数模案例集

线性代数建模案例汇编张小向东南大学数学系2012年6月目录案例一. 交通网络流量分析问题 (1)案例二. 配方问题 (4)案例三. 投入产出问题 (6)案例四. 平板的稳态温度分布问题 (8)案例五. CT图像的代数重建问题 (10)案例六. 平衡结构的梁受力计算 (12)案例七. 化学方程式配平问题 (15)案例八. 互付工资问题 (17)案例九. 平衡价格问题 (19)案例十. 电路设计问题 (21)案例十一. 平面图形的几何变换 (23)案例十二. 太空探测器轨道数据问题 (25)案例十三. 应用矩阵编制Hill密码 (26)案例十四. 显示器色彩制式转换问题 (28)案例十五. 人员流动问题 (30)案例十六. 金融公司支付基金的流动 (32)案例十七. 选举问题 (34)案例十八. 简单的种群增长问题 (35)案例十九. 一阶常系数线性齐次微分方程组的求解 (37)案例二十. 最值问题 (39)附录数学实验报告模板 (40)这里收集了二十个容易理解的案例. 和各类数学建模竞赛的题目相比, 这些案例确实显得过于简单. 但如果学生能通过这些案例加深对线性代数基本概念、理论和方法的理解, 培养数学建模的意识, 那么我们初步的目的也就达到了.案例一. 交通网络流量分析问题城市道路网中每条道路、每个交叉路口的车流量调查，是分析、评价及改善城市交通状况的基础。

