求等差数列前n项和的最值问题的两种常用解法

第二节 等差数列2019考纲考题考情1．等差数列的有关概念 (1)等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示，定义表达式为a n －a n －1＝d (常数)(n ∈N *，n ≥2)或a n ＋1－a n ＝d (常数)(n ∈N *)。

(2)等差中项若三个数a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且有A ＝a ＋b2。

2．等差数列的有关公式 (1)等差数列的通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d 。

(2)等差数列的前n 项和公式设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝na 1＋n (n －1)2d 或S n ＝n (a 1＋a n )2。

3．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)。

(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n 。

(等和性) (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d 。

(4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列。

(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列。

(6)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列。

(7)S 2n －1＝(2n －1)a n 。

(8)若n 为偶数，则S 偶－S 奇＝nd2；若n 为奇数，则S 奇－S 偶＝a 中(中间项)。

1．用等差数列的定义判断数列是否为等差数列，要注意定义中的三个关键词：“从第2项起”“每一项与它的前一项的差”“同一个常数”。

等差数列前n 项和的最值问题问题引入：已知数列{},n a 的前n 项和212n S n n =+,求这个数列的通项公式.数列是等差数列吗?如果是,它的首项与公差分别是什么? 解:当n>1时:1122n n n a s s n -=-==-当n=1时:211131122a s ==+⨯= 综上:122na n =-,其中:132a =,2d =探究1:一般地,如果一个数列{}n a 的前n 项和为:2,ns pn qn r =++其中:p.q.r 为常数,且p ≠0,那么这个数列一定是等差数列吗?如果是,它的首项和公差分别是什么?结论:当r=0时为等差,当r ≠0时不是一、 应用二次函数图象求解最值 例1：等差数列{}n a 中， 1490,a S S >=，则n 的取值为多少时？n S 最大分析：等差数列的前n 项和n S 是关于n 的二次函数，因此可从二次函数的图象的角度来求解。

解析：由条件1490,a S S >=可知，d<0，且211(1)()222n n n d dS na d n a n -=+=+-， 其图象是开口向下的抛物线，所以在对称轴处取得最大值，且对称轴为496.52n +==，而n N *∈，且6.5介于6与7的中点，从而6n =或7n =时n S 最大。

1.已知等差数列{n a }中1a =13且3S =11S ,那么n 取何值时,n S 取最大值.解析：设公差为d ，由3S =11S 得：3×13+3×2d/2=11×13+11×10d/2 d= -2,n a =13-2(n-1), n a =15-2n,由⎩⎨⎧≤≥+0a 0a 1n n 即⎩⎨⎧≤+-≥-0)1n (2150n 215得：6.5≤n ≤7.5,所以n=7时,n S 取最大值.2.已知a n 是各项不为零的等差数列，其中a 1＞0，公差d ＜0，若S 10=0，求数列a n 前 5 项和取得最大值．结合二次函数的图象，得到二次函数图象的开口向下，根据图象关于对称轴对称的特点，得到函数在对称轴处取到最大值，，注意对称轴对应的自变量应该是整数或离对称轴最近的整数．a n 是各项不为零的等差数列，其中a 1＞0，公差d ＜0，S 10=0，根据二次函数的图象特点得到图象开口向下，且在n=错误!未找到引用源。

