平行线的性质和判定培优讲义全

平行线的性质与判定平行线在几何学中具有重要的性质和判定方法。

本文将介绍平行线的定义、性质以及常见的判定方法，并且给出相应的几何证明。

一、平行线的定义平行线是位于同一平面内并且不会相交的两条直线。

平行线之间的距离在任意两点上保持恒定。

二、平行线的性质1. 平行线具有等夹角性质：当一条直线与两条平行线相交时，所形成的内错角（夹角在两条平行线之间）互相相等，外错角（夹角在两条平行线之外）互相相等。

2. 平行线具有内错角性质：当一条直线与两条平行线相交时，内错角（夹角在两条平行线之间）之和等于180度。

3. 平行线具有对应角性质：当两条平行线被一条交线切割时，所形成的对应角（位于两条平行线的同一侧，一条在交线上，另一条在交线外）互相相等。

4. 平行线具有平行四边形性质：在平行四边形中，对边平行且相等，对角线互相等分。

三、平行线的判定方法1. 通过角度判定：若两条直线被一条第三线切割时，相应角、内错角或外错角相等，则可以判定这两条直线是平行的。

2. 通过距离判定：若两条直线上的任意两点之间的距离相等，则可以判定这两条直线是平行的。

3. 通过斜率判定：若两条直线的斜率相等，则可以判定这两条直线是平行的。

四、性质与判定的应用举例1. 平行线的性质在证明中常被用来推导其他几何结论。

例如，在证明三角形相似时，可以利用平行线的对应角性质。

2. 平行线的判定方法在几何问题中起到重要的作用。

例如，在解决平行四边形问题时，可以通过判定四边形的对边平行来证明它是平行四边形。

举例一：判断两条直线是否平行已知直线l1过点A(2, 4)和点B(6, 9)，直线l2过点C(-1, 1)和点D(3, 5)。

通过斜率判定来判断直线l1和l2是否平行。

解：直线的斜率可以通过两点的坐标计算得到。

计算直线l1的斜率m1，可以用点斜式公式：m1 = (y2 - y1) / (x2 - x1)，代入A(2, 4)和B(6, 9)的坐标：m1 = (9 - 4) / (6 - 2) = 5 / 4同理，计算直线l2的斜率m2，代入C(-1, 1)和D(3, 5)的坐标：m2 = (5 - 1) / (3 - (-1)) = 4 / 4 = 1由于斜率m1 ≠ m2，所以直线l1和l2不平行。

平行线的性质和判定精品资料教学过程：一、基础知识点：性质1：两条直线被第三条直线所截，如果两条直线平行，那么同位角相等。

简单说成：两直线平行，同位角相等。

几何语言：∵ AB//CD ∴ ∠PMA=∠MNC性质2：两条直线被第三条直线所截，如果两条直线平行，那么内错角相等。

简单说成：两直线平行，内错角相等。

几何语言：∵ AB//CD ∴ ∠BMN=∠CNM性质3：两条直线被第三条直线所截，如果两条直线平行，那么同旁内角互补。

简单说成：两直线平行，同旁内角互补。

几何语言：∵ AB//CD∴ ∠AMN+∠CNM=180°几何符号语言： （1）∵∠3＝∠2∴AB ∥CD （同位角相等，两直线平行）（2）∵∠1＝∠2∴AB ∥CD （内错角相等，两直线平行） （3）∵∠4＋∠2＝180°∴AB ∥CD （同旁内角互补，两直线平行）如图，直线AB ∥CD ，EF ⊥AB 于E ，EF ⊥CD 于F ，则称线段EF 的长度为两平行线AB 与CD 间的距离。

