1、描绘出下列流速场解:流线方程: y x u dy u dx=(a)4=x u ,3=y u ,代入流线方程,积分:c x y +=43直线族(b)4=x u ,x u y 3=,代入流线方程,积分:c x y +=283抛物线族(c)y u x 4=,0=y u ,代入流线方程,积分:c y =直线族(d)y u x 4=,3=y u ,代入流线方程,积分:c y x +=232抛物线族(e)y u x 4=,x u y 3-=,代入流线方程,积分:c y x =+2243椭圆族(f)y u x 4=,x u y 4=,代入流线方程,积分:c y x =-22双曲线族(g)y u x 4=,x u y 4-=,代入流线方程,积分:c y x =+22同心圆(h)4=x u ,0=y u ,代入流线方程,积分:c y =直线族(i)4=x u ,x u y 4-=,代入流线方程,积分:c x y +-=22抛物线族(j)x u x 4=,0=y u ,代入流线方程,积分:c y =直线族(k)xy u x 4=,0=y u ,代入流线方程,积分:c y =直线族 (l)r c u r =,0=θu ,由换算公式:θθθsin cos u u u r x -=,θθθcos sin u u u r y +=220y x cx r x r cu x +=-=,220y x cyr y r c u y +=+=代入流线方程积分:c y x=直线族(m)0=r u ,r c u =θ,220y x cy r y r c u x +-=-=,220y x cx r x r c u y +=+= 代入流线方程积分:c y x =+22同心圆2、在上题流速场中,哪些流动就是无旋流动,哪些流动就是有旋流动。
如果就是有旋流动,它的旋转角速度的表达式就是什么？解:无旋流有:x u y u y x ∂∂=∂∂(或rr u u r ∂∂=∂∂θθ) (a),(f),(h),(j),(l),(m)为无旋流动,其余的为有旋流动对有旋流动,旋转角速度:)(21yu x u x y ∂∂-∂∂=ω (b)23=ω (c)2-=ω (d)2-=ω (e)27-=ω (g)4-=ω (i)2-=ω (k)x 2-=ω3、在上题流速场中,求出各有势流动的流函数与势函数。
解:势函数⎰+=dy u dx u y x ϕ流函数⎰-=dx u dy u y x ψ(a)⎰+=+=y x dy dx 3434ϕy x dx dy 4334+-=-=⎰ψ(积分;路径可以选择)(d)积分路径可以选0,0:0,0,0==→y dy xx x dx y x x ==→,0:,0,x y dx ydy dx ydy 3234342-=-=-=⎰⎰⎰ψ(e)⎰⎰⎰⎰-+=-+=yy x x xdy dx y xdy ydx 0034340ϕ 取),(00y x 为)0,0(则积分路线可选其中0,0:0,0,0==→y dy xx x dx y x x ==→,0:,0,2223234x y xdx ydy +=--=⎰⎰ψ (g)积分路径可以选0,0:0,0,0==→y dy xx x dx y x x ==→,0:,0,2222)4(4x y dx x ydy +=--=⎰ψ (L)积分路径可以选0,0:0,0,0==→y dy xx x dx y x x ==→,0:,0,其中均可以用上图作为积分路径图4、流速场为r cu u a r ==θ,0)(,r u u b r 2,0)(ωθ==时,求半径为1r 与2r 的两流线间流量的表达式。
解:ψd dQ = ⎰⎰-=dr u rd u r θθψ⎰-=-=r c dr r ca ln )(ψ∴211212ln )ln (ln r r c r c r c Q =---=-=ψψ⎰-=-=2)(222r rdr b ωωψ∴)(22221212r r Q -=-=ωψψ5、流速场的流函数就是323y y x -=ψ。
它就是否就是无旋流动？如果不就是,计算它的旋转角速度。
证明任一点的流速只取决于它对原点的距离。
绘流线2=ψ。
解:xy x 6=∂∂ψ y x622=∂∂ψ 2233y x y-=∂∂ψ y y 622-=∂∂ψ ∴+∂∂22x ψ022=∂∂y ψ 就是无旋流 2233y x y u x -=∂∂=ψ xy xu y 6-=∂∂-=ψ ∴222223)(3r y x u u u y x =+=+= 即任一点的流速只取决于它对原点的距离流线2=ψ即2332=-y y x用描点法:2)3(22=-y x y(图略)6、确定半无限物体的轮廓线,需要哪些量来决定流函数。
要改变物体的宽度,需要变动哪些量。
以某一水平流动设计的绕流流速场,当水平流动的流速变化时,流函数就是否变化？解:需要水平流速0v ,半无限物体的迎来流方向的截面A,由这两个参数可得流量A v Q 0=。
改变物体宽度,就改变了流量。
当水平流速变化时,ψ也变化 xy arctg Q y v πψ20+= 7、确定朗金椭圆的轮廓线主要取决于哪些量？试根据指定长度m l 2=,指定宽度m b 5.0=,设计朗金椭圆的轮廓线。
解:需要水平流速0v ,一对强度相等的源与汇的位置a ±以及流量Q 。
)(20ax y arctg a x y arctg Q y v --++=πψ驻点在2,0l x y ±==处,由5.0,2==b l 得椭圆轮廓方程:1)25.0(1222=+y x 即:11622=+y x8、确定绕圆柱流场的轮廓线,主要取决于哪些量？已知m R 2=,求流函数与势函数。
