中科院矩阵分析_第五章

本课程的说明：矩阵分析理论是在线性代数的基础上推广的（数学是在已有的基础理论上模仿，推广而发展的。

要大胆猜想，小心证明！） 矩阵分析理论的组成：四部分：一、基础知识（包括书上的前三章内容）重点、难点：约当标准形与多项式矩阵，矩阵的分解等； 二、矩阵分析（第四章：矩阵函数及其应用）重点、难点：范数，矩阵幂级数，微分方程组； 三、矩阵特征值的估计（第五章）重点、难点：Gerschgorin 圆盘定理；广义逆矩阵； 四、非负矩阵（第六章）（注：不讲）重点、难点：基本不等式，素矩阵，随机矩阵等。

§1 线性空间与度量空间一、线性空间： 1．数域：Df 1：若复数的一个非空集合P 含有非零的数，且其中任意两数的和、差、积、商（除数不为0）仍在这个集合中，则称数集P 为一个数域 eg 1：Q （有理数），R （实数），C （复数），Z （整数），N （自然数）中哪些是数域？哪些不是数域？ 2．线性空间— 设P 是一个数域，V 是一个非空集合，若满足：<1> 可加性—指在V 上定义了一个二元运算（加法）即：V ∈∀βα, 经过该运算总存在唯一的元素V ∈γ与之对应，称γ为α与β的和，记βαγ+= 并满足：① αββα+=+② )()(γβαγβα++=++ ③ 零元素—＝有θαθααθ+∈∀∈∃Vt s V .（线性空间必含θ）。

④ αβαβθβααβ-+∈∀∈∃＝记的负元素为＝有对V V<2> 数积：（数乘运算）—在P 与V 之间定义了另一种运算。

即V P k ∈∈∀α,经该运算后所得结果，仍为V 中一个唯一确定的元素（存在唯一确定的元素V ∈δ与之对应），称δ为k 与α的乘积。

记为αδk =并满足：① αα=⋅1② P l k ∈∀, αα)()(kl l k = ③ P l k ∈∀, αααl k l k +=+)( ④ γβα∈∀, βαβαk k k +=+)(则称V 为数域P 上的线性空间（向量空间）记为)...(∙+P V 习惯上V 中的元素—向量， θ—零向量， 负元素—负向量结论：可以证明，线性空间中的零向量是唯一的，负元素也是唯一的，且有：θα=⋅0 θθ=⋅k αα-=⋅-)1( )(βαβα-+=-eg2：}{阶矩阵是n m A A V ⨯= P —实数域R按照矩阵的加法和数与矩阵的乘法，就构成实数域R 上的线性空间，记为：n m R ⨯同样，若V 为n 维向量，则可构成R 上的n 维向量空间n R —线性空间。

矩阵分析及其应用 3.1矩阵序列定义3.1设矩阵序列｛A (k )｝,其中A(k)=( a (k )) C m n ,当k a j" a u 时，称矩阵序列｛A (k)｝收敛，并称矩阵 A=( a ij )为矩 阵序列｛A (k)｝的极限，或称｛A (k)｝收敛于A,记为lim A (k)A 或 A (k) Ak不收敛的矩阵序列称为发散的。

由定义，矩阵序列 A (k )发散的充要条件为存在 j 使得数列a (k)发散。

类似地，我们可以定义矩阵收敛的 Cauchy 定义 定义3.1'矩阵序列｛A (k)｝收敛的充要条件为 对任给>0存在N()，当k, l N()时有 ||A (k) A (l)|| <其中||.|为任意的广义矩阵范数。

sin 』)n nsin(k)如果直接按定义我们因为求不出 A (n)的极限从而从而只要I 充分大，则当m, n > l 时就有sin(k)k 2这样A (l)收敛。

定理3.1 A (k) A 的充要条件为 ||A (k) A|| 0证明：利用广义矩阵范数的等价性定理，仅对 范数可以证明。

即c 1ILA (k) A||||A (k) AII C 2 ||A (k) AII 性质 0 若 A (k)A ，则 ||A (k) II IIAII 成立。

性质 1. 设 A (k)A m n ，B (k) B m n , 则A (k)+ B(k) A+ B ， ,C 性质 2. 设 A (k)A m n ，B (k )B n l ,贝UA (k)B (k)A B证明：由于矩阵范数地等价性，我们可以只讨论相容的 矩阵范数。

||A (k )B (k) A B|| || A (k) B (k) A B (k)||+||AB (k)A B|||| A (k) A|| ||B (k)||+||A||||B (k) B||例 1 A (n)k m 1k(k 1)相反，由于注意||B(k)|| ||B||，则结论可得。

