随机数与几何概型共35页

随机数是在一定范围内产生的数，这 个范围可以是整数、实数等。随机数 具有不确定性，每次产生的数都是随 机的。在概率论中，随机数是用来表 示随机事件的数。
几何概型
几何概型是一种概率模型，它描述的 是在某个几何区域内随机选择一个点 或物体，该点或物体落入某个子区域 的可能性。几何概型的概率与该子区 域的面积或体积成正比。
统计分析等。
计算机科学
在计算机科学中，随机 数被用于模拟、加密、
游戏等领域。
物理学
在物理学中，随机数被 用于描述微观粒子的运 动、量子力学等领域。
02
几何概型
几何概型的定义
几何概型的定义
在一定的区域内随机地取一个点，如 果每个点被取到的可能性都相同，并 且区域内的点是无限可分的，则这样 的随机试验就称为几何概型。
互斥事件的概率计算
如果两个事件是互斥的，那么它们同时发生的概率等于它们各自发生的概率之 和。即，如果事件A和事件B是互斥的，那么$P(A cap B) = P(A) + P(B)$。
03
随机数与几何概型的结合
结合的定义
定义
随机数与几何概型结合是指将随机数理论应用于几何概型的 概率计算中，通过将几何形状的面积、体积等转化为随机数 ，从而简化概率计算的过程。
在一个边长为1的正方形内随机选择一个点 ，求该点到正方形中心点的距离等于边长 的概率。
习题3
答案
一个长度为2的线段上随机选择一个点，求 该点到线段两端点的距离都小于1的概率。
习题1的答案是0.25，习题2的答案是0.25 ，习题3的答案是0.5。
THANKS
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任何事件的概率都是非负的。即 ，对于任何事件$A$，都有 $P(A) geq 0$。

若a为区间[0，4]内的均匀随机数，b为 区间[0，3] 内的均匀随机数，求函数 f(x)在R上是增函数的概率.
1 3 2 2 例6 已知函数 f ( x) x (a 1) x b x 3
【解题要点】 由随机数范围确定事件总个数或区域→ 整数随机数问题用古典概型→均匀随机 数用几何概型.
试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
4.整数随机数： 对于某个指定范围内的整数，每次从中 有放回随机取出的一个数. 5.均匀随机数： X在区间[a，b]上等可能取任意一个值， 且X的取值是连续的.
6.随机模拟方法： 用手工、计算机或计算器模拟试验的 方法.
拓展延伸
1.几何概型与古典概型的共同点是随 机试验中每个结果发生的可能性相等， 不同点是随机试验中可能出现的结果分 别有无限多个和有限多个.
12.2
几何概型与随机数
知识梳理
1 5730 p 2t1.几何概型的概念： 每个事件发生的概率只与构成该事件区 域的长度（面积或体积）成比例的概率 模型. 2.几何概型的特点： （1）可能出现的结果有无限多个； （2）每个结果发生的可能性相等. 3.几何概型的概率：
P(A)＝
构成事件A的区域长度（面积或体积）
考点2
与随机数有关的概率问题
例4 设事件A表示“关于x的一元二次 方程x2＋2ax＋b2＝0”有实根，求在下 列条件下事件A发生的概率. （1）a是区间[0，3]内的整数值随机数， b是区间[0，2]内的整数值随机数； （2）a是区间[0，3]内的均匀随机数， b是区间[0，2]内的均匀随机数.
例5 已知三个正数a，b，c满足 1 2 9 a＜b＜c，且a，b，c是集合 { , , , } 10 10 10 中的随机数，求a，b，c能构成三角形三 边长的概率.

