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第1节 坐标系与参数方程第一课时 坐标系考试要求 1.了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况；2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化；3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程.1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎨⎧x ′＝λ·x （λ＞0），y ′＝μ·y （μ＞0）的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换.2.极坐标系与点的极坐标(1)极坐标系：如图所示，在平面内取一个定点O (极点)，自极点O 引一条射线Ox (极轴)；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系.(2)极坐标①极径：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ.②极角：以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角∠xOM叫做点M的极角，记为θ.③极坐标：有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ).3.极坐标与直角坐标的互化4.常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程 圆心在极点，半径为r 的圆 ρ＝r (0≤θ＜2π) 圆心为(r ，0)，半径为r 的圆ρ＝2r cos__θ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2≤θ＜π2圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫r ，π2，半径为r 的圆ρ＝2r sin__θ(0≤θ＜π)过极点，倾斜角为α的直线①θ＝α(ρ∈R )或θ＝π＋α(ρ∈R ) ②θ＝α(ρ≥0)和 θ＝π＋α(ρ≥0)过点(a ，0)，与极轴垂直的直线ρcos__θ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＜θ＜π2过点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，π2，与极轴平行的直线ρsin__θ＝a (0＜θ＜π)1.极坐标的四要素：(1)极点；(2)极轴；(3)长度单位；(4)角度单位和它的正方向，四者缺一不可.2.由极径的意义知ρ≥0，当极角θ的取值范围是[0，2π)时，平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应关系，约定极点的极坐标是极径ρ＝0，极角可取任意角.3.曲线的极坐标方程与直角坐标方程互化：对于简单的可以直接代入公式ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，ρ2＝x 2＋y 2，但有时需要作适当的变化，如将式子的两边同时平方，两边同乘以ρ等.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系.( )(2)若点P 的直角坐标为(1，－3)，则点P 的一个极坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3.( )(3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的.( ) (4)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线.( ) 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×解析 (1)一般认为ρ≥0，当θ∈[0，2π)时，平面上的点(除去极点)才与极坐标建立一一对应关系；(4)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条射线.2.(易错题)在极坐标系中，已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，则过点P 且平行于极轴的直线方程是( ) A.ρsin θ＝1 B.ρsin θ＝ 3 C.ρcos θ＝1D.ρcos θ＝ 3答案 A解析 先将极坐标化成直角坐标表示，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6转化为直角坐标为x ＝ρcos θ＝2cos π6＝3，y ＝ρsin θ＝2sin π6＝1，即(3，1)，过点(3，1)且平行于x 轴的直线为y ＝1， 再化为极坐标为ρsin θ＝1.3.若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为( ) A.ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2B.ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4C.ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2D.ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4 答案 A解析 ∵y ＝1－x (0≤x ≤1)， ∴ρsin θ＝1－ρcos θ(0≤ρcos θ≤1)， ∴ρ＝1sin θ＋cos θ⎝⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π2.4.在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π2 C.(1，0)D.(1，π)答案 B解析 由ρ＝－2sin θ得ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐标方程为x 2＋y 2＝－2y ， 即x 2＋(y ＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π2.5.(易错题)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ，则曲线C 的直角坐标方程为________. 答案 x 2＋(y －1)2＝1解析 由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，即x 2＋(y －1)2＝1.6.(2018·北京卷)在极坐标系中，直线ρcos θ＋ρsin θ＝a (a >0)与圆ρ＝2cos θ相切，则a ＝________. 答案 1＋ 2解析 直线的方程为x ＋y －a ＝0，圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1， 所以圆心(1，0)，半径r ＝1， 由于直线与圆相切，故圆心到直线的距离等于半径，即|1－a |2＝1，又a >0，所以a ＝1＋ 2.考点一 平面直角坐标系中的伸缩变换1.曲线C ：x 2＋y 2＝1经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝2x ，y ′＝y得到曲线C ′，则曲线C ′的方程为________. 答案 x ′24＋y ′2＝1解析 因为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′2，y ＝y ′，代入曲线C 的方程得C ′：x ′24＋y ′2＝1.2.曲线C 经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 后所得曲线的方程为x ′2＋y ′2＝1，则曲线C 的方程为________. 答案 4x 2＋9y 2＝1解析 根据题意，曲线C 经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 后所得曲线的方程为x ′2＋y ′2＝1，则(2x )2＋(3y )2＝1，即4x 2＋9y 2＝1，所以曲线C 的方程为4x 2＋9y 2＝1.3.在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：⎩⎨⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，则点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－2经过变换后所得的点A ′的坐标为________. 答案 (1，－1)解析 设A ′(x ′，y ′)，由伸缩变换φ： ⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y 得到⎩⎨⎧x ′＝3x ，y ′＝12y .由于点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－2，于是x ′＝3×13＝1，y ′＝12×(－2)＝－1， 所以点A ′的坐标为(1，－1).4.双曲线C ：x 2－y 264＝1经过伸缩变换φ：⎩⎨⎧x ′＝3x ，2y ′＝y后所得曲线C ′的焦点坐标为________.答案 (－5，0)，(5，0)解析 设曲线C ′上任意一点P ′(x ′，y ′)，将⎩⎨⎧x ＝13x ′，y ＝2y ′代入x 2－y 264＝1，得x ′29－4y ′264＝1， 化简得x ′29－y ′216＝1，即为曲线C ′的方程，知C ′仍是双曲线，其焦点坐标分别为(－5，0)，(5，0).感悟提升 1.