第五章 范数、序列、级数（详解）5-1 解：需要验证给出的公式满足矩阵范数的四个性质。

非负性与齐次性容易验证，先证三角不等式。

若()m nij b C⨯=∈B ，则()11111111mnij iji j mnij iji j mnmnij iji j i j a b a b a b ========+=+≤+=+=+∑∑∑∑∑∑∑∑A B A B最后证矩阵乘法的相容性。

若()m nij a C⨯=∈A ，()m n ij b C ⨯=∈B ，则11111111111111()()()()pmnik kji j k pmnik kji j k ppmnik kji j k k p pm n ik kj i k j k a b a b a b a b ===============≤⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦==∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑AB AB因此所给计算公式的确是矩阵范数。

5-2 解：因为1122222111(),()m nnij i Fi j i a x x =====∑∑∑A根据H lder ö不等式 22211221112222111()()()()m nij ji j mn n ij j i j j m nnij j FFi j j a x a x a x =========⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦==∑∑∑∑∑∑∑∑Ax Ax于是22xF≤A Ax5-3 解：取(1,0,,0)T =α ，设12(,,,)T n x x x =x ，则1222*1()nHi i x ====∑x x αx范数是矩阵理论的一个重要概念，在许多方面有广泛应用。

5-4 解：1(1)01k k ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，故lim kk →∞A 发散。

(2)A 的特征值12==0.91λλ<，故k A 收敛，且lim 0k k →∞=A 。

1100(3)00.90.9000.9k kk k k -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 由于lim 0.90kk →∞=，1lim 0.90k k -→∞=故kA 收敛，且100lim 000000k k →∞⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A(4)由于10.91=<A ，k A 收敛，且lim 0k k →∞=A5-5 解：由于111()()()0234λλλλ-=---=E A ,所以A 有三个不同特征值123111,,234λλλ===。

矩阵分析及其应用3.1矩阵序列定义3.1设矩阵序列｛应)｝,其中A«)=(#))£Cms,当k—oo, 佝时，称矩阵序列｛A00｝收敛，并称矩阵A=(佝)为矩阵序列｛A00｝的极限,或称｛A00｝收敛于A,记为lim A a)= A或A,k)-> A ks不收敛的矩阵序列称为发散的。

由定义，矩阵序列A(k)发散的充要条件为存在ij使得数列站发散。

类似地，我们可以定义矩阵收敛的Cauchy定义定义31矩阵序列｛A00｝收敛的充要条件为对任给£>0存在N(E),当k,l> N(E)时有IIA(k)-A(/)ll < £其中11.11为任意的广义矩阵范数。

例 1 A(n)e~nsin(-)n y，sin(R) k=l K 7如果直接按定义我们因为求不出A㈤的极限从而很难应用定义3.1证明收敛。

相反，由于t^< t^<v 1/m从而只要/充分大，则当m, n > /时就有nz sin(A)这样A")收定理3.1 A(k)->A的充要条件为HA'10-AII T O证明：利用广义矩阵范数的等价性定理，仅对co范数可以证明。

即ci IIA(k) -AIL < IIA(k) -All< c2 IIA(k) -AIL性质 1.设A(k,—> A mxn, B,k,—> B mxn>则a- A(k)+P • B(k) -> a- A+P B, V a,PeC性质2.设A(k)—> A mxn, B,k)—> B nx/,则A(k)由如一A B证明：由于矩阵范数地等价性，我们E以只讨论相容的矩阵范数。

IIA(k).B(k)-A-BII < II A(k) -B(k) -A-B(k)ll+IIAB(k)- A-BII<IIA(k)-AII-IIB(k)ll+IIAIMIB(k)-BII注意IIB(k)||_||BII,则结论可得。

第五章特征值的估计及对称矩阵的极性本章主要讨论数值代数中的三个特殊理论，即特征值的估计广义特征值问题实对称矩阵(一般是Hermite矩阵)特征值的极小极大原理，其次也涉及到一些特征值和奇异值的扰动问题，最后简要地介绍矩阵直积的一些性质及其在线性矩阵方程求解方面的应用。

这几方面的内容，在矩阵的理论研究与实际应用当中都有着相当重要的作用。

5.1特征值的估计一、特征值的界首先给出直接估计矩阵特征值模的上界的一些方法定理 5.1 设A=(a rs) R n X1,令1 , ,M= ma彷总a sr|若表示A任一特征值，则的虚部Im()满足不等式|Im( )| M n(n21)|Im( )| ||A A T||2 / 2|Im( )| ||A A T||1n /2.证明：设x+i y为对应于的A的特征向量, 则A(x+i y)=( + i)(x+i y)其中=+ i.显然x,y为实向量，且x,y为线性无关的向量。

