(完整版)等差数列前n项和练习题.docx

《第二节等差数列》同步练习（等差数列的前n项和公式）一、选择题1.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,且S2=10,S5=55,则过点P(n,S nn ),Q(n+2,S n+2n+2)(n∈N*)的直线的斜率为( )A.4B.3C.2D.12.[2022辽宁名校高三上联考]已知数列{a n}是等差数列,前n项和为S n,若a1+a2+a3+a4=3,a17+a18+a19+a20=5,则S20=( )A.10B.15C.20D.403.[2022四川成都七中高一下期中]已知等差数列{a n}的公差d<0,a5a7=35,a4+a8=12,前n 项和为S n,则S n的最大值为( )A.66B.72C.132D.1984.(多选)[2022湖南高三上联考]两个等差数列{a n}与{b n}的前n项和分别为S n与T n,且S2n T n =8n3n+5,则( )A.a3+a8=2b3B.当S n=2n2时,b n=6n+2C.a4+a11b4<2D.∀n∈N*,使得T n>05.(多选)[2022安徽临泉一中高二期末]已知等差数列{a n}的前n项和为S n,若S2 021>0,S2 022<0,则( )A.数列{a n}是递增数列B.|a1 012|>|a1 011|C.当S n取得最大值时,n=1 011D.S1 012<S1 0096.[2022山东潍坊高二调研]在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述:今有良马与驽马发长安至齐,齐去长安四百二十里,良马初日行九十七里,日增一十五里;驽马初日行九十二里,日减一里;良马先至齐,复还迎驽马,二马相逢.问:几日相逢?( )A.4日B.3日C.5日D.6日7.如果有穷数列a1,a2,…,a n(n∈N*)满足a i=a n-i+1(i=1,2,3,…,n),那么称该数列为“对称数列”.设{a n}是项数为2k-1(k∈N,k≥2)的“对称数列”,其中a k,a k+1,…,a2k-1是首项为50,公差为-4的等差数列,记{a n }的各项之和为S 2k -1,则S 2k -1的最大值为( ) A.622B.624C.626D.6288.(多选)[2022江苏南京高三月考]如图的形状出现在中国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中,后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球,第二层有3个球,第三层有6个球,第四层有10个球,…….设第n 层有a n 个球,从上往下n 层球的总数为S n ,则( )A.S 5=35B.a n +1-a n =nC.S n -S n -1=n(n+1)2,n ≥2 D.1a 1+1a 2+1a 3+…+1a 100=200101二、非选择题9.如图所示,八个边长为1的小正方形拼成一个长为4,宽为2的矩形,A ,B ,D ,E 均为小正方形的顶点,在线段DE 上有 2 020个不同的点P 1,P 2,…,P 2 020,且它们等分DE.记M i =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (i =1,2,…,2 020).则M 1+M 2+…+M 2 020的值为 .10.已知数列{a n }满足2a n +1=a n +a n +2(n ∈N *),它的前n 项和为S n ,且a 3=10,S 6=72,则{a n }的通项公式a n = ;若数列{b n }满足b n =12a n -30,其前n 项和为T n ,则T n 的最小值为 .11.[2022辽宁阜新高二上期末]在等差数列{a n }中,S n 是数列{a n }的前n 项和,已知a 2=4,S 4=20.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)若b n =(-1)n·a n ,求数列{b n }的前n 项和T n .12.[2022河北唐山一中高二上月考]记S n是等差数列{a n}的前n项和,若S5=-35,S7=-21.(1)求数列{a n}的通项公式,并求S n的最小值;(2)设b n=|a n|,求数列{b n}的前n项和T n.参考答案一、选择题1.C设d为数列{a n}的公差,则{S nn }是公差为d2的等差数列.2.C由题易知S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12,S20-S16成等差数列,又S4=3,S20-S16=5,则S20=(S20-S16)+(S16-S12)+(S12-S8)+(S8-S4)+S4=(5+3)×52=20.3.A因为d<0,a5a7=35,a4+a8=a5+a7=12,所以a5=7,a7=5,则d=-1,所以a n=a7+(n-7)d=-n+12,所以a12=0,所以当n=11或12时,S n取得最大值,最大值为S11=S12=12(a1+a12)2= 12×(11+0)2=66.4.AB由S2nT n =8n3n+5,知S10T5=10(a1+a10)25(b1+b5)2=a1+a10b3=a3+a8b3=4020=2,即a3+a8=2b3,故A正确;同理可得a4+a11b4=S14T7=2813>2,故C错误;当S n=2n2时,有S2n=8n2,则T n=n(3n+5),易得b n=6n+2,故B正确;当S n=-2n2时,有S2n=-8n2,则T n=-n(3n+5)<0,则不存在n∈N*,使得T n>0,故D错误.5.BC因为S2 021=2021(a1+a2021)2=2 021a1 011>0,S2 022=2022(a1+a2022)2=1 011(a1 011+a1 012)<0,所以a1 011>0,a1 011+a1 012<0,所以a1 012<0,且|a1 012|>|a1 011|,所以数列{a n}是递减数列,且当n=1 011时,S n取得最大值,故B,C正确,A错误.又S1 012-S1 009=a1 010+a1 011+a1 012=3a1 011>0,所以S1 012>S1 009,故D错误.故选BC.6.A记良马第n日行程为a n,驽马第n日行程为b n,则由题意知数列{a n}是首项为97,公差为15的等差数列,数列{b n}是首项为92,公差为-1的等差数列,则a n=97+15(n-1)=15n+82,b n=92-(n-1)=93-n.因为数列{a n}的前n项和为n(97+15n+82)2=n(179+15n)2,数列{b n}的前n项和为n(92+93−n)2=n(185−n)2,所以n(179+15n)2+n(185−n)2=420×2,整理得n2+26n-120=0,解得n=4或n=-30(舍去),即4日相逢.7.C易知a k+a k+1+…+a2k-1=50k+k(k−1)×(−4)2=-2k2+52k,S2k-1=a1+…+a k+a k+1+…+a2k-1=2(a k+a k+1+…+a2k-1)-a k=-4k2+104k-50=-4(k-13)2+626,当k=13时,S2k-1取到最大值,且最大值为626.故选C.8.ACD因为a1=1,a2-a1=2,a3-a2=3,……,a n-a n-1=n,以上n个式子相加可得a n=1+2+3+…+n=n(n+1)2,所以S5=a1+a2+a3+a4+a5=1+3+6+10+15=35,故A正确;由递推关系可知a n+1-a n=n+1,故B 不正确;当n ≥2时,S n -S n -1=a n =n(n+1)2,故C 正确;因为1a n =2n(n+1)=2(1n−1n+1),所以1a 1+1a 2+…+1a 100=2[(1-12)+(12−13)+…+(1100−1101)]=2(1-1101)=200101,故D 正确.故选ACD.二、非选择题9.14 140 解析如图,设C 为DE 的中点,则AC =72.因为P 1,P 2,…,P 2 020等分DE ,所以AP i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AP 2 021−i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ .又M 1+M 2+…+M 2 020=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(AP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +…+AP 2 020⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ),令S =M 1+M 2+…+M 2 020,则2S =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(AP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +…+AP 2 020⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(AP 2 020⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AP 2 019⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +…+AP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·[(AP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AP 2 020⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+(AP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AP 2 019⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+…+(AP 2 020⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )]=(2×2 020)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =4 040×√5×72×√5=28 280,所以S =14 140.10.4n -2 -225 解析因为2a n +1=a n +a n +2,所以a n +1-a n =a n +2-a n +1,故数列{a n }为等差数列.设数列{a n }的公差为d.由a 3=10,S 6=72,得{a 1+2d =10,6a 1+15d =72,解得{a 1=2,d =4,所以a n =4n -2,所以b n =12a n -30=2n -31.令{b n ≤0,b n+1≥0,即{2n −31≤0,2(n +1)−31≥0,解得292≤n ≤312.因为n ∈N *,所以数列{b n }的前15项均为负值且第16项为正值,所以T 15最小.因为数列{b n }的首项为-29,公差为2,所以T 15=15(−29+2×15−31)2=-225,所以数列{b n }的前n 项和T n 的最小值为-225.11.(1)设首项为a 1,公差为d ,由题意知 {a 1+d =4,4a 1+4×32d =20,解得{a 1=2,d =2,故a n =2n. (2)由(1)得b n =(-1)n·a n =(-1)n·2n.当n 为偶数时,T n =(-2+4)+(-6+8)+…+[-2(n -1)+2n ]=n2·2=n ;当n 为奇数时,T n =(-2+4)+(-6+8)+…+[-2(n -2)+2(n -1)]-2n =(n -1)-2n =-n -1, 所以T n ={n,n 为偶数,−n −1,n 为奇数.12.(1)设{a n }的公差为d ,则{5a 1+5×42d =−35,7a 1+7×62d =−21,解得{a 1=−15,d =4, 所以a n =-15+4(n -1)=4n -19.由a n=4n-19≥0,得n≥194,所以当n=1,2,3,4时,a n<0,当n≥5时,a n>0,所以S n的最小值为S4=4a1+4×32d=-36.(2)由(1)知,当n≤4时,b n=|a n|=-a n;当n≥5时,b n=|a n|=a n.又S n=na1+n(n−1)2d=2n2-17n,所以当n≤4时,T n=-S n=17n-2n2,当n≥5时,T n=S n-2S4=2n2-17n-2×(-36)=2n2-17n+72,即T n={17n−2n2,n≤4, 2n2−17n+72,n≥5.。

