福建2020-2021年九年级上册数学第五单元专练：正方形及特殊平行四边形【含答案】

3.2特殊平行四边形（时间100分钟满分：100分）教材跟踪训练（一）填空题（共16分）1. （2分）矩形除了具备平行四边形的性质外，还有一些特殊性质：四个角_______ ，对角线2. （1分）在矩形ABCD中，对角线ACBD交于点0,若AOB 100°，则OAB .3. （1分）已知菱形一个内角为120°，且平分这个内角的一条对角线长为8cm,则这个菱形的周长为4. （3分）矩形的两条对角线把这个矩形分成了四个_____________ 三角形.菱形的两条对角线把这个菱形分成了四个___________ 三角形.正方形的两条对角线把这个正方形分成了四个三角形.5. （2分）如图，把两个大小完全相同的矩形拼成“ L”型图案，则FAC _ 「FCA6. （2分）正方形的边长为a，则它的对角线长___________ ，若正方形的对角线长为b，它的边长为______ . _____7. （1分）边长为a的正方形，在一个角剪掉一个边长为的b正方形，则所剩余图形的周长为8. （4分）顺次连接四边形各边中点，所得的图形是顺次连接对角线的四边形的各边中点所得的图形是矩形.顺次连接对角线______________ 的四边形的各边中点所得的四边形是菱形.顺次连接对角线________________ 的四边形的各边中点所得的四边形是正方形.（二）选择题（每小题2分，共14分）1. 正方形具备而菱形不具备的性质是（）A.对角线互相平分B. 对角线互相垂直C.对角线相等D. 每条对角线平分一组对角2. 下列命题是真命题的是（）A.有一个角是直角的四边形是矩形B.有一组邻边相等的四边形是菱形C.有三个角是直角的四边形是矩形D. 有三条边相等的四边形是菱形3. 从菱形的钝角顶点，向对角的两边条垂线，垂足恰好在该边的中点，则菱形的内角中钝角的度数是（）A.150oB. 135oC. 120oD. 100o4. 顺次连接一个四边形的各边中点，得到了一个矩形，则下列四边形满足条件的是（）①平行四边形②菱形③等腰梯形④对角线互相垂直的四边形A.①③B.②③C.③④D. ②④5. 在平行四边形、菱形、矩形、正方形中，能够找到一个点，使该点到各顶点距离相等的图形是（）A.平行四边形和菱形B.菱形和矩形C.矩形和正方形D.菱形和正方形6. 矩形的边长为10cm和15cm,其中一个内角的角平分线分长边为两部份，这两部份的长为（）A.6cm 和9cmB. 5cm 和10 cmC. 4cm 和11cmD. 7cm 和8cm7. 如图，点E是正方形ABCD寸角线AC上一点，AF BE于点F,交BD于点G,则下述结论中不成立的是（）A.AG=BEB. △ABG^A BCEC.AE=DGD.Z AGD2 DAG（三）解答题（每小题3分，共21分）1. 已知：如图Rt △ ABC中，/ ACB= 90°, CD为/ ACB的平分线，DEI BC于点E, DF丄AC于点F.求证：四边形CEDF是正方形.2. 已知，AD>^ ABC的角平分线，DE// AC交AB于点E, DF// AB交AC于点F. 求证：四边形AEDF 是菱形.3. 求证：顺次连接一个等腰梯形的各边中点，所得到的四边形是菱形4. 如图，△ ABC中，BD。

2020-2021学年北师大版九年级上册数学《第1章特殊的平行四边形》单元测试卷一．选择题1．若菱形的一条对角线长是另一条对角线长的2倍，且菱形的面积为16cm2，则菱形的周长为（）A．cm B．cm C．cm D．16cm2．四边相等的四边形一定是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．无法判定3．若菱形的两邻角之比为1：2，那么此菱形的较短对角线与较长对角线之比为（）A．1：2B．1：3C．1：D．2：4．四个内角都相等的四边形是（）A．矩形B．菱形C．梯形D．平行四边形5．▱ABCD中，O是对角线的交点，不能判定这个平行四边形是正方形的是（）A．∠BAD＝90°，AB＝AD B．∠BAD＝90°，AC⊥BDC．AC⊥BD，AC＝BD D．AB＝AC，∠BAD＝∠BCD6．在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（2，0），C（0，﹣2），D（﹣2，0）以这四个点为顶点的四边形ABCD是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．梯形7．用折纸、剪切的方法得到一个菱形，最少要剪（）刀（设一条线段剪一刀）．A．1B．2C．3D．48．如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1+∠2的度数为（）A．90°B．105°C．120°D．135°9．一个矩形，长为6、宽为4，若以该矩形的两条对称轴为坐标轴建立平面直角坐标系，下面哪个点不在矩形上（）A．（3，﹣2）B．（﹣3，3）C．（﹣3，2）D．（0，﹣2）10．如图，正方形ABCD与正方形CEFG（边长不等），B，C，F三点共线，连接BE交CD于M，连接DG交BE，CE，CF分别于N，P，Q，下面结论：①BE＝DG；②BM ＝DQ；③CM＝CP；④∠BNQ＝90°中正确的是（）A．①②B．①②④C．②③④D．①③④二．填空题11．如图，在菱形ABCD中，E、F分别在BC、CD上，且△AEF是等边三角形，AE＝AB，则∠BAD的度数是．12．用刻度尺检查一个四边形零件是矩形，你的方法是，依据是．13．任意一个平行四边形，当它的一个锐角增大到度时，就变成了矩形；当它的一组邻边变到时，就变成了菱形．14．如图，BE，CF是△ABC的高，M是BC的中点，若不添加辅助线，则图中的三角形一定是等腰三角形的有个．15．若大正方形的边长为2，则图中阴影部分的面积为．16．如图，在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，AE＝AB，则∠EBC＝．17．已知四边形ABCD各边中点分别E，F，G，H，如果四边形ABCD是，那么四边形EFGH是正方形．18．菱形的两条对角线长分别是6和，则菱形的面积是，周长是．19．如图，已知四边形ABCD是一个平行四边形，则只须补充条件，就可以判定它是一个菱形．20．如图，一块长方形场地ABCD的长AB与宽AD的比为2：1，DE⊥AC于点E，BF⊥AC 于点F，连结BE，DF，则四边形DEBF与长方形ABCD的面积比为．三．解答题21．如图所示，已知EG，FH过正方形ABCD的对角线的交点O，EG⊥FH．求证：四边形EFGH是正方形．22．如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，点E、F分别是AB、AD上的动点，且满足BE＝AF，接连EF、EC、CF．（1）求证：△EFC是等边三角形；（2）试探究△AEF的周长是否存在最小值？如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出△AEF周长的最小值．23．平行四边形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，AB＝，AO＝2，OB＝1．四边形ABCD是菱形吗？为什么？24．检查你教室里的方桌面是不是矩形，如果只有一根足够长的绳子，应如何检查？解释其中的道理．25．如图所示，△ABC中，CD是△ABC的角平分线，AE⊥CD于E，F为AC的中点，试问EF∥BC吗？为什么？26．如图，E是矩形ABCD的边AD上一点，且BE＝ED，P是对角线BD上任意一点，PF ⊥BE，PG⊥AD，垂足分别为F、G．求证：PF+PG＝AB．27．如图，正方形ABCD中，E、F分别在BC、DC上，且∠EAF＝45°．试说明：BE+DF ＝EF．参考答案与试题解析一．选择题1．解：∵菱形的一条对角线长是另一条对角线长的2倍，∴设菱形的一条对角线长为2xcm，另一条对角线长为xcm，∵菱形的面积为16cm2，∴×2x×x＝16，解得：x＝4，∴菱形的两条对角线长为4cm，8cm，∴菱形的边长为：＝2（cm），∴菱形的周长为：8cm．故选：C．2．解：根据菱形的判定：四边相等的四边形是菱形．故选：B．3．解：如图，∵菱形的两邻角之比为1：2，∴较小角为60°，∴∠ABO＝30°，∴＝tan∠ABO＝，∵AC＝2OA，BD＝2OB，∴AC：BD＝：3＝1：．故选：C．4．解：∵四边形的内角和可知四个角的和为360°，∴∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，∴四边形ABCD是矩形．故选：A．5．解：A：根据AB＝AD可得出平行四边形是菱形，再利用∠BAD＝90°，能判定为正方形，故此选项不符合题意；B：根据AC⊥BD可得出平行四边形是菱形，再利用∠BAD＝90°，能判定为正方形，故此选项不符合题意；C：根据AC⊥BD可得出平行四边形是菱形，再利用AC＝BD，能判定为正方形，故此选项不符合题意；D：根据AB＝AD可得出平行四边形是菱形，∠BAD＝∠BCD是所有平行四边形具有的性质，故不能判定是正方形，故此选项符合题意；故选：D．6．解：∵AB＝BC＝CD＝DA＝，∴四边形ABCD是菱形．又∵tan∠ABO＝＝1，故∠ABO＝45°．同理∠CBO＝45°∴∠ABC＝90°．故四边形ABCD是正方形．故选：C．7．解：一刀．将纸四折，把原来纸的中心作为直角三角形的直角，然后任意剪一个三角形下来，都是菱形．故选：A．8．解：观察图形可知，∠1所在的三角形与∠2所在的三角形全等，∴∠1+∠2＝90°，故选：A．9．解：建立如图所示的直角坐标系，矩形的四个顶点坐标是（﹣3，2），（﹣3，﹣2），（3，2），（3，﹣2）；或（﹣2，3），（﹣2，﹣3），（2，3），（2，﹣3），故选：B．10．解：在正方形ABCD与正方形CEFG中，BC＝CD，CE＝CG，∠BCD＝∠ECG＝90°，∴∠BCD+∠DCE＝∠ECG+∠DCE，即∠BCE＝∠DCG，在△BCE和△DCG中，，∴△BCE≌△DCG（SAS），∴BE＝DG，∠CBE＝∠CDG，故①正确；在△BCM和△DCQ中，，∴△BCM≌△DCQ（ASA），∴BM＝DQ，CM＝CQ，故②正确；在Rt△CPG中，∠CGP+∠CPG＝90°，在Rt△CDQ中，∠CDQ+∠CQD＝90°，∵正方形ABCD与正方形CEFG的边长不等，∴∠CDQ≠∠CGP，∴∠CQD≠CPG，∴CQ≠CP，∴CM≠CP，故③错误；∵∠CBE+∠BMC＝90°，∠CBE＝∠CDG，∠BMC＝∠DMN（对顶角相等），∴∠CDG+∠DMN＝90°，∴∠DNM＝90°，∴∠BNQ＝180°﹣∠DNM＝180°﹣90°＝90°，故④正确，综上所述，正确的结论有①②④．故选：B．二．填空题11．解：如图所示：∵在菱形ABCD中，E、F分别在BC、CD上，且△AEF是等边三角形，AE＝AB，∴AB＝AD＝AE＝AF，∠2＝∠3＝∠D＝∠AFD，∠EAF＝∠AEF＝∠AFE＝60°，设∠2＝x，则∠2＝∠3＝∠D＝∠AFD＝x，故∠1＝180°﹣2x，则∠DAF＝180°﹣2x，∵AD∥BC，∴∠2+∠1+∠EAF+∠DAF＝180°，∴x+2（180°﹣2x）+60°＝180°，解得：x＝80°，则∠BAD＝100°．故答案为：100°．12．解：先测量两组对边是否相等，然后测量两条对角线是否相等；理由：∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，又∵对角线相等的平行四边形是矩形；∴可判断是否是矩形．故答案为：先测量两组对边是否相等，然后测量两条对角线是否相等；对角线相等的平行四边形是矩形．13．解：因为平行四边形两组对边分别平行且相等，所以当一个锐角增加为90°时，四个角都是90°，可得其为矩形；当平行四边形的一组邻边相等时，四条边都相等，所以四边形是菱形．故答案为：90，相等．14．解：∵BE是△ABC的高，∴BE⊥CE．又点M是BC的中点，∴在Rt△BCE中，ME＝BM＝CM（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），∴△BME、△CME是等腰三角形；同理，△BMF、△CMF是等腰三角形．综上所述△BME、△CME、△BMF、△CMF都是等腰三角形；故答案是：4．15．解：根据正方形的轴对称性可得，△AOE与△DOE，△BOF与△COH沿着EG翻折，都能互相重合，∴△AOE的面积＝△DOE的面积，△BOF的面积＝△COH的面积，∴图中阴影部分的面积＝矩形ABGE的面积＝×正方形ABCD的面积＝×4＝2．故答案为：216．解：∵正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，∴∠BAC＝45°，∵AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB＝67.5°，∵∠ABE+∠ECB＝90°，∴∠EBC＝22.5°，故答案为22.5°．17．解：由题中E、F、G、H是各边的中点，根据三角形中位线定理知四边形EFGH为平行四边形．∵EFGH是正方形∴EF＝GF＝AC＝BD，且∠EFG＝90°∴AC＝BD且AC⊥BD．即四边形ABCD是对角线垂直且相等的四边形．18．解：如图，AC＝6，BD＝6，∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，A＝OC＝AC＝3，OB＝OD＝BD＝3，在Rt△AOB中，AB＝＝＝6，∴菱形ABCD的面积＝AC•BD＝×6×6＝18，菱形ABCD的周长＝4AB＝4×6＝24．故答案为18，24．19．解：补充的条件是AB＝BC，理由是：∵AB＝BC，四边形ABCD是平行四边形，∴平行四边形ABCD是菱形，故答案为：AB＝BC．20．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AD＝BC，∠ABC＝90°，∴∠DAE＝∠BCF．∵BF⊥AC，DE⊥AC，∴∠AED＝∠CFB＝90°，BF∥DE．在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（AAS），∴DE＝BF．又∵BF∥DE，∴四边形DEBF是平行四边形．设AD＝BC＝x，则CD＝AB＝2x，∴AC＝＝＝x，∵DE⊥AC于点E，∴DE＝＝＝x，在△ADE中，AE＝＝x，同理CF＝x，∴EF＝AC﹣AE﹣CF＝x，∴S＝EF×DE＝x•x＝x2，四边形DEBF＝x×2x＝2x2，∵S矩形ABCD∴四边形DEBF与矩形ABCD的面积之比为：2＝3：5；故答案为：3：5．三．解答题21．∵四边形ABCD为正方形，∴OB＝OC，∠ABO＝∠BCO＝45°，∠BOC＝90°＝∠2+∠3．∵EG⊥FH，∴∠1+∠3＝90°．∴∠1＝∠2．∴△COH≌△BOE．∴OE＝OH．同理可证：OE＝OF＝OG．∴OE+OG＝OF+OH，即EG＝FH．又∵EG⊥FH，∴四边形EFGH为正方形．22．（1）证明：连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴∠1＝∠2＝∠BAD，AD∥BC，AB＝BC，∴∠B+∠BAD＝180°，∵∠B＝60°，∴∠BAD＝120°，∴∠1＝∠2＝60°，∵AB＝BC，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，在△AFC和△BEC中，，∴△AFC≌△BEC（SAS），∴FC＝EC，∠4＝∠3，∵AD∥CB，∴∠4+∠5＝∠2＝60°，∴∠3+∠5＝60°，∴△EFC是等边三角形；（2）解：△AEF的周长有最小值，理由：当CE⊥AB时CE最短，由△CEF是等边三角形，∴EF也是最短的．CE是边长为2等边△ABC的高，∴CE＝，EF＝，所以AE+AF+EF＝2+．∴△AEF周长的最小值为：2+．23．解：在△AOB中，∵AB＝，AO＝2，OB＝1，∴AB2＝（）2＝5，AO2+OB2＝22+12＝5，∴AB2＝AO2+OB2，∴△AOB 为直角三角形，即∠AOB ＝90°．∴AC 、BD 互相垂直．∴四边形ABCD 是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）．24．解：因为两组对边相等的四边形是平行四边形；对角线相等的平行四边形是矩形． 所以，先量两组对边的长度是否相等，确定是不是平行四边形，再量两条对角线是否等长，确定是矩形．根据对角线相等的平行四边形是矩形．25．解：平行．∵AE ⊥CD 于E ，F 为AC 的中点，∴EF ＝CF （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）．∴∠FEC ＝∠ACE ．又∵∠ACE ＝∠BCE ，∴∠FEC ＝∠BCE ．∴EF ∥BC （内错角相等，两直线平行）．26．证明：连接PE ，∵BE ＝ED ，PF ⊥BE ，PG ⊥AD ，∴S △BDE ＝S △BEP +S △DEP ＝BE •PF +ED •PG ＝ED •（PF +PG ），又∵四边形ABCD 是矩形，∴BA ⊥AD ，∴S △BED ＝ED •AB ， ∴ED •（PF +PG ）＝ED •AB ，∴PF +PG ＝AB ．27．证明：如图，把△ABE逆时针旋转90°得到△ADG，∴BE＝GD，AE＝AG，∵∠EAF＝45°，∴∠FAG＝90°﹣45°＝45°，∴∠EAF＝∠FAG，在△AEF和△AGF中，，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝GF，即EF＝GD+DF，∴BE+DF＝EF．。

第一章特殊平行四边形测试题（时间：分钟满分：120分）一、选择题(每小题3分,共30分)1.已知下列命题：①矩形是轴对称图形，且有两条对称轴；②两条对角线相等的四边形是矩形；③有两个角相等的平行四边形是矩形；④两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个2.如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是（）A．AB=BC B．AC=BC C．∠B=60°D．∠ACB=60°3.如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为点E，连接DF，则∠CDF等于（）A50° B.60° C.70° D.80°4.相邻两边长分别为2和3的平行四边形，若边长保持不变，其内角大小变化，则它可以变为（）A．矩形B．菱形C．正方形D．矩形或菱形5.如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作EF⊥AC交BC于点E，交AD于点F，连接AE，CF，则四边形AECF是（）A．矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 无法确定6.如图，正方形ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点，连接DE，BF，CE，AF，正方形ABCD的面积为1，则阴影部分的面积为（）A.12B.13C.14D.15、第2题图第5题图第3题图第6题图第7题图第8题图7.如图，正方形ABCD 的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE=22.5°，EF⊥AB，垂足为点F，则EF的长为（）A.1B. 2C.4-2 2D.32-48.如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A落在BC上的点F处，折痕为BE，若沿EF剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是（）A．邻边相等的矩形是正方形B．对角线相等的菱形是正方形C．两个全等的直角三角形构成正方形D．轴对称图形是正方形9.如图，边长分别为4和8的两个正方形ABCD和CEFG并排放在一起，连接BD 并延长，交EG于点T，交FG于点P，则GT等于（）A. 2B.2 2C.2D.110.如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边上的点B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是（）A．12 B．24 C.12 3 D. 16 3二、选择题(每小题3分,共24分)11.如图，四边形ABCD的对角线互相垂直，且OB=OD，请你添加一个适当的条件______，使四边形ABCD成为菱形（只需添加一个即可）.12.如图，矩形ABCD内有一点E，连接AE，DE，CE，使AD=ED=EC，若∠ADE=20°，则∠AEC=____.13.如图，两条笔直的公路l1、l2相交于点O，村庄C的村民在公路的旁边建三个加工厂A，B，D.已知AB=BC=CD=DA=5 km，村庄C到公路l1的距离为4 km，则第10题图第9题图第11题图第12题图第13题图村庄C到公路l2的距离是______km.14如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点P是AB上的任意一点，作PD⊥AC于点D，PE⊥CB于点E，连接DE，则DE的最小值为______.第16题图第15题图第14题图15.如图，已知四边形ABCD是菱形，∠A=72°，将它分割成如图所示的四个等腰三角形，那么∠1+∠2+∠3=______度．16.如图，一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋．若改变框架的形状，则∠α也随之变化，两条对角线长度也在发生改变．当∠α为______度时，两条对角线长度相等．17.如图，在△ABC中，O是AC上一动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA 的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F.若点O运动到AC的中点，则∠ACB=_____°时，四边形AECF是正方形．第17题图第18题图18.如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1，连接AD1,BC1．若∠ACB=30°，AB=1，CC1=x，则下列结论：①△A1AD1≌△CC1B；②当x=1时，四边形ABC1D1是菱形；③当x=2时，△BDD1为等边三角形.其中正确的是（填序号）．三、解答题(共66分)19.(6分)如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，点P是AC的中点.求证：∠BDP=∠DBP．第19题图20.(6分)如图，在直线MN上和直线MN外分别取点A,B，过线段AB的中点作CD∥MN，分别与∠MAB与∠NAB的平分线相交于点C,D．求证：四边形ACBD是矩形．21.(8分)如图，在菱形ABCD中，F是BC上任意一点，连接AF交对角线BD于点E，连接EC．（1）求证：AE=EC；（2）当∠ABC=60°，∠CEF=60°时，点F在线段BC上的什么位置？说明理由．22.(8分)如图，已知四边形ABCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是点E,F，并且DE=DF．求证：（1）△ADE≌△CDF；（2）四边形ABCD是菱形．第20题图第21题图第22题图23.(8分)如图，Rt△ABE与Rt△DCF关于直线m对称，已知∠B=90°，∠C=90°，连接EF，AD，点B，E，F，C 在同一条直线上．求证：四边形ABCD是矩形．第23题图24.(8分)如图, 在△ACD中，∠ADC=90°，∠ADC的平分线交AC于点E，EF⊥AD交AD于点F，EG⊥DC交DC于点G，请你说明四边形EFDG是正方形．第24题图25.(10分)如图，正方形ABCD中，动点E在AC上，AF⊥AC，且AF=AE．（1）求证：BF=DE；（2）当点E运动到AC的中点时（其他条件都保持不变），四边形AFBE是什么特殊四边形？说明理由．第25题图26.(12分)如图，矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于O点，点P是线段AD上一动点（不与点D重合），PO的延长线交BC于Q点．（1）求证：四边形PBQD为平行四边形.（2）若AB=3cm，AD=4cm，P从点A出发．以1cm/s的速度向点D匀速运动．设点P的运动时间为ts，问：四边形PBQD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．参考答案一、1．C 2.B 3.B 4.A 5.B 6.C 7.C 8.A 9.B 10.D二、11. 不唯一，如OA=OC 12. 120°13.4 14. 4.8 15.90 16.90 17.9018.①②③三、19.证明：∵∠ABC=∠ADC=90°，P是AC的中点，∴BP=12AC，PD=12AC.∴BP=PD.∴∠BDP=∠DBP．20.证明：∵AD平分∠BAN，∴∠DAN=∠BAD.∵CD∥MN，∴∠CDA=∠DAN.∴∠BAD=∠CDA.∴OD=OA.同理CO=OA. ∴CO=OD.∵AO=BO，∴四边形ACBD是平行四边形.21. (1)提示：证△ADE≌△CDE即可.(2)解：点F是线段BC的中点．理由：连接AC.在菱形ABCD中，AB=BC.又∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形.∴∠BAC=60°.∵AE=EC，∠CEF=60°，∴∠EAC=12∠BAC=30°.∴AF是△ABC的角平分线.∴点F是线段BC的中点．22.证明：（1）∵DE⊥AB，DF⊥BC,∴∠AED=∠CFD=90°.∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠A=∠C.又DE＝DF,∴△AED≌△CFD.（2）∵△AED≌△CFD，∴AD=CD.∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD 是菱形．23.解：∵Rt△ABE与Rt△DCF关于直线m对称，∴AB=DC.∵∠B=90°，∠C=90°，点B，E，F，C在同一条直线上，∴AB∥CD.∴四边形ABCD是平行四边形.第26题图∵∠B=90°，∴平行四边形ABCD是矩形．24.解：∵∠ADC=90°，EF⊥AD，EG⊥CD，∴四边形EFDG是矩形. 又∵DE平分∠ADE，∴EF=EG.∴四边形EFDG是菱形.∴四边形EFDG是正方形25.（1）提示：由SAS证△ABF≌△ADE即可得BF=DE.(2)解：当点E运动到AC的中点时，四边形AFBE是正方形.理由：∵点E运动到AC的中点，AB=BC，∴BE⊥AC，BE=AE=12 AC.∵AF=AE，∴BE=AF=AE. 又∠FAE=90°，∴BE∥AF.。

