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飞行器控制系统中的混沌控制算法研究随着现代科技的迅速发展，人们对于飞行器的控制和稳定性要求越来越高。
为了更好地控制飞行器并保证其稳定飞行，混沌控制算法作为一种新颖的控制方法被广泛研究和应用。
本文将阐述混沌控制算法在飞行器控制系统中的应用研究。
一、混沌理论与控制系统混沌理论是一种可描述非线性动力学系统行为的理论，具有无限的复杂性和高度的随机性。
混沌系统的稳定性与常规线性系统不同，常规稳定性理论往往难以解释混沌现象的产生与演化规律。
在混沌系统中，微小的初始条件差别会导致系统行为的极端差异，这也导致混沌系统难以被精确控制。
控制系统是指一种能够使系统产生有利的响应的方式。
控制系统的设计和实现往往需要考虑各种因素，如控制方法、控制器种类和控制参数。
此外，控制系统还需要样本采样和不确定性分析，以确保控制器的稳定性和精度。
二、混沌控制系统的应用混沌控制系统利用混沌理论的复杂性和无序性，通过一组基于非线性系统的控制器对系统进行控制。
混沌控制系统与传统的控制系统相比，具有更高的控制精度和更好的鲁棒性。
在飞行器控制系统中，混沌控制算法可以用于飞行器的控制和稳定，尤其是针对一些特殊的飞行任务，如滑翔机和飞行器的自主降落。
同时，在飞行器的控制和稳定过程中，混沌控制系统能够提高飞行器的适应性和鲁棒性。
三、混沌控制算法的基本原理混沌控制算法的基本原理是通过一个具有混沌性质的反馈环节，控制动力学系统的响应和状态。
这种反馈环节的非线性通常是一组包含二次或 higher-degree 多项式的非线性函数，通过不同的非线性函数得到不同的反馈效果和控制性能。
因此，混沌控制算法的本质是基于非线性反馈，对动力学系统进行控制。
四、混沌控制算法的设计思路混沌控制算法的设计需要考虑两个方面的问题：目标控制系统和非线性通道动态反馈。
设计目标控制系统时，需要考虑飞行器的运动学和动力学特征，并选择合适的模型和控制策略。
一旦选择控制策略，并且确定动态特征，就可以确定非线性反馈值。
非线性动力学中的混沌与分岔现象混沌现象的介绍混沌现象是非线性动力学中一个重要的研究课题，它描述了一种似乎随机的、无规律可循的运动状态。
在混沌现象的研究中，人们发现了一些特征，如灵敏依赖于初始条件、无周期运动和封闭轨道等。
混沌现象的研究对于理解自然界中的复杂系统行为具有重要的意义。
混沌现象最早是由美国数学家Edward Lorenz于20世纪60年代发现的。
他在研究气象学中的大气运动方程时，意外地发现了不确定性的现象。
这个发现被称为“蝴蝶效应”，即当一个蝴蝶在巴西振动翅膀时，可能引发一系列的气流变化，最终导致美国得克萨斯州的一个龙卷风的形成。
这个例子说明了混沌现象中初始条件的微小变化可能引起系统运动的巨大变化。
混沌现象的数学表示混沌现象可以用一些非线性动力学方程描述。
这些方程通常包含了一些非线性项，使得系统的演化不再是简单的线性叠加。
一个经典的混沌系统方程是Lorenz方程：\\frac{{dx}}{{dt}} = \\sigma(y - x),\\frac{{dy}}{{dt}} = x(\\rho - z) - y,\\frac{{dz}}{{dt}} = xy - \\beta z其中，x、y和z是系统的状态变量，t是时间。
σ、ρ和β是一些常数，它们决定了系统的性质。
这个方程描述了一个三维空间中的运动，这种运动就是混沌现象。
分岔现象的介绍分岔现象是混沌现象的一个重要特征，它描述了系统参数发生微小变化时，系统行为的剧烈变化。
简单来说，分岔现象就是系统从一个稳定的演化状态变成多个稳定状态的过程。
分岔现象的经典例子是Logistic映射。
Logistic映射是一种常用的非线性映射，它用于描述生物种群的增长。
Logistic映射的公式为：x_{n+1} = r \\cdot x_n \\cdot (1 - x_n)其中，x_n是第n个时刻的种群密度，x_{n+1}是下一个时刻的种群密度，r是系统的参数，它决定了种群的增长速度。