第2节 等差数列及其前n 项和考试要求 1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式；3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题；4.体会等差数列与一次函数的关系.知 识 梳 理1.等差数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.数学语言表达式：a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数).(2)若a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a ，b 的等差中项，且A ＝a ＋b2.2.等差数列的通项公式与前n 项和公式(1)若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n （n －1）d 2＝n （a 1＋a n ）2.3.等差数列的性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *).(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n .(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列. (4)若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列.(5)若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为等差数列.[微点提醒]1.已知数列{a n }的通项公式是a n ＝pn ＋q (其中p ，q 为常数)，则数列{a n }一定是等差数列，且公差为p .2.在等差数列{a n }中，a 1＞0，d ＜0，则S n 存在最大值；若a 1＜0，d ＞0，则S n 存在最小值.3.等差数列{a n }的单调性：当d ＞0时，{a n }是递增数列；当d ＜0时，{a n }是递减数列；当d ＝0时，{a n }是常数列.4.数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数).基 础 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( ) (2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的.( )(3)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数.( ) (4)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数.( ) 解析 (3)若公差d ＝0，则通项公式不是n 的一次函数. (4)若公差d ＝0，则前n 项和不是二次函数. 答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)×2.(必修5P46A2改编)设数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 6＝2且S 5＝30，则S 8等于( ) A.31B.32C.33D.34解析 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝2，5a 1＋10d ＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝263，d ＝－43，∴S 8＝8a 1＋8×72d ＝32.答案 B3.(必修5P68A8改编)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8＝________. 解析 由等差数列的性质，得a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝450，∴a 5＝90，∴a 2＋a 8＝2a 5＝180. 答案 1804.(2018·全国Ⅰ卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( ) A.－12B.－10C.10D.12解析 设等差数列{a n }的公差为d ，则3(3a 1＋3d )＝2a 1＋d ＋4a 1＋6d ，即d ＝－32a 1.又a 1＝2，∴d ＝－3，∴a 5＝a 1＋4d ＝2＋4×(－3)＝－10. 答案 B5.(2019·上海黄浦区模拟)已知等差数列{a n }中，a 2＝1，前5项和S 5＝－15，则数列{a n }的公差为( ) A.－3B.－52C.－2D.－4解析 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，因为⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，S 5＝－15，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝1，5a 1＋5×42d ＝－15， 解得d ＝－4. 答案 D6.(2019·苏北四市联考)在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8>0，且S 9<0，则S 1，S 2，…，S 9中最小的是______.解析 在等差数列{a n }中， ∵a 3＋a 8>0，S 9<0，∴a 5＋a 6＝a 3＋a 8>0，S 9＝9（a 1＋a 9）2＝9a 5<0，∴a 5<0，a 6>0，∴S 1，S 2，…，S 9中最小的是S 5. 答案 S 5考点一 等差数列基本量的运算【例1】 (1)(一题多解)(2017·全国Ⅰ卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )A.1B.2C.4D.8(2)(2019·潍坊检测)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 11＝22，a 4＝－12，若a m ＝30，则m ＝( ) A.9B.10C.11D.15解析 (1)法一 设等差数列{a n }的公差为d ， 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧（a 1＋3d ）＋（a 1＋4d ）＝24，6a 1＋6×52d ＝48，所以d ＝4. 法二 等差数列{a n }中，S 6＝（a 1＋a 6）×62＝48，则a 1＋a 6＝16＝a 2＋a 5，又a 4＋a 5＝24，所以a 4－a 2＝2d ＝24－16＝8，则d ＝4.(2)设等差数列{a n }的公差为d ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧S 11＝11a 1＋11×（11－1）2d ＝22，a 4＝a 1＋3d ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－33，d ＝7， ∴a m ＝a 1＋(m －1)d ＝7m －40＝30，∴m ＝10. 答案 (1)C (2)B规律方法 1.等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题.2.数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.【训练1】 (1)等差数列log 3(2x )，log 3(3x )，log 3(4x ＋2)，…的第四项等于( ) A.3 B.4 C.log 318 D.log 324(2)(一题多解)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 3＝6，S 4＝12，则S 6＝________. 解析 (1)∵log 3(2x )，log 3(3x )，log 3(4x ＋2)成等差数列， ∴log 3(2x )＋log 3(4x ＋2)＝2log 3(3x )，∴log 3[2x (4x ＋2)]＝log 3(3x )2，则2x (4x ＋2)＝9x 2， 解之得x ＝4，x ＝0(舍去).∴等差数列的前三项为log 38，log 312，log 318， ∴公差d ＝log 312－log 38＝log 332，∴数列的第四项为log 318＋log 332＝log 327＝3.(2)法一 设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ， 由S 3＝6，S 4＝12，可得⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝3a 1＋3d ＝6，S 4＝4a 1＋6d ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝0，d ＝2，所以S 6＝6a 1＋15d ＝30.法二 由{a n }为等差数列，故可设前n 项和S n ＝An 2＋Bn ， 由S 3＝6，S 4＝12可得⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝9A ＋3B ＝6，S 4＝16A ＋4B ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝1，B ＝－1，即S n ＝n 2－n ，则S 6＝36－6＝30.答案 (1)A (2)30考点二 等差数列的判定与证明 典例迁移【例2】 (经典母题)若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 成等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式.(1)证明 当n ≥2时，由a n ＋2S n S n －1＝0， 得S n －S n －1＝－2S n S n －1，所以1S n －1S n －1＝2，又1S 1＝1a 1＝2，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为2，公差为2的等差数列. (2)解 由(1)可得1S n ＝2n ，∴S n ＝12n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12（n －1）＝n －1－n 2n （n －1）＝－12n （n －1）.当n ＝1时，a 1＝12不适合上式.故a n＝⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝1，－12n （n －1），n ≥2.【迁移探究1】 本例条件不变，判断数列{a n }是否为等差数列，并说明理由. 解 因为a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，a n ＋2S n S n －1＝0， 所以S n －S n －1＋2S n S n －1＝0(n ≥2). 所以1S n －1S n －1＝2(n ≥2).又1S 1＝1a 1＝2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以2为首项，2为公差的等差数列.所以1S n ＝2＋(n －1)×2＝2n ，故S n ＝12n.所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12（n －1）＝－12n （n －1），所以a n ＋1＝－12n （n ＋1），又a n ＋1－a n ＝－12n （n ＋1）－－12n （n －1）＝－12n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n －1＝1n （n －1）（n ＋1）.所以当n ≥2时，a n ＋1－a n 的值不是一个与n 无关的常数，故数列{a n }不是一个等差数列. 【迁移探究2】 本例中，若将条件变为a 1＝35，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，试求数列{a n }的通项公式. 解 由已知可得a n ＋1n ＋1＝a n n ＋1，即a n ＋1n ＋1－a n n ＝1，又a 1＝35， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以a 11＝35为首项，1为公差的等差数列，∴a n n ＝35＋(n －1)·1＝n －25，∴a n ＝n 2－25n . 规律方法 1.证明数列是等差数列的主要方法：(1)定义法：对于n ≥2的任意自然数，验证a n －a n －1为同一常数. (2)等差中项法：验证2a n －1＝a n ＋a n －2(n ≥3，n ∈N *)都成立. 2.判定一个数列是等差数列还常用到结论：(1)通项公式：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)⇔{a n }是等差数列.(2)前n 项和公式：S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)⇔{a n }是等差数列.问题的最终判定还是利用定义.【训练2】 (2017·全国Ⅰ卷)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.已知S 2＝2，S 3＝－6. (1)求{a n }的通项公式；(2)求S n ，并判断S n ＋1，S n ，S n ＋2是否成等差数列. 解 (1)设{a n }的公比为q ，由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1＋q )＝2，a 1(1＋q ＋q 2)＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝－2，a 1＝－2. 故{a n }的通项公式为a n ＝(－2)n. (2)由(1)可得S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝－23＋(－1)n 2n ＋13.由于S n ＋2＋S n ＋1＝－43＋(－1)n 2n ＋3－2n ＋23.＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23＋(－1)n ·2n ＋13＝2S n ， 故S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列. 考点三 等差数列的性质及应用 多维探究角度1 等差数列项的性质【例3－1】 (2019·临沂一模)在等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120，则a 2＋a 14的值为( ) A.6B.12C.24D.48解析 ∵在等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120， 由等差数列的性质，a 1＋3a 8＋a 15＝5a 8＝120， ∴a 8＝24，∴a 2＋a 14＝2a 8＝48. 答案 D角度2 等差数列和的性质【例3－2】 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A.63B.45C.36D.27解析 由{a n }是等差数列，得S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等差数列， 即2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)， 得到S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝45， 所以a 7＋a 8＋a 9＝45. 答案 B规律方法 1.项的性质：在等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q .2.和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则 (1)S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)； (2)S 2n －1＝(2n －1)a n .【训练3】 (1)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2 015，S 2 0152 015－S 2 0092 009＝6，则S 2 019＝________.(2)(2019·荆州一模)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＝3，a 8＝8，则a 12的值是( ) A.15B.30C.31D.64(3)等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若S n T n ＝3n －22n ＋1，则a 7b 7等于( )A.3727B.1914C.3929D.43解析 (1)由等差数列的性质可得⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为等差数列. 