专题6第2讲基本初等函数、函数与方程-2021届高三高考数学二轮复习课件

第2讲函数概念与基本初等函数一．【考纲导读】（一）函数1.了解构成函数的要素，了解映射的概念,会求一些简单函数的定义域和值域.2.理解函数的三种表示法：解析法、图象法和列表法，能根据不同的要求选择恰当的方法表示简单的函数.3.了解分段函数，能用分段函数来解决一些简单的数学问题.4.理解函数的单调性，会讨论和证明一些简单的函数的单调性；理解函数奇偶性的含义，会判断简单的函数奇偶性.5.理解函数的最大（小）值及其几何意义，并能求出一些简单的函数的最大（小）值6.会运用函数图像理解和研究函数的性质.（二）指数函数1．了解指数函数模型的实际背景.2．理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.3．理解指数函数的概念，会求与指数函数性质有关的问题.4．知道指数函数是一类重要的函数模型.（三）对数函数1．理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.2．理解对数函数的概念；会求与对数函数性质有关的问题.3．知道对数函数是一类重要的函数模型.4．了解指数函数与对数函数互为反函数.（四）幂函数1．了解幂函数的概念.2．结合函数的图像，了解它们的变化情况.（五）函数与方程1.了解函数零点的概念，结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系.2.理解并掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法。

能利用函数的图象和性质判别函数零点的个数.（六）函数模型及其应用1．了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征。

知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.2．了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用.3．能利用给定的函数模型解决简单的实际问题.二．【命题走向】分析近几年的高考试题，可以发现函数是高考数学的重点内容之一，函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程，包括解决几何问题.在近几年的高考试卷中，选择题、填空题、解答题三种题型中每年都有函数试题，而且常考常新.以基本函数为模型的应用题和综合题是高考命题的新趋势.2015年高考热点主要有：①考查函数的表示法、定义域、值域、单调性、奇偶性、反函数和函数的图象.②函数与方程、不等式、数列是相互关联的概念，通过对实际问题的抽象分析，建立相应的函数模型并用来解决问题，是考试的热点.③考查运用函数的思想来观察问题、分析问题和解决问题，渗透数形结合和分类讨论的基本数学思想.三．【要点精讲】 1、知识网络定义定义域区间对应法则值域一元二次函数一元二次不等式映射函数性质奇偶性单调性周期性指数函数根式分数指数指数函数的图像和性质指数方程对数方程反函数互为反函数的函数图像关系对数函数对数对数的性质积、商、幂与根的对数对数恒等式和不等式常用对数自然对数对数函数的图像和性质1.2.1 对函数的进一步认识一、映射1．映射：设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应关系f ，对于集合A 中的 元素，在集合B 中都有 元素和它对应，这样的对应叫做 到 的映射，记作 .2．象与原象：如果f :A →B 是一个A 到B 的映射，那么和A 中的元素a 对应的 叫做象， 叫做原象。

【2021新高考数学二轮复习】第2讲 基本初等函数、函数与方程考点一 基本初等函数的图象与性质[学生用书P87][典型例题](1)(2020·贵阳市四校联考)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，若a ＝f (20.3)，b ＝f (2)，c ＝(log 25)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c ＞b ＞aB ．a ＞b ＞cC ．c ＞a ＞bD ．b ＞c ＞a(2)(多选)若函数f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数、奇函数，且满足f (x )＋2g (x )＝e x ，则( )A ．f (x )＝e x ＋e －x 2B ．g (x )＝e x －e －x 2C ．f (－2)＜g (－1)D ．g (－1)＜f (－3)【解析】 (1)因为20＜20.3＜21，即1＜20.3＜2，log 25＞log 24＝2，所以20.3＜2＜log 25.因为函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上为减函数，所以f (20.3)＞f (2)＞f (log 25)，即a ＞b ＞c ，故选B.(2)因为函数f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数、奇函数，且满足f (x )＋2g (x )＝e x ①，所以f (－x )＋2g (－x )＝e －x ，即f (x )－2g (x )＝e －x ②，联立①②得⎩⎨⎧f （x ）＋2g （x ）＝e x ，f （x ）－2g （x ）＝e －x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）＝e x ＋e －x 2，g （x ）＝e x －e －x 4，所以f (－2)＝e －2＋e 22，f (－3)＝e －3＋e 32，g (－1)＝e －1－e 4＜0，所以g (－1)＜f (－2)，g (－1)＜f (－3)，故选AD.