2011届高考数学总复习直通车课件-基本初等函数(I)

第二编 函数与基本初等函数Ⅰ§2.1 函数及其表示一、选择题(每小题7分，共42分)1．(2010·佛山调研)下列四组函数中，表示同一函数的是 ( )A ．y ＝x －1与y ＝(x －1)2B ．y ＝x －1与y ＝x －1x －1C ．y ＝4lg x 与y ＝2lg x 2D ．y ＝lg x －2与y ＝lg x100解析 ∵y ＝x －1与y ＝(x －1)2＝|x －1|的对应法则不同，故不是同一函数；y ＝x －1(x ≥1)与y ＝x －1x －1(x >1)的定义域不同，∴它们不是同一函数；又y ＝4lg x (x >0)与y ＝2lgx 2(x ≠0)的定义域不同，因此它们也不是同一函数，而y ＝lg x －2(x >0)与y ＝lg x100＝lg x－2 (x >0)有相同的定义域、值域与对应法则，故它们是同一函数． 答案 D2．(2009·临沂3月模拟)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1， x ≤0，－(x －1)2， x >0，使f (x )≥－1成立的x 的取值范围是( )A ．[－4,2)B ．[－4,2]C ．(0,2]D ．(－4,2]解析 ∵f (x )≥－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，12x ＋1≥－1或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，－(x －1)2≥－1， ∴－4≤x ≤0或0<x ≤2，即－4≤x ≤2. 答案 B3．(2010·茂名模拟)已知函数f (x )＝lg(x ＋3)的定义域为M ，g (x )＝12－x 的定义域为N ，则M ∩N 等于 ( )A ．{x |x >－3}B ．{x |－3<x <2}C ．{x |x <2}D ．{x |－3<x ≤2}解析 M ＝{x |x >－3}，N ＝{x |x <2}． ∴M ∩N ＝{x |－3<x <2}．答案 B4．(2008·山东)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2， x ≤1，x 2＋x －2， x >1，则f ⎝⎛⎭⎫1f (2)的值为( )A.1516B ．－2716 C.89D ．18 解析 f (2)＝4，f ⎝⎛⎭⎫14＝1－116＝1516. 答案 A 5．(2008·陕西)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋2xy (x ，y ∈R )，f (1)＝2，则 f (－3)等于 ( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．9 解析 f (1)＝f (0＋1)＝f (0)＋f (1)＋2×0×1 ＝f (0)＋f (1)，∴f (0)＝0.f (0)＝f (－1＋1)＝f (－1)＋f (1)＋2×(－1)×1 ＝f (－1)＋f (1)－2，∴f (－1)＝0.f (－1)＝f (－2＋1)＝f (－2)＋f (1)＋2×(－2)×1 ＝f (－2)＋f (1)－4，∴f (－2)＝2.f (－2)＝f (－3＋1)＝f (－3)＋f (1)＋2×(－3)×1 ＝f (－3)＋f (1)－6，∴f (－3)＝6. 答案 C 6．(2009·吉林一模)已知函数f (x )的定义域为[－1,5]．在同一坐标系下，函数y ＝f (x )的图象与 直线x ＝1的交点个数为 ( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．0个或1个均有可能 解析 ∵f (x )的定义域为[－1,5]，而1∈[－1,5]， ∴点(1，f (1))在函数y ＝f (x )的图象上． 而点(1，f (1))又在直线x ＝1上，∴直线x ＝1与函数y ＝f (x )的图象至少有一个交点(1，f (1))．根据函数的定义知，函数是一个特殊的映射，即对于定义域[－1,5]中的任何一个元素，在 其值域中只有唯一确定的元素f (1)与之对应，故直线x ＝1与y ＝f (x )的图象有且只有一个交点． 答案 B二、填空题(每小题6分，共18分) 7．(2010·温州模拟)某出租车公司规定“打的”收费标准如下：3千米以内为起步价8元(即行程不超过3千米，一律收费8元)，若超过3千米除起步价外，超过部分再按1.5元/千米收费计价，若某乘客再与司机约定按四舍五入以元计费不找零钱，该乘客下车时乘车里程数为7.4，则乘客应付的车费是________元． 解析 车费为8＋(7.4－3)×1.5＝14.6≈15(元)． 答案 158．(2009·北京文，12)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ， x ≤1，－x ， x >1，若f (x )＝2，则x ＝______________.解析 当x ≤1时，3x＝2，∴x ＝log 32； 当x >1时，－x ＝2，∴x ＝－2(舍去)． 答案 log 329．(2009·广东六校联考)函数f (x )＝x －4|x |－5的定义域为________________． 解析 要使f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧ x －4≥0|x |－5≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ≥4x ≠±5， ∴f (x )的定义域为{x |x ≥4且x ≠5}． 答案 {x |x ≥4且x ≠5} 三、解答题(共40分) 10．(13分)(2009·阳江第一学期期末)求下列函数的定义域：(1)y ＝25－x 2＋lgcos x ；(2)y ＝log 2(－x 2＋2x )．解 (1)由⎩⎨⎧25－x 2≥0cos x >0，得⎩⎪⎨⎪⎧－5≤x ≤52k π－π2<x <2k π＋π2(k ∈Z )，借助于数轴，解这个不等式组，得函数的定义域为[－5，－3π2)∪(－π2，π2)∪(3π2，5]．(2)－x 2＋2x >0，即x 2－2x <0，∴0<x <2， ∴函数的定义域为(0,2)． 11．(13分)(2009·清远一模)某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3 000元时， 可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元． (1)当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆车？(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？解 (1)当每辆车的月租金定为3 600元时，未租出的车辆数为3 600－3 00050＝12，所以这时租出了88辆车．(2)设每辆车的月租金定为x 元，则租赁公司的月收益为f (x )＝⎝⎛⎭⎫100－x －3 00050(x －150)－x －3 00050×50 整理得f (x )＝－x 250＋162x －21 000＝－150(x －4 050)2＋307 050.所以，当x ＝4 050时，f (x )最大， 最大值为f (4 050)＝307 050.