《两个混沌系统的动力学分析及其系统控制与同步研究》篇一一、引言混沌系统是物理学、数学、工程学和许多其他领域研究的热点问题。
混沌现象表现为系统对初始条件的敏感依赖性，以及在非线性系统中出现的复杂、不可预测的行为。
本文将针对两个典型的混沌系统进行动力学分析，并探讨其系统控制与同步的有关问题。
二、两个混沌系统的动力学分析（一）第一个混沌系统：Lorenz系统Lorenz系统是一个经典的混沌系统，其动力学行为表现为对初始条件的极度敏感性。
该系统由三个非线性微分方程组成，描述了大气中温度的复杂变化过程。
我们将通过数值模拟和相图分析等方法，深入探讨Lorenz系统的动力学特性。
（二）第二个混沌系统：Chua's电路Chua's电路是一个电子电路混沌系统的典型代表，其电路中的非线性元件导致了复杂的混沌行为。
我们将对Chua's电路的电路方程进行推导，并通过时域分析和频域分析等方法，揭示其混沌特性和动力学行为。
三、系统控制与同步研究（一）Lorenz系统的控制与同步针对Lorenz系统的混沌特性，我们将探讨如何通过外部控制信号或系统参数调整等方法，实现对该系统的有效控制。
同时，我们将研究Lorenz系统的同步问题，探讨不同Lorenz系统之间的同步方法及其在通信、计算等领域的应用。
（二）Chua's电路的控制与同步对于Chua's电路的混沌行为，我们将尝试利用反馈控制、自适应控制等手段，实现对系统的稳定控制和参数调整。
此外，我们还将研究Chua's电路的同步问题，包括电路间的同步方法和其在信号处理、电子设备同步等方面的应用。
四、实验与结果分析（一）实验设计我们将设计一系列实验来验证上述理论分析的正确性。
对于Lorenz系统和Chua's电路，我们将分别进行数值模拟实验和实际电路实验，以观察系统的混沌行为和验证控制与同步方法的可行性。
（二）结果分析通过实验数据的分析和处理，我们将验证所提出的控制与同步方法的可行性和有效性。
《两个混沌系统的动力学分析及其系统控制与同步研究》篇一一、引言混沌系统是一种复杂的非线性动态系统，其状态变化具有不可预测性、敏感依赖初始条件和长期行为的不规则性等特点。
近年来，随着非线性科学的发展，混沌系统的研究逐渐成为了一个重要的研究方向。
本文将针对两个典型的混沌系统进行动力学分析，并探讨其系统控制与同步的方法。
二、两个混沌系统的动力学分析（一）Lorenz混沌系统Lorenz混沌系统是一种典型的流体动力学系统，具有三维非线性微分方程描述。
通过对该系统的动力学分析，我们可以发现其状态变化具有对初始条件的敏感性、具有分岔和混沌等现象。
具体地，我们可以通过分析该系统的相图、功率谱等特征，进一步了解其动力学特性。
（二）Chua's电路混沌系统Chua's电路混沌系统是一种电子电路系统，其电路元件包括电阻、电感和非线性电容等。
该系统的动力学行为表现为复杂的混沌振荡，具有一定的应用价值。
通过对该系统的动力学分析，我们可以了解到混沌系统在不同参数条件下的动态变化情况。
三、系统控制与同步研究（一）系统控制对于混沌系统的控制，主要是通过调整系统参数或者引入外部控制信号等方式，使得系统的状态达到预期的稳定状态。
针对Lorenz混沌系统和Chua's电路混沌系统，我们可以采用不同的控制策略，如参数微调法、反馈控制法等，以实现对系统状态的稳定控制。
（二）系统同步混沌系统的同步是指两个或多个混沌系统在一定的条件下，其状态变化达到某种程度的协调和一致性。
针对两个混沌系统的同步问题，我们可以采用不同的同步方法，如完全同步法、延迟同步法等。
这些方法可以通过调整系统参数或者引入适当的控制器来实现两个混沌系统的同步。
四、实验结果与分析（一）实验设计为了验证上述理论分析的正确性，我们设计了相应的实验方案。
具体地，我们采用了数值模拟和实际电路实验两种方式来验证Lorenz混沌系统和Chua's电路混沌系统的动力学特性和控制与同步效果。
《半导体环形激光器的混沌及其同步研究》篇一一、引言随着科技的发展，半导体环形激光器在光通信、光计算和光信息处理等领域得到了广泛的应用。
