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案例一不同人员需要水果的数量以及不同城镇不同人员的数目的矩苹果 橘子 梨 人员 A 5 10 3 人员 B 4 5 5第一个矩阵为A ，第二个矩阵为 B,而第三个矩阵为 C 。
（1） 求出一个矩阵，它能给出在每个商店每个人购买水果的费用是多少？（2） 求出一个矩阵，它能确定在每个城镇每种水果的购买量是多少？ 解：（1）设该矩阵为 D ，则 D=BA ，即：5 10 3 0.10 0.15D0.15 0.204 5 50.10 0.10此结果说明， 人员 A 在商店 A 购买水果的费用为 2.30 3.05 1.65 2.102.30，人员 A 在商店 B 购买水果的费用为3.50，人员 B 在商店 A 购买水果的费用为 1.65，人员 B 在商店 B 购买水果的费用为 2.10。
（2）设该矩阵为E,则E=CB ，即：1000 500 5 10 3 E2000 1000 4 5 5 7000 12500 5500 14000 25000 11000此结果说明， 城镇 1苹果的购买量为 7000，城镇 1橘子的购买量为 12500，城镇 1 梨的购买 量为 5500；城镇 2 苹果的购买量为 14000，城镇 2 橘子的购买量为 25000，城镇 2 梨的购买 量为 11000。
题后说明：这是一个矩阵的具体应用问题。
其实很显然在没有矩阵的知识前， 我们也可以解出这一简单 的问题。
此题的一般提法是：现有两个城镇（城镇1 和城镇 2）；城镇 1 中有人员 A （ 1000 人）和人员B （500人）,城镇2中有人员A （2000人）和人员B （1000人）；人员A 需苹果、橘子 和梨分别 5、10和 3，而人员 B 需苹果、橘子和梨分别 4、5和 5；现不妨假设每个城镇中 都有两个商店（商店 A 和商店B ），每个商店内的苹果、橘子和梨的价格均不相同。
商店 A中苹果、橘子和梨的价格分别为每斤 0.10、 0.15 和 0.10，而商店 B 中苹果、橘子和梨的价 格分别为 0.15、 0.20、 0.10。
线性代数应用案例线性代数是数学中的一个重要分支，它研究向量空间和线性映射的理论。
线性代数的应用非常广泛，涉及到物理学、工程学、计算机科学等多个领域。
本文将介绍线性代数在实际应用中的一些案例，以帮助读者更好地理解和应用线性代数知识。
1. 机器学习中的特征空间转换。
在机器学习领域，特征空间转换是一种常见的数据预处理方法。
通过线性代数中的矩阵运算，可以将原始的高维特征空间转换为新的低维特征空间，从而实现对数据的降维处理。
这种方法不仅可以减少数据的维度，还可以保留数据的主要特征，提高机器学习模型的训练效果。
2. 图像处理中的矩阵变换。
在图像处理领域，矩阵变换是一种常用的技术。
通过线性代数中矩阵的旋转、缩放、平移等运算，可以实现对图像的各种变换操作，如图像的旋转、放大缩小、平移等。
这些操作可以帮助我们实现图像的处理和增强，提高图像的质量和美观度。
3. 电路分析中的矩阵方程。
在电路分析中，线性代数的矩阵方程是一种常用的建模和求解方法。
通过建立电路元件的电压电流关系，并转化为矩阵方程组，可以利用线性代数的方法求解电路中各个节点的电压和电流。
这种方法不仅简化了电路分析的复杂度，还可以有效地分析和设计各种复杂电路。
4. 控制系统中的状态空间模型。
在控制系统领域，线性代数的状态空间模型是一种常用的描述和分析方法。
通过线性代数的矩阵运算，可以将控制系统的动态方程转化为状态空间模型，从而实现对控制系统的建模和分析。
这种方法不仅可以方便地进行系统的稳定性和性能分析，还可以实现对控制系统的设计和优化。
5. 金融工程中的投资组合优化。
在金融工程领域，线性代数的投资组合优化是一种常见的方法。
