3.3.1—3.3.2 几何概型及均匀随机数的产生

3.3几何概型3.3.1几何概型3.3.2均匀随机数的产生1．几何概型的概念(1)几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．(2)几何概型的特点①试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个．②每个基本事件出现的可能性相等．2．几何概型的概率公式：P(A)构成事件A的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）3．均匀随机数(1)均匀随机数的概念在随机试验中，如果可能出现的结果有无限多个，并且这些结果都是等可能发生的，我们就称每一个结果为试验中全部结果所构成的区域上的均匀随机数．(2)均匀随机数的产生①计算器上产生[0，1]的均匀随机数的函数是RAND函数．②Excel软件产生[0，1]区间上均匀随机数的函数为“rand()”．(3)用模拟的方法近似计算某事件概率的方法①试验模拟的方法：制作两个转盘模型，进行模拟试验，并统计试验结果．②计算机模拟的方法：用Excel软件产生[0，1]区间上均匀随机数进行模拟(注意操作步骤)．(4)[a，b]上均匀随机数的产生利用计算器或计算机产生[0，1]上的均匀随机数x＝RAND，然后利用伸缩和平移交换，x＝x1*(b－a)＋a就可以得到[a，b]内的均匀随机数，试验的结果是[a，b]上的任何一个实数，并且任何一个实数都是等可能出现的．1．下列概率模型中，几何概型的个数为()①从区间[－10，10]上任取一个数，求取到的数在[0，1]内的概率；②从区间[－10，10]上任取一个数，求取到绝对值不大于1的数的概率；③从区间[－10，10]上任取一个整数，求取到大于1而小于3的数的概率；④向一个边长为4 cm的正方形内投一点，求点离中心不超过1 cm的概率．A．1 B．2C．3D．4C[①②中的概率模型是几何概型，因为区间[－10，10]上有无数个数，且每个数被取到的机会相等；③中的概率模型不是几何概型，因为区间[－10，10]上的整数只有21个，是有限的；④中的概率模型是几何概型，因为在边长为4 cm的正方形内有无数个点，且该区域内的任何一个点被投到的可能性相同．]2．在区间[－2，3]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为()A．45B．35C．25D．15B[区间[－2，3]的区间长度为5，在上面随机取一数X，使X≤1，即－2≤X≤1.其区间长度为3，所以概率为3 5.]3.如图，一颗豆子随机扔到桌面上，则它落在非阴影区域的概率为()A．19B．16C．23D．13C[试验发生的范围是整个桌面，非阴影部分面积占桌面的23，而豆子落在任一点是等可能的，所以豆子落在非阴影区域的概率为2 3.]4．如图AB是圆O的直径，OC⊥AB，假设你在图形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________．1π[设圆的半径为R，则圆的面积为S＝πR 2，阴影的面积S阴＝12·2R·R＝R2，故所求概率P＝S阴S＝R2πR2＝1π.]1．几何概型与古典概型的区别是什么？[提示]几何概型的试验结果是无限的，古典概型的试验结果是有限的．2．解决几何概型问题概率的关键是什么？[提示]确定所求概率与区域长度、角度、面积、体积中的哪一个有关．3．“P(A)＝0⇔A是不可能事件”，“P(A)＝1⇔A是必然事件”，这两种说法是否成立？[提示](1)无论是古典概型还是几何概型，若A是不可能事件，则P(A)＝0肯定成立；若A是必然事件，则P(A)＝1肯定成立．(2)在古典概型中，若事件A的概率P(A)＝0，则A为不可能事件；若事件A 的概率P(A)＝1，则A为必然事件．(3)在几何概型中，若事件A的概率P(A)＝0，则A不一定是不可能事件，如：事件A对应数轴上的一个点，则其长度为0，该点出现的概率为0，但A并不是不可能事件；同样地，若事件A的概率P(A)＝1，则A也不一定是必然事件．【例1】在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一点M，求AM小于AC的概率．思路点拨：本例是与哪种区域有关的几何概型问题？