九年级数学上册 第一章 特殊平行四边形 1.3 正方形的性质与判定 第2课时 正方形的判定作业课件

满足什么条件的菱形是正方形？ 定理:有一个角是直角的菱形是正方形.
请证明你的结论，并与同伴交流．
正方形的判定（ 随堂练习1）
定理:有一个角是直角的菱形是正方形.
已知:四边形ABCD是菱形,∠A=900. A
D
求证:四边形ABCD是正方形.
证明:
∵四边形ABCD是菱形,∠A=900,
B
C
∴AB=BC,∠C=∠A=900,∠B=1800-∠A=900.
CG=DG=
1
2 CD，DH=AH=
1
AC
2
∴AE=BE2=BF=CF=CG=DG2=HG=AH
∴△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DHG
A
E
B
13 2
H
F
D
G
C
∴EF=FG=GH=HE∴四边形EFGH是菱形
∵∠1=∠2=45°∴∠3=90 °
∴四边形EFGH是正方形
（1）以菱形或矩形各边的中点为顶点可以组成一个什 么图形？先猜一猜，再证明．如果以平行四边形各边 的中点为顶点呢？
例1.如图 1-18，在正方形 ABCD
中，E 为 CD 边上一点，F 为 BC 延长线上一点，且 CE = CF．BE
M
与 DF 之间有怎样的关系？请说明
理由．
解：BE = DF，且 BE⊥DF． 理由如下：
（2）延长 BE 交 DF 于点 M． ∵ △BCE ≌ △DCF，∴ ∠ CBE = ∠ CDF． ∵ ∠ DCF = 90°，∴ ∠ CDF + ∠ F = 90°． ∴ ∠ CBE + ∠ F = 90°． ∴ ∠ BMF = 90°．∴ BE⊥DF．
北师大版九年级数学(上)
第一章 特殊平行四边形

以组成一个怎样的图形呢？先猜一猜，再证明。
为ΔABC的中位线， ①若∠BEF=30°，A H D
则∠A= .
②若EF=8cm, E
G
则AHale Waihona Puke =. BFC
核心问题二：中点四边形
如果四边形ABCD变为特殊的四边形，中点四边 形EFGH会有怎样的变化呢？
原四边形可以是：
平行四边形
矩形
菱形
正方形
等腰梯形
直角梯形
核心问题一：探索并证明正方形的判定定理
议一议： （1）满足什么条件的矩形是正方形？ （2）满足什么条件的菱形是正方形？
正方形的判定定理： 1.对角线相等的菱形是正方形 2.对角线垂直的矩形是正方形 3.有一个角是直角的菱形是正方形 4.有一组邻边相等的矩形是正方形
核心问题一：探索并证明正方形的判定定理
义务教育教科书（北师）九年级数学上册
第一章 特殊平行四边形
1.3正方形的性质与判定（2）
学习目标
1. 掌握正方形的判定定理，能综合运用特殊四边 形的性质和判定解决问题。
2.发现决定中点四边形形状的因素，熟练运用特殊 四边形的判定及性质对中点四边形进行判断
情景引入
将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角， 打开，怎样剪才能剪出一个正方形？
2．有一个角是直角的菱形是正方形证明.
布置作业
必做：习题1.8知识技能2、3 选做：问题解决4
梯形
核心问题二：中点四边形
特殊四边形的中点四边形：
平行四边形的中点四边形是平行四边形
矩形的中点四边形是菱形
菱形的中点四边形是矩形
正方形的中点四边形是正方形
课堂小结
1.正方形判定方法： 2.中点四边形： 3.平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的联系.

九年级数学上册知识点归纳第一章特殊平行四边形1.菱形的性质与判定菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

※菱形的性质：具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。

菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。

※菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。

对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

四条边都相等的四边形是菱形。

2.矩形的性质与判定※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形．．。

矩形是特殊的平行四边形。

※矩形的性质：具有平行四边形的性质，且对角线相等，四个角都是直角。

（矩形是轴对称图形，有两条对称轴）※矩形的判定：有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。

对角线相等的平行四边形是矩形。

四个角都相等的四边形是矩形。

※推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

3.正方形的性质与判定正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。

※正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。

（正方形是轴对称图形，有两条对称轴）※正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形；邻边相等的矩形是正方形；对角线相等的菱形是正方形；对角线互相垂直的矩形是正方形。

正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图所示)：※梯形定义：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形。

