数值分析第二章复习与思考题

第2章 复习与思考题01ii i ii kx x x x 的基函数称为主要性质有 0,()1,k i kx i k()1n l x、什么是牛顿基函数？它与单项式基答：牛顿差值基函数为00101x ),(x x )(x x ),...,(x x )(x x )...(x x )}n 牛顿差值基函数中带有常数项01,,...n x x x ，这有单项式基不同。

阶均差？它有何重要性质 01n 2n 01n 2n -11[,,...,,][,,...,,]n n f x x x f x x x x x xk j 0j 0j-1j j+1j -k x x x x x x x （）...()()...()和k 阶均差的性质0101k-10[,,...,][,,...,]k kf x x x f x x x x x （分子前项多xk ）[a,b]上存在阶导数，且节点2n ,[a,b]x ，则1()!f n0()nn n ik k kk k i i ki kx x y l x y x x ，(j 1,2,....,n)个点的牛顿插值多项式01[,,...,]k f x x x ,(k 1,2,....,n)两者的主要差异是未知数不一致。

拉格朗日插值多项式是系数知道，但基函数不知道。

牛顿插值多项式是函数知道，但系数不知道。

与一般多项式基本相同。

y ，其中系数矩阵用下列基底作多项式插值时，120001211112222121...1...1 (1)...n n n n n nnx x x x x x x x x x x x ，无非零元素。

）拉格朗日基底为01{(),(),...,()}n l x l x l x ，已知数为未知数为01{(),(),...,()}n l x l x l x ，则系数矩阵为00101x ),(x x )(x x ),...,(x x )(x x )...(x x )}n ，已，未知数为012{,,,...,}n a a a a ，则系数矩阵为102020211010100...010...01()()...0...............1()()...()n nnnnj j x x x x x x x x x x x x x x x x ，为下三角矩阵，矩阵的上三角元0。

数值分析思考题21、已知函数()f x 的下列观测值：利用Lagrange 和Newton 插值方法计算02(.)f 的近似值。

若另外测得一个新点：02080(.).f ，试估计用上述方法计算02(.)f 的近似值的误差。

答：lagragange 插值方法：（1） n=1时，取x 0=0.15，x 1=0.25，L 1(x)=l 0(x)f(x 0)+l 1f(x 1)= x−0.250.15−0.25×0.860708+x−0.150.25−0.15×0.778801;将x=0.2代入得f （0.2）=0.8197545 （2） n=2时，取x 0=0.15，x 1=0.25，x 2=0.30，L2（x ）=l0(x)f(x0)+l1f(x1)+l2f(x2)=（x −x1)(x −x2)(x 0−x 1)(x 0−x 2)f(x0)+（x −x0)(x −x2)(x 1−x 0)(x 1−x 2)f(x1)+（x −x0)(x −x1)(x 2−x 0)(x 2−x 1)f(x2);代入x=0.2.得f （0.2）=0.8187643334Newton 插值方法：clear,clcX=[0.10,0.15,0.25,0.30];Y=[0.904837,0.860708,0.778801,0.740818]; n=length(X); A(1:n,1)=Y(1:n); format rat已知for j=2:nfori=j:nA(i,j)=(A(i,j-1)-A(i-1,j-1))/(X(i)-X(i-j+1)); end end A=A syms x f f=0; fori=1:n u=1.0; for k=1:i-1u=u*(x-X(k)); endf=f+u*A(i,i); end y=expand(f) ezplot(y,[0.10,0.30]) hold on plot(X,Y,'ro') 得f(0.2)=0.8188.2、函数251()f x x =+及定义区间]5,5[-，将定义区间分成 10等分。

数值分析重点考察内容第一章：基本概念第二章：Gauss消去法，Lu分解法第三章：题型：具体题＋证明，误差分析三个主要迭代法，条件误差估计，范数的小证明第四章：掌握三种插值方法：拉格朗日，牛顿，厄尔米特，误差简单证明，构造复合函数第五章：最小二乘法计算第六章：梯形公式，辛普森（抛物线）公式，高斯公式三个重要公式，误差分析。

高斯求积公式的构造第七章：几种常用的迭代格式构造，收敛性证明。

第九章：基本概念（收敛阶，收敛条件，收敛区域等）, 简单欧拉法。

第一章 误差1. 科学计算中的误差来源有4个，分别是________，________，________，________。

2. 用Taylor 展开近似计算函数000()()'()()f x f x f x x x ≈+-，这里产生是什么误差？3. 0.7499作34的近似值，是______位有效数字，65.380是舍入得到的近似值，有____几位有效数字，相对误差限为_______. 0.0032581是四舍五入得到的近似值，有_______位有效数字.4. 改变下列表达式，使计算结果比较精确：（1）11,||1121x x x x --++ （2）||1x （3） 1cos ,0,|| 1.x x x x -≠ （4） sin sin ,αβαβ-≈5.采用下列各式计算61)时，哪个计算效果最好？并说明理由。

（1）（2）99-（3）6(3- （46. 已知近似数*x 有4位有效数字，求其相对误差限。

上机实验题：1、利用Taylor 展开公式计算 0!kx k x e k ∞==∑，编一段小程序，上机用单精度计算x e 的函数值. 分别取 x =1，5，10，20，-1，-5，-10，-15，-20，观察所得结果是否合理，如不合理请分析原因并给出解决方法.2、已知定积分10,0,1,2,,206n n x I dx n x ==+⎰,有如下的递推关系 1111100(6)61666n n n n n x x x x I dx dx I x x n ---+-===++-⎰⎰ 可建立两种等价的计算公式 (1) 1016,0.154n n I I I n -=-=取； (2) 12011),0.6n n I nI I n-=-=（取 来计算123419,,,,,I I I I I ，编程比较哪种计算的数值结果好，并给出理论分析。

