必修五第十三章概率13.4随机数与几何概型

随机数是在一定范围内产生的数，这 个范围可以是整数、实数等。随机数 具有不确定性，每次产生的数都是随 机的。在概率论中，随机数是用来表 示随机事件的数。
几何概型
几何概型是一种概率模型，它描述的 是在某个几何区域内随机选择一个点 或物体，该点或物体落入某个子区域 的可能性。几何概型的概率与该子区 域的面积或体积成正比。
统计分析等。
计算机科学
在计算机科学中，随机 数被用于模拟、加密、
游戏等领域。
物理学
在物理学中，随机数被 用于描述微观粒子的运 动、量子力学等领域。
02
几何概型
几何概型的定义
几何概型的定义
在一定的区域内随机地取一个点，如 果每个点被取到的可能性都相同，并 且区域内的点是无限可分的，则这样 的随机试验就称为几何概型。
互斥事件的概率计算
如果两个事件是互斥的，那么它们同时发生的概率等于它们各自发生的概率之 和。即，如果事件A和事件B是互斥的，那么$P(A cap B) = P(A) + P(B)$。
03
随机数与几何概型的结合
结合的定义
定义
随机数与几何概型结合是指将随机数理论应用于几何概型的 概率计算中，通过将几何形状的面积、体积等转化为随机数 ，从而简化概率计算的过程。
在一个边长为1的正方形内随机选择一个点 ，求该点到正方形中心点的距离等于边长 的概率。
习题3
答案
一个长度为2的线段上随机选择一个点，求 该点到线段两端点的距离都小于1的概率。
习题1的答案是0.25，习题2的答案是0.25 ，习题3的答案是0.5。
THANKS
感谢观看
任何事件的概率都是非负的。即 ，对于任何事件$A$，都有 $P(A) geq 0$。

双曲线的标准方程和一般方程
掌握双曲线的标准方程和一般方程，能够根据不同的条件选择合适的方程形式解决问题。
抛物线及其性质
抛物线的定义和方程
通过平面内与一个定点和一条定直线距离相 等的点的轨迹定义抛物线，并推导其标准方 程。
抛物线的几何性质
探讨抛物线的对称性、顶点、焦点、准线等几何性 质，并理解其在实际问题中的应用。
回顾三角函数的定义、性质、图像和 变换，以及三角函数在实际问题中的
应用。
不等式与线性规划
总结不等式的性质、解法和应用，以 及线性规划问题的建模和求解方法。
数列与数学归纳法
复习数列的概念、通项公式、求和公 式，以及数学归纳法在证明数列问题 中的应用。
概率与统计
回顾概率的基本概念、事件的概率计 算、随机变量的分布和期望，以及统 计中的数据处理和分析方法。
07
概率统计初步
随机事件与概率
随机事件的定义与性质
了解随机事件的概念，掌握随机事件 的基本性质，如互斥事件、对立事件 等。
概率的定义与性质
古典概型与几何概型
掌握古典概型和几何概型的定义和计 算方法，能够运用古典概型和几何概 型解决简单的实际问题。
理解概率的定义，掌握概率的基本性 质，如非负性、规范性、可加性等。
高中数学必修五课件 整书全套
目录
• 绪论 • 数列与数学归纳法 • 不等式与不等式组 • 圆锥曲线与方程 • 空间向量与立体几何 • 导数与微分初步 • 概率统计初步 • 复习与总结
01
绪论
教材简介
本教材是高中数学必修五课程的配套课件，涵盖 01 了课程的所有知识点和教学要求。
课件内容以章节为单位，包括教学目标、知识点 02 讲解、例题分析、练习题等多个部分。

