分数阶非线性系统动力学特性及其图像处理应用研究

分数阶滑模控制理论及其应用研究共3篇分数阶滑模控制理论及其应用研究1分数阶滑模控制理论及其应用研究随着现代控制领域的发展和应用需求的增加，分数阶滑模控制理论已逐渐引起人们的关注，因其具有更广泛的应用场景和更好的控制效果而备受瞩目。

分数阶滑模控制理论是在传统的滑模控制理论基础上发展而来的一种新型控制理论。

传统滑模控制中的滑模面为一个线性函数，而在分数阶滑模控制中，滑模面为一个分数阶函数，使得滑模控制具有更强的非线性适应性和更好的控制性能。

同时，分数阶滑模控制也可以应用于非线性系统的控制，在控制精度、鲁棒性和稳定性方面具有优越性。

分数阶滑模控制理论主要包括一个分数阶滑模方程和一个分数阶控制策略。

其中，分数阶滑模方程描述了系统的运动轨迹，分数阶控制策略决定了系统的控制策略以及控制器的设计。

在设计分数阶控制策略时，需要首先确定分数阶导数、滑模面和控制器的特征参数，以保证控制系统具有较好的性能指标。

分数阶滑模控制理论与应用研究是一个既新颖又富有挑战性的领域。

在研究中，人们需要探索更多基于分数阶滑模控制理论的系统控制方法和应用实例，以推动其在各个领域的应用和推广。

在实际应用中，分数阶滑模控制可以应用于许多不同领域，如机器人控制、空气动力学控制、电力系统控制等。

其中，在机器人领域，分数阶滑模控制已成为一种非常实用的控制策略，可帮助机器人在复杂的环境中完成各种高精度任务。

在空气动力学控制中，分数阶滑模控制可以帮助实现飞机的良好机动性能和自适应控制性能。

在电力系统控制中，分数阶滑模控制可以帮助不断提高电力系统的鲁棒性和稳定性，从而提高其运行效率和可靠性。

总之，分数阶滑模控制理论及其应用研究是一个十分广泛和复杂的领域，其应用范围和前景都非常广阔。

研究人员可以不断深入探索这一领域，寻求更多优秀的解决方案和实现路径，为促进分数阶滑模控制的应用和推广做出更大的贡献分数阶滑模控制是一种新兴的控制方法，具有较强的适应性和鲁棒性，在机器人控制、空气动力学控制、电力系统控制等领域有广泛的应用前景。

分数阶duffing振子的动力学研究
分数阶Duffing振子的动力学研究是一个重要的研究课题，它主
要关注系统中发生的动态行为以及这种行为如何影响系统的性能。

Duffing振子是一种经典的非线性振子，由德国物理学家Alfred-Hermann Duffing于1918年发明，它主要被用来模拟结构动力学中的
振动行为。

Duffing振子包括三个参数，即质量m、刚度c和非线性系
数b，它表示了一个力学系统中各种不同物理参数的相互作用。

分数阶Duffing振子指的是对原Duffing振子系统作出一定的改进，这种改进
将Duffing振子更新为含有分数阶自项的Duffing振子系统。

在研究分数阶Duffing振子动力学时，我们将研究以下几个方面：首先，我们要研究的是系统的稳定性，即系统固有的动力学特性，以
及其是否会受外部因素的影响而发生不稳定的行为。

第二，我们要研
究的是不同的参数对系统的动力学行为的影响，即究竟不同的参数设
定会对这种振子器件的动力学行为产生什么样的影响。

第三，我们还
要研究不同的控制策略对系统动力学行为的影响，这其中包括已开发
出的传统控制策略以及一些新的控制策略。

最后，我们还要研究当前
已开发出的小型唐振子装置的动力学行为，这些装置常常被用来作为
实验室的模型系统，试测系统的动力学行为。

通过以上几点，分数阶Duffing振子系统的动力学研究将有助于
我们更深入地理解此类系统的动力学行为，并有助于我们研发更加先
进的系统控制技术，从而更有效地解决现实工程中出现的系统振动问题。