然而，由于激光器内部的非线性动力学特性，激光器中会出现混沌现象，对激光器的性能产生不利影响。
因此，对半导体环形激光器的混沌及其同步进行研究具有重要的理论和应用价值。
本文旨在探讨半导体环形激光器中的混沌现象及其同步控制策略。
二、半导体环形激光器的基本原理半导体环形激光器是一种具有环状谐振腔的半导体激光器。
其基本原理是利用半导体材料中的电子和空穴在光场作用下发生跃迁，从而产生光辐射。
在环形谐振腔中，光场会沿着环路传播并形成稳定的模式。
然而，由于激光器内部的非线性动力学特性，如光场与物质之间的相互作用、增益介质的非均匀性等，使得激光器内部可能出现混沌现象。
三、半导体环形激光器中的混沌现象混沌现象是指系统中出现的一种复杂、无规则的动态行为。
在半导体环形激光器中，由于增益介质的非均匀性、谐振腔的不对称性等因素，导致光场在传播过程中发生复杂的非线性相互作用，从而产生混沌现象。
混沌现象会导致激光器的输出功率不稳定、光谱线宽增大等问题，严重影响激光器的性能。
四、半导体环形激光器的同步控制策略为了解决半导体环形激光器中的混沌问题，需要采用同步控制策略。
同步控制策略是指通过一定的方法使多个系统或系统内部的不同部分之间达到协调一致的状态。
在半导体环形激光器中，可以采用外部调制、反馈控制等方法实现同步控制。
其中，外部调制是通过改变输入信号的频率、幅度等参数来影响激光器的输出；而反馈控制则是通过检测激光器的输出信号并调整相关参数来达到同步的目的。
五、同步控制在半导体环形激光器中的应用同步控制在半导体环形激光器中具有广泛的应用前景。
首先，通过同步控制可以实现多个激光器之间的协同工作，从而提高系统的整体性能。
其次，同步控制还可以用于实现光信息处理中的信号传输和存储等任务。
此外，同步控制还可以用于提高激光器的稳定性和可靠性，从而延长其使用寿命。
动力学系统中的混沌控制与吸引子建模混沌现象是非线性动力学系统中的一种特殊现象，具有高度复杂、不可预测的特性。
混沌控制与吸引子建模是研究如何控制并分析混沌现象的方法之一。
本文将对混沌控制与吸引子建模的基本原理和应用进行探讨。
首先，我们需要了解什么是动力学系统。
动力学系统通常用方程组描述，其演化是由系统当前状态以及一些规定的转移函数决定的。
例如，天气系统、电力系统和流体力学系统都可以用动力学系统进行建模。
在一些复杂的动力学系统中，当外界干扰较小或被忽略时，系统的行为可逐渐趋于混沌状态。
混沌的特点包括非周期性、敏感依赖于初始条件和浑沌吸引子等。
混沌现象的出现给系统的控制和预测带来了极大的挑战。
混沌控制是指在混沌动力学系统中通过改变系统的初始条件、参数或添加控制信号等方法，使系统的行为趋于期望的状态或轨道，以达到某种控制目的的过程。
混沌控制基本上包括两种方法：开环控制和闭环控制。
开环控制是指在没有反馈的情况下，通过调整混沌动力学系统的初始条件或参数来控制系统的行为。
开环控制的缺点是对系统的初始条件敏感，较大的扰动可能导致系统无法控制。
因此，对于复杂的混沌系统，通常采用闭环控制。
闭环控制是通过引入反馈控制，将系统的输出与期望的轨道进行比较，并根据差异做出调整。
闭环控制可以有效降低系统对初始条件的敏感性，提高控制性能。
其中，最为常见的控制方法是使用滑模控制、时间延迟控制和自适应控制方法。
滑模控制通过引入滑动面来实现控制，通过改变滑动面的斜率和截距来调整系统状态，从而使系统的输出轨道逼近期望的轨道。
时间延迟控制是利用系统自身的延迟特性来建立控制策略，通过延迟的反馈信号来控制系统的行为。
自适应控制是指通过实时调整控制参数来适应系统的动态变化，以实现对混沌系统的控制。
除了混沌控制，吸引子建模也是一种常用的方法来分析和描述混沌系统。
吸引子是指系统状态的某个稳定集合，系统的轨道在该集合附近 oscillate，并最终趋于该集合。
非线性系统的动力学分析及控制研究随着科学技术的快速发展，对于动力学分析和控制研究的需求和重视也逐渐增加。
其中一种非常重要的研究对象就是非线性系统。
1.非线性系统概述非线性系统，简单来说就是不能被描述为线性关系的系统。
