第二章连续时间傅里叶变换

连续时间傅里叶变换连续时间傅里叶变换（Continuous-Time Fourier Transform，CTFT）是傅里叶变换（Fourier Transform，FT）的一种，它适用于连续信号。

它能够将连续时间信号表示为一系列相同时间周期内信号幅度和相位不同的空间频率组份，即信号可以按其频率分解为更加精细的空间组份，这也是傅里叶级数的基础。

CTFT可以将任意连续时间信号表示成一组正弦信号的和，即可以将一种信号表示为正弦信号组成的线性组合，这样就可以将信号的复杂性减简，并用数学方法对它进行分析。

从理论上讲，CTFT可以将任意的空间信号表示为一组正弦信号的和，这也是CTFT的核心特性之一，也是CTFT的优势所在。

CTFT的公式可以用以下方式表示：X(ω)=∫-∞σ(t)e-^{jωt} dt其中ω为频率，s(t)为连续时间信号，X(ω)表示其傅里叶变换。

具体而言，CTFT既能够反映信号的时间变化，也能够反映其频域变化，可以将信号从时域变换到频域，允许我们从不同的角度看待信号，从而更好地理解信号。

如果将CTFT与频域分析进行比较，CTFT能够更精确地捕捉信号特征，可以更精确地确定频率、幅度和相位，因此它在信号处理、声学分析和时域分析等方面具有重要作用。

CTFT能够有效应用于维纳滤波器（Wiener Filters）、短时傅里叶变换（Short Time Fourier Transform，STFT）和抗谐波滤波（Notch Filters）等方面，通过CTFT的应用，可以利用频域的信号表示技术来提高信号分析的精度和效率。

总的来说，CTFT是一种非常实用的时域分析工具，它能够密切捕捉信号的复杂性，在信号处理，时域分析和声学分析等方面都有着广泛的应用，为更好地获取信号中的有价值信息提供了重要的视角。

连续时间周期信号傅里叶级数：⎰=T dt t x Ta )(1⎰⎰--==T tTjkT tjk k dt et x Tdt et x Ta πω2)(1)(1离散时间周期信号傅里叶级数：[][]()∑∑=-=-==Nn nN jk Nn njkwk e n x Ne n x Na /2110π连续时间非周期信号的傅里叶变换：()⎰∞∞--=dt e t x jw Xjwt )(连续时间非周期信号的傅里叶反变换：()dw e jw X t x jwt ⎰∞∞-=π21)(连续时间周期信号傅里叶变换：∑+∞-∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=k k kw a jw X T 22)(πδπ连续时间周期信号傅里叶反变换：()dw e w w t x jwt ⎰∞∞--=0221)(πδπ离散时间非周期信号傅里叶变换：∑∞-∞=-=nnj e n x eX ωωj ][)(离散时间非周期信号傅里叶反变换：⎰=π2d e )(e π21][ωωωn j j X n x离散时间周期信号傅里叶变换：∑+∞-∞=-=kk k a X )(π2)e (0j ωωδω离散时间周期信号傅里叶反变换：[]ωωωδωd e n n j ⎰--=π20πl)2(π2π21][x拉普拉斯变换：()dt e t s Xst -∞∞-⎰=)(x拉普拉斯反变换：()()s j21t x j j d e s X st ⎰∞+∞-=σσπZ 变换：∑∞-∞=-=nnz n x X ][)z (Z 反变换： ⎰⎰-==z z z X r z X n x n nd )(πj21d )e ()(π21][1j π2ωω。