※两条腰相等的梯形叫做等腰梯形。

※一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。

※等腰梯形的性质：等腰梯形同一底上的两个内角相等，对角线相等。

同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。

※三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

※夹在两条平行线间的平行线段相等。

※在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半第二章一元二次方程1.认识一元二次方程※只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为02=bxax（a、+c+b、c为常数，a≠0）的形式，这样的方程叫一元二次方程．．．．．．。

※把02=bxax（a、b、c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一+c+般形式，a为二次项系数；b为一次项系数；c为常数项。

5．如图，将长方形纸片折叠 ，使A点落在BC上的点F处，折痕为BE， A 若沿EF剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是( )
A．邻边相等的矩形是正方形
B．对角线相等的菱形是正方形 C．两个全等的直角三角形构成正方形 D．轴对称图形是正方形
6．(2016· 兰州)▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD， ∠BAD＝90° 请添加一个条件： ，使得▱ABCD为正方形．
BC边的中点，DE⊥AC于点E，DF⊥AB于点F，且BF＝CE，求证： 四边形AFDE是正方形．
∵ DF⊥AB， DE⊥AC， ∴∠ BFD＝ ∠ CED＝90° ，又点D是 BC的
中点 ， ∴ BD ＝ CD ， ∵ BF ＝ CE ， ∴ △ BFD≌△CED(HL) ． ∴ DF ＝
DE ， ∵ ∠ A ＝ ∠ AFD ＝ ∠ AED ＝ 90° ， ∴ 四 边 形 AFDE 为 矩 形 ， ∵DF＝DE，∴矩形AFDE是正方形
3．在四边形ABCD中，点O是对角线的交点，能判定这个四边形是正
方形的条件是(
) C A．AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD
B．AD∥BC，∠A＝∠C C．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD D．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC
4．(2016·广东)如图，正方形 ABCD 的面积为 1，则以相邻两边中 点连线 EF 为边的正方形 EFGH 的周长为( B ) A. 2 B．2 2 C. 2＋1 D．2 2＋1
7．(易错题)当四边形的两条对角线满足条件 垂直且相等 时，顺次 连接它的各边中点可以得到一个正方形．
8．如图，把一个长方形纸片对折两次，然后剪下一个角．为了得 45°． 到一个正方形，剪刀与折痕所成的角的度数应为____

证 明 ： (1)∵ 对 角 线 BD 平 分 ∠ABC ， ∴ ∠ ABD ＝ ∠CBD ， 在 △ABD 和 △CBD 中 ，
AB＝CB， ∠ABD＝∠CBD，∴△ABD≌△CBD(SAS)，∴∠ADB＝∠CDB BD＝BD，
(2)∵PM⊥AD，PN⊥CD，∴∠PMD＝∠PND＝90°，∵∠ADC＝90°，∴四边形 MPND 是矩形，∵∠ADB＝∠CDB，∴∠ADB＝45°，∴PM＝MD，∴矩形 MPND 是正方形
12．如图，以边长为 1 的正方形的四边中点为顶点作四边形，再以所得四边形的四边中 点为顶点作四边形，…依次作下去，
图中所作的第三个四边形的周长为___2_____；所作的第 n 个四边形的周长为__4(__22_)_n__．
9/12
三、解答题(共 40 分) 13．(12 分)如图，在四边形 ABCD 中，AB＝BC，对角线 BD 平分∠ABC，P 是 BD 上一 点，过点 P 作 PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为 M，N. (1)求证：∠ADB＝∠CDB； (2)若∠ADC＝90°，求证：四边形 MPND 是正方形．
O，若不增加任何字母与辅助线，要使得四边形 ABCD 是正方形，则可行的条件是( D)
A．AO＝CO B．AC⊥BD C．AB∥CD D．AC＝BD
7．(3 分)(2016·兰州)▱ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，且 AC⊥BD，请添加一个
条件：___∠____B__A___D__＝____9_0__°_(__答___案___不____唯___一，使)得▱ABCD 为正方形．
选法，其中错误的是( B )
A．选①② B．选②③ C．选①③ D．选②④ 2．(8 分)如图，在△ABC 中，点 D，E 分别是边 AB，AC 的中点，将△ADE 绕点 E 旋 转 180°得到△CFE. (1)求证：四边形 ADCF 是平行四边形； (2)当△ABC 满足什么条件时，四边形 ADCF 是正方形？请说明理由．

