北师大版九年级上册数学[正方形(基础)重点题型巩固练习]

北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形3.正方形的性质与判定正方形的判定专题练习题1．下列说法不正确的是()A．一组邻边相等的矩形是正方形B．对角线相等的菱形是正方形C．对角线互相垂直的矩形是正方形D．有一个角是直角的平行四边形是正方形2．在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是() A．AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD B．AD∥BC，∠A＝∠CC．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD D．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC3. 已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC ⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是()A．选①②B．选②③C．选①③D．选②④4．如图，只要把一张矩形纸片的一个角沿折痕AE翻折上去，使AB和AD边上的AF重合，则四边形ABEF就是一个正方形，判断的依据是____________________________．5．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，对角线AC与BD相交于点O，若不增加任何字母与辅助线，要使得四边形ABCD是正方形，则还需增加的一个条件是__________________．6．黑板上画有一个图形，学生甲说它是多边形，学生乙说它是平行四边形，学生丙说它是菱形，学生丁说它是矩形，老师说这四位同学的答案都正确，则黑板上画的图形是__________．7．对角线________的菱形是正方形，对角线________的矩形是正方形，对角线________________的平行四边形是正方形，对角线的四边形是正方形．8．已知：如图，△ABC中，∠ABC＝90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF ⊥BC于点F.求证：四边形DEBF是正方形．9．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE.(1)求证：四边形ADCF是平行四边形；(2)当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是正方形？请说明理由．10．四边形ABCD的对角线AC＝BD，AC⊥BD，分别过点A，B，C，D作对角线的平行线，所成的四边形EFMN是()A．正方形B．菱形C．矩形D．任意四边形11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是()A．BC＝AC B．CF⊥BF C．BD＝DF D．AC＝BF12．如图，将一张长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，打开．如果要剪出一个正方形，那么剪口线与折痕成________度角.13．如图，以边长为1的正方形的四边中点为顶点作四边形，再以所得四边形的四边中点为顶点作四边形，…依次作下去，图中所作的第三个四边形的周长为________；所作的第n 个四边形的周长为________．14．如图，正方形ABCD的边长为6，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在正方形ABCD 的边AB，CD，DA上，且AH＝2，连接CF.若DG＝2，求证：菱形EFGH为正方形．15．如图，正方形CEFG的边GC在正方形ABCD的边CD上，延长CD到H，使DH＝CE，K在BC边上，且BK＝CE，求证：四边形AKFH为正方形．答案：1---3 DCB4. 有一组邻边相等的矩形是正方形5. AC＝BD6. 正方形7. 相等互相垂直互相垂直且相等互相垂直平分且相等8.证明：∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠DEB＝∠DFB＝90°.又∵∠ABC＝90°，∴四边形BEDF为矩形．∵BD是∠ABC的平分线，且DE⊥AB，DF⊥BC，∴DE＝DF，∴矩形BEDF为正方形．9. (1)证明：∵△CFE是由△ADE绕点E旋转180°得到的，∴A，E，C三点共线，D，E，F三点共线，且AE＝CE，DE＝FE，故四边形ADCF是平行四边形；(2)解：当∠ACB＝90°，AC＝BC时，四边形ADCF是正方形．理由如下：在△ABC中，∵AC＝BC，AD＝BD，∴CD⊥AB，即∠ADC＝90°.由(1)知，四边形ADCF是平行四边形，∴四边形ADCF是矩形．又∵∠ACB＝90°，∴CD＝12AB＝AD，故四边形ADCF是正方形10. A11. D12. 4513. 2 4(2 2)n14．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝∠A＝90°.∵四边形EFGH是菱形，∴HG ＝HE.∵DG＝AH＝2，∴Rt△HDG≌Rt△EAH，∴∠DHG＝∠AEH.又∵∠AEH＋∠AHE＝90°，∴∠DHG＋∠AHE＝90°，∴∠GHE＝90°，∴菱形EFGH为正方形．15.证明：∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠BAD＝∠DCB＝∠B＝∠ADC＝90°，∠GCE＝∠E＝∠GFE＝∠CGF＝90°，∴∠ADH＝∠HGF＝∠E＝∠B＝90°.又∵DH＝CE，BK＝CE，∴BK＝GF＝DH＝EF，KE＝GH＝AB＝AD，∴△ABK ≌△KEF≌△HGF≌△ADH，∴AK＝KF＝HF＝AH，∠BAK＝∠DAH.∵∠BAD＝90°，∴∠HAK＝∠HAD＋∠DAK＝∠BAK＋∠DAK＝∠BAD＝90°，∴四边形AKFH为正方形．。

矩形（基础）【学习目标】1. 理解矩形的概念.2. 掌握矩形的性质定理与判定定理.【要点梳理】要点一、矩形的定义有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形.要点诠释：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件.要点二、矩形的性质矩形的性质包括四个方面：1.矩形具有平行四边形的所有性质；2.矩形的对角线相等；3.矩形的四个角都是直角；4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.要点诠释：（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分.（2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）.（3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等.要点三、矩形的判定矩形的判定有三种方法：1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2.对角线相等的平行四边形是矩形.3.有三个角是直角的四边形是矩形.要点诠释：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形.要点四、直角三角形斜边上的中线的性质直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.推论：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.要点诠释：（1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角三角形，对一般三角形不可使用.（2）学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；②直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；③直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半.（3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题.【典型例题】类型一、矩形的性质1、（2018•云南）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，M，N分别是AB，CD的中点，P是AD上的点，且∠PNB=3∠CBN．（1）求证：∠PNM=2∠CBN；（2）求线段AP的长．【思路点拨】（1）由MN∠BC，易得∠CBN=∠MNB，由已知∠PNB=3∠CBN，根据角的和差不难得出结论；（2）连接AN，根据矩形的轴对称性，可知∠PAN=∠CBN，由（1）知∠PNM=2∠CBN=2∠PAN，由AD∠MN，可知∠PAN=∠ANM，所以∠PAN=∠PNA，根据等角对等边得到AP=PN，再用勾股定理列方程求出AP．【答案与解析】解：（1）∠四边形ABCD是矩形，M，N分别是AB，CD的中点，∠MN∠BC，∠∠CBN=∠MNB，∠∠PNB=3∠CBN，∠∠PNM=2∠CBN；（2）连接AN，根据矩形的轴对称性，可知∠PAN=∠CBN，∠MN∠AD，∠∠PAN=∠ANM，由（1）知∠PNM=2∠CBN，∠∠PAN=∠PNA，∠AP=PN，∠AB=CD=4，M，N分别为AB，CD的中点，∠DN=2，设AP=x，则PD=6﹣x，在Rt∠PDN中PD2+DN2=PN2，∠（6﹣x）2+22=x2，解得：x=所以AP=．【总结升华】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理等知识的综合运用，难度不大，根据角的倍差关系得到∠PAN=∠PNA，发现AP=PN是解决问题的关键．举一反三：【变式】如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点P为AB边上任一点，过P分别作PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，则线段EF的最小值是_________ ．【答案】；提示：因为ECFP为矩形，所以有EF＝PC.PC最小时是直角三角形斜边上的高.类型二、矩形的判定2、（2019•济宁一模）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF=BD，连接BF．（1）求证：D是BC的中点．（2）如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．【思路点拨】（1）因为AF∥BC，E为AD的中点，即可根据AAS证明△AEF≌△DEC，故有BD=DC；（2）由（1）知，AF=DC且AF∥DC，可得四边形AFDC是平行四边形，又因为AD=CF，故可有一个角是直角的平行四边形是矩形进行判定．【答案与解析】（1）证明：∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DCE（1分）∵E是AD的中点，∴AE=DE．（2分）∵∠AEF=∠DEC，∴△AEF≌△DEC．（3分）∴AF=DC，∵AF=BD∴BD=CD，∴D是BC的中点；（4分）（2）四边形AFBD是矩形，（5分）证明：∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°，（6分）∵AF=BD，AF∥BC，∴四边形AFBD是平行四边形，（7分）∴四边形AFBD是矩形．【总结升华】本题考查矩形的判定和全等三角形的判定与性质．要熟知这些判定定理才会灵活运用，根据性质才能得到需要的相等关系．举一反三：【变式】如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形.求证：四边形ADCE是矩形.【答案】证明：∵四边形ABDE是平行四边形，∴AE∥BC，AB＝DE，AE＝BD∵D为BC的中点，∴CD＝BD∴CD∥AE，CD＝AE∴四边形ADCE是平行四边形∵AB＝AC∴AC＝DE∴平行四边形ADCE是矩形.3、如图所示，Y ABCD四个内角的角平分线分别交于点E、F、G、H．求证：四边形EFGH是矩形．【思路点拨】AE、BE分别为∠BAD、∠ABC的角平分线，由于在Y ABCD中，∠BAD+∠ABC＝180°，易得∠BAE+∠ABE＝90°，不难得到∠HEF＝90°，同理可得∠H＝∠F＝90°．【答案与解析】证明：在Y ABCD中，AD∥BC，∴∠BAD＋∠ABC＝180°，∵ AE、BE分别平分∠BAD、∠ABC，∴∠BAE＋∠ABE＝12∠BAD＋12∠ABC＝90°．∴∠HEF＝∠AEB＝90°．