数学等差数列及其前n项和专题复习

高二数学复习考点知识精讲与练习 专题9 等差数列的前n 项和公式【考点梳理】考点一 等差数列的前n 项和公式考点二 等差数列前n 项和的性质1．若数列{a n }是公差为d 的等差数列，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列，且公差为d2.2．设等差数列{a n }的公差为d ，S n 为其前n 项和，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍构成等差数列，且公差为m 2d .3．若等差数列{a n }的项数为2n ，则S 2n ＝n (a n ＋a n ＋1)，S 偶－S 奇＝nd ，S 偶S 奇＝a n ＋1a n. 4．若等差数列{a n }的项数为2n ＋1，则S 2n ＋1＝(2n ＋1)·a n ＋1，S 偶－S 奇＝－a n ＋1，S 偶S 奇＝n n ＋1. 考点三 等差数列{a n }的前n 项和公式的函数特征1．公式S n ＝na 1＋n (n －1)d 2可化成关于n 的表达式：S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n .当d ≠0时，S n关于n 的表达式是一个常数项为零的二次函数式，即点(n ，S n )在其相应的二次函数的图象上，这就是说等差数列的前n 项和公式是关于n 的二次函数，它的图象是抛物线y ＝d2x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2x 上横坐标为正整数的一系列孤立的点．2．等差数列前n 项和的最值 (1)在等差数列{a n }中，当a 1>0，d <0时，S n 有最大值，使S n 取得最值的n 可由不等式组⎩⎨⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0确定；当a 1<0，d >0时，S n 有最小值，使S n 取到最值的n 可由不等式组⎩⎨⎧a n ≤0，a n ＋1≥0确定．(2)S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ，若d ≠0，则从二次函数的角度看：当d >0时，S n 有最小值；当d <0时，S n 有最大值．当n 取最接近对称轴的正整数时，S n 取到最值．大重难点规律总结： (1)利用基本量求值：等差数列的通项公式和前n 项和公式中有五个量a1，d ，n ，an 和Sn ，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a1和d 的方程组，解出a1和d ，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想． (2)结合等差数列的性质解题：等差数列的常用性质：若m ＋n ＝p ＋q(m ，n ，p ，q ∈N*)，则am ＋an ＝ap ＋aq ，常与求和公式Sn ＝n a1＋an2结合使用．(3)等差数列前n 项和Sn 最大(小)值的情形①若a1>0，d<0，则Sn 存在最大值，即所有非负项之和． ②若a1<0，d>0，则Sn 存在最小值，即所有非正项之和． (2)求等差数列前n 项和Sn 最值的方法①寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用 ⎩⎨⎧ an≥0，an ＋1≤0或⎩⎨⎧an≤0，an ＋1≥0来寻找． ②运用二次函数求最值．【题型归纳】题型一：等差数列前n 项和的有关计算1．（2022·全国·高二课时练习）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝－7，S 3＝－15.（1）求{a n }的通项公式； （2）求S n ，并求S n 的最小值.2．（2022·全国·高二课时练习）在等差数列{a n }中： （1）已知5104958,50a a a a +=+=，求10S ； （2）已知7342,510,45n n S S a -===，求n .3．（2022·全国·高二课时练习）根据下列各题中的条件，求相应等差数列{}n a 的前n 项和n S ：（1）12a =，5d =，10n =； （2）12a =-，6n a =，12n =．题型二：等差数列片段和的性质4．（2022·全国·高二单元测试）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2k S =，28k S =，则4k S =（ ）A ．28B ．32C ．16D ．245．（2022·河南·高二月考）记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知55S =，1521S =，则10S =（ ）A ．9B ．10C ．12D ．136．（2020·湖北·秭归县第一中学高二期中）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列判断错误的是（ ）A ．S 5，S 10-S 5，S 15-S 10必成等差数列B ．S 2，S 4-S 2，S 6-S 4必成等差数列C ．S 5，S 10，S 15+S 10有可能是等差数列D ．S 2，S 4+S 2，S 6+S 4必成等差数列题型三：等差数列前n 项和与n 的比值问题7．（2020·江苏省包场高级中学高二月考）在等差数列{}n a 中，12018a =-，其前n 项和为n S ，若101221210S S -=，则2020S =（ ） A ．-4040B ．-2020C ．2020D ．40408．（2022·全国·高二课时练习）在等差数列{}n a 中，12018a =-，其前n 项和为n S ，若151051510S S -=，则2020S =（ ） A ．0B ．2018C ．2019-D ．20209．（2020·河北·邢台市南和区第一中学高二月考）已知数列{}n a 的通项公式是=12n a n -，前n 项和为n S ，则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前11项和为 A ．45-B ．50-C ．55-D ．66-题型四：两个等差数列前n 项和的比值问题10．（2022·河南·高二月考）已知等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且有192a a +=，468b b +=，则99S T 的值为（ ） A ．16B ．14C ．2D ．311．（2022·全国·高二课时练习）已知数列{}n a 、{}n b 都是等差数列，设{}n a 的前n 项和为n S ，{}n b 的前n 项和为n T .若2132n n S n T n +=+，则55a b =（ ） A ．1929B ．1125C ．1117D ．2312．（2022·西藏日喀则·高二期末（理））已知等差数列{}n a 与等差数列{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，若3123nn S n T n -=+，则1010ab =（ ）A ．54B ．4041C ．5641D ．2921题型五：等差数列前n 项和的最值问题（二次函数、不等式）13．（2022·北京市一零一实验学校高二期末）设n S 是等差数列{}()n a n *∈N 的前n 项和，且675S S S >>，则下列结论正确的有（ ） A ．110S >B ．120S <C ．130S >D ．86S S >14．（2022·全国·高二课时练习）已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，以S n 表示{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n 是（ ）A ．21B ．20C ．19D ．1815．（2022·福建·宁德市第九中学高二月考）已知等差数列{}n a 满足247,3a a ==，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则使n S 取最大值的自然数n 是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7题型六：等差数列前n 项和偶数项和奇数项和与绝对值问题16．（2022·浙江杭州·高二期末）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，1n n a a n ++=，则（ ）A ．22S =B ．24144S =C ．31243S =D ．60660S =17．（2020·河北·武邑武罗学校高二期中）已知等差数列{}n a 的公差为4，项数为偶数，所有奇数项的和为15，所有偶数项的和为55，则这个数列的项数为 A ．10B ．20C ．30D ．4018．（2022·浙江衢州·高二期末）已知等差数列满足：，则的最大值为（ ） A ．18B ．16C ．12D ．8题型七：等差数列的简单应用19．（2022·山西·太原市第五十六中学校高二月考（文））如图，某报告厅的座位是这样的:第一排有9个座位，从第二排起每一排都比前一排多2个座位，共有10排座位.（1）求第六排的座位数；（2）根据疫情防控的需要，要求：同排的两个人要间隔一个座位就坐，(每一排从左到右都按第一、三、五、七、九……的座位就坐，其余的座位不能坐)，那么该报告厅里最多可安排多少人同时参加会议20．（2022·全国·高二单元测试）某水泥厂计划用一台小型卡车从厂区库房运送20根水泥电线杆，到一条公路沿着路侧架设，已知库房到该公路入口处500米，从库房出发卡车进入公路后继续行驶，直到离入口50米处时放下第一根电线杆，然后沿着该公路同一侧边每隔50米逐一放下余下电线杆，放完折返库房重新装运剩余电线杆．已知卡车每趟从库房最多只能运送3根水泥杆．问：卡车运送完这批水泥杆，并最终返回库房，至少运送几趟？最少行驶多少米？21．（2022·全国·高二课时练习）新能源汽车环保､节能，以电代油，减少排放，既符合我国的国情，也代表了世界汽车产业发展的方向.工业部表示，到2025年中国的汽车总销量将达到3500万辆，并希望新能源汽车至少占总销量的五分之一.福建某新能源公司年初购入一批新能源汽车充电桩，每台12800元，第一年每台设备的维修保养费用为1000元，以后每年增加400元，每台充电桩每年可给公司收益6400元. （1）每台充电桩第几年开始获利？(5.7≈) （2）每台充电桩前几年的年平均利润最大(前n 年的年平均利润=n n前年的利润总和年数).【双基达标】一、单选题22．（2022·陕西·千阳县中学高二月考）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．823．（2022·河北省唐县第一中学高二月考）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，()()11n n n S nS n N *++<∈.若871a a <-，则（ ） A ．n S 的最大值是8S B ．n S 的最小值是8S C ．n S 的最大值是7S D ．n S 的最小值是7S24．（2022·河南·高二月考（理））设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意的n ∈N *，都有n nS T ＝2343n n --，则2313a b b +＋14511a b b +的值为（ ）A ．2945B ．1329C ．919D ．193025．（2022·河南·高二期中（文））已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前99项和为（ ） A ．1168B ．1134C ．198199D ．9919926．（2022·河南商丘·高二期中（理））《莉拉沃蒂》是古印度数学家婆什迦罗的数学名著，书中有下面的表述：某王为夺得敌人的大象，第一天行军2由旬（由旬为古印度长度单位），以后每天均比前一天多行相同的路程，七天一共行军80由旬到达地方城市.下列说法正确的是（ ） A ．前四天共行1877由旬 B ．最后三天共行53由旬C ．从第二天起，每天比前一天多行的路程为237由旬 D ．第三天行了587由旬 27．（2022·全国·高二课时练习）已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且S 6>S 7>S 5，有下列四个命题：①d <0；②S 11>0；③S 12<0；④数列{S n }中的最大项为S 11，其中正确命题的序号是（ ） A ．②③B ．①② C ．①③D ．①④28．（2022·河南·高二期中（理））设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，当*n ∈N 时，n a ，1n +，1n a +成等差数列，给出下列说法：①当*n ∈N 时，1n n S S +<；②9S 的取值范围是()48,52；③642112S =；④存在*n ∈N ，使得2060n S =.其中正确说法的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．429．（2022·河南省实验中学高二期中（文））已知等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为nS和n T ，且有192a a +=，468b b +=，则99S T 的值为（ ） A ．16B ．14C ．2D ．330．（2022·河南南阳·高二期中）已知等差数列{}n a 满足927S =，330n S =，430n a -=，则n 值为（ ）A ．20B ．19C ．18D ．1731．（2022·上海外国语大学闵行外国语中学高二期中）等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，若3516a a a ++的值为一个确定的常数，则下列各数中也是常数的是（ ） A ．7S B ．8S C ．13S D ．15S32．（2022·全国·高二课时练习）已知数列{}n a 的前n 项和24n S n n =-，则1210a a a ++⋅⋅⋅+的值为( )A ．68B ．67C ．65D ．56【高分突破】一：单选题33．（2022·江苏·高二单元测试）设等差数列的前n 项和为n S ，已知636S =，6144n S -=，324n S =，则n 的值为（ ）A ．15B ．16C ．17D ．1834．（2022·全国·高二课时练习）一百零八塔位于宁夏青铜峡市，是喇嘛式实心塔群（如图）.该塔群随山势凿石分阶而建，依山势自上而下，第一阶1座，第二阶3座，第三阶3座，第四阶5座，第五阶5座，从第五阶开始塔的数目构成一个首项为5，公差为2的等差数列，总计108座，故名一百零八塔.则该塔群最下面三阶的塔数之和为（ ）A ．39B ．45C ．48D ．5135．（2022·全国·高二单元测试）已知非常数数列{}n a 满足()()()()2221140n n n n n n a a a a a a n *++++----=∈N ，n S 为数列{}n a 的前n 项和.若22020S =，20202S =，则2022S =（ ）A ．2022B ．2022-C ．2021-D ．202236．（2022·全国·高二课时练习）在等差数列{a n }和{b n }中，a 1=25，b 1=75，a 100+b 100=100，则数列{a n +b n }的前100项的和为（ ）A ．10000B ．8000C ．9000D ．1100037．（2022·广西师范大学附属外国语学校高二月考）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足170S >，180S <，则17121217,,,S S S a a a 中最大的项为（ ） A ．1100S a B ．99S a C ．88S a D ．77S a38．（2022·江苏·苏州中学高二月考）已知数列{}n a满足11a =，)*2,N n n ≥∈且()*2cos 3n n n a b n π=∈N ，则数列{}n b 前36项和为（ ） A ．174B ．672C ．1494D ．590439．（2022·河南·高二月考）记等差数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，若123nnS n T n +=+，则105510a ba b =（ ）A ．8281B ．8182C ．4241D ．414240．（2022·全国·高二专题练习）已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，10S <，212520S S +=，则n S 取最小值时，n 的值为() A ．11B ．12C ．13D ．1441．（2022·全国·高二课时练习）若数列{}n a 是等差数列，首项10a >，公差0d <，且()2019201820190a a a +>，()2020201920200a a a +<，则使数列{}n a 的前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是（ ）A ．4039B ．4038C ．4037D ．4036二、多选题42．（2022·江苏·高二专题练习）设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则（ ）A ．a n ＝－112n -B ．a n ＝*1,1,11,2,1n n n N n n-=⎧⎪⎨-≥∈⎪-⎩ C ．数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列D ．20110111+..S S S ++=－505043．（2022·福建省龙岩第一中学高二月考）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ．已知312a =，120S <，60a >，则（ ） A ．70a <B ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递减数列 C ．0n S >时，n 的最大值为11D ．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项44．（2022·福建省连城县第一中学高二月考）已知公差为d 的等差数列{}n a ，n S 为其前n 项和，下列说法正确的是（ ）A ．若90S <，100S >，则6a 是数列{}n a 中绝对值最小的项B ．若3614S S =，则61247S S =C ．若18a =，42a =，则12832a a a +++=D ．若48a a =，0d ≠，则110S =45．（2022·辽宁大连·高二期末）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等差数列{}n b 的前n项和为n T ，且12nnS n T n +=，则下列选项中正确的是（ ）A ．3335a b =B ．321a b = C ．数列{}n a 是递增数列D ．数列{}n a 是递减数列46．（2022·江苏省苏州第十中学校高二月考）已知数列{a n }满足a 1＝1，na n +1﹣（n +1）a n ＝1，n ∈N *，其前n 项和为S n ，则下列选项中正确的是（ ） A ．数列{a n }是公差为2的等差数列B ．满足S n ＜100的n 的最大值是9C ．S n 除以4的余数只能为0或1D ．2S n ＝na n47．（2022·全国·高二课时练习）《张丘建算经》是中国古代众多数学名著之一.书中有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈，问日益几何？”其大意为：“有一女子擅长织布，织布的速度一天比一天快，从第二天起，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织5尺，一个月共织了9匹3丈，问从第二天起，每天比前一天多织多少尺布？”已知1匹4=丈，1丈10=尺，若这个月有30天，记该女子这个月中第n 天所织布的尺数为n a ，2nan b =，则（ ）A ．1058b b =B ．数列{}n b 是等比数列C ．130105a b =D ．357246209193a a a a a a ++=++三、填空题48．（2022·河南·高二月考（文））若数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.49．（2022·江苏·高二专题练习）已知等差数列{a n }的首项a 1=a ，S n 是数列{a n }的前n 项和，且满足22213n n n a S n S -+=，0n a ≠，n ≥2，n ∈N *，那么a =____．50．（2022·山西·怀仁市第一中学校高二期中（文））已知等差数列{}n a 的通项公式为319n a n =-．令()*14m m m m T a a a m N ++=+++∈，则m T 的最小值为_______．51．（2022·江苏·苏州中学高二期中）在等差数列{}n a 中，120212022202120220,0,0a a a a a >+><，则使0n S >成立的最大自然数n 为_______52．（2022·陕西·铜川市第一中学高二期中（理））观察下面的数阵，则第16行从左边起第2个数是______．四、解答题53．（2022·浙江·嘉兴市第五高级中学高二期中）已知等差数列{}n a 满足39a =-，105a =. （1）求公差d ；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求使得n S 最小的n 的值．54．（2022·全国·高二课时练习）（1）等差数列{}n a 的前m 项和为30，前2m 项和为100，求数列{}n a 的前3m 项的和S 3m ；（2）两个等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，已知723nn S n T n +=+，求55ab 的值.55．（2022·河南南阳·高二期中）若数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S a =-；数列{}n b 满足11(2,)n n n n b b b b n n N ---=≥∈，11b =. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .56．