线性代数 13个应用案例 【李尚志】

论线性代数在实际生活的应用【摘要】我们对线性代数的了解大概是，线性代数理论有着悠久的历史和丰富的内容，其理论应用，是研究现代科学技术的重要方法，在众多的科学技术领域中应用都十分广泛。

可我们仅从课本上学到的东西都是经许多先辈们的梳理总结出来的精华。

在此我希望通过讲解线性代数的定义，线性代数的发展历史及其突出贡献，在现实生活的实际应用给我们带来的便捷性阐述我们为什么要学习线性代数，线性代数的学科性质给人来发展做出了怎样的贡献。

【关键词】线性代数；实际生活；应用实例一、什么是线性代数二、为什么要学习线性代数以上这就是数学家给出线性代数的定义，可线线性代数被不少同学称为“天书”，足见这门课给同学们造成的困难，而且很大部分把学生（特别是偏向文科类的高校大学生）认为，高数无用论，线性代数是高数的重要分支，自然成了首要被攻击的对象。

我身边的一位人文社会科学系专业的学生小朱这样说道：“人文社会科学专业注重的应该是学生抽象思维的培养，一味地强调全面发展有时反而会起到负面作用。

文科生学高数，学线性代数，有什么用处呢？就算有用，也往往是在用之前，就被遗忘和荒废了。

”而更有专家指出“就自己的经历来讲，她认为文科生开设高数课毫无益处，尤其是中文系，开设纯理论的数学实在是很荒谬”。

她认为，说要培养数字概念和数学思维，高中学的知识已经足够了，没有必要再在大学开设线性代数这门学科。

我相信大部分人都跟我一样，特别是偏向文科学科的同学都会有这样的疑问——到底有没有必要学习线性代数？到底线性代数在我们现实生活中又有什么意义？对我们人类的发展进步何帮助？让我们带着这样的疑问一起看看下面内容，我相信大家会有一个答案。