连续时间信号的傅里叶变换的对称傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的数学工具。

在信号处理和通信系统中，傅里叶变换广泛应用于信号的分析与处理。

对于连续时间信号而言，傅里叶变换可以用于将信号从时域表示转换到频域表示，并且在频域中可以观察到信号的频谱特性。

连续时间信号的傅里叶变换的对称性是指在频域中存在一些特殊的对称关系。

具体来说，连续时间信号的傅里叶变换具有以下几种对称性：偶对称、奇对称和周期性对称。

偶对称性是指当信号在时域中关于原点对称时，在频域中的傅里叶变换具有偶对称性。

换句话说，如果一个信号在时域中满足x(t) = x(-t)，那么它的傅里叶变换X(jω)具有偶对称性，即X(jω) = X(-jω)。

具体来说，对于偶对称信号，其频谱在负频率部分与正频率部分是镜像对称的。

奇对称性是指当信号在时域中关于原点对称时，在频域中的傅里叶变换具有奇对称性。

换句话说，如果一个信号在时域中满足x(t) = -x(-t)，那么它的傅里叶变换X(jω)具有奇对称性，即X(jω) = -X(-jω)。

具体来说，对于奇对称信号，其频谱在负频率部分与正频率部分是关于坐标轴对称的。

周期性对称性是指当信号在时域中具有周期性时，在频域中的傅里叶变换也具有周期性。

具体来说，如果一个信号在时域中具有周期性，那么它的傅里叶变换在频域中也具有相应的周期性。

周期性对称性在信号处理中有着重要的应用，可以用于分析周期性信号的频谱特性。

这些对称性的存在使得我们可以通过观察傅里叶变换的对称性来判断信号在时域中的对称性或周期性。

通过对信号的傅里叶变换进行分析，我们可以得到信号的频谱信息，进而了解信号的频率成分和特征。

而傅里叶变换的对称性则为我们提供了一种便捷的方法来判断信号的对称性或周期性，从而更好地理解信号的特性。

总结起来，连续时间信号的傅里叶变换具有偶对称性、奇对称性和周期性对称性。

这些对称性的存在使得我们可以通过观察傅里叶变换的对称性来判断信号在时域中的对称性或周期性。

傅里叶变换的变换对对于N点序列{x[n ]} 0 ≤ n < N ，它的离散傅里叶变换（DFT）为? x [k ] = N - 1 Σ n = 0 e - i 2 π –––––N n k x[n ] k = 0,1, …,N-1. 其中e 是自然对数的底数，i 是虚数单位。

通常以符号F表示这一变换，即? x = Fx 离散傅里叶变换的逆变换（IDFT）为：x[n ] = 1 ––N N - 1 Σ k = 0 e i 2 π –––––N nk ? x [k ] n = 0,1, …,N-1. 可以记为：x = F -1 ? x 实际上，DFT和IDFT变换式中和式前面乘上的归一化系数并不重要。

在上面的定义中，DFT和IDFT前的系数分别为 1 和1/N。

有时会将这两个系数都改成1/ √ ––N ，这样就有x = FFx，即DFT成为酉变换。

从连续到离散连续时间信号x(t) 以及它的连续傅里叶变换（CT）? x ( ω) 都是连续的。

由于数字系统只能处理有限长的、离散的信号，因此必须将x 和? x 都离散化，并且建立对应于连续傅里叶变换的映射。

数字系统只能处理有限长的信号，为此假设x(t)时限于[0, L]，再通过时域采样将x(t) 离散化，就可以得到有限长的离散信号。

设采样周期为T，则时域采样点数N=L/T。

x discrete (t) = x (t) N - 1 Σ n = 0 δ(t-nT) = N - 1 Σ n = 0 x (nT) δ(t-nT) 它的傅里叶变换为? x discrete ( ω) = N - 1 Σ n = 0 x (nT)F δ(t-nT) = 1 ––T N - 1 Σ n = 0 x (nT)e - i 2 π n ω T 这就是x(t)时域采样的连续傅里叶变换，也就是离散时间傅里叶变换，它在频域依然是连续的。

类似的，频域信号也应当在带限、离散化之后才能由数字系统处理。

连续信号的傅里叶变换一、引言连续信号的傅里叶变换是信号处理领域中非常重要的一部分。

它可以将时域上的连续信号转换为频域上的频谱，从而方便我们对信号进行分析和处理。

在本文中，我们将详细介绍连续信号的傅里叶变换的相关概念、公式以及应用。

二、连续信号与傅里叶变换1. 连续信号在信号处理领域中，连续信号是指在时间上是连续的函数。

它可以表示为：f(t) = A*cos(ωt + φ)其中，A表示振幅，ω表示角频率，φ表示相位。

2. 傅里叶变换傅里叶变换是一种将时域上的函数转换为频域上函数的方法。

对于一个连续信号f(t)，它的傅里叶变换F(ω)可以表示为：F(ω) = ∫f(t)*exp(-jωt)dt其中，j为虚数单位。

3. 傅里叶变换公式对于一个实数函数f(t)，其傅里叶变换F(ω)和反变换f(t)可以表示为：F(ω) = ∫f(t)*exp(-jωt)dtf(t) = (1/2π)∫F(ω)*exp(jωt)dω4. 傅里叶变换的性质傅里叶变换具有许多重要的性质，包括线性性、平移性、卷积定理等。