“分数阶偏微分方程”资料合集目录一、分数阶偏微分方程数值算法及其在力学中的应用二、时间分数阶偏微分方程的解及其应用三、基于空间分数阶偏微分方程的图像去噪模型研究四、分数阶偏微分方程的谱方法及其应用五、三类分数阶偏微分方程的有限元计算六、基于时间空间分数阶偏微分方程的图像去噪模型分数阶偏微分方程数值算法及其在力学中的应用分数阶偏微分方程（Fractional Partial Differential Equation，FPDE）在力学领域中有着广泛的应用。

相比于传统的整数阶偏微分方程，分数阶偏微分方程可以更准确地描述某些物理现象的时间和空间特性。

因此，研究分数阶偏微分方程的数值算法及其在力学中的应用具有重要的实际意义。

分数阶偏微分方程是描述复杂现象的有效工具，其解析解的求解往往非常困难。

因此，研究分数阶偏微分方程的数值算法具有重要意义。

目前，常用的数值算法包括有限差分法、有限元素法、变分法等。

有限差分法是一种常用的数值方法，其基本思想是将连续的时间和空间离散化，通过差分形式逼近分数阶导数。

有限元素法是一种将连续域离散化的方法，通过将空间划分为一系列离散的元素，并在每个元素上构造基函数，从而逼近原偏微分方程的解。

变分法则是通过寻求一类特殊的函数，使得分数阶偏微分方程成立的必要条件恰好是该函数的某个泛函取得极值，从而得到数值解。

分数阶偏微分方程在力学中有着广泛的应用，例如流体力学、振动理论、随机过程等。

在流体力学中，分数阶偏微分方程可以更准确地描述湍流现象的时间和空间特性，从而为流体力学的研究提供更精确的理论框架。

在振动理论中，分数阶偏微分方程可以描述具有记忆效应的物体的振动行为，如材料的疲劳失效、地震波的传播等。

在随机过程中，分数阶偏微分方程可以描述随机变量的变化规律，如在金融领域中的股票价格变化、气候变化等。

基于PDE的算法实现通常利用数值计算软件来实现，如COMSOL软件、MATLAB软件等。

这些软件为求解PDE提供了丰富的工具箱和模块，可以根据不同的PDE类型选择合适的数值方法进行求解。

数学物理学中的分数阶微积分分数阶微积分是数学物理学中的一个重要分支，它在描述动力学系统、复杂网络、信号处理等领域具有广泛的应用。

相比于传统的整数阶微积分，分数阶微积分更适用于揭示非局域性、非马尔可夫性以及非线性特征等复杂现象。

本文将介绍分数阶微积分的基本概念和应用，并探讨其在数学物理学中的重要性。

一、分数阶微积分的基本概念分数阶微积分是对传统整数阶微积分的推广，它将微积分的概念扩展到了分数阶导数和分数阶积分。

分数阶导数可以理解为连续导数的分数次幂，而分数阶积分则是对函数进行分数次积分。

分数阶微积分的基本概念源自于Riemann-Liouville和Caputo定义，这两种定义在具体应用中有不同的适用范围和数学性质。

Riemann-Liouville定义适用于初始条件为连续的情况，而Caputo定义适用于初始条件为非连续的情况。

二、分数阶微积分的应用领域1. 动力学系统：分数阶微积分在描述动力学系统中的复杂行为方面有着重要的应用。

通过引入分数阶导数，可以更准确地描述系统的长时记忆效应和非局域性以及其对系统稳定性的影响。

2. 复杂网络：复杂网络中的节点和边往往具有非线性和非局域的特性，传统的整数阶微积分无法很好地描述网络的演化行为。

