考点19 点、直线、平面之间的位置关系

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考点19 点、直线、平面之间的位置关系1.（2010·山东高考理科·Ｔ3）在空间，下列命题正确的是（ ） （A ）平行直线的平行投影重合 （B ）平行于同一直线的两个平面平行 （C ）垂直于同一平面的两个平面平行 （D ）垂直于同一平面的两条直线平行【命题立意】 本题考查空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质，考查了考生的空间想象能力、推理论证能力.【思路点拨】 可利用特殊图形进行排除.【规范解答】选D.在正方体1111ABCD-A B C D 中，1111A B C D ∥，但它们在底面ABCD 上的投影仍平行，故A 选项不正确；平面1A D 与平面1A B 都平行于直线1C C ，但平面1A D 与平面1A B 相交，故B 选项不正确；平面1A D 与平面1A B 都垂直于平面ABCD ，但平面1A D 与平面1A B 相交，故C 选项不正确；而由空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质定理可以证明选项D 正确.2.（2010·浙江高考理科·Ｔ6）设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（ ） （A ）若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥ （B ）若l α⊥，l m //，则m α⊥ （C ）若l α//，m α⊂，则l m // （D ）若l α//，m α//，则l m // 【命题立意】本题考查空间中的线线、线面位置关系，考查空间想象能力. 【思路点拨】利用线面平行、线面垂直的判定定理.【规范解答】选B.如图（1），选项A 不正确；如图（2），选项B 正确；如图（3）选项C 不正确；如图（4）选项D 不正确.3.（2010·福建高考理科·Ｔ6）如图，若Ω是长方体1111ABCD A BC D -被平面EFCH 截去几何体11EFGHB C 后得到的几何体，其中E 为线段11A B 上异于1B 的点，F 为线段1BB 上异于1B 的点，且EH//11A D ，则下列结论中不正确的是（ ）l(1)(2)(3)(4)(A)EH//FG (B)四边形EFGH 是矩形 (C)Ω是棱柱 (D)Ω是棱台【命题立意】本题考查考生对立体几何体的理解程度、空间想像能力. 灵活，全面地考查了考生对知识的理解.【规范解答】选D ，若FG 不平行于EH ，则FG 与EH 相交，交点必然在B 1C 1上，而EH 平行于B 1C 1，矛盾，所以FG //EH ；由⊥EH 面11ABB A ，得到EF EH ⊥，可以得到四边形EFGH 为矩形，将Ω从正面看过去，就知道是一个五棱柱，C 正确；D 没能正确理解棱台与这个图形.【方法技巧】线线平行，线面平行，面面平行是空间中的三种重要的平行关系，他们之间可以进行相互的转化，他们之间的转化关系就是我们学习的判定定理和性质定理，我们要熟练掌握这些定理并利用这些定理进行转化.我们以上面的题目进行变式训练： （1）证明：AD //平面EFGH .（2）若E,F 分别为A 1B 1，B 1B 的中点，证明：平面EFGH //平面11A BCD .证明：(1) 在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，11//AD A D ，又11//EH A D ，//AD EH ∴，又AD ⊂⊄平面EFGH ，所以AD //平面EFGH ；(2) E 、E,F 分别为111A B B B 、的中点，1//,EF A B ∴又EH//A 1D 1，1111,EH EF E A B A D A ⋂=⋂=，//,EF A B ∴平面EFGH //平面11A BCD ；4.（2010·广东高考理科·Ｔ18）如图， AEC是 半径为a 的半圆，AC 为直径，点E 为»AC 的中点，点B和点C 为线段AD 的三等分点.