数值分析第二章答案

第一章 绪论（12） 第二章 插值法（40-42）2、当2,1,1-=x 时，4,3,0)(-=x f ，求)(x f 的二次插值多项式。

[解]372365)1(34)23(21)12)(12()1)(1(4)21)(11()2)(1()3()21)(11()2)(1(0))(())(())(())(())(())(()(2221202102210120120102102-+=-++--=+-+-⨯+------⨯-+-+-+⨯=----+----+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L 。

3、给出x x f ln )(=的数值表用线性插值及二次插值计算54.0ln 的近似值。

X 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 x ln -0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.357765 -0.223144[解]若取5.00=x ，6.01=x ，则693147.0)5.0()(00-===f x f y ，510826.0)6.0()(11-===f x f y ，则604752.182321.1)5.0(10826.5)6.0(93147.65.06.05.0510826.06.05.06.0693147.0)(010110101-=---=--⨯---⨯-=--+--=x x x x x x x x x y x x x x y x L ，从而6202186.0604752.19845334.0604752.154.082321.1)54.0(1-=-=-⨯=L 。

若取4.00=x ，5.01=x ，6.02=x ，则916291.0)4.0()(00-===f x f y ，693147.0)5.0()(11-===f x f y ，510826.0)6.0()(22-===f x f y ，则 217097.2068475.404115.2)2.09.0(5413.25)24.0(3147.69)3.01.1(81455.45)5.06.0)(4.06.0()5.0)(4.0()510826.0()6.05.0)(4.05.0()6.0)(4.0()693147.0()6.04.0)(5.04.0()6.0)(5.0(916291.0))(())(())(())(())(())(()(22221202102210120120102102-+-=+--+-⨯++-⨯-=----⨯-+----⨯-+----⨯-=----+----+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L ，从而61531984.0217097.21969765.259519934.0217097.254.0068475.454.004115.2)54.0(22-=-+-=-⨯+⨯-=L补充题：1、令00=x ，11=x ，写出x e x y -=)(的一次插值多项式)(1x L ，并估计插值余项。

1．当1,1,2x =-时，()0,3,4f x =-,求()f x 的二次插值多项式。

解：0120121200102021101201220211,1,2,()0,()3,()4;()()1()(1)(2)()()2()()1()(1)(2)()()6()()1()(1)(1)()()3x x x f x f x f x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x ==-===-=--==-+-----==------==-+-- 则二次拉格朗日插值多项式为220()()k k k L x y l x ==∑0223()4()14(1)(2)(1)(1)23537623l x l x x x x x x x =-+=---+-+=+- 5设[]2(),f x Ca b ∈且()()0,f a f b ==求证： 21m ax ()()m ax ().8a x b a x bf x b a f x ≤≤≤≤''≤- 解：令01,x a x b ==，以此为插值节点，则线性插值多项式为10101010()()()x x x x L x f x f x x x x x --=+-- =()()x bx af a f b a b x a --=+--1()()0()0f a f b L x ==∴= 又 插值余项为1011()()()()()()2R x f x L x f x x x x x ''=-=--011()()()()2f x f x x x x x ''∴=--[]012012102()()1()()21()41()4x x x x x x x x x x b a --⎧⎫≤-+-⎨⎬⎩⎭=-=- 又 ∴21m ax ()()m ax ().8a x b a x bf x b a f x ≤≤≤≤''≤- 16．求一个次数不高于4次的多项式P （x ），使它满足(0)(0)0,(1)(1)0,(2)0P P P P P ''=====解：利用埃米尔特插值可得到次数不高于4的多项式0101010,10,10,1x x y y m m ======11300201001012()()()()(12)()(12)(1)j j j j j j H x y x m x x x x xx x x x x x x αβα===+--=---=+-∑∑210110102()(12)()(32)x x x x x x x x x x x α--=---=-2021()(1)()(1)x x x x x xββ=-=-22323()(32)(1)2H x x x x x x x ∴=-+-=-+设22301()()()()P x H x A x x x x =+--其中，A 为待定常数3222(2)1()2(1)P P x x x Ax x =∴=-++-14A ∴= 从而221()(3)4P x x x =-19．求4()f x x =在[,]a b 上分段埃尔米特插值，并估计误差。

1.用Gauss 消去法解方程组⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤---⎢⎢⎢⎢⎣⎡-551631011411014211264321x x x x 解：第一步：交换第三行和第一行，得到如下矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤----⎢⎢⎢⎢⎣⎡-56153101111402411621做运算()22121E E E →⎪⎭⎫ ⎝⎛+-，()33161E E E →⎪⎭⎫⎝⎛+-，()()441E E E →+，得到增广矩阵 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤------⎢⎢⎢⎢⎣⎡0249525213237414210001 第二步：再做运算()3322E E E →+，()44221E E E →⎪⎭⎫⎝⎛+-，得到如下矩阵 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤-----⎢⎢⎢⎢⎣⎡94295292113377400210001第三步：做运算()4433713E E E →⎪⎭⎫⎝⎛+，得到 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤------⎢⎢⎢⎢⎣⎡21342951919210377400210001利用回代公式求得.790576.0,361257.0,863874.0,115183.11234=-==-=x x x x2、解 2.51 1.48 4.531.480.93 1.302.68 3.041.48⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦123x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=0.051.030.53⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ 做两次换行()()()()↔↔3132;E E E E 得2.683.04 1.42.511.48 4.531.480.931.30⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦123x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=0.530.051.03⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 计算()()()()-+→-+→1221330.93657;0.55224;E E E E E E2.683.04 1.481.3672 5.916100.748810.48269⎡⎤-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦123x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=0.530.546381.3227⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦计算()()-+→2330.54770;E E E2.683.04 1.4801.36725.9161003.7229⎡⎤-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦123x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=0.530.546381.0235⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 换行和消去到此结束，经回代计算得到x =()1.440360, 1.577963,0.27494T--3.用Doolittle 三角分解方法解方程组⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----551631011411014211264321x x x x解：首先对系数矩阵A 做分解LUA =解出：解b y L=，计算出Ty ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=74213,521,1,6解y x U=，计算出()T x 115183.1,863874.0,361257.0,790576.0--=4.设][,ij n n a A R A =∈⨯,011≠a ，b Ax =经过高斯消去法一步后变为)2()2(b x A =，其中=)2(A⎥⎦⎤⎢⎣⎡21110A a a T ，(2)A =()(2),2n ij i j a =为(n-1)⨯(n-1)矩阵.其元素为(2)ija =(1)ij a -(1)(1)11i j a a /(1)11a , ,i j =2,3, n. 证明：（1）若A 对称正定，则2A 是对称矩阵。

