高三数学一轮总复习第二章函数与基本初等函数Ⅰ第一节函数的概念及其表示课件理

概念方法微思考
1.分段函数f(x)的对应关系用两个式子表示，那么f(x)是两个函数吗？ 提示 分段函数是一个函数. 2.请你概括一下求函数定义域的类型. 提示 (1)分式型；(2)根式型；(3)指数式型、对数式型；(4)三角函数型.
3.请思考以下常见函数的值域：
(1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是 R . (2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域：当a>0时，值域为
(2)已知 f x2＋x12＝x4＋x14，求 f(x)的解析式； 解 (配凑法)∵f x2＋x12＝x2＋x122－2，
§2.1 函数及其表示
最新考纲
1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域. 2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法) 表示函数. 3.了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段).
考情考向分析
以基本初等函数为载体，考查函数的表示法、定义域；分段函数以及函数建模是 高考热点，题型以选择、填空题为主，中等难度.
函数记法
函数y＝f (x)，x∈A
2.函数的三要素 (1)定义域 在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的 定义域 . (2)值域 与x的值相对应的y值叫做 函数值 ，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域 . (3)对应关系f：A→B. 3.函数的表示法 表示函数的常用方法有 解析法 、 图象法 和 列表法 . 4.分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因 对应关系 不同而分别用几个不同的式子 来表示，这种函数称为分段函数.
(1)若A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|，其对应是从A到B的函数.( × ) (2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等.( × ) (3)已知f(x)＝5(x∈R)，则f(x2)＝25.( × ) (4)函数f(x)的图象与直线x＝1最多有一个交点.( √ )

第二章 函数的概念与基本初等 函数(Ⅰ)
第一节 函数及其表示
栏
课 前 ·基 础 巩 固 1
目
导
课 堂 ·考 点 突 破 2
航
3 课 时 ·跟 踪 检 测
[最新考纲]
[考情分析]
1.了解构成函数的要素，会求一些
简单函数的定义域和值域，了解
以基本初等函数为载体，考
映射的概念.
查函数的表示法、定义域；分段
4．分段函数 (1)若函数在其定义域的不同子集上，因 16 _对__应__关__系__不同而分别用几个不同的式子 来表示，这种函数称为分段函数． (2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的 17 __并__集_____，其值域等于各段函数 的值域的 18 ___并__集____，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．
6．已知函数 f(x)＝ax3－2x 的图象过点(－1，4)，则 a＝________． 解析：由题意知点(－1，4)在函数 f(x)＝ax3－2x 的图象上，所以 4＝－a＋2，则 a＝ －2. 答案：－2
2
课 堂 ·考 点 突 破
考点 函数的概念
|题组突破| 1．若函数 y＝f(x)的定义域为 M＝{x|－2≤x≤2}，值域为 N＝{y|0≤y≤2}，则函数 y ＝f(x)的图象可能是( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)×
二、走进教材 2．(必修 1P74A 组 T7(2)改编)函数 f(x)＝ x＋3＋log2(6－x)的定义域是________． 答案：[－3，6)
3．(必修 1P25B 组 T1改编)函数 y＝f(x)的图象如图所示，那么 f(x)的定义域是________； 值域是________，其中只有唯一的 x 值与之对应的 y 值的范围是________．

考点三 分段函数
多维探究
角度1 分段函数求值
【例 3－1】 (2018·江苏卷)函数 f(x)满足 f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在区间(－2，2]上，
f(x)＝cxo＋s π122x，，－0<2x<≤x≤2，0，则 f[f(15)]的值为________.
解析 因为函数 f(x)满足 f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，所以函数 f(x)的最小正周期是 4.因为
(2)已知 f(x)是二次函数且 f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，则 f(x)＝________；
(3)已知函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)，且 f(x)＝2f1x· x－1，则 f(x)＝________.
解析 (1)令 t＝2x＋1(t>1)，则 x＝t－2 1，∴f(t)＝lgt－2 1，即 f(x)＝lgx－2 1(x>1). (2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝2，得c＝2， f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋2－ax2－bx－2＝2ax＋a＋b＝x－1， 所以2aa＋＝b1＝，－1，即ab＝ ＝－ 12，32.∴f(x)＝12x2－32x＋2.
5.(2020·九江联考)函数 f(x)＝
1－ln 2x－2
x的定义域是________.
解析 依题意，得12－ x－ln2≠x≥0，0，解得 0<x≤e，且 x≠1. 答案 (0，1)∪(1，e]
6.已知函数f(x)满足f(x)＋2f(－x)＝ex，则函数f(x)的解析式为________________.
解得－1<x<0 或 0<x≤3，所
x＋1≠1，
以函数的定义域为(－1，0)∪(0，3]. (2)因为 f(x)的定义域为[0，2]，所以要使 g(x)有意义，x 满足0≤12x≤2，解得