ABCD-A1B1C1D1 内任取点 M,点 M 在球 O 内的概率是(
π
π
π
π
A.
B.
C.
D.
4
8
6
)
12
关闭
设正方体棱长为 a,则正方体的体积为 a
C M 在球 O
故
1 3
π
6
内的概率为 3

4π
3
,内切球的体积为 ×
3
2
3
1
6
= πa3,
关闭
π
6
= .
解析
解析
答案
答案
第六页，编辑于星期五：十三点 四分。
探究突破
巩固提升
方法提炼
几何概型的关键是选择“测度”,如本例以角度为“测度”.因为射线 AD
落在∠DAB 内的任意位置是等可能的,所以选择“角度”为“测度”是解决本
题的关键.
考点一
考点二
第十五页，编辑于星期五：十三点 四分。
11.3
第十一章
随机数与几何概型
考纲要求
梳理自测
探究突破
探究突破
巩固提升
举一反三 3
关闭
解:因为在∠DAB
内作射线
如图,四边形 A B C内任作射线
D 为矩形,AAP,则等可能基本事件为“∠DAB
B = 3,B C = 1,以 A 为圆心,1 为半径作四分
之一个圆弧 D E ,在∠D A B 内任作射线 A P ,求射线 A P 与线段 B C 有公共点
AP”,所以它的所有等可能事件所在的区域 D 是∠DAB,当射线 AP 与线段 BC 有
第一页，编辑于星期五：十三点 四分。
第十一章

答案：A
2．(教材习题改编)在长为6 m的木棒AB上任取一点P，使点 P到木棒两端点的距离都大于2 m的概率是
1 A. 4 1 C. 2 1 B. 3 2 D. 3
(
)
答案：B
3.分别以正方形ABCD的四条边为直径画半圆，
重叠部分如图中阴影区域所示，若向该正方形
内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率 为
则称这种模型为几何概型．
2．几何概型中的 G 也可以是 空间中 或 直线上 的有限 区域，相应的概率是 体积之比 或 长度之比 ．
[小题能否全取]
1．(2012· 衡阳模拟)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，
在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可 中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )
[典例]
(2012· 莆田质检)某校在一次趣味运动会的
颁奖仪式上，高一、高二、高三各代表队人数分别为120
人、120人、n人，为了活跃气氛，大会组委会在颁奖过 程中穿插抽奖活动，并用分层抽样的方法从三个代表队 中共抽取20人在前排就坐，其中高二代表队抽6人．
(1)求n的值；
(2)抽奖活动的规则是：代表通过操作按键使电脑自
求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把 题中所表示的几何模型转化为长度(角度)，然后求 解．确定点的边界位置是解联考)已知A是圆上固定的一点，在 圆上其他位置上任取一点A′，则AA′的长度小于半
径的概率为________．
(2)(2012· 鞍山模拟)某公共汽车站每隔10分钟有一辆汽 车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求乘客候车 时间不超过6分钟的概率为________．
[知识能否忆起] 一、模拟方法
对于某些无法确切知道概率的问题，常借助模拟方法

9
(4)[a，b]上均匀随机数的产生 利用计算器或计算机产生[0,1]上的均匀随机数 x＝RAND，然后 利用伸缩和平移交换，x＝_x_1_*_(b_-_a_)_+_a___就可以得到[a，b]内的均匀 随机数，试验的结果是[a，b]上的任何一个实数，并且任何一个实数 都是等可能出现的．
10
1．下列概率模型中，几何概型的个数为( ) ①从区间[－10,10]上任取一个数，求取到的数在[0,1]内的概率； ②从区间[－10,10]上任取一个数，求取到绝对值不大于 1 的数的 概率； ③从区间[－10,10]上任取一个整数，求取到大于 1 而小于 3 的数 的概率；
6
2．几何概型的概率公式：
构成事件A的区域长度面积或体积 P(A)＝_试__验__的__全__部__结__果__所__构__成__的__区__域__长__度___面__积__或__体__积__
7
3．均匀随机数 (1)均匀随机数的概念 在随机试验中，如果可能出现的结果有 无限多个，并且这些结果 都是 等可能发生的，我们就称每一个结果为试验中全部结果所构成的 区域上的均匀随机数．
29
A．p1＝p2 C．p2＝p3
B．p1＝p3 D．p1＝p2＋p3
30
(2)在一个球内有一棱长为 1 的内接正方体，一动点在球内运动，
则此点落在正方体内部的概率为( )
6
3
A.π
B.2π
3
23
C.π
D. 3π
31
思路点拨：(1)根据几何图形特征．分别计算区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的 面积应用面积型几何概型定义判断．
概率为
2 2.
24
1．(变条件)在等腰直角三角形 ABC 中，过直角顶点 C 在∠ACB 内部作一条射线 CM，与直线 AB 交于点 M，求 AM 小于 AC 的概率．