2021年中考九年级数学压轴题专题复习：四边形综合练习1、如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点，∠AEF=90°，EF交正方形外角的平分线CF于F．求证：AE=EF．2、如图，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上一点，且CE=CD，过点E作EF ⊥AC交AD于点F，连接BE．（1）求证：DF=AE；（2）当AB=2时，求BE2的值．3、已知：如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P．（1）求证：AP=BQ；（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ的长．4、如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD、等边△ABE。

已知∠BAC=30º，EF⊥AB，垂足为F，连结DF。

（1）试说明AC=EF；（2）求证：四边形ADFE是平行四边形。

5、如图正方形ABCD的边长为4，E、F分别为DC、BC中点．（1）求证：△ADE≌△ABF．（2）求△AEF的面积．6、如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处。

（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）若AB=6，AC=10，求四边形AECF的面积。

7、如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE，已知∠ABC=60°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．（1）求证：△ABC≌△EAF；（2）试判断四边形EFDA的形状，并证明你的结论．8、如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，且∠EAF=45°，将△ADF 绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，连接EQ，求证：（1）EA是∠QED的平分线；（2）EF2=BE2+DF2．9、已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1=∠2．（1）若CE=1，求BC的长；（2）求证：AM=DF+ME．10、在矩形ABCD中，=a，点G，H分别在边AB，DC上，且HA=HG，点E为AB 边上的一个动点，连接HE，把△AHE沿直线HE翻折得到△FHE．（1）如图1，当DH=DA时，①填空：∠HGA= 度；②若EF∥HG，求∠AHE的度数，并求此时的最小值；（2）如图3，∠AEH=60°，EG=2BG，连接FG，交边FG，交边DC于点P，且FG ⊥AB，G为垂足，求a的值．11、已知正方形ABCD的边长为4，一个以点A为顶点的45°角绕点A旋转，角的两边分别与边BC、DC的延长线交于点E、F，连接EF。

第二节矩形、菱形、正方形某某：________ 班级：________ 限时：______分钟1．(2018·某某A卷)下列命题正确的是( )A．平行四边形的对角线互相垂直平分B．矩形的对角线互相垂直平分C．菱形的对角线互相平分且相等D．正方形的对角线互相垂直平分2．(2018·某某)用尺规在一个平行四边形内作菱形ABCD，下列作法中错误的是( )3．(2018·日照)如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，添加下列条件，不能判定四边形ABCD是菱形的是( )A．AB＝AD B．AC＝BDC．AC⊥BD D．∠ABO＝∠CBO第3题图4．(2018·某某)如图，已知点E、F、G、H分别是菱形ABCD各边的中点，则四边形EFGH是( ) A．正方形 B．矩形C．菱形 D．平行四边形5．(2018·某某)如图，在菱形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD和DA的中点，连接EF、FG、GH和HE，若EH＝2EF，则下列结论正确的是( )A．AB＝2EF B．AB＝3EFC．AB＝2EF D．AB＝5EF6．(2018·某某州) 如图所示，在正方形 ABCD中，G 为 CD边的中点，连接 AG 并延长交 BC 边的延长线于 E 点，对角线 BD交 AG 于 F 点，已知 FG ＝2，则线段 AE 的长度为( )A．6 B. 8 C．10 D．127．(2018·内江)如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE与AD交于点F，已知∠BDC ＝62°，则∠DF E的度数为( )A．31° B．28° C．62° D．56°8．(2018·某某)如图所示，点O是矩形ABCD对角线AC的中点，OE∥AB交AD于点E.若OE＝3，BC＝8，则OB的长为( )A．4 B．5 C.342D.349．(2018·某某)如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，BE∥DF且BE与DF之间的距离为3，则AE的长是( )A. 7B. 38C. 78D. 5810．(2018·宿迁)如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 为CD 的中点，若菱形ABCD 的周长为16，∠BAD＝60°，则△OCE 的面积是( )A. 3B ．2C. 2 3D ．411．(2017·黔东南州)如图，正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，FE⊥AB，AF ＝2AE ，FC 交BD 于O ，则∠DOC 的度数为( )A. 60°B. 67.5°C. 75°D. 54°12．(2018·龙东)如图，在平行四边形ABCD 中，添加一个条件________， 使平行四边形ABCD 是矩形．13．(2018·某某)如图，在△ABC 中，AD ，CD 分别平分∠BAC 和∠ACB，AE∥CD，CE∥AD，若从三个条件：①AB＝AC ；②AB＝BC ；③AC＝BC 中，选择一个作为已知条件，则能使四边形ADCE 为菱形的是________(填序号)．14．(2018·某某)如图，已知菱形ABCD ，对角线AC ，BD 交于点O ，若tan ∠B AC ＝13，AC ＝6，则BD 的长是________．15．(2018·某某)如图所示，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O.若AC＝6，BD＝8，AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为________．16．(2018·黔南州) 已知一个菱形的边长为2，较长的对角线长为23，则这个菱形的面积是________．17．(2017·某某)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，M、N分别为边AB、BC的中点，连接MN，若MN＝1，BD＝23，则菱形的周长为________．18．(2018·某某)如图，四边形ACDF是正方形，∠CEA和∠ABF都是直角且点E，A，B三点共线，AB＝4，则阴影部分的面积是________．19．(2018·某某质检)如图，正方形ABCD的面积为18，菱形AECF的面积为6，则菱形的边长为________．20．(2018·某某质检)如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD，中间阴影部分是一个小正方形EFGH，这样就组成一个“赵爽弦图”．若AB＝5，AE＝4，则正方形EFGH的面积为________．21．(2018·某某)如图，在▱ABCD中，作对角线BD的垂直平分线EF，垂足为O，分别交AD、BC于E、F，连接BE，DF.求证：四边形BFDE是菱形．22．(2018·某某) 如图，等边△AEF的顶点E，F在矩形ABCD的边BC，CD上，且∠CEF＝45°.求证：矩形ABCD是正方形．23．(2018·建设兵团)如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F是AC上的两点，并且AE＝CF，连接DE，BF.(1)求证：△DOE≌△BOF；(2)若BD＝EF，连接EB，DF，判断四边形EBFD的形状，并说明理由．24．(北师九上P27第11题改编)如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E是CD的中点，连接OE.过点C作BD的平行线交线段OE的延长线于点F，连接DF.求证：(1)△ODE≌△FCE；(2)四边形CODF是菱形．25．(2018·某某)如图，▱ABCD中，点E是BC的中点，连接AE并延长交DC延长线于点F.(1)求证：CF＝AB；(2)连接BD、BF，当∠BCD＝90°时，求证：BD＝BF.26．(2018·)如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C 作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE.(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)若AB＝5，BD＝2，求OE的长．1．(2018·建设兵团)如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，点M、N分别是AB、BC边的中点，则MP＋PN的最小值是( )A.12B．1 C.2D．22．(2018·某某)以正方形ABCD的边AD作等边△ADE，则∠BEC的度数是________．3．(2018·某某)已知正方形ABCD的边长为5，点E，F分别在AD，DC上，AE＝DF＝2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为________．4．(2018·某某质检)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O.(1)AB＝2，AO＝5，求BC的长；(2)∠DBC＝30°，CE＝CD，∠DCE＜90°，若OE＝22BD，求∠DCE的度数．5.(2018·某某)如图，在平行四边形ABCD中，DB＝DA，点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE.(1)求证：四边形AEBD是菱形；(2)若DC＝10，tan∠DCB＝3，求菱形AEBD的面积．6. (2018·某某)已知矩形ABCD中，E是AD边上的一个动点，点F，G，H分别是BC，BE，CE的中点.(1)求证：△BGF ≌△FHC；(2)设AD＝a，当四边形EGFH是正方形时，求矩形ABCD的面积．参考答案【基础训练】11．A【解析】如解图，连接BF ，∵点E 为AB 的中点，∴AB＝2AE ，∵AF＝2AE ，∴cos ∠FAE＝12，∴∠FAE＝60°，∴△ABF 是等边三角形，∴∠ABF ＝60°，BF ＝AB ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB＝BC ，∠ABC＝90°，∴∠FBC＝∠ABF＋∠ABC＝150°，BF ＝BC ，∴∠BCF＝∠BFC＝12×(180°－150°)＝15°，∵BD 是正方形ABCD 的对角线，∴∠DBC＝45°，∴∠DOC＝∠DBC＋∠BCF＝45°＋15°＝60°.12．AC ＝BD(答案不唯一) 13.② 14.2 15.2453 17．8 18.8 19.1021．证明：∵EF 垂直平分BD ，∴EB＝ED ，∴∠EDB＝∠EBD，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∴∠EBD＝∠FBD，∴△EBO≌△FBO，∴EO＝OF ，∴EF 与BD 互相垂直平分，∴四边形BFDE 是菱形．22．解：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B＝∠D＝∠C＝90°，∵△AEF 是等边三角形，∴AE＝AF ，∠AEF＝∠AFE＝60°，又∠CEF＝45°，∴∠CFE＝∠CEF＝45°，∴∠AFD＝∠AEB＝180°－45°－60°＝75°，∴△ABE≌△ADF(AA S )，∴AB＝AD ，∴矩形ABCD 是正方形．23．(1)证明：∵ ▱ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，∴OA＝OC ，OB ＝OD.∵AE＝CF ，∴OE＝OF.在△DOE 与△BOF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧OD ＝OB ，∠DOE＝∠BOF，OE ＝OF ，∴△DOE≌△BOF；(2)解：四边形EBFD 是矩形．理由：∵OB＝OD ，OE ＝OF ，∴四边形EBFD 是平行四边形，∵BD＝EF ，∴ ▱EBFD 是矩形．24．证明：(1)∵CF∥BD，∴∠ODE＝∠FCE，∵E 是CD 的中点，∴CE＝DE ，在△ODE 和△FCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ODE＝∠FCE，DE ＝CE ，∠DEO＝∠CEF，∴△ODE≌△FCE(A S A)； (2)由(1)知△ODE≌△FCE.∴OD＝FC ，∵CF∥BD，∴四边形CODF 是平行四边形，∵四边形ABCD 是矩形，∴OC＝OD ，∴四边形CODF 是菱形．25．证明：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB∥DF，∴∠BAE＝∠CFE，∵BE＝CE ，∠AEB＝∠CEF，∴△AEB≌△FEC，∴AB＝CF.(2)连接AC.∵四边形ABCD 是平行四边形，∠BCD＝90°，∴四边形ABCD 是矩形，∴BD＝AC ，∵AB＝CF ，AB∥CF，∴四边形ACFB 是平行四边形，∴BF＝AC ，∴BD＝BF.26．(1)证明：∵AB∥CD，∴∠CAB＝ ∠ACD.∵AC 平分∠BAD，∴∠CAB＝∠CAD，∴∠CAD＝∠ACD，∴ AD＝CD.又∵AD＝AB ，∴AB＝CD.又∵AB∥CD，∴四边形ABCD 是平行四边形，又∵AB＝AD ，∴▱ABCD 是菱形．(2)解：∵四边形ABCD 是菱形，对角线AC 、BD 交于点O.∴AC⊥BD.OA＝OC ＝12AC ，OB ＝OD ＝12BD ＝1， 在Rt △AOB 中，∠AOB＝90° .∴OA＝AB 2－OB 2＝2.∵CE⊥AB，∴∠AEC＝90°.在Rt △AEC 中，∵∠AEC＝90°，O 为AC 的中点．∴OE＝12AC ＝OA ＝2. 【拔高训练】1．B2．30°或150° 【解析】 分两种情况：①如解图①，等边△ADE 在正方形ABCD 内部：∠CDE＝∠CDA －∠ADE＝90°－60°＝30°，∵CD＝DE ，∴∠DCE＝75°，∴∠ECB＝15°，同理可得∠EBC＝15°，∴∠BEC ＝150°.②如解图②，等边△ADE 在正方形ABCD 外部：∠CDE＝∠CDA＋∠ADE＝90°＋60°＝150°，∵CD＝DE ，∴∠CED＝15°，同理∠AEB＝15°，∴∠BEC＝∠AED－∠CED－∠AEB＝60°－15°－15°＝30°.第2题解图①第2题解图② 3.342【解析】∵四边形ABCD 是正方形，∴AB＝AD ，∠BAD＝∠D＝90°.又∵AE＝DF ，∴△ABE≌△DAF，∴∠ABE＝∠DAF.∵∠ABE＋∠AEB ＝180°－∠BAE＝180°－90°＝90°，∴∠DAF＋∠AEB＝90°，∴∠AGE＝180°－90°＝90°，∴∠BGF＝90°.在Rt △BGF 中，点H 为BF 的中点，∴GH＝12Rt △BFC 中，BC ＝5，CF ＝CD －DF ＝5－2＝3，根据勾股定理得BF ＝52＋32＝34， ∴GH＝342. 4．解： (1)∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC ＝90°，AC ＝2AO ＝2 5.在Rt △AC B 中，BC ＝AC 2－AB 2＝4.(2)∵四边形ABCD 是矩形，∴∠DCB＝90°，BD ＝2OD ，AC ＝2OC ，AC ＝BD.∴OD＝OC ＝12BD. ∵∠DBC＝30°，∴在Rt △BCD 中，CD ＝12BD. ∵CE＝CD ，∴CE＝12BD. ∵OE＝22BD ，∴在△OCE 中，OE 2＝12BD 2. 又∵OC 2＋CE 2＝14BD 2＋14BD 2＝12BD 2， ∴OC 2＋CE 2＝OE 2，∴∠OCE＝90°.∵OD＝OC ，∴∠OCD＝∠ODC＝60°.∴∠DCE＝∠OCE－∠OCD＝30°.5．(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠ADE＝∠BED.∵点F 是AB 的中点，∴AF＝BF ，又∵∠AFD＝∠BFE，∴△ADF≌△BEF，∴AD＝BE ，又∵AD∥BC，∴四边形AEBD 是平行四边形．∵DA＝DB ，∴平行四边形AEBD 是菱形；(2)∵平行四边形AEBD 是菱形，∴AB⊥E D.∵AB∥CD，∴ED⊥CD.在Rt △CDE 中，tan ∠DCB＝3，DC ＝10，∴DE＝310， ∵AB＝CD ＝10，∴菱形AEBD 的面积＝12AB·ED＝12×10×310＝15. 6．(1)证明：∵点F ，H 分别是BC ，CE 的中点，∴FH∥BE，FH ＝12BE.∴∠CFH＝∠CBG. 又∵点G 是BE 的中点，∴FH＝BG.又∵BF＝CF ，∴△BGF≌ △FHC.(2)解：当四边形EGFH 是正方形时，可知EF⊥GH 且EF ＝GH. ∵在△BEC 中，点G ，H 分别是BE ，EC 的中点，∴ GH＝12BC ＝12AD ＝12a ，且GH∥BC，∴EF⊥BC. 又∵AD∥BC, AB⊥BC，∴AB＝EF ＝GH ＝12a ， ∴S 矩形ABCD ＝AB·AD＝12a·a＝12a 2.。