设其公差为d ，则S 2 0152 015－S 2 0092 009＝6d ＝6，∴d ＝1.故S 2 0192 019＝S 11＋2 018d ＝－2 015＋2 018＝3， ∴S 2 019＝3×2 019＝6 057.(2)由a 3＋a 4＋a 5＝3及等差数列的性质， ∴3a 4＝3，则a 4＝1.又a 4＋a 12＝2a 8，得1＋a 12＝2×8. ∴a 12＝16－1＝15.(3)a 7b 7＝2a 72b 7＝a 1＋a 13b 1＋b 13＝a 1＋a 132×13b 1＋b 132×13＝S 13T 13＝3×13－22×13＋1＝3727. 答案 (1)6 057 (2)A (3)A 考点四 等差数列的前n 项和及其最值【例4】 (2019·衡水中学质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1≠0，常数λ>0，且λa 1a n ＝S 1＋S n 对一切正整数n 都成立. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设a 1>0，λ＝100，当n 为何值时，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫lg 1a n 的前n 项和最大？ 解 (1)令n ＝1，得λa 21＝2S 1＝2a 1，a 1(λa 1－2)＝0， 因为a 1≠0，所以a 1＝2λ，当n ≥2时，2a n ＝2λ＋S n ，2a n －1＝2λ＋S n －1，两式相减得2a n －2a n －1＝a n (n ≥2). 所以a n ＝2a n －1(n ≥2)，从而数列{a n }为等比数列，a n ＝a 1·2n －1＝2nλ. (2)当a 1>0，λ＝100时，由(1)知，a n ＝2n100，则b n ＝lg 1a n ＝lg 1002n ＝lg 100－lg 2n＝2－n lg 2，所以数列{b n }是单调递减的等差数列，公差为－lg 2， 所以b 1>b 2>…>b 6＝lg 10026＝lg 10064>lg 1＝0，当n ≥7时，b n ≤b 7＝lg 10027<lg 1＝0，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫lg 1a n 的前6项和最大.规律方法 求等差数列前n 项和S n 的最值的常用方法：(1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn (a ≠0)，通过配方或借助图象求二次函数的最值.(2)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，进而求S n 的最值. ①当a 1>0，d <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m (当a m ＋1＝0时，S m ＋1也为最大值)；②当a 1<0，d >0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m (当a m ＋1＝0时，S m ＋1也为最小值).【训练4】 (1)等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 3，a 5，a 15成等比数列，若a 5＝5，S n 为数列{a n }的前n 项和，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和取最小值时的n 为( )A.3B.3或4C.4或5D.5(2)已知等差数列{a n }的首项a 1＝20，公差d ＝－2，则前n 项和S n 的最大值为________.解析 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧（a 1＋2d ）（a 1＋14d ）＝25，a 1＋4d ＝5，由d ≠0，解得a 1＝－3，d ＝2，∴S nn＝na 1＋n （n －1）2dn＝－3＋n －1＝n －4，则n －4≥0，得n ≥4，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和取最小值时的n 为3或4.(2)因为等差数列{a n }的首项a 1＝20，公差d ＝－2，S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝20n －n （n －1）2×2＝－n 2＋21n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2122，又因为n ∈N *，所以n ＝10或n ＝11时，S n 取得最大值，最大值为110. 答案 (1)B (2)110[思维升华]1.证明等差数列可利用定义或等差中项的性质，另外还常用前n 项和S n ＝An 2＋Bn 及通项a n ＝pn ＋q 来判断一个数列是否为等差数列. 2.等差数列基本量思想(1)在解有关等差数列的基本量问题时，可通过列关于a 1，d 的方程组进行求解. (2)若奇数个数成等差数列，可设中间三项为a －d ，a ，a ＋d .若偶数个数成等差数列，可设中间两项为a －d ，a ＋d ，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元.(3)灵活使用等差数列的性质，可以大大减少运算量. [易错防范]1.用定义法证明等差数列应注意“从第2项起”，如证明了a n ＋1－a n ＝d (n ≥2)时，应注意验证a 2－a 1是否等于d ，若a 2－a 1≠d ，则数列{a n }不为等差数列.2.利用二次函数性质求等差数列前n 项和最值时，一定要注意自变量n 是正整数.基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝( ) A.100B.99C.98D.97解析 设等差数列{a n }的公差为d ，由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧9a 1＋36d ＝27，a 1＋9d ＝8，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝1， 所以a 100＝a 1＋99d ＝－1＋99＝98. 答案 C2.(2019·淄博调研)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 6a 5＝911，则S 11S 9＝( )A.1B.－1C.2D.12 解析 由于S 11S 9＝11a 69a 5＝119×911＝1. 答案 A 3.(2019·中原名校联考)若数列{a n }满足1a n ＋1－1a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)，则称数列{a n }为调和数列，已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 为调和数列，且x 1＋x 2＋…＋x 20＝200，则x 5＋x 16＝( )A.10B.20C.30D.40解析 依题意，11x n ＋1－11x n＝x n ＋1－x n ＝d ， ∴{x n }是等差数列.又x 1＋x 2＋…＋x 20＝20（x 1＋x 20）2＝200. ∴x 1＋x 20＝20，从而x 5＋x 16＝x 1＋x 20＝20.答案 B4.(2019·北京海淀区质检)中国古诗词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子作盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”.题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是( )A.174斤B.184斤C.191斤D.201斤解析 用a 1，a 2，…，a 8表示8个儿子按照年龄从大到小得到的绵数，由题意得数列a 1，a 2，…，a 8是公差为17的等差数列，且这8项的和为996，∴8a 1＋8×72×17＝996，解之得a 1＝65. ∴a 8＝65＋7×17＝184，即第8个儿子分到的绵是184斤.答案 B5.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝9，S 99－S 55＝－4，则S n 取最大值时的n 为( ) A.4 B.5 C.6 D.4或5 解析 由{a n }为等差数列，得S 99－S 55＝a 5－a 3＝2d ＝－4， 即d ＝－2，由于a 1＝9，所以a n ＝－2n ＋11，令a n ＝－2n ＋11<0，得n >112， 所以S n 取最大值时的n 为5.答案 B二、填空题6.已知等差数列{a n }的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为________.解析 设项数为2n ，则由S 偶－S 奇＝nd 得，25－15＝2n 解得n ＝5，故这个数列的项数为10.答案 107.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n －a n ＋1＝2a n a n ＋1，则a 6＝________. 解析 将a n －a n ＋1＝2a n a n ＋1两边同时除以a n a n ＋1，1a n ＋1－1a n ＝2. 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1a 1＝1为首项，2为公差的等差数列， 所以1a 6＝1＋5×2＝11，即a 6＝111. 答案 1118.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 10＝16，S 100－S 90＝24，则S 100＝________. 解析 依题意，S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，…，S 100－S 90依次成等差数列，设该等差数列的公差为d .又S 10＝16，S 100－S 90＝24，因此S 100－S 90＝24＝16＋(10－1)d ＝16＋9d ，解得d ＝89，因此S 100＝10S 10＋10×92d ＝10×16＋10×92×89＝200. 答案 200三、解答题9.等差数列{a n }中，a 3＋a 4＝4，a 5＋a 7＝6.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝[a n ]，求数列{b n }的前10项和，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.解 (1)设数列{a n }首项为a 1，公差为d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋5d ＝4，a 1＋5d ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝25.所以{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋35. (2)由(1)知，b n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋35. 当n ＝1，2，3时，1≤2n ＋35<2，b n ＝1； 当n ＝4，5时，2≤2n ＋35<3，b n ＝2； 当n ＝6，7，8时，3≤2n ＋35<4，b n ＝3； 当n ＝9，10时，4≤2n ＋35<5，b n ＝4. 所以数列{b n }的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.10.已知等差数列的前三项依次为a ，4，3a ，前n 项和为S n ，且S k ＝110.(1)求a 及k 的值；(2)设数列{b n }的通项公式b n ＝S n n ，证明：数列{b n }是等差数列，并求其前n 项和T n .(1)解 设该等差数列为{a n }，则a 1＝a ，a 2＝4，a 3＝3a ，由已知有a ＋3a ＝8，得a 1＝a ＝2，公差d ＝4－2＝2，所以S k ＝ka 1＋k （k －1）2·d ＝2k ＋k （k －1）2×2＝k 2＋k ， 由S k ＝110，得k 2＋k －110＝0，解得k ＝10或k ＝－11(舍去)，故a ＝2，k ＝10.(2)证明 由(1)得S n ＝n （2＋2n ）2＝n (n ＋1)， 则b n ＝S n n ＝n ＋1，故b n ＋1－b n ＝(n ＋2)－(n ＋1)＝1，即数列{b n }是首项为2，公差为1的等差数列，所以T n ＝n （2＋n ＋1）2＝n （n ＋3）2.能力提升题组(建议用时：20分钟)11.(2019·济宁模拟)设数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，且2na n ＝(n －1)a n －1＋(n ＋1)a n ＋1(n ≥2且n ∈N *)，则a 18＝( )A.259B.269C.3D.289 解析 令b n ＝na n ，则2b n ＝b n －1＋b n ＋1(n ≥2)，所以{b n }为等差数列，因为b 1＝1，b 2＝4，所以公差d ＝3，则b n ＝3n －2，所以b 18＝52，则18a 18＝52，所以a 18＝269. 答案 B12.(2019·青岛诊断)已知等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n (n ∈N *)，若S n T n ＝2n －1n ＋1，则a 12b 6＝( ) A.154B.158C.237D.3 解析 由题意不妨设S n ＝n (2n －1)，T n ＝n (n ＋1)，所以a 12＝S 12－S 11＝12×23－11×21＝45，b 6＝T 6－T 5＝6×(6＋1)－5×(5＋1)＝42－30＝12，所以a 12b 6＝4512＝154. 答案 A13.设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －10(n ∈N *)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝________. 解析 由a n ＝2n －10(n ∈N *)知{a n }是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由a n ＝2n －10≥0得n ≥5，∴n ≤5时，a n ≤0，当n >5时，a n >0，∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝－(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋…＋a 15)＝20＋110＝130. 答案 13014.(2019·长沙雅礼中学模拟)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＋a 13＝26，S 9＝81.(1)求{a n }的通项公式；(2)令b n ＝1a n ＋1a n ＋2，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，若30T n －m ≤0对一切n ∈N *成立，求实数m 的最小值.解 (1)∵等差数列{a n }中，a 1＋a 13＝26，S 9＝81，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a 7＝26，9a 5＝81，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 7＝13，a 5＝9， ∴d ＝a 7－a 57－5＝13－92＝2，∴a n ＝a 5＋(n －5)d ＝9＋2(n －5)＝2n －1.(2)∵b n ＝1a n ＋1a n ＋2＝1（2n ＋1）（2n ＋3） ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3， ∴T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋15－17＋…＋12n ＋1－12n ＋3 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－12n ＋3， ∵12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－12n ＋3随着n 的增大而增大，知{T n }单调递增. 又12n ＋3>0，∴T n <16，∴m ≥5， ∴实数m 的最小值为5.新高考创新预测15.(多填题)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，满足S 2＝S 6，S 55－S 44＝2，则a 1＝________，公差d ＝________.解析 由{a n }为等差数列，得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是首项为a 1，公差为d 2的等差数列，∵S 55－S 44＝2，∴d 2＝2⇒d ＝4，又S 2＝S 6⇒2a 1＋4＝6a 1＋6×52×4⇒a 1＝－14. 答案 －14 4。

