[VIP专享]第二章 离散傅里叶变换 数字信号处理习题答案8

第二章习题解答1、求下列序列的z 变换()X z ，并标明收敛域，绘出()X z 的零极点图。

(1) 1()()2nu n (2) 1()()4nu n - (3) (0.5)(1)nu n --- (4) (1)n δ+(5) 1()[()(10)]2nu n u n -- (6) ,01na a <<解：(1) 00.5()0.50.5nn n n zZ u n z z ∞-=⎡⎤==⎣⎦-∑，收敛域为0.5z >，零极点图如题1解图(1)。

(2) ()()014()1414n nn n z Z u n z z ∞-=⎡⎤-=-=⎣⎦+∑，收敛域为14z >，零极点图如题1解图(2)。

(3) ()1(0.5)(1)0.50.5nnn n zZ u n z z --=-∞-⎡⎤---=-=⎣⎦+∑，收敛域为0.5z <，零极点图如题1解图(3)。

(4) [](1Z n z δ+=，收敛域为z <∞，零极点图如题1解图(4)。

(5) 由题可知，101010910109(0.5)[()(10)](0.5)()(0.5)(10)0.50.50.50.50.50.5(0.5)n n nZ u n u n Z u n Z u n z z z z z z z z z z z --⎡⎤⎡⎤⎡⎤--=--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⋅=-----==--收敛域为0z >，零极点图如题1解图(5)。

(6) 由于()(1)nn n a a u n a u n -=+--那么，111()(1)()()()nn n Z a Z a u n Z a u n z z z a z a z a a z a z a ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤=---⎣⎦⎣⎦⎣⎦=----=-- 收敛域为1a z a <<，零极点图如题1解图(6)。

(1) (2) (3)(4) (5) (6)题1解图2、求下列)(z X 的反变换。

2－1 试求如下序列的傅里叶变换： （1）)()(01n n n x -=δ （2）)1(21)()1(21)(2--++=n n n n x δδδ （3）),2()(3+=n u a n x n10<<a（4）)4()3()(4--+=n u n u n x（5）∑∞=-⎪⎭⎫⎝⎛=05)3(41)(k nk n n x δ（6）()6cos ,14()0,n n x n π⎧-≤≤=⎨⎩其他解： （1） 010()()j n j j nn X e n n ee ωωωδ∞--=-∞=-=∑（2） 2211()()122j j nj j n X e x n e e e ωωωω∞--=-∞==+-∑ωsin 1j +=（3） 2232()(2)1j j nj nn j nj n n a e X e a u n ea eaeωωωωω-∞∞---=-∞=-=+==-∑∑， 10<<a（4） []4()(3)(4)j j nn X e u n u n eωω∞-=-∞=+--∑∑-=-=33n nj e ω∑∑==-+=313n n j n nj e eωω（等比数列求解）ωωωωωj j j j j e e e e e --+--=--111134=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛=----ωωωωω21sin 27sin 1137j j j e ee ((1-e^a)提出e^(0.5a))（5） 3350011()(3)44nkj jn j k n k k X e n k e e ωωωδ∞∞+∞--=-∞==⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∞+=--⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛=033411141k j kj e e ωω（6） 44336441()cos 32j j j jn jn n n X e nee e e ππωωωπ---=-=-⎛⎫==+ ⎪⎝⎭∑∑994()()4()()3333001122j j n j j n n n e e e e ππππωωωω--++===+∑∑ ()9()9334()4()33()()3311112211j j j j j j e e e e e e ππωωππωωππωω-+-+-+⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦2－2 设信号}1,2,3,2,1{)(---=n x ，它的傅里叶变换为)(ωj e X ，试计算(1)0()j X e （２）()j X ed πωπω-⎰（３）2()j X e d πωπω-⎰。

