标，代入双曲线方程即可求解．9．D解析：D【分析】直线方程与双曲线方程联立方程组，由方程组只有一解确定．【详解】由2214y kx x y =-⎧⎨-=⎩，得22(1)250k x kx -+-=， 若210k -=，即1k =±， 1k =时，52x =，方程组只有一解；1k =-时，52x =-，方程组只有一解； 210k -≠时，22420(1)0k k ∆=+-=，k = 方程组只有一解，即直线与双曲线只有一个交点．因此这样的直线有4条．故选：D ．【点睛】关键点点睛：直线与曲线的交点问题，可能通过解方程组确定，直线与曲线方程组成的方程组的解的个数就是它们交点的个数．这是代数方法．也可从几何角度考虑，如本题直线与双曲线相切的有两条，与渐近线平行的有两条共4条直线与双曲线只有一个交点． 10．C【分析】先根据抛物线的定义将焦点弦长问题转化为中点到准线距离的两倍，进而用中点横坐标表示，设直线AB 的方程为：1x my =+(m 为常数),与抛物线方程联立消去x ,得到关于y 的一元二次方程，利用中点公式和韦达定理求得m 的值，进而得到中点的横坐标，从而求得线段AB 的长度. 【详解】抛物线24y x =的焦点坐标F (1,0),准线方程:1l x =-,设AB 的中点为M ,过A ,B ,M 作准线l 的垂线，垂足分别为C ,D ,N ,则MN 为梯形ABDC 的中位线，()02|21AB AF BF AC BD MN x ∴=+=+==+,∵直线AB 过抛物线的焦点F ,∴可设直线AB 的方程为：1x my =+(m 为常数), 代入抛物线的方程消去x 并整理得：2440y my --=, 设A ,B 的纵坐标分别为12,y y ,线段AB 中点()00,M x y , 则120222y y y m +===,1m ∴=, ∴直线AB 的方程为1x y =+,001213x y ∴=+=+=,()2318AB ∴=+=，故选：C.【点睛】本题考查抛物线的焦点弦长问题，涉及抛物线的定义，方程，线段中点坐标公式，直线与抛物线的交点问题，属中档题，关键是灵活使用抛物线的定义，将焦点弦长问题转化为中点坐标问题，注意直线方程的设法：过点(a ,0)，斜率不为零的直线方程可以设为x =my +a 的形式，不仅避免了讨论，而且方程组消元化简时更为简洁.11．A解析：A 【分析】由椭圆与双曲线的定义得记12,PF m PF n ==，则2m n a +=（椭圆长轴长），2x y a '-=，用余弦定理得出,m n 的关系，代入和与差后得12,e e 的关系式，然后用基本不等式求得最小值．记12,PF m PF n ==，则2m n a +=（椭圆长轴长），2x y a '-=（双曲线的实轴长），又由余弦定理得2224m n mn c ++=， 所以22231()()444m n m n c ++-=，即22234a a c '+=，变形为2212314e e +=，所以22222212121222221222273131127()(27)(82)2544e e e e e e e e e e +=++=++≥，当且仅当22122222273e e e e =，即213e e =时等号成立． 故选：A ． 【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆与双曲线的离心率，解题关键是掌握两个轴线的定义，在椭圆中，122MF MF a +=，在双曲线中122MFMF a '-=，不能混淆． 12．C解析：C 【分析】根据方程2214x y a a +=-表示椭圆求出实数a 的取值范围，然后利用集合的包含关系可判断出“04a <<”是“方程2214x y a a+=-表示椭圆”的条件.【详解】若方程2214x y a a+=-表示椭圆，则0404a a a a >⎧⎪->⎨⎪≠-⎩，解得02a <<或24a <<， 记为{}02,24A a a a =<<<<或， 又记{}04B a a =<<，AB则“04a <<”是“方程2214x y a a+=-表示椭圆”的必要不充分条件.故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是求出方程为椭圆的充分必要条件.二、填空题13．2【分析】首先根据可得可计算结合可得是等腰三角形且再由渐进线的斜率可计算出点坐标即可求出点坐标利用结合可得之间的关系即可求解【详解】因为所以即所以为点到渐近线的距离所以可得点为的中点又因为所以所以设解析：2 【分析】首先根据0OM MF ⋅=可得⊥OM MF ，可计算MF b =，结合||MN b =可得OFN △是等腰三角形，且ON c =，再由渐进线的斜率可计算出点N 坐标，即可求出点M 坐标，利用OM a =结合222b c a =-可得,a c 之间的关系，即可求解. 【详解】因为0OM MF ⋅=，所以OM MF ⊥，即⊥OM MF 所以MF 为点(),0F c 到渐近线0bx ay -=的距离，22bcMF b cb a ===+， 所以MF MN b ==，可得点M 为NF 的中点， 又因为⊥OM MF ，所以ON OF c ==， 所以222OM c b a =-=，设双曲线的左焦点为1F ，1FON θ∠=，(),N x y 则()tan tan tan bFON FON aθπ=-∠=-∠=， 因为222c a b =+，所以cos acθ=，sin b c θ=所以cos a x ON c a c θ=-=-⋅=-，sin by ON c b cθ==⋅=， 所以(),N a b -，因为M 为NF 中点，所以,22a M c b -⎛⎫⎪⎝⎭， 222222c a b OM a -⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 将222b c a =-代入整理可得：()22224c a c a a -+-= 即222240c ac a --=，所以220e e --=，可得()()210e e -+=， 解得：2e =或1e =-（舍）， 故答案为：2 【点睛】方法点睛：求椭圆离心率的方法： （1）直接利用公式c e a=；（2）利用变形公式e =； （3）根据条件列出关于,a c 的齐次式，两边同时除以2a ，化为关于离心率的方程即可求解.14．【分析】由题意可知直线的斜率存在且为正数可设直线的方程为设点将直线的方程与抛物线的方程联立列出韦达定理可得出代入韦达定理求出的值即可得出直线的斜率为【详解】由于过点的直线与抛物线相交于两点若在第一象解析：3【分析】由题意可知，直线l 的斜率存在且为正数，可设直线l 的方程为()20x my m =->，设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 的方程与抛物线C 的方程联立，列出韦达定理，可得出212y y =，代入韦达定理求出m 的值，即可得出直线l 的斜率为1m. 【详解】由于过点()2,0P -的直线l 与抛物线2:8C y x =相交于A 、B 两点，若A 、B 在第一象限，所以，直线l 的斜率存在且为正数，设直线l 的方程为()20x my m =->，设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立228x my y x=-⎧⎨=⎩，可得28160y my -+=，264640m ∆=->，0m >，解得1m .由韦达定理可得128y y m +=，1216y y =，由于点A 为线段PB 的中点，则212y y =，12183m y y y ∴=+=，183m y ∴=， 22121816223m y y y ⎛⎫===⨯ ⎪⎝⎭，可得298m =，0m >，解得4m =， 因此，直线l的斜率为13k m ===.故答案为：3. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆； （3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x 的形式； （5）代入韦达定理求解.15．【分析】设点利用抛物线的定义得出可计算得出再利用点差法可得出可求出的值由此可得出双曲线的渐近线方程【详解】设点由抛物线的定义可得由可得直线的斜率为由两式作差得即所以可得因此该双曲线的渐近线方程为故答解析：2y x =±【分析】设点()11,A x y 、()22,B x y ，利用抛物线的定义得出12y y p +=，可计算得出122ABx x k p +=，再利用点差法可得出2121222AB x x x x b k a p p++=⋅=，可求出b a 的值，由此可得出双曲线的渐近线方程. 【详解】设点()11,A x y 、()22,B x y ，由抛物线的定义可得12p AF y =+，22pBF y =+， 2pOF =，由4AF BF OF +=可得122y y p p ++=，12y y p ∴+=， 直线AB 的斜率为221212121212222ABx x y y x x p p k x x x x p--+===--，由22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式作差得22221212220x x y y a b ---=， 即()()()()1212121222x x x x y y y y a b -+-+=，所以，22121212122212122ABy y x x x x x x b b k x x a y y a p p -+++==⋅=⋅=-+，2212b a ∴=，可得b a =，因此，该双曲线的渐近线方程为2y x =±.故答案为：2y x =±. 【点睛】方法点睛：求双曲线的渐近线方程的方法：（1）定义法：直接利用a 、b 求得比值，则焦点在x 轴上时，渐近线方程为b y x a=±，焦点在y 轴上时，渐近线方程为ay x b=±； （2）构造齐次式：利用已知条件结合222a b c =+，构建b a 的关系式（或先构建ca的关系式），再根据焦点位置写出渐近线方程即可.16．3【分析】过作准线的垂线垂足分别为过作的垂线垂足为根据结合抛物线的定义可得据此求出再根据抛物线的定义可求出【详解】如图：过作准线的垂线垂足分别为过作的垂线垂足为因为所以因为所以所以所以在直角三角形中解析：3 【分析】过A 、B 作准线l 的垂线，垂足分别为,N M ，过F 作AN 的垂线，垂足为D ，根据2CB BF =结合抛物线的定义可得30DFA MCB ∠=∠=，据此求出||3AD =，再根据抛物线的定义可求出p . 【详解】如图：过A 、B 作准线l 的垂线，垂足分别为,N M ，过F 作AN 的垂线，垂足为D ，因为2CB BF =，所以||2||CB BF =， 因为||||BF BM =，所以||2||CB BM =， 所以30MCB ∠=，所以30DFA ∠=，在直角三角形ADF 中，因为||6AF =，所以||3AD =， 因为||||6AN AF ==，且||||3AN AD p p =+=+， 所以63p =+，所以3p =. 故答案为：3 【点睛】关键点点睛：利用抛物线的定义求解是解题关键.17．【分析】根据题意找到abc 的关系求出离心率的范围【详解】设椭圆的中心为因为所以所以所以椭圆上的点到原点距离最远的是长轴端点所以即所以离心率所以故答案为：【点睛】求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据解析：32⎫⎪⎢⎪⎣⎭【分析】根据题意，找到a 、b 、c 的关系，求出离心率的范围 【详解】设椭圆的中心为O ，因为60MPN ∠=︒，所以60POM ∠=︒，所以||2||OP OM =，所以2OP b =，椭圆上的点到原点距离最远的是长轴端点，所以2a b ≥，即12b a ≤，2222211,,44b ac a a -∴≤∴≤ 所以离心率22213112c b e a a ⎫⎛==-≥-= ⎪⎝⎭3⎫∈⎪⎪⎣⎭e .故答案为：⎫⎪⎪⎣⎭【点睛】求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据题目的条件，找到a 、b 、c 的关系，消去b ，构造离心率e 的方程或（不等式）即可求出离心率．18．【分析】先求解出抛物线的的焦点则椭圆的右焦点可知再设出椭圆的方程并将方程中变形为的表示形式根据求解出的值则椭圆的短轴的大小可求【详解】因为抛物线的焦点为所以椭圆的右焦点为设椭圆方程所以所以椭圆方程为解析：【分析】先求解出抛物线的的焦点，则椭圆的右焦点可知，再设出椭圆的方程并将方程中2a 变形为21b +的表示形式，根据3AB =求解出2b 的值，则椭圆的短轴2b 的大小可求.【详解】因为抛物线2:4C y x =的焦点为()1,0，所以椭圆的右焦点为()1,0，设椭圆方程()222210x y a b a b+=>>， 所以221a b =+，所以椭圆方程为222211x y b b+=+，又抛物线的准线方程为1x =-，所以222111y b b ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，所以2y =又因为3AB =23=，所以23b =，所以2b =故答案为： 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是通过抛物线的焦点化简椭圆的方程并结合弦AB 的长度进行相关计算，从而完成短轴长度的求解.19．【分析】设利用点差法得到即可求出离心率；【详解】解：设则由得从而有又所以又由从而得到所以所以故答案为：【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)常见有两种方解析：54【分析】设()()1122,,,M x y P x y 利用点差法得到22PM PN b k k a⋅=，即可求出离心率； 【详解】解：设()()1122,,,M x y P x y ，则()()1111,,,N x y Q x y ---．由2516ME MQ =，得1117,8E x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，从而有11119,16MN PN EN y y k k k x x ===-，又1190,MN y NMP k x ∠==，所以11MP x k y =-， 又由()()()()22112212121212222222221111x y a b x x x x y y y y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⇒+-=+-⎨⎪-=⎪⎩， 从而得到22PM PNb k k a⋅=所以211211991616PM PN x y b k k y x a ⎛⎫⋅=-⋅-== ⎪⎝⎭，所以54e ==．故答案为：54【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式c e a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．20．2【分析】法1：首先利用直线过焦点得再利用直线与抛物线方程联立利用根与系数的关系表示计算求得；法2：由已知求得的值再利用弦长公式求的值【详解】法1：由题意知直线即直线经过抛物线的焦点即直线的方程为设解析：2 【分析】法1：首先利用直线过焦点，得b p =-，再利用直线与抛物线方程联立，利用根与系数的关系表示12AB x x p =++，计算求得p ；法2：由已知tan 2θ=，求得sin θ的值，再利用弦长公式22sin pAB θ=，求p 的值. 【详解】法1：由题意知，直线:2l y x b =+，即22b y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭．直线l 经过抛物线()2:20C y px p =>的焦点，22b p∴-=，即b p =-．∴直线l 的方程为2y x p =-． 设()11,A x y 、()22,B x y ，联立222y x p y px=-⎧⎨=⎩，消去y 整理可得22460x px p -+=，由韦达定理得1232p x x +=，又5AB =，12552x p p x ∴++==，则2p =.法2：设直线的切斜角为θ，则tan 2k θ==，得sin θ=，∴22225sin p pAB θ===，得2p =.故答案为：2 【点睛】结论点睛：当直线过抛物线的焦点时，与抛物线交于,A B 两点，AB 称为焦点弦长，有如下的性质：直线与抛物线交于()()1122,,,A x y B x y ，①221212,4p y y p x x =-=；②12AB x x p =++；③11AF BF +为定值2p ；④弦长22sin p AB θ= （θ为直线AB 的倾斜角）；⑤以AB 为直径的圆与准线相切；⑥焦点F 对,A B 在准线上射影的张角为90.三、解答题21．（1）2214x y +=；（2）861,540⎛⎫- ⎪⎝⎭．【分析】（1）本小题根据已知条件直接求出2a =，1b =，再求出椭圆方程即可.（2）本小题先设A 、B 两点，再将OA OB ⋅转化为只含m 的表达式，最后根据m 的范围确定OA OB ⋅的范围，即可解题. 【详解】解：（1）∵点2M ⎭在椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）上，∴222112a b+=，又∵24a =， ∴ 2a =，1b =.∴椭圆C 的方程：2214x y +=；（2）设点A 、B 的坐标为11(,)A x y ，22(,)B x y ，则AB 中点1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭在线段OM 上，且12OM k =，则12122()x x y y +=+， 又221112x y +=，222212x y +=，两式相减得()()()()1212121202x x x x y y y y -++-+=， 易知120x x -≠，120y y +≠，所以()1212121212y y x x x x y y -+=-=--+，则1AB k =-. 设AB 方程为y x m =-+，代入2214xy +=并整理得2258440x mx m -+-=.由216(5)0m ∆=->解得25m <，又由(12425x x m +=∈，则04m <<. 由韦达定理得1285m x x +=，2124(1)5m x x -⋅=，故OA OB ⋅1212x x y y =+()()1212x x x m x m =+-+-+ ()212122x x m x x m =-++ ()22281855m m m -=-+285m =-又∵. 04m <<∴OA OB ⋅的取值范围是861,540⎛⎫- ⎪⎝⎭．【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．22．（1）22143x y +=；（2）. 【分析】（1）由已知条件可得12c e a ==，将点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭代入椭圆的方程结合222a b c =+即可求得,,a b c 的值，进而可得椭圆C 的方程；（2）设:1l x ty =-，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立直线与椭圆的方程消去x 可得关于y 的一元二次方程，由韦达定理可得12y y +，12y y ，利用122S S =可得122y y =-，即可解出k 的值，进而可求出直线l 的斜率. 【详解】（1）由题意可得：22222121914c a a b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩得2243a b ⎧=⎨=⎩，故C 的方程为22143x y +=.（2）1(1,0)F -，显然l 与y 轴不垂直，故可设:1l x ty =-，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由221143x ty x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 得22(34)690t y ty +--=，则122634t y y t +=+，122934y y t -=+， 由122S S =得122y y =-， 所以122262034ty y y t +=+=+，可得22634t y t -=+， 由122934y y t -=+可得2229234y t --=+， 消去2y 可得()222236923434t t t --⨯=++ ，整理可得：245t =t =:1l x y =-，所以直线l：)1y x =+， 所以直线l的斜率为. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是由面积之比得出纵坐标122y y =-，联立直线与椭圆的方程消去x 可得关于y 的一元二次方程，由韦达定理可得12y y +，12y y ，可求t 的值，注意求直线的斜率.23．（1）24x y =；（2）1y =. 【分析】（1）求出抛物线E 的焦点坐标，将焦点坐标代入直线l 的方程，求出p 的值，即可求得抛物线E 的方程；（2）设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立直线l 与抛物线E 的方程，求出点M 的坐标，求出点M 到CD 的距离以及CD ，可得出MCD △的面积的表达式，利用函数的单调性可求得MCD △面积的最小值，进而可求得对应的直线l 的方程. 【详解】（1）抛物线2:2E x py =的焦点为0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则0,2p ⎛⎫⎪⎝⎭在:1l y kx =+上，12p ∴=，2p ∴=，所以，抛物线E 的方程为24x y =； （2）设()11,A x y 、()22,B x y ，由241x y y kx ⎧=⎨=+⎩得2440x kx --=，所以，212121616044k x x k x x ⎧∆=+>⎪+=⎨⎪=-⎩，则AB 中点()22,21Mk k +，()21241AB x k =-==+，所以，以AB 为直径的圆M 的半径()221r k=+，M 到CD 的距离221d k=+，CD ==((221221212MCD S k k ∴=⨯⨯+=+△，令()20k t t =≥，则(21MCDSt =+[)0,+∞单调递增.当0t =时，即0k =时，MCD Sl 的方程为1y =.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．24．（1）22143x y +=；（2或【分析】（1）根据已知条件可得出关于a 、b 、c 的方程组，解出2a 、2b 的值，由此可得出椭圆C 的标准方程；（2）由题意可知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()1y k x =-，设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，利用三角形的面积公式可得出1F AB 的面积关于k 的等式，解出k 的值即可得解.【详解】解：（1）因为椭圆过()2222:10x y C a b a b+=>>点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，221914a b ∴+=.①又因为椭圆C 的离心率为12，所以12c a =，②，由题意可得22191412a b c a c ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，解得24a =，23b =.∴椭圆C 的方程为22143x y +=；（2）由题意可知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()1y k x =-， 设点()11,A x y 、()22,B x y ，由22143y kx k x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()22224384120k x k x k +-+-=，则()2224310k ∆=⨯+>，且2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+，112121212F ABSy y F F k x x k ∴=-⋅=⋅-=11k ===， 即422523540k k --=，解得22k =或22725k =-（舍去），所以k =∴或.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆； （3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x 的形式； （5）代入韦达定理求解.25．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）设211,12A x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,12B x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，即可得到0OA OB ⋅=，从而得证；（2）对函数求导，利用导数的几何意义求出过点A 、B 的切线1l 、1l 的方程，即可得到12122y x x ==-，即可得证； 【详解】 解：（1）设211,12A x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,12B x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 把2y kx =+代入212y x =，得2240x kx --=. 由韦达定理得122x x k +=，124x x =-.()22211221212111,,0224OA OB x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫∴⋅=⋅=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以OA OB ⊥ （2）212y x =，y x '∴=， 故经过点211,12A x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的切线1l 的方程为：()211112y x x x x -=-， 即21112y x x x =-，①同理，经过点222,12B x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的切线2l 的方程为：22212y x x x =-，②21x x ⨯-⨯①②，得12122y x x ==-. 即点M 在直线:2l y =-上. 【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．26．(1) 2214x y +=；(2) 2±【分析】(1)由焦点在圆上解得c =2a =，2221b a c =-=，方程可求；(2)因为FA 垂直于AB 可知点A 为椭圆与圆的交点，联立方程求得坐标，则直线斜率可求.【详解】解：（1）椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的焦点在圆223x y+=上，所以203c+=，即c=，因为cea==得2a=，2221b a c=-=，故椭圆方程为2214xy+=（2）因为FA垂直于AB ，即点A既在椭圆上又在以OF为直径的圆上，所以22221434xyx y⎧+=⎪⎪⎨⎛⎪-+=⎪⎝⎭⎩解得3xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以33A⎛±⎝⎭故AlAykx==所以直线l的斜率为2±.【点睛】关键点点晴：本题的关键在于求出点A的坐标点.。