而分数阶微积分可以刻画网络的非局域耦合和长尾分布等特性，从而更好地理解和研究复杂网络的性质和动力学行为。

3. 信号处理：在信号处理领域，分数阶微积分可以用于对非平稳信号进行精确建模和分析。

通过引入分数阶导数，可以捕捉到信号的长记忆性、非马尔可夫性以及多尺度特性，从而提高信号处理的效果。

三、分数阶微积分的重要性分数阶微积分在数学物理学研究中具有重要的地位和作用。

首先，它能够更好地刻画和解释自然界和人工系统中的复杂现象，能够提供更精确和准确的描述。

其次，分数阶微积分能够揭示传统整数阶微积分无法涵盖的非局域性、非线性特性等重要特征，从而推动了相关领域的研究和应用发展。

此外，分数阶微积分的理论和方法也为其他学科领域的研究提供了新的思路和工具。

Riemann-Liouville型分数阶微积分是近年来微积分领域的一个热门研究方向，它延续了传统微积分理论的思想，同时又拓展了微积分的应用范围。

本文将通过对Riemann-Liouville型分数阶微积分的理论基础、应用与研究进展等方面进行系统的介绍，旨在加深对这一领域的理解，促进读者对分数阶微积分的探索与应用。

一、Riemann-Liouville型分数阶微积分的基本概念1.1 分数阶微积分的起源和发展背景分数阶微积分作为微积分的一种新的分支，在20世纪引起了学术界的广泛关注。

它的研究起源于对非整数阶微分方程的求解问题，随着分数阶微积分理论的不断发展，逐渐涉及到了信号处理、控制系统、金融工程等众多领域。

1.2 Riemann-Liouville型分数阶微积分的定义Riemann-Liouville型分数阶微积分是分数阶微积分理论中最经典的一种类型，其定义如下：对于函数f(x)和实数α，Riemann-Liouville型分数阶积分的定义如下：\[D^{\alpha}_{a+}f(x)=\frac{1}{\Gamma(n-\alpha)}\int_{a}^{x}(x-t)^{n-\alpha-1}f(t)dt\]1.3 Riemann-Liouville型分数阶微积分的性质及其意义Riemann-Liouville型分数阶微积分具有一系列与传统整数阶微积分不同的性质，如线性性质、微分学基本定理、分部积分等。

这些性质的存在使得Riemann-Liouville型分数阶微积分在实际问题中具有更加灵活的应用。

二、Riemann-Liouville型分数阶微积分的应用2.1 信号处理中的应用在信号处理领域，Riemann-Liouville型分数阶微积分可以用于分析非平稳信号和非线性系统，提高信号处理的精度和效果。

2.2 控制系统中的应用在控制系统理论中，Riemann-Liouville型分数阶微积分可以用于描述复杂系统的动态特性，并设计出更加优越的控制算法，提高控制系统的稳定性和鲁棒性。

2020年12月Dec. , 2020第36卷第6期Vol. 36 , No. 6滨州学院学报JournalofBinzhou University 【微分方程与动力系统研究】分数阶非线性系统MittagLeffler稳定性研究进展刘太德，贺新光（萍乡学院初等教育学院，江西萍乡337000）摘要：随着分数阶微积分相关理论的发展及其在各领域的广泛应用，分数阶非线性系统的稳定性问题也备受人们的关注。