【答案】 (1)B (2)AD基本初等函数的图象与性质的应用技巧(1)对数函数与指数函数的单调性都取决于其底数的取值，当底数a 的值不确定时，要注意分a >1和0<a <1两种情况讨论：当a >1时，两函数在定义域内都为增函数；当0<a <1时，两函数在定义域内都为减函数．(2)由指数函数、对数函数与其他函数复合而成的函数，其性质的研究往往通过换元法转化为两个基本初等函数的有关性质，然后根据复合函数的性质与相关函数的性质之间的关系进行判断．(3)对于幂函数y ＝x α的性质要注意α>0和α<0两种情况的不同．[对点训练]1．(2020·高考天津卷)设a ＝30.7，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－0.8，c ＝log 0.70.8，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．b <a <cC ．b <c <aD ．c <a <b 解析：选D.由题知c ＝log 0.70.8<1，b ＝(13)－0.8＝30.8，易知函数y ＝3x 在R 上单调递增，所以b ＝30.8>30.7＝a >1，所以c <a <b ，故选D.2．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23|x |－3x 2，若f (2a －1)＞f (3)，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1，2)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，2)解析：选B.易知函数f (x )为偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x －3x 2，故函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递减，故f (2a －1)＞f (3)等价于|2a －1|＜3，解得－1＜a ＜2，故实数a 的取值范围为(－1，2)．3．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ln x ＋b ，x ＞1，e x －2，x ≤1，若f (e)＝－3f (0)，则b ＝________，函数f (x )的值域为________．解析：由f (e)＝－3f (0)得1＋b ＝－3×(－1)，即b ＝2，即函数f (x )＝⎩⎨⎧ln x ＋2，x ＞1，e x －2，x ≤1.当x ＞1时，y ＝ln x ＋2＞2；当x ≤1时，y ＝e x －2∈(－2，e －2]．故函数f (x )的值域为(－2，e －2]∪(2，＋∞)．答案：2 (－2，e －2]∪(2，＋∞)考点二 函数与方程[学生用书P88][典型例题]命题角度1 确定函数零点的个数或其存在情况(1)已知实数a >1，0<b <1，则函数f (x )＝a x ＋x －b 的零点所在的区间是( )A ．(－2，－1)B ．(－1，0)C ．(0，1)D ．(1，2)(2)(2020·沈阳市教学质量监测(一))已知函数f (x )是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝⎩⎨⎧（x －1）2，0＜x ≤2，f （x －2）＋1，x ＞2，则函数g (x )＝f 2(x )－f (x )的零点个数为( )A ．4B ．5C ．6D ．7【解析】 (1)因为a >1，0<b <1，f (x )＝a x ＋x －b ，所以f (－1)＝1a －1－b <0，f (0)＝1－b >0，所以f (－1)·f (0)<0，则由零点存在性定理可知f (x )在区间(－1，0)上存在零点．(2)因为x ∈(0，2]时，f (x )＝(x －1)2，当x ＞2时，f (x )＝f (x －2)＋1，所以将f (x )在区间(0，2]上的图象向右平移2个单位长度，同时再向上平移1个单位长度，得到函数f (x )在(2，4]上的图象．同理可得到f (x )在(4，6]，(6，8]，…上的图象．再由f (x )的图象关于y 轴对称得到f (x )在(－∞，0)上的图象，从而得到f (x )在其定义域内的图象，如图所示：令g (x )＝0，得f (x )＝0或f (x )＝1，由图可知直线y ＝0与y ＝1和函数y ＝f (x )的图象共有6个交点，所以函数g (x )共有6个零点．故选C.【答案】 (1)B (2)C(1)判断函数在某个区间上是否存在零点的方法①解方程：当函数对应的方程易求解时，可通过解方程判断方程是否有根落在给定区间上；②利用零点存在性定理进行判断；③画出函数图象，通过观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断．(2)判断函数零点个数的方法①直接求零点：令f (x )＝0，则方程解的个数即为零点的个数．②利用零点存在性定理：利用该定理还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点．