数值分析思考题二1、 怎样确定一个隔根区间？如何求解一个方程的全部实根？如：已知方程：1020()x f x e x =+-=在(),-∞+∞有实数根，用二分法求它的全部实根，要求误差满足210*k x x --<？若要求6*10k x x --<，需二分区间多少次？答： （1）已知1020()x f x e x =+-=,作210x e x =-的图像，可得在区间[0,1]之间有交点，即有且仅有一个根。

由于()102x f x e x =+-，所以()f x 在区间[0,1]上连续，且()00100210f e =+⨯-=-，()11101280f e e =+⨯-=+，即()()010f f •，又()'100x f x e =+,根据零点定理得知，在()f x 在区间[0,1]有唯一实根。

由二分法的估计式()*211102k k x x b a ε-+-≤-=，得到()ln 102ln10 4.60511 5.645ln 20.693k-+-≈-≈，因此取6k =。

1211102 4.6022f e ⎛⎫=+⨯-≈ ⎪⎝⎭，又()1002f f ⎛⎫• ⎪⎝⎭，()f x 在区间[0,12]有唯一实根。

1411102 1.8044f e ⎛⎫=+⨯-≈ ⎪⎝⎭，同理，()f x 在区间[0,14]有唯一实根。

18111020.38088f e ⎛⎫=+⨯-≈ ⎪⎝⎭，同理，()f x 在区间[0,18]有唯一实根。

116111020.3101616f e ⎛⎫=+⨯-≈- ⎪⎝⎭，又110816f f ⎛⎫⎛⎫• ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()f x 在区间[18,116]有唯一实根。