即当每辆车的月租金定为4 050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307 050元． 12．(14分)(2010·东莞模拟)已知g (x )＝－x 2－3，f (x )是二次函数，当x ∈[－1,2]时，f (x )的最小值为1，且f (x )＋g (x )为奇函数，求函数f (x )的表达式． 解 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f (x )＋g (x )＝(a －1)x 2＋bx ＋c －3， 又f (x )＋g (x )为奇函数， ∴a ＝1，c ＝3.∴f (x )＝x 2＋bx ＋3，对称轴x ＝－b 2.当－b2≥2，即b ≤－4时，f (x )在[－1,2]上为减函数，∴f (x )的最小值为f (2)＝4＋2b ＋3＝1. ∴b ＝－3.∴此时无解．当－1<－b2<2，即－4<b <2时，f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫－b 2＝3－b 24＝1， ∴b ＝±2 2.∴b ＝－22，此时f (x )＝x 2－22x ＋3，当－b2≤－1，即b ≥2时，f (x )在[－1,2]上为增函数，∴f (x )的最小值为f (－1)＝4－b ＝1.∴b ＝3.∴f (x )＝x 2＋3x ＋3.综上所述，f (x )＝x 2－22x ＋3， 或f (x )＝x 2＋3x ＋3.§2.2 函数的单调性与最大(小)值一、选择题(每小题7分，共42分)1．(2010·佛山模拟)若函数y ＝ax 与y ＝－bx在(0，＋∞)上都是减函数，则y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上是 ( ) A ．增函数 B ．减函数 C ．先增后减 D ．先减后增解析 ∵y ＝ax 与y ＝－bx在(0，＋∞)上都是减函数，∴a <0，b <0，∴y ＝ax 2＋bx 的对称轴方程x ＝－b2a<0，∴y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上为减函数． 答案 B2．(2010·安庆一模)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3a ， x <0，a x ， x ≥0(a >0且a ≠1)是R 上的减函数，则a 的取值范围是( ) A ．(0,1) B.⎣⎡⎭⎫13，1 C.⎝⎛⎦⎤0，13D.⎝⎛⎦⎤0，23解析 据单调性定义，f (x )为减函数应满足： ⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，3a ≥a 0，即13≤a <1. 答案 B3．(2009·东莞一模)下列四个函数中，在(0,1)上为增函数的是 ( )A ．y ＝sin xB ．y ＝－log 2xC ．y ＝⎝⎛⎭⎫12xD ．y ＝x －12解析 ∵y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是增函数，∴y ＝sin x 在(0,1)上是增函数． 答案 A4．(2009·天津理，8)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x <0.若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围 是 ( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋2)2－4， x ≥0，－(x －2)2＋4， x <0，由f (x )的图象可知f (x )在(－∞，＋∞)上是单调递增 函数，由f (2－a 2)>f (a )得2－a 2>a ，即a 2＋a －2<0，解得－2<a <1.答案 C 5．(2010·淮南调研)若函数f (x )＝x 3 (x ∈R )，则函数y ＝f (－x )在其定义域上是 ( ) A ．单调递减的偶函数 B ．单调递减的奇函数 C ．单调递增的偶函数 D ．单调递增的奇函数解析 f (x )＝x 3(x ∈R )，则函数y ＝f (－x )＝－x 3 (x ∈R )显然在其定义域内是单调递减的奇函数． 答案 B6．(2010·温州一模)函数f (x )＝ln(4＋3x －x 2)的单调递减区间是 ( )A.⎝⎛⎦⎤－∞，32 B.⎣⎡⎭⎫32，＋∞ C.⎝⎛⎦⎤－1，32 D.⎣⎡⎭⎫32，4 解析 函数f (x )的定义域是(－1,4)，u (x )＝－x 2＋3x ＋4＝－⎝⎛⎭⎫x －322＋254的减区间为⎣⎡⎭⎫32，4，∵e>1，∴函数f (x )的单调减区间为⎣⎡⎭⎫32，4.答案 D二、填空题(每小题6分，共18分) 7．(2010·珠海调研)若函数f (x )＝(m －1)x 2＋mx ＋3 (x ∈R )是偶函数，则f (x )的单调减区间是 __________．解析 ∵f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x )， ∴(m －1)x 2－mx ＋3＝(m －1)x 2＋mx ＋3， ∴m ＝0.这时f (x )＝－x 2＋3， ∴单调减区间为[0，＋∞). 答案 [0，＋∞)8．(2010·汕尾一模)若函数f (x )＝4xx 2＋1在区间(m,2m ＋1)上是单调递增函数，则m ∈__________.解析 ∵f ′(x )＝4(1－x 2)(x 2＋1)2，令f ′(x )>0，得－1<x <1,∴f (x )的增区间为(－1,1)．又∵f (x )在(m,2m ＋1)上单调递增， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－1，2m ＋1≤1， ∴－1≤m ≤0. ∵区间(m,2m ＋1)中2m ＋1>m ，∴m >－1. 综上，－1<m ≤0. 答案 (－1,0] 9．(2009·山东实验中学第一次诊断)已知定义域为D 的函数f (x )，对任意x ∈D ，存在正数K ， 都有|f (x )|≤K 成立，则称函数f (x )是D 上的“有界函数”．已知下列函数：①f (x )＝2sin x ；②f (x )＝1－x 2；③f (x )＝1－2x ；④f (x )＝xx 2＋1，其中是“有界函数”的是________．(写出所有满足要求的函数的序号)解析 ①中|f (x )|＝|2sin x |≤2，②中|f (x )|≤1；④|f (x )|＝|x |x 2＋1＝1|x |＋1|x |≤12(x ≠0)，当x ＝0时，f (x )＝0，总之，|f (x )|≤12；③f (x )<1,∴|f （x ）|→+∞,故填①②④. 答案 ①②④三、解答题(共40分)10．(13分)(2010·芜湖一模)判断f (x )＝1x在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的单调性．解 ∵－1<1，f (－1)＝－1<f (1)＝1，∴f (x )在(－∞，0)∪(0，＋∞)上不是减函数．∵－2<－1，f (－2)＝－12>f (－1)＝－1，∴f (x )在(－∞，0)∪(0，＋∞)上不是增函数． ∴f (x )在(－∞，0)∪(0，＋∞)上不具有单调性．11．(13分)(2010·青岛调研)已知f (x )＝xx －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围． (1)证明 任设x 1<x 2<－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2).∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0， ∴f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)内单调递增． (2)解 任设1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x2x 2－a ＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ).∵a >0，x 2－x 1>0，∴要使f (x 1)－f (x 2)>0，只需(x 1－a )(x 2－a )>0恒成立，∴a ≤1. 综上所述知0<a ≤1.12．(14分)(2009·宣城一模)f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，且f ⎝⎛⎭⎫xy ＝f (x )－f (y )．(1)求f (1)的值；(2)若f (6)＝1，解不等式f (x ＋3)－f ⎝⎛⎭⎫1x <2. 解 (1)令x ＝y ，得f (1)＝0.(2)由x ＋3>0及1x>0，得x >0,由f (6)＝1及f (x ＋3)－f ⎝⎛⎭⎫1x <2， 得f [x (x ＋3)]<2f (6)， 即f [x (x ＋3)]－f (6)<f (6)，亦即f ⎣⎡⎦⎤x (x ＋3)6<f (6)．因为f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以x (x ＋3)6<6， 解得－3－3172<x <－3＋3172.综上所述，不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |0<x <－3＋3172.§2.3 函数的奇偶性一、选择题(每小题7分，共42分) 1．(2010·吉林模拟)已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( )A ．－13 B.13 C.12 D ．－12解析 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝－2ab ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13b ＝0， ∴a ＋b ＝13＋0＝13.答案 B 2．(2009·金华模拟)若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f (2)＝0， 则使得f (x )<0的取值范围是 ( ) A ．(－∞，2) B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－2,2)解析 ∵f (x )是偶函数且在(-∞，0]上是减函数，且f (2)=f(-2)=0， 可画示意图如图所示，由图知f (x )<0的解集为(-2,2)． 答案 D3．(2009·辽宁理，9)已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<f (13)的x的取值范围是 ( ) A.⎝⎛⎭⎫13，23 B.⎣⎡⎭⎫13，23 C.⎝⎛⎭⎫12，23 D.⎣⎡⎭⎫12，23解析 方法一 当2x －1≥0，即x ≥12时，因为f (x )在[0，＋∞)上单调递增，故需满足2x－1<13，即x <23，所以12≤x <23.当2x －1<0，即x <12时，由于f (x )是偶函数，故f (x )在(－∞，0]上单调递减，f ⎝⎛⎭⎫13＝f ⎝⎛⎭⎫－13，此时需满足2x －1>－13，所以13<x <12，综上可得13<x <23.方法二 ∵f (x )为偶函数，∴f (2x －1)＝f (|2x －1|)， 又∵f (x )在区间(0，＋∞)上为增函数，∴不等式f (2x －1)<f (13)等价于|2x －1|<13.∴－13<2x －1<13，∴13<x <23. 答案 A4．(2009·陕西文，10)定义在R 上的偶函数f (x )，对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，则( )A ．f (3)<f (－2)<f (1)B ．f (1)<f (－2)<f (3)C ．f (－2)<f (1)<f (3)D ．f (3)<f (1)<f (－2)解析 对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，则x 2－x 1与f (x 2)－f (x 1)异号，因此函数f (x )在[0，＋∞)上是减函数．又f (x )在R 上是偶函数，故f (－2)＝f (2)，由于3>2>1， 故有f (3)<f (－2)<f (1)． 答案 A 5．(2009·湖南示范性高中一模)函数y ＝f (x )与y ＝g (x )有相同的定义域，且都不是常数函数，对定义域中任意x ，有f (x )＋f (－x )＝0，g (x )g (－x )＝1，且x ≠0，g (x )≠1，则F (x )＝2f (x )g (x )－1＋f (x ) ( ) A ．是奇函数但不是偶函数 B ．是偶函数但不是奇函数 C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数也不是偶函数解析 由条件知f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝1g (x )，∴F (－x )＝2f (－x )g (－x )－1＋f (－x )＝－2f (x )1g (x )－1－f (x )＝－f (x )·g (x )－f (x )1－g (x )＝f (x )g (x )＋f (x )g (x )－1＝F (x )．答案 B6．(2009·丽水模拟)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝1－2－x，则不等式f (x )<－12的解集是 ( )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，－1]C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)解析 当x >0时，1－2－x ＝1－12x >0与题意不符，当x <0时，－x >0，∴f (－x )＝1－2x ， 又∵f (x )为R 上的奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )，∴－f (x )＝1－2x，∴f (x )＝2x－1，∴f (x )＝2x －1<－12，∴2x <12，∴x <－1，∴不等式f (x )<－12的解集是(－∞，－1)．答案 A二、填空题(每小题6分，共18分) 7．(2010·福州模拟)已知函数y ＝f (x )为奇函数，若f (3)－f (2)＝1，则f (－2)－f (－3)＝______. 解析 ∵f (x )为奇函数且f (3)－f (2)＝1， ∴f (－2)－f (－3)＝f (3)－f (2)＝1. 答案 1 8．