（2022·河南焦作·高二期中（理））已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，37a =，315S a =. （1）求{}n a 的通项公式； （2）设数列21n S ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，用符号[]x 表示不超过x 的最大数，当[][][]1252n T T T ++⋅⋅⋅+=时，求n 的值.【答案详解】1．（1）a n ＝2n －9；（2）S n ＝ (n －4)2－16；－16. （1）设数列{a n }的公差为d ，由题意得a 1＝－7，3S =3a 1＋3d ＝－15. 所以d ＝2.所以{a n }的通项公式为a n ＝2n －9. （2）由（1）得()1722n n n S n -=-+⨯=n 2－8n ＝(n －4)2－16. 所以当n ＝4时，S n 取得最小值，最小值为－16. 2．（1）S 10＝210 （2）n ＝20 （1）由已知条件得11014912135821150a a a d a a a d +=+=⎧⎨+=+=⎩，解得134a d =⎧⎨=⎩，10110(101)10910103421022S a d ⨯-⨯∴=+=⨯+⨯=； （2）()177447742,62a a S a a +===∴=， ()()143(645)510222n n n n a a n a a n S -+++∴====，20n ∴=. 3． （1）245 （2）24 （1）()1110920524522n n n S na d -⨯=+=+⨯=. （2）()()112262422n n n a a S +⨯-+===. 4．B 【详解】由等差数列{}n a 前n 项和的性质，可得k S ，2k k S S -，32k k S S -，43k k S S -成等差数列， ∴()2322k k k k k S S S S S -=+-，解得318k S =. ∴ 2，6，10，418k S -成等差数列， 可得4210618k S ⨯=+-，解得432k S =. 故选：B 5．C 【详解】因为n S 是等差数列{}n a 的前n 项，由等差数列前n 项和的性质可知：5S ，105S S -，1510S S -成等差数列，所以()()105515102S S S S S -=+-，即()()101025521S S -=+-，解得：1012S =， 故选：C. 6．D 【详解】由题意，数列{}n a 为等差数列，n S 为前n 项和，根据等差数列的性质，可得而51051510,,S S S S S --，和24264,,S S S S S --构成等差数列，所以，所以A ，B 正确；当首项与公差均为0时，5101510,,S S S S +是等差数列，所以C 正确；当首项为1与公差1时，此时2426102,31,86S S S S S =+=+=，此时24264,,S S S S S ++不构成等差数列，所以D 错误. 故选：D. 7．C设等差数列{}n a 的前n 项和为2+n S An Bn =，则+nS An B n=， 所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列．因为101221210S S -=，所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的公差为1，又11201811S a ==-，所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以2018-为首项，1为公差的等差数列，所以202020182019112020S =-+⨯=，所以20202020S =故选：C 8．D 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ， 由等差数列的性质可得112n S n a d n -=+为等差数列，n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的公差为2d . 151051510S S -=， 552d∴⨯=， 解得2d =.则()20202020201920202018220202S ⨯=⨯-+⨯=. 故选：D. 9．D 【详解】由题意知数列{}n a 为等差数列， ∴2[1(12)]2n n n S n -+-==-．∴nS n n=-， ∴数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前11项和为11(111)1211(1211)662⨯+----=-+++=-=-． 选D ． 10．B【详解】因为{}{},n n a b 为等差数列，故2855522a a a a a +=+==，即51a =，同理可得：54b =，所以19951995912492a a S ab bT b +⨯===+⨯. 故选：B ． 11．A 【详解】∵2132n nS n T n +=+，∴195519919551999()22911929()2392292a a a a a a Sb b b b b b T ++⨯+======++⨯+， 故选：A 12．C 【详解】因为3123nn S n T n -=+，则()()11910119101919193191562192193412a a S ab b T b +⨯⨯-====+⨯⨯+． 故选：C ． 13．A 【详解】因为等差数列{}n a 的前n 项和2122n d d S n a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，所以由675S S S >>可知，0d <，抛物线开口向下，其对称轴在()6,6.5之间， 所以抛物线与x 轴正半轴交点的横坐标范围是()12,13，结合二次函数的图象和性质可知110S >；120S >；130S <；86S S <. 故选：A 14．B 【详解】∵(a 2－a 1)＋(a 4－a 3)＋(a 6－a 5)＝3d ， ∴99－105＝3d .∴d ＝－2.又∵a 1＋a 3＋a 5＝3a 1＋6d ＝105，∴a 1＝39. ∴S n ＝na 1＋(1)2n n -d ＝－n 2＋40n ＝－(n －20)2＋400. ∴当n ＝20时，S n 有最大值． 故选：B. 15．B 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，依题意，11733a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得：19,2a d ==-，于是得9(1)(2)211n a n n =+-⋅-=-+，由0n a >得，5n ≤，因此，数列{}n a 是递减等差数列，其前5项均为正，从第6项开始为负，则其前5项和最大，所以使n S 取最大值的自然数n 是5.故选：B 16．B 【详解】解：数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，1n n a a n ++=， 可得：20a =，11n n a a n -+=-，21S =，所以A 不正确；可得111n n a a +--=，可知数列奇数项与偶数项都是等差数列，公差都是1，24123412012311144S ∴=++++⋅⋅⋅++++++⋅⋅⋅+=，所以B 正确； 31123415012315241243S =++++⋅⋅⋅++++++⋅⋅⋅+=≠，所以C 不正确；60123430012329900S =++++⋅⋅⋅++++++⋅⋅⋅+=，所以D 不正确；故选：B ． 17．B 【详解】设等差数列{}n a 的公差为4d =，项数为n ，前n 项和为n S ，则2402n S S d n -===奇偶，即这个数列的项数为20，故选择B . 18．C 【详解】不为常数列，且数列的项数为偶数，设为则，一定存在正整数k 使得或不妨设，即，从而得，数列为单调递增数列，，且，，同理即，根据等差数列的性质，所以n 的最大值为12，选项C 正确，选项ABD 错误 故选：C.19．（1）19；（2）95. 【详解】（1）根据题意：每排座位数构成等差数列{}n a ，且19a =，2d =. 所以692519a =+⨯=，即第六排的座位数为19. （2）因为每排座位数都为奇数，所以得到第一排做5人，第二排做6人，第三排做7人，……. 即每排人数构成等差数列{}n b ，且15b =，1d =，10n =. 所以10109105952S ⨯=⨯+=，即最多可安排95人同时参加会议. 20．至少运送7趟，最少行驶14700米.【详解】因为每趟从库房最多只能运送3根水泥杆，20362=⨯+，所以至少运送7趟， 第一趟运送2根，后6趟每次运送3根时行驶路程最少，后6趟行驶路程构成以为(500505)2+⨯⨯首项，(5032)⨯⨯为公差的等差数列，最少行驶16(500505)2(5032)65(500502)2147002+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯++⨯⨯=米 21．（1）3（2）8 【详解】（1）每台充电桩第n 年总利润为16400[1000(1)400]128002n n n n -+--216400[1000(1)400]128000286402n n n n n n -+-->∴-+<14142625.4325n .n n N n ∴-<+<<∈∴≤≤所以每台充电桩第3年开始获利（2）每台充电桩前n 年的年平均利润16400[1000(1)400]128002n n n n n -+-- ][64=20028200282400n n ⎡⎛⎫-+≤-=⎢ ⎪⎝⎭⎣当且仅当64,8n n n==时取等号 所以每台充电桩前8年的年平均利润最大 22．C 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则45111342724a a a d a d a d +=+++=+=，611656615482S a d a d ⨯=+=+=，联立11272461548a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得4d =.故选：C. 23．D 【详解】由()11n n n S nS ++<得：()()()()1111122n n n n a a n n a a +++++<，整理可得：1n n a a +<，∴等差数列{}n a 为递增数列，又871a a <-，80a ∴>，70a <， ∴当7n ≤且n *∈N 时，0n a <；当8n ≥且n *∈N 时，0n a >；n S ∴有最小值，最小值为7S .故选：D. 24．C 【详解】由题意可知b 3＋b 13＝b 5＋b 11＝b 1＋b 15＝2b 8，∴2313a b b +＋14511a b b +＝21482a a b +＝88a b ＝1515S T ＝21534153⨯-⨯-＝2757＝919故选：C ． 25．D解：因为数列{}n a 的前n 项和2n S n =，2121n S n n -=-+，两式作差得到21(2)n a n n =-≥，又当1n =时，21111a S ===，符合上式，所以21n a n =-，111111(21)(21)22121n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， 所以12233411111n n a a a a a a a a +++++=111111111111233557212122121n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所以12233499100111199992991199a a a a a a a a ++++==⨯+. 故选：D. 26．D 【详解】由题意，不妨设每天行军的路程为数列{}n a ，则12a =又以后每天均比前一天多行相同的路程，故{}n a 构成一个等差数列，不妨设公差为d 七天一共行军80由旬，即780S = 故71767802S a d ⨯=+=，解得227d = 4143188427S a d ⨯=+=，A 错误； 567741883728077a a a S S ++=-=-=，B 错误； 由于227d =，故从第二天起，每天比前一天多行的路程为227由旬，C 错误；31225822277a a d =+=+⨯=，D 正确 故选：D 27．B 【详解】∵S 6>S 7，∴a 7<0，∵S 7>S 5，∴a 6＋a 7>0，∴a 6>0，∴d <0，①正确.又S 11＝112(a 1＋a 11)＝11a 6>0，②正确. S 12＝122(a 1＋a 12)＝6(a 6＋a 7)>0，③不正确. {S n }中最大项为S 6，④不正确. 故正确的是①②. 故选：B 28．C解：因为数列{}n a 的各项都是正数，所以1n n S S +<，所以①正确；由n a ，1n +，1n a +成等差数列，可得12(1)n n a a n ++=+，*n ∈N ，则124a a +=，348a a +=，5612a a +=，；236+=a a ，4510a a +=，6714a a +=，，所以数列{}212n n a a -+是首项为4，公差为4的等差数列；{}221n n a a ++是首项为6，公差为4的等差数列.所以()()()912345891143464482S a a a a a a a a a ⨯=+++++++=+⨯+⨯=+， 由214a a =-，得11040a a >⎧⎨->⎩解得104a <<，所以9S 的取值范围是()48,52，所以②正确；643231324421122S ⨯=⨯+⨯=，所以③正确； 因为642060S >，所以()()()63123456263S a a a a a a a =+++++++1113130316418618602046(2046,2050)2a a a ⨯=+⨯+⨯=++=+∈，632060S <，所以④错误. 故正确的命题的个数为3个， 故选：C.29．B 【详解】由等差数列的求和公式可得()199992a a S +==，()()19469993622b b b b T ++===， 因此，9991364S T ==.故选：B. 30．A 【详解】()9199227s a a =+⨯÷=，故19526+==a a a ，即53a =.()()15433033222n n n n n na a a S a -=++===，解得20n =. 故选：A. 31．D解：设3516a a a p ++=（常数），1321a d p ∴+=，即813a p =． 11515815()1552a a S a p ⨯+∴===． 故选：D ． 32．A 【详解】当2n ≥时，()()221414125n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎣⎦； 当1n =时，113a S ==-符合上式， 所以25n a n =-，所以12108(115)|3||1|135154682a a a +++⋅⋅⋅+=-+-++++⋅⋅⋅+=+=． 故选：A. 33．D 【详解】 解：由题意可得612345324144180n n n n n n n n S S a a a a a a -------=+++++=-=即12345180n n n n n n a a a a a a -----+++++=①612345636S a a a a a a =+++++=②且等差数列满足12132435465n n n n n n a a a a a a a a a a a a -----+=+=+=+=+=+∴①②两式相加得16()18036216n a a +=+= ∴136n a a +=代入求和公式可得1()183242n n n a a S n +=== 解得18n = 故选：D. 34．D 【详解】设该塔群共有n 阶，自上而下每一阶的塔数所构成的数列为{}n a ，依题意可知5a ，6a ，…，n a 成等差数列，且公差为2，55a =，则()()()4513355421082n n n --++++-+⨯=，解得12n =.故最下面三价的塔数之和为()101112113352651a a a a ++==+⨯=. 故选：D35．B∵()()()2221140n n n n n n a a a a a a ++++----=，∴()()()()221121140n n n n n n n n a a a a a a a a ++++++-+----=⎡⎤⎣⎦， 化简得()()22110n n n n a a a a +++---=⎡⎤⎣⎦， ∴212n n n a a a +++=，∴数列{}n a 为等差数列. 又22020S =，20202S =，∴()202023420203202010092018S S a a a a a -=+++=+=-， ∴32020120222a a a a +=+=-， ∴()120222022202220222a a S +==-.故选：B. 36．A由已知得{a n +b n }为等差数列，故其前100项的和为S 100=11100100100[()()]2a b a b +++50(2575100)10000=⨯++=.故选：A 37．B 【详解】()117179171702a a S a +==>，得90a >， ()()1181891018902a a S a a +==+<，所以1090a a +<，即100a < 所以1090a a -<，数列的公差0d <，10a >，综上可知，9a 是数列正项中的最小值，9S 是n S 中的最大值，所以99S a 是17121217,,,SS S a a a 中的最大项.故选：B 38．B 【详解】在数列{}n a 中，11a =，当*2,N n n ≥∈(n=⇔-于是得数列{是常数列，则1=，即21n a n =， 因*n ∈N ，2cos3n n n a b π=，则22cos 3n n b n π=， 因此，*n ∈N ，32313222115(32)(31)(3)9222n n n n c b b b n n n n --==----+=-++，显然数列{}n c 是等差数列， 于是得1121234563435361212122b b b b b b b b b c c c c c ++++++++++=+++=⨯1356(912)67222=+⨯-=， 所以数列{}n b 前36项和为672. 故选：B 39．C 【详解】因为()()1191011919101191911919191202192193412a a a a a S b b b T b b +++=====+⨯++，()()1951995199199911029293212a a a a a Sb b b T b b+++=====+⨯++，可得552110b a =，所以105510202142411041a b a b =⨯=，故选：C. 40．A 解：10S <，212520S S +=，∴公差0d >．∴11212025242(21)25022a d a d ⨯⨯⨯+++=， 1677200a d ∴+=，67072067067<<+，1116767067720067737a d a d a d∴+<+=<+，111267067a a ∴<<，即11120a a <<n S ∴取最小值时，11n =．故选：A ． 41．B由题意，得数列{}n a 是递减数列，由()2019201820190a a a +>，且()2020201920200a a a +<，可得20190a >，20200a <，且20192020a a >，201920200a a +>，∴4039202040390S a =<，()201920204038201920204038201902a a S a a +=⨯=+>， ∴使数列{}n a 的前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是4038． 故选：B 42．BCD 【详解】S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1， 则S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1，整理得11n S +－1n S ＝－1(常数)，所以数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以11S ＝－1为首项，－1为公差的等差数列．故C 正确；所以1nS ＝－1－(n －1)＝－n ，故S n ＝－1n .所以当n ≥2时， a n ＝S n －S n －1＝11n -－1n，11a =-不适合上式， 故a n ＝1,1,11,2,,1n n n N n n '-=⎧⎪⎨-≥∈⎪-⎩故B 正确，A 错误；所以()1231001111...123...1005050S S SS ++++=-++++=-， 故D 正确． 故选：BCD 43．ACD 解：112126712()6()02a a S a a +==+<，670a a ∴+<，又60a >，70a ∴<，A 对；由A 的分析可知，当16n 时0n a >，当7n 时0n a <，可知等差数列{}n a 为递减数列，当16n 时，数列1{}na 为递增数列，B 错；11111611()1102a a S a +==>，又120S <，C 对； [1n ∈，11]时0n S >，[12n ∈，)+∞时，0nS <，[1n ∴∈，6][12，)+∞时，0nnS a >， 当[7n ∈，11]时，0n nS a <、0n a <且递减、n S 为正数且递减，∴77Sa 最小．D 对．故选：ACD ．44．CD 【详解】对于A ：因为{}n a 为等差数列，且9100S S <⎧⎨>⎩， 所以1911000a a a a +<⎧⎨+<⎩，即55600a a a <⎧⎨+>⎩，所以65||a a >，即5a 是数列{}n a 中绝对值最小的项. 故选项A 错误；对于B ：因为{}n a 为等差数列，所以3S ，63S S -，96S S -，129S S -为等差数列，设3S x =，由3614S S =得：64S x =，故x ，3x ，94S x -，129S S -为等差数列 解得1216S x =，所以61241164S x Sx ==. 故选项B 错误；对于C ：因为{}n a 为等差数列，且18a =，42a =， 所以36d =-，2d =-， 则82(1)210n a n n =--=-+. 则 128||||||a a a +++8642024632=+++++++=.故选项C 正确；对于D ：因为{}n a 为等差数列，且48||||a a =，0d ≠，所以48a a =-，480a a +=， 则481111111()11()022a a a a S ++===. 故选项D 正确； 故选：CD. 45．