根据实际车流量信息可以设计流量控制方案，必要时设置单行线，以免大量车辆长时间拥堵。

图1 某地交通实况图2 某城市单行线示意图【模型准备】某城市单行线如下图所示, 其中的数字表示该路段每小时按箭头方向行驶的车流量(单位: 辆).图3 某城市单行线车流量(1) 建立确定每条道路流量的线性方程组.(2) 为了唯一确定未知流量, 还需要增添哪几条道路的流量统计? (3) 当x 4 = 350时, 确定x 1, x 2, x 3的值.(4) 若x 4 = 200, 则单行线应该如何改动才合理?【模型假设】 (1) 每条道路都是单行线. (2) 每个交叉路口进入和离开的车辆数目相等.【模型建立】 根据图3和上述假设, 在①, ②, ③, ④四个路口进出车辆数目分别满足500 = x 1 + x 2 ① 400 + x 1 = x 4 + 300 ② x 2 + x 3 = 100 + 200 ③ x 4 = x 3 + 300 ④ 【模型求解】根据上述等式可得如下线性方程组12142334500100300300x x x x x x x x +=⎧⎪-=-⎪⎨+=⎪⎪-+=⎩其增广矩阵(A , b ) =1100500100110001103000011300⎛⎫⎪--⎪⎪ ⎪-⎝⎭−−−−→初等行变换10011000101600001130000000--⎛⎫ ⎪⎪-- ⎪⎪⎝⎭由此可得142434100600300x x x x x x -=-⎧⎪+=⎨⎪-=-⎩ 即142434100600300x x x x x x =-⎧⎪=-+⎨⎪=-⎩. 为了唯一确定未知流量, 只要增添x 4统计的值即可.当x 4 = 350时, 确定x 1 = 250, x 2 = 250, x 3 = 50.若x 4 = 200, 则x 1 = 100, x 2 = 400, x 3 = 100 < 0. 这表明单行线“③④”应该改为“③④”才合理.【模型分析】(1) 由(A , b )的行最简形可见, 上述方程组中的最后一个方程是多余的. 这意味着最后一个方程中的数据“300”可以不用统计.(2) 由142434100600300x x x x x x =-⎧⎪=-+⎨⎪=-⎩可得213141500200100x x x x x x =-+⎧⎪=-⎨⎪=+⎩, 123242500300600x x x x x x =-+⎧⎪=-+⎨⎪=-+⎩, 132343200300300x x x x x x =+⎧⎪=-+⎨⎪=+⎩, 这就是说x 1, x 2, x 3, x 4这四个未知量中, 任意一个未知量的值统计出来之后都可以确定出其他三个未知量的值.参考文献陈怀琛, 高淑萍, 杨威, 工程线性代数, 北京: 电子工业出版社, 2007. 页码: 16-17.Matlab 实验题某城市有下图所示的交通图, 每条道路都是单行线, 需要调查每条道路每小时的车流量. 图中的数字表示该条路段的车流数. 如果每个交叉路口进入和离开图4 某城市单行线车流量(1)建立确定每条道路流量的线性方程组. (2)分析哪些流量数据是多余的.(3)为了唯一确定未知流量, 需要增添哪几条道路的流量统计.案例二. 配方问题在化工、医药、日常膳食等方面都经常涉及到配方问题. 在不考虑各种成分之间可能发生某些化学反应时, 配方问题可以用向量和线性方程组来建模.图5 日常膳食搭配图6 几种常见的作料【模型准备】一种佐料由四种原料A、B、C、D混合而成. 这种佐料现有两种规格, 这两种规格的佐料中, 四种原料的比例分别为2:3:1:1和1:2:1:2. 现在需要四种原料的比例为4:7:3:5的第三种规格的佐料. 问: 第三种规格的佐料能否由前两种规格的佐料按一定比例配制而成?【模型假设】(1) 假设四种原料混合在一起时不发生化学变化. (2) 假设四种原料的比例是按重量计算的. (3) 假设前两种规格的佐料分装成袋, 比如说第一种规格的佐料每袋净重7克(其中A、B、C、D四种原料分别为2克, 3克, 1克, 1克), 第二种规格的佐料每袋净重6克(其中A、B、C、D四种原料分别为1克, 2克, 1克, 2克).【模型建立】根据已知数据和上述假设, 可以进一步假设将x袋第一种规格的佐料与y袋第二种规格的佐料混合在一起, 得到的混合物中A、B、C、D四种原料分别为4克, 7克, 3克, 5克, 则有以下线性方程组24,327,3,2 5.x yx yx yx y+=⎧⎪+=⎨+=⎪+=⎩【模型求解】上述线性方程组的增广矩阵(A, b) =214327113125⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭−−−−→初等行变换101012000000⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭,可见{1,2.x y==又因为第一种规格的佐料每袋净重7克, 第二种规格的佐料每袋净重6克, 所以第三种规格的佐料能由前两种规格的佐料按7:12的比例配制而成.【模型分析】(1) 若令α1 = (2, 3, 1, 1)T, α2 = (1, 2, 1, 1)T, β = (4, 7, 5, 3)T, 则原问题等价于“线性方程组Ax = b是否有解”, 也等价于“β能否由α1, α2线性表示”.(2) 若四种原料的比例是按体积计算的, 则还要考虑混合前后体积的关系(未必是简单的叠加), 因而最好还是先根据具体情况将体积比转换为重量比, 然后再按上述方法处理.(3) 上面的模型假设中的第三个假设只是起到简化运算的作用. 如果直接设x克第一种规格的佐料与y 克第二种规格的佐料混合得第三种规格的佐料, 则有下表因而有如下线性方程组214(),7619327(),7619113(),7619125().7619x y x y x y x y x y x y x y x y ⎧+=+⎪⎪⎪+=+⎪⎨⎪+=+⎪⎪⎪+=+⎪⎩ (*) 【模型检验】把x = 7, y = 12代入上述方程组(*), 则各等式都成立. 可见模型假设中的第三个假设不影响解的正确性.Matlab 实验题蛋白质、碳水化合物和脂肪是人体每日必须的三种营养, 但过量的脂肪摄入不利于健康.人们可以通过适量的运动来消耗多余的脂肪. 设三种食物(脱脂牛奶、大豆面粉、乳清)每100克中蛋白质、碳水化合物和脂肪的含量以及慢跑5分钟消耗蛋白质、碳水化合物和脂肪的量如下表.问怎样安排饮食和运动才能实现每日的营养需求?案例三. 投入产出问题在研究多个经济部门之间的投入产出关系时, W. Leontief提出了投入产出模型. 这为经济学研究提供了强有力的手段. W. Leontief因此获得了1973年的Nobel经济学奖.图7 三个经济部门这里暂时只讨论一个简单的情形.【模型准备】某地有一座煤矿, 一个发电厂和一条铁路. 经成本核算, 每生产价值1元钱的煤需消耗0.3元的电; 为了把这1元钱的煤运出去需花费0.2元的运费; 每生产1元的电需0.6元的煤作燃料; 为了运行电厂的辅助设备需消耗本身0.1元的电, 还需要花费0.1元的运费; 作为铁路局, 每提供1元运费的运输需消耗0.5元的煤, 辅助设备要消耗0.1元的电. 现煤矿接到外地6万元煤的订货, 电厂有10万元电的外地需求, 问: 煤矿和电厂各生产多少才能满足需求?【模型假设】假设不考虑价格变动等其他因素.【模型建立】设煤矿, 电厂, 铁路分别产出x元, y元, z元刚好满足需求. 则有下表根据需求, 应该有(0.60.5)60000(0.30.10.1)100000(0.20.1)0x y zy x y zz x y-+=⎧⎪-++=⎨⎪-+=⎩,即0.60.5600000.30.90.11000000.20.10x y zx y zx y z--=⎧⎪-+-=⎨⎪--+=⎩【模型求解】在Matlab命令窗口输入以下命令>> A = [1,-0.6,-0.5;-0.3,0.9,-0.1;-0.2,-0.1,1]; b = [60000;100000;0];>> x = A\bMatlab执行后得x =1.0e+005 *1.99661.84150.5835可见煤矿要生产1.9966⨯105元的煤, 电厂要生产1.8415⨯105元的电恰好满足需求.【模型分析】令x =xyz⎛⎫⎪⎪⎝⎭, A =00.60.50.30.10.10.20.10⎛⎫⎪⎪⎝⎭, b =60000100000⎛⎫⎪⎪⎝⎭, 其中x称为总产值列向量, A称为消耗系数矩阵, b称为最终产品向量, 则Ax =00.60.50.30.10.10.20.10⎛⎫⎪⎪⎝⎭xyz⎛⎫⎪⎪⎝⎭=0.60.50.30.10.10.20.1y zx y zx y+⎛⎫⎪++⎪+⎝⎭根据需求, 应该有x Ax = b, 即(E A)x = b. 故x = (E A )1b.Matlab实验题某乡镇有甲、乙、丙三个企业. 甲企业每生产1元的产品要消耗0.25元乙企业的产品和0.25元丙企业的产品. 乙企业每生产1元的产品要消耗0.65元甲企业的产品, 0.05元自产的产品和0.05元丙企业的产品. 丙企业每生产1元的产品要消耗0.5元甲企业的产品和0.1元乙企业的产品. 