三、线性代数的发展历史线性代数的发展历史。

线性代数起源于对二维和三维直角坐标系的研究。

在这里，一个向量是一个有方向的线段，由长度和方向同时表示。

这样向量可以用来表示物理量。

现代线性代数已经扩展到研究任意或无限维空间。

一个维数为 n 的向量空间叫做 n 维空间。

从问题出发引入线性代数概念*李尚志 (北京航空航天大学理学院 北京 100083)线性代数是大学最重要的基础课程之一.它的内容比起另一门最重要的基础课一微积分要少得多,但是还是有很多学生感到线性代数难学,特别是难以入门,其主要原因在于线性代数一开始就从天而降许多抽象的概念,将初学者先打了 一百杀威棒 .在我们通过建设国家精品课程!线性代数∀形成的十五规划教材!线性代数∀(李尚志著,高教出版社,2006)中,为了帮助初学者克服学习抽象概念时所遇到的困难,我们不是从定义出发而是从问题出发来组织课程内容,首先提出一些重要而又能引起学生兴趣的问题,引导学生一步步建立数学模型来描述和解决这些问题,在解决问题的过程中引出概念和方法.本文介绍的是其中两个例子.更多详细的例子请参见我们的教材.一、线性相关与线性无关问题1 试研究线性方程组的解集大小与方程的个数的关系大体上,我们感觉到,方程越多,解集越小.但是,什么叫 方程的个数 ?怎样衡量 解集的大小 ?这并不是一件简单的事情.比如,线性方程组x +y +z =0(1)2x +y +5z =0(2)3x +2y +6z =0(3)(1.1)中有几个方程?这个问题看来很容易:3个方程!但是,容易看出,方程(3)可以由方程(1),(2)相加得到,假如将方程(3)删去,保留其余的两个方程,得到的方程组x +y +z =0(1)2x +y +5z =0(2)(1.1#)与原方程组(1.1)同解.可以认为两个方程组(1.1),(1.1#) 实质上 是相同的.既然方程(3)可以由其余两个方程相加得出来,将它删去不会改变原方程组的解,就可以认为方程(3)是 多余的 ,方程组(1 1)中实质上没有3个方程,只有两个方程.由此看来,要讨论方程组中方程个数与解集大小的关系,首先要对 方程个数 进行 打假 .如果某个方程是其余方程的组合,这个方程就可以认为是 多余的 ,可以从方程组中删去而不改变解集.如果剩下的方程还有多余的,就再删去.不断删去多余的方程,将 打假 进行到底,直到剩下的方程没有一个是多余的,一个都不能少,这时的方程个数可以认为是 货真价实 的.如果一个方程组中有某个方程是其余方程的线性组合,就称这个方程组中的方程线性相关.如果其中每个方程都不是其余方程的线性组合,就称这些方程线性无关.例1 线性方程组6高等数学研究STUD IES I N COLL EGE M ATHEMA T ICS V o.l 9,N o.5Sep .,2006*收稿日期:2006-04-24x +y +z =0(1)2x +y +5z =0(2)x -3y +13z =0(3)(1.2)中的方程是否线性相关?解 将3个方程依次记为u 1,u 2,u 3,看其中是否有某一个方程是其余方程的线性组合.每个方程都可以分别用它们的未知数系数和常数项组成的数组向量来表示.由于这里的方程的常数项全部为0,可以不必考虑,只用未知数系数来表示.这样,3个方程分别表示为u 1=(1,1,1), u 2=(2,1,5), u 3=(1,-3,13)先看是否可以用u 1,u 2组合出u 3,也就是说:是否存在常数 1, 2,使1u 1+ 2u 2=u 3(1.3)即1(1,1,1)+ 2(2,1,5)=(1,-3,13)(1.4)( 1+2 2, 1+ 2, 1+5 2)=(1,-3,13)(1.5) 1+2 2=1(1) 1+ 2=-3(2) 1+5 2=13(3)(1.6)这是以 1, 2为未知数的方程组.解之得 1=-7 2=4.这个答案告诉我们:-7u 1+4u 2=u 3(1.7)就是说:方程组(1.2)中的方程(2)的4倍减去方程(1)的7倍,就得到方程(3).直接计算容易检验确实如此.注意:例1中将向量等式(1.4)写成方程组(1.6)之后,向量u 1=(1,1,1)的3个分量分别成为3个方程中 1的系数,u 2=(2,1,5)的3个分量分别成为3个方程中 2的系数,u 3=(1,-3,13)的3个分量分别成为3个方程的常数项.如果在(1.3)中将u 1,u 2,u 3不写成行向量而写成列向量,就可以由1111+ 2215+1-313 即 1+2 2 1+ 2 1+5 2=1-313直接写出方程组(1.6).例2 在建立了直角坐标系的三维几何空间中,四点O (0,0,0),A (1,1,1),B (2,1,5),C (1,-3,13)是否在同一个平面上?解 O,A,B,C 四点共面 3个几何向量OA =(1,1,1),OB =(2,1,5),OC =(1,-3,13)中有某一个是其余两个的线性组合.由例1知=-7OA +4因此O,A,B,C 四点在同一个平面上.例3 求方程x 2+x +1+2x 2+x +5=x 2-3x +13的实数解.解 令u =x 2+x +1,v =2x 2+x +5,w =x 2-3x +13,则原方程成为u +v =w(1.8)在例1中已经求得-7(1,1,1)+4(2,1,5)=(1,-3,13).可见-7(x 2+x +1)+4(2x 2+x +5)=x 2-3x +137第9卷第5期 李尚志:从问题出发引入线性代数概念即-7u2+4v2=w2(1.9)将(1.8)代入(1.9)得-7u2+4v2=(u+v)2,整理得3v2-2uv-8u2=0.左边因式分解得(v-2u)(3v+4u)=0(1.10)易见当x为实数时,x2+x+1,2x2+x+5都是正实数,因此3u+4v>0.(1.10)仅当v-2u=0即v=2u时成立,即2x2+x+5=2x2+x+1.两边平方并整理得2x2+3x-1=0.