平面AEC 外一点F 满足，(1)证明：EB ⊥FD.(2)已知点Q,R 分别为线段FE,FB 上的点，使得 FQ=23FE,FR=23FB,求平面BED 与平面RQD 所成二面角的正弦值.【命题立意】本题考察空间点、线、面之间的关系以及空间几何体的相关计算.【思路点拨】（1）点E 为»AC 的中点，B 为AC 的中点，AC 为直径⇒EB AC ⊥⇒EC =⇒CEF ∆是直角三角形⇒FC EC ⊥，又FC AD ⊥⇒FC ⊥面BED ⇒ EB ⊥FD.(2)作出二面角的棱⇒证明RDB ∠为所求二面角的平面角⇒求RD ，BR ，sin ∠RBD ⇒sin .RDB ∠ 【规范解答】（1）连结CF ,CE.因为¼ABC 是半径为a 的半圆，AC 为直径，点E 为»AC 的中点，B 为AC中点，所以EB AC ⊥，在Rt BCE ∆中，EC ==，在BDF ∆中，BF DF ==，所以BDF ∆是等腰三角形，且点C 是底边BD 的中点，所以.CF BD ⊥在Rt △ECF中，FC 2a,== 在CEF ∆中，22226EF a CE CF ==+，所以CEF ∆是直角三角形，所以CF EC ⊥.由.CF BD ⊥，CF EC ⊥，且CE BD C = ，所以FC ⊥面BED ， 又 EB ⊂面BED ，所以FC EB ⊥，所以BE ⊥平面BDF ，而FD ⊂平面BDF ，所以.EB FD ⊥ （2）过点D 作//DG QR ， FQ=23FE,FR=23FB ，∴ //QR EB ，∴ //EB DG ， ∴ DG 与QR 共面且与EB 共面，∴ DG 为平面BED 与平面RQD 所成二面角的棱.由（1）知，BE ⊥平面BDF ，∴ DG ⊥平面BDF ，而RD ⊂平面BDF ，BD ⊂平面BDF ，∴ DG DR ⊥，DG DB ⊥，∴RDB ∠是平面BED 与平面RQD 所成二面角的平面角.在Rt BCF中，2CF a ===，∴25sin FC RBD BF ∠===2cos 1sin RBD RBD ∠-∠5由余弦定理得：2222cos RD BD BR BD BR RBD =+-⋅∠2299a =， ∴.RD =又由正弦定理得：sin sin BR RD RDB RBD =∠∠，即 sin sin BR RBD RDB RD ⋅∠∠===29 所以平面BED 与平面RQD【方法技巧】求无棱二面角，往往需先作出二面角的棱，并证明之，然后再作（证）二面角的平面角. 5.（2010·浙江高考文科·Ｔ20）如图，在平行四边形ABCD 中，AB=2BC ，∠ABC=120°.E 为线段AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成△A ′DE ，使平面A ′DE ⊥平面BCD ，F 为线段A ′C 的中点. （Ⅰ）求证：BF ∥平面A ′DE ；（Ⅱ）设M 为线段DE 的中点，求直线FM 与平面A ′DE 所成角的余弦值.【命题立意】本题主要考查空间线线、线面、面面位置关系，线面角等基础知识，同时考查空间想象能力和推理论证能力.【思路点拨】（1）可以在面'A DE 内找一条直线与BF 平行，从而证明线面平行；（2）求线面角的关键是找到对应的平面角. 【规范解答】 (Ⅰ)取A ′D 的中点G ，连结GF ，CE ，EG ,由条件易 知FG ∥CD ，FG =12CD . BE ∥CD ,BE 12CD .所以FG ∥BE ,FG =BE . 故四边形BEGF 为平行四边形, 所以BF ∥EG,因为EG ⊂平面'A DE ，BF ⊄平面'A DE ，所以 BF//平面'A DE .（Ⅱ）在平行四边形ABCD 中，设BC=a ，则AB=CD=2a, AD=AE=EB=a, 连结CE,A ′M.因为120ABC ∠=120°，在△BCE 中，可得CE 在△ADE 中，可得DE =a,在△CDE 中，因为CD 2=CE 2+DE 2，所以CE ⊥DE , 在正三角形A ′DE 中，M 为DE 中点， 所以A ′M ⊥DE .由平面A ′DE ⊥平面BCD ,可知A ′M ⊥平面BCD , A ′M ⊥CE .取A ′E 的中点N ， 连结NM ，NF ，所以NF ⊥DE ,NF ⊥A ′M .