AB 【详解】由题意并结合等差数列前n 项和的特征,可设:()21,2n n S kn n T kn =+=,其中k ≠0对于A ： 33222332342333232255a S S k k k b T T k k k -⨯-⨯====-⨯-⨯，故A 正确；对于B ：3322222134236122216a S S k k kb T T k k k -⨯-⨯====-⨯-⨯,故B 正确；对于C ：当k <0时,11221122,=2324a S k a S S k k k a a ==-=⨯-=∴>，，所以{}n a 不是递增数列,故C 错误；对于D ：当k >0时，11221122,=2324a S k a S S k k k a a ==-=⨯-=∴<，，所以{}n a 不是递减数列,故D 错误. 故选：AB 46．ABC 【分析】 令nn a b n=，由题干条件可得1111n n b b n n +-=-+，可得12n b n =-，可求得21n a n =-，2n S n =，依次分析即可判断 【详解】由题意，na n +1﹣（n +1）a n ＝1，故11111(1)1n n a a n n n n n n +-==-+++令n n a b n=，则1111n n b b n n +-=-+ 则1122111111()()...() (11212)n n n n b b b b b b n n n n ----+-++-=-+-++---- 即11112n n b b b nn-=-∴=-故121,2n n n n a nb n a a -==--=，数列{a n }是公差为2的等差数列，A 正确；21()2n n a a nS n +==，满足S n ＜100的n 的最大值是9，B 正确； 当41,n k k N =+∈时，2n S n =除以4余1；当42,n k k N =+∈时，2n S n =除以4余0；当43,n k k N =+∈时，2n S n =除以4余1；当44,n k k N =+∈时，2n S n =除以4余0，C 正确； 222n S n =≠22n na n n =-，D 错误.故选：ABC 47．BD 【详解】由题意可知，数列{}n a 为等差数列，设数列{}n a 的公差为d ，首项15a =， 则13029309410303902d a ⨯+=⨯⨯+=，解得1629d =，∴()116129129n n a a n d +=+-=. ∵2na nb =，∴1112222n n n n a a a d n a n b b ++-+===， ∴数列{}n b 是等比数列，B 选项正确； ∵16803292595d =⨯=≠，∴()553105222d d b b ==≠，A 选项错误； 3012921a a d =+=，∴2113052105a b =⨯>，C 选项错误；41161933532929a a d =+=+⨯=，51162094542929a a d =+=+⨯=， ∴357552464432093193a a a a a a a a a a ++===++，D 选项正确.故选：BD.48．2,1,65,2n n n =⎧⎨-≥⎩【详解】当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＋1＝2； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n ＋1－[3(n －1)2－2(n －1)＋1]＝6n －5， 显然当n ＝1时，不满足上式.故数列{a n }的通项公式为a n ＝2,1,65, 2.n n n =⎧⎨-≥⎩ 故答案为：2,1,65,2n n n =⎧⎨-≥⎩49．3 【详解】在22213n n n a S n S -+=中，因为a 1=a ，所以分别令n =2，n =3得(a +a 2)2=12a 2+a 2，(a +a 2+a 3)2=27a 3+(a +a 2)2，因为0n a ≠，所以a 2=12-2a ，a 3=3+2a ． 因为数列{a n }是等差数列，所以a 1+a 3=2a 2，即2(12-2a )=a +3+2a ，解得a =3． 经检验a =3时，a n =3n ，S n =3(1)2n n +，S n -1=3(-1)2n n ，满足S n 2=3n 2a n + S n -12．所以a =3． 故答案为：3. 50．5由等差数列{}n a 的通项公式为319n a n =-． 根据等差数列的性质可得2553135m m T a m +==-≥， 当4m =时取等号，此时m T 的最小值为5． 故答案为：5 51．4022 【详解】由等差数列的性质可得14022202120220a a a a ++=> 又202120220a a <，所以20212022,a a 异号，又10a >，所以等差数列{}n a 必为递减数列，202120220,0a a ∴><，14023202220a a a =∴<+所以()()140221440023224023402240230,022a a a a S S =++=><，使0n S >成立的最大自然数n 为4022. 故答案为：4022. 52．227 【详解】由题得每一行数字个数分别为11a =，23a =，35a =，…，21n a n =-， 它们成等差数列，则前15行总共有()1151515(129)22522a a ++==个数， 因此第16行从左边起第2个数为227． 故答案为:227 53．（2）215n a n =- （3）7n = （1）1032103-==-a a d （2）311249a a d a =+=+=-，解得113a =-，所以215n a n =-． （3）()()1221321514(7)4922n n n a a n n S n n n +-+-===-=--由二次函数的性质得当7n =时，使得n S 最小. 54．（1）210；（2）6512. 【详解】（1）在等差数列{}n a 的性质，可得232,,m m m m m S S S S S --成等差数列， 即330,70,100m S -成等差数列，所以327030100m S ⨯=+-，解得3210m S =. （2）由等差数列的前n 项和的性质，且723n n S n T n +=+， 可得9119515199999()1()792652219()9312()22a a a a ab b b T b b S ++⨯+====+++=. 55． （1）12n na ，1n b n=（2）(1)21n n T n =-⋅+（1）由21n n S a =-，得1121S a =-，11a ∴=. 又21n n S a =-，1121(2)n n S a n --=-≥， 两式相减，得1122n n n n S S a a ---=-，122n n n a a a -=-. 12n n a a -∴=，2n ≥.∴数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列.11122n n n a --∴=⋅=.由()*112,N n n n n b b b b n n ---=≥∈，得1111n n b b --=，又11b =，∴数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为1的等差数列. 11(1)1n n n b ∴=+-⋅=.1n b n ∴=； （2）01112222n n T n -=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅，12212222n n T n ∴=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅. 两式相减，得11121222212212n n nn n n n T n n n ---=++⋅⋅⋅+-⋅=-⋅=-+-⋅- (1)21n n T n . 56．（1）21n a n =+（2）9（1）不妨设等差数列{}n a 的公差为d ， 故3127a a d =+=，131533S a a d =+=，解得13a =，2d =，从而1(1)21n a a n d n =+-=+， 即{}n a 的通项公式为21n a n =+. （2） 由题意可知，1()(2)2n n n a a S n n +==+， 所以2211111(2)2n S n n n n +=+=+-++， 故11111111111132435112n T n n n n n =⨯+-+-+-++-+--++ 1111()212n n n =++--++， 因为当2n ≤时，1110212n n --<++；当3n ≥时，1110212n n -->++， 所以,2[]1,3n n n T n n ≤⎧=⎨+≥⎩， 由[][][]1252n T T T ++⋅⋅⋅+=可知，1245152n ++++++=，即(2)(41)3522n n -+++=，解得9n =， 即n 的值为9.。

考向19 等差数列及其前n 项和1.（2022年乙卷文科第13题）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若32236S S =+，则公差d = ．【答案】2【解析】因为32236S S =+，所以212233()6a a a ⨯=++，即213()36a a d -==，所以2d =. 2.（2022年北京卷第6题） 设{}n a 是公差不为0的无穷等差数列，则“{}n a 为递增数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，则0d ≠，记[]x 为不超过x 的最大整数. 若{}n a 为单调递增数列，则0d >，若10a ≥，则当2n ≥时，10n a a >≥；若10a <，则()11n a a n d +-=， 由()110n a a n d =+->可得11a n d >-，取1011a N d ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦，则当0n N >时，0n a >， 所以，“{}n a 是递增数列”⇒“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”； 若存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >，取N k *∈且0k N >，0k a >， 假设0d <，令()0n k a a n k d =+-<可得k a n k d >-，且k ak k d->， 当1k a n k d ⎡⎤>-+⎢⎥⎣⎦时，0n a <，与题设矛盾，假设不成立，则0d >，即数列{}n a 是递增数列.所以，“{}n a 是递增数列”⇐“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”.所以，“{}n a 是递增数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”的充分必要条件. 故选：C.3.（2022新课标1卷第17题） 记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知11=a ，{}n n S a 是公差为13的等差数列．（1）求{}n a 得通项公式； （2）证明：121112+++<na a a ． 【解析】（1）111==S a ，所以111=S a ， 所以{}n n S a 是首项为1，公差为13的等差数列， 所以121(1)33+=+-⋅=n n S n n a ，所以23+=n n n S a ．当2n 时，112133--++=-=-n n n n n n n a S S a a ， 所以1(1)(1)--=+n n n a n a ，即111-+=-n n a n a n （2n ）； 累积法可得：(1)2+=n n n a （2n ），又11=a 满足该式， 所以{}n a 得通项公式为(1)2+=n n n a ． （2）121111112[]1223(1)+++=+++⨯⨯+n a a a n n111112(1)2231=-+-++-+n n 12(1)21=-<+n ． 4.（2022新课标2卷第17题）已知{}n a 为等差数列，{}n b 是公比为2的等比数列，且223344a b a b b a -=-=-（1）证明：11a b =；（2）求集合1{|,1500}k m k b a a m =+中元素的个数． 【答案】（1）见解析；（2）9． 【解析】（1）设等差数列{}n a 公差为d由2233a b a b -=-，知1111224a d b a d b +-=+-，故12d b = 由2244a b b a -=-，知()1111283a d b b a d +-=-+，故()111243a d b d a d +-=-+；故1112a d b d a +-=-，整理得11a b =，得证． （2）由（1）知1122d b a ==，由1k m b a a =+知：()111121k b a m d a -=+⋅-⋅+ 即()11111212k b b m b b -=⋅⋅+-+，即122k m -=， 因为1500m ，故1221000k -，解得210k故集合1{|,1500}k m k b a a m =+中元素的个数为9个．5.（2022年甲卷理科第17题，文科第18题）记n S 为数列{}n a 的前n 项和.已知221nn S n a n+=+. （1）证明：{}n a 是等差数列；（2）若479,,a a a 成等比数列，求n S 的最小值. 【答案】（1）略；（2）78- 【解析】（1）由于221nn S n a n+=+，变形为222n n S na n n =+-，记为①式， 又21122(1)1(1)n n S n a n n --=-+---，记为②式， ①-②可得*1(22)(22)22,2,n n n a n a n n n ----=-∈N 即*11,2,n n a a n n --=∈N ，所以{}n a 是等差数列；（2）由题意可知2749a a a =，即2111(6)(3)(8)a a a +=++，解得112a =-，所以12(1)113n a n n =-+-⨯=-，其中1212...0a a a <<<<，130a =则n S 的最小值为121378S S ==-.6.（2021年甲卷理科第18题）已知数列}{n a 的各项为正数，记n S 为}{n a 的前n 项和，从下面①②③中选出两个条件，证明另一个条件成立．①数列}{n a 为等差数列；②数列}{n S 为等差数列；③123a a =． 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． 【答案】见解析． 【解析】一、选择条件①③已知}{n a 为等差数列，122a a =，设公差为d ，则d a a a +==1123，即12a d = 因为1212)1(a n d n n na S n =-+=，则n a S n ⋅=1)0(1>a 所以数列}{n S 为等差数列 二、选择条件①②已知}{n a 为等差数列，数列}{n S 为等差数列，设公差为d 则dn a a n )1(1-+=，n da d n d n n na S n )2(212)1(121-+=-+= 若数列}{n S 为等差数列，则21da =，所以1123a d a a =+=三、选择条件②③已知数列}{n S 为等差数列，123a a =设公差为d 则d S S =-12，即d a a =-114 则21da =nd d n S S n =-+=)1(1则d n S n 2=，d dn S S a n n n -=-=-21所以}{n a 为等差数列7.（2021年全国一卷第19题）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，n b 为数列{}n S 的前n 项积.已知212n nS b +=. （1）证明：数列{}n b 是等差数列； （2）求{}n a 的通项公式.【答案】（1）见解析；（2）31212(1)n n a n n n ⎧=⎪⎪∴=⎨⎪-⎪+⎩≥.【解析】（1）当1n =时，11b S =，易得132b =. 当2n ≥时，1n n n b S b -=，代入212n n S b +=消去n S 得，1212n n n b b b -+=，化简得112n n b b --=， {}n b ∴是以32为首项，12为公差的等差数列. （2）易得11132a S b ===.由（1）可得22n n b +=，由212n n S b +=可得21n n S n +=+. 当2n ≥时，12111(1)n n n n n a S S n n n n -++=-=-=-++，显然1a 不满足该式； 31212(1)n n a n n n ⎧=⎪⎪∴=⎨⎪-⎪+⎩≥.8.（2021年新高考2卷第17题）记n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，若35244,a S a a S ==．（1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）求使n n S a >成立的n 的最小值．【答案】（1）=26n a n -；（2）min 7n =．【解析】（1）由题意知：35244,a S a a S =⎧⎨=⎩()()1111154+252,43342a d a d a d a d a d ⨯⎧=+⎪⎪∴⎨⨯⎪+⋅+=+⎪⎩即：121+20,46a d d a d =⎧⎪⎨-=+⎪⎩ 故14,2a d =-⎧⎨=⎩所以数列{}n a 的通项公式为26n a n =-． （2）由（1）知()21(4)25,2n n n S n n n +=⋅-+⋅=-又,26n n n S a a n >=-2526n n n ∴->-即2760n n -+>16n n ∴<>或+n N ∈min 7n ∴=1.等差数列的基本运算的解题策略(1)等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了方程思想．(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法． 2.等差数列的判定与证明方法（1）定义法：如果一个数列{a n }从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么可以判断数列{a n }为等差数列；（2）等差中项法：如果一个数列{a n }对任意的正整数n 都满足2a n+1=a n +a n+2，那么可以判断{a n }为等差数列；（3）通项公式法：如果一个数列{a n }的通项公式满足a n =p n +q （p ，q 为常数）的形式，那么可以得出{a n }是首项为p+q ，公差为p 的等差数列;（4）前n 项和公式法:如果一个数列{a n }的前n 项和公式满足S n =An 2+Bn （A ，B 为常数）的形式，那么可以得出数列{a n }是首项为A+B ，公差为2A 的等差数列.1．等差数列与函数的关系(1)通项公式：当公差d ≠0时，等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋a 1－d 是关于n 的一次函数，且一次项系数为公差d .若公差d ＞0，则为递增数列，若公差d ＜0，则为递减数列．(2)前n 项和：当公差d ≠0时，S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d2n 是关于n 的二次函数且常数项为0.2．两个常用结论(1)关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质 ①若项数为2n ，则S 偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝a n a n ＋1；②若项数为2n －1，则S 偶＝(n －1)a n ，S 奇＝na n ，S 奇－S 偶＝a n ，S 奇S 偶＝nn －1.(2)两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和S n ，T n 之间的关系为S 2n －1T 2n －1＝a nb n .1．当公差d ≠0时，等差数列的通项公式是n 的一次函数；当公差d ＝0时，a n 为常数． 2．注意利用“a n －a n －1＝d ”时加上条件“n ≥2”．1．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 2＝2，S 4＝14，则S 6等于( )A ．32B ．39C ．42D ．45 【答案】B【解析】设公差为d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝2，4a 1＋4×32d ＝14， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝3，所以S 6＝6a 1＋5×62d ＝39.n n 13n A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 【答案】C【解析】因为d ＝a 3－a 12＝2，S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝n ＋n (n －1)＝64，解得n ＝8(负值舍去)．3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4＋S 5＝2，S 7＝14，则a 10＝( )A ．18B ．16C ．14D ．12n n 267A ．13 B ．49 C ．35 D ．63n n n －1n ＋126n n A ．S 4＜S 3 B ．S 4＝S 3 C ．S 4＞S 1 D ．S 4＝S 1 【答案】B【解析】数列{a n }满足2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)，则数列{a n }是等差数列，设等差数列{a n }的公差为d . 因为a 2＝－6，a 6＝6， 所以4d ＝a 6－a 2＝12，即d ＝3. 所以a n ＝－6＋3(n －2)＝3n －12，所以S 1＝a 1＝－9，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝－9－6－3＝－18， S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝－9－6－3＋0＝－18， 所以S 4＜S 1，S 3＝S 4.6.在等差数列{a n }中，a 2，a 14是方程x 2＋6x ＋2＝0的两个实数根，则a 8a 2a 14＝( )A ．－32 B ．－3 C ．－6 D ．2n A ．100 B ．120 C ．390 D ．