高中数学选修一第二章《圆锥曲线与方程》单元测试卷及答案2套单元测试卷一(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值是( ) A.14 B.12C ．2D ．4 2．设椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1 (m >0，n >0)的右焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为( )A.x 212＋y 216＝1B.x 216＋y 212＝1C.x 248＋y 264＝1 D.x 264＋y 248＝1 3．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为( )A.x 236－y 2108＝1B.x 29－y 227＝1 C.x 2108－y 236＝1 D.x 227－y 29＝1 4．P 是长轴在x 轴上的椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1上的点，F 1、F 2分别为椭圆的两个焦点，椭圆的半焦距为c ，则|PF 1|·|PF 2|的最大值与最小值之差一定是( )A ．1B ．a 2C ．b 2D ．c 25．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为( )A.x 24－y 24＝1B.y 24－x 24＝1C.y 24－x 28＝1 D.x 28－y 24＝1 6．设a >1，则双曲线x 2a 2－y 2a ＋12＝1的离心率e 的取值范围是( )A ．(2，2)B ．(2，5)C ．(2,5)D ．(2，5)7．过点M (2,4)作直线与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点，则这样的直线的条数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．08．设F 为抛物线y 2＝4x 的焦距，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若FA →＋FB →＋FC →＝0，则FB →|＋|FB →|＋|FC →|等于( )A ．9B ．6C ．4D ．39．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是( )A ．(1,2]B ．(1,2)C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞)10．若动圆圆心在抛物线y 2＝8x 上，且动圆恒与直线x ＋2＝0相切，则动圆必过定点( )A ．(4,0)B ．(2,0)C ．(0,2)D ．(0，－2)11．抛物线y ＝x 2上到直线2x －y ＝4距离最近的点的坐标是( )A.（32，54） B ．(1,1)C. （32，94） D ．(2,4)12．已知椭圆x 2sin α－y 2cos α＝1 (0≤α<2π)的焦点在y 轴上，则α的取值范围是( )A.（34π，π）B.（π4 ，π）C.（π2 ，π）D.（π2 ，34π）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．椭圆的两个焦点为F 1、F 2，短轴的一个端点为A ，且三角形F 1AF 2是顶角为120°的等腰三角形，则此椭圆的离心率为________．14．点P (8,1)平分双曲线x 2－4y 2＝4的一条弦，则这条弦所在直线的方程是______________．15．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，线段F 1F 2被点（b2，0）分成3∶1的两段，则此椭圆的离心率为________．16．对于曲线C ：x 24－k ＋y 2k －1＝1，给出下面四个命题：①曲线C 不可能表示椭圆；②当1<k <4时，曲线C 表示椭圆；③若曲线C 表示双曲线，则k <1或k >4；④若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则1<k <52.其中所有正确命题的序号为________． 三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知点M 在椭圆x 236＋y 29＝1上，MP ′垂直于椭圆焦点所在的直线，垂足为P ′，并且M 为线段PP ′的中点，求P 点的轨迹方程．18．(12分)双曲线C 与椭圆x 28＋y 24＝1有相同的焦点，直线y ＝3x 为C 的一条渐近线．求双曲线C 的方程．19.(12分)直线y ＝kx －2交抛物线y 2＝8x 于A 、B 两点，若线段AB 中点的横坐标等于2，求弦AB 的长．20．(12分)已知点P (3,4)是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)上的一点，F 1、F 2为椭圆的两焦点，若PF 1⊥PF 2，试求：(1)椭圆的方程； (2)△PF 1F 2的面积．21.(12分)已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，且|AB |＝52p ，求AB 所在的直线方程．22．(12分)在直角坐标系xOy 中，点P 到两点(0，－3)、(0，3)的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C ，直线y ＝kx ＋1与C 交于A 、B 两点．(1)写出C 的方程；（2）若OA →⊥OB →，求k 的值．答案1．A 2．B 3．B 4．D 5．B 6．B 7．B8．B 9．C 10．B 11．B 12．D13.3214．2x －y －15＝015.2216．③④17．解 设P 点的坐标为(x ，y )，M 点的坐标为(x 0，y 0)．∵点M 在椭圆x 236＋y 29＝1上，∴x 2036＋y 209＝1.∵M 是线段PP ′的中点，x 0＝x ， x 0＝x ，∴ y 0＝y 2， 把 y 0＝y2，代入x 2036＋y 209＝1，得x 236＋y 236＝1，即x 2＋y 2＝36. ∴P 点的轨迹方程为x 2＋y 2＝36.18．解 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1.由椭圆x 28＋y24＝1，求得两焦点为(－2,0)，(2,0)，∴对于双曲线C ：c ＝2.又y ＝3x 为双曲线C 的一条渐近线， ∴b a＝3，解得a 2＝1，b 2＝3，∴双曲线C 的方程为x 2－y 23＝1.19．解 将y ＝kx －2代入y 2＝8x 中变形整理得：k 2x 2－(4k ＋8)x ＋4＝0， 由⎩⎪⎨⎪⎧k ≠04k ＋82－16k 2>0，得k >－1且k ≠0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意得：x 1＋x 2＝4k ＋8k2＝4⇒k 2＝k ＋2⇒k 2－k －2＝0.解得：k ＝2或k ＝－1(舍去) 由弦长公式得：|AB |＝1＋k 2·64k ＋64k 2＝5×1924＝215. 20．解 (1)令F 1(－c,0)，F 2(c,0)，则b 2＝a 2－c 2.因为PF 1⊥PF 2，所以kPF 1·kPF 2＝－1，即43＋c ·43－c＝－1，解得c ＝5，所以设椭圆方程为x 2a 2＋y 2a 2－25＝1.因为点P (3,4)在椭圆上，所以9a 2＋16a 2－25＝1.解得a 2＝45或a 2＝5.又因为a >c ，所以a 2＝5舍去． 故所求椭圆方程为x 245＋y 220＝1.(2)由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝65， ①又|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝100， ② ①2－②得2|PF 1|·|PF 2|＝80，所以S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝20.21．解 焦点F (p2，0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若AB ⊥Ox ，则|AB |＝2p <52p ，不合题意．所以直线AB 的斜率存在，设为k ，则直线AB 的方程为y ＝k (x －p2)，k ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －p 2，y 2＝2px消去x ，整理得ky 2－2py －kp 2＝0.由韦达定理得，y 1＋y 2＝2p k，y 1y 2＝－p 2. ∴|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝ 1＋1k2·y 1－y 22＝1＋1k2·y 1＋y 22－4y 1y 2＝2p (1＋1k 2)＝52p .解得k ＝±2.∴AB 所在的直线方程为y ＝2(x －p 2)或y ＝－2(x －p2)．22．解 (1)设P (x ，y )，由椭圆定义可知，点P 的轨迹C 是以(0，－3)、(0，3)为焦点，长半轴为2的椭圆，它的短半轴b ＝22－32＝1，故曲线C 的方程为x 2＋y24＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，y ＝kx ＋1.消去y 并整理得(k 2＋4)x 2＋2kx －3＝0. 其中Δ＝4k 2＋12(k 2＋4)>0恒成立．故x 1＋x 2＝－2k k 2＋4，x 1x 2＝－3k 2＋4.OA →⊥OB →，即x 1x 2＋y 1y 2＝0.而y 1y 2＝k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1，于是x 1x 2＋y 1y 2＝－3k 2＋4－3k 2k 2＋4－2k2k 2＋4＋1＝0，化简得－4k 2＋1＝0，所以k ＝±12.单元测试卷二(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( )A.x 281＋y 272＝1 B.x 281＋y 29＝1C.x 281＋y 245＝1 D.x 281＋y 236＝1 2．平面内有定点A 、B 及动点P ，设命题甲是“|PA |＋|PB |是定值”，命题乙是“点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆”，那么甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．设a ≠0，a ∈R ，则抛物线y ＝ax 2的焦点坐标为( )A.（a 2，0） B ．(0, 12a )C. （a 4，0） D ．(0, 14a)4．已知M (－2,0)，N (2,0)，则以MN 为斜边的直角三角形的直角顶点P 的轨迹方程是( )A ．x 2＋y 2＝2B ．x 2＋y 2＝4C ．x 2＋y 2＝2(x ≠±2)D ．x 2＋y 2＝4(x ≠±2)5．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)有两个顶点在直线x ＋2y ＝2上，则此椭圆的焦点坐标是( )A ．(±3，0)B ．(0，±3)C ．(±5，0)D ．(0，±5)6．设椭圆x 2m 2＋y 2m 2－1＝1 (m >1)上一点P 到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则椭圆的离心率为( )A.22B.12C.2－12D.347．已知双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1，点A ，B 在双曲线的右支上，线段AB 经过双曲线的右焦点F 2，|AB |＝m ，F 1为另一焦点，则△ABF 1的周长为( )A ．2a ＋2mB ．4a ＋2mC ．a ＋mD ．2a ＋4m8．已知抛物线y 2＝4x 上的点P 到抛物线的准线的距离为d 1，到直线3x －4y ＋9＝0的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值是( )A.125 B.65 C ．2 D.559．设点A 为抛物线y 2＝4x 上一点，点B (1,0)，且|AB |＝1，则A 的横坐标的值为( ) A ．－2 B ．0C ．－2或0D ．－2或210．从抛物线y 2＝8x 上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且|PM |＝5，设抛物线的焦点为F ，则△PFM 的面积为( )A ．5 6B ．6 5C ．10 2D ．5 211．若直线y ＝kx －2与抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两个不同的点，且AB 的中点的横坐标为2，则k 等于( )A ．2或－1B ．－1C ．2D ．1± 512．设F 1、F 2分别是双曲线x 25－y 24＝1的左右焦点。

一、选择题1．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，过点F 的直线0x y -+=与椭圆C 相交于不同的两点A B 、，若P 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，直线OP 的斜率为12-，则椭圆C 的方程为（ ） A ．22132x y +=B ．22143x y +=C ．22152x y +=D ．22163x y +=2．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>，设直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，与x 轴，y 轴分别交于C ，D 两点，记椭圆E 的离心率为e ，直线l 的斜率为k ，若C ，D 恰好是线段AB 的两个三等分点，则（ ） A ．221k e -=B ．221k e +=C ．2211e k-= D ．2211e k+=3．已知()5,0F 是双曲线()2222:=10,0x y C a b a b->>的右焦点，点(A .若对双曲线C 左支上的任意点M ，均有10MA MF +≥成立，则双曲线C 的离心率的最大值为（ ）A B ．5C ．52D ．64．已知点()P m n ,是抛物线214y x =-上一动点，则A ．4B ．5C D ．65．过椭圆:T 2212x y +=上的焦点F 作两条相互垂直的直线12l l 、，1l 交椭圆于,A B 两点，2l 交椭圆于,C D 两点，则AB CD +的取值范围是（ ）A ．3⎡⎢⎣B ．3⎡⎢⎣C ．3⎡⎢⎣D ．3⎡⎢⎣ 6．已知双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点为1F ，2F ，过2F 作一条渐近线的垂线，垂足为M ，若1MF =，则E 的离心率为（ ）A ．3B ．2C ．5D ．27．如图，F 是抛物线28x y =的焦点，过F 作直线交抛物线于A 、B 两点，若AOF 与BOF 的面积之比为1:4，则AOB 的面积为（ ）A ．10B ．8C ．16D ．128．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，若双曲线右支上存在一点P ，使得2F 关于直线1PF 的对称点恰在y 轴上，则该双曲线的离心率e 的取值范围为（ ） A ．231e <<B ．23e >C ．3e >D ．13e <<9．设抛物线2:4(0)C x y p =>的焦点为F ，准线为l ，过点F 的直线交抛物线C 于,M N 两点，交l 于点P ，且PF FM =，则||MN =（ ）A ．2B ．83C ．5D ．16310．己知直线l 过抛物线y 2=4x 的焦点F ，并与抛物线交于A ，B 两点，若点A 的纵坐标为4，则线段AB 的长为（ ） A ．253B ．496C ．436D ．25411．已知点P 在双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上，点()2,0A a ，当PA 最小时，点P不在顶点位置，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．)+∞B ．)+∞C ．(D ．(12．已知过点(,0)A a 的直线与抛物线22(0)y px p =>交于M.N 两点，若有且仅有一个实数a ，使得16OM ON ⋅=-成立，则a 的值为（ ） A ．4-B ．2C ．4D ．8二、填空题13．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>右焦点(c,0)F 关于直线2y x =的对称点Q 在双曲线上，则双曲线的离心率是______．14．过双曲线221x y -=上的任意一点(除顶点外)作圆221x y +=的切线，切点为,A B ，若直线AB 在x 轴､y 轴上的截距分别为,m n ，则2211m n-=___________. 15．已知拋物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，O 为坐标原点，C 的准线为l 且与x 轴相交于点B ，A 为C 上的一点，直线AO 与直线l 相交于E 点，若BOE BEF ∠=∠，6AF =，则C 的标准方程为_____________.16．设F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个焦点，P 是椭圆C 上的点，圆2229a x y +=与线段PF 交于A ,B 两点，若A ,B 三等分线段PF ，则椭圆C 的离心率为____________.17．在双曲线22221x y a b-=上有一点P ，12,F F 分别为该双曲线的左、右焦点，121290,F PF F PF ∠=︒的三条边长成等差数列，则双曲线的离心率是_______.18．椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ，(),0A a -，()0,B b ，()0,C b -分别为其三个顶点.直线CF 与AB 交于点D ，若椭圆的离心率13e =，则tan BDC ∠=___________.19．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，过点F 的直线与抛物线交于两点11(,)P x y ，22(,)Q x y .①抛物线24y x =焦点到准线的距离为2； ②若126x x +=，则8PQ =；③2124y y p =-；④过点P 和抛物线顶点的直线交抛物线的准线为点A ，则直线AQ 平行于 抛物线的对称轴；⑤绕点(2,1)-旋转且与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线至多有2条. 以上结论中正确的序号为__________.20．已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>，点F 为E 的左焦点，点P 为E 上位于第一象限内的点，P 关于原点的对称点为Q ，且满足||3||PF FQ =，若||OP b =，则E 的离心率为_________.三、解答题21．已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为()222210x y a b a b+=>>，则椭圆在其上一点()'',A x y 处的切线方程为''221x y x ya b+=，试运用该性质解决以下问题：在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为2，且经过点21,A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. （1）求椭圆C 的方程；（2）设F 为椭圆C 的右焦点，直线l 与椭圆C 相切于点P (点P 在第一象限)，过原点O 作直线l 的平行线与直线PF 相交于点Q ，问：线段PQ 的长是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.22．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，若C 过点31,2A ⎛⎫⎪⎝⎭，且124AF AF +=. （1）求C 的方程；（2）过点2F 且斜率为1的直线与C 交于点M 、N ，求OMN 的面积.23．在平面直角坐标系中，动点(),P x y （0y >）到定点()0,1M 的距离比到x 轴的距离大1.（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过点M 的直线l 交曲线C 于A ，B 两点，若8AB =，求直线l 的方程.24．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点421,3P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，离心率为53.（1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 与圆22:1O x y +=相切，且与椭圆C 交于M ，N 两点，Q 为椭圆C 上一个动点(点O ，Q 分别位于直线l 两侧)，求四边形OMQN 面积的最大值. 25．已知是抛物线2:2C y px=(0)p >的焦点，(1,)M t 是抛物线上一点，且||2MF =.（1）求抛物线C 的方程；（2）过点O （坐标原点）分别作,OA OB 交抛物线C 于,A B 两点(,A B 不与O 重合)，且.2OA OB k k =.求证：直线AB 过定点.26．如图，已知抛物线()2:20C y px p =>，焦点为F ，过点()2,0G p 作直线l 交抛物线C 于A 、B 两点，设()11,A x y 、()22,B x y .（1）若124x x ⋅=，求抛物线C 的方程；（2）若直线l 与x 轴不垂直，直线AF 交抛物线C 于另一点M ，直线BF 交抛物线C 于另一点N .求证：直线l 与直线MN 斜率之比为定值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】设出,A B 两点的坐标，代入椭圆方程，作差变形，利用斜率公式和中点坐标可求得结果. 【详解】设(,0)F c -，因为直线30x y -+=过(,0)F c -，所以030c --+=，得3c =所以2223a b c -==， 设1122(,),(,)A x y B x y ，由22112222222211x y a b x y ab ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得2222121222x x y y a b --=-，得2121221212y y x x b x x a y y -+=-⋅-+， 因为P 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，所以1212(,)22x x y y P ++，1212121212202OP y y y y k x x x x +-+===-++-，所以221222122(2)ABy y b b k x x a a-==-⋅-=-，又,A B在直线0x y -+=上，所以1AB k =，所以2221b a =，即222a b =，将其代入223a b -=，得23b =，26a =，所以椭圆C 的方程为22163x y +=.故选：D 【点睛】方法点睛：本题使用点差法求解，一般涉及到弦的中点和斜率问题的题目可以使用点差法，步骤如下：①设出弦的两个端点的坐标；②将弦的两个端点的坐标代入曲线方程； ③作差变形并利用斜率公式和中点坐标公式求解.2．B解析：B 【分析】首先利用点,C D 分别是线段AB 的两个三等分点，则211222x x y y =-⎧⎪⎨=⎪⎩，得1112y k x =⋅，再利用点差法化简得2212214y b x a=，两式化简得到选项.【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，,C D 分别是线段AB 的两个三等分点，()1,0C x ∴-，10,2y D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则112,2y B x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ ，得211222x x y y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，1121121131232y y y y k x x x x -===⋅-，利用点差法22112222222211x y a bx y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得()()()()12121212220x x x x y y y y a b +-+-+=， 整理得到2212214y b x a =，即222222244b a c k k a a-=⇒=， 即221k e +=故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键利用三等分点得到211222x x y y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，再将斜率和离心率表示成坐标的关系，联立判断选项.3．C解析：C 【分析】设E是双曲线的左焦点，利用双曲线的定义把MF 转化为ME 后易得MA ME +的最小值，从而得a 的最小值，由此得离心率的最大值． 【详解】设E 是双曲线的左焦点，M 在左支上，则2MF ME a -=，2MF ME a =+，22MA MF MA ME a EA a +=++≥+，当且仅当E A M ,,三点共线时等号成立．则222(5)(11)210EA a a +=-++≥，2a ≥，所以552c e a a ==≤． 故选：C ．【点睛】思路点睛：本题考查双曲线的定义的应用．在涉及双曲线上的点与一个焦点和另外一个定点距离和或差的最值时，常常利用双曲线的定义把到已知焦点的距离转化为到另一焦点的距离，从而利用三点共线取得最值求解．4．D解析：D 【分析】 先把抛物线214y x =-化为标准方程，求出焦点F (0,-1),运用抛物线的定义，找到2222(1)(4)(5)m n m n +++-++的几何意义，数形结合求最值.【详解】 由214y x =-，得24x y =-． 则214y x =-的焦点为()0,1F -．准线为:1l y =． 2222(1)(4)(5)m n m n +++-++几何意义是点()P m n ,到()0,1F-与点()4,5A -的距离之和，如图示：根据抛物线的定义点()P m n ,到()0,1F -的距离等于点()P m n ,到l 的距离，2222(1)(4)(5)m n m n ++-++|PF |+|PA |=|PP 1|+|PA |,所以当P 运动到Q 时，能够取得最小值. 最小值为：|AQ 1|=()156--=． 故选：D. 【点睛】解析几何问题解题的关键：解析几何归根结底还是几何，根据题意画出图形，借助于图形寻找几何关系可以简化运算．5．C解析：C【分析】当直线12l l 、有一条斜率不存在时，可直接求得AB CD +=12l l 、的斜率都存在且不为0时，不妨设直线1l 的斜率为k ，则直线2l 的斜率为1k-，则可得直线1l 的方程，与椭圆联立，根据韦达定理及弦长公式，可求得AB 的表达式，同理可求得CD 的表达式，令21k t +=，则可得2112t tAB CD +=+-，令2112y t t =+-，根据二次函数的性质，结合t 的范围，即可求得AB CD +的范围，综合即可得答案. 【详解】当直线12l l 、有一条斜率不存在时，不妨设直线1l 斜率不存在，则直线2l 斜率为0，此时AB =，22b CD a ===所以AB CD +=当直线12l l 、的斜率都存在且不为0时，不妨设直线1l 的斜率为k ，则直线2l 的斜率为1k-， 不妨设直线12l l 、都过椭圆的右焦点(1,0)F ， 所以直线1:(1)l y k x =-，直线21:(1)l y x k=--， 联立1l 与椭圆T 22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得2222)202142(-=+-+x k x k k ， 22222(4)4(12)(22)880k k k k ∆=--+-=+>，22121222422,1212k k x x x x k k-+=⋅=++，所以12AB x =-=22)12k k +==+，同理22221))2112k k CD k k ⎛⎫+- ⎪+⎝⎭==+⎛⎫+- ⎪⎝⎭，所以2222))122k k B k C k A D +++=+++，令21k t +=，因为0k ≠，所以1t >，所以22222))122211(21)(1)k k AB t D k k t t t C +++=+=++--++=+=22211212t t t t =+-+-，令2211119224y t t t ⎛⎫=+-=--+ ⎪⎝⎭， 因为1t >，所以1(0,1)t∈，所以92,4y ⎛⎤∈ ⎥⎦⎝，所以141,92y ⎡⎫∈⎪⎢⎭⎣，所以1AB CD y +=∈⎢⎣， 综上AB CD +的取值范围是3⎡⎢⎣. 