与等差数列前n 项和S n 有关的最值问题教学讲义 例5 (文)(2018·福州模拟)在等差数列{a n }中，已知a 1＝10，前n 项和为S n ，若S 9＝S 12，则S n 取得最大值时，n ＝10或11，S n 的最大值为55.[分析] 求出数列的公差，再根据通项公式或前n 项和公式求解．[解析] 解法一：因为a 1＝10，S 9＝S 12，所以9×10＋9×82d ＝12×10＋12×112d ， 所以d ＝－1.所以a n ＝－n ＋11.所以a 11＝0，即当n ≤10时，a n >0，当n ≥12时，a n <0，所以当n ＝10或11时，S n 取得最大值，且最大值为S 10＝S 11＝10×10＋10×92×(－1)＝55.解法二：同解法一求得d ＝－1.所以S n ＝10n ＋n (n －1)2·(－1)＝－12n 2＋212n ＝－12(n －212)2＋4418. 因为n ∈N *，所以当n ＝10或11时，S n 有最大值，且最大值为S 10＝S 11＝55. 解法三：同解法一求得d ＝－1.又由S 9＝S 12得a 10＋a 11＋a 12＝0.所以3a 11＝0，即a 11＝0.∴a 1>a 2>…>a 10>a 11＝0，所以当n ＝10或11时，S n 有最大值．且最大值为S 10＝S 11＝55.例5 (理)(1)(2018·吉林市调研)设S n 是公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和，且a 1>0，若S 5＝S 9，则当S n 最大时，n ＝( B )A ．6B ．7C ．10D ．9(2)(2018·黑龙江牡丹江一中月考)已知数列{a n }为等差数列，若a 11a 10<－1，且其前n 项和S n 有最大值，则使得S n >0的最大值n 为( B )A ．11B ．19C ．20D ．21[分析] (1)由S 5＝S 9可求得a 1与d 的关系，进而求得通项，由通项得到此数列前多少项为负，或利用S n 是关于n 的二次函数，利用二次函数求最值的方法求解；(2)利用S n >0⇔a 1＋a n >0求解．[解析] (1)解法一：由S 5＝S 9得a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝0即a 7＋a 8＝0，∴2a 1＋13d ＝0，又a 1>0，∴d <0.∴a 7>0，a 8<0，∴a 1>a 2>…>a 7>0>a 8>a 9>…，∴S n 最大时，n ＝7，故选B ．解法二：S n 是关于n 的二次函数，S n ＝d 2n 2＋(a 1－d 2)n ，且d <0，(n ，S n )所在抛物线开口向下 ，又S 5＝S 9，∴抛物线对称轴为n ＝7.即n ＝7时，S n 最大，故选B ．解法三：由解法1知d ＝－213a 1， ∴S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋(a 1－12d )n ＝－a 113n 2＋1413a 1n ＝－a 113(n －7)2＋4913a 1， ∵a 1>0，∴－a 113<0，∴当n ＝7时，S n 最大． 解法四：由解法一可知，d ＝－213a 1. ∵a 1>0，∴d <0.令⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0得⎩⎨⎧ a 1＋(n －1)(－213a 1)≥0，a 1＋n (－213a 1)≤0，解得132≤n ≤152. ∵n ∈N ＋，∴当n ＝7时，S n 最大．(2)∵S n ＝d 2n 2＋(a 1－d 2)n 有最大值，∴d <0，又a 11a 10<－1，∴a 10>0，a 11<0，∴a 10＋a 11<0，即a 1＋a 20<0，∴S 20＝10(a 1＋a 20)<0，又S 19＝19(a 1＋a 19)2＝19a 10>0，∴使S n >0的n 的最大值为19.故选B ．[引申]①本例(1)中若将“S 5＝S 9”改为“S 5＝S 10”，则当S n 取最大值时n ＝7或8； ②本例(1)中，使S n <0的n 的最小值为15；③本例(2)中，使S n 取最大值时n ＝10.[解析] ①若S 5＝S 10，则S n ＝d 2n 2＋(a 1－d 2)n 的对称轴为n ＝7.5，但n ∈N *，故使S n 最大的n 的值为7或8.②由a 7＋a 8＝a 1＋a 14＝0知S 14＝0，又a 8<0，∴2a 8＝a 1＋a 15<0，即S 15<0，∴使S n <0的n 的最小值为15.名师点拨 ☞求等差数列{a n }的前n 项和S n 的最值的方法：〔变式训练3〕(2018·长春市模拟)等差数列{a n }中，已知|a 6|＝|a 11|，且公差d >0，则其前n 项和取最小值时的n 的值为( C )A ．6B ．7C ．8D ．9[解析] ∵|a 6|＝|a 11|且公差d >0，∴a 6＝－a 11∴a 6＋a 11＝a 8＋a 9＝0，且a 8<0，a 9>0∴a 1<a 2<…<a 8<0<a 9<a 10<…∴使S n 取最小值的n 的值为8.故选C ．。