同理：∠H＝∠F＝90°．∴四边形EFGH是矩形．【总结升华】 (1)利用角平分线、垂线得到90°的角，选择“有三个直角的四边形是矩形”来判定．(2)本题没有涉及对角线，所以不会选择利用对角线来判定矩形．类型三、直角三角形斜边上的中线的性质4、如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（）A．20 B．12 C．14 D．13【答案】C；【解析】解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，BC＝8，∴AD⊥BC，CD＝BD＝12BC＝4，∵点E为AC的中点，∴DE＝CE＝12AC＝5，∴△CDE的周长＝CD＋DE＋CE＝4＋5＋5＝14．【总结升华】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．举一反三：【变式】如图所示，已知平行四边形ABCD，AC、BD相交于点O，P是平行四边形ABCD外一点，且∠APC＝∠BPD＝90°．求证：平行四边形ABCD是矩形．【答案】解：连接OP．∵四边形ABCD是平行四边形．∴ AO＝CO，BO＝DO，∵∠APC＝∠BPD＝90°，∴ OP＝12AC，OP＝12BD，∴ AC＝BD．∴四边形ABCD是矩形．【巩固练习】一.选择题1．（2018春•宜兴市校级期中）下列说法中正确的是（）A.对角线相等的四边形是矩形B.对角线互相垂直的四边形是菱形C.平行四边形的对角线平分一组对角D.矩形的对角线相等且互相平分2．若矩形对角线相交所成钝角为120°，短边长3.6cm，则对角线的长为( )．A. 3.6cmB. 7.2cmC. 1.8cmD. 14.4cm3．矩形邻边之比3∶4，对角线长为10cm，则周长为( )．A.14cmB.28cmC.20cmD.22cm 4．（2019•海南）如图，矩形ABCD的顶点A、C分别在直线a、b上，且a∥b，∠1=60°，则∠2的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．75°5. 在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是（）A．测量对角线是否相互平分 B．测量两组对边是否分别相等C．测量一组对角是否都为直角 D．测量其中三角形是否都为直角6. 如图，△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、AB于点D、F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形BCDE的面积是（）A. B. C.4 D.二.填空题7．矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，∠AOB＝60°，AC＝10cm，则AB＝______cm，BC＝______cm．8．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝3，则AB边上的中线CD＝______．9. （2019•巴中）如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD，连结AE，如果∠ADB=30°，则∠E=度．10.（2018•重庆模拟）如图，在矩形ABCD中，E为BC的中点，且∠AED=90°，AD=10，则AB的长为．11.如图，Y ABCD的顶点B在矩形AEFC的边EF上，点B与点E、F不重合，若△ACD的面积为3，则图中阴影部分两个三角形的面积和为_______.12. 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，E是斜边AB上任意一点，作EF⊥AC于F，EG⊥BC于G，则矩形CFEG的周长是______.三.解答题13.如图,矩形ABCD的对角线相交于点O，OF⊥BC，CE⊥BD，OE∶BE＝1∶3，OF＝4，求∠ADB的度数和BD的长.14.如图,在矩形ABCD中，F是BC边上的一点，AF的延长线交DC的延长线于G，DE⊥AG于E，且DE＝DC，根据上述条件，请你在图中找出一对全等三角形，并证明你的结论.15.（2018•通州区一模）已知菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点E，点F在BC的延长线上，且CF=BC，连接DF，点G是DF中点，连接CG．求证：四边形ECGD是矩形．【答案与解析】一.选择题1.【答案】D ；【解析】∠对角线相等的平行四边形是矩形，∠A 不正确；∠对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，∠B 不正确；∠平行四边形的对角线互相平分，菱形的对角线平分一组对角，∠C 不正确；∠矩形的对角线互相平分且相等，∠D 正确；2.【答案】B ；【解析】直角三角形中，30°所对的边等于斜边的一半.3.【答案】B ；【解析】由勾股定理，可算得邻边长为6cm 和8cm ，则周长为28cm .4.【答案】C ．【解析】过点D 作DE ∥a ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD=∠ADC=90°，∴∠3=90°﹣∠1=90°﹣60°=30°，∵a ∥b ，∴DE ∥a ∥b ，∴∠4=∠3=30°，∠2=∠5，∴∠2=90°﹣30°=60°．故选C ．5.【答案】D ；6.【答案】A ；【解析】先证△ADF ≌△BEF ，则DF 为△ABC 中位线，再证明四边形BCDE 是矩形，BE ，可求面积.二.填空题7．【答案】5，53；【解析】可证△AOB 为等边三角形，AB ＝AO ＝CO ＝BO.8．【答案】2；【解析】由勾股定理算得斜边AB CD ＝12AB ＝2. 9.【答案】15.【解析】连接AC ，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BE，AC=BD，且∠ADB=∠CAD=30°，∴∠E=∠DAE，又∵BD=CE，∴CE=CA，∴∠E=∠CAE，∵∠CAD=∠CAE+∠DAE，∴∠E+∠E=30°，即∠E=15°，故答案为：15．10.【答案】5；【解析】∠矩形ABCD中，E是BC的中点，∠AB=CD，BE=CE，∠B=∠C=90°，可证得∠ABE∠∠DCE（SAS），∠AE=DE，∠∠AED=90°，∠∠DAE=45°，∠∠BAE=90°﹣∠DAE=45°，∠∠BEA=∠BAE=45°，∠AB=BE=AD=×10=5．11.【答案】3；【解析】根据平行四边形的性质求出AD＝BC，DC＝AB，证△ADC≌△CBA，推出△ABC的面积是3，求出AC×AE＝6，即可求出阴影部分的面积．12.【答案】12；【解析】推出四边形FCGE是矩形，得出FC＝EG，FE＝CG，EF∥CG，EG∥CA，求出∠BEG ＝∠B，推出EG＝BG，同理AF＝EF，求出矩形CFEG的周长是CF＋EF＋EG＋CG＝AC＋BC，代入求出即可．三.解答题13.【解析】解：由矩形的性质可知OD＝OC.又由OE∶BE＝1∶3可知E是OD的中点.又因为CE⊥OD，根据三线合一可知OC＝CD，即OC＝CD＝OD，即△OCD是等边三角形，故∠CDB＝60°.所以∠ADB＝30°.又因为CD＝2OF＝8，即BD＝2OD＝2CD＝16.14.【解析】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，DC＝AB.∴∠DAE＝∠AFB.∵DE＝DC，∴DE＝AB.∵DE⊥AG，∴∠DEA＝∠ABF＝90°.∴△ABF≌△DEA.15.【解析】证明：∠CF=BC，∠C点是BF中点，∠点G是DF中点，∠CG是∠DBF中位线，∠CG∠BD，CG=，∠四边形ABCD是菱形，∠AC∠BD，DE=，∠∠DEC=90°，CG=DE，∠CG∠BD，∠四边形ECGD是矩形．。

1.3 正方形的性质与判定一．选择题1．下列命题中，真命题是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线互相平分的四边形是平行四边形D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形2．下列说法不正确的是（）A．一组同旁内角相等的平行四边形是矩形B．一组邻边相等的菱形是正方形C．有三个角是直角的四边形是矩形D．对角线相等的菱形是正方形3．已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC ⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（）A．选①②B．选②③C．选①③D．选②④4．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A．当AB＝BC时，四边形ABCD是菱形B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形C．当∠ABC＝90°时，四边形ABCD是矩形D．当AC＝BD时，四边形ABCD是正方形5．如图，两把完全一样的直尺叠放在﹣起，重合的部分构成一个四边形，给出以下四个论断：①这个四边形可能是正方形②这个四边形一定是菱形③这个四边形不可能是矩形④这个四边形一定是轴对称图形，其中正确的论断是（）A．①②B．③④C．①②④D．①②③④6．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC、BE相交于点F，则∠BFC为（）A．45°B．55°C．60°D．75°7．如图，四边形ABCD是正方形，延长BC至点E，使CE＝CA，连接AE交CD于点F，则∠AFC的度数是（）A．150°B．125°C．135°D．112.5°8．把边长分别为1和2的两个正方形按如图的方式放置．则图中阴影部分的面积为（）A．B．C．D．9．如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH．若BE：EC＝2：1，则线段CH的长是（）A．3B．4C．5D．6二．解答题10．在正方形ABCD中，对角线BD所在的直线上有两点E、F满足BE＝DF，连接AE、AF、CE、CF，如图所示．（1）求证：△ABE≌△ADF；（2）试判断四边形AECF的形状，并说明理由．11．已知：如图，在菱形ABCD中，点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，连接CE，CF，OE，OF．（1）求证：△BCE≌△DCF；（2）当AB与BC满足什么关系时，四边形AEOF是正方形？请说明理由．12．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P 作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N．（1）求证：∠ADB＝∠CDB；（2）若∠ADC＝90°，求证：四边形MPND是正方形．13．如图，正方形ABCD的边长为6，E，F分别为AB，BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM（1）求证：EF＝FM；（2）当AE＝2时，求△DEF的面积．三．填空题（共3小题）14．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长是．15．如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于P．若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是．16．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A在y轴正半轴上，顶点B在x轴正半轴上，OA＝4，OB＝3，点C，D在第一象限．则O、D两点的距离＝．参考答案一．选择题1．解：A、两条对角线相等且相互平分的四边形为矩形；故本选项错误；B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；故本选项错误；C、对角线互相平分的四边形是平行四边形；故本选项正确；D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；故本选项错误；故选：C．2．解：A、一组同旁内角相等的平行四边形是矩形，正确；B、一组邻边相等的菱形是正方形，错误；C、有三个角是直角的四边形是矩形，正确；D、对角线相等的菱形是正方形，正确．故选：B．3．解：A、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；B、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以不能得出平行四边形ABCD是正方形，错误，故本选项符合题意；C、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；D、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意．