540 【答案】A【解析】设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等差数列，所以2(S 20－S 10)＝S 10＋(S 30－S 20)，又等差数列{a n }的前10项和为30，前30项和为210， 所以2(S 20－30)＝30＋(210－S 20)，解得S 20＝100.8.已知等差数列{a n }的公差为4，其项数为偶数，所有奇数项的和为15，所有偶数项的和为55，则这个数列的项数为( )A ．10B ．20C ．30D ．40n n 56678是( )A ．d ＜0B ．a 7＝0C ．S 9＞S 5D ．S 6与S 7均为S n 的最大值 【答案】ABD【解析】S 6＝S 5＋a 6＞S 5，则a 6＞0，S 7＝S 6＋a 7＝S 6，则a 7＝0，则d ＝a 7－a 6＜0，S 8＝S 7＋a 8＜S 7，a 8＜0.则a 7＋a 8＜0，所以S 9＝S 5＋a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝S 5＋2(a 7＋a 8)＜S 5，由a 7＝0，a 6＞0知S 6，S 7是S n 中的最大值．从而ABD 均正确．10．(多选)已知数列{a n }是公差不为0的等差数列，前n 项和为S n ，满足a 1＋5a 3＝S 8，下列选项正确的有( )A ．a 10＝0B ．S 10最小C ．S 7＝S 12D ．S 20＝0n ＋n 25898值是________． 【答案】16【解析】设等差数列{a n }的公差为d ，则a 2a 5＋a 8＝(a 1＋d )·(a 1＋4d )＋a 1＋7d ＝a 21＋4d 2＋5a 1d＋a 1＋7d ＝0，S 9＝9a 1＋36d ＝27，解得a 1＝－5，d ＝2，则S 8＝8a 1＋28d ＝－40＋56＝16.12．已知数列{a n }与⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 2n n 均为等差数列(n ∈N ＋)，且a 1＝2，则a 20＝________．n n ＋1n n ＋2324(1)求a 1＋a 3a 2的值； (2)求证：数列{a n }为等差数列．14. 已知数列{a n }中，a 1＝14，其前n 项和为S n ，且满足a n ＝2S n2S n －1(n ≥2)．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．当n ＝1时，a 1＝14，不适合上式．所以a n＝⎩⎨⎧14，n ＝1，－12n （n ＋1），n ≥2.一、单选题 1．（2022·北京·人大附中模拟预测）如图是标准对数远视力表的一部分．最左边一列“五分记录”为标准对数视力记录，这组数据从上至下为等差数列，公差为0.1；最右边一列“小数记录”为国际标准视力记录的近似值，这组数据从上至下为等比数列，公比为1010．已知标准对数视力5.0对应的国际标准视力准确值为1.0，则标准对数视力4.8对应的国际标准视力精确到小数点后两位约为（ ） （参考数据：51010 1.58,10 1.26≈≈）A ．0.57B ．0.59C ．0.61D ．0.63【答案】D【解析】依题意，以标准对数视力5.0为左边数据组的等差数列的首项，其公差为-0.1，标准对数视力4.8为该数列第3项，标准对数视力5.0对应的国际标准视力值1.0为右边数据组的等比数列的首项，其公比为10110， 因此，标准对数视力4.8对应的国际标准视力值为该等比数列的第3项，其大小为2105111()0.631010⨯=≈. 故选：D数之余一，五五数之余二，….若已知该筐最多装200个鸡蛋，则筐内鸡蛋总数最多有（ ）A ．184B ．186C ．187D ．188．（上海杨浦二模）数列n 为等差数列，1且公差，若1，3，6也是等差数列，则其公差为（ ） A ．1g d B ．1g2d C ．lg 23D ．1g 324．（2022·贵州·模拟预测（理））十七世纪法国数学家费马猜想形如“221n F =+（n ∈N ）”是素数，我们称n F 为“费马数”．设()2log 1n n a F =-，22log n n b a =，n *∈N ，数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为n S 与n T ，则下列不等关系一定成立的是（ ） A ．n n a b < B ．n n a b > C ．n n S T ≤ D ．n n S T ≥【答案】D【解析】因为221nn F =+（n ∈N ），所以()222log 1log (211)2nn n n a F =-=+-=，n *∈N所以222log 2log 22nn n b a n ===，n *∈N ，当2n =时，22224,224a b ===⨯=，两本著作——《红高粱》《檀香刑》.假设他读完这两本书共需50个小时，第1天他读了15分钟，从第2天起，他每天阅读的时间比前一天增加10分钟，则他恰好读完这两本书的时间为（ ） A ．第23天 B ．第24天 C ．第25天 D ．第26天6．（2022·安徽省舒城中学模拟预测（理））若数列n a 为等差数列，数列n b 为等比数列，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．1423b b b b +≤+B ．4132b b b b ≤--C ．3124a a a a ≥D ．3124a a a a ≤7．（2022·浙江·模拟预测）已知函数(),()f x ax b g x ax b =+=-，下列条件，能使得（m ，n ）的轨迹存在实轴和虚轴相等的双曲线的是（ ） A ．(0)1,()f f f m n -+成等差数列B ．(),()g m g g n 成等比数列C ．(),2()2,()f m n f m b f m n --+成等差数列D ．(),(),()g m n g m g m n -+成等比数列()()()2222amb a m n b a m n b ⎡⎤⎡⎤-=--⋅+-⎣⎦⎣⎦，整理可得()222220an an am b --=，当20an ≠，且0b ≠时，由22220an am b --≠得2212n m b b a a-=，此时是实轴和虚轴不相等的双曲线，故D 错误. 故选：C.8．（2022·广西广西·一模（文））北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间的是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为1239,,,,a a a a ⋅⋅⋅，设数列{}n a 为等差数列，它的前n 项和为n S ，且218a =，4690a a +=，则8S =（ ）A ．189B ．252C ．324D ．405【答案】C【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由218a =，4690a a +=，得11182890a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得：199a d =⎧⎨=⎩，所以8879893242S ⨯⨯=⨯+=. 故选：C.二、多选题9．（2022·江苏·盐城中学模拟预测）设n *∈N ，正项数列{}n x 满足11(0,1),ln 1n n n n x x x x x +∈-=，下列说法正确的有（ ） A ． 1x 为{}n x 中的最小项B ．2x 为{}n x 中的最大项C ．存在1(0,1)x ∈，使得123,,x x x 成等差数列D ．存在1(0,1),x n *∈∈N ，使得12,,n n n x x x ++成等差数列 1,()x f x '>1,()x f x '<(1)1ln1f =+)1x131,(0,1),1,1,n x x f x f +∈∴>==所以A 正确 令()(ln ,1g x f x x x x =- 21()0,x g x x +-='-<()g x ∴)0,x ∴320x x -<x x 是最大的项，所以B 是最大的项，则不可能使得()n g x <，则，所以不存在,x x 10．（2022·山东·烟台二中模拟预测）已知无穷数列n a 满足：当为奇数时，21n a n =+；当n 为偶数时，2n a n =，则下列结论正确的为（ ）A ．2021和2023均为数列{}()21n a n *-∈N 中的项B ．数列{}()21n a n *-∈N 为等差数列C ．仅有有限个整数k 使得23k k a a >成立D ．记数列{}2na 的前n 项和为n S ，则1413n n S +<-恒成立选项，2n 为偶数，则}2n 是以4为首项，以)14414n -=-三、填空题11．（2022·新疆乌鲁木齐·模拟预测（理））已知n S 为单调递减的等差数列{}n a 的前n 项和，若数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和3612n nT n =-，则下列结论中正确的有___________．（填写序号） ①30a =；②27n S n n =-；③()2n n S n a n =+-；④4nS S ≤【答案】②④11n d a ⎛++⎝3612n n-，12．（2021·上海杨浦·一模）等差数列{}n a 满足：①10a <，22a >；②在区间(11,20)中的项恰好比区间[41,50]中的项少2项，则数列{}n a 的通项公式为n a =___________.行、每一列及两个主对角线上的整数之和都相等.早在13世纪中国古代数学家杨辉就作出了⨯幻方的每一行上整数之和为______.⨯的幻方，那么5555【答案】65【解析】因为()125251232513253252+⨯++++==⨯=，因为55⨯幻方的每一行上整数之和相等，共5行，所以每行的整数之和为325655=. 故答案为：65.九个数填入如图所示3x3的正方形网格中，每个数填一次，每个小方格中填一个数.考虑每行从左到右，每列从上到下，两条对角线从上到下这8个数列，给出下列四个结论：①这8个数列有可能均为等差数列； ②这8个数列中最多有3个等比数列；③若中间一行、中间一列、两条对角线均为等差数列，则中心数必为5； ④若第一行、第一列均为等比数列，则其余6个数列中至多有1个等差数列. 其中所有正确结论的序号是________. 【答案】①②③【解析】①. 如图将1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数依次填入网格中，则这8个数列均为等差数列，故①正确.②. 1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数中，等比数列有：1,2,4； 1,3,9；2,4,8；4,6，9. 由于1,2,4和2,4,8这两个等比数列不可能在网格中不可能在同一列，同一行或对角线上. 所以这8个数列中最多有3个等比数列,例如如图满足有3个等比数列.故②正确③. 若三个数,,a b c 成等差数列，则2b a c =+.根据题意要有4组数成等差数列，且中间的数b 相同. 则只能是5b = 由2519283746⨯=+=+=+=+则中间一行、中间一列、两条对角线四列的数分别为1,5,92,5,83,5,74,5,6；；；时满足条件;中心数为其他数时，不满足条件.故③正确.④. 若第一行为1,2,4；第一列为1,3,9，满足第一行、第一列均为等比数列.第二行为3,5,7，第二列为258，，，则第二行，第二列为等差数列，此时有两个等差数列.故④不正确故答案为：①②③四、解答题15．（2022·上海崇明·二模）已知集合（Z 是整数集，m 是大于3的正整数）．若含有m 项的数列{}n a 满足：任意的,i j M ∈，都有i a M ∈，且当i j ≠时有i j a a ≠，当i m <时有12i i a a +-=或13i i a a +-=，则称该数列为P 数列． (1)写出所有满足5m =且11a =的P 数列；(2)若数列{}n a 为P 数列，证明：{}n a 不可能是等差数列； (3)已知含有100项的P 数列{}n a 满足5105100,,,,,(1,2,3,,20)k a a a a k =是公差为(0)d d >等差数列，求d 所有可能的值【解析】(1)由题意可得满足5m =且11a =的P 数列为：1，3，5，2，4；1，4，2，5，3..(2)假设{}n a 是等差数列，公差为d ，当0d >时，由题意，2d =或3， 此时1121i a a a ≥+>+(2,3,4,,)i m =，所以11a +不是等差数列{}n a 中的项，与题意不符，所以{}n a 不可能是等差数列 当0d <时，由题意，2d =-或3-，此时1121i a a a ≤-<-(2,3,4,,)i m =所以11a -不是等差数列{}n a 中的项，与题意不符，所以{}n a 不可能是等差数列 综上所述，{}n a 不可能是等差数列 (3)由题意，N*d ∈，当6d ≥时，因为51a ≥，所以100519115a a d =+≥，与题意不符； 当3d ≤时，记{}545352515,,,,(1,2,3,,20)k k k k k k M a a a a a k ----==，当{}100(1,2,3,,20)i M i ∈∈时，51004388i a ≥-⨯=，所以55()31k i a a i k d =--≥，所以k M 中的最小项314319≥-⨯=，所以1(1,2,3,20)k M k ∉=，与题意不符，当4d =时，1054a a =+，又由题意，10512342323a a x x x x =++--（*），其中N(1,2,3,4)i x i ∈=， 且12345x x x x +++=，所以13242()3()4x x x x -+-=，所以13242x x x x -=⎧⎨=⎩ ， 所以322225x x ++=，与N(1,2,3,4)i x i ∈=不符；当5d =时，取,541,532,522,511,5n n n k n n k a n n k n n k n n k =-⎧⎪+=-⎪⎪=+=-⎨⎪-=-⎪-=⎪⎩ ，此时的数列{}n a 满足题意，综上所述，5d =.16．（2022·上海长宁·二模）甲、乙两人同时分别入职,A B 两家公司，两家公司的基础工资标准分别为：A 公司第一年月基础工资数为3700元，以后每年月基础工资比上一年月基础工资增加300元；B 公司第一年月基础工资数为4000元，以后每年月基础工资都是上一年的月基础工资的1.05倍．(1)分别求甲、乙两人工作满10年的基础工资收入总量（精确到1元）(2)设甲、乙两人入职第n 年的月基础工资分别为n a 、n b 元，记n n n c a b =-，讨论数列{}n c 的单调性，指出哪年起到哪年止相同年份甲的月基础工资高于乙的月基础工资，并说明理由．础工资收入总量()1024000 1.0511********.051S ⨯-=⨯=-元（2）()37003001n a n =+-，14000 1.05n n b -=⨯134003004000 1.05n n c n -=+-⨯，()1340030014000 1.05n n c n +=++-⨯，设11300200 1.050n n n c c -+-=-⨯>，即11.05 1.5n -<，解得18n ≤≤所以当18n ≤≤时，{}n c 递增，当9n ≥时，n c 递减又当0n c <，即134003004000 1.05n n -+<⨯，解得514n ≤≤，所以从第5年到第14年甲的月基础工资高于乙的月基础工资． ．1．（2020全国Ⅱ理4）北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）（ ）A ．3699块B ．3474块C ．3402块D ．3339块 【答案】C【思路导引】第n 环天石心块数为n a ，第一层共有n 环，则{}n a 是以9为首项，9为公差的等差数列，设n S 为{}n a 的前n 项和，由题意可得322729n n n n S S S S -=-+，解方程即可得到n ，进一步得到3n S ．【解析】设第n 环天石心块数为n a ，第一层共有n 环，则{}n a 是以9为首项，9为公差的等差数列，9(1)99n a n n =+-⨯=，设n S 为{}n a 的前n 项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为232,,n n n n n S S S S S --，因为下层比中层多729块，所以322729n n n n S S S S -=-+，即3(927)2(918)2(918)(99)7292222n n n n n n n n ++++-=-+，即29729n =，解得9n =，所以32727(9927)34022n S S +⨯===，故选C ．2．（2020浙江7）已知等差数列{}n a 的前n 项和n S ，公差110,a d d≤≠．记12122,,n n n b S b S S n ++*=-=∈N ，下列等式不可能成立的是（ ）A ．4262a a a =+B ．4262b b b =+C ．2428a a a =D ．2428b b b =【答案】B【解析】A ．由等差数列的性质可知4262a a a =+，成立；B ．4566b S S a =-=-，2323b S S a =-=，()6710891093b S S a a a a =-=-++=-， 若4262b b b =+，则()6399639232a a a a a a a -=-⇔-=-， 即660d d d =-⇔=，这与已知矛盾，故B 不成立；C ．()()()2242811137a a a a d a d a d =⇔+=++ ，整理为：1a d =，故C 成立；D ．()89141011121314125b S S a a a a a a =-=-++++=-，当2428b b b =时，即()263125a a a =⋅-，整理为()()()211155211a d a d a d +=-++，即2211225450a a d d ++=，0∆>，方程有解，故D 成立．综上可知，等式不可能成立的是B ，故选B ．3．（2019•新课标Ⅰ，理9）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知40S =，55a =，则()A ．25n a n =-B ．310n a n =-C ．228n S n n =-D ．2122n S n n =-【答案】A【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由40S =，55a =，得1146045a d a d +=⎧⎨+=⎩，∴132a d =-⎧⎨=⎩，25n a n ∴=-，24n S n n =-，故选A ．4．（2018•新课标Ⅰ，理4）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若3243S S S =+，12a =，则5(a = )A ．12-B ．10-C ．10D ．12【答案】B 【解析】n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，3243S S S =+，12a =，∴111132433(3)422a d a a d a d ⨯⨯⨯+=++++，把12a =，代入得3d =-，524(3)10a ∴=+⨯-=-，故选B ．5．（2017•新课标Ⅰ，理4）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．8【答案】C【解析】由题知，∴1113424656482a d a d a d +++=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得12a =-，4d =，故选C ． 6．（2017•新课标Ⅲ，理9）等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若2a ，3a ，6a 成等比数列，则{}n a 前6项的和为( ) A ．24- B ．3- C ．3 D ．8【答案】A【解析】等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．2a ，3a ，6a 成等比数列，∴2326a a a =， 2111(2)()(5)a d a d a d ∴+=++，且11a =，0d ≠，解得2d =-，{}n a ∴前6项的和为616565661(2)2422S a d ⨯⨯=+=⨯+⨯-=-，故选A ． 7．（2016•新课标Ⅰ，理3）已知等差数列{}n a 前9项的和为27，108a =，则100(a = ) A ．100 B ．99 C ．98 D ．97【答案】C【解析】由题知，195959()92922a a a S a +⨯====27，∴53a =，又108a ==d d a 5355+=+，1d ∴=，10059598a a d ∴=+=，故选C8．（2017浙江）已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，则“0d >”是“465+2S S S >”的（ ）A ． 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】∵655465()()S S S S a a d ---=-=，当0d >，可得465+2S S S >；当465+2S S S >，可得0d >．所以“0d >”是“465+2S S S >” 充分必要条件，选C ．9．（2020北京8）在等差数列{n a }中，19a =-，51a =-，记12(1,2,)n n T a a a n =⋯=⋯，则数列{n T } （ ）A ．有最大项，有最小项B ．有最大项，无最小项C ．无最大项，有最小项D ．无最大项，无最小项 【答案】A【解析】设公差为d ，a 5-a 1=4d ，即d=2，a n =2n-11，1≤n ≤5使，a n ＜0，n ≥6时，a n ＞0，所以n=4时，T n ＞0，并且取最大值；n=5时，T n ＜0；n ≥6时，T n ＜0，并且当n 越来越大时，T n 越来越小，所以T n 无最小项．故选A ．10．（2020上海7）已知等差数列{}n a 的首项10a ≠，且满足1109a a a +=，则12910a a a a ++⋯+= ．【答案】278【解析】由条件可知111298a d a d a d+=+⇒=-，()112951010194 (92727)988a d a a a a d a a a d d ++++====+． 故答案为：278． 11．（2019•新课标Ⅲ，理14）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若10a ≠，213a a =，则105S S = ． 