解析：设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 又 f(0)＝c＝3． 所以 f(x)＝ax2＋bx＋3， 所以 f(x＋2)－f(x)＝a(x＋2)2＋b(x＋2)＋3－(ax2＋bx＋3)＝4ax＋4a＋2b＝4x＋2． 所以44aa＝ ＋42， b＝2， 所以ab＝ ＝－1，1， 所以函数 f(x)的解析式为 f(x)＝x2－x＋3． 答案：f(x)＝x2－x＋3
解：(1)(换元法)设 1－sin x＝t，t∈[0，2]， 则 sin x＝1－t，∵f(1－sin x)＝cos2x＝1－sin2x， ∴f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0，2]． 即 f(x)＝2x－x2，x∈[0，2]． (2)(配凑法)∵fx＋1x ＝x2＋x12 ＝x＋1x 2 －2， ∴f(x)＝x2－2，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．
(2)函数 f(x)＝l4osgin2xx，，xx>≤0，0，
则 f－5π4 ＝4sin
－5π4 ＝－4sin π＋π4
＝4sin
π 4
＝2
2
所以 ff－5π4 ＝f2
2 ＝log22
2
3 ＝log222
＝32
．
答案：(1)C (2)D
[思维升华] 分段函数的求值问题的解题思路 (1)求函数值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求 值，当出现 f[f(a)]的形式时，应从内到外依次求值． (2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应 自变量的值，切记要代入检验．
2
2．抽象函数的定义域的求法 (1)若已知函数 f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数 f(g(x))的定义域由 a≤g(x)≤b 求 出； (2)若已知函数 f(g(x))的定义域为[a，b]，则 f(x)的定义域为 g(x)在 x∈[a，b]时的值 域．

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第二十八页，共三十八页。
即3a＋ a＋bb＝＝－0.1， 所以 a＝12，b＝－23. 所以 f(x)＝21x2－32x＋2. 答案：12x2－32x＋2
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第二十九页，共三十八页。
考点四 分段函数
已知函数 f(x)＝f3（x，x＋ x>12），，x≤2，则 f(log32)的值为
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第十九页，共三十八页。
2．已知函数 f(x－1)的定义域为{x|－1<x<2}，则函数 fx＋1的 定义域为__________． 解析：因为函数 f(x－1)的定义域为{x|－1<x<2}， 所以－2<x－1<1. 即函数 f(x)的定义域为{x|－2<x<1}． 所以－1<x＋1<2， 所以 f(x＋1)的定义域为{x|－1<x<2}． 答案：{x|－1<x<2}
A．y＝xx2
B．y＝2log2x
C．y＝ x2
D．y＝(3 x)3
解析：选 D.y＝x 的定义域为{x|x∈R}，而 y＝xx2的定义域为
{x|x∈R 且 x≠0}，y＝2log2x 的定义域为{x|x∈R，且 x＞0}，排
除 A、B；y＝ x2＝|x|的定义域为{x|x∈R}，对应关系与 y＝x
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【对点通关】 (必修 1 P25B 组 T2 改编)若函数 y＝f(x)的定义域为 M＝{x|－ 2≤x≤2}，值域为 N＝{y|0≤y≤2}，则函数 y＝f(x)的图象可能 是( )
解析：选 B.A 中，定义域为[－2，0]；C 不是函数图象；D 中 函数值域不为[0，2]．故选 B.