2－1 试求如下序列的傅里叶变换： （1）)()(01n n n x -=δ （2）)1(21)()1(21)(2--++=n n n n x δδδ （3）),2()(3+=n u a n x n10<<a（4）)4()3()(4--+=n u n u n x（5）∑∞=-⎪⎭⎫⎝⎛=05)3(41)(k nk n n x δ（6）()6cos ,14()0,n n x n π⎧-≤≤=⎨⎩其他解： （1） 010()()j n j j nn X e n n ee ωωωδ∞--=-∞=-=∑（2） 2211()()122j j nj j n X e x n e e e ωωωω∞--=-∞==+-∑ωsin 1j +=（3） 2232()(2)1j j nj nn j nj n n a e X e a u n ea eaeωωωωω-∞∞---=-∞=-=+==-∑∑， 10<<a（4） []4()(3)(4)j j nn X e u n u n eωω∞-=-∞=+--∑∑-=-=33n nj e ω∑∑==-+=313n n j n nj e eωωωωωωωj j j j j e e e e e --+--=--111134=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛=----ωωωω21sin 27sin 1137j j j e ee（5） 3350011()(3)44n kj jn j k n k k X e n k e e ωωωδ∞∞+∞--=-∞==⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∞+=--⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛=033411141k j kj e e ωω（6） 44336441()cos 32j j j jn jn n n X e nee e e ππωωωπ---=-=-⎛⎫==+ ⎪⎝⎭∑∑994()()4()()3333001122j j n j j n n n e e e e ππππωωωω--++===+∑∑ ()9()9334()4()33()()3311112211j j j j j j e e e e e e ππωωππωωππωω-+-+-+⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦2－2 设信号}1,2,3,2,1{)(---=n x ，它的傅里叶变换为)(ωj e X ，试计算(1)0()j X e （２）()j X ed πωπω-⎰（３）2()j X e d πωπω-⎰。

部分练习题参考答案第二章2.1 )1(2)(3)1()2(2)(-+++-+=n n n n n x δδδδ)6()4(2)3()2(-+-+-+-+n n n n δδδδ2.2 其卷积过程如下图所示)5(5.0)4()3()2(5.2)1(5)(2)(-------+-+=n n n n n n n y δδδδδδ2.3 （1）3142,73==ωππω这是有理数，因此是周期序列。