(2010·温州一模)设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]，当x ∈[0，5]时，函数y ＝f (x )的图象如图所示，则使函数值y <0的x 的取值集合为________．解析 由原y =f (x )在[-5,5]上的图象关于坐标原点对称，由y =f (x )在[0,5]上的图象，得它在[-5,0]上的图象，如图所示．由图象知，使函数值y <0的x 的取值 集合为(-2,0)∪(2,5)． 答案 (-2,0)∪(2,5) 9．(2009·山东理，16)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是 增函数，若方程f (x )＝m (m >0)，在区间[－8,8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝________.解析 因为定义在R 上的奇函数，满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (4－x )＝f (x )．因此，函数图象关于直线x ＝2对称且f (0)＝0，由f (x －4)＝－f (x )知f (x －8)＝f (x )．又因为f (x )在区间[0,2]上是增函数，所以f (x )在区间[－2,0]上也是增函数，如图所示，那么方程f (x )＝m (m >0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，不妨设x 1<x 2<x 3<x 4.由对称性知x 1＋x 2＝－12，x 3＋x 4＝4，所以x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝－12＋4＝－8.答案 －8三、解答题(共40分) 10．(13分)(2010·杭州模拟)设函数f (x )＝x 2－2|x |－1 (－3≤x ≤3)， (1)证明f (x )是偶函数； (2)画出这个函数的图象；(3)指出函数f (x )的单调区间，并说明在各个单调区间上f (x )是增函数还是减函数； (4)求函数的值域．(1)证明 ∵x ∈[－3,3]，∴f (x )的定义域关于原点对称． f (－x )＝(－x )2－2|－x |－1 ＝x 2－2|x |－1＝f (x )，即f (－x )＝f (x )，∴f (x )是偶函数．(2)解 当x ≥0时，f (x )＝x 2－2x －1＝(x －1)2－2， 当x <0时，f (x )=x 2+2x -1 =(x +1)2-2， 即f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--+≤≤=-)03(2)1()30(2)1(22x x x x根据二次函数的作图方法，可得函数图象如图． (3)解 函数f(x)的单调区间为 [-3，-1)，[-1,0)，[0,1)，[1,3]．f (x )在区间[-3，-1)和[0,1)上为减函数， 在[-1,0)，[1,3]上为增函数．(4)解 当x ≥0时，函数f(x)=(x-1)2-2的最小值为-2，最大值为f(3)=2； 当x<0时，函数f(x)=(x+1)2-2的最小值为-2，最大值为f(-3)=2.故函数f(x)的值域为[-2,2]． 11．(13分)(2010·湖州联考)已知f (x )是R 上的奇函数，且当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝－x lg(2－x )，求f (x )的解析式．解 ∵f (x )是奇函数，可得f (0)＝－f (0)，∴f (0)＝0. 当x >0时，－x <0，由已知f (－x )＝x lg(2＋x )， ∴－f (x )＝x lg(2＋x )，即f (x )＝－x lg(2＋x ) (x >0)．∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x lg(2－x ) (x <0)，－x lg(2＋x ) (x ≥0).即f (x )＝－x lg(2＋|x |) (x ∈R )．12．(14分)(2010·舟山调研)已知函数f (x )＝x 2＋ax(x ≠0，常数a ∈R )．(1)讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由；(2)若函数f (x )在[2，＋∞)上为增函数，求实数a 的取值范围． 解 (1)当a ＝0时，f (x )＝x 2对任意 x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，有f (－x )＝(－x )2＝x 2＝f (x )，∴f (x )为偶函数．当a ≠0时，f (x )＝x 2＋a x(x ≠0，常数a ∈R )，若x ＝±1，则f (－1)＋f (1)＝2≠0； ∴f (－1)≠－f (1)，f (－1)≠f (1)．∴函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数． 综上所述，当a ＝0时，f (x )为偶函数； 当a ≠0时，f (x )为非奇非偶函数． (2)设2≤x 1<x 2，f (x 1)－f (x 2)＝x 21＋a x 1－x 22－a x 2＝x 1－x 2x 1x 2[x 1x 2(x 1＋x 2)－a ]，要使函数f (x )在x ∈[2，＋∞)上为增函数， 必须f (x 1)－f (x 2)<0恒成立． ∵x 1－x 2<0，x 1x 2>4， 即a <x 1x 2(x 1＋x 2)恒成立．又∵x 1＋x 2>4，∴x 1x 2(x 1＋x 2)>16， ∴a 的取值范围是(－∞，16]．§2.4 指数与指数函数一、选择题(每小题7分，共42分)1．(2010·滨州一模)下列等式36a 3＝2a ；3－2＝6(－2)2；－342＝4(－3)4×2中一定成立的有 ( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个解析 36a 3＝36a ≠2a ；3－2＝－32<0， 6(－2)2＝622＝32>0，∴3－2≠6(－2)2； －342<0，4(－3)4×2>0，∴－342≠4(－3)4×2. 答案 A2．(2009·新乡模拟)函数f (x )=ax -b 的图象如右图，其中a 、b 为常数，则下 列结论正确的是 ( ) A ．a >1，b <0 B ．a >1，b >0 C ．0<a <1，b >0 D ．0<a <1，b <0解析 由图象得函数是减函数， ∴0<a <1.又分析得，图象是由y =ax 的图象向左平移所得，∴-b >0，即b <0.从而D 正确． 答案 D 3．(2010·菏泽联考)已知函数y ＝4x －3×2x ＋3，当其值域为[1,7]时，x 的取值范围是( ) A ．[2,4] B ．(－∞，0] C ．(0,1]∪[2,4] D ．(－∞，0]∪[1,2]解析 y ＝(2x )2－3×2x ＋3＝⎝⎛⎭⎫2x－322＋34∈[1,7]，∴⎝⎛⎭⎫2x－322∈⎣⎡⎦⎤14，254. ∴2x －32∈⎣⎡⎦⎤－52，－12∪⎣⎡⎦⎤12，52.∴2x∈[－1,1]∪[2,4]，∴x ∈(－∞，0]∪[1,2]． 答案 D4．(2009·温州模拟)定义运算：a *b ＝⎩⎨⎧a (a ≤b )b (a >b )，如1] ( ) A ．R B ．(0，＋∞) C ．(0,1] D ．