课时作业8 等差数列的前n 项和时间：45分钟 满分：100分课堂训练1．已知{a n }为等差数列，a 1＝35，d ＝－2，S n ＝0，则n 等于( ) A ．33 B ．34 C ．35 D ．36【答案】 D【解析】 本题考查等差数列的前n 项和公式．由S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝35n ＋n (n －1)2×(－2)＝0，可以求出n ＝36.2．等差数列{a n }中，3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝24，则数列前13项的和是( )A ．13B ．26C ．52D ．156 【答案】 B【解析】 3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝24⇒6a 4＋6a 10＝24⇒a 4＋a 10＝4⇒S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13(a 4＋a 10)2＝13×42＝26. 3．等差数列的前n 项和为S n ，S 10＝20，S 20＝50.则S 30＝________. 【答案】 90【解析】 等差数列的片断数列和依次成等差数列． ∴S 10，S 20－S 10，S 30－S 20也成等差数列． ∴2(S 20－S 10)＝(S 30－S 20)＋S 10，解得S 30＝90.4．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 12＝84，S 20＝460，求S 28. 【分析】 (1)应用基本量法列出关于a 1和d 的方程组，解出a 1和d ，进而求得S 28；(2)因为数列不是常数列，因此S n 是关于n 的一元二次函数且常数项为零．设S n ＝an 2＋bn ，代入条件S 12＝84，S 20＝460，可得a 、b ，则可求S 28；(3)由S n ＝d 2n 2＋n (a 1－d 2)得S n n ＝d 2n ＋(a 1－d2)，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是一个等差数列，又2×20＝12＋28，∴2×S 2020＝S 1212＋S 2828，可求得S 28.【解析】 方法一：设{a n }的公差为d ， 则S n ＝na 1＋n (n －1)2d .由已知条件得：⎩⎨⎧12a 1＋12×112d ＝84，20a 1＋20×192d ＝460，整理得⎩⎨⎧2a 1＋11d ＝14，2a 1＋19d ＝46，解得⎩⎨⎧a 1＝－15，d ＝4.所以S n ＝－15n ＋n (n －1)2×4＝2n 2－17n ， 所以S 28＝2×282－17×28＝1 092.方法二：设数列的前n 项和为S n ，则S n ＝an 2＋bn . 因为S 12＝84，S 20＝460，所以⎩⎨⎧122a ＋12b ＝84，202a ＋20b ＝460，整理得⎩⎨⎧12a ＋b ＝7，20a ＋b ＝23.解之得a ＝2，b ＝－17， 所以S n ＝2n 2－17n ，S 28＝1 092. 方法三：∵{a n }为等差数列， 所以S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，所以S n n ＝a 1－d 2＋d2n ，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列．因为12,20,28成等差数列， 所以S 1212，S 2020，S 2828成等差数列， 所以2×S 2020＝S 1212＋S 2828，解得S 28＝1 092.【规律方法】 基本量法求出a 1和d 是解决此类问题的基本方法，应熟练掌握．根据等差数列的性质探寻其他解法，可以开阔思路，有时可以简化计算．课后作业一、选择题(每小题5分，共40分)1．已知等差数列{a n }中，a 2＝7，a 4＝15，则前10项的和S 10等于( )A ．100B ．210C ．380D ．400【答案】 B【解析】 d ＝a 4－a 24－2＝15－72＝4，则a 1＝3，所以S 10＝210.2．在等差数列{a n }中，a 2＋a 5＝19，S 5＝40，则a 10＝( ) A ．27 B ．24 C ．29 D ．48【答案】 C 【解析】由已知⎩⎨⎧2a 1＋5d ＝19，5a 1＋10d ＝40.解得⎩⎨⎧a 1＝2，d ＝3.∴a 10＝2＋9×3＝29.3．数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋2n －1，则这个数列一定是( ) A ．等差数列 B ．非等差数列 C ．常数列 D ．等差数列或常数列 【答案】 B【解析】 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋2n －1－[(n －1)2＋2(n －1)－1]＝2n ＋1，当n ＝1时a 1＝S 1＝2.∴a n ＝⎩⎨⎧2，n ＝1，2n ＋1，n ≥2，这不是等差数列．4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( )C ．8D ．9【答案】 A 【解析】⎩⎨⎧a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，∴⎩⎨⎧a 1＝－11，d ＝2，∴S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－11n ＋n 2－n ＝n 2－12n . ＝(n －6)2－36. 即n ＝6时，S n 最小．5．一个只有有限项的等差数列，它的前5项的和为34，最后5项的和为146，所有项的和为234，则它的第7项等于( )A ．22B ．21C ．19D ．18【答案】 D【解析】 ∵a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝34， a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＋a n －4＝146， ∴5(a 1＋a n )＝180，a 1＋a n ＝36， S n ＝n (a 1＋a n )2＝n ×362＝234. ∴n ＝13，S 13＝13a 7＝234.∴a 7＝18.6．一个有11项的等差数列，奇数项之和为30，则它的中间项为( )A ．8B ．7【答案】 D【解析】 S 奇＝6a 1＋6×52×2d ＝30，a 1＋5d ＝5，S 偶＝5a 2＋5×42×2d ＝5(a 1＋5d )＝25，a 中＝S 奇－S 偶＝30－25＝5.7．若两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别是S n ，T n ，已知S n T n＝7n n ＋3，则a 5b 5等于( ) A ．7 B.23 C.278 D.214【答案】 D【解析】 a 5b 5＝2a 52b 5＝a 1＋a 9b 1＋b 9＝92(a 1＋a 9)92(b 1＋b 9)＝S 9T 9＝214.8．已知数列{a n }中，a 1＝－60，a n ＋1＝a n ＋3，则|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 30|等于( )A ．445B ．765C ．1 080D ．1 305 【答案】 B【解析】 a n ＋1－a n ＝3，∴{a n }为等差数列． ∴a n ＝－60＋(n －1)×3，即a n ＝3n －63.∴a n ＝0时，n ＝21，a n >0时，n >21，a n <0时，n <21. S ′30＝|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 30|＝－a 1－a 2－a 3－…－a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 30 ＝－2(a 1＋a 2＋…＋a 21)＋S 30 ＝－2S 21＋S 30 ＝765.二、填空题(每小题10分，共20分)9．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6＝S 3＝12，则数列的通项公式a n ＝________.【答案】 2n【解析】 设等差数列{a n }的公差d ，则⎩⎨⎧a 1＋5d ＝12a 1＋d ＝4，∴⎩⎨⎧a 1＝2d ＝2，∴a n ＝2n .10．等差数列共有2n ＋1项，所有奇数项之和为132，所有偶数项之和为120，则n 等于________．【答案】 10【解析】 ∵等差数列共有2n ＋1项，∴S 奇－S 偶＝a n ＋1＝S 2n ＋12n ＋1.即132－120＝132＋1202n ＋1，求得n ＝10.【规律方法】 利用了等差数列前n 项和的性质，比较简捷． 三、解答题(每小题20分，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)11．在等差数列{a n }中，(1)已知a 6＝10，S 5＝5，求a 8和S 8； (2)若a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1 022，求d .【分析】 在等差数列中，五个重要的量，只要已知三个量，就可求出其他两个量，其中a 1和d 是两个最基本量，利用通项公式和前n 项和公式，先求出a 1和d ，然后再求前n 项和或特别的项．【解析】 (1)∵a 6＝10，S 5＝5，∴⎩⎨⎧a 1＋5d ＝10，5a 1＋10d ＝5.解方程组，得a 1＝－5，d ＝3， ∴a 8＝a 6＋2d ＝10＋2×3＝16， S 8＝8(a 1＋a 8)2＝44. (2)由S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (－512＋1)2＝－1 022， 解得n ＝4.又由a n ＝a 1＋(n －1)d ， 即－512＝1＋(4－1)d ， 解得d ＝－171.【规律方法】 一般地，等差数列的五个基本量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知道其中任意三个量可建立方程组，求出另外两个量，即“知三求二”．我们求解这类问题的通性通法，是先列方程组求出基本量a 1和d ，然后再用公式求出其他的量．12．已知等差数列{a n }，且满足a n ＝40－4n ，求前多少项的和最大，最大值为多少？【解析】 方法一：(二次函数法)∵a n ＝40－4n ，∴a 1＝40－4＝36， ∴S n ＝(a 1＋a n )n 2＝36＋40－4n2·n ＝－2n 2＋38n ＝－2[n 2－19n ＋(192)2]＋1922＝－2(n －192)2＋1922.令n －192＝0，则n ＝192＝9.5，且n ∈N ＋， ∴当n ＝9或n ＝10时，S n 最大，∴S n 的最大值为S 9＝S 10＝－2(10－192)2＋1922＝180. 方法二：(图象法)∵a n ＝40－4n ，∴a 1＝40－4＝36， a 2＝40－4×2＝32，∴d ＝32－36＝－4，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝36n ＋n (n －1)2·(－4)＝－2n 2＋38n ， 点(n ，S n )在二次函数y ＝－2x 2＋38x 的图象上，S n 有最大值，其对称轴为x ＝－382×(－2)＝192＝9.5，∴当n ＝10或9时，S n 最大．∴S n 的最大值为S 9＝S 10＝－2×102＋38×10＝180. 方法三：(通项法)∵a n ＝40－4n ，∴a 1＝40－4＝36，a 2＝40－4×2＝32，∴d ＝32－36＝－4<0，数列{a n }为递减数列．令⎩⎨⎧a n ≥0，a n ＋1≤0，有⎩⎨⎧40－4n ≥0，40－4(n ＋1)≤0，∴⎩⎨⎧n ≤10，n ≥9，即9≤n ≤10.当n ＝9或n ＝10时，S n 最大．∴S n 的最大值为S 9＝S 10＝a 1＋a 102×10＝36＋02×10＝180. 【规律方法】 对于方法一，一定要强调n ∈N ＋，也就是说用函数式求最值，不能忽略定义域，另外，三种方法中都得出n ＝9或n ＝10，需注意a m ＝0时，S m －1＝S m 同为S n 的最值．。

4.2.2 等差数列的前n 项和1．（2020·宜宾市叙州区第一中学校高三三模（文））已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，9445,31n S a -==，若198n S =，则n =（ ） A ．10 B ．11C ．12D ．13【答案】B【解析】945S =1955945()952a a a a ⇒=+=⇒= ,所以154()()198(531)11222n n n n n nS a a a a n -=+=+∴=+∴= ,选B.2．（2020·东北育才学校高二月考（文））已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若74328a a =+，则25S =（ ） A ．50 B ．100C ．150D ．200【答案】D【解析】设等差数列{a n }首项为1a ，公差为d,∵74328a a =+，∴3(()116)238a d a d +=++,∴1a +12d=8，即138a = 故S 25=()125252a a +=132522a ⨯=25a 13=200故选：D ． 3．（2020·四川省泸县第二中学开学考试（文））等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，23a =，且936S S =，则{}n a 的公差d =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】由等差数列性质知()()1319329353939,?654922a a a a S a S S a ++=======，则56a =.所以5213a a d -==.故选A. 4．（2020·云南高一期末）《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则小满日影长为（ ） A ．1.5尺B ．2.5尺C ．3.5尺D ．4.5尺题组一 等差数列的基本量【答案】C【解析】从冬至日起,依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列{}n a ,冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺,前九个节气日影长之和为85.5尺,∴()()111913631.598985.52a a d a d S a d ⎧++++=⎪⎨⨯=+=⎪⎩,解得113.5a =,1d =-,∴小满日影长为1113.510(1) 3.5a =+⨯-=（尺）.