故选：C 【点睛】解题的关键是设出直线的方程，结合韦达定理及弦长公式，求得AB CD +的表达式，再根据二次函数性质求解，易错点为需求直线12l l 、中有一个不存在时，AB CD +的值，考查计算求值的能力，属中档题.6．A解析：A 【分析】由点到直线的距离公式可得2||MF b =，由勾股定理可得||OM a =，则1MF =，1cos aFOM c∠=-，由此利用余弦定理可得到a ，c 的关系，由离心率公式计算即可得答案． 【详解】由题得2(,0)F c ，不妨设:0l bx ay -=，则2||MF b ==，OM a ==，1MF =，12cos cos aFOM F OM c ∠=-∠=-， 由余弦定理可知222222111||||622OM OF MF a c a a OM OF ac c+-+-==-⋅，化为223c a =，即有==ce a故选：A ． 【点睛】方法点睛：离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ；②构造,a c 的齐次式，求出e ；③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解；④根据圆锥曲线的统一定义求解．7．A解析：A 【分析】设直线AB 的方程为2y kx =+，设点()11,A x y 、()11,B x y ，将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，结合已知条件可得出214x x =-，结合韦达定理求出2k 的值，进而可得出AOB 的面积为1212OAB S OF x x =⋅-△，即可得解. 【详解】易知抛物线28x y =的焦点为()0,2F .若直线AB 与x 轴垂直，此时直线AB 与抛物线28x y =有且只有一个公共点，不合乎题意.设直线AB 的方程为2y kx =+，设点()11,A x y 、()11,B x y ， 联立228y kx x y=+⎧⎨=⎩，消去y 并整理得28160x kx --=， 由韦达定理可得128x x k +=，1216x x =-，由于AOF 与BOF 的面积之比为1:4，则4BF FA =，则()()2211,24,2x y x y --=-，所以，214x x =-，则12138x x x k +=-=，可得183k x =-， 2221218256441639k k x x x ⎛⎫=-=-⨯-=-=- ⎪⎝⎭，可得2916k =，所以，OAB 的面积为1211222OAB S OF x x =⋅-=⨯△29646464641016k =+=⨯+=. 故选：A. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆； （3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x 的形式； （5）代入韦达定理求解.8．B解析：B 【分析】设点()2,0F c ，设点P 在第一象限，设2F 关于直线1PF 的对称点为点M ，推导出12MF F △为等边三角形，可得出tan 30ba >，再由公式21b e a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭可求得该双曲线离心率的取值范围. 【详解】 如下图所示：设点()2,0F c ，设点P 在第一象限，由于2F 关于直线1PF 的对称点在y 轴上，不妨设该点为M ，则点M 在y 轴正半轴上， 由对称性可得21122MF MF F F c ===，22113MO MF OF c =-=，所以，1260MF F ∠=，则1230PF F ∠=，所以，双曲线的渐近线by xa=的倾斜角α满足30α>，则123tan3bPF Fa>∠=，因此，该双曲线的离心率为2222222313c c a b bea a a a+⎛⎫====+>⎪⎝⎭.故选：B.【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a、c的值，根据离心率的定义求解离心率e的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于a、c的齐次方程，然后转化为关于e的方程求解；（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.9．D解析：D【分析】由题意作出MD垂直于准线l，然后得2PM MD=，得30∠=︒DPM，写出直线方程，联立方程组，得关于y的一元二次方程，写出韦达定理，代入焦点弦公式计算.【详解】如图，过点M做MD垂直于准线l，由抛物线定义得MF MD=，因为PF FM=，所以2PM MD=，所以30∠=︒DPM，则直线MN方程为3(1)x y=-，联立23(1)4x yx y⎧=-⎪⎨=⎪⎩，，消去x得，231030y y-+=，设()()1122,,,M x y N x y，所以121210,13y y y y+==，得121016||2233MN y y=++=+=.故选：D.【点睛】（1）直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；（2）有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式12||=++AB x x p 或12||=++AB y y p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．10．D解析：D 【分析】首先利用,,A F B 三点共线，求点B 的坐标，再利用焦点弦长公式求AB . 【详解】4y =时，1644x x =⇒=，即()4,4A ，()1,0F ，设2,4y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，利用,,A F B 三点共线可知24314y y =-，化简得2340y y --=，解得：1y =-或4y =（舍）当1y =-时，14x =，即()4,4A ，1,14B ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以121254244AB x x p =++=++=. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题考查直线与抛物线相交，焦点弦问题，重点是求点B 的坐标.11．C解析：C 【分析】把P 的坐标表示出来，PA 转化为二次函数，利用二次函数最值取得条件求离心率的范围． 【详解】 设00(,)P x y ，则||PA ==又∵点P 在双曲线上，∴2200221x y a b -=，即2222002b x y b a=-，∴||PA ===．当PA 最小时，0224202a ax e e -=-=>． 又点P 不在顶点位置，∴22aa e>，∴22e <，∴e < ∵双曲线离心率1e >，∴1e <<故选：C ． 【点睛】求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据题目的条件，找到a 、b 、c 的关系，消去b ，构造离心率e 的方程或（不等式）即可求出离心率．12．C解析：C 【分析】设出直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理得出1212,y y y y +及12x x ，把16OM ON ⋅=-用坐标表示代入上述值结合已知条件可得答案.【详解】设直线MN 的直线方程为x ty a =+，1122(,),(,)M x y N x y ， 由题意得22x ty a y px=+⎧⎨=⎩，整理得2220y pty pa --=， 所以12122,2y y pt y y pa +==-，()()()2212121212x x ty a ty a t y y at y y a =++=+++ ()()2222t ap at pt a =-++，因为16OM ON ⋅=-，所以121216x x y y +=-， 所以()()2222216tpa at pt a pa -++-=-，22160a pa -+=，因为方程有且仅有一个实数a ，所以()22640p ∆=-=，解得4p =，或4p =-（舍去）， 故选：C. 【点睛】本题考查了直线和抛物线的位置关系，关键点是利用韦达定理求出1212,y y y y +及12x x ，然后16OM ON ⋅=-坐标表示列出等式，考查了学生分析问题、解决问题的能力.二、填空题13．【分析】由题意可得Q 点坐标代入双曲线方程计算即可得出离心率【详解】设则中点由题意可得由在双曲线上可得两边同除可得解得（舍）故答案为：【点睛】关键点点睛：齐次式方程两边同除可得关于离心率的方程即可求出【分析】由题意可得Q 点坐标，代入双曲线方程，计算即可得出离心率. 【详解】设(,)Q m n ，则FQ 中点(,)22+m c n，=-FQ n k m c由题意可得325224215c nm c m n c n m c +⎧⎧=-=⨯⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪⨯=-=⎪⎪-⎩⎩，由(,)Q m n 在双曲线上，可得222242242222234()()91655119502502525()--=⇒-=⇒-+=-c c c c c a c a a b a c a 两边同除4a ，可得42950250e e -+=，解得==e e （舍）【点睛】关键点点睛：齐次式方程，两边同除可得关于离心率的方程，即可求出离心率.本题考查了计算能力和逻辑推理能力，属于中档题目.14．1【分析】设出三点坐标表示出直线利用方程思想得到直线的方程算出可计算得到解【详解】设双曲线上任意一点为过作圆的切线切点为不是双曲线的顶点故切线存在斜率且则故直线化简得：即同理有又均过点有故直线故答案解析：1 【分析】设出,,P A B 三点坐标，表示出直线,PA PB ，利用方程思想，得到直线MN 的方程，算出,m n ，可计算2211m n-得到解.【详解】设双曲线上任意一点为()11,P x y ，()22,A x y ，()33,B x y 过()11,P x y 作圆221x y +=的切线，切点为,A B()11,P x y 不是双曲线的顶点，故切线存在斜率且OA PA ⊥，则221PA OA x k k y =-=-故直线()2222:xPA y y x xy-=--化简得：222222y y y x x x-=-+即2222221x x y y x y+=+=同理有33:1PB x x y y+=又,PA PB均过点()11,P x y，有313131311,1x x y y x x y y+=+=故直线11:1MN x x y y+=1111,m nx y==221222111x xm n-=-=故答案为：115．【分析】推导出求出可得出直线的方程联立直线与抛物线的方程求出点的坐标利用抛物线的定义求出的值即可得出抛物线的标准方程【详解】因为即所以则直线的方程为联立直线与抛物线方程解得所以解得因此抛物线标准方程解析：28y x=【分析】推导出OBE EBF△△，求出tan BOE∠，可得出直线AO的方程，联立直线AO与抛物线C的方程，求出点A的坐标，利用抛物线的定义求出p的值，即可得出抛物线C的标准方程.【详解】因为BOE BEF∠=∠，90OBE EBF∠=∠=，OBE EBF∴△△，OB BEBE BF∴=，即2222p pBE OB BF p=⋅=⨯=，2BE p∴=，所以tan 2BEBOE OB∠==，则直线AO 的方程为2y x =， 联立直线OA 与抛物线方程222y xy px⎧=⎪⎨=⎪⎩ 解得(),2A p p ， 所以3622p pAF p =+==，解得4p =， 因此，抛物线标准方程为28y x =. 故答案为：28y x =. 【点睛】方法点睛：求抛物线的标准方程的主要方法是定义法与待定系数法：（1）若题目已给出抛物线的方程（含有未知数p ），那么只需求出p 即可； （2）若题目未给出抛物线的方程：①对于焦点在x 轴上的抛物线的标准方程可统一设为()20y ax a =≠的正负由题设来定；②对于焦点在y 轴上的抛物线的标准方程可统一设为()20x ay a =≠，这样就减少了不必要的讨论.16．【分析】取AB 中点H 后证明H 为PF 中点从而在直角三角形OFH 中利用勾股定理找到求出离心率【详解】如图示取AB 中点H 连结OH 则OH ⊥AB 设椭圆右焦点E 连结PE ∵AB 三等分线段PF ∴H 为PF 中点∵O 为E 解析：175【分析】取AB 中点H 后，证明H 为PF 中点，从而在直角三角形OFH 中，利用勾股定理，找到221725a c =，求出离心率.【详解】如图示，取AB 中点H ，连结OH ，则OH ⊥AB ，设椭圆右焦点E ，连结PE ∵AB 三等分线段PF ，∴ H 为PF 中点. ∵O 为EF 中点，∴OH ∥PE设OH=d,则PE=2d ，∴PF=2a-2d ，BH=3a d- 在直角三角形OBH 中，222OB OH BH =+,即22293a a d d -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得：5a d =. 在直角三角形OFH 中，222OF OH FH =+,即()222c d a d =+-，解得：221725a c =，∴离心率5c e a ==.【点睛】求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据题目的条件，找到a 、b 、c 的关系，消去b ，构造离心率e 的方程或（不等式）即可求出离心率．17．5【分析】首先根据双曲线的定义和等差数列的形式可设的三边长表示为最后根据勾股定理得到根据齐次方程求解离心率【详解】设并且的三边成等差数列最长的边为则三边长表示为又整理为两边同时除以得解得：或（舍）所解析：5 【分析】首先根据双曲线的定义和等差数列的形式，可设12PF F △的三边长表示为24,22,2c a c a c --，最后根据勾股定理得到22650c ac a -+=，根据齐次方程求解离心率. 【详解】设12PF PF >，并且122PF PF a -=，12PF F △的三边成等差数列，最长的边为2c ，则三边长表示为24,22,2c a c a c --， 又1290F PF ∠=，()()22224224c a c a c ∴-+-=，整理为22650c ac a -+=，两边同时除以2a 得，2650e e -+=，解得：5e =或1e =（舍），所以双曲线的离心率是5. 故答案为：5 【点睛】方法点睛：本题考查直线与双曲线的位置关系的综合问题，求离心率是圆锥曲线常考题型，涉及的方法包含1.根据,,a b c 直接求，2.根据条件建立关于,a c 的齐次方程求解，3.根据几何关系找到,,a b c 的等量关系求解.18．【分析】做出图像可知：利用两角和的正切表示有根据离心率可求出代入正切公式即可求出结果【详解】由图像可知：所以因为离心率可设那么极有代入上式得故答案为：【点睛】本题考查了椭圆的基本性质与平面几何的转化 解析：82-【分析】做出图像可知：BDC BAO CFO ∠=∠+∠，利用两角和的正切表示tan BDC ∠，有tan ,tan bb BAO CFO ac ∠=∠=，根据离心率可求出22b a =，22b c=，代入正切公式即可求出结果. 【详解】 由图像可知：BDC BAO DFA BAO CFO ∠=∠+∠=∠+∠所以tan tan tan tan()1tan tan 1b b BAO CFO a c BDC BAO CFO b bBAO CFO a c+∠+∠∠=∠+∠==-∠∠-⋅ 因为离心率13c e a ==，可设3a m =，c m =，那么22b m =，极有22b a =，22b c =，代入上式得22228235221223+=--⨯． 故答案为：825-【点睛】本题考查了椭圆的基本性质与平面几何的转化，考查了两角和的正切公式的应用，属于中档题型，思路点睛：（1）根据平面几何将所求角进行转化，BDC BAO CFO ∠=∠+∠； （2）结合两角和的正切公式，直角三角形内求角的正切，将问题转化为,,a b c 的比值问题．（3）根据离心率求出,,a b c 的比值，代入可求.19．①②④【分析】焦点到准线的距离为即可判断①；利用焦点弦的弦长公式即可判断②；设出直线方程与抛物线方程联立利用韦达定理可判断③；求出两点坐标计算斜率即可判断④；时与抛物线只有一个交点设过点的直线为与抛解析：①②④ 【分析】焦点到准线的距离为p 即可判断①；利用焦点弦的弦长公式即可判断②；设出直线PQ 方程与抛物线方程联立，利用韦达定理可判断③；求出,A Q 两点坐标，计算AQ 斜率即可判断④；1y =时与抛物线只有一个交点，设过点(2,1)-的直线为2x ky k =--，与抛物线方程联立，利用0∆=求出k 的值，即可得出有一个公共点的直线条数，可判断⑤，进而可得正确答案. 【详解】抛物线2:4C y x =可得2p =，()1,0F对于①：抛物线24y x =焦点为()1,0F ，准线l 为1x =-，所以焦点到准线的距离为2，故①正确；对于②：根据抛物线的对义可得：121286222p px x x P p Q x +++=++=+==， 对于③：设直线PQ 方程为：1x ky =+与2:4C y x =联立可得2440yky --=，可得124y y =-，因为2p =，所以2124y y p ≠-，故③不正确；对于④：11(,)P x y ，所以OP ：11y y x x = ，由111y y x x x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩可得11y y x =-， 所以111,y A x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，因为22(,)Q x y ，124y y =- 解得：214y y -=，所以214,Q x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 因为11(,)P x y 在抛物线2:4C y x =上，所以2114y x =，所以21114x y =，1114y x y -=-所以141,A y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，因为214,Q x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以0AQ k =，所以//AQ x 轴，即直线AQ 平行于抛物线的对称轴，故④正确；对于⑤：1y =时，显然与抛物线只有一个交点，设过点(2,1)-的直线为2x ky k =--， 由224x ky k y x=--⎧⎨=⎩可得：24480y ky k -++=，令()2164480k k ∆=-+= 可得2k =或1k =-，故过点(2,1)-且与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线有3条.，故⑤不正确， 故答案为：①②④ 【点睛】结论点睛：抛物线焦点弦的几个常用结论设AB 是过抛物线22y px =()0p >的焦点F 的弦，若()11,A x y ，()22,B x y ，则：（1）2124p x x =，212y y p =-；（2）若点A 在第一象限，点B 在第四象限，则1cos p AF α=-，1cos pBF α=+，弦长1222sin pAB x x p α=++=，（α为直线AB 的倾斜角）； （3）112||||FA FB p+=； （4）以AB 为直径的圆与准线相切； （5）以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切.20．【分析】由题意设即有由双曲线定义及已知可得且结合点在曲线上联立方程得到关于的齐次方程即可求得离心率【详解】令则且①由题意知：E 的左准线为结合双曲线第二定义知：又∴解得②∵知：∴联立①②得：整理得∴故 解析：3【分析】由题意设00(,)P x y ，即有00(,)Q x y --，由双曲线定义及已知可得22003()a a x x c c +=-且22200x y b +=，结合点在曲线上联立方程得到关于,a c 的齐次方程，即可求得离心率.【详解】令00(,)P x y ，00,0x y >则00(,)Q x y --且2200221x y a b-=①，由题意知：E 的左准线为2a x c =-，结合双曲线第二定义知：20||()a PF e x c=+，20||()a FQ e x c =-，又||3||PF FQ =，∴22003()a a x x c c +=-，解得202a x c=②， ∵||OP b =知：22200x y b +=，∴联立①，②得：42222244(1)a a b b c c+-=，整理得223a c =，∴e =【点睛】关键点点睛：根据双曲线第二定义：曲线上的点到焦点距离与该点到对应准线的距离之比为常数e ，可得点P 的横坐标为22ac；结合点在曲线上及勾股定理即可得关于,a c 的齐次方程求离心率即可.三、解答题21．（1）2212x y +=；（2.【分析】（1）根据椭圆离心率为2，以及椭圆经过点2A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，结合椭圆的性质列方程求解即可；（2）设()00,P x y ，题意可知，切线l 的方程为0022x x y y +=，过原点O 且与l 平行的直线'l 的方程为0020x x y y +=，求出Q 的坐标，表示出PQ 的长，再化简即可得结论. 【详解】（1）由题意知222221112c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩1a b ⎧=⎪⇒⎨=⎪⎩ ∴椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）设()00,P x y ，题意可知，切线l 的方程为0022x x y y +=， 过原点O 且与l 平行的直线'l 的方程为0020x x y y +=， 椭圆C 的右焦点()1,0F ，所以直线PF 的方程为()00010y x x y y ---=，联立()000001020y x x y y x x y y ⎧---=⎨+=⎩，所以2000002,22y x y Q x x ⎛⎫-⎪--⎝⎭，所以PQ =====为定值. 【点睛】方法点睛：探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.22．（1）22143xy +=；（2. 【分析】（1）利用椭圆的定义可求出a 的值，将点A 的坐标代入椭圆C 的方程，求出2b 的值，进而可得出椭圆C 的方程；（2）设点()11,M x y 、()22,N x y ，写出直线MN 的方程，联立直线MN 与椭圆C 的方程，列出韦达定理，利用三角形的面积公式结合韦达定理可求得OMN 的面积. 【详解】（1）由椭圆的定义可得1224AF AF a +==，可得2a =，椭圆C 的方程为22214x y b+=， 将点A 的坐标代入椭圆C 的方程可得291414b +=，解得23b =，因此，椭圆C 的方程为22143x y +=；（2）易知椭圆C 的右焦点为()21,0F ，由于直线MN 的斜率为1，所以，直线MN 的方程为1y x =-，即1x y =+， 设点()11,M x y 、()22,N x y ，联立221143x y x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得27690y y +-=，364793680∆=+⨯⨯=⨯>，由韦达定理可得1267y y +=-，1297y y =-，212112277OMNSOF y y =⋅-===⨯=.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆； （3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x 的形式； （5）代入韦达定理求解.23．（1）24x y =；（2）1y x =+或1y x =-+. 【分析】（1）由1PM y =+，结合两点间的距离公式得出轨迹方程；（2）由题直线l 斜率存在，设出直线l 的方程，联立轨迹C 的方程，由韦达定理以及抛物线的定义求出直线l 的方程. 【详解】（1）动点(),P x y （0y >）到x 轴的距离为y ，到点M 的距离为PM =由动点(),P x y 到定点()0,1M 的距离比到x 轴的距离大1，1y =+，两边平方得：24x y =，所以轨迹C 的方程：24x y =； （2）显然直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为：1y kx =+，由241x y y kx ⎧=⎨=+⎩，消去x 整理得()222410y k y -++=， ∴21224y y k +=+，∴2122428AB y y p k =++=++=， 解得21k =，即1k =±，∴直线l 的方程为1y x =+或1y x =-+. 【点睛】方法点睛：求轨迹方程的常用方法：（1）直接法，（2）定义法，（3）相关点法.24．（1）22194x y +=；（2）最大值为.（1）将1,3P ⎛ ⎝⎭的坐标代入椭圆方程中，再结合3c a =和222a b c =+可求出,a b 的值，进而可求得椭圆的方程；（2）当MN 斜率存在时，设MN 与圆O 的切线为y kx n =+，要使四边形OMQN 的面积最大，则Q 到MN 距离要最大，此时过Q 点MN 的平行线必与椭圆C 相切，设为y kx m =+，易得Q 到MN 距离与O 到MN 距离之和等于O 到直线y kx m =+的距离，然后利用点到直线的距离公式求出O 到直线y kx m =+的距离d ，利用弦长公式求出MN 的值，从而有12OMN QMN OMQN S S S MN d =+=⨯四边形△△，化简可求得其范围，当MN 斜率不存在时，直接可得OMQN S =四边形 【详解】（1）因为椭圆C过点1,3P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，所以2213219a b +=，c a = 又222a b c =+，所以得22194x y +=；（2）（i ）当MN 斜率存在时，设MN 与圆O 的切线为y kx n =+，要使四边形OMQN 的面积最大，则Q 到MN 距离要最大，此时过Q 点MN 的平行线必与椭圆C 相切，设为y kx m =+，易得Q 到MN 距离与O 到MN 距离之和等于O 到直线y kx m =+的距离，设O 到直线y kx m =+的距离记为d，则d =，联立22,1,94y kx n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()()2229418940k x knx n +++-=，设()11,M x y ，()22,N x y ，1221894kn x x k +=-+，()21229494n x x k -=+，所以12294MN x k =-=+， 因为y kx n =+与圆O1=，因为y kx m =+与椭圆相切，所以2294k m +=，1122OMN QMNOMQN S S S MN d =+=⨯=四边形△△=== 可得OMQN S 四边形随k的增大而增大，即OMQN S <四边形（ii ）当MN斜率不存在时，不妨取1,3M ⎛ ⎝⎭，1,3N ⎛- ⎝⎭，此时()3,0Q ，OMQN S =四边形综上所得四边形OMQN的面积的最大值为【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查计算能力，解题的关键是当MN 斜率存在时，设MN 与圆O 的切线为y kx n =+，要使四边形OMQN 的面积最大，则Q 到MN 距离要最大，此时过Q 点MN 的平行线必与椭圆C 相切，设为y kx m =+，易得Q 到MN 距离与O 到MN 距离之和等于O 到直线y kx m =+的距离，从而可得2112294OMN QMNOMQN S S S MN d k =+=⨯=⨯+四边形△△，化简可得结果，属于中档题25．（1）24y x =；（2）直线AB 过定点(2,0)-，证明见解析. 【分析】（1）由抛物线的定义求得p ，得抛物线方程；（2）设直线AB 方程为x my b =+， 11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线方程代入抛物线方程，由判别式大于0得参数满足的条件，应用韦达定理得1212,y y y y +，计算由2OA OB k k =可得128y y =，从而求得参数b ，并可得出m 的范围．此时由直线方程可得定点坐标． 【详解】（1）由抛物线定义可知：122p+=，则2p =， 所以抛物线C 的方程为24y x =（2）设直线AB 方程为x my b =+， 11(,)A x y ，22(,)B x y联立24y x x my b⎧=⎨=+⎩得2440y my b --=，则216160m b ∆=+>即20()m b +>*。