注意：直线AB ∥CD ，在直线AB 上任取一点G ，过点G 作CD 的垂线段GH ，则垂线段GH 的长度也就是直线AB 与CD 间的距离。

⑴命题的概念：判断一件事情的语句，叫做命题。

A BC DEF 1 2 3 4 A EG BC FH D⑵命题的组成每个命题都是题设、结论两部分组成。

题设是已知事项；结论是由已知事项推出的事项。

命题常写成“如果……，那么……”的形式。

具有这种形式的命题中，用“如果”开始的部分是题设，用“那么”开始的部分是结论。

有些命题，没有写成“如果……，那么……”的形式，题设和结论不明显。

对于这样的命题，要经过分析才能找出题设和结论，也可以将它们改写成“如果……，那么……”的形式。

注意：命题的题设（条件）部分，有时也可用“已知……”或者“若……”等形式表述；命题的结论部分，有时也可用“求证……”或“则……”等形式表述。

在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．角是平面几何图形中最活跃的元素，前面我们已学习过特殊角、数量关系角等角的知识．当两条直线相交或分别与第三条直线相交，就产生对顶角、同位角、内错角、同旁内角等位置关系角，进一步丰富了角的知识，它们在角的计算与证明中有广泛的应用．与平行线相关的问题一般都是平行线的判定与性质的综合运用，主要体现在如下两个方面：1． 由角定角已知角的关系→（判定）两直线平行→（性质）确定其他角的关系．2．由线定线已知两直线平行→（性质）角的关系行→（判定）确定其他两直线平行．.平行线判定方法：（1） 同位角 相等，两直线平行。