故选C .5．（2020·陕西省洛南中学高二月考）在等差数列{}n a 中，已知12232,10a a a a +=+=，求通项公式n a 及前n 项和n S .【答案】45n a n =-，223n S n n =- *(1,)n n N ≥∈【解析】令等差数列{}n a 的公差为d ，则由12232,10a a a a +=+=，知：11222310a d a d +=⎧⎨+=⎩，解之得11{4a d =-=； ∴根据等差数列的通项公式及前n 项和公式，有：()()1114145n a a n d n n =+-=-+-=-，21232nn a a S n n n +=⋅=- *(1,)n n N ≥∈；1．（2020·湖北黄州·黄冈中学其他（理））已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，6353a a a +-=，则7S =（ ） A ．42 B ．21C ．7D ．3【答案】B【解析】由等差数列的性质可得6354553a a a a a a +-=+-=，()1747772732122a a a S +⨯∴===⨯=.故选：B.2．（2019·贵州六盘水·高二期末（理））在等差数列{}n a 中，358a a +=，则7S =（ ）题组二 前n 项和S n 与等差中项A ．12B ．28C ．24D ．35【答案】B【解析】等差数列{}n a 中，358a a +=，故17358a a a a +=+=，所以()7717782822S a a +⨯===.故选：B. 3．（2020·湖北荆州·高二期末）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若57942a a a ++=，则13S =（ ） A ．36 B ．72C ．91D ．182【答案】D【解析】数列{}n a 为等差数列，则5797342a a a a ++==，解得714a = 则()113137131313141822a a S a+=⨯==⨯=故选：D4．（2019·黄梅国际育才高级中学月考）若两个等差数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为A n 、B n ，且满足4255n n A n B n +=-，则513513a a b b ++的值为（ ）A ．78B ．79C ．87D ．1920【答案】A【解析】等差数列{}n a 、{}n b 前n 项和分别为n A ，n B ，由4255n n A n B n +=-， 得1131171131751717511177)2)217(4172717(51758a a a a a a Ab b b b b b B +++⨯+=====+++⨯-．故选：A . 5．（2020·赣州市赣县第三中学期中）设等差数列{}n a 前n 项和为n S ，等差数列{}n b 前n 项和为n T ，若20121n n S n T n -=-．则33a b =（ ） A ．595B ．11C ．12D ．13【答案】B【解析】因为等差数列{}n a 前n 项和为n S ，所以1()2n n n a a S +=， 当n 是奇数时，112()2n n n n a a S na ++==，所以33533555a a Sb b T ==,故选：B6．（2020·广西田阳高中高二月考（理））已知等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且521n n S n T n +=-，则76a b =（ ） A ．67B ．1211C ．1825D ．1621【答案】A【解析】因为等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且521n n S n T n +=-， 所以可设(5)n S kn n =+，(21)n T kn n =-， 所以77618a S S k =-=，66521b T T k =-=，所以7667a b =.故选：A 7．（2020·商丘市第一高级中学高一期末）等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 、T n ，且7453n n S n T n +=-，则使得nna b 为整数的正整数n 的个数是( ) A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】C【解析】∵等差数列{a n }、{b n }，∴121121,22n n n n a a b ba b --++== ， ∴()()121211212122n n n n n n n n n a a a na S n b b b nb T ----+===+ ,又7453n n S n T n +=- ， ∴()()7214566721324n n n a b n n -+==+--- ， 经验证,当n=1,3,5,13,35时,n n a b 为整数，则使得nna b 为整数的正整数的n 的个数是5.本题选择C 选项.1．（2020·榆林市第二中学高二月考）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若488,20S S ==,则题组三 前n 项和S n 的性质13141516a a a a +++= ( )A ．12B ．8C ．20D ．16【答案】C【解析】∵等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，488,20S S ==， 由等差数列的性质得：4841281612,,,S S S S S S S ---成等比数列 又4848,20812,S S S =-=-=∴128122012416,S S S -=-=+=16121314151616420S S a a a a -=+++=+=．故选：C ．2．（2020·重庆其他（文））等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知312S =，651S =，则9S 的值等于（ ） A ．66 B ．90C ．117D ．127【答案】C【解析】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,由题意可得63963,,S S S S S --成等差数列，故()()363962S S S S S -=+-，代入数据可得()()9251121125S -=+-，解得9117S =故选C3．（2020·江苏徐州·高二期中）已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项之和，且315S =，648S =，则9S 的值为（ ）. A ．63 B ．81C ．99D ．108【答案】C【解析】由n S 为等差数列{}n a 的前n 项之和，则3S ,639633(1),,......m m S S S S S S ---- 也成等差数列， 则3S ，6396,S S S S --成等差数列，所以633962()()S S S S S -=+-，由315S =，648S =， 得999S =，故选：C.4．（2020·昆明市官渡区第一中学高二期末（理））等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1020S =，2015S =，则30S =( ) A ．10 B ．20C ．30-D ．15-【答案】D【解析】由等差数列{}n a 的前n 项和的性质可得：10S ，1200S S -，3020S S -也成等差数列，20101030202()()S S S S S ∴-=+-，302(1520)2015S ∴⨯-=+-，解得3015S =-．故选D ．5．（2020·朔州市朔城区第一中学校期末（文））设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++=（ ） A ．63 B ．45 C ．36 D ．27【答案】B【解析】由等差数列性质知S 3、S 6﹣S 3、S 9﹣S 6成等差数列，即9，27，S 9﹣S 6成等差，∴S 9﹣S 6=45 ∴a 7+a 8+a 9=45故选B ．6．（2020·新疆二模（文））在等差数列{}n a 中，12018a =-，其前n 项和为n S ，若101221210S S -=，则2020S =（ ） A ．-4040 B ．-2020 C ．2020 D ．4040【答案】C【解析】设等差数列{}n a 的前n 项和为2+n S An Bn =，则+nS An B n=， 所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列．因为101221210S S -=，所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的公差为1，又11201811S a ==-，所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以2018-为首项，1为公差的等差数列， 所以202020182019112020S =-+⨯=，所以20202020S =故选：C 8．（2020·河北路南·唐山一中）已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若12017a =-， 20142008620142008S S -=，则2017S =__________． 【答案】2017- 【解析】n S 是等差数列{}n a 的前n 项和， n S n ⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭是等差数列，设其公差为d ，201420086,66,120142008S S d d -=∴==， 112017,20171S a =-∴=-，()()20172017112018,2018201720172017nS n n S n∴=-+-⨯=-+∴=-+⨯=-， 故答案为2017-．9．（2020·湖南怀化·高二期末）已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若12a =-，20202018220202018S S -=，则20192019S =________. 【答案】2016 【解析】n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，n S n ⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭是等差数列，设其公差为d .20202018 220202018S S -=，22d ∴=，1d =.12a =-，1S21∴=-. 2(1)13n S n n n ∴=-+-⨯=-.2019S20162019∴=.故答案为：2016.1．（2020·安徽铜陵·）设n S 是公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，且10a >，若59S S =，则当n S 最大时，n=（ ） A ．6 B ．7C ．10D ．9【答案】B【解析】由等差数列中，59S S =，可得，故，其中，可知当时，最大．2．（2020·河北运河·沧州市一中月考）等差数列{}n a 中，10a >，201520160a a +>，201520160a a <，则使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是（ ） A ．2015 B ．2016C ．4030D ．4031【答案】C【解析】由题意知201520160,0a a ><，所以14030201520160a a a a +=+>，而14031201620a a a +=<，则有()140304*********a a S ⨯+=>，而()140314031403102a a S ⨯+=<，所以使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是4030，故选C ．3．（2020·河北路南·唐山一中期末）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且856a a -=-，9475S S -=，题组四 前n 项和S n 的最值则n S 取得最大值时n =（ ） A ．14 B ．15C ．16D ．17【答案】A【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，则11369364675d a d a d =-⎧⎨+--=⎩，解得1227d a =-⎧⎨=⎩，故292n a n =-，故当114n ≤≤时，0n a >；当15n ≥时，0n a <， 所以当14n =时，n S 取最大值.故选：A.4．（2020·广西南宁三中开学考试）已知等差数列{}n a 的通项公式为29n a n =-，则使得前n 项和n S 最小的n 的值为（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】由290n a n =-≤，解得92n ≤，14n ∴≤≤时，0n a <；5n ≥时，0n a > 则使得前n 项和n S 最小的n 的值为4故选：B5．（2020·四川青羊·石室中学高一期末）在等差数列{}n a 中，其前n 项和是n S ，若90S >，100S <，则在912129,,,S S S a a a ⋯中最大的是（ ） A ．11S aB ．