2021中考数学 专题训练：多边形与平行四边形一、选择题1. 一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数为( )A . 7B . 7或8C . 8或9D . 7或8或92. 如图，四边形ABCD 中，∠BAD ＝∠ADC ＝90°，AB ＝AD ＝22，CD＝2，点P 在四边形ABCD 的边上．若P 到BD 的距离为32，则点P 的个数为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 43. 一个正多边形的每个外角不可能等于()A ．30°B ．50°C ．40°D ．60°4. （2020·泰安）如图，四边形ABCD 是一张平行四边形纸片，其高AG ﹦2cm ，底边BC ﹦6cm ，∠B ﹦45°，沿虚线EF 将纸片剪成两个全等的梯形．若∠BEF ﹦30°，则AF 的长为（ ）A ．1cmB ．63 cm C ．（2 3 —3）cm D ．（2— 3 ）cmA BCDEFG5. 如图，ABCD 中，AB=2，AD=4，对角线AC ，BD 相交于点O ，且E ，F ，G ，H 分别是AO ，BO ，CO ，DO 的中点，则下列说法正确的是A ．EH=HGB ．四边形EFGH 是平行四边形C ．AC ⊥BDD．△ABO的面积是△EFO的面积的2倍6. (2020·潍坊)如图，点E是□ABCD的边AD上的一点，且12DEAE=，连接BE并延长交CD的延长线于点F，若3,4DE DF==，则□ABCD的周长为（）FEDCBA A.21 B. 28 C. 34 D. 42 7. （2020·海南）如图，在□ABCD中，AB＝10，AD＝15，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于点G，若BG＝8，则△CEF的周长为( ) A．16 B．17 C．24 D．25 8. 如图，正方形ABCD中，点E.F分别在边CD，AD上，BE与CF交于点G．若BC=4，DE=AF=1，则GF的长为A．135B．125C．195D．165二、填空题9. 如图，在四边形ABCD中，AD=BC，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件，使四边形ABCD是平行四边形.10. 如图，在▱ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥BC，GH∥AB，且CG=2BG，S△BPG=1，则S▱AEPH=.11. 如图，在▱ABCD中，BE⊥AB交对角线AC于点E，若∠1＝20°，则∠2的度数为________．12. 如图，在▱ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F，若∠B＝52°，∠DAE＝20°，则∠FED′的大小为________．13. 如图，在ABCD中，E.F是对角线AC上两点，AE=EF=CD，∠ADF=90°，∠BCD=63°，则∠ADE的大小为__________．14. 如图，正十二边形A1A2…A12，连接A3A7，A7A10，则∠A3A7A10＝________°.15. （2020·黔东南州）以▱ABCD对角线的交点O为原点，平行于BC边的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若A点坐标为（﹣2，1），则C点坐标为．16. 如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E为BC的中点，若O E=3，则菱形的周长为__________．三、解答题17. 如图，△ABC是正三角形，剪去三个边长均不相等的小正三角形(即△ADN，△BEF，△CGM)后，得到一个六边形DEFGMN.(1)六边形DEFGMN的每个内角是多少度？为什么？(2)六边形DEFGMN是正六边形吗？为什么？18. （2020·重庆B卷）如图，在平行四边形ABCD中，AE，CF分别平分∠BAD 和∠DCB，交对角线BD于点E，F．（1）若∠BCF=60°，求∠ABC的度数；（2）求证：BE=DF．19. 如图①，在平行四边形ABCD中，连接BD，AD＝6cm，BD＝8cm，∠DBC ＝90°，现将△AEF沿BD的方向匀速平移，速度为2cm/s，同时，点G从点D 出发，沿DC的方向匀速移动，速度为2cm/s.当△AEF停止移动时，点G也停止运动，连接AD，AG，EG，过点E作EH⊥CD于点H，如图②所示，设△AEF 的移动时间为t(s)(0＜t＜4)．(1)当t＝1时，求EH的长度；(2)若EG⊥AG，求证：EG2＝AE·HG；(3)设△AGD的面积为y(cm2)，当t为何值时，y可取得最大值，并求y的最大值．20. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形．直线l经过O、C两点，点A的坐标为(8，0)，点B的坐标为(11，4)，动点P在线段OA上从O 出发以每秒1个单位的速度向点A运动，同时动点Q从点A出发以每秒2个单位的速度沿A→B→C的方向向点C运动，过点P作PM垂直于x轴，与折线O —C—B相交于点M．当P、Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒（t＞0），△MPQ的面积为S．（1）点C的坐标为____________，直线l的解析式为____________；（2）试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围．（3）试求题（2）中当t为何值时，S的值最大？最大值是多少？2021中考数学专题训练：多边形与平行四边形-答案一、选择题1. 【答案】D【解析】分类讨论：(1)切去一个角，减少一条边，设减少一条边后的边数是n，则180°(n－2)＝1080°，得出n＝8，所以原多边形的边数是9；(2)切去一个角，增加一条边，设增加一条边后的边数是n ，则180°(n －2)＝1080°，得出n ＝8，所以原多边形的边数是7；(3)切去一个角，边数无改变，设边数没有改变时的边数是n ，则180°(n －2)＝1080°，得出n ＝8，所以原多边形的边数是8，综上所述，原多边形的边数是9，7，8都符合题意，答案选择D.2. 【答案】B 【解析】本题考查了直角三角形中的点到直线的距离. 解题思路：如解图，分别过点A 和C 作AE ⊥BD 于E ，CF ⊥BD 于F.⎭⎬⎫∠BAD ＝90° AB ＝AD ⇒⎭⎪⎬⎪⎫∠ADB ＝45° AD ＝22⇒AE＝2＞32⇒AB 、AD 上各有一点到BD 的距离为32.同理，得CF ＝1＜32⇒AB 、AD 上没有点到BD 的距离为32.3. 【答案】B[解析] 设正多边形的边数为n ，则当30°n ＝360°时，n ＝12，故A可能；当50°n ＝360°时，n ＝365，不是整数，故B 不可能；当40°n ＝360°时，n ＝9，故C 可能；当60°n ＝360°时，n ＝6，故D 可能．4. 【答案】D【解析】本题考查了图形全等的概念、平行四边形的性质以及解直角三角形，过点F 作FH ⊥BC ，垂足为H.E CFHA B DG设AF=x ，因为四边形ABCD 是一张平行四边形纸片，所以AD=BC.因为沿虚线EF 将纸片剪成两个全等的梯形，所以BE=DF ，所以AF=EC=x ．因为AG 是BC 边上的高，FH ⊥BC ，所以GH=AF=x .因为∠B=45°，AG=2，所以BG=2，则HE=6-2-2x =4-2x . 因为tan ∠BEF=HF HE ，所以HE=tan HFBEF ∠3=2 3 ，则4-2x =2 3 ，解得x =2- 3 ，因此本题选D ．5. 【答案】B【解析】∵E ，F ，G ，H 分别是AO ，BO ，CO ，DO 的中点，在ABCD 中，A B=2，AD=4， ∴EH=12AD=2，HG=1122CD =AB=1，∴EH≠HG ，故选项A 错误； ∵E ，F ，G ，H 分别是AO ，BO ，CO ，DO 的中点， ∴EH=1122AD BC FG ==， ∴四边形EFGH 是平行四边形，故选项B 正确；由题目中的条件，无法判断AC 和BD 是否垂直，故选项C 错误； ∵点E 、F 分别为OA 和OB 的中点，∴EF=12AB ，EF ∥AB ，∴△OEF ∽△OAB ，∴214AEF OABS EF SAB ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 即△ABO 的面积是△EFO 的面积的4倍，故选项D 错误， 故选B ．6. 【答案】B【解析】利用平行四边形、相似的有关性质解决问题.∵12DE AE =，DE=3，∴AE=6.∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD=BC,AB=CD,AB ∥CD,∴△DEF ∽△AEB, ∴DE DFAE AB =,又DF=4，∵AB=8，∴□ABCD 的周长为28.故选B.7. 【答案】A 【解析】 在R t △ABG 中，AG6.∵四边形ABCD 是平行四边形，AE 平分∠BAD ，∴∠BAE ＝∠ADE ＝∠AEB ，∴AB ＝BE ，则CE ＝BC －BE ＝15－10＝5.又∵BG ⊥AE ，∴AE ＝2AG ＝12，则△ABE 的周长为32.∵AB ∥DF ，∴△ABE ∽△CFE ，∴△ABE 的周长：△CEF 的周长＝BE ：CE ＝2：1，∴△CEF 的周长为16.8. 【答案】A【解析】正方形ABCD 中，∵BC=4， ∴BC=CD=AD=4，∠BCE=∠CDF=90°， ∵AF=DE=1，∴DF=CE=3，∴BE=CF=5，在△BCE 和△CDF 中，BC CD BCE CDF CE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCE ≌△CDF(SAS)，∴∠CBE=∠DCF ， ∵∠CBE+∠CEB=∠ECG+∠CEB=90°=∠CGE ， cos ∠CBE=cos ∠ECG=BC CGBE CE=， ∴453CG =，CG=125，∴GF=CF ﹣CG=5﹣125=135， 故选A ．二、填空题9. 【答案】答案不唯一，如AD ∥BC 或AB=CD 或∠A +∠B=180°等10. 【答案】4[解析]由“平行四边形的对角线把平行四边形分成两个全等的三角形”可推出▱AEPH 的面积等于▱PGCF 的面积. ∵CG=2BG ，∴BG ∶BC=1∶3，BG ∶PF=1∶2. ∵△BPG ∽△BDC ，且相似比为1∶3， ∴S △BDC =9S △BPG =9.∵△BPG ∽△PDF ，且相似比为1∶2， ∴S △PDF =4S △BPG =4. ∴S ▱AEPH =S ▱PGCF =9-1-4=4.11. 【答案】110°【解析】 ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CD ∥AB ，∴∠CAB ＝∠1＝20°，∵BE ⊥AB 交对角线AC 于点E ，∴∠ABE ＝90°，∴∠2＝∠CAB ＋∠ABE ＝20°＋90°＝110°.12. 【答案】36° 【解析】∵在▱ABCD 中，∠D ＝∠B ＝52°，∴∠AEF ＝∠DAE ＋∠D ＝20°＋52°＝72°，∴∠AED ＝180°－∠AEF ＝108°，由折叠的性质得，∠AED ′＝∠AED ＝108°，∴∠FED ′＝∠AED′－∠AEF ＝108°－72°＝36°.13. 【答案】21° 【解析】设∠ADE=x ， ∵AE=EF ，∠ADF=90°，∴∠DAE=∠ADE=x ，DE=12AF=AE=EF ， ∵AE=EF=CD ，∴DE=CD ， ∴∠DCE=∠DEC=2x ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ， ∴∠DAE=∠BCA=x ，∴∠DCE=∠BCD ﹣∠BCA=63°﹣x ，∴2x=63°﹣x ，解得x=21°，即∠ADE=21°； 故答案为：21°．14. 【答案】75【解析】∵多边形A 1A 2…A 12是正十二边形，作它的外接圆⊙O ，∴劣弧A 10A 3的度数＝5×360°12＝150°，∴∠A 3A 7A 10＝12×150°＝75°.15. 【答案】（2，﹣1）【解析】∵▱ABCD 是中心对称图形，它的对角线交点O 为原点，点A （﹣2，1）与点C 成中心对称，∴点C 的纵、横坐标与点A 的互为相反数．∴点C 的坐标为（2，﹣1）.16. 【答案】24【解析】∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB=BC=CD=AD ，BO=DO ， ∵点E 是BC 的中点， ∴OE 是△BCD 的中位线， ∴CD=2OE=2×3=6，∴菱形ABCD 的周长=4×6=24； 故答案为：24．三、解答题17. 【答案】解：(1)六边形DEFGMN 的各个内角都是120°. 理由：∵△ADN ，△BEF ，△CGM 都是正三角形，∴它们的每个内角都是60°，即六边形DEFGMN 的每个外角都是60°. ∴六边形DEFGMN 的每个内角都是120°.(2)六边形DEFGMN 不是正六边形．理由：∵三个小正三角形(即△ADN ，△BEF ，△CGM)的边长均不相等， ∴DN ，EF ，GM 均不相等． ∴六边形DEFGMN 不是正六边形．18. 【答案】（1）解： ∵CF 平分∠BCD ，∴∠BCD =2∠BCF .∵∠BCF =60°，∴∠BCD =2×60°=120°.∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ,∴∠ABC +∠BCD =180°. ∴∠ABC =180°-120°=60°.（2）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB =CD ，AB ∥CD ，∠BAD =∠DCB .∴∠ABE =∠CDF .∵AE ，CF 分别平分∠BAD 和∠DCB ，∴∠BAE =12∠BAD =12∠DCB =∠DCF .在△ABE 和△CDF 中，∵∠ABE =∠CDF ，AB =CD ，∠BAE =∠DCF ， ∴△ABE ≌△CDF . ∴BE =DF .19. 【答案】(1)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，又∠DBC ＝90°， ∴∠ADB ＝90°，又AD ＝6cm ，BD ＝8cm ，由勾股定理得，AB ＝AD 2＋BD 2＝10cm ， 当t ＝1时，EB ＝2cm ， 则DE ＝8－2＝6cm ， ∵EH ⊥CD ，∠DBC ＝90°， ∴△DEH ∽△DCB ， ∴DE DC ＝EH BC ，即610＝EH 6， 解得EH ＝3.6cm ； (2)∵∠CDB ＝∠AEF ， ∴AE ∥CD ，∴∠AEG ＝∠EGH ，又EG ⊥AG ，EH ⊥CD ， ∴△AGE ∽△EHG ， ∴EG HG ＝AE EG ， ∴EG 2＝AE ·HG ；(3)由(1)得，△DEH ∽△DCB ，∴DE CD ＝EH BC ，即8－2t 10＝EH 6， 解得，EH ＝24－6t 5，∴y ＝12×DG ×EH ＝－6t 2＋24t 5＝－65t 2＋245t ＝－65(t －2)2＋245， ∴当t ＝2时，y 的最大值为245.20. 【答案】（1）点C 的坐标为(3，4)，直线l 的解析式为43y x =． （2）①当M 在OC 上，Q 在AB 上时，502t ＜≤． 在Rt △OPM 中，OP ＝t ，4tan 3OMP ∠=，所以43PM t =． 在Rt △AQE 中，AQ ＝2t ，3cos 5QAE ∠=，所以65AE t =． 于是618855PE t t t =+-=+．因此212162153S PE PM t t =⋅=+． ②当M 在OC 上，Q 在BC 上时，532t ＜≤． 因为25BQ t =-，所以11(25)163PF t t t =---=-．因此2132223S PF PM t t =⋅=-+． ③当M 、Q 相遇时，根据P 、Q 的路程和2115t t +=+，解得163t =． 因此当M 、Q 都在BC 上，相遇前，1633t ＜≤，PM ＝4，162163MQ t t t =--=-． 所以16322S MQ PM t =⋅=-+．图2 图3 图4（3）①当502t ＜≤时，222162160(20)153153S t t t =+=+-． 因为抛物线开口向上，在对称轴右侧，S 随t 的增大而增大，所以当52t =时，S 最大，最大值为856． ②当532t ＜≤时，2232812822()339S t t t =-+=--+． 因为抛物线开口向下，所以当83t =时，S 最大，最大值为1289．③当1633t ＜≤时，16322S MQ PM t =⋅=-+． 因为S 随t 的增大而减小，所以当3t =时，S 最大，最大值为14． 综上所述，当83t =时，S 最大，最大值为1289． 考点伸展第（2）题中，M 、Q 从相遇到运动结束，S 关于t 的函数关系式是怎样的？ 此时161332t ＜≤， 216316MQ t t t =+-=-．因此16322S MQ PM t =⋅=-． 图5。

2020—2021学年度九年级数学上册质量监测题参考答案第一章 特殊的平行四边形一、选择题1-5 C CD A D ； 6-10 CBCBA ; 二、填空题11、23；12、8；13、115； 14、6；15、(2,23)--或(2,23)； 16、6+2或10或8+2；三、解答题17. 证明：在□ABCD 中，AB ∥DF ，∴∠ABE ＝∠FCE ，∵E 为BC 的中点，∴BE ＝CE ，又∠AEB ＝∠FEC ，∴△ABE ≌△FCE(ASA)．∴AE ＝FE ，又BE ＝CE ，∴四边形ABFC 是平行四边形．在□ABCD 中，AD ＝BC ，又∵AD ＝AF ，∴BC ＝AF ，∴□ABFC 是矩形．18. 在菱形ABCD 中，AB ＝5，AO ＝12AC ＝3，AC ⊥BD ，∴BO ＝AB AO -22＝4，BD ＝8．∴5DE ＝12AC·BD ＝24，解得DE ＝245．OE DABC19. （1）证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠BAE ＝∠ADF ＝90°，AB ＝AD ＝CD ， ∵DE ＝CF ， ∴AE ＝DF ，在△BAE 和△ADF 中，，∴△BAE ≌△ADF （SAS ）， ∴BE ＝AF ；（2）解：由（1）得：△BAE ≌△ADF ， ∴∠EBA ＝∠F AD ， ∴∠GAE +∠AEG ＝90°， ∴∠AGE ＝90°， ∵AB ＝4，DE ＝1，∴AE ＝3， ∴BE ＝＝＝5，在Rt △ABE 中，AB ×AE ＝BE ×AG ， ∴AG ＝＝．20. （1）证明：∵ E 是AD 的中点,∴ AE =ED .∵ AF ∥BC ,∴ ∠AFE =∠DBE ,∠F AE =∠BDE . ∴ △AFE ≌△DBE , ∴ AF =DB .∵ AD 是BC 边上的中线, ∴ DB =DC , ∴ AF =DC .(2)解：四边形ADCF 是菱形. 理由:由(1)知,AF =DC ,∵ AF ∥CD ,∴ 四边形ADCF 是平行四边形. 又∵ AB ⊥AC ,∴ △ABC 是直角三角形. ∵ AD 是BC 边上的中线,∴ AD =12BC =DC . ∴ 平行四边形ADCF 是菱形. 21. 证明：(1)：由已知得：AC CD =,AB DB = 由已知尺规作图痕迹得：BC 是FCE ∠的角平分线 则：ACB DCB ∠=∠ 又//AB CDABC DCB ∴∠=∠ ACB ABC ∴∠=∠ AC AB ∴= 又,AC CD AB DB ==AC CD DB BA ∴=== ∴四边形ACDB 是菱形ACD ∠与FCE ∆中的FCE ∠重合，它的对角ABD ∠顶点在EF 上 ∴四边形ACDB 为FEC ∆的亲密菱形(2)解： ∵21=AC AF ,CF=6 ∴AC=4过A 点作AH CD ⊥于H 点 在Rt ACH ∆中，045=∠ACHAH∴==∴四边形ACDB的面积为：4⨯22.解: （1）四边形BE'FE是正方形．理由:由旋转可知:∠E'＝∠AEB＝90°，∠EBE'＝90°又∵∠AEB＋∠FEB＝180°，∠AEB＝90°，∴∠FEB＝90°．∴四边形BE'FE是矩形．由旋转可知，BE'＝BE．∴四边形BE'FE是正方形．（2）CF＝FE'．证明:如图，过点D作DH⊥AE，垂足为H，则∠DHA＝90°，∠1＋∠3＝90°．∵DA＝DE，∴AH＝12AE．∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝DA，∠DAB＝90°．∴∠1＋∠2＝90°．∴∠2＝∠3．∵∠AEB＝∠DHA＝90°，∴△AEB≌△DHA．∴AH＝BE．由（1）知四边形BE'FE是正方形，∴BE＝E'F．∴AH＝E'F．由旋转可得CE'＝AE，∴FE'＝12CE'．∴CF＝FE'．（3）DHA≌△AEB≌△CE'B，所以AH＝BE＝BE'，DH＝AE＝CE'．由四边形BE'FE是正方形，得BE'＝E'F＝EF．因为CF＝3，所以EH＝3．在Rt△ABE中，由勾股定理可得EB＝9，进而得DH＝AE＝12．在Rt△DHE中，由勾股定理可得DE＝第二章 一元二次方程一、选择题:1-5 C A AC A ； 6-10 BDBCD ;二、填空题:11、01=x ，22=x ； 12、-2； 13、1,621-==x x ； 14、72m ≤； 15、4或－1； 16、2028. 三、解下列方程17.（１）01862=--x x解：1862=-x x 27962=+-x x ()2732=-x3331+=x 3332-=x（2）03522=--x x解：()()075=-+x x 51-=x 72=x （3）这里a =2，b =﹣4，c =﹣1， ∵△=16+8=24， ∴x ==．262,26221-=+=∴x x （4）解：()()256257+=+x x x x ()()0256257=+-+x x x x()()06725=-+x x x521-=x 02=x 四、解答题18、设宽为x 步，由题意得：x (x +12)=864，解之，x 1=24，x 2=－36(舍)，答：宽为24步，长为36步.19.解：（1）设饲养场（矩形ABCD ）的一边（AB ）长为x 米，得出EH 、FG 所用围栏长均为（x -1）米，CD =x 米，BC =45-（x +x -1+x -1）+1=48-3x （米），48-3180x x =（2）由题意得：（）12610x x ==解得，048-3271571510x x x x ≤≤≤≤∴≤≤∴=，0 20.解：（1）设每件童装降价x 元，则每件童装的利润是（40-x ）元，每天可售出（20+2x ）件．（2）依题意，得：（40-x ）（20+2x ）=1200， 解得：x 1=10，x 2=20． ∵要尽快减少库存， ∴x=20．答：每件童装应降价20元． 21.解：（1）∵x 3+x 2﹣6x=0，∴x （x 2+x ﹣6）=0， ∴x （x ﹣2）（x+3）=0， 则x=0或x ﹣2=0或x+3=0，解得：x 1=0、x 2=2、x 3=-3． 故答案为：0、2、﹣3． （2）∵32+x =x ，∴2x+3=x 2，即x 2﹣2x ﹣3=0， ∴（x+1）（x ﹣3）=0， 则x+1=0或x ﹣3=0， 解得：x 1=﹣1、x 2=3；22.（1）两动点运动23时，四边形PBCQ 的面积是矩形ABCD 面积的49. （2）分类讨论，如下左图，运动时间为53秒或73秒；如下右图，方程无解； 综上所述两动点经过53秒或73秒时，点P 与点QP第三章 概率的进一步认识一、1、C 2、C 3、C 4、C 5、B 6、B 7、C 8、A 9、B 10、B二、11、41 12、 13、25 14、17 *15 、25 *16、 2317、解：（1）根据题意得： 5430%180÷=（人)，答：这次被调查的学生共有180人； 故答案为：180； （2）根据题意得：360(120%15%30%)126︒⨯---=︒，答：扇形统计图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数为126︒， 故答案为：126︒； （3）列表如下：甲 乙丙丁甲 一（乙，甲） （丙，甲） （丁，甲）乙 （甲，乙）一（丙，乙） （丁，乙）丙 （甲，丙） （乙，丙）一（丁，丙）丁（甲，丁） （乙，丁） （丙，丁）一共有12种等可能的情况，恰好选中甲、乙两位同学的有2种，P ∴（选中甲、乙）21126==． 18、解：【解答】解：（1）（2+3）÷25%＝20（人）， 所以调查的总人数为20人，赴B 国女专家人数为20×40%﹣5＝3（人）赴D 国男专家人数为20×（1﹣20%﹣40%﹣25%）﹣2＝1（人）条形统计图补充为：（2）画树状图为：共有20种等可能的结果数，其中所抽取的两名专家恰好是一男一女的结果数为12，所以所抽取的两名专家恰好是一男一女的概率．19、解：（1）所有可能出现的结果如图：从表格可以看出，总共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两人抽取相同数字的结果有3种，所以两人抽取相同数字的概率为：；（2）不公平．从表格可以看出，两人抽取数字和为2的倍数有5种，两人抽取数字和为5的倍数有3种，所以甲获胜的概率为：，乙获胜的概率为：．∵＞，∴甲获胜的概率大，游戏不公平．20.解：（1）a=0.24，b=2，c=0.04；（2）在选取的样本中，竞赛分数不低于70分的频率是0.5+0.06+0.04=0.6，根据样本估计总体的思想，有：1000×0.6=600（人）∴这1000名学生中有600人的竞赛成绩不低于70分；（3）成绩是80分以上的同学共有5人，其中第4组有3人，不妨记为甲，乙，丙，第5组有2人，不妨记作A ，B 。