用随机模拟方法估计长度型与面积型几何概型的概 率的联系与区别
(1)联系：二者模拟试验的方法和步骤基本相同，都 需产生随机数；
(2)区别：长度型几何概型只要产生一组均匀随机数 即可，所求事件的概率为表示事件的长度之比，对面积 型几何概型问题，一般需要确定点的位置，而一组随机 数是不能在平面上确定点的位置的，故需要利用两组均 匀随机数分别表示点的横纵坐标，从而确定点的位置， 所求事件的概率为点的个数比．
答案：23
(2)解：设上一辆车于时刻 T1 到达，而下一辆车于时刻 T2 到达，则线段 T1T2 的长度为 15，设 T 是线段 T1T2 上的点， 且 T1T＝5，T2T＝10，如图所示．
记“等车时间超过 10 min”为事件 A，则当乘客到达车 站的时刻 t 落在线段 T1T 上(不含端点)时，事件 A 发生．
[活学活用] 1．在一球内有一棱长为1的内接正方体，一点在球内运动，则
此点落在正方体内部的概率为
()
A.
6 π
B.2π3
C.
3 π
D.23π3
解析：选D 由题意可得正方体的体积为V1＝1.又球的直径是
正方体的体对角线，故球的半径R＝
3 2
.球的体积V2＝
4 3
πR3＝
23π.则此点落在正方体内的概率为P＝VV12＝
“多练提能·熟生巧”见“课时跟踪检测(十七)” (单击进入电子文档)
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语语文文：：初初一一新新生生使使用用的的是是教教育育部部编编写写的的教教材材，，也也称称““部部编编””教教材材。。““部部编编本本””是是指指由由教教育育部部直直接接组组织织编编写写的的教教材材。。““部部编编本本””除除了了语语文文，，还还有有德德育育和和历历史史。。现现有有的的语语文文教教材材，，小小学学有有1122种种版版本本，，初初中中有有88种种版版本本。。这这些些版版本本现现在在也也都都做做了了修修订订，，和和““部部编编本本””一一同同投投入入使使用用。。““部部编编本本””取取代代原原来来人人教教版版，，覆覆盖盖面面比比较较广广，，小小学学约约占占5500%%，，初初中中约约占占6600%%。。今今秋秋，，小小学学一一年年级级新新生生使使用用的的是是语语文文出出版版社社的的修修订订版版教教材材，，还还是是先先学学拼拼音音，，后后学学识识字字。。政政治治：：小小学学一一年年级级学学生生使使用用的的教教材材有有两两个个版版本本，，小小学学一一年年级级和和初初一一的的政政治治教教材材不不再再叫叫《《思思想想品品德德》》，，改改名名为为《《道道德德与与法法治治》》。。历历史史：：初初一一新新生生使使用用华华师师大大版版教教材材。。历历史史教教材材最最大大的的变变化化是是不不再再按按科科技技、、思思想想、、文文化化等等专专题题进进行行内内容容设设置置，，而而是是以以时时间间为为主主线线，，按按照照历历史史发发展展的的时时间间顺顺序序进进行行设设置置。。关关于于部部编编版版，，你你知知道道多多少少？？为为什什么么要要改改版版？？跟跟小小编编一一起起来来了了解解下下吧吧！！一一新新教教材材的的五五个个变变化化一一、、入入学学以以后后先先学学一一部部分分常常用用字字，，再再开开始始学学拼拼音音。。汉汉字字是是生生活活中中经经常常碰碰到到的的，，但但拼拼音音作作为为一一个个符符号号，，在在孩孩子子们们的的生生活活中中接接触触、、使使用用都都很很少少，，教教学学顺顺序序换换一一换换，，其其实实是是更更关关注注孩孩子子们们的的需需求求了了。。先先学学一一部部分分常常用用常常见见字字，，就就是是把把孩孩子子的的生生活活、、经经历历融融入入到到学学习习中中。。二二、、第第一一册册识识字字量量减减少少，，由由440000字字减减少少到到330000字字。。第第一一单单元元先先学学4400个个常常用用字字，，比比如如““地地””字字，，对对孩孩子子来来说说并并不不陌陌生生，，在在童童话话书书、、绘绘本本里里可可以以看看到到，，电电视视新新闻闻里里也也有有。。而而在在以以前前，，课课文文选选用用的的一一些些结结构构简简单单的的独独体体字字，，比比如如““叉叉””字字，，结结构构比比较较简简单单，，但但日日常常生生活活中中用用得得不不算算多多。。新新教教材材中中，，增增大大了了常常用用常常见见字字的的比比重重，，减减少少了了一一些些和和孩孩子子生生活活联联系系不不太太紧紧密密的的汉汉字字。。三三、、新新增增““快快乐乐阅阅读读吧吧””栏栏目目，，引引导导学学生生开开展展课课外外阅阅读读。。教教材材第第一一单单元元的的入入学学教教育育中中，，有有一一幅幅图图是是孩孩子子们们一一起起讨讨论论《《西西游游记记》》等等故故事事，，看看得得出出来来，，语语文文学学习习越越来来越越重重视视孩孩子子的的阅阅读读表表达达，，通通过过读读 故故事事、、演演故故事事、、看看故故事事等等，，提提升升阅阅读读能能力力。。入入学学教教育育中中第第一一次次提提出出阅阅读读教教育育，，把把阅阅读读习习惯惯提提升升到到和和识识字字、、写写字字同同等等重重要要的的地地位位。。四四、、新新增增““和和大大人人一一起起读读””栏栏目目，，激激发发学学生生的的阅阅读读兴兴趣趣，，拓拓展展课课外外阅阅读读。。有有家家长长担担心心会会不不会会增增加加家家长长负负担担，，其其实实这这个个““大大人人””包包含含很很多多意意思思，，可可以以是是老老师师、、爸爸妈妈、、爷爷爷爷、、奶奶奶奶、、外外公公、、外外婆婆等等，，也也可可以以是是邻邻居居家家的的小小姐姐姐姐等等。。每每个个人人讲讲述述一一个个故故事事，，表表达达是是不不一一样样的的，，有有人人比比较较精精炼炼，，有有人人比比较较口口语语化化，，儿儿童童听听到到的的故故事事不不同同，，就就会会形形成成不不同同的的语语文文素素养养。。五五、、语语文文园园地地里里，，新新增增一一个个““书书写写提提示示””的的栏栏目目。。写写字字是是有有规规律律的的，，一一部部分分字字有有自自己己的的写写法法，，笔笔顺顺都都有有自自己己的的规规则则，，新新教教材材要要求求写写字字的的时时候候，，就就要要了了解解一一些些字字的的写写法法。。现现在在信信息息技技术术发发展展很很快快，，孩孩子子并并不不是是只只会会打打字字就就可可以以，，写写字字也也不不能能弱弱化化。。二二为为什什么么要要先先识识字字后后学学拼拼音音？？一一位位语语文文教教研研员员说说，，孩孩子子学学语语文文是是母母语语教教育育，，他他们们在在生生活活中中已已经经认认了了很很多多字字了了，，一一年年级级的的识识字字课课可可以以和和他他们们之之前前的的生生活活有有机机结结合合起起来来。。原原先先先先拼拼音音后后识识字字，，很很多多孩孩子子觉觉得得枯枯燥燥，，学学的的时时候候感感受受不不到到拼拼音音的的用用处处。。如如果果先先接接触触汉汉字字，，小小朋朋友友在在学学拼拼音音的的过过程程中中会会觉觉得得拼拼音音是是有有用用的的，，学学好好拼拼音音是是为为了了认认识识更更多多的的汉汉字字。。还还有有一一位位小小学学语语文文老老师师说说：：““我我刚刚刚刚教教完完一一年年级级语语文文，，先先学学拼拼音音再再识识字字，，刚刚进进校校门门的的孩孩子子上上来来就就学学，，压压力力会会比比较较大大，，很很多多孩孩子子有有挫挫败败感感，，家家长长甚甚至至很很焦焦急急。。现现在在让让一一年年级级的的孩孩子子们们先先认认简简单单的的字字，，可可以以让让刚刚入入学学的的孩孩子子们们感感受受到到学学习习的的快快乐乐，，消消除除他他们们害害怕怕甚甚至至恐恐惧惧心心理理。。我我看看了了一一下下网网上上的的新新教教材材，，字字都都比比较较简简单单，，很很多多小小朋朋友友都都认认识识。。””