7、计算的近似值，取。

利用以下四种计算格式，试问哪一种算法误差最小。

〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕解：计算各项的条件数由计算知，第一种算法误差最小。

解：在计算机上计算该级数的是一个收敛的级数。

因为随着的增大，会出现大数吃小数的现象。

9、通过分析浮点数集合F=〔10，3，-2，2〕在数轴上的分布讨论一般浮点数集的分布情况。

10、试导出计算积分的递推计算公式，用此递推公式计算积分的近似值并分析计算误差，计算取三位有效数字。

解：此算法是数值稳定的。

第二章习题解答1.〔1〕 R n×n中的子集“上三角阵〞和“正交矩阵〞对矩阵乘法是封闭的。

〔2〕R n×n中的子集“正交矩阵〞，“非奇异的对称阵〞和“单位上〔下〕三角阵〞对矩阵求逆是封闭的。

设A是ｎ×ｎ的正交矩阵。

证明A-1也是ｎ×ｎ的正交矩阵。

证明：〔2〕A是ｎ×ｎ的正交矩阵∴A A-1 =A-1A=E 故〔A-1〕-1=A∴A-1〔A-1〕-1=〔A-1〕-1A-1 =E 故A-1也是ｎ×ｎ的正交矩阵。

设A是非奇异的对称阵，证A-1也是非奇异的对称阵。

A非奇异∴A可逆且A-1非奇异又A T=A ∴〔A-1〕T=〔A T〕-1=A-1故A-1也是非奇异的对称阵设A是单位上〔下〕三角阵。

证A-1也是单位上〔下〕三角阵。

证明：A是单位上三角阵，故|A|=1，∴A可逆，即A-1存在，记为〔b ij〕n×n由A A-1 =E，那么〔其中 j＞i时，〕故b nn=1, b ni=0 (n≠j)类似可得，b ii=1 (j=1…n) b jk=0 (k＞j)即A-1是单位上三角阵综上所述可得。

R n×n中的子集“正交矩阵〞，“非奇异的对称阵〞和“单位上〔下〕三角阵〞对矩阵求逆是封闭的。

2、试求齐次线行方程组Ax=0的根底解系。

A=解：A=～～～故齐次线行方程组Ax=0的根底解系为，3.求以下矩阵的特征值和特征向量。

第二章习题参考答案1.解： 由于20Ax b−≥，极小化2b Ax −与极小化22Ax b −是等价的。

令22()(,)(,)2(,)x Ax b Ax Ax b b Ax b ϕ=−=+−，对于任意的n R y x ∈,和实数α，)()(),()()(,*222*2****x Ay a x Ay Ay a x ay x b Ax x ϕϕϕϕ≥+=+=+=则有满足若这表示处达到极小值。

在*)(x x ϕ反之，若必有处达到极小，则对任意在nR y x ay x ∈+*)(ϕ0),(2),(2),(20)(**0*=−=+−=+=Ay b Ax Ay Ay a Ay b Ax daay x d a 即ϕ故有 b Ax =*成立。

以上证明了求解,22b Ax b Ax −=等价于极小化即。

等价于极小化2b Ax b Ax −= 推导最速下降法过程如下：),/(),(0),(),(,0),,2)(222)()(11k T k T k T k k T k T k T k k T k k k T k k kT k T k T T x x k r AA r AA r AA r a r AA r AA a r AA r r aA x da dx a r aA x x r A Ax b A Ax A b A x grad x x k==+−=++==−=−=−++=最终得到得出（由取得极小值。

使求出取的负梯度方向，且下降最快的方向是该点在ϕϕϕ给出的算法如下：1）)(000Ax b A r A R x T T n −=∈，计算给定； 2）L ,2,1,0=k 对于）转到否则数。

为一事先给定的停机常则停止；其中若2),/(),(10,11kT k k k k T k k k k k k k k k r A p Ax b r r A a x x Ap Ap p p a k k r =−=+==+=>≤−−εε2.证明 1） 正定性由对称正定矩阵的性质，(),0x Ax ≥（当且仅当x ＝0时取等号），所以 ()12,0Axx Ax =≥（当且仅当x ＝0时取等号）2） 齐次性()()()121122,(),,AA xx A x x Ax x Ax x αααααα⎡⎤====⎣⎦3）o1方法（一）A 是对称正定矩阵，得到(,())0x y A x y λλ++≥，把它展开如下2(,)(,)(,)(,)0y Ay x Ay y Ax x Ax λλλ+++≥考虑到(,)(,)(,)x Ay Ax y y Ax ==，把上式看成关于λ的一元二次方程，则式子等价于24(,)4(,)(,)0x Ay x Ax y Ay ∆=−≤因此1/21/2(,)(,)(,)x Ay x Ax y Ay ≤所以1/21/221/21/2((,)(,))(,)(,)2(,)(,)(,)(,)2(,)(,)(,)(,)(,)((),())x Ax y Ay x Ax y Ay x Ax y Ay x Ax y Ay x Ay x Ax y Ay x Ay y Ax x y A x y +=++≥++=+++=++两边开平方即可得到AA A x yx y +≤+因此，1/2(,)A x Ax x =是一种向量范数。