平面上的曲线y ＝f (x )在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx （λ>0），y ′＝μy （μ>0）的作用下的变换方程的求法是将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′λ，y ＝y ′μ代入y ＝f (x )，得y ′μ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ′λ，整理之后得到y ′＝h (x ′)，即为所求变换之后的方程.2.解答该类问题应明确两点：一是明确平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用；二是明确变换前的点P (x ，y )与变换后的点P ′(x ′，y ′)的坐标关系，用方程思想求解.考点二 极坐标与直角坐标的互化例1 (1)极坐标方程ρ2cos θ－ρ＝0转化成直角坐标方程为( ) A.x 2＋y 2＝0或y ＝1 B.x ＝1C.x 2＋y 2＝0或x ＝1D.y ＝1(2)点M 的直角坐标是(－1，3)，则点M 的极坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2k π＋π3(k ∈Z ) 答案 (1)C (2)C解析 (1)ρ2cos θ－ρ＝0⇒ρ＝x 2＋y 2＝0，或ρcos θ＝1，即x ＝1.(2)∵ρ＝（－1）2＋（3）2＝2，tan θ＝3－1＝－ 3.又点M 在第二象限，∴θ＝2π3， ∴点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3.感悟提升 1.进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式；x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx (x ≠0).2.进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，要注意ρ，θ的取值范围及其影响；要善于对方程进行合理变形，并重视公式的逆向与变形使用；要灵活运用代入法和平方法等技巧.训练1 在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，M ，N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点.(1)求C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程. 解 (1)由ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1得，ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos θ＋32sin θ＝1.从而C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1， 即x ＋3y ＝2.当θ＝0时，ρ＝2，所以M (2，0).当θ＝π2时，ρ＝233，所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π2.(2)由(1)知M 点的直角坐标为(2，0)，N 点的直角坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，233. 所以点P 的直角坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，33，则点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π6，所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R ). 考点三 求曲线的极坐标方程例2 (2022·西安五校联考)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：(x －1)2＋y 2＝1(y ≥0)，如图，将C 1分别绕原点O 逆时针旋转π2，π，3π2得到曲线C 2，C 3，C 4，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)分别写出曲线C 1，C 2，C 3，C 4的极坐标方程；(2)直线l ：θ＝π3(ρ∈R )交曲线C 1，C 3分别于A ，C 两点，直线l ′：θ＝2π3(ρ∈R )交曲线C 2，C 4分别于B ，D 两点，求四边形ABCD 的面积.解 (1)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1，得C 1的极坐标方程为ρ＝2cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π2，设C 1上的点(ρ0，θ0)旋转π2得到曲线C 2上的点(ρ，θ)，则ρ0＝ρ，θ0＝θ－π2，代入C 1的方程得ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π2＝2sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤θ－π2≤π2，所以C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2≤θ≤π，同理，C 3的极坐标方程为ρ＝－2cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫π≤θ≤3π2，C 4的极坐标方程为ρ＝－2sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2≤θ≤2π.(2)结合图形的对称性可知S 四边形ABCD ＝4S △AOB ， 将θ＝π3代入C 1得|OA |＝ρA ＝1，将θ＝2π3代入C 2得|OB |＝ρB ＝3，所以S 四边形ABCD ＝4S △AOB ＝4×12·|OA |·|OB |·sin π3＝3. 感悟提升 求曲线的极坐标方程的步骤(1)建立适当的极坐标系，设P (ρ，θ)是曲线上任意一点.(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式.(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程.训练2 在极坐标系中，O 为极点，点M (ρ0，θ0)(ρ0>0)在曲线C ：ρ＝4sin θ上，直线l 过点A (4，0)且与OM 垂直，垂足为P . (1)当θ0＝π3时，求ρ0及l 的极坐标方程；(2)当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程. 解 (1)因为M (ρ0，θ0)在曲线C 上， 当θ0＝π3时，ρ0＝4sin π3＝2 3. 由已知得|OP |＝|OA |cos π3＝2. 设Q (ρ，θ)为l 上除P 外的任意一点.在Rt △OPQ 中，ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝|OP |＝2.经检验，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3在曲线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝2上，所以，l 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝2.(2)设P (ρ，θ)，在Rt △OAP 中，|OP |＝|OA |cos θ＝4cos θ，即ρ＝4cos θ. 因为P 在线段OM 上，且AP ⊥OM ，所以θ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2.所以，P 点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2.考点四 极坐标方程的应用例3 已知曲线C ：⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝2sin α(α为参数)，设曲线C 经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝12y 得到曲线C ′，以直角坐标中的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线C ′的极坐标方程；(2)若A ，B 是曲线C ′上的两个动点，且OA ⊥OB ，求|OA |2＋|OB |2的最小值. 解 (1)曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2sin α(α为参数)，转换为普通方程为x 2＋y 2＝4，曲线C经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝x ，y ′＝12y得到曲线C ′：x 24＋y 2＝1，极坐标方程为ρ＝21＋3sin 2θ.(2)设A (ρ1，θ)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，θ＋π2，所以|OA |2＋|OB |2＝ρ21＋ρ22＝41＋3sin 2θ＋41＋3cos 2θ ＝8＋12（sin 2θ＋cos 2θ）（1＋3sin 2θ）（1＋3cos 2θ）＝20（1＋3sin 2θ）（1＋3cos 2θ） ＝201＋3（sin 2θ＋cos 2θ）＋94sin 22θ ＝204＋94sin 22θ≥165. 当sin 2θ＝±1时，|OA |2＋|OB |2取得最小值165.感悟提升 1.若把直角坐标化为极坐标求极角θ时，应注意判断点P 所在的象限(即角θ的终边的位置)，以便正确地求出角θ.利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题.2.在极坐标系中，如果P 1(ρ1，θ1)，P 2(ρ2，θ2)，那么两点间的距离公式 |P 1P 2|＝ρ21＋ρ22－2ρ1ρ2cos （θ1－θ2）.