解:需要流速0v ,柱体半径R θψsin )(20rR r v -= ∵2=R ∴θψsin )4(0rr v -= θϕcos )(20rR r v += ∵2=R ∴θϕcos )(20rR r v += 9、等强度的两源流,位于距原点为a 的x 轴上,求流函数。
并确定驻点位置。
如果此流速场与流函数为vy =ψ的流速场相叠加,绘出流线,并确定驻点位置。
解:叠加前)(2ax y arctg a x y arctg Q -++=πψ ))()((22222a x y a x a x y a x Q y u x -+-++++=∂∂=πψ ))()((22222a x y y a x y y Q x u y -++++=∂∂-=πψ 当0=x )(22a y Qy u y +=π 0=x u 0=y )11(2ax a x Q u x -++=π 0=y u ∴驻点位置)0,0( 叠加后)(2ax y arctg a x y arctg Q vy -+++=πψ 流速为零的条件:0)(2)(20=-+++=∂∂==a x Q a x Q v y u y x ππψ解得:⎥⎦⎤⎢⎣⎡+±-=22)2(21v a Q Q v x ππ 即驻点坐标:⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--0,)2(2122v a Q Q v ππ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-0,)2(2122v a Q Q v ππ 10、强度同为s m /602的源流与汇流位于x 轴,各距原点为m a 3=。
计算坐标原点的流速。
计算通过)4,0(点的流线的流函数值,并求该点流速。
解:)(2ax y arctg a x y arctg Q --+=πψ s m a x a x y a x a x y Q y u a Q y x /37.61111112223,60,0=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+⎪⎭⎫ ⎝⎛++=∂∂====πψ 0=y u)4,0(的流函数:34)3434(2arctg Q arctg arctg Q ππψ=--= s m a x a x y a x a x y Q y u a y x Q x /25180)1)(111)(11(2223,4,0,60ππψ=-++-+++=∂∂===== 0=y u11、为了在)5,0(点产生10的速度,在坐标原点应加强度多大的偶极矩？过此点的流函数值为何？ 解:202R v M π=将5,100==R v 代入得:π500=MrM πθψ2sin -= 将5,1sin ,500====R r M θπ代入得:50-=ψ 12、强度为s m /2.02的源流与强度为s m /12的环流均位于坐标原点,求流函数与势函数,求)5.0,1(m m 的速度分量。
解:r Q ln 22πΓπθψ+=,θπΓπϕ2ln 2+=r Q ,rQ u r π2= 将225.01,2.0+==r Q 代入得:s m u r /0284.0=ru πΓθ2-= 将225.01,1+==r Γ代入得:s m u /142.0-=θ1、弦长为3m 的飞机机翼以300km/h 的速度,在温度为20℃,压强为1at (n )的静止空气中飞行,用比例为20的模型在风洞中作试验,要求实现动力相似。
(a) 如果风洞中空气温度、压强与飞行中的相同,风洞中的空气速度应该怎样？(b) 如果在可变密度的风洞中作实验,温度为20℃, 压强为30at(n), 则速度为多少？(c) 如果模型在水中作实验,水温20℃,则速度为多少？解:雷诺准数相等 (a)=υnn L v υmm L v=m v n v mn L L =300⨯20=6000km/h 不可能达到此速度,所以要改变实验条件(b) ∵等温c P =ρ,μ不变,μμρυpvl vl vl →==Re 得n m v v =m n L L m n P P =300⨯20⨯301=200km/h (c)由气υn n L v =水υmm L v 得m n n m L L v v 水气υυ==300⨯20×7.15007.1=384km/h 2、长1、5m,宽0、3m 的平板在20℃的水内拖曳,当速度为3m/s 时,阻力为14N,计算相似板的尺寸,它的速度为18m/s,绝对压强101、4kN/m 2,温度15℃的空气气流中形成动力相似条件,它的阻力为多少？解:由雷诺准数相等:222111υυL v L v =⇒水υλl 3=υ18⇒l λ=0、4 且v l λλλυ=m L =lnL λ=4051..=3、75m (长) m L =l n L λ=4.03.0=0、75m (宽) F mF λ=14=226.12.998)2.15007.1(2222==ρυρλλλλλl v 解得:N F m 92.3=3、当水温为20℃、平均速度为4、5m/s 时,直径为0、3m 水平管线某段的压强降为68、95kN/m 2,如果用比例为6的模型管线,以空气作为工作流体,当平均速度为30m/s 时,要求在相应段 产生55、2kN/m 2的压强降。