[方 法 总 结] 根据几何概型计算概率的公式，概率等于面积之比，概率 可用频率近似得到．在不规则图形外套上一个规则图形，则不 规则图形的面积近似等于规则图形的面积乘以概率．概率可以 通过模拟的方法得到，从而得到不规则图形面积的近似值.
6.向如图所示的正方形中随机撒一把豆子，经 查数，落在正方形中的豆子的总数为 1 000，其中 有 785 粒豆子落在该正方形的内切圆内，以此估 计圆周率 π 的值为________．
2．与角度有关的几何概型的求解思路 当涉及射线的运动，扇形中有关落点区域问题时，常以角 的大小作为区域度量来计算概率，其概率的计算公式为 P(A)＝ 试验的构全成部事结件果A所的构区成域的角区度域角度.切不可用线段长度代替角度 作为区域度量.
1．(2019·开封高一检测)在区间[0,2]上随机地取一个数 x，
因为小杯中有 0.1 升水，原瓶中有 2 升水， 所以由几何概型求概率的公式得 P(A)＝02.1＝0.05. 答案：0.05
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间，你们休 睛，
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动，久坐对 哦~
课堂互动探究
剖析题型 总结归纳Βιβλιοθήκη 题型一 长度、角度型几何概型
S1－S1S2＝52－5 π4＝1－1π0. 2
题型三 体积型几何概型 【例 3】 已知正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 a，在正 方体内随机取一点 M. (1)求点 M 落在三棱锥 B1－A1BC1 内的概率； (2)求点 M 到平面 ABCD 及平面 A1B1C1D1 的距离都大于a3的 概率； (3)求使四棱锥 M－ABCD 的体积小于16a3 的概率．
π 色部分的面积为π2，故此点取自黑色部分的概率为24＝π8，故选 B.