两种特殊情况：(1)当θ1＝θ2＋2k π，k ∈Z 时，|P 1P 2|＝|ρ1－ρ2|； (2)当θ1＝θ2＋π＋2k π，k ∈Z ，|P 1P 2|＝|ρ1＋ρ2|.3.由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解.训练3 (2021·昆明诊断)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝9＋3t ，y ＝t (t为参数).以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2＝161＋3sin 2θ.(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)已知P 为曲线C 上的一个动点，求线段OP 的中点M 到直线l 的最大距离. 解 (1)由ρ2＝161＋3sin 2θ， 得ρ2＋3ρ2sin 2θ＝16，则曲线C 的直角坐标方程为x 2＋4y 2＝16， 即x 216＋y 24＝1.直线l 的直角坐标方程为x －3y －9＝0.(2)可知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝2sin α(α为参数)，设P (4cos α，2sin α)，α∈[0，2π)，则M (2cos α，sin α)到直线l ：x －3y －9＝0的距离为d ＝|2cos α－3sin α－9|2＝|7sin （θ－α）－9|2≤9＋72，所以线段OP 的中点M 到直线l 的最大距离为9＋72.1.将直角坐标方程与极坐标方程互化： (1)y 2＝4x ；(2)y 2＋x 2－2x －1＝0； (3)θ＝π3(ρ∈R )；(4)ρcos 2 θ2＝1； (5)ρ2cos 2θ＝4； (6)ρ＝12－cos θ.解 (1)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入y 2＝4x ，得(ρsin θ)2＝4ρcos θ.化简得ρsin 2θ＝4cos θ.(2)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入y 2＋x 2－2x －1＝0，得(ρsin θ)2＋(ρcos θ)2－2ρcos θ－1＝0，化简得ρ2－2ρcos θ－1＝0.(3)当x ≠0时，由于tan θ＝y x ，故tan π3＝yx ＝3，化简得y ＝3x (x ≠0)； 当x ＝0时，y ＝0.显然(0，0)在y ＝3x 上，故θ＝π3(ρ∈R )的直角坐标方程为 y ＝3x .(4)因为ρcos 2θ2＝1，所以ρ·1＋cos θ2＝1，而ρ＋ρcos θ＝2，所以x 2＋y 2＋x ＝2.化简得y 2＝－4(x －1).(5)因为ρ2cos 2θ＝4，所以ρ2cos 2θ－ρ2sin 2θ＝4，即x 2－y 2＝4. (6)因为ρ＝12－cos θ，所以2ρ－ρcos θ＝1，因此2x 2＋y 2－x ＝1，化简得3x 2＋4y 2－2x －1＝0.2.在极坐标系中，已知两点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π4，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2，直线l 的方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝3.(1)求A ，B 两点间的距离； (2)求点B 到直线l 的距离.解 (1)设极点为O .在△OAB 中，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π4，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2，由余弦定理，得 |AB |＝32＋（2）2－2×3×2×cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π4＝ 5.(2)因为直线l 的方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝3，所以直线l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，π2，倾斜角为3π4.又B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2， 所以点B 到直线l 的距离为(32－2)×sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－π2＝2.3.以直角坐标系中的原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，已知曲线的极坐标方程为ρ＝21－sin θ.(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)过极点O 作直线l 交曲线于点P ，Q ，若|OP |＝3|OQ |，求直线l 的极坐标方程. 解 (1)因为ρ＝x 2＋y 2，ρsin θ＝y ，所以ρ＝21－sin θ化为ρ－ρsin θ＝2，所以曲线的直角坐标方程为x 2＝4y ＋4.(2)设直线l 的极坐标方程为θ＝θ0(ρ∈R )， 根据题意21－sin θ0＝3·21－sin （θ0＋π），解得θ0＝π6或θ0＝5π6，所以直线l 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )或θ＝5π6(ρ∈R ).4.(2022·南宁调研)在直角坐标系xOy 中，圆C 1：(x －1)2＋y 2＝1，圆C 2：(x ＋2)2＋y 2＝4.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求圆C 1，C 2的极坐标方程；(2)设A ，B 分别为C 1，C 2上的点，若△OAB 为等边三角形，求|AB |. 解 (1)因为圆C 1：(x －1)2＋y 2＝1， 圆C 2：(x ＋2)2＋y 2＝4，所以C 1：x 2＋y 2＝2x ，C 2：x 2＋y 2＝－4x ， 因为x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ， 所以C 1：ρ＝2cos θ，C 2：ρ＝－4cos θ.(2)因为C 1，C 2都关于x 轴对称，△OAB 为等边三角形， 所以不妨设A (ρA ，θ)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρB ，θ＋π3，0＜θ＜π2.依题意可得，ρA ＝2cos θ，ρB ＝－4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3.从而2cos θ＝－4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3，整理得，2cos θ＝3sin θ，所以tan θ＝233，又因为0＜θ＜π2，所以cos θ＝217，|AB |＝|OA |＝ρA ＝2217.5.(2021·成都诊断)在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的方程为(x －1)2＋y 2＝1，直线l 的方程为x ＋3y －6＝0.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C 和直线l 的极坐标方程；(2)若点P (x ，y )在直线l 上且y >0，射线OP 与曲线C 相交于异于点O 的点Q ，求|OP ||OQ |的最小值.解 (1)由极坐标与直角坐标的互化公式x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得 曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ. 由题意得直线l 的极坐标方程为ρcos θ＋3ρsin θ－6＝0，即ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝3.(2)设点P 的极坐标为(ρ1，θ)，点Q 的极坐标为(ρ2，θ)，其中0<θ<π2. 由(1)知|OP |＝ρ1＝6cos θ＋3sin θ，|OQ |＝ρ2＝2cos θ. ∴|OP ||OQ |＝ρ1ρ2＝62cos 2θ＋23sin θcos θ＝61＋cos 2θ＋3sin 2θ＝61＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π6.∵0<θ<π2，∴π6<2θ＋π6<7π6，∴－12<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π6≤1. ∴当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π6＝1，即θ＝π6时，|OP ||OQ |取得最小值2.6.已知曲线C 1：x 2＋(y －3)2＝9，A 是曲线C 1上的动点，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O 为中心，将点A 绕点O 逆时针旋转90°得到点B ，设点B 的轨迹方程为曲线C 2. (1)求曲线C 1，C 2的极坐标方程；(2)射线θ＝5π6(ρ＞0)与曲线C 1，C 2分别交于P ，Q 两点，定点M (－4，0)，求△MPQ的面积.解 (1)曲线C 1：x 2＋(y －3)2＝9， 即x 2＋y 2－6y ＝0. 从而ρ2＝6ρsin θ.所以曲线C 1的极坐标方程为ρ＝6sin θ. 设B (ρ，θ)，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ，θ－π2，则有ρ＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π2＝－6cos θ.所以曲线C 2的极坐标方程为ρ＝－6cos θ. (2)M 到射线θ＝5π6(ρ＞0)的距离为d ＝4sin 5π6＝2，射线θ＝5π6(ρ＞0)与曲线C 1的交点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρP ，5π6，其中，ρP ＝6sin 5π6＝3，射线θ＝5π6(ρ＞0)与曲线C 2的交点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρQ ，5π6，其中，ρQ ＝－6cos 5π6＝33，则|PQ |＝|ρP －ρQ |＝33－3， 则S △MPQ ＝12|PQ |d ＝33－3.。