88S aC ．55S aD ．99S a【答案】C 【解析】由于191109510569()10()9050222a a a a S a S a a ++====+＞，（）＜ ，所以可得5600a a ＞，＜． 这样569121256900...0,0,...0S S S S S a a a a a ，，，>>><<，而125125S S S a a a ⋯⋯＜＜＜，＞＞＞>0， ， 所以在912129...S S S a a a ，，，中最大的是55S a ．故选C ．6．（2020·福建宁德·期末）公差为d 的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，110S >，120S <，下列说法正确的有（ ） A ．0d < B ．70a >C ．{}n S 中5S 最大D ．49a a <【答案】AD【解析】根据等差数列前n 项和公式得：()111111102a a S +=>，()112121202a a S +=<所以1110a a +>，1120a a +<， 由于11162a a a +=，11267a a a a +=+，所以60a >，760a a <-<，所以0d <，{}n S 中6S 最大，由于11267490a a a a a a +=+=+<，所以49a a <-，即：49a a <.故AD 正确，BC 错误.故选：AD.7．（2020·黑龙江让胡路·大庆一中高一期末）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若780a a +>，790a a +<则n S 取最大值时n 的值是（ ） A ．4 B ．5C ．6D ．7【答案】D【解析】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且780a a +>，790a a +<，12130a d ∴+>且12140a d +<，10,0,a d ∴><且780,0a a ><，所以当S n 取最大值时7n =.故选：D8．（2020·浙江其他）已知等差数列{}n a 的前n 项和n S ，且34S =，714S =，则23n n S a +-最小时，n 的值为（ ）. A ．2 B ．1或2C ．2或3D ．3或4【答案】C【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，因为34S =，714S =，所以1132342767142a d a d ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⎪+=⎪⎩，解得11a =，13d =，所以2223(1)11550[1(2)]23318n n n n n n S an n +----=+⨯-++=， 因为n ∈+N ，所以当2n =或3n =时，其有最小值.选：C1．（2020·山西大同·高三其他（理））若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知129,a a Z =∈，且()5*n S S n N ≤∈，则12n a a a +++=________.【答案】2210,51050,5n n n n n n ⎧-≤⎨-+>⎩【解析】∵等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，129,a a Z =∈，且5n S S ≤，56940,950a d a d ∴=+≥=+<， 2,2a Z d ∈∴=-，2(1)9(2)102n n n S n n n -∴=+⨯-=-， ∴当5n ≤时，212..10n a a a n n ++⋯+=-；当5n >时，()()21212345210n a a a a a a a a n n++⋯⋯+=++++--()222105510n n =⨯-+-21050n n =-+，212210,5..1050,5n n n n a a a n n n ⎧-≤∴++⋯+=⎨-+>⎩.故答案为：2210,51050,5n n n n n n ⎧-≤⎨-+>⎩. 2．（2020·黑龙江香坊·哈尔滨市第六中学校高三三模（理））已知等差数列{}n a 前三项的和为3-，前三项的积为15，（1）求等差数列{}n a 的通项公式；（2）若公差0d >，求数列{}n a 的前n 项和n T .题组五 含有绝对值的求和【答案】（1）49n a n =-或74n a n =-（2）25,1{2712,2n n T n n n ==-+≥【解析】（1）设等差数列的{}n a 的公差为d 由1233a a a ++=-，得233a =-所以21a =- 又12315a a a =得1315a a =-，即1111(2)15a d a a d +=-⎧⎨+=-⎩所以154a d =-⎧⎨=⎩，或134a d =⎧⎨=-⎩即49n a n =-或74n a n =- （2）当公差0d >时，49n a n =-1）当2n ≤时，490n a n =-<，112125,6T a T a a =-==--= 设数列{}n a 的前项和为n S ，则2(549)272n n S n n n -+-=⨯=-2）当3n ≥时，490n a n =->123123n n n T a a a a a a a a =++++=--+++()()123122n a a a a a a =++++-+2222712n S S n n =-=-+当1n =时，15T =也满足212171127T ≠⨯-⨯+=， 当2n =时，26T =也满足222272126T =⨯-⨯+=，所以数列{}n a 的前n 项和25127122n n T n n n =⎧=⎨-+≥⎩ 3．（2020·全国高三（文））在等差数列{}n a 中，28a =，64a =-. （1）求n a 的通项公式； （2）求12||||||n n T a a a =+++的表达式.【答案】（1）314n a n =-+；（2）2232542232552522n n n n T n n n ⎧-+≤⎪⎪=⎨⎪-+≥⎪⎩. 【解析】（1）设公差为d ，则11854a d a d +=⎧⎨+=-⎩，解得111a =，3d =-，所以314n a n =-+.（2）由314n a n =-+0≥可得4n ≤， 所以当4n ≤时，112()(11314)22n n n n a a n n T a a a +-+=+++===232522n n -+， 当5n ≥时，12345()n n T a a a a a a =+++-++1234122()()n a a a a a a a =+++-+++114()4()222n n a a a a ++=⨯-(253)522n n -=-23255222n n =-+. 所以2232542232552522n n n n T n n n ⎧-+≤⎪⎪=⎨⎪-+≥⎪⎩. 4．（2020·石嘴山市第三中学高三其他（理））已知数列{}n a 满足：313a =-，()141,n n a a n n N -=+>∈. （1）求1a 及通项n a ；（2）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，则数列1S ，2S ，3S ，…n S …中哪一项最小？并求出这个最小值. （3）求数列{}n a 的前10项和.【答案】（1）121a =-，425n a n =-；（2）6S 最小，666S =-；（3）前10项和为：102. 【解析】（1）()142n n a a n -=+≥，∴当3n =时，324a a =+，217a =-，214a a =+，121a =-，由14n n a a --=知数列为首项是21-，公差为4的等差数列， 故425n a n =-；（2）425n a n =-，故610a =-<，730a =>，故6S 最小，()6656214662S ⨯=⨯-+⨯=-； （3）当16n ≤≤时，0n a <；当7n ≥时，0n a >，()()10121012678910……T a a a a a a a a a a ∴=+++=-+++++++()()()61061061092102142661022S S S S S ⨯=-+-=-=⨯-+⨯-⨯-=. 5．（2020·湖北武汉）已知数列{}n a 是等差数列，公差为d ，n S 为数列{}n a 的前n 项和，172a a +=-，315S =. （1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）求数列{}n a 的前n 项和T n .【答案】（1）()*311n a n n N =-+∈；（2）2(193),3231960,42n n n n T n n n -⎧≤⎪⎪=⎨-+⎪≥⎪⎩. 【解析】（1）∵{}n a 是等差数列，公差为d ，且172a a +=-，315S =，∴11262323152a d a d +=-⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得18a =，3d =-， ∴()()()11813311n a a n d n n =+-=+--=-+， ∴数列{}n a 的通项公式为：()*311n a n n N=-+∈.（2）令0n a ≥，则3110n -+≥，∴311n ≤，∴233n ≤，*n N ∈. ∴3n ≤时，0n a >；4n ≥时，0n a <， ∵18a =，311n a n =-+，∴3n ≤时，12(8311)2n n n n T a a a -+=++⋅⋅⋅+=()1932n n -=， 当4n ≥时，()121234n n n T a a a a a a a a =++⋅⋅⋅+=+++--⋅⋅⋅-()()12312322n n a a a a a a S S =++-++⋅⋅⋅+=-23(199)(193)319602222n n n n ⨯---+=⨯-=.∴2(193),3231960,42n n n n T n n n -⎧≤⎪⎪=⎨-+⎪≥⎪⎩. 6．（2020·任丘市第一中学）在公差是整数的等差数列{}n a 中，17a =-，且前n 项和4n S S ≥． （1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）令n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）29n a n =-；（2）()228,4832,5n n n n T n N n n n *⎧-+≤=∈⎨-+≥⎩. 【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则d Z ∈，由题意知，{}n S 的最小值为4S ，则4500a a ≤⎧⎨≥⎩，17a =-，所以370470d d -≤⎧⎨-≥⎩，解得7743d ≤≤，d Z ∈，2d ∴=，因此，()()1172129n a a n d n n =+-=-+-=-； （2）29n n b a n ==-.当4n ≤时，0n a <，则n n n b a a ==-，()272982n n n n T S n n -+-∴=-=-=-+；当5n ≥时，0n a >，则n n n b a a ==，()22428216832n n T S S n n n n ∴=-=--⨯-=-+.综上所述：()228,4832,5n n n n T n N n n n *⎧-+≤=∈⎨-+≥⎩.。

等差数列前N项和测试题一、单选题（共11题；共22分）1.（2020高一下·太和期末）一个等差数列共有2n+1项，其奇数项的和为512，偶数项的和为480，则中间项的值为（）A. 30B. 31C. 32D. 332.（2020高一下·太和期末）等差数列的前n项和为，且，则（）A. 8B. 9C. 10D. 113.（2020高一下·温州期末）等差数列中，，，是数列的前n项和，则（）A. B. C. D.4.数列中，已知且则（）A. 19B. 21C. 99D. 1015.（2020高一下·七台河期末）等差数列的首项为1，公差不为0，若成等比数列，则的前6项的和为（）A. -24B. 3C. 8D. 116.（2020高一下·七台河期末）已知是公差为1的等差数列，为的前n项和.若，则（）A. 10B. 12C.D.7.（2020高一下·鹤岗期末）设为等差数列的前n项和，若，，则（）A. -12B. -10C. 10D. 128.（2020高一下·鹤岗期末）已知是等差数列的前n项和，，设为数列的前n项和，则（）A. 2014B. -2014C. 2015D. -20159.（2020高一下·哈尔滨期末）若一个等差数列的前3项和为24，最后3项的和为126，所有项的和为275，则这个数列共有（）A. 13项B. 12项C. 11项D. 10项10.（2020高一下·台州期末）已知等差数列的前n项和为，若，，，则（）A. B. C. D.11.（2020高一下·广东月考）等差数列中，若，且，为前n项和，则中最大的是（）A. B. C. D.二、填空题（共8题；共10分）12.（2020高一下·湖州期末）设公差为d的等差数列的前n项和为，若，，则________，取最小值时，n=________．13.（2020高一下·上海期末）已知等差数列满足：，，数列的前n项和为，则的取值范围是________．14.（2020高一下·上海期末）等差数列的前项和为，，则________.15.（2020高一下·上海期末）已知为等差数列, , 前n项和取得最大值时n的值为________.16.（2020高一下·南宁期末）已知为等差数列的前n项和，且，，则________.17.（2020高一下·黑龙江期末）已知为等差数列，其公差为2，且是与的等比中项，为前n项和，则的值为________.18.（2020高一下·金华月考）已知数列满足：，其前n项和为，则________，当取得最小值时，n的值为________.19.（2020高一下·尚义期中）设等差数列的前n项和为．若，，则正整数________．三、解答题（共6题；共55分）20.（2020高一下·六安期末）记为等差数列的前n项和，已知．（1）若，求的通项公式；（2）若，求使得的n的取值范围．21.（2020高一下·徐汇期末）设等差数列的前n项和为，若，，. （1）求常数k的值；（2）求的前n项和.22.在公差为d的等差数列中，已知，且成等比数列，为数列的前n 项和.（1）求；（2）若，求的最大值.23.（2020高一下·台州期末）已知等差数列中，为其前n项和，，.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）记，，求数列的前n项和.24.（2020高一下·尚义期中）已知等差数列的前n项和为，且，．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和．25.（2020高一下·崇礼期中）已知等差数列的前项和为，，，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和.答案解析部分一、单选题1.【答案】C【解析】【解答】中间项为.因为，，所以.故答案为：C.【分析】利用等差数列前n项和公式，对奇数项的和、偶数项的和列式.通过等差数列的性质，都转化为的形式，然后两式相减，可得到的值.2.【答案】B【解析】【解答】∵等差数列的前n项和为，且，解得故答案为：B．【分析】利用已知条件结合等差数列通项公式和前n项和公式，建立关于等差数列首项和公差的方程组，从而求出首项和公差，进而用等差数列通项公式求出等差数列第八项的值。