故选：B．4．解：A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形ABCD是平行四边形，当AB＝BC时，它是菱形，故本选项不符合题意；B、根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形知：当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；C、根据有一个角是直角的平行四边形是矩形知：当∠ABC＝90°时，四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；D、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知：当AC＝BD时，它是矩形，不是正方形，故本选项符合题意；故选：D．5．解：过点D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F．∵两张长方形直尺的宽度相等，∴DE＝DF，又∵平行四边形ABCD的面积＝AB•DE＝BC•DF，∴AB＝BC，∴平行四边形ABCD为菱形．当∠DAB＝90°时，这个四边形是正方形，∴这个四边形一定是轴对称图形，故选：C．6．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，又∵△ADE是等边三角形，∴AE＝AD＝DE，∠DAE＝60°，∴AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，∠BAE＝90°+60°＝150°，∴∠ABE＝（180°﹣150°）÷2＝15°，又∵∠BAC＝45°，∴∠BFC＝45°+15°＝60°．故选：C．7．解：∵四边形ABCD是正方形，CE＝CA ∴∠ACE＝45°+90°＝135°∠E＝22.5°∴∠AFC＝90°+22.5°＝112.5°．故选D．8．解：如图，设BC＝x，则CE＝1﹣x易证△ABC∽△FEC∴＝＝＝解得x＝∴阴影部分面积为：S△ABC＝××1＝故选：A．9．解：设CH＝x，则DH＝EH＝9﹣x，∵BE：EC＝2：1，BC＝9，∴CE＝BC＝3，∴在Rt△ECH中，EH2＝EC2+CH2，即（9﹣x）2＝32+x2，解得：x＝4，即CH＝4．故选：B．二．解答题10．证明：（1）∵正方形ABCD，∴AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∴∠ABE＝∠ADF，在△ABE与△ADF中，∴△ABE≌△ADF（SAS）；（2）连接AC，四边形AECF是菱形．理由：∵正方形ABCD，∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥EF，∴OB+BE＝OD+DF，即OE＝OF，∵OA＝OC，OE＝OF，∴四边形AECF是平行四边形，∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形．11．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴∠B＝∠D，AB＝BC＝DC＝AD，∵点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，∴AE＝BE＝DF＝AF，OF＝DC，OE＝BC，OE∥BC，在△BCE和△DCF中，，∴△BCE≌△DCF（SAS）；（2）解：当AB⊥BC时，四边形AEOF是正方形，理由如下：由（1）得：AE＝OE＝OF＝AF，∴四边形AEOF是菱形，∵AB⊥BC，OE∥BC，∴OE⊥AB，∴∠AEO＝90°，∴四边形AEOF是正方形．12．证明：（1）∵对角线BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，在△ABD和△CBD中，，∴△ABD≌△CBD（SAS），∴∠ADB＝∠CDB；（2）∵PM⊥AD，PN⊥CD，∴∠PMD＝∠PND＝90°，∵∠ADC＝90°，∴四边形MPND是矩形，∵∠ADB＝∠CDB，∴∠ADB＝45°∴PM＝MD，∴矩形MPND是正方形．13．（1）证明：∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，∴∠FCM＝∠FCD+∠DCM＝180°，AE＝CM，∴F、C、M三点共线，∴DE＝DM，∠EDM＝90°，∴∠EDF+∠FDM＝90°，∵∠EDF＝45°，∴∠FDM＝∠EDF＝45°，在△DEF和△DMF中，∵，∴△DEF≌△DMF（SAS），∴EF＝MF，∴EF＝CF+AE；（2）设FC＝x，则BF＝6﹣x，EF＝x+2．在Rt△BEF中，∵BE2+BF2＝EF2．∴42+（6﹣x）2＝（x+2）2 ，解这个方程得：x＝3，∴FM＝5，∴△DEF的面积＝△DFM的面积＝FM•CD＝5×6÷2＝15．三．填空题（共3小题）14．解：∵正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，∴AB＝BC＝1，CE＝EF＝3，∠E＝90°，延长AD交EF于M，连接AC、CF，则AM＝BC+CE＝1+3＝4，FM＝EF﹣AB＝3﹣1＝2，∠AMF＝90°，∵四边形ABCD和四边形GCEF是正方形，∴∠ACD＝∠GCF＝45°，∴∠ACF＝90°，∵H为AF的中点，∴CH＝AF，在Rt△AMF中，由勾股定理得：AF＝＝＝2，∴CH＝，故答案为：．15．解：如图，过点D作DE⊥DP交BC的延长线于E，∵∠ADC＝∠ABC＝90°，∴四边形DPBE是矩形，∵∠CDE+∠CDP＝90°，∠ADC＝90°，∴∠ADP+∠CDP＝90°，∴∠ADP＝∠CDE，∵DP⊥AB，∴∠APD＝90°，∴∠APD＝∠E＝90°，在△ADP和△CDE中，，∴△ADP≌△CDE（AAS），∴DE＝DP，四边形ABCD的面积＝四边形DPBE的面积＝18，∴矩形DPBE是正方形，∴DP＝＝3．故答案为：3．16．解：如图，过点D作DF⊥OA于点F，∵四边形ABCD是正方形∴AD＝AB，∠DAB＝90°∴∠DAF+∠BAO＝90°，且∠BAO+∠ABO＝90°∴∠DAF＝∠ABO，且AD＝AB，∠DF A＝∠AOB＝90°∴△DF A≌△AOB（AAS）∴DF＝AO＝4，OB＝AF＝3∴OF＝OA+AF＝7∴OD＝＝故答案为：。

第四章 图形的相似（基础）图形的相似及相似图形的性质--知识讲解【学习目标】1、了解比例线段的概念及有关性质，明确相似比的含义并能灵活运用比例的性质进行运算求值；2、能通过生活中的实例认识图形的相似，能通过观察直观地判断两个图形是否相似以及相似图形的性质.【要点梳理】要点一、相似图形1.定义：具有相同形状的图形称为相似图形.要点诠释：(1) 相似图形对应线段的比叫相似比；(2) 相似图形的周长比等于相似比；（3）相似图形的面积比等于相似比的平方.要点二、比例线段1．两条线段的比：在使用同一长度单位的情况下，表示两条线段长度的数值的比，叫做这两条线段的比.2．成比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a :b =c :d ，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．3．比例的基本性质：如果那么ad=bc. 要点诠释：（1）a ，b ，c ，d 叫做这个比例的项，a ，b 叫做比例外项，b ，c 叫做比例内项.（2）若a :b =b :c ，则b 2=ac （b 称为a ,c 的比例中项）4．比例的性质：（1）合分比性质：如果那么； （2）等比性质：如果（b +d +……+n ≠0），那么 【典型例题】类型一、比例线段1. 下列四组线段中，成比例线段的有( )A ．3cm 、4cm 、5cm 、6cmB ．4cm 、8cm 、3cm 、5cmC ．5cm 、15cm 、2cm 、6cmD ．8cm 、4cm 、1cm 、3cm【答案】C.b c ,a d =a c ,b d =a b c d b d±±=a c m ......b d n ===a c ......m a .b d ......n b +++=+++【解析】四个选项中只有，故选C.【总结升华】根据成比例线段的定义.举一反三：【变式】判断下列线段a、b、c、d是否是成比例线段：(1)a=4，b=6，c=5，d=10；(2)a=2，b=，c=，d=．【答案】(1) ∵，，∴，∴线段a、b、c、d不是成比例线段．(2) ∵，，∴，∴线段a、b、c、d是成比例线段．2.（2018秋•滨海县期末）已知线段a、b、c满足a：b：c=3：2：6，且a+2b+c=26．（1）求a、b、c的值；（2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值．【答案】解：（1）∵a：b：c=3：2：6，∴设a=3k，b=2k，c=6k，又∵a+2b+c=26，∴3k+2×2k+6k=26，解得k=2，∴a=6，b=4，c=12；（2）∵x是a、b的比例中项，∴x2=ab，∴x2=4×6，∴x=2或x=﹣2（不合题意，舍去），即x的值为．【总结升华】本题考查了比例线段及其相关计算，注意利用代数的方法解决较为简便．3.（2019•洪泽县一模）已知=，则=．【思路点拨】由=，则可设x=2k ，y=3k ，然后把x=2k ，y=3k 代入原式进行分式的运算即可．【答案与解析】解：∵=，∴设x=2k ，y=3k ，∴原式==．故答案为． 【总结升华】本题考查了比例性质：内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质．举一反三：【答案】解:∵xyz ≠0 ∴x ≠0，y ≠0，z ≠0，①当x+y+z ≠0 ∴k=2;②当x+y+z=0时，x+y=-z,z+x=-y,y+z=-x,∴k=-1.综上所述，k=2或-1. 类型二、相似图形4. 指出下列各组图中，哪组肯定是相似形__________：(1)两个腰长不等的等腰三角形(2)两个半径不等的圆(3)两个面积不等的矩形(4)两个边长不等的正方形【思路点拨】要注意：（1）相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；（2）如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形．【答案】(2) (4).【解析】 (1)等腰三角形的形状不一定相同，因此两个腰长不等的等腰三角形不一定相似；(3)中面积不等的两个矩形，虽然它们的边数相同，对应角相等，但对应边的比不一定相等，所以无法确定它们一定相似；(2)(4)中两个半径不等的圆与两个边长不等的正方形都是形状完全相同的图形，是相似形.【总结升华】识别两个图形是否是相似形，可以从形状来识别，对于多边形，也可以用“对应角相等，对应边的比相等”来识别.举一反三：【变式】如图，左边是一个横放的长方形，右边的图形是把左边的长方形各边放大两倍，并竖立起来以后得到的，这两个图形是相似的吗？【答案】这两个图形是相似的，这两个图形形状是一样，对应线段的比都是1:2，虽然它们的摆放方法、位置不一样，但这并不会影响到它们相似性.类型三、相似多边形5.（2018•南通）如图，点E 是菱形ABCD 对角线CA 的延长线上任意一点，以线段AE 为边作一个菱形AEFG ，且菱形AEFG ∽菱形ABCD ，连接EB ，GD ．（1）求证：EB=GD ；（2）若∠DAB=60°，AB=2，AG=，求GD 的长．【思路点拨】（1）利用相似多边形的对应角相等和菱形的四边相等证得三角形全等后即可证得两条线段相等；（2）连接BD 交AC 于点P ，则BP ⊥AC ，根据∠DAB=60°得到然后求得EP=2，最后利用勾股定理求得EB 的长即可求得线段GD 的长即可．【答案与解析】（1）证明：∵菱形AEFG ∽菱形ABCD ，∴∠EAG=∠BAD ，∴∠EAG+∠GAB=∠BAD+∠GAB ，∴∠EAB=∠GAD ，∵AE=AG ，AB=AD ，∴△AEB ≌△AGD ，∴EB=GD ；（2）解：连接BD 交AC 于点P ，则BP ⊥AC ，∵∠DAB=60°，∴∠PAB=30°，∴BP=AB=1，AP==，AE=AG=，∴EP=2，112BP AB ==，∴EB===，∴GD=．【总结升华】本题考查了相似多边形的性质，解题的关键是了解相似多边形的对应边的比相等，对应角相等．图形的相似及相似图形的性质--巩固练习【巩固练习】一．选择题1. 在比例尺为1︰1 000 000的地图上，相距3cm 的两地，它们的实际距离为 （ ）A.3kmB.30kmC.300kmD.3 000km2. 下列四条线段中，不能成比例的是 （ ）A. ＝2，＝4，＝3，＝6B. ＝，＝，＝1，＝C. ＝6，＝4，＝10，＝5D. ＝，＝2，＝，＝23. 