.（2） 内错角相等，两直线平行。

（3） 同旁内角互补，两直线平行。

（4） 垂直于同一直线的两直线平行（5） 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行。

平行线的性质：（1）两直线平行，同位角相等。

（2） 两直线平行，内错角相等。

（3） 两直线平行， 同旁内角互补。

【基础训练】1.下列命题正确的有 (填序号 )（1）两条直线被第三条直线所截，一定有同位角，所以这两条直线一定平行.（2）两直线不平行，同旁内角不互补.（3）如图，若1l ∥2l ，则∠1+∠2=180°.（4）如图，AD ∥BC ，则∠B +∠C =180°.（5）平行线的同位角的平分线互相平行.2.下列说法正确的是( )A .经过一点有一条直线与已知直线平行B .经过一点有无数条直线与已知直线平行C .经过一点有且只有一条直线与已知直线平行D .经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行3.下列说法正确的有( )①不相交的两条直线是平行线;②在同一平面内,两条直线的位置关系有两种; ③若线段AB 与CD 没有交点,则AB ∥CD ;④若a ∥b ,b ∥c ,则a 与c 不相交.⑤两条射线或线段互相垂直是指它们所在的直线互相垂直.A .1个B .2个C .3个D .4个N FE D C B A N M A CD B EB DC A 4.已知：如图，∠BAE +∠AED =180°，∠1=∠2.求证：∠M =∠N .证明：∵∠BAE +∠AED =180°( )，∴ ∥ ( ).∴∠BAE = .又∵∠1=∠2(已知 )，∴∠BAE -∠1= - ( ).即∠MAE = .∴ ∥ ( ).∴∠M =∠N ( ).5如图，一张长方形纸条ABCD 沿MN 折叠后形成的图形，∠DMN =80°，求∠BNC 的度数.6.已知:如图AB //CD ,BCD DAB ∠=∠,AE 、BE 分别平分DAB ∠、ABC ∠.请求出E ∠的度数.7.如下图，已知AD ⊥BC ，NE ⊥BC ，∠E ＝∠EFA ，求证：AD 平分∠BAC .8.如图，已知︒=∠+∠18021， B ∠=∠3.试判断AED ∠与C ∠的关系,并予以说明.G EB D 321FCA9.如图，︒=∠25B ,︒=∠45BCD ,︒=∠30CDE ,︒=∠10E .求证： AB ∥EF .【例1】如图，AB ∥CD ，AC ⊥BC ，图中与∠CAB互余的角有个． (安徽省中考题)思路点拨 充分运用对顶角、平行线性质等与角相关的知识，借助互余的概念判断． 注：平面几何的研究除了运用计算方法外，更多的要依靠时图形的观察(直觉能力)，运用演绎推理的方法去完成，往往需要通过观察、实验操作进而猜想蛄论(性质)，或由预设结论去猜想条件，再运用演绎推理方法加以证明．在学习完相交线、平行线内容后，平面几何的学习就由实验几何阶段进入论证几何阶段，顺利跨越推理论证阶段，需注意以下几点：(1)过好语言关；(2)学会识图；(3)善于分析．【例2】 如图，平行直线AB 、CD 与相交直线EF 、GH 相交，图中的同旁内角共有( ) ．A ．4对B ．8对C ．12对D ．16对( “希望杯”邀请赛试题)思路点拨 每一个“三线八角”基本图形都有两对同旁内角，从对原图形进行分解人手．【例3】如图，已知∠B ＝25°，∠BCD ＝45°，∠CDE=30°，∠E ＝10°求征：AB ∥EF ．思路点拨 解本例的困难在于图形中没有“三线八角”，考虑创造条件，在图中添置“三线八角”或作出与AB 或CD 平行的直线．【例4】 如图，在ΔABC 中，CE ⊥AB 于E ，DF ⊥AB 于F ，AC ∥ED ，CE 是∠ACB 的平分线．求证：∠EDF ＝∠BDF ．(天津市竞赛题)EC DF A MN思路点拨综合运用角平分线、垂直的定义、平行线的判定与性质等知识，因图形复杂，故需恰当分解图形．【例5】探究：(1)如图a，若AB∥CD，则∠B+∠D＝∠E，你能说明为什么吗?(2)反之，若∠B+∠D＝∠E，直线AB与CD有什么位置关系?请证明；(3)若将点E移至图b所示位置，此时∠B、∠D、∠E之间有什么关系?请证明；(4)若将E点移至图c所示位置，情况又如何?(5)在图d中，AB∥CD，∠E+∠G与∠B+∠F+∠D又有何关系?