第二章插值法1.当兀= 1—2时,/（%） = 0-3,4^/（%）的二次插值多项式。

解：X。

= I/】=—l,x2 = 2, /Uo) =0,/(^)=-3,/(X2) = 4;一丄(兀+i)(一2)，0（人）=Oo — xJOo — xJ 2加）=（_兀）（—心=丄（一1）（一2）（兀一兀）（州一呂）6(A-.VoX.V-Vj l(Y_1)(x+1)(x2-x Q)(x2-x t) 3则二次拉格朗口插值多项式为2厶⑴=£）恥）k=0=-3/0(X)+4/2(X)1 4= --U- 1)(A—2) + -(x-l)(x + 1)5r 3 7=-X" +—x--6 2 3/（x） = liix2.用线性插值及二次插值计算1110.54的近似值。

解：由表格知，x0 = 0・4，兀=0.59X2 = 0.6, x3 = 0.7,x4 = 0.8; f(x Q) = -0.916291,/(xj = -0.693147 /(A) = —0.510826,/a)= -0.356675 /(x4) =-0.223144若采用线性插值法计算hiO.54即/(0.54),则0.5 <0.54 <0.6/1(x) = ^—^ = -10(.v-0.6) 人一无X —X /.(%) = -__ =-10(x-0.5)厶⑴=/U1XW + /(x 2)/2(x)=6.93147(x — 0.6) - 5・ 10826(.— 0.5)・・・厶(0.54) = -0.6202186 « -0.620219若采用二次插值法计算lnO.54时, (V f _亠)=50(x-0.5)(x- 0.6)(x Q -xj(x 0-x 2)(工7。

)(工_亠)=-100(x- 0.4)(x — 0.6)(兀一 Xo )(X 】一XJ厶(x) = /UoVoW+/U1XW+/(x 2)/2(x )=-50 x 0.916291(%-0.5)(A -0.6)+ 69.3147(x-0.4)(x-0.6)-0.510826 x50(x-0.4)(x-0.5).14(0.54) = -0.61531984 « -0.615320 3.给全cosx,0 <x<90°的函数表,步长/? = r = （l/60）\若函数表具有5位有效数字，研 究用线性插值求cos 兀近似值时的总误差界。

第二章1.试证明nn R⨯中的子集“上三角阵”对矩阵乘法是封闭的。

证明：设n n R B A ⨯∈,为上三角阵，则)( 0,0j i b a ij ij >== C=AB ，则∑==nk kjik ij b ac 1)( 0j i c ij >=∴，即上三角阵对矩阵乘法封闭。

2.已知矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=512103421121A ，求A 的行空间)(T A R 及零空间N(A)的基。

解：对T A 进行行变换，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⇒⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--⇒⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=00100010121420050000121501131242121TA 3)(=∴T A r ，)(T A R 的基为[][][]T T T 5121,03421121321=-==ααα，由Ax=0可得[]Tx 0012-=∴N(A)的基为[]T0012-3.已知矩阵321230103A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，试计算A 的谱半径()A ρ。

解：2321()det()230(3)(64)013A f I A λλλλλλλλ---=-=--=--+=--max 35()3 5.A λρ=+=+4、试证明22112212211221,,,R E E E E E E ⨯+-是中的一组基。

，其中11121001,0000E E ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22210000,1001E E ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

1222112112211221134112212211221234134411221221122123410010000,,,00001001010110100000E E E E E E E E k k k k k k k E E E E E E k k k k k k E E E E E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫+=-= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭+⎛⎫⎛⎫++++-== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭++++-解：，（）（）令因此（）（0000O E ⎛⎫== ⎪⎝⎭）12331112212212211221111221122122112222112212211221 0 ,22,,,k k k k a a A V a a a a a aA a a E E E E E E R E E E E E E ⨯⇔====⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭+-=+++-+∴+-对于任意二阶实矩阵有（）（）是中的一组基。

第一章 绪论1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。

解：近似值*x 的相对误差为*****r e x x e x x δ-=== 而ln x 的误差为()1ln *ln *ln **e x x x e x =-≈ 进而有(ln *)x εδ≈2．设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。

解：设()n f x x =，则函数的条件数为'()||()p xf x C f x = 又1'()n f x nx-=, 1||n p x nx C n n-⋅∴== 又((*))(*)r p r x n C x εε≈⋅ 且(*)r e x 为2((*))0.02n r x n ε∴≈3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, *456.430x =,*57 1.0.x =⨯解：*1 1.1021x =是五位有效数字； *20.031x =是二位有效数字； *3385.6x =是四位有效数字； *456.430x =是五位有效数字； *57 1.0.x =⨯是二位有效数字。

4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) ***124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24/x x . 其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数。

解：*41*32*13*34*151()1021()1021()1021()1021()102x x x x x εεεεε-----=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯***124***1244333(1)()()()()1111010102221.0510x x x x x x εεεε----++=++=⨯+⨯+⨯=⨯ ***123*********123231132143(2)()()()()1111.10210.031100.031385.610 1.1021385.6102220.215x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯≈**24****24422*4335(3)(/)()()110.0311056.430102256.43056.43010x x x x x x xεεε---+≈⨯⨯+⨯⨯=⨯=5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？解：球体体积为343V R π=则何种函数的条件数为23'4343p R V R R C V R ππ===(*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈= 又(*)1r V ε=故度量半径R 时允许的相对误差限为1(*)10.333r R ε=⨯≈6．设028Y =，按递推公式1n n Y Y -= （n=1,2,…）计算到100Y 27.982≈（5位有效数字），试问计算100Y 将有多大误差？解：1n n Y Y -=10099Y Y ∴=-9998Y Y =9897Y Y =……10Y Y =-依次代入后，有1000100Y Y =-即1000Y Y =27.982≈, 100027.982Y Y ∴=-*310001()()(27.982)102Y Y εεε-∴=+=⨯100Y ∴的误差限为31102-⨯。