2020-2021学年北师大版初三数学上册单元训练卷第1章特殊平行四边形一、选择题(每小题3分，共30分)1. 已知菱形的周长为24，则它的边长为( A)A. 6B. 8C. 12 32. 关于▱ABCD的叙述，正确的是( C)A. 若AB⊥BC，则▱ABCD是菱形B. 若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形C. 若AC＝BD，则▱ABCD是矩形D. 若AB＝AD，则▱ABCD是正方形3. 下列四边形：①平行四边形，②正方形，③矩形，④菱形，对角线一定相等的是( D)A. ①②③B. ①②③④C. ①②D. ②③4. 如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，分别交AB，CD于点E，F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD的面积的( B)A. 15B.14C.13D.3105. 将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE，EF为折痕，∠BAE＝30°，AB3，折叠后，点C 落在AD边上的C1处，并且点B落在EC1边上的B1处，则BC的长为( C)A. 3B. 2C. 3 36. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E为边CD的中点，若菱形ABCD的周长为16，∠BAD＝60°，则△OCE的面积是( A)A. 3B. 2 3 D. 47. 如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，AE＝AD＝2.则AC的长是( D)A. 5B. 4 3 D. 78. 如图，矩形ABCD中，E是BC边的中点，∠AEC的平分线交AD于点F，若AB＝9，AD＝24，则FD的长度是( C)A. 3B. 6C. 9D. 129. 如图，点O是矩形ABCD对角线AC的中点，E是AD的中点，若OE＝3，BC＝8，则OB的长为( B)A. 4B. 5C. 34D. 3410. 如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1，S2的值分别是( C)A. 8，8B. 8，9C. 9，8D. 9，9二、填空题(每小题3分，共24分)11. 如图，要使平行四边形ABCD是矩形，则应添加的条件是∠ABC＝90°或AC＝BD(答案不唯一) (添加一个条件即可).12. 如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE＝AC，连接CE，则∠BCE的度数是22.5°.13. 已知正方形ABCD的对角线AC2，则正方形ABCD的周长为4.14. 已知菱形的边长为2，较长的对角线长为3，则菱形的面积是23.15. 如图，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过顶点D，B作DE⊥a于点E，BF⊥a于点F，若DE＝4，BF＝3，则EF＝7，CD＝5.16. 如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，点E在AB边上，且AE＝1，点P在对角线BD上，则△P AE周长的最小值为13＋1.17. 如图，矩形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，EF＝3，则AB的长度为6.18. 如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD的中点，N是AB边上一动点，将△AMN 沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是7－1.三、解答题(共66分)19. (8分)如图，点E在正方形ABCD的边CD上，连接AE，BE.若△ABE的面积为8，CE＝3，求线段BE的长.解：过E作EF⊥AB于点F，由题意易证EF＝AD. ∵四边形ABCD为正方形，∴EF＝DA＝AB＝BC，∠BCE＝90°. ∴S△AEB＝12·EF·AB＝12BC2＝8. ∴BC＝4. 在Rt△BCE中，BC＝4，CE＝3，∴BE22BC CE＋2243＋ 5.20. (8分)如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE.求证：OE＝BC.证明：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形. ∵四边形ABCD是菱形. ∴CD＝BC，AC⊥BD. ∴∠COD＝90°. ∴四边形OCED是矩形. ∴OE＝CD. ∵CD＝BC，∴OE＝BC.21. (8分)如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接BE，DG.(1)求证：BE＝DG；(2)图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形?若存在，说出旋转过程；若不存在，请说明理由.(1)证明：由正方形ABCD和正方形ECGF可知BC＝CD，CE＝CG，∠BCE＝∠DCG＝90°. 在△BCE和△DCG中，BC DCBCE DCGCE CG∠⎪⎨⎪⎩∠⎧＝，＝，＝，∴△BCE≌△DCG(SAS). ∴BE＝DG.(2)解：存在，△BCE绕点C顺时针旋转90°得到△DCG(或将△DCG绕点C逆时针旋转90°得到△BCE).22. (10分)如图，已知△ABC，直线PQ垂直平分AC，与边AB交于点E，连接CE，过点C作CF∥BA 交PQ于点F，连接AF.(1)求证：△AED≌△CFD；(2)求证：四边形AECF是菱形；(3)当△ABC满足何条件时，四边形AECF为正方形(不要求说明理由).(1)证明：∵PQ为线段AC的垂直平分线，∴AD＝CD. ∵CF∥AB，∴∠EAC＝∠FCA，∠CFD＝∠AED. 在△AED与△CFD中，EAD FCDAED CFDAD CD∠∠∠∠⎧⎪⎨⎪⎩＝，＝，＝，∴△AED≌△CFD(AAS).(2)证明：由(1)可知△AED≌△CFD，∴AE＝CF. ∵EF为线段AC的垂直平分线，∴EC＝EA，FC＝F A. ∴EC＝EA＝FC＝F A. ∴四边形AECF为菱形.(3)解：当△ABC满足条件∠BAC＝45°时，四边形AECF为正方形.23. (10分)如图，菱形ABCD中，AE垂直平分BC，垂足为点E，AB＝4.求：(1)菱形的面积；(2)对角线BD的长.解：(1)∵四边形ABCD为菱形，AB＝4，∴BC＝AB＝4. 又∵AE垂直平分BC，∴BE＝CE＝2，由勾股定理得AE＝3. ∴S菱形ABCD＝3＝3(2)∵AE垂直平分BC，∴AB＝AC＝BC. ∴△ABC为等边三角形. ∴AC＝AB＝4. 又∵S菱形ABCD＝12 AC·BD＝3，∴BD＝3.24. (10分)已知矩形ABCD中，E是AD边上的一个动点，点F，G，H分别是BC，BE，CE的中点.(1)求证：△BGF≌△FHC；(2)设AD＝a，当四边形EGFH是正方形时，求矩形ABCD的面积.(1)证明：∵点F，G，H分别是BC，BE，CE的中点，∴FH∥BE，FH＝12BE. ∴FH＝BG，∠CFH＝∠CBG.∵BF＝CF，∴△BGF≌△FHC(SAS).(2)解：当四边形EGFH是正方形时，可得EF⊥GH且EF＝GH. ∵在△BEC中，点G，H分别是BE，CE的中点，∴GH＝12BC＝12AD＝12a，且GH∥BC. ∴EF⊥BC. ∵AD∥BC，AB⊥BC，∴AB＝EF＝GH＝12a. ∴矩形ABCD的面积＝AB·AD＝12a·a＝12a2.25. (12分)如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F.(1)探究线段OE与OF的数量关系并加以证明；(2)当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形?并说明理由；(3)当点O在边AC上运动时，四边形BCFE可能为菱形吗?说明理由.解：(1)OE＝OF. 证明如下：∵MN∥BC，∴∠OEC＝∠BCE. 又∵CM平分∠ACB. ∴∠BCE＝∠OCE，∴∠OEC＝∠OCE. ∴OE＝OC. 同理可得OF＝OC. ∴OE＝OF.(2)当∠ACB＝90°且OA＝OC时，四边形AECF为正方形. 理由如下：连接AE，AF. 由(1)知OE＝OF，又OA＝OC，∴四边形AECF为平行四边形. 又∵CM平分∠ACB，CN平分∠ACD，∴∠ACE＋∠ACF＝12×180°＝90°，即∠ECF＝90°，∴四边形AECF为矩形. 又∵∠ACB＝90°，CM平分∠ACB，∴∠ACE＝45°＝∠ECB.∵MN∥BC，∴∠OEC＝∠ECB＝45°. ∴∠COE＝90°，即EF⊥AC. ∴矩形AECF为正方形.(3)当O在边AC上运动时，四边形BCFE不可能为菱形. 理由如下：连接BE，BF，BF交CE于O′. 假如四边形BCFE为菱形，则BF⊥EC，即∠FO′C＝90°. 由(2)知∠FCO′＝90°，这与在△FCO′中，内角和为180°相矛盾，故四边形BCFE不能为菱形.。

图形的相似（压轴专练）（十大题型）题型1：相似三角形解答证明题1．在ABC V 中，AB AC =，点D 在线段CB 的延长线上，连接AD ，过点B 作BE BC ^交线段AD 于点,2120E BED BAC Ð+Ð=°．(1)如图1，求CAD Ð的度数．(2)如图2，若32DE AE =，求BD BC的值．(3)如图3，在（2）的条件下，连接,EC EC 交线段AB 于点F ，若BD =AF 的长．2．如图1，在ABC V 中，90BAC AB AC BD CD Ð=°=^,,于点D ，连接AD ，在CD 上截取CE ，使CE BD =，连接AE ．(1)直接判断AE 与AD 的位置关系(2)如图2，延长AD ，CB 交于点F ，过点E 作EG AF ∥交BC 于点G ，试判断FG 与AB 之间的数量关系，并证明；(3)在（2）的条件下，若2AE =，CE =EG 的长．题型2：相似三角形在特殊平行四边形中的应用3．如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 在边BC 的延长线上，点F 在边AB 上，且AF CE =，连接EF 交DC 于点P ，连接AC 交EF 于Q ，连接DE DF 、．(1)求证：EQ FQ =；(2)连接BQ ，如图2，①若AQ DP ×=BQ 的长；②若FP FD =，则PE PQ = ．4．综合与实践已知：矩形ABCD ，M 是AD 边上一点．【基本图形】（1）如图1，AM MD =，BM 交AC 于F 点，BM 的延长线与CD 的延长线交于点E ，连AE ，求证：MF EM BF EB=；【类比探究】（2）如图2，AM MD =，过点D 任意作直线与BM ，BC 的延长线分别交于点E ，点P ，连AE ，求证：EAD PAD ÐÐ=；【扩展延伸】（3）如图3，E 是CD 延长线上一点，P 是BC 延长线上一点，AP 交CD 于Q 点，BE 交AD 于M 点，延长AD 交EP 于N 点，若M 是AN 的中点，且3AB =，4BC =，求AEP △的面积．题型3：翻折问题5．菱形ABCD 中，5AB =，点F 是AD 边上的点，点Q 是AB 边上的点．(1)如图1，若点F 是AD 的中点，CQ AB ^，连接CF 并延长交BA 的延长线于点P ，连接QF ，①求证：PAF CDF △≌△；②判定FCQ V 的形状，并说明理由；(2)若菱形面积为20，将菱形ABCD 沿CQ 翻折，点B 的对应点为点E ．①如图2，当点E 落在BA 边的延长线上时，连接BD ，交CQ 于R ，交EC 于点M ，求DR BM 的值；②如图3，当CE AD ^，垂足为点F ，交AD 于点N ，求四边形CFNQ 的面积．6．如图1，在矩形ABCD 中，3AB =，4=AD ，点E 在BC 上，连接AE ，把ABE V 沿直线AE 翻折得到AFE △，直线EF 与直线CD 交于点G ，连接DF ．(1)当DFG GEC Ð=Ð时，求BE 的长．小星看到把ABE V 沿直线AE 翻折得到AFE △，就想到翻折图形的特征特点，对应边相等，对应角相等，对应点连线被对称轴垂直平分，那么他就知道BE FE =，AB AF =，90ABE AFE Ð=Ð=°，根据DFG GEC Ð=Ð，他延长EG 与AD 的延长线相交于点H ，可证AD DF DH ==，AH EH =，再通过勾股定理即可求出BE 的长．请用小星的方法或自己的方法求BE 的长；(2)当G 是CD 的中点时，求BE 的长；(3)如图2，已知等边ABC V 的边长为6，点D 在边BC 上，连接AD ，把ABD △沿直线AD 翻折得到AED △，直线DE 与直线AC 交于点F ，若12CF =，求BD 的长．7．（1）发现：如图1，正方形ABCD 中，点E 在CD 边上，将ADE V 沿AE 对折得到AFE △，延长EF 交BC 边于点G ，连接AG ．证明：BG DE EG +=．（2）探究：如图2，矩形ABCD 中AD AB >，O 是对角线的交点，过O 任作一直线分别交BC AD 、于点M 、N ，四边形AMNE 是四边形CMND 沿MN 翻折得到的，连接CN ，若CDN △的面积与CMN V 的面积比为1:3，求MN DN的值．（3）拓展：如图3，在菱形ABCD 中，6AB =，E 为CD 边上的三等分点，60D Ð=°，将ADE V 沿AE 翻折得到AFE △，直线EF 交BC 于点P ，求PC 的长．题型4：旋转问题8．如图，ABC V 和ADE V 是有公共顶点的等腰直角三角形，90BAC DAE Ð=Ð=°．(1)如图1，连接BE 、CD ，BE 的延长线交AC 于F ，交CD 于点P ，求证：①ABE ACD V V ≌；②BP CD ^；(2)如图2，把ADE V 绕点A 顺时针旋转，当点D 落在AB 上时，连接BE 、CD ，CD 的延长线交BE 于点P ，若BC =3AD =．①求证：BDP CDA △∽△，②PDE △的面积是 ．9．问题背景：如图（1），在ABC V 和ADE V 中，AB AC AD AE ==，，BAC DAE Ð=Ð，求证：ABD ACE △△≌；尝试应用：如图（2），在ABC V 和ADE V 中，90ABC ADE Ð=Ð=°，30ACB AED Ð=Ð=°，连接CE ，点F 是CE 的中点．判定以B ，D ，F 为顶点的三角形的形状，并证明你的结论；拓展创新：如图（3），在ABC V 中，AC BC ＝AB 绕点A 逆时针旋转90°得到AD ，连接BD CD ，．若点E 是CD 的中点，连接BE ，直接写出BE 的最大值．10．如图，在V 锐角ABC 中，AB =3BC =，45ACB Ð=°，将ABC V 绕点B 按逆时针方向旋转得到11A BC V ．(1)如图①，当点1C 在线段CA 的延长线上时，求11CC A Ð的度数；(2)如图②，连接1AA ，1CC ，若1ABA △的面积为2，求1CBC △的面积；(3)如图③，点E 为线段AB 中点，点P 是线段AC 上的动点，在ABC V 绕点B 按逆时针方向旋转过程中，点P 的对应点是点1P ，求线段1EP 长度的最大值与最小值．题型5：最值问题11．如图，在ABC V 中，90,BAC AB AC Ð=°=，点D 为AC 一点，连接BD ．(1)如图1，若CD =，15ABD Ð=°，求AD 的长；(2)如图2，过点A 作AE BD ^于点E ，交BC 于点M ，AG BC ^于点G ，交BD 于点N ，求证：BM CM =；(3)如图3，将ABD △沿BD 翻折至BDE V 处，在AC 上取点F ，连接BF ，过点E 作EH BF ^交AC 于点G ，GE 交BF 于点H ，连接AH ，若:2GE BF =，AB =AH 的最小值．12．如图1和图2，平面上，四边形ABCD 中1582AB BC ==，，252CD =，6DA ＝，90A Ð=°，点M 在AD边上，且2DM =．点P 从点A 沿折线AB BC -上运动到点C ，将APM △沿MP 翻折，点A 的对应点为点A ¢，设点P 的运动路径长为x (0)x >．(1)如图1，连接BD ，①求CBD Ð的度数；②求证：AB CD ∥．(2)如图2，当点A ¢落到四边形ABCD 内部时，求x 的取值范围．(3)①当点A ¢落在AD 的延长线上时，请直接写出x 的值．②设点A ¢到边BC 所在直线的距离为h ，请直接写出h 的最小值．13．如图，在Rt ABC △中，90ACB Ð=°，AC BC =，点D 在直线AB 上，点E 在直线AC 上，连接BE ，DE ，且BE DE =，直线DE 交BC 于点F ．(1)如图①，当点D 在线段AB 上时，AD 4AC =，求BE 的长；(2)如图②，当D 是AB 的中点时，求证：CE CF BF +=；(3)如图③，连接CD ，将ADC △沿着CD 翻折，得到A CD ¢△，M 是AB 上一点，且37BM AB =，当A M ¢最短时，请直接写出DF BE 的值．题型6：比值问题14．如图1，在ABC D 中，AB AC =，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，AD AE =，连接DC ，点F 、P 、G分别为DE 、DC 、BC 的中点，连接FP ，PG ．(1)图1中，求证：PF PG =；(2)当ADE V 绕点A 旋转到如图2所示的位置时，①PF PG =是否仍然成立？若成立请证明；若不成立，说明理由；②若:1:(1)AD AB n n =>，PDF △和PGC V 的面积分别是1S ，2S ，ABC V 的面积为3S ，求123S S S +的值．15．【特例感知】（1）如图1，在正方形ABCD 中，点P 在边AB 的延长线上，连接PD ，过点D 作DM PD ^，交BC 的延长线于点M ．求证：DP DM =．【变式求异】（2）如图2，在Rt ABC △中，90ABC Ð=°，点D 在边AB 上，过点D 作DQ AB ^，交AC 于点Q ，点P 在边AB 的延长线上，连接PQ ，过点Q 作QM PQ ^，交射线BC 于点M ．已知8BC =，10AC =，AD =2DB ，求PQ QM的值．【拓展应用】（3）如图3，在Rt ABC △中，90BAC Ð=°，点P 在边AB 的延长线上，点Q 在边AC 上（不与点A ，C 重合），连接PQ ，以Q 为顶点作PQM PBC Ð=Ð，PQM Ð的边QM 交射线BC 于点M ．若AC mAB =，CQ nAC =（m ，n 是常数），直接写出PQ QM的值（用含m ，n 的代数式表示）．题型7：“手拉手”模型16．在ABC V 中，90ACB Ð=°，AC BC =，点D 是BC 边上一动点，过点C 作CE AD ^交AB 于点E ．(1)如图1，若AC AE =，求ADB Ð的度数；(2)如图2，点F 是BD 上一点，连接EF 并延长交AD 的延长线于点G ．若点P 为AD 的中点，CP DG =，2G CAD Ð=Ð，求证：2CE EF FG +=；(3)点F 是BC 边上一点，射线EF 与射线AD 交于点G ，BFE ADC Ð=Ð，点H 是AC 上一点，且14CH AC =，连接HF ，H G ，点M 是射线AD 上一动点，连接MH ，MF ．在点D 的运动过程中，当GH 取得最小值m 时，在平面内将HFM △沿直线HM 翻折得到HNM V ，连接EN ．在点M 的运动过程中，若EN 的最大值为n ，直接写出n m的值．17．如图所示，在ABC V 中，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，DE BC ∥，如图1，然后将ADE V 绕A 点顺时针旋转一定角度，得到图2，然后将BD 、CE 分别延长至M 、N ，使DM ＝12BD ，EN ＝12CE ，得到图3，请解答下列问题：(1)若AB AC =，请探究下列数量关系：①在图2中，BD 与CE 的数量关系是 ；②在图3中，猜想AM 与AN 的数量关系、MAN Ð与BAC Ð的数量关系，并证明你的猜想；(2)若·1AB k AC k =（＞），按上述操作方法，得到图4，请继续探究：AM 与AN 的数量关系、MAN Ð与BAC Ð的数量关系，直接写出你的猜想，不必证明．题型8：定值问题18．如图1，在ABCD Y 中，60A Ð=°，4=AD ，8AB =．Y的面积；(1)请计算ABCD△沿着AC翻折，D点的对应点为D¢，线段CD¢交AB于点M，请计算AM的长度；(2)如图2，将ADC^交AD¢的延(3)如图3，在（2）的条件下，点P为线段CM上一动点，过点P作PN AC^于点N，PG AD¢长线于点G．在点P PG+的长度是否为定值？如果是，请计算出这个定值；如果不是，请说明理由．题型9：情景探究题19．[问题情境]（1）王老师给爱好学习的小明和小颖提出这样一个问题：如图①，在ABC V 中，AB AC =，P 为边BC 上的任一点，过点P 作,PD AB PE AC ^^，垂足分别为D ，E ，过点C 作CF AB ^，垂足为F ．求证：PD PE CF +=．小明的证明思路是：如图①，连接AP ，由ABP V 与APC △面积之和等于ABC V 的面积可以证得：PD PE CF +=．小颖的证明思路是：如图②，过点P 作PG CF ^，垂足为G ，可以证得：,PD GF PE CG ==，则PD PE CF +=．请你选择小明、小颖两种证明思路中的任意一种，写出详细的证明过程．[变式探究]（2）如图③，当点Р在BC 延长线上时，问题情境中，其余条件不变，则PD PE CF 、、之间的数量关系是______．[结论运用]（3）如图④，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使点D 落在点B 上，点C 落在点C ¢处，点P 为折痕EF 上的任一点，过点Р作,PG BE PH BF ^^，垂足分别为G ，H ，若18,5AD CF ==，求PG PH +的值．[迁移拓展]（4）图⑤是一个机器模型的截面示意图，在四边形ABCD 中，E 为AB 边上的一点，,ED AD EC CB ^^，垂足分别为D ，C ，且,3cm,AD CE DE BC AB AD BD ====××，M 、N 分别为AE BE ，的中点，连接DM CN ，，请直接写出DEM △与CEN V 的周长之和___________．题型10：相似三角形在平面直角坐标系的应用20．如图，在平面直角坐标系中；一次函数y kx b =+的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B (0,3)，与直线OC 交于点8,13C æöç÷èø．(1)求直线AB 的函数表达式；(2)过点C 作CD x ^轴于点D ，将ACD V 沿射线CB 平移得到的三角形记为A C D ¢¢¢△，点A ，C ，D 的对应点分别为A ¢，C ¢，D ¢，若A C D ¢¢¢△与BOC V 重叠部分的面积为S ，平移的距离CC m ¢=，当点A ¢与点B 重合时停止运动，当925S =时，求m 的值．21．综合运用如图1，在平面直角坐标系中，AOB V 是等腰直角三角形，AO BO =，点A 的坐标为()0,6．点C 是边OB 上一点，连接AC ，将线段AC 绕点C 顺时针旋转90°，得到线段CD ，连接AD ，BD ．(1)当AB 平分CAD Ð时，OAC Ð＝________°；(2)若13CO BO =，求BD 的长；(3)如图2，作点C 关于AD 的对称点E ，连接BE ，CE ，DE ．设BDE V 的面积S =，CO m =，求S 关于m 的函数表达式．。