因为DE ∩A ′M = M , 所以NF ⊥平面A ′DE ,则∠FMN 为直线FM 与平面A ′DE 所成的角.在Rt △FMN 中，NF N =12a, FM =a,则cos FMN ∠=12.所以直线F M 与平面A ′DE 所成角的余弦值为12. 【方法技巧】找线面所成角时，可适当的作一条面的垂线，从而把线面角转化为线线夹角.6.（2010·陕西高考文科·Ｔ１8）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是 矩形，PA ⊥平面ABCD ，AP =AB ，BP =BC =2，E ，F 分别是PB ,PC 的中点. (1)证明：EF ∥平面PAD ； (2)求三棱锥E —ABC 的体积V.【命题立意】本题考查了空间几何体的的线线、线面平行及线面垂直、以及几何体的体积计算问题，考查了考生的空间想象能力以及空间思维能力.【思路点拨】（1）E ，F 分别是PB ,PC 的中点. ⇒ EF ∥BC ⇒ EF ∥AD ⇒结论；（2）EG ∥PA 交AB 于点G ⇒ EG ⊥平面ABCD ⇒EG =12PA ⇒ V E-ABC . 【规范解答】 (1)在△PBC 中，E ，F 分别是PB ，PC 的中点，∴EF ∥BC . 又BC ∥AD ,∴EF ∥AD ,又∵AD ⊂平面PAD ,E F ⊄平面PAD ,∴EF ∥平面PAD .(2)连接AE ,AC,EC ,过E 作EG ∥PA 交AB 于点G ,则EG ⊥平面ABCD ，EG =12PA .在△PAB 中，AP =AB ,∠PAB=90°,BP =2,∴AP =ABEG=2.∴S △ABC =12AB ·BC =12∴V E-AB C =13S △ABC ·EG =1313. 7.（2010·北京高考理科·Ｔ１6）如图，正方形ABCD 和四边形ACEF 所在 的平面互相垂直，CE ⊥AC,EF ∥CE=EF=1. （1）求证：AF ∥平面BDE ； （2）求证：CF ⊥平面BDE ；（3）求二面角A-BE-D 的大小.【命题立意】本题考查了线面平行、线面垂直及二面角的求法.一般的，运用几何法（方法一）对空间想象能力，空间运算能力要求较高，关键是寻找二面角的平面角；运用向量法（方法二）思路简单，但运算量较大，熟练掌握向量的线性运算及数量积是解决问题的关键.【思路点拨】解决立体几何问题一般有两种方法：几何法与向量法.几何法：（1）证明AF 与平面BDE 内的某条线平行；（2）证明CF 垂直于平面BDE 内的两条相交直线；（3）由第（2）问的结论，可过A 作一直线与CF 平行，从而垂直于平面BDE ，找到二面角的平面角.向量法：利用三个垂直关系建立空间直角坐标系，利用向量的垂直和数量积求二面角的大小. 【规范解答】方法一：（1） 设AC 与BD 交于点G.因为EF//AG ，且EF=1，AG=12AC=1.所以四边形AGEF 为平行四边形. 所以AF//EG ，因为EG ⊂平面BDE ，AF ⊄平面BDE ，所以AF//平面BDE.(2)连接FG ，//,1EF CG EF CG == ，CE ∴四边形CEFG 为平行四边形， 又1CE EF == ，∴□ CEFG 为菱形，EG CF ∴⊥. 在正方形ABCD 中，AC BD ⊥.正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直，∴BD BC CEFG ∴⊥平面， BD CF ∴⊥，又EG BD G = ，CF BDE ∴⊥平面.（3）设EG 交FC 于点K ，在平面ACEF 内，过A 作AH EG ⊥，垂足为H ，连接HB ，则AH//CF.∴AH ⊥平面BDE ，AH BE ∴⊥，AH BH ⊥.又 面ABCD ⊥面ACEF ，CE ⊥AC ，∴CE ⊥面ABCD ，CE AB ∴⊥.BC DEF又,AB BC BC CE C ⊥= ，∴AB ⊥面BCE ，AB BE ∴⊥.BE ∴⊥面ABH.BE BH ∴⊥.ABH ∴∠为所求的二面角A-BE-D 的平面角.由AH FK AB ===1sin 2AH ABH AB ∠===， ABH ∠ 为锐角，6ABH π∴∠=.