[解]点M随机地落在线段AB上，故线段AB的长度为试验的全部结果所构成的区域长度．在AB上截取AC′＝AC，当点M位于图中的线段AC′上(不包括点C′)时，AM<AC，故线段AC′即为构成事件A的区域长度．于是P(AM<AC)＝P(AM<AC′)＝AC′AB＝ACAB＝22.即AM小于AC的概率为22.1．(变条件)在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部作一条射线CM，与直线AB交于点M，求AM小于AC的概率．[解]由题意，应看成射线CM在∠ACB内是等可能分布的，在AB上截取AC′＝AC(如图)，则∠ACC′＝67.5°，故满足条件的概率为67.590＝34.2．(变结论)本例条件不变．(1)若求AM不大于AC的概率，结果有无变化？(2)求AM大于AC的概率．[解](1)结果不变．几何概型中，一点在线段上的长度视为0，包含与不包含一点，不改变概率的结果．(2)如图，点M随机地落在线段AB上，故线段AB的长度为试验的全部结果所构成的区域长度，在AB上截取AC′＝AC，当点M位于线段C′B上时，AM>AC，故线段C′B即为构成事件的区域长度．∴P(AM>AC)＝P(AM>AC′)＝C′BAB＝1－22.求解与长度有关的几何概型的关键点在求解与长度有关的几何概型时，首先找到试验的全部结果构成的区域D，这时区域D可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件A发生对应的区域d，在找d的过程中，确定边界点是问题的关键，但边界点是否取到不会影响事件A的概率．究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC，直角边AB，AC.△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则()A．p1＝p2B．p1＝p3 C．p2＝p3D．p1＝p2＋p3(2)在区间[－2，2]上任取两个整数x，y组成有序数对(x，y)，求满足x2＋y2≤4的概率；思路点拨：(1)根据几何图形特征．分别计算区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面积应用面积型几何概型定义判断．(2)在区间[－2，2]上任取两个整数x，y，组成有序数对(x，y)是有限的，应用古典概型求解．[解] (1)通解 设直角三角形ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则区域Ⅰ的面积即△ABC 的面积，为S 1＝12bc ，区域Ⅱ的面积S 2＝12π×⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＋12π×⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22－⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π×⎝ ⎛⎭⎪⎫a 222－12bc ＝18π(c 2＋b 2－a 2)＋12bc ＝12bc ，所以S 1＝S 2，由几何概型的知识知p 1＝p 2，故选A.优解 不妨设△ABC 为等腰直角三角形，AB ＝AC ＝2，则BC ＝22，所以区域Ⅰ的面积即△ABC 的面积，为S 1＝12×2×2＝2，区域Ⅲ的面积S 3＝π×（2）22－2＝π－2，区域Ⅱ的面积S 2＝π×12－(π－2)＝2.根据几何概型的概率计算公式，得p 1＝p 2＝2π＋2，p 3＝π－2π＋2，所以p 1≠p 3，p 2≠p 3，p 1≠p 2＋p 3，故选A. (2)在区间[－2，2]上任取两个整数x ，y 组成有序数对(x ，y )，共计25个，其中满足x 2＋y 2≤4的在圆上或圆内共计13个(如图所示)，∴P ＝1325.解与面积相关的几何概型问题的三个关键点(1)根据题意确认是否是与面积有关的几何概型问题；(2)找出或构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征计算相关面积；(3)套用公式，从而求得随机事件的概率．1．