在一个生产周期内, 甲、乙、丙三个企业生产的产品价值分别为100万元, 120万元, 60万元, 同时各自的固定资产折旧分别为20万元, 5万元和5万元.(1) 求一个生产周期内这三个企业扣除消耗和折旧后的新创价值.(2) 如果这三个企业接到外来订单分别为50万元, 60万元, 40万元, 那么他们各生产多少才能满足需求?案例四. 平板的稳态温度分布问题在热传导的研究中, 一个重要的问题是确定一块平板的稳态温度分布. 根据…定律, 只要测定一块矩形平板四周的温度就可以确定平板上各点的温度.图8 一块平板的温度分布图【模型准备】如图9所示的平板代表一条金属梁的截面. 已知四周8个节点处的温度(单位°C), 求中间4个点处的温度T 1, T 2, T 3, T 4.图9 一块平板的温度分布图【模型假设】假设忽略垂直于该截面方向上的热传导, 并且每个节点的温度等于与它相邻的四个节点温度的平均值.【模型建立】根据已知条件和上述假设, 有如下线性方程组1232143144231(90100)41(8060)41(8060)41(5050)4T T T T T T T T T T T T ⎧=+++⎪⎪⎪=+++⎪⎨⎪=+++⎪⎪=+++⎪⎩ 【模型求解】将上述线性方程组整理得1231241342344190414041404100T T T T T T T T T T T T --=⎧⎪-+-=⎪⎨-+-=⎪--+=⎪⎩. 在Matlab 命令窗口输入以下命令>> A = [4,-1,-1,0;-1,4,0,-1;-1,0,4,-1;0,-1,-1,4]; b = [190;140;140;100];>> x = A\b; x ’Matlab 执行后得ans =82.9167 70.8333 70.8333 60.4167可见T 1 = 82.9167, T 2 = 70.8333, T 3 = 70.8333, T 4 = 60.4167.参考文献陈怀琛, 高淑萍, 杨威, 工程线性代数, 北京: 电子工业出版社, 2007. 页码: 15-16.Matlab 实验题假定下图中的平板代表一条金属梁的截面, 并忽略垂直于该截面方向上的热传导. 已知平板内部有30个节点, 每个节点的温度近似等于与它相邻的四个节点温度的平均值. 设4条边界上的温度分别等于每位同学学号的后四位的5倍, 例如学号为16308209的同学计算本题时, 选择T l = 40, T u = 10, T r = 0, T d = 45.图10 一块平板的温度分布图(1) 建立可以确定平板内节点温度的线性方程组.(2) 用Matlab 软件求解该线性方程组.(3) 用Matlab 中的函数mesh 绘制三维平板温度分布图.案例五. CT 图像的代数重建问题X 射线透视可以得到3维对象在2维平面上的投影, CT 则通过不同角度的X射线得到3维对象的多个2维投影, 并以此重建对象内部的3维图像. 代数重建方法就是从这些2维投影出发, 通过求解超定线性方程组, 获得对象内部3维图像的方法.图11双层螺旋CT 图12 CT 图像 这里我们考虑一个更简单的模型, 从2维图像的1维投影重建原先的2维图像.一个长方形图像可以用一个横竖均匀划分的离散网格来覆盖, 每个网格对应一个像素, 它是该网格上各点像素的均值. 这样一个图像就可以用一个矩阵表示,其元素就是图像在一点的灰度值(黑白图像). 下面我们以33图像为例来说明.表4 消耗与产出情况33图像水平方向上 的叠加值x 1 + x 2 + x 3 = 1x 4 + x 5 + x 6 = 1x 7 + x 8 + x 9 = 1.5的叠加值x 1 + x 4 + x 7 = 1.5 x 2 + x 5 + x 8 = 0.5 x 3 + x 6 + x 9 = 1.5 每个网格中的数字x i 代表其灰度值, 范围在[0, 1]内. 0表示白色, 1表示黑色, 0.5表示灰色. 如果我们不知道网格中的数值, 只知道沿竖直方向和水平方向的叠加值, 为了确定网格中的灰度值, 可以建立线性方程组(含有6个方程, 9个未知数)123456369111x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎪⎨⎪++=⎪⎩ 显然该方程组的解是不唯一的, 为了重建图像, 必须增加叠加值. 如我们增加从右上方到左下方的叠加值, 则方程组将增加5个方程x 1 = 1,x 2 + x 4 = 0,x 3 + x 5 + x 7 = 1,x 6 + x 8 = 0.5,x 9 = 1,和上面的6个方程放在一起构成一个含有11个方程, 9个未知数的线性方程组.【模型准备】设33图像中第一行3个点的灰度值依次为x 1, x 2, x 3, 第二行3个点的灰度值依次为x 4, x 5, x 6, 第三行3个点的灰度值依次为x 7, x 8, x 9. 沿竖直方向的叠加值依次为1.5, 0.5, 1.5, 沿水平方向的叠加值依次为1, 1, 1.5, 沿右上方到左下方的叠加值依次为1, 0, 1, 0.5, 1. 确定x 1, x 2, …, x 9的值.【模型建立】由已知条件可得(含有11个方程, 9个未知数的)线性方程组1234569111x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎪⎨⎪=⎪⎩ 【模型求解】在Matlab 命令窗口输入以下命令>> A = [1,1,1,0,0,0,0,0,0;0,0,0,1,1,1,0,0,0;0,0,0,0,0,0,1,1,1;1,0,0,1,0,0,1,0,0;0,1,0,0,1,0,0,1,0;0,0,1,0,0,1,0,0,1;1,0,0,0,0,0,0,0,0;0,1,0,1,0,0,0,0,0;0,0,1,0,1,0,1,0,0;0,0,0,0,0,1,0,1,0;0,0,0,0,0,0,0,0,1];>> b = [1;1;1.5;1.5;0.5;1.5;1;0;1;0.5;1];>> x = A\b; x ’Matlab 执行后得Warning: Rank deficient, rank = 8 tol = 4.2305e-015.ans =1.0000 0.0000 0 -0.0000 0.5000 0.5000 0.5000 -0.0000 1.0000可见上述方程组的解不唯一. 其中的一个特解为x 1 = 1, x 2 = 0, x 3 = 0, x 4 = 0, x 5 = 0.5, x 6 = 0.5, x 7 = 0.5, x 8 = 0, x 9 = 1.【模型分析】上述结果表明, 仅有三个方向上的叠加值还不够.可以再增加从左上方到右下方的叠加值. 在实际情况下, 由于测量误差, 上述线性方程组可能是超定的.这时可以将超定方程组的近似解作为重建的图像数据.Matlab 实验题给定一个33图像的2个方向上的灰度叠加值: 沿左上方到右下方的灰度叠加值依次为0.8, 1.2, 1.7, 0.2, 0.3; 沿右上方到左下方的灰度叠加值依次为0.6, 0.2,1.6, 1.2, 0.6.(1) 建立可以确定网格数据的线性方程组, 并用Matlab 求解.(2) 将网格数据乘以256, 再取整, 用Matlab 绘制该灰度图像.案例六. 平衡结构的梁受力计算在桥梁、房顶、铁塔等建筑结构中, 涉及到各种各样的梁. 对这些梁进行受力分析是设计师、工程师经常做的事情.图13埃菲尔铁塔全景图14 埃菲尔铁塔局部下面以双杆系统的受力分析为例, 说明如何研究梁上各铰接点处的受力情况. 【模型准备】在图15所示的双杆系统中, 已知杆1重G1 = 200牛顿, 长L1 = 2米, 与水平方向的夹角为1 = /6, 杆2重G2 = 100牛顿, 长L2= 米, 与水平方向的夹角为2 = /4. 三个铰接点A, B, C所在平面垂直于水平面. 求杆1, 杆2在铰接点处所受到的力.图15双杆系统【模型假设】假设两杆都是均匀的. 在铰接点处的受力情况如图16所示.【模型建立】对于杆1:水平方向受到的合力为零, 故N1 = N3,竖直方向受到的合力为零, 故N2 + N4 = G1,以点A为支点的合力矩为零, 故(L1sin1)N3 + (L1cos1)N4 = (12L1cos1)G1.图16 两杆受力情况对于杆2类似地有N5N6/6/4N 5 = N 7, N 6 = N 8 + G 2, (L 2sin 2)N 7 = (L 2cos 2)N 8 + (12L 2cos 2)G 2. 此外还有N 3 = N 7, N 4 = N 8. 于是将上述8个等式联立起来得到关于N 1, N 2, …, N 8的线性方程组:132414800N N N N G N N -=⎧⎪+=⎪⎨⎪⎪-=⎩ 【模型求解】在Matlab 命令窗口输入以下命令>> G1=200; L1=2; theta1=pi/6; G2=100; L2=sqrt(2); theta2=pi/4;>> A = [1,0,-1,0,0,0,0,0;0,1,0,1,0,0,0,0;0,0,L1*sin(theta1),L1*cos(theta1),0,0,0,0;0,0,0,0,1,0,-1,0;0,0,0,0,0,1,0,-1;0,0,0,0,0,0,L2*sin(theta2),-L2*cos(theta2);0,0,1,0,0,0,-1,0;0,0,0,1,0,0,0,-1];>> b = [0;G1;0.5*L1*cos(theta1)*G1;0;G2;0.5*L2*cos(theta2)*G2;0;0];>> x = A\b; x ’Matlab 执行后得ans =95.0962 154.9038 95.0962 45.0962 95.0962 145.0962 95.0962 45.0962【模型分析】最后的结果没有出现负值, 说明图16中假设的各个力的方向与事实一致. 