③数形结合法：对于给定的函数不能直接求解或画出图形时，常会通过分解转化为两个能画出图象的函数交点问题．命题角度2 已知函数零点的个数或存在情况求参数的取值范围(1)函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1，2)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(1，3)B ．(1，2)C ．(0，3)D ．(0，2)(2)(2020·南充市第一次适应性考试)函数f (x )＝⎩⎨⎧1－x 2，|x |≤1，|x |，|x |＞1，若方程f (x )＝a 有且只有一个实数根，则实数a 满足( )A ．a ＝1B ．a ＞1C ．0≤a ＜1D ．a ＜0【解析】 (1)因为f (x )在(1，2)内单调递增，依题意有f (1)·f (2)＜0，所以(－a )·(3－a )＜0，所以0＜a ＜3.(2)方程f (x )＝a 有且只有一个实数根，则直线y ＝a 与f (x )的图象有且只有一个交点，作出函数f (x )的图象如图所示，当a ＝1时，直线y ＝a 与函数f (x )的图象有且只有一个交点，故选A.【答案】 (1)C (2)A利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解．(2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解．(3)转化为两熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解．[对点训练]1．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ln （x －1），x ＞1，2x －1－1，x ≤1，则f (x )的零点个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C.当x ＞1时，令f (x )＝ln(x －1)＝0，得x ＝2；当x ≤1时，令f (x )＝2x －1－1＝0，得x ＝1.故选C.2．(2020·济南模拟)设函数f (x )＝⎩⎨⎧|ln x |，x >0，e x （x ＋1），x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－b 有三个零点，则实数b 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e 2，0C ．{0}∪(1，＋∞)D ．(0，1]解析：选D.当x ≤0时，f (x )＝e x (x ＋1)，则f ′(x )＝e x (x ＋1)＋e x ＝e x (x ＋2)，由f ′(x )>0，得函数f (x )的单调递增区间为(－2，0]，由f ′(x )<0，得函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－2)，且易知x <－1时，f (x )<0，f (0)＝1，x →－∞时，f(x)→0.由以上分析，可作出分段函数f(x)的图象，如图所示．要使函数g(x)＝f(x)－b有三个零点，则方程f(x)－b＝0，即f(x)＝b有三个不同的实数根，也就是函数y＝f(x) 的图象与直线y＝b有三个不同的公共点，结合图象可知，实数b的取值范围是(0，1]，故选D.考点三函数的实际应用[学生用书P89][典型例题](1)(2020·高考全国卷Ⅲ)Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：I(t)＝K1＋e－0.23（t－53），其中K为最大确诊病例数．当I(t*)＝0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为(ln 19≈3)() A．60B．63C．66 D．69(2)已知投资x万元经销甲商品所获得的利润为P＝x4，投资x万元经销乙商品所获得的利润为Q＝a2x(a＞0)．若投资20万元同时经销这两种商品或只经销其中一种商品，使所获得的利润不少于5万元，则a的最小值为()A. 5 B．5C. 2 D．2【解析】(1)由题意可知，当I(t*)＝0.95K时，K1＋e－0.23（t*－53）＝0.95K，即10.95＝1＋e－0.23(t *－53)，e－0.23(t*－53)＝119，e0.23(t*－53)＝19，所以0.23(t*－53)＝ln 19≈3，所以t*≈66.故选C.(2)设投资乙商品x 万元(0≤x ≤20)，则投资甲商品(20－x )万元．利润分别为Q ＝a 2x (a ＞0)，P ＝20－x 4.又因为0≤x ≤20时，P ＋Q ≥5恒成立，所以a x ≥x 2.①当x ＝0时，符合题意；②当0＜x ≤20时，a ≥x 2.要使a ≥x 2在x ∈(0，20]内恒成立，只需使a 不小于x 2的最大值．因为x 2的最大值为5，所以a ≥5，即a 的最小值为 5.故选A.【答案】 (1)C (2)A应用函数模型解决实际问题的一般程序和解题关键(1)一般程序：读题文字语言⇒建模数学语言⇒求解数学应用⇒反馈检验作答. (2)解题关键：解答这类问题的关键是确切地建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答．