2.2.给出x x f ln )(=的数值表：用线性插值及二次插值计算54.0ln 的近似值。

解 线性插值。

由于54.0=x ，介于0.5和0.6之间，故取5.00=x ，6.01=x ，这时插值余项中的))(()(10x x x x x w --=的绝对值最小，于是147693.00-=y ，826510.01-=y ，代入拉格朗日线性插值多项式，得219620.0)826510.0(5.06.05.054.0)147693.0(6.05.06.054.0)54.0(11001011-≈-⨯--+-⨯--=⋅--+⋅--=y x x x x y x x x x L所以219620.0)54.0(54.0ln 1-≈≈L 。

当然还可以按其他方式取0x ，1x ，但近似程度可能差些。

二次插值。

由于54.0=x ，与0.5，0.6及0.4距离较近，故取4.00=x ，5.01=x ，6.02=x ，这时插值余项中的))()(()(210x x x x x x x w ---=的绝对值最小，于是291916.00-=y ，147693.01-=y ，826510.02-=y ，代入拉格朗日二次插值多项式，得320615.0)826510.0()5.06.0)(4.06.0()5.054.0)(4.054.0()147693.0()6.05.0)(4.05.0()6.054.0)(4.054.0()291916.0()6.04.0)(5.04.0()6.054.0)(5.054.0())(())(())(())(())(())(()54.0(2120210121012002010212-≈-⨯----+-⨯----+-⨯----=⋅----+⋅----+⋅----=y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x L所以320615.0)54.0(54.0ln 2-≈≈L 。

第二章 插值法习题参考答案2.)12)(12()1)(1(4)21)(11()2)(1()3()21)(11()2)(1(0)(2+-+-⋅+------⋅-+-+-+⋅=x x x x x x x L3723652-+=x x . 3. 线性插值：取510826.0,693147.0,6.0,5.01010-=-===y y x x ，则620219.0)54.0()54.0(54.0ln 0010101-=-⋅--+=≈x x x y y y L ；二次插值：取510826.0,693147.0,916291.0,6.0,5.0,4.0210210-=-=-====y y y x x x ，则)54.0(54.0ln 2L ≈))(()54.0)(54.0())(()54.0)(54.0())(()54.0)(54.0(120210221012012010210x x x x x x y x x x x x x y x x x x x x y ----⋅+----⋅+----⋅=＝－0.616707 .6. i) 对),,1,0(,)(n k x x f k==在n x x x ,,,10 处进行n 次拉格朗日插值，则有)()(x R x P x n n k +=)())(()!1(1)(0)1(0n n ni k j j x x x x f n x x l --++=+=∑ ξ由于0)()1(=+ξn f，故有kni k j jxx x l≡∑=0)(.ii) 构造函数,)()(kt x x g -=在n x x x ,,,10 处进行n 次拉格朗日插值，有∑=-=ni j k j n x l t x x L 0)()()(.插值余项为 ∏=+-+=--nj j n n kx x n g x L t x 0)1()()!1()()()(ξ， 由于).,,2,1(,0)()1(n k g n ==+ξ故有 .)()()()(0∑=-==-ni j k j n kx l t x x L t x令,x t =即得 ∑==-ni j k jx l t x)()(.8. 截断误差].4,4[),)()((61)(2102-∈---=ξξx x x x x x e x R其中 ,,1210h x x h x x +=-= 则hx x 331+=时取得最大值321044392|))()((|max h x x x x x x x ⋅=---≤≤- .由题意， ,10)392(61|)(|6342-=⋅⋅≤h e x R所以，.006.0≤h16. ;1!7!7!7)(]2,,2,2[)7(71===ξf f .0!7)(]2,,2,2[)8(810==ξf f19. 采用牛顿插值，作均差表：i x)(i x f一阶均差 二阶均差0 1 20 1 11 0-1/2],,[))((],[)()()(210101000x x x f x x x x x x f x x x p x p --+-+=))()()((210x x x x x x Bx A ---++)2)(1()()2/1)(1(0--++--++=x x x Bx A x x x又由 ,1)1(,0)0(='='p p 得,41,43=-=B A 所以 .)3(4)(22-=x x x p第三章 函数逼近与计算习题参考答案4.设所求为()g x c =，(,)max(,),max (),min ()a x ba x bf g M c m c M f x m f x ≤≤≤≤∆=--==，由47页定理4可知()g x 在[],a b 上至少有两个正负交错的偏差点，恰好分别为()f x 的最大值和最小值处，故由1(),()2M c m c c M m -=--=+可以解得1()()2g x M m =+即为所求。