高考数学一轮复习考点知识专题讲解参数方程考点要求1.了解参数方程，了解参数的意义.2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程．知识梳理1．参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数从参数方程得到普通方程．(2)一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数⎩⎨⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )，并且对于t 的每一个允许值，由方程组所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么此方程就叫做这条曲线的参数方程． 2．常见曲线的参数方程和普通方程点的轨迹普通方程参数方程直线y －y 0＝tan α·(x －x 0)⎝⎛⎭⎪⎫α≠π2错误!(t 为参数)圆 x 2＋y 2＝r 2 错误!(θ为参数)椭圆 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0) 错误!(φ为参数)抛物线y 2＝2px (p >0)错误!(t 为参数)思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)参数方程⎩⎨⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )中的x ，y 都是参数t 的函数．(√)(2)方程⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝1＋2sin θ(θ为参数)表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆．(√)(3)已知椭圆的参数方程⎩⎨⎧x ＝2cos t ，y ＝4sin t(t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝π3，点O 为原点，则直线OM 的斜率为3.(×) (4)参数方程⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝5sin θ(θ为参数且θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2)表示的曲线为椭圆．(×)教材改编题1．将参数方程⎩⎨⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)化为普通方程为()A ．y ＝x －2B ．y ＝x ＋2C ．y ＝x －2(2≤x ≤3)D ．y ＝x ＋2(0≤y ≤1) 答案C解析代入法，将方程化为y ＝x －2，但x ∈[2,3]，y ∈[0,1]． 2．曲线⎩⎨⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心()A ．在直线y ＝2x 上B ．在直线y ＝－2x 上C ．在直线y ＝x －1上D ．在直线y ＝x ＋1上 答案B解析由⎩⎨⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ得⎩⎨⎧cos θ＝x ＋1，sin θ＝y －2.所以(x ＋1)2＋(y －2)2＝1.曲线是以(－1,2)为圆心，1为半径的圆，所以对称中心坐标为(－1,2)，在直线y ＝－2x 上． 3．已知直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，若l 与圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0交于A ，B 两点，且|AB |＝3，则直线l 的斜率为________． 答案±1515解析由⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，得y ＝x tan α，设k ＝tan α，得直线的方程为y ＝kx ，由x 2＋y 2－4x ＋3＝0，得(x －2)2＋y 2＝1，圆心坐标为(2,0)，半径为1， ∴圆心到直线y ＝kx 的距离为12－|AB |24＝12＝|2k |k 2＋1，得k ＝±1515.题型一 参数方程与普通方程的互化例1(2021·全国乙卷)在直角坐标系xOy 中，⊙C 的圆心为C (2,1)，半径为1. (1)写出⊙C 的一个参数方程；(2)过点F (4,1)作⊙C 的两条切线，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．解(1)因为⊙C 的圆心为(2,1)，半径为1，所以⊙C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋cos θ，y ＝1＋sin θ(θ为参数)．(2)当直线斜率不存在时，直线方程为x ＝4，此时圆心到直线距离为2>r ，舍去； 当直线斜率存在时，设切线为y ＝k (x －4)＋1，即kx －y －4k ＋1＝0， 故|2k －1－4k ＋1|1＋k 2＝1，即|2k |＝1＋k 2，4k 2＝1＋k 2，解得k ＝±33. 故直线方程为y ＝33(x －4)＋1或y ＝－33(x －4)＋1.故两条切线的极坐标方程为ρsin θ＝33ρcos θ－433＋1或 ρsin θ＝－33ρcos θ＋433＋1. 即ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋5π6＝2－32或ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝2＋32.教师备选在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5＋22t ，y ＝5＋22t (t 为参数)，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝ 4cos θ.(1)求曲线C 的直角坐标方程及直线l 的普通方程；(2)将曲线C 上的所有点的横坐标缩短为原来的12，再将所得到的曲线向左平移1个单位长度，得到曲线C 1，求曲线C 1上的点到直线l 的距离的最小值． 解(1)曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4x ， 即(x －2)2＋y 2＝4.直线l 的普通方程为x －y ＋25＝0.(2)将曲线C 上的所有点的横坐标缩短为原来的12，得(2x －2)2＋y 2＝4， 即(x －1)2＋y 24＝1，再将所得曲线向左平移1个单位长度， 得曲线C 1：x 2＋y 24＝1，则曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．设曲线C 1上任一点P (cos θ，2sin θ)，则点P 到直线l 的距离 d ＝|cos θ－2sin θ＋25|2＝|25－5sin (θ＋φ)|2，其中φ满足sin φ＝－55，cos φ＝255， 由三角函数知，当sin(θ＋φ)＝1时，d 取最小值102，所以点P 到直线l 的距离的最小值为102. 思维升华 消去方程中的参数一般有三种方法(1)利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消去参数． (2)利用三角恒等式消去参数．(3)根据参数方程本身的结构特征，灵活地选用一些方法从整体上消去参数． 跟踪训练1已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a －2t ，y ＝－4t (t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)．(1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围． 解(1)直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0， 圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16. (2)因为直线l 与圆C 有公共点，故圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝|－2a |5≤4， 解得－25≤a ≤2 5.即实数a 的取值范围为[－25，2 5 ]． 题型二 参数方程的应用例2在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，直线l的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)．(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率． 解(1)由曲线C 的参数方程⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x2，sin θ＝y4，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 42＝1，即x 24＋y 216＝1，所以曲线C 的直角坐标方程为x 24＋y 216＝1.