高中数学课本目录（新人教版）必修部分：必修一第一章集合与函数概念1.1 集合阅读与思考集合中元素的个数1.2 函数及其表示阅读与思考函数概念的发展历程1.3 函数的基本性质信息技术应用用计算机绘制函数图象第二章基本初等函数（Ⅰ）2.1 指数函数信息技术应用借助信息技术探究指数函数的性质2.2 对数函数阅读与思考对数的发明探究也发现互为反函数的两个函数图象之间的关系2.3 幂函数第三章函数的应用3.1 函数与方程阅读与思考中外历史上的方程求解信息技术应用借助信息技术方程的近似解3.2 函数模型及其应用信息技术应用收集数据并建立函数模型实习作业必修二第一章空间几何体1.1 空间几何体的结构1.2 空间几何体的三视图和直观图阅读与思考画法几何与蒙日1.3 空间几何体的表面积与体积探究与发现祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积实习作业第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.2 直线、平面平行的判定及其性质2.3 直线、平面垂直的判定及其性质阅读与思考欧几里得《原本》与公理化方法第三章直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率探究与发现魔术师的地毯3.2 直线的方程3.3 直线的交点坐标与距离公式阅读与思考笛卡儿与解析几何第四章圆与方程4.1 圆的方程阅读与思考坐标法与机器证明4.2 直线、圆的位置关系4.3 空间直角坐标系信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：圆必修三第一章算法初步1.1 算法与程序框图1.2 基本算法语句1.3 算法案例阅读与思考割圆术第二章统计2.1 随机抽样阅读与思考一个著名的案例阅读与思考广告中数据的可靠性阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应2.2 用样本估计总体阅读与思考生产过程中的质量控制图2.3 变量间的相关关系阅读与思考相关关系的强与弱实习作业第三章概率3.1 随机事件的概率阅读与思考天气变化的认识过程3.2 古典概型3.3 几何概型阅读与思考概率与密码必修四第一章三角函数1 .1 任意角和弧度制1.2 任意角的三角函数阅读与思考三角学与天文学1.3 三角函数的诱导公式1.4 三角函数的图像与性质探究与发现函数y=Asin（ωx+φ）及函数y=Acos （ωx+φ）探究与发现利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质信息技术应用1.5 函数y=Asin（ωx+φ）的图像阅读与思考振幅、周期、频率、相位1.6 三角函数模型的简单应用第二章平面向量2.1 平面向量的实际背景及基本概念阅读与思考向量及向量符号的由来2.2 平面向量的线性运算2.3 平面向量的基本定理及坐标表示2.4 平面向量的数量积2.5 平面向量应用举例阅读与思考向量的运算（运算律）与图形性质第三章三角恒等变换3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式信息技术应用利用信息技术制作三角函数表3.2 简单的三角恒等变换必修五第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理探究与发现解三角形的进一步讨论1.2 应用举例阅读与思考海伦和秦九韶1.3 实习作业第二章数列2.1 数列的概念与简单表示法阅读与思考斐波那契数列信息技术应用2.2 等差数列2.3 等差数列的前n项和2.4 等比数列2.5 等比数列的前n项和阅读与思考九连环探究与发现购房中的数学第三章不等式3.1 不等关系与不等式3.2 一元二次不等式及其解法3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题阅读与思考错在哪儿信息技术应用用Excel解线性规划问题举例3.4 基本不等式选修部分：选修1—1第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词阅读与思考“且”“或”“非”与“交”“并”“补”1.4 全称量词与存在量词小结复习参考题第二章圆锥曲线与方程2.1 椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2.2 双曲线探究与发现2.3 抛物线阅读与思考圆锥曲线的光学性质及其应用小结复习参考题第三章导数及其应用3.1 变化率与导数3.2 导数的计算探究与发现牛顿法──用导数方法求方程的近似解3.3 导数在研究函数中的应用信息技术应用图形技术与函数性质3.4 生活中的优化问题举例选修1—2第一章统计案例1.1 回归分析的基本思想及其初步应用1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用实习作业小结复习参考题第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理阅读与思考科学发现中的推理2.2 直接证明与间接证明小结复习参考题第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算小结复习参考题第四章框图4.1 流程图4.2 结构图信息技术应用用word2002绘制流程图选修2—1第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词1.4 全称量词与存在量词小结复习参考题第二章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程2.2 椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2.3 双曲线探究与发现2.4 抛物线探究与发现阅读与思考小结复习参考题第三章空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算阅读与思考向量概念的推广与应用3.2 立体几何中的向量方法选修2-2第一章导数及其应用1.1 变化率与导数1.2 导数的计算1.3 导数在研究函数中的应用1.4 生活中的优化问题举例1.5 定积分的概念1.6 微积分基本定理1.7 定积分的简单应用第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.2 直接证明与间接证明2.3 数学归纳法第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算选修2—3第一章计数原理1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理探究与发现子集的个数有多少1.2 排列与组合探究与发现组合数的两个性质1.3 二项式定理探究与发现“杨辉三角”中的一些秘密小结复习参考题第二章随机变量及其分布2.1 离散型随机变量及其分布列2.2 二项分布及其应用探究与发现服从二项分布的随机变量取何值时概率最大2.3 离散型随机变量的均值与方差2.4 正态分布信息技术应用μ，σ对正态分布的影响小结复习参考题第三章统计案例3.1 回归分析的基本思想及其初步应用3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用实习作业选修4-1第一讲相似三角形的判定及有关性质一平行线等分线段定理二平行线分线段成比例定理三相似三角形的判定及性质1．相似三角形的判定2．相似三角形的性质四直角三角形的射影定理第二讲直线与圆的位置关系一圆周角定理二圆内接四边形的性质与判定定理三圆的切线的性质及判定定理四弦切角的性质五与圆有关的比例线段第三讲圆锥曲线性质的探讨一平行射影二平面与圆柱面的截线三平面与圆锥面的截线选修4-4第一讲坐标系一平面直角坐标系二极坐标系三简单曲线的极坐标方程四柱坐标系与球坐标系简介第二讲参数方程一曲线的参数方程二圆锥曲线的参数方程三直线的参数方程四渐开线与摆线选修4-5第一讲不等式和绝对值不等式一不等式1.不等式的基本性质2.基本不等式3.三个正数的算术-几何平均不等式二绝对值不等式1.绝对值三角不等式2.绝对值不等式的解法第二讲讲明不等式的基本方法一比较法二综合法与分析法三反证法与放缩法第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式柯西不等式二一般形式的柯西不等式三排序不等式第四讲数学归纳法证明不等式一数学归纳法二用数学归纳法证明不等式选修3－1 数学史选修3－2 信息安全与密码选修3－3 球面上的几何选修3－4 对称与群选修3－5 欧拉公式与闭曲面分类选修3－6 三等分角与数域扩充选修4－1 几何证明选讲选修4－2 矩阵与变换选修4－3 数列与差分选修4－4 坐标系与参数方程选修4－5 不等式选讲选修4－6 初等数论初步选修4－7 优选法与试验设计初步选修4－8 统筹法与图论初步选修4－9 风险与决策选修4－10 开关电路与布尔代数课程大纲。