易解出x=-3∃32+84=-3∃174.经检验它确实是原方程的解,因此就是原方程的全部实数解.例4 线性方程组x+y+z=02x+y+5z=0x-3y+4z=0(1.11)的3个方程是否线性相关?解 将3个方程分别用数组向量表示:u1=(1,1,1),u2=(2,1,5),u3=(1,-3,4).仿照例1,解方程组 1u1+ 2u2=u3,发现此方程无解.可见u3不是u1,u2的线性组合.再分别解方程组x1u2+x2u3=u1和y1u2+y2u3=u2发现它们都没有解.因此,方程组(1.11)的3个方程中没有一个是其余方程的线性组合,它们线性无关.例2中需要解三个方程组才能得出结论,太繁,也太笨.更好的办法是解一个方程组1u1+ 2u2+ 3u3=0(1.12)就能判断u1,u2,u3是线性相关还是线性无关.如果方程组(1.12)有使 1, 2, 3不全为0的解( 1, 2, 3),设其中 i%0,其余两个分量分别是 j, k,则i u i+ j u j+ k u k=0 u i=- ji u j-ki u ku i是u j,u k的线性组合.反过来,如果u1,u2,u3中有某一个u i是其余两个u j,u k的线性组合:u i=x j u j+x k u k,则u i-x j u j -x k u k=0,可见( 1, 2, 3)=(1,-x j,-x k)是(1 12)的非零解.这说明:如果(1 12)只有唯一的解( 1, 2, 3)=(0,0,0),则u1,u2,u3中每一个向量都不是其余向量的线性组合.例如,对例1中的u1,u2,u3解方程组(1 12),可以得到非零解( 1, 2, 3)=(7,-4,1),即7u1-4u2+u3=0.由此可得u1=47u2-17u3,还可得到u2=74u+14u3及u3=-7u1+4u2,可见u1,u2,u3中每个方程都是其余两个方程的线性组合,而对例4中的u1,u2,u3解方程得到唯一解( 1, 2, 3)=(0,0,0),可见u1,u2,u3线性无关.一般地,对于数域F上的一组n维数组向量u1&,u m,要判断是否有某个向量u i是其余向量的线性组合,只要看是否存在不全为0的数 1,& m使1u1+&+ m u m=0.(1.13)如果存在不全为0的一组数 1,&, m∋F使上述等式(1.13)成立,就称向量组u1,&,u m线性相关.此时其中某个u i是其余向量的线性组合.反之,如果等式(1.13)当且仅当 1=&= m=0时成立,就称向量组u1,&,u m线性无关,此时其中每个向量都不是其余向量的线性组合.线性方程由数组向量表示,如果表示方程组中各方程的数组向量线性相关(无关),也就是说方程组线性相关(无关).(下转第15页)8高等数学研究 2006年9月证 由于li m x (x 0f(x )g (x )-f(x 0)g (x 0)x -x 0=li m x (x 0f (x )g (x )x -x 0=li m x (x 0f (x )x -x 0li m x (x 01g (x )=f )(x 0)A ,故(f (x )g (x )))|x =x 0=f )(x 0)A注 定理5与定理6中的条件若改为f (x )在x 0左(右)可导或g (x )当x (x 0的左(右)极限存在,则结论相应地改为左(右)可导.有了这些定理,就可以对一些函数在特殊点的可导性作出迅速的判断.例如若f (x )=x,g (x )=|x |,则x ∃|x |在x =0不可导,但f (x )g(x )=x |x |=x 2, x ∗0-x 2,x <0在x =0可导,且(f (x )g (x )))|x =0=0.又如若f (x )=x -1,g (x )=a rcsin x,则f (x )∃g (x )=x -1∃arcsin x 在x =1不可导,而f (x )g (x )=(x -1)arcsin x 在x =1左可导,且左导数为 2;同时,f (x )g (x )=x -1arcsin x在x =1的左导数也存在,且为2.利用这些定理,可以判定某些函数在特殊点是否为不可导点,这为求极值,找拐点等问题的解决提供了方便.参考文献[1]同济大学数学教研室 高等数学(第四版) 高等教育出版社,1996[2]华东师范大学数学系 数学分析(第二版) 高等教育出版社,1991(上接第8页)不难看出,以上对线性相关和线性无关的定义并不依赖于其中的向量是数组还是方程还是几何向量还是多项式.只要这些向量能够做加法和数乘运算,而且加法和数乘运算满足我们所熟悉的那些运算律,以上定义就仍然适用,而且我们对线性无关和线性相关的性质的讨论仍然成立.如果线性方程组线性相关,必有某个方程是其余方程的线性组合,这个方程可以认为是多余的,将它从方程组中删去不会改变方程组的解.剩下的方程组如果仍然线性相关,再删去一个多余的方程.重复进行这一过程直到剩下的方程组成的方程组线性无关.最后剩下的这些方程组成的方程组与原方程组同解,其中不再有 多余 方程,所含方程的个数 货真价实 ,可以认为是原方程组的 真正个数 ,称为原方程组的秩.例如,例1中的方程组的3个方程线性相关,其中任何一个方程都是其余方程的线性组合,都可以从原方程组中删去,剩下的两个方程线性无关,组成的方程组可以将原方程组重新组合出来,因而与原方程组同解.可见例1的方程组所含方程的真正个数是2而不是3.也就是说原方程组的秩是2.注意:从例1的方程组可删去任何一个方程得到线性无关方程组,剩下的线性方程组可以由原方程组中任何两个方程组成,并不唯一.但不论剩下的方程组由哪两个方程组成,它包含方程的个数都是2,因此秩是唯一的.一般地,由任意的线性方程组不断删去多余方程最后得到线性无关的方程组的过程并不唯一,经过不同的过程可能得到不同的线性无关方程组,但可以证明其中所含的方程个数是唯一的,也就是说方程组的秩是唯一的.(未完待续)15第9卷第5期 陈玉:函数可导性的几点注记。