方法二：（1）因为正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直，且CE ⊥AC ，所以CE ⊥平面ABCD.如图，以C 为原点，建立空间直角坐标系，则C （0，0，0），(2,2,0)A ，B （0，20），D ，(0,0,1)E，(,,1)22F ，所以(0,2,1)BE =- ，(2,0,1)DE =-，2(22AF =-- .设(,,)n x y z = 为平面BDE 的法向量，则00n BE n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即20y z z ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，令1x =，得1,y z =，(1,1n ∴=. 1(1(1022n AF ⋅=⨯-+⨯-+= ，n AF ∴⊥ ，又AF ⊄ 平面BDE ，∴AF//平面BDE.（2）由（1）知CF = ，所以0110CF BE =-+= ,1010CF DE =-++= ，所以CF BE ⊥,CF DE ⊥.又因为BE DE E = ，所以CF ⊥平面BDE.(3)设平面ABE 的法向量(,,)m x y z =, 由（I ）知BA =，BE = (0,，则0m BA = ，0m BE =.即所以0,x =且,z =令1,y =则z =所以m =.从而cos ,2||||m n m n m n 〈〉==.所以,6m n π<>= .因为二面角A BE D --为锐角， 所以二面角A BE D --的大小为6π.8.（2010·福建高考文科·Ｔ20）如图，在长方体ABCD – A 1B 1C 1D 1中，E ，H 分别是棱A 1B 1,D 1C 1上的点（点E 与B 1不重合），且EH//A 1D 1.过EH 的平面与棱BB 1,CC 1相交，交点分别为F ，G. （I ）证明：AD//平面EFGH ；（II ）设AB=2AA 1=2a.在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1内随机选取一点，记该点取自于几何体A 1ABFE –D 1DCGH 内的概率为P .当点E ，F 分别在棱A 1B 1, B 1B 上运动且满足EF=a 时，求P 的最小值.【命题立意】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，以及几何体的体积、几何概型等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力；考查函数方程思想、数形结合思想、化归与转化思想等.【思路点拨】第一步由线线平行得到线面平行；第二步首先求出长方体以及三棱柱EB 1F-HC 1G 的体积，并求解三棱柱11EB F HC G -的体积的最大值，然后利用体积比计算出几何概率，最后得解. 【规范解答】 ( I ) 在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，11//AD A D ，又11//EH A D ，//AD EH ∴， 又AD ⊄平面EFGH ，所以AD //平面EFGH .（II ）设BC b =，则长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的体积212V AB AD AA a b =⋅⋅=，几何体11EBF HCG -的体积1111111122b V EB B F B C EB B F ⎛⎫=⋅⋅=⋅ ⎪⎝⎭，又22211EB B F a += ，222111122EB B F a EB B F +∴⋅≤=，当且仅当112EB B F ==时等号成立，从而214a b V ≤，故P min 1171188V P V =-=-=，此时11EB B F ==，所以P 的最小值等于78.【方法技巧】立体几何中的证明问题，一定要把条件写完整了，保证逻辑合理，如：本题一定要写出“AD ⊄面平D EFGH ⊄面”.9.