0≤ ≤1.

(2)概率及其记法:对于给定的随机事件 A,如果随着试验次数的增
加,事件 A 发生的频率 fn(A)稳定在某个常数上,把这个常数记作 P(A),称
为事件 A 的概率,简称为 A 的概率.
一般来说,随机事件 A 在每次试验中是否发生是不能预知的,但是
在大量的重复试验后,随着试验次数的增加,事件 A 发生的频率会逐渐
录如下:
射击次数
100
120
150
100
150
160
150
击中飞碟数
81
95
123
82
119
127
121
击中飞碟的频率
(1)计算各次记录击中飞碟的频率;
(2)这个运动员击中飞碟的概率约为多少?
解:(1)射击次数 100,击中飞碟数是 81,故击中飞碟的频率是
81
=0.810,同理可求得题表中的频率依次是
(5)从分别标有号码 1,2,3,4,5 的 5 个号签中任取一个,得到 4 号签;
(6)导体通电后,发热;
(7)三角形的内角和为 360°;
(8)某电话机在 1 分钟内收到 4 次呼叫.
解:(1)(6)是必然事件;(3)(7)是不可能事件;(2)(4)(5)(8)是随机事件.
目录
退出
4.某人射击 10 次,击中靶心 8 次,则击中靶心的概率为 0.8.这种说法
件的是(
)
A.③
B.①
C.①④
D.④
解析:①是不可能事件,②是不可能事件,③是随机事件,④是必然事
件.
答案:D
目录
退出
2.某市统计近几年新生儿出生数及其中男婴数(单位:人)如下:

高中统计与概率知识点(文科)（一）统计一、简单随机抽样1．总体和样本在统计学中 , 把研究对象的全体叫做总体．把每个研究对象叫做个体．把总体中个体的总数叫做总体容量．为了研究总体的有关性质，一般从总体中随机抽取一部分：，，，研究，我们称它为样本．其中个体的个数称为样本容量．2．简单随机抽样，也叫纯随机抽样。

就是从总体中不加任何分组、划类、排队等，完全随机地抽取调查单位。

特点是：每个样本单位被抽中的可能性相同（概率相等），样本的每个单位完全独立，彼此间无一定的关联性和排斥性。

简单随机抽样是其它各种抽样形式的基础。

通常只是在总体单位之间差异程度较小和数目较少时，才采用这种方法。

3．简单随机抽样常用的方法：（1）抽签法；⑵随机数表法；⑶计算机模拟法；⑷使用统计软件直接抽取。

在简单随机抽样的样本容量设计中，主要考虑：①总体变异情况；②允许误差范围；③概率保证程度。

4．抽签法:（1）给调查对象群体中的每一个对象编号；（2）准备抽签的工具，实施抽签（3）对样本中的每一个个体进行测量或调查例：请调查你所在的学校的学生做喜欢的体育活动情况。