学术研讨123线性代数数学建模案例教学研究◊宿迁学院文理学院周克元赵士银本文对线性代数融入数学建模进行分析研究，列举相关数学建模案例，使抽象的线性代数具体化、形象化，训练和培养学生数学建模、分析问题、解决问题的能力。

线性代数主要以线性方程组求解为基础，研究线性空间中线性关系和线性映射，具有较强的抽象性，对于普通应用型院校学生来说理解难度比较大。

很多学生认为线性代数没有任何用处，不想学也不愿学，教师往往感觉是在唱独角戏，久而久之，容易造成恶性循环。

造成这样困境的原因是多方面的，数学知识本身严谨性和逻辑性的特点是一个原因，但更重要的原因是长期以来割裂了数学和其他学科的联系，对线性代数进行孤立的教学，使学生很难认识到它的重要应用价值％线性代数难学的主要原因在于线性代数中有许多从天而降许多抽象的概念，抽象的各种概念和知识点有什么意义什么应用基本没有介绍％传统的线性代数教材偏重于理论推导，而轻实践应用，导致教学内容过于抽象，难于理解，且学生感受不到线性代数理论体系存在％学生难以理解学习各种概念的目的意义，学习线性方程组求解、线性空间、线性映射等知识点有什么作用。

目前一个比较好的解决方法是将数学建模融入线性代数中问，线性代数广泛应用在经济、管理、运筹学、社会学、人口学、遗传学、生物学等领域，在教学中补充讲解线性代数知识在生活工程中的各种应用，让学生理解线性代数各个知识的背景来源，理解学习线性代数在生活工程中的巨大应用，激发学生的学习兴趣，培养学生使用线性代数解决实际问题的能力。

本文介绍一些在实际教学过程中使用的一些数学建模案例。

1行列式应用案例各类线性代数教材旳中，对于行列式的介绍主要为，对于二元三元线性方程组，其解用二阶三阶行列式表示更方便，进而给出n阶行列式的概念、行列式性质、求解方法以及Crammer法则，对于行列式其他应用基本没有介绍。

学生在学习过线性代数后面知识后，认为用逆矩阵或初等变换方法求解线性方程组更方便，对于学习行列式有什么作用产生怀疑。

抽象代数的人间烟火李尚志北京航空航天大学数学与系统科学学院北京, 100191摘要抽象代数课如果只是死记硬背一些自己根本不懂的定义，没有例子，没有计算，不会解决任何问题，这样的抽象代数只能给零分。

抽象代数能不能有既体现数学本质、又引人入胜的例子？本文介绍的就是这样的例子。

关键词：抽象代数，精彩案例某校有一个被保送读研的学生参加我们的面试。

我问她哪门课程学得最好。

答曰“抽象代数”。

不等我问问题，她就开始自问自答，开始背诵群的定义。

我马上制止她，说不要你背定义，只要你举例。

让她举一个非交换群。

举不出来。

举一个有限域，举不出来。

我说：这两个例子举不出来，抽象代数零分! 她大惑不解，说：“抽象代数就是没有例子嘛！”她大概认为我学的是假的抽象代数，她学的真的抽象代数就是死记硬背一些自己根本不懂的定义，没有任何例子，不解决任何问题，也没有任何前因后果。

如果只是少数学生这样认为，可以怪她自己学得不好。

问题的严重性在于：持这样观点的学生不是一两个，也不是10%--20%，我估计：学习抽象代数的大学生中有90%都持这种观点，只不过这个学生将这种观点总结得特别明确、特别精彩而已。

这恐怕就不能怪学生，而应当从教材和教学中找原因了。

现有的抽象代数教材，不是没有例子。

这些例子本来就很精彩。

三等分角的尺规作图，五次方程的求根公式，这是迄今为止一些“民间科学家”还在花费毕生精力苦心钻研的世界“难题”，早就被抽象代数解决了，这还不够精彩吗？密码、编码中的理论和实践，抽象代数大显身手，也够精彩了。