由于其比线性系统更复杂，因此难以进行精确的分析和控制，但非线性系统却可以描述许多自然界中的现象以及工程技术实践中的问题。
我们知道，线性系统的特性是“比例性”和“叠加性”，其输入和输出之间存在着数量上的线性关系。
但是，非线性系统在不同的输入下会产生系统响应的非线性变化。
其系统行为可能表现出变化多样、复杂、不可预知等特征。
这些性质决定了非线性系统的动力学不规则和不稳定性，对动力学的分析和控制构成了巨大的困难。
2.非线性系统的控制在非线性系统的控制领域中，最基本的方法就是通过反馈控制的方式，尽量减少系统的误差和稳态误差。
但对于非线性系统来说，它需要一些更为高级和复杂的控制策略，如模糊控制、神经网络控制、自适应控制等。
以自适应控制为例。
自适应控制方法是通过不断对过程进行监控，并改变控制器或控制算法的参数来实现快速、准确和自适应的控制。
这种方法的基本思想是根据系统的现实状况，进行实时修正和调整，使系统能更加灵活和稳定地运行。
但是，由于非线性系统的动力学特性，自适应控制系统设计也会面临很大的挑战。
这主要包括控制算法的设计、系统模型的定位和优化等一系列困难。
3.非线性系统的动力学分析非线性系统的动力学分析是非线性控制领域研究的核心问题之一。
涉及到非线性系统的稳定性、运动轨迹、系统响应等多个方面。
这里简单介绍一些非线性动力学分析方法。
首先是Lyapunov方法。
Lyapunov方法是通过构造Lyapunov函数，来判断非线性系统的稳定性。
主要思想就是找到一个函数，使得对于给定的初值，系统的状态必定会趋近于稳定。
通过求出Lyapunov函数的导数，然后判断其正负性，就能得出系统的稳定性。
另外还有基于相平面分析的方法。
动力系统中的混沌现象与控制研究混沌理论，作为非线性动力学中的重要研究领域，不仅在数学领域有重要应用，也在物理、生物、经济等多个领域得到广泛应用。
混沌现象的产生和控制成为动力系统研究中的一个热点。
本文将从混沌现象的定义、产生机制、数学模型以及相关控制研究等方面进行探讨。
一、混沌现象的定义和特征混沌现象，最早由美国数学家E. N. Lorenz在1963年提出，用来描述某些非线性动力系统中出现的随机且不可预测的行为。
相对于简单周期性行为的规律性，混沌现象表现出无规则、无周期性和高度敏感依赖于初始条件的特点。
混沌现象的特征在于系统的轨迹表现出看似随机的变化，但却受到确定性规律的支配。
在混沌系统中，微小的扰动可能引发系统的巨大变化，这被称为“蝴蝶效应”。
此外，混沌系统的轨迹通常具有分形结构，即存在着自相似的特征。
二、混沌现象的产生机制混沌现象的产生机制是非线性动力学中的重要问题。
在简单系统中，存在着一类称为“映射”的特殊动力学函数，通过不断迭代这些映射函数，系统可能进入混沌状态。
混沌的产生也可以通过连续非线性系统实现。
例如，当一个非线性振荡系统的驱动频率接近系统的固有频率时，系统可能由有序运动突然转变为混沌运动。
此时，系统会出现频率锁定现象，这使得微小的扰动也能引发系统的混沌行为。
三、混沌系统的数学模型为了更好地理解混沌现象，并对其进行研究和控制，研究者们借助数学模型对混沌系统进行描述。
常见的混沌系统包括Logistic映射、Henon映射、Lorenz方程等。
Logistic映射是最著名的一类混沌映射之一，由R. May在1975年引入，其形式为：\[x_{n+1}=rx_n(1-x_n)\]其中，\(x_n\)表示第n次迭代时的变量值，r为非线性参数。
Henon映射是另一个常用的二维混沌系统，其形式为：\[x_{n+1} = 1- ax_n^2 + y_n, y_{n+1} = bx_n\]其中，\(a\)和\(b\)为非线性参数。
《混沌激光随机数发生器的随机性评估》篇一一、引言混沌激光随机数发生器作为一种新兴的随机数生成工具，已在密码学、安全通信、数据加密等领域得到广泛应用。
其基于混沌激光系统的非线性动力学特性，能够产生具有高度随机性的序列。
本文旨在评估混沌激光随机数发生器的随机性，分析其性能特点及潜在应用价值。