周期N =14。

（2）k kp ππ168/12==，k 取任何整数时，p 都不为整数，因此为非周期序列。

（3）k kp k k p 45.02,5126/5221====ππππ，当p 1，p 2 同时为整数时k =5,x (n )为周期序列,周期N =60。

（4）k kp πππ25.16.12==，取k =4，得到p =6，因此是周期序列。

周期N =6。

2.4 （1） ∑∞-∞=-=*=m m n R m R n h n x n y )()()()()(45(a) 当n <0 时，y (n )=0-0.5 -1 2.55h (m ) x (m ) 00 mm-121 0.51 2 h (0-m)m-121 h (-1-m)m-12 1h (1-m) 0m-121y (n )n-12(b) 当30≤≤n 时，11)(0+==∑=n n y nm(c) 当74≤≤n 时，n n y n m -==∑-=81)(34(d) 当n>7时，y (n )=0所以743070810)(≤≤≤≤><⎪⎩⎪⎨⎧-+=n n n n n n n y 或 （2）)2(2)(2)]2()([)(2)(444--=--*=n R n R n n n R n y δδ)]5()4()1()([2-----+=n n n n δδδδ（3）∑∞-∞=--=*=m mn m n u m R n y n x n y )(5.0)()()()(5∑∞-∞=--=m mnm n u m R )(5.0)(5.05(a) 当n <0 时，y (n )=0 (b) 当40≤≤n 时，n n nnm mn n y 5.0221215.05.05.0)(1-=--==+=-∑(c) 当5≥n 时，n nm mn n y 5.03121215.05.05.0)(540⨯=--==∑=- 最后写成统一表达式：)5(5.031)()5.02()(5-⨯+-=n u n R n y nn（4）∑∞-∞=-=*=m mn m R n h n x n y 5.0)()()()(3(a) 当n ≤0 时，y (n )=0(b) 当31≤≤n 时，n nnn m mnn y 5.0121215.05.05.0)(1-=--==∑-=-(c) 当54≤≤n 时，25.05.01621)21(25.05.05.0)(6232-⨯=--==---=-∑n n n nn m mnn y(d) 当n ≥6时，y (n )=0)5(25.0)4(75.0)3(875.0)2(75.0)1(5.0)(-+-+-+-+-=n n n n n n y δδδδδ2.6 （1）非线性、移不变系统（2）线性、移不变系统 （3）线性、移变系统 （4）非线性、移不变系统 （5）线性、移变系统2.7 （1）若∞<)(n g ，则稳定，因果，线性，时变（2）不稳定，0n n ≥时因果，0n n <时非因果，线性，时不变 （3）线性，时变，因果，不稳定 2.8 （1）因果，不稳定（2）因果，稳定（3）因果，稳定 （4）因果，稳定 （5）因果，不稳定 （6）非因果，稳定 （7）因果，稳定 （8）非因果，不稳定 （9）非因果，稳定 （10）因果，稳定2.9 因为系统是因果的，所以0)(,0=<n h n令)()(n n x δ=，)1(5.0)()1(5.0)()(-++-==n x n x n h n h n y 1)1(5.0)0()1(5.0)0(=-++-=x x h h15.05.0)0(5.0)1()0(5.0)1(=+=++=x x h h 5.0)1(5.0)2()1(5.0)2(=++=x x h h 25.0)2(5.0)3()2(5.0)3(=++=x x h h 15.0)1(5.0)()1(5.0)(-=-++-=n n x n x n h n h所以系统的单位脉冲响应为)1(5.0)()(1-+=-n u n n h n δ2.10 （1）初始条件为n <0时，y (n )=0设)()(n n x δ=，输出)(n y 就是)(n h 上式可变为)()1(5.0)(n n h n h δ+-=可得 11)1(5.0)0(=+-=h h 依次迭代求得5.00)0(5.0)1(=+=h h25.00)1(5.0)2(=+=h hn n h n h 5.00)1(5.0)(=+-=故系统的单位脉冲响应为)(5.0)(n u n h n= （2）初始条件为n ≥0时，y (n )=0)]()([2)1(n x n y n y -=-0,0)(≥=n n h2)]0()0([2)1(-=-=-x h h 22)]1()1([2)2(-=---=-x h h 32)]2()2([2)3(-=---=-x h hn n h n h 2)1(2)(-=+=所以)1(2)(---=n u n h n2.11 证明（1）因为∑∞-∞=-=*m m n h m x n h n x )()()()(令m n m -='，则)()()'()'()()('n x n h m h m n x n h n x m *=-=*∑∞-∞=（2）利用（1）证明的结果有)]()([)()]()([)(1221n h n h n x n h n h n x **=**∑∞-∞=-*-=m m n h m n h m x )]()()[(12∑∑∞-∞=∞-∞=--=m k k m n h k h m x )()()(12交换求和的次序有∑∑∞-∞=∞-∞=--=**k m k m n h m x k h n h n h n x )()()()]()([)(1221∑∞-∞=-*-=k k n h k n x k h )]()()[(12)]()([)(12n h n x n h **= )()]()([21n h n h n x **=（3）∑∞-∞=-+-=+*m m n h m n h m x n h n h n x )]()()[()]()([)(2121∑∑∞-∞=∞-∞=-+-=m m m n h m x m n h m x )()()()(21)()()()(21n h n x n h n x *+*=2.12 ∑∞-∞=--=*=m m n Nm n u a m Rn y n x n y )()()()()(∑∞-∞=--=m m Nnm n u a m Ra)()((a) 当n <0 时，y (n )=0(b) 当10-≤≤N n 时，11/11)/1(1)(110--=--==++=-∑a a a a a aan y n n nnm mn(c) 当N n ≥时，1)/1(1)/1(1)(111--=--==+-+-=-∑a a a a a a aan y N n n N nN m mn最后写成统一表达式：)(1)(11)(111N n u a a a n R a a n y N n n N n ---+--=+-++ 2.13 )]4()([*)()()()(11--=*=n n n u n h n x n y δδ)()4()(4n R n u n u =--=)()()()()(421n u a n R n h n y n y n *=*=)4(1)(113141---+--=-++n u a a a n R a a n n n2.14 （1）采样间隔为005.0200/1==T)()82sin()(ˆ0nT