2021-2022学年北师大新版九年级上册数学《特殊的平行四边形》一．选择题1．若O 是四边形ABCD 对角线的交点且OA ＝OB ＝OC ＝OD ，则四边形ABCD 是（ ）A ．平行四边形B ．矩形C ．正方形D ．菱形2．一个正方形的面积为16cm 2，则它的对角线长为（ ）A ．4 cmB ．4cmC ．8 cmD ．6cm3．下列说法中错误的是（ ）A ．四个角相等的四边形是矩形B ．四条边相等的四边形是正方形C ．对角线相等的菱形是正方形D ．对角线垂直的矩形是正方形4．下列说法中正确的是（ ）A ．有一个角是直角的四边形是矩形B ．两条对角线互相垂直的四边形是菱形C ．两条对角线互相垂直平分的四边形是正方形D ．两条对角线相等的菱形是正方形5．如图，菱形ABCD 中，∠D ＝135°，BE ⊥CD 于E ，交AC 于F ，FG ⊥BC 于G ．若△BFG 的周长为4，则菱形ABCD 的面积为（ ）A ．4B ．8C ．16D ．166．如图，在矩形ABCD 中，O 为AC 中点，EF 过O 点且EF ⊥AC 分别交DC 于F ，交AB于E ，点G 是AE 中点且∠AOG ＝30°，则下列结论正确的个数为（ ）（1）DC ＝3OG ；（2）OG ＝BC ；（3）△OGE 是等边三角形；（4）S △AOE ＝S 矩形ABCD ．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．如图，在三角形ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝6，三角形DEF 的周长是7，AF ⊥BC 于F ，BE ⊥AC 于E ，且点D 是AB 的中点，则AF ＝（ ）A ．B ．C ．D ．78．如图，菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，AC 、BD 交于点O ，E 为CD 延长线上的一点，且CD ＝DE ，连接BE 分别交AC ，AD 于点F 、G ，连接OG 、AE ．则下列结论：①OG ＝AB ； ②四边形ABDE 是菱形；③S 四边形ODGF ＝S △ABF ；其中正确的是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③9．如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，动点P 从点B 出发，沿着BC 匀速向终点C 运动，则线段EF 的值大小变化情况是（ ）A ．一直增大B ．一直减小C ．先减小后增大D ．先增大后减少10．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，BD＝2AD，E，F，G分别是OC，OD，AB的中点．下列结论正确的是（）①EG＝EF；②△EFG≌△GBE；③FB平分∠EFG；④EA平分∠GEF；⑤四边形BEFG是菱形．A．③⑤B．①②④C．①②③④D．①②③④⑤二．填空题11．已知菱形的两条对角线长分别为6和8，则菱形的周长是，面积是．12．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，P为AB上一动点（不与A、B重合），作PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，连接EF，则EF的最小值是．13．一组对边平行，且有两个直角的四边形是矩形．（判断对错）14．如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合部分构成了一个四边形ABCD，当线段AD＝5时，线段BC的长为．15．矩形的两条对角线的夹角为60°，较短的边长为12cm，则对角线长为cm．16．如图，在四边形ABCD中，点E、F分别是线段AD、BC的中点，G、H分别是线段BD、AC的中点，当四边形ABCD的边满足时，四边形EGFH是菱形．17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝25°，D是AB的中点，则∠ADC＝．18．小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示菱形，并测得∠B＝60°，接着活动学具成为图2所示正方形，并测得正方形的对角线AC ＝40cm，则图1中对角线AC的长为cm．19．如图，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．要使四边形EFGH是正方形，BD、AC应满足的条件是．20．小芳参加图书馆标志设计大赛，他在边长为2的正方形ABCD内作等边△BCE，并与正方形的对角线交于F、G点，制成了图中阴影部分的标志，则这个标志AFEGD的面积是．三．解答题21．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC 交BE的延长线于F，连接CF，求证：四边形ADCF是菱形．22．如图．△ABC中，∠C＝2∠B，D是BC上一点，且AD⊥AB，点E是BD的中点，连接AE．（1）求证：BD＝2AC；（2）若AE＝6.5，AD＝5，那么△ABE的周长是多少？23．如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）已知∠DAB＝60°，AF是∠DAB的平分线，若AD＝3，求DC的长度．24．如图所示，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，△AEF为正三角形，点E、F 分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．（1）证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE＝CF；（2）当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF的面积和△CEF的周长是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最小值．25．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．（1）求证：四边形ADCF是菱形；（2）若AC＝12，AB＝16，求菱形ADCF的面积．26．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CG．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）当线段AB与线段AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．27．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且DE∥AC，CE∥BD．（1）求证：四边形OCED是菱形；（2）若∠BAC＝30°，AC＝4，求菱形OCED的面积．参考答案与试题解析一．选择题1．解：∵OA＝OB＝OC＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形．故选：B．2．解：设对角线长是xcm．则有x2＝16，即x＝±4（负数舍去）．故选：B．3．解：A、四个角相等的四边形则每个角为90°，所以是矩形，该说法正确，不符合题意；B、四条边相等的四边形是菱形，不一定是正方形，该说法错误，符合题意；C、对角线相等的菱形是正方形，该说法正确，不符合题意；D、对角线垂直的矩形是正方形，该说法正确，不符合题意．故选：B．4．解：A．有一个角是直角的四边形不一定是矩形，故本选项错误；B．两条对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，故本选项错误；C．两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故本选项错误；D．两条对角线相等的菱形是正方形，故本选项正确．故选：D．5．解：∵菱形ABCD中，∠D＝135°，∴∠BCD＝45°，∵BE⊥CD于E，FG⊥BC于G，∴△BFG与△BEC是等腰直角三角形，∵∠GCF＝∠ECF，∠CGF＝∠CEF＝90°，CF＝CF，∴△CGF≌△CEF（AAS），∴FG＝FE，CG＝CE，设BG＝FG＝EF＝x，∴BF＝x，∵△BFG的周长为4，∴x+x+x＝4，∴x＝4﹣2，∴BE＝2，∴BC＝BE＝4，∴菱形ABCD的面积＝4×2＝8，故选：B．6．解：∵EF⊥AC，点G是AE中点，∴OG＝AG＝GE＝AE，∵∠AOG＝30°，∴∠OAG＝∠AOG＝30°，∠GOE＝90°﹣∠AOG＝90°﹣30°＝60°，∴△OGE是等边三角形，故（3）正确；设AE＝2a，则OE＝OG＝a，由勾股定理得，AO＝＝＝a，∵O为AC中点，∴AC＝2AO＝2a，∴BC＝AC＝×2a＝a，在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB＝＝3a，∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝3a，∴DC＝3OG，故（1）正确；∵OG＝a，BC＝a，∴OG≠BC，故（2）错误；＝a•a＝a2，∵S△AOES ABCD＝3a•a＝3a2，＝S ABCD，故（4）正确；∴S△AOE综上所述，结论正确的是（1）（3）（4）共3个．故选：C．7．解：∵AF⊥BC，BE⊥AC，D是AB的中点，∴DE＝DF＝AB，∵AB＝AC，AF⊥BC，∴点F是BC的中点，∴BF＝FC＝3，∵BE⊥AC，∴EF＝BC＝3，∴△DEF的周长＝DE+DF+EF＝AB+3＝7，∴AB＝4，由勾股定理知AF＝＝，故选：B．8．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，∴∠BAG＝∠EDG，∵CD＝DE，∴AB＝DE，在△ABG和△DEG中，，∴△ABG ≌△DEG （AAS ），∴AG ＝DG ，∴OG 是△ABD 的中位线，∴OG ＝AB ，①正确；∵△ABG ≌△DEG ，∴AB ＝DE ，∵AB ∥CE ，∴四边形ABDE 是平行四边形，∵∠BCD ＝∠BAD ＝60°，∴△ABD 、△BCD 是等边三角形，∴AB ＝BD ＝AD ，∴四边形ABDE 是菱形，②正确；∵OB ＝OD ，AG ＝DG ，∴OG 是△ABD 的中位线，∴OG ∥AB ，OG ＝AB ，∴△GOD ∽△ABD ，△ABF ∽△OGF ，∴△GOD 的面积＝△ABD 的面积，△ABF 的面积＝△OGF 的面积的4倍，AF ：OF ＝2：1，∴△AFG 的面积＝△OGF 的面积的2倍，又∵△GOD 的面积＝△AOG 的面积＝△BOG 的面积，∴S 四边形ODGF ＝S △ABF ；③正确；正确的是①②③．故选：D ．9．解：如图，连接AP ．∵∠A ＝90°，PE ⊥AB ，PF ⊥AC∴四边形AFPE是矩形，∴EF＝AP，由垂线段最短可得AP⊥BC时，AP最短，则线段EF的值最小，∴动点P从点B出发，沿着BC匀速向终点C运动，则线段EF的值大小变化情况是先减小后增大．故选：C．10．解：设GF和AC的交点为点P，如图：∵E、F分别是OC、OD的中点，∴EF∥CD，且EF＝CD，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，且AB＝CD，∴∠FEG＝∠BGE，∵点G为AB的中点，∴BG＝AB＝CD＝FE，在△EFG和△GBE中，，∴△EFG≌△GBE（SAS），即②正确，∴∠EGF＝∠GEB，GF＝BE，∴GF∥BE，∵BD＝2BC，点O为平行四边形对角线交点，∴BO＝BD＝BC，∵E为OC中点，∴BE⊥OC，∴GP⊥AC，∴∠APG＝∠EPG＝90°∵GP∥BE，G为AB中点，∴P为AE中点，即AP＝PE，且GP＝BE，在△APG和△EGP中，，∴△APG≌△EPG（SAS），∴AG＝EG＝AB，∴EG＝EF，即①正确，∵EF∥BG，GF∥BE，∴四边形BGFE为平行四边形，∴GF＝BE，∵GP＝BE＝GF，∴GP＝FP，∵GF⊥AC，∴∠GPE＝∠FPE＝90°在△GPE和△FPE中，，∴△GPE≌△FPE（SAS），∴∠GEP＝∠FEP，∴EA平分∠GEF，即④正确．∵BG＝FE，GF＝BE，∴四边形BEFG是平行四边形，没有条件得出BEFG是菱形，⑤③不正确；故选：B．二．填空题11．解：∵菱形的两条对角线长分别为6和8，∴两对角线的一半分别为3、4，由勾股定理得，菱形的边长＝＝5，所以，菱形的周长＝4×5＝20；面积＝×6×8＝24．故答案为：20；24．12．解：如图，连接CP．∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝＝5，∵PE⊥AC，PF⊥BC，∠C＝90°，∴四边形CFPE是矩形，∴EF＝CP，由垂线段最短可得CP⊥AB时，线段EF的值最小，此时，S＝BC•AC＝AB•CP，△ABC即×4×3＝×5•CP，解得CP＝2.4．故答案为：2.4．13．解：错误，直角梯形也满足此条件，但不是矩形；故答案为：错误．14．解：由条件可知AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD为平行四边形，∴BC＝AD＝5．故答案为：5．15．解：如图：AB＝12cm，∠AOB＝60°．∵四边形是矩形，AC，BD是对角线．∴OA＝OB＝OD＝OC＝BD＝AC．在△AOB中，OA＝OB，∠AOB＝60°．∴OA＝OB＝AB＝12cm，BD＝2OB＝2×12＝24cm．故答案为：24．16．解：当AB＝CD时，四边形EGFH是菱形．∵点E，G分别是AD，BD的中点，∴EG∥AB，同理HF∥AB，∴EG∥HF，EG＝HF＝AB，∴四边形EGFH是平行四边形．∵EG＝AB，又可同理证得EH＝CD，∵AB＝CD，∴EG＝EH，∴四边形EGFH是菱形．故答案为AB＝CD．17．解：∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，∴CD＝BD，∴∠DCB＝∠B，∵∠B＝25°，∴∠DCB＝25°，∴∠ADC＝∠B+∠DCB＝50°，故答案为：50°．18．解：如图1，2中，连接AC．在图2中，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠B＝90°，∵AC＝40，∴AB＝BC＝20，在图1中，∵∠B＝60°，BA＝BC，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝BC＝20，故答案为：20，19．解：满足的条件应为：AC＝BD且AC⊥BD．理由：∵E，F，G，H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，∴在△ADC中，HG为△ADC的中位线，∴HG∥AC且HG＝AC；同理EF∥AC且EF＝AC，同理可得EH＝BD，则HG∥EF且HG＝EF，∴四边形EFGH为平行四边形，又∵AC＝BD，∴EF＝EH，∴四边形EFGH为菱形，∵AC⊥BD，EF∥AC，∴EF⊥BD，∵EH∥BD，∴EF⊥EH，∴∠FEH＝90°，∴菱形EFGH是正方形．故答案为：AC＝BD且AC⊥BD．20．解：过点G作GN⊥CD于N，过点F作FM⊥AB于M，∵在边长为2的正方形ABCD内作等边△BCE，∴AB＝BC＝CD＝AD＝BE＝EC＝2，∠ECB＝60°，∠ODC＝45°，∴S△BEC ＝×2×＝，S正方形＝AB2＝4，设GN＝x，∵∠NDG＝∠NGD＝45°，∠NCG＝30°，∴DN＝NG＝x，CN＝NG＝x，∴x+x＝2，解得：x＝﹣1，∴S△CGD＝CD•GN＝×2×（﹣1）＝﹣1，同理：S△ABF＝﹣1，∴S阴影＝S正方形ABCD﹣S△ABF﹣S△BCE﹣S△CDG＝4﹣（﹣1）﹣﹣（﹣1）＝6﹣3．故答案为：6﹣3．三．解答题21．证明：∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，∴AE＝DE，BD＝CD，在△AFE和△DBE中，，∴△AFE≌△DBE（AAS）；∴AF＝DB．∵DB＝DC，∴AF＝CD．∵AF∥BC，∴四边形ADCF是平行四边形，∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，∴AD＝DC＝BC，∴四边形ADCF是菱形．22．（1）证明：∵AD⊥AB，∴∠BAD＝90°，又点E是BD的中点，∴EA＝BD＝EB，∴∠EAB＝∠EBA，∴∠AEC＝2∠B，又∠C＝2∠B，∴∠AEC＝∠C，∴AE＝AC，∴BD＝2AC；（2）解：∵∠BAD＝90°，点E是BD的中点，∴BD＝2AE＝13，EA＝EB＝6.5，由勾股定理得，AB＝＝＝12，∴△ABE的周长＝AB+AE+BE＝12+6.5+6.5＝25．23．证明（1）∵四边形ABCD是平行四边形∴DC∥AB，DC＝AB∵CF＝AE∴DF＝BE且DC∥AB∴四边形DFBE是平行四边形又∵DE⊥AB∴四边形DFBE是矩形；（2）∵∠DAB＝60°，AD＝3，DE⊥AB∴AE＝，DE＝AE＝∵四边形DFBE是矩形∴BF＝DE＝∵AF平分∠DAB∴∠FAB＝∠DAB＝30°，且BF⊥AB∴AB＝BF＝∴CD＝24．解：（1）如图，连接AC，∵四边形ABCD为菱形，∠BAD＝120°，∴∠BAC＝60°，∵△AEF是等边三角形，∴∠EAF＝60°，∴∠1+∠EAC＝60°，∠3+∠EAC＝60°，∴∠1＝∠3，∵∠BAD＝120°，∴∠ABC＝60°，∴△ABC和△ACD为等边三角形，∴∠4＝60°，AC＝AB，∴在△ABE和△ACF中，，∴△ABE≌△ACF（ASA）．∴BE ＝CF ；（2）四边形AECF 的面积不变，△CEF 的周长发生变化．理由如下：由（1）得△ABE ≌△ACF ，则S △ABE ＝S △ACF ，故S 四边形AECF ＝S △AEC +S △ACF ＝S △AEC +S △ABE ＝S △ABC ，是定值，作AH ⊥BC 于H 点，则BH ＝2，S 四边形AECF ＝S △ABC ＝．△CEF 的周长＝CE +CF +EF ＝CE +BE +EF ＝BC +EF ＝BC +AE由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF 的边AE 与BC 垂直时，边AE 最短．故△AEF 的周长会随着AE 的变化而变化，且当AE 最短时，△CEF 的周长会最小＝4+．25．（1）证明：∵E 是AD 的中点，∴AE ＝DE ，∵AF ∥BC ，∴∠AFE ＝∠DBE ，在△AEF 和△DEB 中， ∵，∴△AEF ≌△DEB （AAS ），∴AF ＝DB ，∴四边形ADCF 是平行四边形，∵∠BAC ＝90°，D 是BC 的中点，∴AD ＝CD ＝BC ，∴四边形ADCF 是菱形；（2）解：设AF 到CD 的距离为h ，∵AF ∥BC ，AF ＝BD ＝CD ，∠BAC ＝90°，∴S 菱形ADCF ＝CD •h ＝BC •h ＝S △ABC ＝AB •AC ＝×12×16＝96．26．证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC，∴∠ABE＝∠CDF，∵点E，F分别为OB，OD的中点，∴BE＝OB，DF＝OD，∴BE＝DF，在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF（SAS）；（2）解：当AC＝2AB时，四边形EGCF是矩形；理由如下：∵AC＝2OA，AC＝2AB，∴AB＝OA，∵E是OB的中点，∴AG⊥OB，∴∠OEG＝90°，同理：CF⊥OD，∴AG∥CF，∴EG∥CF，∵EG＝AE，OA＝OC，∴OE是△ACG的中位线，∴OE∥CG，∴EF∥CG，∴四边形EGCF是平行四边形，∵∠OEG＝90°，∴四边形EGCF是矩形．27．（1）证明：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形，∵矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，∴OC＝OD，21 ∴▱OCE D 是菱形；（2）方法一：在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，∠BAC ＝30°，AC ＝4， ∴BC ＝2，AB ＝2，∵S △COD ＝S 矩形ABCD ＝S 菱形OCED ，∴S 菱形OCED ＝×2×2＝2．方法二：解：在矩形ABCD 中，∠ABC ＝90°，∠BAC ＝30°，AC ＝4， ∴BC ＝2，∴AB ＝DC ＝2，如图，连接OE ，交CD 于点F ，∵四边形OCED 为菱形，∴F 为CD 中点，∵O 为BD 中点，∴OF ＝BC ＝1，∴OE ＝2OF ＝2，∴S 菱形OCED ＝×OE ×CD ＝×2×2＝2．。

【文库独家】北师大版九上数学第一章特殊平行四边形-【正方形同步练习】一、填空1.正方形既是相等的矩形，又是有一个角是的菱形.2.正方形和菱形比较，除具有的性质外，它们具有的共同性质还有：四条边都，对角线 .3.对角线的四边形是正方形.4.正方形和矩形比较，除具有的性质外，它们还具有的共同性质还有：四个角都，对角线.5.如果一个正方形的边长恰好等于边长为m的正方形对角线的长，那么这两个正方形周长和为，面积的和为 .6.如图4.6-12，正方形ABCD中，E、F分别是CD、DA上的点，并且EF＝AF+CE，∠BEF＝∠BEC，那么∠EBF＝度.7.如图4.6-13，正方形ABCD中，E是CF上的点，四边形BEFD是菱形，那么∠BEF＝度.图4.6-12 图4.6-138.如图4.6-14，E是正方形ABCD边BC延长线上的一点，若EC＝AC，AE交CD于F，那么∠AFC＝度.图4.6-14 图4.6-159.如图4.6-15，将边长为12的正方形纸片ABCD的顶点A折叠至DC边上一点E，若DE为5，则折痕PQ的长为 .10.P是正方形ABCD内一点，△PAB为正三角形，若正方形的面积为1，则△PAB的面积为 .二、选择题1.下列命题是真命题的是( )A.一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形B.对角线相等的四边形是矩形C.一组对边平行且有一组对角相等的四边形是平行四边形D.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形2.正方形具有而矩形不一定具有性质是( )A.对角线互相平分B.对角线相等C.对角线互相平分且相等D.对角线互相垂直3.下列命题中，错误的是( )A.对角线相等且互相垂直的四边形是菱形B.两组对边分别相等的四边是平行四边形C.有一个角是直角的平行四边形是矩形D.四个角相等的菱形是正方形4.如图，正方形ABCD中，CE＝MN，∠MCE＝35°，那么∠ANM是( )A.45°B.55°C.65°D.75°5.下列命题正确的是( )A.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B.以一条对角线所在直线为对称轴的平行四边形是菱形C.顺次连结矩形四条边中点所得的四边形仍是矩形6.下列命题中，假命题是( )A.矩形的对角线相等B.菱形的对角线互相垂直C.正方形的对角线相等且互相垂直D.梯形的对角线互相平分7.在正方形ABCD的对角线AC上取一点E，使AE＝AB，作EF⊥AC交BC于F，则下列关系式成立的是( )A.BF＝ECB.BF≠ECC.BF＜ECD.BF＞EC8.以正方形ABCD的边AB向外作等边三角形ABE，BD、CE交于F，则∠AFD的度数为( )A.50°B.60°C.67.5°D.75°9.在正方形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的三等分点，则四边形EFGH是( )A.正方形B.菱形C.矩形D.平行四边形10.给出下列结论：(1)正方形具有平行四边形的一切性质，(2)正方形具有矩形的一切性质，(3)正方形具有菱形的一切性质，(4)正方形共有两条对称轴，(5)正方形共有四条对称轴，其中正确的结论有( )A.2B.3个C.4个D.5个三、解答题1.在正方形ABCD的边BC的延长线上取一点E，使CE＝AC，连结AE交CD于F，求∠AFD的度数?2.如图所示，K是正方形ABCD内一点，以AK为一边作正方形AKLM，使L、M、D在AK的同旁，连结BK和DM，求证：BK＝DM.3.如图，已知正方形ABCD，在BC上取一点E，延长AB至F，使BF＝BE，AE的延长线交CF于G，求证AG⊥CF.4.如图，E为正方形ABCD的边AB延长线上一点，DE交AC于F，交BC于G，H为GE的中点.求证：BF ⊥BH.5.如图，E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，且∠EAF＝45°，求证：EF＝BE+DF.【素质优化训练】如图，M为正方形ABCD的AB边上的中点，MN⊥DM，BN平分∠CBG.求证：DM＝MN【生活实际运用】如图，正方形ABCD 的对角线相交于点O.点O 是正方形A ′B ′C ′O 的一个顶点.如果两个正方形的边长相等，那么正方形A ′B ′C ′O 绕点O 无论怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的41，想一想这是为什么.【知识探究学习】如图，已知E 是正方形ABCD 的边BC 上的中点，F 是CD 上一点，AE 平分∠BAF ，求证：AF ＝BC+CF.参考答案一、1.邻边相等直角 2.平行四边形相等互相垂直且平分每一组对角 3.相互平分相等互相垂直 4.平行四边形是直角互相垂直 5.4(2+1)m 3m2 6.45°7.150° 8.112.5° 9.13 310.4二、1.C 2.D 3.A 4.B 5.B 6.D 7.A 8.C 9.A 10.C三、1.67.5° 2.提示：证△MAD≌△KAB(SAS) 3.提示：证△ABE≌△CBF，再证∠AGC＝∠ABE＝90°4.先证△BCF≌△DCF，得：∠CDF＝∠CBF，进而证∠GBF＝∠HBG，得：∠FBG+∠GBH＝∠GBH+∠HBE＝90°，得BF⊥BH5.提示：延长CB到G，使BG＝FD，证△ABG≌△ADF，得：∠BAG＝∠DAF，再证△AEF≌△AEG，得EF＝EG＝EB+BG＝EB+DF【素质优化训练】提示：取AD的中点E，连EM.【生活实际运用】略.【知识探究学习】提示：延长FC交AE的延长线于H.。

