初二-第03讲-垂直平分线与角平分线(培优)-学案

1.注重分层教学，针对不同学生的学习需求，制定合适的教学策略，提高教学质量。
2.加强直观演示，利用教具、多媒体等教学手段，帮助学生形象地理解线段垂直平分线的性质和判定定理。
3.引导学生主动参与课堂，鼓励学生提问、发表见解，培养学生的自主学习能力和思考习惯。
4.拓展课堂练习，设计具有梯度、挑战性的习题，使学生在解决问题的过程中，巩固所学知识，提高综合运用能力。
（二）过程与方法
1.通过实际操作、观察和分析，引导学生发现线段垂直平分线的性质和判定定理。
-教师可以组织学生进行小组讨论、合作探究，通过观察线段垂直平分线的实例，引导学生发现性质和判定定理。
-学生在自主探究过程中，培养观察、分析、总结的能力。
2.运用数形结合的方法，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
5.练习巩固，拓展提高。
-设计形式多样的练习题，包括基础题、提高题和拓展题，以满足不同层次学生的学习需求。
-通过练习，让学生在巩固知识的同时，提高解决问题的能力，拓展思维深度和广度。
6.反馈评价，总结反思。
-教学结束后，组织学生进行自我评价和同伴评价，反思学习过程中的收获和不足。
-教师根据学生的反馈，进行教学反思，调整教学策略，以促进教学效果的提升。
-学生可以通过写学习心得、画思维导图等方式，对自己的学习进行梳理和总结。
6.预习任务：
-布置下一节课的预习任务，让学生提前了解下节课将要学习的内容，为课堂学习做好准备。
2.提高题：设置一些有一定难度的题目，让学生在小组内合作完成，培养学生的团队协作能力。
3.拓展题：设计一些富有挑战性的题目，激发学生的思维潜能，提高学生的创新能力。
（五）总结归纳
1.学生总结：教师引导学生回顾本节课所学内容，让学生用自己的话总结线段垂直平分线的性质和判定定理。

1.3线段的垂直平分线（1）第 1 课时（二）学习目标：1.证明线段垂直平分线的性质定里和判定定理．2．经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明能力．丰富对几何图形的认识。

（三）重点、难点：重点：运用几何符号语言证明垂直平分线的性质定理及其逆命题。

难点：垂直平分线的性质定理在实际问题中的运用。

（四）教学过程【导入环节】（约2分钟）教师用多媒体演示：如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置?进一步提问：“你能用公理或学过的定理证明这一结论吗?”【目标出示】（约1分钟）1.证明线段垂直平分线的性质定里和判定定理．2．经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明能力．【自学环节】探究一：性质探索与证明1.自学指导（约1分钟）让学生看书第22页的内容2.自主学习（约2分钟）学生按要求进行自学，教师要注意学生的学习动向，对于疑难问题及时进行提示，注意发现学生所存在的问题，以便在导学中有的放矢，重点解决。

3.教师导学（约5分钟）教师鼓励学生思考，想办法来解决此问题。

通过讨论和思考，引导学生分析并写出已知、求证的内容。

已知：如图，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC=BC，P是MN上的点．求证：PA=PB．分析：要想证明PA=PB，可以考虑包含这两条线段的两个三角形是否全等．证明：（教师用多媒体完整演示证明过程）．探究二：逆向思维，探索判定NAPBCM1.自主学习（约2分钟）你能写出上面这个定理的逆命题吗?它是真命题吗?将原命题写成“如果……那么……”的形式，逆命题就容易写出．鼓励学生找出原命题的条件和结论。

“如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上．” 2.教师导学（约12分钟）写出逆命题后时，就想到判断它的真假．如果真，则需证明它；如果假，则需用反例说明． 引导学生分析证明过程，有如下几种证法： 已知：线段AB ，点P 是平面内一点且PA=PB ． 求证：P 点在AB 的垂直平分线上．证法一：证明：过点P 作已知线段AB 的垂线PC,PA=PB ，PC=PC ， ∴Rt △PAC ≌Rt △PBC(HL 定理)．∴AC=BC ， 即P 点在AB 的垂直平分线上．证法二：取AB 的中点C ，过PC 作直线． 证法三：过P 点作∠APB 的角平分线．从同学们的推理证明过程可知线段垂直平分线的性质定理的逆命题是真命题，我们把它称做线段垂直平分线的判定定理． 3.巩固应用（约5分钟）例题：已知：如图 1-18，在 △ABC 中，AB = AC ，O 是 △ABC 内一点，且 OB = OC. 求证：直线 AO 垂直平分线段BC 。