[A 基础达标]1．记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝20，S 2＝4，则公差d 为( )A ．2B ．3C ．6D ．7解析：选B.由⎩⎪⎨⎪⎧S 2＝4，S 4＝20得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝4，4a 1＋6d ＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12，d ＝3.2．已知数列{a n }为等差数列，a 10＝10，数列前10项和S 10＝70，则公差d ＝( )A ．－23B ．－13 C.13 D ．23解析：选D.由S 10＝10（a 1＋a 10）2，得70＝5(a 1＋10)，解得a 1＝4，所以d ＝a 10－a 110－1＝10－49＝23，故选D. 3．在等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝－24，a 18＋a 19＋a 20＝78，则此数列前20项和等于( )A ．160B ．180C ．200D ．220解析：选B.(a 1＋a 2＋a 3)＋(a 18＋a 19＋a 20)＝(－24)＋78＝54，又a 1＋a 20＝a 2＋a 19＝a 3＋a 18，则3(a 1＋a 20)＝54，所以a 1＋a 20＝18.则S 20＝20（a 1＋a 20）2＝10×18＝180. 4．已知数列{a n }的前n 项和公式是S n ＝2n 2＋3n ，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n ( ) A ．是公差为2的等差数列B ．是公差为3的等差数列C ．是公差为4的等差数列D ．不是等差数列解析：选A.因为S n ＝2n 2＋3n ，所以S n n＝2n ＋3， 当n ≥2时，S n n －S n －1n －1＝2n ＋3－2(n －1)－3＝2， 故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是公差为2的等差数列． 5．等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若a n b n ＝2n 3n ＋1，则S 21T 21的值为( ) A.1315B ．2335 C.1117 D ．49解析：选C.S 21T 21＝21（a 1＋a 21）221（b 1＋b 21）2＝a 1＋a 21b 1＋b 21＝a 11b 11＝2×113×11＋1＝1117. 6．若等差数列{a n }的前n 项和为S n ＝An 2＋Bn ，则该数列的公差为________．解析：数列{a n }的前n 项和为S n ＝An 2＋Bn ，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝An 2＋Bn －A (n －1)2－B (n －1)＝2An ＋B －A ，当n ＝1时满足，所以d ＝2A .答案：2A7．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且6S 5－5S 3＝5，则a 4＝________．解析：设等差数列的首项为a 1，公差为d ，则由6S 5－5S 3＝5知，6×(5a 1＋10d )－5(3a 1＋3d )＝5，得3(a 1＋3d )＝1，所以a 4＝13. 答案：138．若等差数列{a n }满足3a 8＝5a 13，且a 1>0，S n 为其前n 项和，则S n 最大时n ＝________．解析：因为3a 8＝5a 13，所以3(a 1＋7d )＝5(a 1＋12d )，所以d ＝－2a 139，故a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a 1－2a 139(n －1)＝a 139(41－2n )．由a 1>0可得当n ≤20时，a n >0，当n >20时，a n <0，所以S n 最大时n ＝20.答案：209．已知在等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d .由a 1＝1，a 3＝－3，可得1＋2d ＝－3，解得d ＝－2.所以a n ＝1＋(n －1)×(－2)＝3－2n .(2)由a 1＝1，d ＝－2，得S n ＝2n －n 2.又S k ＝－35，则2k －k 2＝－35，即k 2－2k －35＝0，解得k ＝7或k ＝－5.又k ∈N ＋，故k ＝7.10.某仓库有同一型号的圆钢600根，堆放成如图所示的形状，从第二层开始，每一层比下面一层少放一根，而第一层至少要比第二层少一根，要使堆垛的占地面积最小(即最下面一层根数最少)，则最下面一层放几根？共堆了多少层？解：设最下面一层放n 根，则最多可堆n 层，则1＋2＋3＋…＋n ＝n （n ＋1）2≥600， 所以n 2＋n －1 200≥0，记f (n )＝n 2＋n －1 200，因为当n ∈N ＋时，f (n )单调递增，而f (35)＝60>0，f (34)＝－10<0，所以n ≥35，因此最下面一层最少放35根．因为1＋2＋3＋…＋35＝630，所以最多可堆放630根，必须去掉上面30根，去掉顶上7层，共1＋2＋3＋…＋7＝28根，再去掉顶上第8层的2根，剩下的600根共堆了28层．[B 能力提升]11．等差数列{a n }的前四项之和为124，后四项之和为156，各项和为210，则此数列的项数为( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选B.由题意知a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝124，a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝156，所以4(a 1＋a n )＝280，所以a 1＋a n ＝70.又S n ＝n （a 1＋a n ）2＝n 2×70＝210，所以n ＝6. 12．若两个等差数列的前n 项和之比是(7n ＋1)∶(4n ＋27)，则它们的第11项之比为____________．解析：设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等差数列{b n }的前n 项和为T n ，则a 11＝a 1＋a 212，b 11＝b 1＋b 212， 所以a 11b 11＝12（a 1＋a 21）12（b 1＋b 21）＝12（a 1＋a 21）·2112（b 1＋b 21）·21＝S 21T 21＝7×21＋14×21＋27＝43. 答案：4∶313．已知数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前n 项和S n 满足S 2n ＝a n ⎝⎛⎭⎫S n －12. (1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 为等差数列，并求S n 的表达式； (2)设b n ＝S n 2n ＋1，求{b n }的前n 项和T n . 解：(1)由题意S 2n ＝a n ⎝⎛⎭⎫S n －12，结合a n ＝S n －S n －1(n ≥2)得S 2n ＝(S n －S n －1)⎝⎛⎭⎫S n －12(n ≥2)，化简整理得1S n －1S n －1＝2(n ≥2)，知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 为公差为2的等差数列，所以1S n ＝1S 1＋(n －1)×2＝1＋(n －1)×2＝2n －1，所以S n ＝12n －1. (2)b n ＝S n 2n ＋1＝12×⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1， 所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎝⎛1－13＋13－15＋…＋12n －1－ ⎭⎫12n ＋1＝12⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1.14．(选做题)已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 3·a 4＝117，a 2＋a 5＝22.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求S n 的最小值；(3)若数列{b n }是等差数列，且b n ＝S n n ＋c，求非零常数c 的值． 解：(1)因为数列{a n }为等差数列，所以a 3＋a 4＝a 2＋a 5＝22.又a 3·a 4＝117，所以a 3，a 4是方程x 2－22x ＋117＝0的两实根，又公差d >0，所以a 3<a 4，所以a 3＝9，a 4＝13，从而可得a 1＝1，d ＝4，所以a n ＝4n －3.(2)由(1)知a 1＝1，d ＝4，所以S n ＝na 1＋n （n －1）2·d ＝2n 2－n ＝2⎝⎛⎭⎫n －142－18，所以当n ＝1时，S n 最小，最小值为S 1＝a 1＝1.(3)由(2)知S n ＝2n 2－n ，所以b n ＝S n n ＋c ＝2n 2－n n ＋c ， 所以b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c .因为数列{b n }是等差数列，所以2b 2＝b 1＋b 3，即62＋c ×2＝11＋c ＋153＋c ，得2c 2＋c ＝0，所以c ＝－12或c ＝0(舍去)，所以c ＝－12.。

第02讲等差数列及其前n 项和(练）-2023年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）第02讲等差数列及其前n 项和(精练）A 夯实基础一、单选题（2022·四川省南充市白塔中学高一阶段练习（文））1．在等差数列{}n a 中，已知3412a a +=，则数列{}n a 的前6项之和为（）A ．12B ．32C ．36D ．37（2022·天津天津·高二期末）2．某中学的“希望工程”募捐小组暑假期间走上街头进行了一次募捐活动，共收到捐款1200元.他们第1天只得到10元，之后采取了积极措施，从第2天起，每一天收到的捐款都比前一天多10元.这次募捐活动一共进行的天数为（）A ．13B ．14C ．15D ．16（2022·北京市第十二中学高二阶段练习）3．设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列{}1n a a 为递减数列，则（）A ．0d <B ．0d >C ．10a d >D ．10a d <（2022·黑龙江双鸭山·高二期末）4．等差数列{}n a 中，已知70a >，2100a a +<，则{}n a 的前n 项和n S 的最小值为（）A ．5S B ．6S C ．7S D ．8S （2022·山东师范大学附中模拟预测）5．如图，在杨辉三角形中，斜线l 的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1，3，3，4，6，5，10，…，记其前n 项和为n S ，则22S =（）（2022·湖北·安陆第一高中高二阶段练习）6．已知数列{}n a 的前n 项和225n S n n =-，若1015k a <<，则k =（）A ．5B ．6C ．7D ．8（2022·全国·模拟预测）7．设等差数列{}n a 与等差数列{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T .若对于任意的正整数n 都有2131n n S n T n +=-，则89a b =（）A ．3552B ．3150C ．3148D ．3546（2022·全国·高二专题练习）8．等差数列{}n a 的首项为正数，其前n 项和为n S .现有下列命题，其中是假命题的有（）A ．若n S 有最大值，则数列{}n a 的公差小于0B ．