北师大版九年级上册
第一章 特殊平行四边形
1.3 正方形的性质与判定(一)
一、复习回顾
平行四边形
对称性 中心对称图形
对边平行
边
且相等
菱形 轴对称图形、 中心对称图形
对边平行， 四边都相等
对角相等，
对角相等，
角
邻角互补
邻角互补
对角线
对角线 互相平分
对角线互相垂直 平分，每条对角 线平分一组对角
矩形
轴对称图形、 中心对称图形
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°
AB=BC=CD=AD C
D ∵四边形ABCD是正方形
O
∴AC⊥BD，AC=BD
C OA=OB=OC=OD
三、典例精析
例1：如图，在正方形ABCD中,E为CD上一点，F为
BC边延长线上一点,且CE=CF. BE与DF之间有怎样的
关系？请说明理由.
A
D
E
B
F
C
解：BE=DF,且BE⊥DF. 理由如下：
对边平行 且相等
四个角 都是直角
对角线相等 且互相平分
一、复习回顾 平行四边形、菱形、矩形之间的关系：
菱形
平行四边形
？
矩形
思考：有没有一种四边形既是菱形又是矩形呢？
情景导入 下图的四边形都是特殊的平行四边形，视察这些特殊 的四边形有什么共同特征？
学习概念
定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平 行四边形叫做正方形
正方形有4条对称轴. （1）正方形的四个角都是直角，四条边相等. （2）正方形的对角线相等且互相垂直平分.
求证：正方形的四个角都是直角，四条边相等.
已知：如图,四边形ABCD是平行四边形， ∠A=90°, AB=AD

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第2课时 正方形的判定
知识梳理 课时学业质量评价
2. 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC ， BD 相交于点 O ，添加下列条
件，能使菱形 ABCD 成为正方形的是( A )
A. AC ＝ BD
B. AC ⊥ BD
C. AD ＝ AB
D. AC 平分∠ DAB
第2题图
1234性质与判定（第2课时）
回顾复习
正方形的判定定理： 1. 对角线相等的菱形是正方形. 2. 对角线互相垂直的矩形是正方形. 3. 有一个角是直角的菱形是正方形. 4. 有一组邻边相等的矩形是正方形.
典例精讲
例1 已知：如图1，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC， CE 平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE. 求证：四边形BECF是正方形.
E
F
A
图2 C
探究新知
2. 如图3，E，F分别为AB，AC的中点，在AC的下方找一点D， 作CD和AD的中点G，H，问EF和GH有怎样的关系？EH和FG呢？B
EF∥HG EH∥FG
3. 四边形EFGH的形状有什么特征？
四边形EFGH是平行四边形.
E
F
C
AH G
D 图3
探究新知
如果四边形ABCD变为特殊的四边形，中点四边形EFGH会 有怎样的变化呢？
C. ②③
D. ②④
第3题图
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第2课时 正方形的判定
知识梳理 课时学业质量评价
4. 如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC ， BD 交于点 O ，若 AC ＝ BD ，请你添加一个条件 AC ⊥ BD (答案不唯一) ，使四边形 ABCD 是正方形.(填一个即可)

6．(8分)如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD. (1)判断四边形OCED是什么特殊四边形？并证明你的结论； (2)当AB，AD满足什么条件时，四边形OCED是正方形？请说明理由．
解：(1)四边形OCED是菱形，理由如下：∵DE∥AC，CE∥BD， ∴四边形OCED是平行四边形，又∵在矩形ABCD中，OC＝OD， ∴四边形OCED是菱形 (2)当AB＝AD时，四边形OCED是正方形，理由如下：∵AB＝AD， ∴矩形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD，∴菱形OCED是正方形
4．(3分)在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，对角线AC与BD 相交于点O，若要使四边形ABCD是正方形，则可添加的条件是( D) A．AO＝CO B．AC⊥BD C．AB∥CD D．AC＝BD
5．(3分)▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，请添加一个 条件：____∠__B__A_D_＝__9_0_°_____，使得▱ABCD为正方形．
【素养提升】 15．(14分)如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在AB，BC上，且AE＝ BF. (1)试探索线段AF，DE的数量关系，写出你的结论并说明理由； (2)连接EF，DF，分别取AE，EF，FD，DA的中点H，I，J，K，则四边形 HIJK是什么特殊平行四边形？请在图中补全图形，并说明理由．
7．(3分)(信阳一模)小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题： 从下列四个条件：①AB＝BC；②∠ABC＝90°；③AC＝BD； ④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使▱ABCD为正方形(如图)， 现有下列四种选法，你认为其中错误的是(B ) A．①② B．②，E为AD的中点，BF∥CE， CF∥BE.求证：四边形BECF是正方形． 证明：∵BF∥CE，CF∥BE，∴四边形BECF是平行四边形． 又∵在矩形ABCD中，AD＝2AB，E为AD的中点， ∴AE＝AB＝DE＝CD.又∵∠A＝∠D＝∠ABC＝∠DCB＝90°， ∴∠ABE＝∠DCE＝45°.∴∠EBC＝∠ECB＝45°， ∴∠BEC＝90°，BE＝CE.∴平行四边形BECF是正方形