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巧解等差数列前n项和的最值
作者：陈新成
来源：《新课程·中学》2012年第08期
一、二次函数法
等差数列前n项和Sn=a1n+n是关于常数项为0的二次函数，因此其最值可以转化成求二
次函数的最值（切记n∈N+）.
二、通项公式法
“首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前n项和的最小值是所有非正项之和，即由不等式组an≥0an+1≤0或an≤0an+1≥0能确定出前多少项为非负（或非正）（切记n∈N+），从而求出其最值.
例.在等差数列an中，已知a1=25，S17=S9，求Sn的最大值及此时的n值.
解法一：由a1=25S17=S9得d=—2
点评：解法一用二次函数最值求解；解法二利用二次函数图象的对称性求解；解法三、四用通项公式法求解.若能有意识、有目的地对这些数学问题进行深入的分析领悟，往往能起到
以小见大、以浅见深、以窄见宽、以点见面的效果，从而达到培养创新能力、复习巩固的目的.
变式训练：
1.若an是等差数列，a1>0，a2012+a2013>0，a2012·a20130成立的最大正整数是 .（答案：4024）
2.在等差数列an中，满足3a4=7a7，且a1>0，Sn是数列an前n项的和，若Sn取得最大值，则n= .（答案：9）。

已知量2.2等差数列的前n项和1 •理解并掌握等差数列的前n项和公式及其推导过程，体会等差数列的前n 项和公式与二次函数的关系.（重点）2•熟练掌握等差数列的五个基本量a i, d, n, a n, S n之间的联系，能够由其中的任意三个求出其余的两个.（重点）1.等差数列的前n2.n n—1 d 2dS n= na i + —2—d=㊁门+ a i —2 n.d M0时，S n是关于n的二次函数，且无常数项.判断(正确的打“V”，错误的打“x”)(1) 公差为零的数列不能应用等差数列的前n项和公式.()(2) 数列｛n2｝可以用等差数列的前n项和公式求其前n项和S n.()(3) 若数列｛a n｝的前n项和为S n= an2+bn,则｛a n｝是等差数列.()【解析】(1)任何等差数列都能应用等差数列的前n项和公式.(2)数列｛n2｝不是等差数列，故不能用等差数列的前n项和公式.(3)当公差不为0时，等差数列的前n项和是关于n的二次函数(常数项为0).【答案】(1)x ⑵x (3)V［小组合作型］3(1) 已知等差数列｛a n｝中，a i =2,1d= —2，Si= —15, 求n 和a n；(2) 已知等差数列｛a n｝中，S5= 24,求a2 + a4；(3) 数列｛a n｝是等差数列，a i= 1，a n= —512, —1 022,求公差d;⑷已知等差数列｛a n ｝中,a 2 + a 5= 19, S = 40,求a io .【精彩点拨】 运用方程的思想，根据已知条件建立方程或方程组求解， 另 外解题时要注意整体代换.3 n n —1 1【尝试解答】 (1)S n = n 2+2 •— 2 = — 15,整理得 n - 7n — 60= 0, 解得n = 12或n = —5(舍去),3 1所以 a 12= 2+ (12— 1)x — 2 = — 4.(2)设等差数列的首项为a 1,公差为d ,即 5a 1+ 10d = 24,所以 a 〔 + 2d =£, 所以 a 2 + a 4= 2(a 1 + 2d) = 2X 乍=譽n n — 1⑶因为 a n = a 1 + (n — 1)d , S n = na 1+ 2d ,又 a 1 = 1, a n = — 512, S n =— 1 022,1+ n — 1 d = — 512,① 所以 1n +qnn — 1 d =— 1 022,②把(n — 1)d = — 513代入②得1n + 刃(—513)= — 1 022,解得 n = 4,所以 d = — 171.a 1 + d + a 1 + 4d = 19,⑷由已知可得 5X 45a 1 + -^d = 40,解得 a 1 = 2, d = 3,则 S 5 = 5a 1 + 5X 5— 12d = 24,所以a io= a i + 9d= 2+ 9X 3= 29.等差数列中基本计算的两个技巧：(1) 利用基本量求值.等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量ai,d, n,a n和S n, —般是利用公式列出基本量a i和d的方程组，解出a i和d,便可解决问题•解题时注意整体代换的思想.(2) 利用等差数列的性质解题•等差数列的常用性质：若m+ n = p+ q(m, n,n a i + a np, q€ N+),贝U a m + a n = a p+ a q,常与求和公式S n= 2 结合使用.［再练一题］1. 等差数列中：(1) a i = 105, a n= 994, d= 7,求S n；(2) a n = 8n+ 2, d = 5,求S20；1(3) d= 3, n = 37, S n= 629,求a i 及a n.【解】(1)由a n= a i + (n- 1)d 且a i= 105, d= 7,得994= 105+ (n- 1)X 7,解得n= 128,n a i+ a n 128X 105+ 994=70 336.(2)van= 8n + 2,—a i= 10,又d = 5,20 X 20 - 1 20a i + X 5 = 20X 10+ 10X 19X 5= 1 150.1 ⑶将 d = 3，n = 37, S = 629代入 a n = a 1 + (n - 1)d ,a 1= 11, 解得a n = 23.为响应教育部下发的《关于在中 小学实施“校校通”工程的通知》 的要求，某市提出了实施“校校通”工程的总 目标：从2011年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网•据测 算，2011年该市用于“校校通”工程的经费为 500万元•为了保证工程的顺利 实施，计划每年投入的资金都比上一年增加 50万元•那么从2011年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？【精彩点拨】 将该实际问题转化为数列问题求解，由于每年投入资金都比n a 1 + a nS n = 2 ，得a n = a 1 + 12, 37 a+ a n 2 =上一年增加50万元，故可考虑利用等差数列求解.【尝试解答】根据题意，从2011年〜2020年，该市每年投入“校校通”工程的经费都比上一年增加50万元，所以，每年投入的资金依次组成等差数列｛a n｝，其中，a i = 500, d= 50. 那么，到2020年(n= 10)，投入的资金总额为10X 10—1S10= 10X 500+ 2 X 50= 7 250(万元)，即从2011年〜2020年，该市在“校校通”工程中的总投入是7 250万元.有关数列的应用问题，应首先通过对实际问题的研究建立数列的数学模型，最后求出符合实际的答案，可分以下几步考虑：(1) 问题中所涉及的数列｛a n｝有何特征；(2) 是求数列｛a n｝的通项还是求前n项和；(3) 列出等式(或方程)求解.［再练一题］2. 如图1-2-2，一个堆放铅笔的V型架的最下面一层放1支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放1支.最上面一层放120支，这个V型架上共放着多少支铅笔？图1-2-2【解】由题意可知这个V型架自下而上各层的铅笔数组成等差数列，记为数列｛a n｝，其中a i= 1, a i20 = 120.根据等差数列前n项和公式得S120 = 120X 1 + 1202 = 7 260.即V型架上共放着7 260支铅笔.［探究共研型］探究1设｛a n｝是等差数列，公差为d, S n是其前n项和，那么S m, ®m—S3m- S2m 也成等差数列吗？如果是，它们的公差是多少？【提示】由S m= a1 + a2+… • + a m，S2m—S m—a m+ 1 + a m + 2+ …+ a2m —a1 + md+ a2 + md+ …+ a m+ md—S m + m2d，I r 2同理S3m —S2m—a2m+ 1 + a2m + 2+ …+ a3m —S2m —S m+ m d，所以S m , S 2m — S m , S 3m — &m 也成等差数列，公差为 m 2d.探究2设S 、T n 分别为两个等差数列｛a n ｝和｛b n ｝的前n 项和，那么b n 与12^1有怎样的关系？请证明之.a n 2a n a1 + a2n -1b n—2bn—b l + b 2n — 12n — 1 a 1 + a 2n —12 S 2n -12n — 1 b 1 + b 2n — 1 T 2n — 12(1) 等差数列｛a n ｝的前m 项和为30,前2m 项和为100,求数列｛a n ｝的前3m 项的和S 3叫Si 7n + 2 a 5(2) 两个等差数列｛a n ｝, ｛b n ｝的前n 项和分别为S 和T n ,已知讯—"n +3，求^ 的值.【精彩点拨】 ⑴利用S m , S 2m — S m , S3m — S^m 成等差数列求解.(2)利用前 n 项和结合等差数列的性质将项的比值转化为和的比值求解.【尝试解答】 ⑴在等差数列中，Sm,®m — S m,S 3m — &m 成等差数列，【提示】a n S2n— 1b n — T 2n 【证明】「30,70,S 3m - 100成等差数列,•'•2X 70= 30 + (S 3m — 100),.