通过建立投资组合的收益和风险之间的线性关系，并利用线性代数的优化方法，可以实现对投资组合的优化配置。
这种方法不仅可以帮助投资者实现收益和风险的平衡，还可以提高投资组合的收益率和稳定性。
总结。
线性代数作为一门重要的数学学科，其在实际应用中发挥着重要的作用。
已知不同商店三种水果的价格、D 「10|(4 5迅10卫.10.152.303.050.20 =」1.652.100.10 」 -此结果说明，人员A 在商店A 购买水果的费用为 2.30，人员A 在商店B 购买水果的费用为3.50，人员B 在商店A 购买水果的费用为 此结果说明，城镇案例一不同人员需要水果的数量以及不同城镇不同人员的数目的矩阵:商店A 商店B苹果- 0.10 0.15] 橘子 0.15 0.20梨' 0.10 0.10一苹果橘子梨人员A 5 10 3 人员B ||45 5人员A 人员B城镇 1 1000 500 城镇 2 1(2000 1000第一个矩阵为A ，第二个矩阵为 B ,而第三个矩阵为 C 。
(1) 求出一个矩阵，它能给出在每个商店每个人购买水果的费用是多少?(2) 求出一个矩阵，它能确定在每个城镇每种水果的购买量是多少？解：(1 )设该矩阵为D ，则D=BA ，即:1.65，人员B 在商店B 购买水果的费用为2.10。
(2)设该矩阵为E ，贝U E=CB ，即:1000 500 5 10 3七000 1000_|〔4 5 5- 7000 12500 5500 *4000 25000 11000一1苹果的购买量为7000，城镇1橘子的购买量为12500，城镇1梨的购 买量为5500 ;城镇2苹果的购买量为14000，城镇2橘子的购买量为 25000，城镇2梨的 购买量为11000。
题后说明：这是一个矩阵的具体应用问题。
其实很显然在没有矩阵的知识前，我们也可以解出这一简单的问题。
此题的一般提法是：现有两个城镇（城镇1和城镇2）;城镇1中有人员A（1000人）和人员B（500人），城镇2中有人员A（2000人）和人员B（1000人）；人员A需苹果、橘子和梨分别5、10和3，而人员B需苹果、橘子和梨分别4、5和5;现不妨假设每个城镇中都有两个商店（商店A和商店B），每个商店内的苹果、橘子和梨的价格均不相同。
线性代数在数学建模中的应用举例1 基因间“距离”的表示在ABO 血型的人们中，对各种群体的基因的频率进行了研究。
如果我们把四种等位基因A 1，A 2，B ，O 区别开，有人报道了如下的相对频率，见表1.1。
表1.1基因的相对频率问题 一个群体与另一群体的接近程度如何？换句话说，就是要一个表示基因的“距离”的合宜的量度。
解 有人提出一种利用向量代数的方法。
首先，我们用单位向量来表示每一个群体。
为此目的，我们取每一种频率的平方根，记ki ki f x =.由于对这四种群体的每一种有141=∑=i ki f ，所以我们得到∑==4121i kix .这意味着下列四个向量的每个都是单位向量.记.44434241,34333231,24232221,141312114321⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=x x x x a x x x x a x x x x a x x x x a在四维空间中，这些向量的顶端都位于一个半径为1的球面上. 现在用两个向量间的夹角来表示两个对应的群体间的“距离”似乎是合理的.如果我们把a 1和a 2之间的夹角记为θ，那么由于| a 1|=| a 2|=1，再由内只公式，得21cos a a ⋅=θ而故 9187.0cos 21=⋅=a a θ 得 2.23=θ°. 按同样的方式，我们可以得到表1.2.