合作探究
2.如图，将一张矩形纸片ABCD折叠，使AB落在AD边上，
然后打开，折痕为AE，顶点B的落点为F.你认为四边形ABEF是
什么特殊四边形？请说出你的理由.
合作探究
解:四边形ABEF是正方形.
理由:∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAF＝∠B＝90°.∵∠B
与∠AFE折叠后重合，∴∠AFE＝∠B＝90°，∴四边形ABEF
∴△APC≌△BPD，
∴AC＝BD.
合作探究
∵E，F，G分别为边AB，BC，CD的中点，


∴EF＝ AC，FG＝ BD，


∴EF＝FG.
∵四边形EFGH是平行四边形，
∴四边形EFGH是菱形.
合作探究
如图2，设AC与BD交于点O.AC与PD交于点M，AC与
EH交于点N.
∵△APC≌△BPD，
∴∠ACP＝∠BDP.
∵△BED≌△CFD，
∴DE＝DF，
∴四边形DFAE为正方形.

∴EH∥FG且EH＝GF，
∴中点四边形EFGH是平行四边形.
合作探究
(2)四边形EFGH是正方形.
理由:如图2，连接AC，BD.
∵∠APB＝∠CPD，
∴∠APB＋∠APD＝∠CPD＋∠APD，
即∠APC＝∠BPD.
= ,
ቐ∠ = ∠,
= ,
(2)若∠A＝90°，求证:四边形DFAE是正方形.
合作探究
证明:(1)∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED＝∠CFD＝90°.
∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
∵D是BC的中点，∴BD＝CD.
∴△BED≌△CFD.
合作探究
(2)∵DE⊥AB，DF⊥AC，

第一章特殊的平行四边形1.3 正方形的性质与判定第2课时教学设计一、教学目标1．探索并证明正方形的判定定理，进一步发展推理能力．2．体会探索与证明过程中所蕴含的抽象、推理等数学思想．二、教学重点及难点重点：探索并证明正方形的判定定理．难点：学会并积累一些分析问题的思路和解题的方法．三、教学用具多媒体课件、直尺或三角板、长方形折纸.四、相关资源《正方形的判定和性质》微课，《正方形的判定》图片.五、教学过程【情境导入】将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开。

怎样剪才能剪出一个正方形？师生活动：教师出示问题，学生回答，然后教师引出课题．答：只要确保剪口线与折痕成45°角即可剪出一个正方形。

设计意图：从生活中的图片入手引出本节课要探究的内容，激发学生学习本节课的兴趣．【探究新知】议一议：满足什么条件的矩形是正方形？满足什么条件的菱形是正方形？请证明你的结论，并与同学交流。

师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论，教师引导，师生共同总结出判定一个四边形是正方形的基本方法．（1）直接用正方形的定义判定，即先判定一个四边形是平行四边形，若这个平行四边形有一个角是直角，并且有一组邻边相等，那么就可以判定这个平行四边形是正方形；（2）先判定一个四边形是矩形，再判定这个矩形是菱形，那么这个四边形是正方形；（3）先判定一个四边形是菱形，再判定这个菱形是矩形，那么这个四边形是正方形． 老师强调：后两种判定均要用到矩形和菱形的判定定理．矩形和菱形的判定定理是判定正方形的基础．这三个方法还可写成：（1）有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形是正方形；（2）有一组邻边相等的矩形是正方形；（3）对角线垂直的矩形是正方形；（4）有一个角是直角的菱形是正方形；（5）对角线相等的菱形是正方形．证明：（2）已知：如图，四边形ABCD 是矩形，且AB =AD ．求证：四边形ABCD 是正方形．证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A =90°．又∵AB =AD ，∴四边形ABCD 是正方形．（3）已知：如图，四边形ABCD 是矩形，AC ，BD 是对角线，且AC ⊥BD ．求证：四边形ABCD 是正方形．DC B A证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AC =BD ，OD =OB ，∠DAB =90°．又∵AC ⊥BD ，OA =OA∴∠DOA =∠BOA =90°．∴△ABD ≌△BAC （SAS ）．∴AD =AB∴四边形ABCD 是正方形．（4）已知：如图，四边形ABCD 是菱形，∠A =90°．求证：四边形ABCD 是正方形．证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB =AD ．又∵∠A =90°．∴四边形ABCD 是正方形．（5）已知：如图，四边形ABCD 是菱形，AC ，BD 是对角线，且AC =BD ．求证：四边形ABCD 是正方形．A DC B A OA证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD=BC．又∵AB=BA，BD=AC，∴△ABD≌△BAC（SSS）．∴∠DAB=∠CBA．又∵AD∥BC，∴∠DAB+∠CBA=180°．∴∠DAB=∠CBA=90°．∴四边形ABCD是正方形．设计意图：引导学生讨论正方形的判定方法，重点并不在于得到几条判定定理，而是要形成判定正方形的基本思路：一个四边形既是矩形又是菱形，这个四边形就是正方形。