分析了稳定性在非线性系统性能分析中的重要性，系统阐述了 分数阶非线性系统Mittag - Leffler 稳定性方面的相关研究进展。

最后，给出Mittag - Leffler Z 义下分数阶非线性系统稳定性的研究展望。

关键词：稳定性分析；Mittag - Leffler 稳定；分数阶系统；Lyapunov 稳定性中图分类号：O 175 文献标识码：A DOI#0.13486/ki. 1673 - 2618.2020.06.0080引言研究分数阶非线性系统的镇定性问题是一个非常有意义的课题，主要由于分数阶非线性系统自身的 复杂性，导致很多整数阶非线性系统稳定性经典的特性在分数阶非线性系统中很难得到％在系统建模方 面,分数阶非线性系统比整数阶非线性系统能够更好地刻画一些物理现象，人们往往很容易利用分数阶来 建立模型，由于分数阶导数和积分的非局部与弱奇异性，导致对于分数阶模型镇定性问题的研究比整数阶 系统模型镇定性研究困难得多1%近年来，对分数阶微分方程的研究得到广泛关注％尤其是20世纪七八十年代以来对分形和各种复杂 系统的深入研究，使得分数阶微积分理论及其应用开始受到广泛关注并出现了大量的文献％进入21世纪 以来，分数阶微积分在诸多领域有了非常成功的应用，凸显了其独特优势和不可替代性，其理论和应用研 究在国际上已经成为一个热点％特别地，对于分数系统稳定性的研究也是备受国内外科研工作者的关注％近年来，一些学者运用频域 分析方法、线性矩阵不等式方法、Laplace 变换法、滑膜控制方法等，得到了分数阶微分系统的稳定性理论 相关结果％山东大学李岩等首次利用Lyapunov 函数方法给出了分数系统Miggat - Leffler 稳定性相关结 果23 % Yu 等给出了多变量分数阶系统的Miggat - Leffler 稳定性研究结果4 %此外，文献（-19］也给 出了一些关于分数阶系统稳定方面的研究结果,但是这些结果所研究的对象仅限于几类比较典型的分数 阶系统％非线性分数阶微分系统的稳定性发展相比缓慢很多，主要原因是，分数阶系统相关基本理论尚未完善 且很多整数阶系统经典性质对于分数阶系统就不再满足，例如经典莱布尼茨求导公式，即分数系统莱布尼 茨求导公式是一个无穷级数％收稿日期#020 - 10 - 10第一作者简介：刘太德（1970—）,男，江西萍乡人，讲师，主要从事分数阶微分方程研究%E-mail ：pxuede1970@ 163. com・53・滨州学院学报第36卷目前，对于分数阶非线性系统镇定和稳定问题的研究主要可分为两个方面:一是利用滑膜控制思想结 合Lyapunov 函数方法来研究分数阶非线性系统的稳定性(0)。

非因果分数阶滤波器及其图像处理应用研究分数阶微积分(Fractional-order Calculus)是整数阶微积分(Integer-order Calculus)的般化形式,是将普通意义下的微积分运算的运算阶次从整数推广到分数和复数,实现了连续阶微积分,从而扩展了整数阶微积分的功能,从提出到现在己经有三百多年历史。

近年来,随着信息科学技术的发展,计算机计算能力的提高,分数阶微积分的实现成为可能。

作为一种新的工具,分数阶微积分在各个领域正逐渐被广泛应用,如材料科学、流变力学、分形理论、电磁场理论、控制理论、信号处理等。

分数阶微积分在图像处理中的应用也得到了发展,并取得了一系列的研究成果。

在信号处理中,因果滤波可被看做是一个线性时不变系统。

因果系统的输出仅仅依赖于当前和过去输入信号,而输出依赖于当前和未来输入信号的系统为反因果系统；非因果系统则同时要依赖于未来的输入信号,在实时性要求比较高的信号处理、控制领域应用中难以实现。

假若由一维时间序列扩展到二维空间,如二维图像信号(待处理的像素信息都已被记录保存下来,可以自由利用后面的像素来决定对前一像素的输出),非因果滤波则很易实现。

本文主要研究非因果分数阶滤波器的设计、实现及其在图像边缘检测和运动模糊图像模糊参数估计中的应用。

深入分析研究前向和后向分数阶微积分的幅频特性和相频特性,并将其引入非因果信号处理,设计出两种非因果分数阶零相移滤波器(前向和后向分数阶积分相加取和构成零相移低通滤波器、前向和后向分数阶微分相加取和构成零相移高通滤波器)、两种非因果分数阶90°相移滤波器(前向和后向分数阶积分相减取差值构成90°相移低通滤波器、前向和后向分数阶微分相减取差值构成90°相移高通滤波器)和一种积分微分级联式非因果分数阶滤波器以及非因果分数阶方向滤波器。