【答案】4【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，则由10a ≠，213a a =可得，12d a =，∴1011051510()5()S a a S a a +=+ 112(29)24a d a d +=+11112(218)428a a a a +==+．12．（2019江苏8）已知数列*{}()n a n ∈N 是等差数列，n S 是其前n 项和．若25890,27a a a S +==，则8S 的值是 ．【答案】16【解析】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则1111()(4)70989272a d a d a d a d ++++=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得152a d =-⎧⎨=⎩，所以818786(5)152162dS a ⨯=+=⨯-+⨯=．13．（2019北京理10）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若25310a S =-=-，，则5a = ________ ． n S 的最小值为_______． 【答案】0，-10【解析】由题意得，2151351010a a d S a d =+=-⎧⎨=⋅+=-⎩，解得141a d =-⎧⎨=⎩，所以5140a a d =+=．因为{}n a 是一个递增数列，且50a =，所以n S 的最小值为4S 或5S ，()4543441102S S ⨯==-⨯+⨯=-． 14．(2018北京)设{}n a 是等差数列，且13a =，2536a a +=，则{}n a 的通项公式为___． 【答案】14【解析】解法一 设{}n a 的公差为d ，首项为1a ，则111205614a d a d a d +=⎧⎨+++=⎩，解得142a d =-⎧⎨=⎩，所以7767(4)2142S ⨯=⨯-+⨯=．解法二 32714a d +=，所以2d =．故432a a d =+=，故7477214S a ==⨯=．15．(2018上海)记等差数列{}n a 的前几项和为n S ，若30a =，6714a a +=，则7S = ．【答案】63n a n =-【解析】设等差数列的公差为d ，251146536a a a d a d d +=+++=+=，∴6d =，∴3(1)663n a n n =+-⋅=-．16．（2019•新课标Ⅰ，文18）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知95S a =-． （1）若34a =，求{}n a 的通项公式； （2）若10a >，求使得nn a S ≥的n 的取值范围．【解析】（1）根据题意，等差数列{}n a 中，设其公差为d ， 若95S a =-，则19955()992a a S a a +⨯===-，变形可得50a =，即140a d +=， 若34a =，则5322a a d -==-， 则3(3)210n a a n d n =+-=-+，（2）若nn a S ≥，则d n a d n n na )1(2)1(11-+≥-+，当1n =时，不等式成立，当2≥n 时，有12a d nd-≥，变形可得12)2(a d n -≥-，又由95S a =-，即19955()992a a S a a +⨯===-，则有50a =，即140a d +=，则有112)4)(2(a a n -≥--，又由10a >，则有10≤n ， 则有102≤≤n ，综合可得：102≤≤n ，n N ∈．17．（2018•新课标Ⅱ，理（文）17）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求n S ，并求n S 的最小值．【解析】（1）等差数列{}n a 中，17a =-，315S =-， 17a ∴=-，13315a d +=-，解得17a =-，2d =，72(1)29n a n n ∴=-+-=-；（2）17a =-，2d =，29n a n =-，22211()(216)8(4)1622n n n S a a n n n n n ∴=+=-=-=--，∴当4n =时，前n 项的和n S 取得最小值为16-．18．（2016•新课标Ⅱ，文17）等差数列{}n a 中，344a a +=，576a a +=． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设[]n n b a =，求数列{}n b 的前10项和，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[0.9]0=，[2.6]2=．【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，344a a +=，576a a +=．∴112542106a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得：1125a d =⎧⎪⎨=⎪⎩，2355n a n ∴=+；（Ⅱ）[]n n b a =，1231b b b ∴===，452b b ==，6783b b b ===，9104b b ==． 故数列{}n b 的前10项和103122332424S =⨯+⨯+⨯+⨯=．。

第二节等差数列及其前n 项和1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，符号表示为a n ＋1－a n ＝d ❶(n ∈N *，d 为常数)．(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ❷.(2)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)． (3)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n (a 1＋a n )2❸. ,d ＞0⇔{a n }为递增数列， d ＝0⇔{a n }为常数列， d ＜0⇔{a n }为递减数列．当d ≠0时，等差数列{an }的通项公式a n ＝dn ＋(a 1－d )是关于d 的一次函数． 当d ≠0时，等差数列{an }的前n 项和S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n 是关于n 的二次函数． [熟记常用结论]1．若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . 2．若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . 3．若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．4．若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．5．若{a n }是等差数列，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也成等差数列，其首项与{a n }首项相同，公差是{a n }公差的12. 6．若{a n }是等差数列，S m ，S 2m ，S 3m 分别为{a n }的前m 项，前2m 项，前3m 项的和，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 也成等差数列．7．关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质．(1)若项数为2n ，则S 偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝a na n ＋1. (2)若项数为2n －1，则S 偶＝(n －1)a n ，S 奇＝na n ，S 奇－S 偶＝a n ，S 奇S 偶＝nn －1.8．两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和S n ，T n 之间的关系为a n b n ＝S 2n －1T 2n －1.[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( )(2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．( )(3)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数．( ) (4)已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n ，则它的公差为－2.( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√ 二、选填题1．在等差数列{}a n 中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．6解析：选B ∵{}a n 为等差数列，∴2a 4＝a 2＋a 6，∴a 6＝2a 4－a 2＝2×2－4＝0.2．等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4 解析：选B 设公差为d .∵a 1＋a 5＝2a 3＝10，∴a 3＝5， 又∵a 4＝7，∴d ＝2.故选B.3．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 1＝4，则公差d 等于( ) A ．1 B.53 C ．－2D ．3解析：选C ∵S 3＝6＝32(a 1＋a 3)，且a 3＝a 1＋2d ，a 1＝4，∴d ＝－2，故选C.4．已知等差数列－8，－3,2,7，…，则该数列的第100项为________． 解析：依题意得，该数列的首项为－8，公差为5，所以a 100＝－8＋99×5＝487. 答案：4875．在等差数列{a n }中，a 1＝0，公差d ≠0，若a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9，则m 的值为________．解析：∵a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9＝9a 1＋9×82d ＝36d ＝a 37， ∴m ＝37. 答案：37考点一等差数列基本量的运算[基础自学过关][题组练透]1．(2018·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( ) A ．－12 B ．－10 C ．10D ．12解析：选B 设等差数列{a n }的公差为d ，由3S 3＝S 2＋S 4，得3(3a 1＋3d )＝2a 1＋d ＋4a 1＋6d ，即3a 1＋2d ＝0.将a 1＝2代入上式，解得d ＝－3，故a 5＝a 1＋(5－1)d ＝2＋4×(－3)＝－10.2．(2017·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选C 设等差数列{a n }的公差为d ，则由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 5＝24，S 6＝48，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＋a 1＋4d ＝24，6a 1＋6×52d ＝48，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋7d ＝24，2a 1＋5d ＝16，解得d ＝4. 3．(2019·西安质检)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3·a 5＝12，a 2＝0.若a 1＞0，则S 20＝( )A ．420B ．340C ．－420D ．－340解析：选D 设数列{a n }的公差为d ，则a 3＝a 2＋d ＝d ，a 5＝a 2＋3d ＝3d ，由a 3·a 5＝12，得d ＝±2，由a 1＞0，a 2＝0，可知d ＜0，所以d ＝－2，所以a 1＝2，故S 20＝20×2＋20×192×(－2)＝－340.4．(2019·西安八校联考)设数列{a n }是等差数列，且a 2＝－6，a 6＝6，S n 是数列{a n }的前n 项和，则( )A ．S 4＜S 3B ．S 4＝S 3C ．S 4＞S 1D ．S 4＝S 1解析：选B 设{a n }的公差为d ，由a 2＝－6，a 6＝6，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝－6，a 1＋5d ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－9，d ＝3.于是，S 1＝－9，S 3＝3×(－9)＋3×22×3＝－18，S 4＝4×(－9)＋4×32×3＝－18，所以S 4＝S 3，S 4＜S 1，故选B.[名师微点]等差数列基本运算的常见类型及解题策略(1)求公差d 或项数n .在求解时，一般要运用方程思想． (2)求通项．a 1和d 是等差数列的两个基本元素．(3)求特定项．利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解．(4)求前n 项和．利用等差数列的前n 项和公式直接求解或利用等差中项间接求解． [提醒] 在求解数列基本量问题中主要使用的是方程思想，要注意使用公式时的准确性与合理性，更要注意运算的准确性．在遇到一些较复杂的方程组时，要注意运用整体代换思想，使运算更加便捷．考点二等差数列的判定与证明[师生共研过关][典例精析]若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 成等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．[解] (1)证明：当n ≥2时，由a n ＋2S n S n －1＝0， 得S n －S n －1＝－2S n S n －1， 因为S n ≠0，所以1S n －1S n －1＝2，又1S 1＝1a 1＝2， 故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为2，公差为2的等差数列． (2)由(1)可得1S n ＝2n ，所以S n ＝12n .当n ≥2时， a n ＝S n －S n －1＝12n －12(n －1)＝n －1－n 2n (n －1)＝－12n (n －1). 当n ＝1时，a 1＝12不适合上式．故a n＝⎩⎨⎧12，n ＝1，－12n (n －1)，n ≥2.[变式发散]1．(变设问)本例条件不变，判断数列{a n }是否为等差数列，并说明理由． 解：因为a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，a n ＋2S n S n －1＝0， 所以S n －S n －1＋2S n S n －1＝0(n ≥2)． 所以1S n －1S n －1＝2(n ≥2)．又1S 1＝1a 1＝2， 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以2为首项，2为公差的等差数列．所以1S n ＝2＋(n －1)×2＝2n ，故S n ＝12n.所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12(n －1)＝－12n (n －1)，所以a n ＋1＝－12n (n ＋1).又a n ＋1－a n ＝－12n (n ＋1)－－12n (n －1)＝－12n ·⎝⎛⎭⎫1n ＋1－1n －1＝1n (n －1)(n ＋1)，所以当n ≥2时，a n ＋1－a n 的值不是一个与n 无关的常数，故数列{a n }不是一个等差数列．2．(变条件)将本例条件“a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12”变为“S n (S n －a n )＋2a n ＝0(n ≥2)，a 1＝2”，问题不变，试求解．解：(1)证明：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1且S n (S n －a n )＋2a n ＝0， 所以S n [S n －(S n －S n －1)]＋2(S n －S n －1)＝0， 即S n S n －1＋2(S n －S n －1)＝0， 因为S n ≠0，所以1S n－1S n －1＝12.又1S 1＝1a 1＝12，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以首项为12，公差为12的等差数列． (2)由(1)知1S n ＝n 2，所以S n ＝2n ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－2n (n －1).当n ＝1时，a 1＝2不适合上式，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，－2n (n －1)，n ≥2. [解题技法]等差数列的判定与证明方法[提醒] 如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法．判断时易忽视定义中从第2项起，以后每项与前一项的差是同一常数，即易忽视验证a 2－a 1＝d 这一关键条件．[过关训练]1．已知数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＋1＝3a n ＋3n ＋1－2n，设b n ＝a n －2n3n ，求证：数列{b n }为等差数列，并求{a n }的通项公式．证明：因为b n ＋1－b n ＝a n ＋1－2n ＋13n ＋1－a n －2n3n ＝3a n ＋3n ＋1－2n －2n ＋13n ＋1－3a n －3·2n 3n ＋1＝1， 所以{b n }为等差数列， 又b 1＝a 1－23＝0，所以b n ＝n －1， 所以a n ＝(n －1)·3n ＋2n .2．已知数列{a n }满足(a n ＋1－1)(a n －1)＝3(a n －a n ＋1)，a 1＝2，令b n ＝1a n －1. (1)求证：数列{b n }是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)证明：因为1a n ＋1－1－1a n －1＝a n －a n ＋1(a n ＋1－1)(a n －1)＝13，所以b n ＋1－b n ＝13，所以数列{b n }是等差数列． (2)由(1)及b 1＝1a 1－1＝12－1＝1， 知b n ＝13n ＋23，所以a n －1＝3n ＋2，所以a n ＝n ＋5n ＋2.考点三等差数列的性质与应用[师生共研过关][典例精析](1)(2018·咸阳二模)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4，a 10是方程x 2－8x ＋1＝0的两根，则S 13＝( )A ．58B ．54C ．56D ．52(2)已知等差数列{a n }的前10项和为30，它的前30项和为210，则前20项和为( ) A ．100 B ．120 C ．390D ．540(3)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2 014，S 2 0142 014－S 2 0082 008＝6，则S 2 019＝________.[解析] (1)∵a 4，a 10是方程x 2－8x ＋1＝0的两根， ∴a 4＋a 10＝8，∴a 1＋a 13＝8， ∴S 13＝13×(a 1＋a 13)2＝13×82＝52.(2)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和， 则S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等差数列， ∴2(S 20－S 10)＝S 10＋(S 30－S 20)，又等差数列{a n }的前10项和为30，前30项和为210， ∴2(S 20－30)＝30＋(210－S 20)，解得S 20＝100.(3)由等差数列的性质可得⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为等差数列．设其公差为d ，则S 2 0142 014－S 2 0082 008＝6d ＝6，∴d ＝1. 故S 2 0192 019＝S 11＋2 018d ＝－2 014＋2 018＝4， ∴S 2 019＝4×2 019＝8 076.[答案] (1)D (2)A (3)8 076[解题技法]一般地，运用等差数列性质可以优化解题过程，但要注意性质运用的条件，如m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)；数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 也成等差数列；⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也成等差数列．等差数列的性质是解题的重要工具． [过关训练]1．(2019·聊城模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 13＝104，a 6＝5，则数列{a n }的公差为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选B 设等差数列{a n }的公差为d . 因为S 13＝104，所以13(a 1＋a 13)2＝104，所以13a 7＝104，解得a 7＝8.因为a 6＝5，所以d ＝a 7－a 6＝8－5＝3.2．(2018·宁德二检)已知等差数列{a n }满足a 3＋a 5＝14，a 2a 6＝33，则a 1a 7＝( ) A ．33 B ．16 C ．13D ．12解析：选C 设等差数列{a n }的公差为d ， 因为a 3＋a 5＝14，所以a 2＋a 6＝14，又a 2a 6＝33，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝3，a 6＝11或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝11，a 6＝3.当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝3，a 6＝11时，d ＝11－36－2＝2，所以a 1a 7＝(a 2－d )(a 6＋d )＝13；当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝11，a 6＝3时，d ＝3－116－2＝－2，所以a 1a 7＝(a 2－d )(a 6＋d )＝13. 