北师大版2020年九年级上册第1章《特殊的平行四边形》单元测试卷满分：120分姓名：___________班级：___________考号：___________题号一二三总分得分一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．菱形具有而一般矩形不具有的性质是（）A．对边相等B．对角线相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直2．要判断一个四边形门框是否为矩形，在下面四个拟定方案中，正确的方案是（）A．测量对角线是否相互平分B．测量两组对边是否分别相等C．测量对角线是否互相垂直D．测量其中三个角是否是直角3．已知平行四边形ABCD的对角线相交于点O，补充下列四个条件，能使平行四边形ABCD 成为菱形的是（）A．AB＝BD B．AC＝BD C．∠DAB＝90°D．∠AOB＝90°4．四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且∠ACD＝30°，BD＝2，则菱形ABCD的面积为（）A．2B．4C．4D．85．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝6，S菱形ABCD＝48，则OH的长为（）A．4B．8C．D．66．E为正方形ABCD内一点，且△EBC是等边三角形，求∠AEB的度数是（）A．55°B．60°C．65°D．75°7．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DE⊥AB于点E，若AC＝8cm，BD＝6cm，则DE＝（）A．5cm B．2cm C．cm D．cm8．在长方形MNPQ中，三点的坐标分别是M（0，0），N（4，0），P（4，2），则Q点的坐标为（）A．（2，0）B．（0，2）C．（0，4）D．（4，0）9．如图，四边形ABCD、EFGH、NHMC都是正方形，边长分别为a，b，c；A，B，N，E，F五点在同一直线上，则c＝（）A．a+b B．C．D．a2+b210．矩形ABCD中，AD＝3，AB＝9，点E、F同时分别从点A、C出发沿AB、CD方向以每秒1个单位的速度运动，当四边形EBFD为菱形时，两点运动的时间为（）A．4秒B．5秒C．6秒D．6秒二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）11．矩形、菱形和正方形的对角线都具有的性质是．12．已知菱形ABCD的周长为12，则边BC＝．13．如图，▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC⊥BD，请你添加一个适当的条件，使ABCD成为正方形．14．如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE垂直于横梁AC，AB＝8m，∠ABC＝60°，则DE＝m．15．如图所示，在菱形OABC中，点B在x轴上，点A的坐标为（6，10），则点C的坐标为．16．如图，在Rt△CDE中，∠DCE＝90°，分别以CD，DE为边在Rt△CDE外部作正方形ABCD和正方形DEFG，若S△ADG＝，S正方形ABCD＝6，则S正方形DEFG＝．三．解答题（共8小题，满分66分）17．（7分）如图，在矩形ABCD中，AD＝6，DC＝8，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH＝2，DG＝2．求证：四边形EFGH为正方形．18．（7分）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AB，CD边上的点，且∠ADE＝∠CBF．当BD⊥EF时，求证：四边形EBFD是菱形．19．（8分）如图，在正方形ABCD中，AE，DF相交于点O且AF＝BE．（1）求证：∠BAE＝∠ADF；（2）若∠BAE＝30°，AF＝2，求OD的长．20．（8分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O．过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两直线相交于点E．（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）若CE＝1，菱形ABCD的周长是4，求菱形ABCD的面积．21．（8分）如图，在矩形ABCD中，直线l经过对角线AC的中点O（直线l不与线段AC 重合），与AB、CD交于点E、F．（1）求证：BE＝DF；（2）当直线l⊥AC时，若AD＝4，AB＝6，求CF的长．22．（8分）如图（1），正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AC上一点，连结EB，过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM与BD相交于点F．（1）求证：OE＝OF；（2）如图（2）若点E在AC的延长线上，AM⊥BE于点M，AM交DB的延长线于点F，其他条件不变，结论“OE＝OF”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．23．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝6cm．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q 的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形；（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．24．（10分）已知正方形ABCD，点F是射线DC上一动点（不与C、D重合）．连接AF并延长交直线BC于点E，交BD于H，连接CH．在EF上取一点G，使∠ECG＝∠DAH．（1）若点F在边CD上，如图1，①求证：CH⊥CG．②求证：△GFC是等腰三角形．（2）取DF中点M，连接MG．若MG＝3，正方形边长为4，则BE＝．参考答案一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．解：菱形具有的性质：四边相等，对边平行，对角相等，邻角互补，对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角；矩形具有的性质：四个角都是直角，对边平行且相等，对角线互相平分且相等．∴菱形具有而一般矩形不具有的性质是对角线互相垂直；故选：D．2．解：∵三个角是直角的四边形是矩形，∴在下面四个拟定方案中，正确的方案是D，故选：D．3．解：A、AB＝BD，不能判定平行四边形ABCD是菱形，故选项A不符合题意；B、AC＝BD，则平行四边形ABCD是矩形，不一定是菱形，故选项B不符合题意；C、∠DAB＝90°，则平行四边形ABCD是矩形，不一定是菱形，故选项B不符合题意；D、∠AOB＝90°，则AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，故选项D符合题意；故选：D．4．解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD＝1，AC⊥BD，在Rt△OCD中，∵∠ACD＝30°，∴CD＝2OD＝2，∴OC＝＝＝，∴AC＝2OC＝2，∴菱形ABCD的面积＝AC•BD＝×2×2＝2．故选：A．5．解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC＝6，OB＝OD，AC⊥BD，∴AC＝12，∵DH⊥AB，∴∠BHD＝90°，∴OH＝BD，∵菱形ABCD的面积＝×AC×BD＝×12×BD＝48，∴BD＝8，∴OH＝BD＝4；故选：A．6．解：∵E为正方形ABCD内一点，且△EDC是等边三角形，∴∠ABC＝∠BAD＝90°，∠EBC＝60°，AB＝BE＝BC，∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝30°，∴∠AEB＝∠BAE＝（180°﹣30°）＝75°，故选：D．7．解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝8cm，BD＝6cm，∴S菱形ABCD＝AC•BD＝×6×8＝24，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝4cm，OB＝OD＝3cm，∴在直角三角形AOB中，AB＝＝＝5cm，∴DH＝＝cm．故选：C．8．解：如图，根据图形易知Q点的坐标是（0，2）．故选：B．9．解：∵四边形ABCD、EFGH、NHMC都是正方形，∴∠CNH＝90°，BC＝a，NE＝c，HE＝b．∵∠BCN+∠CNB＝90°，∠CNB+∠HNE＝90°，∴∠BCN＝HNE．又∵∠CBN＝∠HEN＝90°，CN＝NH＝c∴△CBN≌△NEH．∴NE＝CB＝a．在Rt△NEH中，∵NH＝，∴c＝．故选：C．10．解：设t秒时四边形EBFD为菱形，此时DE＝DF＝FB＝BE，则AE＝t，DF＝9﹣t，根据勾股定理得：32+t2＝（9﹣t）2，解得：t＝4，故选：A．二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）11．解：因为矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线互相平分且垂直且平分每一组对角，正方形的对角线具有矩形和菱形所有的性质，所有矩形、菱形和正方形的对角线都具有的性质是对角线互相平分．故答案为：对角线互相平分．12．解：∵菱形ABCD的周长为12，∴AB＝BC＝CD＝AD＝3；故答案为：3．13．解：∵▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，∴▱ABCD是菱形，当∠BAD＝90°时，▱ABCD为正方形．故答案为：∠BAD＝90°．14．解：∵立柱BC、DE垂直于横梁AC，∴BC∥DE，∴AE：CE＝AD：BD，∵D是AB中点，∴AD＝BD，∴AE＝CE，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝BC，在Rt△ABC中，BC＝AB＝4，∴DE＝2．故答案为：2．15．解：∵四边形OABC是菱形，∴A、C关于直线OB对称，∵A（6，10），∴C（6，﹣10），故答案为：（6，﹣10）．16．解：如图所示，过G作GH⊥AD，交AD的延长线于H，则∠H＝90°，又∵∠DCE＝90°，∴∠H＝∠DCE，∵四边形ABCD和四边形DEFG是正方形，∴∠ADC＝∠CDH＝∠EDG＝90°，DG＝DE，∴∠GDH＝∠EDC，∴△DGH≌△DEC（AAS），∴GH＝CE，∵S正方形ABCD＝6，∴CD＝，∵S△ADG＝，∴AD×GH＝，又∵AD＝CD，∴CD×CE＝，即×CE＝，∴CE＝2，∴Rt△CDE中，DE＝＝＝，∴S正方形DEFG＝DE2＝10，故答案为：10．三．解答题（共8小题，满分66分）17．解：∵四边形ABCD为矩形，四边形HEFG为菱形，∴∠D＝∠A＝90°，HG＝HE，又AH＝DG＝2，∴Rt△AHE≌Rt△DGH（HL），∴∠DHG＝∠HEA，∵∠AHE+∠HEA＝90°，∴∠AHE+∠DHG＝90°，∴∠EHG＝90°，∴四边形HEFG为正方形．18．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，∠A＝∠C，AB∥CD，AB＝CD，在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（ASA），∴AE＝CF，∴AB﹣AE＝CD﹣CF，即BE＝DF，又∵BE∥DF，∴四边形EBFD是平行四边形，∵BD⊥EF，∴四边形EBFD是菱形．19．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠DAB＝90°，AB＝AD，又∵AF＝BE，在△ABE与△DAF中，∴△ABE≌△DAF（SAS），∴∠BAE＝∠ADF；（2）解：∵△ABE≌△DAF，∴∠BAE＝∠ODA，∴∠DAO+∠ODA＝90°，∴∠AOD＝90°，∵∠BAE＝30°，AF＝2，∴OF＝AF＝1，DF＝2AF＝4，∴OD＝DF﹣OF＝3．20．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠COD＝90°．∵CE∥OD，DE∥OC，∴四边形OCED是平行四边形，又∠COD＝90°，∴平行四边形OCED是矩形；（2）由（1）知，平行四边形OCED是矩形，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝CD＝BC，∵菱形ABCD的周长是4，∴CD＝，∴OC＝＝2，∴AC＝2OC＝4，BD＝2OD＝2，∴菱形ABCD的面积为：AC•BD＝×4×2＝4．21．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠EAO＝∠FCO，∵对角线AC的中点为O，∴OA＝OC，在△AEO和△CFO中，，∴△AEO≌△CFO（ASA），∴EA＝FC，∴AB﹣AE＝CD﹣CF，∴BE＝DF；（2）解：连接AF、CE，如图所示：∵EA＝FC，EA∥FC，∴四边形AFCE为平行四边形，∵EF⊥AC，∴▱AFCE为菱形，∴AF＝CF，设AF＝CF＝x，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝90°，在Rt△ADF中，由勾股定理得：x2＝42+（6﹣x）2，解得：x＝，即CF＝．22．解：（1）∵四边形ABCD是正方形．∴∠BOE＝∠AOF＝90°，OB＝OA．又∵AM⊥BE，∴∠MEA+∠MAE＝90°＝∠AFO+∠MAE，∴∠MEA＝∠AFO．在△BOE和△AOF中，∵，∴△BOE≌△AOF．∴OE＝OF．（2）OE＝OF成立．∵四边形ABCD是正方形，∴∠BOE＝∠AOF＝90°，OB＝OA．又∵AM⊥BE，∴∠F+∠MBF＝90°，∠E+∠OBE＝90°，又∵∠MBF＝∠OBE，∴∠F＝∠E．在△BOE和△AOF中，∵，∴△BOE≌△AOF．∴OE＝OF．23．解：（1）由已知可得，BQ＝DP＝t，AP＝CQ＝6﹣t 在矩形ABCD中，∠B＝90°，AD∥BC，当BQ＝AP时，四边形ABQP为矩形，∴t＝6﹣t，得t＝3故当t＝3s时，四边形ABQP为矩形．（2）由（1）可知，四边形AQCP为平行四边形∴当AQ＝CQ时，四边形AQCP为菱形即时，四边形AQCP为菱形，解得t＝，故当t＝s时，四边形AQCP为菱形．（3）当t＝时，AQ＝，CQ＝，则周长为：4AQ＝4×＝15cm面积为：．24．（1）①证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADB＝∠CDB＝45°，DA＝DC，在△DAH和△DCH中，，∴△DAH≌△DCH（SAS），∴∠DAH＝∠DCH．∵∠ECG＝∠DAH，∴∠ECG＝∠DCH．∵∠ECG+∠FCG＝∠FCE＝90°，∴∠DCH+∠FCG＝90°，∴CH⊥CG；②∵在Rt△ADF中，∠DF A+∠DAF＝90°，由①得∠DCH+∠FCG＝90°，∠DAH＝∠DCH；∴∠DF A＝∠FCG，又∵∠DF A＝∠CFG，∴∠CFG＝∠FCG，∴GF＝GC，∴△GFC是等腰三角形；（2））①如图，当点F在线段CD上时，连接DE．∵∠GFC＝∠GCF，∠GEC+∠GFC＝90°，∠GCF+∠GCE＝90°，∴∠GCE＝∠GEC，∴EG＝GC＝FG，∵FG＝GE，FM＝MD，∴DE＝2MG＝6，在Rt△DCE中，CE＝＝＝2，∴BE＝BC+CE＝4+2．②如图，当点F在线段DC的延长线上时，连接DE．同法可知GM是△DEC的中位线，∴DE＝2GM＝6，在Rt△DCE中，CE＝＝＝2，∴BE＝BC﹣CE＝4﹣3＝1．综上所述，BE的长为4+或1．。

2020-2021学年北师大版九年级上册数学《第1章特殊的平行四边形》单元测试卷一．选择题1．若菱形的一条对角线长是另一条对角线长的2倍，且菱形的面积为16cm2，则菱形的周长为（）A．cm B．cm C．cm D．16cm2．四边相等的四边形一定是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．无法判定3．若菱形的两邻角之比为1：2，那么此菱形的较短对角线与较长对角线之比为（）A．1：2B．1：3C．1：D．2：4．四个内角都相等的四边形是（）A．矩形B．菱形C．梯形D．平行四边形5．▱ABCD中，O是对角线的交点，不能判定这个平行四边形是正方形的是（）A．∠BAD＝90°，AB＝AD B．∠BAD＝90°，AC⊥BDC．AC⊥BD，AC＝BD D．AB＝AC，∠BAD＝∠BCD6．在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（2，0），C（0，﹣2），D（﹣2，0）以这四个点为顶点的四边形ABCD是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．梯形7．用折纸、剪切的方法得到一个菱形，最少要剪（）刀（设一条线段剪一刀）．A．1B．2C．3D．48．如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1+∠2的度数为（）A．90°B．105°C．120°D．135°9．一个矩形，长为6、宽为4，若以该矩形的两条对称轴为坐标轴建立平面直角坐标系，下面哪个点不在矩形上（）A．（3，﹣2）B．（﹣3，3）C．（﹣3，2）D．（0，﹣2）10．如图，正方形ABCD与正方形CEFG（边长不等），B，C，F三点共线，连接BE交CD于M，连接DG交BE，CE，CF分别于N，P，Q，下面结论：①BE＝DG；②BM ＝DQ；③CM＝CP；④∠BNQ＝90°中正确的是（）A．①②B．①②④C．②③④D．①③④二．填空题11．如图，在菱形ABCD中，E、F分别在BC、CD上，且△AEF是等边三角形，AE＝AB，则∠BAD的度数是．12．用刻度尺检查一个四边形零件是矩形，你的方法是，依据是．13．任意一个平行四边形，当它的一个锐角增大到度时，就变成了矩形；当它的一组邻边变到时，就变成了菱形．14．如图，BE，CF是△ABC的高，M是BC的中点，若不添加辅助线，则图中的三角形一定是等腰三角形的有个．15．若大正方形的边长为2，则图中阴影部分的面积为．16．如图，在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，AE＝AB，则∠EBC＝．17．已知四边形ABCD各边中点分别E，F，G，H，如果四边形ABCD是，那么四边形EFGH是正方形．18．菱形的两条对角线长分别是6和，则菱形的面积是，周长是．19．如图，已知四边形ABCD是一个平行四边形，则只须补充条件，就可以判定它是一个菱形．20．如图，一块长方形场地ABCD的长AB与宽AD的比为2：1，DE⊥AC于点E，BF⊥AC 于点F，连结BE，DF，则四边形DEBF与长方形ABCD的面积比为．三．解答题21．如图所示，已知EG，FH过正方形ABCD的对角线的交点O，EG⊥FH．求证：四边形EFGH是正方形．22．如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，点E、F分别是AB、AD上的动点，且满足BE＝AF，接连EF、EC、CF．（1）求证：△EFC是等边三角形；（2）试探究△AEF的周长是否存在最小值？如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出△AEF周长的最小值．23．平行四边形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，AB＝，AO＝2，OB＝1．四边形ABCD是菱形吗？为什么？24．检查你教室里的方桌面是不是矩形，如果只有一根足够长的绳子，应如何检查？解释其中的道理．25．如图所示，△ABC中，CD是△ABC的角平分线，AE⊥CD于E，F为AC的中点，试问EF∥BC吗？为什么？26．如图，E是矩形ABCD的边AD上一点，且BE＝ED，P是对角线BD上任意一点，PF ⊥BE，PG⊥AD，垂足分别为F、G．求证：PF+PG＝AB．27．如图，正方形ABCD中，E、F分别在BC、DC上，且∠EAF＝45°．试说明：BE+DF ＝EF．参考答案与试题解析一．选择题1．解：∵菱形的一条对角线长是另一条对角线长的2倍，∴设菱形的一条对角线长为2xcm，另一条对角线长为xcm，∵菱形的面积为16cm2，∴×2x×x＝16，解得：x＝4，∴菱形的两条对角线长为4cm，8cm，∴菱形的边长为：＝2（cm），∴菱形的周长为：8cm．故选：C．2．解：根据菱形的判定：四边相等的四边形是菱形．故选：B．3．解：如图，∵菱形的两邻角之比为1：2，∴较小角为60°，∴∠ABO＝30°，∴＝tan∠ABO＝，∵AC＝2OA，BD＝2OB，∴AC：BD＝：3＝1：．故选：C．4．解：∵四边形的内角和可知四个角的和为360°，∴∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，∴四边形ABCD是矩形．故选：A．5．解：A：根据AB＝AD可得出平行四边形是菱形，再利用∠BAD＝90°，能判定为正方形，故此选项不符合题意；B：根据AC⊥BD可得出平行四边形是菱形，再利用∠BAD＝90°，能判定为正方形，故此选项不符合题意；C：根据AC⊥BD可得出平行四边形是菱形，再利用AC＝BD，能判定为正方形，故此选项不符合题意；D：根据AB＝AD可得出平行四边形是菱形，∠BAD＝∠BCD是所有平行四边形具有的性质，故不能判定是正方形，故此选项符合题意；故选：D．6．解：∵AB＝BC＝CD＝DA＝，∴四边形ABCD是菱形．又∵tan∠ABO＝＝1，故∠ABO＝45°．同理∠CBO＝45°∴∠ABC＝90°．故四边形ABCD是正方形．故选：C．7．解：一刀．将纸四折，把原来纸的中心作为直角三角形的直角，然后任意剪一个三角形下来，都是菱形．故选：A．8．解：观察图形可知，∠1所在的三角形与∠2所在的三角形全等，∴∠1+∠2＝90°，故选：A．9．解：建立如图所示的直角坐标系，矩形的四个顶点坐标是（﹣3，2），（﹣3，﹣2），（3，2），（3，﹣2）；或（﹣2，3），（﹣2，﹣3），（2，3），（2，﹣3），故选：B．10．解：在正方形ABCD与正方形CEFG中，BC＝CD，CE＝CG，∠BCD＝∠ECG＝90°，∴∠BCD+∠DCE＝∠ECG+∠DCE，即∠BCE＝∠DCG，在△BCE和△DCG中，，∴△BCE≌△DCG（SAS），∴BE＝DG，∠CBE＝∠CDG，故①正确；在△BCM和△DCQ中，，∴△BCM≌△DCQ（ASA），∴BM＝DQ，CM＝CQ，故②正确；在Rt△CPG中，∠CGP+∠CPG＝90°，在Rt△CDQ中，∠CDQ+∠CQD＝90°，∵正方形ABCD与正方形CEFG的边长不等，∴∠CDQ≠∠CGP，∴∠CQD≠CPG，∴CQ≠CP，∴CM≠CP，故③错误；∵∠CBE+∠BMC＝90°，∠CBE＝∠CDG，∠BMC＝∠DMN（对顶角相等），∴∠CDG+∠DMN＝90°，∴∠DNM＝90°，∴∠BNQ＝180°﹣∠DNM＝180°﹣90°＝90°，故④正确，综上所述，正确的结论有①②④．故选：B．二．填空题11．解：如图所示：∵在菱形ABCD中，E、F分别在BC、CD上，且△AEF是等边三角形，AE＝AB，∴AB＝AD＝AE＝AF，∠2＝∠3＝∠D＝∠AFD，∠EAF＝∠AEF＝∠AFE＝60°，设∠2＝x，则∠2＝∠3＝∠D＝∠AFD＝x，故∠1＝180°﹣2x，则∠DAF＝180°﹣2x，∵AD∥BC，∴∠2+∠1+∠EAF+∠DAF＝180°，∴x+2（180°﹣2x）+60°＝180°，解得：x＝80°，则∠BAD＝100°．故答案为：100°．12．解：先测量两组对边是否相等，然后测量两条对角线是否相等；理由：∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，又∵对角线相等的平行四边形是矩形；∴可判断是否是矩形．故答案为：先测量两组对边是否相等，然后测量两条对角线是否相等；对角线相等的平行四边形是矩形．13．解：因为平行四边形两组对边分别平行且相等，所以当一个锐角增加为90°时，四个角都是90°，可得其为矩形；当平行四边形的一组邻边相等时，四条边都相等，所以四边形是菱形．故答案为：90，相等．14．解：∵BE是△ABC的高，∴BE⊥CE．又点M是BC的中点，∴在Rt△BCE中，ME＝BM＝CM（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），∴△BME、△CME是等腰三角形；同理，△BMF、△CMF是等腰三角形．综上所述△BME、△CME、△BMF、△CMF都是等腰三角形；故答案是：4．15．解：根据正方形的轴对称性可得，△AOE与△DOE，△BOF与△COH沿着EG翻折，都能互相重合，∴△AOE的面积＝△DOE的面积，△BOF的面积＝△COH的面积，∴图中阴影部分的面积＝矩形ABGE的面积＝×正方形ABCD的面积＝×4＝2．故答案为：216．解：∵正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，∴∠BAC＝45°，∵AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB＝67.5°，∵∠ABE+∠ECB＝90°，∴∠EBC＝22.5°，故答案为22.5°．17．解：由题中E、F、G、H是各边的中点，根据三角形中位线定理知四边形EFGH为平行四边形．∵EFGH是正方形∴EF＝GF＝AC＝BD，且∠EFG＝90°∴AC＝BD且AC⊥BD．即四边形ABCD是对角线垂直且相等的四边形．18．解：如图，AC＝6，BD＝6，∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，A＝OC＝AC＝3，OB＝OD＝BD＝3，在Rt△AOB中，AB＝＝＝6，∴菱形ABCD的面积＝AC•BD＝×6×6＝18，菱形ABCD的周长＝4AB＝4×6＝24．故答案为18，24．19．解：补充的条件是AB＝BC，理由是：∵AB＝BC，四边形ABCD是平行四边形，∴平行四边形ABCD是菱形，故答案为：AB＝BC．20．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AD＝BC，∠ABC＝90°，∴∠DAE＝∠BCF．∵BF⊥AC，DE⊥AC，∴∠AED＝∠CFB＝90°，BF∥DE．在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（AAS），∴DE＝BF．又∵BF∥DE，∴四边形DEBF是平行四边形．设AD＝BC＝x，则CD＝AB＝2x，∴AC＝＝＝x，∵DE⊥AC于点E，∴DE＝＝＝x，在△ADE中，AE＝＝x，同理CF＝x，∴EF＝AC﹣AE﹣CF＝x，∴S＝EF×DE＝x•x＝x2，四边形DEBF＝x×2x＝2x2，∵S矩形ABCD∴四边形DEBF与矩形ABCD的面积之比为：2＝3：5；故答案为：3：5．三．解答题21．∵四边形ABCD为正方形，∴OB＝OC，∠ABO＝∠BCO＝45°，∠BOC＝90°＝∠2+∠3．∵EG⊥FH，∴∠1+∠3＝90°．∴∠1＝∠2．∴△COH≌△BOE．∴OE＝OH．同理可证：OE＝OF＝OG．∴OE+OG＝OF+OH，即EG＝FH．又∵EG⊥FH，∴四边形EFGH为正方形．22．（1）证明：连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴∠1＝∠2＝∠BAD，AD∥BC，AB＝BC，∴∠B+∠BAD＝180°，∵∠B＝60°，∴∠BAD＝120°，∴∠1＝∠2＝60°，∵AB＝BC，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，在△AFC和△BEC中，，∴△AFC≌△BEC（SAS），∴FC＝EC，∠4＝∠3，∵AD∥CB，∴∠4+∠5＝∠2＝60°，∴∠3+∠5＝60°，∴△EFC是等边三角形；（2）解：△AEF的周长有最小值，理由：当CE⊥AB时CE最短，由△CEF是等边三角形，∴EF也是最短的．CE是边长为2等边△ABC的高，∴CE＝，EF＝，所以AE+AF+EF＝2+．∴△AEF周长的最小值为：2+．23．解：在△AOB中，∵AB＝，AO＝2，OB＝1，∴AB2＝（）2＝5，AO2+OB2＝22+12＝5，∴AB2＝AO2+OB2，∴△AOB 为直角三角形，即∠AOB ＝90°．∴AC 、BD 互相垂直．∴四边形ABCD 是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）．24．解：因为两组对边相等的四边形是平行四边形；对角线相等的平行四边形是矩形．所以，先量两组对边的长度是否相等，确定是不是平行四边形，再量两条对角线是否等长，确定是矩形．根据对角线相等的平行四边形是矩形．25．解：平行．∵AE ⊥CD 于E ，F 为AC 的中点，∴EF ＝CF （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）．∴∠FEC ＝∠ACE ．又∵∠ACE ＝∠BCE ，∴∠FEC ＝∠BCE ．∴EF ∥BC （内错角相等，两直线平行）．26．证明：连接PE ，∵BE ＝ED ，PF ⊥BE ，PG ⊥AD ，∴S △BDE ＝S △BEP +S △DEP＝BE •PF +ED •PG＝ED •（PF +PG ），又∵四边形ABCD 是矩形，∴BA ⊥AD ，∴S △BED ＝ED •AB ，∴ED •（PF +PG ）＝ED •AB ，∴PF +PG ＝AB ．27．证明：如图，把△ABE逆时针旋转90°得到△ADG，∴BE＝GD，AE＝AG，∵∠EAF＝45°，∴∠FAG＝90°﹣45°＝45°，∴∠EAF＝∠FAG，在△AEF和△AGF中，，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝GF，即EF＝GD+DF，∴BE+DF＝EF．。