2. [考点一] (2018·江 苏 南 京 师 范 大 学 附 中 模 拟 ) 函 数 f(x) ＝ log 1 2x－3的定义域是________．
第十二页，共48页。
(2)由题意得 x∈(1,5]，则 2x－1∈(1,9]即外函数 y＝f(t) 的定义域为(1,9]．
即 1＜|x－1|≤9，解得－8≤x＜0 或 2＜x≤10， 所以函数 y＝f(|x－1|)的定义域是[－8,0)∪(2,10]． [答案] (1)[0,1) (2)[－8,0)∪(2,10]
•第二章 函数(hánshù)的概 念与基本初
•
等函数(hánshù)Ⅰ
第一页，共48页。
第一节 函数 (hánshù)及其 本节主要包括 3 个知识点：
1.函数的定义域；
表示 2.函数的表示方法；
3.分段函数.
第二页，共48页。
突破点(一) 函数(hánshù)的定义域
突破点(二) 函数(hánshù)的表
第十一页，共48页。
[例 2] (1)若函数 y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数 g(x)＝ fx－2x1的定义域为____________．
(2)(2018·苏州中学月考)函数 f(2x－1)的定义域为(－1,5]， 则函数 y＝f(|x－1|)的定义域是____________．
[解析] (1)由题意得，x0－≤12≠x≤0，2， 解得 0≤x＜1， 即 g(x)的定义域是[0,1)．
合B的一个函数
பைடு நூலகம்
到集合B的一个映射
记法
y＝f(x)，x∈A
_f_：__A_→__B__
第五页，共48页。
2.函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域：在函数 y＝f(x)，x∈A 中，x 叫做 自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域． (2)函数的三要素： 定义域 、 值域 和对应关系． (3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致， 则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．

间,然后代入该段的解析式求值.当出现f(f(a))的形式时,应从内
到外依次求值.
角度二
分段函数与方程、不等式
+ , ≤ ,
[例 5] (2024·江苏泰州统考模拟)设函数 f(x)=
- , > 0,
若 f(f(a))-f(a)+2=0,则实数 a 的值为(
A. -1
C. +1
所以 f(t)=lg
所以 f(x)=lgLeabharlann (t>1),
-

(x>1).
-
f(x)=lg

(x>1)
-
;
(2)若f(x)为二次函数,且f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2,则f(x)的解
2-x+3
f(x)=x
析式为
.
解析:(2)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
又f(0)=c=3,所以f(x)=ax2+bx+3,

4.函数 f(x)=
+
+
- 的定义域是
(-4,4]
.
+ (-), < 1,
5.(2024·江苏泰州模拟)已知函数f(x)= -
, ≥ ,
4
则f(f(-2))=
.
解析:由 f(x)=
+ (-), < 1,
- , ≥ ,
不是函数图象;
选项A,C,D中图象,均满足函数定义,故是函数图象.故选ACD.
(2)(2024·江西九江模拟)下列各组函数中,表示同一个函数的是
(
)
( +)
A.f(x)=

x的取值范围A y＝f (x)，x∈A 与x的值相对应的y值的集合_{_f_(_x_)|_x_∈__A_}_A Nhomakorabea√B
C
D
√ √
点拨 本例(1)考查对函数概念的理解，注意集合A中任意一个数x在集合B中都 有唯一确定的数y与之对应； 本例(2)特别注意(x－1)0中x－1≠0；本例(3)要注意 f (x)中的“x”与f (2x＋1)中“2x＋1”的范围一致．
√
√ √
考点三 函数解析式的求法 求函数解析式的常用方法 (1)待定系数法； (2)换元法； (3)配凑法； (4)构造方程组消元法．
√
4x＋1
x2＋2
11
考点四 分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来 表示，这种函数称为分段函数． 提醒：(1)分段函数是一个函数，而不是几个函数． (2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．
√ √
√
考点二 同一个函数 如果两个函数的_定__义__域_相同，并且对__应__关__系__完全一致，即相同的自变量对应的
函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数．
√
点拨 判断两个函数是否为同一个函数的注意点：(1) f (x)与g(x)的(化简之前)定 义域必须相同； (2) f (x)与g(x)的(化简之后)表达式必须相同； (3)二者缺一不可．
第二章 函数
考点一 函数的概念 1．函数的概念
概念
一般地，设A，B是非__空__的__实__数__集__，如果对于集合A中的任意一个数 x，按照某种确定的对应关系f ，在集合B中都有_唯__一__确__定__的__数__y_和 它对应，那么就称f ：A→B为从集合A到集合B的一个函数