°S 3m = 210. a s 2a 5 9 a1 +a9 S 9 65 (2)b 5 = 2b 5= 9b i + b 9 = T ^=乜.巧妙应用等差数列前n 项和的性质 ⑴“片段和”性质.若｛a n ｝为等差数列，前n 项和为S n ,则S n , S 2n — S n , S 3n — S 2n ,…构成公差 为n 2d 的等差数列.⑵项数(下标)的“等和”性质.(3) 项的个数的“奇偶”性质. ｛a n ｝为等差数列，公差为d.①若共有 2n 项，贝U S 2n = n(a n + a n +1)；②若共有 2n + 1 项，贝U S 2n +1 = (2n + 1)a n +1 ； S 偶一S 奇=—a n +1 ； =S 奇 n 十i (4) 等差数列｛a n ｝中，若 S n = m , S m = n(m M n),贝U S m+ n = — (m + n). (5) 等差数列｛a n ｝中，若 S n = S m (m M n)，贝U S m + n = 0.S n =n a i + a n 2=n a m + a n - m +1S 偶一 S 奇=nd ;S 偶 a n +1S 奇 a n［再练一题］3. 已知两个等差数列｛a n ｝与｛b n ｝的前n(n >1)项和分别是S n 和T n ,且S n : T n a 9=(2n + 1) : (3n — 2),求$的值.a 9 2a 9 a1 +a17b 9 2b9 b i + b i7a i + a i72X i7+ i_35_53X i7 — 2 — 49 — 7探究i 将等差数列前n 项和S n = na i + 丄d 变形为S 关于n 的函数后，该函数是怎样的函数？为什么？一 n n —i d 2 d【提示］ 由于 S n = na i + 2 d = 2n 2 + a i — 2 n , 所以当d M 0时，3为关于n 的二次函数，且常数项为0.探究2类比二次函数的最值情况，等差数列的S n 何时有最大值？最小值？ 【提示］ 由二次函数的性质可以得出，当d >0时，S 有最小值；当d v 0 时，有最大值，且n 取值最接近对称轴的正整数时，S n 取得最值.［解］X 17 S 17b i + b i72X i7T i7在等差数列｛a n｝中，a io = 18,前5项的和—15.(1) 求数列｛a n｝的通项公式.(2) 求数列｛a n｝的前n项和的最小值，并指出何时取最小值.【精彩点拨】(1)直接根据等差数列的通项公式和前n项和公式列关于首项a i和公差d的方程，求得a1和d,进而得解；(2)可先求出前n项和公式，再利用二次函数求最值的方法求解，也可以利用通项公式，根据等差数列的单调性求解.a1 + 9d = 18，【尝试解答】(1)由题意得 5 X 45a1 + —厂X d=—15,.'a n = 3n —12.n a1+an 1 2 一、3 7 2 147⑵ S n = 2 = 2(3 n —21n) = ?n — 2 —8•••当门=3或4时，前n项的和取得最小值S3= ®= —18.等差数列前n项和的最值问题的三种解法：⑴利用a n：当a i>0, d v 0时，前n项和有最大值，可由a n>0且a n+1<0, 求得n 的值；当a i v0, d>0,前n项和有最小值，可由a n<0且a n+i >0,求得n的值.d d(2) 利用S n：由S n=2n2+ a i — 2 n(d^0),利用二次函数配方法求得最值时n 的值.(3) 利用二次函数的图象的对称性.［再练一题］4. 在等差数列｛a n｝中，a i = 25, S i7= S9,求S n的最大值.【解】禾I」用前n项和公式和二次函数性质，由S i7= Sa得i7 925X i7+2(i7—i)d= 25X 9 + 2(9 —i)d，解得d= —2,•0 = 25 n+ 2(n—i)(—2)= —(n—i3)2+ i69,•••由二次函数性质，当n= i3时，S n有最大值i69.1.设3为等差数列｛a n ｝的前n 项和，3 = 4a 3, a 7=- 2,则a 9=()A . - 6B .- 4C .- 2D . 28 a i + a s【解析】 S 8=2= 4(a 3 + a 6),又 S s = 4a 3,所以 a 6 = 0,又 a 7=- 2,所以 a 8=- 4, a 9=- 6. 【答案】 A2. 记等差数列前n 项和为3,若S 2= 4,9 = 20,则该数列的公差d 等于( )A . 2B . 3C . 6D . 72a i + d = 4,【解析】 由题意得4a i + 6d = 20,【答案】 B 3.在等差数列｛a n ｝中，a i = 2,前三项和为15,则前6项和为()A . 57B . - 40C . - 57D . 40【解析】 由题意知 a 1 + a 2 + a 3= 15,—3a 2= 15, a 2 = 5, •'•d = a 2 — a 1 = 3,—a n = 3n - 1, 6 2+ 17 ••$= 2 = 57.1 a 1= 2,解得d = 3.【答案】A4.在等差数列｛a n ｝中，已知a i = 2, d = 2,贝U S 2o = _________【解析】820= 20 a i + 20；19X d = 20X 2+ 2°；19X 2= 420.【答案】 4205. 等差数列｛a n ｝中，a io = 30, a 20= 50. (1) 求通项公式a n ； (2) 若 S n = 242，求 n.【解】 (1)由 a n = a i + (n — 1)d , a io = 30, a 20= 50,a i + 9d = 30,得方程组a i + 19d = 50, a i = 12, 解得 d = 2, 所以 a n = 2n + 10.解得n = 11或n = — 22（舍去），所以n = 11.学业分层测评（五）（建议用时：45分钟）［学业达标］一、选择题1.设S n 是等差数列｛a n ｝的前n 项和，若a i + a 3+ a 5= 3,则S 5=（ ）A . 5B . 7C . 9D . 11【解析】 法一:^ai + a 5 = 2a 3,.°.a i + a 3 + a 5= 3a 3= 3,—a 3= 1, 5 a i + a 5 •'•85= 2 = 5a 3= 5,故选 A.⑵由 n n — 1S n = n a i + 2 d ,得 12n + n n —1 2"- X2 = 242,法二：tai + a 3 + a 5 = a i + (a i + 2d) + (a i + 4d) = 3a i + 6d = 3, •'a i + 2d = 1,5X 4.，S5 = 5a i + ~2~d = 5(a i + 2d) = 5,故选 A. 【答案】 A2•已知｛a n ｝是公差为1的等差数列，S n 为｛a n ｝的前n 项和，若S 8= 4S 4,则 a io =()17 19 A.yB.qC . 10D . 12【解析】 t •公差为1,8X 8- 1.'S 8 — 8a 1 + 2 X 1 = 8a 1 + 28, S 4 = 4a 1 + 6. 1'•'S 8 — 4S 4,.8a 1 + 28 — 4(4a 1 + 6),解得 a 1 —㊁， 1 19.•010— a 1 + 9d — 2+ 9—㊁.故选 B. 【答案】 B3.在等差数列｛a n ｝中，若S 9— 18, S n — 240, a n -4— 30,则n 的值为( )A . 14B . 15C . 16D . 17•'•n(2 + 30) — 480,. n — 15. 【答案】 B4. 设S n 是等差数列｛a n ｝的前n 项和，若S 3— 3，则豊等于() 3 111 A 石% D.9【解析】 由题意S 3, S 6- S 3, S 9-S 6, S 12- S 9成等差数列.S 3 1 '•'S 6=3•不妨设 S 3= 1, S fc = 3,贝U S fc — S 3= 2,所以 S 9— S fc = 3,故 S 9= 6,二【解析】 S 9 — n a 1 + a n9 a 1 + a 9—9a 5 —18,所以 a 5 — 2, S n —n a 5 + a n -42—240,S12 —S9= 4,故S i2= 10,.鱼_ 3 -S2= 10.【答案】A5. 设等差数列｛a n｝的前n项和为S n,若a1_—11, a4 + a6_ —6,则当S n取得最小值时，n等于（）A. 6B. 7C. 8D. 9【解析】设公差为d,由a4+ a6_2a5_ —6,得a5_ —3_a1 + 4d,解得d_2,n n—1 2••S_— 11 n+ 2x 2_ n2—12n,• ••当门_ 6时，S n取得最小值.【答案】A二、填空题6. 已知｛a n｝为等差数列，3为其前n项和.若a1_ 6, a3 + a5_0,贝U S6_【解析】'-a3+ a5_ 2a4,.°.a4_ 0.'•a1 _6, a4_a1 + 3d,：d_ —2.6x 6—1.'•S3_ 6a1+ d_ 6.【答案】67. _______ 已知｛a n｝是等差数列，Sn是其前n项和.若a1 + a2_ —3, S5_ 10,则a9 的值是.5 x 4 【解析】法一：设等差数列｛a n｝的公差为d,由S5_ 10,知S5_5a1+= d_ 10,得a1 + 2d_2, 即卩a1_2—2d.所以a2_a1 + d_2 —d,代入a1 + a2_ —3,化简得d2- -6d+ 9—0,所以 d —3, a1 —— 4.故a9 —a1+ 8d—— 4 + 24 —20.法二：5 a1+ a s设等差数列｛a n｝的公差为d,由S5—10，知2—5a3 —10,所以a3= 2.