综上，a 1a 7＝13，故选C.3．已知等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若S n T n ＝2n 3n ＋1，则a 11b 11＝________.解析：由等差数列前n 项和的性质， 得a 11b 11＝S 21T 21＝2×213×21＋1＝2132.答案：2132考点四等差数列前n 项和的最值问题[师生共研过关][典例精析]在等差数列{a n }中，已知a 1＝13,3a 2＝11a 6，则数列{a n }的前n 项和S n 的最大值为________．[解析] 法一 通项法 设等差数列{a n }的公差为d .由3a 2＝11a 6，得3×(13＋d )＝11×(13＋5d )，解得d ＝－2，所以a n ＝13＋(n －1)×(－2)＝－2n ＋15.由⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0，得⎩⎪⎨⎪⎧－2n ＋15≥0，－2(n ＋1)＋15≤0，解得132≤n ≤152.因为n ∈N *，所以当n ＝7时，数列{a n }的前n 项和S n 最大，最大值为S 7＝7×(13－2×7＋15)2＝49.法二 二次函数法 设等差数列{a n }的公差为d .由3a 2＝11a 6，得3×(13＋d )＝11×(13＋5d )，解得d ＝－2，所以a n ＝13＋(n －1)×(－2)＝－2n ＋15.所以S n ＝n (13＋15－2n )2＝－n 2＋14n ＝－(n －7)2＋49，所以当n ＝7时，数列{a n }的前n 项和S n 最大，最大值为S 7＝49. [答案] 49[解题技法]求数列前n 项和的最值的方法(1)通项法：①若a 1＞0，d ＜0，则S n 必有最大值，其n 的值可用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0来确定；②若a 1＜0，d ＞0，则S n 必有最小值，其n 的值可用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1≥0来确定．(2)二次函数法：等差数列{a n }中，由于S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d2n ，可用求函数最值的方法来求前n 项和的最值，这里应由n ∈N *及二次函数图象的对称性来确定n 的值．(3)不等式组法：借助S n 最大时，有⎩⎪⎨⎪⎧S n ≥S n －1，S n ≥S n ＋1(n ≥2，n ∈N *)，解此不等式组确定n的范围，进而确定n 的值和对应S n 的值(即S n 的最值)．[过关训练]1．已知等差数列{a n }的前n 项和是S n ，若S 15＞0，S 16＜0，则S n 的最大值是( ) A ．S 1 B ．S 7 C ．S 8D ．S 15解析：选C 由等差数列的前n 项和公式可得S 15＝15a 8＞0，S 16＝8(a 8＋a 9)＜0，所以a 8＞0，a 9＜0，则d ＝a 9－a 8＜0，所以在数列{a n }中，当n ＜9时，a n ＞0，当n ≥9时，a n ＜0， 所以当n ＝8时，S n 最大，故选C.2．(2018·全国卷Ⅱ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝－7，S 3＝－15. (1)求{a n }的通项公式； (2)求S n ，并求S n 的最小值． 解：(1)设{a n }的公差为d ， 由题意得3a 1＋3d ＝－15. 又a 1＝－7，所以d ＝2.所以{a n }的通项公式为a n ＝2n －9. (2)由(1)得S n ＝n (a 1＋a n )2＝n 2－8n ＝(n －4)2－16， 所以当n ＝4时，S n 取得最小值，最小值为－16.[课时跟踪检测]一、题点全面练1．等差数列{a n }中，a 4＋a 8＝10，a 10＝6，则公差d ＝( ) A.14 B.12 C ．2D ．－12解析：选A 由a 4＋a 8＝2a 6＝10，得a 6＝5，所以4d ＝a 10－a 6＝1，解得d ＝14.2．(2019·沈阳质量监测)在等差数列{a n }中，若S n 为{a n }的前n 项和，2a 7＝a 8＋5，则S 11的值是( )A ．55B ．11C ．50D ．60解析：选A 设等差数列{a n }的公差为d ，由题意可得2(a 1＋6d )＝a 1＋7d ＋5，得a 1＋5d ＝5，则S 11＝11a 1＋11×102d ＝11(a 1＋5d )＝11×5＝55，故选A. 3．(2018·泉州期末)等差数列{a n }中，a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，则数列{a n }的前9项和S 9等于( )A ．99B ．66C ．144D ．297解析：选A 由等差数列的性质可得a 1＋a 7＝2a 4，a 3＋a 9＝2a 6，又∵a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，∴3a 4＝39，3a 6＝27，解得a 4＝13，a 6＝9，∴a 4＋a 6＝22，∴数列{a n }的前9项和S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9(a 4＋a 6)2＝9×222＝99. 4．(2019·广州五校联考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a m ＝4，S m ＝0，S m ＋2＝14(m ≥2，且m ∈N *)，则a 2 019的值为( )A ．2 020B ．4 032C ．5 041D ．3 019 解析：选B 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a m ＝a 1＋(m －1)d ＝4，S m ＝ma 1＋m (m －1)2d ＝0，S m ＋2－S m ＝a m ＋1＋a m ＋2＝2a 1＋(m ＋m ＋1)d ＝14，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝－4，m ＝5，d ＝2，∴a n ＝－4＋(n －1)×2＝2n －6，∴a 2 019＝2×2 019－6＝4 032.故选B.5．(2019·长春质检)等差数列{a n }中，已知|a 6|＝|a 11|，且公差d ＞0，则其前n 项和取最小值时n 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：选C 由d ＞0可得等差数列{a n }是递增数列，又|a 6|＝|a 11|，所以－a 6＝a 11，即－a 1－5d ＝a 1＋10d ，所以a 1＝－15d 2，则a 8＝－d 2＜0，a 9＝d 2＞0，所以前8项和为前n 项和的最小值，故选C.6．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6＝2a 3，则S 11S 5＝______. 解析：S 11S 5＝112(a 1＋a 11)52(a 1＋a 5)＝11a 65a 3＝225. 答案：225 7．等差数列{a n }中，已知S n 是其前n 项和，a 1＝－9，S 99－S 77＝2，则S 10＝________.解析：设公差为d ，∵S 99－S 77＝2，∴9－12d －7－12d ＝2， ∴d ＝2，∵a 1＝－9，∴S 10＝10×(－9)＋10×92×2＝0. 答案：08．(2018·广元统考)若数列{a n }是正项数列，且a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2＋n ，则a 1＋a 22＋…＋a n n ＝________.解析：当n ＝1时，a 1＝2⇒a 1＝4， 又a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2＋n ，①所以当n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n －1＝(n －1)2＋(n －1)＝n 2－n ，② ①－②得a n ＝2n ，即a n ＝4n 2，所以a n n ＝4n 2n ＝4n ， 则⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 构成以4为首项，4为公差的等差数列． 所以a 1＋a 22＋…＋a n n ＝(4＋4n )n 2＝2n 2＋2n . 答案：2n 2＋2n9．(2018·大连模拟)已知数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n ，且满足2S n ＝a 2n ＋n －4(n ∈N *)．(1)求证：数列{a n }为等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)证明：当n ＝1时，有2a 1＝a 21＋1－4，即a 21－2a 1－3＝0，所以a 1＝3(a 1＝－1舍去)．当n ≥2时，有2S n －1＝a 2n －1＋n －5，又2S n ＝a 2n ＋n －4，所以两式相减得2a n ＝a 2n －a 2n －1＋1，即a 2n －2a n ＋1＝a 2n －1，即(a n －1)2＝a 2n －1，因此a n －1＝a n －1或a n －1＝－a n －1.若a n －1＝－a n －1，则a n ＋a n －1＝1.而a 1＝3，所以a 2＝－2，这与数列{a n }的各项均为正数矛盾，所以a n －1＝a n －1，即a n －a n －1＝1，因此数列{a n }为等差数列．(2)由(1)知a 1＝3，数列{a n }的公差d ＝1，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3＋(n －1)×1＝n ＋2.10．已知等差数列{a n }的公差d ＞0.设{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 2·S 3＝36.(1)求d 及S n;(2)求m ，k (m ，k ∈N *)的值，使得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝65.解：(1)由题意知(2a 1＋d )(3a 1＋3d )＝36，将a 1＝1代入上式，解得d ＝2或d ＝－5.因为d ＞0，所以d ＝2.从而a n ＝2n －1，S n ＝n 2(n ∈N *)．(2)由(1)得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝(2m ＋k －1)(k ＋1)，所以(2m ＋k －1)(k ＋1)＝65. 由m ，k ∈N *知2m ＋k －1≥k ＋1＞1，故⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋k －1＝13，k ＋1＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝5，k ＝4. 即所求m 的值为5，k 的值为4.二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1．若{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 2 018＋a 2 019＞0，a 2 018·a 2 019＜0，则使前n 项和S n ＞0成立的最大正整数n 是( )A ．2 018B ．2 019C ．4 036D ．4 037解析：选C 因为a 1＞0，a 2 018＋a 2 019＞0，a 2 018·a 2 019＜0，所以d ＜0，a 2 018＞0，a 2 019＜0，所以S 4 036＝4 036(a 1＋a 4 036)2＝4 036(a 2 018＋a 2 019)2＞0，S 4 037＝4 037(a 1＋a 4 037)2＝4 037·a 2 019＜0，所以使前n 项和S n ＞0成立的最大正整数n 是4 036. 2．(2019·武汉模拟)设等差数列{a n }满足a 3＋a 7＝36，a 4a 6＝275，且a n a n ＋1有最小值，则这个最小值为( )A ．－10B ．－12C ．－9D ．－13解析：选B 设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 3＋a 7＝36，∴a 4＋a 6＝36，又a 4a 6＝275，联立，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝11，a 6＝25或⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝25，a 6＝11，当⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝11，a 6＝25时，可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－10，d ＝7，此时a n ＝7n －17，a 2＝－3，a 3＝4，易知当n ≤2时，a n ＜0，当n ≥3时，a n ＞0，∴a 2a 3＝－12为a n a n ＋1的最小值；当⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝25，a 6＝11时，可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝46，d ＝－7，此时a n ＝－7n ＋53，a 7＝4，a 8＝－3，易知当n ≤7时，a n ＞0，当n ≥8时，a n ＜0，∴a 7a 8＝－12为a n a n ＋1的最小值．综上，a n a n ＋1的最小值为－12.3．设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －10(n ∈N *)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝________. 解析：由a n ＝2n －10(n ∈N *)知{a n }是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由a n ＝2n－10≥0，得n ≥5，∴当n ≤5时，a n ≤0，当n ＞5时，a n ＞0，∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝－(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋…＋a 15)＝20＋110＝130.答案：130(二)交汇专练——融会巧迁移4．[与方程交汇]若等差数列{a n }中的a 3，a 2 019是3x 2－12x ＋4＝0的两根，则log 14a 1 011＝________.解析：因为a 3和a 2 019是3x 2－12x ＋4＝0的两根，所以a 3＋a 2 019＝4.又a 3，a 1 011，a 2 019成等差数列，所以2a 1 011＝a 3＋a 2 019，即a 1 011＝2，所以log 14a 1 011＝－12. 答案：－125．[与不等式恒成立交汇]设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 5＝a 5＋a 6＝25.(1)求{a n }的通项公式；(2)若不等式2S n ＋8n ＋27＞(－1)n k (a n ＋4)对所有的正整数n 都成立，求实数k 的取值范围．解：(1)设公差为d ，则5a 1＋5×42d ＝a 1＋4d ＋a 1＋5d ＝25， ∴a 1＝－1，d ＝3.∴{a n }的通项公式a n ＝3n －4.(2)由题意知S n ＝－n ＋3n (n －1)2，2S n ＋8n ＋27＝3n 2＋3n ＋27，a n ＋4＝3n ，则原不等式等价于(－1)n k ＜n ＋1＋9n对所有的正整数n 都成立． ∴当n 为奇数时，k ＞－⎝⎛⎭⎫n ＋1＋9n 恒成立； 当n 为偶数时，k ＜n ＋1＋9n恒成立． 又∵n ＋1＋9n ≥7，当且仅当n ＝3时取等号，∴当n 为奇数时，n ＋1＋9n在n ＝3上取最小值7， 当n 为偶数时，n ＋1＋9n 在n ＝4上取最小值294， ∴不等式对所有的正整数n 都成立时，实数k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－7，294.。

2023考点专题复习——等差数列及其性质考法一、 等差数列的基本运算⑴等差数列的通项公式：⑴等差数列的前和的求和公式：例1、在等差数列{}n a 中，若3930a a +=，411a =，则{}n a 的公差为（ ） A ．-2B ．2C ．-3D ．3例2、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，8100S =，724a a =，则4a =（ ）． A ．10B ．11C ．12D ．13例3、记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知55S =，55a =，则（ ） A ．25n a n =-B ．n a n =C ．229n S n n =-D ．21322n S n n =- 练习1、等差数列1、2a 、24a 、的第五项等于（ ）A ．12B ．1C ．5D ．16练习2、设{}n a 是等差数列，且13a =，2536a a +=，则{}n a 的通项公式为__________． 练习3、在等差数列{a n }中，a 1+a 2+a 3＝21，a 2a 3＝70，若a n ＝61，则n ＝（ ） A ．18B ．19C ．20D ．21练习4、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若111152S S S =-，则611a a =（ ）A ．65B ．56C ．1110D ．1011练习5、设n S 是某个等差数列的前n 项和，若201920202020S S ==，则2021S =（ ） A ．220202019-B ．220202019+C ．120201010-D ．120201010+练习6、已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，则“2n S n n =-”是“数列{}n a 是公差为2的等差数列”的（ ）1(1)n a a n d=+-n 11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件练习7、已知数列{}n a 中各项为非负数，21a =，516a =，若数列为等差数列，则13a=（ ）A ．169B ．144C ．12D ．13练习8、已知公差不为0的等差数列{}n a 中，246a a a +=，296a a =，则10a =______．练习9、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若171251,0S a ==，则{}n a 的通项公式为_____________ 练习10、已知等差数列{}n a 满足13248,14a a a a +=+=，则它的前8项的和8S =（ ） A ．70B ．82C ．92D ．105练习11、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若312S =，410a =，则{}n a 的公差为（ ） A ．4B ．3C ．2D ．1练习12、等差数列{}n a 中，前n 项和为n S ，且131,9S S ==，则5S =（ ） A ．17 B ．25C ．5D ．81考法二、 等差数列的性质⑴在等差数列中，对任意，，，；⑴在等差数列中，若，，，且，则,特殊地，时，则，是的等差中项.⑴等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即成等差数列.⑴设数列是等差数列，且公差为，（⑴）若项数为偶数，设共有项，则①；② ；⑴若项数为奇数，设共有项，则①(中间项)；②.⑴若与为等差数列，且前项和分别为与，则.{}n a m n N +∈()n m a a n m d =+-n ma a d n m-=-()m n ≠{}n a m n p q N +∈m n p q +=+m n p q a a a a +=+{}n a d 2n -S S nd =奇偶1n n S aS a +=奇偶21n -S S -偶奇n a a ==中1S n S n =-奇偶{}n a {}n b n nS 'n S 2121'm m m m a S b S --=例1、在等差数列{}n a 中，若34567750a a a a a ++++=，则28a a +=（ ） A ．360B ．300C ．240D ．200例2、已知数列{a n }为等差数列，n S 为其前n 项和，4252a a a +=+，则5S =（ ） A ．2B ．14C ．50D ．10例3、在等差数列{}n a 中，11826a a =+，则267a a a ++=（ ） A ．18-B ．6-C ．8D ．12例4、已知数列{}n a 是等差数列，若1231a a a ++=，4563a a a ++=，则789a a a ++=（ ） A ．5B ．4C ．9D ．7例5、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，其中23S =，415S =，则6S =（ ） A ．9B ．18C ．27D ．36例6、已知数列{}n a 、{}n b 都是等差数列，设{}n a 的前n 项和为n S ，{}n b 的前n 项和为n T .若2132n n S n T n +=+，则55a b =（ ） A ．1929B ．1125C ．1117D ．23练习1、已知数列{}n a 为等差数列，且31a =，则12345a a a a a ++++=（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6练习2、n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，1233a a a ，7910a a +=，则9S =（ ）A ．9B ．16C ．20D ．27练习3、已知公差不为0的等差数列{}n a 满足22225678a a a a +=+，则（ ） A ．