[对点训练](2019·高考北京卷)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m 2－m 1＝52lg E 1E 2，其中星等为m k 的星的亮度为E k (k ＝1，2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )A ．1010.1B ．10.1C ．lg 10.1D ．10－10.1解析：选A.由题意可设太阳的星等为m 2，太阳的亮度为E 2，天狼星的星等为m 1，天狼星的亮度为E 1，则由m 2－m 1＝52lg E 1E 2，得－26.7＋1.45＝52lg E 1E 2，52lgE 1E 2＝－25.25，所以lg E 1E 2＝－10.1，lg E 2E 1＝10.1，E 2E 1＝1010.1.故选A.[学生用书(单独成册)P156]一、单项选择题1．函数y ＝a x －1(a ＞0且a ≠1)的图象恒过点A ，则下列函数中图象不经过点A 的是( )A ．y ＝1－xB ．y ＝|x －2|C ．y ＝2x －1D ．y ＝log 2(2x )解析：选A.令x －1＝0，可得x ＝1，此时y ＝1，所以函数y ＝a x －1(a ＞0且a ≠1)的图象恒过点A (1，1)．把x ＝1，y ＝1代入各选项验证，只有A 选项中函数的图象没有经过A 点．故选A.2．设f (x )是区间[－1，1]上的增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜0，则方程f (x )＝0在区间[－1，1]内( )A ．可能有3个实数根B ．可能有2个实数根C ．有唯一的实数根D ．没有实数根 解析：选C.因为f (x )在区间[－1，1]上是增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜0，所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12上有唯一的零点．所以方程f (x )＝0在区间[－1，1]内有唯一的实数根．3．若函数f (x )＝2x －a ＋1＋x －a －a 的定义域与值域相同，则a ＝( )A ．－1B ．1C ．0D ．±1解析：选B.因为函数f (x )＝2x －a ＋1＋x －a －a 的定义域为[a ，＋∞)，所以函数f (x )的值域为[a ，＋∞)．又函数f (x )在[a ，＋∞)上单调递增，所以当x ＝a 时，f (a )＝2a －a ＋1－a ＝a ，解得a ＝1.4．若函数y ＝a －a x (a ＞0且a ≠1)的定义域和值域都是[0，1]，则log a 56＋log a 485＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.因为当a ＞1时，函数y ＝a －a x 在[0，1]上单调递减，所以a －1＝1且a －a ＝0，解得a ＝2；当0＜a ＜1时，函数y ＝a －a x 在[0，1]上单调递增，所以a －1＝0且a －a ＝1，此时无解．所以a ＝2，因此log a 56＋log a 485＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫56×485＝log 28＝3.故选C. 5．已知函数f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数，且在x ＝0处有意义，则该函数为( )A ．(－∞，＋∞)上的减函数B ．(－∞，＋∞)上的增函数C ．(－1，1)上的减函数D ．(－1，1)上的增函数解析：选D.由题意知，f (0)＝lg(2＋a )＝0，所以a ＝－1，所以f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x －1＝lg x ＋11－x ，令x ＋11－x >0，则－1<x <1，排除A ，B ，又y ＝21－x－1在(－1，1)上是增函数，所以f (x )在(－1，1)上是增函数，故选D.6．2018年9月，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主，英国89岁高龄的著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动．在1859年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于给定数值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想．在此之前著名的数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字x 的素数个数大约可以表示为π(x )≈x ln x的结论．若根据欧拉得出的结论，估计10 000以内的素数个数为(素数即质数，lg e ≈0.434 29，计算结果按四舍五入取整数)( )A ．1 089B ．1 086C ．434D ．145解析：选B.由题可知，小于数字x 的素数个数大约可以表示为π(x )≈x ln x ，则10 000以内的素数的个数为π(10 000)≈10 000ln 10 000＝10 0004ln 10＝10 000lg e 4＝2 500lg e ≈0.434 29×2 500≈1 086，故选B.7．已知f (x )＝|ln(x ＋1)|，若f (a )＝f (b )(a <b )，则( )A ．a ＋b >0B ．a ＋b >1C ．2a ＋b >0D ．2a ＋b >1解析：选A.