(1)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB＝2，BC ＝1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是()A ．π2B ．π4C ．π6D ．π8(2)有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．(1)B (2)23 [(1)设质点落在以AB 为直径的半圆内为事件A ，则P (A )＝阴影面积长方形面积＝12π·121×2＝π4. (2)先求点P 到点O 的距离小于1或等于1的概率，圆柱的体积V 圆柱＝π×12×2＝2π，以O 为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积V 半球＝12×43π×13＝23π.则点P 到点O 的距离小于1或等于1的概率为：23π2π＝13，故点P 到点O 的距离大于1的概率为：1－13＝23.][解]以直线x＝1，x＝－1，y＝0，y＝1为边界作矩形，(1)利用计算器或计算机产生两组0～1区间的均匀随机数，a1＝RAND，b＝RAND；(2)进行平移和伸缩变换，a＝2(a1－0.5)；(3)数出落在阴影内的样本点数N1，用几何概型公式计算阴影部分的面积．例如做1 000次试验，即N＝1 000，模拟得到N1＝698，所以P＝N1N＝阴影面积矩形面积＝6981 000，即阴影面积S＝矩形面积×6981 000＝2×6981 000＝1.396.用随机模拟方法估计几何概型的步骤：①确定需要产生随机数的组数，如长度、角度型只用一组，面积型需要两组；②由基本事件空间对应的区域确定产生随机数的范围；③由事件A发生的条件确定随机数应满足的关系式；④统计事件A对应的随机数并计算A的频率来估计A的概率．2．现向图中所示正方形内随机地投掷飞镖，试用随机模拟的方法求飞镖落在阴影部分的概率．[解](1)利用计算器或计算机产生两组0至1区间内的均匀随机数a1，b1(共N组)；(2)经过平移和伸缩变换，a＝2(a1－0.5)，b＝2(b1－0.5)；(3)数出满足不等式b<2a－43，即6a－3b>4的数组数N1.所求概率P≈N1N.可以发现，试验次数越多，概率P越接近25 144.1．几何概型适用于试验结果是无穷多且事件是等可能发生的概率模型．2．几何概型主要用于解决与长度、面积、体积有关的问题．3．注意理解几何概型与古典概型的区别．4．理解如何将实际问题转化为几何概型的问题，利用几何概型公式求解，概率公式为P(A)＝构成事件A的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）.1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)几何概型的基本事件有无数多个．()(2)几何概型的概率与构成事件的区域形状无关．()(3)随机数只能用计算器或计算机产生．()(4)x是[0，1]上的均匀随机数，则利用变量代换y＝(b－a)x＋a可得[a，b]上的均匀随机数．() [答案](1)√(2)√(3)×(4)√2．已知地铁列车每10 min一班，在车站停1 min，则乘客到达站台立即乘上车的概率是()A．110B．19C．111D．18A[试验所有结果构成的区域长度为10 min，而构成事件A的区域长度为1min，故P(A)＝1 10.]3.如图，在平面直角坐标系内，射线OT落在60°角的终边上，任作一条射线OA，则射线OA落在∠xOT内的概率为________．16[记“射线OA落在∠xOT内”为事件A.构成事件A的区域最大角度是60°，所有基本事件对应的区域最大角度是360°，所以由几何概型的概率公式得P(A)＝60°360°＝16.]4．在长为12 cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边长作一个正方形，求作出的正方形面积介于36 cm2与81 cm2之间的概率．[解]如图所示，点M落在线段AB上的任一点上是等可能的，并且这样的点有无限多个．设事件A为“所作正方形面积介于36 cm2与81 cm2之间”，它等价于“所作正方形边长介于6 cm与9 cm之间”．取AC＝6 cm，CD＝3 cm，则当M点落在线段CD上时，事件A发生，所以P (A )＝|CD ||AB |＝312＝14.