如果结果中出现负值, 则说明该力的方向与假设的方向相反.参考文献陈怀琛, 高淑萍, 杨威, 工程线性代数, 北京: 电子工业出版社, 2007. 页码: 157-158.Matlab 实验题有一个平面结构如下所示, 有13条梁(图中标号的线段)和8个铰接点(图中标号的圈)联结在一起. 其中1号铰接点完全固定, 8号铰接点竖直方向固定, 并在2号, 5号和6号铰接点上, 分别有图示的10吨, 15吨和20吨的负载. 在静平衡的条件下,任何一个铰接点上水平和竖直方向受力都是平衡的. 已知每条斜梁的角度都是45º.(1) 列出由各铰接点处受力平衡方程构成的线性方程组.(2) 用Matlab 软件求解该线性方程组, 确定每条梁受力情况.图17 一个平面结构的梁案例七. 化学方程式配平问题在用化学方法处理污水过程中, 有时会涉及到复杂的化学反应. 这些反应的化学方程式是分析计算和工艺设计的重要依据. 在定性地检测出反应物和生成物之后,可以通过求解线性方程组配平化学方程式.图18 污水处理 【模型准备】某厂废水中含KCN, 其浓度为650mg/L. 现用氯氧化法处理, 发生如下反应:KCN + 2KOH + Cl 2 = KOCN + 2KCl + H 2O.投入过量液氯, 可将氰酸盐进一步氧化为氮气. 请配平下列化学方程式:KOCN + KOH + Cl 2 === CO 2 + N 2 + KCl + H 2O.(注: 题目摘自福建省厦门外国语学校2008-2009学年高三第三次月考化学试卷)【模型建立】设x 1KOCN ＋ x 2KOH ＋ x 3Cl 2 === x 4CO 2 ＋ x 5N 2 ＋ x 6KCl ＋ x 7H 2O,则1261247141527362222x x x x x x x x x x x x x x x +=⎧⎪+=+⎪⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎪=⎪⎩, 即1261247141527360200202020x x x x x x x x x x x x x x x +-=⎧⎪+--=⎪⎪-=⎪⎨-=⎪⎪-=⎪-=⎪⎩ 【模型求解】在Matlab 命令窗口输入以下命令>> A = [1,1,0,0,0,-1,0;1,1,0,-2,0,0,-1;1,0,0,-1,0,0,0;1,0,0,0,-2,0,0;0,1,0,0,0,0,-2;0,0,2,0,0,-1,0];>> x = null(A,’r ’); format rat, x ’Matlab 执行后得ans =1 2 3/2 1 1/2 3 1可见上述齐次线性方程组的通解为x = k (1, 2, 3/2, 1, 1/2, 3, 1)T .取k = 2得x = (2, 4, 3, 2, 1, 6, 2)T . 可见配平后的化学方程式如下2KOCN + 4KOH + 3Cl 2 === 2CO 2 + N 2 + 6KCl + 2H 2O.【模型分析】利用线性方程组配平化学方程式是一种待定系数法. 关键是根据化学方程式两边所涉及到的各种元素的量相等的原则列出方程. 所得到的齐次线性方程组Ax = 中所含方程的个数等于化学方程式中元素的种数s, 未知数的个数就是化学方程式中的项数n.当r(A) = n1时, Ax = 的基础解系中含有1个(线性无关的)解向量. 这时在通解中取常数k为各分量分母的最小公倍数即可. 例如本例中1, 2, 3/2, 1, 1/2, 3, 1分母的最小公倍数为2, 故取k = 2.当r(A) n2时, Ax = 的基础解系中含有2个以上的线性无关的解向量. 这时可以根据化学方程式中元素的化合价的上升与下降的情况, 在原线性方程组中添加新的方程.参考文献陈怀琛, 高淑萍, 杨威, 工程线性代数, 北京: 电子工业出版社, 2007. 页码: 84-85.Matlab实验题配平下列反应式(1) FeS + KMnO4 + H2SO4——K2SO4 + MnSO4 + Fe2(SO4)3 + H2O + S↓(2) Al2(SO4)3 + Na2CO3 + H2O ——Al(OH)3↓+ CO2↑+ Na2SO4案例八. 互付工资问题互付工资问题是多方合作相互提供劳动过程中产生的. 比如农忙季节, 多户农民组成互助组, 共同完成各户的耕、种、收等农活. 又如木工, 电工, 油漆工等组成互助组, 共同完成各家的装潢工作. 由于不同工种的劳动量有所不同, 为了均衡各方的利益, 就要计算互付工资的标准.图19 农忙互助 图20 装修互助 【模型准备】现有一个木工, 电工, 油漆工. 相互装修他们的房子, 他们有如下协议:(1) 每人工作10天(包括在自己家的日子),(2) 每人的日工资一般的市价在60~80元之间,(3) 日工资数应使每人的总收入和总支出相等.求每人的日工资. 【模型假设】假设每人每天工作时间长度相同. 无论谁在谁家干活都按正常情况工作, 既不偷懒, 也不加班.【模型建立】设木工, 电工, 油漆工的日工资分别为x , y , z 元, 则由下表可得 2610451044310x y z x x y z y x y z z ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩, 即8604504470x y z x y z x y z -++=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩【模型求解】在Matlab 命令窗口输入以下命令>> A = [-8,1,6;4,-5,1;4,4,-7];>> x = null(A,’r ’); format rat, x ’Matlab 执行后得ans =31/36 8/9 1可见上述齐次线性方程组的通解为x = k (31/36, 8/9, 1)T . 因而根据“每人的日工资一般的市价在60~80元之间”可知 60 3631k <98k < k 80, 即 312160 k 80. 也就是说, 木工, 电工, 油漆工的日工资分别为3631k 元, 98k 元, k 元, 其中312160 k 80. 为了简便起见, 可取k = 72, 于是木工, 电工, 油漆工的日工资分别为62元, 64元, 72元.【模型分析】事实上各人都不必付自己工资, 这时各家应付工资和各人应得收入如下由此可得6845447y z x x z y x y z +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩, 即8604504470x y z x y z x y z -++=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩可见这样得到的方程组与前面得到的方程组是一样的. Matlab 实验题甲, 乙, 丙三个农民组成互助组, 每人工作6天(包括为自己家干活的天数), 刚好完成他们三人家的农活, 其中甲在甲, 乙, 丙三家干活的天数依次为: 2, 2.5, 1.5; 乙在甲, 乙, 丙三家各干2天活, 丙在甲, 乙, 丙三家干活的天数依次为: 1.5, 2, 2.5. 根据三人干活的种类, 速度和时间, 他们确定三人不必相互支付工资刚好公平. 随后三人又合作到邻村帮忙干了2天(各人干活的种类和强度不变), 共获得工资500元.问他们应该怎样分配这500元工资才合理?案例九. 平衡价格问题为了协调多个相互依存的行业的平衡发展, 有关部门需要根据每个行业的产出在各个行业中的分配情况确定每个行业产品的指导价格, 使得每个行业的投入与产出都大致相等.图21 三个行业 【模型准备】假设一个经济系统由煤炭、电力、钢铁行业组成, 每个行业的产出在各个行业中的分配如下表所示:等的平衡价格.【模型假设】假设不考虑这个系统与外界的联系.【模型建立】把煤炭、电力、钢铁行业每年总产出的价格分别用x 1, x 2, x 3表示, 则123212331230.40.60.60.10.20.40.50.2x x x x x x x x x x x =+⎧⎪=++⎨⎪=++⎩, 即1231231230.40.600.60.90.200.40.50.80x x x x x x x x x --=⎧⎪-+-=⎨⎪--+=⎩.【模型求解】在Matlab 命令窗口输入以下命令>> A = [1,-0.4,-0.6;-0.6,0.9,-0.2;-0.4,-0.5,0.8];>> x = null(A,’r ’); format short, x ’Matlab 执行后得ans =0.9394 0.8485 1.0000可见上述齐次线性方程组的通解为x = k (0.9394, 0.8485, 1)T .