经整理A(x,y)=(x,y)B,其中B= 从而(x,y) T A(x,y)=(x,y) T(x,y)B展开有i 1 j iTT X y X X T T y yy X (求等式两边矩阵的对角元之和，可得 (x T x+y T y)=x T Ax+y T Ay(1) 等式两边矩阵的左上角单元减去右下角单元 可得：(x T x+y T y)=x T (A A T )y1) . 记 B=A A T ,则 |x T By| ||x||2||B||2||y||2 从而 1 1 1凶|2||B||2||y||2 /((||x||2)2 +(||y|2)2)利用 ab/(a 2+b 2) 1/2 可得 | | ||B||2 /2.2) .由于 |x T By| ||B X ||I ||y|| ||B||i ||X ||I ||y||从而 | | ||B||i ||x||i ||y|| /((||X |2)2 +(||y||2)2)易证明 ||x||i ||y|| /((||X ||2)2 +(||y||2) 2)n /2.(显然，不妨假设(||X ||2)2 +(||y||2)2=1,设HyH =t=cos ()，则y 必为t e 的形式(为什么？) 从而极值转化为求解如下最大值问题：max ||X ||1,满足约束(||X ||2)2=1 t 2这样有均值不等式 ||x|h i n ||X ||2= 、、n (1 t 2)1/2,从而我们需要求解t(1 t 2)1/2的最大值，设t=cos() 可得t(1 t 2)1/2的最大值为1/2.从而得证。

第五章 矩阵分析及其应用知识要点：1、矩阵序列（收敛性，有界性，四则运算，收敛矩阵）2、矩阵级数（绝对收敛，幂级数，收敛半径）3、矩阵函数（定义，利用Cayley Hamilton -定理的级数求和法，利用Jordan 标准型的相似变换法，利用矩阵谱的待定系数法）4、矩阵微积分（单变量函数矩阵的微分与积分，矩阵函数的微分与积分，矩阵指数函数）5、矩阵分析的应用（常系数线性微分方程组，变系数线性微分方程组，2元信号检测，匹配滤波，梯度分析与最优化）§5.1 矩阵序列一、矩阵序列收敛的概念定义1：设有矩阵序列()(),1,2,k n nk ij A a Ck ⨯=∈= ，若当k →∞时，0k A A -→，则称矩阵序列{}k A 收敛于极限()n nij A a C ⨯=∈，记作k A A →。

不收敛的矩阵序列称为发散的。

定理1：k A A →的充要条件是()k ij ij a a →，即按元素位置收敛。

注：若以定理的结论为矩阵序列收敛的定义，则有结论：存在某矩阵范数⋅，使得k →∞时，0k A A -→。

推论1：0k A →的充要条件是()0k ij a →。

二、矩阵序列收敛的性质性质：设k A A →，k B B →，则有 1、,C αβ∀∈，k k A B A B αβαβ+→+； 2、k k A B AB →；3、11k A A --→（假设1A -存在）。