332331020.03603232f e ⎛⎫=+⨯-≈ ⎪⎝⎭，同理，()f x 在区间[116,332]有唯一实根。

56455102.0146464f e ⎛⎫=+⨯-=- ⎪⎝⎭，故 50.07864=即为所求。

第二章复习与思考题1.什么是拉格朗日插值基函数？它们是如何构造的？有何重要性质？答：若n 次多项式()),,1,0(n j x l j =在1+n 个节点n x x x <<< 10上满足条件(),,,1,0,,,0,,1n k j j k j k x l k j =⎩⎨⎧≠==则称这1+n 个n 次多项式()()()x l x l x l n ,,,10 为节点n x x x ,,,10 上的n 次拉格朗日插值基函数.以()x l k 为例，由()x l k 所满足的条件以及()x l k 为n 次多项式，可设()()()()()n k k k x x x x x x x x A x l ----=+- 110，其中A 为常数，利用()1=k k x l 得()()()()n k k k k k k x x x x x x x x A ----=+- 1101，故()()()()n k k k k k k x x x x x x x x A ----=+- 1101，即()()()()()()()()∏≠=+-+---=--------=n kj j jk j n k k k k k k n k k k x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x l 0110110)( .对于()),,1,0(n i x l i =，有()n k x x l x ni ki k i ,,1,00==∑=，特别当0=k 时，有 ()∑==ni i x l 01.2.什么是牛顿基函数？它与单项式基{}nxx ,,,1 有何不同？答：称()()()(){}10100,,,,1------n x x x x x x x x x x 为节点n x x x ,,,10 上的牛顿基函数，利用牛顿基函数，节点n x x x ,,,10 上的n 次牛顿插值多项式()x P n 可以表示为()()()()10010---++-+=n n n x x x x a x x a a x P其中[]n k x x x f a k k ,,1,0,,,,10 ==.与拉格朗日插值多项式不同，牛顿插值基函数在增加节点时可以通过递推逐步得到高次的插值多项式，例如()()()()k k k k x x x x a x P x P --+=++ 011,其中1+k a 是节点110,,,+k x x x 上的1+k 阶差商，这一点要比使用单项式基{}nx x ,,,1 方便得多.3.什么是函数的n 阶均差？它有何重要性质？答：称[]()()000,x x x f x f x x f k k k --=为函数()x f 关于点k x x ,0的一阶均差，[][][]110010,,,,x x x x f x x f x x x f k k k --=为()x f 的二阶均差. 一般地，称[][][]11102010,,,,,,,,-----=n n n n n n x x x x x f x x x f x x x f 为()x f 的n 阶均差.均差具有如下基本性质：(1) n 阶均差可以表示为函数值()()()n x f x f x f ,,,10 的线性组合，即[]()()()()()∑=+-----=nj n j j j j j jj n x x x x x x x xx f x x x f 011010,, ,该性质说明均差与节点的排列次序无关，即均差具有对称性.(2) [][][]01102110,,,,,,,,x x x x x f x x x f x x x f n n n n --=- .(3) 若()x f 在[]b a ,上存在n 阶导数，且节点[]b a x x x n ,,,,10∈ ，则n 阶均差与n 阶导数的关系为[]()()!,,10n f x x x f n n ξ= ，[]b a ,∈ξ. 4.写出1+n 个点的拉格朗日插值多项式与牛顿均差插值多项式，它们有何异同？ 答：给定区间[]b a ,上1+n 个点b x x x a n ≤<<<≤ 10上的函数值()),,1,0(n i x f y i i ==，则这1+n 个节点上的拉格朗日插值多项式为()()∑==nk k k n x l y x L 0,其中()n k x x x x x l n kj j jk jk ,,1,0,0 =⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=∏≠=. 这1+n 个节点上的牛顿插值多项式为()()()()10010---++-+=n n n x x x x a x x a a x P ,其中[]n k x x x f a k k ,,1,0,,,,10 ==为()x f 在点k x x x ,,,10 上的k 阶均差.由插值多项式的唯一性，()x L n 与()x P n 是相同的多项式，其差别只是使用的基底不同，牛顿插值多项式具有承袭性，当增加节点时只需增加一项，前面的工作依然有效，因而牛顿插值比较方便，而拉格朗日插值没有这个优点.5.插值多项式的确定相当于求解线性方程组y Ax =，其中系数矩阵A 与使用的基函数有关.y 包含的是要满足的函数值()Tn y y y ,,,10 . 用下列基底作多项式插值时，试描述矩阵A 中非零元素的分布.(1) 单项式基底；(2) 拉格朗日基底；(3) 牛顿基底.答：(1) 若使用单项式基底，则设()nn n x a x a a x P +++= 10，其中n a a a ,,,10 为待定系数，利用插值条件，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn n n n nn nn y x a x a a y x a x a a y x a x a a 101111000010， 因此，求解y Ax =的系数矩阵A 为⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n n n n nx x x x x x A 1111100为范德蒙德矩阵.(2) 若使用拉格朗日基底，则设()()()()x l a x l a x l a x L n n n +++= 1100，其中()x l k 为拉格朗日插值基函数，利用插值条件，有()()()()()()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn n n n n n n n n y x l a x l a x l a y x l a x l a x l a y x l a x l a x l a 11001111110000011000， 由拉格朗日插值基函数性质，求解y Ax =的系数矩阵A 为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=100010001 A 为单位矩阵.(3) 若使用牛顿基底，则设()()()()10010---++-+=n n n x x x x a x x a a x P ，由插值条件，有()()()()()()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--++-+=--++-+=--++-+---nn n n n n n n n n y x x x x a x x a a y x x x x a x x a a y x x x x a x x a a 10010111010110010000010 即()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--++-+=-+=-nn n n n n y x x x x a x x a a y x x a a y a 100101011000 故求解y Ax =的系数矩阵A 为()()()()()()()⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----------=-110100120202011111n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx A为下三角矩阵.6.用上题给出的三种不同基底构造插值多项式的方法确定基函数系数，试按工作量由低到高给出排序.答：若用上述三种构造插值多项式的方法确定基函数系数，则工作量由低到高分别为拉格朗日基底，牛顿基底，单项式基底.7.给出插值多项式的余项表达式，如何用它估计截断误差？答：设()()x fn 在[]b a ,上连续，()()x fn 1+在()b a ,内存在，节点b x x x a n ≤<<<≤ 10，()x L n 是满足条件()n j y x L j j n ,,1,0, ==的插值多项式，则对任何[]b a x ,∈，插值余项()()()()())(!111x n f x L x f x R n n n n +++=-=ωξ， 这里()b a ,∈ξ且与x 有关，()()()()n n x x x x x x x ---=+ 101ω.若有()()11max ++≤≤=n n bx a M x f，则()x L n 逼近()x f 的截断误差()()()x n M x R n n n 11!1+++≤ω.8.埃尔米特插值与一般函数插值区别是什么？什么是泰勒多项式？它是什么条件下的插值多项式？答：一般函数插值要求插值多项式与被插函数在插值节点上函数值相等，而埃尔米特插值除此之外还要求在节点上的一阶导数值甚至高阶导数值也相等.称()()()()()()()n n n x x n x f x x x f x f x P 00000!-++-'+= 为()x f 在点0x 的泰勒插值多项式，泰勒插值是一个埃尔米特插值，插值条件为()()()()n k x f x P k k n ,,1,0,00 ==，泰勒插值实际上是牛顿插值的极限形式，是只在一点0x 处给出1+n 个插值条件得到的n 次埃尔米特插值多项式.9.为什么高次多项式插值不能令人满意？分段低次插值与单个高次多项式插值相比有何优点？答：对于任意的插值结点，当∞→n 时，()x L n 不一定收敛于()x f ，如对龙格函数做高次插值时就会出现振荡现象，因而插值多项式的次数升高后，插值效果并不一定能令人满意.分段低次插值是将插值区间分成若干个小区间，在每个小区间上进行低次插值，这样在整个插值区间，插值多项式为分段低次多项式，可以避免单个高次插值的振荡现象.10.三次样条插值与三次分段埃尔米特插值有何区别？哪一个更优越？请说明理由.答：三次样条插值要求插值函数()[]b a C x S ,2∈，且在每个小区间[]1,+j j x x 上是三次多项式，插值条件为()n j y x S j j ,,1,0, ==.三次分段埃尔米特插值多项式()x I h 是插值区间[]b a ,上的分段三次多项式，且满足()[]b a C x I h ,1∈，插值条件为()()k k h x f x I =，()()),,1,0(,n k x f x I k k h='='. 分段三次埃尔米特插值多项式不仅要使用被插函数在节点处的函数值，而且还需要节点处的导数值，且插值多项式在插值区间是一次连续可微的.三次样条函数只需给出节点处的函数值，但插值多项式的光滑性较高，在插值区间上二次连续可微，所以相比之下，三次样条插值更优越一些.11.确定1+n 个节点的三次样条插值函数需要多少个参数？为确定这些参数，需加上什么条件？答：由于三次样条函数()x S 在每个小区间上是三次多项式，所以在每个小区间[]1,+j j x x 上要确定4个待定参数，1+n 个节点共有n 个小区间，故应确定n 4个参数，而根据插值条件，只有24-n 个条件，因此还需要加上2个条件，通常可在区间[]b a ,的端点0x a =，n x b =上各加一个边界条件，常用的边界条件有3种： (1) 已知两端的一阶导数值，即()00f x S '='，()n n f x S '='.(2) 已知两端的二阶导数值，即()00f x S ''=''，()n n f x S ''='',特殊情况为自然边界条件()00=''x S ，()0=''n x S .(3) 当()x f 是以0x x n -为周期的周期函数时，要求()x S 也是周期函数，这时边界条件就满足()()00-=+n x S x S ，()()000-'=+'n x S x S ， ()()000-''=+''n x S x S这时()x S 称为周期样条函数.12.判断下列命题是否正确？(1) 对给定的数据作插值，插值函数个数可以任意多.(2) 如果给定点集的多项式插值是唯一的，则其多项式表达式也是唯一的.(3) ()),,1,0(n i x l i =是关于节点),,1,0(n i x i =的拉格朗日插值基函数，则对任何次数不大于n 的多项式()x P 都有()()()x P x P x l ini i=∑=0(4) 当()x f 为连续函数，节点),,1,0(n i x i =为等距节点，构造拉格朗日插值多项式()x L n ，则n 越大()x L n 越接近()x f .(5) 同上题，若构造三次样条插值函数()x S n ，则n 越大得到的三次样条函数()x S n 越接近()x f .(6) 高次拉格朗日插值是很常用的.(7) 函数()x f 的牛顿插值多项式()x P n , 如果()x f 的各阶导数均存在，则当),,1,0(0n i x x i =→时，()x P n 就是()x f 在0x 点的泰勒多项式.答：(1) 对.(2) 错.1+n 个节点上的拉格朗日插值和牛顿插值就是表示形式不同的两种插值多项式. (3) 对.(4) 错.当∞→n 时，()x L n 并一定收敛到()x f .(5) 对.(6) 错.高次拉格朗日插值不一定具有收敛性，因而并不常用. (7) 对.。