这就是说, 如果煤炭、电力、钢铁行业每年总产出的价格分别0.9394亿元, 0.8485亿元, 1亿元, 那么每个行业的投入与产出都相等.【模型分析】实际上, 一个比较完整的经济系统不可能只涉及三个行业, 因此需要统计更多的行业间的分配数据.Matlab实验题假设一个经济系统由煤炭、石油、电力、钢铁、机械制造、运输行业组成, 每个行业的产出在各个行业中的分配如下表所示:等的平衡价格.参考文献David C. Lay, 线性代数及其应用, 沈复兴, 傅莺莺等译, 北京: 人民邮电出版社, 2009. 页码: 49-50.案例十. 电路设计问题电路是电子元件的神经系统. 参数的计算是电路设计的重要环节. 其依据来自两个方面: 一是客观需要, 二是物理学定律.图22 USB 扩展板 【模型准备】假设图23中的方框代表某类具有输入和输出终端的电路. 用11v i ⎛⎫ ⎪⎝⎭记录输入电压和输入电流(电压v 以伏特为单位, 电流i 以安培为单位), 用22v i ⎛⎫ ⎪⎝⎭记录输出电压和输入电流. 若22v i ⎛⎫ ⎪⎝⎭= A 11v i ⎛⎫ ⎪⎝⎭, 则称矩阵A 为转移矩阵.图23 具有输入和输出终端的电子电路图 图24给出了一个梯形网络, 左边的电路称为串联电路, 电阻为R 1(单位: 欧姆). 右边的电路是并联电路, 电路R 2. 利用欧姆定理和楚列斯基定律, 我们可以得到串联电路和并联电路的转移矩阵分别是1101R -⎛⎫ ⎪⎝⎭和2101/1R ⎛⎫ ⎪-⎝⎭串联电路 并联电路图24 梯形网络设计一个梯形网络, 其转移矩阵是180.55-⎛⎫ ⎪-⎝⎭.v 2【模型假设】假设导线的电阻为零.【模型建立】设A 1和A 2分别是串联电路和并联电路的转移矩阵, 则输入向量x 先变换成A 1x , 再变换到A 2(A 1x ). 其中A 2A 1 =2101/1R ⎛⎫ ⎪-⎝⎭1101R -⎛⎫ ⎪⎝⎭=121211/1/R R R R -⎛⎫ ⎪-+⎝⎭就是图22中梯形网络的转移矩阵.于是, 原问题转化为求R 1, R 2的值使得121211/1/R R R R -⎛⎫ ⎪-+⎝⎭=180.55-⎛⎫ ⎪-⎝⎭. 【模型求解】由121211/1/R R R R -⎛⎫ ⎪-+⎝⎭=180.55-⎛⎫ ⎪-⎝⎭可得121281/0.51/5R R R R -=-⎧⎪-=-⎨⎪+=⎩. 根据其中的前两个方程可得R 1 = 8, R 2 = 2. 把R 1 = 8, R 2 = 2代入上面的第三个方程确实能使等式成立. 这就是说在图22中梯形网络中取R 1 = 8, R 2 = 2即为所求.【模型分析】若要求的转移矩阵改为180.54-⎛⎫ ⎪-⎝⎭, 则上面的梯形网络无法实现. 因为这时对应的方程组是121281/0.51/4R R R R -=-⎧⎪-=-⎨⎪+=⎩. 根据前两个方程依然得到R 1 = 8, R 2 = 2,但把R 1 = 8, R 2 = 2代入上第三个方程却不能使等式成立.参考文献David C. Lay, 线性代数及其应用, 沈复兴, 傅莺莺等译, 北京: 人民邮电出版社, 2009. 页码: 129-130.练习题根据基尔霍夫回路电路定律(各节点处流入和流出的电流强度的代数和为零, 各回路中各支路的电压降之和为零), 列出下图所示电路中电流i 1, i 2, i 3所满足的线性方程组, 并用矩阵形式表示:图25 简单的回路E 12案例十一. 平面图形的几何变换随着计算机科学技术的发展, 计算机图形学的应用领域越来越广, 如仿真设计、效果图制作、动画片制作、电子游戏开发等.图26 计算机图形学的广泛应用图形的几何变换, 包括图形的平移、旋转、放缩等, 是计算机图形学中经常遇到的问题. 这里暂时只讨论平面图形的几何变换.【模型准备】平面图形的旋转和放缩都很容易用矩阵乘法实现, 但是图形的平移并不是线性运算, 不能直接用矩阵乘法表示. 现在要求用一种方法使平移、旋转、放缩能统一用矩阵乘法来实现.【模型假设】设平移变换为(x, y ) (x+a, y+b)旋转变换(绕原点逆时针旋转θ角度)为(x, y ) (x cosθy sinθ, x sinθ + y cosθ)放缩变换(沿x轴方向放大s倍, 沿y轴方向放大t倍)为(x, y ) (sx, ty)【模型求解】R2中的每个点(x, y)可以对应于R3中的(x, y, 1). 它在xOy平面上方1单位的平面上. 我们称(x, y, 1)是(x, y)的齐次坐标. 在齐次坐标下, 平移变换(x, y ) (x+a, y+b)可以用齐次坐标写成(x, y , 1) (x+a, y+b, 1).于是可以用矩阵乘积1001001ab⎛⎫⎪⎪⎝⎭1xy⎛⎫⎪⎪⎝⎭=1x ay b+⎛⎫⎪+⎪⎝⎭实现.旋转变换(x, y ) (x cosθy sinθ, x sinθ + y cosθ) 可以用齐次坐标写成(x, y , 1) (x cosθy sinθ, x sinθ + y cosθ, 1).于是可以用矩阵乘积cos sin0sin cos0001θθθθ-⎛⎫⎪⎪⎝⎭1xy⎛⎫⎪⎪⎝⎭=cos sinsin cos1x yx yθθθθ-⎛⎫⎪+⎪⎝⎭实现.放缩变换(x, y ) (sx, ty) 可以用齐次坐标写成(x, y , 1) (sx, ty, 1).于是可以用矩阵乘积0000001s t ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭1x y ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭=1sx ty ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭实现. 【模型分析】由上述求解可以看出, R 2中的任何线性变换都可以用分块矩阵1⎛⎫ ⎪⎝⎭A O O 乘以齐次坐标实现, 其中A 是2阶方阵. 这样, 只要把平面图形上点的齐次坐标写成列向量, 平面图形的每一次几何变换, 都可通过左乘一个3阶变换矩阵来实现.参考文献David C. Lay, 线性代数及其应用, 沈复兴, 傅莺莺等译, 北京: 人民邮电出版社, 2009. 页码: 139-141.Matlab 实验题在Matlab 命令窗口输入以下命令>>clear all , clc,>>t = [1,3,5,11,13,15]*pi/8;>>x = sin(t); y=cos(t);>>fill(x,y,'r');>>grid on ;>>axis([-2.4, 2.4, -2, 2])运行后得图25.图26 Matlab 绘制的图形(1) 写出该图形每个顶点的齐次坐标; (2) 编写Matlab 程序, 先将上面图形放大0.9倍; 再逆时针旋转3π; 最后进行横坐标加0.8, 纵坐标减1的图形平移. 分别绘制上述变换后的图形.案例十二. 太空探测器轨道数据问题太空航天探测器发射以后, 可能需要调整以使探测器处在精确计算的轨道里. 雷达监测到一组列向量x 1, …, x k , 它们给出了不同时刻探测器的实际位置与预定轨道之间的偏差的信息.图28 火星探测器 【模型准备】令X k = [x 1, …, x k ]. 在雷达进行数据分析时需要计算出矩阵G k = X k X k T . 一旦接收到数据向量x k +1, 必须计算出新矩阵G k +1. 因为数据向量到达的速度非常快, 随着k 的增加, 直接计算的负担会越来越重. 现需要给出一个算法, 使得计算G k 的负担不会因为k 的增加而加重.【模型求解】因为G k = X k X k T = [x 1, …, x k ]T 1T k ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦x x =T 1k i i i =∑x x ,G k +1 = X k +1T 1k +X = [X k , x k +1]T T 1k k +⎡⎤⎢⎥⎣⎦X x = X k X k T + x k +1T 1k +x = G k + x k +1T 1k +x ,所以一旦接收到数据向量x k +1, 只要计算x k +1T 1k +x , 然后把它与上一步计算得到的G k相加即可. 这样计算G k 的负担不会因为k 的增加而加重.【模型分析】计算机计算加法的时间与计算乘法的时间相比可以忽略不计. 因此在考虑计算矩阵乘积的负担时, 只要考察乘法的次数就可以了. 设x k 的维数是n , 则X k = [x 1, …, x k ]是n k 的矩阵, G k = X k X k T 是n n 的矩阵. 直接计算G k = X k X k T 需要做n 2k 次乘法. 因而计算的负担会随着k 的增加而增加. 但是对于每一个k , 计算x k T k x 始终只要做n 2次乘法.Matlab 实验题用Matlab 编写一个程序用于处理这个问题.参考文献David C. Lay, 线性代数及其应用, 沈复兴, 傅莺莺等译, 北京: 人民邮电出版社, 2009. 页码: 123.。

