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第二章2 序列傅里叶变换

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《序列的傅里叶变换的定义和性质解析

《序列的傅里叶变换的定义和性质解析

1 序列傅里叶变换的定义
X (e j )
x(n)e jn
n
称为序列x(n)的傅里叶变换，用FT(Fourier Transform)缩写字
母表示。
FT成立的充要条件是序列x(n)满足绝对可和的条件， 即满足下
式：
x(n)
n
序列的傅里叶变换的定义和性质
[例]:设x(n)=RN(n) ， 求x(n)的FT
(1) 共轭对称序列
共轭对称序列xe(n)满足： xe(n)=x*e(-n)
将xe(n)用其实部与虚部表示： xe(n)=xer(n)+jxei(n)
上式两边n用-n代替，取共轭： x*e(-n)=xer(-n)-jxei(-n)
得到：
xer(n)=xer(-n)
实部
是偶
xei(n)=-xei(-n)
xor(n)=－xor(-n)
实部 是奇
函数
xoi(n)= xoi(-n)
虚部
是偶
函数
序列的傅里叶变换的定义和性质
[例1] 试分析x(n)=e jωn的对称性 解： 将x(n)的n用-n代替， 再取共轭得到：
x*(-n)= e jωn 因此 x(n)=x*(-n)，x(n)是共轭对称序列。 将序列展成实部与虚部的形式， 得到
根据上面两式， 得到
xxee ((nn))
1 22
[[ xx((nn))
xx((nn))]]
xxoo ((nn))
11 22
[[ xx((nn))
xx((nn))]]
序列的傅里叶变换的定义和性质
(4) 频域函数X(ejω)的对称性
任意频域函数X(ejω)可表示成共轭对称部分和共轭反对称部 分之和：

《序列的傅里叶变换的定义和性质

《序列的傅里叶变换的定义和性质

X 1 (e ) FT [ x1 (n)], X 2 (e j ) FT [ x2 (n )], j j bX ( e j FT [ ax ( n ) bx ( n )] aX ( e ) ) FT [ ax ( n ) bx ( n )] aX ( e ) bX ( e 1 2 1 2 则： FT [ax ( 1 2 1 j 2 j ) 1 n ) bx2 ( n )] aX 1 ( e ) bX 2 ( e )
H(ejω)=H*(e-jω)
因此实序列的FT的实部是偶函数，虚部是奇函数
即 ：HR(ejω)=HR(e-jω)
HI(ejω)=-HI(e-jω)
序列的傅里叶变换的定义和性质
实因果序列h(n)与其共轭对称部分he(n)和共轭反对称部分 ho(n)的关系
h(n) = he(n) + ho(n)
he(n)=1/2[h(n) + h(-n)] ho(n)=1/2[h(n) - h(-n)] 因为h(n)是实因果序列，he(n)和ho(n)可以用h(n)表示为：
FT[xo(n)]=1/2[X(ejω)-X*(ejω)]=jIm[X(ejω)]=jXI(ejω) 结论：序列的共轭对称部分xe(n)对应着FT的实部XR(ejω)， 而序 列的共轭反对称部分xo(n)对应着FT的虚部[jXI(ejω)] 。
序列的傅里叶变换的定义和性质 总结：序列傅里叶变换的共轭对称性的基本内容如下：

n
n n

结论： 序列分成实部与虚部两部分， 实部对称的FT具有共轭
对称性， 虚部（包含j）一起对应的FT具有共轭反对称性。
序列的傅里叶变换的定义和性质
(b) 序列表示成共轭对称部分xe(n)和共轭反对称部分 xo(n)之和 1

第二章2 序列傅里叶变换

第二章2 序列傅里叶变换

Y (e j ) = X (e j ) H (e j )
上式就是描述线性非时变系统输入和输 出关系的频域表达式，它是卷积关系式在频 域的反映，对卷积表达式两边作序列傅里叶 变换，容易得到相同的关系式。
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2.6.1 采样的基本概念
从原理上说，采样器就是一个开关， 通过控制开关的接通和断开来实现信号的 采样，它的概念如图2.3所示。
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2007年
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j n x ( n ) = A e , h ( n )为系统的单位采样响 设输入
应，求得输出 y ( n) = x( n) h (n) =
k=
h(k ) Ax (n k )
h(k )e j
k= n k= (n k )
=A
= Ae j
h( k )e
j k
= Ae j n H (e j )
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com西北大学信息科学与技术学院2007年线性非时变系统对复指数序列的响应是一个与输入序列具有相同频率的复指数序列但输出复指数序列的幅度和相位与输入序列不同输出幅度等于输入幅度乘以的的幅度输出的相位等于输入相位加上的相位
2.4 离散时间信号和系统的频域表示
2.4.1 线性非时变系统对复指数序列 e j n 的响应
jIm[ x ( n)]
X o (e j )
xe ( n )
xo ( n)
Re[ X (e j )]
jIm[ X (e j )]