表1.2基因间的“距离”由表1.2可见，最小的基因“距离”是班图人和英国人之间的“距离”，而爱斯基摩人和班图人之间的基因“距离”最大.2 Euler 的四面体问题问题 如何用四面体的六条棱长去表示它的体积？这个问题是由Euler （欧拉）提出的.解 建立如图2.1所示坐标系，设A ，B ，C 三点的坐标分别为（a 1,b 1,c 1）,( a 2,b 2,c 2)和（a 3,b 3,c 3），并设四面体O-ABC 的六条棱长分别为.,,,,,r q p n m l 由立体几何知道，该四面体的体积V 等于以向量→→→OC OB OA ,,组成右手系时，以它们为棱的平行六面体的体积V 6的16.而于是得 .6333222111c b a c b a c b a V = 将上式平方，得根据向量的数量积的坐标表示，有于是362OC OC OB OC OB OBOB OBOA OB OA OAV ⋅⋅⋅= （2.1）由余弦定理，可行 同理将以上各式代入（2.1）式，得.222222362222222222222222222222r l r p m r p l r p p n q p m r p n q p pV -+-+-+-+-+-+=（2.2）这就是Euler 的四面体体积公式.例 一块形状为四面体的花岗岩巨石，量得六条棱长分别为l =10m, m =15m, n =12m, p =14m, q =13m, r =11m.则代入（2.1）式，得 于是即花岗岩巨石的体积约为195m 3.古埃及的金字塔形状为四面体，因而可通过测量其六条棱长去计算金字塔的体积.3 动物数量的按年龄段预测问题问题 某农场饲养的某种动物所能达到的最大年龄为15岁，将其分成三个年龄组：第一组，0～5岁；第二组，6～10岁；第三组，11～15岁.动物从第二年龄组起开始繁殖后代，经过长期统计，第二组和第三组的繁殖率分别为4和3.第一年龄和第二年龄组的动物能顺利进入下一个年龄组的存活率分别为12 和14 .假设农场现有三个年龄段的动物各100头，问15年后农场三个年龄段的动物各有多少头？问题分析与建模 因年龄分组为5岁一段，故将时间周期也取为5年.15年后就经过了3个时间周期.设)(k i x 表示第k 个时间周期的第i 组年龄阶段动物的数量（k =1，2，3；i =1，2，3）.因为某一时间周期第二年龄组和第三年龄组动物的数量是由上一时间周期上一年龄组存活下来动物的数量，所以有又因为某一时间周期，第一年龄组动物的数量是由于一时间周期各年龄组出生的动物的数量，所以有于是我们得到递推关系式： 用矩阵表示 则 其中 则有结果分析 15年后，农场饲养的动物总数将达到16625头，其中0～5岁的有14375头，占86.47%，6～10岁的有1375头，占8.27%，11～15岁的有875头，占 5.226%.15年间，动物总增长16625-3000=13625头，总增长率为13625/3000=454.16%.注 要知道很多年以后的情况，可通过研究式)0()1()(x L Lx x k k k ==-中当趋于无穷大时的极限状况得到.关于年龄分布的人口预测模型 我们将人口按相同的年限（比如5年）分成若干年龄组，同时假设各年龄段的田、女人口分布相同，这样就可以通过只考虑女性人口来简化模型.人口发展随时间变化，一个时间周期的幅度使之对应于基本年龄组间距（如先例的5年），令)(k i x 是在时间周期k 时第i 个年龄组的（女性）人口，i =1,2,…,n .用1表示最低年龄组，用n 表示最高年龄组，这意味着不考虑更大年龄组人口的变化.假如排除死亡的情形，那么在一个周期内第i 个年龄组的成员将全部转移到i +1个年龄组.但是，实际上必须考虑到死亡率，因此这一转移过程可由一存活系数所衰减. 于是，这一转移过程可由下述议程简单地描述：其中i b 是在第i 个年龄组在一个周期的存活率，因子i b 可由统计资料确定.