江苏经贸职业技术学院毕业设计（论文）题目：数字和模拟混合系统的设计201 5 年05 月10 日数字和模拟混合系统的设计摘要本文通过讨论数模混合电路系统的设计。

了解数模混合系统电路的现状，了解数模混合电路在实际应用中有哪些难点，知道模混合系统电路的缺陷，通过成功案例的分析，找到解决模混合系统电路的缺陷，使数模混合电路更加完善。

文章首先了解数模混合电路系统设计的特点，通过软件的分析，对数模混合电路的发展状况进行了解，对数模混合电路的干扰进行分析，如何解决这些问题进行探讨，以及遗留的问题进行分析，对数模混合电路的一些关键问题进行阐述。

以及数模混合电路的集成电路进行的数字、模拟模块的划分。

以便了解更多的关于数模混合电路的知识。

关键词现状难点缺陷解决方法The desig n of digital and an alog mixed systemAbstract This paper discusses the design of mixed circuit system. The status quo of mixed circuit knowledge, understand the mixed circuit and what are the difficulties in the practical applicati on, know the defect mode of hybrid system circuit, through the an alysis of successful cases, find a solution to the defect mode mixing circuit, the mixed circuit more perfect.Firstly, understand the characteristics of digital analog hybrid circuit design system, through the software analysis, to understand the development of mixed circuit, analyze the interferenee in mixed sig nal circuits, discusses how to solve these problems, and the rema ining problems are analyzed, some key problems of mixed circuit were described. Division and analog IC circuit, the digital simulation module. In order to understand more about the mixed circuit knowledge.Keywords Prese nt situatio nThe difficultyDefectSolutio n引言 (5)第一章数模混合电路的现状分析 (6)1.1 数模混合电路的现状 (6)1.2 数模混合电路问题的产生 (6)1.3 数模混合电路的现有解决方案 (6)第二章数模混合电路案例 (7)2.1 模拟电路部分. (7)2.2 数字电路部分. (7)2.3 数模混合时钟电路 (7)2.3.1 模拟电路原理图 (8)2.3.2 模拟电路仿真图 (8)2.3.3 数模混合时钟电路显示仿真图 (9)第三章数模混合电路的问题与分析 (10)3.1 数模混合电路的解决分割问题方案 (10)3.1.1 按电路功能分割接地面 (10)3.1.2 采用局部接地 (11)3.1.3 采用“统一地平面” (12)3.1.4 数字和模拟电源做为电源面分割 (13)3.2 数模混合电路缺陷解决方案不足 (13)3.3 解决方案实施重点 (13)3.4 数模混合电路未来的发展 (13)第四章数模混合电路噪音解决方案的的总结 (14)参考文献 (15)由于数字技术的飞速发展，数模混合系统在社会中得到广泛运用，特别在计算机技术等电子产品中的高速发展中普及，在现在通信、控制及检测领域中，信号的处理都是运用了模数混合技术。

数学科学学院创新创业课程《数学建模》课程建设方案一、 创新创业课程建设目标高等教育的目的是为国家培养出具有良好的思想道德素质、扎实的基础理论知识和较强解决实际问题能力的科技人才。

创新创业课程建设的目的是使学生在大学阶段就感受到前沿科学研究的氛围，提高“创新、创智、创业”三创能力。

一般来讲，用人单位满意的人才一般具备三个基本素质：一是能干事，具有较强的实践能力，能够创造性的解决问题；二是能来事，具有一定的创新或创造能力，能提出问题并能解决难题；三是能处事，具有较强的合作能力和坚强的意志力。

显而易见，培养善于发现问题、提出问题并能解决问题的具有科学研究素养的人才是高等院校工作的重点。

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天津工业大学始终坚持中国特色社会主义办学方向，落实立德树人根本任务，坚持以德为先，能力为重，全面发展和个性发展相结合的原则，着力培养胸怀经纬、求真务实，品高学优、工勤业精，具有创新精神的应用型高级专门人才，努力追求本科教学质量国内同类院校一流水平。

我校世界一流现代纺织学科群和新工科的建设无不呈现出对信息化、模型化、数据化的新一轮科技变革的急迫需要。

设置数学建模课程对纺织学科的建设与发展具有重要的支撑作用。

数学建模是数学与应用数学、信息与计算科学、应用统计学、金融学等专业的专业必修方向课，也是电子与信息工程学院、电气工程与自动化学院、机械工程学院、经济与管理学院、材料科学与工程学院、纺织科学与工程学院、化学与化工学院、环境科学与工程学院、物理科学与技术学院所属的近40 个专业的专业选修课。

数学建模是将生活中的实际问题转化成数学问题，并运用数学软件加以计算用以解决实际问题的一门课程。

它不同于传统的数学课，是联系数学和实际应用问题的桥梁。

本课程系统地介绍数学建模和建模过程中的一些常用方法，通过课堂教学和讨论，使学生了解数学建模的特性，使学生在应用数学知识解决实际问题的能力有所提高，从而具备一定的优化与控制、预测预报、关联分析、分类与判别、综合评价的能力以及运用MATLAB 和Lingo 编程计算的能力。

用数据模型优化生产计划排程---增强AB高科技公司的竞争力摘要：本案例讲述了上海AB电子有限公司（以下简称：AB公司），根据某一客户的订单要求，如何排出合理生产计划排程。

当前AB公司客户数多达40几家；通过对某一客户订单的生产计划排程的制定，我们就能理解其他客户订单的生产计划排程是如何建立的，因为制定的指导思想和方法是类似的。

从而通过数据模型，我们能构建整个公司对各个客户的生产计划排程。

关键词：生产周期，交货期，机台转换, UPH, 产能0 引言生产计划排程制定是否科学合理，不仅直接关系到产品交货期，也会影响到公司生产效率、生产成本、资源利用效率等关键生产指标，最终会影响公司整体运营效益。

因此，科学规划生产计划排程对提高公司运营效益，增强公司竞争力，具有极其重要的意义。

1公司简介1.1公司背景AB公司位于上海浦东张江高科技园区，系国家集成电路专项工程后封装项目（国家908重点工程）。

公司成立于1995年，投资方为美国AIG集团，美国著名半导体公司Microchip公司及中国仪电控股公司。

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公司是国内最早的专业的集成电路封装测试工厂之一。

截止到2006年年底，封装产能达到12.5亿块/年；测试产能达到11亿块/年。

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公司的产品广泛应用于个人电脑、电视、电缆、数码像机、汽车、通讯器材及工业设备等领域。

公司分别被上海市科委、上海市外资委评为“高新技术企业”、“先进技术企业”“信得过企业”“出口荣誉企业”“外商独资先进企业”的称号。

与此同时，公司在国际客户给予的综合评定中多次名列第一，在国内外同行中树立了良好的信誉。

各种数学建模杂志及书籍●国际数学和计算机建模协会●International Association for Mathematical and Computer Modelling Home Page ●应用数学建模●Applied Mathematical Modelling (Elsevier)●应用数学和计算●Applied Mathematics and Computation●欧洲应用数学杂志●European Journal of Applied Mathematics (Cambridge)●IMA 应用数学杂志●The IMA Journal of Applied Mathematics (Oxford)●SIMA的应用数学杂志●SIAM Journal on Applied Mathematics●数学建模和数值分析杂志●Journal Mathematical Modelling and Numerical Analysis-Rairo●数学建模和分析杂志●Journal of mathematical modelling and analysis●美国工业和应用数学会评论● SIAM Review●大学生数学和应用杂志● The Journal of Undergradute Mathematics and Applications●高校应用数学学报●数学的实践与认识●书籍●《数学模型》,姜启源著，高等教育出版社。