第二章 z变换与离散时间傅里叶变换(DTFT)

第二章 z变换与离散时间傅里叶变换(DTFT)

2.2 z变换
定义： X ( z ) = ΖT [ x (n) ]
注意符号：时域小写 x 变换域大写 X
＝ ∑ x(n)z − n
n =−∞ ∞
∞
=
n =−∞
∑ x(n)r
− n − jω n
e
复变量： z = re jω ，复平面上的点 r = z 幅度，到原点的距离 ω 数字角频率, 与水平轴之间的夹角
重叠区域。一般缩小，个别扩大
十一、时域乘积定理 x(n) ⋅ h(n) ←⎯ → X ( z) ∗ H ( z) Rx − Rh− < z < Rx + Rh + 1 ⎛ z ⎞ −1 = ⎟ν dν ∫ X (ν )H ⎜ 2π j C ν ⎝ ⎠ 1 ⎛ z ⎞ −1 = ⎟ν dν ∫ H (ν )X ⎜ 2π j C ν ⎝ ⎠
Rx − < z < Rx +
Rx − < z < Rx +
2.4 z变换的基本性质和定理
若
ZT x(n) ←⎯→ X ( z)
Rx − < z < Rx +
五、共轭序列 x *(n) ←⎯ → X * ( z *)
Rx − < z < Rx +
六、翻摺序列
⎛1⎞ → X ⎜ ⎟, x(− n) ←⎯ ⎝z⎠ 1 1 < z < Rx + Rx −
实用公式——根据极点的阶，用相应的公式求留数
若zr 是X ( z )z n -1 的多重极点（l 阶极点），则该点处的留数
n -1 ⎤ X z Res ⎡ ( )z ⎣ ⎦ z = zr
1 d l −1 ⎡ l = ⋅ l −1 ( z − zr ) X ( z )z n -1 ⎤ ⎦ z = zr ( l－1)! dz ⎣

数字信号处理第三版第2章.ppt

数字信号处理第三版第2章.ppt

| z | 2
试利用部分分式展开法求其Z反变换。
解：
X (z)

A1 1 2z 1

1

A2 0.5
z
1
4 1 1 1 3 1 2z1 3 1 0.5z1
x(n)


4 3

2n

1 3
(0.5)n
u(n)
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
例： 设
X (z)
7）终值定理：设x(n)为因果序列，且X(z)=Z［x(n)］的全部
极点，除有一个一阶极点可以在z=1 处外，其余都在单位
圆内，则 ： lim x(n) lim[(z 1)X (z)]
n
z1
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
8）序列卷积（卷积定理）
若： y(n) x(n) h(n) x(m)h(n m) m
3z (z 3)2

z2
3z , 6z 9
试利用长除法求其Z反变换。
解：
| z | 3
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
2.5.4 Z 变换的性质和定理
1）线性性质
Z［ax(n)+by(n)］=aX(z)+bY(z)
2）序列的移位 Z[x(n m)] zm X (z) Rx | z | Rx
2 j c
c (Rx , Rx )
直接利用围线积分的方法计算逆Z变换比较麻烦。 下面介绍几种常用的逆Z变换计算方法： 1）用留数定理求逆Z变换（了解） 2）部分分式展开法（掌握） 3）幂级数展开法（长除法）
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
例： 设
1

序列傅里叶变换公式

序列傅里叶变换公式

序列傅里叶变换公式
傅里叶变换是一种重要的信号分析工具，可以将一个时域上的连续函数或离散序列转换到频域上。

对于连续函数，其傅里叶变换公式为：
F(w) = ∫[−∞,+∞] f(t)e^(-jwt) dt
其中，F(w)表示频域上的复数函数，f(t)表示时域上的连续函数，ω为角频率。

对于离散序列，其傅里叶变换公式为：
F(k) = Σ[n=0,N-1] f(n)e^(-j2πkn/N)
其中，F(k)表示频域上的复数序列，f(n)表示时域上的离散序列，N表示序列的长度，k为频域上的整数频率。