惟一不能由上述议程确定的年龄组是,)(1k x 其中的成员是在后面的周期内出生的，他们是后面的周期内成员的后代，因此这个年龄组的成员取决于后面的周期内各组的出生率及其人数.于是有方程,)1(122)1(11)(1---+++=k n n k k k x a x a x a x Λ （3.1）这里),,2,1(n i a i Λ=是第i 个年龄组的出生率，它是由每时间周期内，第i 个年龄组的每一个成员的女性后代的人数来表示的，通常可由统计资料来确定.于是我们得到了单性别分组的人口模型，用矩阵表示便是 或者简写成.)1()(-=k k Lx x （3.2）矩阵称为Leslie 矩阵.由（3.2）式递推可得 这就是Leslie 模型.4 企业投入产生分析模型问题 某地区有三个重要产业，一个煤矿、一个发电厂和一条地方铁路.开采一元钱的煤，煤矿要支付0.25元的电费及0.25元的运输费.生产一元钱的电力，发电厂要支付0.65元的煤费，0.05元的电费及0.05元的运输费.创收一元钱的运输费,铁路要支付0.55元的煤费及0.10元的电费.在某一周内，煤矿接到外地金额为50000元的定货，发电厂接到外地金额为25000元的定货，外界对地方铁路没有需求.问三个企业在这一周内总产值多少才能满足自身及外界的需求？数学模型 设x 1为煤矿本周内的总产值，x 2为电厂本周的总产值，x 3为铁路本周内的总产值，则⎪⎩⎪⎨⎧=⨯++-=++-=++⨯-,0)005.025.0(,25000)10.005.025.0(,50000)55.065.00(321332123211x x x x x x x x x x x x （4.1） 即 即矩阵A 称为直接消耗矩阵，X 称为产出向量，Y 称为需求向量，则方程组（4.1）为即Y X A E =-)(， （4.2）其中矩阵E 为单位矩阵，（E-A ）称为列昂杰夫矩阵，列昂杰夫矩阵为非奇异矩阵.投入产出分析表 设,00000,)(3211⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=--=-x x x A C E A E B D=（1，1，1）C.矩阵B 称为完全消耗矩阵，它与矩阵A 一起在各个部门之间的投入产生中起平衡作用.矩阵C 可以称为投入产出矩阵，它的元素表示煤矿、电厂、铁路之间的投入产出关系.向量D 称为总投入向量，它的元素是矩阵C 的对应列元素之和，分别表示煤矿、电厂、铁路得到的总投入.由矩阵C ，向量Y ，X 和D ，可得投入产出分析表4.1.表4.1 投入产出分析表 单位：元 煤矿电厂铁路外界需求总产出煤矿 11c 12c 13c1y 1x电厂 21c 22c 23c 2y 2x 铁路 31c32c33c3y3x总投入1d 2d 3d计算求解 按（4.2）式解方程组可得产出向量X ，于是可计算矩阵C 和向量D ，计算结果如表4.2.表4.2 投入产出计算结果 单位：元煤矿 电厂 铁路 外界需求 总产出 煤矿 0 36505.96 15581.51 50000 102087.48 电厂 25521.87 2808.15 2833.00 25000 56163.02 铁路 25521.87 2808.15 0 0 28330.02总投入51043.7442122.2718414.525 交通流量的计算模型问题 图5.1给出了某城市部分单行街道的交通流量（每小时过车数）. 假设：（1）全部流入网络的流量等于全部流出网络的流量；（2）全部流入一个节点的流量等于全部流出此节点的流量.试建立数学模型确定该交通网络未知部分的具体流量.