这些性质使得傅里叶变换在信号处理中得到了广泛的应用。

三、连续信号的频域表示1. 频谱对于一个连续信号f(t)，它的频谱是指在频域上表示该信号的振幅和相位信息。

通常情况下，我们将频谱表示为F(ω)或S(ω)，其中F(ω)为傅里叶变换结果，S(ω)为傅里叶变换结果的幅度谱。

2. 幅度谱和相位谱对于一个连续信号f(t)，它的频谱可以分解为振幅和相位两个部分。

振幅谱指的是在不同频率下该信号振动的强度大小，而相位谱则表示不同频率下该信号振动相对于某个参考点所处的相位差。

四、应用举例1. 语音信号处理语音信号是一种典型的连续信号，在语音处理领域中，傅里叶变换被广泛应用于声学特征提取、语音识别等方面。

通过对语音信号的傅里叶变换，我们可以得到该信号在不同频率下的频谱信息，从而方便我们进行特征提取和分类。

2. 图像处理图像信号也是一种连续信号，在图像处理领域中，傅里叶变换被广泛应用于图像滤波、图像增强等方面。

信号与系统第三版课后习题答案信号与系统第三版课后习题答案信号与系统是电子信息类专业中一门重要的基础课程，它是研究信号的产生、传输、处理和识别的学科。

在学习这门课程时，课后习题是非常重要的，它可以帮助我们巩固所学的知识，并且提高解决问题的能力。

下面是信号与系统第三版课后习题的答案。

第一章：信号与系统的基本概念1. 信号是指随时间、空间或其他独立变量的变化而变化的物理量。

系统是指能够对输入信号进行处理并产生输出信号的物理设备或数学模型。

2. 连续时间信号是在连续时间范围内定义的信号，可以用连续函数表示。

离散时间信号是在离散时间范围内定义的信号，可以用数列表示。

3. 周期信号是指在一定时间间隔内重复出现的信号，具有周期性。

非周期信号是指不具有周期性的信号。

4. 奇对称信号是指关于原点对称的信号，即f(t)=-f(-t)。

偶对称信号是指关于原点对称的信号，即f(t)=f(-t)。

5. 系统的线性性质是指系统满足叠加原理，即对于输入信号的线性组合，输出信号也是这些输入信号的线性组合。

6. 系统的时不变性质是指系统对于不同时间的输入信号，输出信号的特性是不变的。

7. 系统的因果性质是指系统的输出只依赖于当前和过去的输入信号，而不依赖于未来的输入信号。

第二章：连续时间信号与系统的时域分析1. 奇偶分解是将一个信号分解为奇对称和偶对称两个部分的过程。

奇偶分解的目的是简化信号的处理和分析。

2. 卷积是信号处理中常用的一种操作，它描述了两个信号之间的相互作用。

卷积的定义为：y(t) = ∫[x(τ)h(t-τ)]dτ。

3. 系统的冲激响应是指系统对于单位冲激信号的输出响应。

冲激响应可以用来描述系统的特性和性能。

4. 系统的单位阶跃响应是指系统对于单位阶跃信号的输出响应。

单位阶跃响应可以用来描述系统的稳定性和响应速度。

5. 系统的单位斜坡响应是指系统对于单位斜坡信号的输出响应。

单位斜坡响应可以用来描述系统的积分特性。

z 变换与离散时间Fourier 1、z 变换2、离散时间3、序列的z Fourier 变换的关系4、离散系统的系统函数，系统的频率响应信号与系统的分析方法：时域分析方法 变换域分析方法连续时间信号与系统： Fourier Laplace离散时间信号与系统： z 变换离散时间信号与系统的分析方法2.1.1 z 变换的定义2.1 z 变换：z X )(其中成一个复平面，称为ωj e r z ⋅=(x z 反变换：其中，积分路径是在逆时针旋转的闭合围线。