[1，＋∞)解析 f (x )＝2x *2－x＝⎩⎪⎨⎪⎧2x (x ≤0)2－x (x >0)，∴f (x )在(－∞，0]上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，∴0<f (x )≤1.答案 C5．(2009·珠海模拟)若函数f (x )＝12x ＋1，则该函数在(－∞，＋∞)上是( )A ．单调递减无最小值B ．单调递减有最小值C ．单调递增无最大值D ．单调递增有最大值解析 令u (x )＝2x ＋1，则f (u )＝1u.因为u (x )在(－∞，＋∞)上单调递增且u (x )>1，而f (u )＝1u 在(1，＋∞)上单调递减，故f (x )＝12x ＋1在(－∞，＋∞)上单调递减，且无限趋于0，故无最小值． 答案 A6．(2010·湖州联考)函数y ＝12π·(2a －3)－x23的部分图象大致是如图所示的四个图象的一个，根据你的判断，a 可能的取值是 ( )A ．21B.32C ．2D ．4解析 函数为偶函数，排除①②，又函数值恒为正值，则排除④，故图象只能是③，再根 据图象先增后减的特征可知2a －3>1，即a >2，符合条件的只有D 选项，故选D. 答案 D二、填空题(每小题6分，共18分)7．(2009·青岛一模)若f (x )＝a －x 与g (x )＝a x －a(a >0且a ≠1)的图象关于直线x ＝1对称，则a ＝________.解析 g (x )上的点P (a,1)关于直线x ＝1的对称点P ′(2－a,1)应在f (x )＝a －x上， ∴1＝a a －2.∴a －2＝0，即a ＝2. 答案 2 8．(2010·济宁调研)设函数f (x )＝a －|x | (a >0且a ≠1)，若f (2)＝4，则f (－2)与f (1)的大小关系是__________．解析 由f (2)＝a －2＝4，解得a ＝12，∴f (x )＝2|x |，∴f (－2)＝4>2＝f (1)． 答案 f (－2)>f (1)9．(2009·江苏)已知a ＝5－12，函数f (x )＝a x ，若实数m 、n 满足f (m )>f (n )，则m 、n 的大小关系为________．解析 ∵0<a ＝5－12<1，∴函数f (x )＝a x在R 上是减函数．又∵f (m )>f (n )，∴m <n .答案 m <n三、解答题(共40分)10．(13分)(2010·临沂月考)已知对任意x ∈R ，不等式12x 2＋x >⎝⎛⎭⎫122x 2－mx ＋m ＋4恒成立，求实数m 的取值范围．解 由题知：不等式⎝⎛⎭⎫12x 2＋x >⎝⎛⎭⎫122x 2－mx ＋m ＋4对x ∈R 恒成立，∴x 2＋x <2x 2－mx ＋m ＋4对x ∈R 恒成立．∴x 2－(m ＋1)x ＋m ＋4>0对x ∈R 恒成立．∴Δ＝(m ＋1)2－4(m ＋4)<0. ∴m 2－2m －15<0.∴－3<m <5.11．(13分)(2009·中山一模)若函数y ＝a 2x ＋2a x－1(a >0且a ≠1)在x ∈[－1,1]上的最大值为14， 求a 的值．解 令a x ＝t ，∴t >0，则y ＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2－2，其对称轴为t ＝－1.该二次函数在[－1， ＋∞)上是增函数．①若a >1，∵x ∈[－1,1]，∴t ＝a x ∈⎣⎡⎦⎤1a ，a ， 故当t ＝a ，即x ＝1时，y max ＝a 2＋2a －1＝14， 解得a ＝3(a ＝－5舍去)． ②若0<a <1，∵x ∈[－1,1]，∴t ＝a x ∈⎣⎡⎦⎤a ，1a ，故当t ＝1a ，即x ＝－1时，y max ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋12－2＝14.∴a ＝13或－15(舍去)．综上可得a ＝3或13.12．(14分)(2009·宁波模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cx ＋1 (0<x <c )2－xc 2＋1 (c ≤x <1) 满足f (c 2)＝98. (1)求常数c 的值；(2)解不等式f (x )>28＋1.解 (1)依题意0<c <1，∴c 2<c ，∵f (c 2)＝98，∴c 3＋1＝98，c ＝12.(2)由(1)得f (x )＝⎩⎨⎧12x ＋1 (0<x <12)2－4x ＋1 (12≤x <1)，由f (x )>28＋1得 当0<x <12时，12x ＋1>28＋1，∴24<x <12，当12≤x <1时，2－4x ＋1>28＋1，∴12≤x <58. 综上可知：24<x <58，∴f (x )>28＋1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |24<x <58.§2.5 对数与对数函数一、选择题(每小题7分，共42分) 1．(2009·湖南文，1)log 22的值为( )A ．－ 2B. 2C ．－12D.12解析 log 22＝log 2212＝12.答案 D2．(2009·广东文，4)若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x ) ＝ ( ) A.12x B ．2x －2 C ．log 12x D ．log 2x解析 函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)的反函数是f (x )＝log a x ，又f (2)＝1，即log a 2＝1，所以a ＝2，故f (x )＝log 2x ，故选D. 答案 D3．(2009·辽宁文，6)已知函数f (x )满足：当x ≥4时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x；当x <4时，f (x )＝f (x ＋1)．则f (2＋log 23)＝ ( ) A.124 B.112 C.18 D.38解析 因为2＋log 23<4，故f (2＋log 23)＝f (2＋log 23＋1)＝f (3＋log 23)．又3＋log 23>4，故f (3＋log 23)＝⎝⎛⎭⎫123＋log 23＝⎝⎛⎭⎫123·13＝124.答案 A 4．(2009·韶关第一学期期末)已知0<x <y <a <1，m ＝log a x ＋log a y ，则有 ( )A ．m <0B ．0<m <1C ．1<m <2D ．m >2解析 m ＝log a xy ，∵0<x <y <a <1，∴0<xy <a 2<1. ∴m >log a a 2＝2. 答案 D 5．(2010·烟台一模)函数y ＝f (x )的图象如下图所示，则函数y ＝log 12f (x )的图象大致是( )6．(2010·绍兴模拟)函数y ＝log a |x ＋b | (a >0，a ≠1，ab ＝1)的图象只可能是 ( )解析 由a >0，ab =1可知b >0，又y =log a |x +b |的图象关于x =-b 对称，由图象可知b >1，且0<a <1，由单调性可知，B 正确． 答案 B二、填空题(每小题6分，共18分) 7．(2009·江苏，11)已知集合A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝(－∞，a )，若A ⊆B ，则实数a 的取值范 围是(c ，＋∞)，其中c ＝__________________________. 解析 ∵log 2x ≤2，∴0<x ≤4.又∵A ⊆B ，∴a >4， ∴c ＝4. 答案 48．