记“等车时间超过 10 min”为事件 A，则当乘客到达车 站的时刻 t 落在线段 T1T 上(不含端点)时，事件 A 发生．
∴P(A)＝TT11TT2的的长长度度＝155＝13， 即该乘客等车时间超过 10 min 的概率是31.
拓展提升 1.解几何概型概率问题的一般步骤 (1)选择适当的观察角度(一定要注意观察角度的等可能 性)； (2)把基本事件转化为与之对应的区域 D； (3)把所求随机事件 A 转化为与之对应的区域 I； (4)利用概率公式计算．
二、均匀随机数 均匀随机数的产生 (1)均匀随机数的概念 如果试验的结果是区间[a，b]内的任何一个实数，而且 出现任何一个实数是等可能的，则称这些实数为均匀随机 数． (2)均匀随机数的产生方法 ①计算器上产生[0,1]的均匀随机数的函数是 RAND 函 数．
②Excel 软件产生[0,1]区间上均匀随机数的函数为“rand ( )”．
2．与长度有关的几何概型问题的计算公式 如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示， 则其概率的计算公式为： P(A)＝试验的构全成部事结件果A所的构区成域的长区度域长度.
探究 3 与体积有关的几何概型
例 3 在一球内有一棱长为 1 的内接正方体，一点在球
内运动，则此点落在正方体内部的概率为( )
注意：(1)均匀随机数是随机产生的，在一定的区域长 度上出现的机率是均等的．
(2)均匀随机数是小数或整数，是连续的数值，相邻两 个均匀随机数的步长是人为设定的．
探究 1 与长度有关的几何概型 例 1 (1)在区间[－2,4]上随机地取一个数 x，若 x 满足 |x|≤m 的概率为65，则 m＝____3____. (2)某汽车站每隔 15 min 有一辆汽车到达，乘客到达