所以由a1+ a3—2a2,得a1—2a2—2,代入a1+ a2——3,化简得a2+ 2a2+ 1=0,所以a2—— 1.公差 d —a3 —a2 —2+ 1 —3,故a9 —a3+ 6d—2+ 18—20.【答案】208. 等差数列｛a n｝的前9项的和等于前4项的和，若a1 —1，a k + a4 —0,则k9X 8【解析】设｛a n｝的公差为d,由3—S4及a1—1得9X 1+〒X d —4X 14 X 3 1 1+ ~2~ X d ,所以d ——6 ,又a k + a4 —0 ,所以1 + k—1 X —石+11+ 4—1 X —6 —0, 即卩k—10.【答案】10三、解答题9. 一个等差数列的前10项之和为100,前100项之和为10,求前110项之和.【解】设等差数列｛a n｝的公差为d,前n项和为S n,则- n n—1S n—na1 + 2 d.10X 910a1 + 2~d—100,100X 99 100a1 + 2 d—10,11①X 10—②，整理得d——55,由已知得1 099代入①，得勿=110X 109所以 S 11O = 110a i + 2 ------ d 1 099 110X 109 11二110X100 + 2X - 501 099- 109X 11 =110 =— 110.100故此数列的前110项之和为一110.10. 已知等差数列｛a n ｝中，a 1 = 9, a 4+ a 7= 0. (1) 求数列｛a n ｝的通项公式；⑵当n 为何值时，数列｛a n ｝的前n 项和取得最大值? 【解】(1)由 a 1 = 9, a 4+ a 7= 0, 得 a 1 + 3d + a 1 + 6d = 0,解得 d = — 2, • a n = a 1 + (n — 1)d —11 — 2n. (2) a 1 — 9, d —-2,n n — 1Sn — 9n + —2— (— 2)— — n 2 + 10n ——(n — 5)2 + 25,•••当n — 5时，S n 取得最大值.［能力提升］1.在项数为2n + 1项的等差数列｛a n ｝中，所有奇数项的和为165,所有偶数 项的和为150,则n —( )A . 9B . 10C . 11D . 12【解析】•••等差数列有2n + 1项，又 a i + a 2n +1 = a 2 + a 2n , .躡 n +1165n + 1 •'S 奇— a 1 + a 2n +12 ,S 偶— n a 2 + a 2n冠=~n~ = 150，•'•n= 10.【答案】BA n 7n + 452. 已知两个等差数列｛a n｝与｛b n｝的前n项和分别为A n和B n, 且n+3，则使得a n为整数的正整数n的个数是()A. 2 B . 3C. 4 D . 5a n A2n-1 14n + 38 7n + 19 7n+ 1 + 12 12【解析】b"= = = = = 7 + ,.n= bn B2n-1 2n + 2 n+1 n+1 n+11,2,3,5,11.【答案】D3. 在等差数列｛a n｝中，d = 2, a n= 11, S n= 35,则a1等于________ .n n—1 n n—1【解析】因为Si= na1 + 2 d,所以35= na1+ 2 x2= na1 + n(n —1)①，又a n= a1+ (n—1) d= a1 + 2(n—1),••a + 2(n—1)= 11 ②，由①②可得a1 —2a1 —3= 0,解得a1 = 3或一 1.【答案】3或—14 .从4月1日开始，有一新款服装投入某商场销售，4月1日该款服装销售出10件，第二天销售出25件，第三天销售出40件，以后每天售出的件数分别递增15件，直到4月12号日销售量达到最大，然后，每天销售的件数分别递减10件.(1) 记该款服装4月份日销售与销售天数n的关系为a n,求a n；(2) 求4月份的总销售量；(3) 按规律，当该商场销售此服装超过1 200件时，社会上就流行，而且销售量连续下降，且日销售低于100件时，则流行消失，问：该款服装在社会上流行 是否超过10天？【解】(1)从4月1日起每天销售量依次组成数列{a n } , (n € {1,2 ,…，30}) 依题意，数列a 1，a 2，…，a 12是首项为10，公差为15的等差数列， •'a n = 15n — 5(1 w n W 12).a 13，a 14，a 15，…，a 3o 是首项为 a 13= a 12—10= 165，公差为一10的等差数 列，••a n = 165+ (n — 13)(— 10)=— 10n + 295(13= n < 30)，15n — 51W n W 12，n € N + ，• 'a n =—10n + 295 13<n W 30，n € N + .(2)4月份的总销售量为 18X 17X — 10+ 18X 165+ 2 = 2 550（件 ），⑶4月1日至4月12日销售总数为39 ••4月12日前还没有流行.由—10n + 295< 100得n >{， •••第20天流行结束，故该服装在社会上流行没有超过 10天.12 10+ 175212 a 1 + a 122 12 10+ 175=1 110< 1 200，2.2等差数列的前n 项和1 •理解并掌握等差数列的前n 项和公式及其推导过程，体会等差数列的前 n 项和公式与二次函数的关系.（重点）2•熟练掌握等差数列的五个基本量 a i , d , n , a n , S n 之间的联系，能够由 其中的任意三个求出其余的两个.（重点）1.等差数列的前n2.已知量n n—1 d 2dS n= na i + —2—d=㊁门+ a i —2 n.d M0时，S n是关于n的二次函数，且无常数项.判断(正确的打“V”，错误的打“x”)(1) 公差为零的数列不能应用等差数列的前n项和公式.()(2) 数列｛n2｝可以用等差数列的前n项和公式求其前n项和S n.()(3) 若数列｛a n｝的前n项和为S n= an2+bn,则｛a n｝是等差数列.()【解析】(1)任何等差数列都能应用等差数列的前n项和公式.(2)数列｛n2｝不是等差数列，故不能用等差数列的前n项和公式.(3)当公差不为0时，等差数列的前n项和是关于n的二次函数(常数项为0).［小组合作型］3(1) 已知等差数列｛a n｝中，a i =2,1d= —2，Si= —15, 求n 和a n；(2) 已知等差数列｛a n｝中，S5= 24,求a2 + a4；(3) 数列｛a n｝是等差数列，a i= 1，a n= —512, —1 022,求公差d;⑷已知等差数列｛a n ｝中,a 2 + a 5= 19, S = 40,求a io .【精彩点拨】 运用方程的思想，根据已知条件建立方程或方程组求解， 另 外解题时要注意整体代换.3 n n —1 1【尝试解答】 (1)S n = n 2+2 •— 2 = — 15,整理得 n - 7n — 60= 0,解得n = 12或n = —5(舍去),3 1所以 a 12= 2+ (12— 1)x — 2 = — 4. (2)设等差数列的首项为a 1,公差为d ,即 5a 1+ 10d = 24,所以 a 〔 + 2d =£, 所以 a 2 + a 4= 2(a 1 + 2d) = 2X 乍=譽 n n — 1⑶因为 a n = a 1 + (n — 1)d , S n = na 1+ 2d , 又 a 1 = 1, a n = — 512, S n =— 1 022,1+ n — 1 d = — 512,①所以 1n +qnn — 1 d =— 1 022,② 把(n — 1)d = — 513代入②得 1n + 刃(—513)= — 1 022,解得 n = 4, 所以 d = — 171.a 1 + d + a 1 + 4d = 19,⑷由已知可得5X 45a 1 + -^d = 40,解得 a 1 = 2, d = 3,则 S 5 = 5a 1 + 5X 5—12d = 24,所以a io= a i + 9d= 2+ 9X 3= 29.等差数列中基本计算的两个技巧：(1) 利用基本量求值.等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量ai,d, n,a n和S n, —般是利用公式列出基本量a i和d的方程组，解出a i和d,便可解决问题•解题时注意整体代换的思想.(2) 利用等差数列的性质解题•等差数列的常用性质：若m+ n = p+ q(m, n,n a i + a np, q€ N+),贝U a m + a n = a p+ a q,常与求和公式S n= 2 结合使用.［再练一题］1. 等差数列中：(1) a i = 105, a n= 994, d= 7,求S n；(2) a n = 8n+ 2, d = 5,求S20；1(3) d= 3, n = 37, S n= 629,求a i 及a n.为响应教育部下发的《关于在中小学实施“校校通”工程的通知》的要求，某市提出了实施“校校通”工程的总目标：从2011年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网•据测算，2011年该市用于“校校通”工程的经费为500万元•为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元•那么从2011年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？【精彩点拨】将该实际问题转化为数列问题求解，由于每年投入资金都比上一年增加50万元，故可考虑利用等差数列求解.