第五单元平行四边形检测一、选择题(本大题8小题，每小题3分，共24分)1．平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是( )A．对角线互相平分B．对角线互相垂直C．对角线相等D．关于某条直线对称2．(2020温州)如图1，在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，点D在AC边上，以CB，CD为边作▱BCDE，则∠E的度数为( )图1A．40°B．50°C．60°D．70°3．如图2，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝1，那么BC的长是( )图2A．1 B．3C．2 D．234．(2020绵阳)如图3所示是以正方形的边长为直径，在正方形内画半圆得到的图形，则此图形的对称轴有( )图3A．2条B．4条C．6条D．8条5．如图4，菱形ABCD的对角线BD的长为23，∠BAD＝120°，则菱形ABCD 的周长是( )图4A．6 B．3 C．8 D．336．如图5，在四边形ABCD中，AB＝CD，AC，BD是对角线，E，F，G，H分别是AD，BD，BC，AC的中点，连接EF，FG，GH，HE，则四边形EFGH的形状是( )图5A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形7．(2020益阳)如图6，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，若AC＝6，BD＝8，则AB的长可能是( )图6A．10 B．8 C．7 D．68．如图7，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC于点F，连接DF.有下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF；③DF＝DC；④S四边形CDEF＝52S△ABF.其中正确的结论有( )图7A．4个B．3个C．2个D．1个二、填空题(本大题6小题，每小题4分，共24分)9．菱形的面积是24cm2，一条对角线长是8cm，则另一条对角线长为__________cm.10．如图8，将矩形ABCD沿对角线BD对折，点C落在E处，BE与AD相交于点F，已知∠BDC＝62°，则∠DFE的度数为__________.图811．两个边长为10cm的正方形按如图9所示的方式重叠在一起，点O是其中一个正方形的中心，则重叠部分的面积为__________cm2.图912．(2020德阳)如图10，在▱ABCD中，BE平分∠ABC，CF⊥BE，连接AE，G 是AB的中点，连接GF，若AE＝4，则GF＝__________.图1013．如图11，在矩形ABCD中，将线段AD绕点A顺时针旋转一定角度得到线段AE，点E在BC上，过点D作DF⊥AE交AE于点F，若BE＝2，EC＝1，则sin ∠FDC＝__________.图1114．(2020天水)如图12，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点E的坐标为(2，3)，则点F的坐标为__________.图12三、解答题(本大题6小题，共52分)15．(8分)如图13，在菱形ABCD中，E，F分别是AD和AB的中点，连接BE，DF.求证：DF＝BE.图1316.(8分)如图14，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是平行四边形，且B(8，4)，C(6，0)，直线AC与y轴相交于点D，求点D的坐标．图1417．(8分)如图15，折叠长方形纸片ABCD，先折出折痕(对角线)BD，再折叠使AD边与BD重合，得折痕DG，若AB＝8，BC＝6，求AG的长．图1518．(9分)如图16，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD.图16(1)求证：四边形AODE是矩形；(2)已知AB＝4，DE＝2，求四边形AODE的面积．19．(9分)如图17，正方形ABCD的对角线交于点O，点E，F分别在AB，BC 上(AE＜BE)，且∠EOF＝90°，OE，DA的延长线交于点M，OF，AB的延长线交于点N，连接MN.图17(1)求证：OM＝ON；(2)若正方形ABCD的边长为6，OE＝EM，求MN的长．20．(10分)如图18，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，点P是对角线AC上的一个沿A→C方向运动的动点，且运动速度为12cm/s，设点P运动时间为t(s).图18(1)求AC的长；(2)问t为何值时，△PCD为等腰三角形？参考答案1．A 2.D 3.B 4.B 5.C 6.C 7.D 8.A 9.6 10.56°11．25 12.2 13.5314.(－1，5)15．证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD.∵E，F分别是AD和AB的中点，∴AF＝12AB，AE＝12AD.∴AF＝AE.在△AFD 与△AEB 中，⎩⎨⎧AD ＝AB ，∠FAD ＝∠EAB ，AF ＝AE ，∴△AFD ≌△AEB (SAS). ∴DF ＝BE .16．解：∵四边形OABC 是平行四边形，∴AB ∥OC ，AB ＝OC . ∵B (8，4)，C (6，0)，∴A (2，4). 设直线AC 的解析式为y ＝kx ＋b . 将A (2，4)，C (6，0)代入y ＝kx ＋b ， 得⎩⎨⎧2k ＋b ＝4，6k ＋b ＝0. 解得⎩⎨⎧k ＝－1，b ＝6. ∴直线AC 的解析式为y ＝－x ＋6.当x ＝0时，y ＝6，∴点D 的坐标为(0，6). 17．解：如图1，过点G 作GE ⊥DB 于点E . ∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ＝6，∠A ＝90°. 由勾股定理，得DB ＝AD 2＋AB 2 ＝62＋82 ＝10.图1由折叠的性质，可知DE ＝DA ＝6，AG ＝EG . ∴BE ＝DB －DE ＝4.设AG ＝EG ＝x ，则BG ＝8－x .在Rt △EBG 中，由勾股定理，得x 2＋42＝(8－x )2. 解得x ＝3. 即AG 的长为3.18．(1)证明：∵DE ∥AC ，AE ∥BD ，∴四边形AODE 是平行四边形． 在菱形ABCD 中，AC ⊥BD ，∴∠AOD ＝90°. ∴四边形AODE 是矩形．(2)解：∵四边形AODE 是矩形，∴OA ＝DE ＝2.∵四边形ABCD 是菱形，∴OB ＝OD ，AC ⊥BD . ∴OB ＝AB 2－OA 2 ＝42－22 ＝23 .∴OD ＝23 . ∴四边形AODE 的面积为OD ·OA ＝23 ×2＝43 . 19．(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴OA ＝OB ，∠DAO ＝∠OBA ＝45°，∠AOB ＝90°. ∴∠OAM ＝∠OBN ＝135°.∵∠EOF ＝∠EOB ＋∠BON ＝90°，∠AOB ＝∠EOB ＋∠AOM ＝90°， ∴∠AOM ＝∠BON .在△OAM 与△OBN 中，⎩⎨⎧∠OAM ＝∠OBN ，OA ＝OB ，∠AOM ＝∠BON ，∴△OAM ≌△OBN (ASA). ∴OM ＝ON .(2)解：如图2，过点O 作OH ⊥AD 于点H ，则AB ∥OH .图2∵正方形的边长为6，∴OH ＝HA ＝3. ∵OE ＝EM ，AB ∥OH ，∴MA ＝HA . ∴HM ＝2HA ＝6.∴在Rt △HOM 中，OM ＝32＋62 ＝35 . ∴ON ＝OM ＝35 .∴MN ＝OM 2＋ON 2 ＝310 .20．解：(1)在矩形ABCD 中，∠B ＝90°，∴在Rt △ABC 中，由勾股定理，得AC ＝AB 2＋BC 2 ＝62＋82 ＝10. (2)分三种情况讨论：①当CD ＝CP 时，△CPD 为等腰三角形．在矩形ABCD 中，CD ＝AB ＝6，AD ＝BC ＝8，∴CP ＝CD ＝6. ∴AP ＝AC －CP ＝10－6＝4.∴t ＝AP v ＝40.5＝8(s). ②当PC ＝PD 时，△PCD 为等腰三角形，此时点P 是对角线的交点．∴PC ＝PD ＝12AC ＝5. ∴AP ＝AC －PC ＝10－5＝5.∴t ＝AP v ＝50.5＝10(s). ③当DP ＝DC 时，△DPC 为等腰三角形．如图3，过点D 作DQ ⊥AC 于点Q ，则PQ ＝QC .图3又S △ADC ＝12 AD ·DC ＝12AC ·DQ ， ∴12 ×8×6＝12×10·DQ . ∴DQ ＝245. 由勾股定理，得QC ＝DC 2－DQ 2 ＝62－⎝ ⎛⎭⎪⎫2452 ＝185 . ∴PC ＝2QC ＝365. ∴AP ＝AC －PC ＝10－365 ＝145 .∴t＝APv＝1450.5＝285(s).综上所述，当t＝8或10或285s时，△PCD为等腰三角形．。

福建2020九年级上册数学第五单元专练：矩形|夯实基础|1.下列命题正确的是()A.有一个角是直角的平行四边形是矩形B.四条边相等的四边形是矩形C.有一组邻边相等的平行四边形是矩形D.对角线相等的四边形是矩形2.如图K28-1,将矩形ABCD沿对角线BD折叠,点C落在点E处,BE交AD于点F,已知∠BDC=62°,则∠DFE的度数为()图K28-1A.31°B.28°C.62°D.56°3.如图K28-2,矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O,过点O作BD的垂线分别交AD,BC于E,F两点.若AC=2√3,∠AEO=120°,则FC的长度为()图K28-2A.1B.2C.√2D.√34.如图K28-3,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,过对角线交点O作EF⊥AC交AD于点E,交BC于点F,则DE的长是()图K28-3A.1B.74C.2 D.1255.如图K28-4,矩形ABCD中,AC,BD交于点O,M,N分别为BC,OC的中点.若MN=4,则AC的长为.图K28-46.如图K28-5,在平行四边形ABCD中,添加一个条件,使平行四边形ABCD是矩形.图K28-57.矩形的周长等于40,则此矩形面积的最大值是.8.如图K28-6,在矩形ABCD中,AD=2.将∠A向内翻折,点A落在BC上,记为A',折痕为DE.若将∠B沿EA'向内翻折,点B恰好落在DE上,记为B',则AB= .图K28-69.如图K28-7,四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AO=OC,BO=OD,且∠AOB=2∠OAD.(1)求证:四边形ABCD是矩形;(2)若∠AOB∶∠ODC=4∶3,求∠ADO的度数.图K28-7|能力提升|10.如图K28-8,有两张矩形纸片ABCD和EFGH,AB=EF=2 cm,BC=FG=8 cm,把纸片ABCD交叉叠放在纸片EFGH上,使重叠部分为平行四边形,且点D与点G重合,当两张纸片交叉所成的角α最小时,tanα等于()图K28-8A.14B.12C.817D.81511.将矩形ABCD按如图K28-9所示的方式折叠,BE,EG,FG为折痕,若顶点A,C,D都落在点O处,且点B,O,G在同一条直线上,同时点E,O,F在另一条直线上,则AAAA的值为 ()图K28-9A .65B .√2C .32D .√312.如图K28-10,在矩形ABCD 中,AD=3,将矩形ABCD 绕点A 逆时针旋转,得到矩形AEFG ,点B 的对应点E 落在CD 上,且DE=EF ,则AB 的长为 .图K28-1013.如图K28-11,在矩形ABCD 中,AB=3,AD=5,点E 在DC 上,将矩形ABCD 沿AE 折叠,点D 恰好落在BC 边上的点F 处,那么sin ∠EFC 的值为 .图K28-1114.如图K28-12,矩形ABCD 中,AB=4,BC=6,点P 是矩形ABCD 内一动点,且S △PAB =12S △PCD ,则PC +PD 的最小值是 .图K28-12|思维拓展|15.如图K28-13,在矩形ABCD 中,点A 在x 轴上,点B 的坐标为(1,0),且C ,D 两点在函数y={A +1(A ≥0),-12A +1(A <0)的图象上,若在矩形ABCD 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是 ( )图K28-13A.12B.38C.14D.1616.如图K28-14,把某矩形纸片ABCD沿EF,GH折叠(点E,H在AD边上,点F,G在BC边上),使点B和点C落在AD边上同一点P处,A点的对称点为A'点,D点的对称点为D'点,若∠FPG=90°,△A'EP的面积为4,△D'PH的面积为1,则矩形ABCD的面积等于.图K28-1417.将矩形ABCD绕点A顺时针旋转α(0°<α<360°),得到矩形AEFG.(1)如图K28-15,当点E在BD上时,求证:FD=CD.(2)当α为何值时,GC=GB?画出图形,并说明理由.图K28-15答案1.A[解析]根据矩形的定义,易知选项A正确,另外,对角线互相平分且相等的四边形是矩形;三个角是直角的四边形是矩形;对角线相等的平行四边形是矩形.2.D3.A4.B[解析]连接CE,∵四边形ABCD是矩形,∴∠ADC=90°,OC=OA,AD=BC=8,DC=AB=6,∵EF⊥AC,OA=OC,∴AE=CE,在Rt△DEC中,DE2+DC2=CE2,即DE2+36=(8-DE)2,解得DE=7,故选B.45.166.答案不唯一,如∠ABC=90°或AC=BD等[解析]判定一个平行四边形是矩形,常见的有两种思路,一是根据有一个角是直角的平行四边形是矩形;二是根据对角线相等的平行四边形是矩形.7.1008.√39.解:(1)证明:∵AO=OC,BO=OD,∴四边形ABCD是平行四边形.∵∠AOB是△AOD的外角,∴∠AOB=∠OAD+∠ADO.又∵∠AOB=2∠OAD,∴∠OAD=∠ADO.∴AO=OD.∵AC=AO+OC=2AO,BD=BO+OD=2OD,∴AC=BD,∴四边形ABCD是矩形.(2)设∠AOB=4x,则∠ODC=3x,∠ODC=∠OCD=3x.在△ODC中,∠DOC+∠OCD+∠CDO=180°,∴4x +3x +3x=180°,解得x=18°. ∴∠ODC=3×18°=54°.∴∠ADO=90°-∠ODC=90°-54°=36°.10.D [解析]当点B 与点E 重合时,重叠部分为平行四边形且α最小,∵两张矩形纸片全等,∴重叠部分为菱形,设FM=x ,∴EM=MD=8-x ,EF=2, 在Rt △EFM 中,EF 2+FM 2=EM 2,即22+x 2=(8-x )2,解得x=154,∴tan α=AA AA =815,故选D .11.B [解析]由折叠可得,AE=OE=DE ,CG=OG=DG , ∴E ,G 分别为AD ,CD 的中点,设CD=2a ,AD=2b ,则AB=2a=OB ,DG=OG=CG=a ,BG=3a ,BC=AD=2b , ∵∠C=90°,∴在Rt △BCG 中,CG 2+BC 2=BG 2, 即a 2+(2b )2=(3a )2, ∴b 2=2a 2, 即b=√2a , ∴AA =√2, ∴AAAA 的值为√2, 故选B .12.3√2 [解析]∵AD=EF=DE=3,∠D=90°, ∴AE 2=AD 2+DE 2=18,∴AE=AB=√18=3√2.13.45[解析]∵四边形ABCD 为矩形,∴AD=BC=5,AB=CD=3,∵矩形ABCD 沿直线AE 折叠,顶点D 恰好落在BC 边上的F 处, ∴AF=AD=5,EF=DE ,在Rt △ABF 中,BF=√AA 2-AA 2=4, ∴CF=BC -BF=5-4=1, 设CE=x ,则DE=EF=3-x , 在Rt △ECF 中, ∵CE 2+FC 2=EF 2, ∴x 2+12=(3-x )2, 解得x=43, ∴EF=3-x=53,∴sin ∠EFC=AA AA =45. 故答案为:45.14.4√5 [解析]过点P 作直线l ∥AB ,交AD 于E ,作点D 关于直线l 的对称点D 1,连接CD 1,∵S △PAB =12S △PCD ,∴AE=12DE ,∴DE=4,AE=2.∵矩形ABCD 中,AB=4,BC=6,∴CD=4,DD 1=2DE=8,在Rt △CDD 1中,由勾股定理得CD 1=4√5,∴PC +PD 的最小值是4√5.15.C [解析]由题意可得B (1,0),把x=1代入y=x +1可得y=2,即C (1,2), 把x=0代入y=x +1可得y=1,即图中阴影三角形的第3个顶点为(0,1), 令-12x +1=2,解得x=-2,即D (-2,2), ∴矩形ABCD 的面积S=3×2=6,阴影三角形的面积S'=12×3×1=32,∴所求概率P=A 'A =14. 故选C .16.10+6√5 [解析]∵四边形ABCD 是矩形,∴AB=CD ,AD=BC ,设AB=CD=x ,由翻折可知:PA'=AB=x ,PD'=CD=x , ∵△A'EP 的面积为4,△D'PH 的面积为1, 且△A'EP ∽△D'PH ,∴A 'AA 'A=2. 设D'H=a ,则A'P=2a ,∴x=2a , ∴PA'=PD'=2a ,∵12·a ·2a=1,∴a=1(a=-1舍去),∴x=2,∴AB=CD=2,PE=√22+42=2√5,PH=√12+22=√5, ∴AD=4+2√5+√5+1=5+3√5,∴矩形ABCD 的面积=2×(5+3√5)=10+6√5.故答案为10+6√5. 17.解:(1)证明:如图①,连接AF.①由四边形ABCD 是矩形,结合旋转可得BD=AF ,∠EAF=∠ABD. ∵AB=AE ,∴∠ABD=∠AEB,∴∠EAF=∠AEB,∴BD∥AF,∴四边形BDFA是平行四边形,∴FD=AB.∵AB=CD,∴FD=CD.(2)当α=60°或300°时,GC=GB.理由:如图②,当点G位于BC的垂直平分线上,且在BC的右边时,易知点G也是AD的垂直平分线上的点,②∴DG=AG.又∵AG=AD,∴△ADG是等边三角形,∴∠DAG=60°,∴α=60°.如图③,当点G位于BC的垂直平分线上,且在BC的左边时,③同理,△ADG是等边三角形,∴∠DAG=60°.此时α=300°.综上所述,当α为60°或300°时,GC=GB.。