建模与计算 由网络流量假设，所给问题满足如下线方程组： 系数矩阵为增广矩阵阶梯形最简形式为 其对应的齐次方程组为取（x 5,x 8）为自由取值未知量，分别赋两组值为（1,0），（0,1），得齐次方程组基础解系中两个解向量其对应的非齐次方程组为赋值给自由未知量（x 5,x 8）为（0,0）得非齐次方程组的特解于是方程组的通解,*2211x k k x ++=ηη其中k 1，k 2为任意常数，x 的每一个分量即为交通网络未知部分的具体流量，它有无穷多解.6 小行星的轨道模型问题 一天文学家要确定一颗小行星绕太阳运行的轨道，他在轨道平面内建立以太阳为原点的直角坐标系，在两坐标轴上取天文测量单位（一天文单位为地球到太阳的平均距离：1.4959787×1011m ）.在5个不同的时间对小行星作了5次观察，测得轨道上5个点的坐标数据如表6.1.表6.1 坐标数据由Kepler （开普勒）第一定律知，小行星轨道为一椭圆.现需要建立椭圆的方程以供研究（注：椭圆的一般方程可表示为问题分析与建立模型 天文学家确定小行星运动的轨道时，他的依据是轨道上五个点的坐标数据：（x 1, y 1）, （x 2, y 2）, （x 3, y 3）, （x 4, y 4）, （x 5, y 5）.由Kepler 第一定律知，小行星轨道为一椭圆.而椭圆属于二次曲线，二次曲线的一般方程为012225423221=+++++y a x a y a xy a x a .为了确定方程中的五个待定系数，将五个点的坐标分别代入上面的方程，得这是一个包含五个未知数的线性方程组，写成矩阵求解这一线性方程组，所得的是一个二次曲线方程.为了知道小行星轨道的一些参数,还必须将二次曲线方程化为椭圆的标准方程形式:由于太阳的位置是小行星轨道的一个焦点,这时可以根据椭圆的长半轴a 和短半轴b 计算出小行星的近日点和远日点距离,以及椭圆周长L .根据二次曲线理论,可得椭圆经过旋转和平移两种变换后的方程如下: 所以,椭圆长半轴:C D a 1λ=;椭圆短半轴: CDb 2λ=;椭圆半焦矩:22b ac -=.计算求解 首先由五个点的坐标数据形成线性方程组的系数矩阵 使用计算机可求得 从而C C ,3081.0=的特征值.0005.1,3080.021==λλ于是,椭圆长半轴1834.19=a ,短半轴9045.5=b ,半焦距2521.18=c .小行星近日点距和远日点距为.4355.37,039313=+==-=c a H c a h 最后,椭圆的周长的准确计算要用到椭圆积分,可以考虑用数值积分解决问题,其近似 值为84.7887.7 人口迁移的动态分析问题 对城乡人口流动作年度调查,发现有一个稳定的朝向城镇流动的趋势:每年农村居民的2.5%移居城镇,而城镇居民的1%迁出.现在总人口的60%位于城镇.假如城乡总人口保持不变,并且人口流动的这种趋势继续下去,那么一年以后住在城镇人口所占比例是多少?两年以后呢?十年以后呢?最终呢?解 设开始时,令乡村人口为,0y 城镇人口为,0z 一年以后有乡村人口,10011000975100y z y =+ 城镇人口 ,10099100025100z z y =+或写成矩阵形式 两年以后,有 十年以后,有事实上,它给出了一个差分方程:k k Au u =+1.我们现在来解这个差分方程.首先k 年之后的分布(将A 对角化):这就是我们所要的解,而且容易看出经过很长一个时期以后这个解会达到一个极限状态总人口仍是00z y +,与开始时一样,但在此极限中人口的75在城镇,而72在乡村.无论初始分布是什么样,这总是成立的.值得注意这个稳定状态正是A 的属于特征值1的特征向量.上述例子有一些很好的性质:人口总数保持不变,而且乡村和城镇的人口数决不能为负.前一性质反映在下面事实中:矩阵每一列加起来为1;每个人都被计算在内,而没有人被重复或丢失.后一性质则反映在下面事实中:矩阵没有负元素;同样地0y 和0z 也是非负的,从而1y 和21,y z 和2z 等等也是这样.8 常染色体遗传模型为了揭示生命的奥秘,遗传学的研究已引起了人们的广泛兴趣.动植物在产生下一代的过程中,总是将自己的特征遗传给下一代,从而完成一种“生命的延续”.