60a =B ．70a =C ．120S =D ．130S =练习4、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等差数列{}n b 的前n 项和为n T ．若211n n S n T n -=+，则55a b =（ ） A ．1911B ．1710C ．32D ．75练习5、已知数列{}n a ，{}n b 为等差数列，其前n 项和分别为n S ，n T ，422n n S n T n +=+，则59a b =（ ） A ．3811B ．109C ．1110D ．2练习6、等差数列{}n a 的前()m m N +∈项和为30，前2m 项和为100，则前3m 项和为（ ）A ．130B ．170C ．210D ．260练习7、等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝20，S 20＝15，则S 30＝（ ）A ．10B ．30-C ．15-D ．25练习8、两等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别是n n S T 、,已知73n n S n T n =+,则55a b = A ．7 B ．23C ．278D ．214练习9、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1254a a a +=+，则11S =（ ）A ．28B ．34C ．40D ．44练习10、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，663S =，则789a a a ++等于（ ）A ．63B ．71C ．99D ．117练习11、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1122S =，则378a a a ++=（ ）A ．18B ．12C ．9D ．6练习12、已知等差数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，若对于任意的自然数n ，都有481n n S n T n -=+，则3153111572a a a b b b b ++=++（ ）A ．3B ．6C ．327D ．8013练习13、已知等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且521n n S n T n +=-，则76a b =（ ）A ．67B ．1211C ．1825D ．1621练习14、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1020S =，2030S =，则30S =（ ）A ．20B ．30C ．40D ．50练习15、已知等差数列{}n a 的项数为奇数，其中所有奇数项之和为319，所有偶数项之和为290，则该数列的中间项为（ ）A ．28B ．29C ．30D ．31练习16、等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2+a 7+a 12＝12，则S 13＝_____.练习17、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若246820a a a a +++=，则9S =___________.练习18、已知数列{}n a 和{}n b 均为等差数列，前n 项和分别为n S ，n T ，且满足：*n ∀∈N ，321n n S n T n +=+，则161419581215a a a ab b b b +++=+++____________.练习19、两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 、n T ，且523n n S n T n +=+，则220715a a b b ++等于（ ）A ．10724B ．724C ．14912D ．1493考法三、 等差数列的最值问题⑴.利用等差数列的单调性或性质，求出其正负转折项，便可求得和的最值．当，时，有最大值；，时，有最小值；若已知，则最值时的值（）则当，，满足的项数使得取最大值，(2)当，时，满足的项数使得取最小值.⑴利用等差数列的前n 项和：(为常数, )为二次函数，通过配方或借助图像，二次函数的性质，转化为二次函数的最值的方法求解；有时利用数列的单调性（,递增；，递减）；⑴. 利用数列中最大项和最小项的求法：求最大项的方法：设为最大项，则有；求最小项的方法：设为最小项，则有.只需将等差数列的前n 项和依次看成数列，利用数列中最大项和最小项的求法即可.10a >0d <n S 10a <0d >n S n a n S n n N +∈10a >0d <100n n a a +≥⎧⎨≤⎩n n S 10a <0d >10n n a a +≤⎧⎨≥⎩n n S 2n S An Bn =+,A B n N ∈*0d >0d <n a 11n n nn a a a a -+≥⎧⎨≥⎩n a 11n n nn a a a a -+≤⎧⎨≤⎩1,2,3,n ={}n S例1、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，73649,3S a a ==，则n S 取最大值时的n 为（ ） A ．7B ．8C ．14D ．15例2、在等差数列{}n a 中，若981a a <-，且它的前n 项和n S 有最小值，则当0n S >时，n 的最小值为 A ．B ．C ．D ．例3、等差数列{}n a 中，3716,8,n a a S ==是数列{}n a 的前n 项和，则n S 最大时，n =（ ） A ．10B ．11C ．10或11D ．11或12练习1、若公差为负的等差数列{}n a 中的两项39,a a 是方程21090x x -+=的两个根，设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则当n S 最大时，n 的值为（ ） A ．5B ．9或10C ．10D ．9练习2、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且78S S >，8910S S S =<，则下面结论错误的是（ ） A ．90a = B ．1514S S >C ．0 d <D ．8S 与9S 均为n S 的最小值练习3、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若n N *∀∈，7n S S ≤，则数列{}n a 的通项公式可能是（ ）A ．315n a n =-B ．173n a n =-C ．7n a n =-D ．152n a n =-练习4、等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，若10a >，1020S S =，则不成立是（ ）A ．0d <B ．160a <C ．15n S SD ．当且仅当0nS <时32n练习5、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足54a ≤，540S ≥，则该数列的公差d 可取的值是（ ）A ．3B ．1C ．-1D ．-3练习6、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若7,n n S S *∀∈≤N ，则数列{}n a 的通项公式可能是（ ）A ．163n a n =-B ．152n a n =-C ．214n a n =-D ．215n a n =-练习7、等差数列{}n a 中，3716,8,n a a S ==是数列{}n a 的前n 项和，则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和最大时，n =（ ）A ．20B ．21C ．20或21D ．21或22练习8、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若111a =-，466a a +=-，则下列结论正确的是（ ） A ．当且仅当6n =时n S 取最小值 B ．当且仅当6n =时n S 取最大值 C ．当且仅当7n =时n S 取最小值 D ．当且仅当7n =时n S 取最大值练习9、已知数列{}n a 的通项公式为3n a n =-，*n ∈N ，n S 为其前n 项和，则当0n n a S ≤时，正整数n 的最大值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6练习10、若数列{a n }满足：a 1＝19，a n ＋1＝a n －3，则数列{a n }的前n 项和数值最大时，n 的值为A ．6B ．7C ．8D ．9练习11、设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，()()11n n n S nS n N *++<∈．若871a a <-，则（ ） A ．n S 的最大值是8S B ．n S 的最小值是8S C ．n S 的最大值是7SD ．n S 的最小值是7S练习12、已知数列{}n a 是首项为a ，公差为1的等差数列，数列{}n b 满足1.nn na b a +=若对任意的*n ∈N ，都有6n b b ≥成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[]6,5--B ．()6,5--C ．[]5,4--D ．()5,4--练习13、已知等差数列{}n a 的前n 项和记为1234,24n S a a a S ++=+，则“11a <”是“{}n S 为单调数列”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件练习14、已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,且675S S S >>,给出下列五个命题:①0d <;②110S >;③120S <;④数列{}n S 中的最大项为11S ;⑤67a a <. 其中正确命题的是___________.练习15、设1a ，d 为实数，首项为1a ，公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足：30a <，且56160S S +=，则11S 的最小值为_________．练习16、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且235S =，23439a a a ++=，则当n S 取最大值时，n 的值为___________.考法四、 等差数列的证明与判断例1、已知数列{}n a 满足12a =，121n n n a a a +-=，证明：数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列；例2、已知数列{}12,13n a a a ==，，且满足11212n n n a a a +-+=+（2n ≥且*n N ∈），证明新数列{}1n n a a +-是等差数列，并求出n a 的通项公式.例3、已知数列{}n b 首项13b =，且满足()*1212123n n n b b n n n +-=+-∈-N ，令23n n b c n =-. （1）求证：数列{}n c 为等差数列； （2）求数列{}n b 中的最小项.练习1、已知在数列{}n a 中，112a =，12n n a a n ++=，求证：{}n a 为等差数列；练习2、在正项数列{}n a 中，11a =，0=，*N n ∈，求证：数列为等差数列；练习3、已知数列{}n a 满足12a =，1210n n n a a a +-+=，N n *∈，证明：11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列；练习4、已知数列{}n a 满足112a =，()()11110n n n n n n a a n a na --+++-=，2n ≥，n N ∈，求证：数列()11n n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭为等差数列；练习5、已知数列{}n a 满足()*143n n n a a n N a +-=∈-，且14a =，证明：数列12n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列；练习6、已知数列{}n a 中，13a =，且满足()2*122,n n n n a a n b a n n N +=++=-∈，证明：数列{}n b 是等差数列，并求{}n b 的通项公式；练习7、记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知210,3n a a a >=，且数列是等差数列，证明：{}na 是等差数列.练习8、在数列{}n a 中，12a =，n a 是1与1n n a a +的等差中项，求证：数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列，并求{}n a 的通项公式；练习9、已知正项数列{}n a 满足121,2a a ==，且对任意的正整数n ，211n a ++是2n a 和22n a +的等差中项，证明：{}221n n aa +-是等差数列，并求{}n a 的通项公式；练习10、已知数列{}n a 满足11a =，11,,2,.n n n a n a a n ++⎧=⎨+⎩为奇数为偶数（1）记2n n b a =，写出1b ，2b ，并求数列{}n b 的通项公式； （2）求{}n a 的前20项和.考法五、实际生活中的等差数列例1、在古印度的数学著作《丽拉沃蒂》中，有这样一个问题：某人给一个人布施，初日施3德拉玛(古印度货币单位)，其后日增2德拉玛，共布施360德拉玛，请快告诉我，他布施了几日？这个问题的答案是（ ） A ．9B ．18C ．20D ．24例2、《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得之和与丙、丁、戊三人所得之和相等，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种质量单位）在这个问题中，戊所得为（ ） A ．14钱 B ．12钱 C ．23钱 D ．35钱练习1、《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问小满日影长为（）（1丈＝10 尺＝100寸）A．四尺五寸B．三尺五寸C．二尺五寸D．一尺五寸练习2、《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，据书中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为五级：男､子､伯､侯､公.现有每个级别的诸侯各一人，共5人，要把80个橘子分完且每人都要分到橘子，级别每高一级就多分m个(m为正整数)，若按这种方法分橘子，“子”恰好分得13个橘子的概率是（）A．18B．17C．16D．15练习3、《张丘建算经》是我国古代的一部数学著作，现传本有92问，比较突出的成就有最大公约数与最小公倍数的计算､各种等差数列问题的解决､某些不定方程问题求解等.书中记载如下问题：“今有女子善织，日增等尺，初日织五尺，三十日共织390尺，问日增几何？”那么此女子每日织布增长（）A．47尺B．1631尺C．1629尺D．815尺练习4、我国明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题：今有钞二百三十八贯，令五等人从上作互和减半分之，只云戊不及甲三十三贯六百文，问：各该钞若干？其意思是：现有钱238贯，采用等差数列的方法依次分给甲､乙､丙､丁､戊五个人，现在只知道戊所得钱比甲少33贯600文(1贯=1000文)，问各人各得钱多少？在这个问题中，戊所得钱数为（）A．30.8贯B．39.2贯C．47.6贯D．64.4贯练习5、中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“九百九十六斤棉，赠分八子作盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言，务要分明依次弟，孝和休惹外人传．”其意思为：“996斤棉花，分别赠送给8个子女作旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，使孝顺子女的美德外传，试求各人应分得多少斤．”则第3个子女分得棉花（）A．65斤B．82斤C．99斤D．106斤练习6、《九章算术》卷七“盈不足”有这样一段话：“今有良马与弩马发长安至齐．齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里．日增十三里，驽马初日行九十七里，日减半里．”意思是：今有良马与弩马从长安出发到齐国，齐国与长安相距3000里，良马第一日走193里，以后逐日增加13里，弩马第一日走97里，以后逐日减少0.5里．则8天后两马之间的距离为___________里．练习7、我国古代数学名著《算法统宗》中说：“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠．次第每人多十七，要将第八数来言．务要分明依次第，孝和休惹外人传．”意为：“996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第1个孩子开始，以后每人依次多17斤，直到第8个孩子为止．分配时一定要按照次序分，要顺从父母，兄弟间和气，不要引得外人说闲话．”在这个问题中，第8个孩子分到的棉花为（）A．184斤B．176斤C．65斤D．60斤练习8、明朝程大位的《算法统宗》中有首依等算钞歌：“甲乙丙丁戊已庚，七人钱本不均分，甲乙念三七钱钞，念六一钱戊已庚，惟有丙丁钱无数，要依等第数分明，请问先生能算者，细推详算莫差争．”大意是：“现有甲、乙、丙、丁、戊、己、庚七人，他们手里钱不一样多，依次成等差数列，已知甲、乙两人共237钱，戊、已、庚三人共261钱，求各人钱数．”根据题目的已知条件，乙有（）A．122钱B．115钱C．108钱D．107钱练习9、中国古代词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”．题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是A．174斤B．184斤C．191斤D．201斤练习10、2022北京冬奥会开幕式将我国二十四节气融入倒计时，尽显中国人之浪漫．倒计时依次为：大寒、小寒、冬至、大雪、小雪、立冬、霜降、寒露、秋分、白露、处暑、立秋、大暑、小暑、夏至、芒种、小满、立夏、谷雨、清明、春分、惊蛰、雨水、立春，已知从冬至到夏至的日影长等量减少，若冬至、立冬、秋分三个节气的日影长之和为31.5寸，冬至到处暑等九个节气的日影长之和为85.5寸，问大暑的日影长为（）A．4.5寸B．3.5寸C．2.5寸D．1.5寸。

专题7.2 等差数列及其前n 项和（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.与归纳推理相结合，考查数列的概念与通项，凸显逻辑推理的核心素养．2．与函数、不等式相结合，考查数列的概念及其性质，凸显数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养． 3．与递推公式相结合，考查对求通项公式的方法的掌握，凸显数学运算、数学建模的核心素养．【知识点展示】（一）等差数列1.定义：等差数列定义：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示.用递推公式表示为或.2.等差数列的通项公式：；说明：等差数列（通常可称为数列）的单调性：为递增数列，为常数列， 为递减数列.3.等差中项的概念：定义：如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项,其中 . 2d 1(2)n n a a d n --=≥1(1)n n a a d n +-=≥1(1)n a a n d =+-A P d 0>0d =0d <a A b A a b 2a bA +=，，成等差数列. 4.要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列． 5.注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别． （二）等差数列的前和的求和公式：. （三）等差数列的通项公式及前n 项和公式与函数的关系(1)当d ≠0时，等差数列{a n }的通项公式a n ＝dn ＋(a 1－d )是关于d 的一次函数． (2)当d ≠0时，等差数列{a n }的前n 项和S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n 是关于n 的二次函数． （四）等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最大值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最小值． （五）等差数列的性质：（1）在等差数列中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；（2）在等差数列中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列， 如：，，，，……；，，，，……；（3）在等差数列中，对任意，，，；（4）在等差数列中，若，，，且，则,特殊地，时，则，是的等差中项.（5）等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即成等差数列.（6）两个等差数列{}n a 与{}n b 的和差的数列{}n n a b ±仍为等差数列． （7）若数列{}n a 是等差数列,则{}n ka 仍为等差数列．（8）设数列是等差数列，且公差为，（Ⅰ）若项数为偶数，设共有项，则①-S S nd =奇偶； ②；（Ⅱ）若项数为奇数，设共有项，则①S S -偶奇(中间项)；②. （9）等差数列中，(),p q a q a p p q ==≠,则0p q a +=,m n m n S S S mnd +=++.a Ab ⇔2a bA +=n 11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+{}n a {}n a 1a 3a 5a 7a 3a 8a 13a 18a {}n a m n N +∈()n m a a n m d =+-n ma a d n m-=-()m n ≠{}n a m n p q N +∈m n p q +=+m n p q a a a a +=+{}n a d 2n 1n n S a S a +=奇偶21n -n a a ==中1S nS n =-奇偶（10）如果两个等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是两个原等差数列公差的最小公倍数．