二、混沌激光随机数发生器原理混沌激光随机数发生器利用混沌激光系统的非线性动力学特性，通过调控激光系统的参数，使其产生混沌输出。
这些混沌信号经过一定处理后，可以提取出具有高度随机性的序列，即随机数。
混沌激光随机数发生器具有速度快、随机性好、可重复性高等优点。
三、随机性评估方法为了评估混沌激光随机数发生器的随机性，本文采用以下几种方法：1. 统计测试：通过统计方法分析随机数的分布特性，如直方图、频谱分析等，以检验其是否符合均匀分布和独立分布的要求。
2. 熵分析：计算随机数的信息熵，以评估其混乱程度和不确定性。
熵值越高，说明随机数的随机性越好。
3. 预测性分析：通过分析混沌激光系统的动力学特性，评估其产生的随机数的预测性。
理想的随机数应具有不可预测性。
4. 实际场景应用测试：将生成的随机数应用于实际场景中，如密码学、安全通信等，以检验其在实际应用中的性能表现。
四、实验结果与分析1. 统计测试结果：通过对混沌激光随机数发生器产生的随机数进行统计测试，发现其分布特性符合均匀分布和独立分布的要求。
直方图显示各区间内的数据点分布均匀，频谱分析结果也表明其具有较低的周期性。
2. 熵分析结果：计算出的信息熵值较高，说明混沌激光随机数具有较高的混乱程度和不确定性。
这表明该发生器产生的随机数具有较强的随机性。
3. 预测性分析结果：通过对混沌激光系统的动力学特性进行分析，发现其产生的随机数具有不可预测性。
这表明该发生器在理论上具有较高的安全性。
4. 实际场景应用测试结果：将混沌激光随机数发生器产生的随机数应用于密码学和安全通信等领域，取得了良好的效果。
第13卷 第2期强激光与粒子束V o l.13,N o.2 2001年3月H IGH POW ER LA SER AND PA R T I CL E B EAM S M ar.,2001 文章编号: 1001—4322(2001)02—0155—09・综述・非线性环型腔反馈激光系统的动力学特性及其混沌控制Ξ方锦清, 姚伟光(中国原子能科学研究院,北京102413) 摘 要: 以环型腔反馈激光系统为主,综述了非线性激光系统的混沌动力学特性;分析了延迟反馈方法控制混沌的原理和稳定性条件,实现了对多介质非线性激光系统中的混沌控制。
同时概述了近年来非线性激光系统中混沌控制的最新进展,诸如空间小微扰法、偶然正比反馈技术等,讨论了混沌控制在提高激光器功率和性能、利用混沌进行秘密通讯和信息处理等方面的应用前景。
关键词: 环型腔激光系统; 混沌; Hopf分岔; 混沌控制; 延迟反馈控制; 空间小微扰法 中图分类号: TN241;O437 文献标识码: A 近年来,非线性激光系统的混沌动力学及其混沌控制越来越引起人们的重视,已成为“非线性科学”的一个重要研究课题及应用领域。
这是由于激光本身不仅具有耗散系统所有的复杂现象,即分岔、混沌、湍流等动力学特性,而且具有突出特点,如双稳、脉冲再现、激光系统接近理想模型、易于设计及便于和理论进行比较等。
通过混沌控制与同步来改善和提高激光器的性能,特别是提高激光功率和利用混沌同步进行通讯等,已成为廿世纪90年代以来国际上的一个研究热点[1～14],并取得了很好的进展。
自从K.Ikeda等人提出环型腔光学反馈模型后[11,14],激光在这方面的实验和理论研究大为简化,取得一些很好的进展[12～14],展示了美好的应用前景,但是对于较复杂的双介质和多介质激光系统的理论和实验研究还很不够。
本文以非线性环型腔激光反馈系统为主,综述了非线性激光系统的混沌动力学及其混沌控制的新进展,讨论了激光混沌控制方法及其应用前景。
1 求解非线性问题的改进分解法 非线性激光系统问题,和广泛存在于自然科学及高新科技领域的数学物理问题一样,是最困难的课题之一。
因此,解决非线性数学物理问题需要新方法。
迄今已有的许多近似求解方法,如微扰法、绝热消去法、共振法等,由于采用线性近似和封闭截断等假设,与实际非线性相差太远,因此这些方法对强非线性很不适用。
为此,我们找到了一种比较普适的理论方法“分解法”[15～19]:先求出非线性方程的高阶逼近解析解,再进行必要的数值研究,两者结合起来,研究一大类非线性问题。