若6130a a +=，则使0n S >的最大的n 为18C ．若90a >，9100a a +<，则{}n S 中9S 最大D ．若90a >，9100a a +<，则数列{}n a 中的最小项是第9项二、多选题（2022·黑龙江·鹤岗一中高二期中）9．已知等差数列{an }的公差为d ，前n 项和为Sn ，且91011S S S =<，则（）A ．d ＜0B ．a 10＝0C ．S 18＜0D ．S 8＜S 9（2022·浙江温州·高二期末）10．某“最强大脑”大赛吸引了全球10000人参加，赞助商提供了2009枚智慧币作为比赛奖金．比赛结束后根据名次（没有并列名次的选手）进行奖励，要求第k 名比第1k +名多2枚智慧币，每人得到的智慧币必须是正整数，且所有智慧币必须都分给参赛者，按此规则主办方可能给第一名分配（）智慧币．A ．300B ．293C ．93D ．89三、填空题（2022·全国·高二课时练习）11．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且20202019120202019S S -=，则数列{}n a 的公差为_______.（2022·江苏·高二）12．首项为正数的等差数列，前n 项和为n S ，且38S S =，当n =________时，n S 取到最大值.四、解答题（2022·山东·高二阶段练习）13．在等差数列{}n a 中，2745,6a a a ==+.(1)求{}n a 的通项公式；(2)设n S 为{}n a 的前n 项和，若99m S =，求m 的值.（2022·全国·高三专题练习（文））14．已知数列{}n a 的前n 项和为2230n S n n =-.（1）求出{}n a 的通项公式；（2）求数列n S n ⎧⎫⎨⎩⎭前n 项和最小时n 的取值B 能力提升一、单选题（2022·四川省绵阳南山中学高一期中）15．设等差数列{}n a 的公差为d ，其前n 项和为n S ，且513S S =，6140a a +<，则使得0n S <的正整数n 的最小值为（）A ．18B ．19C ．20D ．21（2022·全国·高三专题练习）16．已知公差非零的等差数列{}n a 满足38a a =，则下列结论正确的是（）A ．110S =B ．*11()110N n n S S n n -=≤≤∈,C ．当110S >时，5n S S ≥D ．当110S <时，5n S S ≥（2022·全国·高三专题练习）17．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知100S =，1525S =，则n n S +的最小值为______．（2022·辽宁辽阳·二模）18．“物不知数”是中国古代著名算题，原载于《孙子算经》卷下第二十六题：“今有物不知其数，三三数之剩二；五五数之剩三；七七数之剩二.问物几何？”它的系统解法是秦九韶在《数书九章》大衍求一术中给出的.大衍求一术（也称作“中国剩余定理”）是中国古算中最有独创性的成就之一，属现代数论中的一次同余式组问题，已知问题中，一个数被3除余2，被5除余3，被7除余2，则在不超过4200的正整数中，所有满足条件的数的和为______.（2022·山西吕梁·二模（理））19．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，151416>>S S S ，则满足10n n S S +⋅<的正整数n 是________．（2022·湖南衡阳·三模）20．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()*12n n n a a S n N+=∈，则24666a a a a +++⋅⋅⋅+=__________．C 综合素养（2022·山东济南·三模）21．如图1，洛书是一种关于天地空间变化脉络的图案，2014年正式入选国家级非物质文化遗产名录，其数字结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，形成图2中的九宫格，将自然数1，2，3，…，2n 放置在n 行n 列()3n ≥的正方形图表中，使其每行、每列、每条对角线上的数字之和（简称“幻和”）均相等，具有这种性质的图表称为“n 阶幻方”．洛书就是一个3阶幻方，其“幻和”为15．则7阶幻方的“幻和”为（）图1图2A ．91B ．169C ．175D ．180（2022·新疆克拉玛依·三模（文））22．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般的等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次成等差数列．如数列1，3，6，10，前后两项之差组成新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列．现有二阶等差数列，其前7项分别为2，3，5，8，12，17，23，则该数列的第31项为（）A ．636B ．601C ．483D ．467（2022·陕西·宝鸡中学模拟预测）23．“中国剩余定理”是关于整除的问题.现有这样一个问题“将1~2030这2030个自然数中，能被3整除余1且能被4整除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则该数列共有（）A ．170项B ．171项C ．168项D ．169项（2022·浙江·模拟预测）24．毕达哥拉斯学派是古希腊哲学家毕达哥拉斯及其信徒组成的学派，他们把美学视为自然科学的一个组成部分．美表现在数量比例上的对称与和谐，和谐起于差异的对立，美的本质在于和谐．他们常把数描绘成沙滩上的沙粒或小石子，并由它们排列而成的形状对自然数进行研究．如图所示，图形的点数分别为1,5,12,22, ，总结规律并以此类推下去，第8个图形对应的点数为________，若这些数构成一个数列，记为数列{}n a ，则322112321a a aa ++++= ________．（2022·辽宁·东北育才双语学校模拟预测）25．“物不知数”是中国古代著名算题，原载于《孙子算经》卷下第二十六题：“今有物不知其数，三三数之剩二；五五数之剩三；七七数之剩二.问物几何？”它的系统解法是秦九韶在《数书九章》大衍求一术中给出的.大衍求一术（也称作“中国剩余定理”）是中国古算中最有独创性的成就之一，属现代数论中的一次同余式组问题.已知问题中，一个数被3除余2，被5除余3，被7除余2，则在不超过2022的正整数中，所有满足条件的数的和为___________.参考答案：1．C【分析】直接按照等差数列项数的性质求解即可.【详解】数列{}n a 的前6项之和为()12345634336a a a a a a a a +++++=+=.故选：C.2．C【分析】由题意可得募捐构成了一个以10元为首项，以10元为公差的等差数列，设共募捐了n 天，然后建立关于n 的方程，求出n 即可．【详解】由题意可得，第一天募捐10元，第二天募捐20元，募捐构成了一个以10元为首项，以10元为公差的等差数列，根据题意，设共募捐了n 天，则(1)120010102n n n -=+⨯，解得15n =或16-（舍去），所以15n =，故选：C ．3．D【分析】根据数列{}1n a a 为递减数列列不等式，化简后判断出正确选项.【详解】依题意，数列{}n a 是公差为d 的等差数列，数列{}1n a a 为递减数列，所以111n n a a a a +>，()11n n a a a a d >+，1111,0n n a a a a a d a d >+<.故选：D 4．B【分析】由等差数列的性质将2100a a +<转化为60a <，而70a >，可知数列是递增数，从而可求得结果【详解】∵等差数列{}n a 中，2100a a +<，∴210620a a a +=<，即60a <．又70a >，∴{}n a 的前n 项和n S 的最小值为6S ．故选：B 5．B【分析】将数列的前22项写出来，再进行求和即可.【详解】根据杨辉三角的特征可以将数列继续写出到第22项：1，3，3，4，6，5，10，6，15，7，21，8，28，9，36，10，45，11，55，12，66，13，所以()()221361015212836455566345678910111213S =+++++++++++++++++++++()313112863742+⨯=+=故选：B 6．A【分析】由n a 与n S 的关系先求出n a ，再结合已知条件可求出答案.【详解】由()()22125215147(1)n n n a S S n n n n n n -⎡⎤=-=-----=->⎣⎦，得47,1n a n n =-=也适合，又由104715k <-<得171142k <<，又k *∈N ，∴5k =，故选:A ．7．B【分析】先设()21n S n nt =+，()31n T n nt =-，由887a S S =-，998b T T =-直接计算89a b 即可.【详解】设()21n S n nt =+，()31n T n nt =-，0t ≠.则88713610531a S S t t t =-=-=，99823418450b T T t t t =-=-=，所以893150a b =.故选：B.8．B【分析】由n S 有最大值可判断A ；由6139100a a a a +=+=，可得90a >，100a <，利用91018182+=⨯a a S 可判断BC ；90a >，9100a a +<得90a >，991010a a a a =<-=，可判断D.【详解】对于选项A ，∵n S 有最大值，∴等差数列{}n a 一定有负数项，∴等差数列{}n a 为递减数列，故公差小于0，故选项A 正确；对于选项B ，∵6139100a a a a +=+=，且10a >，∴90a >，100a <，∴179=170S a >，910181802a a S +=⨯=，则使0n S >的最大的n 为17，故选项B 错误；对于选项C ，∵90a >，9100a a +<，∴90a >，100a <，故{}n S 中9S 最大，故选项C 正确；对于选项D ，∵90a >，9100a a +<，∴90a >，991010a a a a =<-=，故数列{}n a 中的最小项是第9项，故选项D 正确.故选：B.9．BC【分析】由91011S S S =<，得100,0d a >=，判断出A,B 选项，再结合90a <，11818118910918()9()9()92a a S a a a a a +==+=+=判断C 选项，再根据等式性质判断D 选项【详解】910S S = ，101090a S S ∴=-=，所以B 正确又1011S S <,111110100a S S a d ∴=-=+>,0d ∴>,所以A 错误1090,0,0a d a =>∴< 11818118910918()9()9()902a a S a a a a a +==+=+=<，故C 正确9989890,,a S S a S S <=+∴> ,故D 错误故选：BC 10．BD【分析】设第一名分配m 个智慧币，且总共有x 名参赛选手获奖，根据等差数列知识可得20091m x x=+-，分类讨论可得结果.【详解】设第一名分配m 个智慧币，且总共有x 名参赛选手获奖，则智慧币分配如下：()()()2122212009m m m m x +-⨯+-⨯++--=⎡⎤⎣⎦ ，即()21212009xm x -+++-=⎡⎤⎣⎦ ，又()()()211112122x x x x x +--⎡⎤-⎣⎦+++-==，∴22009xm x x +-=，即20091m x x=+-，∵x ，m 都为正整数，且20097741=⨯⨯，∴7x =，2009712937m =+-=，41x =，20094118941m =+-=，49x =，20094918949m =+-=，287x =，20092871293287m =+-=，∴第一名分配89或293个智慧币．故选：BD 11．2【分析】由题意列出关于公差d 的方程，解方程即可．【详解】设数列{}n a 的公差为d ，则由20202019120202019S S -=可得：1120202019201920182020201922120202019a d a d ⨯⨯++-=，化简可得()112019100912a d a d +-+=，解得2d =，故答案为：2．12．5或6##6或5【分析】结合已知条件和等差数列的性质，求出数列{}n a 是单调递减数列，进而求解.【详解】由题意，设等差数列为{}n a 且10a >，公差为d ，因为38S S =，所以8345678650S S a a a a a a -=++++==，即60a =，因为10a >，所以61150a a d a -==-<，即0d <，所以{}n a 为单调递减的等差数列，即125670a a a a a >>>>=> 故当5n =或6时，n S 最大.故答案为：5或6.13．(1)21n a n =+(2)9m =【分析】（1）根据题意得到1115636a d a d a d +=⎧⎨+=++⎩，再解方程组即可.（2）根据前n 项和公式求解即可.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意可得1115636a d a d a d +=⎧⎨+=++⎩，解得132a d =⎧⎨=⎩.故()1121n a a n d n =+-=+.（2）由等差数列的前n 项和公式可得()1222n n a a nS n n +==+.因为99m S =，所以2299m m +=，即()()9110m m -+=，解得9m =（11m =-舍去）.14．（1）432n a n =-；（2）当14n =或15n =时，数列n S n ⎧⎫⎨⎩⎭前n 项和取得最小值.【分析】（1）根据2230n S n n =-，分别讨论1n =，2n ≥两种情况，根据n S 与n a 的关系即可求出结果；（2）根据等差数列前n 项和的函数特征，即可得出结果.