数值分析第5版课后答案本文是数值分析第5版课后答案。

以下是每章节课后习题的答案。

第一章：导论和误差分析1.什么是数值分析？数值分析是利用数学模型和离散数值计算方法进行科学计算的一门学科。

它通过建立数学描述、离散化、数值求解等步骤求解各种科学计算问题。

2.什么是误差？误差是实际值与理论值之间的差异。

误差分为绝对误差和相对误差。

3.什么是有效数字？有效数字是指一个数值中有效的数字位数，不包括前导0和末尾0。

第二章：计算机算术1.什么是机器数？机器数是计算机内部表示的数字。

它是由位组成的2进制数，可以表示整数和实数。

2.什么是补码？补码是表示负整数的一种方法。

它是将一个数反码后加1得到的数，也就是一个数与其相反数的和，是一种用来解决计算机计算负数的方法。

3.什么是浮点数？浮点数是一种可以表示任意大小的实数的计算机数据类型。

它由两部分组成：指数和尾数。

指数表示数的大小，尾数表示数的精度。

第三章：方程的解法1.什么是二分法？二分法是一种求解连续函数零点的方法。

它需要先确定一个区间，然后在该区间中搜索函数值为0的点。

2.什么是牛顿迭代法？牛顿迭代法是一种求解非线性方程的方法。

它利用函数的一阶导数和二阶导数近似表示函数，并利用初始值和迭代公式得到近似解。

3.什么是割线法？割线法是一种求解非线性方程的方法。

它是利用函数两点连线的斜率逼近函数的零点，并利用初始值和迭代公式得到近似解。

第四章：插值和逼近1.什么是插值？插值是利用已知数据点得到一个函数，使这个函数通过这些点。

2.什么是拉格朗日插值？拉格朗日插值是一种插值方法。

它利用数据点和插值点的函数值，通过拉格朗日插值公式得到通过插值点的函数。

3.什么是样条插值？样条插值是一种插值方法。

它是通过多项式连接各个区间，并满足一定条件得到一个光滑的函数。

第五章：数值积分1.什么是数值积分？数值积分是用数值计算方法来近似计算定积分的方法。

2.什么是梯形公式？梯形公式是数值积分的一种方法。

第一章 绪 论1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差.2. 设x 的相对误差为2％,求nx 的相对误差.3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====⨯4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限:********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数.5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少?6. 设028,Y =按递推公式1n n Y Y -=( n=1,2,…)计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差?7. 求方程25610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字27.982).8. 当N 充分大时,怎样求211Ndx x +∞+⎰?9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2? 10. 设212S gt =假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列{}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字),计算到10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗?12.计算61)f =,1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好?3--13.()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式ln(ln(x x =-计算,求对数时误差有多大?14. 试用消元法解方程组{101012121010;2.x x x x +=+=假定只用三位数计算,问结果是否可靠?15. 已知三角形面积1sin ,2s ab c =其中c 为弧度,02c π<<,且测量a ,b ,c 的误差分别为,,.a b c ∆∆∆证明面积的误差s ∆满足.s a b cs a b c ∆∆∆∆≤++第二章 插值法1. 根据(2.2)定义的范德蒙行列式,令2000011211121()(,,,,)11n n n n n n n n n x x x V x V x x x x x x x xx x ----==证明()n V x 是n 次多项式,它的根是01,,n x x -,且 101101()(,,,)()()n n n n V x V x x x x x x x ---=--.2. 当x = 1 , -1 , 2 时, f (x)= 0 , -3 , 4 ,求f (x )的二次插值多项式.3.4. 给出cos x ,0°≤x ≤90°的函数表,步长h =1′=(1/60)°,若函数表具有5位有效数字,研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界.5. 设0k x x kh =+,k =0,1,2,3,求032max ()x x x l x ≤≤.6. 设jx 为互异节点(j =0,1,…,n ),求证:i) 0()(0,1,,);nk kj j j x l x xk n =≡=∑ii)()()1,2,,).nk jj j xx l x k n =-≡0(=∑7. 设[]2(),f x C a b ∈且()()0f a f b ==,求证21()()().8max max a x b a x b f x b a f x ≤≤≤≤≤-"8. 在44x -≤≤上给出()x f x e =的等距节点函数表,若用二次插值求x e 的近似值,要使截断误差不超过610-,问使用函数表的步长h 应取多少?9. 若2n n y =,求4n y ∆及4n y δ.10. 如果()f x 是m 次多项式,记()()()f x f x h f x ∆=+-,证明()f x 的k 阶差分()(0)k f x k m ∆≤≤是m k -次多项式,并且()0(m l f x l +∆=为正整数).11. 证明1()k k k k k k f g f g g f +∆=∆+∆. 12. 证明110010.n n kkn n k k k k f gf g f g g f --+==∆=--∆∑∑13. 证明1200.n j n j y y y -=∆=∆-∆∑14. 若1011()n n n n f x a a x a x a x --=++++有n 个不同实根12,,,n x x x ,证明{10,02;, 1.1()n k njk n a k n j jx f x -≤≤-=-=='∑15. 证明n 阶均差有下列性质: i)若()()F x cf x =,则[][]0101,,,,,,n n F x x x cf x x x =;ii) 若()()()F x f x g x =+,则[][][]010101,,,,,,,,,n n n F x x x f x x x g x x x =+.16. 74()31f x x x x =+++,求0172,2,,2f ⎡⎤⎣⎦及0182,2,,2f ⎡⎤⎣⎦.17. 证明两点三次埃尔米特插值余项是(4)22311()()()()/4!,(,)k k k k R x f x x x x x x ++=ξ--ξ∈并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.18. 求一个次数不高于4次的多项式()P x ,使它满足(0)(1)P P k =-+并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限. 19. 试求出一个最高次数不高于4次的函数多项式()P x ,以便使它能够满足以下边界条件(0)(0)0P P ='=,(1)(1)1P P ='=,(2)1P =.20. 设[](),f x C a b ∈,把[],a b 分为n 等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数()n x ϕ并证明当n →∞时,()n x ϕ在[],a b 上一致收敛到()f x .21. 