傅里叶变换的公式可以将时域上的信号转换为频域上的复数函数或序列，从而可以分析信号的频谱特性，包括频率成分、幅度、相位等信息。

这对于信号处理、通信系统设计、图像处理等领域都有着广泛的应用。

序列的傅里叶变换


y(n)e

j( ) n
1 2来自X (e j )Y (e j( ) )d
8
序列的乘积

8．帕斯瓦尔定理 ：能量守恒定理，表明信 号在时域的总能量等于其频域的总能量
1 | x(n) | x(n) x (n) x (n)[ 2 n n n
5
序列傅里叶变换的性质

１．线性：满足叠加原理
DTFT[ax1 (n) bx2 (n)] aX 1 (e j ) bX 2 (e j )

2．序列的移位 ：
DTFT[ x(n k )] e-jk X (e j )

3．序列的调制 ：
DTFT[e j0n x(n)] X (e j( 0 ) )
(2 46)

X ( z ) z e j
n



比较可见: 序列的傅里叶变换在数值上等于它 在z平面单位圆上取值的Z变换。若 Z变换收敛 域包含单位圆，则
X (e j ) X ( z ) z e j
1
傅里叶变换对的计算

频谱用实部和虚部表示
X (e j ) X R (e j ) jX I (e j )

4
序列傅里叶变换的物理意义
1 x(n) IDTFT [ X (e )] 2
j
j

-

X (e j )e jn d
(2 46)
1 2 X (e ) X a ( j j r ) ( P 432 93) T r T T
j
2
例： 求序列傅里叶变换
求序列x(n)= RN (n)的傅里叶变换。 解： RN (e j )

数字信号处理 第二章 DFT


~ N=16：x (4) x((4))16 x((12 16))16 x(12)
例2：
x (n ) x (n ) 0
~ 1 X (k ) k 0 N ~ X (r )
e
j

15
周期序列的傅里叶级数表示：
正变换：
2 N 1 N 1 j nk ~ ~(n) ~(n)e N ~(n)W nk X (k ) DFS x x x N n 0 n 0
反变换：
~ ~(n) IDFS X (k ) 1 x N
j
2 kN N
k mN , m为整数 其他k
W
n 0
N 1
( m k ) n N
1W 1W
( k m ) N N ( k m ) N

1 e
j
1 e
N m k rN 0 mk
此外，复指数序列还有如下性质：
0 WN 1, W N 2 N r 1 1, WN WN r
ek (n)
ek (n) 是以N为周期的周期序列，所以基序
列 {e }（k=0,…,N-1) 只有N个是独立 的，可以用这N个基序列将 ~ ( n) 展开。 x
j 2 nk N
12
复指数序列 ek (n) e
周期性:
j
2 nk N
W
nk N
的性质：
无论对k还是n，复指数序列都具备周期性。
时间函数 连续和非周期 连续和周期(T0) 离散(Ts)和非周期 离散(Ts)和周期(T0) 非周期和连续 非周期和离散(Ω 0=2π /T0) 周期(Ω s=2π /Ts)和连续 周期(Ω s=2π /Ts)和离散(Ω 0=2π /T0) 频率函数

第2章 时域离散信号和系统的频域分析

函数
3、 非周期离散信号的傅里叶变换:频率函数是周期的连续函数 4、 离散周期序列的傅里叶变换:具有既是周期又是离散的频谱，即
时域和频域都是离散的、周期的 规律：一个域的离散就必然造成另一个域的周期延拓。 1、如果信号频域是离散的，则该信号在时域就表现为周期性的时间函 数。 2、在时域上是离散的，则该信号在频域必然表现为周期性的频率函 数。 3、如果时域信号离散且是周期的，由于它时域离散，其频谱必是周期 的，又由于时域是周期的，相应的频谱必是离散的， 4、离散周期序列一定具有既是周期又是离散的频谱，即时域和频域都 是离散周期的。
对于，将以为周期进行周期延拓，得到所示的周期序列， 周期为16， 求的DFS。 可以看出，在时，处频谱的幅度和处是一样的。也就是说，点数越多， 频谱越精确。
..2 离散周期序列的傅里叶变换 各种形式的傅里叶变换 1、 非周期实连续时间信号的傅里叶变换: 频谱是一个非周期的连续
函数 2、 周期性连续时间信号的傅里叶变换: 频谱是非周期性的离散频率
例：设， f0=50 Hz，以采样频率对进行采样， 得到采样信号和时域离 散信号， 求)、和的傅里叶变换的FT。
2.5 序列的Z变换 双边Z变换的定义：序列x(n)的Z变换定义为： 式中：z是一个复变量，它所在的复平面称为z平面。 注意在定义中，对 n求和是在±∞之间求和，可以称为双边Z变换。
为单边Z变换： 适用于因果序列，如果不特别强调，均用双边Z变换对信号进行分析和 变换。 Z变换成立条件： Z变量取值的域称为收敛域。 一般收敛域用环状域表示
在模拟系统中， 的傅里叶变换为 对于时域离散系统中， ，它的傅立叶变换 对于
（
例：求对进行的周期延拓后的周期序列的傅立叶变换FT 注意：对于同一个周期信号， 其DFS和FT分别取模的形状是一样的， 不同的是FT用单位冲激函数表示(用带箭头的竖线表示)。 因此周期序列 的频谱分布用其DFS或者FT表示都可以，但画图时应注意单位冲激函数 的画法。 例：设 ，为有理数，求其FT 物理含义：的FT是在处的单位冲激函数，强度为π，且以2π为周期进行 延拓。