下列命题正确的是( )A ．所有的等腰三角形都相似B ．所有的菱形都相似C ．所有的矩形都相似D ．所有的等腰直角三角形都相似4. 某学习小组在讨论“变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是相似图形，如图所示，则小鱼上的点(a ，b)对应大鱼上的点( )A ．(-2a ，-2b)B ．(-a ，-2b)C ．(-2b ，-2a)D ．(-2a ，-b)5.（2019•兰州模拟）若a ：b=2：3，则下列各式中正确的式子是（ ）A ．2a=3bB ．3a=2bC ．D ．6.（2018•闸北区一模）对一个图形进行放缩时，下列说法中正确的是（ ）A ． 图形中线段的长度与角的大小都保持不变B ． 图形中线段的长度与角的大小都会改变a b c d a b c d a b c d a b cdC ． 图形中线段的长度保持不变、角的大小可以改变D ． 图形中线段的长度可以改变、角的大小保持不变二. 填空题7. （2019•常州）在比例尺为1：40000的地图上，某条道路的长为7cm ，则该道路的实际长度是 km ．8. 若，则________9．已知若若:=___. 10.（2018•和平区模拟）有一块三角形的草地，它的一条边长为25m ．在图纸上，这条边的长为5cm ，其他两条边的长都为4cm ，则其他两边的实际长度都是 m ．11. 用一个放大镜看一个四边形ABCD ，若四边形的边长被放大为原来的10倍，下列结论①放大后的∠B 是原来∠B 的10倍；②两个四边形的对应边相等；③两个四边形的对应角相等，则正确的有 .12. 如图：梯形ADFE 相似于梯形EFCB,若AD=3，BC=4，则三 综合题13.如果，一次函数经过点（-1,2），求此一次函数解析式.14.（2018秋•慈溪市期末）一个矩形ABCD 的较短边长为2．（1）如图①，若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，求它的另一边长；（2）如图②，已知矩形ABCD 的另一边长为4，剪去一个矩形ABEF 后，余下的矩形EFDC 与原矩形相似，求余下矩形EFDC 的面积．-3=,=____;4x y x y y则5-4=0,x y 则x y ______.AE BE=a b c d k b c d a c d a b d a b c====++++++++y kx m =+15. (2018.新宾县模拟)如图：矩形ABCD的长AB=30，宽BC=20．（1）如图（1）若沿矩形ABCD四周有宽为1的环形区域，图中所形成的两个矩形ABCD 与A′B′C′D′相似吗？请说明理由；（2）如图（2），x为多少时，图中的两个矩形ABCD与A′B′C′D′相似？【答案与解析】一、选择题1．【答案】B．【解析】图上距离︰实际距离＝比例尺．2．【答案】C．【解析】求出最大与最小的两数的积，以及余下两数的积，看所得积是否相等来鉴别它们是否成比例．3．【答案】 D4．【答案】 A【解析】由图可知，小鱼和大鱼的相似比为1：2，若将小鱼放大1倍，则小鱼和大鱼关于原点对称.5.【答案】B【解析】A、2a=3b⇒a：b=3：2，故选项错误；B、3a=2b⇒a：b=2：3，故选项正确；C、=⇒b：a=2：3，故选项错误；D、=⇒a：b=4：3，故选项错误．故选B．6．【答案】D【解析】根据相似多边形的性质：相似多边形的对应边成比例，对应角相等，∴对一个图形进行收缩时，图形中线段的长度改变，角的大小不变，故选D ．二、填空题7.【答案】2.8【解析】设这条道路的实际长度为x ，则：，解得x=280000cm=2.8km ．∴这条道路的实际长度为2.8km ．故答案为：2.88.【答案】【解析】由可得，故填.9.【答案】10.【答案】20.【解析】设其他两边的实际长度分别为xm 、ym ，由题意得，==， 解得x=y=20．即其他两边的实际长度都是20m ．11.【答案】 ③12.【答案】 . 【解析】因为梯形ADFE 相似于梯形EFCB ，所以,即EF=, 所以三、 解答题 13.【解析】∵∴ ∴ 74;.452AD EF EF BC=2AE AD BE EF ===a b c d k b c d a c d a b d a b c====+++++++++1=+1=+1=+1=+1++++++++ca b c d k b c d a c d a b d a b ++++++++++++====+1++++++++c a b c d a b c d a b c d a b c d k b c d a c d a b d a b则分两种情况：（1），即,(2),即所以当，过点（-1,2）时，当，过点（-1,2）时，. 14.【解析】解：（1）由已知得MN=AB=2，MD=AD=BC ，∵沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，∴矩形DMNC 与矩形ABCD 相似，=，∴DM •BC=AB •MN ，即BC 2=4，∴BC=2，即它的另一边长为2；（2）∵矩形EFDC 与原矩形ABCD 相似，∴=， ∵AB=CD=2，BC=4，∴DF==1，∴矩形EFDC 的面积=CD •DF=2×1=2．15.【解析】解：（1）不相似，AB=30，A ′B ′=28，BC=20，B ′C ′=18，而≠；（2）矩形ABCD 与A ′B ′C ′D ′相似，则=， 则：=， 解得x=1.5，或=，解得x=9．平行线分线段成比例及相似多边形【学习目标】1. 平行线分线段成比例及其推论.+++=0a b c d +1=0k =-1k ++=++=++=++b c d a c d a b d a b c ===,a b c d 1=3k 则=-1k =-+1y x 1=3k 17=+33y x2. 平行线分线段成比例及其推论的应用.3.相似多边形的有关概念.【要点梳理】要点一、平行线分线段成比例及其推论平行线分线段成比例，一般地，有如下基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例.要点诠释：(1).对应线段成比例可用下面的语言形象表示：等等. （2）有推论可以得出以下结论：要点二、行线分线段成比例及其推论的应用行线分线段成比例及其推论的应用主要是来求线段的长度.要点三、相似多边形的有关概念相似多边形：各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形.它的符号是“∽”，读作“相似于”.相似比：相似多边形的对应边的比叫做相似比.要点诠释： （1）相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；（2）“全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形是全等.（3）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．【典型例题】类型一、平行线分线段成比例及其推论1、如图，直线AD ∥BE ∥CF ，BC= AC ，DE=4，那么EF 的值是__________. 右全左全右上左上全上全上下上下上===,,13【答案】2.【解析】2、（2018•安庆一模）如图，△ABC的顶点A是线段PQ的中点，PQ∥BC，连接PC、QB，分别交AB、AC于M、N，连接MN，若MN=1，BC=3，求线段PQ的长．【思路点拨】根据PQ∥BC可得，进而得出，再解答即可．【答案与解析】解：∵PQ∥BC，∴=，∴，∴，∵AP=AQ，∴PQ=3．【总结升华】此题考查了平行线段成比例，关键是根据平行线等分线段定理进行解答．举一反三ABBC=【变式】如图，直线a ∥b ∥c ，直线m 、n 与a 、b 、c 分别交于点A 、C 、E 、B 、D 、F ，已知AC=4，CE=6，BD=3，则BF 等于______________.【答案】7.5.类型二、平行线分线段成比例及其推论的应用3、如图，已知梯形ABCD中，AB ∥DC ，△AOB 的面积等于9，△AOD 的面积等于6，AB=7，求CD的长．【思路点拨】根据△AOB 的面积等于9，△AOD 的面积等于6，可知OB ：OD 的值，再根据平行线分线段成比例即可求解． 【答案与解析】 解：∵AB ∥DC ，， 举一反三42===A ．4.5B ．8C ．10.5D ．14故选：B．4、如图，直线l 1∥l 2∥l 3，若AB=2，BC=3，DE=1，则EF 的值为（ ）AB C 6 D【答案】B.举一反三【变式】如图，已知在△ABC 中，点D 、E 、F 分别是边AB 、AC 、BC 上的点，DE ∥BC ，EF ∥AB ，且AD ：DB=3：5，那么CF ：CB 等于（ ）A ．5：8B ．3：8C ．3：5D ．2：5【答案】解：∵AD ：DB=3：5，∴BD ：AB=5：8， ∵DE ∥BC ，∴CE ：AC=BD ：AB=5：8，233216∵EF ∥AB ，∴CF ：CB=CE ：AC=5：8． 故选A ．类型三、相似多边形的有关概念5、如图是一个由12个相似（形状相同，大小不同）的直角三角形所组成的图案，它是否有点像一个商标图案？你能否也用相似图形设计出几个美丽的图案？最好再给你设计的图案取一个名字．【思路点拨】相似图形是指形状相同的图形．根据相似图形进行变换可以形成一些美丽的图案．【答案与解析】解：由12个相似的直角三角形形成的图案很有创意，给人以美的享受，可以作为一个商标的图案．以下几个图案分别是用相似形设计的美丽图案．【总结升华】考查的是相似图形，相似图形是指形状相同的图形．把一组相似图形进行变换可以得到美丽的图案．6.（2018•南通）如图，点E 是菱形ABCD 对角线CA 的延长线上任意一点，以线段AE 为边作一个菱形AEFG ，且菱形AEFG ∽菱形ABCD ，连接EB ，GD ． （1）求证：EB=GD ；（2）若∠DAB=60°，AB=2，AG=，求GD 的长．【思路点拨】（1）利用相似多边形的对应角相等和菱形的四边相等证得三角形全等后即可证得两条线段相等；（2）连接BD 交AC 于点P ，则BP ⊥AC ，根据∠DAB=60°得到然后求得EP=2，最后利用勾股定理求得EB 的长即可求得线段GD 的长即可．【答案与解析】（1）证明：∵菱形AEFG ∽菱形ABCD ，112BP AB ==，∴∠EAG=∠BAD ，∴∠EAG+∠GAB=∠BAD+∠GAB ， ∴∠EAB=∠GAD ， ∵AE=AG ，AB=AD ， ∴△AEB ≌△AGD ， ∴EB=GD ；（2）解：连接BD 交AC 于点P ，则BP ⊥AC ， ∵∠DAB=60°， ∴∠PAB=30°， ∴BP=AB=1， AP==，AE=AG=，∴EP=2，∴EB===，∴GD=．【总结升华】本题考查了相似多边形的性质，解题的关键是了解相似多边形的对应边的比相等，对应角相等．【巩固练习】一、选择题1. 下列四组图形中，一定相似的是（ ） A ． 正方形与矩形 B ． 正方形与菱形 C ． 菱形与菱形 D ． 正五边形与正五边形 2AB C D AB EF CD EF BO OE BCBE3．如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，∠DAB=90°，AC⊥BC，AC=BC，∠ABC的平分线分别交AD、AC于点E，F，则的值是（）4．如图，在平行四边形ABCD中，AC=4，BD=6，P是BD上的任一点，过点P作EF∥AC，与平行四边形的两条边分别交于点E、F，设BP=x，EF=y，则能反映y与x之间关系的图象是（）A．B．C．D．（）A．2 B．4 C．D．6．如图，直线AB∥CD∥EF，若AC=3，CE=4，则的值是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题 7．（2018秋•江阴市期中）给出下列几何图形：①两个圆；②两个正方形；③两个矩形；④两个正六边形；⑤两个等边三角形；⑥两个直角三角形；⑦两个菱形．其中，一定相似的有 （填序号）．8．在一张复印出来的纸上，一个多边形的一条边由原图中的2cm 变成了6cm ，这次复印的放缩比例是 ．9．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD=2，AB=6，AE=3，则AC 的长为 ．10．如图，在△ABC 中，若DE ∥BC ，=，DE=4cm ，则BC的长为．11．如图，直线AD ∥BE ∥CF ，BC=AC ，DE=4，那么EF 的值是 ．12．如图，在△ABC 中，∠BAC=30°，AB=AC ，AD 是BC 边上的中线，∠ACE=∠BAC ，CE 交AB 于点E ，交AD 于点F ．若BC=2，则EF 的长为 ．12三、解答题13. 如图，直线l1、l2、l3分别交直线l4于点A、B、C，交直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3，已知EF：DF=5：8，AC=24．（1）求AB的长；（2）当AD=4，BE=1时，求CF的长．14.（2018秋•慈溪市期末）一个矩形ABCD的较短边长为2．