课时分层作业(十九) 几何概型均匀随机数的产生(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．如图所示，半径为4的圆中有一个小狗图案，在圆中随机撒一粒豆子，它落在小狗图案内的概率是13，则小狗图案的面积是( )A ．π3B ．4π3C ．8π3D ．16π3D [设小狗图案的面积为S 1，圆面积S ＝π×42＝16 π，由几何概型计算公式得S 1S ＝13，故S 1＝16π3.]2．在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察，则发现大肠杆菌的概率为( )A ．0.008B ．0.004C ．0.002D ．0.005D [该问题可转化为与体积有关的几何概型求解，概率为2400＝0.005.]3．在圆心角为90°的扇形中，以圆心O为起点作射线OC，则使得∠AOC 和∠BOC都不小于30°的概率为()A．13B．23C．14D．34A[记M＝“射线OC使得∠AOC和∠BOC都不小于30°”．如图所示，作射线OD，OE使∠AOD＝30°，∠AOE＝60°.当OC在∠DO E内时，使得∠AOC和∠BOC都不小于30°，此时的测度为度数30，所有基本事件的测度为直角的度数90.所以P(M)＝3090＝13.]4．将[0，1]内的均匀随机数a1转化为[－2，6]内的均匀随机数a，需实施的变换为()A．a＝a1*18 B．a＝a1*8＋2C．a＝a1*8－2 D．a＝a1*6C[因为随机数a1∈[0，1]，而基本事件都在[－2，6]上，其区间长度为8，所以首先把a1变为8a1，又因区间左端值为－2，所以8a1再变为8a1－2，故变换公式为a＝8a1－2.]5．在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于S4的概率是()A．14B．12C ．34D ．23C [如图所示，在边AB 上任取一点P ，因为△ABC 与△PBC 是等高的，所以事件“△PBC 的面积大于S 4”等价于事件“|BP ||AB |＞14”．即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫△PBC 的面积大于S 4＝|P A ||BA |＝34.] 二、填空题6．在区间[－2，4]上随机取一个数x ，若x 满足|x |≤m 的概率为56，则m ＝________．3 [由|x |≤m ，得－m ≤x ≤m ，当m ≤2时，由题意得2m 6＝56，解得m ＝2.5，矛盾，舍去．当2<m <4时，由题意得m －（－2）6＝56， 解得m ＝3.]7．利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a ，则使关于x 的一元二次方程x 2－x ＋a ＝0无实根的概率为________．34 [因为方程无实根，故Δ＝1－4a <0，所以a >14，即所求概率为34.]8．小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于14，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为________．1316 [记事件A ＝“打篮球”，则P (A )＝π×⎝ ⎛⎭⎪⎫142π×12＝116， 记事件B ＝“在家看书”，则P (B )＝π×⎝ ⎛⎭⎪⎫122π×12－P (A ) ＝14－116＝316.故P (B )＝1－P (B )＝1316.] 三、解答题9．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，在正方体内随机取一点M . (1)求点M 落在三棱柱ABC -A 1B 1C 1内的概率P 1； (2)求点M 落在三棱锥B -A 1B 1C 1内的概率P 2； (3)求点M 到面ABCD 的距离大于a3的概率P 3；(4)求点M 到面ABCD 及面A 1B 1C 1D 1的距离都大于a3的概率P 4. [解] V 正方体＝a 3. (1)∵V三棱柱ABC -A 1B 1C 1＝12a 2·a ＝12a 3，∴所求概率P 1＝12a 3a 3＝12.