鉴于分解法求解高阶逼近解的困难和人工推导麻烦费时等缺点,我们提出了改进的分解法[7～10],并研制了通用多功能软件包,从而在计算机上实现了对一大类非线性确定论问题的数学机械化求解,使该法更加有效。
改进分解法概括为三步:一是将求解过程分解为求解无限多个(实际为有限个)解分量,使所有的解分量之和以高精度逼近真解。
二是把整个方程分解成若干部分,主要分为线性和非线性部分,巧妙地选取最易于求出解分量的那部分先予以解决,然后通过它与其余部分的关系,诸如初始条件、边界条件及物理约束等,来确定其它各部分解分量,做到高阶解分量只取决于前面已求出的低阶解分量,这样依此类推求出任意高阶的解分量,最后给出整体所需的解析解。
三是对方程中最困难的非线性部分(函数)采取特殊技巧,产生一个与非线性函数完全等价的特殊多项式,使分解法的关键问题迎刃而解;如应用A dom ian多项式,其特点是,不仅由方程中的非线性函数按特定方式产生,而且高阶多项式和高阶解分量均可由低阶多项式和低阶解分量所确定。
Ξ收稿日期:2001201203; 修订日期:2001203202基金项目:国家自然科学基金资助课题(19875080;70071047)作者简介:方锦清(19392),男,博士后,研究员,从事混沌理论及混沌控制等非线性科学研究;北京275227信箱。
651强激光与粒子束第13卷 我们应用该法研究了环型腔激光反馈系统的混沌动力学及其混沌控制问题,理论和应用都已证明[16～19],改进分解法所得到的逼近解析解不仅是收敛的,而且收敛速度相当快,一般阶数取3至6阶即满足精度要求。
它为解决强激光等许多前沿课题及技术中非线性数理方程(组)提供了一种有效的方法。
2 单介质激光系统在近似条件下的主要结果 Ikeda等人提出了一个具有非线性多介质的环型腔反馈激光模型系统[12,13],该模型系统具有一定的实际应用价值,可应用于激光打靶和信息技术。
环型腔激光模型系统由一组延迟微分方程组(简称DD E)描述激光的演化特性[3]。
从DD E出发在不同条件下可以得到不同的简化方程,特别是在强耗散条件下的简化方程(LD ISE)、在大延迟条件下的简化方程(LD EL E),这时可以变成一个映象方程(M A PE)。
迄今文献上对激光模型方程的研究方法大致可以分为三类: (1)从映象方程出发,即在大延迟条件下,得到了激光系统的分岔图、周期解类型、双稳区域大小与参数的关系,发现不同类型的吸引子共存等动力学现象。
Ikeda最先研究了单介质单向系统,阐述了系统不稳定性产生的原因在于奇怪吸引子的存在[3]。
Ch ing2Shen W ang等人将研究推进到了二介质激光系统[20],得到了全光学触发器、不同吸引子的共存及双稳区大小与参数的关系等。
O tsuka等人研究了多介质系统及双向系统[12～14],得到了二类稳定的周期解:S(1)(单周期及1×2n周期)和S(p)×2n,这里p为介质数目,观测到时空混沌现象,等等。
(2)Ikeda等又从另一极端,即在小延迟条件下[12],用近似方法研究了单向单介质系统在物理量等皆为小量的前提下,得到了系统的解析解。
分析了系统的稳定区域和不稳定区域,得到的有效电场强度随时间振荡周期的结果,与数值计算结果一致。
(3)Kaiser等对单介质系统的DD E用A dam方法直接进行数值计算[21,22]。
用改变线性相移的办法,得到了三条熟知的通向混沌的途径,即倍周期分岔通向混沌、准周期通向混沌及阵发混沌。
他们还通过求系统的李雅普诺夫指数,得到系统的高分维数(大于100)。
以上三类工作,各有自己的实用范围。
理论上全面的研究至今未见报道,同样实验结果报道也都仅限于单向单介质系统[13,14],虽然理论上已推进到双向多介质系统[3,11],但实验依然难以做到。
必须指出的是,第一类方法,用映象方程来代替DD E有很大的局限性,并且在混沌区的结果是值得商榷的。
首先,差分方程与微分方程用线性化稳定性分析可以证明,在稳定范围上有所差别:如微分方程是不稳定的,则差分方程必不稳定;但如果微分方程是稳定的,差分方程也可以不稳定。