（2010 ·海南宁夏高考理科·T18）如图，已知四棱锥P-ABCD 的底面为等腰梯形，AB ∥CD,AC ⊥BD 垂足为H,PH 是四棱锥的高，E 为AD 中点. （Ⅰ)证明：PE ⊥BC（Ⅱ）若APB ∠=ADB ∠=60°，求直线PA 与平面PEH 所成角的正弦值.【命题立意】本题主要考查了利用向量法解决立体几何中证明位置关系求夹角等问题. 【思路点拨】建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标进行计算.【规范解答】如图，以H 为原点，,,HA HB HP 分别为,,x y z 轴，线段HA 的长为单位长， 建立空间直角坐标系，则(1,0,0),(0,1,0)A B（Ⅰ）设 (,0,0),(0,0,)(C m P n m ,(0,0)n <>，（Ⅱ）由已知条件可得 1,33m n C =-=-故 (1(0,(,(0,0,1)326D E P -， 设n(,,)n x y x = z)为平面PEH 的法向量，因此可以取(1n =，由(1,0,1)PA =- ，可得 cos ,PA n = ，所以直线PA 与平面PEH 所成角的正弦值为4. 10.（2010·江苏高考·Ｔ１6）如图，在四棱锥P-ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PD=DC=BC=1，AB=2，AB ∥DC ，∠BCD=900. (1)求证：PC ⊥BC.(2)求点A 到平面PBC 的距离.【命题立意】本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查几何体的体积，考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力.【思路点拨】（1）可证明BC 与PC 所在的某一个平面垂直. （2）点A 到平面PBC 的距离是点D 到平面PBC 的距离的2倍. 【规范解答】（1）因为PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥BC.由∠BCD=90°，得CD ⊥BC ， 又PD DC=D ，PD ，DC ⊂平面PCD ， 所以BC ⊥平面PCD.因为PC ⊂平面PCD ，故PC ⊥BC.（2）分别取AB ，PC 的中点E ，F ，连DE ，DF ，则易证DE ∥CB ，∴DE ∥平面PBC ，点D ，E 到平面PBC 的距离相等.又点A 到平面PBC 的距离等于点E 到平面PBC 的距离的2倍.由（1）知：BC ⊥平面PCD ，所以平面PBC ⊥平面PCD ，且平面PBC ∩平面PCD=PC ，因为PD=DC ，PF=FC ，所以DF ⊥PC ，所以DF ⊥平面PBC.易知DF=2，故点A 到平面PBC 2【方法技巧】一个几何体无论怎样转动，其体积是不变的.如果一个几何体的底面积和高较难求解时，我们可考虑利用等体积法求解.等体积法也称等积转换或等积变形，它是通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来解决有关锥体的体积，把底面积和高的求解转化为数量关系清晰的底面及其对应的高，减少运算量，这也是转化与化归思想在立体几何中的具体体现.本题也可利用等体积法求解： 连结AC.设点A 到平面PBC 的距离为h. 因为AB ∥DC ，∠BCD=900，所以∠ABC=900. 又AB=2，BC=1，得ABC ∆的面积1ABC S ∆=.由PD ⊥平面ABCD 及PD=1，得三棱锥P-ABC 的体积1133ABC V S PD ∆=⋅=. 因为PD ⊥平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥DC.又PD=DC=1，所以PC .由PC ⊥BC ，BC=1，得PBC ∆的面积2PBC S ∆=.由A PBC P ABC V V --=，1133PBC S h V ⋅== ，得h =故点A 到平面PBC11.（2010·辽宁高考文科·Ｔ19）如图，棱柱ABC—A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B.