但是，这些精彩问题的解答叙述起来太难，学生不容易懂。

要讲清楚，课时也不够。

只有少数名牌大学的抽象代数课程还稍微讲一些，在其余的学校，就将抽象代数这些精华和灵魂砍掉了，只剩下最容易讲的：让学生死背一些自己也不懂的定义。

考试也不考用知识解决问题，只考背定义。

抽象代数就不是数学课，而是识字课，只要死记硬背就行了。

金庸的武侠小说《射雕英雄传》中的武功秘籍《九阴真经》中有一段用梵文写的话：“努尔七八,哈瓜儿,宁血契卡,混花察察,学根许八涂,米尔米尔。

【精品】线性代数的应用案例
线性代数是数学中研究线性方程和线性变换的一个分支，它的发展极其广泛，应用场
景也非常多，各行各业的许多领域都应用了线性代数的方法。

在工业自动控制领域，线性代数可以用于研究影响工厂设备运行效率的各种参数，比
如温度、湿度等。

通过对矩阵的处理，可以发现某些参数对效率的影响，从而更好地进行
设备的智能优化。

在智能机器人领域，线性代数也可以用于智能机器人的机器人运动控制。

机器人运动
是机器人系统最基本的要素之一，需要依赖多维刚体线性变换理论来实现。

利用矩阵的运算，可以根据机器人的实时情况来计算转换后的坐标，实现机器人的姿态控制和运动控制。

在控制论领域，线性代数也可以用于研究和分析系统性能及稳定性。

可以利用矩阵等
数学工具来分析复杂的系统性能，并得出正确的结论。

此外，线性代数也可以用于数据
挖掘。

利用数学知识和矩阵运算，可以快速筛选大量数据，挖掘出具有学习价值的模型，
从而在机器学习等方面发挥重要作用。

此外，线性代数也应用于市场营销领域。

商家或企业可以利用矩阵运算，根据业绩和
消费者的口碑，筛选出最有竞争力的产品，决定最合理的营销策略，从而将营销成功率提
升到最高水平。

以上就是线性代数的应用案例，可见它的使用范围不仅仅是数学和计算机领域，已经
渗透到多方经济文化活动中，为各行各业提供了应用方法，现代社会发展得到了极大促进。

李尚志线性代数习题答案李尚志线性代数习题答案线性代数是一门重要的数学学科，它在各个领域都有广泛的应用。

而李尚志老师的线性代数习题集，无疑是学习这门学科的重要参考资料。

本文将为大家提供一些李尚志线性代数习题的答案，希望对大家的学习有所帮助。

1. 矩阵的乘法题目：计算以下两个矩阵的乘积。

A = [1 2 3][4 5 6]B = [7 8][9 10][11 12]答案：首先，我们需要确定乘积矩阵的维度。

由于A是一个2x3的矩阵，B是一个3x2的矩阵，所以乘积矩阵的维度应该是2x2。

接下来，我们按照矩阵乘法的定义进行计算。

乘积矩阵C的第一行第一列元素为A的第一行与B的第一列对应元素的乘积之和，即：C[1,1] = (1*7) + (2*9) + (3*11) = 58同理，可以计算出C的其他元素：C[1,2] = (1*8) + (2*10) + (3*12) = 64C[2,1] = (4*7) + (5*9) + (6*11) = 139C[2,2] = (4*8) + (5*10) + (6*12) = 154所以，乘积矩阵C为：[139 154]2. 矩阵的逆题目：求以下矩阵的逆矩阵。

A = [2 1][4 3]答案：要求一个矩阵的逆矩阵，我们需要首先判断该矩阵是否可逆。

一个矩阵可逆的充要条件是其行列式不为零。

计算矩阵A的行列式：det(A) = (2*3) - (1*4) = 2由于行列式不为零，所以矩阵A可逆。

接下来，我们可以使用伴随矩阵法求解逆矩阵。

首先，计算矩阵A的伴随矩阵：adj(A) = [3 -1][-4 2]然后，计算逆矩阵A的每个元素：A^(-1) = (1/det(A)) * adj(A)A^(-1) = (1/2) * [3 -1][-4 2]所以，矩阵A的逆矩阵为：A^(-1) = [3/2 -1/2][-2 1]3. 特征值和特征向量题目：求以下矩阵的特征值和对应的特征向量。