5．随机数表法：例：利用随机数表在所在的班级中抽取10位同学参加某项活动。

二、系统抽样1．系统抽样（等距抽样或机械抽样）：把总体的单位进行排序，再计算出抽样距离，然后按照这一固定的抽样距离抽取样本。

第一个样本采用简单随机抽样的办法抽取。

K（抽样距离）=N（总体规模）/n（样本规模）前提条件：总体中个体的排列对于研究的变量来说，应是随机的，即不存在某种与研究变量相关的规则分布。

可以在调查允许的条件下，从不同的样本开始抽样，对比几次样本的特点。

如果有明显差别，说明样本在总体中的分布成某种循环性规律，且这种循环和抽样距离重合。

系统抽样，即等距抽样是实际中最为常用的抽样方法之一。

因为它对抽样框的要求较低，实施也比较简单。

更为重要的是，如果有某种与调查指标相关的辅助变量可供使用，总体单元按辅助变量的大小顺序排队的话，使用系统抽样可以大大提高估计精度。

若a为区间[0，4]内的均匀随机数，b为 区间[0，3] 内的均匀随机数，求函数 f(x)在R上是增函数的概率.
1 3 2 2 例6 已知函数 f ( x) x (a 1) x b x 3
【解题要点】 由随机数范围确定事件总个数或区域→ 整数随机数问题用古典概型→均匀随机 数用几何概型.
试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
4.整数随机数： 对于某个指定范围内的整数，每次从中 有放回随机取出的一个数. 5.均匀随机数： X在区间[a，b]上等可能取任意一个值， 且X的取值是连续的.
6.随机模拟方法： 用手工、计算机或计算器模拟试验的 方法.
拓展延伸
1.几何概型与古典概型的共同点是随 机试验中每个结果发生的可能性相等， 不同点是随机试验中可能出现的结果分 别有无限多个和有限多个.
12.2
几何概型与随机数
知识梳理
1 5730 p 2t1.几何概型的概念： 每个事件发生的概率只与构成该事件区 域的长度（面积或体积）成比例的概率 模型. 2.几何概型的特点： （1）可能出现的结果有无限多个； （2）每个结果发生的可能性相等. 3.几何概型的概率：
P(A)＝
构成事件A的区域长度（面积或体积）
考点2
与随机数有关的概率问题
例4 设事件A表示“关于x的一元二次 方程x2＋2ax＋b2＝0”有实根，求在下 列条件下事件A发生的概率. （1）a是区间[0，3]内的整数值随机数， b是区间[0，2]内的整数值随机数； （2）a是区间[0，3]内的均匀随机数， b是区间[0，2]内的均匀随机数.
例5 已知三个正数a，b，c满足 1 2 9 a＜b＜c，且a，b，c是集合 { , , , } 10 10 10 中的随机数，求a，b，c能构成三角形三 边长的概率.

本部分内容讲解结束
按ESC键退出全屏播放
1．面积为 S 的△ABC 中，D 是 BC 的中点，向△ABC 内部
投一点，那么点落在△ABD 内的概率为( )
A.12
B．13
C.14
D．16
解析：选 A.向△ABC 内部投一点的结果有无限个，属于几 何 概 型 ． 设 点 落 在 △ABD 内 为 事 件 M ， 则 P(M) ＝ △△AABBDC的的面面积积＝12.
阴影部分的概率为( )
A.18
B．14
C.38
D．12
解析：选 D.转盘停在任何一个位置是等可能的，因为阴影 部分对应的扇形面积(或弧长)之和是整个圆的面积(或周长) 的12，所以所求概率 P＝12.
几何概率的判断
下列概率模型中，几何概率的个数为( )
①从区间[－10，10]内任取出一个数，求取到 1 的概率；
另外要特别注意： 几何概率的试验中，事件 A 的概率 P(A)只与子区域 A 的几 何度量(长度、面积)成正比，而与 A 的位置和形状无关．求 试验的几何概率，关键是求得事件所占区域和整个区域 Ω 的几何度量，然后代入公式即可求解．
(1)适当选择观察角度，注意区分几何量是长度还是角度或 是面积． (2)几何概率，事件 A 发生在总区域内也是均匀的，即是等 可能的．
④是几何概率，因为在边长为 4 cm 的正方形和半径为 1 cm 的圆内均有无数多个点，且这两个区域内的任何一个点都 有可能被投到，故满足无限性和等可能性． 【答案】 B
根据几何概率的定义即可判断．
1.判断下列试验是否为几何概率？并说明理 由． (1)在某月某日，求某个市区降雨的概率； (2)设 A 为圆上一定点，在圆周上等可能地任取一点与 A 连 接，求弦长超过半径的概率． 解：(1)不是几何概率，因为其不具有等可能性； (2)是几何概率，因为其具有无限性与等可能性，符合几何 概率的特征．

必修 1 第一章 集合
1．1 集合与集合的表示方法 1．2 集合之间的关系与运算 本章小结 阅读与欣赏 聪明在于学习，天才由于积累—— 自学成才的华罗庚 第二章 函数 2．1 函数 2．2 一次函数和二次函数 2．3 函数的应用（Ⅰ） 2．4 函数与方程
本章小结（1） 阅读与欣赏 函数概念的形成与发展 第三章 基本初等函数（Ⅰ） 3．1 指数与指数函数 3．2 对数与对数函数 3．3 幂函数 3．4 函数的应用（Ⅱ） 实习作业 本章小结 阅读与欣赏 对数的发明 对数的功绩
选修 1－2 第一章 统计案例 1．1 回归分析的基本思想及其 初步应用 1．2 独立性检验的基本思想及 其初步应用 第二章 推理与证明 2．1 合情推理与演绎证明 2．2 直接证明与间接证明 第三章 数系的扩充与复数的引入 3．1 数系的扩充和复数的概念 3．2 复数代数形式的四则运算 第四章 框图
必修 2 第一章 立体几何初步
1．1 空间几何体 实习作业 1．2 点、线、面之间的位置关系 本章小结 阅读与欣赏 第二章 平面解析几何初步 2．1 平面真角坐标系中的基本公 式 2．2 直线方程 2．3 圆的方程 2．4 空间直角坐标系 本章小结 阅读与欣赏
必修 3 第一章 算法初步
1．1 算法与程序框图 1．2 基本算法语句 1．3 中国古代数学中的算法案例 本章小结 阅读与欣赏 附录 参考程序 第二章 统计 2．1 随机抽样 2．2 用样本估计总体 2．3 变量的相关性 实习作业 本章小结 阅读与欣赏 附录 随机数表 第三章 概率 3．1 随机现象 3．2 古典概型 3．3 随机数的含义与应用 3．4 概率的应用 本章小结 阅读与欣赏
4．1 流程图 4．2 结构图
选修 2-1 第一章 常用逻辑用语 1.1 命题及其关系 1.2 充分条件与必要条件 1.3 简单的逻辑联结词 1.4 全称量词与存在量词 第二章 圆锥曲线与方程 2.1 曲线与方程 2.2 椭圆 2.3 双曲线