(Ⅰ)证明：平面AB1C⊥平面A1BC1;（Ⅱ)设D是A1C1上的点，且A1B∥平面B1CD，求A1D:DC1的值.【命题立意】本题考查了空间几何体的线面垂直与面面垂直、以及几何体的计算问题，考查了考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.【思路点拨】（I）先证明B1C⊥平面A1BC1.再证明平面AB1C⊥平面A1BC1.（II）利用线面平行的性质，得到线线平行，进而可解.【规范解答】（I）【方法技巧】1、证明面面垂直，一般通过证明一个平面经过另一个平面的垂线，为此分析题设，观察图形找到是哪条直线和哪个平面垂直.2、证明直线和平面垂直，就是要证明这条直线垂直于平面内的两条相交直线，这一点在解题时一定要体现出来，如本题中强调了A1B∩BC 1＝B.12.（2010·山东高考文科·Ｔ20）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，MA ⊥平面ABCD ，//PD MA ，E ，G ，F 分别为MB ，PB ，PC 的中点，且2AD PD MA ==.（1）求证：平面EFG ⊥平面PDC .（2）求三棱锥P MAB -与四棱锥P ABCD -的体积之比.【命题立意】本题主要考查空间中的线面关系和面面关系.考查线面垂直，面面垂直的判定及几何体积的计算，考查了考生的识图能力、空间想象能力和逻辑思维能力.【思路点拨】(1)先证明PDC BC ⊥平面，再由//GF BC 可证平面EFG ⊥平面PDC .（2）求三棱锥P MAB -的体积关键是求点P 到MAB 平面的距离，由//PD MA 可将该距离转化为点D 到MAB 平面的距离.【规范解答】（1）∵ABCD MA 平面⊥，MA PD //,所以ABCD PD 平面⊥.又BC ⊂平面ABCD ，所以BC PD ⊥.因为四边形ABCD 为正方形，所以DC BC ⊥.又D DC PD =⋂，因此PDC BC 平面⊥.在△PBC 中，因为F G ,分别为PC PB ,的中点,所以BC GF //，因此PDC GF 平面⊥.又EFG GF 平面⊂,所以PDC EFG 平面平面⊥.(2)因为ABCD PD 平面⊥，四边形ABCD 为正方形，不妨设MA =1，则 PD=AD=2,所以38.31=∙=-PD S V ABCD ABCD P 正方形， 由题易知MA PD MAB DA //,且平面⊥,所以 DA 即为点P 到平面MAB 的距离. 三棱锥322212131=⨯⨯⨯⨯=-V MAB P ， 所以:VMAB P -=-V ABCD P １：４.13.（2010·天津高考文科·Ｔ１9）如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ADEF 是正方形，FA ⊥平面ABCD ，BC ∥AD ，CD=1，AD=，∠BAD ＝∠CDA ＝45°.（1）求异面直线CE 与AF 所成角的余弦值.（2）证明CD ⊥平面ABF.（3）求二面角B-EF-A 的正切值.【命题立意】本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查空间想象能力，运算能力和推理论证能力.【思路点拨】（1）∠CED 即为异面直线CE 与AF 所成的角.（2）证明CD 垂直于两条相交直线AB ，FA.（3）做辅助线构造二面角的平面角.【规范解答】(1)因为四边形ADEF 是正方形，所以FA//ED.故CED ∠为异面直线CE 与AF 所成的角.因为FA ⊥平面ABCD ，所以FA ⊥CD.故ED ⊥CD.在Rt △CDE 中，CD=1，ED=故cos CED ∠=ED CE =3.所以异面直线CE 与AF 所成角的余弦值为3. (2)过点B 作BG//CD,交AD 于点G ，则45BGA CDA ∠=∠= .由45BAD ∠= ,可得BG ⊥AB,从而CD ⊥AB,又CD ⊥FA,FA ⋂AB=A,所以CD ⊥平面ABF.(3)由（2）及已知，可得即G 为AD 的中点.取EF 的中点N ，连接GN ，则GN ⊥EF,因为BC//AD,所以BC//EF.过点N 作NM ⊥EF ，交BC 于M ，则GNM ∠为二面角B-EF-A 的平面角.