第二章习题参考答案1.解： 由于20Ax b−≥，极小化2b Ax −与极小化22Ax b −是等价的。

令22()(,)(,)2(,)x Ax b Ax Ax b b Ax b ϕ=−=+−，对于任意的n R y x ∈,和实数α，)()(),()()(,*222*2****x Ay a x Ay Ay a x ay x b Ax x ϕϕϕϕ≥+=+=+=则有满足若这表示处达到极小值。

在*)(x x ϕ反之，若必有处达到极小，则对任意在nR y x ay x ∈+*)(ϕ0),(2),(2),(20)(**0*=−=+−=+=Ay b Ax Ay Ay a Ay b Ax daay x d a 即ϕ故有 b Ax =*成立。

以上证明了求解,22b Ax b Ax −=等价于极小化即。

等价于极小化2b Ax b Ax −= 推导最速下降法过程如下：),/(),(0),(),(,0),,2)(222)()(11k T k T k T k k T k T k T k k T k k k T k k kT k T k T T x x k r AA r AA r AA r a r AA r AA a r AA r r aA x da dx a r aA x x r A Ax b A Ax A b A x grad x x k==+−=++==−=−=−++=最终得到得出（由取得极小值。

使求出取的负梯度方向，且下降最快的方向是该点在ϕϕϕ给出的算法如下：1）)(000Ax b A r A R x T T n −=∈，计算给定； 2）L ,2,1,0=k 对于）转到否则数。

为一事先给定的停机常则停止；其中若2),/(),(10,11kT k k k k T k k k k k k k k k r A p Ax b r r A a x x Ap Ap p p a k k r =−=+==+=>≤−−εε2.证明 1） 正定性由对称正定矩阵的性质，(),0x Ax ≥（当且仅当x ＝0时取等号），所以 ()12,0Axx Ax =≥（当且仅当x ＝0时取等号）2） 齐次性()()()121122,(),,AA xx A x x Ax x Ax x αααααα⎡⎤====⎣⎦3）o1方法（一）A 是对称正定矩阵，得到(,())0x y A x y λλ++≥，把它展开如下2(,)(,)(,)(,)0y Ay x Ay y Ax x Ax λλλ+++≥考虑到(,)(,)(,)x Ay Ax y y Ax ==，把上式看成关于λ的一元二次方程，则式子等价于24(,)4(,)(,)0x Ay x Ax y Ay ∆=−≤因此1/21/2(,)(,)(,)x Ay x Ax y Ay ≤所以1/21/221/21/2((,)(,))(,)(,)2(,)(,)(,)(,)2(,)(,)(,)(,)(,)((),())x Ax y Ay x Ax y Ay x Ax y Ay x Ax y Ay x Ay x Ax y Ay x Ay y Ax x y A x y +=++≥++=+++=++两边开平方即可得到AA A x yx y +≤+因此，1/2(,)A x Ax x =是一种向量范数。