高中数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程-单元测试-及答案高中数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程 单元测试一、选择题（每小题5分，共60分） 1．椭圆122=+my x的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为（ ）A ．41B ．21C ．2D ．4 2．过抛物线xy 42=的焦点作直线l 交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则||AB 等于（ ） A ．10 B ．8 C ．6D ．43．若直线y ＝kx ＋2与双曲线622=-y x的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是（ ）A ．315(-，)315 B ．0(，)315 C ．315(-，)0D ．315(-，)1-4．（理）已知抛物线xy 42=上两个动点B 、C 和点A （1，2）且∠BAC ＝90°，则动直线BC 必过定点（ ）A ．（2，5）B ．（-2，5）C ．（5，-2） D ．（5，2） （文）过抛物线)0(22>=p px y的焦点作直线交抛物线于1(x P ，)1y 、2(x Q ，)2y 两点，若px x 321=+，则||PQ 等于（ ） A ．4p B ．5p C ．6pD ．8p5.已知两点)45,4(),45,1(--N M ,给出下列曲线方程：①0124=-+y x ;②322=+y x;③1222=+y x ;④1222=-y x .在曲线上存在点P 满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是（ ）（A ）①③ （B ）②④ （C ）①②③ （D ）②③④ 6．已知双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）的两个焦点为1F 、2F ，点A 在双曲线第一象限的图象上，若△21F AF 的面积为1，且21tan 21=∠FAF ，2tan 12-=∠F AF ，则双曲线方程为（ ） A ．1351222=-y x B ．1312522=-y x C ．1512322=-y xD ．1125322=-y x7．圆心在抛物线)0(22>=y x y上，并且与抛物线的准线及x 轴都相切的圆的方程是（ ） A ．041222=---+y x y x B ．01222=+-++y x y xC ．01222=+--+y x y xD ．041222=+--+y x y x8．双曲线的虚轴长为4，离心率26=e ，1F 、2F 分别是它的左、右焦点，若过1F 的直线与双曲线的右支交于A 、B 两点，且||AB 是||2AF 的等差中项，则||AB 等于（ ） A ．28 B ．24 C ．22D ．8．9．（理）已知椭圆22221a y x=+（a ＞0）与A （2，1），B （4，3）为端点的线段没有公共点，则a 的取值范围是（ ）A ．2230<<aB ．2230<<a 或282>aC ．223<a 或 282>a D ．282223<<a（文）抛物线)2(2)2(2+-=-m y x 的焦点在x 轴上，则实数m 的值为（ ）A ．0B ．23 C ．2D ．310．已知双曲线中心在原点且一个焦点为)0,7(F ,直线1-=x y 与其相交于N M ,两点, MN 中点横坐标为32-,则此双曲线的方程是( ) (A) 14322=-y x (B)13422=-y x (C)12522=-y x(D)15222=-y x11.将抛物线342+-=x xy 绕其顶点顺时针旋转090，则抛物线方程为（ ）（A ）x y -=+2)1(2（B ）2)1(2-=+x y （C ）xy -=-2)1(2 （D ）2)1(2-=-x y12．若直线4=+ny mx 和⊙O ∶422=+y x 没有交点，则过),(n m 的直线与椭圆14922=+y x 的交点个数（ ）A ．至多一个B ．2个C ．1个D ．0个二、填空题（每小题4分，共16分） 13．椭圆198log 22=+y x a 的离心率为21，则a ＝________． 14．已知直线1+=x y 与椭圆122=+ny mx)0(>>n m 相交于A ，B 两点，若弦AB 的中点的横坐标等于31-，则双曲线12222=-n y m x 的两条渐近线的夹角的正切值等于________．15．长为l (0＜l ＜1)的线段AB 的两个端点在抛物线2x y =上滑动，则线段AB 中点M 到x 轴距离的最小值是________．16．某宇宙飞船的运行轨道是以地球中心F 为焦点的椭圆，测得近地点A 距离地面)km (m ，远地点B 距离地面)km (n ，地球半径为)km (R ，关于这个椭圆有以下四种说法：①焦距长为m n -；②短轴长为))((R n R m ++；③离心率Rn m mn e 2++-=；④若以AB 方向为x 轴正方向，F 为坐标原点，则与F 对应的准线方程为)())((m n R n R m x -++2-=，其中正确的序号为________． 三、解答题（共44分）17．（本小题10分）已知椭圆的一个顶点为A （0，-1），焦点在x 轴上.若右焦点到直线22=+-y x 的距离为3.（1）求椭圆的方程;（2）设椭圆与直线)0(≠+=k m kx y 相交于不同的两点M 、N.当AN AM =时，求m 的取值范围.18．（本小题10分）双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右支上存在与右焦点和左准线等距离的点，求离心率e 的取值范围.19.（本小题12分）如图，直线与抛物线2交于),(,),(2211y x B y x A 两点，与x 轴相交于点M ，且121-=y y .（1）求证：M 点的坐标为)0,1(； （2）求证：OB OA ⊥；（3）求AOB ∆的面积的最小值.y x20．（本小题12分）已知椭圆方程为1822=+y x ，射线xy 22=（x ≥0）与椭圆的交点为M ，过M 作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于A 、B 两点（异于M ）．（1）求证直线AB 的斜率为定值；（2）求△AMB 面积的最大值．三、解答题（20分） 11．（本小题满分10分）已知直线l 与圆0222=++x y x 相切于点T ，且与双曲线122=-y x相交于A 、B 两点.若T 是线段AB 的中点，求直线l 的方程.12．（10分）已知椭圆2222b y a x +（a ＞b ＞0）的离心率36=e ，过点),0(b A -和)0,(a B 的直线与原点的距离为23．（1）求椭圆的方程．（2）已知定点)0,1(-E ，若直线)0(2≠+=k kx y 与椭圆交于C 、D 两点．问：是否存在k 的值，使以CD为直径的圆过E 点?请说明理由．圆锥曲线单元检测答案1. A2.B 3 D 4 理C 文A 5 D 6 A 7 D 8A 9 理B 文B 10 D 11 B 12 B13．24或69 14．34 15．42l 16．①③④ 17.（1）依题意可设椭圆方程为 1222=+y ax ，则右焦点F （,12-a ）由题设322212=+-a 解得32=a故所求椭圆的方程为1322=+y x .1322=+y x ………………………………………………4分.（2）设P 为弦MN 的中点，由⎪⎩⎪⎨⎧=++=1322y x m kx y 得)1(36)13(222=-+++m mkx x k由于直线与椭圆有两个交点，,0>∆∴即 1322+<k m①………………6分13322+-=+=∴k mkx x x N M p 从而132+=+=k mm kx yp pmkk m x y k pp Ap 31312++-=+=∴ 又MNAP AN AM⊥∴=,，则kmk k m 13132-=++-即1322+=k m②…………………………8分把②代入①得 22m m > 解得 20<<m 由②得 03122>-=m k解得21>m .故所求m 的取范围是（2,21）……………………………………10分 18．设M )(0,0y x是双曲线右支上满足条件的点，且它到右焦点F 2的距离等于它到左准线的距离2MN ，即MNMF =2，由双曲线定义可知eMF MF eMNMF =∴=211……5分 由焦点半径公式得000x eaex aex ∴=-+ee e a -+=2)1(…………………………7分 而a ee e a ax ≥-+∴≥20)1( 即122≤--e e 解得1221+≤≤-e 但1211+≤<∴>e e ……………………………………10分19. (1 ) 设M 点的坐标为)0,(0x , 直线l 方程为0x my x +=, 代入x y =2得002=--x my y ① 21,y y 是此方程的两根,∴1210=-=y y x ，即M 点的坐标为（1, 0）. (2 ) ∵ 121-=y y∴ 0)1(21212122212121=+=+=+y y y y y y y y y y x x∴ OB OA ⊥.（3）由方程①，m y y =+21, 121-=y y , 且 1||0==x OM , 于是=-=∆||||2121y y OM S AOB 212214)(21y y y y -+=4212+m ≥1， ∴ 当0=m 时，AOB ∆的面积取最小值1. 20．解析：（1）∵ 斜率k 存在，不妨设k ＞0，求出M （22，2）．直线MA 方程为)22(2-=-x k y ，直线AB 方程为)22(2--=-x k y ．分别与椭圆方程联立，可解出2284222-+-=k k k xA，2284222-++=k k k x B ．∴22)(=--=--BA B A B A B A x x x x k x x y y ． ∴22=AB k （定值）．（2）设直线AB 方程为mx y +=22，与1822=+y x 联立，消去y 得mxx24162+)8(2=-+m ．由0>∆得44<<-m ，且0≠m ，点M 到AB 的距离为3||m d =．设AMB ∆的面积为S ． ∴2)216(321)16(321||41222222=≤-==⋅m m d AB S ．当22±=m 时，得2max=S．11．解：直线l 与x 轴不平行，设l 的方程为 a ky x += 代入双曲线方程 整理得12)1(222=-++-a kay y k ……………………3分 而12≠-k ，于是122--=+=k aky y y B A T 从而12--=+=k a a ky x T T 即)1,1(22kak ak T --……5分Θ点T 在圆上 012)1()1(22222=-+-+-∴k a k a kak即22+=a k①由圆心)0,1(-'O .l T O ⊥' 得 1-=⋅'l TO k k 则 0=k或 122+=a k当0=k 时，由①得 la ∴-=,2的方程为 2-=x ；当122+=a k时，由①得 1=a lK ∴±=,3的方程为13+±=y x .故所求直线l 的方程为2-=x 或13+±=y x …………………………10分12．解：（1）直线AB 方程为：0=--ab ay bx ． 依题意⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=233622ba ab ac ， 解得⎩⎨⎧==13b a ，∴ 椭圆方程为 1322=+y x ．（2）假若存在这样的k 值，由⎩⎨⎧=-++=033222y x kx y ，得)31(2k +09122=++kx x ．∴)31(36)12(22>+-=∆k k ．① 设1(x C ，)1y 、2(x D ，)2y ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=+⋅2212213193112k x x k k x x ，② 而4)(2)2)(2(212122121+++=++=⋅x x k x x k kx kx yy ．要使以CD 为直径的圆过点E （-1，0），当且仅当CE ⊥DE 时，则1112211-=++⋅x y x y ，即)1)(1(2121=+++x x y y ．∴5))(1(2)1(21212=+++++x x k x x k ．③将②式代入③整理解得67=k ．经验证，67=k ，使①成立．综上可知，存在67=k ，使得以CD 为直径的圆过点E ．。

一、选择题1．光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出，如图①，一个光学装置由有公共焦点1F 、2F 的椭圆Γ与双曲线Ω构成，现一光线从左焦点1F 发出，依次经Ω与Γ反射，又回到了点1F ，历时1t 秒；若将装置中的Ω去掉，如图②，此光线从点1F 发出，经Γ两次反射后又回到了点1F ，历时2t 秒；若218t t =，则Γ与Ω的离心率之比为（ ）A ．3:4B ．2:3C ．1:2D ．1:22．已知点A 为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左顶点，(),0F c 为椭圆的右焦点，B 、E 在椭圆上，四边形OABE 为平行四边形（O 为坐标原点），过直线AE 上一点P 作圆()2224b x c y -+=的切线PQ ，Q 为切点，若PQF △面积的最小值大于28b ，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）A ．1020,⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭B ．102,1⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭C ．510,⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭D ．51,1⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭3．设直线l 与圆C ：22(2)3x y -+=相切于N ，与抛物线22(0)y px p =>交于,A B 两点，且N 是线段AB 的中点，若直线l 有且只有4条，则p 的取值范围是（ ） A ．(1,3)B ．(1,3)C ．(0,3)D ．(0,3)4．已知12,F F 分别是双曲线2214x y -=的左、右焦点，P 为双曲线右支上异于顶点的任意一点，若12PF F △内切圆圆心为I ，则圆心I 到圆22(1)1y x +-=上任意一点的距离最小值为（ ） A ．2B ．51-C ．1D ．52-5．已知双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点为1F ，2F ，过2F 作一条渐近线的垂线，垂足为M ，若16MF OM =，则E 的离心率为（ ）A 3B ．2C 5D 26．已知12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点，过1F 的直线交双曲线的左支于,A B 两点，若113AF F B =，23cos 5AF B ∠=，则双曲线的离心率e =（ ） A 5B ．52C 10D ．537．在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是侧面11BCC B 内一点，且点P 满足到平面11ABB A 的距离等于到点1C 的距离，则点P 的轨迹是（ ）A ．一条线段B ．圆的一部分C ．椭圆的一部分D ．抛物线的一部分8．设1F 、2F 是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左、右焦点，P 是双曲线C 右支上一点.若126PF PF a +=，且1223PF F S b =△，则双曲线C 的渐近线方程是（ ）A 20x y ±=B ．20x ±=C 320x y ±=D ．230x =9．顶点在原点，经过点()，且以坐标轴为轴的抛物线的标准方程是（ ）A ．2y =或212=-x y B ．2y =-或212=-x yC ．2y =或212x y =D ．2y =-或212x y =10．已知抛物线2:4C y x =，过点()1,0A -作C 的两条切线，切点分别为B 、D ，则过点A 、B 、D 的圆截y 轴所得弦长为（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知动点(),P x y 5a a=+(a 为大于零的常数)﹐则动点P 的轨迹是（ ） A ．线段B ．圆C ．椭圆D ．双曲线12．“04a <<”是“方程2214x y a a+=-表示为椭圆”的（ ）A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题13．设1A 、2A 为椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右顶点，若在椭圆上存在异于1A 、2A 的点P ，使得10PO PA ⋅=，其中O 为坐标原点，则椭圆的离心率e 的取值范围是_____. 14．知直线m 过抛物线()220y px p =>的焦点F ，且交抛物线于A 、B 两点，交其准线l于点C .若6AF =，2CB BF =，则p =____________15．已知椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，点()4,4M ，若点P 为椭圆C 上的一个动点，则1PM PF -的最小值为____________.16．点P 为椭圆C 上一动点，过点P 作以椭圆短轴为直径的圆的两条切线，切点分别为M ，N ，若60MPN ∠=︒，则椭圆C 的离心率的取值范围是______.17．已知椭圆T 的中心在坐标原点，左､右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，(4,M 是椭圆上一点，且1MF ，12F F ，2MF 成等差数列，椭圆T 的标准方程________.18．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的焦距为，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且OA OB ⊥，过O 作⊥OD AB 交AB 于点D ，点D 的坐标为()2,1，则椭圆C 的方程为_________．19．如果点12310,,,P P P P ，是抛物线22y x =上的点，它们的横坐标依次为12310,,,,x x x x ，F 是抛物线的焦点，若123105x x x x ++++=，则1210PF P F P F +++=___.20．抛物线24y x =的焦点为F ，点(2,1)A ，M 为抛物线上一点，且M 不在直线AF 上，则MAF ∆周长的最小值为____．三、解答题21．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>过点1,2P ⎛ ⎝⎭，离心率2e =. （1）求椭圆E 的方程；（2）过点(0,3)M 的直线l 与椭圆E 相交于A ，B 两点. ①当直线OA ，OB 的斜率之和为34时(其中O 为坐标原点)，求直线l 的斜率k ； ②求MA MB ⋅的取值范围.22．椭圆2212516x y +=上一点P 到左焦点F 的距离为6，若点M 满足1()2OM OP OF =+（O 为坐标原点），则||OM =________．23．已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点.过右焦点F 与x 轴不垂直的直线l 交椭圆于P ，Q 两点. （1）求椭圆的方程；（2）当直线l 的斜率为2时，求POQ △的面积；（3）在线段OF 上是否存在点M (m ，0)，使得MPQ 为等腰三角形？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由.24．已知直线y x b =+与抛物线22x y =交于A ，B 两点，且OA OB ⊥（O 为坐标原点）．（Ⅰ）求b 的值； （Ⅱ）求AOB 的面积．25．已知抛物线C ：22y px =(0)p >的焦点为F ，点(4,)A m 在抛物线C 上，且OAF △的面积为212p （O 为坐标原点）． （1）求抛物线C 的方程；（2）直线l ：1y kx =+与抛物线C 交于M ，N 两点，若OM ON ⊥，求直线l 的方程．26．已知点()11,A x y ，()22,B x y 是抛物线C ：24x y =上的两点，满足OA OB ⊥，O 是坐标原点.（1）求证：1216x x =-；（2）若⊥OD AB 于点D ，求点D 的轨迹方程.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】设122F F c =，设椭圆Γ的长轴长为12a ，双曲线Ω的实轴长为22a ，设光速为v ，推导出112a vt =，利用椭圆和双曲线的定义可得出1243a a =，由此可计算得出Γ与Ω的离心率之比. 【详解】设122F F c =，设椭圆Γ的长轴长为12a ，双曲线Ω的实轴长为22a ， 在图②中，1CDF 的周长为111212124CF DF CD CF CF DF DF a vt ++=+++==，所以，1148a vt =，可得112a vt =，在图①中，由双曲线的定义可得2122AF AF a -=，由椭圆的定义可得1212BF BF a +=， 22AF BF AB =-，则2121111222AF AF BF AB AF a BF AB AF a -=--=---=，即()111222a AB AF BF a -++=，由题意可知，1ABF 的周长为111AB AF BF vt ++=，即112111322222a a a a vt a =-=-=， 所以，1243a a =. 因此，Γ与Ω的离心率之比为122112:::3:4c ce e a a a a ===. 故选：A. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a 、c 的值，根据离心率的定义求解离心率e 的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于a 、c 的齐次方程，然后转化为关于e 的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.2．B解析：B 【分析】结合题意先计算直线AE 的表达式，然后运用点到直线的距离计算圆心F 到直线AE 的距离，求出三角形PQF 的面积表达式，结合题意得到不等式，继而计算出椭圆离心率的取值范围. 【详解】因为四边形OABE 是平行四边形，所以//BE AO ，且BE AO a ==，又因为点B 、E关于y 轴对称，所以0,2a E y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，将其代入椭圆方程得222214y a a b+=，解得0y =±，故,22a E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，(),0A a -，所以()2:32AE l y x a a =+，即30ay -=，故min PF 即为F 到直线AE 的距离，d=，此时PQ ==故2112228PQFb b SPQ R =⋅=⋅>，化简得2212d b >，故()2222231392b ac b b a +>+，即()()222231239a c a c a +>-+，整理得22222142a ac c a c ++>-，分子分母同除以2a ，得2212142e e e ++>-，即23420ee +->，所以e<舍去)或23e >，在椭圆中a c >，所以1e <，所以2,13e ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键是求出三角形PQF 的面积表达式，结合题意得到不等式进行求解，有一定的计算量，需要把基础知识掌握牢固.3．B解析：B 【分析】根据l 有且只有4条，易知直线l 的斜率不存在时，有两条，得到直线l 斜率存在时，有两条，根据N 是线段AB 的中点，利用点差法得到0ky p =，再根据直线l 与圆C ：22(2)3x y -+=相切于N ，得到0012y x k=--，结合得到02x p =-，2203y p =-再根据点N 在抛物线内部求解. 【详解】设()()()112200,,,,,A x y B x y N x y ， 因为l 有且只有4条，当直线l的斜率不存在时，有两条，即2=±x 所以直线l 斜率存在时，有两条， 因为AB 在抛物线上，所以21122222y px y px ⎧=⎨=⎩，两式相减得()2212122y y p x x -=-，因为N 是线段AB 的中点， 所以1202y y y +=， 所以12121202y y p pk x x y y y -===-+， 即0ky p =，因为直线l 与圆C ：22(2)3x y -+=相切于N ， 所以0012y x k=--，即002x ky p -=-=-， 所以02x p =-，代入抛物线22y px =，得()222y p p =-，因为点N 在抛物线内部，所以()2022y p p <-，因为点N 在圆上，所以2200(2)3x y -+=，即2203p y +=， 所以2203y p =-，所以()220322y p p p =-<-，即2430p p -+<，解得13p <<， 故选：B 【点睛】方法点睛：解决直线与曲线的位置关系的相关问题，往往先把直线方程与曲线方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．4．C解析：C 【分析】设12PF F △内切圆与12PF F △的三边1PF ､2PF ､12F F 的切点分别为D ､N ､M ，根据圆的切线性质，可得2OM =，即可得答案. 【详解】设12PF F △的内切圆分别与12,PF PF 切于点,A B ，与12F F 切于点M ，则11||||,||||PA PB F A F M ==，22||||F B F M =．又点P 在双曲线右支上， 12||||2PF PF a ∴-=，即12(||||)(||||)2PA F A PB F B a +-+=， 12||||2F M F M a ∴-= ①，又12||||2F M F M c += ②， 由①＋②，解得1||F M a c =+， 又1||OF c =，则(,0)M a ，因为双曲线2214x y -=的2a =，所以内切圆圆心I 与在直线2x =上，设0(2,)I y ， 设圆22(1)1y x +-=的圆心为C ，则(0,1)C ， 所以()220||21CI y =+-，当01y =时，min ||2CI =，此时圆22(1)1y x +-=上任意一点的距离最小值为min ||1211CI -=-=．故选： C ．【点睛】本题考查双曲线的定义和性质，关键点是由定义和已知得到12||||2F M F M a -=和12||||2F M F M c +=，考查了学生分析问题、解决问题的能力，属于中档题.5．A解析：A【分析】由点到直线的距离公式可得2||MF b =，由勾股定理可得||OM a =，则1MF =，1cos aFOM c∠=-，由此利用余弦定理可得到a ，c 的关系，由离心率公式计算即可得答案． 