高中数学必修五概率统计课件概率统计是高中数学必修五的一门重要课程，本课程将帮助学生掌握概率与统计的基本概念、原理和应用，培养学生的数据处理和分析能力。

以下是本课程的课件内容：1. 概率基本概念概率是描述随机事件发生可能性的一种数值，常用于解决不确定性问题。

本部分将介绍概率的基本概念，包括样本空间、随机事件、事件的概率以及事件间的关系。

通过例题的讲解，学生将理解概率的计算方法和应用。

2. 概率运算法则概率运算法则是研究事件概率的基本规律，包括事件的补、事件的交、事件的并以及事件的差等。

本部分将详细介绍这些法则，并通过实例演示如何运用运算法则解决实际问题。

3. 条件概率条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。

本部分将介绍条件概率的定义和计算方法，并通过实际例子帮助学生理解条件概率的概念和应用。

4. 独立事件与相关事件独立事件与相关事件是概率统计中重要的概念。

本部分将阐述独立事件与相关事件的定义和判断准则，并通过实例探讨两者之间的关系和应用。

5. 随机变量与概率分布随机变量是用于描述随机事件结果的变量，概率分布则是描述随机变量取值的规律。

本部分将介绍离散型随机变量和连续型随机变量的概念、概率分布以及参数的计算方法，同时讲解常见离散型随机变量和连续型随机变量的特征和应用。

6. 期望与方差期望是描述随机变量平均取值的数值，方差则常用于衡量随机变量的离散程度。

本部分将详细介绍期望与方差的计算方法、性质和应用，并通过案例演示如何应用期望和方差解决实际问题。

7. 正态分布正态分布是概率统计中最为重要的分布之一，具有广泛的应用。

本部分将介绍正态分布的概念、性质和标准化方法，以及如何应用正态分布解决实际问题。

8. 抽样与抽样分布抽样是指从总体中选取一部分个体进行观察与研究，抽样分布则是指样本统计量的分布。

本部分将阐述抽样的方法和技巧，以及抽样分布的概念、性质和应用，进一步加深学生对样本统计量的理解和运用能力。

区间[1，＋∞)上为增函数，当且仅当 a>0
且2ab≤1，即 2b≤a.依条件可知试验的全部
a＋b－8≤0
结果所构成的区域为（a，b）|ba>>00
，构成所求事
2b≤a
件的区域为如图阴影部分．
第13章 概 率
a＋b－8＝0 由b＝a2 得交点坐标为136，83. 所以所求事件的概率为 P＝1212× ×88× ×838＝13.
第13章 概 率
10．有一个底面圆的半径为 1，高为 2 的圆柱，点 O 为这 个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点 P，求点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率．
第13章 概 率
解：圆柱的体积 V 圆柱＝π×12×2＝2π 是试验的全部结果构 成的区域体积． 以 O 为球心，1 为半径且在圆柱内部的半球的体积 V 半球＝12×43π×13＝23π，则构成事件 A“点 P 到点 O 的距离 大于 1”的区域体积为 2π－23π＝43π，由几何概型的概率公
第13章 概 率
14．(选做题)已知关于 x 的二次函数 f(x)＝ax2－4bx＋1.
x＋y－8≤0
设点(a，b)是区域x>0
内的随机点，求函数 y＝f(x)
y>0
在区间[1，＋∞)上是增函数的概率．
第13章 概 率
解：因为函数 f(x)＝ax2－4bx＋1 的图象对称
轴为 x＝2ab，要使函数 f(x)＝ax2－4bx＋1 在
内，(x，y)的所有可能结果是边长为 24 的正方形，而事件 A“有一艘船停靠泊 位时必须等待一段时间”的所有可能结果由图中的阴影部 分来表示，μA＝242－12×222－12×202＝134， μΩ＝242＝576，所以 P(A)＝μμΩA＝153746＝26878.故有一艘轮船停 靠泊位时必须等待一段时间的概率为26878.