第二章插值法1.当兀= 1—2时,/（%） = 0-3,4^/（%）的二次插值多项式。

解：X。

= I/】=—l,x2 = 2, /Uo) =0,/(^)=-3,/(X2) = 4;一丄(兀+i)(一2)，0（人）=Oo — xJOo — xJ 2加）=（_兀）（—心=丄（一1）（一2）（兀一兀）（州一呂）6(A-.VoX.V-Vj l(Y_1)(x+1)(x2-x Q)(x2-x t) 3则二次拉格朗口插值多项式为2厶⑴=£）恥）k=0=-3/0(X)+4/2(X)1 4= --U- 1)(A—2) + -(x-l)(x + 1)5r 3 7=-X" +—x--6 2 3/（x） = liix2.用线性插值及二次插值计算1110.54的近似值。

解：由表格知，x0 = 0・4，兀=0.59X2 = 0.6, x3 = 0.7,x4 = 0.8; f(x Q) = -0.916291,/(xj = -0.693147 /(A) = —0.510826,/a)= -0.356675 /(x4) =-0.223144若采用线性插值法计算hiO.54即/(0.54),则0.5 <0.54 <0.6/1(x) = ^—^ = -10(.v-0.6) 人一无X —X /.(%) = -__ =-10(x-0.5)厶⑴=/U1XW + /(x 2)/2(x)=6.93147(x — 0.6) - 5・ 10826(.— 0.5)・・・厶(0.54) = -0.6202186 « -0.620219若采用二次插值法计算lnO.54时, (V f _亠)=50(x-0.5)(x- 0.6)(x Q -xj(x 0-x 2)(工7。

)(工_亠)=-100(x- 0.4)(x — 0.6)(兀一 Xo )(X 】一XJ厶(x) = /UoVoW+/U1XW+/(x 2)/2(x )=-50 x 0.916291(%-0.5)(A -0.6)+ 69.3147(x-0.4)(x-0.6)-0.510826 x50(x-0.4)(x-0.5).14(0.54) = -0.61531984 « -0.615320 3.给全cosx,0 <x<90°的函数表,步长/? = r = （l/60）\若函数表具有5位有效数字，研 究用线性插值求cos 兀近似值时的总误差界。

第二章习题解答3、已知矩阵321230103A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，试计算A 的谱半径()A ρ。

解：2321()det()230(3)(64)0103A f I A λλλλλλλλ---=-=--=--+=--max 35()3 5.A λρ=+=+4、试证明22112212211221,,,R E E E E E E ⨯+-是中的一组基,其中11121001,0000E E ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22210000,1001E E ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

1222112112211221134112212211221234134411221221122123410010000,,,00001001010110100000E E E E E E E E k k k k k k k E E E E E E k k k k k k E E E E E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫+=-= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭+⎛⎫⎛⎫++++-== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭++++-解：，（）（）令因此（）（0000O E ⎛⎫== ⎪⎝⎭）12331112212212211221111221122122112222112212211221 0 ,22,,,k k k k a a A V a a a a a aA a a E E E E E E R E E E E E E ⨯⇔====⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭+-=+++-+∴+-对于任意二阶实矩阵有（）（）是中的一组基。

11、已知210121012A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，试计算1||||A ，||||A ∞，||||F A ，2||||A 。

311311||||max ||4ij j i A a ≤≤===∑解：（）3131||||max ||4ij i j A a ∞≤≤===∑1332211||||(||)4F iji j A a====∑∑2||||()22T A A A λ==+12、在[0,1]C 上，由{}21,,x x 构造带权1lnx的首1正交多项式0()x ϕ，1()x ϕ和2()x ϕ。

数值分析复习思考题（2006-12-28）这几天的答疑时间中，解答了部分同学的问题，更多是作为教师的深入思考。

而共同探讨问题是非常重要的。

由于时间有限，这个文档中提出问题的深度可能不够，有些问题还没给出解答，希望研究生同学一起来思考，提出更多的问题。

我会在以后的时间中形成新的文档。

第一章 思考题1．在科学计算中，一般认为误差的来源有几种？列举在数值分析课中主要讨论误差。

数值计算中一个基本的手段是近似，所以就有了各种误差。

误差来源有四种：模型误差，观测误差，截断误差，舍入误差。

一般分为两类，第一类是固有误差（包括模型误差和观测误差），第二类是计算误差（包括截断误差和舍入误差）。

计算方法课中主要讨论计算误差。

这是因为在用计算机解决数学问题时，常常用“有限代替无穷，用近似代替准确”。

例如，解决连续性问题时通常要将其转化为离散问题求解，这将引起截断（方法）误差；由于机器数的位数有限，计算机表示数据时一般带有舍入误差。

下面不全面列举出本课程内容涉及的误差线性方程组直接求解方法——舍入误差多项式插值方法——插值误差数据拟合方法——残差数值积分方法——求积误差微分方程数值解方法——局部截断误差………………………………………………2．有效数字的概念是如何抽象而来的，请简单给予叙述。

有效数字位数与计算近似值x的误差这两个概念是通过末位数半个单位相联系的。

由于计算机的机器数只能表示有限位浮点数，对于很多数据只能近似表示，近似采用“四舍五入”的原则进行。

有效数字概念正是根据日常生活中的“四舍五入”原则抽象而来的。

若近似值x的绝对误差限是某一位上半个单位，该位到x的第一位非零数字一共有n位，则称这一近似数具有n位有效数字。

而相对误差则与有效数位数基本一致。

3．什么样的算法被称为是不稳定的算法？试举一个例子说明在算法执行过程中，舍入误差对计算结果影响大的一类算法被称为数值不稳定的算法。

例如初始数有一点微小的误差，就会对一个算法的数据结果产生较大的影响，造成误差扩散，用计算公式I n = 1 – n I n-1构造出的递推算法是一个数值不稳定的算法；而另一个公式I n-1= ( 1 – I n )/n则可以构造出一个数值稳定的算法。