（11）若与{}n b 为等差数列，且前n 项和分别为n S 与'n S ，则2121'm m m m a Sb S --=. （12）等差数列的增减性：0d >时为递增数列，且当10a <时前n 项和n S 有最小值．0d <时为递减数列，且当10a >时前n 项和n S 有最大值．【常考题型剖析】题型一：等差数列基本量的运算例1.（2019·全国·高考真题（理））记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则（ ） A ．25n a n =- B ．310n a n =- C ．228n S n n =-D ．2122n S n n =-【答案】A 【解析】 【分析】等差数列通项公式与前n 项和公式．本题还可用排除，对B ，55a =，44(72)1002S -+==-≠，排除B ，对C ，245540,25850105S a S S ==-=⨯-⨯-=≠，排除C ．对D ，24554150,5250522S a S S ==-=⨯-⨯-=≠，排除D ，故选A ． 【详解】由题知，41514430245d S a a a d ⎧=+⨯⨯=⎪⎨⎪=+=⎩，解得132a d =-⎧⎨=⎩，∴25n a n =-，故选A ．例2．（2022·全国·高考真题（文））记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若32236S S =+，则公差d =_______． 【答案】2 【解析】【分析】转化条件为()112+226a d a d =++，即可得解. 【详解】由32236S S =+可得()()123122+36a a a a a +=++，化简得31226a a a =++， 即()112+226a d a d =++，解得2d =. 故答案为：2.{}n a【总结提升】1.解决等差数列运算问题的思想方法(1)方程思想：等差数列的基本量为首项a 1和公差d ，通常利用已知条件及通项公式或前n 项和公式列方程(组)求解，等差数列中包含a 1，d ，n ，a n ，S n 五个量，可“知三求二”．(2)整体思想：当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用a 1，d 表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解．(3)利用性质：运用等差数列性质可以化繁为简、优化解题过程． 2.等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量1,,,,n n a d n a S ，知其中三个就能求另外两个,即知三求二，多利用方程组的思想，体现了用方程的思想解决问题.3.特殊设法:三个数成等差数列，一般设为,,a d a a d -+；四个数成等差数列，一般设为3,,,3a d a d a d a d --++.这对已知和,求数列各项,运算很方便.题型二：等差数列的判定与证明例3. （2020·山东·高考真题）某男子擅长走路，9天共走了1260里，其中第1天、第4天、第7天所走的路程之和为390里.若从第2天起，每天比前一天多走的路程相同，问该男子第5天走多少里.这是我国古代数学专著《九章算术》中的一个问题，请尝试解决. 【答案】140里. 【解析】 【分析】由条件确定，该男子这9天中每天走的路程数构成等差数列，根据等差数列的通项公式，和前n 项和公式，列式求解.【详解】解：因为从第2天起，每天比前一天多走的路程相同， 所以该男子这9天中每天走的路程数构成等差数列， 设该数列为{}n a ，第1天走的路程数为首项1a ，公差为d ， 则91260S =，147390a a a ++=. 因为1(1)2n n n S na d -=+，1(1)n a a n d =+-， 1(1)n a a n d =+-11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+所以11119(91)91260236390a d a a d a d ⨯-⎧+=⎪⎨⎪++++=⎩，解得110010a d =⎧⎨=⎩，则514100410140a a d =+=+⨯=， 所以该男子第5天走140里.例4.（2021·全国·高考真题（文））记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知210,3n a a a >=，且数列是等差数列，证明：{}n a 是等差数列. 【答案】证明见解析. 【解析】 【分析】的公差d，进一步写出的通项，从而求出{}n a 的通项公式，最终得证. 【详解】∵数列是等差数列，设公差为d(n -()n *∈N∴12n S a n =，()n *∈N∴当2n ≥时，()221111112n n n a S S a n a n a n a -=-=--=- 当1n =时，11121=a a a ⨯-，满足112n a a n a =-， ∴{}n a 的通项公式为112n a a n a =-，()n *∈N ∴()()111111221=2n n a a a n a a n a a --=----⎡⎤⎣⎦∴{}n a 是等差数列.例5．（2021·全国·高考真题（理））已知数列{}n a 的各项均为正数，记n S 为{}n a 的前n 项和，从下面①①①中选取两个作为条件，证明另外一个成立． ①数列{}n a是等差数列：②数列是等差数列；③213a a =． 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． 【答案】证明过程见解析 【解析】 【分析】选①②作条件证明③时，结合,n n a S 的关系求出n a ，利用{}n a 是等差数列可证213a a =；也可分别设出公差，写出各自的通项公式后利用两者的关系，对照系数，得到等量关系，进行证明.选②③作条件证明①时，an b =+，结合,n n a S 的关系求出n a ，根据213a a =可求b ，然后可证{}n a 是等差数列；也可利用前两项的差求出公差，然后求出通项公式，进而证明出结论. 【详解】选①②作条件证明③：[方法一]：待定系数法+n a 与n S 关系式(0)an b a +>，则()2n S an b =+， 当1n =时，()211a S a b ==+；当2n ≥时，()()221n n n a S S an b an a b -=-=+--+()22a an a b =-+；因为{}n a 也是等差数列，所以()()222a b a a a b +=-+，解得0b =；所以()221n a a n =-，21a a =，故22133a a a ==.[方法二] ：待定系数法设等差数列{}n a 的公差为d，等差数列的公差为1d ，1(1)n d -，将1(1)2n n n S na d -=+1(1)n d -，化简得())2222211111222d d n a n d n d n d ⎛⎫+-=+-+⎪⎝⎭对于n +∀∈N恒成立．则有21211112,240,d d a d d d ⎧=⎪⎪-=-⎨=，解得112d d a =．所以213a a =． 选①③作条件证明②：因为213a a =，{}n a 是等差数列， 所以公差2112d a a a =-=， 所以()21112n n n S na d n a -=+=，)1n =+=所以是等差数列. 选②③作条件证明①： [方法一]：定义法(0)an b a +>，则()2n S an b =+， 当1n =时，()211a S a b ==+；当2n ≥时，()()221n n n a S S an b an a b -=-=+--+()22a an a b =-+；因为213a a =，所以()()2323a a b a b +=+，解得0b =或43a b =-； 当0b =时，()221,21n a a a a n ==-，当2n ≥时，2-1-2n n a a a =满足等差数列的定义，此时{}n a 为等差数列；当43a b =-4=3an b an a +-03a=-<不合题意，舍去. 综上可知{}n a 为等差数列. [方法二]【最优解】：求解通项公式因为213a a =，因为也为等差数列，所以公差1d()11n d =-=故21n S n a =，当2n ≥时，()()221111121n n n a S S n a n a n a -=-=--=-，当1n =时，满足上式，故{}n a 的通项公式为()121n a n a =-，所以()1123n a n a -=-，112n n a a a --=，符合题意. 【整体点评】这类题型在解答题中较为罕见，求解的关键是牢牢抓住已知条件，结合相关公式，逐步推演，选①②时，法一：利用等差数列的通项公式是关于n(0)an b a =+>，平方后得到n S 的关系式，利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩得到{}n a 的通项公式，进而得到213a a =，是选择①②证明③的通式通法；法二：分别设出{}n a 与{}n S的公差，写出各自的通项公式后利用两者的关系，对照系数，得到等量关系1d =12d a =，进而得到213a a =；选①③时，按照正常的思维求出公差，表示出n S进行证明；选②③时，法一：利用等差数列的通项公式是关于n 的一次函数，(0)an b a =+>，结合,n n a S 的关系求出n a ，根据213a a =可求b ，然后可证{}n a两项的差1d11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，求出{}n a 的通项公式，进而证明出结论. 【总结提升】等差数列的四种判断方法(1) 定义法：对于数列{}n a ，若d a a n n =-+1()n N ∈*(常数)，则数列{}n a 是等差数列； (2) 等差中项：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a ()n N ∈*，则数列{}n a 是等差数列; (3)通项公式：n a pn q =+(,p q 为常数,n N ∈*)⇔是等差数列;(4)前n 项和公式：2n S An Bn =+(,A B 为常数, n N ∈*)⇔是等差数列;(5)是等差数列⇔n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列. 提醒：判断时易忽视定义中从第2项起，以后每项与前一项的差是同一常数，即易忽视验证a 2－a 1＝d 这一关键条件.题型三：等差数列的前n 项和例6．【多选题】（2022·湖南永州·三模）已知等差数列{}n a 是递减数列，n S 为其前n 项和，且78S S =，则（ ）A ．0d ＞B ．80a =C ．150S >D ．7S 、8S 均为n S 的最大值【答案】BD 【解析】【分析】根据等差数列的性质以及其前n 项和的性质，逐个选项进行判断即可求解 【详解】因为等差数列{}n a 是递减数列，所以，10n n a a +-<，所以，0d <，故A 错误； 因为78S S =，所以8870a S S =-=，故B 正确； 因为()115158151502a a S a +===，故C 错误； 因为由题意得，789000a a a >⎛ = <⎝，所以，*78()n S S S n N =≥∈，故D 正确；故选：BD例7.（2020·全国·高考真题（文））记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若1262,2a a a =-+=，则10S =__________． 【答案】25 【解析】 【分析】因为{}n a 是等差数列，根据已知条件262a a +=，求出公差，根据等差数列前n 项和，即可求得答案. 【详解】{}n a 是等差数列，且12a =-，262a a +=设{}n a 等差数列的公差d根据等差数列通项公式：()11n a a n d +-= 可得1152a d a d +++= 即：()2252d d -++-+= 整理可得：66d = 解得：1d =根据等差数列前n 项和公式：*1(1),2n n n S na d n N -=+∈ 可得：()1010(101)1022045252S ⨯-=-+=-+=∴1025S =. 故答案为：25.例8.（2018·全国·高考真题（文））记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求n S ，并求n S 的最小值．【答案】（1）n a =2n –9，（2）Sn =n 2–8n ，最小值为–16． 【解析】 【详解】分析：（1）根据等差数列前n 项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式得结果，（2）根据等差数列前n 项和公式得nS 的二次函数关系式，根据二次函数对称轴以及自变量为正整数求函数最值.详解：（1）设{}n a 的公差为d ，由题意得3a 1+3d =–15．由a 1=–7得d =2．所以{n a }的通项公式为n a =2n –9． （2）由（1）得Sn =n 2–8n =（n –4）2–16． 所以当n =4时，Sn 取得最小值，最小值为–16．例9.（2021·全国·高考真题）记n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，若35244,a S a a S ==． （1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）求使n n S a >成立的n 的最小值． 【答案】(1)26n a n =-；(2)7. 【解析】 【分析】(1)由题意首先求得3a 的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式； (2)首先求得前n 项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n 的最小值. 【详解】(1)由等差数列的性质可得：535S a =，则：3335,0a a a =∴=，设等差数列的公差为d ，从而有：()()22433a a a d a d d =-+=-，()()()41234333322S a a a a a d a d a a d d =+++=-+-++-=-， 从而：22d d -=-，由于公差不为零，故：2d =， 数列的通项公式为：()3326n a a n d n =+-=-.(2)由数列的通项公式可得：1264a =-=-，则：()()214252n n n S n n n -=⨯-+⨯=-，则不等式n n S a >即：2526n n n ->-，整理可得：()()160n n -->， 解得：1n <或6n >，又n 为正整数，故n 的最小值为7.例10．（2022·福建·厦门一中模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和n S ，11a =，0n a >，141n n n a a S +=-． (1)计算2a 的值，求{}n a 的通项公式；(2)设1(1)nn n n b a a +=-，求数列{}n b 的前2n 项和2n T ．【答案】(1)23a =，21n a n =- (2)24(21)n T n n =+ 【解析】 【分析】（1）根据11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，作差得到24n n a a +-=，再根据等差数列通项公式计算可得；（2）由（1）可得(1)(21)(21)n n b n n =--+，利用并项求和法计算可得； (1)解：当1n =时，12141a a a =-，解得23a =， 由题知141n n n a a S +=-①，12141n n n a a S +++=-②，由②-①得121()4n n n n a a a a +++-=，因为0n a >，所以24n n a a +-=， 于是：数列{}n a 的奇数项是以11a =为首项，以4为公差的等差数列， 即()2114(1)432211n a n n n -=+-=-=--，偶数项是以23a =为首项，以4为公差的等差数列，即234(1)41n a n n =+-=- 所以{}n a 的通项公式21n a n =-； (2)解：由（1）可得(1)(21)(21)n n b n n =--+，212(43)(41)(41)(41)4(41)n n b b n n n n n -=---+-+=-+21234212(341)()()()4[37(41)]44(21)2n n n n n T b b b b b b n n n -+-=++++++=+++-=⨯=+. 【总结提升】1.利用等差数列的单调性或性质，求出其正负转折项，便可求得和的最值．当10a >，0d <时，n S 有最大值；10a <，0d >时，n S 有最小值；若已知n a ，则n S 最值时n 的值（n N +∈）则当10a >，0d <，满足100n n a a +≥⎧⎨≤⎩的项数n 使得n S 取最大值，(2)当10a <，0d >时，满足10n n a a +≤⎧⎨≥⎩的项数n 使得n S 取最小值.2.利用等差数列的前n 项和：2n S An Bn =+(,A B 为常数, n N ∈*)为二次函数，通过配方或借助图像，二次函数的性质，转化为二次函数的最值的方法求解；有时利用数列的单调性（0d >,递增；0d <，递减）；3. 利用数列中最大项和最小项的求法：求最大项的方法：设为最大项，则有11n n n n a a a a -+≥⎧⎨≥⎩；求最小项的方法：设为最小项，则有11n n n n a a a a -+≤⎧⎨≤⎩.只需将等差数列的前n 项和1,2,3,n =依次看成数列{}n S ，利用数列中最大项和最小项的求法即可.4.在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用. 题型四：等差数列性质及应用例11.（2020·浙江·高考真题）已知等差数列{an }的前n 项和Sn ，公差d ≠0，11a d≤．记b 1=S 2，bn+1=S2n+2–S 2n ，n *∈N ，下列等式不可能．．．成立的是（ ） A ．2a 4=a 2+a 6 B ．2b 4=b 2+b 6 C ．2428a a a = D ．2428b b b =【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得，21212222n n n n n b S a a S ++++=+=-，而1212b S a a ==+，即可表示出题中2468,,,b b b b ，再结合等差数列的性质即可判断各等式是否成立． 【详解】对于A ，因为数列{}n a 为等差数列，所以根据等差数列的下标和性质，由4426+=+可得，4262a a a =+，A 正确；对于B ，由题意可知，21212222n n n n n b S a a S ++++=+=-，1212b S a a ==+， ∴234b a a =+，478b a a =+，61112b a a =+，81516b a a =+． ∴()47822b a a =+，26341112b b a a a a +=+++．根据等差数列的下标和性质，由31177,41288+=++=+可得()26341112784=2=2b b a a a a a a b +=++++，B 正确；对于C ，()()()()2224281111137222a a a a d a d a d d a d d d a -=+-++=-=-， 当1a d =时，2428a a a =，C 正确； 对于D ，()()22222478111213452169b a a a d a a d d =+=+=++，n a n a()()()()2228341516111125229468145b b a a a a a d a d a a d d =++=++=++，()22428112416832b b b d a d d d a -=-=-．当0d >时，1a d ≤，∴()113220d a d d a -=+->即24280b b b ->；当0d <时，1a d ≥，∴()113220d a d d a -=+-<即24280b b b ->，所以24280b b b ->，D 不正确．故选：D.例12．（2014·北京高考真题（理））若等差数列{}n a 满足7897100,0a a a a a ++>+<，则当n =__________时，{}n a 的前n 项和最大． 【答案】8 【解析】由等差数列的性质，，，又因为，所以所以，所以，，故数列的前8项最大.例13．（2016·北京·高考真题（理））已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若16a =，350a a +=，则6=S _______. 【答案】6 【解析】 【详解】试题分析：因为{}n a 是等差数列，所以35420a a a +==，即40a =，又4136a a d -==-，所以2d =-， 所以616156615(2)6S a d =+=⨯+⨯-=．故答案为6．例14.（2021·江西新余四中高二月考（理））等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，若2132n n S n T n +=+，则2517208101214a a a ab b b b +++=+++________．【答案】4365【分析】 证明得出2121n n n n a S b T --=，结合等差中项的基本性质可求得结果. 【详解】因为等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，则()()()()()()12121121212121221212n n n n n n n nn a a n a S a n b b T n b b -----+-===-+-，所以，25172011218101214112142211434321265a a a a a Sb b b b b T +++⨯+====+++⨯+.故答案为：4365. 【温馨提醒】等差数列的性质主要涉及“项的性质”和“和的性质”，因此，要注意结合等差数列的通项公式、前n 项和公式求解．。