【优化方案】高考数学总复习 第2章§2.4函数的奇偶性与周期性精品课件 理 北师大版

解析 由已知，可得 f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2] ＝－f(x＋1 2)＝－－1f(1x)＝f(x)．
故函数的周期为 4. ∴f(105.5)＝f(4×27－2.5)＝f(－2.5)．
∵2≤2.5≤3，由题意，得 f(2.5)＝2.5.
∴f(105.5)＝2.5.
答题规范
02 等价转换要规
(16 分)函数 f(x)的定义域 D＝{x|x≠0}，且满足对于任意 x1， x2∈D.有 f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)． (1)求 f(1)的值； (2)判断 f(x)的奇偶性并证明； (3)如果 f(4)＝1，f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，且 f(x)在(0，＋∞) 上是增函数，求 x 的取值范围．
17<x<0}．
函数的奇偶性与周期性
例 3 设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且对任意实数 x，恒有 f(x＋2)＝－f(x)．当 x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2. (1)求证：f(x)是周期函数； (2)当 x∈[2,4]时，求 f(x)的解析式； (3)计算 f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 011)．
(3)由4|x－＋x32|≥－03≠0 ，得－2≤x≤2 且 x≠0.
∴f(x)的定义域为[－2,0)∪(0,2]，关于原点对称．
∴f(x)＝(x＋4－3)－x23＝
4－x2 x.
∴f(x)＝－f(－x)，∴f(x)是奇函数．
探究提高
判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： (1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分 条件，所以首先考虑定义域对解决问题是有利的； (2)判断 f(x)与 f(－x)是否具有等量关系．在判断奇偶性的运 算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－ x)＝0(奇函数)或 f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立． 分段函数指在定义域的不同子集有不同对应关系的函数，分 段函数奇偶性的判断，要分别从 x>0 或 x<0 来寻找等式 f(－ x)＝f(x)或 f(－x)＝－f(x)成立，只有当对称的两个区间上满 足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性．

(2)f (x) (x 1) 1 x ;
1 x
思维启判迪断函数的奇偶性,应先检查定义域是 否关于原点对称,然后再比较f(x)与f(-x)之间是否 相等或相反.
解 (1) 1 x 0 1 x 1, 定义域关于原点对称. 1 x
又f (x) lg 1 x lg(1 x )1 1 x 1 x
函数f(x)在R上恒有f(x)=f(x+1)+f(x-1),且f(0)=1,f(1)=2,求f(2012)的值. 【解析】∵f(x)=f(x+1)+f(x-1), ∴f(x+1)=f(x+2)+f(x), ∴f(x+2)=-f(x-1), ∴f(x+3)=-f(x), ∴f(x+6)=-f(x+3)=f(x), ∴f(x)是周期为6的周期函数. 又∵f(x+1)=f(x)-f(x-1),
(1)证明 ∵函数定义域为R,其定义域关于原点对称. ∵f（x+y）=f（x）+f（y），令y=-x, ∴f(0)=f(x)+f(-x).令x=y=0, ∴f(0)=f(0)+f(0),得f(0)=0. ∴f（x）+f（-x）=0，得f(-x)=-f(x), ∴f(x)为奇函数. （2）解 设x,y为正实数， ∵f（x+y）=f（x）+f（y）， ∴f（x+y）-f（x）=f（y）. ∵x为正实数，f（x）<0, ∴f(x+y)-f(x)<0,
lg 1 x f (x), 1 x
故原函数是奇函数.
(2) 1 x ≥0且1-x≠0 -1≤x<1, 1 x
2.(2009·陕西文，10)定义在R上的偶函数f(x)，对
任意x1,x2∈［0,+∞)(x1≠x2)，有f (x2 ) f (x1) 0, x2 x1

第四节
函数的奇偶性ห้องสมุดไป่ตู้周期性
一、函数的奇偶性
二、周期性 1．周期函数 对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内 的任何值时，都有 f(x＋T)＝f(x) ，那么就称函数y＝f(x)为周期函数， 称T为这个函数的周期． 2．最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中 存在一个最小 这个 最小正数 就叫做f(x)的最小正周期． [疑难关注] 1．奇偶性与单调性 的正数，那么
)
1 A．－2 1 C.4
1 B．－4 1 D.2
解析：∵f(x)是周期为 2 的奇函数，
5 5 1 1 ∴f－2＝f－2＋2＝f－2＝－f2
1 1 1 ＝－2×2×1－2＝－2.