学科教师辅导讲义体系搭建一、知识梳理1、线段垂直平分线的性质定理定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

2、线段垂直平分线性质定理的逆定理（判定定理）定理：到一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

3、三角形三条边的垂直平分线的性质性质：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个定点的距离相等。

4、尺规作图5、角平分线的性质定理定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

6、角平分线性质定理的逆定理（判定定理）定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。

7、三角形三内角的角平分线性质性质：三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三边的距离相等。

考点一：线段垂直平分线的性质例1、下列命题中正确的命题有（）①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；②线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；③经过线段中点的直线只有一条；④点P在线段AB外且PA=PB，过P作直线MN，则MN是线段AB的垂直平分线；⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线．A．1个B．2个C．3个D．4个例2、如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD于点C，点M在AB上，MN垂直平分AC，垂足为点N，若AB=8，45BCMC，则BM的长为（）A．3 B．5C．4 D．6例3、如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、BC于E，D两点，EC=4，△ABC的周长为23，则△ABD的周长为（）A．13 B．15 C．17 D．19例4、如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD．若CD=AC，∠A=50°，则∠ACB的度数为（）A．90°B．95°C．100°D．105°例5、如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E．若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为．例6、两组邻边分别相等的四边形我们称它为筝形．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，AC与BD相交于点O，下列判断正确的有．（填序号）．①AC⊥BD；②AC、BD互相平分；③AC平分∠BCD；④∠ABC=∠ADC=90°；⑤筝形ABCD的面积为．例7、在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，l1与l2相交于点O．△ADE的周长为6cm．（1）求BC的长；（2）分别连结OA、OB、OC，若△OBC的周长为16cm，求OA的长．考点二：角平分线的性质例1、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（）A．15 B．30C．45 D．60例2、如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线PA、PB交于点P，下列结论：①PC平分∠ACF；②∠ABC+∠APC=180°；③若点M、N分别为点P在BE、BF上的正投影，则AM+CN=AC；④∠BAC=2∠BPC．其中正确的是（）A．只有①②③B．只有①③④C．只有②③④D．只有①③例3、如图所示，已知△ABC的周长是20，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，则△ABC 的面积是．例4、如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60．其三条角平分线交于点O，则S△ABO：S：S△CAO=．△BCO例5、如图，已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD，且交OE 于点F．（1）求证：OE是CD的垂直平分线．（2）若∠AOB=60°，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？并证明你的结论．P(Practice-Oriented)——实战演练实战演练➢课堂狙击1、△ABC中，AB=AC，BC=10，AB的垂直平分线与AC的垂直平分线分别交BC于点D、E且DE=4，则AD+AE的值为（）A．6 B．10 C．6或14 D．6或102、如图，OP为∠AOB的角平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D，则下列结论错误的是（）A．PC=PD B．∠CPD=∠DOPC．∠CPO=∠DPO D．OC=OD3、如图，△ABC中，D、E两点分别在AC、BC上，DE为BC的中垂线，BD为∠ADE的角平分线．若∠A=58°，则∠ABD的度数为何？（）A．58 B．59C．61 D．624、如图，在△ABC中，BC的垂直平分线EF交∠ABC的平分线BD于E，如果∠BAC=60°，∠ACE=24°，那么∠BCE的大小是（）A．24°B．30°C．32°D．36°5、如图，在△ABC中，∠B=55°，∠C=30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（）A．65°B．60°C．55°D．45°点D，连接BD，则∠ABD=度．7、如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP=．8、已知：如图，AD是△ABC的角平分线，且AB：AC=3：2，则△ABD与△ACD的面积之比为．9、如图，在△ABC中，AB＜AC，BC边上的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E，BD=4，△ABE 的周长为14，则△ABC的周长为．10、探究：如图①，在△ABC中，DE是边BC的垂直平分线，交BC于点D，交AB于点E，连结CE，求证：CE+AE=AB．应用：如图②，在Rt△ABC中，∠B=90°，DE垂直平分斜边AC交AB于点D，交AC于点E，连结CD，若AB=8，BC=4，则CD的长为．➢课后反击1、三角形纸片上有一点P，量得PA=3cm，PB=3cm，则点P一定（）A．是边AB的中点B．在边AB的中线上C．在边AB的高上D．在边AB的垂直平分线上2、观察图中尺规作图痕迹，下列说法错误的是（）A．OE是∠AOB的平分线B．OC=ODC．点C、D到OE的距离不相等D．∠AOE=∠BOE3、如图，OP是∠AOB的平分线，点C，D分别在角的两边OA，OB上，添加下列条件，不能判定△POC ≌△POD的选项是（）A．PC⊥OA，PD⊥OB B．OC=ODC．∠OPC=∠OPD D．PC=PD4、如图所示，线段AC的垂直平分线交线段AB于点D，∠A=50°，则∠BDC=（）A．50°B．100°C．120°D．130°△ABD的周长为13cm，则AE的长为（）A．3cm B．6cmC．12cm D．16cm6、如图，△ABC的边BC的垂直平分线MN交AC于D，若△ADB的周长是10cm，AB=4cm，则AC=cm．7、如图，已知AB=AC，DE垂直平分AB，若∠A=40°，则∠EBC=°．8、如图，△ABC中，∠A=80°，∠B=40°，BC的垂直平分线交AB于点D，连结DC，如果AD=3，BD=8，那么△ADC的周长为．9、如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D．已知BD：CD=3：2，点D到AB的距离是6，则BC的长是．10、如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD=DE．（1）若∠BAE=40°，求∠C的度数；（2）若△ABC周长13cm，AC=6cm，求DC长．直击中考1、【2016•河南】如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=4cm，△ABD的周长为14cm，则△ABC 的周长为．2、【2015•济南】如图，四边形ABDC中，∠D=∠ABD=90°，点O为BD的中点，且OA平分∠BAC．（1）求证：OC平分∠ACD；（2）求证：OA⊥OC；（3）求证：AB+CD=AC．S(Summary-Embedded)——归纳总结重点回顾1、线段垂直平分线的性质定理定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