高中数学知识点总结概率与随机变量高中数学知识点总结：概率与随机变量概率与随机变量是数学中重要的概念和工具，广泛应用于统计学、经济学、工程学等领域。

在高中数学中，学生需要掌握概率与随机变量的基本理论和应用技巧。

本文将对高中数学中的概率与随机变量进行全面总结和概述。

一、概率的基本概念概率是描述事件发生可能性的数值，其范围在0到1之间。

在数学中，我们使用概率模型来描述和计算事件的概率。

常见的概率模型包括古典概型、几何概型和统计概型等。

通过这些概率模型，我们可以计算事件的概率、事件的相互关系以及事件的发生规律。

二、概率计算方法在概率计算中，我们常用的方法包括古典概率、频率概率和条件概率等。

古典概率适用于等可能事件的情况，频率概率适用于重复试验的情况，而条件概率则是建立在已知其他事件发生的条件下计算的。

三、随机变量与概率分布随机变量是概率论中的重要概念，它是对随机现象的数学描述。

随机变量可以是离散的，也可以是连续的。

离散随机变量概率分布可以用概率质量函数（pmf）表示，连续随机变量概率分布可以用概率密度函数（pdf）表示。

常见的离散随机变量包括二项分布、泊松分布和几何分布等，而常见的连续随机变量包括均匀分布、正态分布和指数分布等。

四、常见概率问题的解决方法在实际问题中，我们常常需要解决一些与概率相关的问题，比如求事件的概率、求随机变量的期望值和方差等。

对于这些问题，我们可以使用概率论的理论和方法进行求解。

例如，可以利用条件概率和全概率定理解决复杂事件的概率计算问题，可以利用期望值的定义和性质求解随机变量的期望值和方差等。

五、概率与统计的关系概率与统计是数学中的两个重要分支，它们之间有着密切的联系和相互作用。

概率论提供了统计学中的随机模型和概率分布，而统计学则通过对观测数据进行分析和推断，来研究随机现象的规律和性质。

概率与统计的结合为我们理解和解决实际问题提供了有效的工具和方法。

六、概率与随机变量的应用概率与随机变量的应用广泛存在于生活和学术研究中。

随机事件的概率与古典概型、几何概型一．知识整合：1．随机事件的概念在一定的条件下所出现的某种结果叫做事件。

（1）随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件；（2）必然事件：在一定条件下必然要发生的事件；（3）不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件。

2．随机事件的概率事件A 的概率：在大量重复进行同一试验时,事件A 发生的频率n m总接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A 的概率,记作P （A ）。

由定义可知0≤P （A ）≤1，显然必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0。

3．事件间的关系（1）互斥事件：不能同时发生的两个事件叫做互斥事件；（2）对立事件：不能同时发生，但必有一个发生的两个事件叫做互斥事件；（3）包含：事件A 发生时事件B 一定发生，称事件A 包含于事件B （或事件B 包含事件A ）；4．事件间的运算（1）并事件（和事件）若某事件的发生是事件A 发生或事件B 发生，则此事件称为事件A 与事件B 的并事件。

注：当A 和B 互斥时，事件A +B 的概率满足加法公式：P （A +B ）=P （A ）+P （B ）（A 、B 互斥）；且有P （A +A ）=P （A ）+P （A ）=1。

（2）交事件（积事件）若某事件的发生是事件A 发生和事件B 同时发生，则此事件称为事件A 与事件B 的交事件。

5．古典概型（1）古典概型的两大特点：1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；2）每个基本事件出现的可能性相等；（2）古典概型的概率计算公式：P （A ）=总的基本事件个数包含的基本事件个数A ； 一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件,通常此试验中的某一事件A 由几个基本事件组成.如果一次试验中可能出现的结果有n 个,即此试验由n 个基本事件组成,而且所有结果出现的可能性都相等,那么每一基本事件的概率都是n 1。

如果某个事件A 包含的结果有m 个,那么事件A 的概率P （A ）=n m 。

课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
典例剖析
题型一 与长度有关的几何概型概率的求法 【例1】 平面上画了一些彼此平行且相距2a的平行线．把一
枚半径r<a的硬币任意投掷在这平面上，求硬币不与任一条平行
线相碰的概率． 解 法一 设事件A：“硬币不与任一直线相碰”，为了确 定硬币的位置，由硬币中心 O 向靠得最近的平行线引垂线 OM ， 垂足为M，如图，显然OM的取值范围是 [0，a]，当线段OM的长 度满足r<OM≤a时，硬币不与平行线相碰，这时OM的长度就是构 成事件A的区域长度．
验属于几何概型． 三条线段能构成三角形当且仅当
x＋y>1－x－y， 1－x>x， 1－y>y.
y>－x＋1， 2 1 即x< ， 2 1 y<2.
课前探究学习 课堂讲练互动 活页规范训练
因此图中的阴影区域 g 就表示“三条线段能构成三角形”， 1 1 容易求得 g 的面积为8，G 的面积为2，则 P(这三条线段能构成三 g的面积 1 角形)＝ ＝ . G的面积 4
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
子的概率为：
32 9 P＝ 2＝ . 5 25
方法点评 定概率．
面积法求概率的步骤是，首先把事件转化为与
之对应的区域，其次，求出相应区域的面积，最后利用面积比确
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
2．如图所示的矩形，长为5，宽为2.在矩形内随机地撒 300
颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为 138颗．则我们可以估计 出阴影部分的面积约为________．
课前探究学习 课堂讲练互动 活页规范训练
2．几何概型的处理方法