设2()1/(1)f x x =+,在55x -≤≤上取10n =,按等距节点求分段线性插值函数()h I x ,计算各节点间中点处的()h I x 与()f x 的值,并估计误差.22. 求2()f x x =在[],a b 上的分段线性插值函数()h I x ,并估计误差.23. 求4()f x x =在[],a b 上的分段埃尔米特插值,并估计误差.试求三次样条插值并满足条件 i) (0.25) 1.0000,(0.53)0.6868;S S '='= ii)(0.25)(0.53)0.S S "="=25. 若[]2(),f x C a b ∈,()S x 是三次样条函数,证明 i)[][][][]222()()()()2()()()bbbba a a a f x dx S x dx f x S x dx S x f x S x dx "-"="-"+""-"⎰⎰⎰⎰;ii) 若()()(0,1,,)i i f x S x i n ==,式中i x 为插值节点,且01n a x x x b =<<<=,则[][][]()()()()()()()()()baS x f x S x dx S b f b S b S a f a S a ""-"="'-'-"'-'⎰.26. 编出计算三次样条函数()S x 系数及其在插值节点中点的值的程序框图(()S x 可用(8.7)式的表达式).第三章 函数逼近与计算1. (a)利用区间变换推出区间为[],a b 的伯恩斯坦多项式.(b)对()sin f x x =在[]0,/2π上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的马克劳林级数部分和误差做比较. 2. 求证:(a)当()m f x M ≤≤时,(,)n m B f x M ≤≤. (b)当()f x x =时,(,)n B f x x =. 3. 在次数不超过6的多项式中,求()sin 4f x x =在[]0,2π的最佳一致逼近多项式. 4. 假设()f x 在[],a b 上连续,求()f x 的零次最佳一致逼近多项式. 5. 选取常数a ,使301max x x ax≤≤-达到极小,又问这个解是否唯一?6. 求()sin f x x =在[]0,/2π上的最佳一次逼近多项式,并估计误差.7. 求()xf x e =在[]0,1上的最佳一次逼近多项式.8. 如何选取r ,使2()p x x r =+在[]1,1-上与零偏差最小?r 是否唯一?9. 设43()31f x x x =+-,在[]0,1上求三次最佳逼近多项式.10. 令[]()(21),0,1n n T x T x x =-∈,求***0123(),(),(),()T x T x T x T x . 11. 试证{}*()nT x 是在[]0,1上带权ρ=的正交多项式.12. 在[]1,1-上利用插值极小化求11()f x tg x -=的三次近似最佳逼近多项式.13. 设()xf x e =在[]1,1-上的插值极小化近似最佳逼近多项式为()n L x ,若nf L ∞-有界,证明对任何1n ≥,存在常数n α、n β,使11()()()()(11).n n n n n T x f x L x T x x ++α≤-≤β-≤≤14. 设在[]1,1-上234511315165()128243843840x x x x x x ϕ=-----,试将()x ϕ降低到3次多项式并估计误差. 15. 在[]1,1-上利用幂级数项数求()sin f x x =的3次逼近多项式,使误差不超过0.005.16. ()f x 是[],a a -上的连续奇(偶)函数,证明不管n 是奇数或偶数,()f x 的最佳逼近多项式*()n n F x H ∈也是奇(偶)函数.17. 求a 、b 使[]22sin ax b x dx π+-⎰为最小.并与1题及6题的一次逼近多项式误差作比较.18. ()f x 、[]1(),g x C a b ∈,定义 ()(,)()();()(,)()()()();b baaa f g f x g x dxb f g f x g x dx f a g a =''=''+⎰⎰问它们是否构成内积?19. 用许瓦兹不等式(4.5)估计6101x dx x +⎰的上界,并用积分中值定理估计同一积分的上下界,并比较其结果.20. 选择a ,使下列积分取得最小值:1122211(),x ax dx x ax dx----⎰⎰.21. 设空间{}{}10010121,,,span x span x x 1ϕ=ϕ=,分别在1ϕ、2ϕ上求出一个元素,使得其为[]20,1x C ∈的最佳平方逼近,并比较其结果.22. ()f x x =在[]1,1-上,求在{}2411,,span x x ϕ=上的最佳平方逼近.23.sin (1)arccos ()n n x u x +=是第二类切比雪夫多项式,证明它有递推关系()()()112n n n u x xu x u x +-=-.24. 将1()sin 2f x x=在[]1,1-上按勒让德多项式及切比雪夫多项式展开,求三次最佳平方逼近多项式并画出误差图形,再计算均方误差. 25. 把()arccos f x x =在[]1,1-上展成切比雪夫级数.26.2y a bx =+. 27.用最小二乘拟合求.29. 编出用正交多项式做最小二乘拟合的程序框图. 30. 编出改进FFT 算法的程序框图. 31. 现给出一张记录{}{}4,3,2,1,0,1,2,3k x =,试用改进FFT 算法求出序列{}k x 的离散频谱{}k C (0,1,,7).k =第四章 数值积分与数值微分1. 确定下列求积公式中的待定参数,使其代数精度尽量高,并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度:(1)101()()(0)()hh f x dx A f h A f A f h --≈-++⎰; (2)21012()()(0)()hh f x dx A f h A f A f h --≈-++⎰;(3)[]1121()(1)2()3()/3f x dx f f x f x -≈-++⎰;(4)[][]20()(0)()/1(0)()hf x dx h f f h ah f f h ≈++'-'⎰.2. 分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分:(1)120,84xdx n x =+⎰; (2)1210(1),10x e dx n x --=⎰;(3)1,4n =⎰;(4),6n =.3. 直接验证柯特斯公式(2.4)具有5次代数精度.4. 用辛普森公式求积分10x e dx-⎰并计算误差. 5. 推导下列三种矩形求积公式:(1)2()()()()()2ba f f x dxb a f a b a 'η=-+-⎰; (2)2()()()()()2ba f f x dxb a f b b a 'η=---⎰;(3)3()()()()()224baa b f f x dx b a f b a +"η=-+-⎰. 6. 证明梯形公式(2.9)和辛普森公式(2.11)当n →∞时收敛到积分()baf x dx⎰.7. 用复化梯形公式求积分()baf x dx⎰,问要将积分区间[],a b 分成多少等分,才能保证误差不超过ε(设不计舍入误差)?8.1x e dx-,要求误差不超过510-.9. 卫星轨道是一个椭圆,椭圆周长的计算公式是S a =θ,这里a 是椭圆的半长轴,c 是地球中心与轨道中心(椭圆中心)的距离,记h 为近地点距离,H 为远地点距离,6371R =公里为地球半径,则(2)/2,()/2a R H h c H h =++=-.我国第一颗人造卫星近地点距离439h =公里,远地点距离2384H =公里,试求卫星轨道的周长. 10. 证明等式3524sin3!5!n nn n ππππ=-+-试依据sin(/)(3,6,12)n n n π=的值,用外推算法求π的近似值.11. 用下列方法计算积分31dyy ⎰并比较结果.(1) 龙贝格方法;(2) 三点及五点高斯公式;(3) 将积分区间分为四等分,用复化两点高斯公式.12. 用三点公式和五点公式分别求21()(1)f x x =+在x =1.0,1.1和1.2处的导数值,并估计误()f x 第五章 常微分方程数值解法1. 就初值问题0)0(,=+='y b ax y 分别导出尤拉方法和改进的尤拉方法的近似解的表达式，并与准确解bx ax y +=221相比较。