(2)∵V 三棱锥B -A 1B 1C 1＝13·S △A 1B 1C 1 ·BB 1＝13·12a 2·a ＝16a 3，∴所求概率P 2＝16. (3)所求概率P 3＝a －a 3a ＝23.(4)所求概率P 4＝a －a 3－a 3a＝13.10．两对讲机持有者张三、李四在某货运公司工作，他们的对讲机的接收范围是25 km ，下午3：00张三在基地正东30 km 处向基地行驶，李四在基地正北40 km 处也向基地行驶，试求下午3：00后他们可以交谈的概率．[解]记事件A＝{下午3：00后张三、李四可以交谈}．设x，y分别表示张三、李四与基地的距离，则x∈[0，30]，y∈[0，40]，则他们的所有距离的数据构成有序实数对(x，y)，则所有这样的有序实数对构成的集合为试验的全部结果．以基地为原点，正东、正北方向分别为x轴、y轴正方向建立坐标系(图略)，则长和宽分别为40 km和30 km的矩形区域表示该试验的所有结果构成的区域，它的总面积为1 200 km2，可以交谈的区域为x2＋y2≤252的圆及其内部满足x≥0，y≥0的部分，由几何概型的概率计算公式得P(A)＝14×π×2521 200＝25π192≈0.41.[能力提升练]1．已知一只蚂蚁在边长分别为5，12，13的三角形的边上随机爬行，则其恰在离三个顶点的距离都大于1的地方的概率为()A．45B．35C．π60D．π3A[由题意可知，三角形的三条边长的和为5＋12＋13＝30，而蚂蚁要在离三个顶点的距离都大于1的地方爬行，则它爬行的区域长度为3＋10＋11＝24，根据几何概型的概率计算公式可得所求概率为2430＝45.]2．节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯．这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮．那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是()A．14B．12C．34D．78C[设第一串彩灯亮的时刻为x，第二串彩灯亮的时刻为y，则⎩⎨⎧0≤x ≤4，0≤y ≤4.要使两串彩灯亮的时刻相差不超过2秒，则⎩⎨⎧0≤x ≤4，0≤y ≤4，－2≤x －y ≤2. 如图，不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤4，0≤y ≤4所表示的图形面积为16，不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤4，0≤y ≤4，－2≤x －y ≤2所表示的六边形OABCDE 的面积为16－4＝12，由几何概型的公式可得P ＝1216＝34.]3．在[－1，1]上随机地取一个数k ，则事件“直线y ＝kx 与圆(x －5)2＋y 2＝9相交”发生的概率为________．34[圆(x －5)2＋y 2＝9的圆心为C (5，0)，半径r ＝3，故由直线与圆相交可得|5k －0|k 2＋1<r ，即|5k |k 2＋1<3，整理得k 2<916，得－34<k <34. 故所求事件的概率P ＝34－⎝ ⎛⎭⎪⎫－341－（－1）＝34.]4．已知事件“在矩形ABCD 的边CD 上随机取一点P ，使△APB 的最大边是AB ”发生的概率为12，则ADAB ＝________．74 [如图，由于满足条件的点P发生的概率为12，且点P在边CD上运动，根据图形的对称性，当点P在靠近点D的CD边的14分点处，即图中E点处时，EB＝AB(当点P超过点E向点D运动时，PB>AB)．设AB＝x，过点E作EF⊥AB交AB于点F，则BF＝34x.在R t△FBE中，EF2＝BE2－FB2＝AB2－FB2＝716x2，即EF＝74x，所以ADAB＝74.]5．利用随机模拟法计算由曲线y＝1x，直线x＝1，x＝2和y＝0所围成的图形的面积．[解]如图，阴影部分即为所求．第一步，利用计算器或计算机产生两组0～1之间的随机数，a1＝RAND，b＝RAND.第二步，进行平移变换：a＝a1＋1.第三步，数出落在阴影内的点数N1，用几何概型的概率计算公式计算阴影部分的面积．(其中a，b分别为随机点的横坐标和纵坐标)例如做1 000次试验，即N＝1 000，模拟得到N1＝750.由S阴影S矩形＝N1N，得S阴影＝N1N·S矩形＝7501 000×1＝0.75.。