●《数模教育与国际数模竞赛》，叶其孝主编，工科数学杂志。

●《数学建模竞赛辅导教材》一、二、三，叶其孝主编，湖南教育出版社。

●《数学建模竞赛教材》李尚志主编，江苏教育出版社。

●《微分方程模型》●《政治及其有关模型》●《离散和系统模型》●《生命科学模型》 W.F.lucas 主编，国防教育出版社。

●《数学模型计算机应用》，H.P.Williams著，国防工业出版社●《数学建模与实验》，南京地区工科院校数建模讨论班,河海大学出版社.●《数学模型基础》,王树禾著,中国科大出版社.●《数学建模精品案例》,朱道元著,东南大学出版社.●《数学模型与数学建模》,刘来福,曾文艺著,北京师范大学出版社.●《数学建模入门》,徐全智,杨晋浩,电子科大出版社.●《数学模型》,杨启帆,边馥萍,浙江大学出版社.●●●全国大学生数学建模竞赛资料(单价含邮费，前一单价为10本以上、后一单价为10本以下的单价)●*1. 2003年全国大学生数学建模竞赛优秀论文集 (《工程数学学报》2003年7期) 5元/本，10元/本2. 2002年全国大学生数学建模竞赛优秀论文集 (《工程数学学报》2003年5期) 5元/本，10元/本3. 2001年全国大学生数学建模竞赛优秀论文集 (《工程数学学报》2002年5期) 8.5元/本，10元/本4.《全国大学生数学建模竞赛优秀论文汇编(1992-2000)》5.《中国大学生数学建模竞赛》第二版（李大潜主编）●*6.《2003年美国大学生数学建模竞赛（MCM、 ICM）优秀论文集》●7.《2002年美国大学生数学建模竞赛(MCM)优秀论文集》(资料7包括2001、2002年交叉学科建模竞赛(ICM)优秀论文集)8.《大学生数学建模竞赛辅导教材（一）》（叶其孝主编）9.《大学生数学建模竞赛辅导教材（二）》（叶其孝主编）10.《大学生数学建模竞赛辅导教材（三）》（叶其孝主编）●11.《大学生数学建模竞赛辅导教材（四）》（叶其孝主编）。

数学建模案例精选数学建模是一门综合性学科，它将数学知识与实际问题相结合，通过建立数学模型来解决现实生活中的各种问题。

数学建模在工程、经济、生物、环境等领域都有着广泛的应用。

在本文中，我们将介绍一些数学建模的经典案例，希望能够帮助读者更好地理解数学建模的应用和意义。

首先，我们来看一个经典的物理建模案例，弹簧振子。

弹簧振子是物理学中常见的一个模型，它可以用来描述弹簧在受力作用下的振动情况。

通过建立弹簧振子的数学模型，我们可以求解出弹簧的振动频率、振幅等参数，从而更好地理解弹簧振子的运动规律。

其次，我们来看一个经典的经济建模案例，供求模型。

供求模型是经济学中常用的一个模型，它可以用来描述市场上商品的供给和需求关系。

通过建立供求模型的数学方程，我们可以分析市场上商品的价格变化、供给量和需求量的变化情况，从而为市场经济的运行提供理论支持。

再次，我们来看一个经典的生物建模案例，人口增长模型。

人口增长模型是生物学中常见的一个模型，它可以用来描述人口数量随时间的变化情况。

通过建立人口增长模型的数学方程，我们可以预测未来人口数量的变化趋势，从而为人口政策的制定提供科学依据。

最后，我们来看一个经典的环境建模案例，气候变化模型。

气候变化模型是环境科学中常用的一个模型，它可以用来描述地球气候系统的变化情况。

通过建立气候变化模型的数学方程，我们可以分析气候变化的规律，预测未来气候的变化趋势，从而为全球环境保护提供科学依据。

综上所述，数学建模在物理、经济、生物、环境等领域都有着广泛的应用，通过建立数学模型，我们可以更好地理解和分析现实生活中的各种问题，为实际问题的解决提供科学依据。

希望本文介绍的数学建模案例能够帮助读者更好地理解数学建模的应用和意义，激发大家对数学建模的兴趣，进一步深入学习和研究数学建模的理论和方法。

ISTP(Index to Scientific Technical Proceedings)---科技会议录索引网络版Inspec 物理、工程和信息领域文摘数据库Elsevier ScienceJohn Wiley出版社电子期刊Springer LINK---德国施普林格(Springer-Verlag)电子期刊Kluwer Online---800种电子期刊镜象服务网站Academic Press电子期刊WorldSciNet世界科学出版社电子期刊Maney ----英国Maney出版社电子期刊EBSCO科学技术/商业信息数据库ASME 美国机械工程师协会全文期刊netLibrary电子图书ProQuest博硕士论文全文数据库中国期刊网《中文期刊数据库》（文摘——结合馆藏目录使用）《中国专利数据库》万方数据库（学位论文）☆一次文献：收入近5000种期刊全文，50万余篇（1998-2006年4月）在国内召开的一级学术会议论文全文；600多家高校的42万余篇学位论文全文（1977-2006 ）☆二次文献：文摘型数据库——收入中国科技成果库，中外标准数据库，中国专利技术类数据库，台湾系列库，按学科分类的科技文献库（见第八章）☆事实型数据库——科技名人库，政策法规库，科教机构库，企业公司与产品数据库，论文引文类数据库CNKI《中国期刊全文数据库》《中国优秀博硕士学位论文全文数据库》《中国重要会议论文全文数据库》《中国重要报纸全文数据库》《中国基础教育知识仓库》《中国医院知识仓库》《中国企业知识仓库》《中国城市规划知识仓库》《中国科学文献计量评价数据库》EIEI—工程技术领域文摘及相关信息SCISCI(Science Citation Index 1995-)---科学引文索引网络版/ISI/UA_GeneralSearch_input.do?product=UA&search_mode=GeneralS earch&SID=3DPf146BklHfPL421I7&preferencesSaved=EBSCO/(学术期刊全文数据库:1975-的4700多种期刊；\商业资源全文数据库:2300多种全文电子期刊）图像检索EBSCO Animals：自然与动物方面的文献ERIC：教育资源文摘数据库MEDLINE：医学资源文摘数据库Newspaper Source：报纸资源全文数据库，每日更新Professional Development Collection：教育核心期刊全文数据库Regional Business News：美国区域商业文献全文数据库World Magazine Bank：主要英语国家的出版物全文汇总Communication & Mass Media Complete:通讯和大众传媒全文库American Humanities Index ：1000多种美国人文学科文献索引and or not ? * N WScience direct/Elsevier(收录了1995年以来的1800种全文电子期刊）Wiley InterScience化学、生命科学和医学以及工程技术Springer LinkKluwer Online/(1997-的800种学术期刊全文）生物（73）、医学（71）、法律（59）、心理学（57）PQDD博士论文全文数据库http://202.120.13.45/uminetLibrary电子图书( 3530种电子图书外，还可以免费访问3407种无版权图书)面向大学的读者Web of ScienceISI proceedingsISTP（科学技术会议录索引）ISSHP（社会科学及人文科学会议录索引）Engineering Index工程技术领域文献最权威,Ca化学类Inspec物理和工程领域7. 专业性全文数据库8. 本馆外文期刊馆藏查询电子书以网上书店的形式出现。

高职院校数学建模教学的研究作者：颜筱红粱东颖苏坚来源：《广西教育·C版》2013年第02期[摘要]把数学建模教学与教学改革、人才培养有机结合，通过创新理念、建构体系、改革模式、建立机制等手段，促进数学课程建设与教学改革，培养学生应用数学的能力和创新能力，全面提高学生的综合素质。

[关键词]数学建模高职院校研究[中图分类号]G [文献标识码]A[文章编号]0450-9889（2013）02C-0054-02数学建模是联系数学和实际问题的桥梁，是高职数学教学加强理论与实际相结合的重要载体。