(2009·嘉兴第一学期期末)计算：[(－4)3]13＋log 525＝________.解析 原式＝(－4)1＋log 552＝－4＋2＝－2. 答案 －2 9．(2009·台州第一学期期末)已知0<a <b <1<c ，m ＝log a c ，n ＝log b c ，则m 与n 的大小关系是 ________．解析 ∵m <0，n <0，mn＝log a c ·log c b ＝log a b <log a a ＝1，∴m >n .答案 m >n三、解答题(共40分)10．(13分)(2010·巢湖一模)将下列各数按从大到小的顺序排列：log 89，log 79，log 123，log 1229，⎝⎛⎭⎫123，⎝⎛⎭⎫12π. 解 log 1229＝(－log 29)2＝log 229，在同一坐标系内作出y ＝log 8x ，y ＝log 7x ，y ＝log 2x 的图象如图所示，当x ＝9时，由图象知log 29>log 79>log 89>1＝log 88，∴log 229>log 79>log 89>1，即19log9log9log87221>>>.∵x y )21(=在R 上是减函数，∴1>3)21(>π)21( >0.又log 3<0， 综上：3log π)2()21(9log9log9log21387221>1>>>.11．(13分)(2009·邵阳模拟)若函数y ＝lg(3－4x ＋x 2)的定义域为M .当x ∈M 时，求f (x )＝2x ＋2－3×4x 的最值及相应的x 的值．解 y ＝lg(3－4x ＋x 2)，∴3－4x ＋x 2>0， 解得x <1或x >3，∴M ＝{x |x <1，或x >3}， f (x )＝2x ＋2－3×4x ＝4×2x －3×(2x )2. 令2x ＝t ，∵x <1或x >3， ∴t >8或0<t <2.∴f (t )＝4t －3t 2＝－3⎝⎛⎭⎫t －232＋43(t >8或0<t <2)．由二次函数性质可知：当0<t <2时，f (t )∈⎝⎛⎦⎤0，43，当t >8时，f (x )∈(－∞，－160)，当2x ＝t ＝23，即x ＝log 223时，f (x )max ＝43.综上可知：当x ＝log 223时，f (x )取到最大值为43，无最小值．12．(14分)(2009·四平期末)已知函数f (x )＝3x，f (a ＋2)＝18，g (x )＝λ·3ax －4x 的定义域为[0,1]． (1)求a 的值；(2)若函数g (x )在区间[0,1]上是单调递减函数，求实数λ的取值范围． 解 方法一 (1)由已知得3a ＋2＝18⇒3a ＝2⇒a ＝log 32. (2)由(1)得g (x )＝λ·2x －4x ，设0≤x 1<x 2≤1， 因为g (x )在区间[0,1]上是单调减函数，所以g (x 1)－g (x 2)＝(2x 1－2x 2)(λ－2x 2－2x 1)>0恒成立，即λ<2x 2＋2x 1恒成立． 由于2x 2＋2x 1>20＋20＝2，所以，实数λ的取值范围是λ≤2.方法二 (1)由已知得3a ＋2＝18⇒3a ＝2⇒a ＝log 32. (2)由(1)得g (x )＝λ·2x －4x ，因为g (x )在区间[0,1]上是单调减函数， 所以有g ′(x )＝λln 2·2x －ln 4·4x ＝ln 2[－2·(2x )2＋λ·2x ]≤0成立．设2x ＝u ∈[1,2]，上式成立等价于－2u 2＋λu ≤0恒成立．因为u ∈[1,2]，只需λ≤2u 恒成立，所以实数λ的取值范围是λ≤2.§2.6 一次函数、二次函数与幂函数一、选择题(每小题7分，共42分)1．(2009·菏泽重点中学阶段性练习)下列函数：①y ＝1x3；②y ＝3x －2；③y ＝x 4＋x 2；④y ＝3x 2，其中幂函数的个数为 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析 ∵①中y ＝x －3；④中y ＝x 23符合幂函数定义；而②中y ＝3x －2，③中y ＝x 4＋x 2不符合幂函数的定义． 答案 B2．(2010·淄博一模)函数f (x )＝|x |9n(n ∈N *，n >9)的图象可能是 ( )解析 ∵f (－x )＝|－x |9n ＝|x |9n＝f (x )，∴函数为偶函数，图象关于y 轴对称，故排除A 、B.令n ＝18，则f (x )＝|x |12，当x ≥0时，f (x )＝x 12，由其在第一象限的图象知选C.答案 C 3．(2009·湖北理，9)设球的半径为时间t 的函数R (t )．若球的体积以均匀速度c 增长，则球的表面积的增长速度与球半径 ( )A ．成正比，比例系数为cB ．成正比，比例系数为2cC ．成反比，比例系数为cD ．成反比，比例系数为2c解析 ∵V ＝43πR 3(t )，∴V ′(t )＝4πR 2(t )·R ′(t )＝c .∴R ′(t )＝c4πR 2(t ).∵S (t )＝4πR 2(t )， ∴S ′(t )＝8πR (t )R ′(t )＝8πR (t )·c 4πR 2(t )＝2cR (t ).答案 D 4．(2009·云浮联考)函数f (x )＝－x 2＋(2a －1)|x |＋1的定义域被分成了四个不同的单调区间，则实数a 的取值范围是 ( )A ．a >23 B.12<a <32C ．a >12D ．a <12解析 f (x )＝－x 2＋(2a －1)|x |＋1是由函数f (x )＝－x 2＋(2a －1)x ＋1变化得到，第一步保留y 轴右侧的图象，再作关于y 轴对称的图象．因为定义域被分成四个单调区间，所以f (x )＝－x 2＋(2a －1)x ＋1的对称轴在y 轴的右侧，使y 轴右侧有两个单调区间，对称后有四个单调区间．所以2a －12>0，即a >12.答案 C 5．(2009·山东实验中学第一次诊断)若0<a <1，x >y >1，则下列关系式中正确的个数是( )①a x >a y ②x a >y a③log a x >log a y ④log x a >log y a A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 解析 ∵0<a <1，x >y >1，∴y ＝a x 递减，故①不正确；y ＝x a 递增，故②正确； y ＝log a x 递减，故③不正确． ∵log x a <0，log y a <0，∴log x a >log y a ⇔log a x <log a y ，正确． 综上，②④正确． 答案 C6.(2010·莆田调研)已知函数y ＝log 12(x 2－2kx ＋k )的值域为R ，则实数k 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(－∞，0]∪[1，＋∞)C ．[0,1)D ．k ＝0或k ≥1解析 要满足题意，t ＝x 2－2kx ＋k 要能取到所有正实数，抛物线要与坐标轴有交点， ∴Δ＝4k 2－4k ≥0.解得k ≥1或k ≤0. 答案 B二、填空题(每小题6分，共18分)7．(2010·临沂一模)当α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，1，3时，幂函数y ＝x α的图象不可能经过第________象限．解析 当x >0时，y >0，故不过第四象限； 当x <0时，y <0或无意义．故不过第二象限．综上，不过二、四象限．也可画图观察． 答案 二、四 8．(2009·吉林省实验中学一模)函数y ＝x ＋2x 在区间[0,4]上的最大值M 与最小值N 的和M ＋N ＝________.