第8章 线性离散控制系统的分析与综合8.1 引言随着微处理器和微计算机的出现和发展，数字控制器在系统中逐渐取代模拟控制器，成为控制系统的一个重要的组成部分，并得到了越来越广泛的应用。
在控制系统中，只要任何一个环节为采样开关或数字元器件，或者只要某处采集、传输或加工处理的信号是离散型的时间函数，则称该系统为离散时间控制系统，简称离散控制系统或采样控制系统。
若离散信号为脉冲序列，则称为脉冲控制系统；若离散信号为数字序列，则称为数字控制系统或计算机控制系统。
由于在离散控制系统中出现了离散型的信号，前面各章所介绍的适用于连续控制系统的各种分析和综合方法，在这里已不再适用，所以，必须另辟蹊径，寻求新的分析和综合方法，这正是本章所面临的主要任务和所要介绍的主要内容。
8.2 离散信号和离散控制系统前面各章介绍了连续控制系统理论，本章将介绍离散控制系统理论。
离散控制系统与连续控制系统之间的根本区别在于：在连续控制系统中的输入信号)(t r 、反馈信号)(t b 和偏差信号)(t e 都是连续型的时间函数；而在离散控制系统中则不然，在一般情况下，由于输入信号是离散型的时间函数，记为)(*t r ，所以，取自系统输出端的反馈信号，在和上述离散型输入信号进行比较时，也需要采用离散型的时间函数，记为)(t b *，这样，比较后得到的偏差信号就是离散型的时间函数，记为)(t e *，于是)()()(**t b t r t e -=*因此，在离散控制系统中，通过控制器对被控对象进行控制的直接控制作用乃是离散型的偏差信号)(t e *。
上述离散控制系统的方框图如图8-1所示。
在图8-1中，离散型的反馈信号)(t b *是由连续型的反馈信号)(t b *通过采样开关的采样而获得的。
采样开关经过一定的时间间隔T 重复闭合，每次闭合的持续时间为τ，且有τ<<T ，如图8-2所示。
图8-1 离散控制系统方框图 图8-2 离散反馈信号 图8-3 离散控制系统简化方框图在离散控制系统中， 采样开关重复闭合的时间间隔T 称为采样周期，而Tf s 1=和Tsπω2=分别称为采样频率和采样角频率。
一、填空题1．离散系统输出响应的Z 变换为：()2320.3680.2642 1.6320.632z z C z z z z +=-+-则系统输出在前两个采样时刻的值为______，______。
[重庆大学()C nT ()0C =()C T =2006年研]【答案】0；0.3682．零阶保持器的传递函数是______，加入零阶保持器______会影响采样系统的稳定性。
[北京交通大学2009年研]【答案】；不1e Ts s--二、问答题1．如何判断离散系统的稳定性。
并图示说明之。
[东北大学研]答：由于Z 变换与拉普拉斯变换之间的映射关系为，其中T 为采样周期，在s平面内当系统稳定时所有特征根位于左半平面，映射到Z 平面中则是单位圆内，对应的映射关系如图8-1所示。
图8-1于是判断离散系统的稳定性时，只需判断其特征方程的根的模是否大于1，当其模大于1时，系统不稳定；模等于1时，系统临界稳定；当其模小于1时，系统稳定，为了能位于右半平面；位于左半平面；对应的映射关系如图8-2所示。
所示得到关于ω的特征方程，使用劳斯判据进行判断。
图8-22．线性定常离散系统的稳定性除了与系统结构参数有关之外，还与哪些因素有关？[南京航空航天大学2008年研]答：线性定常离散系统的稳定性除了与系统结构参数有关之外，还与采样周期T有关，当系统开环增益一定时，T越小，稳定性越好。
三、计算题1．先用Z变换法求解下面的微分方程，再求其终值e（∞）。
e（k＋2）＋3e（k＋1）＋2e（k）＝0，已知e（0）＝0，e（1）＝1。
[浙江大学研]解：将善分方程两沩讲行Z变换可以得到：将e（0）＝0，e（1）＝1代入整理可以得到：2．已知z变换求离散时间函数z（k）和采样函数[清华大学研]解：由对照典型函数的z 变换表可以得到即其中T为采样周期，为单位脉冲。
3．某离散系统如图8-3所示，试求其闭环脉冲传递函数[四川大学研]图8-3解：由题意，可以得到如下方程整理得到对式（3）两边进行z变换得到：（4）由两边进行Z 变换得到：（5）联立式（4），式（5），消去中间变量可以得到4．线性定常离散系统如图8-4所示，写出闭环系统的脉冲传递函数。