3.3 几何概型3.3.1—3.3.2几何概型及均匀随机数的产生一、教学目标：1、 知识与技能：（1）正确理解几何概型的概念； （2）掌握几何概型的概率公式： P （A ）=积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A ；（3）会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型； （4）了解均匀随机数的概念；（5）掌握利用计算器（计算机）产生均匀随机数的方法； （6）会利用均匀随机数解决具体的有关概率的问题． 2、 过程与方法：（1）发现法教学，通过师生共同探究，体会数学知识的形成，学会应用数学知识来解决问题，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力；（2）通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯。

3、 情感态度与价值观：本节课的主要特点是随机试验多，学习时养成勤学严谨的学习习惯。

二、重点与难点：1、几何概型的概念、公式及应用；2、利用计算器或计算机产生均匀随机数并运用到概率的实际应用中．三、学法与教学用具：1、通过对本节知识的探究与学习，感知用图形解决概率问题的方法，掌握数学思想与逻辑推理的数学方法；2、教学用具：投灯片，计算机及多媒体教学． 四、教学设想：1、创设情境：在概率论发展的早期，人们就已经注意到只考虑那种仅有有限个等可能结果的随机试验是不够的，还必须考虑有无限多个试验结果的情况。

例如一个人到单位的时间可能是8：00至9：00之间的任何一个时刻；往一个方格中投一个石子，石子可能落在方格中的任何一点……这些试验可能出现的结果都是无限多个。

2、基本概念：（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型； （2）几何概型的概率公式： P （A ）=积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A ；（3）几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现的可能性相等． 3、 例题分析：课本例题略例1 判下列试验中事件A 发生的概度是古典概型， 还是几何概型。

高中数学必修3 第三章 概率 知识点总结及强化训练一、 知识点总结3.1.1 —3.1.2随机事件的概率及概率的意义 1、基本概念：（1）必然事件：在条件S 下，一定会发生的事件，叫相对于条件S 的必然事件； （2）不可能事件：在条件S 下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S 的不可能事件； （3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S 的确定事件；（4）随机事件：在条件S 下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S 的随机事件；（5）频数与频率：在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A出现的次数nA 为事件A 出现的频数；称事件A 出现的比例fn(A)=n n A为事件A 出现的概率：对于给定的随机事件A ，如果随着试验次数的增加，事件A 发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P （A ），称为事件A 的概率。

（6）频率与概率的区别与联系：随机事件的频率，指此事件发生的次数nA 与试验总次数n 的比值n n A，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小。

我们把这个常数叫做随机事件的概率，概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。

频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率3.1.3 概率的基本性质 1、基本概念：（1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件（2）若A ∩B 为不可能事件，即A ∩B=ф，那么称事件A 与事件B 互斥；（3）若A ∩B 为不可能事件，A ∪B 为必然事件，那么称事件A 与事件B 互为对立事件；（4）当事件A 与B 互斥时，满足加法公式：P(A ∪B)= P(A)+ P(B)；若事件A 与B 为对立事件，则A ∪B 为必然事件，所以P(A ∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)2、概率的基本性质：1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1； 2）当事件A 与B 互斥时，满足加法公式：P(A ∪B)= P(A)+ P(B)；3）若事件A 与B 为对立事件，则A ∪B 为必然事件，所以P(A ∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)；4）互斥事件与对立事件的区别与联系，互斥事件是指事件A 与事件B 在一次试验中不会同时发生，其具体包括三种不同的情形：（1）事件A 发生且事件B 不发生；（2）事件A 不发生且事件B 发生；（3）事件A 与事件B 同时不发生，而对立事件是指事件A 与事件B 有且仅有一个发生，其包括两种情形；（1）事件A 发生B 不发生；（2）事件B 发生事件A 不发生，对立事件互斥事件的特殊情形。

2019-2020年高中数学必修三：3-3-1—3-3-2几何概型及均匀随机数的产生 教案一、教学目标：1、 知识与技能：（1）正确理解几何概型的概念；（2）掌握几何概型的概率公式：P （A ）=积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A ； （3）会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型；（4）了解均匀随机数的概念；（5）掌握利用计算器（计算机）产生均匀随机数的方法；（6）会利用均匀随机数解决具体的有关概率的问题．2、 过程与方法：（1）发现法教学，通过师生共同探究，体会数学知识的形成，学会应用数学知识来解决问题，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力；（2）通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯。

3、 情感态度与价值观：本节课的主要特点是随机试验多，学习时养成勤学严谨的学习习惯。

二、重点与难点：1、几何概型的概念、公式及应用；2、利用计算器或计算机产生均匀随机数并运用到概率的实际应用中．三、教学设想：1、创设情境：在概率论发展的早期，人们就已经注意到只考虑那种仅有有限个等可能结果的随机试验是不够的，还必须考虑有无限多个试验结果的情况。

例如一个人到单位的时间可能是8：00至9：00之间的任何一个时刻；往一个方格中投一个石子，石子可能落在方格中的任何一点……这些试验可能出现的结果都是无限多个。

2、基本概念：（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型；（2）几何概型的概率公式：P （A ）=积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A ； （3）几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现的可能性相等．3、 例题分析：课本例题略例1 判下列试验中事件A 发生的概度是古典概型，还是几何概型。