在数字信号处理中，不需要用围线积分来求2.1.2 z 变换的收敛域对任意给定序列的所有z 值的集合称为z 变换公式的级数收敛的充要条件是满足绝对可和，对某一具体的使该不等式成立，这个域，收敛域内不能有极点。

n ∞=−∞∑2.1.3 4 种典型序列的除0 和∞两点是否收敛与n 1和n 2取值情况有关外，整个z 平面均收敛。

1. 有限长序列x (n ) 只在n 1≤n ()()z X z x n 其变换：即要求： ROC 至少为：1()()X z x n z −=0(0)x z +如果n 2 ≤0 n 1<0，n 2≤如果n 1≥0 n 1≥0，n 2> 0如果n 1< 0 <n 1<0，n 2 > 0 1100n n Roc ∴≥<当时， 当时， 因果序列的处收敛在∞处收敛的变换，其序列必为因果序列在工程中，人们感兴趣的主要是因果序列。

1()()n n X z x n ∞==∑2. 右边序列x (n ) 在n ≥n 1时有值，在2200n n Roc ∴≤>当时， 当时，2()()()n n n X z x n x n =−∞=−∞==∑∑3. 左边序列x (n ) 在n ≤n 2 时有值，在x x x x x R R R R z R −+−++∴≥<<<当时， 当时，0()()()nn n X z x n x n z ∞−=−∞==∑ Roc: 0≤前式 Roc: x R −后式4. 双边序列n 为任意值时x 例1：x (n )=δ(变换及收敛域。

连续时间傅⾥叶变换連續時間傅裡葉變換(Continuous Time Fourier Transform)引⾔傅裡葉變換試圖將⾮週期信號也納⼊到傅裡葉的體系中。

對於⾮週期信號，可以看成是週期無限⾧的週期信號。

當週期無限⼤時，傅裡葉級數的頻率分量就變成了⼀個連續域。

⾮週期信號的表⽰：連續時間傅裡葉變換⾸先以週期⽅波為例，即在⼀個週期內x(t)=1,|t|<T10,T1<|t|<T/2若將其表⽰為傅裡葉級數，其傅裡葉級數的係數為a k=2sin(kω0T1)kω0T將其在頻域圖上畫出來，並逐漸增⼤週期T就可以得到下圖可想⽽知，隨著T的增⼤，頻率越來越⼩，包絡線裡⾯的頻率越來越密集，最終形成⼀條連續的曲線。

傅裡葉變換的⼯作就是要求出這條曲線，從⽽完成信號從時域到頻域的轉換。

這就是對⾮週期信號建⽴傅裡葉級數表⽰的基本思想。

將˜x(t)看作是x(t)的⼀個週期，由於傅裡葉的級數表⽰是在⼀個週期內推出來的，所以對於⾮週期信號的⼀個週期，也有˜x(t)=+∞∑k=−∞a k e jkω0t a k=1T∫T2−T2˜x(t)e−jkω0t dt由於⾮週期信號可以看成只有⼀個週期的信號，所以在週期之外，即|t|>T/2時，x(t)=0，⽽在週期之內，˜x(t)=x(t)，則有a k=1T∫+∞k=−∞x(t)e−jkω0t dt則可以得到X(jω)=Ta k=∫+∞−∞x(t)e−jωt dt 稱X(jω)為Ta k的包絡。

再將a k=X(jω)T代⼊式1得˜x(t)=+∞∑k=−∞1T X(jkω0)ejkω0t=12π+∞∑k=−∞X(jkω0)e jkω0tω0當T→∞時，˜x(t)→x(t),ω0→0，因此ω0可以看作⼀個微分，⽽右端式⼦可以看作⼀個積分式。

則有x(t)=12π∫+∞−∞X(jω)e jωt dω{⽽X(jω)=∫+∞−∞x(t)e−jωt dt這兩式即稱為⼀對傅裡葉變換對。