第五章 特征值的估计及对称矩阵的极性
本章主要讨论数值代数中的三个特殊理论，
即
特征值的估计
广义特征值问题
实对称矩阵（一般是Hermite 矩阵）特征值的
极小极大原理，其次也涉及到一些特征值
和奇异值的扰动问题,最后简要地介绍矩阵
直积的一些性质及其在线性矩阵方程求解
方面的应用。这几方面的内容，在矩阵的
理论研究与实际应用当中都有着相当重要
的作用。
5.1特征值的估计
一、特征值的界
首先给出直接估计矩阵特征值模的上界的
一些方法
定理5.1 设A=(a rs )∈R n×n ,令 M=||2
1max ,1sr rs n s r a a -≤≤ λ若表示A 任一特征值，则λ的虚部Im(λ)
满足不等式
2
)1(|)Im(|-≤n n M λ |Im(λ)|≤||A -A T ||2 / 2
|Im(λ)|≤||A -A T ||1
⋅/2.
证明：设x+i ⋅y 为对应于λ的A 的特征向量，
则 A(x+i ⋅y)=(α+β⋅i)(x+i ⋅y)
其中λ=α+β⋅i.显然x,y 为实向量，且x,y 为
线性无关的 向量。
经整理A(x,y)=(x,y)B,
其中B=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-αββα
。 从而(x,y)T A(x,y)=(x,y)T (x,y)B
展开有
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Ay y Ax y Ay x Ax x T T T T =α⋅⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛y y y x y x x x T T T T + β⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛--x y y y x x y x T T T T (求等式两边矩阵的对角元之和，可得
α(x T x +y T y )=x T Ax +y T Ay (1)
等式两边矩阵的左上角单元减去右下角单元
可得：
β(x T x +y T y )=x T (A -A T )y
1).
记B=A -A T ,则 |x T By|≤||x||2 ⋅||B||2⋅||y||2
从而 |β|≤||x||2 ⋅||B||2⋅||y||2 /((||x ||2)2 +(||y ||2)2)
利用ab /(a 2+b 2)≤1/2 可得 |β|≤||B||2 /2.
2).
由于|x T By|≤||Bx||1 ⋅||y||∞≤||B||1⋅||x||1 ⋅||y||∞
从而 |β|≤||B||1 ⋅||x||1 ⋅||y||∞ /((||x ||2)2 +(||y ||2)2)
易证明 ||x||1 ⋅||y||∞ /((||x ||2)2 +(||y ||2)2)
/2.
(显然，不妨假设(||x ||2)2 +(||y ||2)2=1,
设||y ||∞=t =cos(α), 则y 必为t ⋅ e j 的形式（为什么？）， 从而极值转化为求解如下最大值问题：
max ||x||1, 满足约束(||x ||2)2=1-t 2
这样有均值不等式||x||1
x ||2
= -t 2)1/2,
从而我们需要求解t (1-t 2)1/2的最大值，设t =cos(α) 可得t (1-t 2)1/2的最大值为1/2. 从而得证。)
因此 |β|≤||B||1
3). 由于b ii =0, i =1,2,…,n , b ij = -b ji ,
因此 |x T By|2=|11()n ij i j j i i j i b
x y x y -=>⋅⋅-∑∑|2
≤(2M )221||n i j j i i j i x y x y =>⎛⎫- ⎪⎝⎭
∑∑
(利用(a 1+a 2+…+a n )2≤ n ((a 1)2+(a 2)2+…+(a n )2)
≤(2M )2 (n (n -1)/2)
21||n i j j i i j i x y x y =>⎛⎫- ⎪⎝⎭
∑∑
≤(2M )2 (n(n -1)/2)⋅
2222111(2)2n n i j i j i j j i i j x y x x y y x y ==-+∑∑
=M 2 (n (n -1))⋅2⋅[ (x T x)⋅(y T y )- (x T y)2]
利用[ (x T x)⋅(y T y )- (x T y)2]≤(x T x)⋅(y T y )可得
|β|≤M (2n (n -1))1/2 (x T x)1/2⋅(y T y )1/2 /(x T x +y T y )
≤M (2n (n -1))1/2 / 2
=M (n (n -1)/2)1/2
4). |x T By|=|11()n ij i j j i i j i b
x y x y -=>⋅⋅-∑∑|
≤1/221||n
ij i j i b =>⎛⎫ ⎪⎝⎭∑∑1/221||n i j j i
i j i x y x y =>⎛⎫- ⎪⎝⎭
∑∑ 而 1/221||n i j j i i j i x y x y =>⎛⎫- ⎪⎝⎭
∑∑≤(x T x)1/2⋅(y T y )1/2 由此可以有|β|≤(1/2)1/221||n
ij i j i b =>⎛⎫ ⎪⎝⎭
∑∑ 思考题：对于(1)式，利用定理推导的类似
技术，求出关于|α|的界。
推论 实对称矩阵的特征值都是实数。
事实上，当A 这实对称矩阵时，M =0.
由定理5.1可得Im(λ)=0,即λ为实数。
引理1 设B ∈C n×n ,列向量y ∈C n 满足||y||2=1,
则|y H By|∞≤m B ||||.
定理5.2 设A ∈C n×n ，则A 的任一特征值λ满足
|λ|≤||A||∞m
∞+≤
m H A A ||||2
1|)Re(|λ (5.1.3) ∞-≤m H A A ||||21|)Im(|λ (5.1.4) 推论: Hermite 矩阵的特征值都是实数;
反Hermite 矩阵的特征值为零或纯虚数。
事实上，当A 为Hermite 矩阵时，由式（5.1.4） 知Im(λ)=0,即λ为实数；
当A 为反Hermite 矩阵时，由式（5.1.3）知
Re(λ)=0,即为λ为零或纯虚数。