第二章插值法解:X 0 1,X ! 1,X 2 2,f(X °)0,f (X 1)3,f(X 2) 4 7 l 0(x) (X X 1)(x X 2)1(X 1)(X 2)(X 0 X 1）（X X 2)2h(x) (X X 0）（X X 2)-(x 1)(x 2)(X 1 X0XX1 X 2) 6l 2（X(X x °)(x X 1) 1 “1)(x 1) (x (X 2 X °)(X 2 X i ) 3则二次拉格朗日插值多项式为2L 2（X ） yh （x ）k 02.给出f （x ） In x 的数值表X 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 Inx -0.916291-0.693147-0.510826-0.356675-0.223144用线性插值及二次插值计算 In0.54的近似值。

解：由表格知，x 0 0.4, x 1 0.5, x 2 0.6, x 3 0.7, x 4 f （x 。

0.916291, f (x 1) 0.693147 f(X 2) 0.510826, f (x 3) 0.356675 f(X 4)0.223144若采用线性插值法计算In0.54即f （0.54）， 则 0.5 0.54 0.61 当 x 1, 1,2 时，f (x)0, 3,4，求f （x ）的二次插值多项式。

(X4 一2)(XX /VX2l 1(x) X X I X 2 X 2 10(x 0.6) l 2（XX X 2 X 1X 110(x 0.5)L i (x) f(xOh(x) f(X 2)〔2(x)6.93147(x 0.6) 5.10826( x 0.5) ^(0.54)0.6202186 0.620219L 2(X ) f(X 0)I °(X ) f(xj 1(x) f(X 2)J(x)L 2(0.54) 0.61531984 0.6153203.给全cosxO x 90'的函数表，步长h 1 究用线性插值求cosx 近似值时的总误差界。

第二章 插值法习题参考答案2.)12)(12()1)(1(4)21)(11()2)(1()3()21)(11()2)(1(0)(2+-+-⋅+------⋅-+-+-+⋅=x x x x x x x L3723652-+=x x . 3. 线性插值：取510826.0,693147.0,6.0,5.01010-=-===y y x x ，则620219.0)54.0()54.0(54.0ln 0010101-=-⋅--+=≈x x x y y y L ；二次插值：取510826.0,693147.0,916291.0,6.0,5.0,4.0210210-=-=-====y y y x x x ，则)54.0(54.0ln 2L ≈))(()54.0)(54.0())(()54.0)(54.0())(()54.0)(54.0(120210221012012010210x x x x x x y x x x x x x y x x x x x x y ----⋅+----⋅+----⋅=＝－0.616707 .6. i) 对),,1,0(,)(n k x x f k==在n x x x ,,,10 处进行n 次拉格朗日插值，则有)()(x R x P x n n k +=)())(()!1(1)(0)1(0n n ni k j j x x x x f n x x l --++=+=∑ ξ由于0)()1(=+ξn f，故有kni k j jxx x l≡∑=0)(.ii) 构造函数,)()(kt x x g -=在n x x x ,,,10 处进行n 次拉格朗日插值，有∑=-=ni j k j n x l t x x L 0)()()(.插值余项为 ∏=+-+=--nj j n n kx x n g x L t x 0)1()()!1()()()(ξ， 由于).,,2,1(,0)()1(n k g n ==+ξ故有 .)()()()(0∑=-==-ni j k j n kx l t x x L t x令,x t =即得 ∑==-ni j k jx l t x)()(.8. 截断误差].4,4[),)()((61)(2102-∈---=ξξx x x x x x e x R其中 ,,1210h x x h x x +=-= 则hx x 331+=时取得最大值321044392|))()((|max h x x x x x x x ⋅=---≤≤- .由题意， ,10)392(61|)(|6342-=⋅⋅≤h e x R所以，.006.0≤h16. ;1!7!7!7)(]2,,2,2[)7(71===ξf f .0!7)(]2,,2,2[)8(810==ξf f19. 采用牛顿插值，作均差表：i x)(i x f一阶均差 二阶均差0 1 20 1 11 0-1/2],,[))((],[)()()(210101000x x x f x x x x x x f x x x p x p --+-+=))()()((210x x x x x x Bx A ---++)2)(1()()2/1)(1(0--++--++=x x x Bx A x x x又由 ,1)1(,0)0(='='p p 得,41,43=-=B A 所以 .)3(4)(22-=x x x p第三章 函数逼近与计算习题参考答案4.设所求为()g x c =，(,)max(,),max (),min ()a x ba x bf g M c m c M f x m f x ≤≤≤≤∆=--==，由47页定理4可知()g x 在[],a b 上至少有两个正负交错的偏差点，恰好分别为()f x 的最大值和最小值处，故由1(),()2M c m c c M m -=--=+可以解得1()()2g x M m =+即为所求。