(6)在图e中，若AB∥CD，又得到什么结论?思路点拨已知AB∥CD，连结AB、CD的折线内折或外折，或改变E点位置、或增加折线的条数，通过适当地改变其中的一个条件，就能得出新的结论，给我们创造性的思考留下了极大的空间，解题的关键是过E点作AB(或CD)的平行线，把复杂的图形化归为基本图形．注：分析主要从以下两个方面进行：(1)由因导果(综合法)，即从已知条件出发推出相应结论．(2)执果溯因(分析法)，即要得到结论需具备什么条件．解题时，我们既要抓住条件，又要盯住目标，努力促使已知与来知的转化与沟通．探索性问题一般具有以下特点：(1)给出了条件，但没有明确的结论；(2)给出了结论，但没有给出或没有全部给出应具备的条件，(3)先提出特殊情况进行研究，再要求归纳、猜测和确定一般结论；(4)先对某一给定条件和结论的问题进行研究，再探讨改变条件时其结论相应发生的变化，或改变结论时其条件相应发生的变化；(5)解题方法需要独立创新．“解题千万道，解后抛九霄”是难以达到提高解题能力，发展思维的目的的．善于作解题后小结，回顾解题过程，总结解题经验和体会，再进而作一题多解，一题多问，一题多变的思考，挖掘题目的深度和广度，扩大题目的辐射面，这对解题能力的提高是十分有益的．学力训练1．如图，已知AE∥CD，EF交AB于M，MN⊥EF于M，NN交CD于N，若∠BME=110°，则∠MND= ．(湖北成宁市中者题)2．如图，若直线a，b分别与直线c，d相交，且∠1+∠3=90°，∠2一∠3=90°，∠4=115°，那么∠3= ．3．如图，已知AB∥CD，∠1=100°，∠2=120°，则∠α= ．(内蒙古中考题)4．已知两个角的两边分别平行，其中一个角为40°，那么另一角是度．5．如图，下列条件中，不能判断直线l1∥l2的是( )．A．∠l=∠3 B．∠2=∠3 C．∠4=∠5 D．∠2+∠4=180°(南通市中考题)6．．已知线段AB的长为10cm，点A、B到直线L的距离分别为6cm和4cm，符合条件l 的条数为( )．A．1 B．2 C．3 D．4(安徽省中考题)7．如图，直线a、b都与直线c相交，给出下列条件：(1)∠l=∠2；(2)∠3＝∠6；(3)∠4+∠7＝180°；(4)∠5+∠8＝180°，其中能判断a∥b的是( )．A．(1)、(3) B．(2)、(4) C．(1)、(3)、(4) D．(1)、(2)、(3)、(4)(江苏盐城市中考题)8．如图，AB∥EF∥DC，EG∥DB，则图中与∠1相等的角(∠1除外)共有( )．A．6个D．5个C．4个D．3个(湖北省荆门市中考题)9．如图，已知∠l+∠2＝180°，∠3=∠B，试判断∠AED与∠ACB的大小关系，并对结论进行证明．10．如图，已知∠1十∠2=180°，∠A＝∠C，AD平分∠BDF．求证：BC平分∠DBE．15．如图，D、G是ΔABC中AB边上的任意两点，DE∥BC，GH∥DC，则图中相等的角共有( )．A，4对B．5对 C ．6对D．7对16．如图，若AB∥CD，则( )．A．∠1＝∠2+∠3 B．∠1＝∠3一∠2C．∠1+∠2+∠3＝180°∠l一∠2十∠3＝180°17．如图，AB∥CD∥EF，EH⊥CD于H，则∠BAC+∠ACE+∠CEH等于( )．A．180°B．270°C．360°D．450°18．如图，AB∥EF，∠C＝90°，则α、β和γ的关系是( )．A．β=α+γB．α+β+γ＝180°C．α+β－γ＝180°D．β+γ－α＝180°19．如图，已知AB∥CD，P为HD上任意一点，过P点的直线交HF于O点，试问：∠HOP、∠AGF、∠HPO有怎样的关系?用式子表示并证明．20．如图，已知AB∥CD，α=∠A+∠E，β=∠B+∠C+∠D，证明：β=2α．22．如图，已知射线CB∥OA，∠C＝∠OAB=100°，E、F在CB上，且满足∠FOB＝∠AOB，OE平分∠COF．(1)求∠EOB的度数．(2)若平行移动AB，那么∠OBC：∠OFC的值是否随之发生变化?若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值．(3)在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC＝∠OBA?若存在，求出其度数；若不存在，说明理由．。