【详解】由题得2(,0)F c ，不妨设:0l bx ay -=，则2||MF b ==，OM a ==，1MF =，12cos cos aFOM F OM c ∠=-∠=-， 由余弦定理可知222222111||||622OM OF MF a c a a OM OF ac c+-+-==-⋅，化为223c a =，即有==ce a故选：A ． 【点睛】方法点睛：离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ；②构造,a c 的齐次式，求出e ；③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解；④根据圆锥曲线的统一定义求解．6．C解析：C 【分析】设1133AF F B m ==，利用双曲线定义求出232AF m a =+，22F B m a =+，利用余弦定理写出,a m 关系，推知焦点三角形12F BF 是直角三角形，利用勾股定理求出,a c 关系式，从而求出离心率. 【详解】设1133AF F B m ==，则4AB m =，则由双曲线定义有232AF m a =+，22F B m a =+，在2AF B 中，由余弦定理有()()()()()22242232223m a m a m a m a m =+++-⋅++ 整理得22320m am a --=，解得m a =故4AB a =，25AF a =，23F B a = 故2AF B 为直角三角形，290ABF ∠=在12Rt F BF △中，2221122F B F B F F +=，则()()22232a a c +=，故22252c e a ==故10e =故选：C 【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式c e a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．7．D解析：D 【分析】由题意画出图形，可知点P 到直线BC 的距离与点P 到点1C 的距离相等， 所以点P 的轨迹为以1C 为焦点，以1BB 为准线的抛物线． 【详解】如图，点P 是侧面11BCC B 内的一动点，点P 到直线1BB 的距离即为点P 到面11ABB A 的距离， 因为点P 到直线BC 的距离与点P 到点1C 的距离相等， 所以点P 的轨迹为以1C 为焦点，以1BB 为准线的抛物线， 故选：D ． 【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方法之定义法：将动点轨迹化归为某一基本轨迹（圆，椭圆，双曲线，抛物线等），然后利用基本轨迹的定义，直接写出方程.8．A解析：A 【分析】利用双曲线的定义、余弦定理以及三角形的面积公式可求得123F PF π∠=，利用双曲线的定义以及126PF PF a +=可求得14PF a =，22PF a =，再利用余弦定理可得出ba的值，由此可求得双曲线C 的渐近线方程. 【详解】设12F PF θ∠=，由双曲线的定义可得122PF PF a -=， 在12PF F △中，由余弦定理可得2221212122cos F F PF PF PF PF θ=+-⋅，即()()()22212121212222cos 421cos c PF PF PF PF PF PF a PF PF θθ=-+⋅-⋅=+⋅-，所以，222122221cos 1cos c a b PF PF θθ-⋅==--，1222221222sin cos1sin 22sin 21cos tan112sin 22PF F b b b S PF PF θθθθθθθ⋅=⋅====-⎛⎫-- ⎪⎝⎭△，tan23θ∴=， 0θπ<<，可得022θπ<<，26θπ∴=，所以，3πθ=，由已知可得121226PF PF a PF PF a ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得1242PF a PF a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，由余弦定理可得2221212122cos F F PF PF PF PF θ=+-⋅，即222221416416122c a a a a =+-⨯=，则223c a =，即2223a b a +=，b ∴=， 因此，双曲线C的渐近线方程为by x a=±=0y ±=. 故选：A. 【点睛】思路点睛：求解双曲线的渐近线的常用思路：（1）转化已知条件，得到a 、b 、c 中任意两个量的等量关系；（2）若得到a 、b 的等量关系，则渐近线方程可得；若已知a 、c 或b 、c 之间的等量关系，结合222+=a b c 可求得ba的值，则渐近线方程可求.9．D解析：D 【分析】设出抛物线方程为22y mx =或22x ny =，代入点的坐标求出参数值可得． 【详解】设抛物线方程为22y mx =，则262(m =⋅，m =-2y =-，或设方程为22x ny =，则2(26n =⨯，14n =，方程为212x y =．所以抛物线方程为2y =-或212x y =． 故选：D ． 【点睛】关键点点睛：抛物线的标准方程有四种形式，在不确定焦点位置（或开口方向时），需要分类讨论．象本题在抛物线过一点的坐标，则需要考虑焦点在x 轴和y 轴两种情况，焦点在x 轴上时可以直接设方程为2y mx =，代入点的坐标求出参数值，不必考虑焦点是在x轴正半轴还是在负半轴，焦点在y 轴也类似求解．10．A解析：A 【分析】设出直线方程，与抛物线方程联立，由判别式为零解出B 、D 两点的坐标，进而得出过点A 、B 、D 的圆的方程，求出弦长即可． 【详解】设过点()1,0A -的直线方程为1x my =-，联立214x my y x=-⎧⎨=⎩，可得2440y my -+=，由216160m ∆=-=，解得1m =±即2440y y ±+=，2y =±，不妨设()()1,2,1,2B D -，则BD 的中垂线方程为0y =，即圆心在x 轴上又()1,0A -，且点()1,0到点A 、B 、D 的距离都相等，则圆心坐标为()1,0，半径为2圆的方程为()2214x y -+=，令0x =，解得y =即圆被y 轴所截得的弦长为故选：A 【点睛】关键点点睛：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查圆的方程以及直线与圆的位置关系，解决本题的关键点是根据直线与抛物线相切，求出切点的坐标，进而得出圆的方程，求出弦长，考查学生逻辑思维能力和计算能力，属于中档题．11．C解析：C 【分析】由a 为大于零的常数，可知5a a+的最小值，再根据两点间距离公式得几何意义以及椭圆定义判断轨迹. 【详解】的几何意义为点(),P x y 与点(0,2)A 间的距离，的几何意义为点(),P x y 与点(0,2)B -间的距离，且4AB =又由a为大于零的常数，可知54a a +≥=>， 当且仅当5a a=，即a =54a a=+>， 即动点P 到点A 与到点B 的距离之和为定值，且大于AB ， 所以动点P 的轨迹为椭圆， 故选：C. 【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误． 椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性，正确理解掌握定义是关键，应注意定义中的常数大于|F 1F 2|，避免了动点轨迹是线段或不存在的情况．12．C解析：C 【分析】根据方程2214x y a a +=-表示椭圆求出实数a 的取值范围，然后利用集合的包含关系可判断出“04a <<”是“方程2214x y a a+=-表示椭圆”的条件.【详解】若方程2214x y a a+=-表示椭圆，则0404a a a a >⎧⎪->⎨⎪≠-⎩，解得02a <<或24a <<，记为{}02,24A a a a =<<<<或， 又记{}04B a a =<<，AB则“04a <<”是“方程2214x y a a+=-表示椭圆”的必要不充分条件.故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是求出方程为椭圆的充分必要条件.二、填空题13．【分析】设点由可得出求出函数在区间上的零点为化简得出进而可解得的取值范围【详解】设点则可知点设则函数在区间上存在零点则为方程的一根设函数在区间内的零点为由韦达定理可得所以即整理可得即解得因此椭圆的离解析：2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【分析】设点(),P x y ，由10PO PA ⋅=可得出2220e x ax b ++=，求出函数()f x 在区间(),0a -上的零点为22ab c-，化简得出2201b c <<，进而可解得e 的取值范围.【详解】设点(),P x y ，则22222b y b x a=-，可知点()1,0A a -，(),PO x y =--，()1,PA a x y =---，()()22222222221220b c PO PA x a x y x y ax x b x ax x ax b a a⋅=---+-=++=+-+=++=，设()222f x e x ax b =++，则函数()f x 在区间(),0a -上存在零点，()2220f a c a b -=-+=，则a -为方程2220e x ax b ++=的一根，设函数()f x 在区间(),0a -内的零点为1x ，由韦达定理可得222122b a b ax e c -==，212ab x c∴=-，所以，220ab a c -<-<，即2201b c<<，整理可得2222a c b c -=<，222a c ∴<，即221e >，01e <<，解得212e <<. 因此，椭圆的离心率e 的取值范围是2,12⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭. 故答案为：2,1⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.【点睛】方法点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：①求出a 、c ，代入公式ce a=； ②只需要根据一个条件得到关于a 、b 、c 的齐次式，结合222b a c =-转化为a 、c 的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以a 或2a 转化为关于e 的方程（或不等式），解方程（或不等式）即可得e （e 的取值范围）．14．3【分析】过作准线的垂线垂足分别为过作的垂线垂足为根据结合抛物线的定义可得据此求出再根据抛物线的定义可求出【详解】如图：过作准线的垂线垂足分别为过作的垂线垂足为因为所以因为所以所以所以在直角三角形中解析：3 【分析】过A 、B 作准线l 的垂线，垂足分别为,N M ，过F 作AN 的垂线，垂足为D ，根据2CB BF =结合抛物线的定义可得30DFA MCB ∠=∠=，据此求出||3AD =，再根据抛物线的定义可求出p . 【详解】如图：过A 、B 作准线l 的垂线，垂足分别为,N M ，过F 作AN 的垂线，垂足为D ，因为2CB BF =，所以||2||CB BF =， 因为||||BF BM =，所以||2||CB BM =， 所以30MCB ∠=，所以30DFA ∠=，在直角三角形ADF 中，因为||6AF =，所以||3AD =， 因为||||6AN AF ==，且||||3AN AD p p =+=+， 所以63p =+，所以3p =. 故答案为：3 【点睛】关键点点睛：利用抛物线的定义求解是解题关键.15．1【分析】根据已知可以转化为然后由三点共线即两点之间线段最短可得答案【详解】由已知得因为所以所以所以当三点共线时最小即故答案为：1【点睛】本题考查了椭圆上的点到焦点和定点距离和的问题解题关键是利用定解析：1 【分析】根据已知可以转化为124PM PF PM PF -=+-，然后由三点共线即两点之间线段最短可得答案. 【详解】由已知得222224,3,1a b c a b ===-=，2(1,0)F ， 因为2124PF PF a +==，所以124PF PF =-， 所以()12244PM PF PM PF PM PF -=--=+-， 所以当三点2M P F 、、共线时，24PM PF +-最小，即224441PM PF MF +-=-==. 故答案为：1. 【点睛】本题考查了椭圆上的点到焦点和定点距离和的问题，解题关键是利用定义转化为两点之间线段最短的问题，考查了学生分析问题、解决问题的能力.16．【分析】根据题意找到abc 的关系求出离心率的范围【详解】设椭圆的中心为因为所以所以所以椭圆上的点到原点距离最远的是长轴端点所以即所以离心率所以故答案为：【点睛】求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据解析：⎫⎪⎪⎣⎭【分析】根据题意，找到a 、b 、c 的关系，求出离心率的范围 【详解】设椭圆的中心为O ，因为60MPN ∠=︒，所以60POM ∠=︒，所以||2||OP OM =，所以2OP b =，椭圆上的点到原点距离最远的是长轴端点，所以2a b ≥，即12b a ≤，2222211,,44b ac a a -∴≤∴≤所以离心率2c e a ==≥=，所以2⎫∈⎪⎪⎣⎭e .故答案为：,12⎫⎪⎪⎣⎭【点睛】求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据题目的条件，找到a 、b 、c 的关系，消去b ，构造离心率e 的方程或（不等式）即可求出离心率．17．【分析】根据题意结合椭圆定义可得设代解得代回方程即可【详解】解：因为是椭圆上一点且成等差数列所以所以故椭圆方程可设为代解得所以椭圆方程为故答案为：【点睛】椭圆几何性质的应用技巧：（1）与椭圆的几何性解析：2212015x y += 【分析】根据题意结合椭圆定义可得2a c =，设2222143x y c c+=代(4,M 解得25c =代回方程即可.【详解】解：因为M 是椭圆上一点，且1MF ，12F F ，2MF 成等差数列所以2121224MF a MF F F c ===+，所以2a c =，b =故椭圆方程可设为2222143x y c c +=代(4,M 解得25c =所以椭圆方程为2212015x y +=故答案为：2212015x y +=【点睛】椭圆几何性质的应用技巧：（1）与椭圆的几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形；（2）椭圆相关量的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如：,,01a x a b y b e -≤≤-≤≤<<，三角形两边之和大于第三边，在求椭圆相关量的范围或最值时，要注意应用这些不等关系.18．【分析】先利用点坐标和垂直关系求得直线的斜率并写出直线方程联立直线与椭圆利用韦达定理和垂直的向量关系得到的关系式再结合焦距的关系式解出即得方程【详解】依题意椭圆的焦距为即即由点的坐标为知直线OD的斜解析：221 306xy+=【分析】先利用点D坐标和垂直关系求得直线l的斜率，并写出直线方程，联立直线与椭圆，利用韦达定理和垂直的向量关系得到22,a b的关系式，再结合焦距的关系式解出22,a b，即得方程.【详解】依题意，椭圆的焦距为46，即246c=，26c=，即2224a b-=，由点D的坐标为()2,1，知直线OD的斜率101202ODk-==-，又⊥OD AB，知直线l的斜率为2-，即直线l的方程为12(2)y x-=--，即52y x=-.设()()1122,,,A x yB x y联立方程2222152x ya by x⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得()2222222420250a b x a x a a b+-+-=，故2222121222222025,44a a a bx x x xa b a b-+==++，即()()()12121212525225104y y x x x x x x=--=-++2222222222222202525425104444a a ab b a ba b a b a b--=-⨯+⨯=+++，由OA OB⊥知，1212OA OB x x y y⋅=+=，即22222222222525444a ab b a ba b a b--+=++，所以222255a b a b+=，又2224a b-=，消去2a得，42141200b b+-=，解得26b=或220b=-（舍去），故2230,6a b==，椭圆C的方程为221306x y+=.故答案为：221306x y+=.【点睛】思路点睛：求解椭圆中的直线垂直问题时，一般利用直线的斜率之积为-1，或者直线上的向量的数量积为0来处理，再联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，即可求出结果.19．10【分析】利用抛物线上的点到焦点的距离把整体代入中即可求解【详解】解：由抛物线的定义可知抛物线上的点到焦点的距离在中所以故答案为：10【点睛】关键点点睛：利用抛物线的焦半径公式整体代入中是解决本题解析：10 【分析】利用抛物线()220y px p =>上的点()000,P x y 到焦点,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭的距离002p P F x =+，把123105x x x x ++++=整体代入1210PF P F P F +++中即可求解.【详解】解：由抛物线的定义可知，抛物线()220y px p =>上的点()000,P x y 到焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭的距离002p P F x =+，在22y x =中，1p =，所以12121031055510PF P F P F x x x x p +++=+++++=+=.故答案为：10 【点睛】关键点点睛：利用抛物线的焦半径公式整体代入1210PF P F P F +++中是解决本题的关键.20．【分析】求△MAF 周长最小值即求|MA|+|MF|的最小值设点M 在准线上的射影为D 根据抛物线定义知|MF|＝|MD|转为求|MA|+|MD|的最小值当DMA 三点共线时|MA|+|MD|最小即可得到答解析：3【分析】求△MAF 周长最小值，即求|MA |+|MF |的最小值．设点M 在准线上的射影为D ，根据抛物线定义知|MF |＝|MD |，转为求|MA |+|MD |的最小值，当D 、M 、A 三点共线时|MA |+|MD |最小，即可得到答案． 【详解】求△MAF 周长的最小值，即求|MA |+|MF |的最小值， 设点M 在准线上的射影为D ，则 根据抛物线的定义，可知|MF |＝|MD |因此，|MA |+|MF |的最小值，即|MA |+|MD |的最小值根据平面几何知识，可得当D ，M ，A 三点共线时|MA |+|MD |最小， 因此最小值为x A ﹣（﹣1）＝2+1＝3，∵|AF |∴△MAF 周长的最小值为3+2， 故答案为3+2【点睛】本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断当D ，M ，A 三点共线时|MA |+|MD |最小，是解题的关键．三、解答题21．（1）2212x y +=；（2）①3k =-；②808,9⎡⎫⎪⎢⎣⎭．【分析】（1）把点代入方程结合离心率列方程组求解即可；（2）①设直线l 方程为，代入椭圆E 的方程可得，结合判别式与韦达定理，利用直线OA ，OB 的斜率之和为34进而求出直线斜率即可；②当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为0x =，求得8MA MA ⋅=，当直线l 的斜率存在时，由（2）①得28821MA MB k ⋅=++，从而求得范围．【详解】解：（1）由题意得222221,2c a a b c ⎧=⎪⎨⎪=+⎩，解得222a c =，22b c =.设椭圆E 的方程为222212x y c c +=，又因为点2P ⎛ ⎝⎭在椭圆E 上， 所以222211122c c+=，22222,1c a b ===，所以椭圆E 的方程为2212x y +=；（2）①设直线l 方程为：3y kx =+，代入椭圆E 的方程可得，()222112160kx kx +++=因为直线l 与椭圆E 有两个交点，所以216640∆=->k ，即24k >. 设()11,A x y ，()22,B x y ，则1221221k x x k +=-+，1221621x x k ⋅=+，11223,3y kx y kx =+=+.又()1212121233244OA OBx x y y k k k k x x x x ++=+=+=-=⋅ 解得3k =-，经检验成立.所以，直线l 的斜率3k =-； ②当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为0x =，将0x =代入2212x y +=，解得1y =±，则(0,1)A ，(0,1)B -，8MA MA ⋅=当直线l 的斜率存在时，由（2）①得()()()()22121212216133121k MA MA x x y y k x x k +⋅=⋅+--=+⋅=+()2228211882121k k k ⎡⎤++⎣⎦==+++因为24k >，所以MA MA ⋅的范围为808,9⎛⎫⎪⎝⎭． 综上，得MA MB ⋅的取值范围是808,9⎡⎫⎪⎢⎣⎭． 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 22．2 【分析】根据222a c b -=求出左焦点F 的坐标，然后设P 的坐标00(,)P x y ，根据两点间的距离公式求出P 到左焦点的距离以及代入椭圆方程中解得P 的坐标，由1()2OM OP OF =+得到M 为PF 的中点，根据中点坐标公式求出M 的坐标，利用两点间的距离公式求出||OM 即可．【详解】由椭圆2212516x y +=得5a =，4b =， 左焦点(3,0)F -，设00(,)P x y ，则()2200336x y ++=又220012516x y +=解得053x =或0553x =-（舍去）；又P 在椭圆上，则将053x =代入到椭圆方程中求出0y =所以点5(3P ，；由点M 满足1()2OM OP OF =+，则得M 为PF 中点，根据中点坐标公式求得2,33M ⎛-± ⎝⎭， 所以||(2OM =-=故答案为：2. 【点睛】本题考查椭圆的简单几何性质，会利用两点间的距离公式及中点坐标公式、点到直线的距离公式化简求值，同时也考查学生掌握向量的运用法则及向量模的求法，属于中档题．23．（1）2212x y +=；（2）9；（3）存在102m <<，理由见解析.【分析】（1）设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，根据题意得1b c ==，即可求出a ，从而求出椭圆方程；（2）根据题意得直线l 的方程为2(1)y x =-，设()11,P x y ，()22,Q x y ，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，即可求出弦PQ ，再利用点到直线的距离公式求出高，即可取出面积；（3）假设在线段OF 上存在点(,0)(01)M m m <<，使得以MPQ 为等腰三角形，联立直线与椭圆，分别计算即可判断； 【详解】解：（1）设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，根据题意得1b c ==，所以2222a b c =+=，所以椭圆的方程为2212x y +=.（2）根据题意得直线l 的方程为2(1)y x =-，即220x y --=，与2212x y +=联立，得：291660x x -+=设()11,P x y ，()22,Q x y ，则12169x x +=，1223x x ⋅=.所以12|9PQ x x =-=，点O 到l 的距离为d =，所以1122 9ABC PQ d S ===⨯△.（3）存在，102m <<. 假设在线段OF 上存在点(,0)(01)M m m <<，使得以MPQ 为等腰三角形， 若直线l 与x 轴不垂直，直线l 的斜率存在，可设直线l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，设()11,P x y ，()22,Q x y ，则()11,MP x m y =-，()22,MQ x m y =-，由22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222)202142(-=+-+x k x k k ，所以2122421k x x k ，21222221k x x k -⋅=+. ①当||||MP MQ =时设PQ 的中点为N ，则2222,2121k k N k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，又1MN k k ⋅=-， 所以22211212k m k k ==++，所以102m <<. ②|||PQ MP ≠，|||MQ PQ ≠∣.∵()12224||212k PQ a e x x k =-+==+2222121MP k k ==>>++∴不可能|||PQ MP =.同理，根据椭圆对称性，也不可能||||MQ PQ =. 所以当102m <<时MPQ 为等腰三角形； 【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． (2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．24．（Ⅰ）2；（Ⅱ） 【分析】（Ⅰ）联立22y x bx y=+⎧⎨=⎩，根据12120x x y y +=利用韦达定理列方程求解即可；（Ⅱ）利用弦长公式求出AB 的值，再利用点到直线距离公式求出三角形的高，进而可得答案【详解】（Ⅰ）由题意可知，设()()1122,,,A x y B x y ，联立22y x bx y=+⎧⎨=⎩， 消去y 得，2220x x b ，12122,2x x x x b ∴+==-，又1,480,2OA OB b b ⊥∆=+>∴>-且0b ≠，()()11220,,,,OA OB OA x y OB x y ∴⋅===， 12120x x y y ∴+=，()()()21212121220x x x b x b x x b x x b ∴+++=+++=，2420b b b ∴-++=，220b b ∴-=，0b ∴=或2b =，又12b >-且0b ≠，2b ∴=；（Ⅱ）由（Ⅰ）知2b =，则有122x x +=，124x x =-，12AB x x =-===直线A ，B 为2y x =+，O 到直线AB的距离d ==1122AOBAB Sd ∴=⨯⨯== 【点睛】方法点睛：求曲线弦长的方法：（1）利用弦长公式12l x =-；（2）利用12l y =-；（3）如果交点坐标可以求出，利用两点间距离公式求解即可. 25．（1）24y x =；（2）114y x =-+． 【分析】（1）分析题意，列方程组，用待定系数法求抛物线C 的方程；（2）用“设而不求法”联立方程组，把OM ON ⊥转化为12120x x y y +=，求出斜率k ，得到直线方程 【详解】解：（1）由题意可得228,11,222m p p m p ⎧=⎪⎨⨯⋅=⎪⎩解得2p =．故抛物线C 的方程为24y x =． （2）设()11,M x y ，()22,N x y ．。