作出函数f (x )＝|ln(x ＋1)|的图象如图所示，由f (a )＝f (b )(a <b )，得－ln(a ＋1)＝ln(b ＋1)，即ab ＋a ＋b ＝0，所以0＝ab ＋a ＋b <（a ＋b ）24＋a ＋b ，即(a ＋b )(a ＋b ＋4)>0，又易知－1<a <0，b >0.所以a ＋b ＋4>0，所以a ＋b >0.故选A.8．对于函数y ＝f (x )，若存在x 0，使f (x 0)＋f (－x 0)＝0，则称点(x 0，f (x 0))是曲线f (x )的“优美点”．已知f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x ，x ＜0，－x ＋2，x ≥0，则曲线f (x )的“优美点”个数为( )A ．1B ．2C ．4D ．6解析：选C.由“优美点”的定义可知，若(x 0，f (x 0))为“优美点”，则点(－x 0，－f (－x 0))也在曲线f (x )上，且(－x 0，－f (－x 0))也是“优美点”．如图所示，作出函数y ＝x 2＋2x (x ＜0)的图象，再作出函数y ＝x 2＋2x (x <0)关于原点对称的图象，即曲线y ＝－x 2＋2x (x ＞0)，直线y ＝－x ＋2过点(2，0)，故与曲线y ＝－x 2＋2x (x ＞0)交于两点，所以曲线f (x )有4个优美点．故选C.二、多项选择题9．(2020·山东枣庄滕州一中月考)已知函数f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)的图象经过点(4，2)，则下列命题正确的有( )A ．函数f (x )为增函数B ．函数f (x )为偶函数C ．若x ＞1，则f (x )＞0D ．若0＜x 1＜x 2，则f （x 1）＋f （x 2）2＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22 解析：选ACD.由题意得2＝log a 4，所以a ＝2，故函数f (x )＝log 2x .对于A 项，函数f (x )＝log 2x 为增函数，故A 项正确；对于B 项，函数f (x )＝log 2x 不是偶函数，故B 项错误；对于C 项，当x ＞1时，f (x )＝log 2x ＞log 21＝0成立，故C 项正确；对于D 项，因为f (x )＝log 2x 往上凸，所以若0＜x 1＜x 2，则f （x 1）＋f （x 2）2＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22成立，故D 项正确．故选ACD. 10．若函数f (x )＝a x －2，g (x )＝log a |x |，其中a ＞0且a ≠1，则函数f (x )，g (x )在同一坐标系中的大致图象可能是( )解析：选AD.由题意知f (x )＝a x －2是指数函数，g (x )＝log a |x |是对数函数，且是一个偶函数．当0＜a ＜1时，f (x )＝a x －2单调递减，g (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上递减，此时A 选项符合题意，当a ＞1时，f (x )＝a x －2单调递增，g (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上单调递增，此时D 选项符合题意，故选AD.11．设函数f (x )＝x ＋e |x |e |x |，则下列选项正确的是( )A ．f (x )为奇函数B ．f (x )的图象关于点(0，1)对称C ．f (x )的最大值为1e ＋1D ．f (x )的最小值为－1e ＋1解析：选BCD.f (x )＝x e |x |＋1，f (－x )＝1－x e |x |，不满足f (x )＝－f (－x )，故A 错误．令g (x )＝x e |x |，则g (－x )＝－x e|－x |＝－x e |x |＝－g (x )，所以g (x )为奇函数，则f (x )关于点(0，1)对称，B 正确．设f (x )＝x e |x |＋1的最大值为M ，则g (x )的最大值为M －1，设f (x )＝x e |x |＋1的最小值为N ，则g (x )的最小值为N －1.当x ＞0时，g (x )＝x e x ，所以g ′(x )＝1－x e x .当x ∈(0，1)时，g ′(x )＞0，当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＜0，所以当x ∈(0，1)时，g (x )单调递增，当x ∈(1，＋∞)时，g (x )单调递减，所以g (x )在x＝1处取得最大值，最大值g (1)＝1e ，由于g (x )为奇函数，所以g (x )在x ＝－1处取得最小值，最小值g (－1)＝－1e ，所以f (x )的最大值为M ＝1e ＋1，最小值为N＝－1e ＋1，故C ，D 正确，故选BCD.12．(2020·辽宁省实验中学东戴河分校月考)设函数f (x )＝x |x |－bx ＋c ，则下列命题正确的是( )A ．当b ＞0时，函数f (x )在R 上有最小值B ．当b ＜0时，函数f (x )在R 上是单调递增函数C ．若f (2 019)＋f (－2 019)＝2 020，则c ＝1 010D ．方程f (x )＝0可能有三个实数根解析：选BCD.