高中概率知识点总结高中概率知识点总结概率，又称或然率、机会率、机率（几率）或可能性，它是概率论的基本概念。

概率是对随机事件发生的可能性的度量，一般以一个在0到1之间的实数表示一个事件发生的可能性大小。

以下是小编整理的高中概率知识点总结，希望能够帮助到大家！高中概率知识点总结篇1一．算法，概率和统计1．算法初步（约12课时）（1）算法的含义、程序框图①通过对解决具体问题过程与步骤的分析（如，二元一次方程组求解等问题），体会算法的思想，了解算法的含义。

②通过模仿、操作、探索，经历通过设计程序框图表达解决问题的过程。

在具体问题的解决过程中（如，三元一次方程组求解等问题），理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环。

（2）基本算法语句经历将具体问题的程序框图转化为程序语句的过程，理解几种基本算法语句--输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句，进一步体会算法的基本思想。

（3）通过阅读中国古代中的算法案例，体会中国古代对世界发展的贡献。

3．概率（约8课时）（1）在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，进一步了解概率的意义以及频率与概率的区别。

（2）通过实例，了解两个互斥事件的概率加法公式。

（3）通过实例，理解古典概型及其概率计算公式，会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。

（4）了解随机数的意义，能运用模拟（包括计算器产生随机数来进行模拟）估计概率，初步体会几何概型的意义（参见例3）。

（5）通过阅读材料，了解人类认识随机现象的过程。

2．统计（约16课时）（1）随机抽样①能从现实生活或其他学科中提出具有一定价值的统计问题。

②结合具体的实际问题情境，理解随机抽样的必要性和重要性。

③在参与解决统计问题的过程中，学会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；通过对实例的分析，了解分层抽样和系统抽样方法。

④能通过试验、查阅、设计调查问卷等方法收集数据。

（2）用样本估计总体①通过实例体会分布的意义和作用，在表示样本数据的过程中，学会列频率分布表、画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图（参见例1），体会他们各自的特点。

高中数学统计与概率知识点（文）一、众数: 一组数据中出现次数最多的那个数据。

众数与平均数的区别: 众数表示一组数据中出现次数最多的那个数据；平均数是一组数据中表示平均每份的数量。

二、.中位数: 一组数据按大小顺序排列，位于最中间的一个数据(当有偶数个数据时，为最中间两个数据的平均数)三 .众数、中位数及平均数的求法。

①众数由所给数据可直接求出;②求中位数时，首先要先排序(从小到大或从大到小)，然后根据数据的个数，当数据为奇数个时，最中间的一个数就是中位数;当数据为偶数个时，最中间两个数的平均数就是中位数。

③求平均数时，就用各数据的总和除以数据的个数，得数就是这组数据的平均数。

四、中位数与众数的特点。

⑴中位数是一组数据中唯一的，可能是这组数据中的数据，也可能不是这组数据中的数据； ⑵求中位数时，先将数据有小到大顺序排列，若这组数据是奇数个，则中间的数据是中位数；若这组数据是偶数个时，则中间的两个数据的平均数是中位数； ⑶中位数的单位与数据的单位相同； ⑷众数考察的是一组数据中出现的频数；⑸众数的大小只与这组数的个别数据有关，它一定是一组数据中的某个数据，其单位与数据的单位相同；（6）众数可能是一个或多个甚至没有；（7）平均数、众数和中位数都是描述一组数据集中趋势的量。

五.平均数、中位数与众数的异同：⑴平均数、众数和中位数都是描述一组数据集中趋势的量； ⑵平均数、众数和中位数都有单位； ⑶平均数反映一组数据的平均水平，与这组数据中的每个数都有关系，所以最为重要，应用最广； ⑷中位数不受个别偏大或偏小数据的影响；⑸众数与各组数据出现的频数有关，不受个别数据的影响，有时是我们最为关心的数据。