当cos α≠0时，l 的直角坐标方程为y ＝tan α·x ＋2－tan α， 当cos α＝0时，l 的直角坐标方程为x ＝1. (2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程(1＋3cos 2α)t 2＋4(2cos α＋sin α)t －8＝0.①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内， 所以①有两个解，设为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝0. 又由①得t 1＋t 2＝－4(2cos α＋sin α)1＋3cos 2α，故2cos α＋sin α＝0，于是直线l 的斜率k ＝tan α＝－2. 教师备选(2022·安阳模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，直线l 过点M (1,0)且倾斜角为α. (1)求出直线l 的参数方程和曲线C 的普通方程；(2)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且|MA |·|MB |||MA |－|MB ||＝33，求cos α的值．解(1)曲线C 的参数方程⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，转换为普通方程为x 22＋y 2＝1；直线l 过点M (1,0)且倾斜角为α，则参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)．(2)把直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)代入x 22＋y 2＝1.得到(1＋sin 2α)t 2＋2t cos α－1＝0， 所以t 1＋t 2＝－2cos α1＋sin 2α，t 1t 2＝－11＋sin 2α(t 1和t 2分别为A 和B 对应的参数)，t 1t 2<0，则t 1，t 2异号，||MA |－|MB ||＝||t 1|－|t 2||＝|t 1＋t 2|，由|MA |·|MB |||MA |－|MB ||＝33，整理得|t 1＋t 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2cos α1＋sin 2α＝3|t 1t 2|＝31＋sin 2α， 解得cos α＝±32. 思维升华 (1)解决直线与曲线的参数方程的应用问题时，一般是先化为普通方程，再根据直线与曲线的位置关系来解决． (2)对于形如⎩⎨⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (t 为参数)，当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t 的几何意义解题．跟踪训练2在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－1－t ，y ＝2＋t(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2＋ρ2sin 2θ＝2，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点． (1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)已知点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4，求|PA |·|PB |的值．解(1)l 的普通方程为x ＋y －1＝0. ∵ρ2＋ρ2sin 2θ＝2， ∴x 2＋y 2＋y 2＝2，即曲线C 的直角坐标方程为x 22＋y 2＝1. (2)方法一P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12在直线l 上，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12－22t ′，y ＝12＋22t ′(t ′为参数)，代入曲线C 的直角坐标方程得⎝ ⎛⎭⎪⎫12－22t ′2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋22t ′2－2＝0，即32t ′2＋22t ′－54＝0， 设A ，B 两点对应的参数分别为t ′1，t ′2，则 |PA |·|PB |＝|t ′1|·|t ′2|＝|t ′1t ′2|＝56.方法二由⎩⎨⎧y ＝1－x ，x 2＋2y 2＝2，消去y ，得3x 2－4x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝43.不妨设A (0,1)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，－13，又P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，则|PA |＝⎝⎛⎭⎪⎫0－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122＝22，|PB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13－122＝526，|PA |·|PB |＝22×526＝56. 题型三 极坐标方程和参数方程的综合应用例3(2021·全国甲卷)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝22cos θ. (1)将C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点A 的直角坐标为(1,0)，M 为C 上的动点，点P 满足AP →＝2AM →，写出P 的轨迹C 1的参数方程，并判断C 与C 1是否有公共点． 解(1)由ρ＝22cos θ，得ρ2＝22ρcos θ， 即x 2＋y 2＝22x ， 整理得(x －2)2＋y 2＝2. (2)设P 的坐标为(x ，y )，则AP →＝(x －1，y )，因为AP →＝2AM →， 所以AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22x －22，22y ，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫22x －22＋1，22y ，因为M 为C 上的动点，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫22x －22＋1－22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22y 2＝2，化简得(x ＋2－3)2＋y 2＝4，即P 点的轨迹C 1的方程为(x ＋2－3)2＋y 2＝4， 化成参数方程为 ⎩⎨⎧x ＝3＋2cos t －2，y ＝2sin t(t 为参数)，圆心C 1(3－2，0)，r 1＝2，C (2，0)，r ＝2，因为|3－2－2|<2－2，所以C 与C 1没有公共点． 教师备选(2022·郑州模拟)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22，曲线C 的极坐标方程为ρ2()1＋3sin 2θ＝4.(1)写出直线l 和曲线C 的直角坐标方程；(2)已知点A (1,0)，若直线l 与曲线C 交于P ，Q 两点，PQ 的中点为M ，求|AP |＋|AQ ||AM |的值．解(1)因为直线l ：ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22，故ρcos θ－ρsin θ－1＝0，即直线l 的直角坐标方程为x －y －1＝0， 因为曲线C ：ρ2()1＋3sin 2θ＝4，则曲线C 的直角坐标方程为x 2＋4y 2＝4， 即x 24＋y 2＝1. (2)点A (1,0)在直线l 上，设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋22t ，y ＝22t (t 为参数)，代入曲线C 的直角坐标方程得 5t 2＋22t －6＝0.设P ，Q 对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1t 2＝－65，t 1＋t 2＝－225，所以M 对应的参数t 0＝t 1＋t 22＝－25， 故|AP |＋|AQ ||AM |＝|t 1|＋|t 2||t 0|＝|t 1－t 2||t 0|＝⎝⎛⎭⎪⎫－2252－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－6525＝8.思维升华 参数方程和极坐标的综合应用涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．跟踪训练3(2022·石嘴山模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，点A 为曲线C 1上的动点，点B 在线段OA 的延长线上且满足|OA |·|OB |＝8，点B 的轨迹为C 2. (1)求曲线C 1，C 2的极坐标方程；(2)设点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π2，求△ABM 面积的最小值．解(1)由曲线C 1的参数方程⎩⎨⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，消去参数，可得普通方程为(x －1)2＋y 2＝1，即x 2＋y 2－2x ＝0， 又由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，代入可得曲线C 1的极坐标方程为ρ＝2cos θ，设点B 的极坐标为(ρ，θ)，点A 点的极坐标为(ρ0，θ0)， 则|OB |＝ρ，|OA |＝ρ0，ρ0＝2cos θ0，θ＝θ0， 因为|OA |·|OB |＝8， 所以ρ·ρ0＝8， 即8ρ＝2cos θ，即ρcos θ＝4，所以曲线C 2的极坐标方程为ρcos θ＝4. (2)由题意，可得|OM |＝2，则S △ABM ＝S △OBM －S △OAM ＝12|OM |·|x B －x A |＝12×2×|4－2cos 2θ|＝|4－2cos 2θ|，即S △ABM ＝4－2cos 2θ，当cos 2θ＝1时，可得S △ABM 的最小值为2.