4．y＝ax(a>0 且 a≠1)的值域是___(0_，__＋__∞__)__.
5．y＝logax(a>0 且 a≠1)的值域是___R_.
1．判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全 一致．
2．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． 3．与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点． 4．定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不 能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．
A→B
一个数x，在集合B中都有_唯__一__确__定____的数f(x)和它对应
名称
称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
记法
函数y＝f(x)，x∈A
2．函数的定义域、值域 (1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数 的 __定__义__域___ ； 与 x 的 值 相 对 应 的 y 值 叫 做 函 数 值 ， 函 数 值 的 集 合 {f(x)|x∈A}叫做函数的_值__域____. (2)如果两个函数的定义域相同，并且_对__应__关__系____完全一致，则这 两个函数为相等函数．
[解析] 依题意有08≤ －22xx>≤0，8， 解得 0≤x<3， ∴g(x)的定义域为[0，3)．
[分析] 求抽象函数定义域的关键，f后面括号内部分取值范围相 同．
[解析] 由函数 f(x)的定义域为(－1，0)，则使函数 f(2x＋1)有意义， 需满足－1<2x＋1<0，解得－1<x<－12，即所求函数的定义域为－1，－21.
(3)(待定系数法)∵f(x)是一次函数， 可设 f(x)＝ax＋b(a≠0)， ∴3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17. 即 ax＋(5a＋b)＝2x＋17， ∴a5＝ a＋2， b＝17， 解得ab＝ ＝27，. ∴f(x)的解析式是 f(x)＝2x＋7.

2 2x 0,
答案 B 要使函数有意义,则必须满足x 0, ∴0<x<1,选B.

x

1,
命题角度二 求抽象函数的定义域
典例2 (1)若f(x)的定义域为[0,3],求函数f(x2-1)的定义域; (2)已知函数f(x2-1)的定义域为[0,3],求函数y=f(x)的定义域; (3)若f(x)的定义域为[0,3],求函数y=f(x2-1)+f(2x1和y= x2 1 x 1
B.y=x0和y=1
C.f(x)=x2和g(x)=(x+1)2
D.f(x)= ( x)2 和g(x)= x
x
( x)2
答案 D A中两个函数的定义域不同;B中y=x0的x不能取0;C中两函数
的对应关系不同.故选D.
4.函数f(x)= x 4 的定义域为
名称 称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数 称对应f:A→B为从集合A到集合B的一个映射
记法
y=f(x),x∈A
对应f:A→B
2.函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域 在函数y=f(x),x∈A中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的⑦ 定义域 ; 与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的 ⑧ 值域 . (2)函数的三要素:⑨ 定义域 、⑩ 值域 和 对应关系 . (3)相等函数:如果两个函数的 定义域 相同,且 对应关系 完 全一致,则这两个函数相等,这是判断两函数相等的依据. (4)函数的表示法 表示函数的常用方法: 解析法 、 图象法 、 列表法 . 3.分段函数 若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的
1.下列是函数图象的有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 答案 B ①中,当x>0时,每一个x的值对应两个不同的y值,因此①不是 函数图象;②中,当x=x0时,y的值有两个,因此②不是函数图象;③④中,每 一个x的值对应唯一的y值,因此③④是函数图象,故选B.

求函数定义域的两种方法
方法
解读
适合题型
直接法 构造使解析式有意义的不等式(组)求解
已知函数的具体表达 式，求 f(x)的定义域
2．下列图形中可以表示为以 M＝{x|0≤x≤1}为定义域，以 N＝{y|0≤y≤1} 为值域的函数的是( )
√
解析：A 项，函数定义域为 M，但值域不是 N；B 项，函数定义域不是 M， 值域为 N；D 项，集合 M 中存在 x 与集合 N 中的两个 y 对应，不能构成函 数关系．故选 C 项．
3．已知集合 P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列从 P 到 Q 的各对应关 系 f 不是函数的是________．(填序号) ①f：x→y＝12x；②f：x→y＝13x； ③f：x→y＝23x；④f：x→y＝ x. 解析：对于③，因为当 x＝4 时，y＝23×4＝83∉Q，所以③不是函数． 答案：③
3．分段函数 若函数在其定义域的不__同__子集上，因对应关系不同而分别用几个不__同__的__式__子__ 来表示，这种函数称为分段函数．
特别提醒 1．判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致． 2．直线 x＝a(a 是常数)与函数 y＝f(x)的图象有 0 个或 1 个交点．
常见误区 1．函数定义域是研究函数的基础依据，必须坚持定义域优先的原则，明确 自变量的取值范围． 2．分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义 域的并集，值域是各段值域的并集．
[思考辨析] 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数 f(x)＝x2－2x 与 g(t)＝t2－2t 是相等函数．( √ ) (2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．( × ) (3)函数 f(x)的图象与直线 x＝1 最多有一个交点．( √ ) (4)分段函数是由两个或几个函数组成的．( × )