根据二维图像信号的特点,本文给出它们的空间域实现算子。

基于传统整数阶微分的边缘检测算子一直存在检测精度与噪声抑制能之间此消彼长的矛盾,即提高检测精度与噪声抑制能力其中一个,就会导致另一个性能的降低。

第60卷 第2期吉林大学学报(理学版)V o l .60 N o .2 2022年3月J o u r n a l o f J i l i nU n i v e r s i t y (S c i e n c eE d i t i o n )M a r 2022d o i :10.13413/j .c n k i .jd x b l x b .2021131具有非线性时滞项的分数阶混沌系统A D M 求解与动力学分析付海燕1,雷腾飞1,贺金满2,臧红岩1(1.齐鲁理工学院机电工程学院,济南250200;2.中原工学院理学院,郑州450007)摘要:根据分数阶L ü混沌系统,提出具有非线性时滞项的分数阶L ü混沌系统.首先,用A d o m i a n 分解算法(A D M )对分数阶L ü混沌系统进行数值求解;其次,用MA T L AB 软件绘制系统相轨迹图;最后,用仿真技术及分岔图㊁复杂度和相轨迹等动力学分析工具,分析系统参数对系统的影响.数值仿真结果表明,该系统具有丰富的动力学特性.关键词:分数阶;时滞;混沌;复杂度中图分类号:O 411 文献标志码:A 文章编号:1671-5489(2022)02-0432-07A D MS o l u t i o na n dD y n a m i cA n a l y s i s o f F r a c t i o n a l -O r d e r C h a o t i c S y s t e m w i t hN o n l i n e a rD e l a yF U H a i y a n 1,L E IT e n g f e i 1,H EJ i n m a n 2,Z A NGH o n g ya n 1(1.S c h o o l o f M e c h a n i c a l a n dE l e c t r i c a lE n g i n e e r i n g ,Q i l u I n s t i t u t e o f T e c h n o l o g y ,J i n a n 250200,C h i n a ;2.S c h o o l o f S c i e n c e ,Z h o n g y u a nU n i v e r s i t y o f T e c h n o l o g y ,Z h e n g z h o u 450007,C h i n a )Ab s t r ac t :W e p r o p o s ed a f r a c t i o n a l -o r de r L üc h a o t i c s y s t e m w i t hn o n l i n e a r d e l a y t e r ma c c o r d i n g t o t h ef r a c t i o n a l -o r d e rL üc h a o t i cs y s t e m.F i r s t l y ,t h e f r a c t i o n a l -o r d e rL üc h a o t i cs y s t e m w a sn u m e r i c a l l y s o l v e db y A d o m i a n -d e c o m p o s i t i o -m e t h o d (A D M ).S e c o n d l y ,t h e p h a s et r a j e c t o r y d i a g r a m o ft h e s y s t e m w a sd r a w n b y MA T L A Bs o f t w a r e .F i n a l l y ,b y u s i n g s i m u l a t i o nt e c h n o l o g y a n dd yn a m i c a n a l y s i s t o o l ss u c ha sb i f u r c a t i o nd i a g r a m ,c o m p l e x i t y a n d p h a s et r a j e c t o r y ,t h ee f f e c to fs y s t e m p a r a m e t e r s o n t h e s y s t e m w a s a n a l y z e d .T h en u m e r i c a l s i m u l a t i o nr e s u l t s s h o wt h a t t h es y s t e m h a s r i c hd y n a m i c c h a r a c t e r i s t i c s .K e y w o r d s :f r a c t i o n a l -o r d e r ;d e l a y ;c h a o s ;c o m p l e x i t y 收稿日期:2021-03-31.