（1）如图①，若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，求它的另一边长；（2）如图②，已知矩形ABCD的另一边长为4，剪去一个矩形ABEF后，余下的矩形EFDC与原矩形相似，求余下矩形EFDC的面积．15．己知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD，∠BAF=∠DAE，AE与BD交于点G．（1）求证：BE=DF；（2）当=时，求证：四边形BEFG是平行四边形．【答案与解析】一、选择题1．【答案】D；【解析】解：A、正方形与矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，故不符合题意；B、正方形与菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故不符合题意；C、菱形与菱形，对应边比值相等，但是对应角不一定相等，故不符合题意；D、正五边形与正五边形，对应角相等，对应边一定成比例，符合相似的定义，故符合题意．故选：D．2.【答案】D.3.【答案】C；【解析】解：作FG⊥AB于点G，∵∠DAB=90°，∴AE∥FG，∴=，∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°，又∵BE是∠ABC的平分线，∴FG=FC，在Rt△BGF和Rt△BCF中，∴Rt△BGF≌Rt△BCF（HL），∴CB=GB，∵AC=BC，∴∠CBA=45°，∴AB=BC，∴====+1．故选：C．4.【答案】C；【解析】解：设AC交BD于O，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OD=OB=BD=3，当P在OB上时，∵EF∥AC，∴==，∴=，∴y=x，当P在OD上时，同法可得：==，∴=，∴y=﹣x+8，∵两种情况都是一次函数，图象是直线．故选C．5.【答案】C；【解析】∵AB∥CD∥EF，∴=，即=，∴BC=，∴CE=BE﹣BC=12﹣=．故选C．6.【答案】C；【解析】解：∵AB∥CD∥EF∴∵AC=3，CE=4∴=．故选C．二、填空题7．【答案】①②④⑤；8．【答案】1：3；【解析】解：由题意可知，相似多边形的边长之比=相似比=2：6=1：3，故答案为：1：3；9．【答案】9；【解析】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴=，∴=，∴AC=9，故答案为：9．10．【答案】12cm.【解析】解：∵DE∥BC，∴=，又∵=，∴，∴=，∴BC=12cm．故答案为12cm．11．【答案】2.【解析】解：∵BC=AC，∴=，∵AD∥BE∥CF，∴=，∵DE=4，∴=2，∴EF=2．故答案为：2．12．【答案】﹣1.【解析】解：过F点作FG∥BC．∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，∴BD=CD=BC=1，∠BAD=∠CAD=∠BAC=15°，AD⊥BC，∵∠ACE=∠BAC，∴∠CAD=∠ACE=15°，∴AF=CF，∵∠ACD=（180°﹣30°）÷2=75°，∴∠DCE=75°﹣15°=60°，∵∠ACE=∠BAC ，∴AF=CF.在Rt △CDF 中， CF=2，DF= =， ∵FG ∥BC ， ∴GF ：BD=AF ：AD ，即GF ：1=2：（2+）， 解得GF=4﹣2，∴EF ：EC=GF ：BC ，即EF ：（EF+2）=（4﹣2）：2，解得EF=﹣1．故答案为：﹣1．三、解答题13.【解析】（1）解：∵l 1∥l 2∥l 3，EF ：DF=5：8，AC=24，∴==， ∴=，∴BC=15，∴AB=AC﹣BC=24﹣15=9．（2）解：∵l 1∥l 2∥l 3∴==， ∴=，∴OB=3，∴OC=BC﹣OB=15﹣3=12，∴==， ∴=，∴CF=4．14. 【答案与解析】解：（1）由已知得MN=AB=2，MD=AD=BC ，∵沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，∴矩形DMNC 与矩形ABCD 相似，=，∴DM•BC=AB•MN，即BC 2=4，∴BC=2，即它的另一边长为2；（2）∵矩形EFDC 与原矩形ABCD 相似， 221∴=，∵AB=CD=2，BC=4，∴DF==1，∴矩形EFDC的面积=CD•DF=2×1=2．15.【解析】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，∠ABC=∠ADF，∵∠BAF=∠DAE，∴∠BAF﹣∠EAF=∠DAE﹣∠EAF，即：∠BAE=∠DAF，∴△BAE≌△DAF∴BE=DF；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴△ADG∽△EBG∴=又∵BE=DF，=∴==∴GF∥BC （平行线分线段成比例）∴∠DGF=∠DBC∵BC=CD∴∠BDC=∠DBC=∠DGF∴GF=DF=BE∵GF∥BC，GF=BE∴四边形BEFG是平行四边形探索相似三角形相似的条件(基础)【学习目标】1. 相似三角形的概念.2.相似三角形的三个判定定理.3.黄金分割.4. 进一步探索相似三角形的判定及其应用，提高运用“类比”思想的自觉性，提高推理能力.【要点梳理】要点一、相似三角形的概念相似三角形：三个角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形.要点诠释：(1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽，则说明点A 的对应点是A ′，点B 的对应点是B ′，点C 的对应点是C ′；(2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等.要点二、相似三角形的三个判定定理定理：两角分别相等的两个三角形相似.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.三边成比例的两个三角形相似.要点诠释：（1）要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.（2）此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.要点三、相似三角形的常见图形及其变换：要点四、黄金分割1.定义：一般地，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC 两段,如果,那么线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比.要点诠释：≈0.618AB(0.618是黄金分割的准确值). 2.作一条线段的黄金分割点：AC BC AB AC =12AC AB =如图，已知线段AB ，按照如下方法作图：（1）经过点B 作BD ⊥AB ，使BD =AB . （2）连接AD ，在DA 上截取DE =DB .（3）在AB 上截取AC =AE .则点C 为线段AB 的黄金分割点. 要点诠释：一条线段的黄金分割点有两个.【典型例题】类型一、相似三角形的概念1. 下列能够相似的一组三角形为( ).A.所有的直角三角形B.所有的等腰三角形C.所有的等腰直角三角形D.所有的一边和这边上的高相等的三角形【答案】C【解析】A 中只有一组直角相等，其他的角是否对应相等不可知；B 中什么条件都不满足；D 中只有一条对应边的比相等；C 中所有三角形都是由90°、45°、45°角组成的三角形，且对应边的比也相等. 答案选C.【总结升华】根据相似三角形的概念，判定三角形是否相似，一定要满足三个角对应相等，三条对应边的比相等.举一反三：【变式】（2018秋•江阴市期中）给出下列几何图形：①两个圆；②两个正方形；③两个矩形；④两个正六边形；⑤两个等边三角形；⑥两个直角三角形；⑦两个菱形．其中，一定相似的有 （填序号）．【答案】①②④⑤. 类型二、相似三角形的三个判定定理2、如图，点D 在等边△ABC 的BC 边上，△ADE 为等边三角形，DE 与AC 交于点F ．（1）证明：△ABD ∽△DCF ；（2）除了△ABD ∽△DCF 外，请写出图中其他所有的相似三角形．【思路点拨】（1）利用等边三角形的性质以及相似三角形的判定方法两角对应相等的两三角形相似得出即可；21（2）利用对顶角的性质以及相似三角形的性质进而判断得出即可．【答案与解析】（1）证明：∵△ABC，△ADE为等边三角形，∴∠B=∠C=∠3=60°，∴∠1+∠2=∠DFC+∠2，∴∠1=∠DFC，∴△ABD∽△DCF；（2）解：∵∠C=∠E，∠AFE=∠DFC，∴△AEF∽△DCF，∴△ABD∽△AEF，故除了△ABD∽△DCF外，图中相似三角形还有：△AEF∽△DCF，△ABD∽△AEF．【总结升华】此题主要考查了相似三角形的两个对应角相等的判定方法以及等边三角形的性质等知识，得出对应角关系是解题关键．举一反三【变式】如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．求证：△ABD∽△CBE．【答案】证明：在△ABC中，AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∵CE⊥AB，∴∠ADB=∠CEB=90°，又∵∠B=∠B，∴△ABD∽△CBE．3、（2018秋•洪江市期中）如图所示，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，点P从点A 开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，经过多长时间后，△PBQ与△ABC相似？试说明理由．【思路点拨】首先设经x 秒钟△PBQ 与△ABC 相似，由题意可得AP=xcm ，BQ=2xcm ，BP=AB ﹣AP=（8﹣x ）cm ，又由∠B 是公共角，分别从=或=分析，即可求得答案．【答案与解析】解：设经x 秒钟△PBQ 与△ABC 相似，则AP=xcm ，BQ=2xcm ，∵AB=8cm ，BC=16cm ，∴BP=AB ﹣AP=（8﹣x ）cm ，∵∠B 是公共角，∵①当=，即=时，△PBQ ∽△ABC ， 解得：x=4；②当=，即=时，△QBP ∽△ABC ，解得：x=1.6，∴经4或1.6秒钟△PBQ 与△ABC 相似．【总结升华】此题考查了相似三角形的判定．属于动点型题目，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．4、网格图中每个方格都是边长为1的正方形．若A ，B ，C ，D ，E ，F 都是格点，试说明△ABC ∽△DEF ．【思路点拨】利用图形与勾股定理可以推知图中两个三角形的三条对应边成比例，由此可以证得△ABC ∽△DEF ．【答案与解析】BC AB EF DE ==∴△ABC ∽△DEF ．【总结升华】本题考查了相似三角形的判定、勾股定理．相似三角形相似的判定方法有：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A ”型和“X ”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．本题是在网格状中的两个三角形，优先考虑三边对应成比例的方法去考虑. 举一反三【变式】如图所示，在4×4的正方形方格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．（1）填空：∠ABC=________，BC=_________；（2）判断△ABC 与△DEF 是否相似？并证明你的结论．【答案】（1）解：∠ABC=90°+45°=135°，．（2）△ABC ∽△DEF ．证明：∵在4×4的正方形方格中，∠ABC=135°，∠DEF=90°+45°=135°，∴∠ABC=∠DEF ．∴△ABC ∽△DEF ．类型三、黄金分割5. 如图所示，矩形ABCD 是黄金矩形（即＝≈0.618），如果在其内作正方2BC FE===BC AB 215-形CDEF ，得到一个小矩形ABFE ，试问矩形ABFE 是否也是黄金矩形？【思路点拨】（1）矩形的宽与长之比值为，则这种矩形叫做黄金矩形． （2）要说明ABFE 是不是黄金矩形只要证明＝即可． 【答案与解析】矩形ABFE 是黄金矩形．理由如下：因为＝＝ 所以矩形ABFE 也是黄金矩形．【总结升华】判断四边形是否是黄金矩形，要根据实际条件灵活选择判断方法. 举一反三：【变式】以长为2的线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连接PD ，在BA 的延长线上取点F ，使PF ＝PD ，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上，如图所示，（1）求AM ，DM 的长，（2）试说明AM 2=AD ·DM（3）根据（2）的结论，你能找出图中的黄金分割点吗？【答案】（1）∵正方形ABCD 的边长是2，P 是AB 中点，∴AD ＝AB ＝2，AP ＝1，∠BAD ＝90°，∴PD ＝。