课时精练1．(2020·全国Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2－t －t 2，y ＝2－3t ＋t 2(t 为参数且t ≠1)，C 与坐标轴交于A ，B 两点． (1)求|AB |；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程． 解(1)令x ＝0，则t 2＋t －2＝0， 解得t ＝－2或t ＝1(舍去)， 则y ＝2＋6＋4＝12，即A (0,12)． 令y ＝0，则t 2－3t ＋2＝0， 解得t ＝2或t ＝1(舍去)，则x ＝2－2－4＝－4， 即B (－4,0)．∴|AB |＝(0＋4)2＋(12－0)2＝410. (2)由(1)可知k AB ＝12－00－(－4)＝3，则直线AB 的方程为y ＝3(x ＋4)， 即3x －y ＋12＝0.由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得，直线AB 的极坐标方程为3ρcos θ－ρsin θ＋12＝0.2．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴的正半轴重合，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝1＋t sin α(t 为参数，α∈[0，π))，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ.(1)写出曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于P ，Q 两点，若|PQ |＝15，求直线l 的斜率． 解(1)∵ρ＝4sin θ， ∴ρ2＝4ρsin θ，由ρ2＝x 2＋y 2，ρsin θ＝y ， 得x 2＋y 2＝4y .∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4. (2)把⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝1＋t sin α代入x 2＋y 2＝4y ，整理得t 2－2t sin α－3＝0，设P ，Q 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝2sin α，t 1t 2＝－3，∴|PQ |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝4sin 2α＋12＝15， 得sin α＝32，α＝π3或α＝2π3， ∴直线l 的斜率为± 3.3．(2022·曲靖模拟)在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C 的圆心的极坐标为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，半径r ＝ 3.(1)求圆C 的极坐标方程；(2)已知过点P (0,1)且倾斜角为α的直线l 交圆C 于A ，B 两点，且|PA |＋|PB |＝11，求角α.解(1)圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4的直角坐标为C (1,1)，圆C 的半径r ＝3，则圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝3. 将公式⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入(x －1)2＋(y －1)2＝3中，整理得圆C 的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－2ρsin θ－1＝0. (2)过点P (0,1)且倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝1＋t sin α(t 是参数)，代入圆C 的直角坐标方程(x －1)2＋(y －1)2＝3中整理得t 2－2t cos α－2＝0.设交点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，由根与系数的关系得t 1＋t 2＝2cos α，t 1t 2＝－2<0， 则|PA |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝|t 1－t 2|＝11， 平方得(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝11， 则4cos 2α＋8＝11，所以cos α＝±32(0≤α<π)，α＝π6或α＝5π6. 4．(2022·宝鸡模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为⎩⎨⎧x ＝4cos θ＋cos α，y ＝3sin θ＋sin α(θ∈R ，α为参数)．(1)求曲线C 1的普通方程并说明曲线C 1的形状；(2)以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝0，求曲线C 1的对称中心到曲线C 2的距离的最大值． 解(1)由曲线C 1的方程⎩⎨⎧x ＝4cos θ＋cos α，y ＝3sin θ＋sin α(θ∈R ，α为参数)可知，⎩⎨⎧x －4cos θ＝cos α，y －3sin θ＝sin α(θ∈R ，α为参数)，消去参数α得曲线C 1的普通方程为(x －4cos θ)2＋(y －3sin θ)2＝1， ∴曲线C 1是以C 1()4cos θ，3sin θ为圆心，1为半径的圆． (2)将曲线C 2的极坐标方程ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝0，即ρsin θ－ρcos θ＝0， 化为直角坐标方程为x －y ＝0.曲线C 1的对称中心即为圆心C 1(4cos θ，3sin θ)， ∴曲线C 1的对称中心到曲线C 2的距离d ＝|4cos θ－3sin θ|2＝|5sin (θ－φ)|2，其中φ满足sin φ＝－45，cos φ＝－35，∵－1≤sin(θ－φ)≤1，∴曲线C 1的对称中心到曲线C 2的距离的最大值为522.5．(2022·萍乡模拟)在平面直角坐标系中，P 为曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝2＋2cos α，y ＝sin α(α为参数)上的动点，将P 点的横坐标变为原来的一半(纵坐标不变)得Q 点，记Q 点的轨迹为C 2，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求曲线C 2的极坐标方程；(2)A ，B 是曲线C 2上异于极点的两点，且∠AOB ＝π6，求|OA |－3|OB |的取值范围．解(1)曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝2＋2cos α，y ＝sin α化为普通方程为(x －2)24＋y 2＝1，设P 点坐标为(x ，y )，Q 点坐标为(x ′，y ′)， 则有(x －2)24＋y 2＝1，x ′＝x 2，y ′＝y ，消去x ，y 有(x ′－1)2＋y ′2＝1，即x ′2＋y ′2＝2x ′，此式即为C 2的普通方程． ∴曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2cos θ.(2)设A (ρ1，θ)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，θ＋π6⎝ ⎛⎭⎪⎫θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π3，∴|OA |－3|OB |＝ρ1－3ρ2 ＝2cos θ－23cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝3sin θ－cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6，∵θ－π6∈⎝⎛⎭⎪⎫－2π3，π6， ∴|OA |－3|OB |的取值范围是[－2,1)．。
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核心考点·精准研析考点一参数方程与普通方程的互化1.若曲线C的参数方程为(θ为参数),求曲线C的方程.2.在平面直角坐标系中,若曲线C的参数方程为(t为参数),求曲线的普通方程.3.将参数方程(t为参数)化为普通方程.【解析】1.将曲线C的参数方程化为普通方程得x+2y-2=0(0≤x≤2,0≤y≤1).2.依题意,消去参数可得x-2=y-1,即x-y-1=0.3.因为x=,y===4-3×=4-3x.又x===2-∈[0,2),所以x∈[0,2),所以所求的普通方程为3x+y-4=0(x∈[0,2)).将参数方程化为普通方程的方法(1)将参数方程化为普通方程,需要根据参数方程的特征,选取适当的消参方法.常见的消参方法有:代入法、加减法、平方法等,对于含三角函数的参数方程,常利用同角三角函数关系式消参.(2)将参数方程化为普通方程时,要注意原参数方程中自变量的取值范围,不要增解.考点二参数方程的应用【典例】(2018·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为 (θ为参数),直线l的参数方程为(t为参数).(1)求C和l的直角坐标方程.(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2),求l的斜率. 【解题导思】序号联想解题(1)直线的参数方程化为普通方程时注意分类讨论(2)直线的参数方程性质的应用【解析】(1)曲线C的直角坐标方程为+=1.