定义2：如果存在常数0M >，使得对一切k 都()k ij a M <，则称矩阵序列{}k A 有界。

定理2：收敛的矩阵序列必有界。

定理3：有界矩阵序列{}k A 必有收敛的子序列{}s k A 。

定理4：矩阵序列{}k A 有界的充分必要条件为存在常数0M >，使得k A M ≤。

三、收敛矩阵定义3：设A 为方阵、且当k →∞时有0k A →，则称A 为收敛矩阵。

定理5：0k A → (k →∞)的充要条件是A 的谱半径()1A max ρλ=<，即所有特征值的模小于1。

第五章课后习题解答1. 设000c c=cc c c A .讨论c 取何值时A 为收敛矩阵. 解：由于()()22c cλ=cc c c c c λλλλλ-----=+---3E A ，所以A 的特征值为12c λ=，23c λλ==-，于是=A ()2r c ，而矩阵A 收敛的充要条件是<A ()1r 即1122c -<<. 2. 若()lim k k →∞=AA ，证明()lim k k →∞=A A ，其中(),k m n ⨯∈A A C ， 为m n ⨯C 中的任何一种矩阵范数，并问该命题的逆命题是否成立，为什么？证：由于()()lim lim 0k k k k →∞→∞=⇔-=AA A A ,再利用矩阵范数的三角不等式推知()()k k -≤-AA A A ，所以有()lim 0k k →∞-=A A ，即()lim k k →∞=AA .该命题的逆命题不成立，例如取⎛⎫- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ()1(1)10k k k ，⎛⎫= ⎪⎝⎭A 1010，并取矩阵范数为Frobenius范数，则有→∞→∞===A A ()lim limk k k ，但→∞A ()lim k k 不存在，所以→∞≠AA ()lim k k .3. 设()()()(),,lim lim k m n k n l k k k k ⨯⨯→∞→∞∈∈==AC B C A A,B B,证明()()lim k k k →∞=A B AB .证：→∞→∞=⇔-=A BAB A B AB ()()()()lim lim 0k k k k k k ，利用矩阵范数的性质有-=-+-A BAB A B AB AB AB ()()()()()()k k k k k k≤-+-AA B A B B ()()()()()k k k≤-+-B A A A B B ()()()()k k k由已知条件→∞→∞==AA B B ()()lim ,lim k k k k 及第2题结论知→∞-=A A ()lim 0,k k→∞-=B B ()lim 0k k ，→∞=B B ()lim k k .由此可见上面不等式的右边趋于0， 所以→∞-=A B AB ()()lim 0k k k .4. 设()()()1lim ()k n n k k k ⨯-→∞∈=AC ,A A,A 和1-A 都存在，证明()11lim()k k --→∞=A A .证：记adj A 为矩阵A 的伴随矩阵，ij A 为A 中元素ij a 的代数余子式，则()()1()adj ()det k k k -=A A A， 其中adj ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A A A A A A A A A A ()()()11211()()()()12222()()()12.k k k n k k k k n k k k nn nn易知(k)ij A 是A ()k 中元素的1n -次多项式，由多项式函数的连续性知(k)ij ij =A →∞A lim k ，故adj adj →∞=AA ()lim k k .同理d e t A ()k 是A ()k 中元素的n 次多项式，所以det det →∞=≠AA ()lim 0k k ，于是adj adj det det --→∞→∞===A A A A AA ()()11()lim ()lim k k k k k . 5. 设矩阵级数∞=∑A ()k k收敛（绝对收敛），证明()k k ∞=∑PAQ 也收敛（绝对收敛），且 ()()00k k k k ∞∞==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑PA Q P A Q , 其中()k m n s m n l ⨯⨯⨯∈∈∈AC ,P C ,Q C .证：记 ()()()0()N NN k k k k ====∑∑SPA Q P A Q ,于是()()()()0lim (lim )()N k N k k N N k k k ∞∞→∞→∞======∑∑∑PAQ SP A Q P A Q可见若∞=∑A ()k k收敛，则()k k ∞=∑PAQ 也收敛.如果()k k ∞=∑A绝对收敛，则()0k k ∞=∑A 收敛.又由于≤≤PA Q PA Q A ()()()k k k c ，其中c 是与k 无关的正常数，由比较判别法知()k k ∞=∑PA Q 收敛，故()0k k ∞=∑PA Q 也绝对收敛.6. 讨论下列幂级数的敛散性：⑴ 2117113kk k ∞=⎛⎫ ⎪--⎝⎭∑; ⑵ 018216kkk k ∞=-⎛⎫⎪-⎝⎭∑. 解: (1) 设1713⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦A可求得A 的特征值为221-==λλ，所以=A ()2r . 幂级数∑∞=121k k x k的收敛半径为1)1(lim lim 221=+==∞→+∞→k k a a r k k k k . 由=>A ()2r r 知矩阵幂级数211k k k∞=∑A 发散.(2) 设1821-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦B ，可求得B 的特征值为31-=λ，52=λ，所以()=B 5r .又因幂级数∑∞=06k kk x k 的收敛半径 6166lim lim 11=+==+∞→+∞→k k a a r k k k k k k ,<B ()r r ，所以矩阵幂级数06kkk k ∞=∑B 绝对收敛. 7. 计算00.10.70.30.6kk ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑.解：设0.10.70.30.6⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，由于0.91∞=<A ，故矩阵幂级数0kk ∞=∑A 收敛，且其和为1472()393-⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦E A . 8. 设,n n⨯∈=A B C,AB BA ，证明sin()sin cos cos sin cos()cos cos sin sin +=++=-A B A B A B,A B A B A B .证：由=AB BA ，有e e e +=A B A B，()()11sin()()()22i i i i i i e e e e e e i i +-+--+=-=-A B A B A B A B A B 1[(cos sin )(cos sin )(cos sin )(cos sin )]2i i i i i=++---A A B B A A B Bsin cos cos sin =+A B A B同理可证：cos()cos cos sin sin +=-A B A B A B .9. 