习题21. 分析下列方程各存在几个根，并找出每个根的含根区间：(1) 0cos =+x x ； (2) 0cos 3=-x x ； (3) 0sin =--x e x ； (4) 02=--x e x 。

解：(1) 0cos =+x x (A) x x x f cos )(+= ，0sin1)(≥-='x x f ,),(∞-∞∈x10cos 0)0(=+=f ,01cos 1)1cos(1)1(<+-=-+-=-f ∴ 方程(A) 有唯一根 ]0,1[*-∈x (2) 0cos 3=-x x (B) x x x f c o s 3)(-=,0sin 3)(>+='x x f , ),(∞-∞∈x 时010c o s03)0(<-=-⨯=f ，01cos 31cos 13)1(>-=-⨯=f ∴ 方程(B) 有唯一根 ]1,0[*∈x (3)sin =--xex (C)xex -=sinx x f sin )(1=, xex f -=)(2方程(C)有无穷个正根，无负根 在[22,2πππ+k k ] 内有一根 )(1k x ，且0]2[lim )(1=-∞→πk x k k在[ππππ++k k 2,22]内有一根)(2k x ，且0])12([lim )(2=+-∞→πk x k k (示图如下) 3,2,1,0=k)(2x f x(4)02=--xex(D) xex-=2,)(21x x f = xex f -=)(2方程(D) 有唯一根 ]1,0[*∈x 当 0<x 时 (D)与方程2x ex -=- (E) 同解 当 0<x 时 (E)无根 2. 给定方程 012=--x x ； (1)(2)若在[0 , 2]上用二分法求根，要使精确度达到6位有效数，需二分几次？ 解：012=--x x1) 01)(2=--=x x x f 1)1(-=f , 025.0)5.1(<-=f ,1)2(=f]2,5.1[*∈x, 618034.1251*=+=x)(5.1- 1.75(+) 2(+) )(5.1- 1.625(+) 1.75(+) )(5.1-1.5625(+) 1.625(+))(5625.1- )(59375.1-1.625(+)1102103125.02)5625.1625.1(-⨯<=-6.159375.1*≈≈x2位有效近似值为 1.6 2)00==a a ， 20==b b)(21k k k b a c +=kk k a b c x 2121*=-≤-+5102121-⨯≤k，51102≥-k60.162ln 10ln 51=≥-k∴ 只要2等分18次3. 为求0353=--x x 的正根，试构造3种简单迭代格式，判断它们是否收敛，且选择一种较快的迭代格式求出具有3位有效数的近似根。