平行四边形 对边平行且相等 四边都相等 四个角都是直角 对角线互相平分 对角线互相垂直 对角线相等 矩形 菱形 正方形
√
√ √
√ √ √
正方形具有而一般菱形不一定具有的性质是 （ C） A.内角和为360° B.对角线平分内角 C.对角线相等 D.对角线互相垂直平分 3、正方形具有而一般矩形不一定具有的性质是 （D） A.对边平行且相等 B.对角线互相垂直 C.对角线相等 D.四个角都是直角
F C
E 证明
你能用另外 一种方法完 又∵ ∠ DEC= ∠ ECF= ∠ CFD =90°, 成证明吗？ ∴DE=DF (角平分线上的点到角的两边的距离相等）
∵CD平分∠ACB, DE⊥BC,DF ⊥AC，
∴四边形 CFDE是矩形 （有三个角是直角的四边形是矩形），
∴四边形 CFDE是正方形 （有一组邻边相等的矩形是正方形）．
已知：如图点A' 、 B' 、 C'、D'分别是正方形ABCD 四条边上的点，并且AA‘=BB’=CC‘=DD’。 求证：四边形A'B'C'D'是正方形
例 题 欣 赏
证题思路分析
从 条 件 分 析 从 结 论 分 析
①由已知正方形证三角形全等；
A
D/ D C/
②证得菱形；
③再证直角； ④是正方形
A/
A
A
B
F
C
D
E
B
E
C
D
课堂小结
矩形
正方形 菱形
平行四边形
矩形
正 方 形
菱形
下课了!
九年级数学(上) 第一章 特殊平行四边形
3.正方形的性质与判定—判定

又∵∠AEC＋∠AME＝90°，∠AME＝∠BMC， ∴∠ABG＋∠BMC＝90°.∴CE⊥BG. ∴四边形CGEB是垂美四边形． 由(2)得CG2＋BE2＝CB2＋GE2. ∵AC＝4，AB＝5，∴BC＝3，CG＝4 2 ，BE＝5 2 . ∴GE2＝CG2＋BE2－CB2＝73.∴GE＝ 73 .
在△BEA和△DFA中，∠BEA＝∠DFA，∠B＝∠D，
AE＝AF，∴△BEA≌△DFA(AAS)，
∴AB＝AD，∴矩形ABCD是正方形．
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9．【教材P27复习题T8拓展】【2021·兴安盟】如图，AD是 △ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是 E，F，连接EF，EF与AD相交于点H.
(2)已知BH＝7，BC＝13，求DH的长．
解：∵四边形AFHE和四边形ABCD都是正方形，
∴AE＝EH＝FH，AB＝BC＝13.
设AE＝x，则BE＝x＋7.
在Rt△AEB中，AB2＝AE2＋BE2，即132＝x2＋(x＋7)2，
整理，得(x＋12)(x－5)＝0. ∴x＋12＝0或x－5＝0.
解得x＝5(x＝－12舍去)，
解：△ABC满足∠BAC＝90°时，四边形AEDF是正方形． 理由：∵∠AED＝∠AFD＝∠BAC＝90°， ∴四边形AEDF是矩形． 又∵EF⊥AD，∴矩形AEDF是正方形．
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提优分类练
10．【2021·扬州】如图，在△ABC中，∠BAC的平分线交BC 于点D，DE∥AB，DF∥AC.
(1)试判断四边形AFDE的形状，并说明理由；
【点方法】由正方形的性质可得四边形
BEDF为平行四边形，且BD⊥EF，可证
得四边形BEDF为菱形，再根据勾股定理
计算DE的长，可得结论．