变换与序列的傅里叶变换(DTFT).

(圆内)
反因果序列
z R
1
X (z) x(n)zn
n
例： x(n) anu(n 1) (0 a 1)
解
X (z) Z
x(n)
1
n
az 1
n
n 1
a 1 z
n
1
a 1 z a1z
z 1 z a 1 az1
z a
j Im[z]
anu(n 1)
n 0
Re[z]
(圆环)
园环内极点——因果子序列 z变换的极点 园环外极点——反因果子序列 z变换的极点例： Nhomakorabeax(n)
an bn
n0 (0 a b 1)
n 1
解
X (z) Z
x(n)
1
1 az
1
1
1 bz1
2z2 (a b)z (z a)(z b)
a z b
jIm[z]
[注]双边序列z变换的收敛域边界为
z变换式一定要注明收敛域才能唯一地确定序列
➢ z变换收敛域的形式与序列的形式相对应：
n
x(n) z n R z R
n
z平面
j Im[s]
jΩ
j Im[z]
0
s平面
(s j )
σ
Re[s]
0
z平面
z平面 两个特殊点—— 0 和∞点 有限 z 平面（0 < |z| < ∞ ）
Re[z]
X (z) x(n)zn n
n=0 时，与z 无关
L L x(2)z2 x(1)z x(0) x(1)z1 x(2)z2 L L
根据非零值范围的不同，序列分为：
有限长序列
n1 n n2
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y ( n ) = H (e j ) A e j
n
= | H (e
j
) | Ae
j(
n + a rg [ H ( e j )])
上式中，符号 arg 表示求相位。因此，当一个复 指数序列作用到线性非时变系统时，输出的特征 完全由 H (e j ) 的值决定，H (e j ) 由系统的 h(n) 所 决定。
2.4 离散时间信号和系统的频域表示
2.4.1 线性非时变系统对复指数序列 e j n 的响应
j n x ( n ) = A e , h ( n )为系统的单位采样响 设输入
应，求得输出 y ( n) = x( n) h (n) =
k=
h(k ) Ax (n k )
h(k )e j
k= n k= (n k )
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系统时域和频域描述的关系可以表示为
h (n ) x (n ) H (e j ) X (e j )
符号“ ”表示其左，右两边的式子是一 个互逆的过程。该式也称作“时域卷积定理”。 相应地，还有“频域卷积定理”，关系式为
x(n)h(n) X (e j ) * H (e j )
或
x ( n ) h ( n) 1 2 X (e j ) H (e j(
)
)d
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2.5 序列傅里叶变换的对称性质
共轭对称序列xe(n)定义为 xe(n) = xe*(-n) 若xe(n)为实序列，则xe(n)是偶序列。 共轭反对称序列xo(n) 定义为 xo(n) = -xo*(-n) 若xo(n)为实序列，则xo(n)是奇序列。
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2.4.3 序列的傅里叶变换
X (e j ) =
n=
x(n)e
j n
1 x ( n) = 2
X (e j )e j n d
第一式称作分析式，X (e j ) 表示了序列 x (n) 中不同频率的正弦信号所占比重的相对大小，具 有分析作用；第二式表示序列 x (n) 是由不同频率 的正弦信号线性叠加构成，具有综合作用，称作 综合式。第一式称作傅里叶正变换，第二式称作 傅里叶反变换。
Xs (j ) = xs(t )e
j t
dt =
1 T
k=
xa (t )e
Xa (j
Xa (j jk
j(
k
st )
dt
=
=
1 T k=
1 T
k=
jk
s
)
2 ) T
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根据级数理论，序列傅里叶变换存 在，也就是级数求和收敛的充要条件是
x(n) <
n=
即序列是绝对可和的。对系统而言，当 它是稳定系统时，系统频率响应是存在 的，条件为
分析上式，xS(t)与xa(t)的频谱比较，主 要的变化是：它的频谱变成了周期的，即 X s ( j ) 是周期函数，周期为 s ，也就是说， 离散时间信号的频谱是连续时间信号频谱 以采样频率为周期进行无限项周期延拓的 结果，这是信号采样带来的最重要的变化。 另一点变化是频谱幅度变为原来幅度的1/T。 图2.4表示了这种频谱的变化。
=A
= Ae j
h( k )e
j k
= Ae j n H (e j )