第二章习 题 解 答西南交大 草上飞1下列数据作为π=*x 的近似数,试确定它们各有几位有效数字,并确定其相对误差限..722,15.3,14.3,141.34321====x x x x (i x 表示*x 的近似数,)1415926.3 =π 解：把近似数)4,3,2,1(*=i x i 规格化形式后均有1=k ，首位非零数字为3Ⅰ）31*11021005.000059.0141.3-⨯=≤=-=- πx x *1x 有3位有效数字，0017.010321)(31*1≈⨯⨯=-x r ε Ⅱ) 31*21021005.0001.014.3-⨯=≤=-=- πx x*2x 有3位有效数字，0017.010321)(31*2≈⨯⨯=-x r ε Ⅲ) 21*31021005.0008.015.3-⨯=≤=-=- πx x*3x 有2位有效数字，017.010321)(21*3≈⨯⨯=-x r ε Ⅳ)142857.3722=， 31*41021005.0001.0722-⨯=≤=-=- πx x *4x 有3位有效数字，0017.010321)(31*4≈⨯⨯=-x r ε 2 证明§2.2中的定理 2.1,定理 2.2.3 已知20的近似数x 相对误差为%5.0，试问x 至少有几位有效数字？解：因20的第一位数字为4，所以x 的第一位数字41=a ，根据定理2.1，当n r a x e -⨯+≤1015|)(|1 成立时，x 有n 位有效数字，而2=n 时,101451019510005%5.0)(22--⨯+<⨯+===x e r 所以近似数x 至少有2位有效数字.4 为尽量避免有效数字的严重损失，当1||<<x 时应如何加工下列计算公式：（1）xx x +--+11211 （2）x cos 1- （3）1-xe解：（1）)1)(21(22x x x ++；（2）2sin 22x ；（3）4322416121x x x x +++ 5 序列{}n y 满足递推关系()⎪⎩⎪⎨⎧=-==- ,2,1,110210n y y y n n若取41.120≈=y 做近似计算，问计算到10y 时误差有多大？这个计算过程稳定吗？解：,414.120 ==y ,41.1*=y δ=⨯≤--2*001021||y y 10||*11=-y y δ10||*00≤-y y10||*1010=-y y δ10*0010*9910||10||≤-==-y y y y 此递推关系每计算一次误差增长10倍，故算法不稳定. 6设,,1,0,11 ==⎰-n dx e x I x n n 验证,110--=e I .11--=n n nI I 若取,3679.01≈-e 依次计算 n I I I ,,10时(不要求具体算出),请你证明这样设计的算法其误差传播是逐步扩大的,算法是不稳定的.并要求另外设计一种数值稳定的算法.解: ,11110⎰---==e dx eI x 对n I 用分部积分法得==⎰-11dx e x I x n n ⎰-11x n de x ne x x n -=-101|⎰--111dx e x x n .11--=n nI设误差,*n n n I I e -=其中*1*1--=n n nI I .于是=--=-=--)(*11*n n n n n I I n I I e =--=)(!)1(*00I I n n 0!)1(e n n - 当n 增大时n e 是递增的, *n I 的误差达到0!)1(e n n -,是严重失真的.数值稳定的计算方法: 将递推公式11--=n n nI I 改为)1(11n n I nI -=- )1,2,1,( -=k k n 于是在从后往前计算时, 1-n I 的误差减少为原来n I 的n1,若取k n =足够大,误差逐步减少,计算结果是稳定可靠的. 7 7可由下列迭代公式计算:⎪⎩⎪⎨⎧=+==+,2,1,0),7(21210k x x x x k k k若k x 是7的具有n 位有效数字的近似值,求证1+k x 是7的具有n 2位有效数字的近似值.解 由1+k x ,1,0,)7(217)7(2172=-=-+=-k x x x x k kk k 和20=x ,得到,,2,1,7 =≥k x k 数列∞=1}{k k x 有下界.又1)11(21)71(2121=+≤+=+kk k x x x 即k k x x ≤+1,数列∞=1}{k k x 单调不增. 故k k x ∞→lim 存在.令∞→k ,对迭代公式两边取极限,可求得7lim =∞→k k x .现设k x 是7的具有n 位有效数字的近似值,即有11021|7|+-⨯≤-n k x 于是,得|7|1-+k x 2)7(721-≤k x 221041721+-⨯⨯≤n 121021+-⨯≤n可见, 1+k x 是7的具有n 2位有效数字的近似值.8用秦九韶算法计算多项式4532)(23-+-=x x x x p 在自变量3=x 时的值. 解：381432429634532-- 故 38)3(=p补充例题例题1：试问真值62.2*=x 的近似数 2.58x =是否为有效数. 解：*112110.040.05101022x x ---=<=⨯=⨯∴由有效数的定义知近似数 2.58x =具有两位有效数字，分别是2,5由于8不是有效数字，故 2.58x =不是有效数.例题2为尽量避免有效数字的严重损失，当1||>>x 时应如何加工下列计算公式xx x x 11--+解： 为尽量避免有效数字的严重损失，应作变换：xx x x x xx x x 11211-++=--+例题3 设10000,2,1,0,1==⎰n dx e x I x n n（1）证明：.10000,,3,2,1,1 =-=-n nI e I n n （2）设计一种数值稳定的算法，并证明算法的稳定性. 解: (1) 对n I 用分部积分法得 ==⎰1dx e x I x n n ⎰1x n de x n e x x n -=10|⎰-11dx e x x n.10000,,3,2,1,1101 =-=-=--⎰n nI e dx e x n e n x n(2) 由（1）得：,1n n I e nI -=-若已知N I ，设计如下递推算法： 1,2,1,),(11 --=-=-N N N n I e nI n n 注意到： )1,0(,1|110110∈+=+==+⎰ξξξξn e n x e dx x e I n nn ,于是.111+<<+n e I n n 取)1(21++=N eI N 可得如下递推算法1,2,,1,,)1(21)(11 -=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=-=-N N n N e I I e n I N n n . 设 n n n I I e -=，则11---n n I I )(1n n I I n--=， ||11---n n I I |)(|1n n I I n -=，即n n e ne 11=-.每迭代一次误差均在减少，所以设计的递推算法是数值稳定的.例题4 已知,1410⎰+=dx x x y nn 试建立一个具有较好数值稳定性的求),2,1( =n y n 的递推公式,并证明算法的稳定性.解: 由=+-14n n y y ⎰++-101144dx x x x n n =n dx x n 1101=⎰- 得到求),2,1( =n y n 的递推公式:14141--=n n y n y , ,2,1=n (*) 而初值40235.0|)]14[ln(4114110100≈+=+=⎰x dx x y ,由此出发,根据上述递推公式可以求 ),2,1( =n y n 的近似值求*ny : *1*4141--=n n y n y , ,2,1=n . 记*n y 的绝对误差为||*n n n y y -=∆,则有:)(41*11*----=-n n n n y y y y ,即141-∆=∆n n , ,2,1=n . 由此可见,*1-n y 的误差将缩小41传播到*n y ,误差传播是逐步衰减的.因而,递推公式(*)是数值稳定的.例题5 数列{}n x 满足递推公式1101(1,2,)n n x x n -=-=.若取*001.41(3x x =≈=位有有效数字),问按此递推算法从0x 算至10x 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 解: *20001||||102e x x ε-=-=<⨯ *00||||10||10n nn n n n e x x x x ε=-=-=,||()n e n →∞→∞,则计算过程不稳定.计算至10x 时误差: 10281011||10101022e -=⨯⨯=⨯.。

数值分析课后习题及答案第一章绪论（12）第二章插值法（40-42）2、当时，，求的二次插值多项式。

[解]。

3、给出的数值表用线性插值及二次插值计算的近似值。

X 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 -0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.357765 -0.223144 [解]若取，，则，，则，从而。

若取，，，则，，，则，从而补充题：1、令，，写出的一次插值多项式，并估计插值余项。

[解]由，可知，，余项为，故。

2、设，试利用拉格朗日插值余项定理写出以为插值节点的三次插值多项式。

[解]由插值余项定理，有，从而。

5、给定数据表：，1 2 4 6 7 4 1 0 1 1 求4次牛顿插值多项式，并写出插值余项。

[解]一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商 1 42 1 -34 0 6 17 1 0 由差商表可得4次牛顿插值多项式为：，插值余项为。

第三章函数逼近与计算（80-82）26、用最小二乘法求一个形如的经验公式，使它与下列数据相拟合，并求均方误差。

19 25 31 38 44 19.0 32.3 49.0 73.3 97.8[解]由。

又，，，故法方程为，解得。

均方误差为。

27、观测物体的直线运动，得出以下数据：时间t（秒）0 0.9 1.9 3.0 3.9 5.0 距离s（米）0 10 30 5080 110 [解]设直线运动为二次多项式，则由。

，。

又，，，故法方程为，解得。

故直线运动为。

补充题：1、现测得通过某电阻R的电流I及其两端的电压U如下表：I ……U ……试用最小二乘原理确定电阻R的大小。

[解]电流、电阻与电压之间满足如下关系：。

应用最小二乘原理，求R使得达到最小。

对求导得到：。

令，得到电阻R为。

2、对于某个长度测量了n次，得到n个近似值，通常取平均值作为所求长度，请说明理由。

[解]令，求x使得达到最小。

对求导得到：，令，得到，这说明取平均值在最小二乘意义下误差达到最小。