答案：A
3 ． (2012 年高考重庆卷 ) 若 f(x) ＝ (x ＋ a)(x － 4) 为偶函数，则实数 a
f(x－1)的图象关于点(1,0)对称且f(4)＝4”．
求f(2 012)的值． 解析： 由y＝f(x－1)的图象关于点 (1,0)对称可知，函数f(x)的图象 关于点 (0,0) 对称，即函数 f(x) 为奇函数，在已知等式中取 x ＝－ 3 ，得 f(3)＋f(－3)＝2f(3)，所以f(－ 3)＝f(3)．又f(－ 3)＝－f(3)，因此f(3)＝0， 所以f(6＋x)＋f(x)＝0. f(12＋x)＋f(6＋x)＝0.故f(12＋x)＝f(x)． ∴f(x)的一个周期为12， ∴f(2 012)＝f(12×168－4)＝f(－4)＝－f(4)＝－4.
2
) B．y＝x－1 1 D．y＝x 3
解析：函数为偶函数，则f(－x)＝f(x)，故排除B，D.C选项中y＝ x2为偶函数，但在(0，＋∞)上单调递增，不满足题意．故选A.

F(－x)＝f(－x)＋f(x)，则F(－x)＝F(x)，所以 为偶函数 － ＝ － ＋ ， 为偶函数. － ＝ ，所以f(x)为偶函数 答案： 答案：D
2.对任意实数 ，下列函数中的奇函数是 对任意实数x， 对任意实数 A.y＝2x－3 ＝ － C.y＝ln5x ＝ B.y＝－ 2 ＝－3x ＝－ D.y＝－ ＝－|x|cosx ＝－
1.周期函数问题，在考题中常有两类表现形式：一类是研 周期函数问题，在考题中常有两类表现形式： 周期函数问题 究三角函数的周期性；一类是研究抽象函数的周期性 究三角函数的周期性；一类是研究抽象函数的周期性. 抽象函数的周期常常应用定义f(T＋x)＝f(x)给予证明， 给予证明， 抽象函数的周期常常应用定义 ＋ ＝ 给予证明 证明时多从中心对称、轴对称所产生的数学等式出发， 证明时多从中心对称、轴对称所产生的数学等式出发， 推导满足周期定义的等式， 推导满足周期定义的等式，从而在证明函数为周期函 数的同时求出周期. 数的同时求出周期
是非奇非偶函数. ∴f(x)是非奇非偶函数 是非奇非偶函数
判断(或证明 抽象函数的奇偶性的步骤 判断 或证明)抽象函数的奇偶性的步骤 或证明 (1)利用函数奇偶性的定义，找准方向(想办法出现 －x)， 利用函数奇偶性的定义，找准方向 想办法出现 想办法出现f(－ ， 利用函数奇偶性的定义 f(x))； ； (2)巧妙赋值，合理、灵活变形配凑； 巧妙赋值，合理、灵活变形配凑； 巧妙赋值 (3)找出 －x)与f(x)的关系，得出结论 找出f(－ 与 的关系 得出结论. 的关系， 找出
解析： ＝－f(x)， 是奇函数. 解析：∵f(－x)＝－ ，∴f(x)是奇函数 － ＝－ 是奇函数 可知f(x)关于直线 对称， 由f(1＋x)＝f(1－x)可知 关于直线 ＝1对称， ＋ ＝ － 可知 关于直线x＝ 对称 ＝－f(－ ＝－ ＝－f(2＋ ∴f(x)＝－ －x)＝－ ＋x) ＝－ ＝－[－f(4＋x)]＝f(x＋4)， ＝－ － ＋ ＝ ＋ ， 即f(x)＝f(x＋4)， ＝ ＋ ， 的一个周期， ∴4为f(x)的一个周期， 为 的一个周期 ＝－f(1)＝－ ∴f(－2009)＝f(－1)＝－ ＝－ 3＝－ － ＝ － ＝－ ＝－1 ＝－1. 答案： 答案：－1