当cos α≠0时,l的直角坐标方程为y=tan α·x+2-tan α,当cos α=0时,l的直角坐标方程为x=1.(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程,整理得关于t的方程(1+3cos2α)t2+4(2cos α+sin α)t-8=0.①因为曲线C截直线l所得线段的中点恰为(1,2),所以①有两个解,设为t1,t2,则t1+t2=0.又由①得t1+t2=-,故2cos α+sin α=0,于是直线l的斜率k=tan α=-2.1.直线的参数方程有多种形式,只有标准形式中的参数才具有几何意义,即参数t的绝对值表示对应的点到定点的距离.2.根据直线的参数方程的标准形式中t的几何意义,有如下常用结论:(1)若直线与圆锥曲线相交,交点对应的参数分别为t1,t2,则弦长l=|t1-t2|.(2)若定点M0(标准形式中的定点)是线段M1M2(点M1,M2对应的参数分别为t1,t2,下同)的中点,则t1+t2=0.(3)设线段M1M2的中点为M,则点M对应的参数为t M=.设直线l的参数方程为(t为参数,α为倾斜角),圆C 的参数方程为(θ为参数).(1)若直线l经过圆C的圆心,求直线l的斜率.(2)若直线l与圆C交于两个不同的点,求直线l的斜率的取值范围. 【解析】(1)由已知得直线l经过的定点是P(3,4),而圆C的圆心是C(1,-1),所以,当直线l经过圆C的圆心时,直线l的斜率k==.(2)由圆C的参数方程(θ为参数),得圆C的圆心是C(1,-1),半径为2.由直线l的参数方程(t为参数,α为倾斜角),得直线l的普通方程为y-4=k(x-3)(斜率存在),即kx-y+4-3k=0.当直线l与圆C交于两个不同的点时,圆心到直线的距离小于圆的半径,即<2,解得k>.即直线l 的斜率的取值范围为.考点三极坐标与参数方程的综合应用命题精解读考什么:(1)考查距离、弦长、位置关系、取值范围等问题.(2)考查逻辑推理、数学运算等数学核心素养及数形结合、分类讨论等数学【思想方法】.怎么考:与直线、圆、椭圆、三角函数等数学知识结合考查求弦长、距离、讨论位置关系等问题.新趋势:以参数方程为载体,与其他数学知识交汇考查.学霸好方法取值范围问题的解题思路:(1)求最值问题:结合直线与圆的关系,求圆上的点到直线的距离的最值,用圆心到直线的距离加减半径.(2)求取值范围问题:根据极坐标与参数方程的关系,结合三角函数,根据三角函数的有界性求取值范围.交点、距离、弦长问题【典例】以平面直角坐标系的坐标原点O为极点,以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l的参数方程为(t为参数),曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cos θ.(1)求曲线C的直角坐标方程.(2)设直线l与曲线C相交于A,B两点,求|AB|.【解析】(1)由ρsin2θ=4cos θ,可得ρ2sin2θ=4ρcos θ,所以曲线C的直角坐标方程为y2=4x.(2)将直线l的参数方程代入y2=4x,整理得4t2+8t-7=0,所以t1+t2=-2,t1t2=-,所以|AB|=====×=×=.曲线的位置关系【典例】以极点为原点,以极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系,已知曲线C1的极坐标方程为ρ=10,曲线C2的参数方程为(α为参数).(1)判断两曲线C1和C2的位置关系.(2)若直线l与曲线C1和C2均相切,求直线l的极坐标方程.【解析】(1)由ρ=10得曲线C1的直角坐标方程为x2+y2=100,由得曲线C2的普通方程为(x-3)2+(y+4)2=25.曲线C1表示以(0,0)为圆心,10为半径的圆;曲线C2表示以(3,-4)为圆心,5为半径的圆.因为两圆心间的距离5等于两圆半径的差,所以圆C1和圆C2的位置关系是内切.(2)由(1)建立方程组解得可知两圆的切点坐标为(6,-8),且公切线的斜率为,所以直线l的直角坐标方程为y+8=(x-6),即3x-4y-50=0,所以极坐标方程为3ρcos θ-4ρsin θ-50=0.取值范围(最值)问题【典例】(2019·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(t为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为2ρcos θ+ρsin θ+11=0.(1)求C和l的直角坐标方程;(2)求C上的点到l距离的最小值.【解析】(1)因为-1<≤1,且x2+=+=1,所以C 的直角坐标方程为x2+=1(x≠-1).l的直角坐标方程为2x+y+11=0.(2)由(1)可设C的参数方程为.C上的点到l的距离为=.当α=-时,4cos+11取得最小值7,故C上的点到l距离的最小值为.关闭Word文档返回原板块。
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极坐标与参数方程一、教学目标本次课是一堂新课，通过本次课的学习,让学生理解极坐标和参数方程的概念等基础知识，掌握极坐标与直角坐标的相互转化，掌握一般常见曲线和直线的极坐标方程和参数方程。
深刻理解参数方程所代表的数学思想——换元思想。
二、考纲解读极坐标和参数方程是新课标考纲里的选考内容之一，只有理科生选学。
在每年的高考试卷中，极坐标和参数方程都是放在一道填空题中，与平面几何作为二选一的考题出现的.由于极坐标是新添的内容，考纲要求比较简单，所以在考试中一般以基础题出现，不会有很难的题目。
三、知识点回顾（一）曲线的参数方程的定义:在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数，即 ⎩⎨⎧==)()(t f y t f x并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点M (x ，y ）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程,联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数． （二）常见曲线的参数方程如下:1．过定点(x 0，y 0）,倾角为α的直线:ααsin cos 00t y y t x x +=+= （t 为参数)其中参数t 是以定点P （x 0,y 0)为起点,对应于t 点M （x ，y )为终点的有向线段PM 的数量,又称为点P 与点M 间的有向距离．根据t 的几何意义,有以下结论．○，1．设A 、B 是直线上任意两点，它们对应的参数分别为t A 和t B ,则AB ＝A B t t -＝B A A B t t t t ⋅--4)(2．错误!．线段AB 的中点所对应的参数值等于2BA t t +． 2．中心在（x 0，y 0），半径等于r 的圆：θθsin cos 00r y y r x x +=+= （θ为参数）3．中心在原点，焦点在x 轴（或y 轴）上的椭圆：θθsin cos b y a x == （θ为参数) (或θθsin cos a y b x ==)中心在点（x0，y0）焦点在平行于x 轴的直线上的椭圆的参数方程为参数）ααα(.sin ,cos 00⎩⎨⎧+=+=b y y a x x 4．中心在原点，焦点在x 轴（或y 轴）上的双曲线：θθtg sec b y a x == （θ为参数） （或 θθec a y b x s tg ==）5．顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上的抛物线：pty pt x 222== （t 为参数，p ＞0）直线的参数方程和参数的几何意义过定点P (x 0，y 0）,倾斜角为α的直线的参数方程是 ⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）． （三）极坐标系1、定义：在平面内取一个定点O ，叫做极点，引一条射线Ox ，叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向)。
专题八十 参数方程【高频考点解读】1．了解参数方程，了解参数的意义．2．能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程．3．了解圆的平摆线、渐开线的形成过程，并能推导出它们的参数方程． 【热点题型】 题型一参数方程与一般方程的互化例1、把下列参数方程化为一般方程：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θ，y ＝2－sin θ； (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝5＋32t .【提分秘籍】将曲线的参数方程化为一般方程的关键是消去其中的参数，此时要留意其中的x ，y (它们都是参数的函数)的取值范围，即在消去参数的过程中肯定要留意一般方程与参数方程的等价性．参数方程化一般方程常用的消参技巧有：代入消元、加减消元、平方后相加减消元、整体消元等．【举一反三】把下列参数方程化为一般方程．(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝5＋32t(t 为参数)；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ，y ＝cos 2θ(θ为参数，θ∈[0,2π])．【热点题型】题型二 直线与圆的参数方程的应用例2、已知圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)和直线l ：⎩⎨⎧x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α(其中t 为参数，α为直线l 的倾斜角)．(1)当α＝2π3时，求圆上的点到直线l 距离的最小值； (2)当直线l 与圆C 有公共点时，求α的取值范围．【提分秘籍】涉及过定点的线段长度或距离常选用直线的参数方程．直线的点斜式方程为y －y 0＝k (x －x 0)．