一、选择题1．已知斜率为16的直线l 与双曲线22221(0,0)x y C a b a b-=>>:相交于B 、D 两点，且BD 的中点为(1,3)M ，则C 的离心率为（ ）A ．2B C ．3 D 2．设O 为坐标原点，1F ，2F 是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点，若在椭圆上存在点P 满足123F PF π∠=，且OP ，则该椭圆的离心率为（ ）A ．12B ．14C D ．23．设1F ，2F 是双曲线C ：22111y x -=的两个焦点，O 为坐标原点，点M 在C 上且OM =12MF F △的面积是（ ）A ．10B ．11C ．12D ．134．双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线被圆()2223x y -+=截得的弦长为2，则C 的离心率为（ ）A ．3B ．2C D5．直线34y kx k =-+与双曲线221169x y -=有且只有一个公共点，则k 的取值有（ ）个A ．1B ．2C ．3D ．46．过抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 且倾斜角为锐角的直线l 与C 交于,A B 两点，过线段AB 的中点N 且垂直于l 的直线与C 的准线交于点M ，若AB =，则直线l 的倾斜角为（ ） A ．15︒B ．30C ．45︒D ．60︒7．如图，已知曲线2yx 上有定点A ，其横坐标为()0a a >，AC 垂直于x 轴于点C ，M 是弧OA 上的任意一点（含端点），MD 垂直于x 轴于点D ，ME AC ⊥于点E ，OE 与MD 相交于点P ，则点P 的轨迹方程是（ ）A ．()310y x x a a=≤≤ B ．()31022ay x x x a a =+≤≤ C ．()220y x ax x a =-≤≤D ．()2022a ay x x x a =+≤≤ 8．已知F 是抛物线2:4E y x =的焦点，若直线l 过点F ，且与抛物线E 交于B ，C 两点，以BC 为直径作圆，圆心为A ，设圆A 与y 轴交于点M ，N ，则MAN ∠的取值范围是（ ） A ．20,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．20,3π⎛⎤⎥⎝⎦C ．2,33ππ⎛⎤⎥⎝⎦D ．2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦9．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，实轴长为4，点P 为其右支上一点，点Q 在以()0,4为圆心、半径为1的圆上，若1PF PQ +的最小值为8，则双曲线的渐近线方程为（ ） A ．12y x =±B ．y x =±C ．32y x =±D ．52y x =±10．在平面直角坐标系中，双曲线C 的标准方程为2221(0)4x y t t t-=>+，则双曲线的离心率取得最大值时，双曲线的渐近线方程为（ ） A ．2y x =±B ．3y x =±C ．12y x =±D ．13y x =±11．已知过双曲线()2222:1,0x y C a b a b-=>的左焦点F 作圆222x y a +=的切线FT ，交双曲线右支于点P ，点P 到x 轴的距离恰好为34b ，则双曲线离心率为（ ）A ．273+ B ．273+ C ．53D ．212．已知抛物线1C 的顶点在坐标原点，焦点F 在y 轴正半轴上．若点F 到双曲线222:126x y C -=的一条渐近线的距离为2，则1C 的标准方程是（ ）A ．2833y x =B ．233y x =C ．28x y =D ．216x y =二、填空题13．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线与直线210x y +-=平行，则双曲线的离心率为___________.14．设F 是抛物线2:2C y x =的焦点，A 、B 是抛物线C 上两个不同的点，若直线AB 恰好经过焦点F ，则4AF BF +的最小值为_______．15．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点且斜率为3的直线，与双曲线的左右两支分别相交，则此双曲线的离心率的取值范围是___________.(用区间表示)16．点P 为椭圆C 上一动点，过点P 作以椭圆短轴为直径的圆的两条切线，切点分别为M ，N ，若60MPN ∠=︒，则椭圆C 的离心率的取值范围是______.17．设点P 是抛物线2:4C y x =上一动点，F 是抛物线的焦点，O 为坐标原点，则OPPF的最大值为___________.18．已知椭圆T 的中心在坐标原点，左､右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，(4,3)M 是椭圆上一点，且1MF ，12F F ，2MF 成等差数列，椭圆T 的标准方程________.19．在平面直角坐标系xOy 中，设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，若双曲线的右支上存在一点P ，使得△OPF 是以P 为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线C 的离心率为__________.20．设A 、B 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右顶点，F 是右焦点，M 是双曲线上异于A 、B 的动点，过点B 作x 轴的垂线与直线MA 交于点P ，若直线OP 与BM 的斜率之积为4，则双曲线的离心率为_________．三、解答题21．已知P 是圆224x y +=上任意一点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为D ，点M 满足12DM DP =．当点P 在圆上运动时，点M 的轨迹为曲线Γ． （1）求曲线Γ的方程； （2）设()2,0A -，()2,0B ，Q 是曲线Γ上不同于A 、B 的任意一点．求证：直线QA 、QB 的斜率之积为定值．22．过点()2,0D 的任一直线l 与抛物线C ：22y px =(0p >)交于两点A ，B ，且4OA OB ⋅=-.（1）求p 的值；（2）若点E 的坐标为()2,1-，当EA EB ⋅最小时，求直线l 的方程.23．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>左、右焦点分别为1F 、2F ，上顶点为M ，离心6，12MF F△2. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点2F ，的直线l 交椭圆于A 、B 两点，当1ABF 面积最大时，求直线l 的方程. 24．已知四点1234221,,1,,(1,1),(0,1)22P P P P ⎛⎛-- ⎝⎭⎝⎭中恰有三点在椭圆2222:1x y C a b+=上，其中0a b >>． （1）求,a b 的值；（2）若直线l 过定点(2,0)M 且与椭圆C 交于,A B 两点（l 与x 轴不重合），点B 关于x轴的对称点为点D ．探究：直线AD 是否过定点，若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．25．已知椭圆()2222:10x y C a ba b+=>>的离心率为12，且点31,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭在椭圆上. （1）求椭圆的标准方程;（2）设点B 为椭圆的右顶点，直线AB 与y 轴交于点,M 过点M 作直线与椭圆交于,P Q 两点，若6MB MP MA MQ ⋅=⋅，求直线PQ 的斜率.26．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点421,3P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，离心率为53.（1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 与圆22:1O x y +=相切，且与椭圆C 交于M ，N 两点，Q 为椭圆C 上一个动点(点O ，Q 分别位于直线l 两侧)，求四边形OMQN 面积的最大值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】设()()1122,,B x y D x y 、，用“点差法”表示出a 、b 的关系，即可求出离心率 【详解】设()()1122,,B x y D x y 、,则22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩， 两式作差得：22221212220x x y y a b ---=，整理得：()()()()2121221212y y y y b a x x x x +-=+-BD 的中点为(1,3)M ，且直线l 的斜率为16 ，代入有：22611262b a =⨯=即22212c a a -=，解得62cea . 故选：D 【点睛】求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据题目的条件，找到a 、b 、c 的关系，消去b ，构造离心率e 的方程或（不等式）即可求出离心率．2．A解析：A 【分析】根据中线向量可得()1212PO PF PF =+，平方后结合椭圆的定义可得212PF PF a ⋅=，在焦点三角形中再利用余弦定理可得224c a =，从而可求离心率. 【详解】因为O 为12F F 的中点，故()1212PO PF PF =+， 所以()2221212124PO PF PF PF PF =++⋅，故22212123112442a PF PF PF PF ⎛⎫=++⋅⋅ ⎪⎝⎭， 故()2222121212123a PF PF PF PF PF PF PF PF =++⋅=+-⋅，所以212PF PF a ⋅=，又22212121422c PF PF PF PF =+-⋅⋅， 故()2222212124343c PF PF PF PF a a a =+-⋅=-=，故12e =. 故选：A. 【点睛】方法点睛：与焦点三角形有关的计算问题，注意利用椭圆的定义来转化，还要注意利用余弦定理和向量的有关方法来计算长度、角度等.3．B解析：B 【分析】由12F F M △是以M 为直角直角三角形得到2212||||48MF MF +=，再利用双曲线的定义得到12||||2MF MF -=，联立即可得到12||||MFMF ，代入12F F M S =△121||||2MF MF 中计算即可. 【详解】由22111y x -=可知1,a c ==不妨设12(F F -，因为1212OM F F ==， 所以点M 在以12F F 为直径的圆上，即12F F M △是以M 为直角顶点的直角三角形，故2221212||||||MF MF F F +=，即2212||||48MF MF +=，又12||||22MF MF a -==，所以2124||||MF MF =-=2212||||2MF MF +-12||||482MF MF =-12||||MF MF ，解得12||||22MF MF =， 所以12F F M S =△121||||112MF MF = 故选：B 【点晴】关键点点睛：根据OM =12MF F △为直角三角形是解题的关键，再结合双曲线的定义及勾股定理，即可计算焦点三角形面积，是一道中档题.4．D解析：D 【分析】设双曲线C 的渐近线方程为y kx =，其中bk a=±，利用圆的半径、渐近线截圆所得弦长的一半、弦心距三者满足勾股定理可求得k 的值，再利用e =可求得双曲线C 的离心率e 的值. 【详解】设双曲线C 的渐近线方程为y kx =，其中b k a=±，圆()2223x y -+=的圆心坐标为()2,0，半径为r =圆心到直线y kx =的距离为d =另一方面，由于圆的半径、渐近线截圆所得弦长的一半、弦心距三者满足勾股定理，可得d ===，解得1k =±，1ba∴=， 因此，双曲线C的离心率为c e a ===== 故选：D. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a 、c 的值，根据离心率的定义求解离心率e 的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于a 、c 的齐次方程，然后转化为关于e 的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.5．D解析：D 【分析】将直线方程与双曲线的方程联立，得出关于x 的方程，根据直线与双曲线只有一个公共点，求出对应的k 值，即可得解. 【详解】联立22341169y kx k x y =-+⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去y 并整理得()()()2221693243164390k x k k x k ⎡⎤-+-+-+=⎣⎦，由于直线34y kx k =-+与双曲线221169x y -=有且只有一个公共点， 所以，21690k -=或()()()222216903243641694390k k k k k ⎧-≠⎪⎨⎡⎤⎡⎤∆=----+=⎪⎣⎦⎣⎦⎩， 解得34k =±或2724250k k +-=， 对于方程2724250k k +-=，判别式为22447250'∆=+⨯⨯>，方程2724250k k +-=有两个不等的实数解.显然34k =±不满足方程2724250k k +-=. 综上所述，k 的取值有4个. 故选：D.方法点睛：将直线与圆锥曲线的两个方程联立成方程组，然后判断方程组是否有解，有几个解，这是直线与圆锥曲线位置关系的判断方法中最常用的方法，注意：在没有给出直线方程时，要对是否有斜率不存在的直线的情况进行讨论，避免漏解．6．D解析：D 【分析】设直线l 的斜率为k (0k >)，直线方程为()2y k x π=-，1122(,),(,)A x y B x y ，代入抛物线方程应用韦达定理得12x x +，12AB x x p =++， 求出AB 中点N 的坐标，写出MN的方程，由MN =MN ，然后由己知条件可求得斜率k ，得倾斜角．【详解】 由题意(,0)2p F ，设直线l 的斜率为k (0k >)，直线方程为()2y k x π=-，1122(,),(,)A x y B x y ，由22()2y pxp y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得22222(2)04k p k x p k x -++=， 2122(2)p k x x k++=，2124p x x =， 221222(2)2(1)++=++=+=p k p k AB x x p p k k， 2122(2)22N x x p k x k ++==，22()22N N p p y k x k =-=，即222(2)2,22p k p N k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 直线MN 的方程为1()N N y y x x k-=--，MN ==23(12p k k +=，∵AB =，∴22232(1)(12p k p k k k++=， 整理得23k =，∵0k >，∴k =∴倾斜角为60︒．故选：D ．本题考查直线与抛物线相交问题，解题方法是设而不求的思想方法，设交点坐标，设直线方程代入抛物线方程应用韦达定理，求得中点坐标及焦点弦长，写出直线l 垂线方程，求得MN ，然后由已知条件求得结论．7．A解析：A 【分析】设点(),P x y ，求出点M 、E 的坐标，利用O 、P 、E 三点共线可得出//OP OE 可求得点P 的轨迹方程. 【详解】设点(),P x y ，其中0x a ≤≤，则点()2,M x x，ME 与直线x a =垂直，则点()2,E a x ，因为O 、P 、E 三点共线，则//OP OE ，可得3ay x =，31y x a∴=， 因此，点P 的轨迹方程是()310y x x a a=≤≤. 故选：A. 【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法：（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；（3）相关点法：用动点Q 的坐标x 、y 表示相关点P 的坐标0x 、0y ，然后代入点P 的坐标()00,x y 所满足的曲线方程，整理化简可得出动点Q 的轨迹方程；（4）参数法：当动点坐标x 、y 之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x 、y 与某一参数t 得到方程，即为动点的轨迹方程；（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.8．B解析：B 【分析】设设()11,B x y ，()22,C x y BC 的中点()00,A x y ，直线l ：()1y k x =-与 2:4E y x =联立可得()2222240k x k x k -++=，由韦达定理计算12x x +，12x x ，再求以BC 为直径作圆的半径12r BC =，求出圆心A 点横坐标，设MN 的中点为D ，则12MAD MAN ∠=∠，由圆的性质可得0cos x MAD r∠=并求出其范围，进而可得MAD ∠的范围，再讨论斜率不存在时MAD ∠的值，即可求解. 【详解】由抛物线2:4E y x =可知，焦点()1,0F ，设()11,B x y ，()22,C x y BC 的中点()00,A x y 设直线l ：()1y k x =-代入2:4E y x =可得()2222240k x k x k -++=，所以212224k x x k++= ，121=x x ()()22222121212241612444k k x x x x x x k k +⎛⎫+-=+-=-= ⎪⎝⎭， ()()()2222212416111k BC kx xk k+=+-=+⨯，所以()2241k BC k +=，以BC 为直径作圆的半径()222112k r BC k+==，圆心为BC 的中点()20122122k x x x k+=+=， 设MN 的中点为D ，则12MAD MAN ∠=∠， 则()()()22202222221111cos 1222212121k x k k MAD r k k k k ++∠====+<+=+++ 且1cos 2MAD ∠>，所以03MAD π<∠<， 当k 不存在时，1,2x y ==±，此时2r ，01x =，1cos 2MAD ∠=，3MAD π∠=，所以03MAD π<∠≤可得203MAN π<∠≤， 所以MAN ∠的取值范围是20,3π⎛⎤⎥⎝⎦故选：B 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是联立直线与抛物线的方程，求出圆的半径和圆心坐标，由圆的性质知圆心与弦中点的连线与弦垂直可求出12MAN ∠的范围，进而可计算MAN ∠的范围.9．D解析：D 【分析】设设()0,4E ，由12224PF PF a PF =+=+，可得124P PF PQ PQ F +++=，当且仅当,P Q ，()0,4E 和2F 四点共线时取得最小值，进而可得25EF =，设()2,0F c 即可求出c 的值，进而可求出b 的值，由by x a=±可得渐近线方程. 【详解】设()0,4E ，由双曲线的定义可知：12224PF PF a PF =+=+， 所以124P PF PQ PQ F +++=，当,P Q 在圆心()0,4E 和2F 连线上时，1PF PQ +最小，()2mi 2n 1PFPQ EF =-+，所以2418EF +-=，解得25EF =，设()2,0F c ()0c >5=，解得3c =，因为2a =，所以b =，所以双曲线的渐进线为：b y x x a =±=， 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是由双曲线的定义可得124P PF PQ PQ F +++=，利用2,,,P Q E F 共线时()2mi 2n1PF PQEF =-+求出25EF =.10．C解析：C 【分析】依题意可得c e a ==t ，从而求出双曲线方程，即可求出渐近线； 【详解】解：因为0t >，依题意可得双曲线2221(0)4x y t t t-=>+的离心率2c e a ====≤=当且仅当4t t=即2t =时，等号成立，此时离心率最大， 故双曲线的标准方程为22182y x -=，所以双曲线的渐近线方程为y x =，即12y x =±故选：C 【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．11．A解析：A 【分析】由P 点到x 轴距离（即纵坐标）求出其横坐标，写出直线FP 的方程，然后由原点到切线的距离等于半径可得,,a b c 的等式，变形后可得离心率． 【详解】如图P 在第一象限，因为点P 到x 轴的距离恰好为34b ，即34P y b =，代入双曲线方程得229116P x a -=，解得54P x a =，所以53,44P a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭， (,0)F c -，直线FP 方程为34()54b y xc a c =++，化简得3(54)30bx a c y bc -++=， 又直线FP 与圆222x y a +=相切，a =，345bc a a c=+人，变形为4293440160e e e ---=，22(342)(348)0e e e e ++--=，因为1e >，所以23420e e ++>，所以23480e e --=，23e +=（23-去）． 故选：A ． 【点睛】思路点睛：本题考查求双曲线的离心率，解题关键是找到关于,,a b c 的齐次等式，本题中由点P 到x 轴的距离恰好为34b ，得出P 点坐标，从而可得直线FP 方程，由圆心到切线的距离等于半径可得所要关系式，从而转化为离心率e 的方程，解之可得．12．D解析：D 【分析】先根据双曲线的方程求解出双曲线的渐近线方程，再根据点到直线的距离公式求解出抛物线方程中的p ，则抛物线方程可求. 【详解】双曲线2C 的渐近线方程是22026x y -=，即y =.因为抛物线的焦点()0,02p F p ⎛⎫> ⎪⎝⎭0y -=的距离为2，2=，即8p =，所以1C 的标准方程是216x y =，故选：D ． 【点睛】方法点睛：求解双曲线方程的渐近线方程的技巧：已知双曲线方程22221x y a b-=或22221y x a b -=，求解其渐近线方程只需要将方程中的“1”变为“0”，由此得到的y 关于x 的一次方程即为渐近线方程. 二、填空题13．【分析】由双曲线的一条渐近线与直线平行求得进而求得双曲线的离心率得到答案【详解】由题意双曲线的渐近线方程为因为双曲线的一条渐近线与直线平行可得即则故答案为：【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其【分析】由双曲线的一条渐近线与直线210x y +-=平行，求得12b a =，进而求得双曲线的离心率，得到答案. 【详解】由题意，双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线方程为b y x a=±，因为双曲线的一条渐近线与直线210x y +-=平行，可得12b a -=-，即12b a =，则2c e a ===.. 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的几何性质是解答的关键，着重考查运算与求解能力.14．【分析】设点设直线的方程为联立直线与抛物线的方程列出韦达定理推导出利用基本不等式可求得的最小值【详解】若直线与轴重合则直线与抛物线只有一个交点不合乎题意易知抛物线的焦点为准线方程为设点设直线的方程为解析：92【分析】设点()11,A x y 、()22,B x y ，设直线AB 的方程为12x my =+，联立直线AB 与抛物线C 的方程，列出韦达定理，推导出112AF BF+=，利用基本不等式可求得4AF BF +的最小值. 【详解】若直线AB 与x 轴重合，则直线AB 与抛物线C 只有一个交点，不合乎题意. 易知抛物线C 的焦点为1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为12x =-，设点()11,A x y 、()22,B x y ，设直线AB 的方程为12x my =+， 联立2122x my y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，整理可得2210y my --=，2440m ∆=+>，由韦达定理可得122y y m +=，121y y =-，()()()12121212211111*********m y y AF BF my my my my x x +++=+=+=++++++()()21222212122222121m y y m m y y m y y m m +++===+++-++， ()4111144522AF BF AF BF AF BF AF BF BF AF ⎛⎫⎛⎫∴+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭19522⎛≥+= ⎝， 当且仅当2AF BF =时，等号成立，因此，4AF BF +的最小值为92.故答案为：92. 【点睛】结论点睛：过抛物线的焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，则112AF BF p+=. 15．【分析】根据题意构建渐近线的斜率与3的不等关系再利用求得离心率范围即可【详解】过右焦点与渐近线平行的直线与双曲线有一个交点且一条渐近线的斜率为若斜率为的直线与双曲线的左右两支分别相交则则离心率故答案解析：)+∞【分析】根据题意构建渐近线的斜率与3的不等关系，再利用e =求得离心率范围即可. 【详解】过右焦点与渐近线平行的直线与双曲线有一个交点，且一条渐近线的斜率为b a， 若斜率为3的直线与双曲线的左右两支分别相交，则3ba>，则离心率c e a ===>.故答案为：)+∞.【点睛】求双曲线离心率常见方法：（1）直接法：由a ，c 直接计算离心率ce a=； （2）构建齐次式：利用已知条件和双曲线的几何关系构建关于a ，b ，c 的方程和不等式，利用222b c a =-和ce a=转化成关于e 的方程和不等式，通过解方程和不等式即求得离心率的值或取值范围.16．【分析】根据题意找到abc 的关系求出离心率的范围【详解】设椭圆的中心为因为所以所以所以椭圆上的点到原点距离最远的是长轴端点所以即所以离心率所以故答案为：【点睛】求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据解析：2⎫⎪⎢⎪⎣⎭【分析】根据题意，找到a 、b 、c 的关系，求出离心率的范围 【详解】设椭圆的中心为O ，因为60MPN ∠=︒，所以60POM ∠=︒，所以||2||OP OM =，所以2OP b =，椭圆上的点到原点距离最远的是长轴端点，所以2a b ≥，即12b a ≤，2222211,,44b ac a a -∴≤∴≤所以离心率c e a ==≥=⎫∈⎪⎪⎣⎭e .故答案为：⎫⎪⎪⎣⎭【点睛】求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据题目的条件，找到a 、b 、c 的关系，消去b ，构造离心率e 的方程或（不等式）即可求出离心率．17．【分析】设点则则可得出令利用二次函数的基本性质求出二次函数的最大值即可得出的最大值【详解】设点则则抛物线的准线方程为由抛物线的定义可得所以令当且仅当时函数取得最大值因此的最大值为故答案为：【点睛】方【分析】设点(),P x y ，则24y x =，则0x ≥，可得出OP PF=(]10,11t x =∈+，利用二次函数的基本性质求出二次函数2321y t t =-++的最大值，即可得出OP PF的最大值.【详解】设点(),P x y ，则24y x =，则0x ≥，抛物线C 的准线方程为1x =-，由抛物线的定义可得1PF x =+，所以，OPPF ==== 0x ≥，令(]10,11t x =∈+，221443213333y t t t ⎛⎫=-++=--+≤ ⎪⎝⎭，当且仅当13t =时，函数2321y t t =-++取得最大值43，因此，OP PF. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．18．【分析】根据题意结合椭圆定义可得设代解得代回方程即可【详解】解：因为是椭圆上一点且成等差数列所以所以故椭圆方程可设为代解得所以椭圆方程为故答案为：【点睛】椭圆几何性质的应用技巧：（1）与椭圆的几何性解析：2212015x y += 【分析】根据题意结合椭圆定义可得2a c =，设2222143x y c c+=代(4,M 解得25c =代回方程即可. 