t nT f t xn a -+=∑∞-∞=δππ)()8100sin(nT t nT n -+=∑∞-∞=δππ（2）)85.0sin()(ππ+=n n x数字频率πω5.0=，42=ωπ，周期N =42.15 （1）0)()(0n j n n j j e e nn eX ωωωδ-∞-∞=-=-=∑ （2）∑∑∞=-+-∞-∞=-==0)(0)()(n n j n j n nj j e e en x eX ωωαωω∑∞=--=0)(0n nj eeωωα)(01ωωα---=j ee （3）∑∑∑∞=+-∞=--∞-∞=-===)(0)()(n n j n nj nn nj j e eeen x eX ωαωαωω)(11ωαj e +--=（4）∑∑∞=--∞-∞=-==0cos )()(n n j n n nj j ne e en x eX ωαωωω∑∑∞=----+---∞=-+=+=0)()(0][21)(210000n n j j n j j nj n j n j n ne e e e e e ωωαωωαωωωααωαωαωωωαωωαωω2200)()(cos 21cos 111112100------+----+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=e e e e e e e e e e j j j j j （5）nj N N n n nj j e n N en x eX ωωωπ--=∞-∞=-∑∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+==12cos 1)()( ∑∑-=---=-++=1212)(21N N n n j n N j nN j N Nn nj e e e eωππω ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+--+--=+-+-+-------)()()()()()(1)1(1)1(211)1(ωπωπωπωπωπωπωωωN j N N j N N j N j N N j N N j j Nj Nj e e e e e e e e e-0.92-0.380.920.38x (n ) 0nωωωωωωπωN j j j j N j e N e e Ne N e N 232)123()2cos(cos 21cos 12sin )2sin(------+--+=2.16 （1）⎰⎰⎰-==--πωπωππωωωπωπωπ002121)(21)(d je d je d e e H n h n j nj n j j ⎪⎩⎪⎨⎧=--=为奇数为偶数n n n n n ππ20)1(1 （2）)sin()()()(011n n h n x n y ω=*=)cos()()()(022n n h n x n y ω-=*=2.17 （1）)(ωj eX -*（2）)]()([21ωωj j e X eX -*+（3）)]()([2122ωωj j e X e X -+（4）)(2ωj e X2.18采样间隔为25.0=T ，采样频率π8=Ωs)(1t y a 没有失真，因为输入信号的频率π21=Ω小于π42=Ωs)(2t y a 失真，因为输入信号频率π52=Ω大于π42=Ωs第三章3．1 设)(ωj eX 和)(ωj e Y 分别是)(n x 和)(n y 的傅里叶变换，试求下列序列的傅里叶变换：（1）)(0n n x - （2） )(*n x （3） )(n x - （4） )(*)(n y n x （5） )()(n y n x ∙ （6） )(n nx （7） )2(n x （8）)(2n x （9）⎩⎨⎧===奇数，偶数n n n x n x 0),2()(9解：（1） FT[)(0n n x -]=∑∞-∞=--n n j e nn x ω)(0令0n n n -='，0n n n +'=，则FT[)(0n n x -]=)()(00)(ωωωj n j n n n j e X e e n x -∞-∞=+''-='∑ （2） FT[)(*n x ]=)(*])([)(**ωωωj n n j n nj e X e n x en x-∞-∞=-∞-∞=-∑∑==（3） FT[)(n x -]=∑∞-∞=--n nj en x ω)(令n n -='，则FT[)(n x -]=∑∞-∞=''n n j e n x ω)()(ωj e X -=（4） FT[)(*)(n y n x ]=)(ωj eX )(ωj e Y证明 )(*)(n y n x =∑∞-∞=-m m n y m x )()(FT[)(*)(n y n x ]=∑∑∞-∞=-∞-∞=-n nj m em n y m x ω)]()([令m n k -=，则FT[)(*)(n y n x ]=m j k kj m e ek y m x ωω-∞-∞=-∞-∞=∑∑)]()([=mj k m kj em x ek y ωω-∞-∞=∞-∞=-∑∑)()(=)(ωj eX )(ωj e Y（5） FT[)()(n y n x ∙] =∑∞-∞=-n nj en y n x ω)()(=∑⎰∞-∞=-'-''n n j n j j e d e eY n x ωωππωωπ])(21)[(=ωπωωππω'∑⎰∞-∞='---'d e n x eY n n j j )()()(21=ωπωωππω''--'⎰d e X e Y j j )()(21)( 或者 FT[)()(n y n x ]=)(*)(21ωωπj j e Y e X（6） 因为∑∞-∞=-=n nj j en x eX ωω)()(，对该式两边对ω求导，得到j e n nx j d e dX n n j j -=-=∑∞-∞=-ωωω)()(FT[)(n nx ] 因此 FT[)(n nx ]=ωωd e dX j j )(（7） FT[)2(n x ]=∑∞-∞=-n nj en x ω)2(令n n 2='，则FT[)2(n x ]=∑''-'取偶数n n j en x 2)(ω=n j nn e n x n x ω21)]()1()([21-∞-∞=-+∑=])()([212121n j n n j n j n e n x e en x ωπω-∞-∞=-∞-∞=∑∑+ =)]()([21)21(21πωω-+j j e X e X 或者FT[)2(n x ]=)()]()([21212121ωωωj j j e X e X eX =+ （8） FT[)(2n x ]=∑∞-∞=-n n j e n xω)(2利用（5）题结果，令)()(n y n x =，则FT[)(2n x ]=)(*)(21ωωπj j e X e X =ωπωωππω''--'⎰d e X e X j j )()(21)( （9） FT[)(9n x ]=∑∞-∞=-取偶数n n n j e nx ω)2(令∞≤'≤∞-='n n n ,2，则FT[)(9n x ]=)()(22ωωj n n n j e X en x ='∑∞-∞='-取偶数3．2 已知⎩⎨⎧≤<<=πωωωωω||,0||,1)(00j e X求)(ωj eX 的傅里叶反变换)(n x 。