《图形的相似》全章复习与巩固--巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1．如图，已知，那么下列结论正确的是( ).A．B． C．D．2. 在和中，，如果的周长是16，面积是12，那么的周长、面积依次为( ).A．8，3 B．8，6 C．4，3 D．4，63．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与相似的是( ).4.如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(-1，0)．以点C为位似中心，在x 轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点B′的横坐标是，则点B的横坐标是（）.A．B． C．D．5．（2019•咸宁）如图，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF．若AD=OA，则△ABC与△DEF的面积之比为（）A ．1：2B ．1：4C ．1：5D ．1：6 6. 如图，在正方形ABCD 中，E 是CD 的中点，P 是BC 边上的点，下列条件中不能推出△ABP 与以点E 、C 、P 为顶点的三角形相似的是( ).A ．∠APB=∠EPCB ．∠APE=90°C ．P 是BC 的中点D ．BP ：BC=2：37. 如图，在△ABC 中，EF ∥BC ，,，S 四边形BCFE =8，则S △ABC =（ ）.A ．9B ．10C ．12D ．138.如图，六边形ABCDEF ∽六边形GHIJKL ，相似比为2：1，则下列结论正确的是（ ）.A ．∠E=2∠KB ．BC=2HIC ．六边形ABCDEF 的周长=六边形GHIJKL 的周长D ．S 六边形ABCDEF =2S 六边形GHIJKL二、填空题 9. 在□ABCD 中，在上，若，则___________.10. 如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 和AC 中点，F 是BC 延长线上一点，DF 平分CE 于点G ，CF=1，则BC=_______，△ADE•与△ABC•的面积之比为_______，•△CFG 与△BFD 的面积之比为________.12AEEB11. 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于O点，S△AOD:S△COB=1:9，则S△DOC:S△BOC=_______.12. 在相同时刻的物高与影长成比例.小明的身高为1.5米，在地面上的影长为2米，同时一古塔在面上的影长为40米，则古塔高为________.13.（2019•金华）如图，直线l1、l2、…l6是一组等距的平行线，过直线l1上的点A作两条射线，分别与直线l3、l6相交于点B、E、C、F．若BC=2，则EF的长是．14．如图，在△ABC中，MN∥BC，若∠C=68°，AM：MB＝1：2，则∠MNA=_______度，AN：NC＝_____________.15.如图，点D,E分别在AB、AC上，且∠ABC=∠AED。

九年级数学（上）第一章同步测试1. 3正方形一、选择题1. 正方形具有而菱形不一定具有的性质是（） A.对角线互相垂直 B.对角线相等 C.对角线互相平分D.对角相等 2. 将五个边长都为2cm 的正方形按如图所示摆放，点A 、B 、C 、D 分别是四个正方形的屮心, 则图中四块阴影面积的和为（）A. 2cnTB. 4cnfC. 6cm'D. 8cm 2 阴影部分的面积依次记为S” ％贝lJS“ S2等于（ 5. 如图，正方形ABCD 的而积为1,则以相邻两边屮点连线EF 为边正方形EFGH 的周长为3.有3个正方形如图所示放置,I). 4：9A. 1： 72B. 1： 2C. 2： 3且BP=BC,则ZACP 度数是（（）6. 如图，正方形ABCI ）的边长为9,将正方形折叠，使顶点】）落在BC 边上的点E 处，折痕为 GH.若BE ： EC=2： 1,则线段CH 的长是（）7. 如图，在正方形ABCD 中，AABE 和ACDF 为直角三角形，ZAEB=ZCFD=90° , AE=CF=5,8. 如图，在正方形ABCD 中，AC 为对角线，E 为AB 上一点，过点E 作EF 〃AD,与AC 、DC 分 别交于点G, F, H 为CG 的中点，连接DE, EH, DH, FH.下列结论：AF 2①暗DF ；②。

EH+4DH 询。

；®AEHF.ADHC ;④若乔乜，则3SM3"其中结论正确的有（ ）C. >/2+1I). 2>/2+1I). 7>/3A 2B 2C 2A 3,面积记作S2；继续作第三个正方形A3B3C3A4,面积记作S3；点A 】.血、A 3> A-…在射线D. 4096C. 4对I). 5 对 10.己知：如图，ZM0N=45° , OA!=1, 作正方形ARGA2,面积记作S”再作第二个正方形…依此类推，则第6个正方形的面积乂是（C- 3个 D. 4个点0是BI ）的中点，若M 、N 是边AI ）上的两点，连接 MO. NO,并分别延长交边BC 于两点W 、N',则图屮的全等三角形共有（ ）A. 1个B. 2个 B. 900C. 1024A. 256 9・如图，在正方形ABCD +,连接BI ）,二、填空题1.如图，将正方形纸片按如图折叠，AM为折痕，点B落在对角线AC上的点E处，则Z CME 二2.° ABCI）的对角线AC与BD相交于点0,且AC1BD,请添加一个条件：____________ ,使得口 ABCD为正方形.3.如图，在正方形ABCI）中，对角线AC与BD相交于点0, E为BC上一点，CE二5, F为DE的中4.如图为正三角形ABC与正方形DEFG的重叠情形，其屮I）、E两点分别在AB、BC上，且BI）二BE.若AC二18, GF二6,则F点到AC的距离为__________5.如图，菱形ABCD的面积为120cm2,正方形AECF的面积为50cm2,贝ij菱形的边长为_cm.6.有一面积为5 的等腰三角形，它的一个内角是30°,则以它的腰长为边的正方形的面积为7.如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OAiBC的两边在坐标轴上，以它的对角线2016的顶点B2OI6的坐标是OB】为边作正方形OBM2C2，再以止方形OBM2C2的对角线OB?为边作止方形OB2B3C3,以此类1.如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点，ZAEF二90° , EF交正方形外角的平分线AE=EF.CF 于F.求证：2.已知，如图，正方形ABCD中，E为BC边上一点，F为BA延长线上一点，且CE二AF.连接(1)求证：△ABE^AEGF；(2)若AB二2, S AABE~2S AECF»求BE.4.已知：如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQ丄BE于点Q, DP丄AQ于点P. （1）求证:AP=BQ；（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写岀图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ的长.5.如图，点E正方形ABCI）外一点，点F是线段AE上一点，AEBF是等腰直角三角形，其中ZEBF=90° ,连接CE、CF.（1）求证：AABF今Z\CBE；（2）判断ACEF的形状，并说明理由.D C参考答案一、选择题l. B 2.B 3. D 4. B 5. B 6. B 7.C & D 9. C 10. C二、填空题71. 45° .2. ZBAD二90° .3. -；4. 6的一6；5.13；6. 20^3 或20.7. （2咖，0）.三、解答题1.证明：取AB的中点H,连接EH；V ZAEF=90° ,.\Z2+ZAEB=90° ,・・•四边形ABCD是正方形，•••Z1+ZAEB二90° ,AZ1=Z2,•・・E是BC的中点，H是AB的中点，・・・BH二BE, AH二CE,/. ZBHE=45° ,・・・CF是ZDCG的角平分线,A ZFCG=45° ,A ZAHE=ZECF=135° , 在Z\AHE 和Z\ECF 中，Z1 = Z2AH = EC ,ZAHE = ZECF.-.AAHE^AECF (ASA),2.证明：・・•四边形ABCD是正方形,・・・AD二CD, ZDAB=ZC=90° ,・・・ZFAD二180°—ZDAB二90°・在ZXDCE和中，CD = AD< ZC = ZDAF,CE = AFAADCE^ADAF (SAS),ADE=DF.3.(1)证明：・・・EP丄AE, ・・・ZAEB+ZGEF=90° , 又TZAEB+ZBAE二90° ,ZGEF=ZBAE,又VFG±BC,.\ZABE=ZEGF=90° ,在AABE 与ZiEGF 中，ZABE = ZEGF< ZBAE = ZGEF ,AE = EF•••△ABE竺Z\EGF (AAS)；AB-EG-2? S AABE=S AEGI->*•*S AABE=2S AECF,••S EGF-2S AECF>AEC=CG=1,*.*四边形ABCD是正方形，VBC=AB=2,.-.BE=2-1=1.4. (1)在正方形ABCD中，・・・AD二BA, ZBAD二90°,即ZBAQ+ZDAP二90°•・・DP丄AQ・・・ZADP+ZDAP 二90°・•・ ZBAQ-ZADP・・・AQ丄BE于点Q, DP丄AQ于点P・・・ZAQB 二ZDPA二90°/.AAQB^ADPA (AAS)・・・AP二BQ(2)①AQ-AP二PQ②AQ-BQ-PQ③DP-AP=PQ④DP-BQ二PQ5.(1)证明：・・•四边形ABCD是正方形，・・・AB二CB, ZABC二90 ° ,VAEBF是等腰直角三角形，其中ZEBF=90° ,・・・BE二BF,・・・ Z ABC- Z CBF= Z EBE- Z CBF,AZABF=ZCBE.AB = CB在Z\ABF 和Z\CBE 中，有彳ZABF = ZCBE ,BF = BEAAABF^ACBE (SAS).(2)解：ACEF是直角三角形.理由如下：VAEBF是等腰直角三角形，.-.ZBFE=ZFEB=45° ,・・・ZAFB二180° -ZBFE二135° ,又VAABF^ACBE,A ZCEB=ZAFB=135° ,A ZCEF=ZCEB-ZFEB=135° -45° =90° ,•••△CEF是直角三角形.我的写字心得体会从小开始练习写字，几年来我认认真真地按老师的要求去练习写字。

1.3 正方形的性质与判定巩固提升试卷一．选择题1．正方形具有而菱形不一定具有的性质是( )A．四条边都相等B．对角线互相垂直平分C．对角线相等D．对角线平分一组对角2．如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP＝BC，则∠ACP的度数是( )A．45°B．22.5°C．67.5°D．75°3. 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A. 当AB=BC时，它是菱形B. 当AC⊥BD时，它是菱形C. 当∠ABC=90°时，它是矩形D. 当AC=BD时，它是正方形4. 已知四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（）A. ∠D=90°B. AB=CDC. AD=BCD. BC=CD5．如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE＝DF，AE与BF相交于O；下列结论：（1）AE＝BF；（2）AE⊥BF；（3）AD＝OE；（4）S△AOB＝S四边形DEOF．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个6．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A．当AB＝BC时，四边形ABCD是菱形B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形C．当∠ABC＝90°时，四边形ABCD是矩形D．当AC＝BD时，四边形ABCD是正方形7．如图，两把完全一样的直尺叠放在﹣起，重合的部分构成一个四边形，给出以下四个论断：①这个四边形可能是正方形②这个四边形一定是菱形③这个四边形不可能是矩形④这个四边形一定是轴对称图形，其中正确的论断是（）A．①②B．③④C．①②④D．①②③④8．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边CD，AD上，BE与CF交于点G．若BC＝4，DE＝AF＝1，则GF的长为（）A．B．C．