解析 令t ＝x ∈[0,2]，∴y ＝t 2＋2t ＝(t ＋1)2－1， 在t ∈[0,2]上递增．∴当t ＝0时，N ＝0，当t ＝2时，M ＝8.∴M ＋N ＝8. 答案 8 9．(2009·泰安二模)已知(0.71.3)m <(1.30.7)m ，则实数m 的取值范围是__________．解析 ∵0<0.71.3<0.70＝1,1.30.7>1.30＝1， ∴0.71.3<1.30.7.而(0.71.3)m <(1.30.7)m ，∴幂函数y ＝x m在(0，＋∞)上单调递增，故m >0. 答案 (0，＋∞) 三、解答题(共40分) 10．(13分)(2010·新疆和田联考)已知函数f (x )＝(m 2－m －1)·x －5m －3，m 为何值时， f (x )：(1)是正比例函数；(2)是反比例函数； (3)是二次函数；(4)是幂函数．解 (1)若f (x )是正比例函数，则－5m －3＝1，解得m ＝－45，此时m 2－m －1≠0，故m ＝－45.(2)若f (x )是反比例函数，则－5m －3＝－1，则m ＝－25，此时m 2－m －1≠0，故m ＝－25.(3)若f (x )是二次函数，则－5m －3＝2，即m ＝－1，此时m 2－m －1≠0，故m ＝－1，(4)若f (x )是幂函数，则m 2－m －1＝1， 即m 2－m －2＝0，解得m ＝2或m ＝－1.综上所述，(1)当m ＝－45时，f (x )是正比例函数．(2)当m ＝－25时，f (x )是反比例函数．(3)当m ＝－1时，f (x )是二次函数．(4)当m ＝2或m ＝－1时，f (x )是幂函数． 11．(13分)(2009·汕头模拟)即将开工的上海与周边城市的城际列车铁路线将大大缓解交通的 压力，加速城市之间的流通．根据测算，如果一列火车每次拖4节车厢，每天能来回16 次；如果每次拖7节车厢，则每天能来回10次，每天来回次数是每次拖挂车厢个数的一次函数，每节车厢一次能载客110人，试问每次应拖挂多少节车厢才能使每天营运人数最多？并求出每天最多的营运人数．(注：营运人数指火车运送的人数) 解 设这列火车每天来回次数为t 次，每次拖挂车厢n 节，则设t ＝kn ＋b .由⎩⎪⎨⎪⎧ 16＝4k ＋b ，10＝7k ＋b 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝24.∴t ＝－2n ＋24.设每次拖挂n 节车厢每天营运人数为y ， 则y ＝tn ×110×2＝440(－n 2＋12n )， 当n ＝6时，总人数最多为15 840人．答 每次应拖挂6节车厢才能使每天的营运人数最多为15 840人． 12．(14分)(2009·杭州学军中学第七次月考)已知函数f (x )＝x 2，g (x )＝x －1. (1)若存在x ∈R 使f (x )<b ·g (x )，求实数b 的取值范围；(2)设F (x )＝f (x )－mg (x )＋1－m －m 2，且|F (x )|在[0,1]上单调递增，求实数m 的取值范围． 解 (1)∃x ∈R ，f (x )<bg (x )⇒∃x ∈R ，x 2－bx ＋b <0 ⇒(－b )2－4b >0⇒b <0或b >4. (2)F (x )＝x 2－mx ＋1－m 2， Δ＝m 2－4(1－m 2)＝5m 2－4.①当Δ≤0，即－255≤m ≤255时，则必需⎩⎨⎧m 2≤0－255≤m ≤255⇒－255≤m ≤0.②当Δ>0，即m <－255或m >255时，设方程F (x )＝0的根为x 1，x 2(x 1<x 2)．若m2≥1，则x 1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2≥1F (0)＝1－m 2≤0⇒m ≥2；若m2≤0，则x 2≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2≤0F (0)＝1－m 2≥0⇒－1≤m <－255； 综上所述：－1≤m ≤0或m ≥2.§2.7 函数与方程一、选择题(每小题7分，共42分)1．(2010·临沂模拟)设f (x )＝3x －x 2，则在下列区间中，使函数f (x )有零点的区间是( ) A ．[0,1] B ．[1,2] C ．[－2，－1] D ．[－1,0]解析 ∵f (－1)＝3－1－(－1)2＝13－1＝－23<0，f (0)＝30－02＝1>0， ∴f (－1)·f (0)<0，∴有零点的区间是[－1,0]． 答案 D2．(2009·天津理，4)设函数f (x )＝13x －ln x (x >0)，则y ＝f (x ) ( )A ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1，(1，e)内均有零点B ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1，(1，e)内均无零点C ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1内有零点，在区间(1，e)内无零点D ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1内无零点，在区间(1，e)内有零点 解析 因为f ⎝⎛⎭⎫1e ·f (1)＝⎝⎛⎭⎫13·1e －ln 1e ·⎝⎛⎭⎫13－ln 1＝13⎝⎛⎭⎫13e ＋1>0， 因此f (x )在⎝⎛⎭⎫1e ，1内无零点． 又f (1)·f (e)＝⎝⎛⎭⎫13×1－ln 1·⎝⎛⎭⎫13·e －ln e ＝e －39<0. 因此f (x )在(1，e)内有零点． 答案 D3．(2009·福建文，11)若函数f (x )的零点与g (x )＝4x＋2x －2的零点之差的绝对值不超过0.25， 则f (x )可以是 ( )A ．f (x )＝4x －1B ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝e x －1D ．f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎫x －12解析 ∵g (x )＝4x＋2x －2在R 上连续且g (14)＝2＋12－2＝2－32<0，g (12)＝2＋1－2＝1>0.设g (x )＝4x ＋2x －2的零点为x 0，则14<x 0<12，0<x 0－14<14，∴⎪⎪⎪⎪x 0－14<14.又f (x )＝4x －1零点为x ＝14；f (x )＝(x －1)2零点为x ＝1；f (x )＝e x －1零点为x ＝0；f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎫x －12零点为x ＝32.答案 A 4．(2010·三明联考)方程|x 2－2x |＝a 2＋1 (a ∈R ＋)的解的个数是 ( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析 ∵a ∈R+，∴a 2+1>1.而y =|x 2-2x |的图象如图，∴y =|x 2-2x |的 图象与y =a 2+1的图象总有两个交点．∴方程有两解． 答案 B 5．(2009·杭州质检)方程|x |(x －1)－k ＝0有三个不相等的实根，则 k 的取值范围是 ( )A.⎝⎛⎭⎫－14，0B.⎝⎛⎭⎫0，14C.⎝⎛⎭⎫－14，＋∞D.