2. 常见的中点四边形 (1)任意四边形的中点四边形是平行四边形； (2)平行四边形的中点四边形是平行四边形； (3)矩形的中点四边形是菱形； (4)菱形的中点四边形是矩形； (5)正方形的中点四边形是正方形.
知4－讲
知4－讲
知4－讲
特别提醒 中点四边形的形状实质取决于原四边形两条对角线的
位置关系和数量关系.如两条对角线互相垂直的四边形的 中点四边形的四个角是直角(矩形或正方形)；两条对角线 相等的四边形的中点四边形的四条边相等(菱形或正方形).
数学表达式
∵四边形ABCD 是正方形， ∴ CD ∥ AB，AD ∥ BC； AD ⊥ DC，DC ⊥ CB， CB ⊥ BA，BA ⊥ AD； AD=DC=CB=BA
性质
图形
角
四个角都相等， 都等于90°
两条对角线互 对 相垂直平分且 角 相等，每条对 线 角线平分一组
对角
知2－讲
数学表达式
∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠ ADC= ∠ DCB= ∠ CBA=∠ BAD =90°
对角线互相平分
对角相等
对角线互相垂直平分，每条 对角线平分一组对角
四个角都 是直角
对角线互相平分且相等
四个角都 对角线互相垂直平分且相等， 是直角 每条对角线平分一组对角
特别提醒
知2－讲
正方形的特殊性质：

1.正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角
三角形；两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角
(4)从菱形出发：① 有一个角是直角的菱形是正方形；② 对角线相等的菱形是正方形.
方法点拨
知3－讲
判定正方形的常见思路 ：
1.从边上证明.
邻边相等

定理 正方形的四个角都是直角，四条边相等. 定理 正方形的对角线相等且互相垂直平分.
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系：
韦恩图：
四边形 平行四边形
菱形 正方形 矩形
判一判
根据图形所具有的性质，在下表相应的空格中打“√”.
性质\图形
平行四边形 矩形 菱形 正方形
对边平行且相等 边
四边相等
√
√√ √
证一证
(1) 已知：如图，四边形 ABCD 是正方形.
求证：正方形 ABCD 四边相等，四个角都是直角.
证明：∵ 四边形 ABCD 是正方形.
∴∠A = 90°，AB = AD (正方形的定义).
又∵ 正方形是平行四边形， A
D
∴ 正方形是矩形 (矩形的定义)，
正方形是菱形 (菱形的定义).
∴∠A =∠B =∠C =∠D = 90°， AB = BC = CD = AD.
解：当点 E 在正方形 ABCD 外部时，如图①， AB＝AE，∠BAE＝90°＋60°＝150°.
∴∠AEB＝15°. 同理可得∠DEC＝15°. ∴∠BEC＝60°－15°－15°＝30°；
当点 E 在正方形 ABCD 内部时，如图②， AB＝AE，∠BAE＝90°－60°＝30°， ∴∠AEB＝75°. 同理可得∠DEC＝75°. ∴∠BEC＝360°－75°－75°－60°＝150°. 综上所述，∠BEC 的大小为 30° 或 150°.
A
D
∵ PB = PC，
∴∠PBC =∠PCB．
∴∠ABC -∠PBC =∠DCB -∠PCB，
即∠ABP =∠DCP．
P
又∵ AB = DC，PB = PC，
B

九年级上册数学目录
第一章特殊平行四边形
1.1 菱形的性质和判定
1.2 矩形的性质和判定
1.3 正方形的性质和判定
第二章一元二次方程
2.1 认识一元二次方程
2.2 用配方法解一元二次方程
2.3 用公式法解一元二次方程
2.4 用因式分解法解一元二次方程2.5 一元二次方程的根与系数的关系2.6 应用一元二次方程
第三章概率初步认识
3.1 用树状图或表格求概率
3.2 用频率估计概率第四章图形的相似
4.1成比例线段
4.2平行线分线段成比例
4.3相似三角形
4.4探索三角形相似的条件
4.5相似三角形判定定理的证明4.6利用相似三角形测高
4.7相似三角形的性质
4.8图形的位似
第五章投影和视图
5.1投影
5.2视图
第六章反比例函数
6.1反比例函数
6.2反比例函数的图像与性质6.3反比例函数的应用。