其中k ＝tan α(α≠90°)，α为直线的倾斜角，则参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)【举一反三】已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋t ，y ＝4－2t (参数t ∈R)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ＋2，y ＝2sin θ(参数θ∈[0,2π])，求直线l 被圆C 所截得的弦长．【热点题型】题型三 圆锥曲线的参数方程的应用例3、求经过点(1,1)，倾斜角为135°的直线截椭圆x 24＋y 2＝1所得的弦长．【提分秘籍】一般方程化为参数方程：化一般方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t ，先确定一个关系x ＝f (t )(或y ＝φ(t ))，再代入一般方程F (x ，y )＝0，求得另一关系y ＝φ(t )(或x ＝f (t ))．一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率，某一点的横坐标(或纵坐标)．一般方程化为参数方程需要引入参数，选择的参数不同，所得的参数方程也不一样．【举一反三】过点P (－3,0)且倾斜角为30°的直线和曲线⎩⎨⎧x ＝t ＋1t ，y ＝t －1t(t 为参数)相交于A 、B 两点，求线段AB 的长．【热点题型】题型四 参数方程与极坐标方程的综合应用例4、在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A 的极坐标为(2，π4)，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ－π4)＝a ，且点A 在直线l 上．(1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程；(2)圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，试推断直线l 与圆C 的位置关系．【答案】 (1)a ＝2，x ＋y －2＝0 (2)相交 【提分秘籍】本题将所给的方程化为考生所生疏的一般方程，然后去解决问题，这是考生在解决参数方程和极坐标方程相互交织问题时的一个重要的思路．【举一反三】(2021·课标全国Ⅰ)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程； (2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)．【高考风向标】1．（2022·福建卷） (Ⅱ)选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a －2t ，y ＝－4t (t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)．(1)求直线l 和圆C 的一般方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围．2．（2022·重庆卷）已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝3＋t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ－4cos θ＝0(ρ≥0，0≤θ<2π)，则直线l 与曲线C 的公共点的极径ρ＝________．3．（2022·辽宁卷）选修4-4：坐标系与参数方程将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C . (1)写出C 的参数方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．程为y －1＝12⎝⎛⎭⎫x －12， 化为极坐标方程，并整理得 2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，即ρ＝34sin θ－2cos θ.【随堂巩固】1．下列参数方程与方程y 2＝x 表示同一曲线的是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t 2(t 为参数) B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin 2t ，y ＝sin t (t 为参数) C.⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝|t |(t 为参数) D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－cos2t 1＋cos2t ，y ＝tan t(t 为参数)2．与参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝21－t(t 为参数)等价的一般方程( )A ．x 2＋y 24＝1 B ．x 2＋y 24＝1(0≤x ≤1) C ．x 2＋y 24＝1(0≤y ≤2) D ．x 2＋y 24＝1(0≤x ≤1,0≤y ≤2)答案 D解析 x 2＝t ，y 24＝1－t ＝1－x 2，x 2＋y 24＝1，而t ≥0,0≤1－t ≤1，得0≤y ≤2.3．圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)的一般方程为____________，设O 为坐标原点，点M (x 0，y 0)在C 上运动，点P (x ，y )是线段OM 的中点，则点P 的轨迹方程为____________．4．已知直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t sin α，y ＝－2＋t cos α(t 为参数)，其中实数α的范围是(0，π2)，则直线l 的倾斜角是________．5．已知抛物线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t 2，y ＝8t (t 为参数)．若斜率为1的直线经过抛物线C 的焦点，且与圆(x －4)2＋y 2＝r 2(r >0)相切，则r ＝________.答案2解析 由抛物线参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t 2，y ＝8t 消去t ，得y 2＝8x ，焦点坐标为(2,0)．∴直线l 的方程为y ＝x －2.又∵直线l 与圆(x －4)2＋y 2＝r 2相切， ∴r ＝|4－2|1＋1＝ 2. 6．直线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)相切，则此直线的倾斜角α＝________.答案 π6或5π6解析 直线y ＝x tan α，圆：(x －4)2＋y 2＝4，如图，sin α＝24＝12.∴α＝π6或5π6.7．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，曲线C 2的方程为ρ(cos θ－sin θ)＋1＝0，则C 1与C 2的交点个数为________．8．圆C ：⎩⎨⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝2＋2sin θ(θ为参数)的半径为______，若圆C 与直线x －y ＋m ＝0相切，则m ＝______.9．求直线⎩⎨⎧x ＝1＋45t ，y ＝－1－35t (t 为参数)被曲线ρ＝2cos(θ＋π4)所截的弦长为________．10．将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3sin 2θ，y ＝4cos2θ(θ为参数)化为一般方程，并指出它表示的曲线．11．已知圆锥曲线⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ是参数)和定点A (0，3)，F 1、F 2是圆锥曲线的左、右焦点．(1)求经过点F 1垂直于直线AF 2的直线l 的参数方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AF 2的极坐标方程．即⎩⎨⎧x ＝32t －1，y ＝12t(t 为参数)．12．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的x 轴的正半轴重合，且两个坐标系的单位长度相同，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t cos α，y ＝1＋t sin α(t 为参数)，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ.(1)若直线l 的斜率为－1，求直线l 与曲线C 交点的极坐标； (2)若直线l 与曲线C 的相交弦长为23，求直线l 的参数方程．∴|2k ＋k ＋1|k 2＋1＝1，∴k ＝0或k ＝－34.∴l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t ，y ＝1(t 为参数)或⎩⎨⎧x ＝－1－45t ，y ＝1＋35t (t 为参数)．13．在极坐标系中，已知点A (2，0)到直线l ：ρsin(θ－π4)＝m (m >0)的距离为3.(1)求实数m 值；(2)设P 是直线l 上的动点，Q 在线段OP 上，且满足|OP ||OQ |＝1，求点Q 轨迹方程，并指出轨迹是什么图形．14．已知圆ρ＝2，直线l：ρcosθ＝4，过极点作射线交圆于A点，交直线l于B点，直线l与极轴的交点为N .(1)求AB中点M的轨迹的极坐标方程；(2)推断△OMN能否为等边三角形，并说明理由．15．已知直线l：ρsin(θ－π4)＝4和圆C：ρ＝2k·cos(θ＋π4)(k≠0)，若直线l上的点到圆C上的点的最小距离等于2.(1)求圆心C的直角坐标；(2)求k值．综上k值为－1.。