第一作者简介:付海燕(1982 ),女,汉族,硕士,副教授,从事忆阻计算和分数阶混沌系统的研究,E -m a i l :f u h y 413@126.c o m.通信作者简介:雷腾飞(1988 ),男,汉族,博士研究生,副教授,从事忆阻计算和分数阶系统的研究,E -m a i l :l e i t e n gf e i c a n h e @126.c o m.基金项目:国家自然科学基金青年基金(批准号:12102492)㊁山东省重大科技创新工程项目(批准号:2019J Z Z Y 010111)㊁山东省重点研发计划项目(批准号:2019G G X 104092)和山东省自然科学基金(批准号:Z R 2020K A 007;Z R 2017P A 008).自M a n d e l b r o t [1]在自然界中发现分维现象后,分数阶微积分已引起人们广泛关注.分数阶在量子力学㊁电磁学振荡㊁系统控制和材料力学等领域应用广泛[2],其中分数阶小波变换㊁分数阶F o u r i e r 变换与分数阶图像处理等技术可用于信号处理.对分数阶混沌系统的研究已取得较多成果[3-9].目前,分数阶算子主要有G r u n w a l d -L e t n o k o v (G -L )定义[10]㊁C a p u t o 定义和R i e m a n n -L i o u v i l l e (R -L )定义[11],其中C a pu t o 定义应用范围更广.L i 等[12]基于频域算法设计了分数阶混沌系统的动力学分析及L y a p u n o v 指数谱算法,由于频域算法通过阶数的L a p l a c e 变换得到,因此存在阶数无法更改的缺点;文献[13]用A d o m i a n 分解法(A D M )对非线性项进行迭代数值逼近,并通过MA T L A B 软件进行了仿真分析,A D M 运算速度较块,误差小,数值求解仿真可节省计算机资源;文献[14]基于同伦算法设计了分数阶混沌系统,并分析了分数阶混沌系统随参数和阶数变化的动力学特性,但均未考虑系统时滞特点;文献[15]用L Q G -P a d e 逼近合拍对汽车悬架时滞系统进行了分析和优化;文献[16]提出了基于时滞代换的自适应分散容错控制;文献[17]在分数阶混沌系统基础上增加了时滞项,并设计了系统的同步控制器,但未分析系统特性;文献[18]对整数阶时滞系统进行了同步控制,并将同步控制方法运用到通信加密中,实现了发送端与接收端的同步,但未研究分数阶系统.本文以具有非线性时滞项分数阶L ü混沌系统为研究对象,采用A D M 对系统非线性项进行分解,时滞项对应的分解项均为时滞项,分解后的结果用MA T L A B 软件仿真,并利用分岔图㊁复杂度和相轨迹等动力学工具分析系统参数对系统的影响.1 非线性时滞项分数阶L ü混沌系统文献[19]在L ü混沌系统的x y 项上添加了时滞,并将整数阶算子改为分数阶算子,提出了含有非线性时滞项分数阶L ü混沌系统的动力学方程d q x d t q =a (y -x ),d q y d t q =c y -x z ,d q z d t q =x (t -τ)y -b z ìîíïïïïïïï,(1)其中x ,y ,z 为系统的状态变量,a ,b ,c 为系统参数.令初始状态为x 0=x (t 0)=c 01,y 0=y (t 0)=c 02,z 0=z (t 0)=c 03ìîíïïïï,(2)根据A D M 和分数阶微积分基本性质可得c 11=a (c 02-c 01),c 12=c c 02-c 01c 03,c 13=c 01τc 02-b c 03ìîíïïïï,(3)c 21=a (c 12-c 11),c 22=c c 12-c 11c 03-c 01c 13,c 23=c 11τc 02+c 01τc 12-b c 13ìîíïïïï,(4)c 31=a (c 22-c 21),c 32=c c 22-c 21c 03-c 01c 23-2c 11c 13,c 33=c 21τc 02+c 01τc 22+2c 11τc 12-b c 23ìîíïïïï,(5)c 41=a (c 32-c 31),c 