连接GM ，可得AD ⊥平面GNM,故AD ⊥GM.从而BC ⊥GM.由已知，可得GM ⊂平面MAB.由NG//FA,FA ⊥GM,得NG ⊥GM.在Rt △NGM 中，tan GM 1NG 4GNM ∠==, 所以二面角B-EF-A 的正切值为14.14.（2010·广东高考文科·Ｔ18）如图， AEC 是半径为a 的半圆，AC 为直径，点E 为 AC 的中点，点B 和点C 为线段AD的三等分点，平面AEC 外一点F 满足FC ⊥平面BED ，FB .（1）证明：EB FD ⊥；（2）求点B 到平面FED 的距离.【命题立意】本题考察空间点、线、面之间的关系以及空间几何体的相关计算.【思路点拨】(1) FC BED ⊥平面FC AD ⇒⊥, 又点E 为 AC 的中点⇒EB AD ⊥EB ⇒⊥平面FBD .EB FD ⇒⊥（2）利用F BED B EFD V V --=求解.【规范解答】(1) FD ⊥ FC ⊥平面BED ，BE ⊂平面BED ， FC BE ∴⊥， 又 点E 为 AC 的中点，B 为AC 中点， BE AC ∴⊥，且AC FC C = ，AC ，FC ⊂平面BFD ， ∴ BE ⊥平面BFD ，又 FD ⊂平面BFD ， ∴ .BE FD ⊥（2） 由（1）得，BE BF ⊥， BF =， ∴ EF =，又 点B 和点C 为线段AD 的三等分点，∴ AB BC CD a ===，∴ FD FB ==，ED =，∴ ED FD =，2.FC a =取EF 的中点K ，连接DK ，则2DK a ==，∴ 2122EFD S EF DK ∆=⋅=， 又 212BED S BE BD a ∆=⋅=， 设点B 到平面FED 的距离为h ，由F BED B EFD V V --=得：1133EFD BED h S FC S ∆∆⋅=⋅，即 22112323h a a ⋅=⋅⋅，解得： 21h =， 即点B 到平面FED 的距离为421.21a 【方法技巧】立体几何中求点到平面的距离，通常用等体积法.15.（2010·湖南高考文科·Ｔ18）如图所示，在长方体1111ABCD A BC D -中，AB=AD=1，AA 1=2，M 是棱CC 1的中点（1）求异面直线A 1M 和C 1D 1所成的角的正切值，（2）证明：平面ABM ⊥平面A 1B 1M【命题立意】以非常简单常见的长方体为载体，考查空间线线的定量和面面的定性关系.【思路点拨】异面直线所成的角关键是平移直线构成三角形，再解三角形.面面垂直的证明关键是在一个平面内找一条直线垂直于另一个平面.【规范解答】(1) 如图，∵C 1D 1∥B 1A 1，∴∠MA 1B 1为异面直线A 1M 与C 1D 1所成的角.∵A 1B 1⊥平面BCC 1B 1,∴∠A 1B 1M=90°. 而A 1B 1=1，2212111=+=MC C B M B ，故2tan 11111==∠B A M B B MA .即异面直线A 1M 和C 1D 1所成的角的正切值为2.(2) 由A 1B 1⊥平面BCC 1B 1，1B BCC BM ⊂平面11B BCC BM ⊂，得A 1B 1⊥BM ①又2212111=+=MC C B M B ，BM ==21=B B ， ∴21221B B BM M B =+,从而BM ⊥B 1M ②又A 1B 1∩B 1M=B 1，再由①，②得 BM ⊥平面A 1B 1M ，而AB BM ⊂平面ABM BM⊂，因此 平面ABM ⊥平面A 1B 1M.【方法技巧】(1)求异面直线所成的角关键是平移一条直线，或者是找一条直线和其中一条直线平行而和另一条直线相交，找直线的技巧是中点对中点，产生中位线，引出平行，也可以取连接两条异面直线的线段的中点，再把这些中点连成线段.(2)证明面面垂直关键在一个平面内找一条直线垂直于另一个平面，在证明一条直线垂直另一个平面时常常转化为证明这条直线垂直另一个平面内两条相交直线.证明直线垂直直线常常有两种情况：一是相交垂直，常可以计算，也可以定性证明，二是异面垂直，异面垂直常转化射影垂直，即把其中一条直线放在一个平面上，找到另一条直线在这个平面上的射影，再证明一条直线垂直于射影即可.关闭Word 文档返回原板块。