平行线的判定与性质要点一、平行线1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b。

要点诠释：(1)平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可；(2)有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行。

(3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种。

特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系。

2．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

3．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

要点诠释：(1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质。

(2)公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一。

（3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性。

要点二、直线平行的判定判定方法1：同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言：∵∠3＝∠2∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言：∵∠1＝∠2∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言：∵∠4＋∠2＝180°∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）要点诠释：平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形。

要点三、平行线的性质性质1：两直线平行，同位角相等；性质2：两直线平行，内错角相等；性质3：两直线平行，同旁内角互补.要点诠释：（1）“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提“两直线平行”。

(2)从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质。

要点四、两条平行线的距离同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线的距离．要点诠释：（1）求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点，向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线的距离．(2) 两条平行线的位置确定后，它们的距离就是个定值，不随垂线段的位置的改变而改变，即平行线间的距离处处相等．要点五、命题、定理、证明1.命题：判断一件事情的语句，叫做命题。

一、授课目的与分析：一、授课目的与分析：教学目标：1. 了解平行线的概念和两条直线的位置关系了解平行线的概念和两条直线的位置关系2. 掌握平行公理及其推论，掌握两直线平行的判定方法和平行线的性质掌握平行公理及其推论，掌握两直线平行的判定方法和平行线的性质重 点：平行公理及其推论、两直线平行的判定方法和平行线的性质的应用平行公理及其推论、两直线平行的判定方法和平行线的性质的应用 难 点：平行的性质和判定的综合应用二、授课内容：二、授课内容： 平行线的性质与判定教学过程：【知识点】【知识点】1、平行线的概念：、平行线的概念：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线a 与直线b 互相平行，记作a ∥b 2、两条直线的位置关系、两条直线的位置关系在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：⑴相交；⑵平行。