2－1 试求如下序列的傅里叶变换： （1）)()(01n n n x -=δ （2）)1(21)()1(21)(2--++=n n n n x δδδ （3）),2()(3+=n u a n x n10<<a（4）)4()3()(4--+=n u n u n x（5）∑∞=-⎪⎭⎫⎝⎛=05)3(41)(k nk n n x δ（6）()6cos ,14()0,n n x n π⎧-≤≤=⎨⎩其他解： （1） 010()()j n j j nn X e n n ee ωωωδ∞--=-∞=-=∑（2） 2211()()122j j nj j n X e x n e e e ωωωω∞--=-∞==+-∑ωsin 1j +=（3） 2232()(2)1j j nj nn j nj n n a e X e a u n ea eaeωωωωω-∞∞---=-∞=-=+==-∑∑， 10<<a（4） []4()(3)(4)j j nn X e u n u n eωω∞-=-∞=+--∑∑-=-=33n nj e ω∑∑==-+=313n n j n nj e eωωωωωωωj j j j j e e e e e --+--=--111134=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛=----ωωωω21sin 27sin 1137j j j e ee（5） 3350011()(3)44n kj jn j k n k k X e n k e e ωωωδ∞∞+∞--=-∞==⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∞+=--⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛=033411141k j kj e e ωω（6） 44336441()cos 32j j j jn jn n n X e nee e e ππωωωπ---=-=-⎛⎫==+ ⎪⎝⎭∑∑994()()4()()3333001122j j n j j n n n e e e e ππππωωωω--++===+∑∑ ()9()9334()4()33()()3311112211j j j j j j e e e e e e ππωωππωωππωω-+-+-+⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦2－2 设信号}1,2,3,2,1{)(---=n x ，它的傅里叶变换为)(ωj e X ，试计算(1)0()j X e （２）()j X ed πωπω-⎰（３）2()j X e d πωπω-⎰。