福建2020九年级上册数学第五单元专练：菱形|夯实基础|1.下列说法中不正确的是()A.四边相等的四边形是菱形B.对角线垂直的平行四边形是菱形C.菱形的对角线互相垂直且相等D.菱形的邻边相等2.如图K29-1,菱形ABCD中,∠D=150°,则∠1=()图K29-1A.30°B.25°C.20°D.15°3.如图K29-2,菱形ABCD的周长为20,对角线AC,BD相交于点O,E是CD的中点,则OE的长是()图K29-2A.2.5B.3C.4D.54.一个菱形的边长为6,面积为28,则该菱形的两条对角线的长度之和为()A.8B.12C.16D.325.如图K29-3,菱形ABCD的对角线AC,BD交于点O,AC=4,BD=16,将△ABO沿点A到点C的方向平移,得到△A'B'O'.当点A'与点C重合时,点A与点B'之间的距离为 ()图K29-3A.6B.8C.10D.126.如图K29-4,在菱形ABCO中,点B在x轴上,点A的坐标为(2,3),则点C的坐标为.图K29-47.如图K29-5所示,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O.若AC=6,BD=8,AE⊥BC,垂足为E,则AE的长为.图K29-58.如图K29-6,点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点,点M,N分别是AB,BC边上的中点,则MP+PN 的最小值是.图K29-69.如图K29-7,AC=8,分别以A,C为圆心,以长度5为半径作弧,两条弧分别相交于点B和D.依次连接A,B,C,D,连接BD交AC于点O.(1)判断四边形ABCD的形状,并说明理由;(2)求BD的长.图K29-7|能力提升|10.如图K29-8,矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,CE∥BD,DE∥AC,AD=2,DE=2,则四边形OCED的面积为()图K29-8A.2B.4C.4D.811.如图K29-9,P是正方形对角线上一点,PE⊥BC于点E,PF⊥DC于点F.若PE=2,PF=4,则AP= .图K29-912.如图K29-10,矩形ABCD中,点E在边CD上,将△BCE沿BE折叠,点C落在AD边上的点F处,过点F作FG∥CD交BE于点G,连接CG.(1)求证:四边形CEFG是菱形;(2)若AB=6,AD=10,求四边形CEFG的面积.图K29-10|思维拓展|13.已知菱形ABCD的边长为4,∠BAD=120°,E,F分别为AB,AD上的点,且BE=AF,则下列结论正确的有()①△BEC≌△AFC;②△ECF为等边三角形;③∠AGE=∠AFC;④若AF=1,则=.图K29-11A.1个B.2个C.3个D.4个14.如图K29-12①,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4.求作菱形DEFG,使点D在边AC上,点E,F在边AB上,点G在边BC上.小明的作法1.如图K29-12②,在边AC上取一点D,过点D作DG∥AB交BC于点G.2.以点D为圆心,DG长为半径画弧,交AB于点E.3.在EB上截取EF=ED,连接FG,则四边形DEFG为所求作的菱形.(1)证明小明所作的四边形DEFG是菱形.(2)小明进一步探索,发现可作出的菱形的个数随着点D的位置变化而变化,…,请你继续探索,直接写出菱形的个数及对应的CD的长的取值范围.①②图K29-12参考答案1.C[解析]菱形的对角线互相垂直且互相平分,不一定相等,故选C.2.D[解析]∵四边形ABCD是菱形,∴DC∥AB,∴∠DAB=180°-∠D=180°-150°=30°,∴∠1=∠BAD=×30°=15°.3.A[解析]∵四边形ABCD为菱形,∴CD=BC==5,且O为BD的中点,∵E为CD的中点,∴OE为△BCD的中位线,∴OE=CB=2.5,故选A.4.C[解析]如图所示,∵四边形ABCD是菱形,∴AO=CO=AC,DO=BO=BD,AC⊥BD,∵菱形的面积为28,∴AC·BD=2OD·AO=28.①∵菱形的边长为6,∴OD2+OA2=36,②由①②两式可得:(OD+AO)2=OD2+OA2+2OD·AO=36+28=64.∴OD+AO=8,∴2(OD+AO)=16,即该菱形的两条对角线的长度之和为16.故选C.5.C[解析]∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,AO=OC=AC=2,OB=OD=BD=8,∵△ABO沿点A到点C的方向平移,得到△A'B'O',点A'与点C重合,∴O'C=OA=2,O'B'=OB=8,∠CO'B'=90°,∴AO'=AC+O'C=6,∴AB'===10,故选C.6.(2,-3)[解析]关于x轴对称的两个点的坐标特征:横坐标相同,纵坐标互为相反数,点A与点C关于x轴对称,点A的坐标为(2,3),故点C的坐标为(2,-3).7.[解析]∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC,AC⊥BD,AO=AC=3,BO=BD=4.在Rt△ABO中,由勾股定理得AB=5,∴BC=5.∵S菱形ABCD=AC·BD=BC·AE,∴AE=.8.1[解析]如图,取AD的中点M',连接M'N交AC于点P,则由菱形的对称性可知M,M'关于直线AC对称,从而PM'=PM,此时MP+PN的值最小,而易知四边形CDM'N是平行四边形,故M'N=CD=1,于是,MP+PN的最小值是1.9.解:(1)四边形ABCD是菱形,理由:由作法得,AB=BC=CD=DA=5,∴四边形ABCD是菱形.(2)∵四边形ABCD是菱形,AC=8,∴OA=AC=4,BD=2BO.∵AB=5,∴在Rt△AOB中,BO==3,∴BD=6.10.A11.212.解:(1)证明:由题意可得,△BCE≌△BFE,∴∠BEC=∠BEF,FE=CE.∵FG∥CE,∴∠FGE=∠CEB,∴∠FGE=∠FEG,∴FG=FE,∴FG=EC,∴四边形CEFG是平行四边形.又∵CE=FE,∴四边形CEFG是菱形.(2)∵矩形ABCD中,AB=6,AD=10,BC=BF,∴∠BAF=90°,AD=BC=BF=10, ∴AF=8,∴DF=2.设EF=x,则CE=x,DE=6-x,∵∠FDE=90°,∴22+(6-x)2=x2,解得x=,∴CE=,∴四边形CEFG的面积是:CE·DF=×2=.13.D[解析]∵四边形ABCD是菱形,∠BAD=120°,∴∠B=∠BAC=60°,∴AC=BC,又∵BE=AF,∴△BEC≌△AFC,故①正确;∵△BEC≌△AFC,∴FC=EC,∠FCA=∠ECB,∴∠ECF=∠ACB=60°,∴△ECF为等边三角形,故②正确;∵∠AGE=∠FAC+∠AFG=60°+∠AFG,∠AFC=∠EFC+∠AFG=60°+∠AFG, ∴∠AGE=∠AFC,故③正确;∵BE=AF=1,∴AE=3,易得△CFG∽△CBE,∴=,易得△CEG∽△CAE,∴=,∵CE=CF,AC=BC,∴=,∴==,故④正确.故选D.14.[分析](1)根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可.(2)求出几种特殊位置的CD的值判断即可.解:(1)证明:∵DE=DG,EF=DE,∴DG=EF,又∵DG∥EF,∴四边形DEFG是平行四边形.又∵DG=DE,∴四边形DEFG是菱形.(2)当0≤CD<或<CD≤3时,菱形的个数为0;当CD=或<CD≤时,菱形的个数为1;当<CD≤时,菱形的个数为2.[解析]以点D为圆心,DG长为半径作☉D.以☉D与线段AB的位置关系、交点个数为依据进行分类.如图①中,当四边形DEFG是正方形时,设正方形的边长为x.在Rt△ABC中,∵∠C=90°,AC=3,BC=4,∴AB==5,易得CD=x,AD=x.∵AD+CD=AC,∴x+x=3,∴x=,∴CD=x=.如图②中,当四边形DAEG是菱形时,设菱形的边长为m.∵DG∥AB,∴=,∴=,解得m=,∴CD=3-=.如图③中,当四边形DEBG是菱形时,设菱形的边长为n.∵DG∥AB,∴=,∴=,∴n=,∴CG=4-=,∴CD==.综上,观察图形可知:当0≤CD<或<CD≤3时,菱形的个数为0;当CD=或<CD≤时,菱形的个数为1;当<CD ≤时,菱形的个数为2.。

福建2020九年级上册数学第五单元专练：平行四边形|夯实基础|1.四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,下列四组条件中,一定能判定四边形ABCD为平行四边形的是( )A.AD∥BCB.OA=OC,OB=ODC.AD∥BC,AB=DCD.AC⊥BD2.如图K27-1,在▱ABCD中,将△ADC沿AC折叠后,点D恰好落在DC的延长线上的点E处,若∠B=60°,AB=3,则△ADE的周长为( )图K27-1A.12B.15C.18D.213.如图K27-2所示,在▱ABCD中,连接AC,∠ABC=∠CAD=45°,AB=2,则BC的长是( )图K27-222A.B.2C.2D.44.如图K27-3,在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,E是边CD的中点,连接OE,若∠ABC=60°,∠BAC=80°,则∠1的度数为( )图K27-3A.50°B.40°C.30°D.20°5.如图K27-4,四边形ABCD的对角线相交于点O,且点O是BD的中点,若AB=AD=5,BD=8,∠ABD=∠CDB,则四边形ABCD的面积为( )图K27-4A.40B.24C.20D.156.如图K27-5,▱ABCD中,∠ADC=119°,BE⊥DC于点E,DF⊥BC于点F,BE与DF交于点H,则∠BHF= 度.图K27-57.在平面直角坐标系中有四个点O(0,0),A(3,0),B(1,1),C(x,1),若以O,A,B,C为顶点的四边形是平行四边形,则x= .8.如图K27-6,把平行四边形纸片ABCD沿BD折叠,点C落在点C'处,BC'与AD相交于点E.(1)连接AC',则AC'与BD的位置关系是 ;(2)EB与ED相等吗?证明你的结论.图K27-69.如图K27-7,在平行四边形ABCD中,AE平分∠DAB,已知CE=6,BE=8,DE=10.(1)求证:∠BEC=90°;(2)求cos∠DAE.图K27-7|能力提升|10.如图K27-8,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点E,∠CBD=90°,BC=4,BE=ED=3,AC=10,则四边形ABCD的面积为( )图K27-8A.6B.12C.20D.2411.如图K27-9,面积为24的▱ABCD中,对角线BD平分∠ABC,过点D作DE⊥BD交BC的延长线于点E,DE=6,则sin∠DCE的值为( )图K27-9A .B .C .D .24254534122512.如图K27-10,四边形ABCD 是平行四边形,☉O 经过点A ,C ,D ,与BC 交于点E ,连接AE ,若∠D=72°,则∠BAE= °.图K27-1013.如图K27-11,在▱ABCD 中,E ,F 是对角线AC 上两点,AE=EF=CD ,∠ADF=90°,∠BCD=63°,则∠ADE 的大小为 .图K27-1114.如图K27-12,已知平行四边形ABCD 中,AB=5,BC=3,AC=2.13(1)求平行四边形ABCD 的面积;(2)求证:BD ⊥BC.图K27-12|思维拓展|315.在平行四边形ABCD中,∠A=30°,AD=4,BD=4,则平行四边形ABCD的面积等于 .16.在平面直角坐标系中,A,B两点的坐标分别为A(3,2),B(1,5).(1)若点P的坐标为(0,m),当m满足 时,△PAB的周长最小;(2)若点C,D的坐标分别为(0,a),(0,a+4),求当a为何值时,四边形ABDC的周长最小.答案1.B2.C　[解析]∵折叠后点D恰好落在DC的延长线上的点E处,∴AC⊥DE,EC=CD=AB=3,∴ED=6,∵∠B=60°,∴∠D=∠E=60°,∴AD=DE=AE=6,∴△ADE的周长=AE+AD+ED=18,故选C.3.C4.B　[解析]∵∠ABC=60°,∠BAC=80°,∴∠ACB=40°,又∵平行四边形ABCD,∴AD∥BC,AO=CO,∴∠ACB=∠CAD=40°.又∵E是边CD的中点,∴OE∥AD,∴∠1=∠CAD=40°.5.B　[解析]∵∠ABD=∠CDB,∴AB∥CD,∵O是BD的中点,∴BO=DO,又∠AOB=∠COD,∴△AOB ≌△COD ,∴AB=CD ,又AB ∥CD ,∴四边形ABCD 是平行四边形.∵AB=AD ,∴四边形ABCD 是菱形.∴AC ⊥BD.在Rt△ABO 中,BO=BD=4,AO===3,12AB 2-BO 252-42∵AC=2AO=6,∴四边形ABCD 的面积为AC ×BD=×6×8=24.故选B .12126.61　[解析]∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AD ∥BC ,DC ∥AB ,∵∠ADC=119°,DF ⊥BC ,∴∠ADF=90°,则∠EDH=29°,∵BE ⊥DC ,∴∠DEH=90°,∴∠DHE=∠BHF=90°-29°=61°.故答案为:61.7.4或-28.解:(1)AC'∥BD.(2)EB=ED.证明如下:由折叠可知∠CBD=∠EBD ,∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AD ∥BC.∴∠CBD=∠EDB.∴∠EBD=∠EDB.∴EB=ED.9.解:(1)证明:∵四边形ABCD 是平行四边形,∴DC=AB=DE +CE=16,AD=BC ,DC ∥AB ,∴∠DEA=∠EAB ,∵AE 平分∠DAB ,∴∠DAE=∠EAB ,∴∠DAE=∠DEA ,∴AD=DE=10,∴BC=10.∵CE 2+BE 2=62+82=102=BC 2,∴△BCE 是直角三角形,∠BEC=90°.(2)∵AB ∥CD ,∴∠ABE=∠BEC=90°,∴AE===8,AB 2+BE 2162+825∴cos∠DAE=cos∠EAB===.AB AE 168525510.D11.A [解析]连接AC ,交BD 于点F ,过点D 作DM ⊥CE ,垂足为M ,因为四边形ABCD 是平行四边形,所以F 是BD 的中点,AD ∥BC ,所以∠DBC=∠ADB ,因为BD 是∠ABC 的平分线,所以∠ABD=∠DBC ,所以∠ABD=∠ADB ,所以AB=AD ,所以▱ABCD 是菱形,所以AC ⊥BD ,又因为DE ⊥BD ,所以AC ∥DE ,又因为F 是BD 的中点,所以C 是BE 的中点,所以CF=DE=3,12因为四边形ABCD 是菱形,所以AC=2FC=6,S菱形ABCD =,AC ×BD 2所以BD===8,2S 菱形ABCD AC 2×246所以BF=BD=4,12在Rt△BFC 中,由勾股定理得BC==5,BF 2+CF 2因为四边形ABCD 是菱形,所以DC=BC=5,因为S 菱形ABCD =BC ×DM ,所以DM==,S 菱形ABCD BC 245在Rt△DCM中,sin∠DCE==.DM DC 242512.3613.21°　[解析]如图,∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AD ∥BC ,∴∠1=∠5.∵∠ADF=90°,AE=EF ,∴DE=AF=AE ,∴∠1=∠2.∴∠5=∠2.12∵AE=CD ,DE=AE ,∴DE=CD.∴∠3=∠4.∵∠3=∠1+∠2=2∠2,∴∠4=2∠2.∵∠BCD=63°,∴∠5+∠4=63°,即3∠2=63°,∴∠2=21°,即∠ADE=21°.14.解:(1)作CE ⊥AB 交AB 的延长线于点E ,如图.设BE=x ,CE=h ,在Rt△CEB 中,x 2+h 2=9①,在Rt△CEA 中,(5+x )2+h 2=52②,联立①②,解得x=,h=,∴平行四边形ABCD 的面积=AB ·h=12.95125(2)证明:作DF ⊥AB ,垂足为F ,∴∠DFA=∠CEB=90°,∵平行四边形ABCD ,∴AD=BC ,AD ∥BC ,∴∠DAF=∠CBE ,又∵∠DFA=∠CEB=90°,∴△ADF ≌△BCE (AAS),∴AF=BE=,BF=5-=,DF=CE=,9595165125在Rt△DFB 中,BD 2=DF 2+BF 2=2+2=16,125165∴BD=4,∵BC=3,DC=5,∴CD 2=DB 2+BC 2,∴BD ⊥BC.15.16或8　[解析]过D 作DE ⊥AB 于点E ,33在Rt△ADE 中,∵∠A=30°,AD=4,3∴DE=AD=2,AE=AD=6,12332在Rt△BDE 中,∵BD=4,∴BE===2,BD 2-DE 242-(23)2如图①,AB=8,∴平行四边形ABCD 的面积=AB ·DE=8×2=16;33如图②,AB=4,∴平行四边形ABCD 的面积=AB ·DE=4×2=8.3316.解:(1)m=　[解析]AB 长度一定,只要AP +BP 长度最小,△PAB 周长就最小,作点A 关于y 轴的对称点C ,连174接BC ,交y 轴于点P ,则此时AP +BP 长度最小.∵A (3,2),∴C (-3,2),易求直线BC 的解析式为y=x +,34174令x=0,得y=,174故填:m=.174(2)如图,作点A 关于y 轴的对称点A',则A'的坐标为(-3,2),把A'向上平移4个单位得到点B'(-3,6),连接BB',与y 轴交于点D.∴CA'=CA ,又∵点C ,D 的坐标分别为(0,a ),(0,a +4),∴CD=4,易知A'B'∥CD ,A'B'=CD ,∴四边形A'B'DC 为平行四边形,∴CA'=DB',∴CA=DB',∴AC +BD=BB',此时AC +BD 最小,而CD 与AB 的长是定值,∴此时四边形ABDC 的周长最短.易得直线BB'的解析式为y=-x +,14214∵点D 在直线BB'上,且D (0,a +4),∴a +4=,解得a=.21454故当a=时,四边形ABDC 的周长最小.54。

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3 正方形的性质与判定学校:___________姓名：___________班级：___________一．选择题（共12小题)1．下列哪种四边形的两条对角线互相垂直平分且相等（）A．矩形B．菱形C．平行四边形D．正方形2．平行四边形、矩形、菱形、正方形共有的性质是（）A．对角线相等B．对角线互相平分C．对角线互相垂直D．对角形互相垂直平分3．如图，已知正方形ABCD的边长为1,连结AC、BD,CE平分∠ACD交BD于点E，则DE长（)A．B． C．1 D．1﹣4．如图,四边形ABCD是边长为6的正方形，点E为边BC上的点，以DE为边向外作矩形DEFG,使EF过点A，若DE=9,那么DG的长为（）A．3 B．3C．4 D．45．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A．当AB=BC时，四边形ABCD是菱形B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形C．当∠ABC=90°时，四边形ABCD是矩形D．当AC=BD时，四边形ABCD是正方形6．如图所示,两个含有30°角的完全相同的三角板ABC和DEF沿直线l滑动，下列说法错误的是（）A．四边形ACDF是平行四边形B．当点E为BC中点时，四边形ACDF是矩形C．当点B与点E重合时，四边形ACDF是菱形D．四边形ACDF不可能是正方形7．从①②③④中选择一块拼图板可与左边图形拼成一个正方形,正确的选择为（)A．①B．②C．③D．④8．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，添加下列一个条件,能使菱形ABCD成为正方形的是（）A．BD=AB B．AC=AD C．∠ABC=90°D．OD=AC9．下列说法错误的是（）A．对角线互相平分的四边形是平行四边形B．对角线相等的四边形是矩形C．对角线互相垂直且平分的四边形是菱形D．邻边相等的矩形是正方形10．如图,在给定的一张平行四边形纸片上按如下操作：连结AC,作AC的垂直平分线MN分别交AD、AC、BC于M、O、N，连结AN，CM,则四边形ANCM是（）A．矩形B．菱形C．正方形 D．无法判断11．如图，AD是△ABC的角平分线,DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，得到下面四个结论：①OA=OD；②AD⊥EF;③当∠BAC=90°时,四边形AEDF是正方形；④AE2+DF2=AF2+DE2．其中正确的是（）A．②③B．②④C．②③④ D．①③④12．在一次数学课上，张老师出示了一个题目：“如图，▱ABCD的对角线相交于点O，过点O 作EF垂直于BD交AB,CD分别于点F,E，连接DF，BE．请根据上述条件,写出一个正确结论．"其中四位同学写出的结论如下：小青：OE=OF；小何：四边形DFBE是正方形；小夏:S四边形AFED=S四边形FBCE;小雨：∠ACE=∠CAF．这四位同学写出的结论中不正确的是（）A．小青B．小何C．小夏D．小雨二．填空题（共6小题）13．如图,将正方形OEFG放在平面直角坐标系中,O是坐标原点,点E的坐标为（2，3）,则点F 的坐标为．14．如图,正方形ABCD中，点E为对角线AC上一点，且AE=AB，则∠BEA的度数是度．15．如图,正方形ABCD中,扇形BAC与扇形CBD的弧交于点E，AB=2cm．则图中阴影部分面积为．16．如图，以△ABC的三边为边分别作等边△ACD、△ABE、△BCF，则下列结论：：①△EBF≌△DFC；②四边形AEFD为平行四边形；③当AB=AC,∠BAC=120°时，四边形AEFD是正方形．其中正确的结论是．（请写出正确结论的序号）．17．如图,在四边形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°,AD=CD，DP⊥AB于P．若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是．18．如图，在正方形ABCD中,过B作一直线与CD相交于点E，过A作AF垂直BE于点F，过C 作CG垂直BE于点G，在FA上截取FH=FB，再过H作HP垂直AF交AB于P．若CG=3．则△CGE 与四边形BFHP的面积之和为．三．解答题（共5小题）19．如图,在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，且BE=CF，求证：△ABE≌△BCF．20．已知矩形ABCD中，E是AD边上的一个动点，点F,G，H分别是BC，BE，CE的中点．（1）求证：△BGF≌△FHC；（2）设AD=a，当四边形EGFH是正方形时，求矩形ABCD的面积．21．如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点（不与点A、B重合），连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G,连接DG，过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H，连接BH．（1）求证:GF=GC；（2）用等式表示线段BH与AE的数量关系,并证明．22．如图，已知：在四边形ABFC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E,且CF=AE；（1）试判断四边形BECF是什么四边形？并说明理由．（2）当∠A的大小满足什么条件时,四边形BECF是正方形?请回答并证明你的结论．23．四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG,连接CG．(1）如图1，求证：矩形DEFG是正方形;（2)若AB=2，CE=，求CG的长度；（3)当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°时，直接写出∠EFC的度数．参考答案一．选择题（共12小题）1．D．2．B．3．A．4．C．5．D．6．B．7．C．8．C．9．B．10．B．11．C．12．B．二．填空题（共6小题）13．（﹣1,5）．14．67。