在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：⑴相交；⑵平行。

3、平行公理――平行线的存在性与惟一性、平行公理――平行线的存在性与惟一性经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行4、平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行、平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行5、 平行线的判定与性质平行线的判定与性质 平行线的判定平行线的判定 平行线的性质平行线的性质 1、 同位角相等，两直线平行同位角相等，两直线平行 2、 内错角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行 3、 同旁内角互补，两直线平行同旁内角互补，两直线平行 4、 平行于同一条直线的两直线平行平行于同一条直线的两直线平行 5、 垂直于同一条直线的两直线平行垂直于同一条直线的两直线平行 1、两直线平行，同位角相等、两直线平行，同位角相等 2、两直线平行，内错角相等、两直线平行，内错角相等 3、两直线平行，同旁内角互补、两直线平行，同旁内角互补 4、经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行知直线平行 6两条平行线的距离两条平行线的距离如图，直线AB ∥CD ，EF ⊥AB 于E ，EF ⊥CD 于F ，则称线段EF 的长度为两平行线AB 与CD 间的距离。

平行线的性质与判定平行线是几何学中的重要概念，它们具有独特的性质和判定方法。

本文将介绍平行线的性质，并详细阐述如何判定两条直线是否平行。

一、平行线的性质1. 同位角性质：同位角是指两条平行线被一条横截线所截得的对应角。

当两条直线被一条横截线截得时，同位角具有以下性质：（1）同位角相等：同位角的对应角度相等，即如果∠A=∠C，则∠B=∠D。

（2）内错角相等：同位角的内错角相等，即如果∠A=∠B，则∠C=∠D。

（3）补角性质：同位角的补角之和为180度，即∠A+∠B=180度，∠C+∠D=180度。

2. 平行线及其截线性质：（1）平行线与横截线的交角为同位角。

（2）平行线被横截线所截得的对应线段相等。

（3）平行线间的任一条横截线，所截线段比例相等。

（4）平行线与平行线之间的距离相等。

二、平行线的判定判定两条直线是否平行有多种方法，下面将介绍三种常用的判定方法：1. 同位角判定法：通过测量两条直线上的同位角是否相等来判断其是否平行。

如果两条直线上的同位角相等，则这两条直线平行；反之，则不平行。

2. 夹角判定法：通过测量两条直线间的夹角是否为180度的补角来判断其是否平行。

如果两条直线间的夹角为180度的补角，则这两条直线平行；反之，则不平行。

3. 斜率判定法：通过测量两条直线的斜率是否相等来判断其是否平行。

斜率是直线上任意两点之间的纵坐标差与横坐标差的比值。

如果两条直线的斜率相等，则这两条直线平行；反之，则不平行。

三、示例应用为了更好地理解平行线的性质与判定方法，下面以一个应用场景为例进行说明。

假设有一条横截线m与两条直线A和B相交，现需要判断A与B是否平行。

首先，通过测量横截线m所截得的∠ACD和∠BCE是否相等，若相等，则可以初步判断A与B可能平行。

接下来，测量A和B的斜率，若斜率相等，则可以确认A与B是平行线；反之，若斜率不相等，则两条直线不平行。

最后，可以进一步验证同位角的性质。

在A和B都与横截线m相交的情况下，测量∠DCA和∠ECB是否相等，若相等，则确认A与B 是平行线；反之，则两条直线不平行。

平行线四大模型平行线的判定与性质l、平行线的判定根据平行线的定义，如果平面内的两条直线不相交，就可以判断这两条直线平行，但是，由于直线无限延伸，检验它们是否相交有困难，所以难以直接根据定义来判断两条直线是否平行，这就需要更简单易行的判定方法来判定两直线平行．判定方法l：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简称：同位角相等，两直线平行．判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简称：内错角相等，两直线平行，判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简称：同旁内角互补，两直线平行，如上图：假设∠1=∠2，那么AB∥CD〔同位角相等，两直线平行〕；假设∠1=∠3，那么AB∥CD〔内错角相等，两直线平行〕；假设∠1+ ∠4= 180°，那么AB∥CD〔同旁内角互补，两直线平行〕．另有平行公理推论也能证明两直线平行：平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．2、平行线的性质利用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补，可以判定两条直线平行．反过来，如果两条直线平行，当它们被第三条直线所截，得到的同位角、内错角、同旁内角也有相应的数量关系，这就是平行线的性质．性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简称：两直线平行，同位角相等性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简称：两直线平行，内错角相等性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简称：两直线平行，同旁内角互补本讲进阶平行线四大模型模型一“铅笔〞模型点P在EF右侧，在AB、CD内部“铅笔〞模型结论1：假设AB∥CD，那么∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°；结论2：假设∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，那么AB∥CD.模型二“猪蹄〞模型〔M模型〕点P在EF左侧，在AB、CD内部“猪蹄〞模型结论1：假设AB∥CD，那么∠P=∠AEP+∠CFP；结论2：假设∠P=∠AEP+∠CFP，那么AB∥CD.模型三“臭脚〞模型点P在EF右侧，在AB、CD外部“臭脚〞模型结论1：假设AB∥CD，那么∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP；结论2：假设∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，那么AB∥CD.模型四“骨折〞模型·点P在EF左侧，在AB、CD外部“骨折〞模型结论1：假设AB∥CD，那么∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP；结论2：假设∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，那么AB∥CD.稳固练习平行线四大模型证明（1）AE // CF ,求证∠P +∠AEP +∠PFC = 360°.（2）∠P=∠AEP+∠CFP，求证AE∥CF．〔3〕AE∥CF，求证∠P=∠AEP-∠CFP.（4）∠P= ∠CFP -∠AEP,求证AE //CF.模块一平行线四大模型应用例1（1）如图，a∥b,M、N分别在a、b上，P为两平行线间一点，那么∠l+∠2+∠3= ．(2)如图，AB∥CD，且∠A=25°，∠C=45°，那么∠E的度数是．(3)如图，AB∥DE，∠ABC=80°，∠CDE =140°，那么∠BCD= .(4) 如图，射线AC∥BD，∠A= 70°，∠B= 40°，那么∠P= ．练(1)如下图，AB∥CD，∠E=37°，∠C= 20°，那么∠EAB的度数为．(2) 如图，AB∥CD，∠B=30°，∠O=∠C．那么∠C= .例2如图，AB ∥DE ，BF 、 DF 分别平分∠ABC 、∠CDE ，求∠C 、 ∠F 的关系.练如图，AB ∥DE ，∠FBC =n 1∠ABF ，∠FDC =n1∠FDE . (1)假设n =2,直接写出∠C 、∠F 的关系 ； (2)假设n =3，试探宄∠C 、∠F 的关系；(3)直接写出∠C 、∠F 的关系 〔用含n 的等式表示〕.例3如图，AB ∥CD ，BE 平分∠ABC ，DE 平分∠ADC ．求证：∠E = 2 (∠A +∠C ) .练如图，己知AB ∥DE ，BF 、DF 分别平分∠ABC 、∠CDE ，求∠C 、∠F 的关系.例4如图，∠3==∠1+∠2，求证：∠A+∠B+∠C+∠D= 180°．练〔武昌七校2021 -2021 七下期中〕如图，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于E，AE⊥DE，∠l+∠2= 90°，M、N分别是BA、CD的延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线相交于点F那么∠F的度数为〔〕．A. 120°B. 135°C. 145°D. 150°模块二平行线四大模型构造例5如图，直线AB∥CD，∠EF A= 30°，∠FGH= 90°，∠HMN=30°，∠CNP= 50°，那么∠GHM= .练如图，直线AB∥CD，∠EFG =100°，∠FGH =140°，那么∠AEF+ ∠CHG= .例6 ∠B =25°，∠BCD=45°，∠CDE =30°，∠E=l0°，求证：AB∥EF．练AB∥EF，求∠l-∠2+∠3+∠4的度数.(1)如图(l)，MA1∥NA n，探索∠A1、∠A2、…、∠A n，∠B1、∠B2…∠B n-1之间的关系．(2)如图(2)，己知MA1∥NA4，探索∠A1、∠A2、∠A3、∠A4，∠B1、∠B2之间的关系．(3)如图(3)，MA1∥NA n，探索∠A1、∠A2、…、∠A n之间的关系．如下图，两直线AB∥CD平行，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6．。