⎝⎛⎭⎫－∞，14 解析 本题研究方程根的个数问题，此类问题首选的方法是图 象法即构造函数利用函数图象解题，其次是直接求出所有的根．本题显然考虑第一种方法．如图，作出函数y =|x |·(x -1)的图象， 由图象知当k ∈)0,41(-时，函数y =k 与y =|x |(x -1)有3个不同的交点，即方程有3个实根． 答案 A6．(2009·怀化调研)设f (x )＝x 3＋bx ＋c (b >0) (－1≤x ≤1)，且f ⎝⎛⎭⎫－12·f ⎝⎛⎭⎫12<0，则方程f (x )＝0在[－1,1]内 ( ) A ．可能有3个实数根 B ．可能有2个实数根 C ．有唯一的实数根 D ．没有实数根解析 ∵f (x )＝x 3＋bx ＋c (b >0)，∴f ′(x )＝3x 2＋b >0，∴f (x )在[－1,1]上为增函数，又∵f ⎝⎛⎭⎫－12·f ⎝⎛⎭⎫12<0，∴f (x )在⎝⎛⎭⎫－12，12内存在唯一零点．答案 C二、填空题(每小题6分，共18分) 7．(2010·淮南模拟)若函数f (x )＝x 2－ax －b 的两个零点是2和3，则函数g (x )＝bx 2－ax －1的零点是________．解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ 22－2a －b ＝032－3a －b ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5b ＝－6.∴g (x )＝－6x 2－5x －1的零点为－12，－13.答案 －12，－138．(2009·池州模拟)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2和3，则不等式af (－2x )>0的解 集是__________．解析 ∵f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2,3. ∴－2,3是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根，由根与系数的关系知⎩⎪⎨⎪⎧ －2＋3＝－a －2×3＝b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝－6，∴f (x )＝x 2－x －6.∵不等式af (－2x )>0，即－(4x 2＋2x －6)>0⇔2x 2＋x －3<0，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－32<x <1.答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－32<x <19.(2010·六安一模)已知y ＝x (x －1)(x ＋1)的图象如图所示，今考虑f (x )＝x (x －1)(x ＋1)＋0.01， 则方程f (x )＝0 ①有三个实根；②当x <-1时，恰有一实根(有一实根且仅有一实根)；③当-1<x <0时，恰有一实根；④当0<x <1时，恰有一实根； ⑤当x >1时，恰有一实根． 则正确结论的编号为 .解析 ∵f (-2)=-2×(-3)×(-1)+0.01=-5.99<0， f (-1)=0.01>0，即f (-2)·f (-1)<0， ∴在(-2，-1)内有一个实根．由图中知：方程f (x )=0在(-∞，-1)上，只有一个实根， 所以②正确．又∵f (0)=0.01>0，由图知f (x )=0在(-1,0)上没有实数根，所以③不正确． 又∵f (0.5)=0.5×(-0.5)×1.5+0.01=-0.365<0， f (1)=0.01>0，即f (0.5)f (1)<0，所以f (x )=0.在(0.5,1)上必有一个实根，且f(0)·f (0.5)<0， ∴f (x )=0在(0,0.5)上也有一个实根．∴f (x )=0在(0,1)上有两个实根，④不正确．由f (1)>0且f (x )在(1，+∞)上是增函数， ∴f (x )>0，f (x )=0在(1，+∞)上没有实根． ∴⑤不正确．并且由此可知①也正确． 答案 ①②三、解答题(共40分) 10．(13分)(2009·广州模拟)已知函数f (x )＝4x ＋m ·2x ＋1有且仅有一个零点，求m 的取值范围， 并求出该零点． 解 ∵f (x )＝4x ＋m ·2x ＋1有且仅有一个零点， 即方程(2x )2＋m ·2x ＋1＝0仅有一个实根． 设2x ＝t (t >0)，则t 2＋mt ＋1＝0. 当Δ＝0时，即m 2－4＝0，∴m ＝－2时，t ＝1；m ＝2时，t ＝－1(不合题意，舍去)， ∴2x ＝1，x ＝0符合题意．当Δ>0时，即m >2或m <－2时， t 2＋mt ＋1＝0有两正或两负根， 即f (x )有两个零点或没有零点． ∴这种情况不符题意．综上可知：m ＝－2时，f (x )有唯一零点，该零点为x ＝0. 11．(13分)(2009·滁州联考)关于x 的二次方程x 2＋(m －1)x ＋1＝0在区间[0,2]上有解，求实数m 的取值范围．解 设f (x )＝x 2＋(m －1)x ＋1，x ∈[0,2]，①若f (x )＝0在区间[0,2]上有一解， ∵f (0)＝1>0，则应有f (2)≤0，又∵f (2)＝22＋(m －1)×2＋1，∴m ≤－32.②若f (x )＝0在区间[0,2]上有两解，则 ⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥00≤－m －12≤2f (2)≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧(m －1)2－4≥0－3≤m ≤14＋(m －1)×2＋1≥0.∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≥3或m ≤－1－3≤m ≤1m ≥－32，∴－32≤m ≤－1，由①②可知m ≤－1.12．(14分)(2009·聊城一模)已知a 是实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3－a .如果函数y ＝f (x )在区 间[－1,1]上有零点，求a 的取值范围． 解 (1)当a ＝0时，f (x )＝2x －3. 令2x -3=0，得x =23∉[-1,1]∴f (x )在[－1,1]上无零点，故a ≠0.(2)当a >0时，f (x )＝2ax 2＋2x －3－a 的对称轴为x ＝－12a①当－12a ≤－1，即0<a ≤12时，须使⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)≤0f (1)≥0即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤5a ≥1∴a 的解集为∅.②当－1<－12a <0，即a >12时，须使⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝⎛⎭⎫－12a ≤0f (1)≥0即⎩⎪⎨⎪⎧－12a－3－a ≤0a ≥1解得a ≥1，∴a 的取值范围是[1，＋∞)． (3)当a <0时， ①当0<a21-≤1，即a ≤21-时，须有,0)21(0)1(⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤-a f f ， 即⎪⎩⎪⎨⎧≥---≤03215a aa解得：a ≤273--或273+-≤a ≤5，。