D．9．如图，将长方形纸片折叠，使A点落BC上的F处，折痕为BE，若沿EF剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是（）A．邻边相等的矩形是正方形B．对角线相等的菱形是正方形C．两个全等的直角三角形构成正方形D．轴对称图形是正方形10．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长是（）A．B．C．D．2二．填空题11．如图，在正方形ABCD中，点E在直线BC上运动，以AE为边作等边△AEF，连接BF，取BF的中点M，若AB＝4，则BM的的最小值为．12、已知ABCD，对角线AC，BD相交于点O.(1)若AB＝BC，则ABCD是__ __；(2)若AC＝BD，则ABCD是__ __；(3)若∠BCD＝90°，则ABCD是__ __；(4)若OA＝OB，且OA⊥OB，则ABCD是__ _；(5)若AB＝BC，且AC＝BD，则ABCD是__ _.13、如图,点B的坐标为(4,4),作BA⊥x轴,BC⊥y轴,垂足分别为A,C,点D为线段OA的中点,点P从点A出发,在线段AB,BC上沿A→B→C运动,当OP=CD时,点P的坐标为.14．已知：正方形ABCD的边长为8，点E、F分别在AD、CD上，AE＝DF＝2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为．15．如图，正方形ABCD的边长为4厘米，则图中阴影部分的面积为．三．解答题16．如图，在△ABC中，AC＝BC＝6，∠ACB＞90°，∠ABC的平分线交AC于点D，E是AB上点，且BE＝BC，CF∥ED交BD于点F，连接EF，ED．（1）求证：四边形CDEF是菱形；（2）当∠ACB＝度时，四边形CDEF是正方形，请给予证明；并求此时正方形的边长．17．已知：如图，在菱形ABCD中，点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，连接CE，CF，OE，OF．（1）求证：△BCE≌△DCF；（2）当AB与BC满足什么关系时，四边形AEOF是正方形？请说明理由．18．已知：如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE．求证：四边形BECF是正方形．19．如图，点E是正方形ABCD对角线AC上一点，EF⊥AB于F，点P、M分别为AE、CF的中点．（1）求证：PM＝CF；（2）当点E在对角线AC（不含A、C两点）上运动时，是否为定值？如果是，请求其值；如果不是，试说明理由．。

2022-2023学年北师大版九年级数学上册《1.3正方形的性质与判定》解答题专题提升训练（附答案）1．如图，正方形ABCD的边长为1，E为对角线BD上一点，且BE＝BC，点P为线段CE 上一动点，且PM⊥BE于点M，PN⊥BC于点N，求PM+PN的值．2．如图，E是正方形ABCD内一点，△BCE是等边三角形，连接DE，AE，延长DE交AB 于点F．（1）求证：△ABE≌△DCE；（2）求∠AFD的度数．3．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在AD，CD上，且AE＝DF，BE与AF相交于点O，P是BF的中点，连接OP．（1）试判断AF与BE的关系，并证明你的结论；（2）若AB＝5，AE＝2，求OP的长．4．如图，在正方形ABCD中，E、F分别为边AB、BC的中点，连接AF、DE交于点G，连结BG．（1）试判断AF与DE的数量关系与位置关系，并证明．（2）求证：BG平分∠EGF．5．如图，已知正方形ABCD的边长为6，E，F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．（1）求证：EF＝MF（2）若AE＝2，求FC的长．6．如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别是x，y轴上的动点，以AB为边作边长为2的正方形ABCD，求OC的最大值．7．如图，AD是等腰△ABC底边BC上的高，AF∥BC，点O是AC中点，连结DO并延长交AF于点E，连结CE．（1）求证：四边形ADCE是矩形；（2）①若AB＝17，BC＝16，则四边形ADCE的面积是多少；②当∠BAC为多少度时，四边形ADCE是正方形．8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC边的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F，连接BF，CE．（1）判断四边形BECF是什么特殊的四边形，并说明理由；（2）当△ABC满足时，四边形BECF是正方形．9．如图，△ABC中，AB＝AC，D、F分别为BC、AC的中点，连接DF并延长到点E，使DF＝FE，连接AE、AD、CE．（1）求证：四边形AECD是矩形．（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AECD是正方形，并说明理由．10．如图，在Rt△ABC中，两锐角的平分线AD，BE相交于O，OF⊥AC于F，OG⊥BC 于G．（1）求证：四边形OGCF是正方形．（2）若∠BAC＝60°，AC＝4，求正方形OGCF的边长．11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，垂足为F，交直线MN于E，连接CD，BE．（1）求证：CE＝AD；（2）当D为AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；（3）在满足（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形BECD是正方形？（不必说明理由）12．如图，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD的边AB、CD、DA上，连接CF．（1）求证：∠HEA＝∠CGF；（2）当AH＝DG时，求证：菱形EFGH为正方形．13．如图，在正方形ABCD的对角线AC上取一点E．连接BE并延长BE到点F，使CF＝CB，BF与CD相交于点H．（1）求证：BE＝DE；（2）若∠CDE＝15°，判断CE，DE，EF之间的数量关系，并说明理由．14．四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）如图1，求证：矩形DEFG是正方形；（2）若AB＝2，CE＝，求CG的长度；（3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°时，直接写出∠EFC的度数．15．如图，在正方形ABCD中，点E是BC上一点，点F是CD延长线上的一点，且BE＝DF，连接AE、AF、EF．（1）求证：AE＝AF；（2）已知∠AEB＝75°，若点P是EF的中点，连接CP，DP，求∠CPD的度数．16．如图，在正方形ABCD中，AB＝，E为正方形ABCD内一点，DE＝AB，∠EDC＝α（0°＜α＜90°），连结CE，AE，过点D作DF⊥AE，垂足为点F，交CE的延长线于点G，连结AG．（1）当α＝20°时，则∠AEC＝；（2）判断△AEG的形状，并说明理由；（3）当GF＝1时，求CE的长．17．如图所示，在正方形ABCD中，AB＝10，点O为对角线交点，BE＝CF，连接EF，过点O作OG⊥EF交BC边于G，点G始终在BC边上，并且不与点B、点C重合，连接OE、OF、EG．（1）求证：OE＝OF；（2）请求出∠EOG的度数？（3）试求出△BEG的周长；（4）若AE＝AO，请直接写出四边形BEOG的面积．18．如图，在边长为1的正方形ABCD中，点K在AD上，连接BK，过点A、C作BK的垂线，垂足分别为M、N，点O是正方形ABCD的中心，连接OM、ON．（1）求证：AM＝BN；（2）请判断△OMN的形状，并说明理由．19．如图，四边形ABDE和四边形ACFG都是正方形，CE与BG交于点M，点M在△ABC 的外部．（1）求证：BG＝CE；（2）求证：CE⊥BG；（3）求：∠AME的度数．20．已知正方形ABCD，点F是射线DC上一动点（不与C、D重合），连接AF并延长交直线BC于点E，交BD于点H，连接CH，过点C作CG⊥HC交AE于点G．（1）若点F在边CD上，如图1．①证明：∠DAH＝∠DCH；②猜想线段CG与EF的关系并说明理由；（2）取DF中点M，连结MG，若MG＝4，正方形边长为6，求BE的长．21．如图，已知正方形ABCD中，E是直线BC上一点，连接AE，过点C作CF⊥AE交直线AE于点F，连接BF．（1）如图1，求证：CF+AF＝BF；（2）如图2，图3，其他条件不变，线段AF，CF，BF之间又有怎样的数量关系？直接写出你的猜想，不需证明．22．在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，P是对角线BD上一动点，过点P作PQ⊥AP，交射线CB于点Q．如图①，当点P与点O重合时，易证CQ＝PD（不需证明）；当点P在线段DO上时，如图②；当点P在线段BO上时，如图③，判断CQ与PD有怎样的数量关系？写出你的猜想，并对图②进行证明．参考答案1．解：连接BP，作EF⊥BC于点F，则∠EFB＝90°，∵正方形的性质可知∠EBF＝45°，∴△BEF为等腰直角三角形，∵正方形的边长为1，∴BE＝BC＝1，在直角三角形BEF中，∴BF＝EF＝，∵PM⊥BD，PN⊥BC，∴S△BPE+S△BPC＝S△BEC，∴BE×PM+BC×PN＝BC×EF，∵BE＝BC，∴PM+PN＝EF＝．2．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝BC＝AB＝CD，∠ADC＝∠BCD＝90°＝∠ABC＝∠BAD，又∵△BCE是等边三角形，∴BE＝CE，∠EDC＝∠ECD＝60°，∴∠ABE＝∠ECD＝30°，在△ABE和△DCE中，，∴△ABE≌△DCE（SAS）；（2）解：∵△BCE是等边三角形，∴CE＝BC＝BE，∵四边形ABCD是正方形∴CD＝BC，∴CE＝CD，∴∠CDE＝（180°﹣30°）＝75°，∵AB∥CD，∴∠AFD＝∠CDE＝75°．3．解：（1）AF＝BE，且AF⊥BE，理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝∠ADC＝90°，在△BAE和△ADF中，，∴△BAE≌△ADF（SAS），∴AF＝BE，∠DAF＝∠ABE，∵∠ABE+∠BEA＝90°，∴∠DAF+∠BEA＝90°，∴AF⊥BE；（2）由（1）知∴△BAE≌△ADF，∴∠ABE＝∠DAF，∵∠ABE+∠BEA＝90°，∴∠DAF+∠BEA＝90°，∴∠AOE＝∠BOF＝90°，∵点P为BF的中点，∴OP＝BF，∵BC＝AB＝CD＝5，AE＝DF＝2，∴CF＝CD﹣DF＝5﹣2＝3，∴BF＝＝＝，∴OP＝．4．（1）解：AF＝DE，AF⊥DE，理由如下：∵ABCD是正方形，∴AD＝AB＝BC，∠DAE＝∠ABF＝90°，∵E、F分别为边AB、BC的中点，∴AE＝BF．∴△DAE≌△ABF（SAS）．∴AF＝DE，∠ADE＝∠BAF．∵∠DAG+∠EAG＝90°，∴∠DAG+∠ADG＝90°．∴∠AGD＝90°．∴AF⊥DE；（2）证明：如图，过点B作BM⊥AF，垂足为M，则BM∥GE，∵AE＝BE，∴AG＝GM．设BF＝a，则AB＝2a，AF＝a，BM＝a，AM＝a，∴GM＝BM＝a．∴△BMG为等腰直角三角形．∴∠BGM＝45°，∠BGE＝90°﹣45°＝45°．∴∠BGM＝∠BGE．∴BG平分∠EGF．5．解：（1）∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，∴∠FCM＝∠FCD+∠DCM＝180°，∴F、C、M三点共线，∴DE＝DM，∠EDM＝90°．∴∠EDF+∠FDM＝90°，∵∠EDF＝45°，∴∠FDM＝∠EDF＝45°，∴△DEF≌△DMF（SAS），∴EF＝MF．（2）设EF＝MF＝x，∵AE＝CM＝2，且BC＝6，∴BM＝BC+CM＝6+2＝8，∴BF＝BM﹣MF＝BM﹣EF＝8﹣x，∵EB＝AB﹣AE＝6﹣2＝4．在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2＝EF2．即42+（8﹣x）2＝x2，∴解得：x＝5，即FM＝5．∴FC＝FM﹣CM＝5﹣2＝3．6．解：如图，取AB的中点E，连接OE、CE，则BE＝×2＝1，在Rt△BCE中，由勾股定理得，CE＝＝，∵∠AOB＝90°，点E是AB的中点，∴OE＝BE＝1，由两点之间线段最短可知，点O、E、C三点共线时OC最大，∴OC的最大值＝+1．7．