对于A 项，当b ＞0时，f (x )＝⎩⎨⎧x 2－bx ＋c ，x ≥0，－x 2－bx ＋c ，x ＜0，令b ＝2，c ＝0，则f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x ＜0，可知函数f (x )在R 上无最小值，故A 项错误；对于B 项，当b ＜0时，f (x )＝⎩⎨⎧x 2－bx ＋c ，x ≥0，－x 2－bx ＋c ，x ＜0，令0＜x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 21－x 22＋b (x 2－x 1)，由x 21－x 22＜0，x 2－x 1＞0，b ＜0可知，f (x 1)－f (x 2)＜0，故函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增．同理可得f (x )在(－∞，0)上单调递增，且(x 2－bx ＋c )min ＝f (0)＝c ＞(－x 2－bx ＋c )max ，所以函数f (x )在R 上是单调递增函数，故B项正确；对于C 项，由f (2 019)＋f (－2 019)＝2 020，将x ＝2 019，x ＝－2 019分别代入f (x )＝⎩⎨⎧x 2－bx ＋c ，x ≥0，－x 2－bx ＋c ，x ＜0，解得c ＝1 010，故C 项正确；对于D 项，令b ＝2，c ＝0，则f (x )＝x |x |－2x ＝0，解得x ＝0或x ＝2或x ＝－2，故D 项正确．故选BCD.三、填空题13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x ≤0，log 12x ，x >0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋f (log 2 16)＝________． 解析：由题可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝log 1214＝2，因为log 2 16<0， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2 16＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 216＝2log 26＝6，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2 16＝8. 答案：814．已知函数f (x )＝|log 3 x |，实数m ，n 满足0＜m ＜n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，则n m＝________． 解析：因为f (x )＝|log 3 x |，正实数m ，n 满足m ＜n ，且f (m )＝f (n )，所以－log 3m ＝log 3n ，所以mn ＝1.因为f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，且函数f (x )在[m 2，1)上是减函数，在(1，n ]上是增函数，所以－log 3m 2＝2或log 3n ＝2.若－log 3m 2＝2是最大值，得m ＝13，n ＝3，此时log 3n ＝1<2，满足题意，则n m ＝9；若log 3n ＝2是最大值，得n ＝9，则m ＝19，此时－log 3m 2＝4>2，不满足题意．综上可得m ＝13，n ＝3，故n m＝9. 答案：915．已知函数y ＝f (x )和函数y ＝g (x )的图象关于y 轴对称，当函数y ＝f (x )和y ＝g (x )在[a ，b ]上同时递增或同时递减时，[a ，b ]叫做函数y ＝f (x )的“不动区间”．若[1，2]为函数y ＝|2x ＋t |的“不动区间”，则实数t 的取值范围为________．解析：因为函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象关于y 轴对称，所以g (x )＝f (－x )＝|2－x ＋t |.因为[1，2]为函数y ＝|2x ＋t |的“不动区间”，所以函数y ＝|2x ＋t |和函数g (x )＝|2－x ＋t |在区间[1，2]上的单调性相同．又因为y ＝2x ＋t 和y ＝2－x ＋t 的单调性相反，所以(2x ＋t )·(2－x ＋t )≤0在[1，2]上恒成立，即2－x ≤－t ≤2x 在[1，2]上恒成立，得－2≤t ≤－12.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－12 16．(2020·开封市模拟考试)已知函数f (x )是定义域为R 的奇函数，满足f (x )＋f (2－x )＝0，且当x ∈(0，1)时，f (x )＝x 2，则f (1)＝________，g (x )＝f (x )－lg x ，则函数g (x )的零点共有________个．解析：依题意得f (－x )＋f (x )＝0，f (x )＋f (2－x )＝0，因此f (2－x )＝f (－x )，所以函数f (x )是以2为周期的函数，于是f (1)＝f (－1)＝－f (1)，2f (1)＝0，即f (1)＝0.由此可得函数f (x )的值域为(－1，1)，由g (x )＝0得f (x )＝lg x ＜1，0＜x ＜10，且函数g (x )的零点个数即为函数y ＝f (x )与y ＝lg x 的图象在区间(0，10)内的公共点个数．在同一平面直角坐标系内画出函数y ＝f (x )与函数y ＝lg x 的大致图象，如图所示，结合图象可得，它们的图象共有5个公共点，因此函数g (x )的零点共有5个．答案：0 5。