开展全国大学生数学建模竞赛，旨在培养学生解决实际问题的能力和创新精神，全面提高学生的综合素质。

传统的高职数学教学体系和内容侧重于让学生掌握准确快速的计算方法和严密的逻辑推理，忽视了培养学生用数学工具分析解决实际问题的意识和能力，且应用的针对性不强，与专业需求脱节，这与培养生产、服务和管理第一线高端技能型人才的高职人才培养目标不符。

此外人们在解决实际问题时所困惑的是不能顺利地将以原始形式出现的实际问题转化为他们所熟悉的数学形式或数学模型，这正暴露了传统数学教学的一个薄弱环节。

近年来广西交通职业学院把数学建模教学与数学教学改革、人才培养有机结合，通过创新理念、建构体系、改革模式、建立机制等手段，促进数学课程建设与教学改革，培养学生应用数学的能力和创新能力，全面提高学生的综合素质。

一、转变观念。

建立“三位一体、四结合”的数学建模教学理念推进教学改革与创新，理念是先导。

我们针对一些高职院校数学建模教学定位不清，把工作重点放在全国大学生数学建模竞赛上，没有与教学改革、人才培养相结合的现象，提出数学建模教学应是一个有机的整体，要注重学生知识传授、能力培养和素质提高三位一体，要与数学教学改革相结合、与专业教学改革相结合、与实践活动相结合、与教师专业素质培养相结合。

二、以生为本，构建递进式、多载体的数学建模课程体系针对传统高职数学教学的缺陷和薄弱环节，我们借鉴外校先进经验并结合本校教学实际，把数学建模与数学实验课程引入课堂。

案例一: 买房问题— Buying a House背景资料：张丽和王跃夫妻俩工作时间不太长，在这座繁华的大都市里，他们还没拥有属于自己的房子。

近年城市中心的房地产价格上涨迅猛，所以他们改变了最初买新房子的计划，而准备买一所合适的二手房。

经过一段时间多方寻找，终于在城南了解到一处房产。

今天是星期六，他俩早早地如约去看了房子和环境。

房产中介人小李告诉他们，房屋标价是￥400,000，而有超过10个买主都有购买的意向。

如果他俩看好此房，应该在近一两天拍板，因为据他了解的情况，另外有一个买主可能今天下午会提出其买价。

所以小李给他俩建议，如有意买此房，则他们所提出的买价应该要很接近￥400,000。

中介人小李还告诉他们，根据他的中介交易经验，如果有另外的买主的报价也接近这个标价时，在有这种竞争报价时，一般情况下房主会通知中介人，要求买主在第二天提出他们的最终报价。

小张和小王为了作出这次重大的决策，他俩又再次详细考察了该房的所有情况。

小王决定采用决策树的方法来分析他的这次重大决策。

夫妻俩都认为￥400000的价格是比较公平合理的，同时，如果他们能最终买得此房的话，他们还为此房添加了￥10000的“情感价值”，也就是说，在他们夫妻俩的心中，该房值￥410000。

这样，假如最终他们能以￥390000成功地买到此房就相当于他们额外赚了￥20000。

当然，假如最终他们没能买到此房，那么这额外的附加值就为￥0。

最后，小王经过分析认为，他们是此房的唯一报价人的可能性很小，其概率估计只有0.3。

反复考虑之后，小王决定今天下午就给中介人小李回话。

接下来他准备分析三种报价：￥390000，￥400000或￥405000。

他估计，如果他是唯一的报价买主的话，那么￥390000能成交的概率是0.4，￥400000能成交的概率是0.6，而￥405000能成交的概率是0.9。

然而，不管怎么说，有很大的可能性是买主不只他一人。

这样，中介人小李就会告诉他：“房主要求第二天提出其最终报价”。

公安350兆PDT数字集群系统数模兼容整体解决方案一、行业需求近年来，350兆无线通信被广泛应用于各类警务工作，基本满足了各级公安机关“统一指挥、快速反应、协同作战”的通信要求，为公安机关扁平化指挥提供了有力的技术支持当前，公安机关大量装备的350兆无线通信系统设备采用的是模拟通信技术体制。

随着专业无线通信技术发展和公安体制的变革带来了警务工作需求的全面提升，根据公安部统一规划要求，全国各级公安机关350兆无线通信将全面启动，进入数字化转型期，数字化成为公安无线专网通信发展不可逆转的趋势，公安机关将面临模拟向数字的全面过渡。

如何在数模过渡时期，遵循公安部的“因地制宜，统筹兼顾，平滑过渡，稳步推进”的原则，确保在不影响现有350兆模拟通信网的运行，不影响公安机关日常警务工作的开展的前提下，通过逐步改造、建设，平稳过渡到PDT数字集群通信网，是全国各级公安机关都将面临和关心的重大的问题。

其中包括：已经大量投入的现有350兆模拟通信系统、移动台是否能继续使用？新的PDT数字集群系统、移动台是否能够兼容模拟？兼容的程度？和原有模拟系统是否能够互联互通等？二、解决方案ADT-6000是承联通信自主研发制造的新一代基于IP软交换，符合PDT数字集群规范的无线数字集群通信系统。

系统的开发结合了近二十年在专业移动通信领域的技术、产品积累和应急指挥调度通信保障的经验，充分吸取了现有模拟和数字集群系统的优点，详细探究网络规划、组网建设、使用习惯和使用过程各个环节，采用创新的技术手段和应用方法，确保平滑过渡。

1. S-6000数字模拟兼容交换中心全IP软交换的S-6000交换控制中心，可实现PDT数字集群、模拟集群和模拟常规的联网，并实现统一的网管和指挥调度，确保公安350无线通信网从模拟到数字的平滑过渡。

2. B-6000数字模拟兼容基站同时提供PDT和MPT控制信令，业务信道工作模式按需动态切换，便于PDT对讲机和MPT对讲机在双模基站内相互通信，确保原有对讲机在PDT数字系统继续使用，保护原有投资。

数学建模赛前学习内容1建模基础知识、常用工具软件的使用一、掌握建模必备的数学基础知识（如初等数学、高等数学等），数学建模中常用的但尚未学过的方法，如图论方法、优化中若干方法、概率统计以及运筹学等方法。

二、，针对建模特点，结合典型的建模题型，重点学习一些实用数学软件（如Mathematica 、Matlab、Lindo 、Lingo、SPSS）的使用及一般性开发,尤其注意同一数学模型可以用多个软件求解的问题。

例如, 贷款买房问题: 某人贷款8 万元买房，每月还贷款880.87 元，月利率1％。

（1）已经还贷整6 年。

还贷6 年后，某人想知道自己还欠银行多少钱，请你告诉他。

（2）此人忘记这笔贷款期限是多少年，请你告诉他。

这问题我们可以用Mathematica 、Matlab、Lindo 、Lingo 等多个不同软件包编程求解2 建模的过程、方法数学建模是一项非常具有创造性和挑战性的活动，不可能用一些条条框框规定出各种模型如何具体建立。

但一般来说，建模主要涉及两个方面：第一，将实际问题转化为理论模型；第二，对理论模型进行计算和分析。

简而言之，就是建立数学模型来解决各种实际问题的过程。

这个过程可以用如下图1来表示。

3常用算法的设计建模与计算是数学模型的两大核心，当模型建立后，计算就成为解决问题的关键要素了，而算法好坏将直接影响运算速度的快慢答案的优劣。

根据竞赛题型特点及前参赛获奖选手的心得体会，建议大家多用数学软件（Mathematica,Matlab,Maple,Lindo,Lingo,SPSS 等）设计算法，这里列举常用的几种数学建模算法.（1）蒙特卡罗算法（该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，是比赛时必用的方法，通常使用Mathematica、Matlab 软件实现）。

（2）数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法（比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab 作为工具）。