行列式的应用案例1 大学生在饮食方面存在很多问题，多数大学生不重视吃早餐，日常饮食也没有规律，为了身体的健康就需要注意日常饮食中的营养。

大学生每天的配餐中需要摄入一定的蛋白质、脂肪和碳水化合物，下表给出了这三种食物提供的营养以及大学生的正常所需营试根据这个问题建立一个线性方程组，并通过求解方程组来确定每天需要摄入的上述三种食物的量。

解：设123,,x x x 分别为三种食物的摄入量，则由表中的数据可以列出下列方程组12323123365113337 1.1352347445x x x x x x x x ++=⎧⎪+=⎨⎪++=⎩ 利用matlab 可以求得x =0.27722318361443 0.39192086163701 0.23323088049177案例2 一个土建师、一个电气师、一个机械师组成一个技术服务社。

假设在一段时间内，每个人收入1元人民币需要支付给其他两人的服务费用以及每个人的实际收入如下表所示，问这段时间内，每人的总收入是多少？（总收入=实际收入+支付服务费）解：设土建师、电气师、机械师的总收入分别是123,,x x x 元，根据题意，建立方程组1232133120.20.35000.10.47000.30.4600x x x x x x x x x --=⎧⎪--=⎨⎪--=⎩ 利用matlab 可以求得x =1.0e+003 *1.25648414985591 1.44812680115274 1.55619596541787案例3 医院营养师为病人配制的一份菜肴由蔬菜、鱼和肉松组成，这份菜肴需含1200cal 热量，30g 蛋白质和300mg 维生素c ，已知三种食物每100g 中的有关营养的含量如下表，试求所配菜肴中每种食物的数量。

解：设所配菜肴中蔬菜、鱼和肉松的数量分别为123,,x x x 百克，根据题意，建立方程组12312312360300600120039630906030300x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩利用matlab 可以求得x =1.521739130434782.3990.65217391304348矩阵的应用案例1 矩阵概念的引入 （1）线性方程组11112211211222221122n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩的系数(,1,2,,),(1,2,,)i j j a i j n b j n ==按原来的位置构成一数表11121121222212n n n n nnn a a a b aa ab a a a b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦该数表决定着上述方程组是否有解，以及如果有解，解是什么等问题，因而研究这个数表就很重要。

线性代数在现实生活中的应用线性代数在现实生活中的应用1．线性代数与彩票2．线性代数的矩阵图法3．线性代数在MATAL中的使用4．利用线性代数解决密码的编码与解码5．线性代数解决闭合经济问题6．利用线性代数解决世界人口预测问题7．商品市场占有率问题8．动物繁殖规律问题9．线性代数解决城乡流动人口问题10．线性代数求生产总值问题概述：近几十年来，随着科学技术的发展，特别是计算机技术的发展，数学的应用领域已由传统的物理领域（包括力学，电子等学科以及土木，机电等工程技术）迅速扩展到非物理领域（人口，经济，金融，生物，医学等），数学在发展高科技，提高生产力水平和实现现代化管理等方面的作用越来越明显，这就要求我们如何将实际问题经过分析，简化，转化为一个数学问题，然后用一个适当的数学方法来解决。

线性代数是一个数学分支，是代数的一个重要学科，线性代数研究最多的就是矩阵，矩阵就是一个数表，而这个数表可以进行变换，以形成新的数表。

也就是说如果抽象出某种变化规律，就可以用代数的理论对研究的数表进行变换，并得到想要的一些结论。

因此，矩阵的应用日趋广泛，我们小组今天将会想各位介绍一小部分线性代数在现实生活中的应用，我们将通过一些典型案例来进行分析，使大家对线性代数有更深刻的了解。

1．线性代数与彩票旋转矩阵（Rotation matrix）是在乘以一个向量的时候有改变向量的方向但不改变大小的效果的矩阵。

旋转矩阵不包括反演，它可以把右手坐标系改变成左手坐标系或反之。

所有旋转加上反演形成了正交矩阵的集合。

旋转矩阵是世界上著名的彩票专家、澳大利亚数学家底特罗夫研究的，它可以帮助您锁定喜爱的号码，提高中奖的机会。

首先您要先选一些号码，然后，运用某一种旋转矩阵，将你挑选的数字填入相应位置。

如果您选择的数字中有一些与开奖号码一样，您将一定会中一定奖级的奖。

当然运用这种旋转矩阵，可以最小的成本获得最大的收益，且远远小于复式投注的成本。

旋转矩阵的原理在数学上涉及到的是一种组合设计：覆盖设计。