设210001010⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，求te A ，sin t A .解：()()()31120λλλλ-=+--=E A求得A 的特征值为11-=λ，12=λ，23=λ，于是存在可逆矩阵111310310-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦P ，101110336642--⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦P 使得1112--⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦P AP . 再根据矩阵函数值公式得 ()21,,t t t t e diag e e e --=A P P⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--++---=------t t tt t t t t t t t tt t t e e e e e e e e e e e e e e e 33330333303234661222 ()()1sin sin ,sin ,sin 2t diag t t t -=-A P P=sin 24sin 22sin 2sin 24sin 1006sin 606sin 0tt t t t t t --⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦10. 设126103114--⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭A ，求,cos .t e t A A解：由 ()λλλλλ+--=-=-=-E A 331261310114得A 的特征值1λ=，解齐次线性方程组3()0-=A E x ，即2261130113x --⎛⎫⎪--= ⎪ ⎪--⎝⎭得1λ=的两个无关特征向量12(1,1,0),(2,1,1)T T αα=-=.又对2α，因非齐次方程组322()βα-=A E 相容，故可求得解2(1,0,0)T β=-.由122,,ααβ构造可逆矩阵121110010--⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P ，1011001113--⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭P ，使 1100011001-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P AP 为A 的Jordan 标准形.于是1001210001112260110000113000100011313t tt t t t t t t t e e t t t e P e te P e te e t t t e e t t t -⎛⎫⎛⎫-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A1cos 002sin cos 2sin 6sin cos 0cos sin sin cos sin 3sin 00cos sin sin cos 3sin t t t tt t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t -+-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A P P .11. 设1000110001100011⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，求ln A . 解：方法一：事实上，可证明()[()]TTf f =A A 成立. 本题中TA 为一约当标准形矩阵，由()ln()f =A A 知(1)0,(1)1,(1)1,(1)2f f f f ''''''===-=.所以(1)(1)110(1)(1)012!3!2310(1)11(1)(1)01ln()[ln()]102!2201(1)(1)11100(1)32TTT T f f f f f f f f f f '''''⎛⎫⎛⎫⎛⎫'-⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪''⎪⎪ ⎪'-====-⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪' ⎪⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A A方法二：对A 求得P ，使得11111111-⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦P AP J ，再得到1000010001ln ln 1002111032-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⋅⋅=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A P J P .12. 设()t A 和1()t -A 均为n 阶可微矩阵，证明111()()()()d t d t t t dt dt ---⎛⎫=- ⎪⎝⎭A A A A .证：对1()()t t -=A A E 两端关于t 求导数可得11()()()()0d t d t t t dt dt--⋅+⋅=A A A A . 两边左乘1()t -A 并移项即得111()()()()d t d t t t dt dt ---⎛⎫=- ⎪⎝⎭A A A A .13. 设()(),T m n f tr ⨯=∈X X X X R ，求dfd X. 解: 这是数量函数对矩阵变量的导数.设()ijm nx ⨯=X ，则()()2211m nT st Fs t f x tr =====∑∑X XX X . 又因为()21,2,,;1,2,,ij ijfx i m j n x ∂===∂ ，所以 ()22ij m n ijm ndf f x d x ⨯⨯⎛⎫∂=== ⎪ ⎪∂⎝⎭X X . 14. 设,,()m nn F ⨯∈∈=A Rx R x Ax ，求()(),dF dF d d Tx x x x . 解：设 ()ijm na ⨯=A ,12(,,,)Tn x x x =x , 由于111(),,Tn nk k mk k k k F a x a x ==⎛⎫== ⎪⎝⎭∑∑x Ax所以()1,,,T i mi i F a a x ∂=∂ ()11111,,,,,,,,.TTm n mn n dF F F a a a a d x x ⎛⎫∂∂== ⎪∂∂⎝⎭x 而 11111,,n T nm mn a a dF F Fd x x aa ⎡⎤⎛⎫∂∂⎢⎥=== ⎪⎢⎥∂∂⎝⎭⎢⎥⎣⎦Ax .15. 设(),det 0,det n n f ⨯∈≠=X R X X X ．证明1(det )()T dfd -=X X X. 证：设()ijn nx ⨯=X ，记ij x 的代数余子式为ij X ，X 的伴随矩阵为adj X .将det X 按第i 行展开，得11()i i ij ij in in f =det x x x =++++X X X X X ，所以(),1,2,,ij ijfi j n x ∂==∂X ，从而有()()()()()11det (det )T T Tij n n df adj d --⨯====X X X X X X X.。