证明：（1）∵点O是AC的中点，∴AO＝OC，∵AE∥BC，∴∠AEO＝∠CDO，∵∠AOE＝∠COD，∴△AOE≌△COD（AAS），∴AE＝CD，又∵AE∥BC，∴四边形ADCE是平行四边形，∵AD是等腰△ABC底边BC上的高，∴∠ADC＝90°，∴四边形ADCE是矩形；（2）①∵AD是等腰△ABC底边BC上的高，BC＝16，AB＝17，∴BD＝CD＝8，AB＝AC＝17，∠ADC＝90°，由勾股定理得：AD＝，∴四边形ADCE的面积是AD×DC＝15×8＝120；②当∠BAC＝90°时，∴AD⊥BC，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AD＝DC，∴四边形ADCE是正方形．8．解：（1）四边形BECF是菱形，理由如下：∵EF垂直平分BC，∴FB＝FC，EB＝EC，∴∠EBC＝∠ECB，∵CF∥AB，∴∠FCB＝∠EBC，∴∠FCB＝∠ECB，在△FCD和△ECD中，，∴△FCD≌△ECD（ASA），∴CF＝CE，∴FB＝FC＝CE＝BE，∴四边形BECF是菱形；（2）当∠A＝45°或BC＝AC时，∵∠BCA＝90°，∴△BCA是等腰直角三角形，∴CE⊥BE，∴菱形BECF是正方形，故答案为：∠A＝45°或BC＝AC．9．证明：（1）∵D、F分别为BC、AC的中点，使DF＝FE，∴CF＝F A，∴四边形AECD是平行四边形，∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴平行四边形AECD是矩形；（2）当∠BAC＝90°时，理由：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD＝BD＝CD，∵由（1）得四边形AECD是矩形，∴矩形AECD是正方形．10．（1）证明：过O作OH⊥AB于H点，∵OF⊥AC于点F，OG⊥BC于点G，∴∠OGC＝∠OFC＝90°．∵∠C＝90°，∴四边形OGCF是矩形．∵AD，BE分别是∠BAC，∠ABC的角平分线，OF⊥AC，OG⊥BC，∴OG＝OH＝OF，又四边形OGCF是矩形，∴四边形OGCF是正方形；（2）解：在Rt△ABC中，∵∠BAC＝60°，∴∠ABC＝90°﹣∠BAC＝90°﹣60°＝30°，∴AC＝AB，∵AC＝4，∴AB＝2AC＝2×4＝8，∵AC2+BC2＝AB2，∴BC＝＝4，在Rt△AOH和Rt△AOF中，，∴Rt△AOH≌Rt△AOF（HL），∴AH＝AF，设正方形OGCF的边长为x，则AH＝AF＝4﹣x，BH＝BG＝4﹣x，∴4﹣x+4﹣x＝8，∴x＝2﹣2，即正方形OGCF的边长为2﹣2．11．（1）证明：∵DE⊥BC，∴∠DFB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠DFB，∴AC∥DE，∵MN∥AB，即CE∥AD，∴四边形ADEC是平行四边形，∴CE＝AD；（2）解：四边形BECD是菱形，理由是：∵D为AB中点，∴AD＝BD，∵CE＝AD，∴BD＝CE，∵BD∥CE，∴四边形BECD是平行四边形，∵∠ACB＝90°，D为AB中点，∴CD＝BD，∴四边形BECD是菱形；（3）解：当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形，理由：∵∠ACB＝90°，∴∠ABC＝45°，由（2）可知，四边形BECD是菱形，∴∠ABC＝∠CBE＝45°，∴∠DBE＝90°，∴四边形BECD是正方形．12．证明：（1）连接GE，∵AB∥CD，∴∠AEG＝∠CGE，∵GF∥HE，∴∠HEG＝∠FGE，∴∠HEA＝∠CGF；（2）∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝∠A＝90°，∵四边形EFGH是菱形，∴HG＝HE，在Rt△HAE和Rt△GDH中，，∴Rt△HAE≌Rt△GDH（HL），∴∠AHE＝∠DGH，又∠DHG+∠DGH＝90°，∴∠DHG+∠AHE＝90°，∴∠GHE＝90°，∴菱形EFGH为正方形；13．证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠BAC＝∠DAC＝∠ACB＝∠ACD＝45°，在△ABE和△ADE中，，∴△ABE≌△ADE（SAS），∴BE＝DE；（2）在EF上取一点G，使EG＝EC，连接CG，∵△ABE≌△ADE，∴∠ABE＝∠ADE，∴∠CBE＝∠CDE，∵BC＝CF，∴∠CBE＝∠F，∴∠CBE＝∠CDE＝∠F，∵∠CDE＝15°，∴∠CBE＝15°，∴∠CEG＝60°，∵CE＝GE，∴△CEG是等边三角形，∴∠CGE＝60°，CE＝GC，∴∠GCF＝60°﹣15°＝45°，∴∠ECD＝∠GCF，在△DEC和△FGC中，，∴△DEC≌△FGC（SAS），∴DE＝GF，∴EF＝EG+GF＝CE+ED．14．（1）证明：作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，∵∠DCA＝∠BCA，∴EQ＝EP，∵∠QEF+∠FEC＝45°，∠PED+∠FEC＝45°，∴∠QEF＝∠PED，在Rt△EQF和Rt△EPD中，，∴Rt△EQF≌Rt△EPD（ASA），∴EF＝ED，∴矩形DEFG是正方形；（2）如图2中，在Rt△ABC中．AC＝AB＝2，∵EC＝，∴AE＝CE，∴点F与C重合，此时△DCG是等腰直角三角形，易知CG＝．（3）①当DE与AD的夹角为30°时，∠EFC＝120°，②当DE与DC的夹角为30°时，∠EFC＝30°综上所述，∠EFC＝120°或30°．15．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝∠ADF＝90°，在△ABE和△ADF中，∴△ABE≌△ADF（SAS）；∴AE＝AF，（2）连接AP，∵△ABE≌△ADF，∴∠BAE＝∠DAF，∠F AE＝90°，在Rt△EAF和Rt△ECF中，P是EF中点，∴P A＝PC＝PE＝PF＝EF，又∵AE＝AF，∠AEB＝75°，∴∠AEP＝45°，∠CEP＝∠ECP＝60°，∴∠DCP＝30°，在△APD和△CPD中，∴△APD≌△CPD（SSS），∴∠CDP＝45°，∴∠CPD＝180°﹣30°﹣45°＝105°．16．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC＝90°，AB＝AD＝DC，∵∠CDE＝20°，∴∠ADE＝70°，∵DE＝AB，∴DC＝DE，DA＝DE，∴∠DEC＝∠DCE＝×（180°﹣20°）＝80°，∠DAE＝∠DEA＝×（180°﹣70°）＝55°，∴∠AEC＝∠AED+∠DEC＝80°+55°＝135°，故答案为：135°；（2）结论：△AEG是等腰直角三角形．理由：∵AD＝DE，DF⊥AE，∴DG是AE的垂直平分线，∴AG＝GE，∴∠GAE＝∠GEA，∵DE＝DC＝AD，∴∠DAE＝∠DEA，∠DEC＝∠DCE，∵∠DAE+∠DEA+∠DEC+∠DCE+∠ADC＝360°，∴∠DEA+∠DEC＝135°，∴∠GEA＝45°，∴∠GAE＝∠GEA＝45°，∴∠AGE＝90°，∴△AEG为等腰直角三角形．（3）如图，连接AC，∵四边形ABCD是正方形，∴AC＝AB＝，∵△AEG为等腰直角三角形，GF⊥AE，∴GF＝AF＝EF＝1，∴AG＝GE＝，∵AC2＝AG2+GC2，∴10＝2+（EC+）2，∴EC＝（负根已经舍弃）．17．（1）证明：∵点O是正方形对角线交点，∴OB＝OC，∠OBE＝∠OCF＝45°，在△EBO和△FCO中，，∴△EBO≌△FCO（SAS），∴OE＝OF，（2）解：由（1）可知，△EBO≌△FCO，∴∠BOE＝∠COF，∵∠BOF+∠COF＝∠BOE+∠COF＝90°，∴∠EOF＝90°，∵OE＝OF，OG⊥EF，∴OG垂直平分EF，OG平分∠EOF，∴∠EOG＝45°，（3）解：∵OG垂直平分EF，∴EG＝GF，∴△BEG的周长为BE+EG+BG＝CF+GF+BG＝BC，∵BC＝AB＝10，∴△BEG的周长为10，（4）∵AC＝＝10，∴AO＝AC＝5，∵AE＝AO，∴BE＝AB﹣AE＝10﹣5，在△AED中，∠AOE＝（180°﹣∠EAO）＝67.5°，∴∠BOE＝∠AOB﹣∠AOE＝22.5°，∴∠BOG＝∠EOG﹣∠BOE＝22.5°，∴OB为∠EOG的角平分线，∵BO为∠EBG的角平分线，∴∠OBG＝∠OBE，∴△OBG≌△OBE（ASA），∴BE＝BG，OE＝OG，∴OB⊥EG，在△EBG中，EG＝＝10﹣10，∴S四边形BEOG＝2S△OBG＝×EG•OB＝50﹣25．18．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠ABM+∠CBM＝90°，∵AM⊥BM，CN⊥BN，∴∠AMB＝∠BNC＝90°，∴∠MAB+∠MBA＝90°，∴∠MAB＝∠CBM，∴△ABM≌△BCN（AAS），∴AM＝BN；（2）解：△OMN是等腰直角三角形，理由如下：如图，连接OB，∵点O是正方形ABCD的中心，∴OA＝OB，∠OBA＝∠OAB＝45°＝∠OBC，AO⊥BO，∵∠MAB＝∠CBM，∴∠MAB﹣∠OAB＝∠CBM﹣∠OBC，∴∠MAO＝∠NBO，又∵AM＝BN，OA＝OB，∴△AOM≌△BON（SAS），∴MO＝NO，∠AOM＝∠BON，∵∠AON+∠BON＝90°，∴∠AON+∠AOM＝90°，∴∠MON＝90°，∴△MON是等腰直角三角形．19．（1）证明：在正方形ABDE和ACFG中，AB＝AE，AC＝AG，∠BAE＝∠CAG＝90°，∴∠BAE+∠BAC＝∠CAG+∠BAC，即∠CAE＝∠BAG，∵在△ABG和△AEC中，，∴△ABG≌△AEC（SAS），∴BG＝CE；（2）证明：设BG、CE相交于点N，∵△ABG≌△AEC，∴∠ACE＝∠AGB，∵∠NCF+∠NGF＝∠ACF+∠AGF＝90°+90°＝180°，∴∠CNG＝360°﹣（∠NCF+∠NGF+∠F）＝360°﹣（180°+90°）＝90°，∴BG⊥CE；（3）解：过A作BG，CE的垂线段交于点P，Q，∵△ABG≌△AEC，∴AP＝AQ，∴AM是角平分线，∴∠AMC＝45°，∴∠AME＝135°．20．证明：（1）①∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADB＝∠CDB＝45°，AD＝DC，在△ADH和△CDH中，，∴△ADH≌△CDH（SAS），∴∠DAH＝∠DCH；②结论：EF＝2CG，理由如下：∵△DAH≌△DCH，∴∠DAF＝∠DCH，∵CG⊥HC，∴∠FCG+∠DCH＝90°，∴∠FCG+∠DAF＝90°，∵∠DF A+∠DAF＝90°，∠DF A＝∠CFG，∴∠CFG＝∠FCG，∴GF＝GC，∵∠GCE+∠GCF＝90°，∠CFG+∠E＝90°，∴∠GCE＝∠GCF，∴CG＝GE，∴EF＝2CG；（2）①如图，当点F在线段CD上时，连接DE．∵∠GFC＝∠GCF，∠GEC+∠GFC＝90°，∠GCF+∠GCE＝90°，∴∠GCE＝∠GEC，∴EG＝GC＝FG，∵FG＝GE，FM＝MD，∴DE＝2MG＝8，在Rt△DCE中，CE＝＝＝2，∴BE＝BC+CE＝6+2；②如图，当点F在线段DC的延长线上时，连接DE．同法可知GM是△DEC的中位线，∴DE＝2GM＝6，在Rt△DCE中，CE＝2，∴BE＝BC﹣CE＝6﹣2综上所述，BE的长为6+2或6﹣2．21．证明：（1）如图1，延长FC至H，使CH＝AF，连接BH，∵CF⊥AE，∴∠AFC＝∠ABC＝90°，∴∠F AB+∠FCB＝180°，∵∠FCB+∠BCH＝180°，∴∠BCH＝∠F AB，在△ABF和△CBH中，，∴△ABF≌△CBH（SAS），∴∠ABF＝∠CBH，BF＝BH，∴∠ABC＝∠ABF+∠CBF＝∠CBH+∠CBF＝90°＝∠FBH，∴△FBH是等腰直角三角形，∴FH＝FB，∴FC+AF＝BF；（2）图2，AF﹣CF＝BF；理由如下：如图2，在线段AF上截取AH＝CF，连接BH，∵AF⊥CF，∴∠AFC＝∠ADC＝90°，∴∠DAF+∠DCF＝180°，∴∠DAF+∠BCF＝90°，∵∠DAF+∠BAF＝90°，∴∠BAH＝∠BCF，在△ABH和△CBF中，，∴△ABH≌△CBF（SAS），∴BH＝BF，∠ABH＝∠CBF，∴∠ABC＝∠ABH+∠CBH＝∠CBF+∠CBH＝∠FBH＝90°，∴△BFH是等腰直角三角形，∴FH＝BF，∴AF﹣CF＝BF；图3，CF﹣AF＝BF；理由如下：如图3，在线段CF上截取CH＝AF，连接BH，同理可证△BFH是等腰直角三角形，∴FH＝BF，∴CF﹣AF＝BF．22．解：图②结论：CQ＝PD；图③结论：CQ＝PD；证明：如图②，过点P作AB的平行线交AD于G，交BC于点H，过点P作AD的平行线交AB于点S，交CD于点R，连接PC，∵BD是正方形ABCD的对角线，∴∠PBH＝45°，∴△BPH为等腰直角三角形，同理△BPS为等腰直角三角形，∴四边形SPHB为正方形，∴RC＝SP＝BH＝AG＝PH，同理可证四边形GPRD为正方形，∴PG＝PR，∵∠APG+∠QPH＝90°，∠QPH+∠PQH＝90°，∴∠APG＝∠PQH，在△PGA和△QHP中，，∴△PGA≌△QHP（AAS），∴AP＝PQ，在△PGA和△PRC中，，∴△PGA≌△PRC（SAS），∴AP＝PC，∴PQ＝PC，∴CQ＝2HC＝2PR＝2×PD＝PD．。