因此,要得到可靠的分岔图,还需要应用DD E方程进行研究;其次,映象方程代替DD E的条件是大延迟,但是,到底大延迟“大”到什么程度才算满足,映象方程本身无法给出。
第三,当系统处于混沌区时,即使满足大延迟条件,映象方程代替DD E也只是在初始时间间隔内才成立,当t较大时,系统变化的特征时间趋于非线性介质响应时间时,其中一些作用不容忽视。
所以,映象方程所得到的一些结论在离开稳定区后是值得商榷的,例如Ikeda映象作为一个二维耗散映象,却得不到Hop f分岔就是一个疑点。
第二类方法将DD E变成了微分方程(D E),这也同样改变了系统动力学的性质。
第三类方法用的是A dam方法,这种线性多步法也是由T aylo r级数展开导出的,而由T aylo r展开导出的诸多方法,如R ugge2Ku tta方法、A dam方法等,要使其有较高的精度,必须是方程的光滑性比较好。
虽然Kaiser等只是研究延迟时间接近非线性介质响应时间情形下系统的动力学行为[20],其结果虽是可信的,但是,它无法与映象方程的结果相衔接,而已有的实验结果都是在大延迟时间范围内得到的。
实验结果表明,当大延迟时系统输出方波电场时, A dam方法已不能再给出可靠的结果。
因此,我们认为,对于非线性多介质的环型腔反馈激光模型系统,应当从DD E出发去研究它,才能得到比较全面的动力学特性。
为此,我们应用上述的改进分解法很好地求解了DD E,解决了非线性激光系统所遇到的数学物理难题,而获得了一些新结果。
3 单介质激光系统在高阶逼近解析解下的混沌行为 由于环型激光方程的复杂性,在理论上并未进行精确求解和全面地进行过分析研究,又鉴于上述理论方法的局限性,因此我们应用改进分解法及其数学机械化来深入研究激光演化方程D EE 的混沌动力学求解[16～20]。
由于求解过程及数学式子的复杂性,各种情形下具体的求解过程和逼近解析解这里省略,下面只给出由逼近解析解的数值计算所得到的主要物理结果。
3.1 动力学性质与t R Σ=N L 的变化 我们以激光系统是否输出稳定的方波及其输入光强A 作为比较标准,观察动力学系统与映象方程的一致性程度。
这里t R 是光束通过一个元件所需的时间,Σ为非线性介质的响应时间。
表1列出了不同的t R Σ下,系统开始失稳不动点时的A 值(相应于最初出现的Hop f 分岔点)。
表1 不同的t R Σ下,系统失稳不动点时的A 值Table 1 The A values of destabilized f ixed po i n ts under differen t values of t R Σt R Σ1∶12∶13∶14∶15∶110∶1100∶1A 2.82.061.971.961.951.951.945 由表1可知,系统开始出现分岔时的A 值,随t R Σ的增大成指数地减小并趋于1.95,这个值大于映象方程开始分岔时的A 值(1.8),符合线性化稳定性分析的结论。
当t R Σ=5时A 值已固定于1.95。
数值计算表明:在不同的t R Σ下系统非线性相移<(t )的时间序列经无限长时间后稳定输出,在t R Σ=1、5和10时输出是连续振荡曲线,而在t R Σ=100时转变到方波,在实验上表现为输出两个固定值,与实验结果是一致的。
由此得到了系统随t R Σ变化的动力学行为及映象方程可以代替DD E 的定量条件。
而当t R Σ=100时,则无论是实验的还是映象方程的结果,都与我们的结果在双稳态上符合得很好。
3.2 动力学行为与耦合系数B 的关系变化 反映系统元件之间相互影响的耦合系数B 是系统行为变化的一个重要参数,大多数文献都取B =012[11～14,23,25],因为它满足B ν1的条件,与Gibb s 等人的实验设计中取B =0.5,在定性上是相符合的[23,25]。
但我们的计算表明,当B ≤0.2时,动力学方程的结果与映象结果基本上是一致的,而当B 进一步增大时,系统是以准周期方式进入混沌的,而映象方程的结果却以倍周期方式进入。