42=c c 32-c 31c 03-c 01c 33-3(c 11c 23+c 21c 13),c 43=c 31τc 02+c 01τc 32+3(c 11τc 22+c 21τc 12)-b c 33ìîíïïï,(6)c 51=a (c 42-c 41),c 52=c c 42-c 41c 03-c 01c 43-4(c 11c 33+c 31c 13)-6c 21c 23,c 53=c 41τc 02+c 01τc 42+4(c 11τc 32+c 31c 12)+6c 21τc 22-b c 43ìîíïïï,(7)c 61=a (c 52-c 51),c 62=c c 52-c 51c 03-c 01c 53-5(c 21c 33+c 31c 23)-10(c 11c 43+c 41c 13),c 63=c 51τc 02+c 01τc 52+5(c 21τc 32+c 31τc 32)+10(c 11τc 42+c 41τc 12)-b c 43ìîíïïï,(8)334 第2期 付海燕,等:具有非线性时滞项的分数阶混沌系统A D M 求解与动力学分析其中c j1τ=c j1(t-τ),若m=τh,则c j1τ=1-m+τæèçöø÷h c j1(t i-1-m)+m-τæèçöø÷h c j1(t i-m),t iɤm h,1-m+τæèçöø÷h c j1(t i-m)+m-τæèçöø÷h c j1(t i-m-1),t i>m hìîíïïïï.(9)由A D M可得系统(1)的数值解为x j(n)=ð6i=0c j i(t-t0)i q i!q i.(10)用MA T L A B软件对式(10)进行数值仿真,当a=30,b=2.93,c=22.2,q1=q2=q3=q=0.95,τ=0.02,步长h=0.01时,系统(1)的相轨迹如图1所示.由图1可见,系统(1)存在混沌吸引子.采用0-1测试验证x,y两个序列的混沌特性,结果如图2所示.图1系统(1)的相轨迹F i g.1P h a s e t r a j e c t o r y o f s y s t e m(1)图2系统(1)的0-1测试结果F i g.20-1t e s t r e s u l t s o f s y s t e m(1)2单参数变化系统的分岔图和复杂度为研究系统(1)的非线性动力学行为,用A D M分析系统(1)的时间序列.先用最大值法获取系统分岔图,再用时间序列的复杂度和熵分析系统的复杂度[20-21].由于系统仿真延时必须为步长的整数倍,因此延时为0.01~0.03即可出现混沌.434吉林大学学报(理学版)第60卷2.1 参数q 的变化当参数a =30,b =2.93,c =22.2,τ=0.02,q ɪ[0.7,1],步长为0.005时,分数阶阶数变化下系统(1)的分岔图与谱熵复杂度(S E )和C 0复杂度如图3所示.由图3可见:当q =0.7时,系统(1)出现混沌现象,即最小阶数;当q ɪ(0.7,0.73]时,非线性项分数阶时滞L ü系统分岔图为空白,这是由于该区间系统处于发散状态所致,由于系统处于发散状态时的数值解无限变大,因此无法计算该区间系统的复杂度,系统复杂度与分岔图一致;当q ɪ(0.73,1]时,该区间系统处于混沌状态,对应的系统复杂度S E /C 0数值较大;在系统进入混沌区域后,随着系统分数阶阶数q 变大,系统复杂度减小.在图像加密㊁通信保密㊁化工搅拌以及混沌理疗中,系统复杂度越高效果越好,在系统处于混沌下,通过图3(B )可得到复杂度最大时对应分数阶数的q 值.图3 参数q 变化时系统(1)的分岔图(A )与复杂度(B )F i g .3 B i f u r c a t i o nd i a g r a m (A )a n d c o m p l e x i t y (B )o f s y s t e m (1)w h e n p a r a m e t e r q c h a n g e s 2.2 参数a 的变化当参数b =2.93,c =22.2,q =0.95,τ=0.02,a ɪ[25,50]时,系统(1)的分岔图与复杂度如图4所示.由图4(A )可见:系统(1)是倍周期(P D B )分岔方式,由周期状态进入混沌状态;当a ɪ[25,27.9)ɣ(43,50]时,系统(1)处于周期状态,该区间对应的系统S E /C 0复杂度较小;当a ɪ[27.9,43]时,该区间系统(1)处于混沌状态,对应的系统S E 复杂度约为0.65,C 0复杂度约为0.45,复杂度数值相对较大.参数a 变化时系统(1)的相图如图5所示.由图5可见,当a 分别为28,28.7,27.5,44时,系统(1)分别为一周期㊁二周期㊁四周期和一周期.