【详解】解：因为M 是椭圆上一点，且1MF ，12F F ，2MF 成等差数列所以2121224MF a MF F F c ===+，所以2a c =，b =故椭圆方程可设为2222143x y c c +=代(4,M 解得25c =所以椭圆方程为2212015x y +=故答案为：2212015x y +=【点睛】椭圆几何性质的应用技巧：（1）与椭圆的几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形；（2）椭圆相关量的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如：,,01a x a b y b e -≤≤-≤≤<<，三角形两边之和大于第三边，在求椭圆相关量的范围或最值时，要注意应用这些不等关系.19．(或)【分析】先根据的形状先确定出点坐标然后将点坐标代入双曲线方程根据的齐次式求解出离心率的值【详解】因为是以为直角顶点的等腰直角三角形不妨假设在第一象限所以所以所以所以所以所以所以所以又因为所以故或2【分析】先根据OPF △的形状先确定出P 点坐标，然后将P 点坐标代入双曲线方程，根据,a c 的齐次式求解出离心率的值. 【详解】因为OPF △是以P 为直角顶点的等腰直角三角形， 不妨假设P 在第一象限，所以122P P F c x y x ===，所以,22c c P ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以2222144c c a b-=，所以2222224c b c a a b -=，所以()()222222224cca c a a c a --=-，所以4224640c a c a -+=，所以42640e e -+=，所以23e ==又因为1e >，所以e ===，. 【点睛】思路点睛：利用齐次式求解椭圆或双曲线的离心率的一般步骤： （1）根据已知条件，先得到关于,,a b c 的方程；（2）结合222a b c =+或222c a b =+将方程中的b 替换为,a c 的形式；（3）方程的左右两边同除以a 的对应次方，由此得到关于离心率e 的方程，从而求解出离心率e 的值.20．【分析】设代入双曲线方程变形为再根据MPA 共线利用斜率相等求得点P 然后再直线与的斜率之积为4得到ab 的关系求解【详解】设则即设又且MPA 共线所以解得则的斜率为的斜率为又直线与的斜率之积为4所以即所以【分析】设(),M m n ，代入双曲线方程变形为22222n b m a a=-，再根据M ，P ，A 共线，利用斜率相等，求得点P ，然后再直线OP 与BM 的斜率之积为4，得到a ，b 的关系求解. 【详解】设(),M m n ，则22221m n a b -=，即22222n b m a a =-，设(),P a t ，又(),0A a -，且M ，P ，A 共线，所以2n tm a a=+， 解得2ant m a=+， 则OP 的斜率为2nm a+， BM 的斜率为nm a-， 又直线OP 与BM 的斜率之积为4，所以22222224a n b m a ==-，即222b a=，所以c e a ===【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的求法以及点的双曲线上和斜率公式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.三、解答题21．（1）2214x y +=；（2）证明见解析.【分析】（1）令()00,P x y ，(),M x y ，则()0,0D x ，由已知条件，结合向量的坐标表示有002x x y y=⎧⎨=⎩，由P 是圆224x y +=上一点，即可求Γ的方程； （2）由（1）知Q 是曲线Γ上不同于A 、B 的任意一点，则存在QA k 、QB k ，令()11,Q x y 即可得21214QA QB y k k x ⋅=-，即可证斜率之积为定值． 【详解】解：（1）设()00,P x y ，(),M x y ，则()0,0D x ，由12DM DP =得：002x x y y =⎧⎨=⎩．由题意，22004x y +=，得2244x y +=．所以，曲线的方程为2214x y +=．（2）证明：设()11,Q x y ，则221114x y +=．由题意知：QA k 、QB k 存在. ∴112QA y k x =+，112QB y k x =-． ∴2121144QA QBy k k x ⋅==--， ∴直线QA 、QB 的斜率之积为定值14-． 【点睛】 关键点点睛：（1）应用向量的坐标表示，找到M 点坐标与点P 的坐标间的数量关系，由P 是圆224x y +=上求M 的轨迹方程.（2）由已知，根据直线斜率的坐标表示可得QA QB k k ⋅关于Q 坐标的数量关系，进而可证结论.22．（1）2；（2）480x y --=. 【分析】（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 的方程为2x ny =+，联立方程结合韦达定理可得12y y +，12y y ，再由平面向量数量积的坐标表示即可得解；（2）由韦达定理及平面向量数量积的坐标表示可得2849EA EB n n ⋅=-+，即可得解. 【详解】（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 的方程为2x ny =+，则222y p y xx n ⎧⎨==+⎩，整理得2240y pny p --=， 所以122y y pn +=，124y y p =-，所以221212121224444y y OA OB x x y y y y p p⋅=+=+=-=- 所以2p =；（2）由（1）得124y y n +=，128y y =-.则()21212444x x n y y n +=++=+，221212416y y x x ==，所以()()()()12122211EA EB x x y y ⋅=+++--()()12121212241x x x x y y y y =++++-++24884841n n =+++--+2849n n =-+2117178422n ⎛⎫=-+≥ ⎪⎝⎭，当且仅当14n =时，取最小值， 此时直线l 的方程为124x y =+，即480x y --=. 【点睛】 关键点点睛：解决本题的关键是是联立方程组，将平面向量数量积的运算转化为两根的和与积，结合韦达定理即可得解.23．（1）2213x y +=；（2）0x y -=或0x y +=.【分析】（1）由离心率、面积和222a b c =+可得答案；（2）设()11,A x y ，()22,B x y，:l x ty =+11212AF BF F AF F BSSS=+，结合基本不等式，可得答案.【详解】 （1）∵3c e a ==，12MF F S bc ==△222a b c =+，解得a =1b =，c =C 的方程为：2213x y +=.（2）()1F，)2F ，设()11,A x y ，()22,B x y ，已知直线l 的斜率不为0，设直线l：x ty =+2213x ty x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，得()22310t y ++-=，故1223y y t +=-+，12213y y t =-+，1212121212F F A F F BSSF F y y+=-=因为2312t =≤+=，即1t =±时等号成立，所以直线l 的方程为0x y --=或0x y +=. 【点睛】本题考查了椭圆的定义，考查了三角形的面积公式，关键点是利用韦达定理表示1212F F AF F BSS+并利用基本不等式求最值，考查了直线与椭圆的位置关系和计算能力.24．（1）1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩2）直线AD 过定点(1,0)Q ．【分析】（1）由于121,,1,22P P ⎛⎫⎛-- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭关于原点对称，从而可得12,P P 和4P 在椭圆上，然后将这些点的坐标代入椭圆方程中可求出,a b 的值；（2）由题意可知直线l 的斜率存在，则设直线l 为2(0)x ty t =+≠，与椭圆方程联立成方程组，消去x ，得()222420t y ty +++=，再由根与系数的关系得12122242,22t y y y y t t +=-=++，而直线AD 方程为()()()122112210y y x x x y x y x y ++--+=，代入化简可得答案【详解】因为121,,1,22P P ⎛⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭关于原点对称，由题意得12,PP 和4P 在椭圆上， 将14,P P 的坐标代入22221x ya b +=得：222111211a b b ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得：1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩（2）显然，l 与x 轴不垂直，设l 的方程为：2(0)x ty t =+≠()22222242012x ty t y ty x y =+⎧⎪⇒+++=⎨+=⎪⎩ 设()()1122,,,A x y B x y ，则()22,D x y - 且12122242,22t y y y y t t +=-=++ 直线AD 方程为()()()122112210y y x x x y x y x y ++--+= 令0y =，得()()122112211212121222242214ty y ty y x y x y ty y tx y y y y y y t++++===+=+=+++-，故直线AD 过定点(1,0)Q ． 【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是设出直线l 的方程为：2(0)x ty t =+≠，与椭圆方程联立方程组，消元后利用根与系数的关系可得12122242,22t y y y y t t +=-=++，进而可得AD 方程为()()()122112210y y x x x y x y x y ++--+=化简可得答案，属于中档题25．（1）22143x y +=；（2）2±. 【分析】（1）由222214a b e a -==以及将点代入椭圆方程即可求解. （2）求出直线AB 的方程，进而求出()0,1M ，再由6MB MP MA MQ ⋅=⋅，根据数量积的运算可得3MP MQ =，讨论直线PQ 的斜率存在情况，从而设其方程为1y kx =+，将直线与椭圆方程联立，设()()1122,,,P x y Q x y ，可得123x x =-，利用韦达定理即可求解. 【详解】命题意图本题考查椭圆的方程和性质，椭圆与直线的位置关系.解析()1由题意知离心率e 满足222214a b e a-==， 所以2234a b =， 又因为点31,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭在椭圆上，所以()2222312143b b ⎛⎫ ⎪-⎝⎭+=，解得23b =， 所以24a =，故椭圆的标准方程为22143x y +=.()2由()1得()2,0B ，所以直线AB 的方程为()122y x =--，与y 轴的交点为()0,1M . 由6MB MP MA MQ ⋅=⋅，得6,MB MP cos BMP MA MQ cos AMQ ∠=∠ 而,2BMP AMQ MB MA ∠=∠=， 因此3MP MQ =.当PQ 与x 轴垂直时，不合题意. 当PQ 与x 轴不垂直时， 设其方程为1y kx =+，联立方程得221143y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 可得()2243880k x kx ++-=，设()()1122,,,P x y Q x y ， 则12122288,4343k x x x x k k --+==++ 由3MP MQ =得123x x =-， 所以22222882,34343k x x k k ---=-=++ 显然k 不为0,两式相除得22,3x k= 所以248343k k k --=+解得k =± 【点睛】关键点点睛：本题考查了待定系数法求椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，解题的关键是根据向量数量积得出3MP MQ =，进而得出123x x =-，考查了运算求解能力.26．（1）22194x y +=；（2）最大值为.【分析】（1）将P ⎛ ⎝⎭的坐标代入椭圆方程中，再结合c a =222a b c =+可求出,a b 的值，进而可求得椭圆的方程；（2）当MN 斜率存在时，设MN 与圆O 的切线为y kx n =+，要使四边形OMQN 的面积最大，则Q 到MN 距离要最大，此时过Q 点MN 的平行线必与椭圆C 相切，设为y kx m =+，易得Q 到MN 距离与O 到MN 距离之和等于O 到直线y kx m =+的距离，然后利用点到直线的距离公式求出O 到直线y kx m =+的距离d ，利用弦长公式求出MN 的值，从而有12OMN QMN OMQN S S S MN d =+=⨯四边形△△，化简可求得其范围，当MN 斜率不存在时，直接可得OMQN S =四边形 【详解】（1）因为椭圆C过点P ⎛ ⎝⎭， 所以2213219a b+=，c a = 又222a b c =+，所以得22194x y +=；（2）（i ）当MN 斜率存在时，设MN 与圆O 的切线为y kx n =+，要使四边形OMQN 的面积最大，则Q 到MN 距离要最大，此时过Q 点MN 的平行线必与椭圆C 相切，设为y kx m =+，易得Q 到MN 距离与O 到MN 距离之和等于O 到直线y kx m =+的距离，设O 到直线y kx m =+的距离记为d，则d =，联立22,1,94y kx n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()()2229418940k x knx n +++-=，设()11,M x y ，()22,N x y ，1221894kn x x k +=-+，()21229494n x x k -=+，所以12MN x =-=， 因为y kx n =+与圆O1=，因为y kx m =+与椭圆相切，所以2294k m +=，1122OMN QMNOMQN S S S MN d =+=⨯=四边形△△=== 可得OMQN S 四边形随k的增大而增大，即OMQN S <四边形（ii ）当MN斜率不存在时，不妨取1,3M ⎛ ⎝⎭，1,3N ⎛- ⎝⎭，此时()3,0Q ，OMQN S =四边形综上所得四边形OMQN的面积的最大值为【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查计算能力，解题的关键是当MN 斜率存在时，设MN 与圆O 的切线为y kx n =+，要使四边形OMQN 的面积最大，则Q 到MN 距离要最大，此时过Q 点MN 的平行线必与椭圆C 相切，设为y kx m =+，易得Q 到MN 距离与O 到MN 距离之和等于O 到直线y kx m =+的距离，从而可得1122OMN QMNOMQN S S S MN d =+=⨯=四边形△△，化简可得结果，属于中档题。

一、选择题1．光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出，如图①，一个光学装置由有公共焦点1F 、2F 的椭圆Γ与双曲线Ω构成，现一光线从左焦点1F 发出，依次经Ω与Γ反射，又回到了点1F ，历时1t 秒；若将装置中的Ω去掉，如图②，此光线从点1F 发出，经Γ两次反射后又回到了点1F ，历时2t 秒；若218t t =，则Γ与Ω的离心率之比为（ ）A ．3:4B ．2:3C ．1:2D ．22．设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点为F ，直线250x y -=过点F 且与双曲线C 在第一象限的交点为P ，O 为坐标原点，||||OP OF =，则双曲线的离心率为（ ） A 2B 3C ．2D 53．直线34y kx k =-+与双曲线221169x y -=有且只有一个公共点，则k 的取值有（ ）个A ．1B ．2C ．3D ．44．已知椭圆22:13620x y C +=的右焦点是F ，直线()0y kx k =≠与椭圆C 交于A 、B 两点，则222AF BF +的最小值是（ ） A ．36B ．48C ．72D ．965．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，上顶点为A ，右顶点为B ，若FAB 为直角三角形，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．22B ．312C ．512D ．326．设抛物线C ：24y x =的焦点为F ，过F 的直线与C 于,A B 两点，O 为坐标原点.若3AF =，则AOB 的面积为（ ）A ．2 B ．2C ．32D ．327．若1F ，2F 是双曲线22221(0,0)y xa b a b-=>>与椭圆2251162x y +=的共同焦点，点P 是两曲线的一个交点，且12PF F △为等腰三角形，则该双曲线的渐近线方程是（ ） A ．22y x =± B ．24y x =±C ．7y x =±D ．37y x =±8．如图，已知曲线2yx 上有定点A ，其横坐标为()0a a >，AC 垂直于x 轴于点C ，M 是弧OA 上的任意一点（含端点），MD 垂直于x 轴于点D ，ME AC ⊥于点E ，OE 与MD 相交于点P ，则点P 的轨迹方程是（ ）A ．()310y x x a a=≤≤ B ．()31022ay x x x a a =+≤≤ C ．()220y x ax x a =-≤≤D ．()2022a ay x x x a =+≤≤9．已知12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点，过1F 的直线交双曲线的左支于,A B 两点，若113AF F B =，23cos 5AF B ∠=，则双曲线的离心率e =（ ）A B ．52C D ．5310．设F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点，O 为坐标原点，以F 为圆心，FO 为半径的圆与C 交于,A B 两点.若55cos 169OFA ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦-,，则C 的离心率取值范围为（ ）A ．4,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．(C ．5,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．11．已知椭圆22:11612x y C +=的左焦点为F ，点P 是椭圆C 上的动点，点Q 是圆()22:21T x y -+=上的动点，则PF PQ的最小值是（ ）A ．12B ．27C ．23D ．412．设1F 、2F 是椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线2a x c=上一点，若21F PF 是底角为30的等腰三角形，则椭圆E 的离心率为（ ）A ．12B ．2C ．34D ．45二、填空题13．在平面直角坐标系xOy 中，1F ，2F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦点.若椭圆C 上存在点P ，使得12|1|||2PO F F =，则椭圆C 的离心率的取值范围为________. 14．已知双曲线M ：22221x y a b-=(0a >，0b >)的焦距为2c ，若M 的渐近线上存在点T ，使得经过点T 所作的圆222()a c y x +=-的两条切线互相垂直，则双曲线M 的离心率的取值范围是___________.15．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>右焦点(c,0)F 关于直线2y x =的对称点Q 在双曲线上，则双曲线的离心率是______．16．设P 是抛物线28y x =上的一个动点，若点B 为()3,2，则PB PF +的最小值为________________．17．已知拋物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，O 为坐标原点，C 的准线为l 且与x 轴相交于点B ，A 为C 上的一点，直线AO 与直线l 相交于E 点，若BOE BEF ∠=∠，6AF =，则C 的标准方程为_____________.18．设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，直线x m =与椭圆C 相交于A ，B两点.当ABF 的周长最大时，ABF 的面积为2b ，则椭圆C 的离心率e =________．19．设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，点P 在C 的右支上，O 为坐标原点，若存在点P ，使PF OF =，且1cos 4OFP ∠=，则双曲线的离心率为___________．20．双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左焦点为F ，A ､B 分别为C 的左，右支上的点，O 为坐标原点，若四边形ABOF 为菱形，则C 的离心率为______.三、解答题21．已知直线:1l y kx =+过抛物线()2:20E x py p =>的焦点，且与抛物线E 交于A 、B 两点，点M 为AB 中点.（1）求抛物线E 的方程；（2）以AB 为直径的圆与x 轴交于C 、D 两点，求MCD △面积取得最小值时直线l 的方程.22．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，A ，B 为椭圆的左、右顶点，点()0,2N -，连接BN 交椭圆C 于点Q ，ABN 为直角三角形，且:3:2NQ QB = （1）求椭圆的方程；（2）过A 点的直线l 与椭圆相交于另一点M ，线段AM 的垂直平分线与y 轴的交点P 满足154PA PM ⋅=，求点P 的坐标.23．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>(2,1),,A P Q --在椭圆C 上，且,P Q 异于点A ．（1）求椭圆C 的方程；（2）若||||,||||OP OQ AP AQ ==，求直线PQ 的方程．24．已知点1F 、2F 分别是椭圆C 的左、右焦点，离心率为2，点P 是以坐标原点O 为圆心的单位圆上的一点，且120PF PF ⋅=．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设斜率为k 的直线l （不过焦点）交椭圆于M ，N 两点，若x 轴上任意一点到直线1MF 与1NF 的距离均相等，求证：直线l 恒过定点，并求出该定点的坐标．25．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2右焦点到左顶点的距离是2+（1）求椭圆C 的方程；（2）设点M 为椭圆上位于第一象限内一动点，A ，B 分别为椭圆的左顶点和下顶点，直线MB 与x 轴交于点C ，直线MA 与y 轴交于点D ，求证：四边形ABCD 的面积为定值.26．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>2243x y +=相切. （1）求椭圆C 的方程﹔ （2）已知斜率为k 的直线l 在y 轴上的截距为()0m m b <<，l 与椭圆交于,A B 两点，是否存在实数k 使得2OA OB k k k ⋅=成立?若存在，求出k 的值，若不存在，说明理由.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】设122F F c =，设椭圆Γ的长轴长为12a ，双曲线Ω的实轴长为22a ，设光速为v ，推导出112a vt =，利用椭圆和双曲线的定义可得出1243a a =，由此可计算得出Γ与Ω的离心率之比. 【详解】设122F F c =，设椭圆Γ的长轴长为12a ，双曲线Ω的实轴长为22a ， 在图②中，1CDF 的周长为111212124CF DF CD CF CF DF DF a vt ++=+++==，所以，1148a vt =，可得112a vt =，在图①中，由双曲线的定义可得2122AF AF a -=，由椭圆的定义可得1212BF BF a +=，22AF BF AB =-，则2121111222AF AF BF AB AF a BF AB AF a -=--=---=，即()111222a AB AF BF a -++=，由题意可知，1ABF 的周长为111AB AF BF vt ++=，即112111322222a a a a vt a =-=-=， 所以，1243a a =. 因此，Γ与Ω的离心率之比为122112:::3:4c ce e a a a a ===. 故选：A. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a 、c 的值，根据离心率的定义求解离心率e 的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于a 、c 的齐次方程，然后转化为关于e 的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.2．D解析：D 【分析】焦点三角形1PFF 满足||||OP OF =，可根据三角形一边的中线是该边的一半，可判断该三角形是直角三角形.算出该三角形的中位线OH ，可得到12PF =，根据双曲线定义和勾股定理计算出,a c 求解. 【详解】直线20x y -+=过点F，可得()F 设右焦点为1F ，PF 的中点为H .因为O 是1FF 的中点，且||||OP OF =，故三角形1PFF 为直角三角形.1PF PF ⊥，故OH PF ⊥由点到直线距离公式有1OH ==故12PF =，12PF PF a -=，(2222112PF PF F F +== 故()2222220a ++=. 可得1a =ce a== 故选：D 【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式c e a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．3．D解析：D 【分析】将直线方程与双曲线的方程联立，得出关于x 的方程，根据直线与双曲线只有一个公共点，求出对应的k 值，即可得解. 【详解】联立22341169y kx k x y =-+⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去y 并整理得()()()2221693243164390k x k k x k ⎡⎤-+-+-+=⎣⎦，由于直线34y kx k =-+与双曲线221169x y -=有且只有一个公共点， 所以，21690k -=或()()()222216903243641694390k k k k k ⎧-≠⎪⎨⎡⎤⎡⎤∆=----+=⎪⎣⎦⎣⎦⎩， 解得34k =±或2724250k k +-=， 对于方程2724250k k +-=，判别式为22447250'∆=+⨯⨯>，方程2724250k k +-=有两个不等的实数解.显然34k =±不满足方程2724250k k +-=. 综上所述，k 的取值有4个. 故选：D. 【点睛】方法点睛：将直线与圆锥曲线的两个方程联立成方程组，然后判断方程组是否有解，有几个解，这是直线与圆锥曲线位置关系的判断方法中最常用的方法，注意：在没有给出直线方程时，要对是否有斜率不存在的直线的情况进行讨论，避免漏解．4．D解析：D 【分析】求得2AF BF a +=，结合a c BF a c -<<+，利用二次函数的基本性质可求得222AF BF +的最小值.【详解】设椭圆C 的左焦点为F '，在椭圆C 中，6a =，25b =，则224c a b =-=，由题意可知，点A 、B 关于原点对称，且O 为FF '的中点， 所以，四边形AFBF '为平行四边形，所以，BF AF '=，由椭圆的定义可得212AF BF AF AF a '+=+==，0k ≠，a c BF a c ∴-<<+，即210BF <<，()()2222222122324144349696AF BF BFBF BF BF BF ∴+=-+=-+=-+≥，当且仅当4BF =时，等号成立，因此，222AF BF +的最小值为96. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于以下几点：（1）问题中出现了焦点，一般利用相应曲线的定义，本题中利用对称性结合椭圆定义可得出AF BF +；（2）利用椭圆的几何性质得出焦半径的取值范围.5．C解析：C 【分析】作出图形，可知FAB 是以FAB ∠为直角的直角三角形，可得出0AF AB ⋅=，可得出a 、b 、c 的齐次等式，进而可求得椭圆C 的离心率.【详解】如下图所示，可知AFB ∠、ABF ∠均为锐角， 所以，FAB 是以FAB ∠为直角的直角三角形，由题意可知，点(),0F c -、()0,A b 、(),0B a ，则(),AF c b =--，(),AB a b =-，20AF AB ac b ⋅=-+=，可得220a c ac --=，即220c ac a +-=，在等式220c ac a +-=的两边同时除以2a 可得210e e +-=，01e <<，解得512e =. 故选：C. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a 、c 的值，根据离心率的定义求解离心率e 的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于a 、c 的齐次方程，然后转化为关于e 的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.6．C解析：C 【分析】根据抛物线的定义和性质，可以求出A 的坐标，再求出直线AB 的方程，可求出点B 的坐标，最后利用三角形的面积公式加以计算，即可得到AOB 的面积． 【详解】抛物线24y x =的焦点为(1,0)F ，准线方程为1x =-， 不妨设A 在第一象限，设1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y ，||3AF =，所以A 到准线1x =-的距离为3，113x ∴+=，解得12x =，122y ∴=，∴直线AB 的斜率为22221=-∴直线AB 的方程为22(1)y x =-，由2422(1)y x y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，整理可得22520x x -+=，解得12x =，212x =当212x =时，2y = 因此AOB 的面积为：121111||||||||112222AOBAOFBOFSSSOF y OF y =+=+=⨯⨯⨯． 故选：C. 【点睛】方法点睛：与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.7．B解析：B 【分析】由题意可得双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>中223,9c a b =+=，由12PF F △为等腰三角形，所以2126PF F F ==,从而可求得1221064PF a PF =-=-=，再利用双曲线的定义可求得在双曲线中1a =，b =，进而可求出双曲线的渐近线方程 【详解】解：因为椭圆2251162x y +=的焦点坐标为(0,3)，所以双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>中223,9c a b =+=，设点P 为两曲线在第一象限的交点，由于在椭圆中，12PF F △为等腰三角形，所以2126PF F F ==, 所以1221064PF a PF =-=-=，在双曲线中，212642a PF PF =-=-=，所以1a =，代入229a b +=，得b =，所以该双曲线的渐近线方程为4a y x x b =±==±， 故选：B 【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆、双曲线的定义的应用，解题的关键由12PF F △为等腰三角形和椭圆的定义求出21,PF PF 的值，属于中档题8．A解析：A【分析】设点(),P x y ，求出点M 、E 的坐标，利用O 、P 、E 三点共线可得出//OP OE 可求得点P 的轨迹方程. 【详解】设点(),P x y ，其中0x a ≤≤，则点()2,M x x，ME 与直线x a =垂直，则点()2,E a x ，因为O 、P 、E 三点共线，则//OP OE ，可得3ay x =，31y x a∴=， 因此，点P 的轨迹方程是()310y x x a a=≤≤. 故选：A. 【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法：（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；（3）相关点法：用动点Q 的坐标x 、y 表示相关点P 的坐标0x 、0y ，然后代入点P 的坐标()00,x y 所满足的曲线方程，整理化简可得出动点Q 的轨迹方程；（4）参数法：当动点坐标x 、y 之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x 、y 与某一参数t 得到方程，即为动点的轨迹方程；（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.9．C解析：C 【分析】设1133AF F B m ==，利用双曲线定义求出232AF m a =+，22F B m a =+，利用余弦定理写出,a m 关系，推知焦点三角形12F BF 是直角三角形，利用勾股定理求出,a c 关系式，从而求出离心率. 【详解】设1133AF F B m ==，则4AB m =，则由双曲线定义有232AF m a =+，22F B m a =+，在2AF B 中，由余弦定理有()()()()()22242232223m a m a m a m a m =+++-⋅++ 整理得22320m am a --=，解得m a = 故4AB a =，25AF a =，23F B a =故2AF B 为直角三角形，290ABF ∠=在12Rt F BF △中，2221122F B F B F F +=，则()()22232a a c +=，故22252c e a ==故e =故选：C 【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式c e a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．10．A解析：A 【分析】根据题意写出,,''AF AF FF ，根据余弦定理表示出cos ∠OFA ，然后根据55cos 169OFA ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦-,列出关于e 的不等式，求解范围.【详解】取右焦点F '，连接AF '，因为点A 为圆和双曲线的交点，所以AF OF c ==，则22,2''=+=+=AF AF a c a FF c ，所以22222222224(2)444cos 244''+-+-+--∠==='AF FF AF c c c a c ac a OFA AF FF c c 221111⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭a a c c e e，又因为55cos 169OFA ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦-,，所以251151169-≤--≤e e ，即2249902116160e e e e ⎧--≤⎨--≥⎩，解得433≤≤e . 故选：A.【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：①求出a，c，代入公式cea =；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合222b c a=-转化为a，c的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以a或2a转化为关于e的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（e的取值范围）．11．B解析：B【分析】作出图形，利用椭圆的定义以及圆的几何性质可求得PFPQ的最小值.【详解】如下图所示：在椭圆22:11612x yC+=中，4a=，23b=222c a b-，圆心()2,0T 为椭圆C 的右焦点，由椭圆定义可得28PF PT a +==，8PF PT ∴=-，由椭圆的几何性质可得a c PT a c -≤≤+，即26PT ≤≤，由圆的几何性质可得1PQ PT QT PT ≤+=+， 所以，899211111617PF PF PT PQPT PT PT -≥==-≥-=++++. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于以下几点：（1）问题中出现了焦点，一般利用相应圆锥曲线的定义，本题中注意到2PF PT a +=，进而可将PF 用PT 表示；（2）利用圆的几何性质得出PT r PQ PT r -≤≤+，可求得PQ 的取值范围； （3）利用椭圆的几何性质得出焦半径的取值范围：a c PT a c -≤≤+.12．B解析：B 【分析】设直线2a x c=交x轴于点M ，推导出222PF F M =，可得出关于a 、c 的等式，由此可解得该椭圆的离心率. 【详解】设直线2a x c=交x轴于点M ，21F PF △是底角为30的等腰三角形，260PF M ∠=，2122PF F F c ==，在2Rt PF M 中，290PMF ∠=，230MPF ∠=，222PF F M ∴=，P 为直线2a x c =上一点，222a c c c ⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭，即222a c =，2c e a ∴==． 故选：B ． 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a 、c 的值，根据离心率的定义求解离心率e 的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于a 、c 的齐次方程，然后转化为关于e 的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.二、填空题13．【分析】先分析出得到消去b 整理出ac 的齐次式求出离心率的范围【详解】由落在椭圆上则又得：∴由得：即解得：又∴故答案为：【点睛】求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据题目的条件找到abc 的关系消去b 构解析：⎫⎪⎪⎣⎭【分析】先分析出||b PO a ≤≤，得到b c a ≤<，消去b ，整理出a 、c 的齐次式，求出离心率的范围. 【详解】由P 落在椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>上，则||b PO a ≤≤.又12|1|||2PO F F =得：||PO c = ∴b c a ≤<由b c ≤得：22b c ≤，即222a c c -≤，解得：2c e a =≥又1e <，∴12e ≤<故答案为：2⎫⎪⎪⎣⎭【点睛】求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据题目的条件，找到a 、b 、c 的关系，消去b ，构造离心率e 的方程或（不等式）即可求出离心率．14．【分析】设双曲线的右焦点经过点T 所作的圆的两条切线互相垂直等价于转化为点到渐近线的距离解得再根据离心率公式可得结果【详解】依题意可得双曲线的右焦点渐近线方程为因为M 的渐近线上存在点T 使得经过点T 所作解析：1e <≤【分析】设双曲线M 的右焦点(c,0)F ，经过点T 所作的圆222()a c y x +=-的两条切线互相垂直，等价于TF =，转化为点(c,0)F 到渐近线的距离d TF ≤，解得ba据离心率公式可得结果. 【详解】依题意可得双曲线M 的右焦点(c,0)F ，渐近线方程为0bx ay ±=，因为M 的渐近线上存在点T ，使得经过点T 所作的圆222()a c y x +=-的两条切线互相垂直，设两个切点为,P Q ，所以PTQ ∠2π=，4PTF π∠=，因为FP PT ⊥，PF a =，所以TF =，所以双曲线M 的渐近线上存在点T，使得TF =，所以点(c,0)F到渐近线的距离d =≤，即b a所以离心率c e a =====≤= 又1e >，所以1e <≤所以双曲线M的离心率的取值范围是1e <≤故答案为：1e <≤【点睛】关键点点睛：求双曲线离心率的取值范围的关键是得到,,a b c 的不等式，根据M 的渐近线上存在点T ，使得经过点T 所作的圆222()a c y x +=-的两条切线互相垂直，得到圆心到可得,,a b c 的不等式.15．【分析】由题意可得Q 点坐标代入双曲线方程计算即可得出离心率【详解】设则中点由题意可得由在双曲线上可得两边同除可得解得（舍）故答案为：【点睛】关键点点睛：齐次式方程两边同除可得关于离心率的方程即可求出【分析】由题意可得Q 点坐标，代入双曲线方程，计算即可得出离心率. 【详解】设(,)Q m n ，则FQ 中点(,)22+m c n，=-FQ n k m c由题意可得325224215c nm c m n c n m c +⎧⎧=-=⨯⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪⨯=-=⎪⎪-⎩⎩，由(,)Q m n 在双曲线上，可得222242242222234()()91655119502502525()--=⇒-=⇒-+=-c c c c c a c a a b a c a 两边同除4a ，可得42950250e e -+=，解得55,3==e e （舍） 故答案为：5 【点睛】关键点点睛：齐次式方程，两边同除可得关于离心率的方程，即可求出离心率.本题考查了计算能力和逻辑推理能力，属于中档题目.16．5【分析】求出抛物线的准线方程把到焦点距离转化为它到准线的距离然后利用三点共线得最小值【详解】如图过作与准线垂直垂足为则∴易知当三点共线时最小最小值为∴的最小值为5故答案为：5【点睛】本题考查抛物线解析：5 【分析】求出抛物线的准线方程，把P 到焦点F 距离转化为它到准线的距离，然后利用三点共线得最小值． 【详解】如图，过P 作PM 与准线2x =-垂直，垂足为M ，则PF PM =，∴PF PB PM PB +=+，易知当,,B P M 三点共线时，PM PB +最小，最小值为3(2)5--=．∴PB PF +的最小值为5．故答案为：5．【点睛】本题考查抛物线的定义，考查抛物线上的点到焦点和到定点距离之和的最小值，解题方法是利用抛物线的定义把点到焦点的距离转化为点到准线距离．17．【分析】推导出求出可得出直线的方程联立直线与抛物线的方程求出点的坐标利用抛物线的定义求出的值即可得出抛物线的标准方程【详解】因为即所以则直线的方程为联立直线与抛物线方程解得所以解得因此抛物线标准方程解析：28y x =【分析】 推导出OBE EBF △△，求出tan BOE ∠，可得出直线AO 的方程，联立直线AO 与抛物线C 的方程，求出点A 的坐标，利用抛物线的定义求出p 的值，即可得出抛物线C 的标准方程. 【详解】因为BOE BEF ∠=∠，90OBE EBF ∠=∠=，OBEEBF ∴△△，OB BE BE BF ∴=，即2222p p BE OB BF p =⋅=⨯=，22BE p ∴=，所以tan 2BEBOE OB∠==AO 的方程为2y x =， 联立直线OA 与抛物线方程222y xy px ⎧=⎪⎨=⎪⎩解得()2A p ， 所以3622p pAF p =+==，解得4p =， 因此，抛物线标准方程为28y x =. 故答案为：28y x =. 【点睛】方法点睛：求抛物线的标准方程的主要方法是定义法与待定系数法：（1）若题目已给出抛物线的方程（含有未知数p ），那么只需求出p 即可； （2）若题目未给出抛物线的方程：①对于焦点在x 轴上的抛物线的标准方程可统一设为()20y ax a =≠的正负由题设来定；②对于焦点在y 轴上的抛物线的标准方程可统一设为()20x ay a =≠，这样就减少了不必要的讨论.18．【分析】首先根据椭圆定义分析分析当的周长最大时直线的位置再求的面积得到椭圆的离心率【详解】设椭圆的右焦点为当直线过右焦点时等号成立的周长此时直线过右焦点得故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆内 解析：12【分析】首先根据椭圆定义分析，分析当ABF 的周长最大时，直线AB 的位置，再求ABF 的面积，得到椭圆的离心率. 【详解】设椭圆的右焦点为F '，AF BF AB ''+≥，当直线AB 过右焦点F '时，等号成立，∴ABF 的周长4l AF BF AB AF BF AF BF a ''=++≤+++=，此时直线AB 过右焦点，22b AB a =，221222ABFb Sc b a=⨯⨯=，得12c e a ==.故答案为：12【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆内的线段和的最值问题，关键是利用两边和大于第三边，只有三点共线时，两边和等于第三边，再结合椭圆的定义，求周长的最值.19．2【分析】在焦点三角形中由余弦定理求得关系再求离心率【详解】设双曲线的左焦点为在中由余弦定理得故答案为：2【点晴】求离心率的关键是得的关系本题是由余弦定理得出解析：2 【分析】在焦点三角形中由余弦定理求得,a c 关系，再求离心率. 【详解】设双曲线的左焦点为E ，在EFP △中，2EF c =，2PF c PE a c ==+，，1cos 4EFP ∠=. 由余弦定理()222421cos 224c c c a EFP c c +-+∠==⋅⋅ ，得2c e a ==. 故答案为：2 【点晴】求离心率的关键是得,,a b c 的关系，本题是由余弦定理得出.20．【分析】先根据四边形为菱形及双曲线的性质求的度数再根据双曲线的定义找的关系最后由离心率的计算公式求结论【详解】设右焦点为连接过作轴于因为双曲线关于轴对称四边形为菱形所以所以所以所以根据双曲线的定义可解析：31+. 【分析】先根据四边形ABOF 为菱形，及双曲线的性质，求AFO ∠的度数，再根据双曲线的定义找,a c 的关系，最后由离心率的计算公式求结论. 【详解】设右焦点为'F ，连接'AF ，过A 作AH x ⊥轴于H ，因为双曲线C 关于y 轴对称，四边形ABOF 为菱形， 所以AB OF AF c ===，2c OH FH ==， 所以60AFO ∠=︒，所以'AF AF ⊥，所以'3AF c =， 根据双曲线的定义可得'32AF AF c c a -=-=， 所以3131e ==+-， 31. 【点睛】方法点睛：该题考查的是有关双曲线离心率的求解问题，对于求解圆锥曲线离心率的值或范围的解题方法如下：（1）一般不直接求出的值，而是根据题目给出的圆锥曲线的集合特征建立关于参数,,c a b 的方程组或不等式组，通过解方程组或不等组求得离心率的值或范围； （2）通常从两个方面入手研究，一是考虑几何关系，二是考虑代数关系； （3）注意用好定义.三、解答题21．（1）24x y =；（2）1y =. 【分析】（1）求出抛物线E 的焦点坐标，将焦点坐标代入直线l 的方程，求出p 的值，即可求得抛物线E 的方程；（2）设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立直线l 与抛物线E 的方程，求出点M 的坐标，求出点M 到CD 的距离以及CD ，可得出MCD △的面积的表达式，利用函数的单调性可求得MCD △面积的最小值，进而可求得对应的直线l 的方程. 【详解】（1）抛物线2:2E x py =的焦点为0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭在:1l y kx =+上，12p ∴=，2p ∴=，所以，抛物线E 的方程为24x y =； （2）设()11,A x y 、()22,B x y ，由241x y y kx ⎧=⎨=+⎩得2440x kx --=，所以，212121616044k x x k x x ⎧∆=+>⎪+=⎨⎪=-⎩， 则AB 中点()22,21Mk k +，()21241AB x k =-==+，所以，以AB 为直径的圆M 的半径()221r k=+，M 到CD 的距离221d k=+，CD ==((221221212MCD S k k ∴=⨯⨯+=+△，令()20k t t =≥，则(21MCDSt =+[)0,+∞单调递增.当0t =时，即0k =时，MCD Sl 的方程为1y =.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．22．（1）2214x y +=；（2）30,2⎛⎫± ⎪⎝⎭，0,2⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭. 【分析】（1）用待定系数法求椭圆方程；（2）设出直线l ，表示出M 的坐标，利用154PA PM ⋅=，求出点P 的坐标. 【详解】（1）由题意可得：三角形ABN 为等腰直角三角形，所以2a =4，即a =2. 又由()0,2N -，()2,0B ，:3:2NQ QB =所以64,55Q ⎛⎫⎪⎝⎭， 代入22221x y a b+=得：222264()()551a b +=，解得：b =1. 所以椭圆的方程为2214x y +=（2）由（1）可知()2,0A -.设M 点的坐标为()11,x y ， 直线l 的斜率显然存在，设为k ，则直线l 的方程为()2y k x =+于是A ，B 两点的坐标满足方程组()22214y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，由方程组消去y 并整理， 得()()222214161640kxk x k +++-=由212164214k x k --=+，得2122814k x k-=+，从而12414k y k =+， 设线段AB 是中点为M ，则M 的坐标为22282,1414k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭以下分两种情况：①当0k =时，点M 的坐标为()2,0.线段AM 的垂直平分线为y 轴，于是()02,PA y =-，()02,PM y =-由154PA PM ⋅=得0312y =± ②当0k ≠时，线段AM 的垂直平分线方程为2222181414k k y x k k k ⎛⎫--=+ ⎪++⎝⎭令0x =，解得02614ky k -=+()02,PA y =--，()110PM x y y =⋅- ()()210102222228646214141414k k k k PA PM x y y y k k k k --⎛⎫⋅=---=++ ⎪++++⎝⎭()()422241615115414k k k +-==+ 整理得12k =±，032y =±综上032y =±或0y =. 点P 的坐标是30,2⎛⎫± ⎪⎝⎭，0,⎛ ⎝⎭. 【点睛】（1）待定系数法可以求二次曲线的标准方程；（2）"坐标法"是解析几何中常见的基本方法，把题目中的条件用坐标翻译出来，把几何条件转化为代数运算.23．（1）22182x y +=；（2）20x y +=．【分析】（1）由离心率，点的坐标代入椭圆方程及222a b c =+列方程组解得,,a b c 得椭圆方程； （2）已知条件说明直线AO 为线段PQ 的垂直平分线，直线OA 方程为12y x =，这样可设直线PQ 方程为2y x m =-+，代入椭圆方程，应用韦达定理得12x x +，12,x x 即为,P Q的横坐标，求出中点横坐标1202x x x +=，由直线PA 得中点纵坐标0y ，中点坐标代入直线AO 方程可得参数m ，即直线PQ 方程．【详解】（1）依题意，22222411a b a b c c a⎧+=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎪⎩，，解得2282a b ⎧=⎨=⎩，，．故椭圆C 的方程为22182x y +=；（2）∵||||,||||OP OQ AP AQ ==，∴直线AO 为线段PQ 的垂直平分线，则直线OA 的方程为12y x =，设直线PQ 的方程为2y x m =-+，由221822x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩，得：221716480x mx m -+-=， ()22(16)417480m m =-⨯->，解得m <()()1122,,,P x y Q x y ，由韦达定理得121617mx x +=，设PQ 的中点为()00,H x y ， 所以120008,221717x x m m x y x m +===-+=；所以8,1717m m H ⎛⎫⎪⎝⎭． 又8,1717m m H ⎛⎫⎪⎝⎭在直线OA 上，代入得1817217m m =⋅，解得0m =， 综上所述，直线PQ 的方程为20x y +=． 【点睛】关键点点睛：本题考查由离心率和一点坐标求椭圆方程，考查直线与椭圆相交问题．在直线与椭圆相交问题时，解题关键是由平面几何知识由条件||||,||||OP OQ AP AQ ==得直线AO 为线段PQ 的垂直平分线，这样用设而不求思想可求得直线PQ 方程．即求出AO 方程，由垂直设出直线PQ 方程，代入椭圆方程应用韦达定理求得PQ 中点坐标，再代入直线AO 方程可得参数值．24．（1）22121x y +=；（2）证明见解析，（-2,0）.【分析】（1）根据离心率为2，点P 是以坐标原点O 为圆心的单位圆上的一点，且120PF PF ⋅=,可用待定系数法求椭圆的标准方程;（2）先用设而不求法表示出1212,x x x x +，然后分析得到110MF NF k k +=，代入，求出2m k =，即可证明直线过定点（-2，0）. 【详解】(1)设椭圆的标准方程为()22221,,x y P x y a b+=由题意可得2222221(,)(,)0c a x y x c y x c y b c a ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪-⋅+=⎪+=⎪⎩解得：222211a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩即椭圆C 的标准方程：22121x y +=.(2)设直线l ：1122,(,),(,)y kx m M x y N x y =+则1111221122,1111MF NF y kx m y kx mk k x x x x ++====++++ 有22121x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去 y 得：222(12)4220k x mkx m +++-=， 所以2221222122168(1)(12)04122212k m m k mk x x k m x x k ⎧⎪∆=--+>⎪-⎪+=⎨+⎪⎪-=⎪+⎩因为x 轴上任意一点到直线1MF 与1NF 的距离均相等， 所以x 轴为直线1MF 与1NF 的角平分线， 所以111212011MF NF kx m kx mk k x x +++=+=++，即 12122()()20kx x m k x x m ++++= 所以2222242()201212m mkk m k m k k--+++=++ 整理化简得：2m k =即直线l ：2(2)y kx m kx k k x =+=+=+ 故直线恒过定点（-2,0）. 【点睛】（1）待定系数法可以求二次曲线的标准方程；（2）"设而不求"是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题.25．（1）2214x y +=；（2）证明见解析.【分析】（1）由题意可得c a =2a c +=222a b c =+即可求出,a b 得值，进而可得椭圆C 的方程；（2）由椭圆的方程可得,A B 两点的坐标，设(,)(0,0)M m n m n >>，即可求出直线BM 、AM 的方程，进而可得点C 、D 的坐标，结合2214m n +=，计算1||||2ABCD S AC BD =⋅⋅即可求解.【详解】。