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线性非时变系统对复指数序列的响应是一个 与输入序列具有相同频率的复指数序列，但输出 复指数序列的幅度和相位与输入序列不同，输出 幅度等于输入幅度乘以的 H (e j ) 的幅度，输出的 相位等于输入相位加上 H (e j ) 的相位。
(t )e
T 2
jk
st
dt
t =0
1 = T
T 2
T 2
1 (t )dt = T
δT(t)等效为
1 T (t ) = T e jk
k=
st
因此
1 xs (t ) = xa (t ) T
e
k=
jk
st
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2.4.2 频率响应
对离散系统，频率响应定义如下：
H (e j ) =
n=
h(n)e
j n
频率响应的物理意义可以解释为：它描述了 系统对不同频率的正弦、余弦和复指数序列的响 应能力。当输入为正弦、余弦和复指数序列时， 输出仍为相同频率的序列，唯一改变的是输出序 列的幅度和相位，分别受频率响应的幅度和相位 的影响。
2.6.1 采样的基本概念
从原理上说，采样器就是一个开关， 通过控制开关的接通和断开来实现信号的 采样，它的概念如图2.3所示。
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2.6.2 采样过程中频谱的变化
周期信号δT(t)可以进行傅里叶级数展 开，如下式： 2 jk t
T
(t ) =
k=
T 2
Ak e
T
可以求解出
Ak = 1 T
T (t )e T 2
输入幅度的影响，表示了幅度变化的倍数。 arg[ H (e j )] 称作“相频响应”，它刻画了系统对 输入相位的影响，表示了增加或减小的相位 值。
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虽然离散系统和模拟系统的频率响应意义 很类似，但要注意 H (e j ) 的如下特点： j H (e )是ω的 （１）虽然讨论的是离散系统，但 连续函数； j H (e ) 是ω的周期函数，周期为2π 。 （２） 因此，对频率响应只需考察它的一个周期， 即 [0, 2 ) 或 [ , ) 。
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频率响应可以分成幅度和相位两部分,即
H (e ) = H (e ) e
j j jarg[ H (e j )]
H (e j ) 称作“幅频响应”，它刻画了系统对
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序列 x(n)和X (e j )有以下重要的性质： 若 x (n) X (e j ) 则
x ( n)
Re[ x ( n )]
X (e-j )
X e (e j )
jIm[ x ( n)]
X o (e j )
xe ( n )
xo ( n)
Re[ X (e j )]
jIm[ X (e j )]
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2.6 连续时间信号的采样
y (n) = 2 X (e )e H (e )d
1 = 2 X (e j ) H (e j )e j n d
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所以 可得
1 y ( n) = 2
Y (e j )e j n d
h(n) <
n=
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2.4.4 描述系统输入和输出关系的频域方法
设系统输入x(n)的傅里叶变换存在，即
1 x (n) = 2 X (e j )e j n d
x(n)中的各复指数分量为 X (e j )e j n ，它的响应 为 H (e j ) X (e j )e j n ，根据叠加原理，各分量的响应的叠 加（积分）就是总的响应。 即 1 j j n j
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采样在数学上等效为下列运算：
xs (t ) = xa (t ) s (t ) xa (t ) 是原信号， xs (t ) 式中s(t)是一个开关函数， 是采样后的信号。理想采样情况下，s(t)是无 限多项单位冲击信号 (t )等间隔构成的一个单 位冲激串，即
jk 2 f s t
dt
f s = 1/ T ，是 T (t ) 的基波频率，同时也 式中， 是采样频率。
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令