【尝试解答】根据题意，从2011年〜2020年，该市每年投入“校校通”工程的经费都比上一年增加50万元，所以，每年投入的资金依次组成等差数列｛a n｝，其中，a1 = 500, d= 50.那么，到2020年(n= 10),投入的资金总额为10X 10—1S io= 10X 500+ 2 X 50= 7 250(万元),即从2011年〜2020年，该市在“校校通”工程中的总投入是7 250万元.有关数列的应用问题，应首先通过对实际问题的研究建立数列的数学模型，最后求出符合实际的答案，可分以下几步考虑：(1) 问题中所涉及的数列｛a n｝有何特征；(2) 是求数列｛a n｝的通项还是求前n项和；(3) 列出等式(或方程)求解.［再练一题］2. 如图1-2-2，一个堆放铅笔的V型架的最下面一层放1支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放1支.最上面一层放120支，这个V型架上共放着多少支铅笔？图1-2-2［探究共研型］探究1设｛a n｝是等差数列，公差为d, S n是其前n项和，那么S m, S2m- Sn , S3m- S2m也成等差数列吗？如果是，它们的公差是多少？【提示】由S m= a i + a2+…+ a m, S2m- S m= a m+1 + a m + 2+…+ a2m= a i +2md+ a2 + md+ …+ a m+ md= S m+ m d,同^理S3m —S2m —a2m+ 1 + a2m + 2+ …+ a3m —S2m —S m + m2d ,所以S m, S2m—S m, S3m —&m也成等差数列，公差为m2d.、a n , S 2n -1设S 、T n 分别为两个等差数列｛a n ｝和｛b n ｝的前n 项和，那么6与T7有怎样的关系？请证明之.a n 2a n ai + a2n -1bn 2bnb l + b 2n -12n — 1 a i + a 2n —i2 S2n -12n — 1 b 1 + b 2n - 1 T 2n - 12(1) 等差数列｛a n ｝的前m 项和为30,前2m 项和为100,求数列｛a n ｝的前3m 项的和S 3叫7 n -p 2 a 5(2) 两个等差数列｛a n ｝, ｛b n ｝的前n 项和分别为S 和T n ,已知T n = "n +3，求^ 的值.【精彩点拨】 ⑴利用S m , S 2m - S m , S 3m - S m 成等差数列求解.(2)利用前 n 项和结合等差数列的性质将项的比值转化为和的比值求解.【尝试解答】 ⑴在等差数列中，S m,9m — S m,S 3m — S 2m 成等差数列，「30,70, S 3m - 100成等差数列，探究2【提示】a n Sn-1 如―T 2n -1 【证明】•'•2X 70= 30+ (S 3m — 100),.°.S 3m = 210. a 5 2a5 9 ai+a9S 9 65 (2)b 5=2b 5= 9b i + b 9 = T 9= 12.巧妙应用等差数列前n 项和的性质 ⑴“片段和”性质.若｛a n ｝为等差数列，前n 项和为S,贝U S1, S 2n — S n , S 3n — S 2n ,…构成公差 为n 2d 的等差数列.⑵项数(下标)的“等和”性质.(3) 项的个数的“奇偶”性质. ｛a n ｝为等差数列，公差为d.①若共有 2n 项，贝U S 2n = n(a n + a n +1)；S 禺 a n +1S 偶—S 奇=nd ;S 奇 a n②若共有 2n + 1 项，贝U S 2n +1 = (2n + 1)a n +1 ； S 偶一S 奇=—a n +1(4) 等差数列｛a n ｝中，若 S n = m , S m =n(m M n),贝U S m+n = — (m + n). (5) 等差数列｛a n ｝中，若 S n = S m (m M n)，贝U S m + n = 0. ［再练一题］S n =n a i + a n 2n a m + a n - m + 12S 禺 n S 奇 n + 13. 已知两个等差数列｛a n｝与｛b n｝的前n(n>1)项和分别是S n和T n,且S n : T n=(2n+ 1) : (3n —2),求甬的值.探究1将等差数列前n项和S n = na i + n；1d变形为S n关于n的函数后, 该函数是怎样的函数？为什么？【提由于S n二na i+ 2 d =a i—； n.示】所以当d M 0时，S n为关于n的二次函数，且常数项为0.探究2类比二次函数的最值情况，等差数列的&何时有最大值？最小值？【提示】由二次函数的性质可以得出，当d>0时，S有最小值；当d v0 时，有最大值，且n取值最接近对称轴的正整数时，S n取得最值.在等差数列｛a n｝中，a io = 18,前5项的和—15.(1) 求数列｛a n｝的通项公式.(2) 求数列｛a n｝的前n项和的最小值，并指出何时取最小值.【精彩点拨】(1)直接根据等差数列的通项公式和前n项和公式列关于首项a i和公差d的方程，求得a1和d,进而得解；(2)可先求出前n项和公式，再利用二次函数求最值的方法求解，也可以利用通项公式，根据等差数列的单调性求解.a1 + 9d = 18，【尝试解答】(1)由题意得 5 X 45a1 + —厂X d=—15,.'a n = 3n —12.n a1+an 1 2 一、3 7 2 147⑵ S n = 2 = 2(3 n —21n) = ?n — 2 —8•••当门=3或4时，前n项的和取得最小值S3= ®= —18.等差数列前n项和的最值问题的三种解法：⑴利用a n：当a i>0, d v 0时，前n项和有最大值，可由a n>0且a n+1<0, 求得n的值；当a i v0, d>0,前n项和有最小值，可由a n<0且a n+i >0,求得n的值.d d(2) 利用S n：由S n=2n2+ a i — 2 n(d^0),利用二次函数配方法求得最值时n 的值.(3) 利用二次函数的图象的对称性.［再练一题］4. 在等差数列｛a n｝中，a i = 25, S i7= S9,求S n的最大值.1. 设3为等差数列｛a n｝的前n项和，3 = 4a3, a7=- 2,则a9=( )A．－6 B．－4 C．－2 D．22. 记等差数列前n项和为3,若S2= 4,9 = 20,则该数列的公差d等于()A. 2B. 3C. 6D. 73. 在等差数列｛a n｝中，a i = 2,前三项和为15,则前6项和为()A. 57B.- 40C.- 57D. 404. ________________________________________________ 在等差数列｛a n｝中，已知a i = 2, d= 2,贝U S20= _________________________ .5. 等差数列｛a n｝中，a io= 30, a20= 50.(1) 求通项公式a n；(2) 若S n= 242,求n.学业分层测评（五）（建议用时：45分钟）［学业达标］、选择题1. 设3是等差数列｛a n｝的前n项和，若a i+ a3+ a5= 3,则（）A. 5B. 7C. 9D. 112. 已知｛a n｝是公差为1的等差数列，S n为｛a n｝的前n项和，若S8= 4S4,则a io=( )C. 10D. 123. 在等差数列｛a n｝中，若S9= 18, S n= 240, a n-4= 30,则n的值为（）A. 14B. 15C. 16D. 174 .设Sn是等差数列｛a n｝的前n项和，若S6= 3，则SB等于（）3 1 1 1A•必 C.8 D.95. 设等差数列｛a n｝的前n项和为S n,若a1=- 11, a4 +a e=-6,则当S n取得最小值时，n等于（）A . 6B . 7C . 8D . 9二、填空题6 .已知｛a n｝为等差数列，Sn为其前n项和.若a1 = 6, a3 + a5= 0,贝U S6=7.已知｛a n｝是等差数列，Sn是其前n项和.若a1 + a2=- 3, S5= 10,则a9 的值是__________ .8 .等差数列｛a n｝的前9项的和等于前4项的和，若a1 = 1, a k + a4= 0,则k三、解答题9. 一个等差数列的前10项之和为100,前100项之和为10,求前110项之和.10. 已知等差数列｛a n｝中，a i = 9, a4+ a7= 0.(1)求数列｛a n｝的通项公式；⑵当n为何值时，数列｛a n｝的前n项和取得最大值?［能力提升］1. 在项数为2n+ 1项的等差数列｛a n｝中，所有奇数项的和为165,所有偶数项的和为150,则n=( )A. 9B. 10C. 11D. 122. 已知两个等差数列｛a n｝与｛b n｝的前n项和分别为A n和B n, 且An=帀+：5,B n n+ 3则使得a n为整数的正整数n的个数是()A. 2 B . 3C. 4 D . 53. ______________________________________________________ 在等差数列｛a n｝中，d = 2, a n= 11, S n= 35,则a1等于 _____________________ .4 .从4月1日开始，有一新款服装投入某商场销售，4月1日该款服装销售出10件，第二天销售出25件，第三天销售出40 件，以后每天售出的件数分别递增15件，直到4月12号日销售量达到最大，然后，每天销售的件数分别递减10 件．(1) 记该款服装4月份日销售与销售天数n的关系为a n,求a n；(2) 求4 月份的总销售量；(3) 按规律，当该商场销售此服装超过1 200 件时，社会上就流行，而且销售量连续下降，且日销售低于 1 00件时，则流行消失，问：该款服装在社会上流行是否超过10 天？。