在常染色体遗传中,后代从每个亲体的基因对中各继承一个基因,形成自己的基因对.人类眼睛颜色即是通过常染色体控制的,其特征遗传由两个基因A 和a 控制.基因对是AA 和Aa 的人,眼睛是棕色,基因对是aa 的人,眼睛为蓝色.由于AA 和Aa 都表示了同一外部特征,或认为基因A 支配a ,也可认为基因a 对于基因A 来说是隐性的(或称A 为显性基因,a 为隐性基因).下面我们选取一个常染色体遗传——植物后代问题进行讨论.某植物园中植物的基因型为AA ,Aa ,aa .人们计划用AA 型植物与每种基因型植物相结合的方案培育植物后代.经过若干年后,这种植物后代的三种基因型分布将出现什么情形?我们假设),2,2,0(,,K =n c b a n n n 分别代表第n 代植物中,基因型为AA ,Aa 和aa 的植物占植物总数的百分率,令),,()('=n n n n c b a x为第n 代植物的基因分布, ),,(000)0('=c b a x 表示植物基因型的初始分布,显然,我们有.1000=++c b a (8.1)先考虑第n 代中的AA 型，第1-n 代AA 型与AA 型相结合，后代全部是AA 型；第1-n 代的Aa 型与和与AA 相结合，后代是AA 型的可能性为21；1-n 代的aa 型与AA 型相结合，后代不可能是AA 型。
线性代数应用实例求插值多项式右表给出函数f(t)上4个点的值，试求三次插值多项式p(t) a 0 a-|t a 2t 2 a 3t 3 ,并求f (1.5)的近似值。
角军：令三次多项式函数 p(t) a 0 a 1t a 2t 2表中已知的4点，可以得到四元线性方程组：a 。
3 a o a 1 a 2 a 3 0 a o2a 1 4a 2 8a 3 1 a o3a 19a 227a 36对于四元方程组，笔算就很费事了。
应该用计算机求解了，键入:2 32,a 3 1，三次多项函数为 p(t) 3 2t2t t ,故f(1.5)近似等于 p(1.5) 3 2(1.5) 2(1.5)2 (1.5)31.125。
在一般情况下，当给出函数f(t)在n+1个点t i (i 1,2,卅，n 1)上的值f(tj 时，就可以用n 次多项式p(t) a 。
a 1t a ?t 2卅 a n t n对f (t)进行插值。
在数字信号处理中的应用——数字滤波器系统函数数字滤波器的网络结构图实际上也是一种信号流图。
它的特点在于所有的相加节点都 限定为双输入相加器；另外，数字滤波器器件有一个迟延一个节拍的运算，它也是一个线 性算子，它的标注符号为z 1o 根据这样的结 构图，也可以用类似于例 7.4的方法，求它的输入输出之间的传递函数，在数字信号处 理中称为系统函数。
图1表示了某个数字滤波器的结构图， 现在要求出它的系统函数，即输出 y 与输入 u 之比。
先在它的三个中间节点上标注信号 的名称x1,x2,x3，以便对每个节点列写方程。
t i0 1 2 3 f(t i )3-16得到x = 1 0 0 0 30 10 -20 0 1 0 -20 0 0 1 1 um ---2X 1y-i ---- 11 -- 1—z 1■ V1/4J 1 1/4■* x 2二―]X3z 1,.3/8图1某数字滤波器结构图>>A=[1,0,0,0;1,1,1,1;1,2,4,8;1,3,9,27], b=[3;0;-1;6], s=rref([A,b]) 得到 a 0 3,a 12, a 2描述n 阶线性时不变(LTI )连续系统的微分方程为d n yd n 1ydy」d mu」du 」an ，an 1 y b1 mbmbm 1u，a1 n a 2dt dtdt dt dty 及其各阶导数的初始值为 y (0)，y ⑴(0)，…，y (n -1)(0)，求系统的零输入响应。