垂直平分线与角平分线精讲教案一、教学目标：1. 让学生理解垂直平分线和角平分线的定义。

2. 让学生掌握垂直平分线和角平分线的性质。

3. 培养学生运用垂直平分线和角平分线解决实际问题的能力。

二、教学内容：1. 垂直平分线的定义：垂直平分线是指一个线段的两端点关于某条直线对称，且这条直线垂直于线段所在的平面。

2. 角平分线的定义：角平分线是指一个角的内部的一条直线，它将这个角分成两个相等的角。

3. 垂直平分线的性质：a. 垂直平分线上的任意一点到线段两端点的距离相等。

b. 垂直平分线垂直于线段所在的平面。

c. 垂直平分线上的任意一点到线段所在直线的距离等于线段一半。

4. 角平分线的性质：a. 角平分线上的任意一点到角的两边的距离相等。

b. 角平分线将角分成两个相等的角。

c. 角平分线上的任意一点到角的两边的夹角等于该点到角的两边的距离的比值。

三、教学重点与难点：1. 教学重点：垂直平分线和角平分线的定义及其性质。

2. 教学难点：垂直平分线和角平分线的性质的应用。

四、教学方法：1. 采用多媒体课件辅助教学，直观展示垂直平分线和角平分线的定义和性质。

2. 利用实物模型，让学生直观地感受垂直平分线和角平分线的性质。

3. 运用例题讲解，让学生掌握垂直平分线和角平分线的性质及应用。

4. 开展小组讨论，让学生互相交流学习心得，提高解题能力。

五、教学过程：1. 引入新课：通过展示实际生活中的垂直平分线和角平分线的例子，引导学生思考并引入本节课的主题。

2. 讲解垂直平分线的定义和性质：利用多媒体课件和实物模型，讲解垂直平分线的定义和性质，让学生直观地理解并掌握。

3. 讲解角平分线的定义和性质：利用多媒体课件和实物模型，讲解角平分线的定义和性质，让学生直观地理解并掌握。

4. 应用练习：出示一些有关垂直平分线和角平分线的练习题，让学生独立解答，巩固所学知识。

教学评价：通过课堂讲解、练习解答和小组讨论，评价学生对垂直平分线和角平分线的理解掌握程度。