第2章线性方程组的解法--------学习小结一、本章学习体会本章主要学习的是线性方程组的解法。

而我们则主要学习了高斯消去法、直接三角分解法以及迭代法三种方法。

这三种方法的优缺点以及适用范围各有不同。

高斯消去法中，我们又学习了顺序高斯消去法以及列主元素高斯消去法。

顺序高斯消去法可以得到方程组的精确解，但要求系数矩阵的主对角线元素不为零，而且该方法的数值稳定性没有保证。

但列主元素高斯消去法因为方程顺序的调整，其有较好的数值稳定性。

直接三角分解法中，我们主要学习了Doolitte分解法与Crout分解法。

其思想主要是：令系数矩阵A=UL，其中L为下三角矩阵，U是上三角矩阵，为求AX=b 的解，则引进Ly=b,Ux=y两个方程，以求X得解向量。

这种方法计算量较小，但是条件苛刻，且不具有数值稳定性。

迭代法（逐次逼近法）是从一个初始向量出发，按照一定的计算格式，构造一个向量的无穷序列，其极限才是所求问题的精确解，只经过有限次运算得不到精确解。

该方法要求迭代收敛，而且只经过有限次迭代，减少了运算次数，但是该方法无法得到方程组的精确解。

二、本章知识梳理针对解线性方程组，求解线性方程组的方法可分为两大类：直接法和迭代法，直接法（精确法）：指在没有舍入误差的情况下经过有限次运算就能得到精确解。

迭代法（逐次逼近法）：从一个初始向量出发，按照一定的计算格式，构造一个向量的无穷序列，其极限才是所求问题的精确解，只经过有限次运算得不到精确解。

我们以前用的是克莱姆法则，对于计算机来说，这种方法运算量比较大，因此我们学习了几种减少运算次数的方法，有高斯消去法、直接三角分解法，同时针对病态方程组，也提出了几种不同的解法。

2.1 Gauss消去法Gauss消去法由消元和回代两个过程组成，消元过程是指针对方程组的增广矩阵，做有限次初等行变化，使它系数矩阵变为上三角矩阵。

2.1.1顺序Gauss消去法消元过程：对于K=1,2,3…,n-1执行(1)如果,则算法失效，停止计算；否则转（2）(2)对于计算回代过程：综上：顺序Gauss消去法的数值稳定性是没有保证的。

数值分析思考题2数值分析思考题⼆1、怎样确定⼀个隔根区间？如何求解⼀个⽅程的全部实根？如：已知⽅程：1020()x f x e x =+-=在(),-∞+∞有实数根，⽤⼆分法求它的全部实根，要求误差满⾜210*k x x --<？若要求6*10k x x --<，需⼆分区间多少次？答：（1）已知1020()x f x e x =+-=,作210x e x =-的图像，可得在区间[0,1]之间有交点，即有且仅有⼀个根。

由于()102x f x e x =+-，所以()f x 在区间[0,1]上连续，且()00100210f e =+?-=-p ，()11101280f e e =+?-=+f ，即()()010f f ?p ，⼜()'100x f x e =+f ,根据零点定理得知，在()f x 在区间[0,1]有唯⼀实根。

由⼆分法的估计式()*211102k k x x b a ε-+-≤-=p ，得到()ln 102ln10 4.60511 5.645ln 20.693k -+-≈-≈f，因此取6k =。