图4 参数a 变化时系统(1)的分岔图(A )与复杂度(B )F i g .4 B i f u r c a t i o nd i a g r a m (A )a n d c o m p l e x i t y (B )o f s y s t e m (1)w h e n p a r a m e t e r a c h a n g e s 2.3 参数b 的变化当参数a =30,c =22.2,τ=0.02,b ɪ[0,5]时,系统(1)的分岔图与复杂度如图6所示.由图6(A )可见:系统通过鞍结点分岔由周期状态进入混沌状态;当b ɪ(3.5,4]时,系统(1)处于周期状态,该区间对应系统S E 复杂度约为0.1,C 0复杂度约为0.02,复杂度数值相对较小;当b ɪ(0,3.5]时,系统处于混沌状态,系统的S E 复杂度约为0.6~0.7,C 0复杂度约为0.3~0.4,系统复杂度度数值相对较大.参数b 变化时系统(1)的相图如图7所示.由图7可见,当b 分别为4和4.5时,系统(1)分别为二周期和一周期.534 第2期 付海燕,等:具有非线性时滞项的分数阶混沌系统A D M 求解与动力学分析图5 参数a 变化时系统(1)的相图F i g .5 P h a s e d i a g r a m s o f s y s t e m (1)w h e n p a r a m e t e r a c h a n g e s 图6 参数b 变化时系统(1)的分岔图(A )与复杂度(B )F i g .6 B i f u r c a t i o nd i a g r a m (A )a n d c o m p l e x i t y (B )o f s y s t e m (1)w h e n p a r a m e t e r b c h a n g e s 图7 参数b 变化时系统(1)的相图F i g .7 P h a s e d i a g r a m s o f s y s t e m (1)w h e n p a r a m e t e r b c h a n g e s 3 双参数变化下的复杂度当参数a =30,b =2.93,τ=0.02,c ɪ[5,25]和q ɪ[0.6,1]时,系统(1)的复杂度如图8所示.由图8可见:复杂度高(颜色深)的区域集中于参数c 大且q 小的区域,若q 太小,则系统处于发散区域即空白处;在复杂度较高的区域,系统受阶数q 影响较大,参数c 和a 对系统的影响具有相似性,当634 吉林大学学报(理学版) 第60卷c ʈ20,q ʈ0.75时,系统出现最大复杂度,为系统应用于图像㊁声音以及视频等多媒体领域的保密通信提供了重要的参数选择依据.图8 参数c 和q 变化时系统(1)的复杂度F i g .8 C o m p l e x i t y o f s y s t e m (1)w h e n p a r a m e t e r c a n d q c h a n g e 综上,本文基于A D M ,通过系统的相轨迹图㊁分岔图和复杂度等数值仿真工具,分析了含有非线性时滞项L ü混沌系统的非线性特性,并在分数阶系统中增加了参数q ,采用MA T L A B 软件对参数q 进行仿真.结果表明,在一定范围内,系统的复杂度随分数阶的增大而减小,分数阶系统出现混沌现象的概率大于整数阶系统.参考文献[1] MA N D E L B R O T B B .T h e F r a c t a l G e o m e t r y o f N a t u r e [M ].N e w Y o r k :W H F r e e m a n a n d C o m p a n y,1982:1-460.[2] S U N H G ,Z HA N GY ,B A L E A N UD ,e t a l .A N e wC o l l e c t i o n o fR e a lW o r l dA p pl i c a t i o n s o f F r a c t i o n a l C a l c u l u s i nS c i e n c e a n d E n g i n e e r i n g [J ].C o mm u n i c a t i o n si n N o n l i n e a r S c i e n c e a n d N u m e r i c a l S i m u l a t i o n ,2018,64:213-231.[3] L UJG.N o n l i n e a rO b s e 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