【详解】（1）因为2230n S n n =-，所以当1n =时，2112130128a S ==⨯-⨯=-；当2n ≥时，221=230)2(1)30(1)432n n n a S S n n n n n -⎡⎤=------=-⎣⎦（；显然1n =是，也满足432n a n =-，所以432n a n =-；(2)因为2230230n S n n n n n-==-，所以数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，其前n 项和()()2228230298412929224n n n T n n n n n -+-⎛⎫==-=-=-- ⎪⎝⎭又*n ∈N ，所以当14n =或15n =时，n T 取得最小值.15．B【分析】由513S S =可得9100a a +=，由6140a a +<可得100a <，结合求和公式可得180S >，190S <，结合选项即可求解.【详解】由513S S =可得6712130a a a a ++++=L ，又613712811910a a a a a a a a +=+=+=+，可得9100a a +=，由6141020a a a +=<，可得100a <，则90,0a d ><，()()()11818118910189902a a S a a a a +==+=+>，()1191910191902a a S a +==<，故使得0n S <的正整数n 的最小值为19.故选：B.16．C【分析】根据给定条件，推理可得380a a +=，再结合等差数列性质逐项分析各个选项，判断作答.【详解】因公差非零的等差数列{an }满足38a a =，则有380a a +=，有35680a a a a +=+=，56,a a 异号且均不为0，对于A ，11111611()1102a a S a +=≠=，A 不正确；对于B ，110561010()5()=02a a a S a +=+=，而110S a =≠，此时，11n n S S -≠，B 不正确；对于C ，由选项A 知，116110S a =>，即60a >，则50a <，于是得10,0a d <>，数列{}n a 是递增数列，即()5min n S S =，5n S S ≥，C 正确；对于D ，由110S <得60a <，则50a >，于是得10,0a d ><，数列{}n a 是递减数列，即()5max n S S =，5n S S ≤，D 不正确.故选：C17．4-【分析】由条件得到1323a d =-⎧⎪⎨=⎪⎩，再由求和公式得()21103n S n n -=，从而得21749324n n S n ⎡⎤⎛⎫+=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦可求解.【详解】由()112n n n d S na -=+，100S =，1525S =得11104501510525a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得：1323a d =-⎧⎪⎨=⎪⎩，则()()2121310233n n n S n n n -=-+⋅-=．故()221174973324n n S n n n ⎡⎤⎛⎫+=-=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦．由于N n *∈，故当3n =或4时，()min 4n n S +=-.故答案为：4-18．82820【分析】找出满足条件的最小整数值为23，可知满足条件的数形成以23为首项，以105为公差的等差数列，确定该数列的项数，利用等差数列的求和公式可求得结果.【详解】由题可知满足被3除余2，被5除余3.被7除余2的最小的数为23，满足该条件的数从小到大构成以23为首项，357⨯⨯为公差的等差数列，其通项公式为10582n a n =-，令4200n a ≤，解得8240105n ≤，则所有满足条件的数的和为40392340105828202⨯⨯+⨯=.故答案为：82820.19．29【分析】推导出150a >，160a <，16150+<a a ，利用等差数列的求和公式可得出290S >，300S <，即可得解.【详解】由15140->S S ，得150a >，由16150-<S S ，得160a <，由16140-<S S ，得16150+<a a ，所以()129152929292022+⨯==>a a a S ，()()1301516303030022++==<a a a a S ，所以满足10n n S S +⋅<的正整数n 是29．故答案为：29.20．1122【分析】根据题意可知0n a >，当1n =时，由1122S a a =可求出22a =；当2n ≥时，可证出{}2n a 为一个以2为首项，2为公差的等差数列，最后利用等差数列的前n 项和，即可求出结果.【详解】由于数列{}n a 的各项均为正数，即0n a >，当1n =时，1122S a a =，即1122a a a =，∴22a =，当2n ≥时，由12n n n S a a +=，可得112n n n S a a --=，两式相减得()112n n n n a a a a +-=-，又∵0n a ≠，∴112n n a a +--=，∴{}2n a 为一个以2为首项，2为公差的等差数列，∴()()246212212n n n a a a a n n n -⨯++++=+=+L .故2466633341122a a a a +++⋅⋅⋅+=⨯=故答案为：112221．C【分析】根据“幻和”的定义，将自然数1至2n 累加除以n 即可得结果.【详解】由题意，7阶幻方各行列和，即“幻和”为12 (491757)+++=.故选：C22．D【分析】根据题意，设该数列为{}n a ，分析可得{}n a 满足12a =，11(2)n n a a n n --=- ，利用累加法计算可得．【详解】解：根据题意，设该数列为{}n a ，数列的前7项为2，3，5，8，12，17，23，则{}n a 满足12a =，11(2)n n a a n n --=- ，则3131303029211(301)30()()()30291224672a a a a a a a a +⨯=-+-++-+=++++=+= ，故选：D ．23．A 【分析】由题意可得{}n a 为能被12整除余1的数，进而求得数列{}n a 的通项公式再分析1~2030中满足条件的数即可【详解】能被3整除余1且能被4整除余1的数即被12整除余1的数，故121,n n a n N =+∈，由题意，1212030n n a =+≤，故116912n ≤，故当0,1,2...169n =时成立，共170项.故选：A24．92336【分析】记第n 个图形的点数为n a ，由图形，归纳推理可得113(1)n n a a n --=+-，再根据累加得可得(31)2n n a n =-，进而求出8a ．由于(31)2n n a n =-可得312n a n n -=，根据等差数列的前n 项和即可求出322112321a a a a ++++ 的结果.【详解】记第n 个图形的点数为n a ，由题意知11a =，214131a a -==+⨯，32132a a -=+⨯，43133a a -=+⨯，…，113(1)n n a a n --=+-，累加得147[13(1)](31)2n n a a n n -=++++-=- ，即(31)2n n a n =-，所以892a =．又312n a n n -=，所以3221111262(25862)213362321222a a a a +++++=++++=⨯⨯= ．25．20410【分析】找出满足条件的最小整数值为23，可知满足条件的数形成以23为首项，以105为公差的等差数列，确定该数列的项数，利用等差数列的求和公式可求得结果.【详解】由题意可知，一个数被3除余2，被5除余3，被7除余2，则这个正整数的最小值为23，因为3、5、7的最小公倍数为105，由题意可知，满足条件的数形成以23为首项，以105为公差的等差数列，设该数列为{}n a ，则()23105110582n a n n =+-=-，由105822022n a n =-≤，可得2104105n ≤，所以，n 的最大值为20，所以，满足条件的这些整数之和为20191052023204102⨯⨯⨯+=.故答案为：20410.。

等差数列与前n项和练习试题（可编辑修改word版）第1 讲等差数列及其前n 项和⼀、填空题1．在等差数列{a n}中，a3＋a7＝37，则a2＋a4＋a6＋a8＝.2.设等差数列{a }的前n 项和为S ，若S4 －S3＝1，则公差为．n n12 93.在等差数列{a n}中，a1＞0，S4＝S9，则S n取最⼤值时，n＝.4．在等差数列{a n}中，若a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9＝27，则S9＝. 5．设等差数列{a n}的公差为正数，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，则a11＋a12＋a13＝.6.已知数列{a n}的前n 项和为S n＝2n2＋pn，a7＝11.若a k＋a k＋1＞12，则正整数k 的最⼩值为．7.已知数列{a n}满⾜递推关系式a n＝2a n＋2n－1(n∈N*)，且a n＋λ为等差数{ 2n }＋1列，则λ的值是．8.已知数列{a n}为等差数列，S n为其前n 项和，a7－a5＝4，a11＝21，S k＝9，则k＝.10.已知f(x)是定义在R 上不恒为零的函数，对于任意的x，y∈R，都有f(x·y)＝xf(y)＋yf(x)成⽴．数列{a n}满⾜a n＝f(2n)(n∈N*)，且a1＝2.则数列的通项公式a n＝.⼆、解答题1.已知等差数列{a n}的前三项为a－1,4,2a，记前n 项和为S n.(1)设S k＝2 550，求a 和k 的值；(2)设b n＝S n，求b ＋b ＋b ＋…＋b 的值．3 7 114n－1n12.已知数列{a n}的通项公式为a n＝2n，若a3，a5分别为等差数列{b n}的第3 项和第5 项，试求数列{b n}的通项公式及前n 项和S n.13.在等差数列{a n}中，公差d＞0，前n 项和为S n，a2·a3＝45，a1＋a5＝18.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)令b n＝S n(n∈N*)，是否存在⼀个⾮零常数c，使数列{b n}也为等差数列？n＋c若存在，求出c 的值；若不存在，请说明理由．第2 讲等⽐数列及其前n 项和⼀、填空题1.设数列{a n2}前n项和为S n，a1＝t，a2＝t2，S n＋2－(t＋1)S n＋1＋tS n＝0，则{a n}是数列，通项a n＝.解析由S n＋2－(t＋1)S n＋1＋tS n＝0，得S n＋2－S n＋1＝t(S n＋1－S n)，所以a n＋2＝ta，所以a n＋2＝t，⼜a2＝t，n＋1a n＋1 a1所以{a n}成等⽐数列，且a n＝t·t n－1＝t n.答案等⽐t n2.等⽐数列{a }的前n 项和为S 8a ＋a ＝0，则S6＝.n n, 2 5S34 2 2 2 8 8 解∵8a 2＋a 5＝8a 1q ＋a 1q 4＝a 1q (8＋q 3)＝0 ∴q ＝－2∴S 6＝1－q 6＝1＋q 3＝－7.S 3 1－q 3 答案－73. 数列{a n }为正项等⽐数列，若 a 2＝2，且 a n ＋a n ＋1＝6a n －1(n ∈N ，n ≥2)，则此数列的前 4 项和 S 4＝ .解析由 a 1q ＝2，a 1q n －1＋a 1q n ＝6a 1q n －2，得 q n －1＋q n ＝6q n －2，所以 q 2＋q ＝6.⼜ q ＞0，所以 q ＝2，a 1＝1.所以 S ＝a 11－q 4＝1－24＝15.1－q 1－2答案 154. 已知等⽐数列{a n }的前 n 项和 S n ＝t ·5n －2－1，则实数 t 的值为．5解析∵a 1＝S 1＝1t －1，a 2＝S 2－S 1＝4t ，a 3＝S 3－S 2＝4t ，∴由{a n }是等⽐数 5 5 5 列知 4t 2＝ 1t 1 ×4t ，显然 t≠0，所以 t ＝5.(5 ) (5－ )5答案 55. 已知各项都为正数的等⽐数列{a n }中，a 2·a 4＝4，a 1＋a 2＋a 3＝14，则满⾜ a n ·a n ＋1·a n ＋2≥1的最⼤正整数 n 的值为．8解析由等⽐数列的性质，得 4＝a 2·a 4＝a 32(a 3＞0)，所以 a 3＝2，所以 a 1＋a 2＝14－a 3＝12，于是由Error!解得Error!所以 a n ＝8·(1)n －1＝(1)n －4. 于是由 a n ·a n ＋1·a n ＋2＝a n ＋3 1＝(1)3(n －3)＝(1)n －3≥1，得 n －3≤1，即 n ≤4.33答案 46．在等⽐数列{a n }中，a n >0，若 a 1·a 2·…·a 7·a 8＝16，则 a 4＋a 5 的最⼩值为．解析由已知 a 1a 2·…·a 7a 8＝(a 4a 5)4＝16，所以 a 4a 5＝2，⼜ a 4＋a 5≥2 a 4a 5＝2 2(当且仅当 a 4＝a 5＝答案 2 2时取等号)．所以 a 4＋a 5 的最⼩值为 2 2.7. 已知递增的等⽐数列{a }中，a ＋a ＝3，a ·a ＝2，则a 13＝.n 2 8 3 7a 10解析∵{a n }是递增的等⽐数列，∴a 3a 7＝a 2a 8＝2，⼜∵a 2＋a 8＝3，∴a 2，a 8 是⽅程 x 2－3x ＋2＝0 的两根，则 a 2＝1，a 8＝2，∴q 6＝ a 8＝2，∴q 3＝a 22，∴a 13＝q 3＝ 2.a 10答案8. 设 1＝a 1≤a 2≤…≤a 7，其中 a 1，a 3，a 5，a 7 成公⽐为 q 的等⽐数列，a 2，a 4，a 6成公差为 1 的等差数列，则 q 的最⼩值为．