1211102 4.6022f e ??=+?-≈f ，⼜()1002f f ??p ，()f x 在区间[0, 12]有唯⼀实根。

1411102 1.8044f e ??=+?-≈f ，同理，()f x 在区间[0, 14]有唯⼀实根。

18111020.38088f e ??=+?-≈f ，同理，()f x 在区间[0, 18]有唯⼀实根。

16111020.3101616f e ??=+?-≈-p ，⼜110816f f ??p ，()f x 在区间[18,116]有唯⼀实根。

332331020.03603232f e ??=+?-≈f ，同理，()f x 在区间[116,332]有唯⼀实根。

56455102.0146464f e ??=+?-=-，故 50.07864=即为所求。

第二章习 题 解 答西南交大 草上飞1下列数据作为π=*x 的近似数,试确定它们各有几位有效数字,并确定其相对误差限..722,15.3,14.3,141.34321====x x x x (i x 表示*x 的近似数,)1415926.3 =π 解：把近似数)4,3,2,1(*=i x i 规格化形式后均有1=k ，首位非零数字为3Ⅰ）31*11021005.000059.0141.3-⨯=≤=-=- πx x *1x 有3位有效数字，0017.010321)(31*1≈⨯⨯=-x r ε Ⅱ) 31*21021005.0001.014.3-⨯=≤=-=- πx x*2x 有3位有效数字，0017.010321)(31*2≈⨯⨯=-x r ε Ⅲ) 21*31021005.0008.015.3-⨯=≤=-=- πx x*3x 有2位有效数字，017.010321)(21*3≈⨯⨯=-x r ε Ⅳ)142857.3722=， 31*41021005.0001.0722-⨯=≤=-=- πx x *4x 有3位有效数字，0017.010321)(31*4≈⨯⨯=-x r ε 2 证明§2.2中的定理 2.1,定理 2.2.3 已知20的近似数x 相对误差为%5.0，试问x 至少有几位有效数字？解：因20的第一位数字为4，所以x 的第一位数字41=a ，根据定理2.1，当n r a x e -⨯+≤1015|)(|1 成立时，x 有n 位有效数字，而2=n 时,101451019510005%5.0)(22--⨯+<⨯+===x e r 所以近似数x 至少有2位有效数字.4 为尽量避免有效数字的严重损失，当1||<<x 时应如何加工下列计算公式：（1）xx x +--+11211 （2）x cos 1- （3）1-xe解：（1）)1)(21(22x x x ++；（2）2sin 22x ；（3）4322416121x x x x +++ 5 序列{}n y 满足递推关系()⎪⎩⎪⎨⎧=-==- ,2,1,110210n y y y n n若取41.120≈=y 做近似计算，问计算到10y 时误差有多大？这个计算过程稳定吗？解：,414.120 ==y ,41.1*=y δ=⨯≤--2*001021||y y 10||*11=-y y δ10||*00≤-y y10||*1010=-y y δ10*0010*9910||10||≤-==-y y y y 此递推关系每计算一次误差增长10倍，故算法不稳定. 6设,,1,0,11 ==⎰-n dx e x I x n n 验证,110--=e I .11--=n n nI I 若取,3679.01≈-e 依次计算 n I I I ,,10时(不要求具体算出),请你证明这样设计的算法其误差传播是逐步扩大的,算法是不稳定的.并要求另外设计一种数值稳定的算法.解: ,11110⎰---==e dx eI x 对n I 用分部积分法得==⎰-11dx e x I x n n ⎰-11x n de x ne x x n -=-101|⎰--111dx e x x n .11--=n nI设误差,*n n n I I e -=其中*1*1--=n n nI I .于是=--=-=--)(*11*n n n n n I I n I I e =--=)(!)1(*00I I n n 0!)1(e n n - 当n 增大时n e 是递增的, *n I 的误差达到0!)1(e n n -,是严重失真的.数值稳定的计算方法: 将递推公式11--=n n nI I 改为)1(11n n I nI -=- )1,2,1,( -=k k n 于是在从后往前计算时, 1-n I 的误差减少为原来n I 的n1,若取k n =足够大,误差逐步减少,计算结果是稳定可靠的. 7 7可由下列迭代公式计算:⎪⎩⎪⎨⎧=+==+,2,1,0),7(21210k x x x x k k k若k x 是7的具有n 位有效数字的近似值,求证1+k x 是7的具有n 2位有效数字的近似值.解 由1+k x ,1,0,)7(217)7(2172=-=-+=-k x x x x k kk k 和20=x ,得到,,2,1,7 =≥k x k 数列∞=1}{k k x 有下界.又1)11(21)71(2121=+≤+=+kk k x x x 即k k x x ≤+1,数列∞=1}{k k x 单调不增. 故k k x ∞→lim 存在.令∞→k ,对迭代公式两边取极限,可求得7lim =∞→k k x .现设k x 是7的具有n 位有效数字的近似值,即有11021|7|+-⨯≤-n k x 于是,得|7|1-+k x 2)7(721-≤k x 221041721+-⨯⨯≤n 121021+-⨯≤n可见, 1+k x 是7的具有n 2位有效数字的近似值.8用秦九韶算法计算多项式4532)(23-+-=x x x x p 在自变量3=x 时的值. 解：381432429634532-- 故 38)3(=p补充例题例题1：试问真值62.2*=x 的近似数 2.58x =是否为有效数. 解：*112110.040.05101022x x ---=<=⨯=⨯∴由有效数的定义知近似数 2.58x =具有两位有效数字，分别是2,5由于8不是有效数字，故 2.58x =不是有效数.例题2为尽量避免有效数字的严重损失，当1||>>x 时应如何加工下列计算公式xx x x 11--+解： 为尽量避免有效数字的严重损失，应作变换：xx x x x xx x x 11211-++=--+例题3 设10000,2,1,0,1==⎰n dx e x I x n n（1）证明：.10000,,3,2,1,1 =-=-n nI e I n n （2）设计一种数值稳定的算法，并证明算法的稳定性. 解: (1) 对n I 用分部积分法得 ==⎰1dx e x I x n n ⎰1x n de x n e x x n -=10|⎰-11dx e x x n.10000,,3,2,1,1101 =-=-=--⎰n nI e dx e x n e n x n(2) 由（1）得：,1n n I e nI -=-若已知N I ，设计如下递推算法： 1,2,1,),(11 --=-=-N N N n I e nI n n 注意到： )1,0(,1|110110∈+=+==+⎰ξξξξn e n x e dx x e I n nn ,于是.111+<<+n e I n n 取)1(21++=N eI N 可得如下递推算法1,2,,1,,)1(21)(11 -=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=-=-N N n N e I I e n I N n n . 设 n n n I I e -=，则11---n n I I )(1n n I I n--=， ||11---n n I I |)(|1n n I I n -=，即n n e ne 11=-.每迭代一次误差均在减少，所以设计的递推算法是数值稳定的.例题4 已知,1410⎰+=dx x x y nn 试建立一个具有较好数值稳定性的求),2,1( =n y n 的递推公式,并证明算法的稳定性.解: 由=+-14n n y y ⎰++-101144dx x x x n n =n dx x n 1101=⎰- 得到求),2,1( =n y n 的递推公式:14141--=n n y n y , ,2,1=n (*) 而初值40235.0|)]14[ln(4114110100≈+=+=⎰x dx x y ,由此出发,根据上述递推公式可以求 ),2,1( =n y n 的近似值求*ny : *1*4141--=n n y n y , ,2,1=n . 记*n y 的绝对误差为||*n n n y y -=∆,则有:)(41*11*----=-n n n n y y y y ,即141-∆=∆n n , ,2,1=n . 由此可见,*1-n y 的误差将缩小41传播到*n y ,误差传播是逐步衰减的.因而,递推公式(*)是数值稳定的.例题5 数列{}n x 满足递推公式1101(1,2,)n n x x n -=-=.若取*001.41(3x x =≈=位有有效数字),问按此递推算法从0x 算至10x 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 解: *20001||||102e x x ε-=-=<⨯ *00||||10||10n nn n n n e x x x x ε=-=-=,||()n e n →∞→∞,则计算过程不稳定.计算至10x 时误差: 10281011||10101022e -=⨯⨯=⨯.。