六、对于样本数据x 1，x 2，…，x n ，设想通过各数据到其平均数的平均距离来反映样本数据的分散程度，那么这个平均距离如何计算？思考4：反映样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是标准差，一般用s 表示.假设样本数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，则标准差的计算公式是：七、简单随即抽样的含义一般地,设一个总体有N 个个体, 从中逐个不放回地抽取n 个个体作为样本（n≤N）, 如果每次12||||||n x x xx x x n22212()()()n x x x x x x sn抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等, 则这种抽样方法叫做简单随机抽样.八、根据你的理解，简单随机抽样有哪些主要特点？（1）总体的个体数有限；（2）样本的抽取是逐个进行的，每次只抽取一个个体；（3）抽取的样本不放回，样本中无重复个体；（4）每个个体被抽到的机会都相等，抽样具有公平性.九、抽签法的操作步骤？第一步，将总体中的所有个体编号，并把号码写在形状、大小相同的号签上.第二步，将号签放在一个容器中，并搅拌均匀第三步，每次从中抽取一个号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本.十一、抽签法有哪些优点和缺点？优点：简单易行，当总体个数不多的时候搅拌均匀很容易，个体有均等的机会被抽中，从而能保证样本的代表性.缺点：当总体个数较多时很难搅拌均匀，产生的样本代表性差的可能性很大.十一、利用随机数表法从含有N个个体的总体中抽取一个容量为n的样本，其抽样步骤如何？第一步，将总体中的所有个体编号.第二步，在随机数表中任选一个数作为起始数.第三步，从选定的数开始依次向右（向左、向上、向下）读，将编号范围内的数取出，编号范围外的数去掉，直到取满n个号码为止，就得到一个容量为n的样本.简单随机抽样一般采用两种方法：抽签法和随机数表法。

1.
举一反三
（2009·山东）在区间［-1，1］上随机取一个数x,
cos的 x值介于0到12之间的
2
概率为
()
A. 1 B.
C.2
1
D.
2
3
2
3
解析：在区间［-1,1］上随机取一个实数x，cos 的x值位于［0,1］区间，若使
2
的值co位s 于x
2
公式可知
答案：A
区间，取0到, 12的实数x应在2 区1间 p 3
第七节 随机数与几何概型
基础梳理
1. 几何概型的概念 事件A理解为区域Ω的某一子区域A，A的概率只与子区域A的几何度量成 正比，而与A的位置和形状无关，此种试验称为几何概型.
2. 几何概型的特点 （1）无限性：即在一次试验中，基本事件的个数可以是无限的. （2）等可能性：即每个基本事件发生的可能性是均等的.
6. 均匀随机数的应用 （1）用随机模拟法估计几何概率; （2）用随机模拟法计算不规则图形的面积.
典例分析
题型一 与长度、角度有关的几何概型
【例1】（2009·盐城模拟）某公共汽车站每隔10分钟有一辆汽车到达， 乘客到达车站的时刻是任意的，求一个乘客候车时间不超过7分钟的概率.
分析 因为乘客在两车间隔的10分钟内任何时刻都可能到，所以该事件包 含的基本事件是无限多个，并且每个事件发生的可能性都是一样的，故 是几何概型问题.
因此,阴影部分与单位正方形的面积比就反映了两人在约定时间范围内相 遇的可能性的大小，也就是所求的概率，即
P S阴影部分 S单位正方形
1-（ 1 ）2
3 12
8. 9
学后反思 对于几何概型的应用题，关键是构造出随机事件A对应的几何图 形，利用几何图形的度量来求随机事件的概率.根据实际问题的具体情况， 合理设置参数，建立适当的坐标系，在此基础上将试验的每一个结果一一 对应于该坐标系的一点，便可构造出度量区域.

规3-4-4
返回
事件A发生的条件是0 事件A发生的条件是0＜x-y＜6或0＜y-x＜6,即图中阴影部分, 6,即图中阴影部分, 即图中阴影部分 则μΩ=242,μA=242-182. µ A 24 2 − 182 7 = = , ∴P(A)= 2 µ 24 16 7 即这两艘船中至少有一艘在停靠时必须等待的概率是 .
返回
学点一 与长度有关的几何概型的求法 某公共汽车站每隔5分钟有一辆车通过( 某公共汽车站每隔5分钟有一辆车通过(假设每一辆车带走 站上的所有乘客),乘客到达汽车站的时间是任意的, ),乘客到达汽车站的时间是任意的 站上的所有乘客),乘客到达汽车站的时间是任意的,求乘客 候车时间不超过3分钟的概率. 候车时间不超过3分钟的概率. 【分析】本题考查与长度有关的几何概型的求法. 分析】本题考查与长度有关的几何概型的求法. 【解析】这是一个几何概型问题.记A=“候车时间不超 解析】这是一个几何概型问题. 候车时间不超 过3分钟”.以x表示乘客到车站的时刻,以t表示乘客到车 分钟” 表示乘客到车站的时刻, 站后来到的第一辆汽车的时刻,作图3 站后来到的第一辆汽车的时刻,作图3-4-3.据题意,乘客必 3.据题意, 据题意 然在［ 5,t 内来到车站, ={x 然在［t-5,t］内来到车站,故Ω={x|t-5＜x≤t}.
解:按照约定,两人在6点到7点之间任何时刻到达会面点 按照约定,两人在6点到7 是等可能的,因此是一个几何概型,设甲、 是等可能的,因此是一个几何概型,设甲、乙两人到达的时间 为x,y,则|x-y|≤15是能够会面的先决条件. |≤15是能够会面的先决条件. 是能够会面的先决条件 以x和y分别表示甲、乙两人到达约会地点的时间,则两 分别表示甲、乙两人到达约会地点的时间, 人能够会面的充要条件是| 人能够会面的充要条件是|x-y|≤15.