解析由题意知 a 3＝q ，a 5＝q 2，a 7＝q 3 且 q ≥1，a 4＝a 2＋1，a 6＝a 2＋2 且a 2≥1，那么有 q 2≥2 且 q 3≥3.故 q ≥3 3，即 q 的最⼩值为3 3. 答案⼆、解答题11．在等差数列{a n }中，a 2＋a 7＝－23，a 3＋a 8＝－29.(1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 设数列{a n ＋b n }是⾸项为 1，公⽐为 c 的等⽐数列，求{b n }的前 n 项和 S n .解 (1)设等差数列{a n }的公差是 d .依题意 a 3＋a 8－(a 2＋a 7)＝2d ＝－6，从⽽ d ＝－3.22nn由 a 2＋a 7＝2a 1＋7d ＝－23，解得 a 1＝－1. 所以数列{a n }的通项公式为 a n ＝－3n ＋2.(2)由数列{a n ＋b n }是⾸项为 1，公⽐为 c 的等⽐数列，得 a n ＋b n ＝c n －1，即－3n ＋2＋b n ＝c n －1，所以 b n ＝3n －2＋c n －1.所以 S n ＝[1＋4＋7＋…＋(3n －2)]＋(1＋c ＋c 2＋…＋c n －1) ＝n3n －1＋(1＋c ＋c 2＋…＋c n －1)． 2从⽽当 c ＝1 时，S ＝n 3n －1＋n ＝3n 2＋n . 2 2当 c ≠1 时，S n ＝n3n －1＋1－c n . 2 1－c12. 设各项均为正数的等⽐数列{a n }的前 n 项和为 S n ，S 4＝1，S 8＝17.(1)求数列{a n }的通项公式；( 2)是否存在最⼩的正整数 m ，使得 n ≥m 时，a n >2 011恒成⽴？若存在，求15出 m ；若不存在，请说明理由．解 (1)设{a }的公⽐为 q ，由 S ＝1，S ＝17 知 q ≠1，所以得a1q 4－1＝1， n48a 1q 8－1＝17. q－1q －1相除得q 8－1＝17，解得 q 4＝16.所以 q ＝2 或 q ＝－2(舍去)． q 4－1由 q ＝2 可得 a ＝ 1 ，所以 a ＝2n －1.1n15 15 (2)由 a ＝2n －1>2 011，得 2n －1>2 011，⽽ 210<2 011<211，所以 n －1≥11， 1515即 n ≥12.2 011恒成⽴．因此，存在最⼩的正整数m＝12，使得n≥m 时，a n>1513.已知公差⼤于零的等差数列{a n}的前n项和为S n，且满⾜a2·a4＝65，a1＋a5＝18.(1)求数列{a n}的通项公式a n.(2)若1＜i＜21，a1，a i，a21是某等⽐数列的连续三项，求i 的值；(3)是否存在常数k，使得数列{S n＋kn}为等差数列？若存在，求出常数k；若不存在，请说明理由．解(1)因为a1＋a5＝a2＋a4＝18，⼜a2·a4＝65，所以a2，a4是⽅程x2－18x＋65＝0 的两个根．⼜公差d＞0，所以a2＜a4.所以a2＝5，a4＝13. 所以Error!解得a1＝1，d＝4.所以a n＝4n－3.(2)由1＜i＜21，a1，a i，a21是某等⽐数列的连续三项，所以a1·a21＝a2i，即1·81＝(4i－3)2，解得i＝3.(3)由(1)知，S n＝n·1＋n n－1·4＝2n2－n.2假设存在常数k，使数列{ S n＋kn}为等差数列，由等差数列通项公式，可设S n＋kn＝an＋b，得2n2＋(k－1)n＝an2＋2abn＋b 恒成⽴，可得a＝2，b＝0，k＝1.所以存在k＝1 使得{ S n＋kn}为等差数列．第3 讲等差数列、等⽐数列与数列求和⼀、填空题1.设{a n}是公差不为0 的等差数列，a1＝2 且a1，a3，a6成等⽐数列，则{a n}的前 n 项和 S n ＝ .解析由题意设等差数列公差为 d ，则 a 1＝2，a 3＝2＋2d ，a 6＝2＋5d .⼜∵a 1，a 3，a 6 成等⽐数列，∴a 32＝a 1a 6，即(2＋2d )2＝2(2＋5d )，整理得 2d 2－d ＝0.∵ d ≠0，∴d ＝1，∴S ＝na ＋n n －1d ＝n 2＋7n .n 12 2 4 4答案 n 24 42. 数列{a n }的通项公式a n＝1，若前 n 项的和为 10，则项数为．n ＋ n ＋1解析∵a n ＝答案 1201＝ n ＋ n ＋1n ＋1－ n ，∴S n ＝ n ＋1－1＝10，∴n ＝120.3. 已知等差数列{a n }的前 n 项和为 S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列{ 1}的前 100a n a n ＋1项和为．解析∵a ＝5，S ＝15，∴5a 1＋a 5＝15，即 a ＝1.5512 ∴d ＝a 5－a 1＝1，∴a ＝n .∴ 1 ＝1 ＝1－ 1 .设数列 1 的前5－1n 项和为 T n .na n a n ＋1 n n ＋1 nn ＋1{a n a n ＋1}∴T 100＝(1－1)＋(1＋…＋(1 )＝1－ 1 ＝100.2 3 答案 100101100 101 101 1014．已知数列{a n }，{b n }都是等差数列，a 1＝5，b 1＝7，且 a 20＋b 20＝60.则{a n ＋b n } 的前 20 项的和为．解析由题意知{a n ＋b n }也为等差数列，所以{a n ＋b n }的前 20 项和为：S 20＝ 20a 1＋b 1＋a 20＋b 20＝20 × 5＋7＋60＝720.2 22 －－ 1c d n22 1 an a n＋1答案7205．已知等⽐数列{a n}的前n项和S n＝2n－1，则a12＋a2＋…＋a n2＝.解析当n＝1 时，a1＝S1＝1，当n≥2 时，a n＝S n－S n－1＝2n－1－(2n－1－1)＝2n－1，⼜∵a1＝1 适合上式．∴a n＝2n－1，∴a n2＝4n－1.∴数列{a n2}是以a21＝1 为⾸项，以4 为公⽐的等⽐数列．∴a12＋a2＋…＋a n2＝1·1－4n＝1(4n－1)．答案1(4n－1)31－4 36．定义运算：|a b|＝ad－bc，若数列{a}满⾜|a1 1|＝1 且| 3 3 |＝12(n∈N*)，则a3＝，数列{a n}的通项公式为a n＝.解析由题意得a1－1＝1,3a n＋1－3a n＝12 即a1＝2，a n＋1－a n＝4.∴{a n}是以2 为⾸项，4 为公差的等差数列，∴a n＝2＋4(n－1)＝4n－2，a3＝4×3－2＝10.答案10 4n－27．在等⽐数列{a n}中，a1＝1，a4＝－4，则公⽐q＝；|a1|＋|a2|＋…＋|a n|＝2.解析∵a 4＝q3＝－8，∴q＝－2.∴a ＝1·(－2)n－1，na1 21n1－2∴|a n|＝2n－2，∴|a1|＋|a2|＋…＋|a n|＝2 ＝2n－1－1.1－2 2 答案－2 2n－1－128.已知S n是等差数列{a n}的前n 项和，且S11＝35＋S6，则S17的值为．解析因S11＝35＋S6，得11a1＋11 × 10d＝35＋6a1＋6 × 5d，即a1＋8d＝2 27，所以S17＝17a1＋17 × 16d＝17(a1＋8d)＝17×7＝119.2答案1199.等差数列{a n}的公差不为零，a4＝7，a1，a2，a5成等⽐数列，数列{T n}满⾜条件T n＝a2＋a4＋a8＋…＋a2n，则T n＝.解析设{a n}的公差为d≠0，由a1，a2，a5成等⽐数列，得a2＝a1a5，即(7－2d)2＝(7－3d)(7＋d)所以d＝2 或d＝0(舍去)．所以a n＝7＋(n－4)×2＝2n－1.⼜a2n＝2·2n－1＝2n＋1－1，故T n＝(22－1)＋(23－1)＋(24－1)＋…＋(2n＋1－1)＝(22＋23＋…＋2n＋1)－n＝2n＋2－n－4.答案2n＋2－n－410.数列{a n}的通项公式a n＝2n－1，如果b n＝2n，那么{b n}的前n 项和a n＋a n＋1为．解析b n＝2n n＝2n＋1－1－2n－1，a n＋a n＋1所以b1＋b2＋…＋b n＝22－1－2－1＋23－1－22－1＋…＋－2n－1＝2n＋1－1－1.答案⼆、解答题2n＋1－1－111.已知{a n}为等差数列，且a3＝－6，a6＝0.2n＋1－1n (1) 求{a n }的通项公式；(2) 若等⽐数列{b n }满⾜ b 1＝－8，b 2＝a 1＋a 2＋a 3，求{b n }的前 n 项和公式．解 (1)设等差数列{a n }的公差为 d . 因为 a 3＝－6，a 6＝0，所以Error!解得 a 1＝－10，d ＝2. 所以 a n ＝－10＋(n －1)·2＝2n －12. (2)设等⽐数列{b n }的公⽐为 q .因为 b 2＝a 1＋a 2＋a 3＝－24，b 1＝－8，所以－8q ＝－24，即 q ＝3. 所以{b }的前 n 项和公式为 S ＝b 1 1－q n ＝4(1－3n )．n n 1－q13.记公差 d ≠0 的等差数列{a n }的前 n 项和为 S n ，已知 a 1＝2＋ 2，S 3＝12＋3(1) 求数列{a n }的通项公式 a n 及前 n 项和 S n .(2) 已知等⽐数列{b nk }，b n ＋ 2＝a n ，n 1＝1，n 2＝3，求 n k .(3) 问数列{a n }中是否存在互不相同的三项构成等⽐数列，说明理由．解 (1)因为 a 1＝2＋所以 d ＝2.2，S 3＝3a 1＋3d ＝12＋3 2，所以 a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n ＋ 2，S ＝n a 1＋a n ＝n 2＋( 22＋1)n . (2) 因为 b n ＝a n －所以 bn k ＝2n k .2＝2n ，2.⼜因为数列{bn }的⾸项bn ＝b ＝2，公⽐q＝b 3＝3，k 1 1b1 所以bn k＝2·3k－1.所以2n k＝2·3k－1，则n k＝3k－1.(3)假设存在三项a r，a s，a t成等⽐数列，则a2s＝a r·a t，即有(2s＋2)2＝(2r＋2)(2t＋2)，整理得(rt－s2) 2＝2s－r－t.若rt－s2≠0，则2＝2s－r－t，rt－s2因为r，s，t∈N*，所以2s－r－t是有理数，这与rt－s22为⽆理数⽭盾；若rt－s2＝0，则2s－r－t＝0，从⽽可得r＝s＝t，这与r综上可知，不存在满⾜题意的三项a r，a s，a t.。

等差数列求和练习题一、基础练习题1. 求和公式：已知等差数列的首项为a₁，公差为d，项数为n，求前n项和Sₙ。

解答：Sn = n/2 * (a₁ + an) = n/2 * (a₁ + a₁ + (n-1)d) = n/2 * (2a₁ + (n-1)d)2. 求和公式：已知等差数列的首项为a₁，公差为d，项数为n，求前n项和Sₙ。

解答：Sn = n/2 * (a₁ + an) = n/2 * (a₁ + a₁ + (n-1)d) = n/2 * (2a₁ + (n-1)d)二、练习题1. 求解下列等差数列的前n项和：（1）首项a₁ = 3，公差d = 2，项数n = 5解答：代入求和公式得：S₅ = 5/2 * (3 + 3 + (5-1)*2) = 5/2 * (6 + 8) = 5/2 * 14 = 35（2）首项a₁ = -2，公差d = 3，项数n = 8解答：代入求和公式得：S₈ = 8/2 * (-2 + (-2) + (8-1)*3) = 8/2 * (-4 + 21) = 8/2 * 17 = 68（3）首项a₁ = 1，公差d = 0，项数n = 10解答：代入求和公式得：S₁₀ = 10/2 * (1 + 1 + (10-1)*0) = 10/2 * (2 + 0) = 10/2 * 2 = 102. 求解下列等差数列的前n项和：（1）首项a₁ = 2，公差d = 4，项数n = 6解答：代入求和公式得：S₆ = 6/2 * (2 + 2 + (6-1)*4) = 6/2 * (4 + 20) = 6/2 * 24 = 72（2）首项a₁ = 0，公差d = -3，项数n = 7解答：代入求和公式得：S₇ = 7/2 * (0 + 0 + (7-1)*(-3)) = 7/2 * (0 - 18) = 7/2 * (-18) = -63（3）首项a₁ = 1，公差d = 1，项数n = 100解答：代入求和公式得：S₁₀₀ = 100/2 * (1 + 1 + (100-1)*1) = 100/2 * (2 + 99) = 100/2 * 101 = 5050三、进阶练习题1. 求解下列等差数列的前n项和：（1）首项a₁ = 3，公差d = 2，项数n为首项的二倍解答：由题可知n = a₁ * 2 = 3 * 2 = 6，代入求和公式得：S₆ = 6/2 * (3 + 3 + (6-1)*2) = 6/2 * (6 + 10) = 6/2 * 16 = 48（2）首项a₁ = -2，公差d = 3，项数n为首项的三倍解答：由题可知n = a₁ * 3 = -2 * 3 = -6，代入求和公式得：S₋₆ = -6/2 * (-2 + (-2) + (-6-1)*3) = -6/2 * (-4 + (-21)) = -6/2 * (-25) = 752. 求解下列等差数列的前n项和：（1）首项a₁ = 2，项数n为公差的四倍，公差d = 3解答：由题可知n = d * 4 = 3 * 4 = 12，代入求和公式得：S₁₂ = 12/2 * (2 + 2 + (12-1)*3) = 12/2 * (4 + 33) = 12/2 * 37 = 222（2）首项a₁ = 0，项数n为公差的五倍，公差d = -2解答：由题可知n = d * 5 = -2 * 5 = -10，代入求和公式得：S₋₁₀ = -10/2 * (0 + 0 + (-10-1)*(-2)) = -10/2 * (0 - 18) = -10/2 * (-18) = 90综上所述，通过练习题的求解，我们熟悉了等差数列的求和公式，并能够灵活运用求和公式解决不同条件下的等差数列求和问题。